DIKTAT

MATA KULIAH

ALJABAR LINEAR

HARIANJA

(ABU BURHAN)

PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS ISLAM KUANTAN SINGINGI

YAYASAN PENDIDIKAN TINGI ISLAM KUANTAN SINGINGI

KATA PENGANTAR

Puji syukur saya panjatkan ke hadirat Allah SWT, yang telah memberikan kemudahan dan kelapangan waktu sehingga saya bisa menyelesaikan penulisan buku yang sederhana ini.

Buku ini penulis harapkan dapat membantu mahasiswa ataupun pelajar yang ingin mempelajari materi – materi yang berhubungan dengan aljabar linear. Buku ini penulis sajikan dengan cara sederhana dan dengan contoh – contoh yang sederhana pula, dengan harapan pembaca lebih mudah untuk mempelajari dan memahaminya. Selain itu untuk memotivasi pembaca,penulis juga mencoba untuk menerapkan teori – teori tersebut dalam beberapa penggunaan dalam berbagai bidang kehidupan sehari-hari.

Demikian buku ini penulis hadirkan dengan harapan semoga dapat menjadi bahan referensi dalam pengembangan ilmu pengetahuan. wassalam

DAFTAR ISI

BAB JUDUL HALAMAN

HALAMAN JUDUL.................................................................................. iKATA PENGANTAR................................................................................ iiDAFTAR ISI............................................................................................... iiiHALAMAN PENGAKUAN...................................................................... i

I. MATRIK..................................................................................................... 11.1 DEFINISI MATRIK............................................................................. 11.2 NOTASI MATRIK............................................................................... 21.3 MATRIK MATRIK KHUSUS............................................................. 21.4 Batasan Masalah................................................................................... 31.5. Sistimatika Penulisan............................................................................ 3

II. OPERASI MATRIK.................................................................................. 52.1 PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIK....................... 52.2 PERKALIAN MATRIK....................................................................... 52.3 TRANSPOSE MATRIK....................................................................... 6

III DETERMINAN MATRIK BUJUR SANGKAR..................................... 343.1 Kerangka Kerja Penelitian.................................................................... 343.2 Uraian Kerangka Kerja......................................................................... 35

IV INVERSE MATRIK.................................................................................. 374.1 MINOR ............................................................................................... 374.2 KOFAKTOR…………………………................................................. 394.3. ADJOIN MATRIK...........................................................................................404.5. INVERS MATRIK............................................................................... 41

V SISTEM PERSAMAAN LINEAR …………………………………………… 535.1 PERSAMAAN LINEAR...................................................................... 535.3 SISTEM PERSAMAAN LINEAR ...................................................... 54

VI SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIK................................ 56

DAFTAR PUSTAKA …………………………………………… ......………. 53

PERTEMUAN 1

MATRIK

DEFINISI MATRIK

Matriks adalah sekumpulan bilangan riil atau elemen atau kompleks yang disusun menurut baris dan kolom sehingga membentuk jajaran (array) persegi panjang.(menurut orang tua tua dahulu)

Matrik yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks m x n atau matriks berode m x n

Suatu matriks ditunjukkan dengan menuliskan jajarannya diantara kurung siku misalnya:

[5 7 26 3 8 ]adalah matriks 2 x 3 dengan 5,7,2,6,3,8 adalah elemen-elemenya

Perhatikan bahwa dalam menyatakan matriks yang pertama disebutkan adalah banyaknya baris dan yang kedua adalah banyaknya kolom.

[5 6 42 −3 27 8 7 ]Adalah matriks berorde 43x 3 yaitu matriks dengan 4 baris dan 3 kolom

Jadi matriks [6 40 12 3 ] berorde………

Dan matriks [2 5 36 7 4] berorde………

matriks hanyalah sekedar jajaran sekumpulan bilangan : tidak ada hubungan aritmetis antar elemen elemennya. Matriks berbeda dari determinan. Karena tidak ada harga numeric suatu matriks yang diperoleh dari perkalian antar elemennya.

Matrik baris : adalah matrik yang hanya terdiri dari satu baris saja

[−3 1 7 ]

Matrik kolom : matrik yang hanya terdiri satu kolom saja

[1317 ]

Untuk menghemat tempat biasanya penulisan matrik kolom dapat ditulis {1 2 3}

NOTASI DUA INDEKS

Setiap elemen matrik memiliki alamat yang bisa dinyatakan dengan notasi dua indeks Aij. i menyatakan baris ke i dan j menyatakan kolom ke j seperti di bawah ini:

A =[a 11 a12 a13a 21 a 22 a23a 31 a 32 a33]

a11 = elemen baris ke 1 dan kolom ke 1

a23 = elemen baris ke 2 kolom ke 3

maka :

A =[3 −1 92 6 −64 7 8 ]

A21 = 2

a32 = 7

MATRIKS MATRIKS KHUSUS

- Matriks bujur sangkar : adalah matrik yang berorde m x m. matrik ini sering juga disebut dengan matrik kuadrat.Contoh :

A =[−4 0 6−2 0 00 9 6]3 x 3

Matrik bujur sangkar dikatakan simetrik jika Aij = AjiContoh :

A =[1 2 92 8 59 5 4]3 x 3

Matriks bujur sangkar dikatakan tidak simetrik/anti simetrik jika Aij = -Aji

A =[ 1 2 9−2 8 5−9 −5 4]3 x 3

- Matrik diagonal : adalah matrik yang semua elemennya bernilai nol kecuali bagian diagonal utamanya. Contoh:

A =[1 0 00 8 00 0 4]3 x 3

- Matriks satuan : adalah matrik diagonal yang semua elemen diagonal utamanya bernilai 1. Matrik satuan bisa juga disebut dengan istilah matrik identitas. Contoh :

A =[1 0 00 1 00 0 1 ]3 x 3

Matriks satuan sering ditulis dengan huruf I. jika matriks satuan dikalikan dengan matrik A atau yang lainnya, maka akan menghasilkan matrik A itu sendiri (atau yang lainnya). Jadi matrik satuan tak ubahnya seperti bilangan 1 dalam perkalian biasa. Sehingga berlaku rumus :

A . I = A I . A = A

Contoh :

[1 0 00 1 00 0 1 ] x [1 2 9

2 8 59 5 4]

Akan menghasilkan matik itu juga.

