KAPITA SELEKTA MATEMATIKA PENDIDIKAN MENENGAH

INTEGRAL

diajukan untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Kapita Selekta Matematika Pendidikan Menengah

dosen pengampu: Prof. Dr. H. Darhim, M.Si.

disusun oleh:

NIM 1505155 Anggi Juliana

NIM 1503894 Dhanu Ibrahim

NIM 1405649 Nadya Nalijati

DEPARTEMEN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

2016

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Permasalahan yang kita hadapi bisa diselesaikan dengan penerapan

konsep-konsep matematika. Permasalahan tersebut, salah satunya muncul dari

keingintahuan kita mengenai suatu fenomena. Layaknya seperti konsep integral,

publikasi ilmiah konsep ini dapat diterapkan dalam menghitung jarak yang

ditempuh suatu benda (dari posisi diam) t detik dari kecepatan benda, misalkan v

= 6t2 m/det. Sebelum mengetahui kaitan hal tersebut, beberapa ilmuwan

melakukan pengamatan dan studi lebih dalam mengenai suatu fenomena sehingga

dihasilkan metode penyelesaian dengan integral.

Para ilmuwan menemukan dan mengembangkan konsep integral sejak

waktu yang sangat lampau. Integral ditemukan pertama kali pada abad kedua

sebelum masehi, atas gagasan Archimedes, berdasarkan idenya mengenai

penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup atau volume benda

putar. Lalu apa saja sumbangan konsep integral terhadap metode menentukan

solusi permasalahan perhitungan matematika? Bagaimana kaitannya dengan

konsep-konsep matematika lainnya? Bagaimana ketentuan dan lingkup bahasan

materi integral untuk pemahaman anak SMA atau sederajat?

Kemampuan memahami, menggambarkan, menghitung integral dari

berbagai fungsi aljabar diharapkan dapat menjadi bekal ilmu untuk menempuh

jenjang pendidikan lanjut. Selain itu kopetensi di sekolah juga mengarahkan anak

agar mengetahui dan memahami dasar-dasar penyelesaian permasalahan.

Sehingga anak mampu bekarir dan memiliki budaya dalam kehidupannya di masa

datang.

B. Standar Kompetensi

Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah.

C. Kompetensi Dasar

1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu

1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar sederhana

1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva.

D. Indikator Pencapaian

1.1.1 Merancang aturan integral tak tentu dari aturan turunan.

1.1.2 Menjelaskan integral tentu sebagai luas daerah di bidang datar.

Menghitung integral tak tentu dari fungsi aljabar.

1.1.3 Menghitung integral tentu dari fungsi aljabar

Menghitung integral tentu dari fungsi aljabar

Merumuskan integral tentu untuk luas suatu daerah, volume benda

putar dan menghitungnya.

E. Materi

1. Menentukan Integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri.

2. Menjelaskan Integral tertentu sebagai luas daerah di bidang datar.

3. Menentukan Integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat (aturan)

integral

4. Menentukan Integral dengan cara substitusi aljabar.

5. Menentukan Integral dengan cara substitusi trigonometri.

6. Menentukan Integral dengan rumus integral parsial.

7. Menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva.

8. Menggunakan Integral tertentu untuk menghitung luas suatu daerah yang

dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat.

9. Menggunakan integral tertentu untuk menghitung volume benda putar dari

daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat.

F. Peta Konsep

Integral

Pengertian Integral

Integral Tak Tentu

Integral Tak Tentu Fungsi

Aljabar

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Integral Tentu

Sifat -Sifat (Aturan) Integral

Teknik Integral

Integral dengan Cara Substitusi

Integral dengan Cara Integral

Parsia

Aplikasi Integral

Luas Daerah

Volume Beda Putar

BAB II

URAIAN MATERI

A. Pengertian Integral

Misalkan f adalah fungsi turunan dari fungsi F yang kontinu pada suatu

domain. Untuk setiap xx terletak pada domain tersebut, berlaku F′(x) =

d F (x)dx

=f (x ), artinya turunan fungsi F(x) adalah f(x).

Perhatikan bentuk fungsi F(x) dan turunannya yaitu f(x) berikut :

Dari kenyataan tersebut, timbul pertanyaan bagaimanakah menentukan fungsi

F sedemikian rupa sehingga untuk setiap x anggota domain F, berlaku F′(x) = f(x).

