1

OPTIMASI EKONOMI1. Memaksimalkan nilai perusahaan2. Metode metode pengekpresian hubungan ekonomi3. Kalkulus deferensial dan kaidah-kaidah penurunan fungsi4. Memaksimalkan dan meminimalkan fungsi5. Optimasi Fungsi dengan variabel majemuk

2

MEMAKSIMALKAN NILAI PERUSAHAAN Memaksimumkan nilai perusahaan merupakan tujuan

utama perusahaan :

TR = P . Q Faktor-faktor dari TR harus diperhatikan dalam

pembuatan keputusan manajerial, termasuk pemilihan produk yang dirancang, pengalamannya dan penjua-lannya; strategi periklanan, kebijaksanaan harga yang ditetapkan; bentuk perekononomian yang dihadapinya, dan sifat persaingan yang dihadapi. Singkatnya, hubungan TR tersebut menyangkut pertimbangan-pertibangan permintaan dan penawaran.

1

1

(1 )

(1 )

n

tt

n

tt

LabaNilai

i

TR TC

i

3

Demikan halnya hubungaanya dengan biaya adalah kompleks. Analisis biaya, memerlukan sistem penelaahan sistem produksi yang alternatif, pilihan teknologi, harga faktor2 prod., yang semuanya penting dalam biaya produksi. Dan oleh karenanya masalah penawaran faktor produksi penting dipertimbangkan.

Faktor yang mempengaruhi biaya dan tersedianya sumber keuangan bagi perusahaan dan akhirnya menentukan tingkat diskonto yang digunakan para investor untuk menetapkan “nilai perusahaan”

Untuk menentukan tindakan yang optimal, maka keputusan-keputusan berkenaan dengan pemasaran, produksi, keuangan, SDM, distribusi produksi, dll, digabungkan dalam suatu sistem yang terpadu dimana setiap tindakan mempengaruhi seluruh bagian di perusahaan.

4

Kompleksitas analisis pengambilan keputusan ini mengendalai penerapannya. Untuk ini dibutuhkan analisis “optimasi parsial”, misalnya dalam pemasaran, produksi. Sebagai keputusan yang menyeluruh, sebaliknya keputusan yang general lebih baik

Tindakan – tindakan yang perlu diambil oleh pimpinan :1. Menyajikan hubungan ekonomi dalam suatu bentuk

yang dapat dianalisis.2. Seseorang harus menerapkan berbagai teknik untuk

menentukan penyelesaian yang optimal

5

METODE PENYAJIAN HUBUNGAN EKONOMI

Hubungan ekonomi sering diungkapkan dalam persamaan, tabel dan grafik.

Tabel dan Grafik biasanya digunakan untuk hubungan yang sederhana, tetapi untuk hubunga n kompleks digunakan model persamaan.

Contoh hubungan Persamaan : TR = f(Q) ► hubungan fungsional lebih khusus TR = P.Q TR = Rp 150 x Q

6

Contoh model Tabel dan Grafik :

Dari contoh pesamaan di atas dapat dibuat tabel dan GrafikJumlah unit yang terjual

Total Revenue (TR = 150 x Q)

123456

Rp 150Rp 300Rp 450Rp 600Rp 750Rp 900

7

Hubungan Antara Nilai Total, Average dan Marginal Hubungan antara Nilai Total, Average dan Marginal

sangat berguna dalam analisis optimasi. Pengertian total dan average sudah umum diketahui, tetapi untuk hubungan marginal perlu kita mengetahui definisinya.

Hubungan marginal didefinisikan sebagai penambahan variabel dependen dari suatu fungsi yang disebabkan oleh perubahan salah satu unit variabel independen sebesar satu unit .

Secara khusus kita menganalisis suatu fungsi tujuan dengan melihat perubahan berbagai variabel indepen-den serta pengaruhnya terhadap variabel dependen.