[1 2 92 8 59 5 4]

Begitu juga jika perkaliannya dibalik tetap akan menghasilkan matriks yang sama.

Membuat matrik identitas menggunakan matlab

>> eye (3)

Ans =1 0 00 1 00 0 1

- Matrik nol : adalah matrik yang semua elemennya bernilai nol. Matrik ini bisa juga ditulis :

[0]

Jika A X B = 0 , tidak bisa disimpulkan bahwa A = 0 atau B = 0Bukti:

Membuat matrik nol dengan matlab

>> zeris (3)Ans =

0 0 00 0 00 0 0

PERTEMUAN KE DUA

OPERASI MATRIKS

a. Penjumlahan dan Pengurangan MatriksDua buah matriks dapat dikurangkan atau dijumlahkan dengan syarat kedua matriks tersebut harus berorde sama. Jika kedua matriks ordenya tidak sama maka mustahil keduanya dapat dijumlahkan.Cara penjumlahannya adalah dengan menjumlahkan entri entri / elemen elemen kedua matriks yang bersesuaian.

Cotoh :

A = [1 2 34 5 67 8 9] 3 X 3

B = [5 2 −36 5 67 −1 3 ] 3 X 3

Carilah : a. A + B b. A – B

Jawab :

A.

A + B = [1+5 2+2 3+(−3)4+6 5+5 6+67+7 8+(−1) 9+3 ]

A + B = [ 6 4 010 10 1214 7 12]

B.

A - B = [1−5 2−2 3−(−3)4−6 5−5 6−67−7 8−(−1) 9−3 ]

A - B = [−4 0 6−2 0 00 9 6]

Penjumlahan matrik menggunakan matlab

>> A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

>> B =[5 2 -3;6 5 6;7 -1 3]

B =

5 2 -3

6 5 6

7 -1 3

>>C =[1 -2 3;7 5 9]

C =

1 -2 3

7 5 9

>> A+B

Ans =

6 4 0

10 10 12

14 7 12

>> A + C

??? Error using == > +

Matrix dimensions must agree

Ini artinya dimensi atau ukuran dari kedua matrik yang ingin dijumlahkan tidak sama (pesan kesalahan dari matlab)

Dengan cara yang sama kita juga dapat lakukan untuk mencari hasil pengurangan dari matrik.

2. perkalian matrik

Ada dua macam perkalian matrik, yaitu :

1. Perkalian skalar2. Perkalian matrik dengan matrik

1. Perkalian skalar : adalah perkalian matrik dengan bilangan skalar. Caranya dengan mengalikan semua elemen matriks dengan bilangan skalar tersebut.Contoh :

A = [−4 0 6−2 0 00 9 6]

Maka 5 A adalah :

A = [−20 0 30−10 0 0

0 45 30 ] 2. Perkalian matriks dengan matriks.

Dua buah matrik dapat diperkalikan satu sama lain dengan syarat jumlah kolom pada matrik pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Jika syarat ini tidak terpenuhi maka perkalian matriks dengan matrik tidak dapat dilaksanakan.Dalam perkalian matrik dengan matrik berlaku rumus:

(m x n ) ( n x p ) = (m x p)

Jadi kalau ada matriks ( 2 x 3 ) dikalikan dengan matriks (3 x 2 ) , maka akan dihasilkan sebuah matriks baru dengan orde (2 x 2)Contoh :

A= [1 −2 37 5 9]2x3

B= [5 26 57 −1]3x2

Hitunglah :a. A.B b. B.AJawab :

a. A . B

A= [1 −2 37 5 9]2x3 X B= [5 2

6 57 −1]3x2

A.B = [ (1 x 5 )+(−2 ) 6+(3 x 7 ) (1 x2 )+(−2 )5+(3 x1)(7 x5 )+(5 x 6 )+(9 x 7) (7 x 2 )+(5 x5 )+(9 x (−1 ))]2x2

A.B = [ (5 )+(−12 )+(21 ) (2 )+(−10 )+(−3)(35 )+(30 )+(63) (14 )+ (25 )+(−9) ]2x2

A.B = [ 14 −11128 30 ]2x2

b. B.A = (3 X 2) (2 X 3) = (3 X 3)Cobalah buktikan sendiri

Perkalian matrik menggunakan matlab

>>C =[1 -2 3;7 5 9]

C =

1 -2 3

7 5 9

>> D =[5 2;6 5;7 -1]

D =

5 2

6 5

7 -1

>> C * D

Ans =

14 -11

128 30

Jika kedua matrik tidak memenuhi syarat untuk dikalikan maka matlab juga akan memberikan pesan kesalahan sebagai berikut:

??? Error using == > *

Inner matrix dimensions must agree

Untuk perkalian skalar kita juga dapat lakukan sebagai berikut

>> K = 5

K =

5

>> Q = [-4 0 6;-2 0 0;0 9 6]

Q =

-4 0 6

-2 0 0

0 9 6

>> K * Q

Ans =

-20 0 30

-10 0 0

0 45 30

TRANSPOSE MATRIKS

Jika baris dan kolom dari suatu matriks dipertukarkan, maksudnya :

- Baris pertama menjadi kolom pertama- Baris kedua menjadi kolom kedua - Baris ketiga menjadi kolom ketiga- Dan seterusnya

Maka kita akan mendapatkan sebuah matriks baru yang dinamakan matrik transpose. Matriks transpose sering diberi symbol AT , BT atau Ã. Contoh :

A= [1 −2 37 5 9]2x3

B= [5 26 57 −1]3x2

Carilah matriks transpose dari:

a. AT

b. BT

c. (A . B)T

Tranpose matri dengan matlab

Pertama kita buat sebuah matrik A sebagai berikut:>>A=[2 6 4;5 1 9;5 2 9]A =

2 6 45 1 95 2 9

Cari transpose matrik A dengan perintah berikut:

>> A’Ans =

2 5 56 1 24 9 9

Jika transpose matrik A kita transpose kembali akan menghasilkan matrik A

>> A’’Ans =

2 6 45 1 95 2 9

Jadi A = A’’

