CONCEPTOSDE MATEMATICA

PARA CL MAESTRO

EL PROFESOR

Llamado a los docentes

de matemáticaEn este número:

Pág. Pág.Carta al lectorInstituto para el desarrollo de

la educación matemática (H. Freudenthal)

Llamado a los docentes de ma­temáticas

El documento de Chambéry Opinión de un docente. Pautas

para la matemática escolar (Universidad de Manchester)

sJCW|; j...

Conceptos numéricos (Z. P. Die­nes)

Apertura hacia la informática en la enseñanza de la matemática (J. Kuntzmann)

La visita (Gastón Micüaret) Cálculo de probabilidades (W.

Serváis)Bibliografía

32o!

' , 427

8 309

314517

28m____ _□ n "J■ ■ □ □ r..

kabten editora s. a33-0894/34-2403 BUENOS AIRES

□El cálculo electrónico

debe sercálculo impreso |

El cálculo electrónico

impresoes cálculo Olivetti*

PIEDRAS 614

DISTRIBUIDORES EXCLUSIVOS DE EDITORIAL TE.DE S.A. DE BARCELONA.

MATEMATICA MODERNAi

Toda la producción del Profesor ZOLTAN P. DIEÍMES

LA MATEMATICA MODERNA EN LA ENSEÑANZA PRIMARIA.LOS PRIMEROS PASOS EN MATEMATICA: 3 tomos

1° Lógica y juegos lógicos.2o Conjuntos, números y potencias 3o Exploración del espacio y práctica de la medida.

LA GEOMETRIA A TRAVES DE LAS TRANSFORMACIONES: 3 tomos1o Topología. Geometría proyecth/a y afín 2o Geometría euclidiana 3o Grupos y coordenadas

El cálculo electrónico significa velocidad, seguridad. Súmele' la impresión. El cálculo impreso es un cálculo que Ud. puede cotejar; un cálculo que Ud.

puede utilizar cuantas veces quiera: un cálculo que Ud. puede hacer circular, duplicar, distribuir.

Cualquiera sea su necesidad de cálculo, la respuesta está err el CALCULO OLIVETTI, en las CALCULADORAS IMPRESORAS LOGOS

DE LA LINEA 200.

ESTADOS Y OPERADORES: 3 tomos oliuettiIo Operadores aditivos 2o Iniciación al álgebra 3° Operadores multiplicativos

MAQUINAS PARA SERVIR AL HOMBRE

!

• LAS SEIS ETAPAS DEL APRENDIZAJE EN LA MATEMATICA

• FRACCIONES

• INICIACION A LA LOGICA Y CON­JUNTOS

• COMO UTILIZAR LOS BLOQUES MUL- TIBASE

• FICHAS DE MATEMATICA MODERNA para trabajos del alumno de acuerdo con el plan Dienes, para todos los grados.

• GUIAS DIDACTICAS DE MATEMATICA MODERNA. Enunciados, soluciones nadas, glosario de los temas y ejercicios complementarios, para los docentes de 6o y 7° grado. 3 tomos.

• LA CONQUISTA DEL NUMERO -I- por Nicole Picard

o LA CONQUISTA DEL NUMERO -I- Comentarios para el profesor

o LA CONQUISTA DEL NUMERO -II- por Nicole Picard

• LA CONQUISTA DEL NUMERO -II- Comentarios para el profesor

• GALEON I por E. Galión. Fichas para tra­bajo del alumno.

• EL PASO AL NUMERO NATURAL Z.P. Dienes

• DIDACTICA DE LA MATEMATICA MO­DERNA EN LA ENSEÑANZA MEDIA.

i

g¡HMIrazo- ¡ps

V la última novedad:FRACCIONES de Z. P. Dienes

EN VENTA EN TODAS LAS LIBRERIAS DEL PAIS

:

ACEPTOSDE MATEMATICA

V AÑO Vil Octubre-Noviembre-DiciembreCONCEPTOS DE MATEMATICA PUBLICACION TRIMESTRAL

Redacción y Administración:Paraguay 1949, Piso 6o Depto. A.

Depósito:Fernández Blanco 2045 - Bs. As.

Director - EditorJOSE BANFI

N° 28

CARTA AL LECTOR

Casi sería ocasión de reiterar Io dicho hace un año, en el NO 24 de CONCEPTOS DE MATEMATICA, vale decir nuestra alegría por haber cumplido siete años de vida una continuidad que alguien ha calificado de milagrosa dadas las difíciles circunstancias económicas por las que hemos atravesado y que "nosotros hemos superado reduciendo los gastos al mínimo más estricto, lo cual de nada hubiera valido sino hubiéramos contado con la entusiasta colaboración de tantos amigos que han acudido en nuestra ayuda y a los cuales decimos sencillamente gracias". Gracias, también, por haber soportado los retrasos en la aparición de los diversos números que, este año, fueron mayores que en oportuni­dades anteriores.

* No disminuirá lo dicho nuestro entusiasmo frente a la

inovedades con

SOLUCIÓN MEDIANTE COMPUTADORAS DE SISTEMAS ALGEBRAICOS LINEALES / George E. Forsythe y Cleve B. Moler — $ 30-CURSO DE FÍSICA ÓPTICA / Guido Bonfiglioli — $ 25-

CICLO MEDIO DE MATEMATICA MODERNA (V CURSO)César A. Trejo y Jorge E. Bosch — $ 33.-NOTAS DE ÁLGEBRA I / Enzo R. Gentile — $ 85.-ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA / Ángel Rafael Larrotonda — $ 100.-

MATEMÁTICA AVANZADA PARA LA FÍSICA / Manuel Balanzat — $ 57.-

Asesores: José Babini, Frédérique Papy, Georges Papy.

Redactores: Raúl A. Chiappa, Emi­lio De Ceceo, Juan C. Dalmasso, Haydée Fernández, Alfredo R. Palacios, Atilio Piaña, Elsa Sa- bbattielio, Andrés Valeiras y Cristina Verdaguer de Banfi.

Dibujante: Arq. Julio R. Juan.Suscripción Anual: Argentina $ 30

Ley 18.188 (m$n 2.000.-). Ex­terior 6 dólares o el equivalente en moneda de cada pai>. Los giros postales o >obre bancos de Buenos Aires, deben ser extendidos j nombre de CONCFPTOS DF MA- 1 l.M ATICA.

actividad que hemos de cumplir en 1974 que, como ya se sabe, es de mucho mayor trascendencia que la realizada hasta ahora. Esperamos, por supuesto, que el llamado a los docen­tes efectuado en el número anterior tenga bastante reper­cusión entre los mismos porque sabemos de su capacidad y de su esfuerzo para realizar una obra que pueda influir en el mejoramiento de la enseñanza, objetivo primordial del que­hacer docente.

* Aunque, por razones obvias, no es todavía importante el flujo de comunicaciones de nuestros lectores, para conti­nuar la obra comenzada, publicamos noticias referentes a la constitución de la Comisión que ha de encargarse de la tarea programada y sus primeras impresiones acerca de cómo en­tienden que ha de cumplirse la misma; también se da a conocer la interesante opinión de un docente y, finalmente, publicamos las "Pautas para la matemática escolar" redacta­das por docentes de la Universidad de Manchester, Inglaterra, y el "Documento de Chambery" redactado por miembros de Ia Asociación de Profesores de la Enseñanza Pública de Francia; el primero se refiere a contenidos organizados en forma especial, y el segundo a las concepciones filosóficas, científicas y educativas que a juicio de los autores deberían tenerse en cuenta para la organización de una enseñanza moderna, un aspecto conceptual que habremos de considerar con significación muy especial.

* Por último debemos consignar que nuevamente hemos debido elevar el valor de la suscripción que para 1974 será de treinta pesos ley 18.188, medida ineludible con Iá cual no sabemos si bastaré para enfrentar los gastos de producción. Esperamos que así ocurra.

Con votos por la ventura personal de todos los lectores, los saluda muy cordialmente.

I Ejemplar suelto: ??•“ Ley 18.Í88.Número atrasado: $ 10.- Ley

18.188.Lugares de venta: Ln nuestra sede

Fernández Blanco 2045, Buenos Aires y en Librería y Editorial Ahina. Perú 127: Librería y Edi­torial El Ateneo, Florida 340. Li­brería de las Naciones, Alsiqa y Bolívar; y en el Instituto Nácio- nal para el Mejoramiento de la Enseñanza de . las Ciencias (IN EC), sección Publicaciones, Avenida Eduardo Madero 235, 7° Piso, Capital Federal.

Para colaboraciones, números atra­sados. suscripciones y avisos.. diri­girse directamente al editor.

Registro, de la Propiedad Intelec­tual: N° 1.037.530.

reedicionesMECÁNICA ELEMENTAL / Juan G. Roederer —

ENSEÑANDO FÍSICA MEDIANTE EXPERIMENTOS / Félix Cernuschi y Emilio Signorini — $ 18-MATEMÁTICA MODERNA (II) / Papy —

LA NUEVA MATEMÁTICA / Irving Adler —

$ 22,50

$ 78.-

$ 11.- íT

Impreso en COGTAL Kivadavia 767. Capital)

I'í

■»! 8 SIf!

«Buenos Aires INTERES GENERAL Concesión N° 8205

Rivadavia 1571/73 - Buenos Aires franqueo pagadoConcesión N° 2687

EL DIRECTOR

3

I

mos extender nuestro esfuerzo a la reeduca­ción de los docentes secundarios de nivel más bajo, pudimos apelar a grupos importantes de docentes secundarios reeducados para reeducar a su vez a sus colegas de nivel más bajo usando material diseñado por nosotros. En esos momentos, la mayoría de los docentes secundarios de nivel más bajo ha sido reeduca­da, o más bien educada, pues para la mayoría de ellos la matemática razonable era un tema

gramas para un nuevo tipo de instrucción in­formática más alta y alrededor de 100 docen­tes fueron adiestrados en informática, lo cual fue algo bastante oneroso. En el sector de ''ternas especiales", durante algunos años realizó un experimento de instrucción en computación para alumnos de 15 años y toda­vía continúa en algunos centenares de escue­las; se está realizando una experiencia sobre la enseñanza de la probabilidad y estadística para introducir este tema dentro de algunos años en los programas regulares para estudiantes de 17 a 18 años. Se dictaron numerosos cursos y se publicaron algunos libros de texto proviso­rio para temas especiales. En educación voca- cional inferior, con su población escolar de bajo nivel y sus profesores de matemática po­bres en conocimientos y destrezas, constituye todavía un gran problema que, por ahora, sólo podemos intentar resolver. Nuestro principal interés reside ahora en la enseñanza primaria. Antes de hablar de nuestros procedimientos actuales en ese campo, debo explicar nuestras experiencias para modernizar la educación se­cundaria.

No siendo expertos en didáctica escolar nos limitamos inicialmente a cursos de matemática moderna confiando en que los buenos profeso­res serían capaces de integrar ese conocimien­to con su experiencia didáctica. Era una visión demasiado optimista, como se vio con el tiem­po. Posteriormente tratamos de agregar infor* mación didáctica, pero fue una grave desventa­ja que la mayoría de nuestros profesores, incluso los mejores, hubiera aprendido a anali­zar su experiencia didáctica y a trasmitir ese conocimiento. En cierto sentido, nuestra re­educación de los profesores secundarios de nivel inferior ha sido más satisfactoria puesto que integró la información matemática y la didáctica. Gradualmente, aprendimos que pese a la urgente necesidad de profunda informa­ción conceptual, el adiestramiento de docentes en ejercicio debe realizarse a la par de sus actividades docentes. Esto significa llanamente educar a un profesor sobre el tema que debe enseñar empleando el mismo material que usa­rá en clase. Tras algunos infructuosos intentos de introducir probabilidades y estadística se­gún antiguos cánones, ahora estamos haciendo experiencias de nuevo estilo empleando como base un curso para alumnos de 17 a 18 años junto a material muy apropiado elaborado en nuestro Instituto.

Nuestra comisión redactó nuevos programas para escuelas secundarias pero no escribió li-

de la educación matemática

en los Países Bajosse

I

nuevo.Entretanto, había entrado en nuestro ho­

rizonte la escuela primaria. Comprendimos la educación matemática debía comenzar

Hans FREUDENTHAL (Holanda) que

en el jardín de infantes, aunque se nos acon­sejó cautela y que no tratáramos de hacer matemática enseñada por maestros que no entendieran ese tipo de matemática o, in­cluso, ninguna matemática. Comenzamos por reconocer el campo para descubrir cómo debíamos proceder.

Hacia 1970, la actividad de nuestra comi-

¡la primaria y de profesores del más alto nivel secundario. Sin embargo, las posiciones inter­medias fueron generalmente ocupadas por maestros de enseñanza primaria que habían rendido exámenes complementarios. Hace 3 años se crearon las primeras instituciones para la formación de maestros para la escuela se­cundaria de tipo intermedio.

3. En 1961, el ministro de educación desig­nó una "Comisión para la modernización de la educación matemática". Fue la primera comi­sión gubernamental sobre educación escolar dominada no por maestros de escuela, inspec­tores y directores escolares sino por matemáti­cos universitarios. La preponderancia de cien­tíficos en el movimiento innovador de 1960 ha sido un rasgo internacional. Esto entrañaba el peligro de que el punto de vista de los contenidos prevaleciera sobre el pedagógico. Nuestra comisión trató de evitarlo. Creemos que la llave de la modernización de la mate­mática reside en la reeducación de los maes­tros más bien que en la discusión de nuevos programas.

Inicialmente, nuestro punto de vista sobre educación matemática era el de un grupo se­lecto. Nos concentramos en la educación se­cundaria de más alto nivel y en la reeducación de los maestros de ese nivel. Para éstos organi­zamos cursos muy intensivos sobre la forma­ción de conocimiento matemático durante dos semanas por año, prefiriendo ejercicios prácti­cos con pequeños grupos de trabajo antes que las conferencias dictadas a grandes auditorios. Afortunadamente con esos cursos llegamos a la mayoría de los profesores de matemática de alto nivel secundario y cualquiera haya sido el resultado directo de nuestros esfuerzos, logra­mos elevar el nivel de un número inusual­mente grande de profesores secundarios en ejercicio. Cuando pocos años más tarde decidi-

Bahia Blanca, 1972

1. La promoción anual de la escuela prima­ria en los Países Bajos es de alrededor de 250.000 niños. De ellos, menos de 25.000 llegan a la universidad o a otra educación superior -pienso en la educación más allá de los 18 años- aun cuando en los últimos tiem­pos la población universitaria ha crecido rápi­damente. Nuestra escuela dura 6 años. Teóri­camente es la misma para todos los niños, pero en la práctica las escuelas primarias de los diversos conglomerados de distinto nivel social difieren mucho entre sí. Hay una rica variedad de escuelas secundarias, generales y vocacionales, de 3, 4, 5 y 6 años de duración, aun cuando, en realidad, la diversidad de obje­tivos y programas es* la pantalla que cubre un sistema de privilegios y discriminaciones socia­les y culturales. Si un niño o una niña pasa de una escuela primaria a tal o cual tipo de escuela secundaria, eso significa que usual­mente tienen un estado social bien definido y un desempeño escolar en la escuela primaria de tal o cual nivel. Una pequeña minoría llega a las escuelas secundarias de más alto nivel, las que preparan para la universidad o educación similar equivalente.

sión, conducida por un pequeño número de colaboradores de tiempo completo, algunos pocos centenares de colaboradores de tiempo parcial y un cuerpo administrativo, se había convertido en un asunto caótico de muchosmillones. Varias veces habíamos pedido al go­bierno que institucionalizara nuestras activida­des. Finalmente, en 1971, luego de largas vaci­laciones, accedió. La comisión consiguió un instituto como brazo ejecutivo, instituto que, formalmente, fue un apéndice de la Universi­dad de Utrecht. Con un equipo de únos 20 docentes, un departamento administrativo y unos pocos centenares de colaboradores de tiempo parcial en la periferia, está ahora en actividad hace más de un año.

4. La tarea de este nuevo Instituto para el desarrollo de la Educación Matemática (IOWO) es, en principio, el desarrollo del cu­rriculum, aunque interpretado de manera más bien amplia. Continuará, además, el mayor vo­lumen de las tareas reeducativas de la comi­sión, mientras no haya otras instituciones que se encargan de ello. El Instituto está dividido en cinco departamentos: educación secundaria general, educación vocacional superior e infor­mática, educación vocacional inferior, educa­ción primaria y temas especiales (probabilidad, matemática aplicada, instrucción en computa­ción). Estos departamentos son paralelos a subcomisiones de la comisión principal, algu­nas de las cuales desarrollaron gran actividad en los últimos años. En el sector de la educa­ción vocacional superior se desarrollaron pro­

para una

2. La diversidad de nuestro cuerpo de pro­fesores refleja casi exactamente la de las opor­tunidades escolares: 60.000 maestros de escue­la primaria sin ninguna especialización están en un extremo de la escala frente a unos 1.500 maestros especializados en matemática para las escuelas secundarias de más alta nivel en el otro extremo, y entre ambos,' una varie­dad de maestros de escuela secundaria con formaciones educativas y científicas divergen­tes,’ 6.000 de los cuales enseñan algún tipo de matemática. Incluso en el pasado hubo institu­ciones para la formación de

t

!lí

maestros de escue-

4 5

i

y al resultado lo editamos como libro B n forma revisada del libro A junto con el libmB se usa entonces en escala más amplia cursos para readiestramiento de maestros Los cursos son impartidos por un par de adiestra­dores de maestros (un matemático

bros de texto o. si se lo hizo, se los dejó en forma experimental y no se ejerció mucha presión como para que estuvieran listos para su uso general y su introducción en gran esca­la. Acaso éste fuera el mayor error cometido porque significó dar vía libre a la iniciativa privada. No diría que esto se haya usado mala-

fortuna, puedo decir que hasta

los autores de libros de texto y redactores de planes escolares de trabajo, de quienes se espe­ra que cumplan sus actividades en estrecha conexión con nosotros. Esto aparte, desde el próximo año esperamos desarrollar un modelo de complementación en un distrito escolar en cooperación con la institución pedagógica del mismo.

