nusa mandiri

StatiStika DeSkriptif itu MuDah(Contoh Soal dan pembahasan)

Oleh: Dwiza RianaEditor Bahasa: Anis Komalasari

Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2012

Hak Cipta © 2012 pada penulis,Hak cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit.

Riana, Dwiza

StatiStika DeSkRiptif itu MuDah(Contoh Soal dan pembahasan)/Dwiza Riana—edisi pertama — tangerang; Jelajah Nusa, 2012xxiv + 386 hlm, 1 jil. 23 cm

iSBN:

1. xxxxxxx 2. xxxxxxx 2. xxxxxxx

JELAJAH NUSAJl. DR. Setiabudi No. 71C Pamulang TimurTangerang SelatanTekp./Fax : 021-7412412E-mail : [email protected]

�

Kata Pengantarrektor U-BSI Bandung

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Seraya memanjatkan puji dan syukur ke Hadirat Allah SWT, saya atas nama pemimpin Universitas BSI Bandung menyambut baik atas

penerbitan buku “Statistika Deskriptif itu Mudah”, yang disusun oleh Ibu Hj. Dwiza Riana, MM.,M.Kom. Saya yakin, buku ini akan sangat bermanfaat bagi para mahasiswa dan pembaca pada umumnya dalam memahami proses berfikir induktif, khususnya yang berkenaan dengan analisis kuantitatif untuk berbagai kepentingan atau kegiatan keilmuan secara teoritis maupun praktis. Bagi para dosen di lingkungan perguruan tinggi BSI diharapkan menjadi motivasi tersendiri dalam menulis karya ilmiah sesuai dengan program “One Lecturer One Book” yang sudah dicanangkan setahun yang lalu. Tujuannya, di samping memenuhi kebutuhan bahan pembelajaran bagi para mahasiswa, juga sebagai wujud produktivitas kinerja dosen dalam memenuhi tugas profesinya terutama yang berkaitan dengan penulisan karya ilmiah. Seperti dimaklumi bersama, seorang dosen memiliki tugas keahliannya untuk melaksanakan Tri Dharma Perguruan Tinggi yang terdiri dari (1) pendidikan dan pengajaran, (2) penelitian dan penulisan karya ilmiah, dan (3) pengabdian pada masyarakat. Di samping itu, setiap dosen dituntut pula untuk melaksanakan tugas penunjang Tri Dharma berupa aktivitas

Statistika Deskriptif Itu Mudah�i

di lingkungan kelembagaan, baik yang terkait dengan akademik maupun tidak. Penulisan buku, adalah bentuk partisipasi penulisan karya ilmiah di samping bentuk-bentuk lainnya seperti menulis makalah untuk seminar dan menulis artikel ilmiah untuk dipublikasikan di media massa. Dengan cara ini, kebutuhan internal pembelajaran tidak lagi tergantung pada bahan yang disiapkan orang lain. Sebaliknya orang lain bisa ikut memanfaatkan hasil karya kita sendiri. Artinya, kemampuan kita dapat dikenal pihak lain dan sekaligus menunjukkan kualitas berpikir yang dimiliki. Akhirnya, Saya berharap semoga langkah penulis buku ini diikuti oleh dosen-dosen lainnya sesuai bidang ilmu dan keahlian masing-masing. Dengan demikian, khasanah keilmuan akan terus berkembang dan Insya Allah akan berkontribusi penting terhadap peningkatan kesejahteraan hidup manusia.

Wassalam.Bandung, Maret 2012Rektor,

Prof. Dr. H.M. Ahman SyaNIP. 195806121983031004

�ii

Kata Pengantar

Seraya memanjatkan puji dan syukur ke hadirat Allah SWT, semoga buku Statistika Deskriptif Itu Mudah, Contoh Soal dan Pembahasan

ini bermanfaat bagi para pembaca, khususnya bagi para guru, dosen dan mahasiswa yang mempelajari ilmu statistika. Dalam kehidupan sehari-hari data bukanlah hal yang asing bagi kita. Dengan data kita mengungkapkan fakta. Ilmu statistika membantu kita mengungkapkan fakta. Sebagai disiplin ilmu, Statistika dipelajari oleh pembaca dari berbagai disiplin ilmu. Bagi sebagian pembaca ilmu statistika bukanlah ilmu yang mudah dipelajari, terlihat rumit dan sulit dimengerti. Padahal pada kenyataannya tidak sedikit pembaca yang menyukai dan mencintai Statistika. Berdasarkan kenyataan ini perlu ditanamkan bahwa ilmu Statistika itu mudah dan bukan sesuatu yang harus ditakuti. Statistika dapat dipelajari dengan cara mudah jika tersedia buku-buku pendukung yang berisi penyampaian materi yang akrab di telinga pembaca. Materi pembahasan yang lugas dan memberikan kesempatan yang banyak pada pembaca untuk berlatih soal dan sekaligus dapat memeriksa sendiri kebenaran dari jawabannya. Pemahaman terhadap perhitungan-perhitungan dasar dalam materi statistika deskriptif akan memberikan kemudahan bagi pembaca untuk mempelajari ilmu statistika yang lebih lanjut. Inilah alasan sederhana

Statistika Deskriptif Itu Mudah�iii

mengapa buku Statistika Deskriptif Itu Mudah, Contoh Soal dan Pembahasan ini disusun, sehingga para pembaca dapat yakin bahwa sesungguhnya statistika itu sangat mudah dipelajari dan bukan menjadi sesuatu yang menyulitkan. Mudah-mudahan melalui buku ini, para pembaca memahami dasar-dasar ilmu statistika deskriptif, dan selanjutnya dapat menerapkan dan mengembangkan perhitungan-perhitungan statistika dalam praktek nyata di kehidupan. Kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan untuk memperbaiki tulisan ini sehingga memberikan manfaat yang lebih besar bagi banyak kalangan. Ucapan terima kasih disampaikan kepada semua pihak yang memungkinkan buku ini terbit, mudah-mudahan menjadi amal sholeh dan mendapat imbalan yang berlipat ganda dari Allah SWT, Tuhan Yang Maha Kuasa.Amien

Bandung, Maret 2012

Penulis

ix

Daftar ISI

Kata Pengantar ..................................................................................... vRektor U-BSI Bandung ....................................................................... vKata Pengantar ..................................................................................... viiDaftar Isi ................................................................................................. ixDaftar Tabel dan Gambar .................................................................. xiii

BAB 1 DISTRIBUSI FREKUENSI .................................................... 11.1 Pengertian ...................................................................... 21.2 Mengenal Istilah-istilah dalam Distribusi Frekuensi ...................................................... 21.3 Tahap-tahap Penyusunan Distribusi Frekuensi ....... 31.4 Pembuatan Distribusi Frekuensi dari Sekelompok Data .......................................................... 51.5 Jenis-jenis Distribusi Frekuensi ................................... 191.6 Histogram, Poligon Frekuensi dan Ogif ..................... 251.7 Notasi Sigma .................................................................. 351.8 Jenis Grafik .................................................................... 471.9 Rangkuman .................................................................... 631.10 Latihan Soal .................................................................. 641.11 Jawaban Latihan Soal ................................................... 71

Statistika Deskriptif Itu Mudahx

BAB 2 UKURAN PEMUSATAN DATA TIDAK BERKELOMPOK 852.1 Rata-rata Hitung ............................................................ 852.2 Median .......................................................................... 982.3 Modus ............................................................................. 1042.4 Hubungan antara Nilai Rata-rata Hitung, ................

Median dan Modus ....................................................... 1062.5 Kuartil, Desil dan Persentil .......................................... 1082.6 Rata-rata Ukur (Geomethric Mean) ............................ 1252.7 Rata-rata Harmonis (Harmonic Mean) ...................... 1272.8 Rangkuman .................................................................... 1302.9 Latihan Soal ................................................................... 1302.10 Jawaban Latihan Soal ................................................... 132

BAB 3 UKURAN PEMUSATAN DATA BERKELOMPOK ............. 1413.1 Rata-rata Hitung ............................................................ 1413.2 Median ............................................................................ 1443.3 Modus ............................................................................. 1473.4 Kuartil ............................................................................. 1513.5 Desil ................................................................................ 1563.6 Persentil .......................................................................... 1653.7 Rangkuman ................................................................... 1733.8 Latihan Soal ................................................................... 1733.9 Jawaban Latihan Soal .................................................... 175

BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA .......................................... 1834.1 Jangkauan (Range) ........................................................ 1834.2 Simpangan Rata-rata (Mean Deviation)..................... 1864.3 Variansi (Variance) ........................................................ 1914.4 Standar Deviasi (Standard Deviation) ....................... 1964.5 Jangkauan Kuartil dan Jangkauan Persentil 10 – 90 ... 2084.6 Koefisien Variasi ............................................................ 2134.7 Koefisien Variasi Kuartil............................................... 217

xiDaftar Isi

4.8 Nilai Baku (Z) ................................................................ 2184.9 Rangkuman .................................................................... 2204.10 Latihan Soal ................................................................... 2214.11 Jawaban Latihan Soal .................................................... 224

BAB 5 UKURAN PENYEBARAN DATA (KEMIRINGAN DAN KERUNCINGAN) ............................. 231

5.1 Kemiringan Distribusi Data ........................................ 2315.2 Keruncingan Distribusi Data ....................................... 2505.3 Rangkuman .................................................................... 2555.4 Latihan Soal ................................................................... 2565.5 Jawaban Latihan Soal .................................................... 257

BAB 6 ANGKA INDEKS..................................................................... 2616.1 Pengertian ...................................................................... 2616.2 Pemilihan Tahun Dasar ............................................... 2626.3 Peranan Angka Indeks dalam Ekonomi .................... 2626.4 Indeks Harga Tidak Tertimbang (Unweighted Index) ....................................................... 2636.5 Indeks Harga Tertimbang (Weighted Index) .............. 2716.6 Indeks Berantai .............................................................. 2906.7 Rangkuman .................................................................... 2916.8 Latihan Soal ................................................................... 2926.9 Jawaban Latihan Soal .................................................... 293

BAB 7 REGRESI DAN KORELASI ................................................... 2977.1 Pengertian Regresi dan Korelasi .................................. 2977.2 Regresi dan Korelasi...................................................... 2987.3 Analisa Regresi Sederhana ........................................... 2987.4 Pembuatan Analisa Regresi Sederhana ...................... 3007.5 Analisa Korelasi Sederhana ......................................... 3097.6 Koefisien Determinasi (r2) ........................................... 310

Statistika Deskriptif Itu Mudahxii

7.7 Kesalahan Baku dari Penaksiran Y = a + bx ............. 3197.8 Rangkuman .................................................................... 3307.9 Latihan Soal ................................................................... 3307.10 Jawaban Latihan Soal .................................................... 332

BAB 8 ANALISIS DATA BERKALA ................................................. 3418.1 Komponen Deret Berkala ............................................ 3428.2 Cara Menentukan Trend .............................................. 3458.3 Rangkuman .................................................................... 3798.4 Latihan Soal ................................................................... 3798.5 Jawaban Latihan Soal .................................................... 380

Daftar Pustaka ...................................................................................... 385

xiii

Daftar taBeL Dan gaMBar

DAFTAR TABEL

Tabel 1.1 Turus dan Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ........................................... 9Tabel 1.2 Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ............................................................... 9Tabel 1.3 Turus dan Frekuensi dari data Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung ............................................................................... 12Tabel 1.4 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem Mahasiswa Universitas BSI Bandung ......................... 12Tabel 1.5 Turus dan Frekuensi Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100

Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung ... 15Tabel 1.6 Distribusi frekuensi dari Nilai-nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung .......................................................... 16Tabel 1.7 Turus dan Frekuensi Nilai ELPT 50 Mahasiswa Jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung ........................... 18Tabel 1.8 Distribusi Frekuensi Nilai ELPT 50 Mahasiswa Jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung ........................... 19Tabel 1.9 Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ............................................................... 20

Statistika Deskriptif Itu Mudahxi�

Tabel 1.10 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang daripada Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ........... 21Tabel 1.11 Distribusi frekuensi dari Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung .......................................................... 21Tabel 1.12 Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada Nilai OCR murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung ........................ 22Tabel 1.13 Distribusi Frekuensi dari Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP................................................................................... 22Tabel 1.14 Distribusi Frekuensi Relatif dari Data Tinggi Badan 50 siswa SMP .............................................................................. 23Tabel 1.15 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung .................... 23Tabel 1.16 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang dari Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung ............................................................................... 24Tabel 1.17 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Tengah Semester Perpajakan 65 Mahasiswa ......................................................... 24Tabel 1.18 Distribusi Frekuensi Relatif dari Nilai Ujian Tengah Semester Perpajakan 65 Mahasiswa ........................................ 25Tabel 1.19 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Semester Mata kuliah Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa ............. 27Tabel 1.20 Distribusi frekuensi dari nilai nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung ......................................................... 28Tabel 1.21 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Daripada Nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa .................................................................................. 30Tabel 1.22 Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada Nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa .................................................................. 31Tabel 1.23 Distribusi Frekuensi dari nilai OCR murni Ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung .......................................................... 32

x�Daftar Tabel dan Gambar

Tabel 1.24 Distribusi Frekuensi Lebih Daripada Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP ..................................................... 33Tabel 1.25 Penggunaan Keramik di PD. Mahar Putri Selama Tahun 2001 – 2007 .................................................................... 48Tabel 1.26 Data Angka Kelahiran di Kota Palu Tahun 2003 – 2008 ...... 49Tabel 1.27 Data Nilai Impor Menurut Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 – 2006 ................................................................... 50Tabel 1.28 Data Jumlah Produk Menurut Jenis Dan Waktunya di Toko Putri Agung Tahun 2005 – 2009 .............................. 51Tabel 1.29 Penggunaan Barang Produksi di PT. Abadi Selama Tahun 2005 – 2009 .................................................................... 52Tabel 1.30 Data Angka Kelahiran di Kota Palu Tahun 2004 – 2009 ..... 53Tabel 1.31 Data Banyaknya Murid di Kuningan Tahun 2002 ................ 54Tabel 1.32 Data Nilai Impor Menurut Golongan Makanan Pokok Tahun 2002 – 2006 .................................................................... 55Tabel 1.33 Data Biaya Tiap Bulan di Daerah Bandung Tahun 2001...... 57Tabel 1.34 Data Perolehan Suara Kegemaran di Universitas BSI Bandung...................................................... 58Tabel 1.35 Data Jumlah Pelajar di Indonesia (dalam ribuan) ................. 60Tabel 1.36 Data Jumlah Populasi Kelinci Tahun 2004 – 2008 (dalam ribuan) ........................................................................... 61Tabel 1.37 Data Jumlah Produksi Pabrik Obeng Tahun 2005 – 2008 (dalam ratusan) ....................................... 62Tabel 1.38 Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ........................................... 65Tabel 1.39 Distribusi Frekuensi dari Nilai-nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung .......................................................... 65Tabel 1.40 Distribusi Frekuensi dari Nilai ELPT Jurusan Sistem Informasi 50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung .. 66Tabel 1.41 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Daripada Tinggi Badan 50 Siswa .............................................................. 66Tabel 1.42 Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung ........................ 67

Statistika Deskriptif Itu Mudahx�i

Tabel 1.43 Penggunaan Barang Produksi di PT. Abadi selama Tahun 2005 – 2009 .................................................................... 69Tabel 1.44 Data Nilai Impor Menurut Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 - 2006 ..................................................................... 69Tabel 1.45 Banyaknya Permintaan Konsumen Produk Komputer Tahun 2000 – 2005 ................................................................... 70Tabel 1.46 Data Jumlah Produk Menurut Jenis Dan Waktunya di Toko Putri Agung Tahun 2005 – 2009 ................................... 70Tabel 1.47 Data Perolehan Suara Pemilihan Ketua BEM di Universitas BSI Bandung .......................................................... 71Tabel 1.48 Data Jumlah Pembangunan Gedung Tahun 2006 – 2010 (dalam ratusan) .......................................................................... 71Tabel 1.49 Turus dan Frekuensi Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP ..... 73Tabel 1.50 Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP ....... 74Tabel 1.51 Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ........... 74Tabel 1.52 Distribusi Frekuensi Relatif Pada Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ........................................... 75Tabel 1.53 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung ....................................... 76Tabel 1.54 Distribusi Frekuensi Relatif Dari Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung .......................................................... 76Tabel 2.1 Nilai Hasil Ujian ........................................................................ 86Tabel 2.2 Perbandingan Tingkat Gaji Karyawan Dua Perusahaan ...... 87Tabel 2.3 Perbandingan Nilai Matematika dan Biologi Kelas 3 ........... 88Tabel 2.4 Hasil Penjualan buku Perpajakan di Dua Toko ..................... 92Tabel 2.5 Upah per bulan Tiga Kelompok Karyawan ............................ 96Tabel 3.1 Modal PT. Maju ......................................................................... 142Tabel 3.2 Perhitungan Rata-Rata Hitung ................................................ 143Tabel 3.3 Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri .. 143Tabel 3.4 Perhitungan Rata-Rata Hitung ................................................ 144Tabel 3.5 Modal PT. Maju ......................................................................... 145Tabel 3.6 Perhitungan Median .................................................................. 145

x�iiDaftar Tabel dan Gambar

Tabel 3.7 Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri .. 146Tabel 3.8 Perhitungan Median .................................................................. 147Tabel 3.9 Modal PT. Maju ......................................................................... 148Tabel 3.10 Perhitungan Modus ................................................................... 149Tabel 3.11 Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri .. 150Tabel 3.12 Perhitungan Modus ................................................................... 150Tabel 3.13 Modal PT. Maju ......................................................................... 152Tabel 3.14 Perhitungan Kuartil ................................................................... 152Tabel 3.15 Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri .. 154Tabel 3.16 Perhitungan Kuartil ................................................................... 154Tabel 3.17 Modal PT. Maju ......................................................................... 157Tabel 3.18 Perhitungan Desil ...................................................................... 157Tabel 3.19 Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri .. 161Tabel 3.20 Perhitungan Desil ...................................................................... 161Tabel 3.21 Modal PT. Maju ......................................................................... 165Tabel 3.22 Perhitungan Persentil ................................................................ 166Tabel 3.23 Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri .. 169Tabel 3.24 Perhitungan Persentil ................................................................ 170Tabel 3.25 Nilai Ujian Komputer Animasi 50 Mahasiswa Jurusan Public Relation Universitas BSI Bandung ................ 173Tabel 3.26 Tinggi Badan 40 Anak Panti Asuhan Tambatan Hati ........... 174Tabel 3.27 Nilai Ujian Metodologi Keperawatan 30 Mahasiswa Jurusan Keperawatan Universitas BSI Bandung .................... 174Tabel 3.28 Nilai Ujian Komputer Grafis II 40 Mahasiswa Jurusan Desain Komunikasi Visual Universitas BSI Bandung .......... 175Tabel 3.29 Tinggi Badan 90 Mahasiswa UKM Bulutangkis Universitas BSI Bandung .......................................................... 175Tabel 3.30 Nilai Ujian Komputer Animasi 50 Mahasiswa Jurusan Public Relation Universitas BSI Bandung ................ 176Tabel 3.31 Perhitungan Median Dan Modus ............................................ 176Tabel 3.32 Perhitungan Kuartil ................................................................... 177Tabel 3.33 Perhitungan Desil ...................................................................... 179Tabel 3.34 Perhitungan Persentil ................................................................ 180Tabel 4.1 Berat Badan 54 Mahasiswa Jurusan Manajemen Informatika Universitas BSI Bandung .................................... 185

Statistika Deskriptif Itu Mudahx�iii

Tabel 4.2 Berat Badan 50 Anak di Panti Asuhan Tambatan Hati ........ 188Tabel 4.3 Perhitungan Simpangan Rata-rata .......................................... 189Tabel 4.4 Nilai Ujian Pengantar Bisnis .................................................... 190Tabel 4.5 Perhitungan Simpangan Rata-Rata ......................................... 190Tabel 4.6 Modal Perusahaan Cahaya ....................................................... 195Tabel 4.7 Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi .................. 195Tabel 4.8 Modal Perusahaan Cahaya ....................................................... 198Tabel 4.9 Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi .................. 198Tabel 4.10 Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi............................. 201Tabel 4.11 Daftar Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi ................ 202Tabel 4.12 Modal Perusahaan Cahaya ....................................................... 203Tabel 4.13 Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi............................. 203Tabel 4.14 Hasil Ujian Statistik Industri Jurusan Teknik Industri Universitas BSI Bandung .......................................................... 204Tabel 4.15 Perhitungan Variansi ................................................................. 205Tabel 4.16 Modal Perusahaan Cahaya ....................................................... 207Tabel 4.17 Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi............................. 207Tabel 4.18 Berat Badan 20 Mahasiswa Jurusan Desain Komunikasi Visual Universitas BSI Bandung ........................ 209Tabel 4.19 Berat Badan 100 Anak Panti Yatim Indonesia ....................... 210Tabel 4.20 Berat Badan 100 Mahasiswa Jurusan Ilmu Komunikasi Universitas BSI Bandung .................................... 211Tabel 4.21 Perhitungan Koefisien Variasi .................................................. 215Tabel 4.22 Berat Badan 20 Mahasiswa UKM Bulutangkis di Universitas BSI Bandung .......................................................... 217Tabel 4.23 Modal Perusahaan PT. Putrii ................................................... 221Tabel 4.24 Nilai Ujian Bahasa Inggris kelas Manajemen Universitas BSI Bandung .......................................................... 222Tabel 4.25 Nilai Hasil Ujian Gizi dan Terapi Diet Jurusan Keperawatan Universitas BSI Bandung .................................. 222Tabel 4.26 Hasil Ujian Anatomi jurusan Keperawatan di Universitas BSI Bandung .......................................................... 223Tabel 4.27 Perhitungan Simpangan Rata-Rata ......................................... 224Tabel 4.28 Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi .................. 225Tabel 4.29 Distribusi lengkap Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi .......................................................................... 226

xixDaftar Tabel dan Gambar

Tabel 4.30 Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi............................. 228Tabel 4.31 Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi............................. 229Tabel 5.1 Perhitungan Standar Deviasi.................................................... 234Tabel 5.2 Perhitungan Standar Deviasi.................................................... 236Tabel 5.3 Distribusi Frekuensi .................................................................. 237Tabel 5.4 Perhitungan ............................................................................... 237Tabel 5.5 Perhitungan Standar Deviasi.................................................... 240Tabel 5.6 Modal Perusahaan Citra ........................................................... 242Tabel 5.7 Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi, Standar Deviasi dan Derajat Kemiringan ............................... 242Tabel 5.8 Distribusi Frekuensi Data dari Berat Badan 50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung ...................................... 244Tabel 5.9 Perhitungan Derajat Kemiringan ............................................ 245Tabel 5.10 Data Nilai Ujian B.Inggris 50 Mahasiswa Jurusan Pariwisata Universitas BSI Bandung ....................................... 254Tabel 5.11 Perhitungan ................................................................................ 254Tabel 5.12 Data Nilai Ujian Akhir Semester 80 Mahasiswa Jurusan

Manajemen Pemasaran Universitas BSI Bandung ................ 256Tabel 5.13 Perhitungan ................................................................................ 257Tabel 6.1 Harga Beras Dari 3 Daerah ...................................................... 264Tabel 6.2 Kebutuhan-Kebutuhan Pokok Tahun 2000 dan 2005 ........... 267Tabel 6.3 Jenis-Jenis Bahan Bangunan Tahun 2003 dan 2008 .............. 268Tabel 6.5 Perhitungan ................................................................................ 269Tabel 6.6 Jenis-Jenis Bahan Tahun 2003 dan 2006 ................................ 270Tabel 6.7 Perhitungan ................................................................................ 271Tabel 6.8 Harga dan Kuantitas yang dibeli PT.Citra .............................. 274Tabel 6.9 Perhitungan ................................................................................ 274Tabel 6.10 Kebutuhan Perlengkapan Perusahaan PT. Ayu Tahun 2000 dan 2005 ................................................................ 276Tabel 6.11 Perhitungan ................................................................................ 276Tabel 6.12 Harga dan Kuantitas yang dibeli PT.Citra .............................. 279Tabel 6.13 Perhitungan ................................................................................ 280Tabel 6.14 Kebutuhan Perlengkapan Perusahaan Tahun 2000 dan 2005 ................................................................ 280Tabel 6.15 Perhitungan ................................................................................ 281

Statistika Deskriptif Itu Mudahxx

Tabel 6.16 Penjualan Barang-Barang Elektronik Tahun 2005 dan 2007 (dalam jutaan) ..................................... 284Tabel 6.17 Perhitungan Dengan Cara Walsh ............................................ 284Tabel 6.18 Perhitungan Indeks Dengan Cara Marshall – Edgeworth ... 285Tabel 6.19 Kebutuhan Perlengkapan Perusahaan Tahun 2000 dan 2005 ................................................................ 286Tabel 6.20 Perhitungan Dengan Cara Walsh ............................................ 286Tabel 6.21 Perhitungan Dengan Cara Marshall – Edgeworth ............... 287Tabel 6.22 Harga Dan Jumlah Pembelian 4 Jenis Bahan Tahun 2001 dan 2006 ................................................................ 289Tabel 6.23 Perhitungan ................................................................................ 289Tabel 6.24 Harga Perdagangan Tahun 1990 – 1995 ................................. 291Tabel 6.25 Kebutuhan Alat-alat Kantor Tahun 2002 dan 2007 .............. 292Tabel 6.26 Jenis Kebutuhan-kebutuhan Medis Tahun 2005 dan 2009 .... 293Tabel 6.27 Harga dan Kuantitas Persediaan Barang yang Dibeli PT. Angkasa ................................................................................ 293Tabel 6.28 Jenis Kebutuhan-kebutuhan Medis Tahun 2005 dan 2009 .. 294Tabel 6.29 Perhitungan ................................................................................ 295Tabel 7.1 Data Kecepatan Mesin Per Menit Dan Jumlah Kerusakan Kertas (Lembaran) ................................................. 301Tabel 7.2 Perhitungan ................................................................................ 301Tabel 7.3 Data Besarnya Pendapatan Dan Pengeluaran Negara .......... 303Tabel 7.4 Perhitungan ................................................................................ 304Tabel 7.5 Data Antara Biaya Iklan Dan Volume Penjualan Perusahaan Jasa Eceran Produk Komputer............................ 305Tabel 7.6 Perhitungan ................................................................................ 306Tabel 7.7 Data Pendapatan Dengan Konsumsi Per Minggu Dalam $ ... 307Tabel 7.8 Perhitungan ................................................................................ 308Tabel 7.9 Data Kecepatan Mesin Per Menit Dan Jumlah Kerusakan Kertas (Lembaran) ................................................. 311Tabel 7.10 Perhitungan ................................................................................ 311Tabel 7.11 Data Besarnya Pendapatan Dan Pengeluaran Negara .......... 313Tabel 7.12 Perhitungan ................................................................................ 314Tabel 7.13 Data Antara Biaya Iklan Dan Volume Penjualan Perusahaan Jasa Eceran Produk Komputer............................ 315

xxiDaftar Tabel dan Gambar

Tabel 7.14 Perhitungan ................................................................................ 316Tabel 7.15 Data Pendapatan Dengan Konsumsi Per Minggu Dalam $ . 317Tabel 7.16 Perhitungan ................................................................................ 318Tabel 7.17 Data Kecepatan Mesin Per Menit dan Jumlah Kerusakan Kertas (Lembaran) ................................................. 321Tabel 7.18 Perhitungan ................................................................................ 322Tabel 7.19 Data Besarnya Pendapatan Dan Pengeluaran Negara .......... 323Tabel 7.20 Perhitungan ................................................................................ 324Tabel 7.21 Data Antara Biaya Iklan Dan Volume Penjualan Perusahaan Jasa Eceran Produk Komputer............................ 325Tabel 7.22 Perhitungan ................................................................................ 326Tabel 7.23 Data Pendapatan Dengan Konsumsi Per Minggu Dalam $ ... 327Tabel 7.24 Perhitungan ................................................................................ 329Tabel 7.25 Tinggi Badan Ayah dan Tinggi Badan Putra dengan Sampel 12 Orang Ayah dan Putra ........................................... 331Tabel 7.26 Percobaan Nitrogen pada Tanaman Padi ............................... 331Tabel 7.27 Perhitungan Metode Kuadrat Terkecil .................................... 332Tabel 7.28 Perhitungan Penaksiran Kesalahan Baku ............................... 336Tabel 7.29 Perhitungan Metode Kuadrat Terkecil .................................... 337Tabel 7.30 Perhitungan Penaksiran Kesalahan Baku ............................... 340Tabel 8.1 Besar Pendapatan Usaha (Jutaan Rupiah) .............................. 346Tabel 8.2 Perhitungan Semi Average ...................................................... 347Tabel 8.3 Besar Keuntungan Penjualan Laptop (Puluhan Juta Rupiah) .............................................................. 349Tabel 8.4 Perhitungan Semi Average ...................................................... 349Tabel 8.5 Biaya Produksi Sparepart Mobil (Milliaran Rupiah) ............ 351Tabel 8.6 Perhitungan Semi Average ...................................................... 351Tabel 8.7 Besar Pengeluaran PT. Indo (Miliaran Rupiah) .................... 353Tabel 8.8 Perhitungan Semi Average ...................................................... 354Tabel 8.9 Besar Penjualan Cabai (Jutaan Rupiah) .................................. 355Tabel 8.10 Perhitungan Semi Average ....................................................... 356Tabel 8.11 Keuntungan Penjualan Smartphone Di Gerai Smart (Milliaran Rupiah) ..................................................................... 358Tabel 8.12 Perhitungan Semi Average ...................................................... 358Tabel 8.13 Frekuensi Penggunaan Layanan Email Perusahaan (Jutaan Rupiah) .......................................................................... 360

Statistika Deskriptif Itu Mudahxxii

Tabel 8.14 Perhitungan Semi Average ...................................................... 361Tabel 8.15 Keuntungan Penjualan CCTV (Dalam Jutaan) ..................... 362Tabel 8.16 Perhitungan Semi Average ...................................................... 363Tabel 8.17 Besar Pinjaman Suatu Negara (Milliaran Rupiah) ................ 369Tabel 8.18 Letak Rata-Rata Bergerak 2 Tahun ......................................... 370Tabel 8.19 Letak Rata-Rata Bergerak 3 Tahun ......................................... 371Tabel 8.20 Besar Penjualan Motor (Jutaan Rupiah) ................................. 376Tabel 8.21 Perhitungan Least Square ....................................................... 376Tabel 8.22 Besar Pembelian Baju (Dalam Jutaan Rupiah) ...................... 377Tabel 8.23 Perhitungan Least Square ....................................................... 378Tabel 8.24 Besar Pinjaman Perusahaan (Jutaan Rupiah) ........................ 380Tabel 8.25 Perhitungan Semi Average ...................................................... 380Tabel 8.26 Perhitungan Least Square ....................................................... 383

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Contoh Tabel Distribusi Frekuensi ......................................... 5Gambar 1.2 Histogram dan Poligon Frekuensi dari nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa ........ 27Gambar 1.3 Histogram dan Poligon Frekuensi dari nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung .......................................................... 29Gambar 1.4 Ogif Distribusi Frekuensi Kurang Daripada nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa ............................................................................. 30Gambar 1.5 Ogif Distribusi Frekuensi Lebih Daripada Nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa .................................................................. 31Gambar 1.6 Ogif Distribusi Frekuensi Kurang Dari dan Lebih Daripada Nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa .................................... 32Gambar 1.7 Ogif Distribusi Frekuensi dari nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung .......................................................... 33Gambar 1.8 Ogif Distribusi Frekuensi Lebih Daripada Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP .................................................... 34

xxiiiDaftar Tabel dan Gambar

Gambar 1.9 Ogif Distribusi Frekuensi Kurang Dari dan Lebih Daripada Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP ............... 34Gambar 1.10 Grafik Garis Tunggal dari data Penggunaan Keramik di PD. Mahar Putri Tahun 2001 – 2007 .................................. 48Gambar 1.11 Grafik Garis Ganda dari Data Angka Kelahiran di Kota Palu tahun 2003 – 2008 .............................................. 49Gambar 1.12 Grafik Garis Ganda dari Data Nilai Impor Menurut Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 – 2006 ................... 50Gambar 1.13 Grafik Garis Ganda Dari Data Jumlah Produk Menurut Jenis dan Waktunya di Toko Putri Agung Tahun 2005 – 2009 ................................................................... 51Gambar 1.14 Grafik Batang Tunggal Dari Data Penggunaan Barang Produksi di PT. Abadi Tahun 2005 – 2009 .............. 53Gambar 1.15 Grafik Batang Tunggal Dari Data Angka Kelahiran di Kota Palu Tahun 2004 – 2009 ................................................ 54Gambar 1.16 Grafik Batang Ganda Dari Data Banyaknya Murid di Kuningan Tahun 2002 ............................................................... 55Gambar 1.17 Grafik Batang Ganda Dari Data Nilai Impor Menurut Golongan Makanan Pokok Tahun 2002 – 2006 .... 56Gambar 1.18 Grafik Lingkaran Dari Data Biaya Tiap Bulan di Daerah Bandung Tahun 2001 .............................................. 58Gambar 1.19 Grafik Lingkaran Dari Data Biaya Tiap Bulan di Daerah Bandung Tahun 2001 .............................................. 58Gambar 1.20 Grafik Lingkaran dari Data Perolehan Suara Kegemaran di Universitas BSI Bandung ................................. 59Gambar 1.21 Grafik Lingkaran dari Data Perolehan Suara Kegemaran di Universitas BSI Bandung ................................. 59Gambar 1.22 Grafik Gambar Dari Data Jumlah Pelajar di Indonesia (dalam ribuan) ........................................................................... 61Gambar 1.23 Grafik Gambar Dari Jumlah Populasi Kelinci Tahun 2004 – 2008 (dalam ribuan) ......................................... 62Gambar 1.24 Grafik Gambar Dari Data Jumlah Produksi Pabrik Obeng Tahun 2005 – 2008 (dalam ratusan) ........................... 62Gambar 1.25 Histogram dan Poligon Frekuensi dari nilai ELPT Jurusan Sistem Informasi 50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung .......................................................... 77

Statistika Deskriptif Itu Mudahxxi�

Gambar 1.26 Ogif Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Daripada Tinggi Badan 50 Siswa SMP ..................................................... 77Gambar 1.27 Ogif Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung ........................ 78Gambar 1.28 Grafik Garis Tunggal dari Data Penggunaan Barang Produksi di PT. Abadi selama 2005 – 2009 ........................... 80Gambar 1.29 Grafik Garis Ganda Dari Data Nilai Impor Menurut Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 – 2006 .................. 81Gambar 1.30 Grafik Batang Tunggal dari Data Banyaknya Permintaan

Konsumen Produk Komputer Tahun 2000 – 2005 .............. 81Gambar 1.31 Grafik Batang Ganda dari Data Jumlah Produk Menurut Jenis dan Waktunya di Toko Putri Agung Tahun 2005 – 2009 ................................................................... 82Gambar 1.32 Grafik Lingkaran dari Data Perolehan Suara Pemilihan Ketua BEM di Universitas BSI Bandung ............. 83Gambar 1.33 Grafik Lingkaran Dari Data Perolehan Suara Pemilihan Ketua BEM di Universitas BSI Bandung ............. 83Gambar 1.34 Grafik Gambar Dari Jumlah Pembangunan Gedung Tahun 2003 – 2007 (dalam ratusan) ....................................... 84Gambar 5.1 Distribusi Simetri ...................................................................... 232Gambar 5.2 Distribusi Miring ke Kanan...................................................... 232Gambar 5.3 Distribusi Miring ke Kiri .......................................................... 233Gambar 5.4 Leptokurtis ................................................................................. 250Gambar 5.5 Mesokurtis .................................................................................. 251Gambar 5.6 Platikurtis ................................................................................... 251Gambar 8.1 Grafik Trend Jangka Panjang ................................................... 342Gambar 8.2 Tahap-tahap Siklis ..................................................................... 343Gambar 8.3 Variasi Musiman ........................................................................ 344Gambar 8.4 Gerakan Tidak Teratur ............................................................. 344

�

DIStrIBUSI freKUenSIBab 1

Dalam kehidupan sehari-hari secara terus-menerus kita terhubung dengan data. Data nilai adalah contoh data yang paling akrab bagi

mahasiswa dan dosen. Data di perusahaan yang secara lengkap memuat proses tumbuh kembangnya perusahaan. Data kebutuhan layanan Broadband di dunia memperlihatkan kebiasaan, preference dan prioritas pelanggan dalam memilih layanan Internet Broadband. Data-data ini hanya contoh sebagian kecil data yang ada di sekitar kita. Tanpa disadari data yang telah terkumpul tersedia dalam jumlah yang besar. Sering tumpukan data-data menjadi sangat besar sehingga kita mengalami kesulitan untuk mengenali ciri-cirinya. Meringkas data menjadi suatu kebutuhan. Data yang jumlahnya besar perlu diatur, ditata atau diorganisir sedemikian rupa sehingga dapat dimunculkan ciri khas dari kelompok data tersebut. Salah satu cara dengan meringkas data tersebut ke dalam bentuk kelompok data sehingga dengan segera dapat diketahui ciri-cirinya dan dapat dengan mudah dianalisis sesuai dengan kepentingan kita. Untuk menunjukkan ciri-ciri data bisa beragam cara. Secara garis besar ada 2 cara untuk menyajikan data, yaitu dengan tabel dan grafik. Penyajian data secara tabel bisa dilakukan dengan cara mendistribusikan data dalam kelas dan menetapkan banyaknya nilai yang termasuk dalam setiap kelas disebut juga frekuensi kelas. Sedangkan penyajian data dengan grafik dikatakan lebih komunikatif karena dalam waktu singkat seseorang akan

Statistika Deskriptif Itu Mudah�

dapat dengan mudah memperoleh gambaran dan kesimpulan mengenai suatu keadaan.

�.� Pengertian

Pengertian Distribusi Frekuensi (DF) adalah proses pengelompokkan atau penyusunan data menjadi tabulasi data yang memakai kelas-kelas data dan dikaitkan dengan masing-masing frekuensinya. Pembuatan DF bertujuan untuk mengatur data mentah atau belum dikelompokkan ke dalam bentuk yang rapi tanpa mengurangi atau menambah inti informasi yang ada. Distribusi frekuensi terbagi menjadi dua kelompok yaitu Distribusi Frekuensi Numerikal dan Distribusi Frekuensi Kategorikal. Pengertian Distribusi Frekuensi Numerikal yaitu pengelompokkan data berdasarkan angka-angka tertentu, biasanya disajikan dengan grafik histogram.Sedangkan pengertian Distribusi Frekuensi Kategorikal yaitu pengelompokkan data berdasarkan kategori-kategori tertentu, biasanya disajikan dengan grafik batang, lingkaran dan gambar.

�.� Mengenal Istilah-istilah dalam Distribusi Frekuensi

Untuk dapat membentuk distribusi frekuensi, kita perlu mengenal istilah-istilah yang ada dalam distribusi frekuensi.Istilah-istilah tersebut adalah: 1. kelas (Class) adalah penggolongan data yang dibatasi dengan nilai

terendah dan nilai tertinggi yang masing-masing dinamakan batas kelas.

2. Batas kelas (Class Limit) adalah nilai batas daripada tiap kelas dalam sebuah distribusi, terbagi menjadi:

States Class Limit adalah batas-batas kelas yang tertulis dalam distribusi frekuensi yang terdiri dari Batas bawah kelas (Lower Class Limit) dan Batas atas kelas (Upper Class Limit).

�Bab 1 Distribusi Frekuensi

3. tepi kelas (Class Bounderies) adalah batas kelas yang sebenarnya yang terdiri dari Batas bawah kelas yang sebenarnya (Lower Class Boundary) dan Batas atas kelas yang sebenarnya (Upper Class Boundary)

4. panjang kelas atau Lebar kelas (Class interval) adalah lebar dari sebuah kelas dan dihitung dari perbedaan antara kedua tepi kelasnya.

5. titik tengah kelas (Class Mark/Mid Point) adalah rata-rata hitung dari kedua batas kelasnya atau tepi kelasnya.

�.� Tahap-tahap Penyusunan Distribusi Frekuensi

Dalam penyusunan suatu distribusi frekuensi perlu dilakukan tahapan penyusunan yang dapat dijadikan Lakukan pengurutan data-data mentah terlebih dahulu sesuai urutan besarnya nilai data bila diperlukan. Selanjutnya lakukan tahapan-tahapan berikut ini: 1. Gunakan rumus berikut untuk menentukan nilai jangkauan atau range

(R):

R = Nilai Maksimum Data – Nilai Minimum Data

2. Hitung banyaknya kelas yang diinginkan, dapat digunakan rumus Strugges yaitu:

K = 1 + 3,3 log n

Dimana: K = banyaknya kelas n = banyaknya data

Penggunaan rumus Strugges ini untuk memandu kita menentukan dengan mudah perkiraan jumlah kelas yang dapat dibentuk dari sekelompok data. Hindari terlalu sedikit kelas karena dengan kelas yang jumlahnya


sedikit informasi data juga tidak maksimal. Sedangkan jika terlalu banyak kelas dikhawatirkan akan terdapat kelas yang frekuensinya kosong.

3. Dapatkan nilai Interval Kelas dengan menggunakan rumus:

I = R/K

Dimana: I = interval kelas R = range atau jangkauan K = banyaknya kelas 4. Buat batas-batas kelas untuk membentuk kelas-kelas dalam distribusi

frekuensi:

Tbk = bbk – 0,5 (skala terkecil)Tak = bak + 0,5 (skala terkecil)

Dimana: Tbk = Tepi bawah kelas Tak = Tepi atas kelas Bbk = Batas bawah kelas Bak = Batas atas kelas Dengan menggunakan batas-batas kelas maka dapat ditentukan pula

panjang interval kelas yaitu Tak – Tbk.

5. Dapatkan titik tengah kelas dengan menggunakan rumus

TTK = ½ (bak +bbk)

Dimana: TTK = titik tengah kelas Bak = batas atas kelas Bbk = batas bawah kelas


6. Setelah kerangka kelas tersusun, masukkanlah data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dengan memakai sistem Tally atau Turus.

7. Lengkapi distribusi frekuensi dengan cara mengisi kolom frekuensi sesuai dengan jumlah frekuensi data yang dihimpun dalam Tally atau Turus.

6

Gambar 1.1 Contoh Tabel Distribusi Frekuensi

1.4 Pembuatan Distribusi Frekuensi dari Sekelompok Data

Setelah mengetahui tahapan pembuatan distribusi frekuensi, maka sekarang kita akan membuat distribusi data dari kelompok-kelompok data berikut :

1. Data tinggi badan 100 orang mahasiswa STMIK Nusa Mandiri.

2. Nilai ujian Analisa Perancangan Sistem 50 mahasiswa Universitas BSI Bandung.

gambar 1.1 Contoh Tabel Distribusi Frekuensi

�.� Pembuatan Distribusi Frekuensi dari Sekelompok Data

Setelah mengetahui tahapan pembuatan distribusi frekuensi, maka sekarang kita akan membuat distribusi data dari kelompok-kelompok data berikut: 1. Data tinggi badan 100 orang mahasiswa STMIK Nusa Mandiri. 2. Nilai ujian Analisa Perancangan Sistem 50 mahasiswa Universitas BSI

Bandung. 3. Nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi

Universitas BSI Bandung.


4. Nilai ELPT dari 50 mahasiswa jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung.

Ciri kelompok data di atas adalah semua kelompok data terdiri dari sekumpulan data yang merupakan hasil pengukuran ataupun hasil pemeriksaan yang terdiri dari kumpulan data yang ditampilkan apa adanya. Data seperti itu disebut data mentah dan sering disebut sebagai raw data.

