pembahasan osn matematika smp 2010

OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2010BIDANG STUDI : MATEMATIKA

BAGIAN A : PILIHAN GANDA

1. Garis l melalui titik (-4, -3) dan (3,4). Jika garis l juga melalui titik (a,b), maka nilai a3 – b3 – 3a2b + 3ab2 – 33 = …A. 23 B. 1 C. -1 D. -28 E. -31

JAWAB : D

Persamaan garis l

y + 3 = x + 4x – y = -1

garis l melalui (a,b) a - b = -1

2. Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut : {1}, {3,5}, {7,9,11}, {13,15,17,19}, maka suku tengah dari kelompok ke-11 adalah …A. 21 B. 31 C. 61 D. 111 E. 121

JAWAB : EBerdasarkan kelompok tersebut, maka titik tengahnya adalah : 1, 4, 9, 16, …., n2

Sehingga titik tengah kelompok ke – 11 adalah 112 = 121

3. n adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga 7 + 30n bukan bilangan prima. Nilai dari 64 – 16n + n2 adalah ....A. 1 B. 4 D. 9 D. 16 E. 25

JAWAB : BKita uji untuk masing-masing bilangan bulat positif terkeciln = 1 7 + 30n = 37 (prima)n = 2 7 + 30n = 67 (prima)n = 3 7 + 30n = 97 (prima)n = 4 7 + 30n = 127 (prima)n = 5 7 + 30n = 157 (prima)n = 6 7 + 30n = 187 (bukan prima)

4. Dijual 100 lembar kupon, 2 diantaranya berhadiah. Ali membeli 2 lembar undian. Peluang Ali Mendapat dua hadiah adalah ...

A. B. C. D. E.

JAWAB : D

Peluang 1 kupon mendapat hadiah = =

Peluang 1 kupon lagi mendapat hadiah = (karena tinggal 99 kupon dengan 1 berhadiah)

Maka peluang 2 kupon Ali kedua-duanya merupakan kupon berhadiah adalah

x =

5. Bilangan tiga digit 2A3 jika ditambah 326 akan menghasilkan bilangan tiga digit 5B9. Jika 5B9 habis dibagi 9, maka A + B = ...A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9

JAWAB : B2 A 33 2 65 B 9

6. Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilantunkan bersama-sama, maka peluang munculnya mata dadu lebih dari 2 adalah ...

A. B. C. D. E.

Muhammad Yusuf, S.Pd. SMP Negeri 3 Bolo 1

a3 – b3 – 3a2b + 3ab2 – 33 = (a – b)3 – 33

[(a – b)3 = a3 – b3 – 3a2b + 3ab2 ] = (-1)3 – 33 = -1 – 27 = -28

Maka n yang memenuhi adalah 6,Sehingga 64 – 16n + n2 = 64 – 16 x 6 + 62

= 64 – 96 + 36= 4

+5B9 habis dibagi 9, maka B = 4, sehingga A = 2Maka A + B = 6

JAWAB : D

Peluang muncul mata dadu lebih dari 2 (3,4,5,6) adalah =

7. Diberikan dua buah bilangan bulat berbeda yang berjumlah 37. Apabila bilangan yang lebih besar dibagi bilangan yang lebih kecil, maka hasilnya baginya adalah 3 dan sisanya 5. selisih kedua bilangan tersebut adalah ...A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 E. 25

JAWAB : AMisalkan kdua bilangan itu adalah A dan B (A > B)A + B = 37A = 3B + 5Maka 3B + 5 + B = 37 4B = 32 B = 8

dan A = 37 – 8 A = 29Selisihnya = 21

8. Jika x : y = 3 : 4, maka nilai adalah ...

A. B. C. D. E.

JAWAB : A

x = y =

= = =

9. Roda A dengan jari-jari 40 cm dan roda B dengan jari-jari 10 cm dihubungkan dengan sebuah tali yang melingkari keduanya. Jika jarak pusat kedua roda adalah 60 cm, maka panjang tali yang dibutuhkan adalah ... cmA. 60 ( + ) B. 56( + ) C. 50( + ) D. 40( + ) E. 38( + )

JAWAB : AIlustrasi soal

10. Pada segitiga ABC (siku-siku di C), titik Q pada AC, titik P pada AB, dan PQ sejajar BC. Panjang sisi AQ = 3; AP = 5; BC = 8, maka luas ABC adalah ...A. 48 B. 36 C. 24 D. 22 E. 12