7. Debo, todavía una explicación sobre el empleo del término ''matemático" el cual des­de el ascenso de la denominada "Nueva Mate­mática" ha sido mal empleado a menudo. Obviamente, la vieja matemática no se convier­te en matemática por colocarla en este nuevo marco aun si el viejo material es vivificado mediante tres colores en encantadores libros de trabajo de papel satinado. No se convierten en matemática ni siquiera cuando están orna­mentado o precedidos por alguna teoría con- juntista sin sentido que nunca se encontrará en una matemática seria. Ni siquiera es mate­mática comprar o vender un "conjunto de flores con el cardinal 10" y, en lugar de sumar 3 y 2 encontrar un nombre estandardizado para "3 + 2 ".

Esto, supongo, será compartido por mucha gente. Pero hay muchas otras actividades en la moaernización de la matemática de la escuela primaria que difícilmente merezcan el nombre de matemáticas, me refiero a todas las activi­dades que apuntan al mejoramiento de la ense­ñanza y el aprendizaje de la aritmética, de los números naturales, enteros y fracciones. Ha sido una ocupación durante siglos mejorar la didáctica de estas técnicas y si puedo confiar en lo que veo en los negocios y en el mercado me atrevería a afirmar que esos intentos han sido más bien satisfactorios. Concuerdo en que la matemática para los alumnos de "12 años" no es de calidad. Lo acepto de buena gana como un hecho en lugar de tratar de cambiar­lo. Con nuestras computadoras mecánicas, eléctricas y electrónicas no necesitamos com­putadores humanos, en particular si ellos son niños de doce años.

8. No considero que sea matemática intro­ducir a los niños de la escuela primaria en otros algoritmos y sistemas formales, sea que se les haya dado bellos nombres matemáticos o no.

factoriamente los métodos de matematización; hay inclusive medios más simples y más poten­tes para aprender y ejercitar la matematiza­ción. Un campo en el que todos, ellos se encuentran es el de la probabilidad, que he­mos investigado durante el último año acadé­mico en nuestro seminario interno y continua­mos investigando en nuestro trabajo práctico.

"Generalidad mediante paradigmas" apunta a una filosofía de interpretación de la mate­mática de nivel primario opuesta a las que prevalecen actualmente. No creemos que la abstracción se alcance, acumulando gran núme­ro de ejemplos concretos ni generalizando adu­ciendo una colección de casos especiales. Un gran número de instancias puede servir muy bien en muchos casos, en particular si deben ser reforzadas las respuestas del comporta­miento si se debe establecer y mejorar alguna técnica mediante la ejercitación, pero esto no es característico de la matemática. La matemá­tica verdadera debe encontrarse en las discon­tinuidades de los procesos de aprendizaje.

Permítaseme ilustrar esto con un ejemplo. Lo traté con alumnos de 8 años que recibían instrucción matemática en una escuela tradi­cional. Hice un dibujo: tres pueblos A, B, C, de los cuales A y B estaban unidos por tres caminos y B y C por dos caminos. ¿Cuántos llevan de A a C, vía B? Sentí como una vergüenza que niños de 8 años no estuvieran preparados para responder a esta cuestión que, en verdad, no es demasiado difícil para niños de jardín de infantes, aun cuando incluso mu­chos adultos o de nivel universitario no sean capaces de hacerlo (pero ésto es un secreto que les ruego no divulgar).

Mediante un penoso proceso de aprendizaje los niños logran finalmente resolver este pro­blema. Pocas semanas* después les di otro problema. Dos muros paralelos, uno con tres agujeros y otro con dos agujeros con un ratón en un lado y en el otro un pedazo de queso. ¿Por cuántos caminos puede el ratón llegar al queso?

Los niños respondieron a la nueva cuestión sin ninguna vacilación. Incluso respondieron a la pregunta de cuántas trayectorias debo dibu­jar para unir cuatro casas directamente entre sí, es decir, respondieron 12, lo cual muestra que más bien que contar el número de trayec­torias usaron un paradigma que, en este caso, no era del todo refinado.

Esto es verdadera matemática. No importa que el problema original fuera formulado con números especiales. Un caso aparentemente es- .

(Continúa en pég. 44)

en los

* ™ . • Y un peda­gogo) en unos 20 institutos de formación de maestros. En este momento asisten alrededor de 2.000 maestros. El libro C ne material formativo para los readiestradores de maestros. El libro D proporciona material paralelo para los estudiantes de los institutos de formación de maestros, nuevamente plementado con material formativo

a ellos contie-

mente; porahora nos hemos ahorrado la mayor parte de la hojarasca pseudomatemática producida en el exterior, pero debo admitir que los nuevos textos producidos por nosotros son apenas sa­tisfactorios y que en la disputa comercial los

satisfactorios son los que sobrevivieron más brillo. La mayor parte de la produc­

ción matemática para los dos cursos superiores de la escuela secundaria es aún inferior a lo que nunca fue en el pasado —pretensiones de estilo bourbakiano- fcubriendo tonterías mate-

com­para el

adiestrador de maestros contenido en el |j. bro E. Puede ser que continúe con el libro F para uso de los padres. Estas actividades auspiciadas por un periódico, por grupos de trabajo de los institutos de formación de maestros, por conferencias nacionales periódi­cas de esos grupos de trabajo y de los adiestra­dores de maestros.

menosIcon

son

máticas venidas desde afuera, y la amenaza es particularmente seria en el sector de mercado máximo, esto es, en la enseñanza primaria. Confío, no obstante, en que mediante una seria colaboración con los editores, podamos escapar de este peligro.

Por supuesto, el readiestramiento de unospocos millares de maestros es, en sí, una em­presa insatisfactoria, pero ésto no es nuestro verdadero objetivo. Los cursos de readiestra­miento de maestros se realizan debido a los aportes que se esperan de ellos. Nuestro obje­tivo principal es el desarrollo del curriculum y en este momento tratamos de determinar qué se puede hacer en este punto y cómo se lo puede realizar. Se necesita una estrategia de innovación y lo que ahora hacemos es simple­mente un mero reconocimiento táctico.

5. Como lo mencioné antes, nuestra princi­pal tarea innovadora está ahora en la educa­ción primaria, período escolar durante el cual se determina anualmente el destino mental de 250.000 niños de nuestro país. Los intentos de innovación en ese nivel, en una escala tan enorme, requirieron algo más que ideas mate­máticas y didácticas. Para lograr éxito necesi­tamos una estrategia. No digo que la posea­mos, o que estemos seguros de establecerla alguna vez en el futuro. Ahora estamos explo­rando el campo —no para hallar qué es lo que pueden aprender los niños del jardín de infan­tes o de la escuela primaria sino qué pueden enseñar los maestros y, más precisamente, qué es lo que nuestros adiestradores y readiestra­dores de maestros son capaces de enseñar a los niños-. Esto significa que debemos operar si­multáneamente en todos los niveles de la edu­cación primaria.

Todo comienza con lo que denominamos escuela de proyectos. El Libro A curso sobre yernas matemáticos restringidos, primero enseñados a los maestros en la escuela de proyectos por una persona de nuestro equi­po -algún tema como "calles y avenidas" probabilidad cualitativa", "contar inteligen­

temente"-. El contenido del libro A es proba­do por alguno de esos maestros en sus clases de tres niveles, 2°, 3°, 6° grado. Los maestros desarrollan sus propios métodos y experiencias

¿Podremos permitirnos esta cauta actitud? Quizás no. Las escuelas, los padres y el públi­co están pidiendo una nueva matemática en el nivel primario y los editores están presionando mucho. Para frenarlos tendremos que aceptar un compromiso. Dentro de pocos años entre­garemos nuestro primer curriculum para la es­cuela primaria, el cuál será la aritmética tradi­cional aunque vivificada por inyecciones mate­máticas —una etapa de transición en el camino hacia una verdadera educación matemática—.

*

*

6. Según nuestra interpretación, el curricu­lum no es simplemente un programa sino una compilación de todo el material de todas las fuerzas pertinentes. Contiene una descripción muy detallada del cgntenido, experiencias di­dácticas y consejos, material formativo mate­mático y didáctico, material constructivo para determinadas clases, ejemplos de proyectos más o menos elaborados, indicaciones sobre cómo redactar tests, etc. Este material estará disponible para todos los interesados, esto es.

es un corto

i Para explicar lo que me-gusta-considerar como matemática daré importancia a dos ras­gos principales: matematización de la realidad y generalidad mediante paradigmas de vasto objetivó. La aritmética aplicada es una herra­mienta demasiado restringida para cubrir satis-

i

f 6 7

LOS DOCENTES DE MATEMATICALLAMADO A de Chambéry*documento.

A a Etapas y perspectivas de la reforma de la enseñanza de la matemática.

Este plan tiene por objetivo exponer las razones que existen para una reforma continua de nuestra enseñanza desde la escuela maternal a las facultades y, además, las modalidades que, a nuestro criterio, servirán para que pue­da ser realizada. He aquí la síntesis:

1. ¿Por qué debe reformarse la enseñanza de la matemática desde la escuela maternal a las facultades? Argumentos matemáticos, ar­gumentos pedagógicos, argumentos sociales o económicos.

2. ¿Por qué es posible la reforma? Ella está parcialmente alimentada en Francia; las experiencias pedagógicas confirman los buenos efectos; las experiencias extranjeras refuerzan esa opinión; se vuelve indispensable'informar al público y a los maestros

3. ¿Cómo realizar la reforma? Es necesario reconocer la importancia de una verdadera ex­perimentación pedagógica que debe ir unida a una seria información de los maestros; el papel esencial de la formación de los maestros, for­mación inicial y formación continua, motiva la creación de los Institutos de Investigación so­bre la Enseñanza de la Matemática (I.R.E.M.) preconizados por la Comisión Lichnerowicz; el sendero está abierto para una evolución con­tinua de nuestra enseñanza.

4. Primeras etapas: la amplitud de las me­didas a tomar exige proceder por etapas; ¿cuá­les son las reformas más urgentes? , ¿cuáles son las más rápidamente realizables?

5. Las etapas siguientes: el escalonamiento ' de las reformas es condición para su éxito; la preparación en tiempo más largo de las etapas siguientes acrecentará su eficacia.

6. Conclusión: lugar de la matemática en la reforma general de la enseñanza; coordinación

programa Luego de muchos años, la Asociación de Profesores de Matemática de la Enseñanza Pública (A.P.M.E.P.) estudia los problemas planteados por la evolución de las ciencias comprendido entre ellos el de la educación en lo referente a la enseñanza de la matemática. En el seno de una Comisión de "Investigación y Reforma", reunida por su iniciativa, se tomó contacto con profesores de otras disciplinas, investigadores, psicólogos, ingenieros. La ac­ción de A.P.M.E.P. no es ajena a la constitu­ción de una Comisión Ministerial para la En­señanza de la Matemática presidida por Lich­nerowicz, cuyo primer informe publicado en marzo de 1967 marca un cambio importante con respecto a las concepciones anteriores.

La asamblea general de 1967 de A.P.M.E.P., teniendo en cuenta la evolución favorable hacia una reforma general de la ense­ñanza de la matemática, decidió profundizar su trabajo de investigación para llegar a la formulación de un plan coherente y realista. Después de muchas reuniones restringidas, or­ganizó un coloquio principalmente dedicado a la enseñanza elemental y a la organización de la información de los maestros; del 1 al 4 de enero de 1968, unos cuarenta colegas, instruc­tores, directores de escuelas normales, inspec­tores departamentales, profesores primarios, secundarios y de facultad, elaboraron un pri­mer documento. Retomado y completado por el Comité Nacional de A.P.M.E.P. se le da el nombre general de Charte de Chambéry y se lo propone al examen de los adherentes. Mejo­rado por las observaciones, adoptado luego por la Asamblea General de 1968, es presen­tado a las autoridades de la educación nacio­nal por las autoridades de A.P.M.E.P., a los maestros de la enseñanza pública, a los padres de alumnos y, en general, a todos los que se interesen por la enseñanza de la matemática. Tenga este documento la virtud de informar a un vasto público, suscitar sus reflexiones y, mejor aún, llevarlo a concebir y a realizar la reforma necesaria de nuestra enseñanza.

5

ij:

sor José BANFI, director de CONCEPTOS de MATEMATICA.

La mencionada Comisión ya efectuó una reunión para distribuir las tareas. Con la con­ciencia clara de lo arduo del problema que deberán enfrentar y el deseo de cumplirla en forma de resultar útil para los docentes de la especialidad y, al fip y a la postre, a la resolu­ción de un serio problema educativo, decidió que sus objetivos eran los siguientes:

1) Brindar información sobre programas de matemática que se están aplicando tanto en nuestro país como en el extranjero.

2) Promover por intermedio de CONCEP­TOS DE MATEMATICA un intercambio de opiniones entre los docentes de matemática con vistas a la formulación de criterios sobre contenidos y metodología específica.

3) Elaborar un anteproyecto que incluya los distintos ciclos y modalidades de enseñan­za con el propósito de que sea conocido por los docentes y autoridades educativas.

4) Figuran entre las misiones de la Comi­sión los siguientes:

a) Seleccionar material que pueda ser publicado;

b) Consideran las iniciativas, aportes y colaboraciones de los docentes;

c) Requerir la opinión de especialistas de reconocida autoridad;

d) Redactar un trabajo de síntesis para los 12 años de escolaridad que será presentado y analizado en JORNA­DAS públicas que se realizarán en fecha a determinarse.

La correspondencia, que estamos seguros será abundante y útil, deberá dirigirse a CON- CEPTOS DE MATEMATICA, Paraguay 1949 — 6° A, Buenos Aires.

El llamado hecho en nuestro número ante­rior ha despertado, a lo que sabemos, un pru­dente entusiasmo entre los docentes de mate­mática según lo hemos podido verificar por las cartas recibidas o por las referencias que nos han hecho llegar algunos colegas. Estamos comenzando una tarea, la época es poco pro- picia porque los docentes se aprestan a recupe­rar fuerzas luego de la ardua labor escolar de este año, pero, no nos cabe ninguna duda de que el interés se acrecentará y que llegaremos a las soluciones deseadas.

•I

La ComisiónPodemos, si, dar cuenta de que ha quedado

constituida la Comisión que ha de ocuparse de las tareas señaladas en el número anterior. Está formada por los siguientes docentes, por orden alfabético:

Mabel O. Cepeda de AYERRA, inspectora de enseñanza primaria en la provincia de Bue­nos Aires; Carlos O. BESENYI, docente en escuelas privadas; Jorge E. BOSCH, profesor de la Universidad Nacional de La Plata; Estela Orbegoso de GONZALEZ BARO, profesora secundaria en la Universidad Nacional de La Plata; María Josefa GUASCO, profesora de enseñanza secundaria e institutos de formación superior; Lucrecia IGLESIAS, licenciada en matemática y profesora en instituciones nacio­nales y privadas; Olga L. LESCANO, profesora en la Universidad Nacional de La Plata; Alfre­do L. PALACIOS, profesor en el Liceo Naval "Almirante Brown"; Atilio PIAÑA, inspector de matemática de la Dirección Nacional de Enseñanza Media y Superior del Ministerio de Cultura y Educación de la Nación y el profe-

$

L* Artículo publicado en el boletín N° 261 de 1968

de la Asociación de Profesores de Matemática de la Enseñanza Pública de Francia que traduce la opinión de la mayoría de los docentes de mate­mática de ese país y que seguramente nos resultará muy útil.

Cumple hacer notar que las conclusiones de este informe, junto a los nuevos programas de la Comisión Lichnerowicz han sido puestos en vigen­cia en Francia y en estos momentos se está en el momento culminante de su desarrollo.

í.'i

8 9

i

ránea se organiza alrededor de algunos temas principales y su conocimiento aclara tanto los problemas que el ama de casa se plantea al hacer sus compras las mismas teorías que debe afrontar el físico nuclear, el ingeniero o el arquitecto. En tiempos de la máquina de va­por bastaba que sólo algunos ingenieros súple­

la teoría de la integración; en la época de los ordenadores y de la automatización, la lectura de un organigrama y el manejo de los símbolos deben formar parte de la cultura de todos.

Sería inverosímil, por otra parte, que nues­tra época, signada por una evolución acelerada en todos los dominios, sea de un estrecho conservadorismo en los programas de matemá­tica. Eso sería tanto más inadmisible cuanto que la pedagogía, por su parte, reclama una revolución que corresponde a la del contenido matemático.

2. La pedagogía activa, basada sobre el análisis de la génesis de las nociones en el niño, conducen irremisiblemente a una refun­dición completa de nuestros métodos de ense­ñanza. Sin negar los resultados obtenidos por los métodos tradicionales y aprovechando, por lo contrario, la experiencia adquirida por los maestros conscientes de las dificultades peda­gógicas que se debían superar, podemos ahora poner en práctica técnicas que ya han sido probadas.

Ninguno de esos progresos habrían sido posibles sin la obra a menudo oscura y siem­pre admirable de algunos vanguardistas, teóri­cos y prácticos, como Piaget, Wallon, Gatte- gno, Cuisenaire, Freinet, Dienes, Madeleine Goutard, etc. Porque tenemos conciencia de lo mucho que les debemos, entendemos que se­guimos su ejemplo; fidelidad en la obra que exige el examen crítico de sus conclusiones. Pedagogía, ciencia abierta o sino anticiencia.

Debemos reconocer la imperfección de nuestros métodos tradicionales. El alardeado principio del "redescubrimiento" no impide el retorno más o menos consciente a los métodos dogmáticos. Los fracasos escolares en matemá­tica han sido siempre duramente sentidos por los pedagogos. La reforma del contenido de nuestra enseñanza asociada a una renovación de los métodos debe, a nuestro parecer, dismi­nuir cada vez más los fracasos escolares.

Aquí es necesario dar cuenta de algunos malos argumentos que se oponen a la renova­ción de los programas: en primer término, no se trata de introducir brutalmente toda la ma­temática moderna, no importa cuándo y no

con las otras disciplinas, conjunción de esfuer- educación feliz. Lejos de querer

imponer un nuevo "imperialismo" intelectual, el de la matemática, queremos que nuestra disciplica actúe con dinamismo propio en be­neficio de todos.

¿Por qué debe reformarse la enseñanza la matemática desde la escuela maternal

hasta las facultades?

importa dónde. Nadie sueña con hacer que los niños de los cursos preparatorios lean Bour- baki.