Contoh 1.1Perhatikan data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri berikut ini yang diukur dalam cm:

167 164 163 156 164 168 174 163 169 159164 169 162 163 157 167 162 158 165 163165 169 173 159 164 169 163 156 162 168171 157 169 165 167 156 170 164 153 168162 158 161 164 167 163 156 162 164 168158 165 173 156 164 167 163 154 162 169170 161 166 152 163 160 167 162 171 157156 168 161 157 164 166 162 160 165 167160 164 166 155 161 164 167 162 174 159170 153 163 168 162 172 161 164 158 161

Dari 100 ukuran tinggi badan mahasiswa di atas susunlah ke dalam tabel distribusi frekuensi.

penyelesaian:Tahap awal jika memungkinkan urutkan kelompok data tinggi badan di atas dari nilai tinggi terendah hingga tertinggi. Setelah diurutkan dari yang paling kecil sampai paling besar secara menyamping untuk data tinggi badan adalah sebagai berikut:


152 153 153 154 155 156 156 156 156 156 156 157 157 157 157 158 158 158 158 159159 159 160 160 160 161 161 161 161 161161 162 162 162 162 162 162 162 162 162162 163 163 163 163 163 163 163 163 163164 164 164 164 164 164 164 164 164 164164 164 165 165 165 165 165 166 166 166167 167 167 167 167 167 167 167 168 168168 168 168 168 169 169 169 169 169 169170 170 170 171 171 172 173 173 174 174

Selanjutnya lakukan tahapan pembuatan distribusi frekuensi dengan langkah-langkah: 1. Periksa nilai maksimum dan nilai minimum dari data terurut di atas,

hitunglah nilai range atau jangkauan. Diperoleh nilai maksimum 174 dan nilai minimum 152, maka diperoleh range (R).

R = Nilai maksimum – Nilai minimum = 174 – 152 = 22

2. Prediksi jumlah banyaknya kelas data: K = 1+ 3,3 log n = 1 + 3,3 log 100 = 7,6 Dengan demikian banyaknya kelas dapat ditentukan kira-kira 7 atau

8.

3. Untuk contoh ini diambil banyak kelas 8, maka Interval (I) kelasnya diperoleh:

I = R/K = 22/8 = 2,75 Dengan demikian interval kelas dapat ditentukan kira-kira 2 atau 3.


4. Karena nilai minimum data adalah 152, maka kita dapat memilih batas kelas pertama adalah 150, 151, atau 152 dan usahakan agar tidak terlalu jauh dengan nilai minimumnya. Dengan interval kelas ditentukan 3, maka diambil saja batas kelas pertamanya 152 untuk memudahkan penyusunan dalam tabel distribusi frekuensi. Maka didapatlah batas kelas pertamanya “ 152 – 154 “.

Sehingga diperoleh: Tbk = bbk – 0,5 = 152 – 0,5 = 151,5

Tak = bak + 0,5 = 154 + 0,5 = 154,5

Sehingga panjang interval kelas yaitu “151,5 – 154,5” 5. Didapatkan nilai Titik Tengah Kelas (TTK) pertama adalah:

TTK = ½ (152+154) = 153

Dengan cara yang sama dapat diperoleh titik tengah kelas berikutnya, yaitu kelas kedua 155 – 157 adalah 156. Kelas ketiga 158 – 160 adalah 159. Kelas keempat 161 – 163 adalah 162. Kelas kelima 164 – 166 adalah 165. Kelas keenam 167 – 169 adalah 168. Kelas ketujuh 170 –172 adalah 171. Kelas kedelapan 173 – 175 adalah 174.

6. Lakukan proses tally atau turus, pengurutan data pada tahap awal sebelumnya tentu sangat membantu dalam proses ini. Data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri diperoleh turus dan frekuensi data yaitu sebagai berikut:


tabel 1.1 Turus dan Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri

kelas turus frekuensi152 – 154 IIII 4155 – 157 IIII IIII I 11158 – 160 IIII IIII 10161 – 163 IIII IIII IIII IIII IIII 25164 – 166 IIII IIII IIII IIII 20167 – 169 IIII IIII IIII IIII 20170 – 172 IIII I 6173 – 175 IIII 4

7. Langkah terakhir susunlah semua data dalam tabel distribusi frekuensi secara lengkap sebagai berikut.

tabel 1.2 Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri

kelas tepi kelas titik tengah frekuensi152 – 154 151,5 – 154,5 153 4155 – 157 154,5 – 157,5 156 11158 – 160 157,5 – 160,5 159 10161 – 163 160,5 - 163,5 162 25164 – 166 163,5 – 166,5 165 20167 – 169 166,5 – 169,5 168 20170 – 172 169,5 – 172,5 171 6173 – 175 172,5 – 175,5 174 4

Jumlah 100

Contoh 1.2Data nilai ujian Analisa Perancangan Sistem 50 mahasiswa Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:

50 48 22 49 78 59 27 41 68 5434 80 68 42 73 51 76 45 32 5366 32 64 47 76 58 75 60 35 5773 38 30 44 54 57 72 67 51 8625 37 69 71 52 25 47 63 59 64

Buatlah daftar distribusi frekuensinya!

Statistika Deskriptif Itu Mudah�0

penyelesaian:Setelah diurutkan nilai ujian Analisa Perancangan Sistem 50 mahasiswa Universitas BSI Bandung diperoleh:

22 25 25 27 30 32 32 34 35 3738 41 42 44 45 47 47 48 49 5051 51 52 53 54 54 57 57 58 5959 60 63 64 64 66 67 68 68 6971 72 73 73 75 76 76 78 80 86

Selanjutnya dihitung data-data berikut:

1. Dari jajaran data di atas, maka diperoleh range atau jangkauan: R = Nilai maksimum – Nilai minimum = 86 – 22 = 64

2. Banyaknya kelas data: K = 1+ 3,3 log n = 1 + 3,3 log 50 = 6,62

Dengan demikian banyaknya kelas dapat ditentukan kira-kira 6 atau 7.

3. Maka jika banyak kelas diambil 7. Jadi Interval kelasnya adalah: I = R/K = 64/7 = 9,14

Dengan demikian interval kelas dapat ditentukan kira-kira 9 atau 10.

��Bab 1 Distribusi Frekuensi

4. Karena nilai minimum data adalah 22, maka kita dapat memiih batas kelas pertama adalah 22, 21, atau 20 dan usahakan agar tidak terlalu jauh dengan nilai minimumnya. Dengan interval kelasnya 10 maka diambil saja batas kelas pertamanya 20 untuk memudahkan penyusunan dalam tabel distribusi frekuensi. Maka didapatlah batas kelas pertamanya 20 – 29.

Jadi;

Tbk = bbk – 0,5 = 20 – 0,5 = 19,5

Tak = bak + 0,5 = 29 + 0,5 = 29,5

Panjang interval kelas pertama yaitu “19,5 – 29,5”

5. Titik tengah kelas pertama adalah: TTK = ½ (20+29) = 24,5 Dengan cara yang sama dapat diperoleh titik tengah kelas berikutnya,

yaitu kelas 30 – 39 adalah 34,5. Kelas 40 – 49 adalah 44,5. Kelas 50 – 59 adalah 54,5. Kelas 60 – 69 adalah 64,5. Kelas 70 – 79 adalah 74,5. Kelas 80 – 89 adalah 84,5.

Dengan memakai jajaran data dari data nilai ujian Analisa Perancangan Sistem 50 mahasiswa Universitas BSI Bandung, maka diperoleh turus dan frekuensi data yaitu sebagai berikut:

Statistika Deskriptif Itu Mudah��

tabel 1.3Turus dan Frekuensi dari data Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50

Mahasiswa Universitas BSI Bandung

kelas turus frekuensi20 – 29 IIII 430 – 39 IIII II 740 – 49 IIII III 850 – 59 IIII IIII II 1260 – 69 IIII IIII 970 – 79 IIII III 880 – 89 II 2

Dengan demikian, tabel distribusi frekuensi lengkap adalah sebagai berikut:

tabel 1.4 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50


kelas tepi kelastitik

tengahfrekuensi

20 – 29 19,5 – 29,5 24,5 430 – 39 29,5 – 39,5 34,5 740 – 49 39,5 – 49,5 44,5 850 – 59 49,5 - 59,5 54,5 1260 – 69 59,5 – 69,5 64,5 970 – 79 69,5 – 79,5 74,5 880 – 89 79,5 – 89,5 84,5 2

Jumlah 50

Contoh 1.3Data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:


25 27 30 25 34 95 78 50 50 4087 25 95 25 95 40 66 53 70 5339 93 25 27 34 66 53 55 55 5340 89 27 95 89 40 55 53 53 5343 87 89 32 66 53 53 95 53 6478 40 39 30 70 55 95 93 64 4093 34 87 92 68 53 91 37 40 4395 25 93 37 44 53 68 64 37 3734 44 32 91 37 60 53 60 92 9525 25 92 30 91 95 87 55 95 78

Buatlah daftar distribusi frekuensinya!

penyelesaian:Jajaran data yang diurutkan dari yang paling kecil sampai paling besar untuk data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:

25 25 25 25 25 25 25 25 27 2727 30 30 30 32 32 34 34 34 3437 37 37 37 37 39 39 40 40 4040 40 40 40 43 43 44 44 50 5053 53 53 53 53 53 53 53 53 5353 53 53 55 55 55 55 55 60 6064 64 64 66 66 66 68 68 70 7078 78 78 87 87 87 87 89 89 8991 91 91 92 92 92 93 93 93 9395 95 95 95 95 95 95 95 95 95


Selanjutnya dilakukan tahap dan langkah perhitungan berikut: 1. Dari jajaran data di atas, maka diperoleh range atau jangkauan: R = Nilai maksimum – Nilai minimum = 95 – 25 = 70


Dengan demikian banyaknya kelas dapat ditentukan antara 7 atau 8 kelas



4. Karena nilai minimum data adalah 25, maka kita dapat memilih batas kelas pertama adalah 25, 24, 23 atau 21 dan usahakan agar tidak terlalu jauh dengan nilai minimumnya. Dengan interval kelasnya 9 maka diambil saja batas kelas pertamanya 25 untuk memudahkan penyusunan dalam tabel distribusi frekuensi. Maka didapatlah batas kelas pertamanya 25 – 33.

Jadi; Tbk = bbk – 0,5 = 25 – 0,5 = 24,5


Tak = bak + 0,5 = 33 + 0,5 = 33,5

Panjang interval kelas yaitu “24,5 – 33,5”

5. Titik tengah kelas pertama adalah: TTK = ½ (25+33) = 29

Dengan cara yang sama dapat diperoleh titik tengah kelas berikutnya, yaitu kelas 34 – 42 adalah 38. Kelas 43 – 51 adalah 47. Kelas 52 – 60 adalah 56. Kelas 61 – 69 adalah 65. Kelas 70 – 78 adalah 74. Kelas 79 – 87 adalah 83. Kelas 88 – 96 adalah 92.

Selanjutnya diperoleh hasil turus dan frekuensi data yaitu sebagai berikut:

tabel 1.5Turus dan Frekuensi Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 mahasiswa

jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung

kelas turus frekuensi25 – 33 IIII IIII I 1634 – 42 IIII IIII IIII III 1843 – 51 IIII I 652 – 60 IIII IIII IIII IIII 2061 – 69 IIII III 870 – 78 IIII 579 – 87 IIII 488 – 96 IIIII IIII IIII IIII III 23

Dengan demikian, tabel distribusi frekuensi lengkap yaitu sebagai berikut:


tabel 1.6Distribusi frekuensi dari nilai nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa

jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung


tengahfrekuensi

25 – 33 24,5 – 33,5 29 1634 – 42 33,5 – 42,5 38 1843 – 51 42,5 – 51,5 47 652 – 60 51,5 – 60,5 56 2061 – 69 60,5 – 69,5 65 870 – 78 69,5 – 78,5 74 579 – 87 78,5 – 87,5 83 488 – 96 87,5 – 96,5 92 23

Jumlah 100

Contoh 1.4Data nilai ELPT dari 50 mahasiswa jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:

40 37 55 65 63 60 53 60 42 4337 68 37 70 53 63 38 42 43 5040 55 65 37 58 50 53 50 50 5065 50 58 63 43 47 60 38 50 5070 37 50 45 63 50 38 50 50 50

Sajikan data di atas dalam bentuk distribusi frekuensi!

penyelesaian:Data mentah di atas diatur dalam jajaran data yang diurutkan dari yang paling kecil sampai paling besar untuk data nilai ELPT dari 50 mahasiswa jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung menjadi:


37 37 37 37 37 38 38 38 40 4042 42 43 43 43 45 47 50 50 5050 50 50 50 50 50 50 50 50 5053 53 53 55 55 58 58 60 60 6063 63 63 63 65 65 65 68 70 70

Berikutnya dilakukan perhitungan dan langkah-langkah penyusunan: 1. Dari jajaran data di atas, maka diperoleh range atau jangkauan: R = Nilai maksimum – Nilai minimum = 70 – 37 = 33


Dengan demikian banyaknya kelas dapat ditentukan kira-kira 6 atau 7.



4. Karena nilai minimum data adalah 37, maka kita dapat memiih batas kelas pertama adalah 37, 36 atau 35 dan usahakan agar tidak terlalu jauh dengan nilai minimumnya. Dengan interval kelasnya 5 maka diambil saja batas kelas pertamanya 35 untuk memudahkan


penyusunan dalam tabel distribusi frekuensi. Maka didapat lah batas kelas pertamanya 35 – 39.

Jadi; Tbk = bbk – 0,5 = 35 – 0,5 = 34,5

Tak = bak + 0,5 = 39 + 0,5 = 39,5

Panjang interval kelas yaitu “34,5 – 39,5”

5. Titik tengah kelas pertama adalah: TTK = ½ (35+39) = 37

Dengan cara yang sama dapat diperoleh titik tengah kelas berikutnya, yaitu kelas 40 – 44 adalah 42. Kelas 45 – 49 adalah 47. Kelas 50 – 54 adalah 52. Kelas 55 – 59 adalah 57. Kelas 60 – 64 adalah 62. Kelas 65 – 69 adalah 67.

Dengan memakai jajaran data nilai ELPT dari 50 mahasiswa jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung maka diperoleh turus dan frekuensi data yaitu:

tabel 1.7Turus dan Frekuensi Nilai ELPT 50 Mahasiswa Jurusan Sistem Informasi

Universitas BSI Bandung

kelas turus frekuensi35 – 39 IIII III 840 – 44 IIII II 745 – 49 II 250 – 54 IIII IIII IIII I 1655 – 59 IIII 460 – 64 IIII II 765 – 70 IIII I 6


Dengan demikian, tabel distribusi frekuensi lengkapnya yaitu sebagai berikut:

tabel 1.8Distribusi Frekuensi Nilai ELPT 50 Mahasiswa Jurusan Sistem Informasi



tengahfrekuensi

35 – 39 34,5 – 39,5 37 840 – 44 39,5 – 44,5 42 745 – 49 44,5 – 49,5 47 250 – 54 49,5 – 54,5 52 1655 – 59 54,5 – 59,5 57 460 – 64 59,5 – 64,5 62 765 – 69 64,5 – 69,5 67 6

Jumlah 50

�.� Jenis-jenis Distribusi Frekuensi

�. Distribusi Frekuensi Kumulatif

Distribusi frekuensi kumulatif adalah suatu daftar yang memuat frekuensi-frekuensi kumulatif, jika ingin mengetahui banyaknya data yang ada di atas atau di bawah suatu nilai tertentu. Distribusi frekuensi kumulatif ini terbagi menjadi 2 bagian yaitu diantaranya: • Distribusi Frekuensi kumulatif kurang dari (dari atas) yaitu suatu total

frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih kecil dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya.

• Distribusi Frekuensi kumulatif lebih dari (dari bawah) yaitu suatu total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih besar dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya.

• Distribusi Frekuensi Kumulatif Relatif adalah suatu total frekuensi dengan menggunakan persentasi.


�. Distribusi Frekuensi Relatif

Distribusi frekuensi relatif adalah perbandingan daripada frekuensi masing-masing kelas dan jumlah frekuensi seluruhnya dan dinyatakan dalam persen.

Contoh 1.5Perhatikan data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri berikut ini:

tabel 1.9Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri


tengahfrekuensi

152 – 154 151,5 – 154,5 153 4155 – 157 154,5 – 157,5 156 11158 – 160 157,5 – 160,5 159 10161 – 163 160,5 - 163,5 162 25164 – 166 163,5 – 166,5 165 20167 – 169 166,5 – 169,5 168 20170 – 172 169,5 – 172,5 171 6173 – 175 172,5 – 175,5 174 4

Jumlah 100

Dari 100 ukuran tinggi badan mahasiswa di atas buatlah ke dalam tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari!Penyelesaian: Frekuensi kumulatif kurang dari diperoleh dengan cara menghitung total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih kecil dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya. Maka dengan itu lebih lengkapnya tabelnya seperti berikut:


tabel 1.10Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang daripada Data Tinggi Badan 100

Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri

kelas Batas kelasfrekuensi kumulatif

kurang dari

persenkumulatif

≤ 151,5 0 0152 – 154 ≤ 154,5 4 4155 – 157 ≤ 157,5 15 15158 – 160 ≤ 160,5 25 25161 – 163 ≤ 163,5 50 50164 – 166 ≤ 166,5 70 70167 – 169 ≤ 169,5 90 90170 – 172 ≤ 172,5 96 96173 – 175 ≤ 175,5 100 100

Contoh 1.6 Data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:

tabel 1.11 Distribusi frekuensi dari Nilai OCR murni Ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan

Akuntansi Universitas BSI Bandung

kelas tepi kelas titik tengah frekuensi25 – 33 24,5 – 33,5 29 1634 – 42 33,5 – 42,5 38 1843 – 51 42,5 – 51,5 47 652 – 60 51,5 – 60,5 56 2061 – 69 60,5 – 69,5 65 870 – 78 69,5 – 78,5 74 579 – 87 78,5 – 87,5 83 488 – 96 87,5 – 96,5 92 23

Jumlah 100

Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari!


penyelesaian:Frekuensi kumulatif lebih dari diperoleh dengan cara menghitung total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih besar dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya. Maka dengan itu lebih lengkapnya tabelnya seperti di bawah ini:

tabel 1.12Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada nilai OCR murni Ujian Statistika 100

mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung

kelas Batas kelasfrekuensi kumulatifLebih dari

persenkumulatif

25 – 33 ≥ 24,5 100 10034 – 42 ≥ 33,5 84 8443 – 51 ≥ 42,5 66 6652 – 60 ≥ 51,5 60 6061 – 69 ≥ 60,5 40 4070 – 78 ≥ 69,5 32 3279 – 87 ≥ 78,5 27 2788 – 96 ≥ 87,5 23 23

≥ 96,5 0 0

Contoh 1.7 Data tinggi badan siswa SMP yang jumlah siswanya 50 orang adalah sebagai berikut:

tabel 1.13Distribusi Frekuensi dari Data Tinggi Badan 50 siswa SMP

kelas tepi kelas titik tengah frekuensi105 – 110 104,5 – 110,5 107,5 12111 – 116 110,5 – 116,5 113,5 9117 – 122 116,5 – 122,5 119,5 4123 – 128 122,5 – 128,5 125,5 6129 – 134 128,5 – 134,5 131,5 2135 – 140 134,5 – 140,5 137,5 9141 – 146 140,5 – 146,5 143,5 8

Jumlah 50

Buatlah tabel distribusi frekuensi relatifnya dari data di atas!


penyelesaian:Frekuensi relatif diperoleh dengan cara membandingkan antara frekuensi masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi kemudian dikalikan 100%. Misalnya untuk kelas 105 – 110 dengan frekuensi (f) = 12, maka frekuensi relatifnya adalah 12/50 * 100% = 24% dan seterusnya. Maka tabelnya seperti berikut:

tabel 1.14Distribusi Frekuensi Relatif dari Data Tinggi Badan 50 siswa SMP

kelas titik tengah frekuensifrekuensi relatif (%)

105 – 110 107,5 12 24111 – 116 113,5 9 18117 – 122 119,5 4 8123 – 128 125,5 6 12129 – 134 131,5 2 4135 – 140 137,5 9 18141 – 146 143,5 8 16

Jumlah 50 100

Contoh 1.8Data nilai ujian Analisa Perancangan Sistem 50 mahasiswa Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:

tabel 1.15 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50



tengahfrekuensi

20 – 29 19,5 – 29,5 24,5 430 – 39 29,5 – 39,5 34,5 740 – 49 39,5 – 49,5 44,5 850 – 59 49,5 - 59,5 54,5 1260 – 69 59,5 – 69,5 64,5 970 – 79 69,5 – 79,5 74,5 880 – 89 79,5 – 89,5 84,5 2

Jumlah 50

Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari!


penyelesaian:Frekuensi kumulatif kurang dari diperoleh dengan cara menghitung total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih kecil dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya. Maka dengan itu lebih lengkapnya tabelnya seperti di bawah ini:

tabel 1.16Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang dari Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50



kurang dari

persenkumulatif

≤ 19,5 0 020 – 29 ≤ 29,5 4 830 – 39 ≤ 39,5 11 2240 – 49 ≤ 49,5 19 3850 – 59 ≤ 59,5 31 6260 – 69 ≤ 69,5 40 8070 – 79 ≤ 79,5 48 9680 – 89 ≤ 89,5 50 100

Contoh 1.9Data nilai Ujian Tengah Semester pada mata kuliah Perpajakan dari 65 mahasiswa sebagai berikut:

tabel 1.17Distribusi Frekuensi nilai Ujian Tengah Semester Perpajakan 65 Mahasiswa

kelas tepi kelas titik tengah frekuensi20 – 27 19,5 – 27,5 23,5 528 – 35 27,5 – 35,5 31,5 836 – 43 35,5 – 43,5 39,5 1044 – 51 43,5 – 51,5 47,5 1452– 59 51,5 –59,5 55,5 2160 – 67 59,5 –67,5 63,5 7

Jumlah 65

Buatlah tabel distribusi frekuensi relatif dari data di atas!


penyelesaian:Frekuensi relatif diperoleh dengan cara membandingkan antara frekuensi masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi kemudian dikalikan 100%. Misalnya untuk kelas 20 – 27 dengan frekuensi (f) = 5, maka frekuensi relatifnya adalah 5/65 * 100% = 7,7% dan seterusnya. Maka tabelnya seperti berikut:

tabel 1.18Distribusi Frekuensi Relatif dari Nilai Ujian Tengah Semester

Perpajakan 65 Mahasiswa


20 – 27 23,5 5 7,728 – 35 31,5 8 12,336 – 43 39,5 10 15,443 – 51 47,5 14 21,552 – 59 55,5 21 32,460 – 67 63,5 7 10,7

Jumlah 65 100

�.� Histogram, Poligon Frekuensi dan Ogif

Histogram dan poligon frekuensi adalah dua grafik yang mencerminkan distribusi frekuensi. Sedangkan ogif adalah grafik yang mencerminkan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari atau distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Untuk menyajikan data dengan histogram dan poligon frekuensi, maka diperlukan sumbu X dan sumbu Y. Biasanya sumbu X dipakai untuk menyatakan kelas interval dan sumbu Y dipakai untuk menyatakan frekuensi kelas baik frekuensi absolut maupun frekuensi relatif. Cara untuk menyajikan data dengan histogram, poligon frekuensi dan ogif adalah sebagai berikut:


�. Histogram

Suatu histogram terdiri atas satu kumpulan batang persegi panjang yang masing-masing mempunyai: a. Alas pada sumbu mendatar (sumbu X) yang lebarnya sama dengan

lebar kelas interval. b. Luas yang sebanding dengan frekuensi kelas.

Jika semua kelas interval sama lebarnya, maka tinggi batang sebanding dengan frekuensi kelas dan biasanya tinggi batang secara numerik sama dengan frekuensi kelas interval. Akan tetapi, jika kelas interval lebarnya tidak sama, maka tinggi batang ini harus disesuaikan.

�. Poligon Frekuensi

Suatu poligon frekuensi adalah grafik garis dari fekuensi kelas yang menghubungkan nilai tengah–nilai tengah kelas dari puncak batang histogram. Untuk menggambar poligon frekuensi secara lengkap biasanya diperlukan garis tambahan berupa segmen garis yang menghubungkan nilai tengah dari puncak batang histogram pertama dan terakhir dengan nilai tengah kelas yang paling ujung (paling pinggir) di kiri dan di kanan yang frekuensi kelasnya sama dengan nol. Dengan demikian jumlah luas batang histogram sama dengan total luas yang dibatasi oleh poligon frekuensi dan sumbu datar (sumbu X). (Boediono: 2008)

Contoh 1.10Nilai Ujian Akhir Semester mata kuliah Dasar Manejemen dan Bisnis dari 80 mahasiswa sebagai berikut:


tabel 1.19Distribusi Frekuensi nilai Ujian Akhir Semester mata kuliah Dasar Manajemen dan

Bisnis 80 Mahasiswa

kelas tepi kelas titik tengah frekuensi31 – 40 30,5 – 40,5 35,5 241 – 50 40,5 – 50,5 45,5 351 – 60 50,5 – 60,5 55,5 561 – 70 60,5 – 70,5 65,5 1371 – 80 70,5 – 80,5 75,5 2481 – 90 80,5 – 90,5 85,5 21

91 – 100 90,5 – 100,5 95,5 12Jumlah 80

Buatlah grafik histogram dan poligon frekuensi dari data di atas!

penyelesaian:

gambar 1.2Histogram dan Poligon Frekuensi dari nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen

dan Bisnis 80 Mahasiswa

0

10

20

30

Frek

uens

i kel

as

2

30,5 40,5 5

3 5

13

0,5 60,5 70,5batas kelas

2421

5 80,5 90,5 1

12

00,5

Pada gambar di atas, sumbu mendatar menyatakan nilai ujian akhir semester Dasar Manjemen dan Bisnis yang telah dikelompokkan menjadi 7 kelas interval dan yang tampak pada gambar adalah batas kelas dari masing-masing kelas interval. Sedangkan sumbu tegak menyatakan frekuensi masing-masing kelas interval.


Pada gambar di atas jelas terlihat bahwa batang histogram kelas pertama 30,5 – 40,5 mempunyai lebar batang sama dengan lebar kelas, yaitu C = 10 dan tinggi batang histogram sama dengan frekuensi kelas interval, yaitu f = 2. Batang histogram kelas kedua dengan batas kelas 40,5 – 50,5 mempunyai lebar batang sama dengan lebar kelas, yaitu C = 10 dan tinggi batang histogram sama dengan frekuensi kelas interval, yaitu f = 3 dan seterusnya. Perhatikan bahwa karena alas dari batang histogram selalu dinyatakan oleh batas kelas, maka antara batang histogram yang satu dengan batang histogram yang lain tidak mempunyai jarak atau berimpit. Perlu diingat bahwa sumbu tegak dari batang histogram dan poligon frekuensi, selain dapat dinyatakan dengan frekuensi relatif atau persen dari frekuensi masing-masing kelas interval. Tentu saja untuk itu diperlukan distribusi frekuensi relatif atau persen frekuensi. Dalam kasus ini, tinggi batang histogram dinyatakan dalam frekuensi relatif masing-masing kelas atau persen frekuensi masing-masing kelas.

Contoh 1.11 Data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:

tabel 1.20Distribusi frekuensi dari nilai nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan



tengahfrekuensi

25 – 33 24,5 – 33,5 29 1634 – 42 33,5 – 42,5 38 1843 – 51 42,5 – 51,5 47 652 – 60 51,5 – 60,5 56 2061 – 69 60,5 – 69,5 65 870 – 78 69,5 – 78,5 74 579 – 87 78,5 – 87,5 83 488 – 96 87,5 – 96,5 92 23

Jumlah 100


Buatlah grafik histogram dan poligon frekuensi dari data di atas!

penyelesaian:

gambar 1.3Histogram dan Poligon Frekuensi dari nilai OCR murni Ujian Statistika 100

Mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung

0

5

10

15

20

25

24,5 33,5 42,5 51,5 60,5 69,5 78,5 87,5 96,5

Frek

uens

i kel

as

batas kelas

�. Ogif

Ogif merupakan grafik dari distribusi frekuensi kumulatif lebih dari atau distribusi frekuensi kurang dari. Ogif disebut juga poligon frekuensi kumulatif. Untuk menggambarkan ogif diperlukan tabel distribusi frekuensi kumulatif. Prinsip yang dipakai untuk menggambarkan ogif hampir sama dengan prinsip untuk menggambarkan histrogram dan poligon frekuensi. Sumbu datar dari ogif menyatakan batas kelas dan sumbu tegak menyatakan frekuensi kumulatif.(Boediono: 2008)

Contoh 1.12Buatlah ogif dari data nilai Ujian Akhir Semester mata kuliah Dasar Manejemen dan Bisnis dari 80 mahasiswa yang data distribusi frekuensi kumulatif kurang darinya sebagai berikut:


tabel 1.21Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Daripada nilai Ujian Akhir Semester Dasar

Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa


kurang dari

persenkumulatif

≤ 30,5 0 031 – 40 ≤ 40,5 2 2,541 – 50 ≤ 50,5 5 6,2551 – 60 ≤ 60,5 10 12,561 – 70 ≤ 70,5 23 28,7571 – 80 ≤ 80,5 47 58,7581 – 90 ≤ 90,5 68 81,25

91 – 100 ≤ 100,5 80 100

penyelesaian:

gambar 1.4Ogif Distribusi Frekuensi Kurang Daripada nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen

dan Bisnis 80 Mahasiswa

0 2 5 1023

4768

80

020406080100

30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5Htgmwgpuk"Mwowncvkh

Dcvcu"Mgncu

Contoh 1.13Buatlah ogif dari data nilai Ujian Akhir Semester mata kuliah Dasar Manajemen dan Bisnis dari 80 mahasiswa sebagaimana dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi lebih dari yang datanya sebagai berikut:


tabel 1.22Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada nilai Ujian Akhir Semester Dasar



persenkumulatif

31 – 40 ≥ 30,5 80 10041 – 50 ≥ 40,5 78 97,551 – 60 ≥ 50,5 75 93,7561 – 70 ≥ 60,5 70 87,571 – 80 ≥ 70,5 57 71,2581 – 90 ≥ 80,5 33 41,25

91 – 100 ≥ 90,5 12 15≥ 100,5 0 0

penyelesaian:

gambar 1.5Ogif Distribusi Frekuensi Lebih Daripada nilai Ujian Akhir Semester Dasar


80 78 7570

57

3312

0020406080100

30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5

Frek

uens

i Kum

ulat

if

Batas Kelas

Bila titik-titik sudut dari ogif atau poligon frekuensi kumulatif pada ogif frekuensi kumulatif kurang dari dan ogif frekuensi lebih dari dihilangkan atau dihapuskan sehingga diperoleh ogif yang mulus (tanpa titik sudut), maka akan diperoleh kurva ogif kurang dari dan kurva ogif lebih dari, dari contoh tadi sebagai berikut:


gambar 1.6Ogif Distribusi Frekuensi Kurang Dari dan Lebih Daripada nilai Ujian Akhir Semester

Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa

0 2 510

23

47

688080 78 75 70

57

33

1200

20

40

60

80

10030

,5

40,5

50,5

60,5

70,5

80,5

90,5

100,

5

Htgmwgpuk"Mwowncvkh

Dcvcu"Mgncu

Ogif Frekuensi kumula�f kurang dari

Ogif frekuensi kumula�f lebih dari

Contoh 1.14Buatlah ogif dari data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung sebagaimana dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kurang dari yang datanya sebagai berikut:

tabel 1.23Distribusi Frekuensi dari nilai OCR murni Ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan



kurang dari

persenkumulatif

≤ 24,5 0 025 – 33 ≤ 33,5 16 1634 – 42 ≤ 42,5 34 3443 – 51 ≤ 51,5 40 4052 – 60 ≤ 60,5 60 6061 – 69 ≤ 69,5 68 6870 – 78 ≤ 78,5 73 7379 – 87 ≤ 87,5 77 7788 – 96 ≤ 96,5 100 100


penyelesaian:

gambar 1.7Ogif Distribusi Frekuensi dari nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan


Pen

ConBuaBantabeberi

T

1111111

nyelesaian :

GambOCR

juru

ntoh 1.15 atlah ogif dandung kelas el distribusi ikut :

Tabel 1.24 DTinggi Badan

Kelas

05 – 110 111 – 116 17 – 122 23 – 128 29 – 134 35 – 140 41 – 146

0

20

40

60

80

100

120

Frek

uens

i Kum

ulat

if

bar 1.7 Ogif DR murni ujia

usan Akuntan

ari data tin7A sebagaimfrekuensi l

Distribusi Frn 50 siswa SM

Batas Kelas

104,5 110,5 116,5 122,5 128,5 134,5 140,5 146,5

016

24,5 33,5 42

Distribusi Fran Statistika nsi Universit

nggi badan amana dinyatebih dari ya

ekuensi LebiMP Negeri 8

FrekuenKumulatLebih da

50382925191780

634 40

6

2,5 51,5 60,5Batas Kela

rekuensi dari100 mahasis

tas BSI Band

anak SMP Ntakan dalamang datanya

ih Dari pada Bandung ke

nsi tifari

PersKumu

107658503834160

6068 73

69,5 78,5 87,5as

36

i nilai swadung

Negeri 8 m bentuk

sebagai

Data elas 7A

sen ulatif

00680846

0

77

100

5 96,5

Contoh 1.15Buatlah ogif dari data tinggi badan 50 anak SMP sebagaimana dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi lebih dari yang datanya sebagai berikut:

tabel 1.24Distribusi Frekuensi Lebih Daripada Data Tinggi Badan 50 siswa SMP

kelasBatas kelas

frekuensi kumulatifLebih dari

persenkumulatif

105 – 110 ≥ 104,5 50 100111 – 116 ≥ 110,5 38 76117 – 122 ≥ 116,5 29 58123 – 128 ≥ 122,5 25 50129 – 134 ≥ 128,5 19 38135 – 140 ≥ 134,5 17 34141 – 146 ≥ 140,5 8 16

≥ 146,5 0 0


penyelesaian:

gambar 1.8Ogif Distribusi Frekuensi Lebih Daripada Data Tinggi Badan 50 siswa SMP

Pen

kumogifsehmaklebi

nyelesaian :

GamDari

Bila titikmulatif padaf frekuensi ingga diperoka akan dipeih dari, dari c

0

10

20

30

40

50

60

10

Frek

uens

i Kum

ulat

if

mbar 1.8 Ogif i pada Data T

Negeri 8

k-titik suduta ogif frekue

lebih dari oleh ogif yaeroleh kurvacontoh di ata

50

38

04,5110,5116,

Distribusi FTinggi BadanBandung Ke

t dari ogif atensi kumulat

dihilangkanang mulus a ogif kurangas sebagai be

2925

19

5122,5128,51Batas Kelas

Frekuensi Lebn 50 siswa SMelas 7A

au poligon frtif kurang dn atau diha(tanpa titik

g dari dan kurikut :

9 178

34,5140,5146

37

bihMP

rekuensi dari dan apuskan

sudut), urva ogif

0

,5

Bila titik-titik sudut dari ogif atau poligon frekuensi kumulatif pada ogif frekuensi kumulatif kurang dari dan ogif frekuensi lebih dari dihilangkan atau dihapuskan sehingga diperoleh ogif yang mulus (tanpa titik sudut), maka akan diperoleh kurva ogif kurang dari dan kurva ogif lebih dari, dari contoh di atas sebagai berikut:

gambar 1.9Ogif Distribusi Frekuensi Kurang Dari dan Lebih Daripada Data Tinggi Badan

50 Siswa SMP

0

1221 25

31 3342

5050

3829 25

19 178

00102030405060

104,

5

110,

5

116 ,

5

122 ,

5

128 ,

5

134,

5

140,

5

146,

5

Frek

uens

i Kum

ulat

if

Batas Kelas

Ogif frekuensi kumula�f kurang dari

Ogif frekuensi kumula�f lebih dari


�.� Notasi Sigma

Σ adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan penjumlahan berurutan dari suatu bilangan yang sudah berpola. Σ merupakan huruf capital “S” dalam abjad Yunani adalah huruf pertama dari kata SUM yang berarti jumlah.

Rumus: Xii

n

=∑ 1dibaca sigma Xi, i dari 1 sampai n

Sifat-sifat Notasi Sigma

Xi Yi Zi Xi Yi Zii

n

i

n

i

n

i

n

± ±( )= ± ±= = ==∑ ∑ ∑∑

1 1 11

k Xi k Xi ki

n

i

n

. ,= ===∑∑ bilangan konstanta

11

k k k k nki

n

= + + + ==∑

1

a.

b.

c.

d.

e.

Xi k Xi kXi ki

n

i

n

−( ) = − +( )==∑∑ 2 2 2

11

2

Yi a bXi Yi na b Xii

n

i

n

i

n

− −( )= − −= ==∑ ∑∑

1 11

Contoh 1.16Diketahui:

X1 = 3 X2 = 5 X3 = 7 X4 = 9 X5 = 11 Y1 = 1 Y2 = 2 Y3 = 3 Y4 = 4 Y5 = 5 Z1 = 2 Z2 = 4 Z3 = 6 Z4 = 8 Z5 = 10

Hitunglah Xi Zi Yii

n

+ +=∑ !

1


penyelesaian:

Xii

= + + + + ==∑ 3 5 7 9 11 35

1

5

Yii

= + + + + ==∑ 1 2 3 4 5 15

1

5

Zii

= + + + + ==∑ 2 4 6 8 10 30

1

5

Xi Yi Zi Xi Yi Zii

n

iii

+ +( )= + +

= + +=

= ===∑ ∑∑∑

1 1

5

1

5

1

5

35 15 3080


X1 = 15 X2 = 17 X3 = 19 X4 = 21 X5 = 23 Y1 = 11 Y2 = 12 Y3 = 13 Y4 = 14 Y5 = 15 Z1 = 1 Z2 = 2 Z3 = 3 Z4 = 4 Z5 =5

Hitunglah Xi Zi Yii

n

+ +=∑ !

1

penyelesaian:

Xii=∑ = + + + + =

1

5

15 17 19 21 23 95

Yii=∑ = + + + + =

1

5

11 12 13 14 15 65

Zii=∑ = + + + + =

1

5

1 2 3 4 5 15


Xi Yi Zi Xi Yi Zii

n

i ii

− −( )= − −

= − −=

= = ==∑ ∑ ∑∑

1 1

5

1

5

1

5

95 65 1515


X1 = 2 X2 = 4 Y1 = 0 Y2 = 1 Y3 = 8

Hitunglah 2 61

Xi Yii

n

=∑ + !

penyelesaian:

2 6 2 61 1

2

1

3

Xi Yi Xi Yii

n

i i

+( )= += =∑ ∑ ∑

= 2 (2+4) + 6 (0+1+8) = 2 (6) + 6 (9) = 12 + 54 = 66


B1 = 10 B2 = 8 B3 = 12 C1 = 7 C2 = 8 C3 = 9 D1 = 2 D2 = 6 D3 = 8

Hitunglah Bi Ci Dii

n

=∑ + +

1

!


penyelesaian:

Bii=∑ = + + =

1

3

10 8 12 30

Cii=∑ = + + =

1

3

7 8 9 24

Dii=∑ = + + =

1

3

2 6 8 16

Bi Ci Di Bi Ci Dii

n

i i i

+ +( )= + +

= + +=

= = = =∑ ∑ ∑ ∑

1 1

3

1

3

1

3

30 24 1670

Contoh 1.20F1 = 2 F2 = 3 F3 = 4 F4 = 5 L1 = 6 L2 = 7 L3 = 8 L4 = 9 M1 = 10 M2 = 11 M3 = 12 M4 = 13

Hitunglah Fi Li Mii

n

+ +=∑ !

1

penyelesaian:

Fii

= + + + ==∑

1

4

2 3 4 5 14

Lii=∑ = + + + =

1

4

6 7 8 9 30

Mii=∑ = + + + =

1

4

10 11 12 13 46

Fi Li Mi Fi Li Mii

n

i i i

+ +( )= + +

= + +=

= = = =∑ ∑ ∑ ∑

1 1

4

1

4

1

4

14 30 4690



F1 = 25 F2 = 35 F3 = 40 L1 = 5 L2 = 7 L3 = 9M1 = 10 M2 = 13 M3 = 15

Hitunglah Fi Li Mii

n

− −=∑ !

1

penyelesaian:

Fii=∑ = + + =

1

3

25 35 40 100

Lii=∑ = + + =

1

3

5 7 9 21

Mii=∑ = + + =

1

3

10 13 15 38

Fi Li Mi Fi Li Mii

n

i i i

− −( )= − −

= − −=

= = = =∑ ∑ ∑ ∑

1 1

3

1

3

1

3

100 21 3841


R1 = 10 R2 = 11 R3 = 12 R4 = 15 S1 = 0 S2 = 1 S3 = 2 S4 = 3 T1 = 2 T2 = 3 T3 = 4 T4 = 5

Hitunglah Ri Si Tii

n

=∑ − −

1

!


penyelesaian:

Rii=∑ = + + + =

1

4

10 11 12 15 48

Sii=∑ = + + + =

1

4

0 1 2 3 6

Tii=∑ = + + + =

1

4

2 3 4 5 14

Ri Si Ti Ri Si Tii i i i

− −( )= − −

= − −=

= = = =∑ ∑ ∑ ∑

1

4

1

4

1

4

1

4

48 6 1428

Contoh 1.23Diketahui: X1 = 7 X2 = 5 X3 = 6 X4 = 3 X5 = 4 k = 3

Hitunglah k Xii

n

. !=∑

1

penyelesaian:

k Xi k Xi k X X X X Xi

n

i

n

.= =∑ ∑= = + + + +( )

= + + + +( )

= ( )

=

1 11 2 3 4 5

3 7 5 6 3 43 2575



X1 = 2 X2 = 4 X3 = 6 k = 10

Hitunglah k Xii

n

. !=∑

1

penyelesaian:

k Xi k Xi k X X Xi

n

i

n

.= =∑ ∑= = + +( )

= + +( )

= ( )

=

1 11 2 3

10 2 4 610 12120


X1 = 4 X2 = 8 X3 = 12 X4 = 16 X5 = 18 X6 = 24 k = 5

Hitunglah k Xii

n

. !=∑

1

penyelesaian:

k Xi k Xi k X X X X X Xi

n

i

n

.= =∑ ∑= = + + + + +( )

= + + + + +( )1 1

1 2 3 4 5 6

5 4 8 12 16 18 24== ( )

=5 82460


Contoh 1.26 Diketahui:

X1 = 0 X2 = 1 X3 = 2 X4 = 4 k = 15

Hitunglah k Xii

n

. !=∑

1

penyelesaian:

k Xi k Xi k X X X Xi

n

i

n

.= =∑ ∑= = + + +( )

= + + +( )

= ( )

=

1 11 2 3 4

15 0 1 2 415 7105

Contoh 1.27Diketahui: n = 5 k = 20

Hitunglah ki

n

!=∑

1

penyelesaian:

k nk

i

n

=∑ = = =

1

5 20 100.


n = 10 k = ½

Hitunglah ki

n

!=∑

1


penyelesaian:

k nk

i

n

=∑ = = =

1

10 12

5.


n = 8 k = 15

Hitunglah ki

n

!=∑

1

penyelesaian:

k nk

i

n

=∑ = = =

1

8 15 120.


n = 3 k = 25

Hitunglah ki

n

!=∑

1

penyelesaian:

k nk

i

n

=∑ = = =

1

3 25 75.

Contoh 1.31Diketahui: n = 4 k = 5

Hitunglah ki

n

!=∑

1


penyelesaian:

k nk

i

n

=∑ = = =

1

4 5 20.