Suatu operasi yang digunakan untuk menentukan fungsi F merupakan invers dari

operasi derivatif (diferensial). Invers dari operasi derivatif disebut integral. Integral

disebut juga antiderivatif (antidiferensial) atau antiturunan. Pada contoh di atas,

jika F(x) adalah integral dari f(x) = 2x, maka F(x)= x2 + c, dengan c suatu

konstanta real.

Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F′(x) = f(x), maka F(x) merupakan

antiturunan atau integral dari f(x).

Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut.

∫ f(x) dx =F(x) + c

Keterangan :

∫ = notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan

Jerman)

f(x) = fungsi integran (fungsi yang dicari antiturunannya/integralnya)

F(x) = fungsi integral umum yang bersifat F′(x) = f(x)

c = konstanta.

Contoh :

Coba turunkan fungsi – fungsi berikut.

a. F(x) = 2x2

b. F(x) = 2x2+2

c. F(x) = 2x2−1

Penyelesaian :

a. F(x) = 2x2 ,F’(x) = 4x

b. F(x) = 2x2+2 , F’(x) = 4x

c. F(x) = 2x2−1 ,F’(x) = 4x

Jawab :

Jika F(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan, yaitu F’(x) maka antiturunan dari F’(x) adalah F(x) + c dengan c adalah sembarang konstanta.

B. Integral Tak Tentu

Dari pengamatan pada tabel tersebut, kita melihat sebuah aturan integrasi atau pola

anti turunan dari turunannya yaitu :

Dengan menggunakan Rumus Dasar Integral Tak Tentu

Jawab :

1. Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Teorema 1

Teorema 2

Teorema 3

Teorema 4

∫ xn dx= 1n+1

xn+1+C ,n∈R ,n≠ 1

∫ axndx= an+1

xn+1+C , n∈R , n≠ 1

∫ kf (x)dx=k∫ f (x )dx

∫ f (x )± g(x)dx=∫ f (x )dx ±∫ g (x)dx

2. Integral Tak tentu Fungsi Trigonometri

C. Integral Tertentu

D. Integral Tentu

Definisi :

1. Teorema Dasar Kalkulus

Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada interval a ≤ x ≤ b atau [ a , b ] . dan

misalkan F adalah sebarang anti turunan dari f pada interval tersebut, maka

berlaku :

∫a

b

f ( x )dx= [F (x ) ] ¿ab F (b )−F ¿)

E. Sifat-Sifat Integral Tertentu

Contoh :

)()( )()(.1

bFaFxFdxxf ba

b

a

∫

∫∫ a

b

b

a

dxxfdxxf )()(.2

0)(.3a

∫a

dxxf

)(.4

abckdxb

a

∫

riilbilanganadalahk

dxxfkdxxkfb

a

b

a∫∫ )()(.5

∫ ∫∫ b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([.6

∫ ∫∫ b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([.7

∫ ∫∫ b

a

c

b

c

a

dxxfdxxfdxxf )()()(.8

1 .∫1

5

3( x2−1)dx=. .. .

2 .. Jika diketahui ∫0

7

( x+5)dx=a ,

maka nyatakan bentuk ∫1000

1007

(2 x−2005 )dx dalam a

F. Teknik Pengintegralana. Integral Subtitusi

Digunakan jika pengintegralan tidak dapat diselesaikan dengan integrasi langsung, maka kita substitusikan variabel baru sehingga pengintegralan dapat diselesaikan. Contoh :

b. Integral dengan substitusi Trigonometri

Teknik substitusi dapat dilakukan jika integrannya merupakan

perkalian antara dua fungsi, fungsi yang merupakan turunan dari fungsi

lainnya. Misal : f(x) . f '(x) atau f '(x) . cos f(x).

Contoh fungsi dalam integran yang dapat diselesaikan dengan teknik

substitusi.

