METODE STATISTIKA I

ANALISIS PASCA ANOVA (UJI LANJUT/POST HOC TEST)

(Makalah ini merupakan salah tugas dalam mata kuliah Metode Statistika ISemester IV Tahun

Pelajaran 2012-2013)

Oleh:

Adriana Dwi Ismita 06111008032

Anggun Primadona 06111008005

Dewi Rawani 06111008019

Dwi Kurnia Liztari 06111008034

Nadiah 06111008011

Siti Marfuah 06111008039

Varizka Amelia 06111008033

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

INDRALAYA

2013

1

DAFTAR ISI

Halaman Judul…………………………………………………………………………………….1

Daftar Isi…………………………………………………………………………..........................2

Analisis Pasca Anova (Uji Lanjut/Post Hoc Test)

A. Uji Scheffe…………………………………………………………………………………...3

B. Uji Tukey…………………………..…………………………………………………………7

DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………...........................12

2

Analisis Pasca Anava

Uji Lanjut (Post Hoc Test)

Penolakan terhadap hipotesis nol dalam perbandingan sejumlah rata-rata berarti kita

menyimpulkan bahwa paling sedikit ada dua buah rata-rata populasi yang berbeda satu

sama lain. Setelah ANAVA menolak hipotesis nol bahwa seluruh kelompok berasal dari

populasi yang sama,persoalan berikutnya adalah kelompok mana yang berasal dari

populasi yang berbeda. Jika peneliti membandingkan tiga buah rata-rata kelompok, maka

terdapat empat kemungkinan atas penolakan hipotesis nol, yaitu yang berbeda hanya

Kelompok 1 dan 2 (μ1 ≠ μ2); kelompok 1 dan 3 (μ1 ≠ μ3); kelompok 2 dan 3 (μ2 ≠ μ3); atau

ketiga-tiganya(μ1 ≠ μ2 ≠ μ3). Selain itu, peneliti dapat pula membandingkan rata-rata dari

dua kelompok melawan rata-rata kelompok lainnya.Walaupun banyak hal yang dapat

dilakukan secara statistik, namun peneliti biasanya membatasi analisisnya sesuai dengan

kerangka teoretik yang digunakannya.Banyakteknik yang telah dikembangkan untuk

memecahkan dan menjawab persoalan tersebut. Namun dalam makalah ini hanya

diperkenalkan dua macam teknik yang populer, yaitu uji Scheffe dan Uji Tukey.

A. Uji Scheffe

Pada pokoknya perbandingan ganda melibatkan perhitungan tes t bentuk khusus,

suatu bentuk untuk mana istilah kesalahan didasarkan varians gabungan dari semua

kelompok, tidak hanya kelompok- kelompok yang sedang dibandingkan. T khusus ini

membuat penyesuaian terhadap kenyataan bahwa banyak tes yang dikerjakan. Apabila

ditampilkan beberapa tes, tingkat probabilitas, cenderung meningkat, jika ∝ dianggap

sebesar 0,05 sebenarnya ini akan berakhir lebih besar, mungkin 0,09 jika ditampilkan

banyak tes. Jadi, kesempatan untuk memperoleh beda yang signifikan bertambah,

demikian pula kesempatan untuk membuat kesalahan tipe 1.

Mean membanding yang mana yang dibuat seharusnya ditemukan sebelum

peneliti dilaksanakan, bukan sesudahnya dan harus didasarkan pada hipotesis riset. Dari

3

sekian banyak teknik pembanding majemuk yang ada, yang paling sering digunakan

adalah tes scheffe, yang merupakan tes yang sangat konservatif. Tes scheffe cocok untuk

membuat sembarang perbandingan yang melibatkan sekelompok mean. Perhitungan

untuk tes scheffe adalah sangat sederhana dan ukuran sampel tidak harus sama.

Tes scheffe meliputi perhitungan rasio F untuk tiap perbandingan. X1 dan x2,

rumusnya adalah:

F=( x1−x2 )2

MSW ( 1+1N 1+N2 )

dengandf =(K−1 ) (N−K )

( k−1 )

MSW Ppada rumus itu adalahMSW dari analisis varians.