Contoh penggunaan matriks dalam rangkaian listrik

PERTEMUAN KE TIGA

DETERMINAN MATRIK BUJUR SANGKAR

Determinan matriks bujur sangkar adalah determinan yang mempunyai elemen elemen yang sama dengan matriks tersebut. Sebagai contoh :

Determinan dari matrik [5 2 10 6 38 4 7] adalah |5 2 1

0 6 38 4 7|

Dan harga determinan ini adalah : 5 (42-12) -2 (0-24) + 1 (0 – 48) = 150 + 48 -48 = 150

Jika matrik ini kita buat transposenya akan menjadi

[5 0 82 6 41 3 7 ] adalah |5 0 8

2 6 41 3 7|

Dan harga determinannya adalah :150 juga

Jadi harga determinan matrik bujur sangkar sama nilainya dengan harga determinan matrik transposenya.

Suatu matriks yang harga determinannya sama dengan nol disebut dengan matrik singular.

Contoh: carilah determinan dari matrik berikut ini:

a. b.

[3 2 54 7 91 8 6] [2 0 0

0 5 00 0 4]

Determinan matrik menggunakan matlab

Buat matrik A sebagai berikut:

>> A=[5 0 8;2 6 4;1 3 7]

A =

5 0 8

2 6 4

1 3 7

>> det (A)

Ans =

150

KOFAKTOR, MATRIK KOFAKTOR DAN ADJOIN MATRIK BUJUR SANGKAR

Kofaktor : jika A = matrik aij adalah matrik bujur sangkar, kita dapat membentuk determinan yang elemen elemennya adalah

[a11 a12 a1na21 a 22 a2nan 1 an 2 an 3 ]

masing masing elemennya memberikan kofaktor yang tidak lain dari pada minor elemen dalam determinan bersama sama dengan tanda tempatnya.

Sebagai contoh :

A = [2 3 54 1 61 4 0]

Det A adalah |2 3 54 1 61 4 0| = 45

Minor elemen 2 adalah :

|1 64 0| = 0 – 24 = -24

Karena tanda tempatnya + maka kofaktor elemen 2 adalah + (-24) = -24

Serupa dengan cara di atas , minor elemen 3 adalah :

|4 61 0| = 0 – 6 = - 6

Karena tanda tempatnya - , maka kofaktor elemen 3 adalah – (-6) = 6

Untuk masing masing elemen, minornya diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom yang memuat elemen yang bersangkutan dan kemudian dibentuk determinan dari elemen elemen yang tersisa. Tanda tempatnya yang sesuai deberikan oleh :

+ - + ...

- + - …

+ - + …

… … … …

Tanda plus dan minus bergantian , dimulai dengan tempat di sudut kiri atas yang memuat tanda + . jadi dalam contoh di atas, minor elemen 6 adalah:

|2 31 4| = 8 – 3 = -5

Tanda tempatnya - . sehingga kofaktor elemen 6 adalah – 5.

Dengan demikian, untuk matriks :

A = [7 1 −26 5 43 8 9 ]

Kofaktor elemen 3 & 4 adalah :……………

PERTEMUAN 4

QUIZ 1

Pertemuan 5

Adjoin matrik dan invers matrik

A. Adjoin matrik

Jika kita mulai dengan matrik

A = [2 3 54 1 61 4 0]

Maka determinannya adalah :

Det A adalah |2 3 54 1 61 4 0| = 45

Dari sini kita dapat membentuk matrik baru C yang elemen - elemennya kofaktor

C = |A 11 A 12 A 13A 21 A 22 A 23A 31 A 32 A 33| dengan A11 adalah kofaktor dari a11 dan seterusnya

A11 = + |1 64 0| = + (0 – 24) = -24

A12 = + |4 61 0| = - (0 – 6) = 6

A13 = + |4 11 4| = + (16 – 1) = 15

A21 = - |3 54 0| = - (0 – 20) = 20

A22 = + |2 51 0| = + (0 – 5) = -5

A23 = - |2 31 4| = - (8 – 3) = -5

A31 = + |3 51 6| = + (18 – 5) = 13

A32 = - |2 54 6| = - (12 – 20) = 8

A33 = + |2 34 1| = + (2 – 12) = -10

Maka matrik kofaktornya adalah :

C = [−24 6 1520 −5 −513 8 −10]

Transpose dari matrik C adalah :

CT = [−24 20 136 −5 8

15 −5 −10] Maka matrik transpose dari matrik kofaktor dinamakan dengan matrik adjoin dari matrik A.

Jadi untuk memperoleh adjoin dari suatu matrik bujur sangkar A kita harus

- Membentuk matrik kofaktor C- Menuliskan transpose dari matrik C yaitu CT

Dengan demikian adjoin dari matriks :

C = [5 2 13 1 44 6 3 ]

Adalah : ……….

B. Invers matrik

Adjoin suatu matrik berguna untuk menentukan invers dari matrik yang bersangkutan. Jika masing masing elemen dari matriks adjoin A dibagi dengan harga determinan A, yaitu det A (asal saja det a ≠ 0 ), maka akan diperoleh matriks baru yang disebut invers dari matriks A dan biasa ditulis A-1.

