Soal

1. Suatu Perusahaan A berisi 20 karyawan, 12 karyawanya adalah wanita. Karena krisis ekonomi, perusahaan A harus mengurangi 4 karyawan dari jumlah total perusahaan tersebut. Berapakah peluang kemungkinan karyawan yang diberhentikan jika :

a. Semua pria

b. Semua wanita

c. 2 pria dan 2 wanita

2. Diketahui persentasi buta warna wanita dan pria, 3% dan 7% dengan persentase populasi wanita dan pria 40% dan 60%. Seorang penyelidik mengambil sampel secara acak. Berapakah nilai kemungkinan untuk pria(A) buta warna dan wanita(B) buta warna. Buatlah table sampel dan buktikan P ( A    C) = P(A|C) . P(C) dan P ( B   C) = P(B|C) . P(C) !

3. Satu mata uang dilemparkan 3 kali , maka n =3. Yang disebut sukses misalkan hasil muka, dan yang disebut gagal adalah hasil belakang.

P(S) = P(Muka) = 12

= p

P(G) = P(Belakang) = 12

= q

p dan q tetap pada setiap lemparan serta hasil setiap lemparan bebas satu sama lain. Maka tentukanlah distribusi binomialnya !

4. Menurut data statistik, rata-rata seorang dari 100 petani yang berdiam di desa-desa di Indonesia akan meminta berlangganan majalah “Cara Bercocok Tanam”. Penerbit majalah tersebut mengadakan sales promotion dengan jalan mengirim masing-masing 50 surat untuk berlangganan yang telah dibubuhi perangko kepada petani yang berdiam di desa-desa tertentu. Berapa probabilitas penerbit akan menerima kembali surat permintaan berlangganan sebanyak 5 dari masing-masing desa yang bersangkutan ?

5. Hasil lemparan satu dadu mendapatkan hasil distribusi kemungkinan seperti tabel dibawah ini. Tentukannlah Expektasi matematikan atau mean x !

X 1 2 3 4 5 6 JumlahP 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1

1/4 1/4 1/4 1/4

1/2 1/2

1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5

1/2 1/2

1/3 1/3 1/3

1/4 1/2 1/4

6. Diketahui suatu variable acak Xa, Xb, Xc, Xd, Xe, and Xf dengan distribusinya masing-masing seperti pada gambar berikut.

Xa

Xb

Xc

Xd

Xe

Xf

Tentukanlah : a. Jangkuan

b. Simpangan Rata-Rata

7. Pada experimen pelemparan satu mata uang 3 kali berturut-turut, misalkan X adalah banyaknya kejadian muncul muka dan Y adalah banyaknya run. Tentukanlah semua nilai (X,Y), tabel distribusi bersama, dan grafik distribusi bersamanya.

8. Diketahui distribusi X seperti tabel berikut:

X -2 -1 1 2 Jumlah

P14

14

14

14

1

Jika Y=X2, maka tentukan distribusi bersama X dan Y, serta Koefisien Korelasinya!

-3 2 1 0 1 2 3

-3 2 1 0 1 2 3

-3 2 1 0 1 2 3

-3 2 1 0 1 2 3

-3 2 1 0 1 2 3

-3 2 1 0 1 2 3

9. Hitunglah nilai rata-rata tinggi 100 mahasiswa pada tabel berikut :

Tinggi (cm)

Frekuensi

151 – 155

156 – 160

161 – 165

166 – 170

171 – 175

5

20

42

26

7

Jumlah 100

10. Perhatikan data pada tabel berikut ini :

Nilai Frekuensi (f)

5-9 4

10-14 10

15-19 15

20-24 10

25-29 5

30-34 6

Tentukan Desil ke-7 dan persentil ke-80 dari data diatas :

