OPERATOR DEL

Operator del merupakan operator pada diferensial vektor yang disimbolkan

dengan ∇(nabla), yang didefinisikan dalam bentuk turunan parsial, yaitu:

Operator del ini bermanfaat untuk mencari gradien, divergensi, dan curl.

GRADIEN

Definisi Gradien

Misalkan Ф( x , y , z ) terdefinisi dan diferensiabel pada setiap titik(x , y , z)

dalam ruang R3 , maka gradien Ф atau grad Ф atau ∇Ф didefinisikan oleh

Sifat-sifat gradien

Misalkan Ф( x , y , z )dan ѱ (x , y , z ) adalah fungsi-fungsi skalar yang

diferensiabel pada setiap titik (x , y , z) dan c adalah bilangan real, maka berlaku:

Bukti:

Turunan Berarah

Rumus gradien dikembangkan untuk mendefinisikan turunan berarah, yaitu

Misalkan Ф diferensiabel di (x,y,z). Maka Ф memiliki turunan berarah di (x,y,z) pada

arah vektor satuan u = u1i + u2j + u3k, yang diberikan oleh DuФ =∇Ф .u

Dari definisi perkalian titik vektor, diperoleh:

θ adalah sudut antara ∇ ϕ dengan n.

Karena u vektor satuan, maka |u| = 1, sehingga Duϕ = |∇ ϕ∨cosθ

Nilai ini akan maksimum jika cos θ = 1 atau θ = 0o, yaitu jika u searah dengan ∇ ϕ,

sehingga diperoleh :

Jadi, harga maksimum dari turunan berarah sama dengan besar gradien.

DIVERGENSI

Definisi Divergensi

Misalkan vektor V ( x, y, z ) = V1i + V2j + V3k terdefinisi dan diferensiabel pada

setiap titik ( x, y, z ). Divergensi dari V atau div V (∇ .V ¿, didefiinisikan oleh:

Sifat-sifat divergensi:

Misalkan F (x, y, z) dan G (x, y, z) adalah vektor-vektor yang kontinu dan

diferensiabel terhadap x, y dan z, ϕ (x, y, z) adalah fungsi skalar yang kontinu dan

diferensiabel terhadap x, y dan z, serta a dan b adalah bilangan real, maka berlaku:

Bukti:

CURL

Curl suatu vektor adalah limit angka banding antara integral perkalian silang vektor

itu dengan normal yang berarah ke luar di seluruh permukaan tertutup terhadap

volum yang terlingkup oleh permukaan tersebut untuk harga volum yang mendekati

nol.

Definisi Curl

Jika vektor V (x, y, z) = V1i + V2j + V3k, terdefinisi dan diferensiabel pada setiap titik

(x, y, z) maka curl dari V atau rot V (∇ xV ), didefinisikan oleh:

Sifat-sifat curl:

Misalkan F (x, y, z) dan G (x, y, z) adalah fungsi vektor-vektor yang kontinu dan

diferensiabel terhadap x, y dan z, ϕ (x, y, z) adalah fungsi skalar yang kontinu dan

diferensiabel terhadap x, y dan z, dan a adalah bilangan real, maka berlaku:

Medan Vektor Konservatif

Sebuah medan vektor yang dapat diturunkan dari sebuah medan scalar ϕ sehingga V

= ∇ ϕ disebut sebuah medan vektor konservatif dan ϕ disebut potensial skalar. Jika V

= ∇ ϕ, maka ∇ x V=0