X1 = 5 X2 = 7 X3 = 4 X4 = 6 X5 = 3

Hitunglah 2 5 2

1

5

Xii

−( )=∑ !

penyelesaian:

2 5 4 10 10 25

4 20 25

2

1

52

1

5

2

1

5

Xi Xi Xi Xi

Xi Xi

i i

i

−( ) = − − +( )

= − +( )

= =

=

∑ ∑

∑

== − +

= + + + +( ) − + + + +( )+===∑∑∑4 29 25

4 5 7 4 6 3 20 5 7 4 6 3

2

1

5

1

5

1

5

2

Xi Xiiii

55 25

4 5 7 4 6 3 20 25 1254 135 500 125540 500

2 2 2 2 2

( )

= + + + +( )− ( )+

= ( )− += − ++=

125165


X1 = 7 X2 = 8 X3 = 9 X4 = 10 X5 = 11

Hitunglah 4 8 2

1

5

Xii

−( )=∑ !


penyelesaian:

4 8 16 64 64

16 64 64

2

1

52

1

5

2

1

5

1

5

Xi Xi Xi

Xi Xi

i i

i i

−( ) = − +( )

= − +

= =

= =

∑ ∑

∑ ∑ii=∑

= + + + +( ) − + + + +( )+ ( )

= + + +

1

5

2

2 2 2

16 7 8 9 10 11 64 7 8 9 10 11 5 64

16 7 8 9 100 11 64 45 32064 415 2880 32026560 2880 32024000

2 2+( )− ( )+

= ( )− += − +=

Contoh 1.34Diketahui:X1 = 2 X2 = 4 X3 =6 X4 = 8

Hitunglah 3 4 2

1

4

Xii

−( )=∑ !

penyelesaian:

3 4 9 24 16

9 24 16

2

1

42

1

4

2

1

4

1

4

Xi Xi Xi

Xi Xi

i i

i ii

−( ) = − +( )

= − +

= =

= ==

∑ ∑

∑ ∑11

4

2 2 2 2

2 2 2 2

9 2 4 6 8 24 2 4 6 8 4 16

9 2 4 6 8 24 25

∑= + + +( )− + + +( )+ ( )

= + + +( )− ( ))+

= ( )− += − +=−

644 120 600 64480 600 64

56



X1 = 2 X2 = 5 X3 = 1 X4 = 2 X5 = 1Y1 = 15 Y2 =17 Y3 = 20 Y4 = 35 Y5 = 30a = 6 b = 2

Hitunglah Yi Xii

n

− −( )=∑ 6 2

1

penyelesaian:

Yi Xi Yi i Xii ii

− −( )= − − =

= + + + +( )−= ==∑ ∑∑6 2 5 6 2

15 17 20 35 30 301

5

1

5

1

5

.

−− + + + +( )

= − − ( )

= − −=

2 2 5 1 2 1117 30 2 11117 30 2265


A1 = 1 A2 = 2 A3 = 3 A4 = 4 A5 = 5B1 = 25 B2 =27 B3 = 29 B4 = 30 B5 = 32a = 5 b = 3

Hitunglah Bi Aii

n

− −( )=∑ 5 3

1

penyelesaian:

Bi Ai Yi Xii ii

− −( )= − −

= + + + +( )− −= ==∑ ∑∑5 3 5 5 3

25 27 29 30 32 25 21

5

1

5

1

5

.

11 2 3 4 5143 25 2 15143 30 3083

+ + + +( )

= − − ( )

= − −=



R1 = 3 R2 = 4 R3 = 5 S1 = 10 S2 =25 S3 = 35a = 4 b = 2

Hitunglah Si Rii

n

− −( )=∑ 4 2

1

penyelesaian:

Si Ri Yi Xii ii

− −( )= − −

= + +( )− − + +(= ==∑ ∑∑4 2 3 4 2

10 25 35 12 2 3 4 51

3

1

3

1

3

.

))

= − − ( )

= − −=

70 12 2 1270 12 2434

�.� Jenis Grafik

Penyajian data dengan grafik lebih komunikatif dan dalam waktu yang singkat. Tujuannya untuk mengetahui suatu keadaan yang memerlukan keputusan. Secara visual grafik merupakan gambar-gambar yang menunjukkan data berupa angka dan biasanya dibuat berdasarkan tabel yang telah ada sebelumnya. (Boediono: 2008)

�.�.� Grafik Garis (Line Chart)

Grafik garis atau diagram garis dipakai untuk menggambarkan suatu keadaan berupa data berkala. Misalnya, jumlah kelahiran tiap tahun, pertumbuhan ekonomi tiap tahun, pendapatan per kapita dari tahun 2000 – 2005, banyaknya bayi yang lahir di rumah sakit per bulan dalam 1 tahun dan lain-lain. Ada beberapa jenis grafik garis, yaitu diantaranya adalah:


a. GrafikGarisTunggal

Grafik Garis Tunggal adalah grafik yang terdiri dari atas satu garis yang menggambarkan suatu keadaan atau kejadian berupa data berkala dari waktu ke waktu.Untuk menggambarkan grafik garis diperlukan sumbu datar (sumbu X) dan sumbu tegak (sumbu Y).

Contoh 1.38Buatlah grafik garis tunggal dari data penggunaan barang keramik di PD. Mahar Putri selama 2001 – 2007 yang tabelnya tertera dalam tabel berikut ini:

tabel 1.25Penggunaan keramik di PD. Mahar Putri Selama Tahun 2001 – 2007

tahun Barang yang digunakan

2001 3762002 5242003 4122004 3102005 2682006 4762007 316

penyelesaian:gambar 1.10

Grafik Garis Tunggal dari data Penggunaan Keramik di PD. Mahar Putri Tahun 2001 – 2007

0

100

200

300400

500

600

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Bany

akny

a Ba

rang

Tahun


Contoh 1.39Buatlah grafik garis tunggal dari data angka kelahiran (dalam jutaan) di kota Palu dari tahun 2003 – 2008 disajikan pada tabel berikut:

tabel 1.26Data Angka Kelahiran di Kota Palu Tahun 2003 – 2008

tahun angka kelahiran

2003 3,32004 6,22005 8,12006 10,32007 14,22008 18,7

penyelesaian:

gambar 1.11Grafik Garis Ganda dari Data Angka Kelahiran di Kota Palu tahun 2003 – 2008

0

5

10

15

20

2003 2004 2005 2006 2007 2008

Jum

lah

Pend

uduk

( jut

aan

oran

g )

Tahun

b. GrafikGarisGanda

Grafik garis berganda adalah grafik yang terdiri atas beberapa garis yang menggambarkan perkembangan beberapa keadaan dari waktu ke waktu.


Contoh 1.40Buatlah grafik garis ganda dari data nilai impor menurut golongan barang ekonomi (dalam miliar dollar) pada tahun 2002 – 2006 adalah sebagai berikut:

tabel 1.27 Data Nilai Impor Menurut Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 – 2006

tahunBarang ekonomi

Barang konsumsi

Barang BakuBarang Modal

2002 1,73 11.73 2,892003 0,83 10,48 2,572004 0,28 0,16 1,722005 0,45 8,36 1,912006 0,5 9,57 2,44

penyelesaian:

gambar 1.12 Grafik Garis Ganda Dari Data Nilai Impor Menurut Golongan

Barang Ekonomi Tahun 2002 – 2006

0

5

10

15

2002 2003 2004 2005 2006nila

i im

por (

dala

m m

illia

r do

llar)

Tahun

Barang KonsumsiBarang BakuBarang Modal

Contoh 1.41Buatlah grafik garis ganda dari data jumlah produk terjual (dalam persen) menurut jenis dan waktu di Toko Putri Agung disajikan pada tabel:


tabel 1.28Data Jumlah Produk Menurut Jenis Dan Waktunya di Toko Putri Agung

Tahun 2005 – 2009

tahunJenis produk

Laptop Netbook printer2005 9,2 12,5 26,32006 11,5 13,2 34,22007 25,5 45,5 30,22008 11,2 50,0 45,52009 40,5 63,0 55,5

penyelesaian:

gambar 1.13 Grafik Garis Ganda Dari Data Jumlah Produk Menurut Jenis

dan Waktunya di Toko Putri Agung Tahun 2005 – 2009

010203040506070

2005 2006 2007 2008 2009

Jum

lah

Prod

uk T

erju

al

Tahun

Laptop

Netbook

Printer

�.�.� Grafik Batang (Bar Chart)

Menggambar grafik batang caranya hampir sama dengan menggambarkan grafik garis. Hanya di dalam grafik batang untuk mengatakan suatu keadaan digunakan batang atau balok bukan garis. Data yang berbentuk kategori atau atribut sangat tepat disajikan dalam diagram ini asalkan tahunnya tidak terlalu banyak.


Untuk menggambar grafik batang di perlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang berpotongan tegak lurus. Sumbu datar dibagi menjadi beberapa skala bagian yang sama; demikian pula sumbu tegaknya. Skala pada sumbu tegak dengan skala pada sumbu datar tidak perlu sama. Kalau grafik dibuat tegak, maka sumbu datar dipakai untuk menyatakan atribut atau waktu. Kuantum atau nilai data digambar pada sumbu tegak. Seperti juga pada grafik garis, grafik batang pun terdiri atas beberapa jenis yang diantaranya:

a. GrafikBatangTunggal

Grafik batang tunggal atau single bar chart yaitu grafik batang yang terdiri dari satu batang saja.

Contoh Soal 1.42Buatlah grafik batang tunggal dari data penggunaan barang produksi di PT. Abadi selama 2005 – 2009 yang tabelnya seperti berikut ini:

tabel 1.29Penggunaan Barang Produksi di PT. Abadi Selama Tahun 2005 – 2009

tahun Barang yang digunakan2005 30002006 32452007 31782008 45562009 6590


penyelesaian:

gambar 1.14Grafik Batang Tunggal Dari Data Penggunaan Barang Produksi di PT. Abadi

Tahun 2005 – 2009

0

2000

4000

6000

8000

2005 2006 2007 2008 2009

Bara

ng y

ang

digu

naka

n

Tahun

Contoh 1.43Data angka kelahiran (dalam jutaan) di kota Palu dari tahun 2004 – 2009 disajikan pada tabel berikut dan buatlah grafik batang tunggalnya!

tabel 1.30Data Angka Kelahiran di Kota Palu Tahun 2004 – 2009

tahun angka kelahiran

2004 3,32005 6,22006 8,12007 10,32008 14,22009 18,7


penyelesaian:

gambar 1.15Grafik Batang Tunggal Dari Data Angka Kelahiran di Kota Palu

Tahun 2004 – 2009

0

5

10

15

20

2004 2005 2006 2007 2008 2009

An g

kaKe

lahiran

Tahun

b. GrafikBatangGanda

Grafik batang ganda atau multiple bar chart yaitu grafik batang yang terdiri dari beberapa batang.

Contoh 1.44Diketahui banyaknya murid di daerah Kuningan menurut tingkat sekolah dan jenis kelamin pada tahun 2002 disajikan pada tabel berikut ini dan buatlah grafik batang gandanya!

tabel 1.31Data Banyaknya Murid di Kuningan Tahun 2002

tingkatSekolah

Banyaknya MuridLaki-Laki perempuan

SD 875 687SMP 512 507SMA 347 321STM 476 342SMK 316 427

Jumlah 2526 2048


penyelesaian:

gambar 1.16Grafik Batang Ganda Dari Data Banyaknya Murid di Kuningan Tahun 2002

Pen

ConDatmilibata

nyelesaian :

GaBa

ntoh 1.45 ta nilai impoiar dollar) aang gandany

Tabel 1.3Ma

Tahun

2002 2003 2004 2005 2006

Bany

akny

a m

urid

mbar 1.16 Ganyaknya Mu

or menurut gadalah sebaya!

32 Data Nilaiakanan Pokok

Tepung12,73 2,33 3,84 5,55 4,5

0

500

1000

T

rafik Batangurid di Kunin

golongan makgai berikut

i Impor Menuk Tahun 2002

MakanaRoti

10,93 11,48 2,157,23 11,56

Tingkat Sekolah

g Ganda Daringan Tahun

kanan pokokdan buatlah

urut Golonga2 – 2006

an Pokok Beras5,894,753,621,997,39

Laki-L

Perem

59

i Data 2002

k (dalam h grafik

an

Laki

mpuan

Contoh 1.45Data nilai impor menurut golongan makanan pokok (dalam miliar dollar) adalah sebagai berikut dan buatlah grafik batang gandanya!

tabel 1.32Data Nilai Impor Menurut Golongan Makanan Pokok Tahun 2002 – 2006

tahunMakanan pokok

tepung roti Beras2002 12,73 10,93 5,892003 2,33 11,48 4,752004 3,84 2,15 3,622005 5,55 7,23 1,992006 4,5 11,56 7,39


penyelesaian:

gambar 1.17Grafik Batang Ganda Dari Data Nilai Impor Menurut Golongan Makanan Pokok

Tahun 2002 – 2006

Pen

ConDatmilibata

nyelesaian :

GaBa

ntoh 1.45 ta nilai impoiar dollar) aang gandany

Tabel 1.3Ma

Tahun

2002 2003 2004 2005 2006

Bany

akny

a m

urid

mbar 1.16 Ganyaknya Mu

or menurut gadalah sebaya!

32 Data Nilaiakanan Pokok

Tepung12,73 2,33 3,84 5,55 4,5

0

500

1000

T

rafik Batangurid di Kunin

golongan makgai berikut

i Impor Menuk Tahun 2002

MakanaRoti

10,93 11,48 2,157,23 11,56

Tingkat Sekolah

g Ganda Daringan Tahun

kanan pokokdan buatlah

urut Golonga2 – 2006

an Pokok Beras5,894,753,621,997,39

Laki-L

Perem

59

i Data 2002

k (dalam h grafik

an

Laki

mpuan

�.�.� Grafik Lingkaran (Pie Chart)

Cara lain yang juga sering dipakai untuk menggambarkan data adalah dengan grafik lingkaran. Untuk membuat grafik lingkaran, gambarkanlah suatu lingkaran, lalu dibagi-bagi menjadi beberapa bagian sesuai dengan kepentingan. Tiap bagian menunjukkan karakteristik data yang terlebih dahulu diubah menjadi derajat.(Boediono: 2008)

Contoh 1.46Buatlah grafik lingkaran dari data biaya tiap bulan di daerah Bandung (dalam persen) pada tahun 2001 yang disajikan pada tabel berikut ini:


tabel 1.33Data Biaya Tiap Bulan di Daerah Bandung Tahun 2001

keperluan Biayauntuk (%)Pos A 28Pos B 18Pos C 14Pos D 22Pos E 10Pos F 8

Jumlah 100

penyelesaian:Untuk mengetahui berapa derajat dalam setiap pos maka lakukanlah hal seperti di bawah ini:

Lingkaran kita bagi menjadi 6 bagian (sektor), yang besar sudutnya ditentukan dengan cara seperti berikut:

Pos A : 28% × 360° =100,8°Pos B : 18% × 360° = 64,8°Pos C : 14% × 360° = 50,4°Pos D : 22% × 360° = 79,2°Pos E : 10% × 360° = 36°Pos F : 8% × 360° = 28,8°Jumlah = 360°

Untuk membagi lingkaran mulailah dari bagian lingkaran yang paling besar. Grafik lingkaran dapat dibuat dalam 2 jenis yaitu:


a. gambar 1.18

Grafik Lingkaran Dari Data Biaya Tiap Bulan di Daerah Bandung Tahun 2001

14%

22%

10% 28%

8%

18%

%

Pos A

Pos B

Pos C

Pos D

Pos E

Pos F

b.gambar 1.19

Grafik Lingkaran Dari Data Biaya Tiap Bulan di Daerah Bandung Tahun 2001

Pos F8% Pos A

28%

Pos B18%Pos C

14%

Pos D22%

Pos E10%

Contoh 1.47Buatlah grafik lingkaran dari data perolehan suara kegemaran sekolah di Universitas BSI Bandung yang disajikan pada tabel berikut ini:

tabel 1.34Data Perolehan Suara Kegemaran di Universitas BSI Bandung

kegemaran perolehan SuaraBasket 36%Volli 16%

Futsal 22%Renang 26%


penyelesaian:Untuk mengetahui berapa derajat dalam setiap pos maka lakukanlah hal seperti di bawah ini:

Lingkaran kita bagi menjadi 4 bagian, yang besar sudutnya di tentukan secara berikut:Basket : 36% × 360° = 129,6°Volli : 16% × 360° = 57,6°Futsal : 22% × 360° = 79,2°Renang : 26% × 360° = 93,6°Jumlah = 360°

Untuk membagi lingkaran mulailah dari bagian lingkaran yang paling besar. Grafik lingkaran dapat dibuat dalam 2 jenis yaitu:

a.gambar 1.20

Grafik Lingkaran dari Data Perolehan Suara Kegemaran di Universitas BSI Bandung

22%

26%

Perolehan suara

36%

16%

Basket

Voli

Futsal

Renang

b.gambar 1.21

Grafik Lingkaran dari Data Perolehan Suara Kegemaran di Universitas BSI Bandung

a.G

Perol

b.G

Perol

ambar 1.20 Glehan Suara

ambar 1.21 Glehan Suara

22%

26%

Per

Fut22

Pero

Grafik LingkKegemaran

Bandung

Grafik LingkKegemaran

Bandung

36%

16%

rolehan Suara

Basket36%Voli16%

tsal2%

Renang26%

olehan Suara

karan Dari Ddi Universita

karan Dari Ddi Universita

Basket

Voli

Futsal

Renang

64

ata as BSI

ata as BSI

Basket36%

Renang26%

Futsal22% Voli

16%


�.�.� Grafik Gambar (Pictogram)

Grafik gambar adalah grafik berupa gambar atau lambang. Grafik gambar sering dipakai untuk mendapatkan suatu gambaran yang agak kasar mengenai suatu keadaan dan merupakan alat visual bagi orang awam. Grafik gambar dapat menampilkan suatu keadaan cara yang sangat menarik, lebih-lebih bila lambang atau gambar yang dipilih bagus dan menarik. Lambang yang dipilih biasanya bergantung pada karakteristik datanya. Misalnya, data jumlah penduduk digambarkan atau dilambangkan dengan orang, data gedung digambarkan dengan gedung, data hasil pertanian digambarkan dengan pohon-pohonan, atau buah-buahan, dan sebagainya. Kesulitan yang dihadapi adalah untuk menggambarkan sesuatu yang tidak penuh. Misalnya, bila satu gambar orang menyatakan 1000 penduduk, maka kita sulit menggambarkan penduduk yang jumlahnya 250 orang, karena sulit membuat gambar seperempat orang. (Boediono: 2008)

Contoh 1.48Buatlah grafik gambar dari data jumlah Pelajar di Indonesia (dalam ribuan) adalah sebagai berikut:

tabel 1.35Data Jumlah Pelajar di Indonesia (dalam ribuan)

tahun pelajaran Jumlah pelajar

2001/2002 6,555

2002/2003 7,0002003/2004 7,4232004/2005 8,0002005/2006 8,846



Grafik Gambar Dari Data Jumlah Pelajar di Indonesia (dalam ribuan)

2001/2002

2002/2003

2003/2004

2004/2005

2005/2006

Contoh 1.49Buatlah grafik gambar dari data jumlah populasi kelinci dari tahun 2004 – 2008 di Lembang adalah sebagai berikut:

tabel 1.36Data Jumlah Populasi Kelinci Tahun 2004 – 2008 (dalam ribuan)

tahunJumlah kelinci (dalam ribuan)

2004 32005 52006 72007 92008 10


Penyelesaian:gambar 1.23

Grafik Gambar Dari Jumlah Populasi Kelinci Tahun 2004 – 2008(dalam ribuan)

2004

2005

2006

2007

2008

Contoh 1.50Buatlah grafik gambar dari data jumlah produksi pabrik obeng dari tahun 2005 – 2008 (dalam ratusan) di Bandung adalah sebagai berikut:

tabel 1.37Data Jumlah Produksi Pabrik Obeng Tahun 2005 – 2008 (dalam ratusan)

tahun 2005 2006 2007 2008produksi 3 6 2 4


Grafik Gambar Dari Data Jumlah Produksi Pabrik Obeng Tahun 2005 – 2008(dalam ratusan)

2005

2006

2007

2008


�.� Rangkuman

Distribusi frekuensi merupakan suatu pengelompokkan atau penyusunan data menjadi tabulasi data yang memakai kelas-kelas data dan dikaitkan dengan masing-masing frekuensinya. Tujuannya untuk mengatur data mentah (belum dikelompokkan) ke dalam bentuk yang rapi tanpa mengurangi atau menambah inti informasi yang ada. Distribusi frekuensi dibagi menjadi 2 kelompok yaitu: distribusi frekuensi numerikal dan distribusi frekuensi kategorikal. Untuk memudahkan kita membuat tabel distribusi frekuensi maka kita harus menggunakan tahap-tahap penyusunan distribusi frekuensi. Jenis-Jenis Distribusi Frekuensi yaitu Distribusi Frekuensi Kumulatif dan distribusi frekuensi relatif. Σ adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan penjumlahan berurutan dari suatu bilangan yang sudah berpola. Σ merupakan huruf capital “S” dalam abjad Yunani adalah huruf pertama dari kata SUM yang berarti jumlah. Sifat-sifat notasi sigma diantaranya:

Xi Yi Zi Xi Yi Zii

n

i

n

i

n

i

n

± ±( )= ± ±= = ==∑ ∑ ∑∑

1 1 11

k Xi k Xi ki

n

i

n

. ,= ===∑∑ bilangan konstanta

11

k k k k nki

n

= + + + ==∑

1

a.

b.

c.

d.

e.

Xi k Xi kXi ki

n

i

n

−( ) = − +( )==∑∑ 2 2 2

11

2

Yi a bXi Yi na b Xii

n

i

n

i

n

− −( )= − −= ==∑ ∑∑

1 11


Penyajian data dengan grafik atau diagram lebih komunikatif dan dalam waktu yang singkat. Tujuannya untuk mengetahui suatu keadaan yang memerlukan keputusan. Secara visual grafik merupakan gambar-gambar yang menunjukkan data berupa angka dan biasanya dibuat berdasarkan tabel yang telah ada sebelumnya. Adapun jenis-jenis grafik yaitu sebagai berikut: a. Grafik garis (line chart): Grafik garis dipakai untuk menggambarkan

suatu keadaan berupa data berkala. b. Grafik Batang (bar chart): Grafik batang dipakai untuk mengatakan

suatu keadaan digunakan batang atau balok bukan garis. c. Grafik Lingkaran (pie chart): Grafik yang dipakai untuk menggambarkan

data dengan menggunakan lingkaran. d. Grafik Gambar (pictogram): grafik berupa gambar atau lambang.

Grafik gambar sering dipakai untuk mendapatkan suatu gambaran yang agak kasar mengenai suatu keadaan dan merupakan alat visual bagi orang awam.

�.�0 Latihan Soal

1.10.1 Buatlah tabel Distribusi Frekuensi dari data tinggi badan siswa SMP dengan jumlah siswa 50 adalah sebagai berikut:

145 110 112 144 143 140 127 116 127 133110 109 107 108 114 107 133 112 124 105140 110 112 116 125 114 124 120 121 108107 114 120 137 140 143 140 138 137 110105 121 125 145 138 144 143 144 140 112

1.10.2 Perhatikan data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri berikut ini:


tabel 1.38Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri

kelas tepi kelas titik tengah frekuensi152 – 154 151,5 – 154,5 153 4155 – 157 154,5 – 157,5 156 11158 - 160 157,5 – 160,5 159 10161 - 163 160,5 - 163,5 162 25164 - 166 163,5 – 166,5 165 20167 – 169 166,5 – 169,5 168 20170 – 172 169,5 – 172,5 171 6173 – 175 172,5 – 175,5 174 4

Jumlah 100

Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari dan frekuensi relatif!

1.10.3 Data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:

tabel 1.39Distribusi frekuensi dari nilai nilai OCR murni ujian Statistika 100

mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung


tengahfrekuensi

25 – 33 24,5 – 33,5 29 1634 – 42 33,5 – 42,5 38 1843 – 51 42,5 – 51,5 47 652 – 60 51,5 – 60,5 56 2061 – 69 60,5 – 69,5 65 870 – 78 69,5 – 78,5 74 579 – 87 78,5 – 87,5 83 488 – 96 87,5 – 96,5 92 23

Jumlah 100

Buatlah daftar distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan frekuensi relatif!


1.10.4 Data nilai ELPT dari 50 mahasiswa jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut:

tabel 1.40Distribusi Frekuensi dari Nilai ELPT Jurusan Sistem Informasi 50 Mahasiswa



tengahfrekuensi

35 – 39 34,5 – 39,5 37 840 – 44 39,5 – 44,5 42 745 – 49 44,5 – 49,5 47 250 – 54 49,5 – 54,5 52 1655 – 59 54,5 – 59,5 57 460 – 64 59,5 – 64,5 62 765 – 69 64,5 – 69,5 67 6

Jumlah 50

Buatlah histogram dan poligon frekuensi dari data nilai ELPT 50 mahasiswa jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung!

1.10.5 Buatlah ogif dari data tinggi badan siswa SMP yang jumlah siswanya 50 sebagaimana dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kurang dari yang datanya sebagai berikut:

tabel 1.41Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Daripada Tinggi Badan 50 Siswa


kurang dari

persenkumulatif

≤ 104,5 0 0105 – 110 ≤ 110,5 12 24111 – 116 ≤ 116,5 21 42117 – 122 ≤ 122,5 25 50123 – 128 ≤ 128,5 31 62129 – 134 ≤ 134,5 33 66135 – 140 ≤ 140,5 42 84141 – 146 ≤ 146,5 50 100


1.10.6 Buatlah ogif dari data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung sebagaimana dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi lebih dari yang datanya sebagai berikut:

tabel 1.42Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada nilai OCR murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung


persenkumulatif

25 – 33 ≥ 24,5 100 10034 – 42 ≥ 33,5 84 8443 – 51 ≥ 42,5 66 6652 – 60 ≥ 51,5 60 6061 – 69 ≥ 60,5 40 4070 – 78 ≥ 69,5 32 3279 – 87 ≥ 78,5 27 2788 – 96 ≥ 87,5 23 23

≥ 96,5 0 0

1.10.7 Diketahui: Y1 =10 Y2 = 20 Y3 = 30

Hitung Yii

n

=∑

1

1.10.8 Diketahui: B1 = 3 B2 = 7 B3 = 11 M4 = 15 M5 =19

Hitung Bii

n

=∑

1


1.10.9 Diketahui: H1 = 5 H2 = 8 H3 = 11 H4 = 13 H5 = 14 H6 = 17 I1 = 0 I2 = 3 I3 = 4 I4 = 5 I5 = 6 I6 = 7 J1 = 1 J2 = 4 J3 = 7 J4 = 9 J5 = 13 J6 = 15

Hitung Hi Ii Jii

n

+ +=∑

1

1.10.10 Diketahui: X1 = 20 X2 = 21 X3 = 22 X4 = 23 X5 = 24 Y1 = 10 Y2 = 9 Y3 = 8 Y4 = 7 Y5 = 6 Z1 = 15 Z2 = 14 Z3 = 13 Z4 = 12 Z5 = 11

Hitung Xi Zi Yii

n

− −=∑

1

1.10.11 Diketahui: X1 = 2 X2 = 4 X3 = 6 X4 = 8 k = 10

Hitung k Xii

n

.=∑

1

1.10.12 Diketahui: n = 10 k = 5

Hitung ki

n

=∑

1

1.10.13 Diketahui: X1 = 4 X2 =3 X3 = 2 X4 = 1

Hitung 5 6 2

1

4

Xii

−( )=∑


1.10.14 Diketahui: X1 = 10 X2 = 11 X3 = 12 Y1 = 35 Y2 = 40 Y3 = 45 a = 3 b = 1

Hitunglah Yi Xii

n

− −( )=∑ 3 1

1

1.10.15 Buatlah grafik garis tunggal dari data penggunaan barang produksi di PT. Abadi selama 2005 – 2009 yang tabelnya seperti berikut ini:

tabel 1.43Penggunaan Barang Produksi di PT. Abadi selama Tahun 2005 – 2009

tahun Barang yang digunakan2005 30002006 32452007 31782008 45562009 6590

1.10.16 Buatlah grafik garis ganda dari data nilai impor menurut golongan makanan pokok (dalam jutaan rupiah) tahun 2002 – 2006 adalah sebagai berikut:

tabel 1.44 Data Nilai Impor Menurut Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 - 2006

tahunMakanan pokok

tepung roti Beras2002 12,73 10,93 5,892003 2,33 11,48 4,752004 3,84 2,15 3,622005 5,55 7,23 1,992006 4,5 11,56 7,39


1.10.17 Diketahui banyaknya permintaan konsumen dengan produk Komputer pada tahun 2000 – 2005 disajikan pada tabel berikut ini dan buatlah grafik batang tunggalnya!

tabel 1.45Banyaknya Permintaan Konsumen Produk Komputer Tahun 2000 – 2005

tahun Jumlah permintaan2000 12002001 15002002 17502003 20002004 25002005 3000

1.10.18 Jumlah produk terjual (dalam persen) menurut jenis dan waktu di Toko Putri Agung disajikan pada tabel berikut ini dan buatlah grafik batang gandanya!

tabel 1.46Data Jumlah Produk Menurut Jenis Dan Waktunya di Toko Putri Agung

Tahun 2005 – 2009

tahunJenis produk

Laptop Netbook printer2005 9,2 12,5 26,32006 11,5 13,2 34,22007 25,5 45,5 30,22008 11,2 50,0 45,52009 40,5 63,0 55,5

1.10.19 Buatlah grafik lingkaran dari data perolehan suara pemilihan ketua BEM di Universitas BSI Bandung yang disajikan pada tabel berikut ini:


tabel 1.47 Data Perolehan Suara Pemilihan Ketua BEM di Universitas BSI Bandung

Nama perolehan SuaraYunandi 32%

Arif 40%Nurdian 28%

1.10.20. Buatlah grafik gambar dari data jumlah Pembangunan Gedung dari tahun 2006 – 2010 di Bandung adalah sebagai berikut:

tabel 1.48 Data Jumlah Pembangunan Gedung Tahun 2006 – 2010 (dalam ratusan)

tahunJumlah Gedung (dalam ratusan)

2006 22007 52008 62009 82010 10

�.�� Jawaban Latihan Soal

1.11.1 penyelesaian: Setelah diurutkan data tinggi siswa SMP dengan jumlah siswa 50

diperoleh:

105 105 107 107 107 108 108 109 110 110110 110 112 112 112 112 114 114 114 116116 120 120 121 121 124 124 125 125 127127 133 133 137 137 138 138 140 140 140140 140 143 143 143 144 144 144 145 145


Selanjutnya dihitung data-data berikut:1. Dari jajaran data di atas, maka diperoleh range atau

jangkauan: R = Nilai maksimum – Nilai minimum = 145 – 105 = 40

2. Banyaknya kelas data: K = 1+ 3,3 log n = 1 + 3,3 log 50 = 6,62 Dengan demikian banyaknya kelas dapat ditentukan kira-

kira 6 atau 7.

3. Maka jika banyak kelas diambil 7. Jadi Interval kelasnya adalah:

I = R/K = 40/7 = 5,71 Dengan demikian interval kelas dapat ditentukan kira-kira

5 atau 6.

4. Karena nilai minimum data adalah 105, maka kita dapat memiih batas kelas pertama adalah 105, atau 106 dan usahakan agar tidak terlalu jauh dengan nilai minimumnya. Dengan interval kelasnya 6 maka diambil saja batas kelas pertamanya 105 untuk memudahkan penyusunan dalam tabel distribusi frekuensi. Maka didapatlah batas kelas pertamanya 105 – 110.

Jadi; Tbk = bbk – 0,5 = 105 – 0,5 = 104,5


Tak = bak + 0,5 = 110 + 0,5 = 110,5

Panjang interval kelas pertama yaitu “104,5 – 110,5”

5. Titik tengah kelas pertama adalah: TTK = ½ (105+110) = 107,5

Dengan cara yang sama dapat diperoleh titik tengah kelas berikutnya, yaitu kelas 111 – 116 adalah 113,5. Kelas 117 – 122 adalah 119,5. Kelas 123 – 128 adalah 125,5. Kelas 129 – 134 adalah 131,5. Kelas 135 – 140 adalah 147,5. Kelas 141 – 146 adalah 143,5.

Dengan memakai jajaran data dari data tinggi siswa SMP dengan jumlah siswa 50 maka diperoleh turus dan frekuensi data yaitu sebagai berikut:

tabel 1.49Turus dan Frekuensi Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP

kelas turus frekuensi105 – 110 IIII IIII II 12111 – 116 IIII IIII 9117 – 122 IIII 4123 – 128 IIII I 6129 – 134 II 2135 – 140 IIII IIII 9141 – 146 IIII III 8

Dengan demikian, tabel distribusi frekuensi lengkap data tinggi siswa SMP yang jumlah siswanya 50 orang adalah sebagai berikut:


tabel 1.50Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP


tengahfrekuensi

105 – 110 104,5 – 110,5 107,5 12111 – 116 110,5 – 116,5 113,5 9117 – 122 116,5 – 122,5 119,5 4123 – 128 122,5 – 128,5 125,5 6129 – 134 128,5 – 134,5 131,5 2135 – 140 134,5 – 140,5 137,5 9141 – 146 140,5 – 146,5 143,5 8

Jumlah 50

1.11.2 penyelesaian: Frekuensi kumulatif lebih dari diperoleh dengan cara menghitung

total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih besar dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya. Maka dengan itu lebih lengkapnya tabelnya seperti di bawah ini:

tabel 1.51Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada Data Tinggi Badan 100

Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri


persenkumulatif

152 – 154 ≥ 151,5 100 100155 – 157 ≥ 154,5 96 96158 - 160 ≥ 157,5 85 85161 - 163 ≥ 160,5 75 75164 - 166 ≥ 163,5 50 50167 – 169 ≥ 166,5 30 30170 – 172 ≥ 169,5 10 10173 – 175 ≥ 172,5 4 4

≥ 175,5 0 0


Frekuensi relatif diperoleh dengan cara membandingkan antara frekuensi masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi kemudian dikalikan 100%. Misalnya untuk kelas 152 – 154 dengan frekuensi (f) = 4, maka frekuensi relatifnya adalah 4/100 * 100% = 4% dan seterusnya. Maka tabelnya seperti berikut:

tabel 1.52Distribusi Frekuensi Relatif Pada Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK

Nusa Mandiri

kelas titik tengah frekuensifrekuensi relatif

(%)152 – 154 153 4 4155 – 157 156 11 11158 – 160 159 10 10161 – 163 162 25 25164 – 166 165 20 20167 – 169 168 20 20170 – 172 171 6 6173 – 175 174 4 4

Jumlah 100 100

penyelesaian: Frekuensi kumulatif kurang dari diperoleh dengan cara menghitung

total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih kecil dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya. Maka dengan itu lebih lengkapnya tabelnya seperti di bawah ini:


tabel 1.53Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Nilai OCR murni Ujian Statistika

100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung


kurang dari

persenkumulatif

≤ 24,5 0 025 – 33 ≤ 33,5 16 1634 – 42 ≤ 42,5 34 3443 – 51 ≤ 51,5 40 4052 – 60 ≤ 60,5 60 6061 – 69 ≤ 69,5 68 6870 – 78 ≤ 78,5 73 7379 – 87 ≤ 87,5 77 7788 – 96 ≤ 96,5 100 100

Frekuensi relatif diperoleh dengan cara membandingkan antara frekuensi masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi kemudian dikalikan 100%. Misalnya untuk kelas 25 – 33 dengan frekuensi (f) = 16, maka frekuensi relatifnya adalah 16/100 * 100% = 16% dan seterusnya. Maka tabelnya seperti berikut:

tabel 1.54Distribusi Frekuensi Relatif Dari Nilai OCR murni Ujian Statistika 100

mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung


25 – 33 29 16 1634 – 42 38 18 1843 – 51 47 6 652 – 60 56 20 2061 – 69 65 8 870 – 78 74 5 579 – 87 83 4 488 – 96 92 23 23

Jumlah 100 100


1.11.3 penyelesaian:

gambar 1.25Histogram dan Poligon Frekuensi dari nilai ELPT jurusan Sistem Informasi

50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung

1.11

1.11

1.3 Penyeles

Gambanilai EL

1.4 Penyeles

GambKura

0

5

10

15

20

Frek

uens

i kel

as

0

10

20

30

40

50

60

1

Frek

uens

i Kum

ulat

if

saian :

ar 1.25 HistogLPT jurusan

Univer

saian :

bar 1.26 Ogif ang Dari Pad

Negeri

34,5 39,5 4

0

12

104,5 110,5 11

gram dan Pon Sistem Inforrsitas BSI Ba

Distribusi Fda Tinggi Bad8 Bandung K

44,5 49,5 54,Batas Kelas

2125

16,5 122,5 128,.Batas Kelas

oligon Frekuermasi 50 Maandung

Frekuensi Kudan 50 SiswaKelas 7A

5 59,5 64,5

31 334

.5 134,5 140,5s

85

ensi dari ahasiswa

umulatif a SMP

69,5

4250

146,5


gambar 1.26Ogif Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Daripada

Tinggi Badan 50 Siswa SMP

1.11

1.11

1.3 Penyeles

Gambanilai EL

1.4 Penyeles

GambKura

0

5

10

15

20

Frek

uens

i kel

as

0

10

20

30

40

50

60

1

Frek

uens

i Kum

ulat

if

saian :

ar 1.25 HistogLPT jurusan

Univer

saian :

bar 1.26 Ogif ang Dari Pad

Negeri

34,5 39,5 4

0

12

104,5 110,5 11

gram dan Pon Sistem Inforrsitas BSI Ba

Distribusi Fda Tinggi Bad8 Bandung K

44,5 49,5 54,Batas Kelas

2125

16,5 122,5 128,.Batas Kelas

oligon Frekuermasi 50 Maandung

Frekuensi Kudan 50 SiswaKelas 7A

5 59,5 64,5

31 334

.5 134,5 140,5s

85

ensi dari ahasiswa

umulatif a SMP

69,5

4250

146,5



gambar 1.27Ogif Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada nilai OCR Murni Ujian

Statistika 100 Mahasiswa Jurusan AkuntansiUniversitas BSI Bandung

10084

66 6040 32 27 23

00

50

100

150

24,5 33,5 42,5 51,5 60,5 69,5 78,5 87,5 96,5

Frek

uens

i Kum

ula�

f

Batas Kelas


Yi Yi

i

n

i= =∑ ∑= = + + =

1 1

3

10 20 30 60


Bi Bi

i

n

i= =∑ ∑= = + + + + =

1 1

5

3 7 11 15 19 55


Hii=∑ = + + + + + =

1

6

5 8 11 13 14 17 68

Iii=∑ = + + + + + =

1

6

0 3 4 5 6 7 25

Jii=∑ = + + + + + =

1

6

1 4 7 9 13 15 49


Hi Ii Ji Hi Ii Jii

n

iii

+ +( )= + +

= + +=

= ===∑ ∑∑∑

1 1

6

1

6

1

6

68 25 49142


Xii=∑ = + + + + =

1

5

20 21 22 23 24 110

Yii=∑ = + + + + =

1

5

10 9 8 7 6 40

Zii=∑ = + + + + =

1

5

15 14 13 12 11 65

Xi Yi Zi Xi Yi Zii

n

iii

− −( )= − −

= − −=

= ===∑ ∑∑∑

1 1

5

1

5

1

5

110 40 655


k Xi k Xi k X X X Xi

n

i

n

.= =∑ ∑= = + + +( )

= + + +( )

= ( )

=

11 2 3 4

1

10 2 4 6 810 20200


k nk

i

n

=∑ = = =

1

10 5 50.



5 6 25 60 36

25 60 36

2

1

4

1

4

2

1

4

1

4

Xi Xi Xi

Xi Xi

i i

i ii

−( ) = − +( )

= − +

= =

= =

∑ ∑

∑ ∑==∑

= + + +( ) − + + +( )+ ( )

= + + +( )− (

1

4

2

2 2 2 2

25 4 3 2 1 60 4 3 2 1 4 36

25 4 3 2 1 60 10))+= − +=

144750 600 144294


Yi Xi Yi Xii ii

− −( )= − −

= + + − − + += ==∑ ∑∑3 1 3 3

35 40 45 9 10 11 121

3

1

3

1

3

.

( ) ( ))= − −=

120 12 3375


gambar 1.28Grafik Garis Tunggal Dari Data Penggunaan Barang Produksi di PT. Abadi

selama 2005 – 2009

1.11

1.11

1.15 Penyeles

GamPeng

1.16 Penyeles

GambIm

20

40

60

80

Bany

akny

a Ba

rang

nila

i im

por (

dala

m ju

taan

i

h)

saian :

mbar 1.28 Graggunaan Bar

sela

saian :

bar 1.29 Grafmpor Menuru

Ta

0

000

000

000

000

2005

0

2

4

6

8

10

12

14

2002 20

rupi

ah)

afik Garis Turang Produksama 2005 – 2

fik Garis Ganut Golongan Bahun 2002 – 2

2006 2007Tahun

003 2004 2005Tahun

unggal Dari Dsi di PT. Kah009

nda Dari DatBarang Ekon2006

2008 2009

5 2006

T

R

B

89

Data atex

ta Nilai nomi

Tepung

Roti

Beras



gambar 1.29Grafik Garis Ganda Dari Data Nilai Impor Menurut

Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 – 2006

nila

i im

por (

dala

m ju

taan

i

h)

0

2

4

6

8

10

12

14

2002 20

rupi

a h)

003 2004 2005Tahun

5 2006

T

R

B

Tepung

Ro�

Beras


gambar 1.30Grafik Batang Tunggal Dari Data

Banyaknya Permintaan Konsumen Produk Komputer Tahun 2000 – 2005

0

1.000

2.000

3.000

4.000

2000 2001 2002 2003 2004 2005

Bany

akny

a Pe

rmin

taan

Tahun



gambar 1.31Grafik Batang Ganda Dari Data Jumlah Produk Menurut Jenis Dan

Waktunya di Toko Putri Agung Tahun 2005 – 2009

010203040506070

2005 2006 2007 2008 2009

Jeni

s Pr

oduk

Tahun

Laptop

Netbook

Printer

1.11.19 penyelesaian: Lingkaran kita bagi menjadi 3 bagian, yang besar sudutnya di

tentukan secara berikut: Yunandi : 32% x 360° = 115,2° Arif : 40% x 360° = 144° Nurdian : 28% x 360° = 100,8° Jumlah = 360°

Untuk membagi lingkaran mulailah dari bagian lingkaran yang paling besar. Grafik lingkaran dapat dibuat dalam 2 jenis yaitu:a.


gambar 1.32Grafik Lingkaran Dari Data Perolehan Suara Pemilihan Ketua BEM di


32%

40%

28%

Perolehan Suara

Yunandi

Arif

Nurdian

b.gambar 1.33

Grafik Lingkaran Dari Data Perolehan Suara Pemilihan Ketua BEM di Universitas BSI Bandung

1.11

b.GPe

1.20 Penyeles

GPe

2003

2004

2005

2006

2007

Gambar 1.33 Gerolehan Sua

Unive

saian :

ambar 1.34 Gembangunan

(d

Nurdi28%

Perole

Grafik Lingkara Pemilihanersitas BSI B

Grafik GambGedung Tah

dalam ratusa

Yunandi32%Arif

40%

ian%

ehan Suara

karan Dari Dn Ketua BEM

Bandung

bar Dari Jumhun 2003 – 2an)

92

Data M di

mlah 2007

Nurdian28%

Yunandi32%

Arif40%



gambar 1.34Grafik Gambar Dari Jumlah Pembangunan Gedung Tahun 2003 – 2007

(dalam ratusan)

2003

2004

2005

2006

2007

��

UKUran PeMUSatan Data tIDaK BerKeLOMPOK

Bab 2

Pada data yang tidak berkelompok jika diurutkan baik membesar dan mengecil maka akan menunjukkan pusat data dari kelompok data

tersebut. Ukuran pusat data sangat berguna ketika kita ingin menganalisa data yang menjadi pusat perhatian kita. Jenis ukuran pemusatan data yang akan kita pelajari adalah rata-rata hitung (arithmetic mean), median, modus, kuartil, desil, persentil, rata-rata ukur (geometric mean) dan rata-rata harmonis (harmonic mean).