11. Hitunglah Variansi dan deviasi baku dari tinggi 100 orang siswa pada tabel dibawah:

Tinggi (cm) Frekwensi151-155 5156-160 20161-165 42166-170 26171-175 7

12. Carilah simpangan kwartil Q daripada distribusi frekwensi tinggi 100 mahasiswa pada tabel di bawah ini

Tinggi (cm) Frekwensi

151-155 5

156-160 20

161-165 42

166-170 26

171-175 7

Jumlah 100

13. Suatu populasi terdiri atas 4 bilangan 2,3,6, dan 9. Pandanglah semua sampel 2 bilangan, yang dapat diambil dari populasi ini, dengan pengembalian. Carilah :a. Nilai rata-rata populasib. Deviasi baku populasi

c. Mean distribusi sampling X̄

d. Deviasi baku daripada distribusi sampling X̄

14. Suatu populasi terdiri atas 4 bilangan 2,3,6, dan 9. Pandanglah semua sampel 2 bilangan, yang dapat diambil dari populasi ini, tanpa pengembalian. Carilah :

a. Nilai rata-rata populasib. Deviasi baku populasi

c. Mean distribusi sampling X̄

d. Deviasi baku daripada distribusi sampling X̄

15. Diketahui data sebagai berikut:

X 1 3 4 6 8 9 10 12

Y 1 2 4 4 5 7 8 9

Soal :

A. Gambarlah diagram pencar.

B. Carilah garis regresi Y pada X.

C. Carilah garis regresi X pada Y.

D. Gambarlah kedua garis regresi pada diagram pencar.

E. Taksirlah y, jika x = 14.

F. Taksirlah x, jika y = 10.

16. Diketahui data sebagai Berikut

A.Tentukan Nilai Koefisien Korelasi

B.Apakah Nilai Koefisien Signifikan atau Tidak?

Jawaban

1. Terdapat 20 karyawan dan akan dipilih 4 sehingga (¿420)¿ =

20!4 !16 !

= 4.845 cara

a. Semua pria

(¿48)¿ =

8 !4 ! 4 !

= 70 cara

Jadi P(semua pria) = 70

4.845 =

14969

b. Semua wanita

(¿412)¿ =

12!4 !8 !

= 495 cara

Jadi P(semua wanita) = 495

4.845 =

99969

c. C. Dua pria dan Dua wanita2 pria dapat dipilih dari 8 jumlah pria total sehingga :

(¿28)¿ =

8 !2!6 !

= 28 cara

2 wanita dapat dipilih dari 12 jumlah wanita total sehingga :

(¿212)¿ =

12 !2!10 !

= 77 cara

Sehingga untuk peluang kemungkinan dipecatnya dua pria dan dua wanita adalah : 28 x 77 = 756 cara

P(2 pria dan 2 wanita ) = 756

4.845

2.

Buta warna Normal

C N Total

Pria A 0.042 0.558 0.6

Wanita B 0.012 0.388 0.4

Total 0.054 0.946 1.0

Sehingga dari table diatas diketahui :

P(A) = 0.6

P (B) = 0,4

P(C) = 0,054

P(N) = 1 - P(C) = 0,946

P( A   C) = 0,042

P( B   C) = 0,012

P{pria| buta warna} = P(A│C) = P( A ∩ C)

P(C) = 0,0420,054

= 0,78

P{wanita | buta warna} = P(B│C) = P( B ∩C)

P(C) = 0,0120,054

= 0,22

P ( A    C) = P(A|C) . P(C)

= 0,78 x 0,054=¿0,042

Terbukti bahwa P ( A   C ) = P(A|C) . P(C)

P ( B    C) = P(B|C) . P(C)

= 0,22 x0,054=¿0,012

Terbukti bahwa P ( B   C ) = P(B|C) . P(C)

3. Diketahui : n = 3

p = 12

q =1−12

= 12

Ditanya : Distribusi binomial b(n,p) = ….. ?

Jawab:Persamaan Umum:

P(x = k) = (nk) pk

qn−k ,k =0, 1, 2, 3, ……,n.