Wallore reclama que para niños de 7 a 9 años sea llevado a 10 horas.

Las cuestiones referentes a métodos y pro­gramas están estrechamente vinculadas. Hasta ahora los programas fueron concebidos como listas de temas que debían desarrollar los maestros y asimilar los alumnos en tiempo bien determinado. Es verdaderamente preferi­ble introducir cada noción "pronto y progresi­vamente" (A. Revuz), precisando y profun­dizando los conceptos en varios años, por aproximaciones sucesivas si fuera necesario. Esta maduración permite un verdadero apren­dizaje, la adquisición de un saber y de un saber hacer.

En verdad, la adquisición de técnicas (nu­meración, operaciones con números) no ha sido abahdonada. Pero la noción de número ganará al ser preparada mediante rudimentos de la gramática de los conjuntos y de lógica. Los niños sabrán contar y calcular más tarde acaso de lo que exigen los programas actuales, pero lo harán mejor. Por otra parte, por el hecho de la prolongación de la escolaridad obligatoria, la misión de la escuela primaria ya no consiste en enseñar los conocimientos in-

zos para una

Se dice a menudo: "Nuestros pobres alum- ya no comprenden mucho de nuestras

buenas viejas matemáticas. Y vosotros queréis lanzarlos a esa jerigonza impenetrable, ese sim­bolismo abstruso, esas austeras abstracciones,

caracterizan a la matemática moderna" En realidad, el vocabulario y el simbolismo modernos no son el resultado de un esnobis­mo ridículo que sufrirían los alumnos. No sólo no se aumentará la dificultad de su tarea sino que también el espíritu moderno puede, y normalmente debe, aportar un progreso en el plano puramente pedagógico. Aporta, dice Revuz "grandes ¡deas simples y muy potentes" que ayudarán a los alumnos.

Es necesario responder también a las críti­cas sumarias. "He visto producirse "resultados desastrosos” por la introducción de nociones modernas en la enseñanza secundaria; no he podido juzgar tal experiencia particular que no conozco y seguramente es posible enseñar tan mal las matemáticas actuales como las otras, pero sería necesario también no olvidar el de­sastre general y permanente de la enseñanza tradicional. Ese desastre está marcado por el hábito que hace que si un alumno tiene dificul­tades en una clase en la que se intenta intro­ducir‘la matemática moderna, se adjudica la culpa al profesor, mientras que si el alumno tiene dificultades con la exposición tradicio­nal, se adjudica la culpa al alumno y se con­cluye "Es un cretino" o con más calma: "No tiene disposición para la matemática" (A. Re­vuz, Matemática moderna, matemática viva)"'

Sin duda, el período transitorio que vivi­mos conoce dificultades especiales: el pasaje de las concepciones antiguas a las nuevas im­plica riesgos en cualquier nivel de enseñanza, sobre todo cuando el pasaje es brutal. Estos ya no existirían para los niños que comienzan desde la escuela maternal su aprendizaje de la matemática contemporánea.

Tenemos que subrayar, por otra parte, que la introducción de un nuevo contenido en la enseñanza de la matemática será inoperante, hasta nefasta, si no va acompañada de una pedagogía adecuada: activa, abierta, lo menos dogmática posible, que emplee el trabajo en grupo y llame a la imaginación de los niños. Con este propósito, médicos y psicólogos en­tre otros, están de acuerdo en estimar que un horario hebdomadario de 30 horas para los niños pequeños es aberrante; el plan Langevin-

nos

ran1de que

Que la enseñanza de la matemática sea ana­lizada en su contenido, en su forma pedagó­gica o en su papel social o económico, es ciertamente muy notable que las conclusiones sean convergentes; lo que se denomina un po­co apresuradamente matemática moderna, que convendría más denominar concepción cons­tructiva, axiomática, estructural de la matemá­tica, fruto de la evolución de las ¡deas, se adapta "como un guante", nos permitimos decirlo, a la formación de la juventud de nues­tro tiempo. Es importante que todos los ciu­dadanos y, en primer término, todos los edu­cadores, comprendan bien las razones y los caminos favorables en que ella conduce a la enseñanza.

1. La matemática es una ciencia viva: El aumento de los descubrimientos se conjuga en ella con una reorganización de su estructura; las nociones conjuntistas adquiridas a fines del siglo XVIII, la noción de estructura que sirve de armazón a la obra de Bourbaki, pueden compararse en sus efectos al papel que tendría un urbanista que dispusiera de créditos para suprimir las villas miseria.

dispensabas para la vida corriente sino, sobre todo, en formar los espíritus, en dar a cada uno capacidad para adaptarse a las condiciones ampliamente imprevisibles del futuro.

No olvidemos responder de antemano a otra objeción: ¿por qué no aguardar que los adolescentes hayan elegido un poco su camino

desarrollar tal o cual rama matemáticaparaque le será útil? Por lo contrario, solicitamos una reforma que comience por el principio, desde el jardín de infantes y el curso prepara­torio y que continúe progresivamente a lo largo de toda la escolaridad. Exigencia que corresponde a la unidad profunda de la mate­mática y al mismo tiempo a la inquietud de continuidad, de progresividad a la cual, a justo título, están ligados todos los pedagogos.

Las reformas que preconizamos no se justi­fican tan sólo por razones pedagógicas. Re­fuerzan esta orientación la evolución social.

Así se ha vuelto posible una actualización de los programas como, por otra parte, siem­pre fue el caso a lo largo de toda la historia repetidas veces: en el siglo XV, la adición y la sustracción sólo eran enseñadas en las de Francia; para la multiplicación, se debía acudir a algunas raras y prestigiosas universi­dades de Italia; en el siglo XVI, la división era una proeza de especialistas; en el siglo XX, la introducción de métodos vectoriales en la pe­dagogía matemática ha provocado vivas resis­tencias aunque actualmente sería bastante ... barazoso pasarse sin ellos, lo mismo que nadie podría pasarse sin las cifras árabes.

Hoy las nociones conjuntistas, las estructu­ras fundamentales del álgebra, las ¡deas básicas de la topología, irrigan

raras escue-

4

económica y tecnológica.3. La economía moderna requiere una for­

mación científica más avanzada para un grupo más grande de individuos: "Un estudio recien­te muestra que en 1975... tendrá un rendi­miento máximo con 20 manuales propiamente dichos en donde otrora había unos 80; y que inversamente serían necesarios 80 trabajadores

hayan recibido formación secundaria o técnica donde había 20 al comienzo del siglo.

em-

i con sangre nueva a toda la matemática, lo que tiene la virtud de volver más accesible un nivel de abstracción antiguamente reservado a iniciados privilegia­dos. Toda la actividad matemática

quecontempo-?

1 10 11

f

alumno son de órdenes tan diferentes, ción creadora o constructiva es de la naturaleza. La reforma es posible gracias conjunción de los objetivos matemáticos consideraciones pedagógicas.

De ellos, los que alcanzan un nivel de instruc­ción equivalente o superior al del bachillerato, en lugar del 1 por ciento hace unos cincuenta ños deberían estar en proporción del 32 por ciento, es decir 1 cada 3". (Louis Cros, La explosión escolar). V pata asta formación lo que se requiere es la matemática: "Aun si ella -la matemática moderna- parece no servir para nada, es manifiestamente un modo de pensar capaz de contribuir potentemente a la formación del espíritu y, sin duda, no hay necesidad de ser profeta para afirmar que sirve para forjar las herramientas del ingeniero de mañana". (Prof. Bastick, químico, director de la Escuela Nacional Superior de las Industrias Quimicas.de Nancy).

La matemática contemporánea es útil' en muchos dominios: física teórica (con toda se­guridad), pero también ordenadores, investiga­ción operativa, organigramas de las grandes organizaciones, gestión de los "stoks" de las empresas, planificación de los grandes trabajos, sociología, lingüística, medicina (formulación de diagnósticos), farmacia...

A nivel de las enseñanzas elementales, des­de la escuela maternal al bachillerato, pode­mos afirmar sin temor de ser contradichos, que la nueva formación matemática es tan importante para la cultura de cada individuo como para la educación del ciudadano y el aprendizaje del productor.

peña, en la realización de las reformas, un papel esencial.

Conviene subrayar la importancia primor­dial de la enseñanza en los estadios de la escuela maternal y de la escuela elemental y su resonancia sobre toda la vida escolar y profesional de un individuo. Los recientes des­cubrimientos de la psicología permiten afirmar que todo ser humano está signado en forma preponderante por su primera infancia. Parece que eso sea particularmente cierto en el domi­nio de la formación matemática. La actitud de una persona en presencia de una situación matemática depende en gran medida de la forma en que ha tomado conciencia de los entes jnatemáticos. Es verosímil que estas comprobaciones sean válidas para las otras dis­ciplinas.

Estas observaciones nos conducen a sub­rayar el papel privilegiado del instructor en la enseñanza. Las altas responsabilidades que les son confiadas le confieren una dignidad que requiere una valorización de su función. Pensa­mos que todos los educadores deberían recibir una formación inicial diversificada pero del mismo nivel de calificación, que les dé dere­cho a la misma retribución.

La importancia de esas responsabilidades que exige una formación inicial muy profunda requiere igualmente una formación continua.

a) Formación inicial:Todos los instructores deben beneficiarse

con una formación inicial de tres años de duración después del bachillerato, dispensada en el seno de las escuelas normales. Esta for­mación debe ser asegurada por un competente equipo de formadores además de los profe­sores y directores de escuela normal, los ins­pectores departamentales, los instructores, los profesores de segunda enseñanza y de la ense­ñanza superior, los psicólogos...

El horario de matemática (formación teóri­ca complementaria y aplicaciones pedagógicas) propuesto es de tres horas semanales durante toda la duración de la formación.

Preconizamos el trabajo por grupo preferen­temente al curso magistral. Este método tiene el doble interés de enseñar a los futuros ins­tructores a trabajar en equipo y a vivir los métodos que deberán emplear en sus clases.

Los temas sugeridos para ese trabajo en grupo son (entiéndase bien que la lista no es limitativa):

—Relaciones. Conjuntos.—Leyes de composición.-^Estructuras.

su ac- misma a esta Y las

En resumen, la reforma ya ha comen­zado, ya está en vías de realización. Las primeras experiencias, muy poco nume­rosas todavía, muestran que es realizable de inmediato. Las realizaciones extran­jeras deben también ayudarnos.

Pero para que la reforma se oriente bien, es necesario informar a los maes­tros, a los padres, a todos los educadores sobre los objetivos de la reforma y las condiciones óptimas de realización.

Las tentativas aisladas o fragmentarias ya realizadas en el mismo seno de nuestra ense­ñanza pública francesa prueban que las refor­mas propuestas son realizables. Esos ensayos,sin embargo, no se han beneficiado de condi­ciones favorables: en primer término obras de maestros aislados que siempre debie­ron, como vanguardistas, enfrentar la cución de su empresa y la enseñanza de los programas oficiales.

son lasr1 prose- 3. ¿Cómo realizar la reforma?

Por la misma naturaleza de su objetivo, la reforma de una enseñanza no puede cumplirse totalmente de un golpe e introducirse sin pre­caución en una realidad vivida por millones de personas. La reforma es una construcción pro­gresiva. No se trata de instituir nuevos regla­mentos sino de vivir una reforma, vivirla y hacerla vivir, esto es, progresar.

1. Una verdadera experimentación. Por ello asentamos el principio de que antes de genera­lizar nuevos programas, nuevos métodos, es necesario tomarse tiempo para experimentar esas novedades en un marco pedagógico satis­factorio.

Esta experimentación, para ser significativa, debe organizarse en una escala suficiente, so­bre un ciclo completo de estudios del jardín de infantes al curso medio 2o año; las escuelas que practiquen la experiencia deben benefi­ciarse con condiciones favorables, no pudiendo ser mayor de 24 el número de alumnos de cada clase. La experimentación debe hacerse en medios socioculturales diversos. Se reco­mienda reconsiderar en esta ocasión la mito­logía de las notas, composiciones, clasifica­ciones, exámenes...

La experimentación en los diversos niveles debe coordinarse. Los maestros que participan en las experiencias de los diferentes niveles deben trabajar vinculadamente; deben poder establecer fácilmente contactos con los maes­tros que enseñan otras disciplinas, con perso­nas ajenas a la enseñanza y susceptibles de beneficiarlas por la experiencia en tal o cual dominio de la actividad social.

Finalmente, para ser útiles a todos los maestros, las escuelas experimentales deben poder visitarse fácilmente, los resultados de las investigaciones deben publicarse y ponerse a disposición de todos.

2. La formación de los maestros desem-

<

ITambién se ha podido reconocer el interés

de las experiencias mejor coordinadas sea en las escuelas de aplicación vinculadas a profe­sores de la escuela normal, sea en el marco de la investigación pedagógica organizada por el servicio especial del Instituto Pedagógico Na­cional. Veremos más adelante por qué esas estructuras son insuficientes para realizar en toda su amplitud la reforma que pedimos. Pero es necesario reconocer, en el estado ac­tual de cosas, que las experiencias realizadas han tenido el mérito de probar la validez de las hipótesis de partida.

Debe igualmente tomarse en cuenta el ejemplo que nos brindan muchos otros países. En Bélgica, bajo la dirección de Papy, de la Universidad libre de Bruselas, se ha renovado el conjunto de los estudios secundarios en matemática en un camino muy cercano al que preconizamos. Las escuelas animadas por Die­nes, en Canadá, los estudios dirigidos por la señora Krygowska en Cracovia (Polonia), los grupos de profesores reunidos alrededor de Fletcher en Inglaterra, etc., son algunos de los elementos más dinámicos de un "movimiento" internacional en el cual la enseñanza francesa tiene un papel que desempeñar.

Sería necesario además que los maestros y los padres de alumnos tengan una idea muy precisa de esta revolución en la que, tarde o temprano, han de encontrarse "embarcados". En lugar de sentirse empujados o bamboleados por una corriente cuya orientación no com­prenden, si todos los pedagogos estuvieran bien informados sobre la cuestión, serían bue­nos marineros y podrían conducir al barco de sus niños por los mejores canales.

1

En resúmen: la reforma de la ñanza matemática que preconizamos se basa:

ense-

- sobre las ideas directoras que añi­la vida matemática contemporánea.

- sobre los estudios psicopedagógicos que han puesto en evidencia la impor­tancia de los métodos activos y la sidad de un pasaje muy progresivo a las nociones más abstractas.

-sobre el papel primordial desem­peñado por ¡a matemática en la organi­zación social y en la producción de bie­nes y de servicios.

man

ynece-

!!is-I:.

V 2. ¿Por qué es posible la reforma?

Lo que precede ya lo hace comprender; si las ambiciones del matemático y las del joven

í•4

!12! 13;

\

!

vo espíritu lleva en sí muchas de las zas de la reforma.

4. Continuidad de Ia reforma. Los I.R.E.M no son organismos provisorios con misión tem­poralmente limitada. Su creación significa tam­bién que el concepto de reforma continua, de adaptación permanente de la enseñanza a las condiciones científicas, pedagógicas, sociales y económicas, comienza a tomar forma. Ya es tiempo. Más valdría adaptarse que deber prender revisiones desgarradoras.

No tenemos la pretensión de aportar la última sustancia a la obra educativa. Queremos proseguir lo que otros ya han sabido hacer y permitir que nuestros sucesores no sufran demasiado las insuficiencias de nuestra acción.

Los I.R.E.M., si sabemos hacer de ellos organismos vivos, estarán en permanente muta­ción, como la enseñanza misma, como las so­ciedades prósperas.

nes de conjunto y relación; el acento llevado a la noción de operador, prepararán el comienzo de la aplicación de los nuevos programas.

De la 6a a la 3a*, los nuevos programas elaborados por la Comisión ministerial debfe- rían tener el mismo objetivo. Esto supone el restablecimiento del horario reglamentario de 4 horas en 6a y 5a y i a extensión a las ciases de 4a y 3a de ia hora de trabajo dirigido por cada media ciase.

En el segundo ciclo, los mismos nuevos programas se concebirán con el mismo desig­nio. Además, será preciso que /as secciones técnicas reencuentren, en las Ciases 1a y Fina! el horario indispensable.

2. La formación continua de ios maestros en ejercicio debe comenzar por las de los maestros de las clases de aplicación debido a su participación en la formación inicial de los maestros. Ella debe también alcanzar a todos los maestros que participan en experiencias y, en general, a todos los maestros voluntarios. Una descarga de servicio de tres horas conse­cutivas semanales debería poder obtenerse, en particular, para el trabajo en equipo.

Sin más tardanza, es necesario preparar la información continua del conjunto de maes­tros en ejercicio. Esto supone la formación urgente de millares de formadores.

3. La creación de ios I.R.E.M. es, pues, de primordial urgencia. Si no es posible pensar que cada academia pueda ser dotada de inme­diato, parece posible crear cinco (París, Lyon, Rennes, Burdeos y Estrasburgo) a la iniciación de las clases de 1968 y los demás antes de comenzar 1969.

4. Las medidas excepcionales para el reclu­tamiento de maestros serán facilitadas por la ayuda que los I.R.E.M. prestarán para su for­mación; ese reclutamiento deberá ser suficien­te desde setiembre de 1969 para eliminar todo obstáculo para el restablecimiento de los hora­rios reglamentarios.

esperan-í —Construcción de conjuntos numéricos.—Lógica.—Exploración del espacio.-Geometría por transformaciones.-Medidas.-Probabilidades y estadística.Cada tema se estudiará bajo los aspectos

teóricos y pedagógicos.La formación inicial de los maestros de

segunda enseñanza se inspirará en los mismos principios que los I.R.E.M.

b) Formación continua:La formación continua responde actual­

mente a una necesidad general creada por la rápida evolución de la vida moderna. Esta ne­cesidad es la de todos los pedagogos, en parti­cular de los que enseñan la matemática "desde la escuela maternal hasta la facultad".

La organización de la formación continua para todos los maestros no debe provocar un crecimiento de sus cargas profesionales. El tiempo necesario debe, pues, ser tomado de los horarios de servicio, justamente porque es­ta formación forma parte del servicio. Las modalidades de esta formación continua deben ser diversas: períodos de prueba, cursos por correspondencia, emisiones televisadas de audi­ción colectiva seguida de debates, etc.

