operator yang bekerja pada ruang fungsi terintegral bochner
TRANSCRIPT
1
OPERATOR YANG BEKERJA PADA RUANG
FUNGSI TERINTEGRAL BOCHNER
MUNADI
ISNANI
ABSTRAK
Artikel ini bertujuan untuk menjabarkan sebagian sifat-sifat jika suatu operator
bekerja pada ruang fungsi terintegral Bochner. Untuk itu dibahas terlebih dahulu teori-
teori yang mendukungnya, antara lain definisi fungsi yang terintegral Bochner dan
primitivenya.
Metode yang dipakai dalam penulisan ini adalah metode studi pustaka, yaitu
berdasarkan penelitian yang mendalam terhadap literatur-literatur yang berkaitan,
kemudian hasilnya dijabarkan dan disajikan dalam bentuk artikel berupa teori tentang
sifat-sifat operator yang bekerja pada ruang terintegral Bochner. Teori tersebut
memuat definisi, lemma dan teorema beserta buktinya.
Dari kajian yang telah dilakukan, diperoleh hasil sebagai berikut : Jika diberikan interval I dan ruang Banach X dan Y, maka dua pernyataan berikut
berlaku :
(i) Jika T : X Y merupakan operator linear terbatas dan f : I X terintegral
Bochner, maka T f : t T ( f ( t ) ) terintegral Bochner dan
(ii) Jika A operator linear tertutup pada X dan f : I X terintegral Bochner, dengan
f(t) D(A) untuk setiap t I serta A f : I X terintegral Bochner, maka
dan
Kata Kunci : Ruang Banach, Operator, dan Fungsi Terintegral Bochner.
PENDAHULUAN
Fungsi terintegral Bochner
merupakan salah satu dari sekian
banyak fungsi terintegral yang bekerja
di dalam Ruang Banach. Seperti yang
telah diketahui, Ruang Banach adalah
ruang bernorma yang lengkap. Jadi
fungsi terintegral Bochner akan bernilai
2
vektor , yaitu rangenya berdimensi n.
Jadi ia lebih rumit dibandingkan dengan
fungsi terintegral Newton, Rieman,
Lebesgue, Henstock, Darboux, dan
semisalnya yang bernilai real, yaitu
berdimensi satu.
Dalam matematika analisis, teori
integral dan teori operator adalah dua
spesifikasi ilmu yang berbeda. Dalam
artikel ini penulis berusaha menerapkan
teori operator pada teori integral. Jadi
artikel ini diharapkan menjadi lebih
menarik bagi matematikawan ketika
pada fungsi terintegral Bochner tersebut
dikenai suatu operator. Dibutuhkan
analisis tingkat tinggi untuk
menjabarkan operator yang bekerja
pada ruang fungsi terintegral Bochner
tersebut.
Teori integral didasarkan pada
teori ukuran. Sehingga menjadi hal
yang lazim dalam matematika jika
sebelum membahas teori integral akan
dibahas terlebih dahulu teori ukuran.
FUNGSI SEDERHANA DAN
KETERUKURAN
Definisi 1.1
Diambil X ruang Banach dan I suatu
interval di dalam . Fungsi f : I X
dikatakan sederhana jika terdapat
barisan berhingga himpunan terukur
{Em} I, m = 1,…, p sehingga Em El
= untuk m l dan
dimana f(t) = ym X untuk t Em,
m = 1,…, p, yaitu f konstan pada
himpunan terukur Em.
Definisi 1.2
Fungsi f : I X dikatakan terukur
jika terdapat barisan fungsi sederhana
{fn} dengan n sehingga
untuk t I h.d.
Proposisi 1.3
Jika f : I X terukur, maka fungsi
real : I terukur.
Bukti :
Karena f : I X terukur, maka
terdapat barisan fungsi sederhana {fn}
untuk n sehingga
yaitu
.
Karena
,
maka diperoleh
Dengan kata lain terbukti terukur.
Definisi 1.4
Fungsi f : I X dikatakan terukur
lemah jika untuk setiap x* X*, fungsi
3
real x*( f ) : I terukur dimana
X* adalah dual dari X.
Lemma 1.5
Diambil X ruang Banach separabel.
Maka terdapat barisan
dengan
sehingga
untuk setiap x* B(X*) =
berakibat terdapat
subbarisan dari
sehingga
untuk setiap x X.
Definisi 1.6
Fungsi f : I X dikatakan separabel
jika terdapat himpunan countabel D X
sehingga f (t) , untuk t I.
Teorema 1.7 (Egoroff)
Diambil {fn} barisan fungsi terukur
sehingga
h.d. di dalam I.
Maka untuk setiap terdapat
himpunan terukur H I sehingga
dan
seragam pada H.