Jadi,

P (X = 0) = (30)( 12)

0

( 12)

3

= 18

P (X = 1) = (31)( 12)

1

( 12)

2

= 38

P (X = 2) = (32)( 12)

2

( 12)

1

= 38

P (X = 3) = (33)( 12)

3

( 12)

0

= 18

Jumlahnya adalah 1

4. Diketahui : n = 50

p = 1/100λ = n.p = 50 (1/100) = ½k = 5

Ditanya : P(X = 5) = …?Jawab :

πk = P(X = 5) = λk

k ! e− λ

= ¿¿ e−1 /2

= ( 1

32)

120 e−1 /2=¿(1/3840) (0.6066) = 0.00016

Bila dihitung menggunakan Distribusi Binomial :

P(X=5) = (nk) pk qn−k

= (505 ) (1/100)5 ( 99

100)

50−5

= 0.00013

5. Untuk mencari expektasi matematik , menggunakan rumus :

Ex=∑i=1

r

xi . pi

Sesuai dengan tabel berikut ini

X 1 2 3 4 5 6 JumlahP 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1

Maka didapatkan hasil sebagai berikut :

Ex=1.16+2.

16+3.

16+4.

16+5.

16+6.

16¿3,5

6. a. Untuk memperoleh jangkuan, digunakan rumus

Jangkauan = Xmax - Xmin

Jangkauan Xa = 1 - (-1) = 2

Jangkauan Xb = 1 - (-1) = 2

Jangkauan Xc = 1 - (-1) = 2

Jangkauan Xd = 2 - (-2) = 4

Jangkauan Xe = 2 - (-2) = 4

Jangkauan Xf = 3 - (-3) = 6

b. Simpangan rata-rata, menggunakan rumus

Simpangan rata-rata = S.R = E|x-µ|

S . R Xa=14|−1−0|+ 1

2|0−0|+ 1

4|1−0|=1

2

S . R Xb=13|−1−0|+ 1

3|0−0|+ 1

3|1−0|=2

3

S . R Xc=12|−1−0|+ 1

2|1−0|=1

S . R Xd=15|−2−0|+ 1

5|−1−0|+ 1

5|0−0|+ 1

5|1−0|+ 1

5∨2−0∨¿1,2

S . R Xe=12|−2−0|+ 1

2|2−0|=2

S . R Xf =14|−3−0|+ 1

4|−2−0|+ 1

4|2−0|+ 1

4∨3−0∨¿2

12

7. Ruang sampel S terdiri atas 23 = 8 titik.Ruang sampel X Y

(mmm)(mmb)(mbm)(mbb)(bmm)(bmb)(bbm)(bbb)

32212110

12322321

Setiap titik sampel S mempunyai nilai kemungkinan 18

, X dapat menghimpun nilai {0,

1, 2, 3} dan Y menghimpun nilai {1, 2, 3}.

Mencari distribusi bersama dari X dan Y.

P (X=0, Y=1)= 18

.

P (X=3, Y=1)= 18

.

P (X=1, Y=1)= P(Ø) = 0.P (X=2, Y=1)= P(Ø) = 0.P (X=0, Y=2)= P(Ø) = 0.P (X=3, Y=2)= P(Ø) = 0.P (X=0, Y=3)= P(Ø) = 0.P (X=3, Y=3)= P(Ø) = 0.

P (X=1, Y=2)= 14

.

P (X=3, Y=2)= 14

.

P (X=1, Y=3)= 18

.

P (X=2, Y=3)= 18

.

Tabel distribusi bersama: X

Y0 1 2 3 Jumlah baris

118

. .18

28

2 .28

28

.48

3 .18

18

.28

Jumlah kolom

18

38

38

18

1

Grafik distribusi bersama X dan Y adalah sebagai berikut

P(X = x, Y = y)

18

18

28

18

1

1

Y

X2 3

2

3

28

18

8. Tabel nilai X dan Y:

X -2 -1 1 2 Jumlah

Y=X2 4 1 1 4 1

Sehingga setiap titik sampel mempunyai kemungkinan 14

Distribusi bersama X dan Y:

X Y

-2 -1 1 2 P j

114

14

12

414

14

12

Pi14

14

14

14

1

Ekspektasi variabel X:

EX=μX=∑i=1

r

X i Pi=(−2 ∙14)+(−1∙

14 )+(1∙

14 )+(2 ∙

14 )=0

Ekspektasi variabel Y:

EY=μY=∑j=1

r

Y j P j=(1 ∙12)+(4 ∙

12 )=2,5

Ekspektasi variabel XY:

EX=∑i∑

j

X iY j ∙ Pij=(4 ∙−2 ∙14 )+(4 ∙−1 ∙

14 )+(4 ∙1 ∙

14 )+(4 ∙ 2 ∙

14 )=0

Kovariansi X dan Y:Cov ( X , Y )=EXY −μx μ y=0−(0 ∙2,5 )=0

Koefisien Korelasi:

ρ ( X , Y )=Cov( X ,Y )σ x σ y

=0

9. Langkah pertama adalah tentukan titik tengah x dengan cara batas akhir+batas awal

2

Lalu mancari nilai fx dengan cara (x) dikalikan dengan (f) :

Titik tengah tinggi (x)

Frekuensi (f)

fx

153

158

163

168

173

5

20

42

26

7

765

3160

6846

4368

1211

Jumlah 100 16350

Langkah kedua masukan nilai (x) dikalkan dengan (f) pada rumus dan hitung :

x= 1100

(5 x153+20 x 158+42 x163+26 x168+7 x 173 )

¿ 16350100

=163,50 cm

10. Langkah pertama Cari banyaknya data (n) dengan cara jumlahkan semua (f)

Jadi (n) = 4+10+15+10+5+6 = 50

Tentukan desil ke 7 menggunakan rumus dan hitung :

Letak Di=i(n+1)

10

Letak D 7= 710

x50=35

Sehingga, letak desil ke-7 pada data ke-35 yaitu pada interval ke-3

Di=Tb+( i10

n−F

f )CDimana :

Tb = Tepi bawah desil ke-i

F = Jumlah frekuensi sebelum frekuensi kuartil ke-i

f = Frekuensi kuartil ke-i, I = 1,2,3,…9

n = Jumlah seluruh frekuensi

C = Panjang interval kelas

D 7=19,5+( 710

50−29

10 )5D 7=22,5

Lalu cari Persentil ke-80

Letak Pi=i(n+1)

100

Letak P 80= 80100

x50=40

Sehingga, letak persentil ke-80 pada data ke-40 yaitu pada interval ke-4

Pi=Tb+( i100

n−F

f )C

P 80=24,5+( 80100

50−39

5 )5P 80=25,5

Jadi, nilai desil ke-7 dan persentil k-80 dari data tersebut adalah 22,5 dan 25,5

11.

Tinggi (cm)

Frekuensi

Nilai tengah

kelas (x)

fx fx²

151-155 5 153 765 117045

156-160 20 158 3160 499280

161-165 42 163 6846 1115898

166-170 26 168 4368 733824

171-175 7 173 1211 209503

∑f = 100 ∑fx = 16350

∑fx² = 2675550

S ²=∑ fx ²∑ f

- (∑fx∑ f ) ²

S ²=2675550100

- ( 16350100 ) ²

S ²=26755,5 – 26732,25S ²=23,25Jadi variansinya adalah 23,25 cm

S ¿√S ²S = √23,25S= 4,82 cmJadi deviasi bakunya adalah 4,82 cm

12. Mencari Q1

Hitung nilai i4

N

Pada kwartil ketiga, i=3 Jadi :

i4

N=¿ 34

100=75

Menentukan kelas Q1Tinggi (cm) Frekwensi F k

151-155 5 5

156-160 20 25

161-165 42 67

166-170 26 93

171-175 7 100

Jumlah 100

Qi=T bi+ p .

( i4

N−Fki)f Qi

Q1=T b1+ p .

( 14

N−Fk1)f Q1

Q1=155,5+5.(25−5 )

20Q1=160,5 cm

Menentukan Q3:

Hitung nilai i4

N

Pada kwartil ketiga, i=3 Jadi :

i4

N=¿ 34

100=75

Menentukan kelas Q3Tinggi (cm) Frekwensi F k

151-155 5 5

156-160 20 25

161-165 42 67

166-170 26 93

171-175 7 100

Jumlah 100

Qi=T bi+ p .