�.� Rata-rata Hitung

�.�.� Pengertian

Penggunaan rata-rata hitung untuk suatu kelompok data tergantung dari tujuan analisisnya. Nilai yang mewakili himpunan atau sekelompok data disebut rata-rata hitung. Nilai rata-rata umumnya cenderung terletak di tengah suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai. Beberapa jenis rata-rata yang digunakan ialah rata-rata hitung, rata-rata ukur dan rata-rata harmonis. Setiap rata-rata tersebut selain mempunyai keunggulan juga memiliki kelemahan.


Contoh 2.1 Hasil ujian Anis dan Anas adalah seperti disajikan dalam tabel berikut ini:

tabel 2.1Nilai Hasil Ujian

Mata pelajaranhasil ujian

anishasil ujian

anas (B) (D)

Statistik 9 8Perpajakan 8,6 9Teori Ekonomi 7,9 6,6B. Inggris 8 8,2Akuntansi Dasar 8,5 7,9

Hitunglah rata-rata hasil ujian Anis dan Anas!

penyelesaian:

XB = 9 + 8,6 + 7,9 + 8 + 8,5 5 = 8,4

XD = 8 + 9 + 6,6 + 8,2 + 7,9 5 = 7,94

Dari nilai rata-rata di atas dapat disimpulkan bahwa Anis memiliki nilai rata-rata yang lebih tinggi daripada Anas.

��Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok

Contoh 2.2Perhatikan tabel di bawah ini!

tabel 2.2Perbandingan Tingkat Gaji Karyawan Dua Perusahaan

karyawanGaji perusahaan

Cahaya (u)Gaji perusahaan

Bulan (Z)1 50000 450002 40000 350003 45000 400004 55000 300005 60000 250006 75000 500007 65000 550008 80000 450009 75000 30000

10 50000 35000

Hitunglah rata-rata gaji Perusahaan Cahaya dan gaji perusahaan Bulan dalam membagi gaji 10 orang karyawannya!

penyelesaian:

XU = 50000 + 40000 +45000 + 55000 + 60000 + 75000 + 65000 + 80000 + 75000 + 50000

10 = 59500

XZ = 45000 + 35000 +40000 + 30000 + 25000 + 50000 + 55000 + 45000 + 30000 + 35000 10

= 39000


Contoh 2.3 Perhatikan tabel di bawah ini!Hitunglah rata-rata nilai Matematika dan rata-rata nilai Biologi!

tabel 2.3Perbandingan Nilai Matematika dan Biologi Kelas 3

Siswa Matematika BiologiAndi 80 56Arif 85 68

Anton 67 77Aisyah 79 87Gina 98 69Siti 77 97Yuli 86 79Kiki 88 90

penyelesaian:

X Matematika = 80 + 85 + 67 + 79 + 98 + 77 + 86 + 88 8 = 82,5

X Biologi = 56 + 68 + 77 + 87 + 69 + 97 + 79 + 90 8 = 77,875

�.�.� Macam-macam Rata-rata Hitung

Kalau kita mempunyai nilai variabel B, sebagai hasil pengamatan sebanyak N kali, yaitu B1, B2, B3, B4 … BN

1) Rata-rata sebenarnya (populasi)

µ=

= + + +( )

=∑1

11

1 2 3

NBi

NB B B B

i

n

N


µ dibaca myu, yaitu symbol rata-rata sebenarnya yang disebut parameter. Rata-rata ini dihitung berdasarkan populasi. Karena itu, rata-rata juga sering disebut rata-rata populasi.

2) Rata-rata perkiraan (sampel) Kalau rata-rata tersebut dihitung berdasarkan sampel sebanyak n

dimana n < N observasi, maka rata-rata yang diperoleh disebut rata-rata perkiraan atau rata-rata observasi yang diberi symbol yang rumusnya adalah sebagai berikut:

Xn

Bi

nB B B B

i

n

N

=

= + + +( )

=∑1

11

1 2 3


B1 = 79 (Hasil pembelian tahun pertama)B2 = 85 (Hasil pembelian tahun kedua)B3 = 98 (Hasil pembelian tahun ketiga)B4 = 120 (Hasil pembelian tahun keempat)B5 = 91 (Hasil pembelian tahun kelima)B6 = 105 (Hasil pembelian tahun keenam)B7 = 119 (Hasil pembelian tahun ketujuh)B8 = 154 (Hasil pembelian tahun kedelapan)B9 = 145 (hasil pembelian tahun kesembilan)B10 = 130 (Hasil pembelian tahun kesepuluh)

(angka-angka yang digaris bawahi merupakan data sampel)

a) Hitung rata-rata hasil pembelian sebenarnya ! b) Ambil sampel sebanyak n = 7, misalnya setelah diambil sampelnya

diperoleh:B1, B3, B4, B6, B8, B9, B10. Hitung hasil pembelian per tahun !


penyelesaian:

a) µ=

= ( )

=

=∑1

101

101126

112 6

1

10 Bii

,

Jadi, rata-rata hasil penjualan per tahun = Rp 112,6 juta

b) Xn

Bii

n=

= + + + + + +( )

=

=∑1

17

79 98 120 105 154 145 130

118 7

1

,

Jadi, rata-rata perkiraan hasil penjualan per tahun adalah 118,7 juta (ternyata sangat mendekati rata-rata sebenarnya) X merupakan perkiraaan dari µ.

Contoh 2.5Diketahui:B = hasil ujian Statistika Deskriptif 20 Mahasiswa jurusan Manajemen Perbankan adalah sebagai berikut:

B1 = 70 B11 = 45B2 = 72 B12 = 30B3 = 80 B13 = 75B4 = 90 B14 = 90B5 = 75 B15 = 87B6 = 70 B16 = 55B7 = 85 B17 = 85B8 =100 B18 = 72B9 = 65 B19 = 75B10 = 55 B20 = 98

(Angka yang digarisbawahi merupakan data sampel)


a) Berdasarkan data di atas hitunglah rata-rata hasil ujian yang sebenarnya!

b) Kemudian ambil sampel sebanyak n = 10 dan hitunglah rata-rata perkiraan sampel yang terambil B2, B4, B6, B8, B10, B12, B14, B16, B18,

B20!

penyelesaian:

a)

µ=

= + + +( )

=

=∑1

120

70 72 90 98

73 7

1NBi

i

n

…

,

b)

Xn

Bi

B B B B B B B B B B

i

n=

= + + + + + + + + +( )

=

=∑1

1101

1072

1

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

++ + + + + + + + +( )

=

90 70 100 55 30 90 55 72 98

73 2,

Pada umumnya makin besar elemen sampel (nilai n makin besar), makin baiklah perkiraan yang diperoleh. Oleh karena itu pengumpulan data umumnya didasarkan atas sampel, maka hasilnya suatu perkiraan. Untuk selanjutnya kita pergunakan rumus rata-rata perkiraan sebagai perkiraan sebagai perkiraan dari m dan sampel yang diselidiki sebanyak n elemen.

Contoh 2.6 Perhatikan tabel di bawah ini!Hitunglah rata-rata hitung kedua toko di atas!


tabel 2.4Hasil Penjualan buku Perpajakan di Dua Toko

hari ke- toko edi (e) toko ardi (a)1 6 22 5 43 7 34 4 95 2 56 5 27 3 3

penyelesaian:

XE = 6 + 5 + 7 + 4 + 2 + 5 + 3

7 = 4,57

XA = 2 + 4 + 3 + 9 +5 + 2 + 3

7 = 4

Maka, dapat disimpulkan penjualan di toko Edi lebih tinggi daripada di toko Ardi.

Contoh 2.7Diketahui:M adalah nilai Akuntansi Menengah sebanyak 7 orang yaitu sebagai berikut:

M1 = 65 M5 = 55M2 = 75 M6 = 60M3 = 50 M7 = 90M4 = 70


a) Hitunglah rata-rata sebenarnya! b) Ambilah 3 sampel nilai Akuntansi Menengah diperoleh M1, M2, dan

M3 dan hitunglah rata-rata perkiraan sampelnya!

penyelesaian:

a) µ=

= + + + + +( )

= ( )

=

=∑1717

65 75 70 55 60 90

17

465

66 43

1Mi

i

n

,

b)

X Mii

n=

= ( )

= ( )

=

=∑1313

65 50 70

13

185

61 67

1

, ,

,

Contoh 2.8 Diketahui:Jika A adalah gaji karyawan per tahun.

A1 =150 A8 = 120A2 =120 A9 = 160A3 =130 A10 = 130A4 =140 A11 = 110A5 =100 A12 = 140A6 = 90 A13 = 100A7 =140 A14 = 80


a) Hitunglah rata-rata sebenarnya! b) Hitunglah rata-rata perkiraan diambil banyaknya n = 6 dari gaji

karyawan (A2, A4, A8, A10, A11, A13)!

penyelesaian:

a)

µ=

= ( )

=

=∑1

141

141710

122 14

1Ai

i

n

,

b) µ=

= + + + + +( )

=

=∑1

141

14120 140 120 130 110 100

120

1Ai

i

n

�.�.� Beberapa Sifat Rata-rata Hitung

1. Jumlah deviasi atau selisih dari suatu kelompok nilai terhadap rata-ratanya sama dengan nol, yaitu:

Bi Xi

n

−( )==∑

1

0

Dimana :

Xn

Bi nX= =∑1 atau

Bukti:Bi X Bi X

Bi nX

Bi Bi

−( ) −

= −

= −

=

∑ ∑∑∑

∑∑0


Contoh 2.9 Diketahui: B1 = 5 B2 = 4 B3 = 6 B4 = 7 B5 = 3

Hitung rata-rata hitung ( X ) dan tunjukan bahwa

Bi X−( )=∑∑ 0

penyelesaian:

X Bi

Bii

=

= + + + +( )

=

∑

∑ =

1515

5 4 6 7 3

51

5

Bukti:

Bi B X B X B X B X B Xi

n

=∑ = −( )+ −( )+ −( )+ −( )+ −( )= −( )+ −( )+ −

1 1 2 31 4 5

5 5 4 5 6 55 7 5 3 50

( )+ −( )+ −( )

=

Jumlah deviasi kuadrat dari suatu kelompok nilai terhadap nilai k akan

minimum (terkecil) kalau k = X .

Maksudnya:

B k Bi Xi

n

i11

2

1−( ) > −( )

= =∑ ∑,

Kalau suatu kelompok data sangat heterogen, maka rata-rata hitung tidak dapat mewakili masing-masing nilai dari kelompok tersebut dengan baik. Rata-rata hitung tidak dapat mewakili dengan sempurna atau tepat sekali apabila kelompok data homogen. Semakin heterogen datanya semakin tidak tepat.


Suatu kelompok data dikatakan homogen atau tidak bervariasi kalau semua nilai dari kelompok tersebut sama dan dikatakan sangat heterogen apabila nilai-nilai tersebut sangat berbeda satu sama lain atau sangat bervariasi. Antara homogen dan sangat heterogen disebut relatif homogen, yaitu perbedaan antara nilai yang satu dengan yang lainnya tidak begitu besar. Untuk mengukur tingkat homogen atau tingkat variasi tersebut sering dipergunakan kriteria yang disebut simpangan baku (standar deviasi).

Contoh 2.10Perhatikan tabel dibawah, yang menggambarkan upah bulanan dalam ribuan dari 3 kelompok karyawan perusahaan. Jika X adalah upah dalam ribuan rupiah.

tabel 2.5Upah per bulan Tiga Kelompok Karyawan

X kelompok i kelompok ii kelompok iii

(homogen) (relatif homogen) (heterogen)

X1 75 80 125

X2 75 70 40

X3 75 70 25

X4 75 80 35

X5 75 75 150

Hitunglah rata-rata hitung dalam setiap kelompok!

penyelesaian:

X Homogen = 75 + 75 + 75 + 75 + 75

5 = 75

X Relatif Homogen = 80 + 70 + 70 + 80 + 75

5 = 75


X Heterogen = 125 + 40 + 25 + 35 + 150

5 = 75 Walaupun rata-rata upah bulanan per karyawan dari kelompok 1, 2, dan 3 masing-masing sama besar Rp.75.000, namun kalau diperhatikan secara lebih cermat rata-rata dari kelompok 1 mewakili kelompok dengan sempurna atau tepat sekali (sebab masing-masing nilai sebesar Rp.75.000, sama dengan nilai rata-rata), rata-rata kelompok 2 agak mewakili atau mewakili dengan cukup. Sedangkan rata-rata kelompok 3 sangat tidak mewakili. Jadi nilai rata-rata hitung sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrim. Dalam usaha mencari nilai untuk mewakili suatu kelompok nilai, selain dipergunakan rata-rata hitung atau mean, yang baru saja selesai dibahas, juga dipergunakan ukuran-ukuran lain seperti median dan modus.


B₁ = 60 B₄ = 50 B₇ = 30B₂ = 90 B₅ = 20 B₈ = 70B₃ = 40 B₆ = 80

a) Hitung rata-ratanya!

b) Tunjukan bahwa Bi X−( )=∑∑ 0

penyelesaian:

a)

X Bi=

= + + + + + + +( )

= ( )

=

∑18

18

60 90 40 50 20 80 30 70

18

440

55


b)

Bi B x B x B x B x B x

B x B x Bi

n

=∑ = −( )+ −( )+ −( )+ −( )+ −( )+ −( )+ −( )+

1 1 2 3 4 5

6 7 88

60 55 90 55 40 55 50 55 20 5580 55 30

−( )= −( )+ −( )+ −( )+ −( )+ −( )

+ −( )+ −

x

555 70 555 35 15 5 35 25 25 150

( )+ −( )

= + − − − + − −=

Contoh 2.12Diketahui: A₁ = 4 A₂ = 3 A₃ = 6 A₄ = 7

a) Hitung rata-ratanya!

b) Tunjukan bahwa Ai X−( )=∑∑ 0

penyelesaian:

a)

X Ai=

= + + +( )

= ( )

=

∑1414

4 3 6 7

14

20

5

b) Ai A x A x A x A xi

n

=∑ = −( )+ −( )+ −( )+ −( )= −( )+ −( )+ −( )+ −(

1 1 2 3 4

4 5 3 5 6 5 7 5))= 0

�.� Median

Nilai tengah dari kelompok data yang telah diurutkan baik membesar atau mengecil disebut median. Biasanya median disingkat Med. Median data tidak berkelompok dapat ditentukan langsung setelah datanya diurutkan.


untuk n bilangan ganjil

n k

k n= +

=−

2 11

2

Keterangan: k suatu bilangan konstanta n merupakan bilangan ganjil

Contoh 2.13

n kk

k

= → = +

= −

=

7 7 2 12 7 1

62

=

= → = +

= −

=

3

9 9 2 12 9 1

82

n kk

k

= 4

Kelompok nilai M1, M2, … Mk – i, Mk, Mk, Mk+I … Mn

Terkecil Terbesar

Median = Mk - i atau nilai yang ke (k+1)

Contoh 2.14Diketahui:Nilai Ujian Biokimia 15 Mahasiswa jurusan Keperawatan Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut: 65, 55, 70, 80, 75, 95, 90, 75, 50, 90, 50, 60, 65, 75, 85.


Carilah median dari nilai di atas!

penyelesaian:Hal yang harus pertama kali kita lakukan yaitu urutkan terlebih dahulu nilai yang terkecil sampai nilai yang terbesar. 50, 50, 55, 60, 65, 65, 70, 75, 75, 75, 80, 85, 90, 90, 95

Kedua; Tentukan nilai k!

15 2 12 15 1

142

7

= +

= −

=

=

kk

k

Jadi, Med = M8 = 70

Perhatikan bahwa M8, merupakan nilai yang berada di tengah-tengah setelah data diurutkan mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7, M8, M9, M10, M11, M12, M13, M14, M15

Median

Contoh 2.15 Himpunan bilangan genap yaitu sebagai berikut: 8, 4, 10, 2, 6, 12, 16, 20, 14, 22, 18

Carilah median dari data di atas!

penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22

�0�Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok

Nilai k yaitu:

n kk

k

= → = +

= −

=

=

11 11 2 12 11 1

102

5

Maka, median dari data di atas M6 = 12

Contoh 2.1611 mahasiswa Universitas BSI Bandung yang mempunyai nilai persentasi Manajemen masing-masing adalah sebagai berikut: 80, 70, 90, 60, 95, 40, 50, 65, 45, 75.

Berapa besar nilai mediannya?

penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 90, 95

Nilai k yaitu:

n kk

k

= → = +

= −

=

=

11 11 2 12 11 1

102

5

Maka, median dari data diatas yaitu M6 = 65

untuk n bilangan GenapKalau k adalah bilangan konstanta dan n bilangan genap, maka selalu dapat ditulis:

Statistika Deskriptif Itu Mudah�0�

n k

k n=

=

2

2

Contoh 2.17Diketahui:Gaji 8 orang karyawan (dalam ribuan) adalah sebagai berikut: 20, 80, 75, 60, 50, 85, 45, 90

Berapa nilai mediannya?

penyelesaian: Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 20, 45, 50, 75, 80, 80, 85, 90

Nilai k yaitu:

8 2824

=

=

=

k

k

Median M M = +( )

= +( )

=

1212

60 75

67 5

4 5

,

Jadi, median gaji karyawan = Rp.67.500

Perhatikan bahwa M4 dan M5, merupakan nilai yang berada di tengah-tengah setelah data diurutkan mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7, M8

Median


Median M M = +4 5

2

Contoh 2.18Nilai Persentasi 10 Mahasiswa mata kuliah Fisika Dasar jurusan Teknik Industri Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut ini: 40, 70, 60, 75, 65, 80, 90, 45, 50, 95.

Berapa besarnya median dari nilai persentasi tersebut?

penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 40, 45, 50, 60, 65, 70, 75, 80, 90, 95

Nilai k yaitu: 10 = 2k k = 5

Median M M= +( )

= +( )

=

1212

65 70

67 5

5 6

,

Jadi, Median nilai persentasi = 67,5.

Pada umumnya kelompok nilai tersebut merupakan hasil pengumpulan data. Simbol n sering disebut banyaknya data (n=8, n=10). Kalau kita perhatikan, hasil perhitungan median tersebut menunjukan bahwa median suatu kelompok merupakan salah satu nilai yang ada ditengah atau rata-rata dari dua nilai yang ada ditengah.


Contoh 2.19Diketahui:Gaji 20 karyawan (dalam ribuan) adalah sebagai berikut: 140, 130, 250, 115, 120, 170, 125, 100, 70, 150, 90, 165, 140, 200, 145,

160, 120, 125, 110, 95.

Berapa nilai median data tersebut?

penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 70, 90, 95, 100, 110, 115, 120, 120, 125, 125, 130, 140, 140, 145, 150,

160, 165, 170, 200, 250.

Nilai k yaitu:20 = 2k k = 10

Med M M= +( )

= +( )

=

1212

125 130

127 5

10 11

,

Jadi Median gaji 20 karyawan sebesar Rp. 127.500.

�.� Modus

Nilai yang sering muncul dalam suatu kelompok data atau nilai yang paling banyak frekuensinya disebut modus. Suatu kelompok data mungkin mempunyai modus tetapi mungkin juga tidak mempunyai modus. Artinya, modus suatu kelompok data tidak selalu ada. Bila suatu kelompok data mempunyai modus, maka modusnya bisa lebih dari satu, atau dikatakan modusnya tidak tunggal.


Untuk menentukan modus suatu kelompok data, data tersebut tidak perlu diurutkan, tetapi bila data telah diurutkan akan sangat mempermudah menentukan modusnya. Biasanya modus disingkat Mod. Contoh 2.20Dari data berikut, apakah ada modusnya? Kalau ada, tentukan nilainya: a) 10, 2, 5, 7,9, 9, 10, 11, 12, 18, 9, 2 b) 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 c) 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9

penyelesaian: a) Modusnya adalah 9 karena nilai 9 adalah nilai yang paling banyak

muncul. b) Karena semua nilai mempunyai frekuensi yang sama, maka data di

atas tidak mempunyai modus. c) Modusnya adalah 4 dan 7 karena nilai yang sering munculnya

mempunyai frekuensi yang sama, maka mempunyai 2 modus.

Contoh 2.21Perhatikan data di bawah ini! a) 2, 1, 3, 6, 6, 3, 2, 2, 6, 3, 6 b) 1, 4, 5, 7, 3 c) 6, 8, 4, 1, 6, 8, 7, 7, 11, 9, 8, 2, 6

Carilah modus dari data di atas!

penyelesaian: a) Modusnya adalah 8 karena nilai 8 yang paling sering muncul b) Karena semua nilai mempunyai frekuensi yang sama, maka data di

atas tidak mempunyai modus. c) Modusnya adalah 8 dan 6 karena nilai yang sering munculnya

mempunyai frekuensi yang sama, maka mempunyai 2 modus.


Contoh 2.22Perhatikan data di bawah ini! a) 2, 2, 3, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 9, 5, 7, 1, 2,4 b) 5, 7, 3, 11, 14, 6, 8, 2 c) 0, 10, 5, 9, 2, 4, 10, 1, 7, 10, 8, 4, 6

Carilah modus dari data di atas!

penyelesaian: a) Modusnya adalah 2 dan 4 karena nilai yang sering munculnya

mempunyai frekuensi yang sama, maka mempunyai 2 modus. b) Karena semua nilai mempunyai frekuensi yang sama, maka data di

atas tidak mempunyai modus. c) Modusnya adalah 10 karena nilai 10 yang paling sering muncul.

�.� Hubungan antara Nilai Rata-rata Hitung, Median dan Modus

Hubungan antara nilai rata-rata hitung, median dan modus ditentukan oleh kesimetrian kurva distribusi data yang bersangkutan. Ada tiga kemungkinan untuk kesimetrian kurva. Pertama, jika nilai rata-rata hitung, median dan modus berdekatan (hampir sama) satu sama lain, maka kurva dari data tersebut akan mendekati simetri. Kedua, jika nilai modus lebih kecil dari median, dan median lebih kecil daripada nilai rata-rata hitung, maka kurva dari distribusi data akan miring ke kanan. Ketiga, jika sebaliknya, nilai rata-rata hitung lebih kecil dari median, dan median lebih kecil daripada modus, maka distribusi data akan miring ke kiri. Pada kasus kedua, nilai modus paling kecil dan nilai rata-rata hitung paling besar, sedangkan pada kasus ketiga, sebalikya, yaitu nilai rata-rata hitung paling kecil dan modus paling besar. Grafik kurva distribusi data untuk ketiga kemungkinan tersebut adalah:

�0�Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok Ukuran Pemusatan Data 116

Mod = Med = X Mod Med X

X Med Mod

Dalam hal distribusi data tidak simetris, miring ke kanan atau miring ke kiri, maka terdapat hubungan empiris antara rata-rata hitung dengan median dan modus, yaitu :

Contoh 2.23 Suatu kelompok data diketahui mempunyai distribusi tidak simetri dengan rata-rata hitung ( ) 67,45 dan median (Med) 65,64.

Tentukanlah modus dari data di atas!

Penyelesaian :

– Mod = 3 ( – Med)

Dalam hal distribusi data tidak simetris, miring ke kanan atau miring ke kiri, maka terdapat hubungan empiris antara rata-rata hitung dengan median dan modus, yaitu:

X X− = −( )Mod Med3

Contoh 2.23Suatu kelompok data diketahui mempunyai distribusi tidak simetri dengan

rata-rata hitung ( X ) 67,45 dan median (Med) 65,64.Tentukanlah modus dari data di atas!

penyelesaian:

X X

X X

X

− = −( )− = −

= −

= ( )− ( )

=

Mod Med

Mod Med

Mod Med

3

3 3

3 23 65 64 2 67 45, ,1196 2 134 961 3

, ,,−

=


Contoh 2.24Suatu kelompok data diketahui mempunyai distribusi tidak simetri dengan

rata-rata hitung ( X ) 75,9 dan median (Mod) 77,2.Tentukanlah median dari data di atas!

penyelesaian:

X X

X X

X

− = −( )− = −

= −

= ( )− ( )

=

Mod Med

Mod Med

Mod Med

3 3

3 3

3 23 77 2 2 75 979

, ,,,8

�.� Kuartil, Desil dan Persentil

�.�.� Kuartil

Kita telah mengetahui bahwa median itu merupakan nilai tengah data. Kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 4 bagian yang sama banyak disebut kuartil. Bilangan pembaginya ada 3, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2) dan kuartil ketiga (Q3). Kuartil pertama disebut juga kuartil bawah, kuartil kedua disebut juga kuartil tengah dan kuartil ketiga disebut juga kuartil atas. Untuk data yang tidak berkelompok nilai kuartil ke-i, yaitu Qi, ditentukan dengan rumus berikut ini:

Qi = Nilai yang ke Q Nilai yang ke i n

i

11

41 2 3

=+( )

=

, , i = 1,2,3


Contoh 2.25Berikut ini adalah data gaji bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu: 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100 (n=13).

Tentukanlah nilai Q1, Q2, dan Q3!

penyelesaian:Hal yang harus kita lakukan pertama kali yaitu data yang di atas diurutkan terlebih dahulu, maka hasilnya seperti di bawah ini: 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 75, 80, 85, 95, 100

Maka nilai Q₁, Q₂ dan Q₃ adalah

Q i n1

14

1 13 14

3 12

=+( )

=+( )

=

=

Nilai yang ke

nilai ke

nilai ke-

antarra nilai ke-3 dan nilai ke-4Jadi:

Q nilai ke- nilai ke1 = +3 12

-- nilai ke-4 3

40 12

45 40

42 5

−( )

= + −( )

= ,

Q22 13 1

4

760

=+( )

=

==

nilai yang ke

nilai ke-7Jadi:Q nilai ke-

Q

2

3 ==

=

=

nilai ke-nilai ke-antara nilai ke- dan nilai ke-

710

10 111

10 12

11 10

80 12

85

Jadi:

Q nilai ke- nilai ke- nilai ke-3 = + −( )

= + −880

82 5

( )

= ,

Statistika Deskriptif Itu Mudah��0Q22 13 1

4

760

=+( )

=

==

nilai yang ke

nilai ke-7Jadi:Q nilai ke-

Q

2

3 ==

=

=

nilai ke-nilai ke-antara nilai ke- dan nilai ke-

710

10 111

10 12

11 10

80 12

85

Jadi:

Q nilai ke- nilai ke- nilai ke-3 = + −( )

= + −880

82 5

( )

= ,

Contoh 2.26Berat badan 15 mahasiswa jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut: 55, 45, 65, 53, 60, 45, 65, 47, 53, 63, 55, 46, 57, 44, 50

Tentukanlah nilai Q₁, Q₂, dan Q₃!

penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 44, 45, 45, 46, 47, 50, 53, 53, 55, 55, 57, 60, 63, 65, 65


Q i n

n

11

41 1

44

=+( )

=+( )

=

=

nilai yang ke

nilai ke

nilai ke-Jadi:Q1 nnilai ke-4

Q nilai ke

nilai ke-8Jadi:Q nilai

2

2

=

=+( )

=

=

46

2 15 14

kke-8

Q nilai ke-12Jadi:Q nilai ke-

3

3

=

=

==

53

1260


Q i n

n

11

41 1

44

=+( )

=+( )

=

=

nilai yang ke

nilai ke

nilai ke-Jadi:Q1 nnilai ke-4

Q nilai ke

nilai ke-8Jadi:Q nilai

2

2

=

=+( )

=

=

46

2 15 14

kke-8

Q nilai ke-12Jadi:Q nilai ke-

3

3

=

=

==

53

1260

Contoh 2.27Tinggi badan 25 mahasiswa jurusan Pariwisata Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut: 160, 158, 173, 166, 162, 175, 164, 172, 163, 168, 166, 159, 165, 158, 160,

165, 163, 174, 171, 180, 169, 165, 164, 170, 170

Tentukanlah nilai Q₁, Q₂, dan Q₃!


168, 169, 170, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 180



Q i n1

14

1 25 14

6 12

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-

antara nillai ke-6 dan nilai ke-7Jadi:

Q nilai ke-6+ 12

nilai ke- ni1 = −7 llai ke-

Q nilai ke

nilai

2

6

162 12

163 162

162 5

2 25 14

( )

= + −( )

=

=+( )

=

,

ke-13Jadi:Q nilai ke-13

Q nilai ke-19=antara nilai

2

3

==

=

165

kke-19 dan nilai ke-20Jadi:

Q nilai ke- nilai ke- ni3 = + −19 12

20 llai ke-19

170 12

171 170

170 5

( )

= + −( )

= ,


�.�.� Desil

Jika sekelompok data, dibagi menjadi 10 bagian yang sama banyaknya disebut desil. Maka akan terdapat 9 pembagi, masing-masing disebut nilai desil (D), yaitu D₁, D₂, D₃, D₄, … D₉. Untuk data tidak berkelompok nilai desil ke-i, yaitu Di ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

Di i n

i

=+( )

=

nilai ke

110

1 2 3 4 9, , ,


Tentukanlah nilai D1, D4, D5, dan D9!


Maka nilai D1, D4, D5, dan D9 adalah

D i n1

14

1 13 110

1 410

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-

nilai kee-

antara nilai ke-1 dan nilai ke-2

Jadi:

D nilai ke-1+1

125

=

=225

nilai ke-2 nilai ke-1

D nilai ke4

−( )

= + −( )

=

=+

30 25

35 30

32

4 13 1(( )

=

=

=

10

nilai ke-5 610

nilai ke-5 35

antara nilai ke-5 dan nilaai ke-6Jadi:

D nilai ke-5 35

nilai ke- nilai ke-4 = + −( )

= +

6 5

50 35

555 50

53

60

9 1

−( )

=

=

==

=

D nilai ke-7Jadi:D nilai ke-7

D nilai ke

5

5

933 110

12 610

12 35

+( )

=

=

=

nilai ke-

nilai ke-

antara nilai ke-12 daan nilai ke-13Jadi:

D nilai ke-12 35

nilai ke-13 nilai ke-9 = + − 112( )

= + −( )

=

95 35

100 95

98


D i n1

14

1 13 110

1 410

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-

nilai kee-


Jadi:

D nilai ke-1+1

125

=

=225


D nilai ke4

−( )

= + −( )

=

=+

30 25

35 30

32

4 13 1(( )

=

=

=

10

nilai ke-5 610

nilai ke-5 35


D nilai ke-5 35


= +

6 5

50 35

555 50

53

60

9 1

−( )

=

=

==

=


D nilai ke

5

5

933 110

12 610

12 35

+( )

=

=

=

nilai ke-

nilai ke-


D nilai ke-12 35


= + −( )

=

95 35

100 95

98


D i n1

14

1 13 110

1 410

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-

nilai kee-


Jadi:

D nilai ke-1+1

125

=

=225


D nilai ke4

−( )

= + −( )

=

=+

30 25

35 30

32

4 13 1(( )

=

=

=

10

nilai ke-5 610

nilai ke-5 35


D nilai ke-5 35


= +

6 5

50 35

555 50

53

60

9 1

−( )

=

=

==

=


D nilai ke

5

5

933 110

12 610

12 35

+( )

=

=

=

nilai ke-

nilai ke-


D nilai ke-12 35


= + −( )

=

95 35

100 95

98

Contoh 2.29Berat badan 15 mahasiswa jurusan Teknik Informatika Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut: 55, 45, 65, 53, 60, 45, 65, 47, 53, 63, 55, 46, 57, 44, 50

Tentukanlah nilai D₂, D₃, dan D₆!



Maka nilai D₂, D₃, dan D₆ adalah

D i n2

14

2 15 1102

10

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-3

nilai kee-3

antara nilai ke-3 dan nilai ke-4Jadi:

D nilai ke-32

15

=

= +115


D nilai ke3

−( )

= + −( )

=

=

45 35

46 45

45 6

3 15

,

++( )

=

=

=

110

nilai ke-4 810

nilai ke-4 45

antara nilai ke-4 dan niilai ke-5Jadi:

D nilai ke-4 45

nilai ke-5 nilai ke-43 = + −( )

= +46 445

47 46

46 8

−( )

=

=

=

=

,

D nilai ke-9 610

nilai ke-9 35

antara nilai

6


D nilai ke-9 35

nilai ke-10 nila6 = + − ii ke-9( )

= + −( )

=

55 35

55 55

55


D i n2

14

2 15 1102

10

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-3

nilai kee-3


D nilai ke-32

15

=

= +115


D nilai ke3

−( )

= + −( )

=

=

45 35

46 45

45 6

3 15

,

++( )

=

=

=

110

nilai ke-4 810

nilai ke-4 45

antara nilai ke-4 dan niilai ke-5Jadi:

D nilai ke-4 45

nilai ke-5 nilai ke-43 = + −( )

= +46 445

47 46

46 8

−( )

=

=

=

=

,

D nilai ke-9 610

nilai ke-9 35

antara nilai

6


D nilai ke-9 35


= + −( )

=

55 35

55 55

55

Contoh 2.30Tinggi badan 25 mahasiswa jurusan Desain Komunikasi Visual Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut: 160, 158, 173, 166, 162, 175, 164, 172, 163, 168, 166, 159, 165, 158, 160,

165, 163, 174, 171, 180, 169, 165, 164, 170, 170

Tentukanlah nilai D₂, D₇, dan D₈!


168, 169, 170, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 180


Maka nilai D₂, D₇, dan D₈ adalah

D i n2

14

2 25 110

210

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-5

nilai kee-5


D nilai ke-52

15

=

= +115


D nilai k7

−( )

= + −( )

=

=

160 15

162 160

160 4,

ee

nilai ke-18 210

nilai ke-18 15

antara nilai ke-1

7 25 110+( )

=

=

= 88 dan nilai ke-19Jadi:

D nilai ke-18 15

nilai ke-19 nilai 7 = + − kke-18

D nilai ke-20antara nilai ke

8

( )

= + −( )

=

=

=

170 15

170 170

170

--20 dan nilai ke-21Jadi:

D nilai ke-20 45


= + −( )

=

171 45

172 171

171 8,


D i n2

14

2 25 110

210

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-5

nilai kee-5


D nilai ke-52

15

=

= +115


D nilai k7

−( )

= + −( )

=

=

160 15

162 160

160 4,

ee

nilai ke-18 210

nilai ke-18 15

antara nilai ke-1

7 25 110+( )

=

=

= 88 dan nilai ke-19Jadi:

D nilai ke-18 15

nilai ke-19 nilai 7 = + − kke-18

D nilai ke-20antara nilai ke

8

( )

= + −( )

=

=

=

170 15

170 170

170

--20 dan nilai ke-21Jadi:

D nilai ke-20 45


= + −( )

=

171 45

172 171

171 8,

�.�.� Persentil

Jika sekelompok data dibagi menjadi 100 bagian yang sama banyaknya disebut persentil. Maka akan terdapat 99 pembagi yang maisng-masing disebut persentil (P), yaitu P₁, P₂, P₃, P₄… P₉₉. Untuk data tidak berkelompok nilai persentil ke-i, yaitu Pi dihitung dengan rumus berikut ini:

Pi i i n

i

=+( )

=

nilai ke-

1100

1 2 3 4 5 99, , , , …


Tentukanlah nilai P₁₅, P₂₀, P₄₅, dan P₆₈!


Statistika Deskriptif Itu Mudah��0

Maka nilai P15, P₂₀, P₄₅, dan P₆₈ adalah

P i n15

14

15 13 1100

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-2 10100

nillai ke-2 110


nila

=

=P15 ii ke-2+ nilai ke-3 dan nilai ke-110

2

35 110

40 35

35 5

( )

= + −( )

= ,

P22020 13 1

100=

+( )

=

=

=

nilai ke

nilai ke-2 80100

nilai ke-2 45

antaraa nilai ke-2 dan nilai ke-3Jadi:

nilai ke-2+ 45

nilai keP20 = --3 dan nilai ke-

nilai ke-6 30100

ni

2

35 45

40 35

39

45

( )

= + −( )

=

=

=

P

llai ke-6 310


nila

=

=P45 ii ke-6+ nilai ke-7 nilai ke-310

6

55 310

60 55

56 5

68

−( )

= + −( )

= ,

P == +( )

=

=

=

nilai ke

nilai ke-9 52100

nilai ke-9 1325

antar

68 13 1100

aa nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:

nilai ke-9+ nilaiP681325

= ke- nilai ke-910

75 1325

80 75

77 6

−( )

= + −( )

= ,


P i n15

14

15 13 1100

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-2 10100

nillai ke-2 110


nila

=

=P15 ii ke-2+ nilai ke-3 dan nilai ke-110

2

35 110

40 35

35 5

( )

= + −( )

= ,

P22020 13 1

100=

+( )

=

=

=

nilai ke

nilai ke-2 80100

nilai ke-2 45

antaraa nilai ke-2 dan nilai ke-3Jadi:

nilai ke-2+ 45

nilai keP20 = --3 dan nilai ke-

nilai ke-6 30100

ni

2

35 45

40 35

39

45

( )

= + −( )

=

=

=

P

llai ke-6 310


nila

=

=P45 ii ke-6+ nilai ke-7 nilai ke-310

6

55 310

60 55

56 5

68

−( )

= + −( )

= ,

P == +( )

=

=

=

nilai ke

nilai ke-9 52100

nilai ke-9 1325

antar

68 13 1100

aa nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:

nilai ke-9+ nilaiP681325

= ke- nilai ke-910

75 1325

80 75

77 6

−( )

= + −( )

= ,

Contoh 2.32Berat badan 15 mahasiswa jurusan Manajemen Pemasaran Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut: 55, 45, 65, 53, 60, 45, 65, 47, 53, 63, 55, 46, 57, 44, 50


Tentukanlah nilai P₃₃, P₅₀, P₆₂ dan P₈₄!


Maka nilai P₃₃, P₅₀, P₆₂ dan P₈₄ adalah

P i n33

14

33 15 1100

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-5 725


nilai ke-5+ nilai P337

25= kke-6 dan nilai ke-

nilai ke

5

47 725

50 47

47 84

50 1550

( )

= + −( )

=

=

,

P ++( )

=

==

=

1100

5350

62

nilai ke-8Jadi:

nilai ke-8

nilai ke-9 921

P

P000

nilai ke-9 2325


=

=

P6622325

10 9

55 2325

55 55

= −( )

= + −

nilai ke-9+ nilai ke- nilai ke-

(( )

=

=

=

=

55

84P nilai ke-13 44100

nilai ke-13 1125

antara nilai ke--13 dan nilai ke-14Jadi:

nilai ke-13+ nilai ke- P842325

14= − nilai ke-13

63 2325

65 63

64 84

( )

= + −( )

= ,


P i n33

14

33 15 1100

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-5 725


nilai ke-5+ nilai P337

25= kke-6 dan nilai ke-

nilai ke

5

47 725

50 47

47 84

50 1550

( )

= + −( )

=

=

,

P ++( )

=

==

=

1100

5350

62

nilai ke-8Jadi:

nilai ke-8

nilai ke-9 921

P

P000

nilai ke-9 2325


=

=

P6622325

10 9

55 2325

55 55

= −( )

= + −

nilai ke-9+ nilai ke- nilai ke-

(( )

=

=

=

=

55

84P nilai ke-13 44100

nilai ke-13 1125

antara nilai ke--13 dan nilai ke-14Jadi:

nilai ke-13+ nilai ke- P842325

14= − nilai ke-13

63 2325

65 63

64 84

( )

= + −( )

= ,

Contoh 2.33Tinggi badan 25 mahasiswa jurusan Manajemen Perbankan Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut: 160, 158, 173, 166, 162, 175, 164, 172, 163, 168, 166, 159, 165, 158, 160,

165, 163, 174, 171, 180, 169, 165, 164, 170, 170


Tentukanlah nilai P₁₈, P₃₅, P₄₁ dan P₇₅!


168, 169, 170, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 180

Maka nilai P₁₈, P₃₅, P₄₁ dan P₇₅ adalah

P i n18

14

18 25 1100

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-4 68100

nillai ke-4 1725


nil

=

=P18 aai ke-4+ nilai ke-5 dan nilai ke-41725

160 1725

160 160

( )

= + −( )

==

=+( )

=

=

160

35 25 110035P nilai ke

nilai ke-9 10100

nilai ke-9 110

==

=


nilai ke-9+ 110

P35 nnilai ke-10 dan nilai ke-9

nilai

( )

= + −( )

=

=

164 15

164 164

164

41P ke-10antara nilai ke-10 dan nilai ke-11

Jadi:

nilai k

=

=P41 ee-10+ nilai ke-11 nilai ke-3350

10

164 3350

165 164

16

−( )

= + −( )

= 44 66

75

,

P ==

nilai ke-19antara nilai ke-19 dan nilai ke-20

Jadii:

nilai ke-19+ nilai ke- nilai ke-19P7512

20

170 12

171

= −( )

= + −−( )

=

170

170 5,


P i n18

14

18 25 1100

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-4 68100

nillai ke-4 1725


nil

=

=P18 aai ke-4+ nilai ke-5 dan nilai ke-41725

160 1725

160 160

( )

= + −( )

==

=+( )

=

=

160

35 25 110035P nilai ke

nilai ke-9 10100

nilai ke-9 110

==

=


nilai ke-9+ 110

P35 nnilai ke-10 dan nilai ke-9

nilai

( )

= + −( )

=

=

164 15

164 164

164

41P ke-10antara nilai ke-10 dan nilai ke-11

Jadi:

nilai k

=

=P41 ee-10+ nilai ke-11 nilai ke-3350

10

164 3350

165 164

16

−( )

= + −( )

= 44 66

75

,

P ==

nilai ke-19antara nilai ke-19 dan nilai ke-20

Jadii:

nilai ke-19+ nilai ke- nilai ke-19P7512

20

170 12

171

= −( )

= + −−( )

=

170

170 5,

�.� Rata-rata Ukur (Geomethric Mean)

Rata-rata ukur dipakai untuk menggambarkan keseluruhan data, khususnya bila data tersebut mempunyai ciri tertentu, yaitu banyak nilai data yang satu sama lain saling berkelipatan sehingga perbandingan tiap


dua data yang berurutan tetap atau hampir tetap bila suatu kelompok data mempunyai ciri seperti ini, maka rata-rata ukur akan lebih baik daripada rata-rata hitung.(Boediono: 2008) Untuk data tidak berkelompok rumus rata-rata ukur adalah sebagai berikut:

G A A Ann= 1 2, , ,…

Contoh 2.34Hitunglah rata-rata ukur dari data di bawah ini: a) X₁ = 3, X₂ = 6, X₃ = 9 b) Y₁ = 5, Y₂ = 10, Y₃ = 15 c) Z₂ = 4, Z₂ = 8, Z₃ = 12 penyelesaian:a) , G= X .X .X

b) G= Y .Y .Y1 2 3

1 2 3

3 3 3

3 3

3 6 9 162 5 45

5 10

= ( )( )( )= =

= ( )( ) 115 750 9 08

4 8 12 1920 7 26

3

3 3 3

( )= =

= ( )( )( )= =

,

,c) G= Z .Z .Z1 2 3

Contoh 2.35hitunglah rata-rata ukur dari data di bawah ini: a) A₁ = 3, A₂ = 6, A₃ = 9 b) B₁ = 5, B₂ = 10, B₃ = 15 c) C₂ = 4, C₂ = 8, C₃ = 12

penyelesaian:a G= A .A .A

b) G= B .B .B1 2 3

1 2 3

) ,3 3 3

3 3

3 6 9 162 5 45

5 10

= ( )( )( )= =

= ( )( ) 115 750 9 08

4 8 12 1920 7 26

3

3 3 3

( )= =

= ( )( )( )= =

,

,c) G= C .C .C1 2 3


Contoh 2.36Hitunglah rata-rata ukur dari data di bawah ini: a) R₁ = 6, R₂ = 12, R₃ = 24 b) S₁ = 21, S₂ = 42, S₃ = 84 c) T₁ = 8, T₂ = 16, T₃ = 32

penyelesaian:a G= R .R .R

b) G= S .S .S1 2 3

1 2 3

) 3 3 3

3 3

6 12 24 1728 12

21 42

= ( )( )( )= =

= ( )(( )( )= =

= ( )( )( )= =

84 74088 42

8 16 32 4096 16

3

3 3 3c) G= T .T .T1 2 3

Contoh 2.37Hitunglah rata-rata ukur dari data di bawah ini: a) L₁ = 18, L₂ = 36, L₃ = 72 b) M₁ = 41, M₂ = 82, M₃ = 164 c) N₁ = 35, N₂ = 70, N₃ = 140

penyelesaian:a G= L .L .L

b) G= M .M .M1 2 3

1 2 3

) 3 3 3

3 3

18 36 72 46656 36

41

= ( )( )( )= =

= ( ) 882 164 551368 82

35 70 140 343000

3

3 3 3

( )( )= =

= ( )( )( )=c) G= N .N .N1 2 3 == 70

�.� Rata-rata Harmonis (Harmonic Mean)

Untuk menentukan ukuran pemusatan data yaitu dengan rata-rata harmonis, khususnya kalau suatu kelompok data mempunyai ciri-ciri tertentu yang merupakan bilangan pecahan atau bilangan dalam desimal. (Boediono: 2008) Untuk data tidak berkelompok rata-rata harmonis dari kelompok data; X₁, X₂, X₃ …,Xn rumusnya adalah sebagai berikut ini:


R n

x

H = ∑ 1

Contoh 2.38Hitunglah rata-rata harmonis dari data di bawah ini! X₁ = 3, X₂ = 6, X₃ = 9

penyelesaian:

R n

x

H =

=+ +

=

=

∑ 1

113

16

19

3694 5,

Contoh 2.39Hitunglah rata-rata harmonis dari data di bawah ini!