Los documentos necesarios para esta forma­ción deben ser cuidadosamente preparados y mejorados poco a poco a la luz de la crítica de quienes la emplean. Los organismos oficia­les responsables de su producción deben tomar económicamente a su cargo la difusión entre el personal.

3. Los Institutos de Investigación de la En­señanza de la Matemática. La experimentación y la formación de maestros son los dos moto­res de la reforma. Para hacerlos funcionar a escala del país para decenas o centenas de miles de maestros, para millones de alumnos, es necesario disponer de organismos nuevos que puedan realizar bien todas las tareas indi­cadas más arriba si se quiere que los contactos entre profesores se conserven en escala huma­na. Tal es el papel de los Institutos de Investi­gación de la Enseñanza de la Matemática (I.R.E.M.) para los cuales la Comisión Lichne- rowicz ha bosquejado el plan.

Entonces, si es superfluo comentar lo que la Comisión ministerial ha dicho tan bien, pre­cisemos no obstante que, para nosotros, la creación de los I.R.E.M. implica un nuevo espíritu de cooperación entre los maestros de todos los niveles de enseñanza y que ese nue-

5. Las etapas siguientes

Sería presuntuoso fijarlas desde ahora y sin conocer los resultados de las experiencias que comportan las primeras etapas. Contentémo­nos con dar, a título de ejemplo, algunas suge­rencias que pueden conducir en un plazo razo­nable a una reforma de conjunto.

Información de los maestros: Exige la crea­ción de un I.R.E.M. en cada academia y la preparación de los maestros en ejercicio para la aplicación de los nuevos programas.

Las experiencias emprendidas encontrarán así su lugar y podrán desarrollarse favora­blemente. ‘

!.

em-<’

>'

En resumen, el esca/onamiento de las reformas a emprender subraya la ampli­tud y la profundidad de los cambios a realizar al mismo tiempo que el aspecto realista de ese plan. Para llegar a una reforma de conjunto en 1982, es necesa­rio prepararse para comenzar en 1971.En resumen, la realización de las re­

formas comienza:— por una experimentación pedagó­

gica seria;-por un esfuerzo siempre creciente

para la formación de los maestros: formación inicial y formación per­manente.

Los Institutos de Investigación de la Enseñanza de la Matemática serán, en escala académica, los organismos encargados de coordinar la experimen­tación y ¡a formación de maestros.

La creación de los I.R.E.M. engan­cha a nuestra enseñanza en la vía de la reforma continua,

r

6. Conclusión.Este informe no se refiere más que a la

matemática. La reforma de esta enseñanza no tendrá significación completa más que en un marco más general; de esto tenemos clara con­ciencia. Por ejemplo, el horario semanal de las clases primarias, el calendario escolar, el ré­gimen de exámenes, todo eso debe ser reconsi­derado. Pero el problema supera la competen­cia de nuestra sola asociación. Es necesario, por otra parte, señalar que es un problema político porque es de interés nacional.

Por lo menos, pensamos haber contribuido, presentando este informe, al atractivo de solu­ciones que nos parecen realizables en la medi­da en que todos, ciudadanos, padres y maes­tros, tengamos la voluntad de realizarlos.

En ese dominio, como siempre, es más fácil bosquejar planes que pasar a los actos. Porque vivimos las dificultades actuales de nuestra enseñanza, porque a menudo hemos tomado iniciativas particularmente en el dominio de la información de los maestros, hemos creído poder, o mejor, deber decir lo que nos parece necesario y posible.

4. Las primeras etapas.La urgencia de las reformas a emprender no

puede hacer olvidar la amplitud y la novedad de las realizaciones que comportan. Es nece­sario, pues, actuar por etapas y fijar muy precisamente las primeras. Las medidas que preconizamos son las siguientes:

1. El arreglo de la enseñanza actual du­rante un período transitorio que no debería exceder de 5 años. A nivel primario, eso po­dría lograrse mediante la redacción de nuevas instrucciones tendientes a la simplificación de los programas actuales, a su reestructuración (para poner en evidencia todas las partes que requieren la máxima atención de los maes­tros); la introducción progresiva de las nocio-

ir En resumen:

— Arreglo de las enseñanzas primaria y secundaria durante un período transi­torio (cinco años como máximo).

— Organización y desarrollo de la forma­ción continua de los maestros.

— Creación de cinco I.R.E.M. en setiem­bre de 1968.

— Reclutamiento excepcional de maes­tros por los matemáticos.

, i: •

:j

* Recuérdese que en la escuela secundaria francesa se comienza con la clase de 6a continuando pro­gresivamente con la 5a, 4a, etc., hasta la 1a para concluir con la Clase Final.

15U

i

1-

dones que se proponen no economizaremos esfuerzos. Lo que nos autoriza, a nuestro pare­cer, a pedir a todos los ciudadanos y a nuestra administración el esfuerzo que implica toda reforma: hombres, créditos, tiempo.

La Comisión Directiva de A.P.M.E.P.1

\ Esto no significa sucumbir a una especie de tentación, la del imperialismo de la matemá­tica. Si tenemos conciencia de las necesidades implicadas por la enseñanza de nuestra disci­plina, sabemos también cuán indispensable es la coordinación de especialistas; sabemos cuá­les son los beneficios obtenidos de los contac­tos tomados fuera de nuestra profesión. Princi­palmente hemos querido que la reforma de la enseñanza de la matemática sirviera a toda la enseñanza.

Y el hecho de haber elaborado este informe -no puede dudarse que no ha sido nada fá cil- asegura que para llevar a cabo las realiza-

;I)

i

1. Esta Comisión Directiva estaba compuesta por: M. Glaymann, presidente, profesores Touyarot, Vi* sio, Génestine, Duvey, Ramis, Hennequin, vicepre­sidentes; Gilbert, secretario general; Walusinski, Gau- thier, Laulanet, secretarios; Nicolás, Clopeau, Ferrad y Blondel.

Opinión de un docentepensab/e disminuir drásticamente el número demasiado elevado hoy de fracasos escolares.

Resulta frecuente en nuestros días que los programas se estructuren por ciclos separados y, muchas veces, por distintos grupos de espe­cialistas. Casi siempre —es el caso de nuestro país— se elabora en primer término el progra­ma de enseñanza media y luego el de primaria. Entendemos que ya debería comprenderse que los objetivos de la educación matemática así como la organización de la enseñanza podrían lograrse mejor si se hiciera un planteo global del proceso. Tal es el caso del programa perua­no que se publica en ¡a revista, aún cuando reducido a nueve años de escolaridad. Esto no implica, por supuesto, opinar sobre el progra­ma arriba citado para lo cual tendría que hacer un análisis que todavía no he hecho.

Estoy enterado que Brasil está elaborando un programa de matemática completamente nuevo para los 12 primeros años de escolari­dad que incluye la obligación de formar profe­sores y capacitar a los docentes en ejercicio de cátedras de manera de poder llevar adelante ¡a planificación que se realice; esa es, sin duda una medida que debe cumplirse en hondura.

Una sola observación más. Los programas presentan generalmente el defecto de su uni­formidad y algunos incluso, fijan el tiempo que se debe dedicar a cada tema. Otros dejan de lado el aspecto aplicativo sin entender que debe haber correspondencia entre el aspecto lógico de los contenidos y la amplitud en la aplicación técnica.

Mucha suerte, señor Director. Y ojalá que los docentes podamos realizar algo de prove­cho para nuestros estudiantes.

Señor Director De mi consideración:

He leído con interés el llamado a los do­centes y me apresuro a desearle éxito en la tarea emprendida. Quiero asimismo hacerle lle­gar mi opinión acerca de la misma, esperando que lo que exprese puedan ser útil a la Comi­sión a designarse para entender sobre estas cuestiones y, además, para estimular a mis colegas a exponer sus criterios acerca del que­hacer educativo en el área que nos corres­ponde.

No queda ninguna duda de que la matemá­tica actual ha variado su estructura tradicional a la vez que ha ampliado el campo de sus aplicaciones convirtiéndose en una herramienta del todo indispensable en la educación juvenil. Ello deriva del hecho de haber variado la con­cepción tradicional que propiciaba el estudio separado de diversos capítulos matemáticos para llegar a la concepción actual que preco­niza un desarrollo unificado de ese estudio mediante la mezcla y combinación de tópicos tradicionales con nuevos temas de concepción contemporánea.

Tradicionalmente la enseñanza resultaba un filtro para la determinación de los pocos estu­diantes que, eventualmente, pudieran proseguir estudios superiores en la disciplina. Hoy se comprende qué todos los alumnos deben ad­quirir ciertos conocimientos matemáticos que puedan emplearse durante toda la vida. Pero esto no es nada fácil pues para ello se deben emplear programas flexibles tanto en conte­nido como en métodos de enseñanza, adapta­dos a las habilidades de los alumnos, por lo general desparejas, y a las necesidades de la sociedad futura para cuya formación es indis-

•.1

l

Juan F. Peracca

í 16 ___.H:L;

.; ■ -

f¿V. -

Exploración del medio Estructure. i-mDesarrollo optativo

■ del número usando regletas

Medida NúmeroMm. • r

Uto del lenguaje para «aleccionar y ordenary :

Tiempo volumenMoneda Equiparando. Correspondencia 1 a JConjuntos de objetos

Lenguaje Incluyendo exteriorCt^Tado, ,nter,or'

JLI y de nlrtosHgurai en el medio ambienteUso del lenguajes

mis largo, más corto, mis alto, etc.

Uso d*l lenguaje! d»a, noche, martina ayer, me*

Uto de» lenguajesi mis pesado, mis I liviano, etc.

Uso del lenguajes mas, menos, mis grande, mis pequeño, etc.

Juego libreRitmo del contar y Juegos numéricos[ Experiencias de

Inclusión y exclusión, por o].: bloques lógicos

Cambio

J X Sustitución, Igualdad y ordenacióni Figuras de 3 dimensiones

bordes Número cardinal« Idea de conservación

Nombrar figuras do 2 dimensiones en el medio ambiente

í!examlJuego con agua, vorter agua y, plentes

mando lindes, dos y caras planasarena. Red*

i divos sosCurva Representación

visualjEstimación manualAntes y después. Idea

de sucesión: diario, semana, mensual.

iReconocimiento de símbolos numéricos

Operaciones Adición y diferencia. Nada (ninguna diferencia)

Conjuntos dlsjuntos y partición. Subconjuntos

Comprassimples Construcción de figuras

ae 3 dimensiones, por oj.s en plastlllna 1Construcción do figuras

de 2 dimansiones, por oj.: en el gooplino

Experiencias d< conservaciónComparación y ordenación

do longitudesExperiencia con el ‘•sube y baja” Números combinatorios

(limitado) ________I Adición y sustracciónI——=T■ Ordenar 1 dimensión. ^

R| Por cj.s variar sólo V Ella altura |U

X1 Equivalencias aditivas. Conmutatlvldad, asoclativldad y permutaciones

Idea do complemento': "no"

Objetos, bolitas, contadores, ote. para comparación

Selección por capacidad. Comparación directa: , primero do das recipientes, luego de más

XRecta numérica (breve). Ordlnalidad

Uso de la balanza. Escalas tipo para ordenar pesos.

í: Reconocimiento ae monedas Notación de la

adición y la sustracción

i

J Esqut| slmplos

ornas numéricosIntersección “en ambos"Esquemas subyacentes usando diversas formas (baldosas u otras semejantes)

Uso dol cuorpo humano como Inst. do medida

Pictogramas Primos y factores de regletas compuestasFiguras do 3 dimensiones.

Comparación de las dlmenslonos como en capacidad y volumon

Igualdad medianto la balanza IAreaReconocimiento do

tiempos especiales on la esfera del reloj

; EH X Gráfico de barra sólido, por ej.: con cajas do fósforos

Juegos de agrupamtcnto simpleMUso de varillas sin

marcas (distintas longitudes)

Paquetes misteriosos; pesos no relacionados con el tamaño.

Fracdonos y fracciones equivalentesSolecclón do sólidos

por desplazamientoExperiencias do pre-árca con figuras.

Simetría bilateral por plogado, manchas do tinta, espejos, etc.

IProlongación do la recta numérica y notación decimal

Nombres de días y meses Sólidos construidos

a partir do polígonos simples, pajas, etc.

Gráfico do barra en columnas (columnas discretas)

Conjuntos de números (dlvorsos tipos)] IRelaciono! entre

us monedas corrientes

Uso de símbolos para operaciones y colores

Comparaciones usando ciscaras, porotos, etc., como unidad.

Unidades estandardizadas de uso común.

• • I Cuadrados numéricos y esquemas subyacentes

Uso de una medida do capacidad unitaria, por ej.3 una tacita

Cumpleaños y el calendarlo

Llenar el espado do dos dimensiones. I Figuras hechas

mediante dobleces do papelI Relaciones entro

conjuntos. Diagrama de flechasIX Multiplicación

como adición repetida Uso de nombres numéricosGráfico de facha (Iguales datos que arriba)H I Reconocimiento

do la conmutatlvldadRigidez y triangulación. Uso de fajas, papel plegado, ote.

IExperiencia práctica, por ej., on la cocina.

Juegos con monedas II Unión do curvas Cualquier regleta ' como regleta para medir

Calendarlos con registros meteorológl ¿Qué forma de unidad?

Uso de otras formas antes y después del cuadrado.

eos Construcción de una Jarra graduada m Gráficos de barra

ordenados, por cj.: datos do tiempo y fechas

Cuadrado de la suma. Construcción y usoIdea de paralóla.

Dirección y ángulo (no en grados)

•Stock" limpio y registro, por ej. venta de bizcochos

Unidadól poso estandart]., do uso común. IRelaciones entre

unidades1! Exploración de la escritura libre con paréntesis Introducidos para resolver ambigüedades

Reconocimiento do la asoclativldadIx I Uso de cubos para dar

Ideas de volumenI Diagramas de frecuencia como listas de popularidad o cuantía del tráfico

Relaciones entro unidades.

Simetría — rotatoria, ángulos obtenidos por o trazado simple

Conservación dol área

Correspondencias numéricas, duplicación, etc.

Uso simple de medios, cuartos, etc.

Compartiendo Ideas | LflS f rSCCÍODCS

pueden incluirse antes de los decimales

¿Qué es un dia7 ¿Qué os un aAo? Modelo do sol y tierra usado para mostrar el movimiento y las estaciones.

doblecesMás compras. Precios diversos. Entrega de vueltos, etc.

WMDefiníaos los números

a 20 formar familias aditivas y sustractivas

presentación gráfica de ntos (pares ordenados)

Estimación, medida cglstro de! error.

Unidades estandardizadas de volumen y unldados estandarizadas de capacidad on uso común

Re IArea de figuras compuestas, por oj. usando el geoplano

Agrupamlento para hallar factores

Peso estimativo, medida y registro dol error

11pun sobre mallas o rejillas

y rDiversos instru­mentos para lincas rectas y curvas.

Cuadrados hastaUnión do arcos circularos y uso del geoplano circular

10 x 10; luego hasta 20 x 20Adición y multiplicación

como correspondencia de pares de númoros sobre números individuales

Notación de la * multiplicación I

. Tercios, décimosObservando la luna para la Idea do “mes" Cuadrada,

rectangular y otras sucesiones numéricas (Primos)

IArea de figuras irregulares comando cuadrados.

Productos denominados x. resultados por Juegos. Tablas do productos. Factor unitario. Números cuadrados

IDivisión como sustracción repetida |Esquemas circulares

y uso del compásRelaciones entre unldadosX I Fracciones < IILíneas especíalos, por o].:

líneas de productos, diagramas de conversión (nomogramas)

Uso de artefactos primitivos: arena, velas reloj de agua, reloj de sol, etc.

IUso de instrumentos variados. J 1

| Ley distributiva I por ej.: métodos I largamente I multiplícate

Sólidos engendrados a partir de redes (simples al principio)

Presupuestos caseros. Gastos personales y presupuestos

Experiencia multlbase práctica

Selección on tres conjuntos particulares (uso do Jueg y coja de Pai

estigación do relaciones área y perímetro para

slmplos do 2 dim.i Inv

Diagramas y gráficos do fracciones. Fracciones equivalentes

de IDivisión como factor (eleipento Inverso)I ios con atributo

ndora): formas sM iEmbaldosados con reconocimiento de lineas paralólas, ángulos Iguales, traslación y rotación

Potencias, Idea y roprosontaclón¡ Más y menos tiempo.

Idea de tiempo "objetivo" 1 minuto )S minutos.' ael,v,dad«

1 X I Más númerosInterpolación en líneas do productos

Unidades de áreaestandardizadas y sus relaciones

Notación multlbaseDibujo de pianos con una escala 1:1, por ej: 1 cm x 1 m

Obtención de volúmenes en unidades estandardizadas Adición y

sustracción de fracciones

[Notación conjuntlstá JTécplcas computatorlas para números más grandes (diversos métodos)

J

II Definición, duplicación, etc. para obtener grandes númercII F Clasificación y

nombre de sólidos Clasificación do los triángulos y propiedad do la

Cilcuto do pesos Incluyendo compras del hogar. I Número cardinal

I de un conjunto.I Diagramas de [(formal)

IOtras monedas. Conversiones

Movlmient de las man del (i el tle del re

O regular elidas

do). Determinar ampo en la esterado/

Fracciones >l|Modelos frecuancla 3 dlmenslonos, ej.: pajltas para bobor

do la de "=r=*HVolumen y ¡

la supcrflcio de figuras simples

a roa deVonnsuma de ángulosUso de otros factores

de escalasProductos hasta 10 x 10 y su estudio. Cuadrados

Uso del termómetro, recta numérica, etc., para dar números - - positivos y negativos

II _*_ fr j.I I Medida de ángulos | Multiplicación de una fracción por un número natural. Conmutatlvldad

IERegistro detallado b tiempo y fecha

Uso de la división y los rostosi Revisión de la partición.

Clases do equivalencia y elemento representativo

de Tablas aritméticas modulares

Cálculos de áreas simples.