Signifikansi tiap F ditentukan menggunakan tingkat kebebasan (Darmadi, 2011: 292)

Teknik yang dikembangkan oleh Scheffe dapat digunakan untuk menguji

perbedaan dua buah rata-rata secara berpasangan (1 vs 2, 1 vs 3, dan 2 vs 3) dan

perbedaan antara kombinasi rata-rata yang kompleks (seperti [1+2]/2 vs 3). Pada makalah

ini hanya diperkenalkan teknik untuk menguji perbedaan dua buah rata-rata secara

berpasangan. Jika ANAVA dilakukan untuk menguji perbedaan tiga buah rata-rata, maka

hipotesis nol yang hendak diuji oleh uji Scheffe ada tiga buah pasangan sederhana, yaitu :

a. HO : μ1 = μ2

b. H0 :μ1 = μ3

c. H0 : μ2 = μ3

Jika jumlah subjek antar kelompok sama besar (n1=n2=n3) maka rumus uji

Scheffe untuk menguji ketiga hipotesis nol tersebut dapat disederhanakan menjadi

sebagai berikut :

t= C

√ 2 MW S

n

(2.1)

4

dimana C adalah nilai kontras (perbedaan antara rata-rata yang dibandingkan), MSW

adalah rata-rata kuadrat dalam kelompok pada tabel ANAVA , dan n adalah besar sampel

(jumlah subjek).

Rumus(1.1) ekuivalen dengan rumus uji perbedaan dua buah rata-rata (uji-t yang

menggunakan variansi gabungan). Sebagaimana biasa, nilai t yang diperoleh kemudian

dibandingkan dengan nilai kritis bagi uji Scheffe(ts) yang ditentukan sebagai berikut :

t s=√(k−1 ) F (1−α ;k−1 , n−k) (2.2)

Dimana k adalah jumlah kelompok dalam ANAVA , dan F(1−α ;k−1 ,n−k) adalah

nilai pada distribusi F pada tingkat keyakinan 1−α dengan derajat kebebasan pembilang

k−1 dan derajat kebebasan n−k . (Furqon, 2009:214)

Contoh:

Tabel 1.2

Skor Motivasi Belajar Siswa Dari Tiga Model AMT

Model1 Model 2 Model 3342633353433

353037283130

282224292722

Rata-rata= 32,50Variansi=10,70

31,8311,77

25,339,47

*) perangkat data ini diadaptasi dari Kennedy dan Brush(1985,h.94)

Tabel (1.1)Rangkuman Hasil Analisis Variansi

Sumber Variasi Dk Jumlah kuadrat Rata-rata kuadrat

F

Antar KelompokDalam Kelomok

3-118-3

188,11159,67

94,0610,64

8,84

Total 18-1 347,78 - -

5

memberikan hasil ANAVA dari data Tabel (1.2)

Selain itu,diketahui pula rata-rata setiap kelompok yang hendak dibandingkan,yaitu :

kelompok 1 = 32,50

kelompok 2 = 31,83

Kelompok 3 = 25,33

Atas dasar itu, nilai kontras untuk setiap pasangan adalah sebagai berikut:

C1 (1 vs 2) = 32,50 – 31,83 = 0,67

C2 (1 vs 3) = 32,50 – 25,33 = 7,17

C3 (2 vs 3) = 31,83 – 25,33 = 6,50

Dengan demikian , nilai t untuk setiap pasangan tersebut kemudian ditentukan seperti berikut :

t1 =0,67/ [2(10,64)/6] = 0,36

t2 = 7,17/[2(10,64)/6] = 3,81

t3 = 6,50/[2(10,64)/6] = 3,45

Jika perbedaan rata-rata setiap pasangan itu hendak diuji pada tingkat keyakinan 99%(α=0,05),

maka nilai F kritis dengan derajat kebebasan 2 (pembilang) dan 15 (penyebut) adalah 6,36. Atas

dasar itu, kita dapat menentukan nilai kritis ts sebagai berikut:

ts= (3-1) 6,36

ts = 3,57

Dari hasil perhitungan diatas ternyata hanya ada satu pasangan yang rata-ratanya berbeda

signifikan, yaitu pasangan kelompok 1 dengan kelompok 3. Nilai t untuk pasangan tersebut

adalah 3,81 yang lebih besar dari nilai kritis uji scheffe (ts = 3,57). Oleh karena itu, hipotesis nol

bahwa rata-rata kedua populasi tersebut adalah sama harus ditolak. Nilai t untuk kedua pasangan

lainnya ternyata lebih kecil daripada nilai kritisnya, sehinggga hipotesis nol yang bersangkutan

tidak dapat ditolak. Secara simbolik , kesimpulan tersebut dapat ditulis sebagai berikut :