1. Tentukanlah ∫2 x sin ¿¿¿+1) dx

Perhatikan bahwa: dalam ∫2 x sin ¿¿¿+1) dx ;

2x merupakan turunan dari ¿+1)

Untuk memperoleh penyelesaian kita dapat memisalkan: U = x2+1,

selanjutnya: dU = 2x dx

∫2 x sin ¿¿¿+1) dx = ∫sin U dU = -cos U + C = -cos ¿) + C

Contoh soal

2. Tentukanlah ∫cos x sin2 xdx

Carilah: ∫9 (x2+3 x+5 )8(2 x+3) dx

Jawab : Misalkan u = x2+3x+5

⇔dudx

=2x+3

⇔ du =(2x+3 ) dx Maka ∫9 ( x2+3 x+5 )8(2 x+3) dx menjadi

∫9u8 du= 9u9

9+c = u9+ c

=( x2+ 3x + 5 )9+c

Karena cos x adalah turunan dari sin x, maka untuk mnenyelesaikan

∫cos x sin2 x dx, kita dapat memisalkan U = sin x, selanjutnya dU = cos x

dx, dan ∫cos x sin2 x dx = ∫U 2dU =13 U 3 + C =

13

sin3x + C

Dari hasil diatas, maka penentuan hasil soal berikut ini (no 3) menjadi

lebih mudah

3. Tentukanlah ∫cos5 x dx = ∫cos xcos4 xdx=∫ cos x(cos2 x)2 dx

= ∫cos x(1−sin¿¿2 x)2 ¿ dx =

∫cos x (1−2sin2 x+sin4 x ) dx

= ∫¿¿

= sin x – 23 sin3 x+ 1

5 sin5 x+C

4. ∫ tan xd x=∫ sin xcos x

d x , u = cos x ; du = -sin x dx

= ∫−u−1❑d u

= ∫−1u

d u= - ln |cos x|

c. Integral dengan Rumus Integral Parsial

Di dalam pengintegralan, ada kemungkinan metode-metode

pengintegralan yang dibahas di awal tidak berhasil. Jika demikian, kita dapat

menerapkan metode yang disebut integral parsial. Metode ini didasarkan

kepada pengintegralan turunan hasil kali dua fungsi.

Perhatikan bahwa:

Jika y = U(x) . V(x) maka dydx = U '(x) . V(x) + V ' (x ) .U ( x ) , atau

dy = V(x) . U '(x) dx + U ( x ) . V ' ( x ) dx ...............................(i)

Jika y kita ganti dengan UV maka (i) dapat ditulis menjadi:

d(UV) = V(x) . U '(x) dx + U ( x ) . V ' ( x ) dx .........................(ii)

Karena U '(x) dx = dU dan V ' (x ) dx = dV maka (ii) dapat ditulis menjadi:

d(UV) = V . dU + U . Dv ......................................................(iii)

Persamaan (iii) dapat ditulis menjadi: U. dV = d(UV) – V . dU .......(iv)

Dengan mengintegralkan ruas kiri dan ruas kanan persamaan (iv), kita akan

memperoleh rumus integral parsial seperti berikut.

∫U . dV =∫ d (UV ) –∫V . dU=UV −∫V . dU

Contoh 1: Integral Parsial

Tentukanlah

Pembahasan Untuk menerapkan integral parsial, kita perlu untuk menuliskan

integral tersebut ke dalam

Terdapat beberapa cara untuk melakukan hal tersebut, yaitu

Panduan dalam pemilihan u dan dv sebelumnya menyarankan kita

untuk memilih pilihan pertama karena turunan dari u = x lebih sederhana

dari x, dan dv = ex merupakan bagian yang paling rumit dari integran yang

sesuai dengan aturan dasar integral.

Sekarang, dengan integral parsial akan dihasilkan

G. Menggambar Suatu Daerah

Grafik atau kurva yang biasa dihitung luasnya grafik fungsi linear (berupa

garis) dan grafik fungsi kuadrat (berupa parabola). Terkadang juga melibatkan grafik

dengan fungsi selain linear dan kuadrat dimana untuk menggambar kurvanya bisa

menggunakan turunan.

Menggambar Grafik Fungsi Linear

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi linear:

1. Menentukan titik potong grafik di sumbu x dan y.

2. Menghubungkan kedua titik potong dengan sebuah garis.

3. Garis ini merupakan grafik fungsi linear yang diberikan.

Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat:

1. Menentukan titik potong (tipot) pada sumbu x (jika ada) dengan cara

mensubstitusi y = 0. Sehingga diperoleh akar-akar dari ax2 + bx + c = 0

yaitu x1 dan x2. Artinya tipotnya (x1, 0) dan (x2, 0).

2. Menentukan titik potong (tipot) pada sumbu y dengan cara

mensubstitusikan x = 0 . Sehingga diperoleh y = c. Artinya tipotnya (0 ,

c).

