peluang matematika

SMA - 1

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

PELUANG

A. Kaidah Permutasi dan kombinasi

1. Permutasi : Banyaknya kemungkinan dengan memperhatikan urutan ada

Misalkan n = A,B,C,D Terjadinya 2 kemungkinan kejadian yaitu : AB, AC,AD, BA,BC,BD, CA,CB,CD, DA,DB,DC = 12 kemungkinan AB ≠ BA BD ≠ DB AC ≠ CA CD ≠ DC AD ≠ DA BC ≠ CB n= 4 ; r =2

Rumusnya : nrP = rn P =

)!(!rn

n−

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan rumus ini :

nrP =

)!(!rn

n−

= 42P =

)!24(!4−

= 12

1234x

xxx = 12 kemungkinan (sama dengan di atas)

Contoh soal : Dari 7 orang perwakilan kelas dipilih ketua, sekretaris dan bendahara. Banyak kemungkinan yang terjadi dengan tidak ada jabatan rangkap adalah ? Jawab: Diketahui n = 7 : r = 3 Penjelasan : Jawabannya menggunakan permutasi karena setiap orang bisa menduduki kedudukan yang berbeda: Misal 7 orang itu adalah : A,B,C,D,E,F,G Apabila : A sebagai ketua B sebagai sekretaris C sebagai bendahara Akan berbeda apabila : A sebagai sekretaris B sebagai bendahara C sebagai sekretaris

SMA - 2


Berarti memperhatikan urutan ada

73P =

)!37(!7−

= 1234

1234567xxx

xxxxxx = 7x6x5 = 210 kemungkinan

1.1. Permutasi dengan beberapa unsur sama: Jika ada n objek dengan 1r unsur sama, 2r unsur sama , … nr unsur sama banyaknya susunan yang mungkin ada :

nrrr n

P ,, 21 =

!!...!!

21 nrrrn

Contoh soal : Banyaknya susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf huruf “PENDIDIK” adalah: Jawab : Diketahui jumlah huruf =n = 8 Jumlah huruf yang > 1 D =2 = 1r I= 2 = 2r

82,21

P = !.2!2!8 =

!.2!212345678 xxxxxxx = 10.080 susunan

2. Kombinasi :

Banyaknya kemungkinan dengan tidak memperhatikan urutan ada Misalkan n = A,B,C,D dipilih 2 kejadian : AB, AC,AD, BA,BC,BD, CA,CB,CD, DA,DB,DC AB = BA BD = DB AC = CA CD = DC AD = DA BC = CB Ke 6 kejadian di atas adalah sama sehingga dihitungnya 1 Sehingga kemungkinan yang terjadi adalah 12 – 6 = 6 kemungkinan (tidak memperhatikan urutan ada)

SMA - 3


Rumusnya : nrC = rn C =

)!(!!

rnrn−

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan rumus ini : Diketahui n = 4 dan r = 2

nrC =

)!(!!

rnrn−

= 42C =

)!24(!2!4−

= !2!2

!4 = 12121234

xxxxxx = 6 kemungkinan (sama dgn di atas)

Contoh Soal : Berapa kemungkinan yang terjadi apabila dari 10 orang anak akan diambil sebagai pemain futsal ? jawab: pemain futsal adalah 5 orang sehingga r=5 sedangkan n = 10 penjelasan : jawabnya menggunakan kombinasi karena 1 orang hanya mewakili 1 kemungkinan saja. (beda apabila dipilih jadi ketua kelas atau sekretaris 1 orang tersebut bisa menjadi ketua kelas atau sekretaris permutasi))

nrC =

)!(!!

rnrn−

= 105C =

)!510(!5!10−

= !5!5!10 =

!512345!5678910

xxxxxxxxxx =

1205040 = 42 kemungkinan

B. Peluang suatu kejadian :

Rumus peluang kejadian :

P(A) = )()(

SnAn p(A) = peluang kejadian

n(A) = banyaknya kemungkinan kejadian A n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample

SMA - 4


Contoh soal : Jika sebuah dadu dan sekeping uang dilempar undi satu kali bersama, maka peluang untuk memperoleh gambar pada mata uang dan bilangan ganjil pada dadu adalah :

A. 121 C

41 E

21

B 61 D

31

Jawab :

Yang ditanya adalah peluang sehingga kita gunakan rumus : P(A) = )()(

SnAn

Kemudian kita cari : n(A) = banyaknya kemungkinan kejadian A n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample * banyaknya kejadian sample : DADU 1 2 3 4 5 6

A A,1 A,2 A,3 A,4 A,5 A,6 MATA UANG

G G,1 G,2 G,3 G,4 G,5 G,6 A= Angka ; G = Gambar n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample = 12 * banyaknya kemungkinan kejadian A ( gambar dan bilangan ganjil) Dari table diatas didapat (G,1); (G,3) dan (G,5) = n(A) = 3

Sehingga peluang kejadiannya= P(A) = )()(

SnAn =

123 =

41 C

C. Hukum-hukum Peluang :

1. Kejadian saling komplemen Jika 'A = kejadian bukan A (komplemen A) maka :

SMA - 5


P( 'A ) = 1 – P(A) 2. Dua kejadian :

a. P (A ∩ B ) = P(A) x P(B)

Kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B atau sebaliknya (kejadian bebas)

b. P (A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B ) Jika A dan B saling lepas jika A ∩ B =φ

Contoh soal : Peluang siswa sekolah A dan sekolah B lulus UNAS berturut-turut adalah 0.99 dan 0.98. Peluang siswa sekolah A lulus dan siswa sekolah B tidak lulus UNAS adalah…. Jawab: Ini merupakan dua kejadian : kejadian 1 siswa sekolah A lulus = P(A lulus) kejadian 2 siswa seolah B tidak lulus =P(B tidak lulus) Yang ditanya adalah peluang siswa sekolah A lulus dan siswa sekolah B tidak lulus P(A lulus dan B tidak lulus) = P(A lulus ∩ B tidak lulus) = P(A lulus) x P(B tidak lulus) Diketahui : P(A lulus) = 0.99 P (B lulus) = 0.98

Dari rumus C(1) P( 'A ) = 1 – P(A) P(B tidak lulus) = 1 – P(B lulus) = 1 – 0.98 = 0.02 Sehingga : P(A lulus ∩ B tidak lulus) = P(A lulus) x P(B tidak lulus) = 0.99 x 0.02 = 0.0198 3. Frekuensi Harapan Frekuensi harapan dari kejadian A adalah fH(A) = P(A) x N

SMA - 6


fH(A) = frekuensi harapan kejadian A P(A) = peluang kejadian A N = banyaknya pecobaan Contoh Soal : Suatu percobaan lempar undi tiga mata uang logam sebanyak 104 kali. Frekuensi harapan munculnya minimal sisi dua angka adalah…. Jawab: fH(A) = P(A) x N yang diketahui adalah N = 104

P(A) = )()(

SnAn

n(A) = kemungkinan kejadian minimal dua angka ; n(S) = kejadian sample Mata uang 1(MU1) Mata uang 2 (MU2) Mata uang 3 (MU3) A,G A,G A,G A= angka : G=Gambar MU1 MU2 MU3 minimal dua angka n(S) = A A A * A A G * A G A * A G G G A A * G A G

G G A G G G Terlihat bahwa n(S) = 8 Kejadian minimal muncul dua angka (*) =n(A)= 4 kejadian

P(A) = )()(

SnAn =

84 =

21

Frekuensi harapannya adalah

fH(A) = P(A) x N = 21 x 104 = 52

peluang matematika

Documents