Tujuan analisis ini adalah untuk menentukan nilai dan variabel-variabel independen yang bisa mengoptimal-kan fungsi tujuan para pembuat keputusan

8

Hubungan antara Nilai Total dengan MarginalUnit Output terjual (Q)

LabaTotal

Labamarginal

Laba Rata-rata

012345678

Rp 0Rp 19Rp 52Rp 93Rp 136Rp 175Rp 210Rp 217 Rp 208

-Rp 19Rp 33Rp 41Rp 43Rp 39Rp 35Rp 7Rp –9

-Rp 19Rp 26Rp 31Rp 34Rp 35Rp 35Rp 31Rp 26

- Kolom 1 dan 2 data hubungan output dan laba total- Kolom 3, perubahan laba total dengan adanya perubahan output satu unit- Kolom 4, laba setiap satu unit output (rata- rata)

Hubungan antara nilai marginal dengan nilai total dalam analisis pengambilan keputusan berperan penting, karena jika nilai marginal tersebut posistif, maka nilai total (laba total) meningkat, dan jika nilai marginal tersebut negatif, maka nilai total akan menurun.

9

Hubungan antara Nilai Rata-Rata dengan MarginalUnit Output

terjual (Q)LabaTotal

Labamarginal

Laba Rata-rata

012345678

Rp 0Rp 19Rp 52Rp 93Rp 136Rp 175Rp 210Rp 217 Rp 208

-Rp 19Rp 33Rp 41Rp 43Rp 39Rp 35Rp 7Rp –9

-Rp 19Rp 26Rp 31Rp 34Rp 35Rp 35Rp 31Rp 26

- Ketika laba marginal meningkat sampai Q ke 5 sebesar 39, laba rata-rata meningkat pula sebesar 35.- Ketika laba marginal mulai menurun 35, 7 dan bahkan –9, maka laba rata-rata semula sama sebesar 35, setelah itu menurun sebesar 31, 26. dan inilah hubungan istimewa antara laba marginal dan laba rata-rata.

10

Penggambaran hubungan antara Nilai total, Marginal dan Rata-rata

Hubungan aritmatis contoh di atas dapat pula digambarkan hubungan geometris, sbb :-Titik E Total laba puncak laba marginal- nya nol - Titik D slope dari Total laba (ray line) paling besar sehingga Laba rata-rata puncak- Titik C slope dari Total Laba (bukan ray- line) paling besar sehingga marginal laba puncak

Total labaE

D

C

0

0

C

B

DA

E

Laba rata-rata

Laba marginal

11

KALKULUS DIFFFERENSIAL DAN KAIDAH-KAIDAH PENURUNAN FUNGSI

Kalkulus Diferensial

Walaupun tabel dan grafik bermanfaat untuk menjelaskan konsep hubungan ekonomi, tetapi persamaan seringkali lebih cocok untuk digunakan dalam proses pemecahan masalah . Salah satu alasan adalah bahwa teknik analisis kalkukulus diferensial bisa digunakan untuk menemukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi secara efisien melalui analisis marginal. Selain itu konsep kalkulus dasar mudah dikembang-kan untuk masalah pengambilan keputusan di mana pilihan-pilihan yang ada dibatasi oleh beberapa kendala. Oleh karena itu, pendekatan kalkulus ini sangat bermanfaat bagi masalah optimasi terkendala yang merupakan ciri dari proses pembuatan keputasn managerial

12

Kaidah-kaidah Penurunan Fungsi

1. Kaidah Konstata Y = 2

0dY

dX

2. Kaidah Pangkat

( 1)

3

(3 1) 2

. .

:

2

3.2 6

b

b

Y aX

dYb a x

dXcontoh

Y X

dYX X

dX

(1 1)

0

0,5

1.0,5.

0,5

0,5

Y X

dYX

dX

X

13

3. Kaidah Penjumlahan dan Selisih

U = f(X)V = h(X), oleh karena itu jika Y = U + V, maka :

2 3

2 3

2

: ( ) 2 ( )

2

4 3

dY dU dV

dX dX dX

misalkan U f X X dan V h X X dan

Y U V X X maka

dYX X

dX

14

4. Kaidah Perkalian

Turunan ini sama denganyang di atasnya, maka :

2 2

2

2

2

: 3 3 , 3 (3 )

3 ( ) (3 )( )

3 ( 1) (3 )(6 )