12

34

58

916

, , ,

penyelesaian:

R n

x

H =

=+ + +

=

=

∑ 1

412

34

58

916

439161 64,



L L L1 2 318 36 72= = =, ,

penyelesaian:

R n

x

H =

=+ +

=

=

∑ 1

31

181

361

7237

7230 8,


23

49

318

89

, , ,

penyelesaian:

R n

x

H =

=+ + +

=

=

∑ 1

423

49

318

89

439181 84,


�.� Rangkuman

Ukuran pemusatan data tidak berkelompok masih merupakan bagian dari statistika deskriptif. Ukuran pemusatan data itu diantaranya: a. Rata-rata hitung yaitu nilai yang mewakili himpunan atau sekelompok

data. b. Median yaitu nilai tengah dari kelompok data yang telah diurutkan. c. Modus yaitu nilai yang sering muncul. d. Kuartil yaitu kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 4

bagian yang sama banyak. e. Desil yaitu kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 10

bagian yang sama banyak. f. Persentil yaitu kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi

100 bagian yang sama banyak. g. Rata-rata ukur dipakai untuk menggambarkan keseluruhan data,

khususnya bila data tersebut mempunyai ciri tertentu, yaitu nilai data yang satu sama lain saling berkelipatan sehingga perbandingan tiap 2 data yang berurutan tetap atau hampir tetap.

h. Rata-rata harmonis dipakai untuk menentukan ukuran pemusatan data khususnya kalau suatu kelompok data mempunyai ciri-ciri tertentu yang merupakan bilangan pecahan atau bilangan dalam desimal.

�.� Latihan Soal

2.9.1 Nilai Ujian Teori Akuntansi dengan 27 Mahasiswa jurusan Perpajakan Universitas BSI Bandung yaitu: 6 mahasiswa mendapat nilai 65, 10 mahasiswa mendapat nilai 75, 5 mahasiswa mendapat nilai 80, 2 mahasiswa mendapat nilai 60 dan 4 mahasiswa mendapat nilai 95.

Hitunglah nilai rata-rata hitungnya!


2.9.2 Berat badan kelas Manajemen di Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut:

45, 40, 49, 45, 49, 60, 48, 50, 60, 65, 70, 54, 55, 60, 43, 44, 50, 48, 70, 55, 60

Hitunglah median yang ada pada data di atas!

2.9.3 Tinggi badan suatu organisasi UKM Bulutangkis di Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut:

160, 165, 170, 163, 165, 172, 161, 160, 164, 168, 160, 180, 178, 172, 165, 163, 165, 162

Carilah besar modus dari data di atas!

2.9.4 Penjualan formulir masuk Universitas BSI Bandung selama seminggu yaitu sebagai berikut:

20, 12, 18, 9, 14, 25, 33. Hitunglah nilai Q₁, Q₂, dan Q₃!

2.9.5 Gaji 16 karyawan di Yogya Sunda setiap hari adalah sebagai berikut:

45, 30, 35, 50, 43, 37, 55, 45, 60, 48, 46, 43, 47, 42, 30, 38 Hitunglah nilai D₄, D₆, D₇, dan D₉!

2.9.6 Nilai Ujian mata kuliah Geologi Pariwisata 20 mahasiswa jurusan Pariwisata adalah sebagai berikut:

90, 85, 72, 65, 83, 75, 60, 77, 87, 85, 98, 80, 75, 78, 73, 82, 70, 78, 88, 95.

Hitunglah P₁₀, P₂₀, P₄₀, P₆₀ dan P₈₀!

2.9.7 Hitunglah rata-rata ukur dari data di bawah ini:a) P₁ = 12, P₂ = 24, P₃ = 48b) Q₁ = 10, Q₂ = 20, Q₃ = 40


2.9.8 Hitunglah rata-rata ukur dari data di bawah ini:a) E₁ = 15, E₂ = 30, E₃ = 90b) F₁ = 25, F₂ = 50, F₃ = 100

2.9.9 Hitunglah rata-rata harmonis dari data di bawah ini: 4, 6, 8, 24 2.9.10 Hitunglah rata-rata harmonis dari data di bawah ini:

72

13

34

, ,

�.�0 Jawaban Latihan Soal


X = ×( )+ ×( )+ ×( )+ ×( )+ ×( )

=+ + + +

6 65 10 75 5 80 2 60 4 9527

390 750 400 120 380027

204027

75 5

=

= ,

2.10.2 penyelesaian: Data yang telah diurutkan maka hasilnya seperti di bawah ini: 43, 44, 44, 45, 45, 48, 48, 49, 49, 50, 50, 54, 55, 55, 60, 60, 60, 60,

65, 70, 70

Nilai k yaitu:

21 2 12 21 1

202

10

= +

= −

=

=

kk

k

k


Maka, median dari data di atas M₁₁ = 50

2.10.3 penyelesaian: Modusnya adalah 165 karena tinggi badan 165 yang paling banyak

muncul.

2.10.4 penyelesaian: Setelah data diurutkan maka hasilnya seperti ini: 9, 12, 14, 18, 20, 25, 33


Q i n

Q

1

1

14

1 7 14

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-2Jadi:

nilai ke-2

nilai ke

nilai ke-4Jadi:

nilai ke-4

=

=+( )

=

==

12

2 7 14

1

2

2

Q

Q88

25

3

3

Q

Q

=

==

nilai ke-6Jadi:

nilai ke-6


Q i n

Q

1

1

14

1 7 14

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-2Jadi:

nilai ke-2

nilai ke

nilai ke-4Jadi:

nilai ke-4

=

=+( )

=

==

12

2 7 14

1

2

2

Q

Q88

25

3

3

Q

Q

=

==

nilai ke-6Jadi:

nilai ke-6

2.10.5 penyelesaian: Data yang telah diurutkan adalah sebagai berikut: 30, 30, 35, 37, 38, 42, 43, 43, 45, 45, 46, 47, 48, 50, 55, 60

Maka nilai D₄, D₆, D₇ dan D₉ adalah

D i n4

14

4 16 110

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-6 810

nilai kee-6 45


nilai ke-6

=

= +D4445

nilai ke- nilai ke-

nilai ke

7 6

42 45

43 42

42 8

6 166

−( )

= + −( )

=

=

,

D ++( )

=

=

=

110

nilai ke-10 210

nilai ke-10 15

antara nilai ke-10 dann nilai ke-11Jadi:

nilai ke-10 15

nilai ke- nilai ke-D6 11 1= + − 00

45 15

46 45

45 2

7

( )

= + −( )

=

=( )

=

=

,

D nilai ke 7 16+110

nilai ke-11 910

aantara nilai ke-11 dan nilai ke-12Jadi:

nilai ke-11 910

D7 = + nnilai ke-12 nilai ke-11

nilai ke

−( )

= + −( )

=

=

46 910

47 46

46 9

9

,

D 99 16+110

nilai ke-15

antara nilai ke-15 dan nilai ke-

( )

=

=

310

116Jadi:

nilai ke-15+ 310

nilai ke- nilai ke-D9 16 15

55 310

= −( )

= + 660 55

56 5

−( )

= ,


D i n4

14

4 16 110

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-6 810

nilai kee-6 45


nilai ke-6

=

= +D4445

nilai ke- nilai ke-

nilai ke

7 6

42 45

43 42

42 8

6 166

−( )

= + −( )

=

=

,

D ++( )

=

=

=

110

nilai ke-10 210

nilai ke-10 15

antara nilai ke-10 dann nilai ke-11Jadi:

nilai ke-10 15

nilai ke- nilai ke-D6 11 1= + − 00

45 15

46 45

45 2

7

( )

= + −( )

=

=( )

=

=

,

D nilai ke 7 16+110

nilai ke-11 910

aantara nilai ke-11 dan nilai ke-12Jadi:

nilai ke-11 910

D7 = + nnilai ke-12 nilai ke-11

nilai ke

−( )

= + −( )

=

=

46 910

47 46

46 9

9

,

D 99 16+110

nilai ke-15


( )

=

=

310

116Jadi:

nilai ke-15+ 310

nilai ke- nilai ke-D9 16 15

55 310

= −( )

= + 660 55

56 5

−( )

= ,


2.10.6 penyelesaian: Data yang telah diurutkan adalah sebagai berikut: 60, 65, 70, 72, 73, 75, 75, 77, 78, 78, 80, 82, 83, 85, 85, 87, 88, 90,

95, 98

Maka nilai P₁₀, P₂₀, P₄₀, P₆₀ dan P₈₀ adalah

P i n10

14

10 20 1100

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-2 10100

nillai ke-2 110


nila

=

=P10 ii ke-2 110

nilai ke- nilai ke-

n

+ −( )

= + −( )

=

=

3 2

65 110

70 65

65 5

20

,

P iilai ke

nilai ke-4 20100

nilai ke-4 15

antara ni

20 20 1100+( )

=

=

= llai ke-4 dan nilai ke-Jadi:

nilai ke-4 15

nilai ke- n

5

520P = + − iilai ke-

nilai ke-8 40100

nilai ke

4

72 15

73 72

72 2

40

( )

= + −( )

=

=

=

,

P

--8 25


nilai ke-8+

=

=P40225

nilai ke- nilai ke-

nilai ke 60

9 8

77 25

78 77

77 4

60

−( )

= + −( )

=

=

,

P 220+1100

nilai ke-12

nilai ke-12

antara nilai ke-

( )

=

=

=

6010035

112 dan nilai ke-13Jadi:

nilai ke-12 35

nilai ke- nilaP60 13= + − ii ke-

nilai ke 60 20+1100

nilai

12

82 35

83 82

82 6

60

( )

= + −( )

=

=( )

=

,

P

kke-12

nilai ke-12


6010035

=

= 113


P i n10

14

10 20 1100

=+( )

=+( )

=

=

nilai ke

nilai ke

nilai ke-2 10100

nillai ke-2 110


nila

=

=P10 ii ke-2 110

nilai ke- nilai ke-

n

+ −( )

= + −( )

=

=

3 2

65 110

70 65

65 5

20

,

P iilai ke

nilai ke-4 20100

nilai ke-4 15

antara ni

20 20 1100+( )

=

=

= llai ke-4 dan nilai ke-Jadi:

nilai ke-4 15

nilai ke- n

5

520P = + − iilai ke-

nilai ke-8 40100

nilai ke

4

72 15

73 72

72 2

40

( )

= + −( )

=

=

=

,

P

--8 25


nilai ke-8+

=

=P40225

nilai ke- nilai ke-

nilai ke 60

9 8

77 25

78 77

77 4

60

−( )

= + −( )

=

=

,

P 220+1100

nilai ke-12

nilai ke-12

antara nilai ke-

( )

=

=

=

6010035

112 dan nilai ke-13Jadi:

nilai ke-12 35

nilai ke- nilaP60 13= + − ii ke-

nilai ke 60 20+1100

nilai

12

82 35

83 82

82 6

60

( )

= + −( )

=

=( )

=

,

P

kke-12

nilai ke-12


6010035

=

= 113


P8080 20 1

100=

+( )

=

=

=

nilai ke

nilai ke-16 80100

nilai ke-16 45

antaara nilai ke-16 dan nilai ke-17Jadi:

nilai ke-16+ 45

nilP80 = aai ke- nilai ke-17 16

87 45

88 87

87 8

−( )

= + −( )

= ,


a

b

) . .

) . .

G P P P

G Q Q Q

= = ( )( )( ) = =

= = ( )(

1 2 33 3 3

1 2 33

12 24 48 13824 24

10 20))( ) = =40 8000 203 3


a

b

) . .

) . .

G E E E

G F F F

= = ( )( )( ) = =

= = ( )(

1 2 33 3 3

1 2 33

15 30 60 27000 30

25 50))( ) = =100 125000 503 3


R n

x

H =

=+ + +

=

=

∑ 1

414

16

18

124

414246 85,



R n

x

H =

=+ +

=

=

∑ 1

37

1213

34

320121 8,

��

UKUran PeMUSatan Data BerKeLOMPOK

Bab 3

Ukuran pemusatan dimaksudkan sebagai parameter atau ukuran keterpusatan data. Ukuran pemusatan data ini digunakan untuk

mendapatkan gambaran yang lebih jelas dari suatu persoalan yang terhimpun dalam sekelompok data. Ukuran ini seringkali dijadikan pengambilan keputusan, sehingga keberadaan ukuran pemusatan data tersebut boleh dikatakan sangat berarti dalam rangka melakukan analisis data. Ukuran pemusatan data berkelompok yang akan dipelajari yaitu, rata-rata hitung, median, modus, kuartil, desil dan persentil.

�.� Rata-rata Hitung

Penggunaan rata-rata hitung untuk suatu kelompok data tergantung dari tujuan analisisnya. Nilai yang mewakili sekelompok data yaitu disebut rata-rata hitung. Untuk menentukan nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan ke dalam daftar distribusi frekuensi, dapat dilakukan perhitungan dengan cara yaitu perhitungan yang didasarkan pada jumlah dari hasil perkalian antara frekuensi tiap kelas interval dengan nilai tengah kelas.


Penggunaan rata-rata banyak sekali dilakukan, bukan saja di dalam pelajaran statistik akan tetapi juga dalam perhitungan sehari-hari. Rata-rata

hitung sering disimbolkan sebagai X , dibaca x bar.Persamaan rata-rata hitung ditentukan sebagai berikut:

XfX

f

ii

n

= =∑∑

1

Keterangan:

X = Nilai Rata-Rata Hitung

∑ f.Xi = Jumlah perkalian frekuensi dengan nilai tengah ∑ f = Jumlah data atau banyaknya data

Contoh 3.1Tentukanlah nilai rata-rata hitung dari data modal perusahaan PT. Maju di bawah ini!

tabel 3.1Modal PT. Maju

Modal frekuensi10 – 29 2230 – 49 3850 – 69 2670 – 89 19

90 – 109 35110 – 129 15130 – 149 45

Jumlah 200

penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan rata-rata hitung data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:

��Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok

tabel 3.2Perhitungan Rata-Rata Hitung

Modal f Xi f. Xi10 – 29 22 19,5 42930 – 49 38 39,5 150150 – 69 26 59,5 154770 – 89 19 79,5 1510,5

90 – 109 35 99,5 3482,5110 – 129 15 109,5 1792,5130 – 149 45 139,5 6277,5

Jumlah 200 16540

Maka rata-rata hitung dari data modal perusahaan di atas yaitu

X = =

16540200

82 7,

Contoh 3.2 Tentukanlah nilai rata-rata hitung dari data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri!

tabel 3.3Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri

kelas frekuensi152 – 154 4155 – 157 11158 – 160 10161 – 163 25164 – 166 20167 – 169 20170 – 172 6173 – 175 4

Jumlah 100

penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan rata-rata hitung data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:


tabel 3.4Perhitungan Rata-Rata Hitung

kelas f Xi f. Xi152 – 154 4 153 612155 – 157 11 156 1716158 – 160 10 159 1590161 – 163 25 162 4050164 – 166 20 165 3300167 – 169 20 168 3360170 – 172 6 171 1026173 – 175 4 174 696

Jumlah 100 16350

Maka rata-rata hitung dari data modal perusahaan di atas yaitu

X = =

16350100

163 5,

�.� Median

Nilai tengah dari kelompok data yang telah diurutkan baik membesar atau mengecil disebut median. Biasanya median disingkat Med. Median data yang sudah dikelompokkan dirumuskan sebagai berikut:

Med Lm

in F

fC= +

−( )∑2 .

Keterangan:Med = MedianLm = Batas bawah kelas median C = Panjang kelas atau Interval kelasn = Banyaknya data∑F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari

tanda kelas medianf = Frekuensi kelas median


Contoh 3.3Tentukanlah nilai median dari data modal perusahaan PT. Maju di bawah ini!


Modal frekuensi10 – 29 2230 – 49 3850 – 69 2670 – 89 19

90 – 109 35110 – 129 15130 – 149 45

Jumlah 200

penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan median pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:

tabel 3.6Perhitungan Median

kelas tepi kelas f f. kumulatif10 – 29 9,5 – 29,5 22 2230 – 49 29,5 – 49,5 38 6050 – 69 49,5 – 69,5 26 8670 – 89 69,5 – 89,5 19 104

90 – 109 89,5 – 109,5 35 140110 – 129 109,5 –129,5 15 155130 – 149 129,5 – 149,5 45 200

Letak median yaitu pada data yang ke 200/2 = 100 (artinya median yang dicari terletak pada data yang ke 100 atau lebih). Lm = 69,5, ∑f = 86. Dari tabel data di atas ternyata nilai median yaitu:


Med Lm

in F

fC= +

−( )

= +−( )

= +

= +

∑2

69 5

2002

86

1920

69 5 1419

20

69 5 0

.

, .

, .

, ,, .,

74 2084 3=

Bahwasannya ada sebanyak 50% Modal PT. Maju yang bernilai 84,3.

Contoh 3.4Tentukanlah nilai median dari data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri!


kelas frekuensi152 – 154 4155 – 157 11158 – 160 10161 – 163 25164 – 166 20167 – 169 20170 – 172 6173 – 175 4Jumlah 100

penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan median pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:


tabel 3.8Perhitungan Median

kelas tepi kelas f f. kumulatif152 – 154 151,5 – 154,5 4 4155 – 157 154,5 – 157,5 11 15158 – 160 157,5 – 160,5 10 25161 – 163 160,5 – 163,5 25 50164 – 166 163,5 – 166,5 20 70167 – 169 166,5 –169,5 20 90170 – 172 169,5 – 172,5 6 96173 – 175 172,5 – 175,5 4 100

Letak median yaitu pada data yang ke 100/2 = 50 (artinya median yang dicari terletak pada data yang ke 50 atau lebih). Lm = 160,5, ∑f = 25. Dari tabel data di atas ternyata nilai median yaitu:

Med Lm

n F

fC= +

−( )

= +−( )

= +=

∑2

160 5

502

25

503

160 5 0160 5

.

, .

,,

Bahwasannya ada sebanyak 50% tinggi badan mahasiswa STMIK Nusa Mandiri yang bernilai 160,5.

�.� Modus

Nilai yang sering muncul dalam suatu kelompok data atau nilai yang paling banyak frekuensinya disebut modus. Suatu kelompok data mungkin mempunyai modus tetapi mungkin juga tidak mempunyai modus. Artinya, modus suatu kelompok data tidak selalu ada. Bila suatu kelompok data mempunyai modus, maka modusnya bisa lebih dari satu, atau dikatakan modusnya tidak tunggal. Modus sering disingkat dengan Mod.


Persamaan modus data yang sudah dikelompokkan adalah sebagai berikut:

Mod Lmo dd d

C= ++

1

1 2

.

Keterangan:Mod = ModusLm = Batas bawah kelas modusd1 = Selisih frekuensi yang mengandung modus dengan frekuensi

sebelumnyad2 = Selisih frekuensi yang mengandung modus dengan frekuensi

sesudahnyaC = Panjang kelas interval

Contoh 3.5Tentukanlah nilai modus dari data modal perusahaan PT. Maju di bawah ini!


Modal frekuensi10 – 29 2230 – 49 3850 – 69 2670 – 89 19

90 – 109 35110 – 129 15130 – 149 45

Jumlah 200


penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan rata-rata hitung pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:

tabel 3.10Perhitungan Modus


90 – 109 89,5 – 109,5 35 140110 – 129 109,5 –129,5 15 155130 – 149 129,5 – 149,5 45 200

Letak modus yaitu pada data yang paling banyak frekuensinya yaitu 45. d1 = 45 – 15 = 30, d2 = 45, Lm = 129,5. Dari tabel di atas ternyata nilai modus yaitu:

Mod Lmo dd d

C= ++

= ++

=

1

1 2

129 5 3030 45

20

1

.

, .

229 5 8137 5

,,+

=

Contoh 3.6Tentukanlah nilai modus dari data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri!




penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan modus pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:

tabel 3.12Perhitungan Modus


Letak modus yaitu pada data yang paling banyak frekuensinya yaitu 25. d1 = 25 – 10 = 15, d2 = 25 – 20 = 5, Lm = 129,5. Dari tabel di atas ternyata nilai modus yaitu:


Mod Lmo dd d

C= ++

= ++

= +=

1

1 2

129 5 1515 5

20

129 5 15144

.

, .

,,,5

�.� Kuartil

Kita telah mengetahui bahwa median itu merupakan nilai tengah data. Kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 4 bagian yang sama banyak disebut kuartil. Bilangan pembaginya ada 3, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2) dan kuartil ketiga (Q3). Kuartil pertama disebut juga kuartil bawah, kuartil kedua disebut juga kuartil tengah dan kuartil ketiga disebut juga kuartil atas. Untuk data yang sudah dikelompokan nilai kuartil ke-i, yaitu Qi, ditentukan dengan rumus berikut ini:

Qi Lqi

in f

fC= +

−

∑4 .

Keterangan:Qi = Nilai Kuartil ke i, i = 1, 2, dan 3Lqi = Batas bawah kelas Qi C = Panjang kelas intervaln = Banyaknya data∑F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari

tanda kelas Qif = Frekuensi kelas Qi


Contoh 3.7Tentukanlah Q₂ dan Q₃ dari data modal perusahaan PT. Maju di bawah ini!


Modal frekuensi10 – 29 2230 – 49 3850 – 69 2670 – 89 19

90 – 109 35110 – 129 15130 – 149 45

Jumlah 200

penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan kuartil data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:

tabel 3.14Perhitungan Kuartil

Kelas Tepi Kelas f f. kumulatif10 – 29 9,5 – 29,5 22 2230 – 49 29,5 – 49,5 38 6050 – 69 49,5 – 69,5 26 8670 – 89 69,5 – 89,5 19 104

90 – 109 89,5 – 109,5 35 140110 – 129 109,5 –129,5 15 155130 – 149 129,5 – 149,5 45 200


Q Lq

n f

fC1 1

14

29 5

2004

22

38

= +−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

=

.

, .

, ,,

20

29 5 50 2238

20

29 5 14 7444 24

2Q Lqq

n f

fC2

24

69 5

4004

86

19

+−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

=

.

, .

, ,,

20

69 5 100 8619

20

69 5 14 7484 24

3 3Q Lq ++−

= +−

∑34

109 5

6004

140

15

n f

fC.

,

= +−( )

= +=

.

, .

, ,,

20

109 5 150 14015

20

109 5 13 33122 83

Contoh 3.8Tentukanlah nilai Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri!




penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan kuartil pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:




Q Lq

n f

fC1 1

14

157 5

1004

15

38

= +−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

= +

.

, .

,,

3

157 5 25 1510

3

157 5 3160 5

2 2Q Lq

224

160 5

2004

25

25

n f

fC

−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

= +−∑

.

, .

,,

3

160 5 50 2525

3

160 5 3163 5

34

3 3Q Lq

n f

ffC

= +−

.

,166 5

3004

70

20

= +−( )

= +=

.

, .

, ,,

3

166 5 75 7020

3

166 5 0 75167 25


Q Lq

n f

fC1 1

14

157 5

1004

15

38

= +−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

= +

.

, .

,,

3

157 5 25 1510

3

157 5 3160 5

2 2Q Lq

224

160 5

2004

25

25

n f

fC

−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

= +−∑

.

, .

,,

3

160 5 50 2525

3

160 5 3163 5

34

3 3Q Lq

n f

ffC

= +−

.

,166 5

3004

70

20

= +−( )

= +=

.

, .

, ,,

3

166 5 75 7020

3

166 5 0 75167 25

�.� Desil

Jika sekelompok data, dibagi menjadi 10 bagian yang sama banyaknya disebut desil. Maka akan terdapat 9 pembagi, masing-masing disebut nilai desil (D), yaitu D₁, D₂, D₃, D₄, … D₉. Untuk data yang sudah dikelompokkan nilai desil ke-i, yaitu Di ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

D Ld

in F

fCi i= +

−

∑10 .

Keterangan:Di = Nilai Desil ke i, i = 1, 2, dan 3Ldi = Batas bawah kelas Di C = Panjang kelas intervaln = Banyaknya data∑F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari

tanda kelas Dif = Frekuensi kelas Di


Contoh 3.9Tentukanlah D₁, D₂, D₃, D₄, D₅, D₆, D₇, D₈ dan D₉ dari data modal perusahaan PT. Maju di bawah ini!


Modal frekuensi10 – 29 2230 – 49 3850 – 69 2670 – 89 19

90 – 109 35110 – 129 15130 – 149 45

Jumlah 200

penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan desil data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:

tabel 3.18Perhitungan Desil


90 – 109 89,5 – 109,5 35 140110 – 129 109,5 –129,5 15 155130 – 149 129,5 – 149,5 45 200


D Ld

n F

fC1 1

110

9 5

20010

0

22

= +−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

= +

.

, .

, ,,

20

9 5 20 022

20

9 5 18 1827 68

2 2D Ld

2210

29 5

40010

22

38

n f

fC

−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

= +

.

, .

, ,,

20

29 5 40 2238

20

29 5 9 4738 97

3

3 3D Ld

n110

29 5

60010

22

38

−

= +−

∑ f

fC.

,

= +−( )

= +=

.

, .

,,

20

29 5 60 2238

20

29 5 2049 5


D Ld

n F

fC4 4

410

49 5

80010

60

26

= +−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

.

, .

, ,,

20

49 5 80 6026

20

49 5 15 3864 88

5D == +−

= +−

∑Ld

n f

fC5

510

69 5

100010

86

19

.

,

= +−( )

= +=

.

, .

, ,,

20

69 5 100 8619

20

69 5 14 7384 23

D66 6

610

29 5

120010

105

35

= +−

= +−

∑Ld

n f

fC.

,

= +−( )

= +=

.

, .

, ,,

20

89 5 120 10538

20

89 5 8 5798 077

710

89 5

140010

105

35

7 7D Ld

n f

fC= +

−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

.

, .

,,

20

89 5 140 10535

20

89 5 20109 55


D Ld

n F

fC4 4

410

49 5

80010

60

26

= +−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

.

, .

, ,,

20

49 5 80 6026

20

49 5 15 3864 88

5D == +−

= +−

∑Ld

n f

fC5

510

69 5

100010

86

19

.

,

= +−( )

= +=

.

, .

, ,,

20

69 5 100 8619

20

69 5 14 7384 23

D66 6

610

29 5

120010

105

35

= +−

= +−

∑Ld

n f

fC.

,

= +−( )

= +=

.

, .

, ,,

20

89 5 120 10538

20

89 5 8 5798 077

710

89 5

140010

105

35

7 7D Ld

n f

fC= +

−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

.

, .

,,

20

89 5 140 10535

20

89 5 20109 55

D Ld

n f

fC8 8

810

129 5

160010

155

45

= +−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

.

, .

, ,

20

129 5 160 15545

20

129 5 2 221331 72

910

129 5

180010

9 9

,

.

,

D Ld

n f

fC= +

−

= +−

∑

1155

4520

129 5 1800 15545

20

129 5

= +−( )

=

.

, .

, ++=

11 11140 61

,,


Contoh 3.10Tentukanlah nilai D₁, D₂, D₃, D₄, D₅, D₆, D₇, D₈ dan D₉ dari data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri!



penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan desil data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:


Kelas tepi kelas f f. kumulatif152 – 154 151,5 – 154,5 4 4155 – 157 154,5 – 157,5 11 15158 – 160 157,5 – 160,5 10 25161 – 163 160,5 – 163,5 25 50164 – 166 163,5 – 166,5 20 70167 – 169 166,5 –169,5 20 90170 – 172 169,5 – 172,5 6 96173 – 175 172,5 – 175,5 4 100


D Ld

n f

fC1 1

110

154 5

10011

4

38

= +−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

=

.

, .

, ,,

3

154 5 10 411

3

154 5 1 63156 13

2D LLd

n f

fC2

210

157 5

20010

15

10

+−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

= +

.

, .

, ,

3

157 5 20 1510

3

157 5 1 5159

3 3D Ld

3310

160 5

30010

25

25

n f

fC

−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

= +

.

, .

, ,,

3

160 5 30 2525

3

160 5 0 6161 1

4

4 4D Ld

n110

160 5

40010

25

25

−

= +−

∑ f

fC.

,

= +−( )

= +=

= +

.

, .

, ,,

3

160 5 40 2525

3

160 5 1 8162 3

510

5 5D Ld

n−−

= +−

∑ f

fC.

,160 5

50010

25

25

= +−( )

= +=

.

, .

,,

3

160 5 50 2525

3

160 5 3163 5


D Ld

n f

fC1 1

110

154 5

10011

4

38

= +−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

=

.

, .

, ,,

3

154 5 10 411

3

154 5 1 63156 13

2D LLd

n f

fC2

210

157 5

20010

15

10

+−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

= +

.

, .

, ,

3

157 5 20 1510

3

157 5 1 5159

3 3D Ld

3310

160 5

30010

25

25

n f

fC

−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

= +

.

, .

, ,,

3

160 5 30 2525

3

160 5 0 6161 1

4

4 4D Ld

n110

160 5

40010

25

25

−

= +−

∑ f

fC.

,

= +−( )

= +=

= +

.

, .

, ,,

3

160 5 40 2525

3

160 5 1 8162 3

510

5 5D Ld

n−−

= +−

∑ f

fC.

,160 5

50010

25

25

= +−( )

= +=

.

, .

,,

3

160 5 50 2525

3

160 5 3163 5

D Ld

n f

fC6 6

610

163 5

60010

50

20

= +−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

=

.

, .

, ,

3

163 5 60 5020

3

163 5 1 5165

7D Ld77

710

163 5

70010

50

20

+−

= +−

∑n f

fC.

,

= +−( )

= +=

= +

.

, .

,,

3

163 5 70 5020

3

163 5 3166 5

8

8 8D Ld

n110

166 5

80010

70

20

−

= +−

∑ f

fC.

,

= +−( )

= +=

= +−

.

, .

, ,

3

166 5 80 7020

3

166 5 1 5168

910

9 9D Ld

n f∑∑

= +−

fC.

,166 5

90010

70

20

= +−( )

= +=

.

, .

,,

3

166 5 90 7020

3

166 5 3169 5


D Ld

n f

fC6 6

610

163 5

60010

50

20

= +−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

=

.

, .

, ,

3

163 5 60 5020

3

163 5 1 5165

7D Ld77

710

163 5

70010

50

20

+−

= +−

∑n f

fC.

,

= +−( )

= +=

= +

.

, .

,,

3

163 5 70 5020

3

163 5 3166 5

8

8 8D Ld

n110

166 5

80010

70

20

−

= +−

∑ f

fC.

,

= +−( )

= +=

= +−

.

, .

, ,

3

166 5 80 7020

3

166 5 1 5168

910

9 9D Ld

n f∑∑

= +−

fC.

,166 5

90010

70

20

= +−( )

= +=

.

, .

,,

3

166 5 90 7020

3

166 5 3169 5

D Ld

n f

fC6 6

610

163 5

60010

50

20

= +−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

=

.

, .

, ,

3

163 5 60 5020

3

163 5 1 5165

7D Ld77

710

163 5

70010

50

20

+−

= +−

∑n f

fC.

,

= +−( )

= +=

= +

.

, .

,,

3

163 5 70 5020

3

163 5 3166 5

8

8 8D Ld

n110

166 5

80010

70

20

−

= +−

∑ f

fC.

,

= +−( )

= +=

= +−

.

, .

, ,

3

166 5 80 7020

3

166 5 1 5168

910

9 9D Ld

n f∑∑

= +−

fC.

,166 5

90010

70

20

= +−( )

= +=

.

, .

,,

3

166 5 90 7020

3

166 5 3169 5


�.� Persentil

Jika sekelompok data dibagi menjadi 100 bagian yang sama banyaknya disebut persentil. Maka akan terdapat 99 pembagi yang maisng-masing disebut persentil (P), yaitu P₁, P₂, P₃, P₄… P₉₉. Untuk data tidak berkelompok nilai persentil ke-i, yaitu Pi dihitung dengan rumus berikut ini:

Pi Lpi

in F

fC= +

−

∑10 .

Keterangan:Pi = Nilai Persentil ke i, i = 1, 2, dan 3Lpi = Batas bawah kelas Pi C = Panjang kelas intervaln = Banyaknya data∑F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari

tanda kelas Pif = Frekuensi kelas Pi

Contoh 3.11Tentukanlah P₁₅, P₂₃, P₄₇, P₅₈, P₇₂, P₇₉, P₈₇, dan P₉₄ dari data modal perusahaan PT. Maju di bawah ini!


Modal frekuensi10 – 29 2230 – 49 3850 – 69 2670 – 89 19

90 – 109 35110 – 129 15130 – 149 45

Jumlah 200


penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan persentil pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:

tabel 3.22Perhitungan Persentil


90 – 109 89,5 – 109,5 35 140110 – 129 109,5 –129,5 15 155130 – 149 129,5 – 149,5 45 200

P Lp

n f

fC15 15

15100

29 5

3000100

22

= +−

= +−

∑.

,338

20

29 5 30 2238

20

29 5 4 2133

= +−( )

= +=

.

, .

, ,,,

.

,

71

23100

29 5

460010

23 23P Lp

n f

fC= +

−

= +

∑

0022

3820

29 5 46 2238

20

29 5 12

−

= +−( )

= +

.

, .

, ,66342 13

47100

69 5

9

47 47

=

= +−

= +

∑

,

.

,

P Lp

n f

fC

4400100

86

1920

69 5 94 8619

20

69

−

= +−( )

=

.

, .

,55 8 4277 92

58100

89

58 58

+=

= +−

=

∑

,,

.P Lp

n f

fC

,, .

,

5

11600100

105

3520

89 5 116 1053

+−

= +−( )

5520

89 5 6 2895 78

.

, ,,

= +=


P Lp

n f

fC15 15

15100

29 5

3000100

22

= +−

= +−

∑.

,338

20

29 5 30 2238

20

29 5 4 2133

= +−( )

= +=

.

, .

, ,,,

.

,

71

23100

29 5

460010

23 23P Lp

n f

fC= +

−

= +

∑

0022

3820

29 5 46 2238

20

29 5 12

−

= +−( )

= +

.

, .

, ,66342 13

47100

69 5

9

47 47

=

= +−

= +

∑

,

.

,

P Lp

n f

fC

4400100

86

1920

69 5 94 8619

20

69

−

= +−( )

=

.

, .

,55 8 4277 92

58100

89

58 58

+=

= +−

=

∑

,,

.P Lp

n f

fC

,, .

,

5

11600100

105

3520

89 5 116 1053

+−

= +−( )

5520

89 5 6 2895 78

.

, ,,

= +=

P Lp

n f

fC15 15

15100

29 5

3000100

22

= +−

= +−

∑.

,338

20

29 5 30 2238

20

29 5 4 2133

= +−( )

= +=

.

, .

, ,,,

.

,

71

23100

29 5

460010

23 23P Lp

n f

fC= +

−

= +

∑

0022

3820

29 5 46 2238

20

29 5 12

−

= +−( )

= +

.

, .

, ,66342 13

47100

69 5

9

47 47

=

= +−

= +

∑

,

.

,

P Lp

n f

fC

4400100

86

1920

69 5 94 8619

20

69

−

= +−( )

=

.

, .

,55 8 4277 92

58100

89

58 58

+=

= +−

=

∑

,,

.P Lp

n f

fC

,, .

,

5

11600100

105

3520

89 5 116 1053

+−

= +−( )

5520

89 5 6 2895 78

.

, ,,

= +=


P Lp

n f

fC72 72

72100

109 5

14400100

= +−

= +−

∑.

,1140

1520

109 5 144 14015

20

109 5

= +−( )

= +

.

, .

, 55 33114 83

79100

129

79 79

,,

.

=

= +−

=

∑P Lp

n f

fC

,, .

,

5

15800100

155

4520

129 5 158 155

+−

= +−( )

44520

129 5 1 33130 83

87100

87 87

.

, ,,

= +=

= +−

∑P Lp

n f

f

= +−

=

.

, .

C

129 5

17400100

155

4520

129,, .

, ,,

5 174 15545

20

129 5 8 44137 94

94100

94 94

+−( )

= +=

= +−

∑P Lp

n f

f

= +−

.

,

C

129 5

18800100

155

45

= +−( )

= +=

.

, .

, ,,

20

129 5 188 15545

20

129 5 14 66144 16


P Lp

n f

fC72 72

72100

109 5

14400100

= +−

= +−

∑.

,1140

1520

109 5 144 14015

20

109 5

= +−( )

= +

.

, .

, 55 33114 83

79100

129

79 79

,,

.

=

= +−

=

∑P Lp

n f

fC

,, .

,

5

15800100

155

4520

129 5 158 155

+−

= +−( )

44520

129 5 1 33130 83

87100

87 87

.

, ,,

= +=

= +−

∑P Lp

n f

f

= +−

=

.

, .

C

129 5

17400100

155

4520

129,, .

, ,,

5 174 15545

20

129 5 8 44137 94

94100

94 94

+−( )

= +=

= +−

∑P Lp

n f

f

= +−

.

,

C

129 5

18800100

155

45

= +−( )

= +=

.

, .

, ,,

20

129 5 188 15545

20

129 5 14 66144 16

Contoh 3.12Tentukanlah nilai P₁₈, P₂₅, P₄₃, P₅₅, P₇₇, P₈₂, P₈₉, dan P₉₅ dari data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri!



penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan persentil pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:




P Lp

n f

fC18 18

18100

154 5

800100

4

1

= +−

= +−

∑.

,11

3

154 5 8 411

3

154 5 1 09155 5

= +−( )

= +=

.

, .

, ,, 99

25100

157 5

2500100

25 25P Lp

n f

fC= +

−

= +

∑.

,−−

= +−( )

= +=

15

103

157 5 25 1510

3

157 5 316

.

, .

,00 5

43100

160 5

43001

43 43

,

.

,

P Lp

n f

fC= +

−

= +

∑

00025

253

160 5 43 2525

3

160 5 2

−

= +−( )

= +

.

, .

, ,116162 66= ,


P Lp

n f

fC18 18

18100

154 5

800100

4

1

= +−

= +−

∑.

,11

3

154 5 8 411

3

154 5 1 09155 5

= +−( )

= +=

.

, .

, ,, 99

25100

157 5

2500100

25 25P Lp

n f

fC= +

−

= +

∑.

,−−

= +−( )

= +=

15

103

157 5 25 1510

3

157 5 316

.

, .

,00 5

43100

160 5

43001

43 43

,

.

,

P Lp

n f

fC= +

−

= +

∑

00025

253

160 5 43 2525

3

160 5 2

−

= +−( )

= +

.

, .

, ,116162 66= ,

P Lp

n f

fC55 55

55100

163 5

5500100

5

= +−

= +−

∑.

,00

203

163 5 55 5020

3

163 5 0 751

= +−( )

= +=

.

, .

, ,664 25

77100

166 5

770

77 77

,

.

,

P Lp

n f

fC= +

−

= +

∑

00100

70

203

166 5 77 7020

3

166 5

−

= +−( )

= +

.

, .

, 11 05167 55

82100

166

82 82

,,

.

=

= +−

=

∑P Lp

n f

fC

,, .

, .

5

8200100

70

203

166 5 82 7020

3

+−

= +−( )

=1166 5 1 8168 3

, ,,+

=


P Lp

n f

fC55 55

55100

163 5

5500100

5

= +−

= +−

∑.

,00

203

163 5 55 5020

3

163 5 0 751

= +−( )

= +=

.

, .

, ,664 25

77100

166 5

770

77 77

,

.

,

P Lp

n f

fC= +

−

= +

∑

00100

70

203

166 5 77 7020

3

166 5

−

= +−( )

= +

.

, .

, 11 05167 55

82100

166

82 82

,,

.

=

= +−

=

∑P Lp

n f

fC

,, .

, .

5

8200100

70

203

166 5 82 7020

3

+−

= +−( )

=1166 5 1 8168 3

, ,,+

=

P Lp

n f

fC89 89

89100

166 5

8900100

7

= +−

= +−

∑.

,00

203

166 5 89 7020

3

166 5 2 851

= +−( )

= +=

.

, .

, ,669 35

55100

163 5

550

55 55

,

.

,

P Lp

n f

fC= +

−

= +

∑

00100

50

203

163 5 55 5020

3

163 5

−

= +−( )

= +

.

, .

, 00 75164 25

77100

166

77 77

,,

.

=

= +−

=

∑P Lp

n f

fC

,, .

, .

5

7700100

70

203

166 5 77 7020

3

+−

= +−( )

=1166 5 1 05167 55

82100

82 82

, ,,+

=

= +−

∑P Lp

n f

f..

, .

,

C

= +−

= +−(

166 5

8200100

70

203

166 5 82 70))

= +=

= +−

∑

203

166 5 1 8168 3

89100

89 89

.

, ,,

P Lp

n f

f

= +−

= +

.

, .

,

C

166 5

8900100

70

203

166 5 89−−( )

= +=

= +−

∑

7020

3

166 5 2 85169 35

95100

95 95

.

, ,,

P Lp

n f

f

= +−

=

.

, .

C

169 5

9500100

90

63

169,, .

, ,

5 95 906

3

169 5 2 5172

+−( )

= +=


�.� Rangkuman

Ukuran pemusatan data digunakan untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas dari suatu persoalan yang terdapat dalam sekelompok data. Ukuran pemusatan data yang sudah dikelompokkan yaitu diantaranya: a. Rata-rata hitung yaitu nilai yang mewakili sekelompok data. b. Median yaitu nilai tengah sekelompok data. c. Modus yaitu nilai yang sering muncul atau nilai yang paling banyak

frekuensinya, d. Kuartil yaitu kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 4

bagian yang sama banyak. e. Desil yaitu sekelompok data yang dibagi menjadi 10 bagian yang sama

banyaknya. f. Persentil yaitu sekelompok data dibagi menjadi 100 bagian yang sama

banyaknya.