JAWAB : CIlustrasi soal


P

Q60 cm

P

R 30 cm

MP

N

P

S

P

T

Perhatikan PQR (siku-siku di P)PQ = = 30 cm

PRQ = PMN = 600 (karena PQ/RQ = ½ )

Maka panjang tali busur besar PS =

=

MRQ = MNQ = 1200,

maka panjang tali busur kecil QT = =

maka panjang tali = 2 x 30 + + = 60 ( +

)

PQ = 4 (tripel phitagoras 3,4,5)

AC = 6 (konsep kesebangunan)

maka luas ABC = ½ x AC x BC = ½ x 6 x 8 = 24

11. Jika diberikan Sn = 1 – 2 + 3 – 4 + ... + (-1)n-1 n, dengan n bilangan asli, maka nilai S17 + S8

+S45 adalah ...A. -5 B. 0 C. 17 D. 28 D. 30

JAWAB : D

S17 = 1 – 2 + 3 – 4 + ....+ 15 – 16 + 17 = = -8 + 17 = 9

S8 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 = - 4

S45 = 1 – 2 + 3 – 4 + .... + 43 – 44 + 45 = = - 22 + 45 = 23

S17 + S8 +S45 = 9 – 4 + 23 = 28

12. Tersedia tujuh gambar berbeda yang akan dipilih empat gambar yang akan dipasang membentuk barisan memanjang. Banyaknya cara yang dapat dilakukan jika sebuah gambar yang terpilih harus selalu dipasang di ujung adalah ...A. 420 B. 504 C. 520 D. 720 E. 710

JAWAB : AMisalkan ketujuh gambar diberi nomor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7Akan dipilih empat gambar dari tujuh gambar tersebut.Cara-carnya adalah : 1,2,3,4 ; 1,2,3,5 ; 1,2,3,6 ; 1,2,3,7 ; 1,2,4,5 ; 1,2,4,6 ; 1,2,4,7 ;

1,2,5,6 ; 1,2,5,7 ; 1,2,6,7 ; 1,3,4,5 ; 1,3,4,6 ; 1,3,4,7 ; 1,3,5,6 ; 1,3,5,7 ; 1,3,6,7 ; 1,4,5,6 ; 1,4,5,7 ; 1,4,6,7 ; 1,5,6,7 ; 2,3,4,5 ;2,3,4,6 ; 2,3,4,7 ; 2,3,5,6 ; 2,3,5,7 ; 2,3,6,7 ; 2,4,5,6 ; 2,4,5,7 ;2,4,6,7 ; 2,5,6,7 ; 3,4,5,6 ; 3,4,5,7 ; 3,4,6,7 ; 3,5,6,7 ; 4,5,6,7Ada 35 cara

Dari salah satu cara yang dipilih harus ditetapkan 1 gambar untuk diletakan diujung , misalnya pada pilihan 1,2,3,4 ditetapkan 1 sebagai yang diletakan diujung, maka banyak cara penyusunan gambar adalah : 1,2,3,4 ; 1,2,4,3 ; 1,3,2,4 ; 1,3,4,2 ; 1,4,2,3 ; 1,4,3,2 ; 2,3,4,1 ; 2,4,3,1 ; 3,2,4,1; 3,4,2,1 ; 4,3,2,1 ; 4,2,3,1. ada 12 caraBanayak caranya adalah 35 x 12 cara = 420 cara

13. Diketahui 3x, , dan adalah bilangan bulat. Manakah dari ketiga bentuk di bawah ini

yang juga merupakan bilangan bulat untuk nilai-nilai x yang memenuhi ketiga bentuk di atas?

I. II. 2x III. 6x

A. I B. II C. III D. I dan II D. II dan III

JAWAB : C3x bulat, maka x = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... dan x = ⅓, -⅓

bulat, maka x = -3, -6, -9, ..., x = 3, 6, 9, ..., x = -1, 1, ... -⅓, -½, ½, ⅓, ...

bulat, maka x = -3, 3, -5, 5, -1, 1, -⅓, -½, ½, ⅓, .... -1/6, -1/5, -¼, ¼, 1/5, 1/6,.....