3

dY dV dUU V

dX dX dX

misalkan U X dan V x berarti Y X X

dY dV dUX X

dX dX dX

X X X

X

2 2

2

2

2 2

2

: 3 (3 ), 3 (3 ),

3 ( ) (3 )

3 ( 1) (3 )(6 )

3 18 6

18 9

dY dV dUU V

dX dX dX

mis jika U X dan V X maka Y X X

dY dV dUX X

dX dX dX

X X X

X X X

X X

15

5. Kaidah Pembagian

2

22

2

4

2 2

4

2

4

2

2 3.: 2 3 6 , :

6

2(6 ) (2 3)(12 )

36

12 (24 36 )

36

12 36

363

3

dU dVV UdY dX dX

dX VX

Mis U X dan V X maka YX

dY X X X

dX X

X X X

X

X X

XX

X

16

CONTOH PERHITUNGAN USAHA PPS

TC = ⅓Q3 – 2Q2 + 4,75Q + 1 (diketahui)ATC = ⅓Q2 – 2Q + 4,75 + 1/Q

MC = Q2 – 4Q + 4,75 AR = 3 (diketahui) TR = P.Q = 3Q MR = 3 L= 3Q – (⅓Q3 – 2Q2 + 4,75Q + 1) L = 3Q – ⅓Q3 + 2Q2 – 4,75Q – 1 L = – ⅓Q3 + 2Q2 – 1,75Q – 1

-

-

2

2

1,2

1

2

1/2

rumus ABC

MC MRQ 4Q 4,75 3Q 4Q 1,75 0

4 16 - 4( 1) ( 1,75)Q2

2 9 2 1,5

Q 3,5 Laba Max. 3,08 Q 0,5 Rugi Max. 1,42

Laba Makisumum jika :dL / dQ = 0 (first order)d2L/dQ2 < 0 (scond order)

Q TC ATC MC AR = MR

TR Laba

0 1 4,75

3 0 -1

0,5

2,92 5,83 3 3 1,5 - 1,42

1 4,08 4,08 1,75

3 3 -1,08

1,5

4,75 3,17 1 3 4,5 - 0,25

2 5,17 2,58 0,75

3 6 0,83

2,5

5,58 2,23 1 3 7,5 1,92

3 6,25 2,08 1,75

3 9 2,75

3,5

7,42 2,12 3 3 10,5

3,08

4 9,33 2,33 4,75

3 12 2,67

4,5

12,25

2,72 7 3 13,5

1,25

5 16,42

3,28 9,75

3 15 -1,42

d2L/dQ2 = -2Q + 4Q=3,5 L’’ = -2(3,5) + 4 = - 3 LmaxQ=0,5 L’’ = -2(0,5) + 4 = + 3 R max

ATC

AR = MR

MC

Laba

Q TC ATC MC AR = MR

TR Laba

0 1 4,75

3 0 -1

0,5

2,92 5,83

3 3 1,5 - 1,42

1 4,08 4,08

1,75

3 3 -1,08

1,5

4,75 3,17

1 3 4,5 - 0,25

2 5,17 2,58

0,75

3 6 0,83

2,5

5,58 2,23

1 3 7,5 1,92

3 6,25 2,08

1,75

3 9 2,75

3,5

7,42 2,12

3 3 10,5

3,08

4 9,33 2,33

4,75

3 12 2,67

4,5

12,25

2,72

7 3 13,5

1,25

5 16,42

3,28

9,75

3 15 -1,42 17

18

Optimasi Usaha Monopoli (Keseimbangan usaha) L = TR - TC

L max., jika : dL/dQ = 0 (first order) dTR/dQ – dTC/dQ =

0 MR - MC = 0 MR = MC d2L/dQ2 < 0 (scond

order)

Contoh :P = 6 – 0,8 Q TR = 6Q – 0,8Q2

TC = ⅓ Q3 – 2Q2 +4,75Q + 2Qe = ? Dan Laba maksimum = ?Jawab :MR = MC6 – 1,6Q = Q2 - 4Q + 4,75Q2 – 2,4Q - 1,25 = 0Q1,2 = [2,4 + {(2,4)2 – 4(1)(-

1,25)}0,5]/2 Q1 = 2,840122 Q2 = - 0,44012 (imposible)L = TR - TC = 6(2,84) – 0,8(2,84)2 – (⅓