Teorema 1.8 (Pettis)
Fungsi f : I X terukur jika dan
hanya jika f terukur lemah dan bernilai
separabel h.d, yaitu terdapat N I
dengan ( N ) = 0 sehingga f(I\N )=
{f (t) : t I\N} X separabel.
Bukti :
Syarat perlu : Diketahui fungsi f : I
X terukur.
Maka terdapat barisan fungsi sederhana
{fn} untuk n sehingga
untuk t I
h.d.
Untuk x* X*, diperoleh
untuk t I h.d.
Karena {fn}, untuk n adalah
barisan fungsi sederhana, maka
diperoleh bahwa x*(fn) : I fungsi
real sederhana utnuk x* X*.
Oleh karena itu x*( f ) terukur untuk
setiap x* X* terukur untuk setiap
x* X*.
Dengan kata lain f terukur lemah.
Selanjutnya, menurut teorema Egoroff,
untuk setiap n terdapat himpunan
terukur sehingga dan
seragam
pada
Karena { } adalah barisan fungsi
sederhana pada I, maka range
4
dari { } berhingga untuk
setiap n dan diperoleh
bahwa countabel. Sehingga
untuk setiap n , himpunan
separabel dan
juga separabel.
Karena , n , maka
diperoleh
dan
Dengan mengambil N ,
maka separabel.
Syarat cukup : Tanpa mengurangi arti,
diasumsikan bahwa range penuh
adalah separabel. Oleh karena itu, ruang
X juga dapat diasumsikan separable ( X
dapat diambil sebagai subruang linear
tertutup terkecil yang memuat ).
Diambil bahwa dense di
dalam X.
Pertama akan ditunjukkan bahwa fungsi
terukur.
Untuk a dan didefiniskan
dan
}
Diperoleh
dan dengan teorema Hahn-Banach,
untuk setiap fixed terdapat
dengan = 1 sehingga
.
Diperoleh juga
dan akibatnya
Menurut Lemma 1.5, diperoleh
dimana diberikan oleh lemma
tersebut dan karena itu
Himpunan , terukur karena
f terukur lemah dan selanjutnya
terukur. Karena itu pada I
terukur. Diambil {
himpunan dense di dalam Serupa
dengan pembuktian keterukuran
di atas, maka dapat ditunjukkan bahwa
fungsi
terukur.
Diambil k fixed dan
5
Keterukuran mengakibatkan
bahwa adalah himpunan-
himpunan terukur dan karena untuk
setiap , terdapat sehingga
maka diperoleh
Didefinisikan
adalah himpunan-himpunan
terukur, = untuk ,
dan
Oleh kerena itu untuk setiap ,
terdapat sehingga
Didefinisikan
jika dan
untuk yang lain.
Untuk diperoleh
dan tentu
seragam di dalam I.
Range dari countabel menurut
definisi.
Diambil untuk
dan untuk yang
lain, maka { adalah barisan fungsi
sederhana pada I dan
h.d. di
dalam I dan terbukti bahwa f terukur.
Akibat 1.9
Jika f : I X, maka pernyataan-
pernyataan berikut berlaku
i) Fungsi f terukur jika dan hanya jika
seragam untuk
t I h.d. dimana {hn} adalah
barisan fungsi terukur bernilai
terhitung.
ii) Jika X separabel, maka f terukur jika
dan hanya jika f terukur lemah.
iii) Jika f kontinu, maka f terukur.
iv) Jika fn : I X fungsi-fungsi terukur
dan fn → f titik demi titik h.d., maka f
terukur.
FUNGSI TERINTEGRAL
BOCHNER DAN SIFAT-SIFATNYA
Definisi 2.1
Diketahui ruang Banach X atas C dan
interval I .
Fungsi f : I X dikatakan
terintegral Bochner, jika terdapat
fungsi sederhana kuat gn : I X , untuk
n N sehingga
Jika f : I X terintegral Bochner,
maka integral Bochner dari f pada I
adalah :
6
Teorema 2.2 (Bochner)
Fungsi f : I X terintegral Bochner
jika dan hanya jika f terukur dan f
terintegral. Lebih lanjut, jika f
terintegral Bochner, maka
Bukti :
Syarat perlu : Diketahui f terintegral
Bochner maka terdapat fungsi
sederhana kuat gn, sehingga menurut
definisi 1.2 dan proposisi 1.3, f dan
terukur.
Karena terukur, maka
.
Karena
dan , maka
diperoleh
Dengan kata lain terbukti
terintegral.
Lebih lanjut,
Syarat cukup : Diketahui f fungsi
terukur dan f terintegral.
Diambil sebarang barisan fungsi
sederhana {hn} yang konvergen h.d. ke f
pada I.
