pasal 10 statistik teknik

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dr. Ir. Dody Prayitno STATISTIK TEKNIK 1

MODUL 10

DISTRIBUSI POISSON 10.1. DISTRIBUSI POISSON Distribusi Poisson merupakan distribusi probabilitas diskrit dan ditemukan pertama

kali pada tahun 1837 oleh seorang ahli matematika Penancis Simon Denis Poisson

(1781-1840). Distribusi ini berurusan dengan probabilitas kejadian yang jarang terjadi seperti, jumlah gempa bumi yang terjadi dalam setahun, jumlah gunung meletus , jumlah kecelakaan yang terjadi di jalan, dan lain sebagainya.

Variabel random yang menghitung jumlah keberhasilan di dalam percobaan

dengan usaha yang memenuhi kondisi di atas disebut variabel poisson. Jika probabilitas suatu produk mengalami kerusakan adalah 1/500 dan kejadian untuk

memperoleh sebuah produk rusak adalah berhasil dan diambil 10 produk diteliti

dengan tujuan mendapatkan yang rusak maka nilai variabel poisson yang mungkin

adalah 0, 1, 2, 3 , 10. Suatu distribusi poison dapat digunakan dengan tepat dalam suatu eksperimen

poisson yang memenuhi kondisi-kondisi berikut :

a) Suatu eksperimen yang meliputi pencacahan banyaknya suatu

peristiwa terjadi dalam setiap satuan unit yang ditentukan. Unit yang

ditentukan ini biasanya adalah unit waktu atau ruang.

b) Probabilitas peristiwa tersebut adalah sama untuk setiap satuan unit.

c) Banyaknya peristiwa yang terjadi dalam setiap satuan unit saling bebas

terhadap banyaknya peristiwa yang terjadi pada setiap satuan unit

yang lainnya.

Berikut ini adalah beberapa contoh eksperimen Poisson :

Pencacahan banyaknya klain asuransi kecelakaan mobil terhadap suatu

perusahaan asuransi setiap tahunnya.

Pencacahan banyaknya panggilan telepon yang masuk setiap menitnya pada

kantor pelayanan darurat jalan tol

Penentuan jumlah bagian yang rusak pada setiap 3000 meter pita pada jalur

manufaktur pita magnetik.


Bentuk rumus dan Distribusi Probabilitas seperti di bawah ini :

p(r) = (m r.e-m) / r! Dimana (r = 0,1,2......) [10-1]

Di mana (m r.e-m) / r! yang memberikan probabilitas yang dinyatakan r yang

merupakan keberhasilan, disebut sebagai Distribusi Poisson.

Distribusi ini merupakan pembatasan atau limit dari Distribusi Binomial C r P r q n-r jika p kecil dan n sangat besar tetapi np merupakan konstanta bilangan nyata = m

atau jelasnya np = m. Jika p kecil, peristiwa ini disebut sebagai peristiwa jarang (rare

event). Di dalam prakteknya peristiwa yang disebut sebagai peristiwa jarang adalah

jika percobaan yang dilakukan paling kurang 50 kali (n > 50) sedangkan np adalah sama dengan m yang nilainya lebih kecil dari 5.

Dari Distribusi [10-I], Probabilitas 0, 1, 2, 3 r. berhasil adalah:

e-m , e-m m, e-m , m/2!, e-m, m/r!.......... [10-2]

Tampak dengan mudah kita peroleh harga sampai dengan tak berhingga jumlah dari

persamaan [10-2] adalah = 1.

Jadi jumlah: e m ( l+m+(m2/2!)+(m3/3!) +....+~) =e-m .em =e0 = 1

10.2. BEBERAPA SIFAT DISTRIBUSI POISSON

Harga menengah atau Perhitungan Menengah = m Deviasi Standar = (m)1/2

Varians 2 = m

Koefisien Skunes 1= (1/(m1/2)

Koefisien Kuntosis 2 = 3 + (1/m)


10.3. CONTOH-CONTOH SOAL Contoh soal 1. SuaTU pabrik memproduksi alat-alat, dan produksinya itu 10% cacat. HiTUnglah

probabilitasnya jika suatu sampel yang terdiri dari 10 alat diambil secara random,

pasti dua akan cacat.