(2,84)3 – 2(2,84)2 +4,75(2,84) + 2

= 3,593285

TR

TC

ATC

MC

ARMR

Laba

◉

◉

Rp 3,59

2,84

Laba = Rp 3,59

19

OPTIMASI FUNGSI DENGAN VARIABEL MAJEMUK

Hampir hubungan ekonomi mennggunakan dua atau lebih variabel, maka kita memperluas konsep deferensiasi nya :

Q = f (P, A) - konsep kalkulus , dengan menganggap pengaruh seluruh independen lainnya konstan. Kaidah yang kita gunakan sama dengan turunan yang sederhana biasa

QPQA

Misal : Y = 10 – 4X + 3XZ – Z2 . Ada variabel Y = dependendX dan Z = Independen

Turunan parsialnya : 0 4 3 0

4 3

0 0 3 2

3 2

Y ZX

ZY X ZZ

X Z

20

Maksimisasi Fungsi dengan Variabel MajemukSyarat maksimasi (atau minimasi) dari fungsi dengan variabel majemuk merupakan secara langsung dari fungsi dengan variabel tunggal . Semua turunan parsial pertama harus sama dengan nol.Perhatikan contoh berikut ini :

Y = 4X + Z – X2 + XZ – Z2

14 2 0 2 2

1 2 0 1 2

YX Z X Z

XY

X Z X ZZ

2 + 1/2 Z = – 1 + 2 Z11/2 Z = 3Z = 2X = 3

Y = 4X + Z – X2 + XZ – Z2

= 4(3) + 2 – 32 + (3)(2) – 22 = 7 unit

Z

X

Y

7

3

2

21

OPTIMASI TERKENDALA

Manager produksi ditugaskan untk mengejar biaya mnimum (TC) untuk sejumlah produk tertentu. Pada waktu lain manager tersebut juga dituntut untuk produksi semaksimal mungkin dengan sejummlah input tertentu. Demikian juga dibagian lain , misalnya bagian pemasaran dituntut untuk penjualan yang maksimal dengan biya reklame seminimal mungkin.Inilah gambaran untuk mencapai tujuan pasti ada kendala atau tunduk pada kedala tertentu. Seperti terlihat pad dibawah ini :

Masalah maksimasi Masalah minimasi

Maksimasi : Laba, Penerimaan atau OutputTunduk kepada Kendala Sumberdaya

Minimasi : Biaya Produksi / Ongkos ProduksiTunduk kepada Kendala Kuantitas atau kualitas output

22

Tampak ada kaitan erat sekali formulasi maksimasi dan minimasi pada masalah optimasi terkendala dengan penggunaan sumberdaya langka secara optimal.Banyak contoh-contoh dalam eokonomi dalam kasus iniPerhatikan Contoh berikut :

TC = 3X2 + 6Y2 – XY X merupakan output dari pabrik pertama dan Y merupakan output dari pabrik kedua Produk Total = 20 unit (X + Y = 20), sebagai kendalanyaMaka masalah terkedala tersebut dapat ditulis sbb :

Minimumkan : TC = 3 X2 + 6Y2 – XYKendala : X + Y = 20 X = 20 – Y

dan TC = 3 X2 + 6Y2 – XYTC = 3 (20 – Y)2 + 6Y2 – (20 – Y)YTC = 3(400 – 40Y +Y2)+ 6Y2 – 20Y – Y2

TC = 1200 – 120Y+ 3Y2 + 6Y2 + Y2

TC = 1200 – 140 Y + 10 Y2

23

Sekarang kita bisa menganggap persamaan diatas sebagai ma-salah mininmisasi yang tak terkedala. Untuk menyelesaikan harus dicari turunannnya, yang menyamakan turunan tsb. dengan nol

TC = 1200 – 140 Y + 10 Y2

140 20 0

20 1407

dTC YdYY

Y unit

2

2

140 20

20

dTC YdY

d TCdY

Berhubung turunan ke dua hasilnya positif maka sudah dapat dipastikan bahwa7unit itu itu merupakan titik minimum dari biaya.Kalau kita substitusikan nilai 7 kedalam persamaan kendala menmungkinkan kuantitas optimum yang diproduksi oleh pabrik X