Didefinisikan fungsi sederhana :
)(tgn
lainyang
ntfthth nn
,0
)1()()(,)( 1
maka
Karena fungsi f dan fgn
terintegral dan
)(3)()( tftftgn maka
diperoleh
I
nn
dttftgLim 0)()( .
Jadi f terintegral Bochner pada I.
Teorema 2.3 (Kekonvergenan
Terdominasi)
Diberikan fn : I X ( n ) fungsi
terintegral Bochner pada I untuk setiap
n. Jika )()( tftfLim nn
ada h.d.
dan terdapat fungsi g : I
terintegral sehingga )()( tgtfn h.d.
untuk setiap n , maka f terintegral
Bochner dan
7
Lebih lanjut, I
n dttftf 0)()( ,
untuk n
Bukti :
Karena untuk setiap n, fn terintegral
Bochner dan fn f (Dengan akibat
1.9 bagian iv, f terukur) serta terdapat g
fungsi yang terintegral, dengan
)()( tgtfn h. d. maka )()( tgtf
h.d. dan karena itu f terintegral.
Berdasarkan Teorema 2.2 diperoleh,
dttfdttfII )()(
Jadi, terbukti bahwa f terintegral
Bochner.
Selanjutnya, didefinisikan :
Ittftfth nn ,)()()(
Karena )(2)( tgthn dan hn 0 h . d
. maka
Akibatnya
.
Sehingga diperoleh
PRIMITIF DARI FUNGSI
TERINTEGRAL BOCHNER DAN
SIFAT-SIFATNYA
Definisi 3.1
Jika f : [a,b] → X terintegral Bochner,
dapat dikatakan bahwa F : [a,b] → X
adalah antiderivatif atau primitive dari
f jika
Definisi 3.2
Diberikan suatu fungsi F : [a,b] → X
dan suatu partisi , a = t0 < t1 < …<tn
= b. Jika
maka F dikatakan bervariasi terbatas
jika
dimana supremumnya meliputi semua
partisi pada [a,b].
Definisi 3.3
F dikatakan kontinu mutlak pada [a,b]
jika untuk sebarang > 0 terdapat >
0 sehingga
untuk setiap koleksi berhingga {(ai ,
bi)} dari interval-interval saling asing
di dalam [a,b] dengan .
Definisi 3.4
F dikatakan kontinu Lipschitz jika
terdapat M sehingga || F(t) - F(s) ||
M | t –s | untuk setiap s, t [a,b].
Jelas bahwa setiap fungsi kontinu
Lipschitz adalah kontinu mutlak.
8
Proposisi 3.5
Diambil F : [a,b] → X kontinu mutlak.
Maka F bervariasi terbatas. Lebih
lanjut, jika G(t) = V[a,t] (F), maka G
kontinu mutlak pada [a,b].
Bukti :
Diambil sebarang > 0 dan
sebagaimana tercantum dalam
definisi kontinu dari F. Maka
dimana
adalah koleksi berhingga dari sub-sub
interval saling asing pada dengan
Khususnya F
bervariasi terbatas pada sebarang
subinterval dengan panjang kurang dari
. Karena [a,b] gabungan berhingga
dari interval-interval yang demikian,
maka F bervariasi terbatas pada [a,b].
Lebih lanjut,
Dengan kata lain G kontinu mutlak.
Proposisi 3.6
Diambil terintegral
Bochner dan
Maka
a) F terdiferensial h.d dan F’ = f h.d.
b)
untuk setiap t h.d.
c) F kontinu mutlak.
d)
Bukti :
Untuk membuktikan a) dan b), diambil
suatu fungsi tangga gn sehingga
Untuk h > 0,
Karena fungsi tangga dan s → || fn(s)
– gn(s) || terintegral Lebesgue, maka
dari teorema Lebesgue diperoleh bahwa
untuk setiap t [a,b] \ n dan sebarang
himpunan kosong n.
Dengan mengambil n → ,
dihasilkan turunan arah kanan dari F
dan
untuk setiap . Limit
dari arah kiri, serupa dengan atas.
9
c) Untuk sebarang , terdapat
sehingga
dimana Jika {(ai,bi)} koleksi
berhingga dari sub-sub interval saling
asing pada dengan
, maka dengan
mengambil diperoleh
bahwa
d) Perhatikan bahwa untuk sebarang
partisi pada [a,b],
Sebaliknya, diberikan > 0, dapat
dipilih suatu fungsi tangga g sehingga
Terdapat
suatu partisi pada , sehingga g
konstan pada setiap interval (ti-1, ti).
Maka
Karena > 0 berubah-ubah, terbukti
pernyataan d).