Cálculo delúmenes simples

Idoa de plano inclinada (línoas de producto)

Introducción a ta Idea de vecto:

Círculo, circunferencia

Ivo

I

IVistazo mis detallado de las estaciones y su explicación mediante el movimiento planetario I IPropiedades dé

los cuadriláterosIAnortos

einteresesValor posldonat (<1) en notación decimal

Métodos do adición y sustracción. "Disposición vertical"

Empuje gravltatorio e Idea do no posantoz. Fracción

multiplicada por fracción

IFactor escalar para áreas. Cálculos para planos y mapas.

Semejanza, ampliación y roducclói ■■É Multlbase N° < i

Aproximaciones y I división con rostos I

Volúmenes de figuras semejantes I IGráficos lineales

y regionales de desigualdad

Conjunto do soluciones do a * x = b I

X ExtensionesTécnicas de IEmpico aritmético do hora;, días, semanas, meses y artos. vsaws» ■

gímalos por números naturales

construcción, desarrollo de la Idea de lugar goomótrlco

Modelos de escalas más difíciles. Construcción y cálculos

Razón simple y proporción

Más cálculos de volúmenes y capacidades

Factores primosI\IIntervalos de tiempo

y tablas úc tiempo. El reloj de 24 horas

PotenciasIdeas do medida do velocidad__________ División de decimales

por numoros naturalesArca del círculo L Propiedades

del círculoT Elementos Idéntico e Invorso

■ Distributiva dadjjaciendojr deshaciendo [vcgación y rtores

Na nuevos Propiedades de las figuras de 3 dimensiones incluyendo área de la superfle y volumen por ej.i el cilindro\ vccE) tiempo en la tierra.

Usos horarios* C% A*■ IDistinción entre peso

y masa. Fuerzas en general

1 Aritmética civil 1 Operaciones con enteros

Conjunto do soluciones de ax + b = c Enteros* Notación en xo,y

base 2 y otras■ ■ A* ■■ ■

^ % I Trigonometría a sobro Ivldad,

asoclativldad y dlstrlbutlvidad y uso de paréntesis

l Fracciones equivalentes Racionales j

Más Ideas conmutatI----1----tij Mecánica N»

■ ■ ■ i

r:*■ J Transformaciones ^

Z 3 ■ 2 11 Pfoplctíaqer'de , B | figuras planas B

** _________m m m m m Fa¡cloros y

uitlpios comunesIntersección do lincas o reglones Permutaciones y

factorialesUm ■e.ssasfSiíi-»"*- ----------—i

mB« T%ar s>% I* Oporaclonos con

números fraccionarlos!%■% 4 % ■ I% % * O

expresar .ocas en la m»,t4do por aoccnt«* en actividad para visión total oc la asier*Ñfnatí* c'co,ar «« mudo de obtener una sean un programa oótaii.M» No íc c,,Uonde Que ostas pautas de les muchos asnertn, ',no wn olan *luo muestra el desarrollo hasta ci n.vci secundarin o.3 Temática escorar oesdo la niiloz da los niAos Cl , ,mSÜMSV0 *' desarrcontactado Puede esti^ldc*í?ua'' cv-'alauifi' n...■ meas O* daunvUo. % o!" dl,Crc!'Klindividualmente si eso ac cada n,rt° Puede sor planeadosugeridas pe, cr Proyecto dC.1 maeí,,°* Mucha* ideasIncorporadas al Uanaio « •«i," 0 ao M««matica han sido «i uso del material «itruetu«2íadas con °,,a> 'deas, por ejemplo método particular ^ Ec,° no *° adhirió a ningúnla estructura numérica u tuÑÍLüso ac regletas para examinar

o' «■—•«■.■s&s síisysfsrsru

Más estructuras y sucesiones numéricas

■* ■I♦sistema métrico conduce, en nSéstra CpS*iUnto- puCS,o.qu0 01 rápidamente con decimales, esto se lia ¡ñJ.°n* a «rebajar más trabajo formal, poro se ha incluido un ld° antes que ol alternativo" para mostrar cómo pueden ES^'mlcnlo una etapa anterior s. cl maestro lo orlu«,u> las fracciones en descrito en cualquiera do las lineas «tí & trabajo los casos, vinculado con cl oQ otras '* mayoría dealgunos de osos vínculos, pero la^navoríl\e,,Q trabajo muestraírV,?/1£n?r ,a c,Jr,aa<J; en cl nivel sccundafi^® omitido pareacadémico su han usado líneas d„,,i«?, r'° ^Dcrlnr más

% l* ♦f—a__Matrices

* * fCorrespondencias Jlineales >■ a

% % % ■% u Unión y diferencia simétrica do conjuntos

♦ I Ptoporclonalltiart*TV♦ * i »»«-* m%olio conceptual mío individualmente

ún las diversasJ «egla de cálculol

'ogaritmos Ibí II- %♦ Slmotrías y

operaciones sobre ollasProbabilidad y estadística

\ % «■ % rh% mAlgebra do Boolo, lógica y circuitos% ■ % k r

ÍN.♦ Correspondencias

linealesI Máquinas y ^— c°mputadonn

f^éHsls* * Continuidad %•

«iculoj

jotras tablas do operaciones I\ y equivalencias

* * «.no■ ■ •" m m m m m mm m m *» m M________.| Métodos numoricos |

■■■■■■ ■■i Isomorflsmos

■nadosEspacios vectoriales, grupos, anillos y cuerpos

*Relaciones y programación lineal

m aX *L h m m m%i Idea do grupo Ja h m m mI

PREPARADO POR EL DEPARTAMENTO DE MATEMATICA DEL COLEGIO EDUCACION DE MANCHESTER, INGLATERRA E. M. Brill, R. Cárter, R. M. Fyfe, J. Lister, J. S. Rees, P. D. Smith. Dr. 0. Woodrow

ENSEÑANZA PRIMARIA

NuméricoCon ce oto O *O oo:

(2da. parte)

Zoltan P. DIENES (Canadá)

La expresión simbólica de abstracciones.Hasta aquí, no hemos hecho ninguna men­

ción explícita del simbolismo con el cual po­dríamos expresar las complejas estructuras consideradas. Nos hemos concentrado en los conceptos y todo lo dicho se aplicaría a cual­quier tipo de notación numérica. Esta es otra importante consideración en la cual nunca se insistirá demasiado. Cuando escribimos el sig­no 2, hablando estrictamente, no hemos escri­to un número sobre el papel: tal hazaña es esencialmente imposible, dado que "dos" no es una cosa sino un concepto que no puede aparecer de pronto sobre un papel. Es tan imposible lograr esto como lo es, por ejemplo, poner sobre un papel' conceptos acerca del amor, los celos, la honestidad, la belleza. . . Podríamos pintar un cuadro que represente a la mente una o varias de las abstracciones mencionadas, o podríamos escribir un poema o una novela con propósito similar; pero no serán los conceptos los que estén en la tela o el papel. En el mejor de los casos, estos inten­tos podrían simbolizar dichos conceptos, como por ejemplo, un cuadro de Venus po­dría simbolizar el concepto de amor, o tal vez cierto aspecto de este concepto.

El signo 2 se halla en la misma situación. Es un símbolo que representa el concepto de "dos"; no es en sí mismo "dos" de pronto y milagrosamente corporizado en una forma tan­gible o visible. En los EE.UU., en la actuali­dad, se está haciendo mucho a partir de esta distinción entre el símbolo y lo simbolizado en lo que se refiere ja número. A los símbolos se los considera como "un nombre para un número" y a los conceptos como un número. De acuerdo con esta terminología, el signo 2 e$ un nombre para un número y representa el número dos; el número dos es, en sí mismo, un concepto. Una adhesión excesivamente es­tricta a esta distinción verbal me parece que lleva a una considerable pedantería y, por tan­

to, no adherimos muy seriamente a ella, en estas páginas. Una vez que el lector haya com­prendido la distinción, puede hasta divertirse encontrando contextos en los cuales la termi­nología se confunde. ¡Esperemos que no halle contextos en los cuales se confundan las i- deas!

El simbolismo más simple utilizable para el concepto de número es seleccionar un "objeto típico", por ejemplo una piedrita o una marca sobre un trozo de papel y usarla como una forma de moneda corriente, con la cual se describe la propiedad numérica de los conjun­tos. Si deseamos comunicar cuántas cabezas de ovejas hay en un rebaño, podemos caminar por entre el rebaño y poner una piedrita en una pila, cada vez que "contamos" un elemen­to del rebaño. El número final de piedras en la pila indicará, en forma simbólica, la propie­dad numérica del rebaño. Es muy probable que éste haya sido el modo en que original­mente fueron concebidos los números. Es pro­bable también que primitivamente se usaran palotes, así como se hallan vestigios de estos palotes en los primeros signos de la numera­ción romana y de la indo-arábiga.Los signos

i ii niY

4 5 6!

son ciertamente sugestivos. Este uso se ha es­tablecido con carácter internacional bajo la forma de números-símbolos de uso corriente. El empleo de la notación posicional, que da enorme economía en la facilidad de la nicación, nos llevaría

# Versión castellana: Víctor A. Nethol y José M. Ferrero.Revisión: Alfredo R, Palacios.

í

comu- a otras consideraciones.

i

\

\

25

ti 1J;

\ío símbolos pueden usarse para descubrir situa­ciones del mundo conceptual matemático pre­viamente insospechadas. Tal proceso se conoce como investigación matemática, cuando se la desarrolla para establecer lo que la situación es en un campo en el cual esto previamente establecido.

Para citar un simple ejemplo, no se sabe si cada número par es la suma de dos números primos. Para descubrir si éste es el caso, sería necesario manejar mucha información, en for­ma'simbólica, acerca de los números. Es sario comprender totalmente las reglas del jue­go y adquirir el grado de coraje y de maestría necesario para transitar caminos matemáticos previamente desconocidos. No hay razón que el entusiasmo sobre este tipo de investiga­ción no se considere como una parte integral del aprendizaje de la matemática por los ni­ños. La única diferencia entre un niño adulto, ambos matemáticos, en la tarea de investigación, es que, en un caso, alguien co­noce ya la respuesta y, en el otro, nadie la conoce. El hecho de que las respuestas ya se conozcan hace posible determinar qué tipo de investigación es más valioso en el aprendizaje matemático.

TEMAS DE NUESTRO TIEMPO

Apertura hacia la informática

en la enseñanza de la

matemática

Operaciones con símbolosVeamos cómo el simbolismo de las pie-

dritas nos ayuda a responder preguntas que podrían formularse acerca de la propiedad nu­mérica relativa de los conjuntos. Si deseamos comparar dos rebaños con el fin de establecer cuál de los dos es más numeroso, resultaría muy embarazoso juntar los dos rebaños y tra­tar de aparear sus elementos. Es mucho más conveniente formar dos conjuntos de piedritas poniendo, en cada conjunto y en forma co­rrespondiente, una piedrita por cabeza. Los conjuntos de piedritas son mas "cómodos

los rebaños; de modo que es más fácil comparar los correspondientes conjuntos de piedritas que los rebaños mismos. Si formamos pares, tomando una piedrita de cada conjunto, el conjunto en el que queden piedritas no apareadas será el más numeroso. En principio, esto es justamente lo que hacemos cuando "contamos" las cabezas del rebaño, con la diferencia de que usamos palabras audibles o visibles en vez de piedritas. Estas palabras, las palabras-números, sirven para el mismo propó­sito que las piedritas, sólo que son más conve­nientes desde el punto de vista de su trans­porte. Se construyen métodos más rápidos para establecer el conjunto "más grande", se­gún la manera de organizar las palabras- números para que así no tengamos que hacer un apareamiento de símbolos cada vez.

Estos métodos no alteran de ninguna mane­ra el rol que los símbolos desempeñan, sólo hacen su uso más rápido y más efectivo.

Vimos que había una diferencia entre desa­rrollar un concepto para clasificar las cosas y desarrollar un concepto operacionalmente para predecir lo que va a pasar. De la misma mane­ra, existe una diferencia entre desarrollar un simbolismo con el cual podamos referirnos efectivamente a los conceptos en cuestión y usar tal simbolismo para extraer relaciones conceptuales previamente insospechadas. Los símbolos matemáticos son las palabras del len­guaje matemático por medio de los cuales podemos hablar acerca de los conceptos que

a conformar el cuerpo de la matemática.Las palabras comunes, exceptuando las pa­

labras referidas a abstracciones, describen si­tuaciones en el mundo concreto de objetos y hechos. Las palabras matemáticas describen situaciones en el mundo conceptual de las estructuras y relaciones matemáticas de una manera bastante similar a otras palabras que se refieren a otras abstracciones. Si son inteligen­temente manejadas, estas palabras matemáticas

i

ino ha sido

!

o'nece-

que •i

IJean KUNTZMANN

(Francia)para

El ministerio francés de Educación Nacio­nal dedica actualmente importantes esfuerzos a la introducción de la informática en la ense­ñanza secundaria (instalación de computadoras en algunos establecimientos; cursos de capaci­tación para profesores de todas las asigna­turas). La doctrina oficial es que la infor­mática no se reduce a la utilización de la computadora; ella debe tener por lo contrario, múltiples repercusiones muy variadas.

Como responsable de uno de los centros de capacitación, he podido formarme una opinión personal sobre el aporte de la informática a la enseñanza de la matemática.

La informática actúa a la manera de un revelador que hace aparecer nociones o ten­dencias preexistentes, las que no habían podi­do encontrar un clima favorable para desa­rrollarse plenamente. A mi entender, este aporte se reagrupa alrededor de tres centros de interés que paso a presentar:

cación de los entes de los cuales se habla y en la fijación de las designaciones que se em­plean, crea dificultades que podrían evitarse fácilmente.

Por.ejemplo, preguntar cuántos elementos posee este conjunto, es una pregunta ambigua sino se precisa que se entiende por elementos del mismo: el ente triángulo designado p.or A y representado 4 veces; entonces hay un solo elemento, o los dibujos en forma de pequeños triángulos que se distinguen por su posición sobre el papel; entonces hay 4 elementos.

y unn •}íhi¡

La construcción de la matemática

Hemos tratado problemas relativos a la comprensión del número, considerando algu­nos que surgen de la necesidad de desarrollar un adecuado simbolismo para la expresión y la. comunicación efectivas de los conceptos en cuestión. El examen de lo que matemática­mente implican las cuatro operaciones funda­mentales sería el siguiente paso desde un pun­to de vista lógico. Así como los números son propiedades enunciadas acerca de los conjun­tos, el hecho de que los números se puedan sumar, restar, multiplicar y dividir es una ma­nera de enunciar propiedades acerca de los números mismos y, eventualmente, necesita­remos pasar al siguiente nivel de formación de propiedades, es decir, a la consideración de las propiedades de las operaciones mismas. Para resumir la situación con mayor claridad, he­mos considerado hasta aquí, o estamos por considerar, los siguientes tipos de propiedades:1. Conjuntos como propiedades de los ob­

jetos.2. Números como propiedades de los con­

juntos.3. Operaciones como propiedades de los nú­

meros.

I';

b) El lenguaje, o mejor dicho, los lenguajes utilizados por el matemático (lenguaje corrien­te, lenguaje matemático, lenguaje de fór­mulas). Habría mucho para decir sobre este tema, en particular con respecto a las diferen­cias entre el lenguaje matemático y el lenguaje corriente. El conectivo "y" es visiblemente conmutativo en matemática.

p y q equivale a q y p¿Ocurre lo mismo en la frase: "El lobo se

lanza sobre el cordero y lo devora"?Al lado del manejo de fórmulas, los do­

centes apasionados por el rigor, ¿han refle­xionado sobre la demostración del teorema de la asociatividad general? Los medios de que disponen, ni siquiera permiten un enunciado satisfactorio de la propiedad.

i

1. Instrumentos de la informáticaLa computadora y sus lenguajes de pro­

gramación conforman un instrumental potente pero de delicado manejo. También el mate­mático utiliza numerosos instrumentos a los cuales, lamentablemente, les presta poca aten­ción. Parte de las dificultades en la enseñanza de la matemática se debe a esta negligencia.

Entre los instrumentos que merecen una atención- algo más acentuada, citaremos:

a) En el nivel más elemental, las desig­naciones, sus reglas de formación y de manejo. Las nociones conjuntistas presentadas en la enseñanza elemental son nociones muy sim­ples, pero la falta de cuidado en la identifi-

4! ’

0*

vani

I

I

i(Continúa en pég. 29)■

_ 2726

I

debe poder demostrarse. Todo resultado de­mostrado debe poder comprobarse en la figu­ra. Desde entonces, no vale la pena demostrar verdades evidentes sobre la figura. Por lo trario, más se demuestra, más se asegura la confianza en el modelo.

Esta forma de presentar la geometría tiene otro interés. Da un primer ejemplo de la utili­zación de la matemática en el campo de las ciencias y técnicas.

Esto nos lleva a otro tema importante: la relación entre la matemática y las otras disci­plinas del ámbito escolar. La informática brin­da una excelente ocasión para eliminar de diversas maneras obstáculos que se presentan. La informática lleva a diversas disciplinas a emplear nociones matemáticas (estadística, aproximación, conjuntos, lógica, etc.). Puede ser interesante que el profesor de ciencias na­turales y el de matemática, traten frente a alumnos comunes (y acaso al mismo tiempo) un estudio estadístico sobre el número de gra­nos de guisantes en una vaina.

Pero también la informática incita a los profesores de distintas asignaturas a utilizar nociones que sobrepasan a cada una de sus disciplinas (algoritmo, lenguaje, modelo, fiche­ro, etc.). Sería necesario ponerse de acuerdo para adoptar las mismas palabras y las mismas representaciones gráficas.

El uso de .la computadora (sea en el esta­blecimiento o fuera de él) me parece una excelente ocasión para hacer comprender a los alumnos lo que es una técnica: los apremios ligados a toda técnica, aprendizaje, adaptación a la máquina, falta y verificación, economía de medios. Esto, sería una buena oportunidad para explicar en qué casos es útil realizar el aprendizaje de una técnica; por ejemplo en nuestra civilización, la realización de opera­ciones en basé 10 es una técnica fundamental mientras que la realización en base 7 es una técnica inútil.

3. Introducción de la acciónLa ¡dea fundamental ligada a la informática

es la introducción o mejor dicho, la reintro­ducción de la acción, proceso dinámico. Esto requiere algunas explicaciones.