Maka nilai x yang memenuhi ketiga bentuk tersebut adalah : 1, -1, ⅓, -⅓, 3, -3

Perhatikan tabel pengecekan berikut :

2x 6x

1 ⅔ 2 6-1 ⅔ -2 -6


AC Q

P

B

3

58

⅓ 10/3 ⅔ 2-⅓ -10/3 -⅔ -23 10/3 2 18-3 10/3 -2 -18

Berarti yang memenuhi ketiganya adalah 6x (III)

14. Bilangan ratusan yang berupa bilangan prima dimana perkalian ketiga angka penyusun bilangan tersebut adalah 10 ada sebanyak ... buah bilanganA. 6 B. 5 C. 4 D. 3 E. 2

JAWAB : E10 adalah perkalian dari 1 x 2 x 5, maka bilangan prima dengan menggunakan angka 1, 2, dan 5 adalah 521, 251 (2 bilangan)

15. Sebuah prisma segiempat berukuran 15 cm x 15 cm x 10 cm, terbuat dari baja. Prisma tersebut setiap rusuknya diberi kerangka terbuat dari kawat dan setiap sisi dicat. Harga baja tiap 1 cm2 adalah Rp800,00; setiap 4 cm kawat harganya Rp1.300,00; dan setiap 10 cm2

membutuhkan cat seharga Rp1.600,00. Biaya untuk membuat prisma segiempat tersebut adalah ...A. Rp2.020.000,00 B. Rp1.160.000,00 C. Rp1.060.000,00

D. Rp1.050.000,00 E. Rp1.030.000,00JAWAB : CLuas Permukaan Prisma = 2 (pl + lt + pt) = 2 (15 x 15 + 15 x 10 + 15 x 10)

= 2 (225 + 150 + 150)= 2 (525) = 1050 cm2

Panjang kerangka = 4p + 4l + 4t = 4 x 15 + 4 x 15 + 4 x 10= 60 + 60 + 40 = 160 cm

Kebutuhan Baja Kebutuhan Cat Kebutuhan Kawat

800 x 1050 = Rp840.000 105 x 1600 = Rp168.000 40 x 1300 = Rp52.000TOTAL KEBUTUHAN = Rp840.000 + Rp168.000 + Rp52.000 = Rp1.060.000

16. Jika P(x) = Q(x)(x-a), dimana P(x) dan Q(x) polinom, maka :A. P(a) ≠ 0B. x – a bukan factor dari P(x)C. kurva y = P(x) memotong sumbu x di titik (a,0)D. kurva y = P(x) memotong sumbu x di titik (-a,0)E. titik potong terhadap sumbu x tidak dapat ditentukan

JAWAB : CP(x) = Q(x)(x-a), memotong sumbu x jika P(x) = 0, maka Q(x) = 0 atau x – a = 0Maka salah satu titik potong sumbui x adalah (a,0)

17. Empat kubus identik dengan panjang rusuk 5 cm disusun menjadi suatu bangun ruang dengan cara menempelkan sisi-sisinya. Banyak bangun ruang berbeda yang terbentuk adalah ...A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 E. 3

JAWAB : DBeberapa variasi susunan

18. Fungsi f(x) = x2 – ax mempunyai grafik berikut.

Grafik fungsi g(x) = x2 + ax + 5


(a,0)

JAWAB : EKarena 5 bukan bilangan kuadrat dan a ≠ 0, maka grafik fungsi kuadrat tersebut akan memotong sumbu-x pada dua titik berbeda

19. Terdapat 3 orang Indonesia, 4 orang Belanda, dan 2 orang Jerman akan duduk dalam bangku memanjang. Banyaknya susunan yang terjadi jika duduknya berkelompok menurut kewarganegaraannya adalah ...A. 24 B. 48 C. 288 D. 536 E. 1728

JAWAB : ESusunan kelompok kewarganegaraan : IBJ, IJB, BIJ, BJI, JIB, JBI = 6 caraSusunan orang indonesia dalam kelompoknya : 123, 132, 231, 213, 312, 321 = 6 caraSusunan orang Belanda dalam kelompoknya : 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134,

2143, 2341, 2314, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321 = 24 cara

Susunan orang Jerman dalam kelompoknya : 12, 21 = 2 caraTotal cara = 6 x 6 x 24 x 2 = 1728 cara

20. Anto mempunyai 20 lembar seribuan, 4 lembar lima ribuan dan 2 lembar sepuluh ribuan. Jika x, y, dan z adalah banyaknya seribuan, lima ribuan, dan sepuluh ribuan, maka banykanya cara berbeda sehingga jumlahnya dua puluh ribu adalah ...A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10

JAWAB : C 2 x sepuluh ribu 1 x sepuluh ribu + 2 x lima ribu 1 x sepuluh ribu + 1 x lima ribu + 5 x seribu 1 x sepuluh ribu + 10 x seribu 4 x lima ribu 3 x lima ribu + 5 x seribu 2 x lima ribu + 10 x seribu 1 x lima ribu + 15 x seribu 20 x seribu

Jumlah : 9 cara

BAGIAN B : ISIAN SINGKAT

1. Sebuah ABC sama kaki dipotong menjadi dua buah segitiga sama kaki (tidak harus kongruen) dengan membagi dua sama besar salah satu sudut alasnya. Ukuran sudut yang terkecil dari ABC adalah ...JAWAB :Ilustrasi Soal


(a,0)

(a,0)

B.

