Metode 3 : Persamaan Homogen, Menggunakan Subtitusi y = vxSatu contoh dari persamaan berikut yang tidak dapat diselesaikan dengan dua metode

sebelumnya yaitu : dxdy

= 2x

3yx + atau

dxdy

= 2x3y

21 + (*)

Sehingga tidak dapat dinyatakan sisi kanan dalam bentuk ‘faktor x’ dan sisi kiri sebagai ‘faktor y’,

dan persamaan ini, tidak dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel. Untuk kasus seperti

ini, digunakan subtitusi y = vx, dengan v adalah fungsi dari x. Diferensiasi y terhadap x dihasilkan :

dxdy

= v. dxdx

+ x dxdv

= v + x dxdv

selanjutnya dengan mensubtitusi hasil ini ke persamaan (*) maka persamaan itu menjadi,

v + x dxdv

= 2x3vx

21 +

atau,

v + x dxdv

= 23v

21 +

dan menjadi,

x dxdv

= v23v1 −+

= 2

2v-3v1 +=

2v1 +

∴ x dxdv

= 2

v1 +

Dari persamaan ini dapat dilakukan metode pemisahan variabel dan mengintegrasikan kedua ruas

maka akan dihasilkan,

dvv1

2∫ +

= ∫ dxx1

∴2 ln ( 1 + v) = ln x + C = ln x + ln A

∴(1 + v)2 = Ax

∴(1 + xy

)2 = Ax atau (x + y)2= Ax3

ini merupakan salah satu contoh bentuk persamaan differensial homogen. Dapat

ditunjukkan bahwa semua suku x dan suku y mempunyai derajat yang sama (derajat 1). Kunci

untuk menyelesaikan persamaan homogen adalah dengan subtitusi y = vx, dengan v adalah fungsi

dari x, yang akan mengantar kebentuk persamaan yang dapat diselesaikan dengan metode

pemisahan variabel.

Berikut beberapa Contoh :

Contoh 16

Selesaikanlah dxdy

= xy

yx 22 +

Penyelesaian

Diketahui dxdy

= yx

+xy

Bentuk ini merupakan persamaan differensial homogen, berderajat satu, dengan mensubtitusi y = vx

dan diferensiasi y terhadap x dihasilkan :

dxdy

= v. dxdx

+ x dxdv

= v + x dxdv

dan persamaannya menjadi,

v + x dxdv

= vxx

+ x

vx =

v1

+ v

menjadi,

x dxdv

= v1

+ v – v = v1

sehingga dengan metode pemisahan variabel dan mengintegrasikan kedua sisinya dihasilkan

penyelesaian,

∫ dvv = ∫ dxx1

∴2

v 2

= ln x + C atau 2

xy

21 = ln x + C

∴y2 = 2x2 ( ln x + C)

Contoh 17

Selesaikanlah dxdy

= 2xyx3y2xy

2

2

++

Penyelesaian

Diketahui dxdy

= 2y)x(x3y)y(2x

++

Bentuk ini merupakan persamaan differensial homogen, berderajat satu, dengan mensubtitusi y = vx

dan mendiferensiasi y terhadap x dihasilkan :

dxdy

= v. dxdx

+ x dxdv

= v + x dxdv

dan persamaannya menjadi,

v + x dxdv

= 2vx)x(x3vx)vx(2x

++

= 2v13v2v 2

++

menjadi,

x dxdv

= 2v13v2v 2

++ – v =

2v12vv3v2v 22

+−−+

x dxdv

= 2v1vv 2

++

dengan mengintegrasikan kedua sisinya dihasilkan penyelesaian,

∫ ++ dv

vv2v1

2 = ∫ dxx1

∴ ln (v + v2) = ln x + ln A

∴ v + v2 = Ax atau xy + y2 = Ax3

Contoh 18

Selesaikanlah dxdy)yx( 22 + = xy

Penyelesaian

Diketahui dxdy

= 22 yxxy+

Misalkan y = vx dan dxdy

= v + x dxdv

dan, v + x dxdv

= 222

2

xvxvx+

= 2v1v

+

x dxdv

= 2v1v

+ – v = 2

3

v1vvv

+−−

x dxdv

= 2

3

v1v-

+

∴ ∫+ dvv

v13

2

= ∫− dxx1

atau ∫

+− dv

v1v 3 = xln− + C

∴ vln2v- -2

+ = xln− + ln A atau ln v + ln x + ln K = 22v1

, (ln K = - ln A)

∴ln Ky = 2

2

2yx

atau 2y2ln Ky = x2

I. Latihan

Selesaikanlah :

1. (x – y) dxdy

= x + y 2. 2x2

dxdy

= x2 + y2

3. (x2 + xy) dxdy

= xy – y2 4. y′ = (y+x)/x

5. y′ = 3

44

xyx2y +

6. y′ = (y2 + x2)/xy

7. y′ = 2xy/(x2 – y2) 8. y′ = 22

2

(x/y)2(x/y)22

(x/y)

e2xeyy2xye

++

9. y′ = (x2 + 2y2)/xy 10. y′ = xyxy

+Jawaban :

1.

−

xytan 1

= ln A + ln x +

+ 2

2

21

xy1ln

dengan ln A = C

2. Cxlnyx

2x +=− 3. xy = Aex/y dengan ln A = C

4. y = x kxln 5. x4 = k[(y/x)4 + 1] atau x8 = k(x4 + y4)6. y2 = x2 ln x2 + kx2 7. y2 + x2 = ky8. y = k[1+ 2(x/y)e ] 9. y2 = kx4 – x2 10. x/y2 + yln = C

Tugas II (Dikumpulkan Sebelum UTS)

II. Selesaikanlah :

1. (2x + 3y) dx + ( y – x) dy = 0

2. y′ = yxyy3xx

3

4224 ++

3. (x3 + y3) dx – xy2dy = 04. x dy – y dx – 22 yx − dx = 05. [2x sinh (y/x) + 3y cosh (y/x)]dx – 3x cosh (y/x) dy = 06. (1+2ex/y)dx + 2ex/y(1 – x/y) dy = 0

7.dxdy

= (y – 4x)2

(petunjuk gunakan : y – 4x = v)8. tan2(x+y)dx – dy = 0

(petunjuk gunakan : x + y = v)9. (2 +2x2y1/2)y dx + (x2y1/2+2) x dy = 0

(petunjuk gunakan : y – 4x = v)10. (2x3+3y2–7)xdx – (3x2 +2y2–8)y dy = 0

(petunjuk gunakan : x2 = u; y2= v)