X + 7 = 20 X = 20 – 7 = 13Dan jika kita substitusikan kedalam persamaan TC kita akan dapat menghitung biaya minimal tersebut :

TC = 3(13)2 + 6(7)2 – (13x7) = Rp. 710

24

Angka Pengganda Lagrange

Teknik substitusi di atas tidak selalu dapat digunakan dengan baik. Kadang-kadang kendala telalu banyak dan komplek. Dalam kasus ini teknik angka pengganda Lagrange dapat dimanfaatkan.Teknik Lagrange untuk memecahkan optimasi terkendala adalah suatu cara untuk mengoptimalkan suatu fungsi dengan cara : menggabungkan fungsi tujuan dengan fungsi kendala . Fungsi gabungan ini disebut fungsi Lagrange.

Maksimumkan : TC = 3 X2 + 6Y2 – XYKendala : X + Y = 20

L = 3 X2 + 6Y2 – XY + λ (20 – X – Y)

25

L = 3 X2 + 6Y2 – XY + λ (20 – X – Y)

6 0 6

12 0 12

20 0

LX Y X Y

XL

Y X Y XYL

X Y

6X - Y = 12 Y – X7X = 13YX = 13/7 Y

X + Y = 2013/7Y + Y = 2020/7Y = 20Y = 7 unit dan X = 13 unitλ = 6X – Y = 12 Y – X = 6(13)– 7=12(7)–13= 71 unit

Nilai angka pengganda (λ) memiliki suatu iterpretasi ekonomis yang sangat penting. Disini kita dapat mengiterpretasikan bahwa λ sebagai MC pada tingkat output sebesar 20 unit. Ini menunjukkan kepada kita jika perushaan diharuskan memproduksi 19 unit, maka TC akan turun Rp 71 unit dan jika perusahaan diharuskan memproduksi 21 unit, maka TC meningkat sebesar Rp 71

26

TC = w T + r C

Q = a Tb Cc

L = w T + r C + λ (Q - a Tb Cc)

1 1

11

1 1

11

0

0

b b

b c b

T

w

bQTL r CC

r

cQC

L c cw b aT C w b aT CT

w b Q T

cc aT C r c aT C

r c Q C

1 1

w r

bQT cQC

TC Q TC Q

T T C CTC TC

MCQ Q

1 1 1 1

;

;b c b c

TC TCw r

T C

Q QbaT C bQT caT C cQC

T C

BUKTI λ SEBAGAI MC

LATIHAN 2

1. Fungsi produksi yang dihadapi seorang produsen ditunjukkan oleh Y = 150 X2 – 2X3, dimana Y adalah jumlah produk yang dihasilkan dan X adalah jumlah input yang digunakan. a) Bentuklah fungsi produk rata-ratanya. b) Berapa produk total dan produk rata-rata jika digunakan 70 unit input ? c) Berapa produk marginal jika input ditambah 1 unit ?

2. Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah pabrik ditunjukkan oleh pesamaan TC = Q3 – 90Q2 + 250 Q + 56.500. Pada tingkat produksi berapa unit biaya marginalnya minimum ?. Berapa besarnya biaya marginnal minimum tersebut ?, berarapa pula besarnya biaya total pada tingkat produksi tersebut ?

3. Seorang produsen menghadapi fungsi permintaan P = 100 – 4Q dan biaya totalnya TC = 50 + 20Q. Hitunglah tingkat produksi yang menghasilkan laba maksimum, berapa besarnya laba maksimum tersebut dan harga barang yang dijual pada laba masimum tsb. ?

27

4. Buktikanlah bahwa untuk fungsi biaya total TC = 0,5Q3 – 20Q2 + 250Q, biaya rata-rata minimum sama dengan biaya marginal.