3. Menentukan titik puncak (x p, y p).

Rumus: x p = −b2 a dan y p =

D−4 a atau y p = f(x p¿ = f(

−b2 a

¿

Sehingga titik puncak : (x p, y p) = ( −b2 a ,

D−4 a ) atau

(x p, y p) = ( −b2 a , f(

−b2 a

¿)

4. Menentukan sembarang titik bantuan lainnya agar menggambar lebih

mudah, dengan cara memilih beberapa nilai x dan disubstitusikan ke

fungki kuadrat.

Menggambar Grafik Fungsi Menggunakan Turunan

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi menggunakan turunan:

1. Menggunakan titik potong (tipot) dengan sumbu-sumbu koordinat

(sumbu X dan sumbu Y).

Titik potong sumbu X, substitusi y =0.

Titik potong sumbu Y, substitusi x =0.

2. Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik minimum, titik

balik maksimum, dan titik belok).

Teorema Kemonotonan

Misal f kontinu pada interval I dan terdiferensial pada setiap titik dalam dari I.

(i) Jika f '(x) > 0 untuk semua titik-dalam I, maka f naik pada I.

(ii) Jika f '(x) < 0 untuk semua titik-dalam I, maka f turun pada I.

Teorema Kecekungan

Misal f terdiferensialkan dua kali pada interval terbuka I.

(i) Jika f ' '(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I.

(ii) Jika f ' '(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke bawah pada I.

3. Menentukan titik bantuan lain agar grafiknya lebih mudah sketsa, atau

bisa juga secara umum menentukan nilai y untuk x besar positif dan

untuk x besar negatif.

Contoh grafik fungsi linear

Contoh grafik fungsi kuadrat

Contoh grafik fungsi digambarkan dengan cara turunan

Beberapa grafik fungsi diatas, jika kita ingin menunjukan suatu daerah

yang dibentuk dengan batas kurva terhadap sumbu x atau sumbu y, daerah

yang dimaksud adalah sebagai berikut.

H. Luas Daerah dengan Integral Tertentu

Andaikan kurva y = f(x) dan kurva y = g(x) kontinu pada interval a ≤ x ≤ b, dan kurva

y = f(x) terletak di atas atau pada kurva y = g(x), maka luas daerah yang dibatasi kurva

y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a, Dan x = b adalah sebagai berikut:

L = ∫a

b

f ( x )−g (x ) dx

I. Volume Benda Putar

Secara umum menggunakan dua metode dalam perhitungannya yaitu metode cakram dan metode kulit tabung. Untuk metode cakram memiliki ciri arah putaran sesuai dengan batasan integralnya, misalkan jika daerah diputar terhadap sumbu X maka batasannya juga ada pada sumbu X. Sedangkan metode kulit tabung dalam volume benda putar memiliki ciri arah putaran berbeda dengan batasan integralnya, misalkan daerah diputar terhadap sumbu Y tetapi batasnya ada di sumbu X. Seperti luas suatu daerah, volume benda putar juga ada yang dibatasi satu kurva saja dan ada dibatasi dua kurva.

X

y1 =f(x)

x = a x = b

Luasnya ?y2 =g(x)

Pengertian Benda Putar = Apabila suatu bidang datar yang diputar 360° terhadap suatu garis, akan terbentuk bidang putar (3 dimensi)

1. Metode Cakram

Dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram.

a. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu X Volume benda putar yang terjadi dari daerah yang dibatasi oleh y=f(x), sumbu X, garis x=a, dan garis x=b diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360∘, volumenya adalah

b. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu YJika daerah yang dibatasi oleh x=f(y), sumbu Y, garis y=a, dan garis y=b diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360∘, volume benda putarnya adalah

c. Volume Benda Putar dibatasi Dua Kurva

v=π∫a

b

y2 dx =π∫a

b

[ f ( x ) ]2 dx

v=π∫a

b

y2 dy =π∫a

b

[ f ( x ) ]2 dy

1) Diputar terhadap sumbu XDimisalkan T adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva-kurva y1=f(x) dan y2=g(x) dengan |f(x)|≥|g(x)| pada interval a≤x≤b. Daerah yang terbentuk diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360∘ sehingga terbentuk suatu benda putar yang tengahnya kosong. Perhatikan gambar di bawah. Volume benda yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva y1=f(x),y2=g(x), garis x=a dan x=b adalah