La noción intuitiva de paralelas (dos rectas que no se cortan por más que se las pro­longue), o la noción de límite (x tiende a 0), son nociones dinámicas. La esquematización de la matemática clásica elimina estos aspectos dinámicos y todos sus teoremas, sin excep­ción, son teoremas existenciales. El cuadrado

■ i Se podría presentar hacia los 13 ó 14 años, algunos elementos de la teoría de los len­guajes. Esto sería, por otra parte, una buena oportunidad para reflexionar sobre la relati­vidad' de nuestras convenciones de escritura.

c) El último instrumento sobre el cual qui­siera atraer la atención es la propia matemá­tica. En realidad, el docente de matemática se presenta como un especialista del manejo de las técnicas matemáticas (demostración, etc.,...). Pero no puede presentar estas técnicas a alumnos que, por definición, no las conocen todavía, más que recurriendo a un meta- lenguaje que llamaremos metamatemática. Además, este recurso es comúnmente utilizado a disgusto y con poca conciencia.

Por lo contrario, pienso que es necesario asignarle su lugar a la metamatemática en la enseñanza; por ejemplo, explicar:— Para qué sirve en realidad la matemática.— cómo se pasa de una intuición a una defi­

nición;— el paralelismo entre algunas herramientas,

por ejemplo algunos capítulos de matemá­tica finita y de análisis;

— asimismo me parecería posible iniciar a alumnos de 15-18 años, en los mecanismos de aprendizaje, de manera de hacerlos parti­cipar activamente en su propia formación.

de la hipotenusa es igual. .., la derivada es ex es ex.. .

Pero la matemática de la vida corriente es sin embargo una matemática dinámica. El al­macenero calcula 1,25 x 3, da el vuelto al cliente, etc. En realidad existe toda una ma­temática poco clásica destinada a modelizar estas situaciones.

Vamos a presentar los principales ele­mentos:Matemática finita

La acción no puede llevar consigo más que a un número finito de elementos. No se puede encadenar más que un número finito de accio­nes. De ahí la importancia de la matemática finita, sea álgebra finita o análisis finito.

En álgebra finita citaremos el álgebra de Boole, teoría muy útil por la parametrización de los conjuntos finitos y contrapeso deseable a las teorías de grupos, anillos, cuerpos, que hacen creer que toda operación es reversible.

En análisis finito, citaremos las series finitas y las de las recurrencias.

GrafosLa teoría de grafos merece mención par­

ticular como consecuencia de la potencia de representación de la noción de grafo. Los ins­trumentos de estudio de los grafos son el álgebra finita, la teoría de las relaciones (la representación sagital de una relación es un grafo), la teoría de las matrices, que es más general que el uso que de ella se hace en álgebra lineal (la representación cartesiana de una relación es una matriz).

AproximaciónLa noción de aproximación permite atacar

los problemas referentes a conjuntos (por

ejemplo, conjunto de reales), demasiara ricos como para que se pueda manejar sus diversos elementos.

Este cálculo aproximado interesa muy espe­cialmente a los físicos y tecnólogos. Este tema figura desde hace mucho tiempo en los pro­gramas de matemática en Francia. Desgracia­damente profesores y alumnos le tienen horror (por otra parte, sin conocerlo).

AlgoritmosEl carácter dinámico aparece directamente

en la noción de algoritmo, es decir, de encade­namiento predeterminado de acciones que producen un resultado pedido. Estos algorit­mos ponen de relieve entes matemáticos que se utilizan desde hace mucho tiempo sin pres­tarles atención, en particular las filas (series finitas de elementos efectivamente ordenados), los conjuntos indizados, los árboles.

Los algoritmos pueden ser presentados, sea por medio de organigramas, sea por medio de lenguajes especializados.

con-!¡

11 v*

: : I■v

\i:í<

;!íV,.i■i) Conclusión

La informática brinda a la matemática numerosas sugestiones que pueden conducir:— sea a nuevos puntos de vista— sea a la introducción de nuevos contenidos.

Pienso que la importancia creciente de lainformática llevará a tomar en consideración a estos elementos.

Por otra parte, llegamos al momento de los primeros balances relativos a "matemática mo­derna"; algunos de estos elementos son sus­ceptibles de servir como remedio a los defec­tos encontrados.

Traducción: Raque! Destouet de Vidart

ii

r:.i

2. Relación con el mundo exterior

Muy a menudo, la matemática se dedica a sí misma y se separa de todo contacto con el mundo. La informática, con la noción de modelo, nos da un medio de retomar este contacto, sin perder sin embargo, ciertas ven­tajas de una separación neta entre la matemá­tica y el mundo exterior.

Tomemos el ejemplo de la geometría. En las concepciones antiguas existe una mezcla inextricable de razonamiento y de recursos de la figura.

La "matemática moderna" propone solución radical: supresión de la figura y de todas las tentaciones ligadas a ella. La noción de modelo nos invita a partir la hoja en dos. A la izquierda, la figura, ente del espacio fí­sico, sobre el cual podemos hacer compro­baciones experimentales; a la derecha los axiomas, los teoremas, en donde se opera por deducción lógica. Pero las dos partes de la hoja deben corresponderse. Si el modelo (es decir la parte derecha) está bien elegido (y después de 2000 años que se le utiliza, se puede pensar que lo está), toda comprobación

i;¡

1 (Viene de pág. 26)-i■ *una

j "libro dos": la. palabra dos se aplica a un conjunto de libros, jamás a los libros como objetos. Aún la palabra uno no se aplica real­mente a los objetos sino al conjunto de obje­tos que consisten de tal objeto único.

De modo que objetos, conjuntos y números . están en tres niveles muy distintos del pensa­miento. El pensamiento matemático consiste, en g'ran parte, en transitar hacia arriba o hacia abajo de estos niveles jerárquicos y en. notar los diferentes climas que obtenemos en cada nivel.

4. Propiedades de tales operaciones; por ejem­plo, si el orden de dos operaciones sucesi­vas es conmutable o no.I

El nivel más simple es el de los objetos o hechos no relacionados. Estos se juntan en conjuntos de objetos o hechos; "pertenecer a un conjunto" es una propiedad de cualquier objeto que sea un elemento del conjunto de objetos en consideración. Los números son propiedades de los conjuntos, no de los ob­jetos o hechos. No podemos hablar de uní;:

*■:

28 29:

*

expresarnos con cierta ironía que era la mática que se enseña hoy, nos dijo que era cierta actitud con respecto a la actividad r temática, actitud que desembocaba en los planes y programas de matemática.

Al principio -prosiguió- se llamó matemá­tica tradicional a todo lo malo y moderna a todo lo nuevo y todos los pecados fueron atribuidos a la matemática tradicional lo cual era incorrecto porque también ella servía para desarrollar las actitudes y las potencialidades del individuo. Pero, también la matemática ha cambiado su contenido y ha hallado en la teoría de conjuntos, por ejemplo, una herra­mienta mucho más eficaz y más sintética su enseñanza.

mate-LA VISITA

Gastón MialaretORIENTACIONma-

Cálculos de probabilidadesVI*

_/ícV W. SERVAIS (Bélgica)

para

Hoy se ha vuelto necesario, pues, introducir ese nuevo contenido y a la vez que el niño aprende las cosas que le preparen para actuar en el mundo de mañana, y no hay duda de que la matemática moderna es una ayuda va­liosa. Existen cosas que pueden resolverse mediante el esquema tradicional pero en otras, ineludiblemente, debe recurrirse a las reflexio­nes científicas de la matemática moderna, especialmente para la formación del individuo.

Preguntado acerca de la matemática

V/ lu' <x -eJ*'

cL.

Cl ^(hCLu,

u, ^

IntroducciónLa noción de probabilidades es de las más vitales. En la mayoría de nuestras acciones tomamos

decisiones en la incertidumbre confiando en cierta probabilidad de los resultados.La noción subjetiva de probabilidad es la expresión de un grado de creencia intuitivo en la

llegada de un suceso. ¿Cómo volver razonable, en cierta medida, nuestro sistema de grados de creencia?

En el juego de cara o cruz estimamos naturalmente que, por una razón de simetría, la probabilidad de obtener cara en una tirada es 1/2. Esta estimación será puesta en duda con respecto a una moneda concreta si lanzándola sucesivamente gran número de veces obtenemos en la serie de tiradas una frecuencia de caras sensiblemente diferente de 1/2. Una situación tal es análoga a la comparación del valor teórico de una constante física y el valor de esta constante medida en forma empírica.

Los primeros intentos de tratar con la ayuda de medios sistemáticos las cuestiones probabi- lísticas datan de la época en que Pascal respondía al caballero de Meré.

Durante 300 años, no obstante los problemas resueltos, los conceptos que sirven de base al cálculo tenían dificultades para ser comprendidos.

Los esquemas de la urna, muy utilizados, aparecieron como modelos de juegos a los que se aplican la definición de la probabilidad de un suceso debida a Jacques Bernoulli: Si en un conjunto de n casos posibles, se produce un suceso en s casos, la probabilidad de ese suceso es el cociente s/n. De acuerdo con esta definición, la ocurrencia de cada uno de los casos posibles tiene la misma probabilidad: 1/n.

Esta suposición de probabilidad igual se basa en la simetría del juego: toda permutación de los n casos posibles que reemplace los s casos favorables por casos juzgados a su vez favorables, da un juego considerado como equivalente al primero. Por ejemplo, al arrojar un dado, la probabilidad de cada cara es 1/6, si se admite una permutación de las marcas de las caras de un dado equiva­lente para el juego. La simetría del dado, desde el punto de vista geométrico, no es más que unajustificación de este hecho. .

Se han propuesto muchas definiciones de la probabilidad. Van desde la nocion subjetiva de­grade de creencia de un individuo a la noción frecuencial ligada a las experiencias repetidas que presenta una estabilidad para la frecuencia de un carácter. Esta concepción objetiva es la que interviene en las aplicaciones estadísticas. La manera frecuencial es sin duda la que presenta mayor simplicidad. La hemos preparado para el estudio previo de la estadística descriptiva, que no comporta ninguna dificultad para la filosofía puesto que en ella todo puede ser tratado gracias a la lógica y a la aritmética elementales, a partir de las definiciones y sin ningún axioma.

Ce AcjCee/jUj - C¿

j-pJ-ÍZjí- JUul,

***** *J-

*** J KeXj ¿U-e UtAfque

debía enseñarse a los niños más pequeños dijo que la primera respuesta que surge es "nada", pero, enseguida, se advierte, que se deben jugar muchos juegos de manera que los niños obtengan una experiencia personal acerca de cosas de la matemáticas. Lo malo, lo terrible, es crear situaciones que el niño no comprenda. Lo importante es el juego educativo que per­mita al niño obtener resultados que le conduz­can al concepto. No se trata, pues, de un programa, sino de una acción en la cual el niño es el actor más importante.

El señor Mialaret expresó conceptos elo­giosos acerca de la obra de Z. P. Dienes a quien vio trabajar en Sherbrooke permanen­temente con los niños, tratando por todos los medios que la enseñanza con los bloques no se volviera rígida. Se sobrentiende que el método matemático es lógico deductivo pero el pro­ceso de aprendizaje es esencialmente induc­tivo. Aun cuando sepamos que el objetivo final es el razonamiento matemático puro, debemos recordar al resolver el problema pe­dagógico que el fin no puede forzar los medios.

■ttUI

-¿Ut^rC*T Ctx -¿o. jMVfcCfi'¿tyjjJoyjA, 'Huxe.tco (a

Iuak loe. aJ-T UX _ -JjxLuJr f&euJH etx.

Cxfc (m. ¿ÍA UaAÜuxJUJ Ce,

^ fax-, rt-íójyx*, Le.

Del 17 al 22 de diciembre se realizó en la ciudad de Buenos Aires, el Tercer Congreso Argentino de la Organización Mundial para la Educación Preescolar. Ese hecho provocó la vi­sita a Buenos Aires del presidente de la donada organización, doctor Gastón Mialaret, quien, en el acto inaugural, disertó sobre los objetivos del Jardín de Infantes.

El doctor Mialaret no es desconocido para los lectores de CONCEPTOS de MATEMA­TICA que alguna vez recogió algún artículo suyo. Digamos que es un psicopedagogo emi­nente que actualmente cumple funciones en el Laboratoire de Psycho-Pedagogie de la Univer­sidad de Caen y que como tal y como pro­fesor de matemática se ha preocupado honda­mente por los problemas de la enseñanza de esa disciplina.

Le preguntamos en primer término qué era para él la matemática moderna y luego de

Jmen-

1I

Nos dijo finalmente el señor Mialaret que su Universidad, la de Caen, acaba de imponer el título de doctor "honoris causa" a Dienes, por sus importantes y bien conocidos aportes.

Muy breve ha sido la estadía de Mialaret en Buenos Aires, pero ha sido suficiente como para que advirtiéramos lo bien ganado de su universal prestigio y ansiáramos que su visita se repitiese para que los docentes pudieran aprovecharse de sus excelencias.

:Axiomas del cálculo de probabilidades

El cálculo de probabilidades puede basarse en A.KOLMOGOROV.

Los primeros axiomas se refieren a los sucesos.

el sistema de axiomas propuestos por*

3031

’r

En toda experiencia aleatoria consideramos un conjunto de casos elementales posibles. Por ejemplo, si arrojamos una moneda sobre una mesa, después de hacerla girar varias veces sobre sí misma, podemos convenir:

a) consideramos sólo las dos posibilidades, cara o cruz,b) examinamos a la vez cara y cruz y la posición del centro,c) en todos los casos admitimos que si la moneda cae a un lado de la mesa, la tirada no se

toma en cuenta.Esas son las convenciones admitidas que vuelven más precisa la definición de la experiencia.

Para ella hay, pues, un conjunto U no vacío de casos posibles que puede ser finito (a) o infinito (b y c).

Este conjunto U es tal que para cada realización (o ensayo) de la experiencia hay uno y uno sólo de los resultados examinados que se presenta.

Los diversos sucesos ligados a la experiencia se traducen entonces en enunciados que describen un carácter que puede ser satisfecho o no por un resultado posible

Por ejemplo, al arrojar un dado se puede considerar como suceso que aparezca un número superior a 4.

Así, los sucesos que pueden producirse en la experiencia están determinados por los sub- conjuntos del conjunto U de los resultados posibles. Diremos que los sucesos son esos subconjun­tos de U y que un suceso se cumple durante el ensayo de la experiencia si le pertenece el resultado que se presenta.

De manera general, se admite que el conjunto e de los sucesos satisface a los siguientes axiomas:

1) U es un suceso. UGe. Se cumple en cada repetición de la experiencia. Por esta razón, U se denomina suceso seguro.

2) Si A y B son sucesos, su intersección, su unión, su diferencia, son también sucesos.

A G e y B G e => (A U B) G e; (A n B) G e y (A \ B) G e

i:

Los axiomas de KOLMOGOROV para los espacios de probabilidad finitos ofrecen un ejemplo muv pedagógico de matematización de una situación aleatoria concreta.

1) Es claro que si se interpretan las probabilidades como frecuencias de caracteres, los axiomas se satisfacen. En particular, dada una urna que contiene bolillas de colores diversos en números conocidos, si se determina la frecuencia de uno de los colores en la urna se obtiene la probabilidad clásica de obtener, en un golpe, una bola de dicho color.

En el pasaje de las probabilidades de las frecuencias a los axiomas de las probabilidades, no puede hablarse más que de una guía heurística para la elección de los axiomas de las probabili­dades. En efecto, éstos son conceptos vinculados con un modelo abstracto en tanto las frecuencias se refieren a la experiencia concreta.

Si se tiene en cuenta la estabilidad estadística de las frecuencias en las experiencias aleatorias, tiene una clave interpretativa del modelo matemático probabilístico. Pero como todo sistema axiomático, el de las probabilidades es susceptible de toda interpretación que tenga la estructura descrita por ese sistema de axiomas. Por ejemplo, se puede obtener, un espacio de probabilidad partiendo de un conjunto finito

u= {e,, e2.........en}de n objetos cualesquiera.

Para satisfacer a los axiomas de los sucesos 1 y 2 basta tomar como e al conjunto de las partes

se

de U:

e = A (U)

Todos los sucesos distintos de 0 son entonces las uniones de los sucesos elementales

S ei í ' {e2l ..... {MPara verificar los axiomas 3), 4) y 5) se dan a voluntad números reales no negativos

Pi# P2#•• • # Pn de suma igual a 1 y se escribeCuando el conjunto e de los sucesos es infinito, se admite que las uniones (y las intersecciones)

de las familias numerables de sucesos, son sucesos. Si A es un suceso, su complemento con respecto a U: U\A, es también un suceso. En particular, U\U = 0, y el conjunto vacío es un suceso. Como no se cumple en ningún ensayo experiencial, se lo denomina imposible.

1 Sobre un conjunto de resultados posibles U finito, se admite muy a menudo que el conjunto e de los sucesos es el conjunto P(U) de las-partes de U.

La introducción de las probabilidades sobre el conjunto e de los sucesos se hace mediante tres axiomas que no hacen más que extender a las probabilidades las propiedades conocidas de las frecuencias; expresan que la probabilidad es una medida.

3) A todo suceso A le corresponde su probabilidad que es un número real del intervalo [0,1]. Designaremos a ese número mediante Pr(A). Se tiene, pues, la aplicación

Pr (e¡) = p¡; i = 1,2,. .. ,nPor 5) la probabilidad de una parte A cualquiera de U es la suma de las probabilidades de los

sucesos elementales de los que ella es la unión.

Pr (U) = Pr ( {e,,e2 . .., en {)n ••

Pr (A = p,i .= 1

Pr (A) G[0,1]

Se tiene:

= 1

En particular, sii Pi - p2 - . . . - Pn

p¡ = 1/n ; i = 1,2,.

y se vuelve a encontrar la definición elemental clásica:

si # A = s, entonces Pr (A) = s/n.De los axiomas, los alumnos deducen sin dificultad las propiedades fundamentales. Cualesquiera sean los conjunto A y B

Pr (A) = Pr (A O B) + Pr (A \ B)Pr (A) + Pr (B) = Pr (A O B) + Pr (A U B)

Si B C A entoncesPr (A O B) = Pr (B)Pr (A)^Pr(B)Pr (A) + Pr (U \ A) = 1

Pr se tiene ,n[0,1]: A------ ► Pr (A)e i

4) Pr(U) = 1El suceso seguro A tiene probabilidad igual a la unidad.