6

μ1=μ2 ; μ2=μ3 ;dan μ1tidaksamadengan μ3

B. Uji Tukey

Tidak seperti uji Scheffe yang dapat digunakan untuk menguji seluruh jenis perbandingan

rata- rata (sederhana maupun kompleks), uji Tukey yang lengkapnya disebut Tukey’s HSD

(Honestly Significant Difference Test) hanya dapat digunakan untuk menguji seluruh

kemungkinan pasangan sederhana (yang melibatkan dua buah rata-rata). Perbandingan seperti

( μ1+μ2 )2

vs μ3 tidak dapat diuji dengan menggunakanteknik tukey.Karena jumlah kemungkinan

pasangan yang hendak diuji relative sedikit, teknik tukey lebih powerful (cenderung lebih sering

menolak hipotesis nol) daripada teknik Scheffe. Teknik Tukey digunakan dengan cara

membandingkan perbedaan setiap pasangan rata- rata dengan nilai kritis HSD yang (jika jumlah

subjek pada setiap kelompok sama besar) dapat ditentukan sebagai berikut:

Dimana q adalah nilai pada distribusi studentized range statistic (lihat daftar F pada lampiran).

Simbol lain pada rumus tersebut memiliki pengertian yang sama seperti pada uji Scheffe(Furqon,

2009: 216). Jika ketiga hipotesis nol tentang pasangan rata- rata pada contoh diatas hendak diuji

dengan teknik tukey pada tingkat keyakinan yang sama maka diperoleh nilai q pada α=0,01

dengan derajat kebebasan 15 dan3adalah4,84. Dengan demikan,

HSD= 4,84 (10,46/6)

HSD= 6,45

Selain itu telah diketahui bahwa perbedaan antara rata-rata setiap pasangan adalah sebagai

berikut:

c1 (1 vs2 )=32,50−31 , 83=0,67

c2 (1 vs3 )=32,50−25,33=7,17

7

HSD=q (1−α ;μ−k , k )( MSW

n )

c3 (2vs3 )=31,83−25,33=6,50

Hasil tersebut menunjukkan ada dua buah nilai kontras (c )antara rata- rata setiap

pasangan yang lebih besar daripada nilai kritis HSD. Dengan kata lain, uji Tukey menghasilkan

dua kontras yang signifikan pada p<0,01, yaitu kontras c2(1 vs 3) dan kontras c3(2 vs 3). Contoh

ini sekaligus membuktikan ungkapan di atas bahwa uji Tukey cenderung lebih sering menolak

hipotesis nol daripada uji Scheffe.(Furqon, 2004: 215-216)

Uji Siegel-Tukey

Pengujiannya mudahdilakukan, tetapi yang tidak begitu kuat. Ide dasar uji ini ialah bahwa jika

dua sampel berasal dari populasi yang berbeda hanya dalam varians, sampul dari populasi

dengan varians yang lebih besar akan lebih menyebar dengan nilai ekstrem yang lebih besar. Jika

kita menyusun sampel yang digabungkan dalam urutan dan menempatkan rank 1 untuk

pengamatan terkecil, 2 untuk pengamatan terbesar, 3 untuk terbesar berikutnya, 4 dan 5

berikutnya untuk dua terbesar berikutnya, 6 dan 7 untuk dua terbesar berikutnya, dan seterusnya,

jumlah rank yang diperoleh untuk ppulasi dengan varians yang lebih besar akan menjadi lebih

kecil daripada jika tidak ada perbedaan dalam varians. Pengujian ini tentu tidak akan bekerja

baik jika lokasinya berbeda. Salah satu cara ntuk mengatasi kesulitan ini jika ada indikasi

mengenai perbedaan lokasi ialah ‘meluruskan’ dengan mengurangi seluruh pengamatan pada

sampel dari populasinya dengan perkiraan lokasi yang lebih dari perbedaan lokasi (atau

menambahkan perkiraan ini dengan pengamatan-pengamatan dalam sampel lainnya). Varians

tidak dipengaruhi oleh perubahan lokasi ini, dan kekuatan uji Siegel-Tukey akan meningkat.