2) Diputar terhadap sumbu YDimisalkan U adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva-kurva x1=f(y) dan x2=g(y) dengan |f(y)|≥|g(y)| pada interval a≤x≤b. Daerah yang terbentuk diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360∘ sehingga terbentuk suatu benda putar yang tengahnya kosong. Perhatikan gambar di bawah. Volume benda yang terbentuk adalah

2. Metode Kulit Tabung

a. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu XVolume benda putar yang dibatasi oleh kurva y=f(x),

x=a, x=b, dan sumbu X diputar terhadap sumbu Y sejauh 360o

adalah

v=π∫a

b

( y1)2−( y2)

2 dx

=π∫a

b

[ f ( x ) ]2−[ g ( x ) ]2dx

v=π∫a

b

( x1 )2−( x2 )

2 dy

=π∫a

b

[ f ( y )]2−[ g( y )]2 dy

v=2 π∫a

b

xy dx =2 π∫a

b

x . f ( x )dx

b. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu YVolume benda putar yang dibatasi oleh kurva

x=f(y),y=a,y=b, dan sumbu Y diputar terhadap sumbu X sejauh 360o adalah

c. Volume Benda Putar dibatasi dua kurva Metode Kulit Tabung 1) Mengelilingi sumbu Y dan batas di sumbu X

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y=f(x), y=g(x), x=a, x=b, dan sumbu X diputar terhadap sumbu Y sejauh 360∘ dengan |f(x)|≥|g(x)| adalah

2) Mengelilingi sumbu X dan batas di sumbu Y Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva x=f(y),

v=2 π∫a

b

xy dy =2 π∫a

b

f ( y ) . y dy

v=2 π∫a

b

xy dx =2 π∫a

b

x .[ f ( x )−g (x )]dx

x=g(y), y=a, y=b, dan sumbu Y diputar terhadap sumbu X sejauh 360∘ dengan |f(y)|≥|g(y)| adalah

BAB III

POWER POINT

v=2 π∫a

b

xy dy =2 π∫a

b

[ f ( y )−g( y ) ] . ydy

BAB IV

RANGKUMAN

Integral Tak Tentu

Integral tak tentu mempunyai rumus umum:

Keterangan:

c : konstanta

Pengintegralan standar

Jika   maka:

Jika   maka:

Jika   maka:

Pengintegralan khusus

Sifat-sifat

Integral Tentu

Integral tentu digunakan untuk mengintegralkan suatu fungsi f(x) tertentu yang memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tentu mempunyai rumus umum:

Keterangan:

konstanta c tidak lagi dituliskan dalam integral tentu.

Integral trigonometri

Ingat-ingat juga beberapa sifat-sifat trigonometri, karena mungkin akan digunakan:

Substitusi trigonometri

Integral yang mengandung a2 − x2

Pada integral

kita dapat menggunakan

Catatan: semua langkah diatas haruslah memenuhi syarat a > 0 dan cos(θ) > 0;

Integral yang mengandung a2 + x2

Pada integral

kita dapat menuliskan

maka integralnya menjadi

(syarat: a ≠ 0).

Integral yang mengandung x2 − a2

Pada integral

dapat diselesaikan dengan substitusi:

Teknik pemecahan sebagian pada pengintegralan

Polinomial tingkat pertama pada penyebut

Misalkan u = ax + b, maka du = a dx akan menjadikan integral

menjadi

Contoh lain:

Dengan pemisalan yang sama di atas, misalnya dengan integral

akan berubah menjadi

Integral Parsial

Jika dimisalkan u = f(x), v = g(x), dan diferensialnya du = f ‘(x) dx dan dv = g‘(x) dx, maka integral parsial menyatakan bahwa:

atau dapat ditulis juga:

Tentang iklan-iklan ini

DAFTAR PUSTAKA

Simangunsong, W. 2010. PKS Matematika SMA/MA Kelas XII IPA. Jakarta: Gematama

Kristanto D, Yosep.”Integral Parsial, Soal, dan Pembahasannya”. 20 Desember 2016. https://yos3prens.wordpress.com/2014/08/31/integral-parsial/

Darmayasa, Putu. “Sketsa dan Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat”. 20 Desember 2016. http://www.konsep-matematika.com/2015/07/sketsa-dan-menggambar-grafik-fungsi-kuadrat.html