( i4

N−Fki)f Qi

Q3=T b3+ p .

( 34

N−Fk3)f Q 3

Q3=165,5+5.(75−67 )

26Q3=165,5+5. (0,3 ) ¿167 cm

Simpangan kwartil:

Q=12(Q¿¿3−Q 1)¿

Q=12(167−160,5)

Q=12

(6,5 )

Q=3,25 cm

13 a. μ = 2+3+6+9

4 = 5

b. σ2 = (2−5)2+(3−5)2+(6−5)2+(9−5)2

4=¿ 7,5

σ = √7,5 = 2,74c. Ada 4 . 4 = 16 sampel 2 bilangan

(2,2) (2,3) (2,6) (2,9)(3,2) (3,3) (3,6) (3,9)

(6,2) (6,3) (6,6) (6,9)(9,2) (9,3) (9,6) (9,9)Rata-rata tiap-tiap sampel ialah :

2 212

4 512

212

3 412

6

4 412

6 712

512

6 712

9

μ❑= jumlah semua rata−rata sampel

16 =

8016

= 5

d. σ❑2 =

(22+2,52+42+5,52+2,52+32+4,52+62+42+4,52+62+7,52+5,52+62+7,52+92)16

- 52

= 28,75 – 25 = 3,75

σ❑= √3,75 = 1,94

14. a. μ = 2+3+6+9

4 = 5

b. σ2 = (2−5)2+(3−5)2+(6−5)2+(9−5)2

4=¿ 7,5

σ = √7,5 = 2,74

c. Ada (42) = 6 sampel yang besarnya 2 , dimana (2,3) dan (3,2) dianggap sama ,

karena urutan tidak di pandang. Jadi keenam sampel tersebut ialah : (2,3), (2,6),

(2,9), (3,6), (3,9), (6,9) masing masing dengan rata rata 212

, 4,512

, 412

, 6,712

μ x = Jumlah semuarata rata sampel

16 =

306

= 5

d. σ2x

= 16

(2,52 + 42 + 5,52 + 4,52 + 62 + 7,52) -52 = 2,50

σ x = √2,50 = 1,58

15. a.

b. n = 8

misal, persamaan garis y pada x adalah y = a + bx

Jadi, garis regresi y pada x adalah

Y = 0.156 + 0.730 x

222 53451*8

40*53338*8

.

..

xxn

yxxynb

730.028093608

21202704

b

222

2

53451*8

338*53451*40

)(

))(())((

XXn

XYXXYa

156.028093608

1791418040

a

x y x2 xy y2

1 1 1 1 1

3 2 9 6 4

4 4 16 16 16

6 4 36 24 16

8 5 64 40 25

9 7 81 63 49

10 8 100 80 64

12 9 144 108 81

53 40 451 338 256

c. Misal, garis regresi x pada y adalah x = c + dy, maka :

c = 0.107

d = 1.303

Jadi, garis regresi x pada y adalah

x = 0.107 + 1.303 y

e. Jika x = 14, taksiran untuk y ialah 0.156 + 0.730*14

= 10.376

f. Jika y=10, taksiran untuk x ialah 1.107 + 1.303*10

= 13.137

A dan D Diagram dan kedua garis regresi

16. a.

b. - Hipotesis Statistik

Ho: ρxy = 0 (Tidak terdapat hubungan antara tinggi badan dan berat badan)

H1: ρxy ≠ 0 (Terdapat hubungan antara tinggi badan dan berat badan)

Dari tabel t dengan α = 0,05 ( ) α = 0,025 dan df = n-2 df = 10 – 2 = 8

Diperoleh ttab = t0.05;df=8 = 2,306

Kriteria uji: Karena = 8,295> ttab = 2,306 maka Ho ditolak

Kesimpulan: “Bahwa Berat Badan Berpengaruh Signifikan Terhadap Tinggi Badan”.