Untuk kasus skalar, teorema
fundamental kalkulus menyatakan
bahwa sebarang fungsi kontinu mutlak
F: [a,b] → terdeferensial h.d, f = F’
terintegral Lebesgue dan F(t) - F(a) =
untuk setiap t [a,b].
Proposisi 3.7
Diambil F : [a,b] → X kontinu mutlak
dan f(t) = F’(t) adalah h.d. Maka f
terintegral Bochner dan F(t) = F(a) +
untuk setiap t [a,b].
Bukti :
Karena
,
maka dengan akibat 1.9 diperoleh f
terukur.
Diambil G(t) = V[a,t] (F), maka G : [a,b]
→ kontinu mutlak dengan proposisi
3.5. Karena itu G terdeferensial h.d dan
G’ L
1[a,b].
Karena || F(t+h) - F(t) || V[t, t+h] (F) =
G(t+h) –G(t), maka || f(t) || G’(t) h.d.
Karena itu || f || L1[a,b], maka f
terintegral Bochner dengan teorema 2.2.
Untuk x* X
*,
10
dari teorema fundamental skalar
kalkulus.
Dengan teorema Hahn-Banach,
diperoleh
OPERATOR YANG BEKERJA
PADA FUNGSI TERINTEGRAL
BOCHNER
Definisi 4.1
Operator A dikatakan tertutup pada
ruang Banach X jika graph G(A)
tertutup di dalam X x X, dimana G(A) =
{(x,Ax) : x D(A)}
Proposisi 4.2
Diberikan interval I dan ruang
Banach X dan Y.
Jika T : X Y merupakan operator
linear terbatas dan f : I X
terintegral Bochner, maka T f : t T
( f ( t ) ) terintegral Bochner dan
Bukti :
Fungsi f : I X terintegral Bochner,
maka terdapat fungsi sederhana kuat gn
: I X , untuk n N sehingga
Selanjutnya, karena T operator linear
terbatas, maka
dan
Dengan kata lain, T f terintegral
Bochner.
Akhirnya diperoleh
Berikut ini adalah versi proposisi 4.2
untuk suatu operator tertutup A pada X.
Proposisi 4.3
11
Jika A operator linear tertutup pada X
dan f : I X terintegral Bochner,
dengan f(t) D(A) untuk setiap t I
serta A f : I X terintegral Bochner,
maka dan
Bukti :
Perhatikan : X X sebagai ruang
Banach dalam norm
Graph(A) dari
A merupakan subruang tertutup dari X
X.
Didefinisikan, g : I G(A) X X
dengan g(t) = ( f(t) , A( f (t))).
Jadi, g terukur dan
I I I
dttfAdttfdttg ))(()()(
.
Menurut Teorema 2.2, g terintegral
Bochner. Lebih lanjut,
I
AGdttg ).()( Berdasarkan
proposisi 2.4 proyeksi pemetaan dari X
X onto X menunjukkan bahwa
I I IdttfAdttfdttg ))((,)()( .
Jadi diperoleh
Karena maka
sehingga diperoleh
SIMPULAN
1. Ruang Banach adalah ruang
bernorma yang lengkap.
2. Diketahui ruang Banach X atas C dan
interval I .
Fungsi f : I X dikatakan
terintegral Bochner, jika terdapat
fungsi sederhana kuat gn : I X ,
untuk n N sehingga
3. Operator A dikatakan tertutup pada
ruang Banach X jika graph G(A)
tertutup di dalam X x X, dimana G(A)
= {(x,Ax) : x D(A)}
4. Jika diberikan interval I dan
ruang Banach X dan Y, maka dua
pernyataan berikut berlaku :
(i) Jika T : X Y merupakan operator
linear terbatas dan f : I X
terintegral Bochner, maka T f : t
T ( f ( t ) ) terintegral Bochner dan
12
(ii) Jika A operator linear tertutup pada
X dan f : I X terintegral
Bochner, dengan f(t) D(A) untuk
setiap t I serta A f : I X
terintegral Bochner, maka
dan
DAFTAR PUSTAKA
Arendt, Wolfgang, 2001. Vector-valued
Laplace Transforms and Cauchy
Problems, Birkhauser Verlag,
Basel-Boston-Berlin.
Cao S., S., 1992. The Henstock Integral
for Banach Valued Function,
SEA. Bull, Math vol 16, hal
36-40.
Gordon, R.A., 1994. The Integral of
Lebesque, Denjoy, Perron and
Henstock, American Matematical
Society, USA.
Guojo, Ye and Schwabik, Stefan, 2004.
Topics Banach Space Integration,
Foundation of postdoctoral
fellows of Lanzhou University &
The Grant Agency of The Czech
Republic.