3.8.1 Tentukan rata-rata hitung dari data nilai Ujian Komputer Animasi 50 mahasiswa jurusan Public Relation Universitas BSI Bandung!

tabel 3.25Nilai Ujian Komputer Animasi 50 Mahasiswa Jurusan Public Relation


Nilai frekuensi60 – 62 563 – 65 1166 – 68 1469 – 71 872 – 74 12Jumlah 50


3.8.2 Tentukanlah nilai median dan modus dari tinggi badan 40 anak panti Asuhan Tambatan Hati!

tabel 3.26Tinggi Badan 40 Anak Panti Asuhan Tambatan Hati

tinggi Badan frekuensi118 – 126 3127 – 135 5136 – 144 9145 – 153 12154 – 162 5163 – 171 4172 – 180 2Jumlah 40

3.8.3 Tentukanlah nilai Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data nilai ujian Metodologi Keperawatan 30 mahasiwa jurusan Keperawatan Universitas BSI Bandung!

tabel 3.27Nilai Ujian Metodologi Keperawatan 30 Mahasiswa Jurusan Keperawatan


Nilai frekuensi21 – 30 131 – 40 141 – 50 351 – 60 961 – 70 871 – 80 681 – 90 2Jumlah 30

3.8.4 Tentukanlah nilai D₂, D₅ dan D₉ dari data nilai ujian Komputer Grafis II 40 mahasiswa jurusan Desain Komunikasi Visual Universitas BSI Bandung!


tabel 3.28Nilai Ujian Komputer Grafis II 40 Mahasiswa Jurusan Desain Komunikasi

Visual Universitas BSI Bandung

Nilai frekuensi19 – 27 428 – 36 637 – 45 846 – 54 1055 – 63 664 – 72 373 – 81 3Jumlah 40

3.8.5 Tentukanlah nilai P₂₄, P₅₆, dan P₇₀ dari data tinggi badan 90 mahasiswa UKM Bulutangkis Universitas BSI Bandung!

tabel 3.29Tinggi Badan 90 Mahasiswa UKM Bulutangkis Universitas BSI Bandung

tinggi Badan frekuensi140 – 142 4143 – 145 9146 – 148 20149 – 151 44152 – 154 18155 – 157 5Jumlah 90

�.� Jawaban Latihan Soal

3.9.1 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan rata-rata hitung maka dibuat

tabel perhitungan sebagai berikut:


tabel 3.30Nilai Ujian Komputer Animasi 50 Mahasiswa Jurusan Public Relation


Nilai f Xi f.Xi60 – 62 5 61 30563 – 65 11 64 70466 – 68 14 67 93869 – 71 8 70 56072 – 74 12 73 876

50 3383

Maka rata-rata hitungnya adalah

X

f Xif

= = =∑∑

.,3383

5067 66

3.9.2 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan median dan modus maka

dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:tabel 3.31

Perhitungan Median Dan Modus

tinggi Badan f Xi fk118 – 126 3 122 3127 – 135 5 131 8136 – 144 9 140 17145 – 153 12 149 29154 – 162 5 158 34163 – 171 4 167 38172 – 180 2 176 40

Letak median yaitu pada data yang ke 40/2 = 20 (artinya median yang dicari terletak pada data yang ke 20 atau lebih). Lm = 145,5, ∑f = 17. Dari tabel data di atas ternyata nilai median dan modus yaitu:


Med Lm= +−

= +−

∑n F

fC2

144 5

402

17

12

.

,

= +

= +=

= +

.

, .

, ,,

9

144 5 312

9

144 5 2 25146 75

1Mod Lmo dd11 2

144 5 33 7

9

144 5 2 7147 2

+

= ++

= +=

dC.

, .

, ,,

3.9.3 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan kuartil pada data yang sudah

dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:


Nilai f fk21 – 30 1 131 – 40 1 241 – 50 3 551 – 60 9 1461 – 70 8 2271 – 80 6 2881 – 90 2 30


Q Lq

n f

fC1 1

14

50 5

304

5

9

= +−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

= +

.

, , .

, ,,

10

50 5 7 5 59

10

50 5 2 7853 28

2

2 2Q Lq

n44

60 5

604

14

8

−

= +−

∑ f

fC.

,

= +−( )

= +=

= +−

∑

.

, .

, ,,

10

60 5 15 148

10

60 5 1 2561 75

34

3 3Q Lq

n f

f

= +−

.

, .

C

70 5

904

22

6100

70 5 22 5 226

10

70 5 0 8371 33

= +−( )

= +=

, , .

, ,,

Q Lq

n f

fC1 1

14

50 5

304

5

9

= +−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

= +

.

, , .

, ,,

10

50 5 7 5 59

10

50 5 2 7853 28

2

2 2Q Lq

n44

60 5

604

14

8

−

= +−

∑ f

fC.

,

= +−( )

= +=

= +−

∑

.

, .

, ,,

10

60 5 15 148

10

60 5 1 2561 75

34

3 3Q Lq

n f

f

= +−

.

, .

C

70 5

904

22

6100

70 5 22 5 226

10

70 5 0 8371 33

= +−( )

= +=

, , .

, ,,


3.9.4 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan desil pada data yang sudah

dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:


Nilai f fk19 – 27 4 428 – 36 6 1037 – 45 8 1846 – 54 10 2855 – 63 6 3464 – 72 3 3773 – 81 3 40

D Ld

n f

fC2 2

210

27 5

8010

4

6

= +−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

= +−∑

.

, .

,,

9

27 5 8 46

9

27 5 633 5

510

5 5D Ld

n f

f

= +−

.

,

C

45 5

20010

18

10

= +−( )

= +=

= +−

∑

.

, .

, ,,

9

45 5 20 1810

9

45 5 1 847 3

910

9 9D Ld

n f

f

= +−

=

.

, .

C

63 5

36010

22

39

633 5 60 223

9

63 5 669 5

, .

,,

+−( )

= +=


D Ld

n f

fC2 2

210

27 5

8010

4

6

= +−

= +−

∑.

,

= +−( )

= +=

= +−∑

.

, .

,,

9

27 5 8 46

9

27 5 633 5

510

5 5D Ld

n f

f

= +−

.

,

C

45 5

20010

18

10

= +−( )

= +=

= +−

∑

.

, .

, ,,

9

45 5 20 1810

9

45 5 1 847 3

910

9 9D Ld

n f

f

= +−

=

.

, .

C

63 5

36010

22

39

633 5 60 223

9

63 5 669 5

, .

,,

+−( )

= +=

3.9.5 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan persentil pada data yang sudah

dikelompokkan, maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:


tinggi Badan f fk140 – 142 4 4143 – 145 9 13146 – 148 20 33149 – 151 44 77152 – 154 18 85155 – 157 5 90

P Lp

n f

fC24 24

24100

145 5

2160100

1

= +−

= +−

∑.

,33

203

145 5 21 6 1320

3

145 5 1 29

= +−( )

= +

.

, , .

, ,==

= +−

= +

∑

146 7956100

148 5

5

56 56

,

.

,

P Lp

n f

fC

0040100

23

443

148 5 50 4 2344

3

14

−

= +−( )

=

.

, , .

88 5 1 87150 37

70100

70 70

, ,,

.

+=

= +−

∑P Lp

n f

fC

== +−

= +−( )

148 5

6300100

23

443

148 5 63 234

, .

,44

3

148 5 2 73151 23

.

, ,,

= +=


P Lp

n f

fC24 24

24100

145 5

2160100

1

= +−

= +−

∑.

,33

203

145 5 21 6 1320

3

145 5 1 29

= +−( )

= +

.

, , .

, ,==

= +−

= +

∑

146 7956100

148 5

5

56 56

,

.

,

P Lp

n f

fC

0040100

23

443

148 5 50 4 2344

3

14

−

= +−( )

=

.

, , .

88 5 1 87150 37

70100

70 70

, ,,

.

+=

= +−

∑P Lp

n f

fC

== +−

= +−( )

148 5

6300100

23

443

148 5 63 234

, .

,44

3

148 5 2 73151 23

.

, ,,

= +=

��

UKUran PenYeBaran DataBab 4

Ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data disebut dispersi. Dispersi sangat berguna untuk menganalisa data dengan cara

membandingkan dua atau beberapa penyebaran distribusi data. Analisa data dengan menggunakan ukuran pemusatan data belum memberikan informasi yang mendalam, karena hanya memberikan informasi yang terbatas. Dengan ukuran dispersi akan dapat diketahui lebih banyak informasi tentang perbedaan dari kelompok data. Ada beberapa jenis ukuran dispersi data yang akan kita pelajari yaitu diantaranya jangkauan (range), simpangan rata-rata (mean deviation), variansi (variance), standar deviasi (standard deviation), simpangan kuartil (quartile deviation), simpangan persentil (percentile deviation), koefisien variasi dan nilai baku.

�.� Jangkauan (Range)

Bentuk yang paling sederhana dari ukuran dispersi adalah jangkauan atau range, yang dilambangkan dengan R. Definisi jangkauan atau range (R) suatu kelompok data adalah selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum dalam suatu kelompok data. Jangkauan dapat diketahui dari data yang belum dikelompokkan dan data yang sudah dikelompokkan.


�.�.� Jangkauan Data yang Belum Dikelompokkan

Persamaan jangkauan yang belum dikelompokkan dinyatakan sebagai berikut:

Range (r) = Nilai Maksimum – Nilai Minimum

Contoh 4.1 Kelompok data 1: 45, 45, 45, 45, 45. Kelompok data 2: 20, 40, 55, 60, 80. Kelompok data 3: 15, 35, 45, 60, 85.Hitunglah range dari kelompok-kelompok data di atas!

penyelesaian: R1 = Nilai Maksimum – Nilai Minimum = 45 – 45 = 0

R2 = Nilai Maksimum – Nilai Minimum = 80 – 20 = 60

R3 = Nilai Maksimum – Nilai Minimum = 85 – 15 = 70

Terlihat bahwa kelompok data 1 mempunyai jangkauan yang paling kecil (R1) dan kelompok data 3 mempunyai jangkauan yang paling besar (R3). Artinya kelompok data 3 paling menyebar daripada data yang lain.

�.�.� Jangkauan Data yang Sudah Dikelompokkan

Untuk data berkelompok dalam bentuk distribusi frekuensi jangkauan data dihitung dengan memakai selisih antara nilai tengah kelas yang

��Bab 4 Ukuran Penyebaran Data

maksimum dengan nilai tengah kelas minimum, dapat ditentukan dalam persamaan berikut ini:

r = Nilai tengah kelas Maksimum – Nilai tengah kelas Minimum

Contoh 4.2Perhatikan tabel berikut ini!

tabel 4.1Berat Badan 54 Mahasiswa Jurusan Manajemen Informatika Universitas BSI Bandung

Berat badan (kg) Xi f50 – 54 52 555 – 59 57 360 – 64 62 2165 – 69 67 1570 – 74 72 10

Hitunglah range dari data di atas!

penyelesaian: R = Nilai Tengah Kelas Maksimum – Nilai Tengah Kelas Minimum = 72 – 52 = 20 kg

Nilai jangkauan suatu kelompok data dapat menunjukkan kualitas data. Semakin kecil jangkauan suatu data, maka kualitas data itu semakin baik, sebaliknya semakin besar jangkauan suatu data, maka kualitas data tersebut semakin tidak baik. Oleh karena terlalu sederhana, yaitu hanya memakai nilai maksimum dan nilai minimum, maka jangkauan dikatakan terlalu kasar untuk menggambarkan penyebaran data sehingga dalam analisis data yang memerlukan tingkat ketelitian yang tinggi, ukuran dispersi data ini jarang dipakai. Inilah kekurangan dari jangkauan data. Akan tetapi kelebihannya paling mudah dihitung.


�.� Simpangan Rata-rata (Mean Deviation)

Pengertian Simpangan Rata-rata (Mean Deviation) adalah jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi banyaknya data. Misalkan kelompok data X1, X2, X3,…Xn mempunyai niilai rata-rata hitung X, maka simpangan atau selisih nilai dari X1, X2, X3,…Xn dengan X

masing-masing adalah (X1 – X), (X2 – X), (X3 – X), …(Xn – X). Simpangan rata-rata sering disingkat dengan SR.

�.�.� Simpangan Rata-rata Data yang Belum Dikelompokkan

Persamaan simpangan rata-rata data yang belum dikelompokkan dinyatakan sebagai berikut:

SRx xn

=−∑

Keterangan:SR = Simpangan Rata-rataX = nilai data

X = rata-rata hitungn = banyaknya data

Contoh 4.3Tentukanlah simpangan rata-rata dari kelompok-kelompok data sebagai berikut: Kelompok data 1: 60, 78, 80, 92, 100. Kelompok data 2: 20, 30, 40, 50, 60.

penyelesaian:

X160 78 80 92 100

582

=+ + + +

=


maka, simpangan rata-rata dari data di atas yaitu:

SRx xn1

60 82 78 82 80 82 92 82 100 825

22 4 2 10 185

11

=−

=− + − + − + − + −

=+ + + +

=

∑

,,2

20 30 40 50 605

40

20 40 30 40 40 40 50 40

2

2

X

SRx xn

=+ + + +

=

=−

=− + − + − + − +

∑

660 405

20 10 0 10 205

12

−

=+ + + +

=

Maka;

SRx xn1

60 82 78 82 80 82 92 82 100 825

22 4 2 10 185

11

=−

=− + − + − + − + −

=+ + + +

=

∑

,,2

20 30 40 50 605

40

20 40 30 40 40 40 50 40

2

2

X

SRx xn

=+ + + +

=

=−

=− + − + − + − +

∑

660 405

20 10 0 10 205

12

−

=+ + + +

=

Terlihat bahwa kelompok data 1 mempunyai simpangan rata-rata yang paling kecil (SR1) dan kelompok data 2 mempunyai simpangan rata-rata yang paling besar (SR2). Artinya kelompok data 3 paling menyebar daripada data yang lain.

�.�.� Simpangan Rata-rata Data yang Sudah Dikelompokkan

Simpangan rata-rata untuk data berkelompok dapat dibuat tabel distribusi frekuensi yang melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, frekuensi kelas dan banyaknya data.


Persamaan simpangan rata-rata data yang sudah dikelompokkan dapat ditentukan sebagai berikut:

SRf x x

f

SRX

=−

=

∑∑

Keterangan: simpangan Rata-rata

nilai data

frekuensi kelas (data berkelompok)

=

=x

ff∑ = banyaknya data

Keterangan: SR = Simpangan Rata-rataX = nilai data

X = nilai rata-rata hitungf = frekuensi kelas (data berkelompok)∑f = banyaknya data

Tanda nilai mutlak pada rumus tersebut untuk menjamin agar simpanan bertanda positif, karena dispersi data merupakan ukuran yang positif.

Contoh 4.4Tentukanlah simpangan rata-rata dari data tabel frekuensi di bawah ini!

tabel 4.2Berat Badan 50 Anak di Panti Asuhan Tambatan Hati

Berat badan f20 – 29 230 – 39 340 – 49 950 – 59 1160 – 69 770 – 79 18

penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan simpangan rata-rata pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:


tabel 4.3Perhitungan Simpangan Rata-Rata

Berat Badan

f Xi f. Xi (Xi – X) |Xi – X | f |Xi – X |

20 - 29 2 24.5 49 -34.4 34.4 68.8

30 - 39 3 34.5 103.5 -24.4 24.4 73.2

40 - 49 9 44.5 400.5 -14.4 14.4 129.6

50 - 59 11 54.5 599.5 -4.4 4.4 48.4

60 - 69 7 64.5 451.5 5.6 5.6 39.2

70 - 79 18 74.5 1341 15.6 15.6 280.8

Jumlah 50 2945 640

Diketahui:

Diketahui

f f Xi f Xi X

X

Maka s

:

, . ,

,

,

= = − =

=

=

∑∑50 2945 6402945

5058 9

iimpangan rata rata data perusahaan tersebuta dalah

SRf x x

-

=−∑∑

∑=

=

f64050

12 8,

Maka, simpangan rata-rata data perusahaan tersebut adalah

Diketahui

f f Xi f Xi X

X

Maka s

:

, . ,

,

,

= = − =

=

=

∑∑50 2945 6402945

5058 9

iimpangan rata rata data perusahaan tersebuta dalah

SRf x x

-

=−∑∑

∑=

=

f64050

12 8,

Contoh 4.5Tentukanlah simpangan rata-rata data nilai Ujian Pengantar Bisnis jurusan Manajemen Pemasaran di bawah ini!


tabel 4.4Nilai Ujian Pengantar Bisnis

Nilai Xi f

26 – 35 30.5 2

36 – 45 40.5 4

46 – 55 50.5 8

56 – 65 60.5 13

66 – 75 70.5 8

76 – 85 80.5 4

86 - 95 90.5 1

Jumlah 40

penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan simpangan rata-rata dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:

tabel 4.5Perhitungan Simpangan Rata-rata

Nilai Xi f Xi. f |Xi – X | f |Xi - X |

26 - 35 30.5 2 61 28.8 57.6

36 - 45 40.5 4 162 18.8 75.2

46 - 55 50.5 8 404 8.8 70.4

56 - 65 60.5 13 786.5 0.75 9.75

66 - 75 70.5 8 564 10.75 86

76 - 85 80.5 4 322 20.75 83

86 - 95 90.5 1 90.5 30.75 30.75

40 2390 412.7

Diketahui:

Diketahui

f X f f Xi X

X

Ma

i

:

, , ,

,

∑ ∑∑= = − =

=

=

40 2390 412 72390

4059 75

kka simpangan rata rata data perusahaan tersebuta dalah

SR

, -

==−

=

=

∑∑f x x

f412 7

4010 3175

,

,


Maka simpangan rata-ratanya adalah:

Diketahui

f X f f Xi X

X

Ma

i

:

, , ,

,

∑ ∑∑= = − =

=

=

40 2390 412 72390

4059 75

kka simpangan rata rata data perusahaan tersebuta dalah

SR

, -

==−

=

=

∑∑f x x

f412 7

4010 3175

,

,

Tanda nilai mutlak dapat mengubah (membalikkan) nilai besar bertanda negatif menjadi nilai besar bertanda positif. Sifat ini mempengaruhi simpangan rata-rata, yaitu mengakibatkan ukuran simpangan rata-rata menjadi kurang baik. Akan tetapi simpangan rata-rata masih lebih baik daripada jangkauan, karena simpangan rata-rata mempertimbangkan semua selisih antara nilai data dengan pusat data. Meskipun demikian, karena simpangan rata-rata mempunyai sifat yang kurang baik, maka ukuran dispersi ini juga jarang dipakai dalam analisis data. Satu hal lagi yang perlu diketahui adalah bahwa pada rumus simpangan rata-rata baik untuk data tidak berkelompok maupun data berkelompok, nilai rata-rata hitung dapat diganti dengan ukuran pemusatan data yang lain, misalnya median dan modus.

�.� Variansi (Variance)

Variansi untuk data berkelompok dapat dibuat tabel frekuensi yang melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung dan banyaknya data. Rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap rata-rata hitung disebut variansi (variance). Variansi untuk sampel dilambangkan dengan S2. sedangkan untuk populasi dilambangkan dengan σ2. Bila sampel berupa kelompok data X1, X2, X3, …, Xn mempunyai rata-

rata hitung ( X ) maka kuadrat selisih nilai-nilai tersebut terhadap X adalah

X -X X -X X -X X -X1 2 3 n( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2, , ,… .


�.�.� Variansi (Variance) Data yang Belum Dikelompokkan

Pada perumusan variansi menggunakan nilai kuadrat yang tujuannya sama dengan nilai mutlak pada persamaan simpangan rata-rata yang tujuannya untuk membuat nilai negatif menjadi nilai positif. Persamaan rumusnya adalah sebagai berikut:

SX Xn

SX

X

2

2

2

1=

−( )−

=

=

=

∑

Keterangan:

variansi nilai data

nilaai rata-rata hitung banyaknya datan =

Keterangan:S2 = variansi X = nilai data

X = nilai rata-rata hitungn = banyaknya data

Contoh 4.6Tentukanlah variansi dari kelompok data: 20, 30, 50, 70, 80!

penyelesaian:

Penyelesaian

X

Maka ian ya adalah

:

, var sin

=+ + + +

=

20 30 50 70 805

50

ssebagai berikut

SX x

n

:

2

2

2 2 21

20 50 30 50 50 50

=−( )−

=−( ) + −( ) + −( ) +

∑

770 50 80 505 1

900 400 0 400 9004

650

2 2−( ) + −( )

−

=+ + + +

=

Jadi ian, var si kelompok data tersebut adalah S2 650= .

Maka variansinya adalah sebagai berikut:

Penyelesaian

X

Maka ian ya adalah

:

, var sin

=+ + + +

=

20 30 50 70 805

50

ssebagai berikut

SX x

n

:

2

2

2 2 21

20 50 30 50 50 50

=−( )−

=−( ) + −( ) + −( ) +

∑

770 50 80 505 1

900 400 0 400 9004

650

2 2−( ) + −( )

−

=+ + + +

=

Jadi ian, var si kelompok data tersebut adalah S2 650= .Jadi, variansi kelompok data tersebut adalah S2 = 650


Perhatikan bahwa dengan memakai variansi, dispersi data tersebut jauh lebih besar jika dibandingkan dengan memakai simpangan rata-rata,. Hal ini diakibatkan oleh variansi yang memakai kuadrat selisih dari nilai-nilai data terhadap rata-rata hitung, sehingga simpangannya membesar secara drastis. Ini berarti variansi bukan merupakan ukuran dispersi yang baik untuk menggambarkan penyebaran data. Kelemahan variansi disebabkan oleh bentuk kuadrat yang dipakai dalam rumus, sementara dispersi data sesungguhnya merupakan ukuran yang bentuknya linear. Oleh karena itu, variansi juga merupakan ukuran yang jarang dipakai dalam analisis data. Meskipun demikian, variansi masih mempunyai kelebihan karena melibatkan selisih dari semua nilai data.

Contoh 4.7Tentukanlah variansi kelompok data: 32, 45, 49, 85, 56, 70, 82!

penyelesaian:

X

SX Xn

=+ + + + + +

=

=−( )−

=−( ) + −( )

∑

32 45 49 85 56 70 827

59 8

132 60 45 60

2

2

2

,

22 2 2 2 2 249 60 85 60 56 60 76 60 82 607 1

784 225

+ −( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )

−

=+ ++ + + + +

=

=

121 625 16 100 4846

23556

392 5,

Maka, variansi dari kelompok data di atas adalah:

X

SX Xn

=+ + + + + +

=

=−( )−

=−( ) + −( )

∑

32 45 49 85 56 70 827

59 8

132 60 45 60

2

2

2

,

22 2 2 2 2 249 60 85 60 56 60 76 60 82 607 1

784 225

+ −( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )

−

=+ ++ + + + +

=

=

121 625 16 100 4846

23556

392 5,


Contoh 4.8Tentukan variansi dari kelompok data 25, 38, 40, 45, 52, 65!

penyelesaian:

Penyelesaian

X

Maka ian

:

,

, var s

=+ + + + +

=

=

25 38 40 45 52 656

2656

44 167

iin :

,

ya dari kelompok di atas yaitu

SX Xn

2

2

125 44 167

=−( )−

=−(

∑

)) + −( ) + −( ) + −( ) + −( ) +2 2 2 2 238 44 167 40 44 167 45 44 167 52 44 167 65, , , , −−( )

−

=+ + + + +

=

=

44 1676 1

367 4 38 17 4 0 7 61 4 4345

918 95

83 78

2,

, , , ,

,

,

Jadii ian ya adalah, var sin , . 83 78

Maka, variansi dari kelompok data di atas yaitu:

Penyelesaian

X

Maka ian

:

,

, var s

=+ + + + +

=

=

25 38 40 45 52 656

2656

44 167

iin :

,

ya dari kelompok di atas yaitu

SX Xn

2

2

125 44 167

=−( )−

=−(

∑

)) + −( ) + −( ) + −( ) + −( ) +2 2 2 2 238 44 167 40 44 167 45 44 167 52 44 167 65, , , , −−( )

−

=+ + + + +

=

=

44 1676 1

367 4 38 17 4 0 7 61 4 4345

918 95

83 78

2,

, , , ,

,

,

Jadii ian ya adalah, var sin , . 83 78Jadi, variansinya adalah 83,78

�.�.� Variansi (Variance) Data yang Sudah Dikelompokkan

Variansi untuk data berkelompok dapat dibuat tabel frekuensi yang melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, frekuensi kelas dan banyaknya data. Perumusan variansi data yang sudah dikelompokkan adalah sebagai berikut:

Sf X xn

Keterangan

S variansiX nilai data

x nilai ra

2

2

2

1=

−( )−

=

=

=

∑

:

tta rata hitungf frekuensi kelas data berkelompokn banya

- =

=

( )kknya data

Keterangan:S2 = Variansi X = nilai data

X = nilai rata-rata hitung


f = frekuensi kelas (data berkelompok)n = banyaknya data

Contoh 4.9Tentukanlah variansi data modal perusahaan Cahaya pada tabel berikut ini!

tabel 4.6Modal Perusahaan Cahaya

Modal f112 – 120 4121 – 129 5130 – 138 8139 – 147 12148 – 156 5157 – 165 4166 – 174 2

penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan variansi maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:

tabel 4.7Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi

Modal Xi f (Xi - X )2 f(Xi– X )2

112 - 120 116 4 601.4756 2405.9024

121 - 129 125 5 241.0256 1205.128

130 - 138 134 8 42.5756 340.6048

139 - 147 143 12 6.1256 73.5072

148 - 156 152 5 131.6756 658.378

157 - 165 161 4 419.2256 1676.9024

166 - 174 170 2 868.7756 1737.5512

40 8.098


Diketahui:

n atau Xi X

X

Maka iansi

f=40 f

−( ) =

=

=

∑∑2

8 0985621

40140 525

,

,

var data tersebut adalah

S

:

,

2 809839

207 64

=

=

Maka variansi data tersebut adalah:

n atau Xi X

X

Maka iansi

f=40 f

−( ) =

=

=

∑∑2

8 0985621

40140 525

,

,

var data tersebut adalah

S

:

,

2 809839

207 64

=

=

�.� Standar De�iasi (Standard Deviation)

Akar pangkat dua dari variansi disebut standar deviasi (standard deviation). Standar deviasi seringkali disebut dengan simpangan baku. Standar deviasi berkaitan langsung dengan variansi. Standar deviasi sering disingkat dengan S.

�.�.� Standar De�iasi (Standard Deviation) yang Belum Dikelompokkan

Perumusan standar deviasi (standard deviation) data yang belum dikelompokkan adalah sebagai berikut;

SX Xn

=−( )−

∑2

1

Keterangan : S = Standar Deviasi (Simpangan Baku) X = nilai data

S

X Xn

=−( )−

∑2

1

= nilai rata-rata hitung n = banyaknya data


Contoh 4.10Tentukanlah standar deviasi dari kelompok data: 20, 30, 50, 70, 80!

penyelesaian:

Penyelesaian

X

SX x

n

:

=+ + + +

=

=−( )−

=−( ) +

∑

20 30 50 70 805

50

120 50 30

2

2

2 −−( ) + −( ) + −( ) + −( )

−

=+ + + +

−

50 50 50 70 50 80 505 1

900 400 0 400 9005 1

2 2 2 2

== 650

Jadi s dar deviasi dari kelompok data tersebut ada, tan llah

S

:

,==

65025 495

Jadi, standar deviasi dari kelompok data tersebut adalah

Penyelesaian

X

SX x

n

:

=+ + + +

=

=−( )−

=−( ) +

∑

20 30 50 70 805

50

120 50 30

2

2

2 −−( ) + −( ) + −( ) + −( )

−

=+ + + +

−

50 50 50 70 50 80 505 1

900 400 0 400 9005 1

2 2 2 2

== 650

Jadi s dar deviasi dari kelompok data tersebut ada, tan llah

S

:

,==

65025 495

�.�.� Standar De�iasi (Standard Deviation) yang Sudah Dikelompokkan

Perumusan standar deviasi (standard deviation) data yang sudah dikelompokkan adalah sebagai berikut;

Sf X Xn

KeteranganS s dar deviasi simpangan baku

=−( )−

=

∑2

1

:tan ( ))

X nilai data

X nilai rata rata hitungf frekuensi kelas

=

=

=

- banyaknya data

( )data berkelompokn=

Keterangan:S = Standar Deviasi (Simpangan Baku)X = nilai data

X = nilai rata-rata hitungf = frekuensi kelas (data berkelompok)n = banyaknya data


Contoh 4.11Tentukanlah standar deviasi dari data modal perusahaan Cahaya pada tabel berikut ini!


Modal f112 – 120 4121 – 129 5130 – 138 8139 – 147 12148 – 156 5157 – 165 4166 – 174 2

penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan standar deviasi maka dibuat tabel frekuensi sebagai berikut:

tabel 4.9 Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi

Modal Xi f (Xi - X)2 f(Xi – X)2

112 - 120 116 4 601.4756 2405.9024

121 - 129 125 5 241.0256 1205.128

130 - 138 134 8 42.5756 340.6048

139 - 147 143 12 6.1256 73.5072

148 - 156 152 5 131.6756 658.378

157 - 165 161 4 419.2256 1676.9024

166 - 174 170 2 868.7756 1737.5512

40 8.098


Diketahui:

f f Xi X

S

∑ = − =

=

=

=

=

40 80985621

40140 5258098

39207

2

2

, ( )

,

,

664

207 6414 410

S==

,,

Maka, standar deviasi dari data di atas adalah

f f Xi X

S

∑ = − =

=

=

=

=

40 80985621

40140 5258098

39207

2

2

, ( )

,

,

664

207 6414 410

S==

,,

Oleh karena standar deviasi merupakan akar dari variansi, maka standar deviasi mempunyai bentuk linier dari kuadrat selisih antara semua nilai data dengan rata-rata hitungnya. Seperti juga variansi, standar deviasi selalu bertanda positif. Oleh karena standar deviasi melibatkan semua nilai data serta merupakan bentuk linier dan selalu positif, sementara ukuran dispersi data merupakan jarak yang bentuknya linear dan positif, maka standar deviasi merupakan ukuran dispersi yang dianggap paling baik sehingga paling banyak dipakai dalam analisis data daripada ukuran dispersi yang lain. Rumus lain untuk mencari variansi data tidak berkelompok.

Sn X X

n n2

2 2

1=

−( )−( )∑∑

Keterangan : S2 = Variansi X = nilai data n = banyaknya data


Dan rumus standar deviasinya adalah

Sn X X

n n=

−( )−( )∑∑ 2 2

1

Keterangan : S = Standar Deviasi (Simpangan Baku) X = nilai data n = banyaknya data

Untuk data berkelompok rumus variansi dan standar deviasi data menjadi:

Sn fX fX

n n2

2 2

1=

−( )−( )∑∑

Keterangan : S2 = Variansi X = nilai data n = banyaknya data

dimana n f

Sn fX fX

n n

=

=−( )−( )

∑∑∑ 2 2

1

Keterangan : S = Standar Deviasi (Simpangan Baku) X = nilai data n = banyaknya data

Contoh 4.12Tentukanlah variansi dan standar deviasi dari kelompok data 20, 30, 50, 70, 80!

�0�Bab 4 Ukuran Penyebaran Data

penyelesaian:Buat tabel seperti berikut untuk memudahkan perhitungan variansi dan standar deviasi!

tabel 4.10Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi

X 20 30 50 70 80 Σ X = 250X2 400 900 2500 4900 6400 Σ X2 = 15100

Maka diperoleh:

S =

Jadi,

2n X X

n n

S

−( )−( )

=( )−( )

( )

=

=

=

∑∑2

2

15 15100 250

5 413000

20650

665025 495= ,

Contoh 4.13Diketahui kelompok data 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5, 6, 5, 4, 3, 5, 9, 10, 5.

Tentukanlah: a) Variansi b) Standar deviasi

penyelesaian:Gunakan tabel berikut untuk memudahkan perhitungan variansi dan standar deviasi!


tabel 4.11Daftar Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi

X f X2 f. X f. X2

3 2 9 6 184 1 16 4 165 4 25 20 1006 2 36 12 727 1 49 7 499 1 81 9 81

10 2 100 20 20012 1 144 12 14415 1 225 15 22518 1 324 18 324 16 123 1229

Dari tabel di atas diperoleh Dari tabel di atas diperolah f X fXMaka

dan .:

= =∑∑ 123 12292

aa Sn fX fX

n n) ( ) Variansi 2

2 2

2

116 1229 123

16 15

=−( )−( )

=( )−( )

( )

∑∑

==

=

==

4535240

18 9

18 94 3

,

) ( ) ,,

b S Standar deviasi

Maka:

a)

Dari tabel di atas diperolah f X fXMaka

dan .:

= =∑∑ 123 12292

aa Sn fX fX

n n) ( ) Variansi 2

2 2

2

116 1229 123

16 15

=−( )−( )

=( )−( )

( )

∑∑

==

=

==

4535240

18 9

18 94 3

,

) ( ) ,,

b S Standar deviasi b)

Dari tabel di atas diperolah f X fXMaka

dan .:

= =∑∑ 123 12292

aa Sn fX fX

n n) ( ) Variansi 2

2 2

2

116 1229 123

16 15

=−( )−( )

=( )−( )

( )

∑∑

==

=

==

4535240

18 9

18 94 3

,

) ( ) ,,

b S Standar deviasi

Contoh 4.14Tentukanlah variansi dan standar deviasi dengan menggunakan rumus lain dari data modal perusahaan Cahaya berikut ini!



Modal f112 – 120 4121 – 129 5130 – 138 8139 – 147 12148 – 156 5157 – 165 4166 – 174 2

penyelesaian:Gunakan tabel berikut untuk memudahkan perhitungan variansi dan standar deviasi!


Modal X f X2 f X f X2

112 – 120 116 4 13456 464 53824121 – 129 125 5 15625 625 78125130 – 138 134 8 17956 1072 143648139 – 147 143 12 20449 1716 245388148 – 156 152 5 23104 760 115520157 – 165 161 4 25921 644 103684166 – 174 170 2 28900 340 57800

40 5,621 797989

Dari tabel diperoleh:

Dari tabel diperoleh

f

fX

fX

Dengan

demi

:

.

.

=

=

=

∑∑∑

40

5 621

797 9892

kkian variansi dan standar data tersebut adalah:

Sn fX fX

22

=− ∑∑∑ ( )−( )

=( )−( )

( )

=−

2

2

140 797989 5621

40 3931 919 560 31 595 64

n n

. . . . 111560

207 640

207 64014 410

=

==

,

,,

S


Dengan demikian variansi dan standar deviasi data tersebut adalah

Dari tabel diperoleh

f

fX

fX

Dengan

demi

:

.

.

=

=

=

∑∑∑

40

5 621

797 9892

kkian variansi dan standar data tersebut adalah:

Sn fX fX

22

=− ∑∑∑ ( )−( )

=( )−( )

( )

=−

2

2

140 797989 5621

40 3931 919 560 31 595 64

n n

. . . . 111560

207 640

207 64014 410

=

==

,

,,

S

Dengan menggunakan rumus ini akan sama hasilnya dengan rumus sebelumnya. Akan tetapi dengan memakai rumus dan standar deviasi tersebut, proses perhitungan lebih mudah dilakukan dan mengurangi resiko kesalahan daripada memakai rumus variansi dan standar deviasi sebelumnya.

Contoh 4.15Tentukanlah variansi dari data nilai ujian di bawah ini!

tabel 4.14Hasil Ujian Statistik Industri Jurusan Teknik Industri Universitas BSI Bandung

Nilai ujian f31 – 40 141 – 50 251 – 60 561 – 70 1571 – 80 2581 – 90 20

91 – 100 12Jumlah 80


penyelesaian:Gunakan tabel di bawah ini untuk memudahkan perhitungan variansi dan standar deviasi!

tabel 4.15Perhitungan Variansi

Nilai ujian f Xi Xi2 f.Xi f.Xi2

31 – 40 1 35,5 1260,25 35,5 1260,2541 – 50 2 45,5 2070,25 91 4140,551 – 60 5 55,5 3080,25 277,5 15401,2561 – 70 15 65,5 4290,25 982,5 64353,7571 – 80 25 75,5 5700,25 1887,5 142506,381 – 90 20 85,5 7310,25 1710 146205

91 – 100 12 95,5 9120,25 1146 109443Jumlah 80 6130 483310

Diketahui:n f

f X

f x

Sn fX fX

n n

i

i i

= =

=

=

=−( )−(

∑∑

∑∑

Σ

dan

80

6130

483 310

1

2

22 2

.

.

))

=× −( )

=

80 483 310 6 13080 79

172 1

2. ..

,

n f

f X

f x

Sn fX fX

n n

i

i i

= =

=

=

=−( )−(

∑∑

∑∑

Σ

dan

80

6130

483 310

1

2

22 2

.

.

))

=× −( )

=

80 483 310 6 13080 79

172 1

2. ..

,

n f

f X

f x

Sn fX fX

n n

i

i i

= =

=

=

=−( )−(

∑∑

∑∑

Σ

dan

80

6130

483 310

1

2

22 2

.

.

))

=× −( )

=

80 483 310 6 13080 79

172 1

2. ..

,

n f

f X

f x

Sn fX fX

n n

i

i i

= =

=

=

=−( )−(

∑∑

∑∑

Σ

dan

80

6130

483 310

1

2

22 2

.

.

))

=× −( )

=

80 483 310 6 13080 79

172 1

2. ..

,

Selain memakai cara itu, seperti juga cara menghitung rata-rata hitung, untuk menentukan variansi dan standar deviasi juga dapat dipakai cara koding atau transformasi dari variabel X ke variabel U, khususnya untuk data yang disajikan dalam bentuk distribusi frekuensi. Dengan cara transformasi, maka rumus variansi dan standar deviasi menjadi seperti berikut ini.


Variansi:S cn fU fU

n n2 2

2 2

1=

−( )−( )

∑∑

Keterangan : S2 = Variansi c = interval kelas n = banyaknya data f = frekuensi U = ... -2, -1, 0, 1, 2 .

Standar Deviasi : S cn fU fU

n n=

−( )−( )

∑∑ 2 2

1

Keterangan : S = Standar Deviasi c = interval kelas n = banyaknya data f = frekuensi U = ... -2, -1, 0, 1, 2 ...

Dengan memakai cara transformasi atau kode tersebut, maka untuk nilai (X) yang besar akan berubah menjadi nilai data U yang kecil, yaitu U =0, ±1, ±2,±3 dan seterusnya sehingga akan mempermudah melakukan perhitungan dan hasil yang diperoleh juga akan menjadi lebih teliti serta mengurangi resiko kesalahan dalam proses penghitungan.

Contoh 4.16Tentukanlah variansi dan standar deviasi dengan menggunakan rumus di atas dari data modal perusahaan Cahaya berikut ini!



Modal f112 – 120 4121 – 129 5130 – 138 8139 – 147 12148 – 156 5157 – 165 4166 – 174 2

penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan variansi dan standar deviasi buatlah tabel seperti di bawah ini:


Modal X f U f U f U2

112 - 120 116 4 -3 -12 36121 - 129 125 5 -2 -10 20130 - 138 134 8 -1 -8 8139 - 147 143 12 0 0 0148 - 156 152 5 1 5 5157 - 165 161 4 2 8 16166 - 174 170 2 3 6 18

40 -11 103

Dari tabel diperoleh; n = 40, Σ f U = –11, c = 9, dan Σ f U2 = 103.

Dengan demikian variansi dan standar deviasi data perusahaan tersebut adalah


S cn fU fU

n n2 2

2 2

2

1

9 40 103 11

=−( )−( )

=( )( )−(

∑∑

- ))( )

=−( )

=

2

40 39

81 4120 12140 39

207,, 640

Sedangkan standar deviasinya adalah

Dari tabel diperolehn

fUc

fU

Dengan

- dan

dem

:=

=

=

=

∑

∑

40

119

1032

iikian variansi dan standar deviasi data perusahaan tersebuut adalah:

S cn fU fU

n n2 2

2 2

2

1

9 4

=−( )−( )

=( )

∑∑

00 103 1140 39

81 4120 12140 39

2( )−( )

( )

=−( )

-

=

=

207 640

207

,

tan sin :

,

Sedangkan s dar devia ya adalah

S

6640 14 410= ,

Perhatikan bahwa hasil ini sama persis dengan jawaban pada contoh 4.14. Akan tetapi, dengan memakai cara ini perhitungan menjadi jauh lebih sederhana dan sangat mudah dilakukan serta dengan hasil yang lebih teliti atau lebih baik karena resiko melakukan kesalahan lebih kecil daripada memakai rumus-rumus sebelumnya. Oleh karena itu, perhitungan variansi dan standar deviasi dengan memakai rumus tersebut untuk data dalam bentuk distribusi frekuensi paling sering dipakai dalam analisis data.

�.� Jangkauan Kuartil dan Jangkauan Persentil �0 – �0

Cara lain yang dipakai untuk menggambarkan penyebaran data adalah dengan jangkauan kuartil dan jangkauan persentil 10 – 90. Jangkauan kuartil disebut juga simpangan kuartil atau rentang semi antarkuartil atau deviasi kuartil. Sedangkan jangkauan persentil 10 - 90 disebut juga rentang persentil. Jangkauan kuartil dan jangkauan persentil lebih baik daripada jangkauan atau range yang memakai selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum suatu kelompok data.


�.�.� Jangkauan Kuartil (JK)

Jangkauan kuartil melibatkan nilai kuartil ke-1 dan kuartil ke-3. Persamaan jangkauan kuartil dirumuskan sebagai berikut ini:

JK

= −( )

=

12 3 1

1

Q Q

KeteranganQ kuartil bawah atau kuartil perta

:mma

Q kuartil atas atau kuartil ketiga3 =

Keterangan:JK = Jangkauan KuartilQ1 = kuartil bawah atau kuartil pertamaQ3 = kuartil atas atau kuartil ketiga

Contoh 4.17Tentukan jangkauan kuartil dari data di bawah ini!

tabel 4.18Berat Badan 20 Mahasiswa jurusan Desain Komunikasi Visual


Berat Badan (kg) frekuensifrekuensi kumulatif

45 - 47 2 248 - 50 5 751 – 53 7 1454 – 56 4 1857 - 59 2 20

20

penyelesaian:

Q X n X

Q

Q

1 5

1

3

4

47 5 5 25

3

49 3

= =

= +−

=

=

,

, .

,

terletak pada kelas 48-50

XX n X34

43

54 2

15. ,

.

,

=

=

=


Q 53,5+15-143

55

12

54 25 49 3

2 475

3 1JK= 12

Q Q−( )

= −( )

=

, ,

,


Maka jangkauan kuartilnya adalah

Q X n X

Q

Q

1 5

1

3

4

47 5 5 25

3

49 3

= =

= +−

=

=

,

, .

,


XX n X34

43

54 2

15. ,

.

,

=

=

=


Q 53,5+15-143

55

12

54 25 49 3

2 475

3 1JK= 12

Q Q−( )

= −( )

=

, ,

,

�.�.� Jangkauan Persentil (JP)

Jangkauan persentil melibatkan nilai persentil ke-10 dan ke-90. Persamaan jangkauan persentil dirumuskan seperti berikut:

JP P P10 90 90 10− = −

Keterangan:P = persentil ke-10P = persen

10

90 ttil ke-90

Keterangan:JP = Jangkauan PersentilP10 = persentil ke-10P90 = persentil ke-90

Contoh 4.18Tentukanlah jangkauan persentil dari data berikut!

tabel 4.19Berat Badan 100 Anak Panti Yatim Indonesia

Berat Badan frekuensifrekuensi kumulatif

40 - 42 3 343 - 45 7 1046 - 48 21 3149 - 51 48 7952 - 54 19 9855 - 57 2 100


penyelesaian:

Penyelesaian:

, terletak pada kelas 43-45P X n X

P

10 10

1

10100

= =.

00

90 90

42 5 10 37

3

42 5 345 5

90100

= +−

= +=

= =

, .

,,

.P X n X , terletak pada kelas 52-54

Jadi,

P

JP

90

10 90

51 5 90 7919

3

51 5 1 753 2

= +−

= +=

−

, .