(a,0)

C

(a,0)

D.

(a,0)

E.

A.

B C

A

D

ABC sama kaki dengan AB = AC dan ABC = ACBABD sama kaki dengan AD = BD dan ABD = BADBCD sama kaki dengan BD = BC dan BCD = BDCJika BAC = a, ABC = b, dan BCA = c, maka a + b + c = 1800 atau a +2b = 1800

b1 = a maka b = 2a b2 = aSehingga : a + 2b = 1800 a + 4a = 1800 a = 360

Maka sudut terkecil dari ABC = 360

b1b2

2. Sebuah kotak berisi bola merah dan hijau. Jika empat bola merah dikeluarkan dari kotak, maka sepersepuluh sisanya adalah bola merah. Akan tetapi jika empat bola hijau dikeluarkan dari kotak, maka seperlima sisanya adalah bola merah. Banyak bola merah yang semula berada di dalam kotak tersebut adalah ...JAWAB :Misalkan banyak bola merah dalam kotak = m dan banyak hijau = h

Jika 4 bola merah dikeluarkan, maka bola merah yang tersisa = dari semua yang tersisa

Artinya jika tersisa 1 merah, maka banyak bola hijau = 9 m = 5 dan h = 9jika tersisa 2 merah, maka banyak bola hijau = 18 m = 6 dan h =

18jika tersisa 3 merah, maka banyak bola hijau = 27 m = 7 dan h =

27jika tersisa 4 merah, maka banyak bola hijau = 36 m = 8 dan h =

36hubunganya h = 9m – 36

Jika 4 bola hijau dikeluarkan, maka banyak bola merah = dari semua yang tersisa

Artinya jika ada 1 merah, maka bola hijau yang tersisa = 4 m = 1 dan h = 8

jika ada 2 merah, maka bola hijau yang tersisa = 8 m = 2 dan h = 12



hubunganya h = 4m + 4maka 9m – 36 = 4m + 4 5m = 40 m = 8maka banyak bola merah dalam kotak = 8 buah

3. Sebuah perahu motor meninggalkan kapal induk ke arah utara menuju suatu target dengan kecepatan 80 km/jam. Kapal induk bergerak ke arah timur dengan kecepatan tetap 40 km/jam. Apabila perahu motor tersebut hanya mempunyai bahan bakar yang cukup untuk berjalan 4 jam saja, maka jarak maksimum target yang akan ditujunya agar ia dapat kembali ke kapal induk dengan tanpa masalah adalah ... kmJAWAB :Ilustrasi soal :

4. Suatu pekerjaan jika dikerjakan oleh Anto dan Dini dapat diselesaikan dalam waktu 6 jam. Jika pekerjaan itu dikerjakan oleh Dini sendirian akan selesai lima jam lebih lambat dibanding Anto. Pekerjaan itu dapat diselesaikan oleh Anto sendirian dalam waktu ... jam.

JAWAB :Misalkan waktu yang dibutuhkan Dini untuk menyelesaikan pekerjaan seorang diri = x,Maka waktu yang dibutuhkan Anto untuk menyelesaikan pekerjaan seorang diri = x – 5 Dan ketika mereka bekerja bersama-sama, maka x + x – 5 = 6 jam

2x = 11 jamx = 5,5 jam

Maka waktu yang diperlukan Anto untuk menyelesaikan sendiri adalah 5,5 – 5 = 0,5 jam5. Diketahui jajargenjang ABCD; A = C = 450. Lingkaran K dengan pusat C melalui B dan D.