(Sprent, 1991:123)

Contoh :

Gunakan uji Siegel-Tukey untu sampel ini

29 39 60 78 82 112 125 126 142 156

170 192 224 228 245 246 263 275 276 286

8

369 370 419 433 454 478 503 756(hal 113)

Buku Umum

x i

Buku Statistik

y i

S(x¿¿ i)¿ S( y i) S(x¿¿ i)−S ( y i)¿

29

39

60

78

82

112

125

170

192

224

263

275

276

286

396

126

142

156

228

245

246

370

419

433

454

478

0,0625

0,1250

0,1875

0,2500

0,3125

0,3750

0,4375

0,4375

0,4375

0,4375

0,0500

0,5625

0,6250

0,6250

0,6250

0,6250

0,6875

0,7500

0,8125

0,8750

0,9375

0,9375

0,9375

0,9375

0,9375

0,9375

0

0

0

0

0

0

0

0,0833

0,1667

0,2500

0,2500

0,2500

0,2500

0,3333

0,4167

0,5000

0,5000

0,5000

0,5000

0,5000

0,5000

0,5833

0,6667

0,7500

0,8333

0,9167

0,0625

0,1250

0,1875

0,2500

0,3125

0,3750

0,4375

0,3542

0,2708

0,1875

0,2500

0,3125

0,3750

0,2917

0,2083

0,1250

0,1875

0,2500

0,3125

0,3750

0,4375

0,3542

0,2708

0,1875

0,1042

0,0208

9

756 503 0,9375

1,0000

1,0000

1,0000

0,0625

0,0000

Hal:127

Formulasi dan asumsi. Kita telah menetapkan dalam table di atas bahwa sebuah perkiraan titik

dari selisih lokasi adalah 133,5. Jika kita menambahkannya pada masing-masing nilai untuk

sampel buku umum, kita memperoleh sampel yang diluruskan.Kita menerapkan ji siegel-tukey

untuk sampel yang diluruskan ini.

Prosedur. Setelah menambahkan 133,5 pada jumlah halaman dari seluruh buku umum dan

menyusun sampel gabungan dalam susunan yang menaik, kita memperoleh nilai dalam tabel di

bawah ini

Nilai

Rank

Nilai

Rank

Nilai

Rank

126

1

245,5

21

419

15

142

4

246

24

419,5

14

156

5

258,5

25

433

11

162,5

8

303,5

28

454

10

172,5

9

325,5

27

478

7

193,5

12

357,5

26

502,5

6

211,5

13

370

23

503

3

211,5

16

396,5

22

889,5

2

228

17

408,5

19

245

20

409,5

18

Di bawah masing-masing nilai kita berikan rank dengan cara seperti yang dijelaskan di atas

untuk uji Siege-Tukey. Nilai-nilai yang digarisbawahi berkaitan dengan buku-buku statistic.

Untuk buku statistic (yang digarisbawahi) m = 12 dan Sm = 140, sedangkan Um = 62, di atas nilai

maksimum untuk nyata pada tingkat 5% pada pengujian satu arah.

Um=Sm−1 /2m(m+1)

U n=Sn−1/2 n(n+1)

(Karena Sm + Sn yang jumlah seluruh rank dari 1 sampai m, yaitu ½(m + n) (m+n+1), ini dengan

mudah dibuktikan bahwa Um=mn−U n

Kesimpulan. Kita tidak menolak hipotesis nol bahwa populasi memiliki varians yang sama.

10

Komentar. Pada contoh di atas kita telah menyatakan bahwa pengujian teori normal tidak

menolak hipotesis mengenai varians yang sama. Jika pengamatan 756 tidak terjadi pada sampel

buku umum,kita harus mencurigai sebuah kemungkinanvarians yang sama. Hal ini mungkin bisa

dipertimbangkan sebagai outher . Pada uji Siegel-Tukey,pengamatan ini adalah penimbang

terendah, diperoleh dengan bobot yang tidak lebih besar jika pengamatan adalah 370 - setelah

menambahkan 133,5 untuk penyesuaian lokasi akan menjadi 503,5 - nilai sampel gabungan

terbesar untuk sampel-sampel yang diluruskan. Dalam pengertian ini pengujiannya adalah kekar.

Perhatikan kekekaran tidak sama dengan kekuatan. Secara ideal, kita ingin uji secara kekar dan

kuat.Dalam praktek mungkin sulit mencapai ini, jika metode kekekaran cenderung tidak

mempengaruhi nilai ekstrem, dan hal ini sering menjadi perbedaan utama yang menyatakan

sebuah varians yang berbeda. (Sprent, 1991:123-124)

DAFTAR PUSTAKA

Furqon.2009. Statistika Terapan untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta.

11

Sprent .1991. Metode Statistika Nonparametric Terapan. Jakarta: UI-Press.

Dramadi, Hamid. 2011. Metode Penelitian Pendidikan. Bandung: Alfabeta.

12