5. Andaikan fungsi produksi suatu macam barang dirumuskan dengan Q = K5/8 L3/8 . Jika harga input K dan L masing-masing adalah Rp 5,00 dan Rp 3,00 per unit , sedangkan produsen ingin memproduksi 10 unit output , carilah berapa unit masing-masing input sebaiknya digunakan agar ia berada dalam keseimbangan (biaya produksi minimum)

6. Andaikan kepuasan total seorang konsumen dari mengkonsumsi barang X dan Y dirumuskan oleh persamaan utilitas U = X3 Y2. jika konsumen tersebut menyediakan anggaran sebesar Rp 4.000,00 untuk membeli X dan Y masing-masing dengan harga Rp 150,00 dan Rp 200,00 perunit, hitunglah berapa unit X dan Y seharusnya ia beli agar kepuasannya maksimum.

oo0oo

28

29

Jawab :

1. Y = 150 X2 -2X3 Y = Output X = jumlah input a) AP = 150 X – 2 X2 b) TP = 150(70)2 – 2(70)3 o = 735.000 – 686.000 = 49.000 unit AP = 150X – 2X2

= 150(70) – 2(70)2

= 700 unit c) MP0 = 300X – 6X2

= 300(70) – 6(70)2 = – 8.400 MP1 = 300(71) – 6(71)2 = – 8.946

30

2. TC = Q3 – 90Q2 + 250Q + 56500 a) MC = 3Q2 – 180Q +250 = 0

2

1,2

16

1

2

180 180 4(3)(250)

6

30 / 32400 3000

30 28,57738

30 28,577738 58,57738

30 28,57738 1,42262

Q

Q

Q

" 6 180

6(58,57738) 180 171,46428

6(1,42262 180) 171,46428

MC Q

MINIMUM

MAXIMUM

31

b) MC = 3Q2 – 180Q +250 = 3(58,577738)2 – 180(58,577738) + 250 = 0,061328

c) TC = Q3 – 90Q2 + 250Q + 56500 = (58,577738)3 – 90(58,57738)2 +250(58,577738) +56.500 = 201000,802662 – 308821,625028 +14644,4345 + 56500 = – 36676,387866

32

3. P = 100 – 4Q TR = 100Q – 4Q2

MR = 100 – 8Q TC = 50 + 20Q MC = 20 MR = MC 100 – 8Q = 20 8Q = 80 Q = 10 unit (laba max.) L = TR – TC = 100Q – 4Q2 – 50 – 20Q = 100(10) – 4(10)2 – 50 – 20(10) = $ 350 AR = 100 – 4Q = 100 – 4(10) = $ 60

33

4. TC = 0,5Q3 – 20Q2 + 250Q ATC = 0,5Q2 – 20Q + 250 ∆ATC/∆Q = 0 Q – 20 = 0 Q = 20 unit

ATC = 0,5(20)2 - 20(20) + 250 = 50

MC = 1,5Q2 – 40Q + 250 = 1,5(20) 2 – 40(20) + 250 = 50 Jadi pada Q = 20 unit ATC = MC = $ 50

34

5. Maximize : C = 5 K + 3 L Kendala : 10 = K5/8 L3/8

Slope Isoquant = Slope BL

3 / 85 / 8

8 / 3 8 / 3

5 / 8 5 / 3

10

10 10

LK

LK K

8 / 3 5 / 3

5 8 / 3 8 / 33

5 8 / 33

8 / 3

10

5/ .10

3

/ 10 5

3

K

L

L K

PdL

dK P

K

K

8 / 3 8 / 3

8 / 3 8 / 3

5/8 3/8

8 / 3

5 / 8

8 / 3

5 / 3

5 10 5

10

10

10 = K L

10

10

1010

10

K

K

K

L

L

Jadi masing-masing input yang sebaikny a digunakan adalah

K = 10 unitL = 10 unit

Dan total biaya produksi adalah ;TC = 5 K + 3 K = 5(10) + 3(10) = 80

35

6. U = X3 Y2

4.000 = 150X +200Y

MUx/Px = MUy/Py3X2Y2/150 = 2X3Y/200600X2Y2 = 300X3Y2X2Y2 = X3YX3Y / X2Y2 = 2X / Y = 2X = 2Y

4.000 = 150X +200Y = 150(2Y) + 200Y

500Y = 4.000 Y = 8

X = 16

Jadi : barang X dibeli 16 unit barang Y dibeli 8 unitSehingga Kepuasannya maximumSebesar : U = X3 Y2

= 163 . 82

= 262144 utils