, ,,

== −= −=

P P90 10

53 2 45 57 7

, ,,

Penyelesaian:

, terletak pada kelas 43-45P X n X

P

10 10

1

10100

= =.

00

90 90

42 5 10 37

3

42 5 345 5

90100

= +−

= +=

= =

, .

,,

.P X n X , terletak pada kelas 52-54

Jadi,

P

JP

90

10 90

51 5 90 7919

3

51 5 1 753 2

= +−

= +=

−

, .

, ,,

== −= −=

P P90 10

53 2 45 57 7

, ,,

Contoh 4.19Data berat badan 100 mahasiswa jurusan Ilmu Komunikasi di Universitas BSI Bandung disajikan pada tabel distribusi frekuensi berikut. Tentukanlah nilai jangkauan kuartil dan jangkauan persentil 10 – 90 data tersebut!

tabel 4.20Berat Badan 100 Mahasiswa Jurusan Ilmu Komunikasi Universitas BSI Bandung

Berat Badan (kg) frekuensi60 – 62 563 – 65 1866 – 68 4269 – 71 2772 - 74 8Jumlah 100


penyelesaian:Karena n = 100, maka Q1 terletak pada nilai ke-25, yaitu kelas 66 – 68, dan Q3 terletak pada nilai ke-75, yaitu kelas 69 – 71.

Maka nilai Q1 dan Q3 adalah

Maka nilai dan adalah:Q Q

Q

1 3

1 65 5 3 25 2342

65 6= +−

=, , 44

68 5 3 75 6527

69 61

1212

69

3

3 1

Q

JK Q Q

= +−

=

= −( )

=

, ,

,

Jadi,

661 65 64

1 985

−( )

=

,

,

Maka nilai dan adalah:Q Q

Q

1 3

1 65 5 3 25 2342

65 6= +−

=, , 44

68 5 3 75 6527

69 61

1212

69

3

3 1

Q

JK Q Q

= +−

=

= −( )

=

, ,

,

Jadi,

661 65 64

1 985

−( )

=

,

,

Sedangkan P10 terletak pada nilai ke-10, yaitu kelas 63 – 65 dan P90 terletak pada nilai ke-90 yaitu kelas 69 – 71. Maka nilai P10 dan P90 adalah

P

Q

10

90

62 5 3 10 518

63 33

68 5 3 90 6527

= +−

=

= +−

, ,

, =

= −= −=

−

71 28

71 28 63 337 95

10 90 90 10

,

, ,,

Jadi, JP P P

P

Q

10

90

62 5 3 10 518

63 33

68 5 3 90 6527

= +−

=

= +−

, ,

, =

= −= −=

−

71 28

71 28 63 337 95

10 90 90 10

,

, ,,

Jadi, JP P P

Contoh 4.20Tentukanlah jangkauan kuartil dan jangkauan persentil dari kelompok data 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5, 6, 5, 4, 3, 5, 9, 10, 5.


penyelesaian:Penyelesaian:

JK

nilai ke-

= −( )

= −( )

=

=+

1212

10 5

2 510 16 1

3 1

10

Q Q

P

,(( )

= + −( )

= + −( )

=

=

10070

100

3 70100

3 3

3

1 2 1

90

nilai ke-1 70100

X X X

P nnilai ke- nilai ke-15 30100

90 16 1100

3010015 16 15

+( )

= + −( )

=

X X X

115 30100

18 15

15 9

15 9 312 9

10 90 90 10

+ −( )

=

= −= −=

−

,

,,

JP P P

�.� Koefisien Variasi

Seperti yang telah diuraikan sebelumnya, bahwa ukuran penyebaran data seperti jangkauan, simpangan rata-rata, variansi, standar deviasi, jangkauan kuartil, dan jangkauan persentil merupakan dispersi mutlak. Ukuran dispersi ini tidak dapat dipakai untuk membandingkan penyebaran dua kelompok data atau lebih.


Variasi satu meter dalam pengukuran jarak seribu meter jelas berbeda pengaruhnya dengan variasi satu meter dalam pengukuran jarak dua ribu meter. Untuk mengukur pengaruh demikian dan untuk membandingkan variasi antara nilai-nilai besar dan nilai-nilai kecil, digunakan dispersi relatif. Rumus:

Dispersi Relatif= Dispersi AbsolutRata-rata

Untuk mengukur pengaruh demikian dan untuk membandingkan variasi antara nilai-nilai besar dengan nilai-nilai kecil digunakan dispersi relatif. Salah satu ukuran dispersi relatif yang sangat terkenal adalah koefisien variasi (KV) yang dirumuskan sebagai berikut:

Koefisien Variasi (KV)= sx

Keterangan:S = Standar devia

×100%

ssi (simpangan baku)

x = Rata-rata hitung

Keterangan: KV = Koefisien VariasiS = Standar deviasi (simpangan baku)

X = Rata-rata Hitung

Contoh 4.21Tentukanlah koefisien variasi kelompok data: 35, 45, 55, 65, 75!

penyelesaian:Yang pertama kita tentukan dulu rata-rata hitung dan standar deviasi (S).

X = + + + +

=

35 45 55 65 755

55

Untuk memudahkan perhitungan koefisien variasi maka buatlah tabel seperti di bawah ini:


tabel 4.21Perhitungan Koefisien Variasi

X 35 45 55 65 75 ΣX = 275X2 1225 2025 3025 4225 5625 ΣX² = 16125

Sn X X

n n

S

22 2

2

15 16125 275

5 4250

25016 81

=−( )−( )

=( )−( )

( )=

==

∑∑

,

Jadi,,

KV sx

= ×

= ×

=

100

16 8155

100

30 56

%

, %

, %

Jadi,

Sn X X

n n

S

22 2

2

15 16125 275

5 4250

25016 81

=−( )−( )

=( )−( )

( )=

==

∑∑

,

Jadi,,

KV sx

= ×

= ×

=

100

16 8155

100

30 56

%

, %

, %

Contoh 4.22Ada dua jenis bola lampu. Lampu jenis A secara rata-rata mampu menyala selama 1.500 jam dengan simpangan baku S1 = 200 jam. Sedangkan lampu jenis B secara rata-rata mampu menyala selama 1.750 jam dengan simpangan baku S2 = 300 jam. Lampu mana yang kualitasnya lebih baik?

penyelesaian:

Lampu jenis

Lampu jenis

A KV

B KV

: %

, %

:

1

2

2001500

100

13 3300

1

= ×

=

=7750

100

17 1

×

=

%

, %


Berdasarkan koefisien variasinya, lampu jenis A mempunyai koefisien variasi lebih kecil dari pada lampu jenis B. dengan kata lain kemampuan menyala lampu jenis B lebih bervariasi dari pada lampu jenis A dan kemampuan menyala lampu jenis A lebih seragam dari pada lampu jenis B.

Contoh 4.23Semacam lampu elektron rata-rata dapat di pakai selama 3.500 jam dengan simpangan baku 1.050 jam. Lampu model lain rata-ratanya 7.500 jam dengan simpangan baku 2.000 jam. Manakah dari kedua lampu tersebut mempunyai masa pakai yang baik?

penyelesaian:

KV (lampu pertama)

KV (lampu kedua)

= ×

=

=

10503500

100

3020007

%

%

5500100

26 6

×

=

%

, %

Ternyata lampu kedua secara relatif mempunyai masa pakai yang lebih uniform.

Contoh 4.24Tentukanlah koefisien Variasi dari kelompok data yaitu: 12, 6, 7, 3, 15, 10,18, 5, 6, 5, 4, 3, 5, 9, 10, 5.Penyelesaian:

penyelesaian:

KV sx

= ×

= ×

=

100

4 37 7

100

55 8

%

,,

%

, %


�.� Koefisien Variasi Kuartil

Ukuran dispersi relatif selain koefisien variasi adalah koefisien variasi kuartil. Koefisien variasi kuartil dipakai bilamana suatu kelompok data tidak diketahui berapa nilai rata-rata hitungnya dan standar deviasi (S). Persamaan koefisien variasi kuartil (KVQ) dirumuskan sebagai berikut:

KV Q QQ QQ =−+

3 1

3 1

Keterangan : KVQ = Koefisien Variasi Kuartil Q1 = Kuartil kesatu atau kuartil bawah Q3 = Kuartil ketiga atau kuartil atas

Atau bisa juga menggunakan rumus

KV

Q QMedQ =−( )3 1 2/

Keterangan : KVQ = Koefisien Variasi Kuartil Q1 = Kuartil kesatu atau kuartil bawah Q3 = Kuartil ketiga atau kuartil atas Med = Median

Contoh 4.25Tentukanlah koefisien variasi kuartil dari data berikut ini!

tabel 4.22Berat Badan 20 Mahasiswa UKM Bulutangkis di Universitas BSI Bandung

Berat Badan (kg) FrekuensiFrekuensi Kumulatif

45 – 47 2 248 – 50 5 751 – 53 7 1454 – 56 4 1857 – 59 2 20

20


penyelesaian:

Q X n X

Q

Q

1 5

1

3

4

47 5 5 25

3

49 3

= =

= +−

=

=

,

, .

,


XX n X

Q

34

53 5 15 144

3

54 2

15

3

. ,

, .

,

=

= +−

=


55

54 25 49 354 25 49 34 95

103 550 047

3 1

3 1

KVQ QQ QQ =−+

=−+

=

=

, ,, ,,,

,

Maka koefisien kuartil, yaitu:

Q X n X

Q

Q

1 5

1

3

4

47 5 5 25

3

49 3

= =

= +−

=

=

,

, .

,


XX n X

Q

34

53 5 15 144

3

54 2

15

3

. ,

, .

,

=

= +−

=


55

54 25 49 354 25 49 34 95

103 550 047

3 1

3 1

KVQ QQ QQ =−+

=−+

=

=

, ,, ,,,

,

�.� Nilai Baku (Z)

Salah satu manfaat penting dari nilai rata-rata hitung dan standar deviasi (S) adalah kedua nilai tersebut dapat dipakai untuk membuat transformasi data yang menghasilkan nilai baku atau disebut juga skor baku (nilai standar). Misalkan, kelompok data dengan nilai-nilai: X1, X2, X 3, ….,Xn mempunyai nilai rata-rata hitung X dan standar deviasi S.(Boediono:2008) Kita dapat membuat nilai baku Z dengan memakai tranformasi berikut:Rumus:


Z X Xsi =−1 , di mana i = 1, 2, 3, ..., n

Keterangan : Zi = Nilai Baku X1 = Nilai kelompok data X = Nilai rata-rata hitung

Karena nilai-nilai variabel Z diturunkan dari nilai-nilai variabel X, maka distribusi Z pada umumnya menyerupai (mirip) distribusi dari data X. Secara matematis dapat dibuktikan bahwa ternyata distribusi nilai Z1, Z2, Z3,…Zn mempunyai rata-rata sama dengan nol (Z = 0) dan standar deviasi sama dengan satu (SZ = 1). Nilai-nilai Z1, Z2, Z3,…Zn yang diperoleh dengan cara transformasi seperti itu disebut nilai baku. Skor baku dapat dipakai untuk membuat skala yang sama dari dua atau lebih kelompok data yang semula skalanya berbeda, sehingga dapat dibandingkan.

Contoh 4.26Nilai rata-rata Ujian Akhir Semester (UAS) mata kuliah Ekonomi di kelas A dengan 50 mahasiswa adalah 75 dan simpangan bakunya (S) = 10. Sedangkan untuk mata kuliah Bahasa Inggris di kelas itu mempunyai nilai rata-rata 80 dan simpangan bakunya (S) = 18. Bila di kelas itu Dono memperoleh nilai UAS untuk Ekonomi adalah 85 dan untuk Bahasa Inggris adalah 92, bagaimana posisi (prestasi) Dono di kelas itu?

penyelesaian:Untuk melihat posisi Dono, apakah lebih baik prestasinya pada UAS mata kuliah Ekonomi atau Bahasa Inggris harus dicari nilai baku untuk nilai UAS pada dua mata kuliah tersebut.

Z X Xsi =−1

Di mana X adalah nilai UAS yang diperoleh oleh Donoo

Untuk Ekonomi:

Untuk Bahasa Inggris:

Z

Z

=−

=

=−

85 7510

1

92 80188

0 67= ,


Dimana X adalah nilai UAS yang diperoleh oleh Dono

Z X Xsi =−1

Di mana X adalah nilai UAS yang diperoleh oleh Donoo

Untuk Ekonomi:

Untuk Bahasa Inggris:

Z

Z

=−

=

=−

85 7510

1

92 80188

0 67= ,

Karena nilai Z untuk mata kuliah Ekonomi lebih besar dari nilai Z untuk mata kuliah Bahasa inggris, maka posisi (prestasi) Dono lebih baik pada mata kuliah Ekonomi daripada mata kuliah Bahasa inggris.

Contoh 4.27Pada ujian tengah semester yang lalu, untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi: Titan memperoleh nilai 84; sedangkan untuk mata kuliah Statistik ia memperoleh nilai 90. Di kelas itu terdapat 50 mahasiswa, di mana nilai rata-rata untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi adalah 76 dengan simpangan baku 10; sedangkan nilai rata-rata untuk mata kuliah Statistik adalah 82 dengan simpangan baku 16. Pada mata kuliah mana prestasi Titan yang lebih baik?

penyelesaian:Untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi:

Untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi:

Untu

Z x xs

=−=

−=

84 7610

0 8,

kk mata kuliah Statistik

Z x xs

=−=

−=

90 8216

0 5,Untuk mata kuliah Statistik:

Untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi:

Untu

Z x xs

=−=

−=

84 7610

0 8,

kk mata kuliah Statistik

Z x xs

=−=

−=

90 8216

0 5,

Ternyata prestasi Titan lebih baik pada ujian mata kuliah Pengantar Ekonomi, sebab nilai bakunya lebih besar.

�.� Rangkuman

Ada beberapa jenis ukuran dispersi data, antara lain: jangkauan (range), simpangan rata-rata (mean deviation), variansi (variance), standar deviasi (standard deviation), simpangan kuartil (quartile deviation), simpangan


persentil (percentile deviation), koefisien variasi, koefisien variasi kuartil dan nilai baku Jangkauan atau range (r) suatu kelompok data adalah selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum. Simpangan rata-rata disingkat SR adalah jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi banyaknya data. Variansi adalah rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap rata-rata hitung. Standar deviasi adalah akar pangkat dua dari variansi. Standar deviasi seringkali disebut dengan simpangan baku. Jangkauan kuartil disebut juga simpangan kuartil atau rentang semi antarkuartil atau deviasi kuartil. Sedangkan jangkauan persentil 10 – 90 disebut juga rentang persentil.

�.�0 Latihan Soal

4.10.1 Hitunglah range dari kelompok data di bawah ini! 110, 190, 90, 120, 150, 115, 85, 155, 185, 120.

4.10.2 Hitunglah range dari data di bawah ini!

tabel 4.23Modal Perusahaan PT. Putrii

Batas kelas Modal (Jutaan rp)

frekuensi(f)

titik tengah(Xi)

30 – 39 2 34,540 – 49 3 44,550 – 59 11 54,560 – 69 20 64,570 – 79 32 74,580 – 89 25 84,590 – 99 7 94,5


4.10.3 Tentukanlah simpangan rata-rata data perusahaan pada tabel berikut ini:

tabel 4.24Nilai Ujian Bahasa Inggris kelas Manajemen Universitas BSI Bandung

Nilai f65 – 69 1270 – 74 675 – 79 1080 – 84 485 – 89 18

4.10.4 Data hasil ujian Gizi dan Terapi Diet jurusan Keperawatan Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut:

tabel 4.25Nilai Hasil Ujian Gizi dan Terapi Diet Jurusan Keperawatan


NilaiJumlah

Mahasiswa30 – 39,9 740 – 49,9 850 – 59,9 1060 – 69,9 3070 – 79,9 2080 – 89,9 1590 – 99,9 10

Tentukanlah variansi dari data tersebut!

4.10.5 Tentukanlah standar deviasi dari kelompok data: 25, 40, 55, 60, 75.


4.11.6 Data hasil ujian Anatomi jurusan Keperawatan di Universitas BSI Bandung sebagai berikut:

tabel 4.26Hasil Ujian Anatomi jurusan Keperawatan di Universitas BSI Bandung

NilaiJumlah

mahasiswa30 – 39,9 740 – 49,9 850 – 59,9 1060 – 69,9 3070 – 79,9 2080 – 89,9 1590 – 99,9 10

Tentukanlah standar deviasi dari data tersebut!4.10.7 Tentukanlah jangkauan kuartil dari kelompok data berikut: 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100

4.10.8 Sampel berat badan 10 mahasiswa dan 10 mahasiswi di Universaitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:

Berat badan mahasiswa: 40, 50, 60, 55, 70, 65, 60, 55, 65, 80. Berat badan mahasiswi: 45, 55, 50, 60, 45, 40, 55, 50, 65, 60.

Tentukanlah koefisien variasinya, manakah yang lebih merata?

4.10.9 Tentukanlah koefisien variasi kuartil dari kelompok data 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5, 6, 5, 4, 3, 5, 9, 10, 5.

4.10.10 Seorang mahasiswa mendapat nilai 86 pada ujian akhir matematika di mana rata-rata dan simpangan baku kelompok, masing-masing 78 dan 10. Pada ujian akhir statistika di mana rata-rata kelompok 84 dan simpangan baku 18, yang mendapat nilai 92. Dalam mata ujian mana yang mencapai kedudukan yang lebih baik?


�.�� Jawaban Latihan Soal

4.11.1 penyelesaian: R = Nilai Maksimum – Nilai Minimum = 185 – 85 = 100

4.11.2 penyelesaian: R = Nilai Maksimum – Nilai Minimum = 94,5 – 34,5 = 60

4.11.3 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan simpangan rata-rata maka

buatlah tabel seperti di bawah ini:

tabel 4.27Perhitungan Simpangan Rata-Rata

Nilai f Xi f. Xi |Xi – X| f. |Xi – X| 65 - 69 12 67 804 11 13270 - 74 6 72 432 6 3675 - 79 10 77 770 1 1080 - 84 4 82 328 4 1685 - 89 18 87 1566 9 162

50 3900 356

Diketahui:

Diketahui:

n atau f f Xi f Xi X

X

= = − =

= =

∑∑∑ 50 3900 3563900

50

, . , .

778

Maka, simpangan rata-rata ujian di atas adalah:

SRf X X

=−∑ff∑

=

=

35650

7 12,


Maka, simpangan rata-rata nilai Ujian di atas adalah:

Diketahui:

n atau f f Xi f Xi X

X

= = − =

= =

∑∑∑ 50 3900 3563900

50

, . , .

778

Maka, simpangan rata-rata ujian di atas adalah:

SRf X X

=−∑ff∑

=

=

35650

7 12,

4.11.4 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan variansi maka buatlah tabel

seperti di bawah ini:

tabel 4.28Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi

Nilai f Xi f.Xi (Xi –X)2 f (Xi – X)2

30 – 39,9 7 34.95 244,65 1108,89 7762,2340 – 49,9 8 44.95 359,6 542,89 4343,1250 – 59,9 10 54.95 549,5 176,89 1768,960 – 69,9 30 64.95 1948,5 10,89 326,770 – 79,9 20 74.95 1499 44,89 897,880 – 89,9 15 84.95 1274,25 278,89 4183,3590 – 99,9 10 94.95 949,5 712,89 7128,9

100 26411

Diketahui:

Diketahui:

n= 100,

Maka, varia

f Xi X

X

−( )=

=

=

∑ 264116825100

68 25,

nnsi dari data berkelompok adalah:

Sf X Xn

2

2

126411

=−( )−

=

∑

1100 1266 78

25 40 55 60 755

51

−=

=+ + + +

=

4.11.5 Penyelesaian:

,

X

S22

2

2 2 2 2 21

25 51 40 51 55 51 60 51 75 51

=−( )−

=−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )

∑ X Xn

55 1676 121 16 81 576

4367 5

−

=+ + + +

= ,

Jadi, standar deviasi dari kellompok data tersebut adalah:

S==

367 519 17

,,

Maka variansi dari data berkelompok di atas adalah

Diketahui:

n= 100,

Maka, varia

f Xi X

X

−( )=

=

=

∑ 264116825100

68 25,


Sf X Xn

2

2

126411

=−( )−

=

∑

1100 1266 78

25 40 55 60 755

51

−=

=+ + + +

=


,

X

S22

2

2 2 2 2 21

25 51 40 51 55 51 60 51 75 51

=−( )−

=−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )

∑ X Xn

55 1676 121 16 81 576

4367 5

−

=+ + + +

= ,


S==

367 519 17

,,



Diketahui:

n= 100,

Maka, varia

f Xi X

X

−( )=

=

=

∑ 264116825100

68 25,


Sf X Xn

2

2

126411

=−( )−

=

∑

1100 1266 78

25 40 55 60 755

51

−=

=+ + + +

=


,

X

S22

2

2 2 2 2 21

25 51 40 51 55 51 60 51 75 51

=−( )−

=−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )

∑ X Xn

55 1676 121 16 81 576

4367 5

−

=+ + + +

= ,


S==

367 519 17

,,

Diketahui:

n= 100,

Maka, varia

f Xi X

X

−( )=

=

=

∑ 264116825100

68 25,


Sf X Xn

2

2

126411

=−( )−

=

∑

1100 1266 78

25 40 55 60 755

51

−=

=+ + + +

=


,

X

S22

2

2 2 2 2 21

25 51 40 51 55 51 60 51 75 51

=−( )−

=−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )

∑ X Xn

55 1676 121 16 81 576

4367 5

−

=+ + + +

= ,


S==

367 519 17

,,


Diketahui:

n= 100,

Maka, varia

f Xi X

X

−( )=

=

=

∑ 264116825100

68 25,


Sf X Xn

2

2

126411

=−( )−

=

∑

1100 1266 78

25 40 55 60 755

51

−=

=+ + + +

=


,

X

S22

2

2 2 2 2 21

25 51 40 51 55 51 60 51 75 51

=−( )−

=−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )

∑ X Xn

55 1676 121 16 81 576

4367 5

−

=+ + + +

= ,


S==

367 519 17

,,

Diketahui:

n= 100,

Maka, varia

f Xi X

X

−( )=

=

=

∑ 264116825100

68 25,


Sf X Xn

2

2

126411

=−( )−

=

∑

1100 1266 78

25 40 55 60 755

51

−=

=+ + + +

=


,

X

S22

2

2 2 2 2 21

25 51 40 51 55 51 60 51 75 51

=−( )−

=−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )

∑ X Xn

55 1676 121 16 81 576

4367 5

−

=+ + + +

= ,


S==

367 519 17

,,

4.11.6 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan variansi dan standar deviasi

maka buatlah tabel seperti di bawah ini:

tabel 4.29Distribusi lengkap Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi

Nilai f Xi u f u f u2

30 – 39,9 7 34.95 -3 -21 6340 – 49,9 8 44.95 -2 -16 3250 – 59,9 10 54.95 -1 -10 1060 – 69,9 30 64.95 0 0 070 – 79,9 20 74.95 1 20 2080 – 89,9 15 84.95 2 30 6090 – 99,9 10 94.95 3 30 90

100 33 275


Diketahui:

Diketahui:

n= 100, f U f U

S C

. , .∑ ∑= =

=( )−( )

33 175

100 275 33100

2

2 22

999

10 27 500 1 0899900

266 78

266 78

2

( )

=( )−{ }

=

=

. .

,

,S==16 3,

Diketahui:

n= 100, f U f U

S C

. , .∑ ∑= =

=( )−( )

33 175

100 275 33100

2

2 22

999

10 27 500 1 0899900

266 78

266 78

2

( )

=( )−{ }

=

=

. .

,

,S==16 3,

4.11.7 penyelesaian: Data telah diurutkan: 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 80, 85, 95, 100

4.11.7 Data telah diurutkan:30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 655, 70, 80, 85, 95, 100

nilai ke-1 13+14

nilai ke-144

nQ1 =( )

= = iilai ke-3 12

nilai ke-

= + −( )= + −( )=

=

X X X

Q

3 4 3

3

12

40 12

45 40 42 5

3

,

113 14

12

80 12

810 11 10

+( )= =

= + −( )= +

nilai ke- 424

nilai ke-10 12

X X X 55 80 82 5

12

12

82 5 42 5 203 1

−( )=

= −( )= −( )=

,

, ,

Maka

JK Q Q

Maka,

4.11.7 Data telah diurutkan:30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 655, 70, 80, 85, 95, 100

nilai ke-1 13+14

nilai ke-144

nQ1 =( )

= = iilai ke-3 12

nilai ke-

= + −( )= + −( )=

=

X X X

Q

3 4 3

3

12

40 12

45 40 42 5

3

,

113 14

12

80 12

810 11 10

+( )= =

= + −( )= +

nilai ke- 424

nilai ke-10 12

X X X 55 80 82 5

12

12

82 5 42 5 203 1

−( )=

= −( )= −( )=

,

, ,

Maka

JK Q Q

4.11.8 penyelesaian: Kelompok mahasiswa: Data yang telah diurutkan: 40, 50, 55, 55, 60, 60, 65, 65, 70, 80.


4.11.8 Penyelesaian:Data telah diurutkan 40, 55, 55, 55, 660, 60, 65, 65, 70, 80

X140 50 2 55 2 60 2 65 70 80

=+ + ×( )+ ×( )+ ×( )+ +

11060010

60

=

=

Untuk memudahkan kita menghitung variansi dan standar deviasi maka dibuat tabel seperti di bawah ini:


X X2

40 160050 250055 325055 325060 360060 360065 422565 422570 490080 6400

600 37100

Diperoleh dan X =2X

Sn X X

n n

=

=−( )−( )

=

∑ ∑∑∑

600 37 100

110 37 10

22 2

.

. 00 60010 9

11 0090

122 2

122 211 05

2( )−( )

( )

=

=

==

.

,

,,

S

Kelompok mahasisswi:Data yang telah diurutkan: 40, 45, 45, 50, 50, 55, 55,, 60, 60, 65

X= + ×( )+ ×( )+ ×( )+ ×( )+

=

=

40 2 45 2 50 2 55 2 60 6510

52510

522 5,

Diperoleh dan X =2X

Sn X X

n n

=

=−( )−( )

=

∑ ∑∑∑

600 37 100

110 37 10

22 2

.

. 00 60010 9

11 0090

122 2

122 211 05

2( )−( )

( )

=

=

==

.

,

,,

S


X= + ×( )+ ×( )+ ×( )+ ×( )+

=

=

40 2 45 2 50 2 55 2 60 6510

52510

522 5,


Kelompok mahasiswi: Data yang telah diurutkan: 40, 45, 45, 50, 50, 55, 55, 60, 60, 65.

Diperoleh dan X =2X

Sn X X

n n

=

=−( )−( )

=

∑ ∑∑∑

600 37 100

110 37 10

22 2

.

. 00 60010 9

11 0090

122 2

122 211 05

2( )−( )

( )

=

=

==

.

,

,,

S


X= + ×( )+ ×( )+ ×( )+ ×( )+

=

=

40 2 45 2 50 2 55 2 60 6510

52510

522 5,

Untuk memudahkan kita menghitung variansi dan standar deviasi maka dibuat tabel seperti di bawah ini!


X X2

40 160045 202545 202550 250050 250055 302555 302560 360060 360065 4225

525 28125

Diperoleh dan X =2X

Sn X X

n n

=

=−( )−( )

=

∑ ∑∑∑

525 28 125

110 28 12

22 2

.

. 55 52510 9

5 62590

62 5

62 57 91

2( )−( )

( )

=

=

==

.

,

,,

S

Koefisien variasi ((KV) berat badan mahasiswa

Koefisien vKV( )= × =100 18 42% , %

aariasi (KV) berat badan mahasiswi

Jadi,

KV( )= × =100 15 1% , %

data berat badan mahasiswi jauh lebih merata daripada berrat badan mahasiswa

Diperoleh dan X =2X

Sn X X

n n

=

=−( )−( )

=

∑ ∑∑∑

525 28 125

110 28 12

22 2

.

. 55 52510 9

5 62590

62 5

62 57 91

2( )−( )

( )

=

=

==

.

,

,,

S

Koefisien variasi ((KV) berat badan mahasiswa

Koefisien vKV( )= × =100 18 42% , %

aariasi (KV) berat badan mahasiswi

Jadi,

KV( )= × =100 15 1% , %

data berat badan mahasiswi jauh lebih merata daripada berrat badan mahasiswa


koefisien variasi (kV) berat badan mahasiswa (KV) = 0,1842 × 100% = 18,42%

koefisien variasi (kV) berat badan mahasiswi (KV) = 0,151 × 100% = 15,1%

Jadi, data berat badan mahasiswi jauh lebih merata daripada berat badan mahasiswa.



nilai ke- 1 16+14

nilai ke-4 14

Q

X

1

4

=( )

=

= +114

5 14

5 5

53 16 1

4

5 4

3

X X

Q

X

−( )= + −( )

=

=+( )=

=

nilai ke- nilai ke-12 34

112 13 12

3 1

3 1

34

10 33

10 10

10

10 510

+ −( )= + −( )

=

=−+

=−+

X X

KVQ QQ QQ

Jadi,

550 33= ,

Jadi,


nilai ke- 1 16+14

nilai ke-4 14

Q

X

1

4

=( )

=

= +114

5 14

5 5

53 16 1

4

5 4

3

X X

Q

X

−( )= + −( )

=

=+( )=

=

nilai ke- nilai ke-12 34

112 13 12

3 1

3 1

34

10 33

10 10

10

10 510

+ −( )= + −( )

=

=−+

=−+

X X

KVQ QQ QQ

Jadi,

550 33= ,



Untuk Matematika 86-7810

Untuk S

Z = = 0 8,

ttatistika Z= 92 8418

0 44−= ,

Mahasiswa itu mendapat 0,8 simpangan baku di atas rata-rata nilai matematika dan hanya 0,44 simpangan baku di atas rata-rata nilai statistika. Kedudukannya lebih tinggi dalam hal matematika.

��

UKUran PenYeBaran Data (KeMIrIngan Dan KerUnCIngan)

Bab 5

Kemiringan dan keruncingan merupakan salah satu bagian dari ukuran penyebaran data. Ada beberapa kemiringan keruncingan yang akan

kita pelajari yaitu, simetri, miring ke kanan dan miring ke kiri. Distribusi yang simetris menunjukkan bahwa letak nilai rata-rata hitung, median, dan juga modus berimpit. Distribus yang miring ke kanan, mempunyai nilai modus paling kecil dan rata-rata hitung paling besar. Sedangkan distribusi data yang miring ke kiri, mempunyai nilai sebaliknya, yaitu nilai modus paling besar dan rata-rata hitung paling kecil. Nilai keruncingan distribusi data ada tiga jenis juga yaitu, leptokurtis, mesokurtis dan platikurtis. Leptokurtis artinya distribusi data yang puncaknya relatif tinggi. Mesokurtis artinya distribusi data yang puncaknya normal sedangkan platikurtis yaitu distribusi data yang puncaknya tidak terlalu rendah atau tinggi.

�.� Kemiringan Distribusi Data

Derajat atau ukuran dari ketidaksimetrian suatu distribusi data disebut kemiringan. Kemiringan distribusi data ada tiga jenis yaitu simetri, miring ke kanan, dan miring ke kiri. Distribusi data yang simetri menunjukkan letak nilai rata-rata hitung, median dan modus adalah berimpit, yaitu berkisar di satu titik.


Distribusi data yang miring ke kanan, mempunyai nilai modus paling kecil dan rata-rata hitung paling besar. Sedangkan distribusi data yang miring ke kiri sebaliknya, yaitu mempunyai nilai modus paling besar dan rata-rata hitung paling kecil. Distribusi data miring ke kanan disebut juga mempunyai kemiringan positif, distribusi data miring ke kiri disebut juga mempunyai kemiringan negatif, sedangkan distribusi data simetri disebut mempunyai kemiringan nol. Kemiringan distribusi data disebut juga kemencengan atau kemenjuluran (skewness). Pola dari kemiringan distribusi data dapat diperoleh dengan cara menghaluskan poligon frekuensi dari suatu kelompok data. a. Distribusi Simetri (kemiringan Nol)

gambar 5.1Distribusi Simetri

Ukuran Penyebaran Data (kemiringan..) 239

kemiringan positif, distribusi data miring kekiri disebut juga mempunyai kemiringan negatif, sedangkan distribusi data simetri disebut mempunyai kemiringan nol. Kemiringan distribusi data disebut juga kemencengan atau kemenjuluran (skewness).

Pola dari kemiringan distribusi data dapat diperoleh dengan cara menghaluskan poligon frekuensi dari suatu kelompok data.

a. Distribusi Simetri (kemiringan Nol)

f

x

Mod = Med =

b. Distribusi Miring ke kanan (Kemiringan positif)

f

Ekor ke Kanan

x Mod Med


gambar 5.2Distribusi Miring ke Kanan


kemiringan positif, distribusi data miring kekiri disebut juga mempunyai kemiringan negatif, sedangkan distribusi data simetri disebut mempunyai kemiringan nol. Kemiringan distribusi data disebut juga kemencengan atau kemenjuluran (skewness).

Pola dari kemiringan distribusi data dapat diperoleh dengan cara menghaluskan poligon frekuensi dari suatu kelompok data.

a. Distribusi Simetri (kemiringan Nol)

f

x

Mod = Med =


f

Ekor ke Kanan

x Mod Med

��Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)

c. Distribusi Miring Ke Kiri (Kemiringan Negatif)

gambar 5.3Distribusi Miring ke Kiri


c. Distribusi Miring Kekiri (Kemiringan Negatif)

f

Ekor ke kiri

x

Med Mod

Cara-cara yang digunakan untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data yaitu :

5.1.1 Rumus Pearson

Pearson berkali-kali menekankan bahwa rata-rata hitung dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrimnya. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrim sedangkan median hanya dipengaruhi oleh kedudukannya. Bila sebuah distibusi memang simetris, rata-rata hitung = median = modus (6-5). Sebaliknya, biladistribusi tidak simetris maka rata-rata hitung median modus.

Persamaan kemiringan data menurut pearson yaitu sebagai berikut :

Atau

= ( - Mod) S

Cara-cara yang digunakan untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data yaitu dengan menggunakan rumus Pearson, rumus Momen dan rumus Bowley.

�.�.� Rumus Pearson

Pearson berkali-kali menekankan bahwa rata-rata hitung dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrimnya. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrim sedangkan median hanya dipengaruhi oleh kedudukannya. Bila sebuah distribusi memang simetris, rata-rata hitung = median = modus (6-5). Sebaliknya, bila distribusi tidak simetris maka rata-rata hitung ≠ median ≠ modus. Persamaan kemiringan data menurut Pearson yaitu sebagai berikut:

α

α

α

=−( )

=−( )

X ModS

X MedS

atau

Keterangan: = derajat kemi

3

rringan Pearson

X = rata-rata hitungMod = modusS = standar deviasiMed = median

atau

α

α

α

=−( )

=−( )

X ModS

X MedS

atau

Keterangan: = derajat kemi

3

rringan Pearson


Keterangan:α = derajat kemiringan Pearson



Rumus di atas dapat digunakan untuk data yang belum dikelompokkan dan data yang sudah dikelompokkan. Bila α = 0 atau mendekati nol maka dikatakan distribusi data simetri, bila α bertanda negatif maka dikatakan distribusi data miring ke kiri, dan bila α bertanda positif maka dikatakan distribusi data miring ke kanan. Semakin besar α maka distribusi data akan semakin miring atau semakin tidak simetri.

Contoh 5.1Tentukan kemiringan disribusi data berikut ini dengan menggunakan rumus Pearson jika diketahui data sebagai berikut: 7, 7, 4, 6, 5, 10, 5, 7, 6, 9

penyelesaian:Data yang telah diurutkan: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 10

Data yang diurutkan: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 10

X= + + +4 5 5 66 6 7 7 7 9 1010

6610

6 6

7

+ + + + + +

= =

=

X ,

Modus

Untuk memudahkan perhitungan standar deviasi pada data yang belum dikelompokkan maka dibuat tabel distribusi sebagai berikut ini:

tabel 5.1Perhitungan Standar Deviasi

X X2

4 165 255 256 366 367 497 497 499 81

10 100


Diperoleh x x

Sn x x

n n

∑ ∑∑ ∑

= =

=−( )−( )

=( )−( )

66 466

110 466 66

2

22 2

2

110 94660 4356

903 37

1 8

( )

=−

=

=

,

,Maka standar deviasi (S) = 3,37 33

Derajat kemiringan distribusi data menurut person adalah

αα

α

=−( )

=

=

X

-

bertanda negatif, maka distribu

ModS

6 61 830 21

,,,

ssi data miring ke kiri.

Derajat kemiringan distribusi data menurut Pearson adalah

Diperoleh x x

Sn x x

n n

∑ ∑∑ ∑

= =

=−( )−( )

=( )−( )

66 466

110 466 66

2

22 2

2

110 94660 4356

903 37

1 8

( )

=−

=

=

,

,Maka standar deviasi (S) = 3,37 33

Derajat kemiringan distribusi data menurut person adalah

αα

α

=−( )

=

=

X

-

bertanda negatif, maka distribu

ModS

6 61 830 21

,,,

ssi data miring ke kiri.α bertanda negatif, maka distribusi data miring ke kiri.

Contoh 5.2Tentukan kemiringan distribusi data berikut ini dengan menggunakan rumus Pearson jika diketahui data sebagai berikut: 8, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 5, 6, 5

penyelesaian:Data yang telah diurutkan: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9


Penyelesaian:Data yang diurutkan: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 88, 9

Med=

X

X

=+ + + + + + + + +

=

=

+( )

=

4 5 5 5 6 6 7 8 8 910

63106 312

6 6

6

,

Penyelesaian:Data yang diurutkan: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 88, 9

Med=

X

X

=+ + + + + + + + +

=

=

+( )

=

4 5 5 5 6 6 7 8 8 910

63106 312

6 6

6

,

Untuk memudahkan perhitungan standar deviasi pada data yang belum dikelompokkan maka dibuat tabel distribusi sebagai berikut ini:


X X2

4 165 255 255 256 366 367 498 648 649 81

∑x=63 ∑x2=421

Diperoleh x x= =∑∑ 63 4212

Diperoleh X X

Sn X X

n n

= =

=−( )−( )

=( )−( )

∑∑∑∑

63 421

110 421 63

10 9

2

22 2

2

(( )

=

=

= =

24190

2 6

2 6 1 6

,

, ,Maka standar deviasi (S)Dearajat kemirringan menurut rumus person adalah

MedS

α =−( )

=−( )

3

3 6 3 61 6

X

,,

== ( )

=3 0 180 54

,,

Jadi, bertanda positif, maka data miring kα ee kanan.


Diperoleh X X

Sn X X

n n

= =

=−( )−( )

=( )−( )

∑∑∑∑

63 421

110 421 63

10 9

2

22 2

2

(( )

=

=

= =

24190

2 6

2 6 1 6

,


MedS

α =−( )

=−( )

3

3 6 3 61 6

X

,,

== ( )

=3 0 180 54

,,

Jadi, bertanda positif, maka data miring kα ee kanan.

Derajat kemiringan menurut rumus Pearson adalah

Diperoleh X X

Sn X X

n n

= =

=−( )−( )

=( )−( )

∑∑∑∑

63 421

110 421 63

10 9

2

22 2

2

(( )

=

=

= =

24190

2 6

2 6 1 6

,


MedS

α =−( )

=−( )

3

3 6 3 61 6

X

,,

== ( )

=3 0 180 54

,,

Jadi, bertanda positif, maka data miring kα ee kanan.Jadi, α bertanda positif, maka distribusi data miring ke kanan.

Contoh 5.3 Tentukanlah derajat kemiringan dari data di bawah ini dengan menggunakan rumus Pearson!

tabel 5.3Distribusi Frekuensi

kelas frekuensi11 – 13 314 – 16 717 – 19 1120 – 22 1723 – 25 2Jumlah 40

penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan derajat kemiringan maka dibuat tabel distribusi sebagai berikut ini:

tabel 5.4Perhitungan

kelas f u Xi f u f u² f u³11 – 13 3 -2 12 -6 12 -2414 – 16 7 -1 15 -7 7 -717 – 19 11 0 18 0 0 020 – 22 17 1 21 17 17 1723 – 25 2 2 24 4 8 16Jumlah 40 8 44 2


Dari tabel di atas diketahui:

f fU fU fU

Xf Xi

f

= = = =

= = =

= +

∑∑ ∑∑∑

40 8 44 2

74440

18 6

2 3 dan

Med Lm

n2

.,

−−

= +−

∑ fi

fmC.

.16 5

402

10

11

= +−

=

= ++

=

.

, .

,

3

16 5 20 1011

3

19 22

Mod Lmo dd d

.c1

1 2

119 5 66 15

3

19 5 0 8420 34

12

2 2

, .

, ,,

++

= +=

=−( )−( )

∑∑S2 Cn fU fU

n n

=( )−( )( )

==

3 40 44 840 39

9 1 089

22

. ,, 772

9 723 12

1 76

0 59

S

X

==

−( )

−( )

=−

,,

,

,

α=1s

Mod

= 13,12

Jadi, – bertandda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiri.


Derajat kemiringan dengan menggunakan rumus Pearson:

f fU fU fU

Xf Xi

f

= = = =

= = =

= +

∑∑ ∑∑∑

40 8 44 2

74440

18 6

2 3 dan

Med Lm

n2

.,

−−

= +−

∑ fi

fmC.

.16 5

402

10

11

= +−

=

= ++

=

.

, .

,

3

16 5 20 1011

3

19 22

Mod Lmo dd d

.c1

1 2

119 5 66 15

3

19 5 0 8420 34

12

2 2

, .

, ,,

++

= +=

=−( )−( )

∑∑S2 Cn fU fU

n n

=( )−( )( )

==

3 40 44 840 39

9 1 089

22

. ,, 772

9 723 12

1 76

0 59

S

X

==

−( )

−( )

=−

,,

,

,

α=1s

Mod

= 13,12

Jadi, – bertandda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiri.Jadi, α bertanda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiri.

�.�.� Rumus Momen

Kemiringan relatif α3 sangat tergantung pada bentuk kurva frekuensi dan seringkali digunakan sebagai pengukuran kemiringan sekitar rata-rata distribusi teoritis.

�.�.�.� Kemiringan Distribusi Data yang Belum Dikelompokkan

Kemiringan distribusi data yang belum dikelompokkan melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, banyaknya data dan nilai standar deviasi. Persamaan derajat kemiringan (α3) secara umum bagi data yang belum dikelompokkan adalah sebagai berikut:

α3

3

3=−( )∑ X X

nS

Keterangan:– = derajat kemiringanX = nilai d

3

aata

X = nilai rata-rata hitungS = nilai standar deviasi

Keterangan:α3

3

3=−( )∑ X X

nS

Keterangan:– = derajat kemiringanX = nilai d

3

aata


= derajat kemiringanX = nilai data


Contoh 5.4Tentukan kemiringan distribusi data berikut ini dengan menggunakan rumus Momen jika diketahui datanya sebagai berikut: 8, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 5, 6, 5


Penyelesaian:Data yang telah diurutkan: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9

Penyelesaian:Datayangdiurutkan: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9

X

Med

=+ + + + + + + + +

=

=

= +( )

=

4 5 5 5 6 6 7 8 8 910

63106 312

6 6

6

,

Penyelesaian:Datayangdiurutkan: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9

X

Med

=+ + + + + + + + +

=

=

= +( )

=

4 5 5 5 6 6 7 8 8 910

63106 312

6 6

6

,

Untuk memudahkan perhitungan standar deviasi maka dibuat tabel distribusi sebagai berikut ini:


X X2

4 165 255 255 256 366 367 498 648 649 81

∑x=63 ∑x2=421

Diperoleh X X= =∑∑ 63 4212

Sn X X

n n2

2 2

2

110 421 63

10 924190

2 6

=−( )

−( )

=( )−( )( )

=

=

∑

,

Maka standarr deviasi

=X-X

( ) , ,

, , ,

S

nS

= =

( )

=

−( ) + −( ) + −

∑

2 6 1 6

4 6 3 5 6 3 5 6

3

2

3

3 3

α

33 5 6 3 6 6 3

6 6 3 7 6 3 8 6 3 8 6 3

3 3 3

3 3 3

( ) + −( ) + −( )

+ −( ) + −( ) + −( ) + −( )

, ,

, , , , 33 3

3

9 6 310 1 6

28 98140 96

0 71

+ −( )

( )

=

=

,,

,,

,Jadi, – bertanda positiif, maka distribusi data miring ke kanan.


