pd2
TRANSCRIPT
Metode 3 : Persamaan Homogen, Menggunakan Subtitusi y = vxSatu contoh dari persamaan berikut yang tidak dapat diselesaikan dengan dua metode
sebelumnya yaitu : dxdy
= 2x
3yx + atau
dxdy
= 2x3y
21 + (*)
Sehingga tidak dapat dinyatakan sisi kanan dalam bentuk ‘faktor x’ dan sisi kiri sebagai ‘faktor y’,
dan persamaan ini, tidak dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel. Untuk kasus seperti
ini, digunakan subtitusi y = vx, dengan v adalah fungsi dari x. Diferensiasi y terhadap x dihasilkan :
dxdy
= v. dxdx
+ x dxdv
= v + x dxdv
selanjutnya dengan mensubtitusi hasil ini ke persamaan (*) maka persamaan itu menjadi,
v + x dxdv
= 2x3vx
21 +
atau,
v + x dxdv
= 23v
21 +
dan menjadi,
x dxdv
= v23v1 −+
= 2
2v-3v1 +=
2v1 +
∴ x dxdv
= 2
v1 +
Dari persamaan ini dapat dilakukan metode pemisahan variabel dan mengintegrasikan kedua ruas
maka akan dihasilkan,
dvv1
2∫ +
= ∫ dxx1
∴2 ln ( 1 + v) = ln x + C = ln x + ln A
∴(1 + v)2 = Ax
∴(1 + xy
)2 = Ax atau (x + y)2= Ax3
ini merupakan salah satu contoh bentuk persamaan differensial homogen. Dapat
ditunjukkan bahwa semua suku x dan suku y mempunyai derajat yang sama (derajat 1). Kunci
untuk menyelesaikan persamaan homogen adalah dengan subtitusi y = vx, dengan v adalah fungsi
dari x, yang akan mengantar kebentuk persamaan yang dapat diselesaikan dengan metode
pemisahan variabel.
Berikut beberapa Contoh :
Contoh 16
Selesaikanlah dxdy
= xy
yx 22 +
Penyelesaian
Diketahui dxdy
= yx
+xy
Bentuk ini merupakan persamaan differensial homogen, berderajat satu, dengan mensubtitusi y = vx
dan diferensiasi y terhadap x dihasilkan :
dxdy
= v. dxdx
+ x dxdv
= v + x dxdv
dan persamaannya menjadi,
v + x dxdv
= vxx
+ x
vx =
v1
+ v
menjadi,
x dxdv
= v1
+ v – v = v1
sehingga dengan metode pemisahan variabel dan mengintegrasikan kedua sisinya dihasilkan
penyelesaian,
∫ dvv = ∫ dxx1
∴2
v 2
= ln x + C atau 2
xy
21 = ln x + C
∴y2 = 2x2 ( ln x + C)
Contoh 17
Selesaikanlah dxdy
= 2xyx3y2xy
2
2
++
Penyelesaian
Diketahui dxdy
= 2y)x(x3y)y(2x
++
Bentuk ini merupakan persamaan differensial homogen, berderajat satu, dengan mensubtitusi y = vx
dan mendiferensiasi y terhadap x dihasilkan :
dxdy
= v. dxdx
+ x dxdv
= v + x dxdv
dan persamaannya menjadi,
v + x dxdv
= 2vx)x(x3vx)vx(2x
++
= 2v13v2v 2
++
menjadi,
x dxdv
= 2v13v2v 2
++ – v =
2v12vv3v2v 22
+−−+
x dxdv
= 2v1vv 2
++
dengan mengintegrasikan kedua sisinya dihasilkan penyelesaian,
∫ ++ dv
vv2v1
2 = ∫ dxx1
∴ ln (v + v2) = ln x + ln A
∴ v + v2 = Ax atau xy + y2 = Ax3
Contoh 18
Selesaikanlah dxdy)yx( 22 + = xy
Penyelesaian
Diketahui dxdy
= 22 yxxy+
Misalkan y = vx dan dxdy
= v + x dxdv
dan, v + x dxdv
= 222
2
xvxvx+
= 2v1v
+
x dxdv
= 2v1v
+ – v = 2
3
v1vvv
+−−
x dxdv
= 2
3
v1v-
+
∴ ∫+ dvv
v13
2
= ∫− dxx1
atau ∫
+− dv
v1v 3 = xln− + C
∴ vln2v- -2
+ = xln− + ln A atau ln v + ln x + ln K = 22v1
, (ln K = - ln A)
∴ln Ky = 2
2
2yx
atau 2y2ln Ky = x2
I. Latihan
Selesaikanlah :
1. (x – y) dxdy
= x + y 2. 2x2
dxdy
= x2 + y2
3. (x2 + xy) dxdy
= xy – y2 4. y′ = (y+x)/x
5. y′ = 3
44
xyx2y +
6. y′ = (y2 + x2)/xy
7. y′ = 2xy/(x2 – y2) 8. y′ = 22
2
(x/y)2(x/y)22
(x/y)
e2xeyy2xye
++
9. y′ = (x2 + 2y2)/xy 10. y′ = xyxy
+Jawaban :
1.
−
xytan 1
= ln A + ln x +
+ 2
2
21
xy1ln
dengan ln A = C
2. Cxlnyx
2x +=− 3. xy = Aex/y dengan ln A = C
4. y = x kxln 5. x4 = k[(y/x)4 + 1] atau x8 = k(x4 + y4)6. y2 = x2 ln x2 + kx2 7. y2 + x2 = ky8. y = k[1+ 2(x/y)e ] 9. y2 = kx4 – x2 10. x/y2 + yln = C
Tugas II (Dikumpulkan Sebelum UTS)
II. Selesaikanlah :
1. (2x + 3y) dx + ( y – x) dy = 0
2. y′ = yxyy3xx
3
4224 ++
3. (x3 + y3) dx – xy2dy = 04. x dy – y dx – 22 yx − dx = 05. [2x sinh (y/x) + 3y cosh (y/x)]dx – 3x cosh (y/x) dy = 06. (1+2ex/y)dx + 2ex/y(1 – x/y) dy = 0
7.dxdy
= (y – 4x)2
(petunjuk gunakan : y – 4x = v)8. tan2(x+y)dx – dy = 0
(petunjuk gunakan : x + y = v)9. (2 +2x2y1/2)y dx + (x2y1/2+2) x dy = 0
(petunjuk gunakan : y – 4x = v)10. (2x3+3y2–7)xdx – (3x2 +2y2–8)y dy = 0
(petunjuk gunakan : x2 = u; y2= v)