Jadi untuk matrik yang telah kita contohkan diatas kita dapat mencari inversnya sebagai berikut:

A = [2 3 54 1 61 4 0]

Maka determinannya adalah :

Det A = |2 3 54 1 61 4 0| = 45

Matrik kofaktornya didapat:

C = [−24 6 1520 −5 −513 8 −10]

Matrik adjoinnya didapat :

CT = [−24 20 136 −5 8

15 −5 −10]Maka invers dari matrik A kita dapatkan sebagai berikut:

A-1 = [−24 /45 20 /45 13/456/ 45 −5 /45 8/4515/45 −5 /45 −10/45]

A-1 = 1/45 X [−24 20 136 −5 8

15 −5 −10]Jadi untuk membentuk invers dari matriks bujur sangkar A:

- Hitung determinan A, yaitu det A- Bentuk matriks C yang elemen elemennya adalah kofaktor elemen det A- Tuliskan transpose matriks C, yaitu CT untuk memperoleh adjoin A- Bagilah masing masing elemen CT dengan det A- Matriks terakhir yang dipeoleh adalah matriks invers dari matrik A semula

Jadi invers dari matrik

A = [1 2 34 1 56 0 2]Adalah :………………

1. Tentukan determinan A

Det A = 28

2. Tentukan matrik kofaktor C =Kita dapatkan

C = [ 2 22 −6−4 −16 127 7 −7 ]

3. Tuliskan adjoin matriknya (CT)

CT = [ 2 −4 722 −16 7−6 12 −7 ]

4. Tentukan invers matrik A dengan membagi adjoin matrik A (CT) dengan det A

Kita dapatkan :

A-1 = 1/28 [ 2 −4 722 −16 7−6 12 −7 ]

Invers matrik menggunakan matlab

Diketahui sebuah matrik A sebagai berikut:

A = [1 2 32 5 31 0 8]

Maka dengan menuliskan perintah >>inv(A) kita akan mendapatkan jawaban sebagai berikut:

Ans =

−40 16 913 −5 −35 −2 −1

PERTEMUAN 6 & 7

TIU: Setelah mengikuti perkuliahan, mahasiswa dapat memahami pengertian sistem persamaan linear, solusi SPL dan menafsirkan solusi SPL berdasarkan sifat sifat matriks ekuivalennya

POKOK BAHASAN : SISTEM PERSAMAAAN LINEAR DAN SOLUSINYA

Uraian materi : PERSAMAAN LINEAR

Persamaan linear sering dipakai dalam proses analisis, desain dan sintesis dari sistem perekayasaan. Bentuk yang paling sederhana dari sistem persamaan linear adalah :

a.x = b

dimana a dan b adalah bilangan yang diketahui nilainya, sedangkan x adalah bilangan yang tidak diketahui dan harus dicari nilainya.

Persamaan ini akan mempunyai tiga kemungkinan solusi yaitu :

1. Solusinya unik jika a ≠ 02. Tidak punya solusi jika a = 0 dan b ≠ 03. Solusi lebih dari satu jika a =0 dan b = 0

Contoh : relasi antara resistansi dan tegangan listrik : I X R = V

untuk system linear yang mempunyai dua persamaan dan dua variable yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai berikut :

a11x1 + a12x2 = b1

a21x1 + a22x2 = b2

Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk :

a 1x + a2 y = b

persamaan semacam ini disebut persamaan linear dalam peubah (variable) c dan peubah y.

secara umum persamaan linear dalam n peubah x1, x2,………..xn didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk :

a1 x1 + x2 x2 + ….+ an xn = b

dengan a1, a2, a3,……………..an dan b merupakan konstanta bilangan riil

contoh : manakah yang termasuk persamaan linear dari persamaan persamaan berikut ini :

a. X + 3y = 7b. X + 3 y2 = 7c. 3x + 2y - z + xz = 4d. Y = ½ x + 3z + 1e. Y – sin x = 0f. √ x1 + 2x2 ++ x3 =1

Jawab:

Persamaan a dan d termasuk persamaan linear

Persamaan b bukan persamaan linear sebab terdapat variable berpangkat 2

Persamaan c bukan persamaan linear karema melibatkan perkalian peubah

Persamaan e bukan perssaan linear karena terdapat bentuk sinus yang termasuk fungsi trigonometri

Persamaan f bukan persamaan linear karena melibatkan akar peubah

B. sistem Persamaan Linear

Sebuah himpunan berhingga dari persaan persamaan linear adalah peubah c1, x2, x3……..xn

dinamakan system persamaan linear atau system linear

Contoh :

a.

4x1 – x2 + 3x3 =-1

3x1 + x2 + 9x3 = -4

X1 2x2 -3x3 =3

b. X – y =2X + 2y = 5

Pemecahan suatu system persamaan linear adalah ukuran dari n bilangan s1, s2,…..sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubtitusikan terhadap persamaan – persamaan dalam system linear tersebut. Himpunan semua pemecahan system persamaan linear disebut himpunan pemecahan sistem persamaan linear.

Contoh: tentukanlah solusi system persamaan linear berikut:

a. X -2y = 83x +y = 3

b. X1 +2x2 –x3 =32x1 –x2 +3x3 = -43x1 +x2 + x3 = 1

Jawab:

a. X -2y = 83x +y = 3

Untuk memecahkan SPL tersebut kita gunakan cara eliminasi maupun cara subtitusi. Berikut ini akan digunkan cara eliminasi :

X -2y = 8 x 1 X -2y = 83x +y = 3 x 2 6x +2y = 6 +

7x = 14

X = 2

Untuk x =2 diperoleh y: X -2y = 8

2 -2y =8

-2y = 8-2

Y = -3

Jadi himpunan penyelesaian/pemecahannya adalah HP = {(2, -3)}

X1 + 2x2 – x3 = 3…………………………………… i2x1 – x2 + 3x3 = -4………………………………….. ii3x1 + x2 + x3 = 1…………………………………… iii

Untuk memecahkan SPL terdebut digunakan cara eleminasi dari persamaan (1) dan (2) :

X1 +2x2 –x3 = 3 x 2 2X1 +4x2 –2x3 = 6

2x1 –x2 +3x3 = -4 x 1 2x1 –x2 +3x3 = -4 _

5x2 –5x3 = 10……………………………iv

Dari persamaan (1) dan (3) :

X1 +2x2 –x3 = 3 x 3 3X1 +6x2 –3x3 = 9

3x1 +x2 + x3 = 1 x 1 3x1 +x2 + x3 = 1 _

5x2 –4x3 = 8 …………………………v

Dari persamaan iv dan v di eleminasikan :

5x2 –5x3 = 10

5x2 –4x3 = 8 _

-x3 = 2

X3 = -2

Untuk x3 = -2 : 5x2 –5x3 = 10

5x2 –5(-2) = 10

5x2 + 10 = 10

X2 = 0

Untuk x2 = 0 dan X3 = -2 , maka dari persamaan I didapat:

X1 +2x2 –x3 =3

X1 = 3 - 2x2 + x3

X1 = 3 – 2(0) + (-2)

X1 = 1

Jadi himppunan pemecahannya adalah : X1 = 1, X2 = 0, X3 = -2

b. Sistem persamaan linear

Suatu sistem persamaan linear mempunyai tiga kemungkinan solusi, yaitu:

1. Sistem persamaan linear tidak mempunyai pemecahan2. Sistem persamaan linear mempunyai tak hingga pemecahan3. Sistem persamaan linear mempunyai tepat satu pemecahan

Sistem persamaan linear yang tidak mempunyai pemecahan dikatakan tidak konsisten atau inkonsisten

Sedangkan SPL yang mempunyai minimal satu pemecahan dinamakan konsisten.