Penyelesaian. Probabilitas cacathya alat-alat adalah p = 10% = 0,1 m = np = 10 (0,1) = 1

Disini r = 2, m=1

Jadi Probabilitas pasti dua buah alat yang cacat adalah:

e-1 (1)2/2!

= e-1/2

=1/2e = 0.18 kurang lebih

Contoh soal 2 Tingkat kematian dari suatu penyakit tententu adalah 7 per 1000. Berapakah

probabilitas terjadi kematian 5 orang dari penyakit ini pada sekumpulan 400 orang?

Penyelesaian.

Di sini m = np = 400. 7/1000 = 2,8 dan r = 5.

Jadi probabilitas yang memenuhi adalah e28(2,8)5 /5! = 0, 0872

Contoh soal 3 Jika probabilitas individu menderita reaksi buruk terhadap suatu serum yang diberikan adalah 0,001. Hitunglah bahwa dari 2000 orang : a) pasti 3 orang individu menderita reaksi buruk, b) lebih dari 2 orang individu menderita reaksi buruk.


Penyelesaian. Di sini p = 0,001, n = 2000

m = np= 2.

a) Probabilitas 3 individu menderita reaksi buruk adalah

= e2.23 / 3!

= 4/3e2

= 0.18

Probabilitas tidak seorang pun menderita

= e-2.20/0! = 1/e2.

Probabilitas seorang menderita

= e-2.21/1! = 2/e2

Probabilitas dua orang medenita

= e-2.22/2! = 2/e2

Jadi Probabilitas lebih dari 2 individu menderita reaksi buruk. = I - (Probabilitas dari 0 + Probabilitas dari 1 + Probabilitas dari 2)

= l+(1/e2+2/e2+2/e2) = 0,323

Contoh soal 4 Terapkan Distribusi Poisson pada data berikut ini :

x 0 1 2 3 4

f= 192 .100 24 3 1

Penyelesaian Harga menengah m = fk/f

m = 161/320

m = 0,503

Hubungannya dengan Distribusi Poisson adalah e -0.503 (0.503)x/ x!

yang memberikan probabilitas x. Harga-harga x adalah = 0, 1, 2, 3,4 yang

menghasilkan hubungan Probabilitas: 0,605; 0,304; 0,076; 0,0128; 0,0016. Kalikan


ini dengan total frekuensi yang adalah 320 kita peroleh hubungan frekuensi sebagai

berikut: 193,6; 97,3; 24,5; 4,1; 0,5.

Contoh soal 5. Jika 3 % barang yang diproduksi oleh sebuah mesin cacat, hitunglah probabilitas bahwa 3 barang diambil secara random dari 100 barang adalah cacat.

Penyelesaian. Pada masalah ini lebih disukai untuk menggunakan Distribusi Poisson daripada

Distribusi Binoini al oleh karena p (yang = 0,03) adalah terlalu kecil dan m = np

mp = 100 x 0,3 = 3.

p(r =3) =m re -m/r!

P(r=3)= 33e-3 / 3!

= 0,2241

Contoh soal 6 Jika suatu probabilitas memperlihatkan bahwa sesorang menerima reaksi buruk

akibat suntikan suatu serum adalah 0,0001. Tentukan probabilitas bahwa dari antara

2000 individu yang akan menderita suatu reaksi buruk

a) Tepat 3 orang

b) Lebih dari 2 orang

Penyelesaian. p(r) =m re -m/r!

m = np

m=2000 x 0,001

m=2

a) P (3 orang menderita reaksi buruk) = m re -2/r!

P(r=3)= 2 3e -3 / 3!

= 0.180

a) P (0 menderita ) = 2 0e -2 / 0!

= 1/e2

P (1 menderita ) = = 2 1e -2 / 1!

= 2/e2

pasal 10 statistik teknik

Documents