5) Si dos sucesos cualesquiera A y B no tienen ningún elemento común, entonces ■

■

iPr(A UB) = Pr(A) + Pr(B)

Dos sucesos tales que A O B = 0 se dicen incompatibles. Como Pr(U) = Pr(U U 0) con U O 0 = 0

se tiene !Pr (U) = Pr (U) + Pr (0)Pr.(0) = O

La terna (U, e, Pr) se denomina espacio de probabilidad.y

33;32

!

1|:

;

A partir de allí se pueden hacer numerosas aplicaciones numéricas elementales.La introducción de la probabilidad condicional puede hacerse teniendo en cuenta el teorema de

as frecuencias compuestas:

f (AOB)=f (A) .f (B)

Queda, si f (A) i= 0, la frecuencia condicional:

de manera que la probabilidad condicional de B, si A es cierta, es igual a la probabilidad (absoluta) de B.

<

:La definición de independencia se extiende a n sucesos, Alf A2,..., An. Se dice que son

mutuamente independientes si y sólo si las probabilidades de las intersecciones de un número cualquiera de ellos, tomados de todas las formas posibles

\

Í ;'i

Pr (Aj n Ak n... n a, ) están dadas por los productos

Pr (Aj), Pr (Ak) ... (Pr A,)

Los axiomas y los teoremas fundamentales permiten numerosos ejercicios de cálculo de probabi­lidades partiendo de probabilidades dadas. Estas, pueden igualmente ser planteadas a priori o extraídas de tablas de frecuencias relativas a poblaciones enteras.

Los juegos donde las probabilidades de sucesos elementales se suponen iguales permiten calcular las probabilidades con ayuda de enumeraciones. Para efectuar estas últimas nos valemos de la definición de producto de dos enteros como cardinal del producto cartesiano de dos conjuntos, o de fórmulas elementales de la combinatoria. Esta última recibe así una verdadera motivación sin que por ello se convierta en el objetivo principal del curso, como ocurre a veces en las exposiciones elementales clásicas.

f (A H B)fAB = f (A) i

Si Pr (A) =£0 se escribe, por definición, cualesquiera sean A, BEeiPr (A O B)f PrAB =■ r.Pr (A)

Antes de poder calificar a PrA (B) como probabilidad condicional de B si A es cierto, es necesario reconocer que PrA(B) es realmente una probabilidad definida para todos los sucesos de e, es decir, que los tres axiomas 3), 4) y 5) se satisfacen:

I 1

í'

;• • 3) PrA (B) E (0,1) pues Pr (A fl B) < Pr(A) porque (AHB)C A

í Pr (A O U) _ Pr (A)Pr (A) Pr (A)

4) PrA (U) -

5) Si X, Y E e

= 1 Esquema de Bernoulli: Ley Binomial

Una aplicación importante es el cálculo de probabilidades en un esquema de BERNOULLI, que consiste en n repeticiones independientes de una experiencia aleatoria en el curso de las cuales un suceso A tiene, en cada repetición, la probabilidad constante de producirse. Si en una sucesión, A aparece k veces y no A,n-k veces, la probabilidad de la sucesión es:

pk qn-k, p + q= 1

_ Pr (AH (YUY) ) Pr (A)

PrA (XUY)*

_ Pr ( (APlX) U(APlY)Pr (A) Los alumnos se asombran de que todas las sucesiones en que A interviene k veces en lugares

cualesquiera, tienen la misma probabilidad. Además, si p = q = 1/2, como ocurre en el juego de cara o cruz, todas las sucesiones tienen la misma probabilidad: (1/2)n. De modo que toda sucesión tiene la misma probabilidad que una serie de n veces cara, la cual es tan extraordinaria que si un jugador la obtiene, para n suficientemente grande, pasa por fullero. No se pondrá, sin embargo, en duda la buena fe de un jugador que obtiene una sucesión cualquiera salvo que antes de jugar dé la descripción de ja serie que obtendrá. Si se consideran las sucesiones en que A se presenta k veces, su conjunto tiene como probabilidad

b(k;n,p) = (kn )pk qn’k

11 Si X n y = 0 se tiene (A fl X) n (A O y) = A O 0 = 0 Pr (A n X) U (A O Y) = Pr (A O X) 4- Pr (A O Y)

PrA (X U Y) = PrA (X) + PrA (Y)

Vemos así que PrA es una probabilidad definida para todo X

D_ /x/i _ Pr (AHX)PrA (x) -^TÍaT

yde donde

de e:

ies una nueva función de probabilidad definida sobre el conjunto e de los

de la 'probabilidad'inicial Pp ^ ^ ^ 6S bastante infortunada pues puede llevar a creer que se trata ^dó„7d“. Z■ ' * 1” * WA> « ™ nucv, notación

los términos del desarrollo del binomio (p + q)n.■sucesos.I Las probabilidades para k = 0,1,2,..., n son Si se establece para k = 0,1,2,..., n el gráfico de esas probabilidades, se ve que presenta un

máximo, el modo de distribución; se encuentra que está dado por el (los) valor(es) del entero m tal que

!i

prA=-^qy)Pr (U)

Asi, la probabilidad Pr Inicial es la probabilidad condicional Dos sucesos A y B se dicen independientes sí y sólo si

Pr(AnB) = Pr (A) + Pr (B)

En ese caso, si Pr (A) * 0, se tiene:Pr(B) =-PLÍAQB)

Pr (A)

Se tiene: = Pry (A) np — q < m < np + qLa frecuencia del suceso A en la sucesión en que aparece ese número máximo de veces m

satisface a la desigualdadcon respecto a U.

A<ÜL<p + iL n p n

de donde, puesto que 0 ^ p ^ 1 y 0 ^ q ^ 1 # se tiene:

P -i

i* = PrA (B) 1i.<JIL<p + — n n nP -

34 35

I

;

!!

Fx es la función de repartición de la v .a . X. Corresponde a la función que da la frecuencia acumulada hasta x en estadística descriptiva.

Sobre un mismo conjunto U de resultados posibles se pueden definir distintas variables aleato­rias X, V,. .que toman respectivamente los valores

1t m: < —P“T nY!lím mPo tanto

“ = Pn-*°° nxlf x2,.. .Yi, Y2 * • •

La parte de U determinada por la condición X (e) = X! e Y (e) = Y!

es un suceso que tiene entonces una probabilidad; lo designaremos simplemente Pr[X = x¡ e Y = yj]

La función g tal que

Pr(X = x¡ e Y = Yj) = g (x¡,Yj)

De manera que, cuando el número de repeticiones de la experiencia, n, tiende a infinito, el modo m/n de la frecuencia de A en el conjunto de sucesiones tiene como limite la probabilidad p de A en cada ensayo.

Variable aleatoriaEn muchos relevamientos estadísticos, los caracteres considerados son valores numéricos reales. Por ejemplo, podemos medir la estatura de cada alumno de la clase C. Tenemos así una función

t definida sobre el conjunto C de alumnos y con valores en IR.C-> |r: x ->t(x)

• »

♦l

con¡j-

I

definida sobre el producto cartesiano x {yi.vj.-•

fi Podemos, entonces, considerar las partes de C determinadas por las condiciones siguientes: t (x) = a, a<t (x) <b

en donde a y b son números reales dados.Cuando se juega con un dado, el número de puntos de cada cara define una función numérica

cuyos valores son:

1,2, 3, 4, 5,6

En un juego de azar se puede convenir que, a cada caso posible corresponde una ganancia determinada por el jugador. En cada caso, se da una función numérica definida sobre el conjunto de casos posibles.

En probabilidad, se denomina variable aleatoria (v.a.) a una función numérica definida sobre el conjunto U (que en lo que sigue supondremos finito) de los casos posibles. Si X es una variable aleatoria se tiene entonces la aplicación:

U* R: e-X(e)

El término variable aleatoria, consagrado por la tradición, está bastante mal elegido pues la función X no es una variable y tampoco es aleatorio. De modo que en este caso sería deseable emplear la denominación aléa numérico empleada por numerosos autores franceses.

Dada una variable aleatoria X definida sobre U,' sean xlr x2,... conjunto de los elementos de U en los que X tiene valor Xj, p¿r ejemplo

{ e 6 U | X (e) = Xj {

es un suceso. Hay una probabilidad que, por abuso de notación, escribimos simplemente Pr[X = Xj]

La función f tal que

Pr [X = Xj] = f (xj)

definida sobre el conjunto {xj, bilidad de esta variable aleatoria.

La probabilidad del conjunto{ e E U I X (e) < x}

es una función de x definida sobre IR. Pondremos

Pr[X<x] = Fx (x)

f 1 i\Xi,X2,.. J

se denomina distribución de probabilidad conjunta de Xe Y.Dos variables aleatorias, X e Y, se dicen mutuamente independientes si para par de valores

(x¡, yj) en que ellas están definidas, se tiene

Pr [X = xj e Y = yj] = Pr[X = x¡] . Pr[Y = y¡]

•y

b■

Esperanza matemáticaDados los valores numéricos distintos Xj, x2,..., xk, que se presentan respectivamente

ni, n2,... , nk veces en una sucesión estadística, si a esos valores corresponden las ganancias g(X|), g(x2),. . . , g(xk), dados por una función g, la media de las ganancias es

• 1

kni g(xt) + n2g (x2) + . . . + nkg (xk) siendo n = XZ n¡

mg ¡=1ni.

y además, si introducimos las frecuencias

“L=f¡ ¡=1,2,3........ klos valores que toma. El

I;'

mg = fi g (x 1) + f2 g (x2) + ... + fk 9 (xk)! matemática de una función g cualquiera

xn con las respectivas probabilidades. Partiendo de aquí, para introducir la media o esperanza

de una variable aleatoria X que toma los valores Xi, x2,.. p(xi), p(x2),.. . , p(xn), pondremos como definición

• #

E[g (X)]= p (Xl) g (x,) X ... + p (xk) 9 (xk).... } de valores de propiedades fundamentales de la función E. Si gx2. es unaX se denomina la distribución de proba-! Esta definición permite demostrar las

función constante de valor c, se tiene:

E [c] = cSi a es un número real constante

E [a X] = a E [X]

íiH

37u36

i

•:f ii xk * de los valores de XSi g y h son dos funciones definidas sobre el conjunto j xIf x2

E [g (X) + h (X) ] = E [g (X) ] ‘ + E [h (X)]

Además, si X1# X2,... Xn son independientes: Xi + X, +.... + X[ nVar[X,]=Var

n n

y se tiene g(x¡)<h(x¡) , ¡=1,2 resulta E [g (X) < E[h (X) ]En particular, si a y b son números constantes:

E [a X 4- b) = a E [X] + b

Cualesquiera sean las variables aleatorias X e Y definidas sobre el mismo espacio de probabilidad (U e Pr) se tiene:

E [X + Y]= E [X] + E [Y]

Además, si las variables X e Y son dependientes, se tiene:

E [X . Y ] = E [X]. E [Y]

,kEl indicador X de la realización de un suceso A de probabilidad p es la variable aleatoria oue

que toma el valor 1 si A se realiza y el valor 0 si A no se produce. Se tiene:E[X] = 1 .p + O.q, q=1—p E[X] = pVar[X] = E [X2 ] — ji2 = 12 . p + O2 . q — p2 = p( 1 — p)Var[X] = pq

El número de realizaciones X de A en una serie de n ensayos de un esquema de BERNOULLI es la suma

. •

L tii'

iX = X, + X2 + --- + Xn

de los indicadores X!, X2,..., Xn de A al 1er, 2°,..., n° golpe.U;:•

!•:r nA partir de esto, inspirándose en las definiciones de la media, de la variancia y de la covariancia

dadas en estadística descriptiva, se define:

la media de X; fi = E [X]la variancia de X: o2 (X) = Var (X) = E [(X - fi)2 ]

De donde o2 (X) = E [X2 ] -¡i2

Se demuestra la desigualdad de TCHEBYCHEFF:

Pr [ IX — p| > h a] < j-L

Para dos variables aleatorias X e Y:

De donde: E[X] = ^^\E [Xj] = np

i=1I

Xi. E = PnK

i n

-XVar[X] Var[Xi] = n p qy¡ i= 1E [X + Y]= E [X] + E [Y]

/'x + y =Mx+Myo tambiénSe pone: cov(X, Y) = E [(X -/iX) (Y -MY)]

cov(X, Y) = E [X . Y] - nxny

X _ pq$ Varn n

¡ y en el caso de variables aleatorias independientes: Se tiene así la media y la variancia en una distribución binomial.i:cov (x. Y) = o E[X,Y]=E[X]E[Y]

y para la variancia de la suma, se obtiene

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) - 2 cov(X Y)C°V u ■,v7°\en Part¡CUlar S¡ X 6 Y son ^dependientes:

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)0 (X + Y) = o2 (X) + o2 (Y)

Además, si a y b son constantes:

Var(a X + b Y) = a2 o2 (X) + b2 o 2 (Y)

i INFERENCIA ESTADISTICApues

Nociones de muestreo

El muestreo en el seno de una población y el estudio de las fluctuaciones de los valores de la media, la mediana, la desviación-tipo,..., de una muestra a otra, pueden considerarse desde dos puntos de vista, uno experimental y el otro matemático. En la teoría matemática del muestreo, el cálculo de probabilidades desempeña un papel fundamental

Sea un conjunto U de N elementos en el cual efectuamos observaciones sobre n elementos.Nos limitaremos al muestreo en el cual después de la salida de un elemento de U, dicho

elemento es reemplazado en el conjunto U. Admitimos que en cada tirada todo elemento de U tiene la misma probabilidad 1/N de ser extraído y que las tiradas son independientes.

Supongamos que entre los elementos de U, M presentan un carácter C dado que no afecta su Probabilidad 1/N de ser extraído. Esta situación es la que se presenta concretamente con las extracciones a ciegas de una urna que contiene N bolillas que no pueden ser identificadas al tacto, de las cuales M llevan la misma marca (color, indicación numérica, etc,).

Se puede concebir este tipo de extracciones aun en el caso en que las observaciones efectuadas sobre un elemento lo destruya de manera tal que no pueda ser reemplazado en U luego de la

i

Sií

í

.

: í

En particular, si X. Xo yX X x 1 ’; *' n , en la m,sma medía M y la misma varianciaal + X2 +.. - + -

nE[Xi]=¿iJ n

i a2 se tiene:E(i

fn

3839 iI

:

:

extracción. Basta enumerar los elementos de U, y efectuar una extracción con reemplazo en el conjunto de los números ¡ 1,2,.. ., N j

Si en la muestra de efectivo n obtenido del conjunto de los números, un mismo número se presenta k veces, los resultados de las observaciones efectuadas sobre el elemento de U c.orrespon- diente a ese número se cuentan k veces. Cuando N es grande con respecto a N, el hecho de reemplazar o no un elemento de U en ese conjunto después de la extracción no modifica sensible­mente la probabilidad 1/N de extraer cada elemento.

En las condiciones precedentes, la probabilidad de que, en una muestra de efectivo n extraída del conjunto U, el número de veces que se presente el carácter C, sea igual a X está dado por

b (x; n, p) = (p) px (1 - p)n_x siendo p = M/N

Esta probabilidad es también la de la frecuencia x/n del carácter en la muestra.

La estimación k/n es un valor de la variable aleatoria X/n en la que X es el número de éxitos en las diversas muestras de efectivo n que se pueden extraer del conjunto U.

Se tiene

La media de la frecuencia aleatoria X/n del carácter C en las sucesiones de efectivo n, es igual a la probabilidad de aparición de C en cada tirada individual. Por otra parte, la variancia de la frecuencia aleatoria X/n está dada por

X] = pq

:

E XI= Pní

it

Varnkn.

i Tiende, pues, hacia 0 cuando n->°°. Por la desigualdad de TCHEBICHEFF se tiene:

Estimación

La probabilidad p = M/N no es necesariamente conocida; por ejemplo, si ni N ni M están dadas. Efectuemos una extracción con reposición de n elementos de U y sea k el número de apariciones del carácter C en la muestra obtenida. A partir de este informe, ¿qué estimación podemos propo­ner para la probabilidad desconocida p?

Para hacer esta estimación haremos uso del método del máximo de verosimilitud.La posibilidad de obtener k éxitos en la distribución está dada por

b(k; n, p) = (£) pk (1 - p)

Si en esta fórmula, en la que n y k son conocidos, hacemos variar a p, obtenemos los valores correspondientes a las diversas distribuciones binomiales en las cuales pueden presentarse k éxitos sobre n tiradas.

El principio del máximo de verosimilitud consiste en admitir que la distribución binomial que se debe elegir es aquélla en que el resultado observado tenga la mayor probabilidad de producirse. En otros términos, admitimos que k es el modo de la distribución considerada. Este principio es de empleo muy común: cuando se busca la causa de un desarreglo en un mecanismo o en una persona, se examina primero la causa que ocurre más frecuentemente.

Para determinar el valor de p por el cual

b(k; n, p) = (£) pk (1 - p)

es máximo, calculemos la derivada

Pr

,pgDe donde, si se pone h y/~ =

Pn X Pr -

k;

-P|>-j<F?-nl ;y, puesto que p y q < 1

!n—k |X-p| > k|< 4-. -In | k n

Pr

Por tanto, cualquiera sea k > 0, se tiene:

-*-p|>k|-olím Prn-w

y comoX- - P <K = 1 - PrPrn

■> Pr l|- - p| < k = n -*» 'In i

1n—k

que es la ley (débil) de los grandes números de BERNOULLI.El teorema matemático no pruebá nada en lo que se refiere a las frecuencias experimenta es. o

obstante, si se admite que el modelo probabilístico se aplica a la realidad, esta probabilidad corresponde al hecho experimental de la estabilidad de la frecuencia de un carácter comprobada en las experiencias aleatorias.

Intervalo de confianza

En la desigualdad de TCHEBICHEFF

dv(k) Pk~1 (1 -p)"-k-l (k-np)

y anulémosla:i

dv f^■=0 para p = 0, p = 1, k = np

Los dos primeros valores anulan a b(k; n, p) k = np o p = k/n

da el máximo de esta función b. Somos llevados así, por el principio del máximo de verosimilitud. Escribimos3 recuenc,a n *a muestra como estimación de la probabilidad desconocida p.