Sebagai ilustrasi kita ambil SPL sebagai berikut:

a 1x + b1y = c1

a 2x + b2y = c2

kedua persamaan tersebut berupa garis lurusyang jika digambarkan ada terdapat 3 kemungkinan yaitu:

l1 l2 l1 l1 = l2

l2

a b c

a. Garis l1 // l2 sehingga tidak ada perpotongan garis atau tidak ada titik yang dapat memenuhi kedua persamaan tersebut. Berarti system tidak mempunyai pemecahan

b. Garis l1 berpotongan dengan garis l2 di satu titik gerarti system mempunayai tepat satu pemmecahan

c. garis l1 berimpit l2 , sehingga terdapat tak hingga banyaknya pemecahan yang memenuhi kedua persamaan. Berarti system mempunyai tak hingga banyak pemecahan

contoh: bila manakah system: a 1x + b1y = c1

a 2x + b2y = c2

mempunyai satu pemecahan , tak hinga banyak pemecahan dan tak punya pemecahan? Berikan contohnya

jawab:system persamaan linear berbentuk :

a 1x + b1y = c1

a 2x + b2y = c2

a. mempunyai satu pemecahan bila : a 1/ a 2 ≠ b1 / b2 (disebut konsisten)

contoh: 2 x + 3 y = 8 x – 2 y = -3

2

Gambar 1

Perpotongan garis diperoleh dengan cara eleminasi :

2 x + 3 y = 8 x 1 2 x + 3 y = 8 x – 2 y = -3 x 2 2x – 4 y = -6 _

7y = 14

Y = 2

Jika y = 2 maka : x – 2 y = -3 x = 2 y -3 x = 2 .2 -3

x = 1b. mempunyai tak hingga banyak pemecahan bila : a1 /a2 = b1/b2 =c1/c2

contoh:-x +2y =-33x -6y =9

Gambar

~

3

-3/2

Persamaan 3x -6y =9 jika kita bagi dengan -3 maka akan diperoleh -x +2y =-3 yang tidak lain merupakan persamaaan yang pertama. Dan pada gambar ditunjukan bahwa kedua garis ini berimpit sehingga solusi SPL tersebut adalah HP = (-~ , ~) £ riil

c. tidak mempunyai pemecahan jika : a1 /a2 = b1/b2 ≠ c1/c2

contoh: 2x – 3y = -6 4x – 6y = 12

Gambar

2

-3 3

-3Dari gambar ditunjukkan bahwa kedua garis tersebut sejajar artinya taidak ada satupun titik yang dapat memenuhi pertidak samaan tersebut. Jadi solusi SPL tersebut HP: ( )

Contoh penggunaan sistem persamaan linear

Pertemuan ke 8

UTS

1. Soal : tentukanlah invers dari matriks A berikut:

C = [2 7 43 1 65 0 8 ]

a. A-1 = …………?b. A X A-1

2. Selesaikan Sistem persamaan linear berikut:

X + Y + 2Z = 92X + 4Y - 3Z = 13X + 6Y - 5Z = 0

PERTEMUAN KE 9 & 10

TIU :Mahasiswa dapat menentukan solusi suatu sistem persamaan linear dengan metode cramer

POKOK BAHASAN : metode cramer

URAIAN MATERI:

PENULISAN SPL DENGAN MATRIKS

Terdapat banyak cara untuk menentukan solusi suatu SPL , misalnya cara eliminasi, suubtitusi, metode operasi baris elementer dan metode matriks. Berikut ini akan diuraikan penyelesaian SPL dengan metode cramer. Namun sebelumnya perlu diketahui terlebih dahulu mengubah bentuk SPL menjadi bentuk matriks yang ekuivalen dengan SPL tersebut.

Sebuah sistem persamaan linear yang terdiri dari persamaan linear dengan n bilangan tak diketahui akan dituliskan sebagai :

A11x1 + a12 x 2+….+ a1nxn = b1

A21x1 + a22 x2 +….+ a2nxn = b2

Am1x1 + am2 x2 +….+ amnxn = bm

Dengan x1, x 2, …., xn adalah variabel sedangkan a dan b konstanta. Misalnya, sebuah sistem umum yang terdiri dari tiga persamaan linear dengan empat bilangan tak diketahui (variable) akan ditulis sebagai :

A11x1 + a12 x 2+ a13 x 3 = b1

A21x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2

A31x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

jika sistem persamaan linear yang terdiri dari tiga persamaan dengan tiga variabel dalam bentuk perkalian ekuivalen menjadi :

[a 11 a12 a13a 21 a22 a23a 31 a32 a33] X [ x1

x2x3] = [b 1

b 2b 3]

A X B

dengan notasi matrik ditulis menjadi : AX = B

dengan : A = matrik koefisien

X = matrik variabel

B = matrik konstanta

Dalam bentuk yang lebih singkat SPL tersebut dapat ditulis menjadi :

[a 11 a12 a13 b 1a 21 a22 a23 b 2a 31 a32 a33 b 3]

bentuk matrik ini disebut matriks yang diperbesar (augmented matriks). Jadi secara umum sistem yang terdiri dari m persamaan linear dengan n bilangan tak diketahui dapat ditulis dalam bentuk matriks yang diperbesar untuk SPL tersebut sebagai berikut :

[ a 11 a12 a 13a1 nb 1a 21 a22 a23 a2 nb 2am1 am2 am3 amnb 3]

contoh: tentukan matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan linear berikut :

x1 + 2x2 - 3x3 =92x1 + 3x2 - x3 = 63x1 + 4x2 - 2x3 = 5

Jawab:

SPL yang berbentuk : x1 + 2x2 - 3x3 =92x1 + 3x2 - x3 = 63x1 + 4x2 - 2x3 = 5

Penulisan dalam bentuk matriks yang ekuivalen sebagai berikut :

[1 2 32 3 −13 4 −2] X [ x1

x2x3] = [965]

A X B

Dalam bentuk matriks yang diperbesar, penulisannya menjadi :

[1 2 3 92 3 −163 4 −25 ]

Contoh: pada soal di atas tuliskan bagian – bagian yang termasuk :

a. matriks koefisienb. matriks variabelc. matriks konstanta

jawab :

a. matriks koefisien : A = [1 2 32 3 −13 4 −2]

b. matrik variabel : X = [ x1x2x3]

c. matriks konstanta : B = [965]B. Metode Cramer

Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari m persamaan linear dalam n variabel sehingga det (A) ≠ 0 , maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang unik.

Pemecahan ini adalah :

X1 = det (A1) / det (A)

X2 = det (A2) / det (A)

Xn = det (An) / det (A)

Dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan entri-entri dalam kolom ke – j dari A dengan entri – entri dalam matriks koefisien B.

Contoh : gunakan aturan cramer untuk memecahkan SPL berikut :

-x1 + x2 + 2x3 = -52x1 - x2 + x3 = 1x1 + x2 - x3 = 5

jawab :

bentuk matriks yang ekuivalen dengan SPL tersebut adalah :

[−1 1 22 −1 11 1 −1] X [ x1

x2x3] = [−5

15 ]

A X B

Dalam matrik A diperoleh det (A) dan det (Aj) dengan cara sarrus :

Det A = |−1 1 22 −1 11 1 −1| = 9

Det A = {(-1).(-1).(-1)+ 1.1.1 + 2.2.1 } – { 1.(-1).2 + 1.1.(-1) + (-1).2.1}

={ (-1 + 1 + 4) – (-2 + (-1) + (-2)} = { 4 – (-5)} ={ 4 + 5} = 9

Det A1 =

|−5 1 21 −1 15 1 −1|

Det A1 = ( -5 + 5 + 2 ) – (-10 + (-5) + (-1) ) = 2 + 16 = 18

Det A2=

|−1 −5 22 1 11 5 −1|

Det A2= (1 – 5 +20 ) – ( 2 + (-5) + 10 ) = 16 -7 = 9

Det A3=

|−1 1 −52 −1 11 1 5 |

Det A3= ( 5 + 1 + (-10) – ( 5 + (-1) + 10 ) = -4 -14 = -18

Sehingga diperoleh :

X1= Det (A1 )/ Det (A) = 18 /9 = 2

X2 = Det (A2 )/ Det (A) = 9 / 9 = 1

X3 = Det (A3 )/ Det (A) = -18 / 9 = -2

Jadi pemecahan untuk SPL tersebut adalah :

X1= 2 , X2= 1 , X3= -2

PERTEMUAN KE 11 & 12

TIU : Mahasiswa dapat memahami langkah - langkah dalam operasi baris elementer dan menggunakan operasi tersebut untuk memperoleh matriks E.

POKOK BAHASAN : METODE OPERASI BARIS ELEMENTER

URAIAN MATERI : METODE OPERASI BARIS ELEMENTER

A. Operasi Baris Elementer

beberapa metode telah kita perkenalkan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear yang meliputi cara eliminasi, substitusi , dan metoda cramer. Cara eleminasi dan substitusi dapat digunakan untuk SPL yang sederhana, yaitu SPL yang melibatkan banyak persamaan linear dan variabel yang tidak begitu kompleks. Sedangkan metode cramer hanya dapat digunakan untuk SPL yang banyak persamaan dan banyak variabelnya sama.

Berikut ini akan diuraikan metode lain untuk memecahkan suatu spl yang diberikan dengan spl baru yang mempunyai himpunan pemecahan yang sama, dengan pemecahan yang lebih mudah. Cara ini diperoleh melalui tiga tahapan yaitu:

1. kalikan konstanta dengan persamaan yang tidak sama dengan nol 2. pertukarkan dua persamaan tersebut 3. tambahkan kelipatan dari satu persamaan bagi yang lainnya

karena setiap persamaan dalam suatu SPL diasosiasikan dengan baris dalam matriks yang diperbesar maka ketiga operasi tersebut bersesuaian dengan operasi berikut pada baris matriks yang diperbesar.

1. Kalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta yang tak sama dengan nol (Ra kRa)2. Pertukarkan dua baris tersebut (Ra Rb )3. Tambahkan perkalian dari satu baris pada baris lainnya (Ra Ra + kRb)

Operasi operasi ini dinamakan operasi baris elementer.

Cotoh:

x + y + 2z = 9

2x + 4y - 3z = 1

3x + 6y – 5z =0

Tentukan :

a. Matriks yang diperbesar (matriks A ) dan SPL tsb.b. Kalikan baris pertama dengan 2 pada matriks Ac. Tukarkan baris dua dan baris tiga pada matriks Ad. Tambahkan perkalian dari baris pertama dengan – 3 pada baris ke 3 matriks A

Jawab:

a. Matriks yang diperbesar dari SPLx + y + 2z = 92x + 4y - 3z = 1 3x + 6y – 5z =0Adalah:

A = [1 1 2 92 4 −3 13 6 −5 0]

b. Kalikan baris pertama dengan 2 pada matriks A

[1 1 2 92 4 −3 13 6 −5 0] Ra2 2R2 [2 2 418

2 4 −3 13 6 −5 0]

c. Tukarkan baris dua dan baris tiga pada matriks A

[1 1 292 4 −3 13 6 −5 0] R2 R3 [1 1 2 9

3 6 −5 02 4 −3 1]

B. ELEMINASI GAUSS DAN ELIMINASI JORDAN

Pada bagian ini akan diberikan suatu prosedur yang sistimatik untuk memecahkan sistem persamaan linear yang didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk yang cukup sederhana, sehingga sistem persamaan tersebut dapat kita pecahkan dengan memeriksa sistem tersebut. Matrik yang cukup sederhana yang dimaksud di sini adalah matriks eselon baris dan matrik eselon baris tereduksi. Eleminasi gauss dapat

digunakan untuk memperoleh matriks eselon baris, sedangkan eliminasi gauss-jordan untuk mendapatkan matriks eselon baris tereduksi :

Sifat sifat yang dimiliki matriks eselon baris adalah :

1. Jika baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama baris tersebut adalah 1. (disebut 1 utama)

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokan bersama-sama di bawah matriks

3. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi.