AD diperpanjang memotong lingkaran di E dan BE memotong CD di H. Perbandingan luas BCH dan EHD adalah …

JAWAB :Ilustrasi Soal


Kapal Induk

40 km/jam

Perahu Motor 80 km/jam

ba

Dalam waktu 4 jam Kapal Induk telah bergerak sejauh 160 km, sedangkan Perahu Motor telah menempuh jarak 320 jam, Maka a + b = 320 dan c = 160Dengan tripel phytagoras, maka a = 120 km dan c = 200 kmArtinya :Jarak maksimum target yang dapat dituju oleh Kapal Motor tanpa masalah adalah 120 km

c

A B

D

E

BCD = 450, maka BCF = 450 . Sehingga DCE = 900

Karena DE // BC, maka BCH dan EHD sebangun.Sehingga DE : BC = DH : CH

DE = CD (dengan teorema phytagoras pada CDE)Sehingga DH : CH = ( karena BC = CD)Demikian pula dengan perbandingan tinggi kedua segitigatDHE : tBCH = Sehingga perbandingan luasnya adalah :Luas BCH : Luas DHC = CH x tBCH : DH x tDHE

= ½ DH x ½ tDHE : DH x tDHE

= ½ : 1= 1 : 2

C H

F

6. Jika jumlah k bilangan bulat positif berurutan adalah 2010, dengan k > 1, maka k terkecil yang mungkin adalah ....

JAWAB :

Misalkan urutan bilangan itu adalah :

Jumlah semua bilangan = 2010½ k [2a + (k-1)] = 20102ak +k2 – k = 4020k2 + (2a – 1)k – 4020 = 0

Untuk mencari penyelesaian persamaan tersebut, maka harus dicari faktor-faktor dari 4020. dan diperoleh (1 x 4020), (2 x 2010), (3 x 1340), (4 x 1005), (5 x 804), (10 x 402), (15 x 268), (20 x 201), (30 x 134), dan (60 x 67)Pengecekan (1 x 4020) tidak dipakai, karena k > 1

(2 x 2010) maka (2a – 1) = 2008 a = ½ x 2009 (tidak dipakai)(3 x 1340) maka (2a – 1) = 1337 a = 669Maka bilangan dengan k terkecil tersebut adalah 669, 670, 671

Jadi nilai k terkecil yang mungkin adalah 3

7. Diketahui ABCD adalah persegi. Titik E merupakan perpotongan AC dan BD pada persegi ABCD yang membentuk persegi baru EFGH. EF berpotongan dengan CD di I dan EH berpotongan dengan AD di J. Panjang sisi ABCD adalah 4 cm dan panjang sisi EFGH adalah 8 cm. Jika EID = 600, maka luas segiempat EIDJ adalah .....cm2

JAWAB :Ilustrasi soal :

8. Kereta penumpang berpapasan dengan kereta barang. Laju kereta penumpang 40 km/jam sedangkan laju kereta barang adalah 20 km/jam. Seorang penumpang di kereta penumpang mencatat bahwa kereta berpapasan selama 15 detik. Panjang rangkaian kereta barang adalah ...mJAWAB :Ilustrasi Soal :

Titik P adalah tempat penumpang yang mencatat lama kereta berpapasan di dalam Kereta PenumpangDalam 15 detik Kereta Penumpang telah bergerak sejauh = 5/1200 x 40(5/1200 jam) = 500/3 meter

Kereta Barang telah bergerak sejauh = 5/1200 x 20= 250/3 meter

Maka panjang kereta barang = 500/3 + 250/3


Kereta Penumpang (40 km/jam)Kereta Barang

(20 km/jam)P

C

B

D

A

E

FG

H

4 cm

8 cm

EDI = EDJ = 450, karena diagonal persegi membagi dua sudut sama besar. Akibatnya IED = 750.CED = 900, maka akibatnya CEI = 150

Sehingga CEI memiliki sudut-sudut 150, 1200, dan 450

Karena JEI = 900, maka JED = 150

Sehingga JED memiliki sudut-sudut 150, 1200, dan 450

Akibatnya JED CEI, Sehingga luas EIDJ = luas CDE = ¼ luas ABCD

= ¼ x 16 cm2

= 4 cm2

II

600

= 250 meterJadi panjang Kereta Barang = 250 meter

9. Jika operasi tehadap bilangan rasional positif didefinisikan sebagai a b = , maka

3(33) = ...JAWAB :

3 3 = =

3 (3 3) = = = 1

Maka 3 (3 3) = 1

10. Sebuah kubus diberi warna sedemikian sehingga setiap dua sisi berdekatan (yakni dua sisi yang dipisahkan oleh tepat satu rusuk) diberi warna berbeda. Jika diberikan 5 warna berbeda, maka banyak cara yang berbeda untuk mewarnai kubus adalah ...

JAWAB :Karena ada 5 warna yang akan digunakan, maka ada 2 sisi dengan warna yang sama, dua sisi tersebut terletak berseberangan.Banyak cara mewarnai kubus tersebut adalah 5 cara yaitu masing-masing warna berkesempatan menempati dua sisi berseberangan dengan warna sama


pembahasan osn matematika smp 2010

Documents