• k P = “

( x k . 1 pq(-„-"l>kJ<Fñlos factores p, q tienen 1 como suma; su producto es pues máximo si son ¡guales a 1/2 y.

Pr

x k, ,1 1 rp|>kf?'írj__ !_ = J_k2 4n h2

Pr

n (la notación p se lee "estimación de p"). h .-jr- para que y4n

Hagamos k =

I40 41 .

’

La probabilidad 1/16 del conjunto R = { 0,5 }. es denominada umbral de significación del test. En lugar de un test bilateral, como el anterior, se puede testimoniar una probabilidad mediante

un test unilateral.Por ejemplo, un fabricante afirma que un producto (medicamento, pieza de una máquina) que

ofrece en venta satisface al control en un 70% de los casos. Se hacen 10 ensayos independientes*el número de éxitos puede ser un elemento de U = { 0, 1, 2,___ # 10}

Se conviene en rechazar la hipótesis p = 0,7 adelantada por el fabricante si no se revela más que un número de éxitos pertenecientes a R = { 0, 1, 2,3,}

La probabilidad de R en la hipótesis p = 0,7 es

<_L >/3ñ h2

Po tanto X----- p >Pr n

_ IX ^ h Pr ln ' P1h2y

11h . . x-------- 7=- < p < -n y/n nX. + -f=r ^ 1

y4nPr “ h2o

Si hacemos h = 2, resulta

. .X , 1< p < - + -j= n ynPr R = Pr [X = 0] + Pr [X <= 1] + Pr [X = 2] + Pr [X = 3]

» 0,000 + 0,000 + 0,001 + 0,009 = 0,010

1n xPr - > 0,75 in \/n"

Supongamos queD X 1 . . XPr — — ~7= ^ p ^

n y/n n1 Se corre, pues, el riesgo de rechazar la hipótesis p = 0,7, cuando es verdadera, con una probabili­

dad 0,010 queda el umbral de significación del test. Las tablas de la función de repartición de la probabilidad binomial (en donde k es el mayor entero natural inferior o igual a x, permiten tratar los problemas de este tipo para diferentes valores de p y de n. Además, se pueden construir ábacos que rinden el mismo servicio

= a

que es la probabilidad de que el intervalo aleatorio

x__^ x rn Vn" n y/ñ

comprenda la probabilidad p fija, desconocida. Se dice que a es el coeficiente de confianza. Para una muestra particular, la variable aleatoria X tiene, por ejemplo, el valor Xj; el intervalo fijo Empleo de la ley normal de probabilidad

Hay obras elementales de iniciación que se atienen a la ley binomial. Sin embargo, dado el papel de la ley normal de GAUSS-LAPLACE en probabilidad y en estadística, es deseable introdu­cirla a nivel secundario.

En las distribuciones binomiales se construyen los histogramas de la variable reducida

X - npVnpq

y se hace presentir que, cuando n -> 00 se acercan a _ ^_2

*L__L ü! + ± n y/n~ n y/ñ

comprende a p o no.Sin embargo, procediendo de esa manera para las diversas muestras de efectivo n, entre todos

los intervalos obtenidos hay alrededor de 100 a sobre 100 que comprendan p. Eso es lo que se expresa diciendo que el intervalo particular

ÜL__ 1 Jh + J_n Vn n y/ñ

un intervalo confiable en4 el 100 %. En el caso que nos ocupa se tiene a >0,75 y el intervalo es confiable en más del 75 % (5).

Test de la hipótesis estadística binomial

Si se arroja 5 veces una moneda a cara o cruz, a priori el número de caras puede ser uno cualquiera de los números del conjunto

U= {o, 1,2, 3, 4,5}

Supongamos que se efectúe la experiencia y que se obtiene, por ejemplo, cara 0 ó 5 veces. ¿Se puede deducir que la moneda no es correcta? Evidentemente, no, pues si se admite que la moneda es correcta, es decir que la probabilidad de cara en cada tirada es 1/2, el resultado experimental puede producirse con una probabilidad igual a:

i

Z =

la curva normal de ecuación

1 2Y — ~T~ e \/2tres

Se admite, en el límite, la aproximación hallada por MOIVRE(k — np)2!

^pKqn-^-l 2 npe

en el caso en que(k-np)3

= 0lím n2n-*°°normal de la distribución binomial reducida, cuando

las demostraciones clásicas, la fór-

los números reales a y b

Una demostración de la aproximación n -* o», fue dada por MORGENSTERN. No emplea, comomuía de STIRLING para los factoriales.

La fórmula de MOIVRE permite mostrar que, cualesquiera(?)’ +(í)‘ *1-61 sean

J-P.-4V2n J°eEntonces, si convenimos en rechazar la hipótesis: la moneda es correcta si la experiencia arroja 0 o. 5 veces cara, corremos el riesgo de equivocarnos término medio 1 vez sobre 16.

lím Pr a < Z < b =n-M»

j4342

I

BIBLIOGRAFIA El libro sugiere, por supuesto, que la ense­ñanza de la matemática en la escuela primaria debe ser activa, creadora y que debe dar opor­tunidades a los niños para descubrir en el orden y los esquemas subyacentes cuál verdadera esencia de la matemática mediante la experiencia. La división rígida del plan de estudios tiende a disociar los truidos por los niños y les hacen perder inte­rés. Se aboga por la interdisciplinaridad y por la experimentación, especialmente por el uso del medio ambiente. En la escuela secundaria se aboga porque los docentes introduzcan a los alumnos de diferentes edades en los tópicos de la matemática moderna mediante técnicas guiadas de descubrimiento. Los te­mas aludidos se refieren a conjuntos, vectores, grupos, gráficos y programación lineal, en tan­to que sobre otros —anillos, cuerpos y matri­ces— todavía no tenían suficiente información de parte de los profesores consultados, espe­rando que se pueda hacerlo cuando el estudio de la asignatura se vuelva más axiomático.

Las ilustraciones gráficas y fotográficas son muchas y de innegable calidad y, especial­mente las últimas, sirven para darnos una ¡dea de cómo conciben que se debe impartir la enseñanza de la matemática en una escuela moderna; podemos asegurar que el panorama es bastante distinto del habitual, especialmente en la escuela primaria.

La integral es presentada, en forma intuitiva, como el área debajo de la curva normal entre las y b, lo que permite comprender la significación de la tabla de la función <I>, tal queabscisas a

es la

= —fx2irJ 0BIGGS, Edith E. y MAC LEAN, James R. Freedom to learn. An active Learning Ap- proach to Mathematics, 206 páginas de gran formato, ADDISON-WESLEY (Canadá) Ltd., Ontario, Canadá, 1969.

e2 dz<É> (x) e esquemas cons-

Lo esencial es familiarizar a los alumnos con el uso de esta tabla para el calculo de la probabili­dad

Muy prestigiosos son los autores. La señori­ta Biggs es, desde 1950, jefe de inspectores de las escuelas inglesas y tiene la responsabilidad de aconsejar a los docentes primarios y secun­darios de su país sobre la enseñanza de la matemática y ha participado de importantes trabajos de investigación realizados tanto en el Reino Unido como en diversos países en todos los continentes. El profesor James R. Mac Lean es presidente deja Asociación de Profe­sores de matemática de Ontario y Superinten­dente del Departamento de Educación.

Pero fuera de la indudable capacidad de los autores, lo que-nos interesa especialmente es la concepción con que fue realizada la tarea. Aún cuando el libro fue redactado para maes­tros no se trata de imponerles un programa de trabajo rígido y determinado sino de partici­parles sus experiencias e indicarles cómo reali­zar cursos de adiestramiento para sus colegas. Pero el niño es, al fin y a la postre, el prota­gonista principal del libro para lo cual, siguien­do sus opiniones y muy especialmente las de* Z. P. Dienes, estiman que los estudiantes li­bres, jóvenes' o viejos, deben pensar por sí mismos y que se les debe dar oportunidades para descubrir el orden, los esquemas subya­centes y las relaciones que constituyen la ver­dadera esencia de la matemática, no sólo en el mundo construido por el hombre sino también en el mundo de la naturaleza; esto obliga a que los estudiantes sean adiestrados de manera de adquirir las habilidades necesarias.

Vale la pena consignar el índice del libro:1. Aprendiendo mediante el trabajo; 2. ¿Cómo comenzar? ; 3. Necesidades de la clase; 4. El papel del maestro; 5. El papel del director;6. Un típico programa de laboratorio; 7. La matemática y actividades relativas a los grados primarios; 8. La matemática y las actividades relativas a los grados superiores; 9. Matemática Para el maestro; 10. Siguiendo la pista: Planea­miento, asesoramiento, información; 11. Una visión del futuro.

«■ /

en los diversos casos.La aproximación normal de la ley binomial para grandes valores del efectivo n es un caso

particular del teorema central ¡imite que explica la importancia del papel de la ley normal.Es aconsejable admitir de entrada este teorema bajo la forma más simple.

nuevosi1<ft¡¡

Sea Sn = X! +X2 + ... + Xn

la suma de las variables aleatorias X1# X2,..., Xn que tienen la misma distribución de la media p y de desviación tipo o. La variable aleatoria reducida

Sn—n/i Oy/n

tiene una función de repartición, cuyo límite para n-*°°es

I

Cristina Verdaguer.de Banfi

Observando que la media de las X¡

Sn X1 + X2 + . . . + XnTREJO, César A. y BOSCH, Jorge E. Ciclo medio de matemática moderna. Quinto Curso, 333 pág.. Biblioteca Cultural, Colección de Textos del Secundario, EUDEBA, Buenos Ai­res, 1973.

Con la publicación de este trabajo se com­pleta la serie de obras de matemática corres­pondiente al ciclo secundario y "adaptados al espíritu del movimiento mundial de reforma de la enseñanza de la matemática".

Va es mucho poder consignar que se haya podido publicar en nuestro país una obra aje­na al espíritu de los programas vigentes en la enseñanza oficial. Los autores, prestigiosos profesores universitarios, cuyas preocupaciones docentes se han recogido muchas veces en las páginas de CONCEPTOS DE MATEMATICA presentan aquí los conceptos fundamentales del análisis con un enfoque esencialmente con­ceptual por estimar que "no corresponde al ciclo de la segunda enseñanza estudiar las apli-

n

satisface a

Se ve que se puede aplicar el teorema central límite a la districión de la media de grandes muestras extraídas al azar en forma independiente y con reposición, de una población. A partir de allí se puede tratar los tests de hipótesis relativos a la media de- esas grandes muestras.

El estudio de la estadística y de las probabilidades no adquiere toda su significación más que por la inferencia estadística. Esta es la razón por la cual una información elemental debe dar una primera idea de esta etapa científica fundamental.

(Viene de pág. 7)

pedal fue suficiente para mostrar los puntos esenciales de la estructura. Estos fueron asimi­lados por un arduo pero efectivo proceso de aprendizaje y condujo al dominio de multitud de problemas isomórficos. ¿Entendieron

cientemente este isomorfismo? En general, •no, .aun cuando ocurrió que después de una lección una inteligente niña de siete años pre­guntó a sus padres: "El abuelo es un estúpido ¿verdad? Me dio diez veces el mismo proble­ma y no se dio cuenta"

(Continúa en pág. 46)cons-

4544 ;

blemente logrará éste que comentamos; bien' se sabe que en verdad es menor que el que se esperaría dada la calidad de los autores y del material presentado. También sabemos muchos docentes no los adoptan por no ponder a los programas vigentes lo cual les acarrearía un trabajo de adaptación que chas veces no todos, y por diferentes razones, están en condiciones de cumplir.

Pero tampoco, a lo que sabemos, es muy grande el eco alcanzado entre los alumnos. Y ello no se debe seguramente a la calidad de la exposición científica sino a otros factores que los autores no han tenido en cuenta. En nues­tra época, la obra didáctica debe reunir condi­ciones que las hagan atractivas a los alumnos: impresión moderna con prudente uso del co­lor, temas para pensar., vocabulario, noticias histór¡C9S, problemas amenos y, en fin, cual­quier circunstancia que incite a los alumnos a querer al texto; más aún, diríamos que ningún recurso en tal sentido debería ser desapro­vechado.

Por eso, hoy, cuando los autores han dado cima a una obra’que puede dignamente figurar entre las más importantes editadas en nuestro medio para la enseñanza secundaria de la ma­temática, acaso haya llegado el momento de pedirles que. cumplan el esfuerzo de adaptarla a las condiciones arriba expresadas porque en­tonces tendríamos, con toda seguridad, los li­bros de matemática que se requieren para la enseñanza secundaria argentina.

del análisis matemático: es preferibleponer el acento en fundamentales de modo que su aprendizaje resulte para todos los alumnos un importante elemento de formación cultural y sirva tam­bién de sólida base conceptual a aquéllos que

• más adelante necesiten estudiar con mayor profundidad o con mayor amplitud esta rama del saber".

Este espíritu, mantenido consecuentemente en toda la obra, subsiste también en este to­mo, permitiendo una exposición fluida y acor­de a las ideas más modernas, no descuidándose en ningún momento el enfoque conjuntista' empleado én los tomos anteriores cuyo repaso permite que ahora se lo aplique abundante y sistemáticamente. Así, por ejemplo, el capítu­lo de probabilidades, que presenta en esencia las ideas más profundas referentes a campos finitos, puede señalarse como modelo de clari­dad y precisión del enfoque conjuntista y, por ello, difiere del enfoque anodino común a muchos textos secundarios.

El índice de la obra comprende los siguien­tes capítulos: 1. Revisión de nociones conjun- tistas; 2. Funciones; 3. Límites de sucesiones numéricas. Series; 4. Límites de funciones rea­les; 5. Continuidad; 6. Derivadas; 7. Variación de funciones; 8. Primitivas e integrales; 9. Co- ordinabilidad; 10. Combinatoria y aplicaciones; 11. Probabilidades; 12. Tablas.

Queremos hacer algunas consideraciones acerca de la difusión lograda por los tomos ya

. publicados de esta obra y por la que presumi-

caclones pura primer año:

íM3@ft§nt«ticc» Modernala claridad de las ideas

■

queres­

mu­

de Nelly Vázquez de Tapia

• MATEMATICA I, texto para el alumnoo EQUIPO DE ACTIVIDADES para el alumno• MATEMATICA I. Guía para el profesor

r

iLa matemática actual a través de una de' las más

destacadas especialistas de nuestro país.

(con /a colaboración de C. A. Tapia y A. Tapia de Bibiloni)

EDITORIALESTRADA

Bolívar 462 Buenos Aires

LEDESMASOCIEDAD ANONIMA AGRICOLA INDUSTRIAL

J. B. F.

(Viene de pág. 44)dad". Dos semanas después llevaba conmigo un geoplano y con una cuerda construí cua­drados, rectángulos, triángulos y otras figuras y calculé sus áreas. Luego me ocupé de un cuadrado oblicuo. De inmediato preguntó. "Esto es dos y ésto resuelve nuestro problema de hace quince días".

Esta niña que está atrasada medio año en la aritmética de la escuela, resuelve problemas matemáticos difíciles, particularmente en geo­metría. Una vez me preguntó: "¿Cómo puede Ud: enseñar matemáticas de esa manera a toda una clase?" La pregunta era correcta. Los maestros de escuelá no pueden permitirse pa­cientemente demorar soluciones durante horas o semanas. Tienen que cumplir los programas. No obstante trataremos de desarrollar métodos para enseñar matemática a 250.000 niños de la misma manera que el abuelo', que es profe­sor universitario de matemática, enseñaba a su nieta.

La convincente e incluso perdurable fuerza de paragimas bien elegidos es sobrecogedora. No se cui¡funda este enfoque paradigmático con intentos ineptos tales como los* de probar las leyes conmutativa y asociativa realizando unos

que ha hecho de Jujuy y del Noroeste Argentino un polo de desarrollo de nuestra economía, produce y transforma materia prima nacional con recursos y mano de obra del país y concreta en los hechos una tarea de gran trascendencia económico-social.

í

I

pocos ejemplos sin fuerza paradigmática. Pero tampoco se crea que es fácií enseñar matemática de esta manera. No se trata de aprender por estímulos y respuestas, como ha­cen las ratas, sino mediante un discontinuo proceso de aprendizaje, y el éxito no está garantizado por un resultado fácilmente probable sino por un proceso de aprendizaje pacientemente observado.

Dí a una niña de 9 años el problema de duplicar un cuadrado. Por supuesto, no tuvo éxito. Si hubiera sido mi hija la hubiera guia­do para encontrar la solución. Pero era mi nieta, de modo que le dije: "Veo que es demasiado difícil, tratémoslo en otra oportuni-

f

• AZUCAR • PAPEL

• ALCOHOL • FRUTA

com-

)46

DEMATEMATICA

.Para hacer efectiva su suscripciórí por 1973 envié a José Banfi, Paraguay 1949, 6o A, los datos que se indican más abajo junto con un giro postal o bancario sobre Buenos Aires por 30 pesos ley 18.188 o por u$s 6 si reside en el exterior.

w+ w+1114114 w. LINEA INTIMASUSCRIPCION 1972

($ 30 Ley 18 .188, Exterior: 6 dólares)

Apellido ...........Nombre.............Domicilio privadoLocalidad .........Provincia ...........Actividades ....

Teléfono Creacionespara la mu/er argentinaLugares en que cumple las actividades

lll+4«+4H+4t4+«44«+-Bi+-fH4 4^ |||^ «4+ IU+ lllf lil+ lll^ |l|+ |||+ III+ III+ 111+ 11+ |,+11+ ||+ 11+ 11++H

AMIGOS DE LA REVISTA

Adhesión voluntaria (para instituciones, empresas o particulares que deseen colaborar).

el fin de asegurar el desenvolvimiento de las actividades de CON­CEPTOS DE MATEMATICA, solicito mi inscripción como amigo de la misma para lo cual envío la suma de ... .

f

Firma

>;!

/ MUS!

confíenos sus impresos:Ofrecemos un servicio integral para toda clase de trabajo gráfico.

CREACION Y DIAGRAMACION DE:Revistas - Libros - diarios folletos - afiches - comerciales

LINOTIPIA - TIPOGRAFIA - IBM OFFSET - PLANAS - ROTATIVASRivadavia 767 Tel.: 34-3686/3693/1769