Sifat sifat yang dimiliki matriks eselon baris terreduksi ialah sifat sifat 1, 2 ,dan 3 serta sifat sifat berikut :

4. Masing masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain.

Contoh : tentukan pemecahan SPL :

X + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

Dengan cara :

a. Eliminasi gauss b. Eleminasi gauss Jordan

Jawab :

Matriks ekuivalen dengan SPL di atas adalah :

[1 1 22 3 −13 4 −2] X [ x

yz ] = [910]

A X B

Bentuk matrik yang diperbesar dari SPL tersebut adalah :

[1 1 292 3 −113 4 −20]

a. Eleminasi Gauss :

1 1 2 9 1 1 2 9

2 4 -3 1 R2 R2 + (-2) R1 0 2 -7 -17

3 6 -5 0 3 6 -5 0

1 1 2 9 1 1 2 9

R3 R3 + (-3) R1 0 2 -7 -17 R2 ½ R2 0 1 -7/2 -17/2

0 3 -11 -27 0 3 11 -27

1 1 2 9 1 1 2 9

R3 R3 – 3R2 0 1 7/2 -17/2 R3 (-2)R3 0 1 -7/2 -17/2

0 0 -1/2 -3/2 0 0 1 3

Bentuk matriks eselon baris (yang ditulis terakhir) kita ubah kembali dalam system persamaan linear menjadi :

x + y + 2z = 9

y – 7/2 z = -17/2

z = 3

dengan cara subtitusi balik kita peroleh x dan y :

untuk z = 3

maka : y – 7/2 z = -17/2

y = -17/2 + 7/2 z

y = - 17/2 + 21 /2

y = 4/2

y = 2

untuk y =2 dan z =3 maka : x + y + 2 z = 9

x = 9 – y – 2z

x = 9 – 2 – 6

x = 1

jadi pemecahan untuk SPL di atas adalah x = 1, y = 2 , dan z , 3

b.Eleminisai Gauss Jordan :

untuk mencari matriks eselon baris terreduksi maka setelah kita memperoleh matriks eselon bariss diperlukan langkah tambahan berikut

1 1 2 9 1 1 2 9

0 1 -7/2 -17/2 R2 R2 + 7/2 R3 0 1 0 2

0 0 1 3 0 0 1 3

1 1 0 3 1 0 0 1

R1 R1 + (-2) R3 0 1 0 2 R1 R1 + (-1) R2 0 1 0 2

0 0 1 3 0 0 1 3

Matrik ini berbentuk matriks eselon baris terreduksi yang dapat dituliskan kembali ke dalam bentuk SPL sebagai berikut :

X1 = 1 ; x2 = 2 ; x3 = 3

Jadi pemecahan untuk SPL tersebut adalah : X1 = 1 ; x2 = 2 ; x3 = 3

C. Sifat dan solusi SPL

Sifat solusi suatu SPL dapat diketahui berdasarkan bentuk eselon baris matris koefisien A.

1. Bila pada matriks eselon baris terdapat sebuah baris yang sama entrinya nol, maka ada dua kemungkinan yaitu konsisten dan inkonsisten.Contoh : diperoleh matriks eselon baris seperti berikut :

[1 3 −20 1 20 0 0 ] = [b1

b2b3]

Jika :

a. b3 = 0 maka SPL mempunyai jawab (konsisten) dengan jumlah jawaban yang banyaknya tak hingga, yaitu : x1 + 3 x2 – 2x3 = b1

x2 + 2x3 = b2

missal : x3 = t , maka ? x1 = b1 – 3x2 + 2x3

x2 = b2 – 2x3

menjadi : x2 = b2 – 2t x1 = b1 – 3(b2 - 2t) + 2t

= b1 – 3b2 + 6t + 2t= b1 – 3b2 + 8t

Jadi solusinya adalah : x1 = b1 – 3b2 +8t x2 = b2 – 2t x2 = t

b. b3 ≠ 0 maka SPL tidak mempunyai jawaban (inkonsisten)jadi solusi SPL adalah : { } = Φ

2. bila pada matriks koefisien anggotanya semua nol (SPL homogen) maka SPL tersebut pasti konsisten (punya pemecahan) baik trivial maupun tak trivial.a. Suatu pemecahan SPL homogeny disebut pemecahan trivial bila x1 = 0, x2 = 0,

…..xn= 0b. Suatu pemecahan SPL homogeny disebut pemecahan tak trivial bila terdapat

pemecahan lain sebagai tambahan terhadap pemecahan trivial.Contoh: tentukan apakah SPL berikut mempunyai pemecahan trivial atau tak trivial

a. x1 + 3x2 + 5x3 + x4 = 0x1 – 7x2 – 3x3 – x4 = 03x1 + 2x2 + 7x3 + 8x4 = 0

b. x1 + 2x2 + 3x3 = 0X2 + 4x3 = 0 5x3 = 0

c. a11 x1 + a12x2 + a13 x3 = 0a21 x1 + a22x2 + a23 x3 = 0

d. x1 + x2 = 02x1 + 2 x2 = 0

Jawab :

Untuk menyelesaikan persoalan tersebut kita gunakan teorenma bahwa : SPL homogeny yang memiliki banyak variable yang lebih besar dari banyak persamaan selalu mempunyai tak hingga banyak pemecahan ( tak trivial)

- Pada SPL a dan c , memiliki solusi tak trivial karena banyak matriks lebih besar dari banyak persamaan

- Pada SPL b , mempunyai persamaan trivial : x1 = x2 = x3 = 0, karena tak ada satu baris yang semua unsurnya nol.

- Pada SPL d, mempunyai pemecahan tak trivial karena terdapat sebuah baris yang semua unsurnya nol, hal ini dapt dillihat karena baris kedua merupakan kelipatan 2 dari baris pertama.

Operasi Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Contoh: Diketahui persamaan linear

x + 2y + z = 6

x + 3y + 2z = 9

2x + y + 2z = 12

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut

Baris ke 2 dikurangi baris ke 1

Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2

Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi Eselon-baris)

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

x + 2y + z = 6

y + z = 3

z = 3

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

y + z = 3

y + 3 = 3

y = 0

x + 2y + z = 6

x + 0 + 3 = 6

x = 3

Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3

Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.

Contoh: Diketahui persamaan linear

x + 2y + 3z = 3

2x + 3y + 2z = 3

2x + y + 2z = 5

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut

Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2

Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1

Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3

Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3

Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)

Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1

Pertemuan ke : 13

QUIZ 2

Pertemuan ke : 14 & 15

TIU : Mahasiswa dapat menggunakan metode matriks untuk menyelesaikan

suatu sistem persamaan linear.

Pokok bahasan : metode matriks untuk memecahkan SPL

Uraian materi :

Jika A adalah matriks m x n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks B yang berukuran n x 1 , sistem persamaan AX = B mempunyai persis satu pemecahan, yakni , X = A-1B

Contoh : diketahui SPL sebagai berikut :

x1 + 2x2 - 3x3 =52x1 + 5x2 - 3x3 = 3x1 + 8x3 = 17

tentukan : a. Bentuk matriks yang ekuivalen dengan SPL tersebut b. Pemecahan SPL tersebut

Jawaban :

a. Bentuk matriks yang ekuivalen dengan SPL :x1 + 2x2 + 3x3 =52x1 + 5x2 + 3x3 = 3x1 + 8x3 = 17

adalah :

[1 2 32 5 31 0 8] X [ x1

x2x3] = [ 5

317]

A X B

b. Pemecahan untuk SPL tersebut : A X = BA-1. A. X = A-1.B I.X = A-1.B X = A-1.BUntuk memperoleh matriks A-1 gunakan definisi :

A-1 = 1

det (A ) x Adj (A)

Minor semua unsur Aij matriks A adalah :

A = [1 2 32 5 31 0 8]

M11 = |5 30 8| = (40 – 0) = 40

M12 = |2 31 8| = (16 – 3) = 13

M13 = |2 51 0| = (0 – 5) = -5

M21 = |1 31 8| = (8 – 3) = 5

M22 = |1 31 8| = (8 – 3) = 5

M23 = |1 21 0| = (0 – 2) = -2

M31 = |2 35 3| = (6 – 15) = -9

M32 = |1 32 3| = (3 – 6) = -3

M33 = |1 22 5| = (5 – 4) = 1

Kofaktor semua entri Aij adalah :

C11 = -12 . 40 =40 C12 = -13 . 13 =-13 C13 = -14 . -5 =-5

C21 = -13 . 16 =16 C22 = -14 . 5 =5 C23 = -15 . -2 =2

C31 = -14 . -9 =-9 C11 = -15 . -3 = 3 C11 = -16 . 1 = 1

Matrik kofaktor A adalah :

C = [ 40 −13 −5−16 5 2−9 3 1 ]

Adj (A) adalah = CT = [ 40 −16 −9−13 5 3−5 2 1 ]

Det (A) diperoleh dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke 1 :

Det A = [1 2 32 5 31 0 8]

= a11 . c11 + a12 . c12 + a13 . c13

= 1.40 + 2 . (-13) + 3 (-5)= -1

Sehingga diperoleh :

A-1 = 1

det (A ) x Adj (A)

A-1 = 1

−1 X [ 40 −16 −9−13 5 3−5 2 1 ]

A-1 = [−40 16 913 −5 −35 −2 −1]

Matrik variabel dapat diperoleh :

X = A-1.B

X = [−40 16 913 −5 −35 −2 −1] X [ 5

317]

X = [ 1−12 ]

Atau

[ x1x2x3] = [ 1

−12 ]

Jadi pemecahan untuk SPL tersebut adalah : X1 = 1 ; X2 = -1 ; X3 = 2

Metode matriks akan bermanfaat ketika kita akan memecahkan beberapa deret sistem AX = B1, AX = B2 ,…………………….. AX = Bk yang masing masing mempunyai matriks koefisien A kuadrat yang sama.

Jika A dapat dibalik, maka pemecahan :

X = A-1.B1 , X = A-1.B2 , …………………….X = A-1.Bk

Dapat diperoleh dengan menggunakan suatu invers dan k perkalian matriks . akan tetapi, metode ini lebih efisien dengan bentuk matriks yang diperbesar oleh semua k dari matriks B1, B2, ………… Bk . Dengan menerapkan eliminasai gauss Jordan dapat kita peroleh bentuk matriks eselon baris tereduksi dan memecahkan semua sistem k tersebut. Dengan OBE maka A tidak perlu memiliki invers.

Contoh : pecahkanlah sistem - sistem berikut :

a. X1 + 2X2 + 3X3 = 42X1 + 5X2 + 3X3 = 5X1 + 8X3 = 9

b. X1 + 2X2 + 3X3 = 12X1 + 5X2 + 3X3 = 6X1 + 8X3 = -6

Jawab :

Kedua sistem mempunyai matriks yang sama, jika kita memperbesar matriks koefisien ini dengan kolom konstanta pada ruas kanan dari sistem ini maka kita peroleh :

1 2 3 4 1

2 5 3 5 6

1 0 8 9 -6

Dengan mereduksi matriks ini dengan eliminasi gauss Jordan pada matriks koefisien, diperoleh bentuk eselon baris terreduksi seperti berikut :

1 0 0 1 2

0 1 0 0 1

0 0 1 1 -1

Dari dua kolom terakhir diperoleh pemecahan untuk masing masing sistem persamaan linear, yaitu :

a. X1 = 1 X2 = 0 X3 = 1b. X1 = 2 X2 = 1 X3 = -1

PERTEMUAN KE 16

UAS

Daftar Pustaka