Sn X X

n n2

2 2

2

110 421 63

10 924190

2 6

=−( )

−( )

=( )−( )( )

=

=

∑

,


=X-X

( ) , ,

, , ,

S

nS

= =

( )

=

−( ) + −( ) + −

∑

2 6 1 6

4 6 3 5 6 3 5 6

3

2

3

3 3

α

33 5 6 3 6 6 3

6 6 3 7 6 3 8 6 3 8 6 3

3 3 3

3 3 3

( ) + −( ) + −( )

+ −( ) + −( ) + −( ) + −( )

, ,

, , , , 33 3

3

9 6 310 1 6

28 98140 96

0 71

+ −( )

( )

=

=

,,

,,


Derajat kemiringan menurut rumus Momen adalah

Sn X X

n n2

2 2

2

110 421 63

10 924190

2 6

=−( )

−( )

=( )−( )( )

=

=

∑

,


=X-X

( ) , ,

, , ,

S

nS

= =

( )

=

−( ) + −( ) + −

∑

2 6 1 6

4 6 3 5 6 3 5 6

3

2

3

3 3

α

33 5 6 3 6 6 3

6 6 3 7 6 3 8 6 3 8 6 3

3 3 3

3 3 3

( ) + −( ) + −( )

+ −( ) + −( ) + −( ) + −( )

, ,

, , , , 33 3

3

9 6 310 1 6

28 98140 96

0 71

+ −( )

( )

=

=

,,

,,


Jadi, α bertanda positif, maka distribusi data miring ke kanan.

�.�.�.� Kemiringan Distribusi Data yang Sudah Dikelompokkan

Kemiringan distribusi data yang sudah dikelompokkan melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, frekuensi nilai data ke-i, banyaknya data dan nilai standar deviasi. Persamaan derajat kemiringan (α3) secara umum bagi data yang sudah dikelompokkan adalah sebagai berikut:

α3

3

3=−( )∑ f X X

nS

Keterangan:– = derajat kemiringan

X = nilai3

rata-rata hitungf = frekuensi nilai data ke-iS = standdar deviasin = banyaknya data

Keterangan:α3

3

3=−( )∑ f X X

nS

Keterangan:– = derajat kemiringan

X = nilai3

rata-rata hitungf = frekuensi nilai data ke-iS = standdar deviasin = banyaknya data

= derajat kemiringan

X = nilai rata-rata hitungf = frekuensi nilai data ke-iS = standar deviasin = banyaknya data


Contoh 5.5Tentukanlah derajat kemiringan dari data modal perusahaan Citra berikut ini!

tabel 5.6Modal Perusahaan Citra

Modal f112 – 120 4121 – 129 5130 – 138 8139 – 147 12148 – 156 5157 – 165 4166 – 174 2

penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:

tabel 5.7Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi, Standar Deviasi

dan Derajat Kemiringan

Modal Xi f (Xi - X )2 f (Xi– X)2 f (Xi– X)3

112 - 120 116 4 601.4756 2405.9024 -59004.76121 - 129 125 5 241.0256 1205.128 -187096.14130 - 138 134 8 42.5756 340.6048 -2222.48139 - 147 143 12 6.1256 73.5072 181.93148 - 156 152 5 131.6756 658.378 7554.89157 - 165 161 4 419.2256 1676.9024 34334.58166 - 174 170 2 868.7756 1737.5512 51214.32

40 8098 -155037.66


Dari tabel di atas diperoleh:

n atau f f Xi X

X

S

= −( ) =

=

=

=

=

∑∑ 40 80985621

40140 5258098

29207 64

2

2

,

,

SS

n S

==

=−( )( )

=−

=−

∑

207 6414 4

1550 66119439 36

1 29

3

3

3

,,

,,

,

αf X X

Jadi,, – bertanda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiiri.

Maka derajat kemiringan dengan menggunakan rumus Momen yaitu:

n atau f f Xi X

X

S

= −( ) =

=

=

=

=

∑∑ 40 80985621

40140 5258098

29207 64

2

2

,

,

SS

n S

==

=−( )( )

=−

=−

∑

207 6414 4

1550 66119439 36

1 29

3

3

3

,,

,,

,

αf X X

Jadi,, – bertanda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiiri.Jadi, α bertanda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiri.

�.�.�.� Rumus lain Kemiringan Distribusi Data yang Sudah Dikelompokkan

Khusus untuk data berkelompok dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, derajat kemiringan a₃, dapat dihitung dengan cara tranformasi sehingga lebih sederhana ketika menghitung rata-rata hitung dan standar deviasi, yaitu sebagai berikut;


α3

3

3

3 2 3

32

2= −

+( )∑ ∑ ∑ ∑C

Sfu

nfu

nfu fu

n

Keterangan : a3 = derajat kemiringan C = interval kelas S = standar deviasi n = banyaknya data u = ... -2, -1 , 0 , 1, 2 ... f = frekuensi

Bila distribusi simetris sekitar rata-ratanya maka α3 = 0. Sebaliknya,bila distribusi menceng sekitar rata-ratanya,maka α3 akan mnghasilkan nilai positif atau negatif sesuai dengan arah menceng distribusi. Kenney menganggap hasil α3 yang bervariasi antara ± 2 sebagai pertanda bagi distribusi yang menceng secara moderat. Sebaliknya α3 > ± 2 menggambarkan distribusi yang menceng secara berarti sekali. Dalam perumusan kurva Pearson jenis III tentang hubungan antara besarnya α3 dan tingkat kemencengan yang berpedoman pada sebuah distribusi normal, Karl Pearson menganggap bahwa distribusi yang sangat menceng memiliki α3 > ± 0,50

Contoh 5.6 Tentukanlah derajat kemiringan dari data berat badan 50 mahasiswa jurusan Teknik Industri di Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:

tabel 5.8Distribusi Frekuensi Data dari Berat Badan 50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung

Berat Badan Frekuensi45 – 49 550 – 54 1255 – 59 1660 – 64 1365 – 69 4


penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan variansi, standar deviasi dan derajat kemiringan pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:

tabel 5.9Perhitungan Derajat Kemiringan

Berat badan Xi f U fu fu2 fu3 fu4

45 – 49 47 5 -2 -10 20 -40 8050 – 54 52 12 -1 -12 12 -12 1255 – 59 57 16 0 0 0 0 060 – 64 62 13 1 13 12 13 1365 – 69 67 4 2 8 16 32 64

-1 61 -7 169

Dari tabel diatas diperoleh:

C n f

fu fu

fu fu

S C

= = =

= =

= =

=

∑∑ ∑∑ ∑

5 50

1 61

7 169

2

3 4

2

,

-

-

222 2

22

1

5 50 61 150 49

n fu fu

n n

−( )−( )

=( )−( )(

∑∑

-))

=−{ }

=

==

= ∑

25 3050 12450

1 24

1 241 11

3

3

3

,

,,

S

CS

fuα3

nnfu

nfu

n

fu

n−

+( )

∑ ∑ ∑3 22 3

=−−−5

1 117

503 61

501

50

3

3, +

−( )

= − −

2 150

1251 36

0 14

3

,, 33 1 22 0 22 2 0 000008

91 9 0 8779 9

, , ,

, ,,

( ) −( )+ −( ){ }

= −( )

=−


Derajat kemiringan distribusi data menurut momen adalah

C n f

fu fu

fu fu

S C

= = =

= =

= =

=

∑∑ ∑∑ ∑

5 50

1 61

7 169

2

3 4

2

,

-

-

222 2

22

1

5 50 61 150 49

n fu fu

n n

−( )−( )

=( )−( )(

∑∑

-))

=−{ }

=

==

= ∑

25 3050 12450

1 24

1 241 11

3

3

3

,

,,

S

CS

fuα3

nnfu

nfu

n

fu

n−

+( )

∑ ∑ ∑3 22 3

=−−−5

1 117

503 61

501

50

3

3, +

−( )

= − −

2 150

1251 36

0 14

3

,, 33 1 22 0 22 2 0 000008

91 9 0 8779 9

, , ,

, ,,

( ) −( )+ −( ){ }

= −( )

=−

Jadi, α bertanda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiri.

�.�.� Rumus Bowley

Sebuah perumusan tentang pengukuran kemiringan yang lebih sederhana dari perumusan Pearson telah dikembangkan oleh A.L Bowley. Bowley mengembangkan koefisiennya atas dasar hubungan antara statistik Q1, Q3 dan median dari sebuah distribusi. Jika sebuah distribusi simetris, maka jarak antara kedua kuartil diatas dari mediannya seharusnya sama. Sebaliknya, bila distribusi tersebut tidak simetris, maka jarak antara kedua kuartil dari kedua mediannya tidak akan sama. Secara Aljabar,bila distribusi simetris, maka:

(Q3 – Q2) = (Q2 – Q1) atau (Q3 – Med) = (Med – Q1)

Sebaliknya, pada distribusi yang menceng secara positif, maka (Q3 – Med) > (Med – Q1)sedangkan pada distribusi yang menceng secara negatif, maka (Q3 – Med) < (Med – Q1).


Persamaan derajat kemiringan dengan menggunakan rumus Bowley dapat ditentukan sebagai berikut:

α=+( )−

Q Q QQ Q

3 1 2

3 1

-

Keterangan:Q = kuartilke-1Q = kuartilke

1

2 --2Q = kuartilke-33

Keterangan:a = derajat kemiringan BowleyQ1 = kuartil ke-1Q2 = kuartil ke-2Q3 = kuartil ke-3

Bowley berpendapat bahwa α = ± 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng secara tidak berarti. Sebaliknya α > ± 0,30 menggambarkan distribusi yang menceng secara berarti sekali.

Contoh 5.7Tentukanlah derajat kemiringan dari kelompok data di bawah ini! 10, 5, 4, 7, 4, 6, 9, 8, 12, 11, 6, 10, 5, 4, 3, 13.

penyelesaian: Penyelesaian:Median = Q = 6

Q = nilai ke-1 16 + 14

= nila

2

1( )

ii ke-4 14

Jadi,

Q = nilai ke-4 + 14


=4

1 −( )

+ 14

5 4

Q = nilai ke- 3 16 + 14

= nilai ke-1

3

−( )

= +=

( )

4 0 254 25

,,

22 34

Jadi,

Q = nilai ke-12 + 34

nilaike-13 nilai ke-12

=10 +

3 −( )

34

10 10

=10Maka derajat kemiringan menggunakan rumus Bo

−( )

wwley, yaitu sebagai berikut:

α = + −−

= + −−

Q Q QQ Q

3 1 2

3 1

10 4 25 610 4

,,,

,,,

258 255 751 43

=

=Jadi, nilai – positif berarti distribusi data miring ke kanan.


Penyelesaian:Median = Q = 6

Q = nilai ke-1 16 + 14

= nila

2

1( )

ii ke-4 14

Jadi,

Q = nilai ke-4 + 14


=4

1 −( )

+ 14

5 4

Q = nilai ke- 3 16 + 14

= nilai ke-1

3

−( )

= +=

( )

4 0 254 25

,,

22 34

Jadi,



=10 +

3 −( )

34

10 10


−( )


α = + −−

= + −−

Q Q QQ Q

3 1 2

3 1

10 4 25 610 4

,,,

,,,

258 255 751 43

=

=Jadi, nilai – positif berarti distribusi data miring ke kanan.

Maka derajat kemiringan menggunakan rumus Bowley yaitu sebagai berikut:

Penyelesaian:Median = Q = 6

Q = nilai ke-1 16 + 14

= nila

2

1( )

ii ke-4 14

Jadi,

Q = nilai ke-4 + 14


=4

1 −( )

+ 14

5 4

Q = nilai ke- 3 16 + 14

= nilai ke-1

3

−( )

= +=

( )

4 0 254 25

,,

22 34

Jadi,



=10 +

3 −( )

34

10 10


−( )


α = + −−

= + −−

Q Q QQ Q

3 1 2

3 1

10 4 25 610 4

,,,

,,,

258 255 751 43

=

=Jadi, nilai – positif berarti distribusi data miring ke kanan.Jadi, nilai α positif, berarti distribusi data miring ke kanan.

Contoh 5.8Diketahui kelompok data sebagai berikut: 6, 9, 4, 3, 7, 8, 3, 5, 4, 3, 9, 7.

Tentukanlah derajat kemiringan dengan menggunakan rumus Bowley!


penyelesaian:Penyelesaian:

Median = Q = 5 + 62

Q = nilai ke-1 12 + 1

2

1

= 5 5,(( )

−

4

= nilai ke-3 14

Jadi,

Q = nilai ke-3 + 14

nilai ke-4 nilai1 ke-3

= 3 + 0,25

Q = nilai ke- 3 12 + 14

= nilai ke-9

3

( )

=

( )

3 25,

334

Jadi,

Q = nilai ke-9 + 34


= 7 + 3

3 −( )

448 7

= 7 + 0,75=7,75

Derajat kemiringan menggunakan rumus

−( )

Bowley:

α=+ −−

=+ −−

=

=

Q Q QQ Q

3 1 2

3 1

7 75 3 25 5 57 75 3 25

5 54 51 2

, , ,, ,

,,

, 22Jadi, nilai – positif berarti distribusi data miring ke kkanan.

Derajat kemiringan menggunakan rumus Bowley

Penyelesaian:

Median = Q = 5 + 62

Q = nilai ke-1 12 + 1

2

1

= 5 5,(( )

−

4

= nilai ke-3 14

Jadi,

Q = nilai ke-3 + 14

nilai ke-4 nilai1 ke-3

= 3 + 0,25

Q = nilai ke- 3 12 + 14

= nilai ke-9

3

( )

=

( )

3 25,

334

Jadi,

Q = nilai ke-9 + 34


= 7 + 3

3 −( )

448 7

= 7 + 0,75=7,75

Derajat kemiringan menggunakan rumus

−( )

Bowley:

α=+ −−

=+ −−

=

=

Q Q QQ Q

3 1 2

3 1

7 75 3 25 5 57 75 3 25

5 54 51 2

, , ,, ,

,,

, 22Jadi, nilai – positif berarti distribusi data miring ke kkanan.

Jadi, α positif yang berarti distribusi datanya miring ke kanan.


�.� Keruncingan Distribusi Data

Derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data disebut keruncingan distribusi data. Keruncingan data disebut kurtosis. Ada tiga jenis derajat keruncingan: a. Leptokurtis, distribusi data yang puncaknya relatif tinggi. b. Mesokurtis, distribusi data yang puncaknya normal, tidak terlalu

runcing. c. Platikurtis, distribusi data yang puncaknya terlalu rendah atau terlalu

mendatar. Maka, syarat keruncingan terbagi atas tiga yaitu: Jika α4 = 3, Mesokurtis Jika α4 > 3, Leptokurtis Jika α4 < 3, Platikurtis

Tiga jenis keruncingan distribusi data dapat digambarkan sebagai berikut ini: a. Leptokurtis

gambar 5.4 Leptokurtis


5.2 Keruncingan Distribusi Data Derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu

distribusi data terhadap distribusi normalnya data disebut keruncingan distribusi data. Keruncingan data disebut kurtosis.

Ada tiga jenis derajat keruncingan :

a. Leptokurtis, distribusi data yang puncaknya relatif tinggi. b. Mesokurtis, distribusi data yang puncaknya normal, tidak

terlalu runcing. c. Platikurtis, distribusi data yang puncaknya terlalu rendah

atau terlalu mendatar.

Maka, syarat keruncingan terbagi atas tiga yaitu : Jika 4 = 3, Mesokurtis Jika 4 > 3, Leptokurtis Jika 4 < 3 ,Platikurtis

Tiga jenis keruncingan distribusi data dapat digambarkan sebagai berikut ini :

a. Leptokurtis

f Puncak runcing

X


b. Mesokurtis

gambar 5.5 Mesokurtis


b. Mesokurtis f Puncak normal

X

c. Platikurtis

f Puncak tumpul

X

5.2.1 Keruncingan Distribusi Data Yang Belum Dikelompokkan

Keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, banyaknya data dan nilai standar deviasi. Persamaan derajat keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan dapat ditentukan sebagai berikut :

c. Platikurtis

gambar 5.6Platikurtis



X

c. Platikurtis

f Puncak tumpul

X





X

c. Platikurtis

f Puncak tumpul

X



�.�.� Keruncingan Distribusi Data yang Belum Dikelompokkan

Keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, banyaknya data dan nilai standar deviasi. Persamaan derajat keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan dapat ditentukan sebagai berikut:


α4 4

41= −( )∑nS

X X

Keterangan:– = derajat keruncinganX = nila

4

ii data

X = nilai rata-rata hitungS = standar deviasin=baanyaknyadata

Keterangan:a4 = derajat keruncinganX = nilai data

X = nilai rata-rata hitungS = standar deviasin = banyakya data

Contoh 5.9Diketahui kelompok data sebagai berikut: 6, 4, 3, 7, Tentukanlah derajat keruncingan dari kelompok data di atas!

penyelesaian:

X

SX Xn

=+ + +

=

=

=−( )−

=−( ) + −( ) + −( ) + −( )

∑

3 4 6 74

204

5

13 5 4 5 6 5 7 5

4

2

2

2 2 2 2

−−

=+ + +

=

14 1 1 4

33 33,

Jadi, standar deviasi dari kelompok data ttersebut adalah:

S= 3,33

Maka, derajat keruncingannya a=1 82,

ddalah sebagai berikut:

= 1nS4α4

4

4

14 1 82

16 1 1 16

X Xi−( )

=( )

+ + +

=

∑

,00 77,

Jadi, – kurang dari 3, maka distribusi data mempunyai derajat keruncingan platikurtis.


X

SX Xn

=+ + +

=

=

=−( )−

=−( ) + −( ) + −( ) + −( )

∑

3 4 6 74

204

5

13 5 4 5 6 5 7 5

4

2

2

2 2 2 2

−−

=+ + +

=

14 1 1 4

33 33,


S= 3,33



= 1nS4α4

4

4

14 1 82

16 1 1 16

X Xi−( )

=( )

+ + +

=

∑

,00 77,

Jadi, – kurang dari 3, maka distribusi data mempunyai derajat keruncingan platikurtis.


Maka, derajat keruncingannya adalah sebagai berikut:

X

SX Xn

=+ + +

=

=

=−( )−

=−( ) + −( ) + −( ) + −( )

∑

3 4 6 74

204

5

13 5 4 5 6 5 7 5

4

2

2

2 2 2 2

−−

=+ + +

=

14 1 1 4

33 33,


S= 3,33



= 1nS4α4

4

4

14 1 82

16 1 1 16

X Xi−( )

=( )

+ + +

=

∑

,00 77,

Jadi, – kurang dari 3, maka distribusi data mempunyai derajat keruncingan platikurtis. Jadi, a kurang dari 3 maka distribusi data mempunyai derajat keruncingan platikurtis.

�.�.� Keruncingan Distribuisi Data yang Sudah Dikelompokkan

Keruncingan distribusi data yang sudah dikelompokkan melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, nilai frekuensi kelas ke-i, banyaknya data dan nilai standar deviasi. Persamaan derajat keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan dapat ditentukan sebagai berikut:

α4 4

41= −( )∑nS

f Xi x

Keterangan:– = derajat keruncinganXi =

4

nnilai titik tengah kelas ke-if = frekuensi data kelas ke-i

X = nilai rata-rata hitungS = standar deviasin = banyaknya data

Keterangan:a4 = derajat keruncinganXi = nilai titik tengah kelas ke-if = frekuensi data kelas ke-i

X = nilai rata-rata hitungS = standar deviasin = banyaknya data

Contoh 5.10Tentukanlah derajat keruncingan dari data nilai ujian B. Inggris 50 Mahasiswa jurusan Pariwisata Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:


tabel 5.10Data Nilai Ujian B.Inggris 50 Mahasiswa Jurusan Pariwisata Universitas BSI Bandung

kelas titik tengah frekuensi20 – 29 24,5 4

30 – 39 34,5 7

40 – 49 44,5 8

50 – 59 54,5 12

60 – 69 64,5 9

70 – 79 74,5 8

80 – 89 84,5 2

Jumlah 50

penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan derajat keruncingan pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan seperti di bawah ini:


kelas Xi f f.Xi f(Xi – X)2 f(Xi – X)4

20 – 29 24,5 4 98 3457,44 2988472,8

30 – 39 34,5 7 241,5 2634,52 991527,9

40 – 49 44,5 8 356 706,88 62459,9

50 – 59 54,5 12 654 4,32 1,55

60 – 69 64,5 9 580,5 1011,24 113622,9

70 – 79 74,5 8 596 3394,88 1440651,3

80 – 89 84,5 2 169 1872,72 1753540,1

Jumlah 50 2695 13082 7350276,5


f

f Xi X

∑∑=

−( ) =

50

130822

fXi=2695

f Xi-X =7.350.276,5

= 16,34

4

∑∑ ( )

=

=

=

=

S

S

2

4

1308249

266 9

266 9

1

,

,

αnnS

f Xi X4

4

41

50 16 347 350 276 5

2 6

−( )

=( )

=

∑

,. . ,

,


f

f Xi X

∑∑=

−( ) =

50

130822

fXi=2695

f Xi-X =7.350.276,5

= 16,34

4

∑∑ ( )

=

=

=

=

S

S

2

4

1308249

266 9

266 9

1

,

,

αnnS

f Xi X4

4

41

50 16 347 350 276 5

2 6

−( )

=( )

=

∑

,. . ,

,

Maka, derajat keruncingan dari data di atas adalah

f

f Xi X

∑∑=

−( ) =

50

130822

fXi=2695

f Xi-X =7.350.276,5

= 16,34

4

∑∑ ( )

=

=

=

=

S

S

2

4

1308249

266 9

266 9

1

,

,

αnnS

f Xi X4

4

41

50 16 347 350 276 5

2 6

−( )

=( )

=

∑

,. . ,

,

Jadi, a kurang dari 3 maka distribusi data mempunyai derajat keruncingan platikurtis.

�.� Rangkuman

Kemiringan distribusi data adalah derajat atau ukuran dari ketidaksimetrian atau asimetri suatu distribusi data. Bila α = 0 atau mendekati 0 maka dikatakan distribusi data simetri, bila α bertanda negatif maka dikatakan distribusi data miring ke kiri, dan bila α bertanda positif maka dikatakan distribusi data miring ke kanan. Semakin besar α maka distribusi data akan semakin miring atau semakin tidak simetri. Keruncingan adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Keruncingan distribusi data disebut juga Kurtosis. Ada 3 jenis derajat keruncingan,


yaitu Leptokurtis artinya distribusi data yang puncaknya relatif tinggi. Mesokurtis artinya distribusi data yang puncaknya normal. Yang terakhir adalah Platikurtis artinya distribusi data yang puncaknya terlalu rendah atau terlalu mendatar.


5.4.1 Data nilai Ujian Akhir Semester 80 mahasiswa jurusan Manajemen Pemasaran Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:

tabel 5.12Data Nilai Ujian Akhir Semester 80 Mahasiswa Jurusan Manajemen

Pemasaran Universitas BSI Bandung

Nilai ujian f31 – 40 141 – 50 251 – 60 561 – 70 1571 – 80 2581 – 90 20

91 – 100 12Jumlah 80

Tentukanlah nilai-nilai:a. Rata-Rata Hitungb. Variansic. Standar Deviasid. Q₁, Q₂ dan Q₃e. Modusf. Derajat Kemiringan dengan menggunakan rumus Pearsong. Derajat Kemiringan dengan menggunakan rumus Momenh. Derajat Kemiringan dengan menggunakan rumus Bowleyi. Derajat Keruncingan



5.5.1 Untuk memudahkan perhitungan pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:


Nilai ujian

f Xi f.Xi f (Xi – X)² f (Xi – X)³ f (Xi – X)⁴

31 – 40 1 35,5 35,5 3074,7 170492,2 9453795,541 – 50 2 45,5 91 4131,4 -187772,3 8534253,651 – 60 5 55,5 277,5 6283,5 -222750,5 7896505,961 – 70 15 65,5 982,5 9715,5 -247260,4 6292777,971 – 80 25 75,5 1887,5 5967,5 -92198,8 1424472,181 – 90 20 85,5 1710 594,1 -3237,5 17644,891– 100 12 95,5 1146 248,4 1130,3 5143,1

80 7276 30015,1 -922581,4 33624592,9


f

f Xi

f Xi

∑∑

∑

=

=

−

80

7276 .

XX

f Xi X

f Xi X

( ) =−( ) =−( ) =

∑∑

2

3

4

30015,1

-922581,4

33624592,9

a.

b.

c.

X

Sf Xi xn

S

=

=

=−( )−

=

=

=

∑

727680

90 95

130015 1

79379 94

3

2

2

,

,

,

779 94 19 49

14

60 5

804

8

1510

60 5 2

1 1

, ,

.

, .

,

=

= +−( )

= +−( )

= +

∑d. Q Lq

n F

fC

00 815

10

60 5 868 5

24

70 5

1604

23

25

2 2

−( )

= +=

= +−( )

= +−

∑

.

,,

.

,

Q Lq

n F

fC

= +−

= +

.

, .

, ,

10

70 5 40 2325

10

70 5 6 8==

= +−

= +−

∑

77 3

34

80 5

2404

48

20

3 3

,

.

,

Q Lq

n F

fC

= +−

= +

.

, .

,

10

80 5 60 4820

10

80 5 6== 86 5,


a.

b.

c.

X

Sf Xi xn

S

=

=

=−( )

−

=

=

=

∑

727680

90 95

130015 1

79379 94

3

2

2

,

,

,

779 94 19 49

14

60 5

804

8

1510

60 5 2

1 1

, ,

.

, .

,

=

= +−( )

= +−( )

= +

∑d. Q Lq

n F

fC

00 815

10

60 5 868 5

24

70 5

1604

23

25

2 2

−( )

= +=

= +−( )

= +−

∑

.

,,

.

,

Q Lq

n F

fC

= +−

= +

.

, .

, ,

10

70 5 40 2325

10

70 5 6 8==

= +−

= +−

∑

77 3

34

80 5

2404

48

20

3 3

,

.

,

Q Lq

n F

fC

= +−

= +

.

, .

,

10

80 5 60 4820

10

80 5 6== 86 5,


e. Mod=Lmo++

= ++

dd d

C1

1 2

70 5 1010 5

1

.

, . 00

70 5 6 6677 16

922581 480 19 49

3

3

3

3

= +=

=−( )

=−( )

=

∑

, ,,

,,

g. αf X X

nS

−−

=−

=+ −( )−

=+ −

922581 4592277 81 56

86 5 68 5 7

3 1 2

3 1

,,

,

, ,

h. αQ Q Q

Q Q77 3

86 5 68 54 32

41

80 19 493362459

44

,, ,

,

,.

( )

−=

−( )

=( )

∑i. = 1α f Xi X

22 9

2 9

,

,=

f. Mod

α=−( )

=−

=

XS

90 95 77 1619 49

0 70

, ,,

,

Jadi, nilai α bertanda positif, maka distribusi data miring ke kanan.

e. Mod=Lmo++

= ++

dd d

C1

1 2

70 5 1010 5

1

.

, . 00

70 5 6 6677 16

922581 480 19 49

3

3

3

3

= +=

=−( )

=−( )

=

∑

, ,,

,,

g. αf X X

nS

−−

=−

=+ −( )−

=+ −

922581 4592277 81 56

86 5 68 5 7

3 1 2

3 1

,,

,

, ,

h. αQ Q Q

Q Q77 3

86 5 68 54 32

41

80 19 493362459

44

,, ,

,

,.

( )

−=

−( )

=( )

∑i. = 1α f Xi X

22 9

2 9

,

,=

Jadi, nilai α bertanda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiri.

e. Mod=Lmo++

= ++

dd d

C1

1 2

70 5 1010 5

1

.

, . 00

70 5 6 6677 16

922581 480 19 49

3

3

3

3

= +=

=−( )

=−( )

=

∑

, ,,

,,

g. αf X X

nS

−−

=−

=+ −( )−

=+ −

922581 4592277 81 56

86 5 68 5 7

3 1 2

3 1

,,

,

, ,

h. αQ Q Q

Q Q77 3

86 5 68 54 32

41

80 19 493362459

44

,, ,

,

,.

( )

−=

−( )

=( )

∑i. = 1α f Xi X

22 9

2 9

,

,=

Jadi, nilai α bertanda positif, maka distribusi datanya miring ke kanan.


e. Mod=Lmo++

= ++

dd d

C1

1 2

70 5 1010 5

1

.

, . 00

70 5 6 6677 16

922581 480 19 49

3

3

3

3

= +=

=−( )

=−( )

=

∑

, ,,

,,

g. αf X X

nS

−−

=−

=+ −( )−

=+ −

922581 4592277 81 56

86 5 68 5 7

3 1 2

3 1

,,

,

, ,

h. αQ Q Q

Q Q77 3

86 5 68 54 32

41

80 19 493362459

44

,, ,

,

,.

( )

−=

−( )

=( )

∑i. = 1α f Xi X

22 9

2 9

,

,= Jadi, nilai a kurang dari 3 maka distribusi data mempunyai

derajat keruncingan platikurtis.

��

angKa InDeKSBab 6

Kata indeks sudah sering kita dengar melalui berbagai media, misalnya sering dilaporkan dalam pemberitaan mengenai indeks harga dan

indeks gabungan. Ketidakseimbangan antara fluktuasi pendapatan golongan yang berpendapatan tetap dan fluktuasi harga-harga umum yang menimbulkan ketegangan-ketegangan sosial kecil. Ketidakseimbangan antara harga barang industri yang harus dibayar oleh para petani dengan pendapatan petani yang diperoleh dari penjualan barang-barang menimbulkan kegoncangan-kegoncangan pada kegiatan-kegiatan ekonomi dan ketegangan sosial.

�.� Pengertian

Suatu ukuran statistik yang menunjukkan perubahan-perubahan atau perkembangan-perkembangan keadaan, kegiatan, dan peristiwa yang sama jenisnya yang berhubungan satu sama lainnya disebut angka indeks. Dengan kata lain, angka indeks merupakan suatu ukuran yang dipakai untuk perbandingan dua keadaan yang sama jenisnya dalam dua waktu yang berbeda. Maka dari itu fungsi angka indeks adalah untuk mengukur secara kuantitatif adanya perubahan dari keadaan dalam dua waktu yang berlainan. Dengan adanya angka indeks, kita dapat mengetahui kenaikan


dan penurunan dalam suatu kegiatan dan usaha yang dilaksanakan. Misalnya, biaya hidup, ekspor, harga, tingkat pengangguran, dan upah waktu tertentu dibanding dengan waktu sebelumnya. Atau dapat juga dipakai untuk membandingkan kecerdasan para mahasiswa dari tahun ke tahun. Dalam membuat angka indeks diperlukan dua macam waktu yaitu diantaranya: a. Waktu Dasar (Base Period) yaitu waktu dimana suatu kejadian atau

peristiwa dipergunakan untuk dasar perbandingan. b. Waktu yang sedang berjalan (Current Period) yaitu waktu dimana

suatu kejadian atau peristiwa akan diperbandingkan terhadap kegiatan pada waktu dasar.

�.� Pemilihan Tahun Dasar

Beberapa syarat yang perlu diperhatikan dalam memilih tahun dasar yaitu: 1. Waktu sebaiknya menunjukkan keadaan perekonomian yang stabil,

dimana harga tidak berubah dengan cepat sekali. 2. Waktu sebaiknya usahakan paling lama 10 tahun atau lebih baik kurang

dari 5 tahun. 3. Waktu dimana terjadi peristiwa penting. 4. Waktu dimana tersedia data untuk keperluan pertimbangan, hal ini

tergantung pada tersedianya biaya untuk pengumpulan data.

�.� Peranan Angka Indeks dalam Ekonomi

Peranan angka indeks dalam ekonomi yaitu diantaranya: 1. Dapat dijadikan standar atau pedoman untuk melakukan perbandingan

dari periode ke periode lainnya. 2. Indeks harga merupakan petunjuk yang dapat digunakan untuk

mengukur pertumbuhan ekonomi secara umum.

��Bab 6 Angka Indeks

3. Indeks harga dalam perdagangan besar dapat memberikan gambaran dalam perdagangan.

4. Indeks harga konsumen dan indeks biaya hidup dapat digunakan sebagai dasar penetapan gaji, termasuk dasar untuk mengubahnya.

5. Indeks harga yang dibayar atau diterima petani dapat menggambarkan apakah petani itu semakin makmur atau sebaliknya.

�.� Indeks Harga Tidak Tertimbang (Unweighted Index)

Metode angka indeks tidak tertimbang digunakan untuk mengetahui perkembangan suatu harga, yaitu terfokus hanya pada harga dan tidak mempertimbangkan kuantitasnya. Indeks Harga Tidak Tertimbang (Unweight Index) terbagi menjadi tiga macam yaitu sebagai berikut:

�.�.� Indeks Relatif Harga Sederhana (Simple Relatif Price Index)

Indeks yang terdiri dari satu macam barang saja, baik untuk indeks produksi maupun indeks harga disebut indeks relatif harga sederhana. Perbandingan dari suatu harga barang pada waktu tertentu terhadap waktu sebelumnya (waktu dasar). Jika harga barang pada waktu tertentu (waktu sedang berjalan) dilambangkan dengan Pn dan harga pada waktu dasar dilambangkan dengan Po, maka indeks relatif harga (In,o) dirumuskan sebagai berikut: Rumus:

I PPn o

n

o. %= ×100

Keterangan:I = indeks Relatif Harga Sedern.o hhanaP = harga masing-masing barang pada waktu berjalanP

n

oo = harga masing-masing barang pada waktu dasar

Keterangan:In,o = Indeks Relatif Harga SederhanaPn = harga masing-masing barang pada waktu berjalanPo = harga masing-masing barang pada waktu dasar


Contoh 6.1Harga coki-coki pada tahun 2000 adalah Rp. 300,00 dan pada tahun 2005 adalah Rp. 500,00 dalam hal ini tahun 2000 sebagai tahun dasar dan tahun 2005 sebagai tahun berjalan. Tentukanlah indeks relatif harga sederhana!

penyelesaian:

IPP

n

o20052000

100

500300

100

166 67

= ×

= ×

=

%

%

, %

Angka indeks sederhana relatif harga tersebut menunjukkan bahwa pada tahun 2005 harga coki-coki tersebut adalah 166,67% dari harga pada tahun 2000, yaitu mengalami kenaikan sebesar 66,67%.

Contoh 6.2Harga beras dari ketiga daerah pada tahun 2002, 2004, dan 2007 disajikan pada tabel berikut ini:

tabel 6.1Harga Beras Dari 3 Daerah

Nama Daerah 2002 2004 2007Beras Padang 3500 4500 6000Beras Bandung 4000 5500 6500Beras Surabaya 3000 5000 5500

Tentukan indeks relatif harga pada tahun 2004 dan 2007 dengan memakai tahun dasar 2002!

penyelesaian:Indeks relatif harga beras Padang:


IPP

IPP

n

o

n

o

20042002

20072002

100

45003500

100

128 57

10

= ×

= ×

=

= ×

%

%

, %

00

60003500

100

171 43

100

55004000

100

20042002

%

%

, %

%

%

= ×

=

= ×

= ×

IPP

n

o

==

= ×

= ×

=

=

137 5

100

65004000

100

162 5

20072002

20042002

, %

%

%

, %

IPP

I

n

o

PPP

IPP

n

o

n

o

×

= ×

=

= ×

=

100

50003000

100

166 67

100

550040

20072002

%

%

, %

%

000100

137 5

×

=

%

, %

IPP

IPP

n

o

n

o

20042002

20072002

100

45003500

100

128 57

10

= ×

= ×

=

= ×

%

%

, %

00

60003500

100

171 43

100

55004000

100

20042002

%

%

, %

%

%

= ×

=

= ×

= ×

IPP

n

o

==

= ×

= ×

=

=

137 5

100

65004000

100

162 5

20072002

20042002

, %

%

%

, %

IPP

I

n

o

PPP

IPP

n

o

n

o

×

= ×

=

= ×

=

100

50003000

100

166 67

100

550040

20072002

%

%

, %

%

000100

137 5

×

=

%

, %

Indeks relatif harga beras Bandung:

IPP

IPP

n

o

n

o

20042002

20072002

100

45003500

100

128 57

10

= ×

= ×

=

= ×

%

%

, %

00

60003500

100

171 43

100

55004000

100

20042002

%

%

, %

%

%

= ×

=

= ×

= ×

IPP

n

o

==

= ×

= ×

=

=

137 5

100

65004000

100

162 5

20072002

20042002

, %

%

%

, %

IPP

I

n

o

PPP

IPP

n

o

n

o

×

= ×

=

= ×

=

100

50003000

100

166 67

100

550040

20072002

%

%

, %

%

000100

137 5

×

=

%

, %

Indeks relatif harga beras Surabaya:

IPP

IPP

n

o

n

o

20042002

20072002

100

45003500

100

128 57

10

= ×

= ×

=

= ×

%

%

, %

00

60003500

100

171 43

100

55004000

100

20042002

%

%

, %

%

%

= ×

=

= ×

= ×

IPP

n

o

==

= ×

= ×

=

=

137 5

100

65004000

100

162 5

20072002

20042002

, %

%

%

, %

IPP

I

n

o

PPP

IPP

n

o

n

o

×

= ×

=

= ×

=

100

50003000

100

166 67

100

550040

20072002

%

%

, %

%

000100

137 5

×

=

%

, %


�.�.� Indeks Harga Agregatif Sederhana (Tidak Tertimbang)

Indeks agregatif tidak tertimbang digunakan untuk unit-unit yang mempunyai satuan yang sama. Indeks ini diperoleh dengan cara membagi hasil penjumlahan harga pada waktu yang bersangkutan dengan hasil penjumlahan harga pada waktu dasar. Indeks harga agregatif sederhana membandingkan jumlah semua harga barang pada tahun berjalan untuk tiap tahun dasar. Persamaan angka indeks agregatif sederhana (tidak tertimbang) ditentukan sebagai berikut:

IP

PHAn

o

= ×∑∑

100%

Keterangan:IHA = Indeks Harga Agregatif∑ Pn = Jumlah semua harga barang pada tahun berjalan.∑ Po = Jumlah semua harga barang pada tahun dasar.

Kelebihan dari indeks agregatif ini adalah cara perhitungannya lebih mudah dipahami dan dipakai. Sedangkan kekurangannya dari indeks agregatif adalah sebagai berikut: 1. Indeks ini tidak memperhatikan arti penting secara relatif dari berbagai

komoditi, sebab semua harga komoditi diberi bobot (timbangan) yang sama atau mempunyai arti penting yang sama.

2. Indeks ini peka terhadap satuan dalam pencatatan harga seperti liter, gram, dan sebagainya.

Contoh 6.3PT Kasih membeli lima jenis kebutuhan pokok pada tahun 2000 dan 2005, ditampilkan dalam tabel berikut ini:


tabel 6.2Kebutuhan-Kebutuhan Pokok Tahun 2000 dan 2005

Jenis kebutuhan pokokharga

2000 2005

Roti 5000 7500Tepung 3000 6000Beras 4500 8000Minyak 4000 8000Susu 5000 10000

Tentukanlah indeks harga agregatif sederhana dari lima jenis kebutuhan pokok!

penyelesaian: ∑Pn = 7500 + 6000 + 8000 + 8000 + 10000 = 39500 ∑P0 = 5000 + 3000 + 4500 + 4000 + 5000 = 21500

Jadi, angka indeks harga agregatif sederhana dari PT Kasih adalah:

P

Pn

o

= + + + + =

= + + +

∑∑

7500 6000 8000 8000 10000 39500

5000 3000 4500 4000++ =

×

= ×

=

∑∑

5000 21500

100

3950021500

100

183 72

I =HA

P

Pn

o

%

%

, %

Jadi, secara agregat (keseluruhan) harga lima kebutuhan pokok pada tahun 2005 mengalami kenaikan 83,72 dibandingkan tahun 2000.

Contoh 6.4PT. Jaya Agung membeli beberapa jenis bahan bangunan pada tahun 2003 dan 2008. Jenis bahan dan harganya ditampilkan pada tabel berikut ini:


tabel 6.3Jenis-Jenis Bahan Bangunan Tahun 2003 dan 2008

Jenis Bahanharga

2003 2008Semen 7500 17500Kayu 11000 18000Besi 15500 24000Paku 5000 8000

Tentukan indeks harga agregatif sederhana!

penyelesaian: ∑Pn = 17500+18000+24000+8000 = 67500 ∑Po = 7500+11000+15500+5000 = 39000

Jadi, angka indeks harga agregatif sederhana adalah:

Penyelesaian:

P

Pn

o

= + + + =

= +

∑∑

17500 18000 24000 8000 67500

7500 110000 15500 5000 39000+ + =

Jadi, angka indeks harga agregatif sederrhana adalah:

I =HA

PP

n

o

∑∑

×

= ×

=

100

6750039000

100

173 08

%

%

, %

Jadi, secara agregat (keseluruhan) harga 4 jenis-jenis bahan bangunan pada tahun 2008 mengalami kenaikan 73,08 dibandingkan tahun 2003.

�.�.� Indeks Rata-rata Relatif Harga Sederhana

Dengan perhitungan indeks rata-rata relatif harga terdapat beberapa kemungkinan bergantung pada prosedur yang dipakai untuk menentukan rata-rata relatif harga, seperti rata-rata hitung, rata-rata harmonis, rata-rata ukur, median dan sebagainya. Bila yang dipakai konsep rata-rata hitung, maka persamaan indeks rata-rata relatif harga sederhana ditentukan dengan rumus sebagai berikut:


I

PP

nRH

n

o=

×

∑100%

Keterangan:IRH = Indeks Rata–Rata Relatif Harga

I

PP

nRH

n

o=

×

∑100%

= jumlah semua relatif harga barangn = banyaknya jenis barang

Contoh 6.5Tentukan indeks relatif harga sederhana PT Indra dari jenis kebutuhan pokok pada tahun 2002 dan 2006 sebagai berikut:

tabel 6.4Jenis Kebutuhan-Kebutuhan Pokok Tahun 2002 dan 2006


2002 (po) 2006 (pn)Tepung 5000 7500Roti 4500 6500Beras 6000 7500Susu 5000 8500Jumlah 20500 30000

penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:


Jenis kebutuhan pokok

harga relatif harga

indeks relatif harga

2002 (po)

2006 (pn)

Tepung 5000 7500 1,50 150%Roti 4500 6500 1,44 144%Beras 6000 7500 1,25 125%Susu 5000 8500 1,70 171%

Jumlah 590%


Dari tabel di atas diperoleh

PP

I

PP

n

n

o

RH

n

o

∑

∑

=

=

×

=

=

590

100

5904

147 5

%

%

%

, %

Jadi, indeks rata-rata relatif harga dari PT Indra adalah

PP

I

PP

n

n

o

RH

n

o

∑

∑

=

=

×

=

=

590

100

5904

147 5

%

%

%

, %

Contoh 6.6Tentukan indeks relatif harga sederhana PT. Indo dari jenis bahan yang dibutuhkan untuk perhitungan tahun 2003 dan 2006 pada tabel berikut ini:

tabel 6.6Jenis-Jenis Bahan

Tahun 2003 dan 2006

Jenis bahanharga

2003 (po) 2006 (pn)Kabel 3500 5000Buster 4000 7000Lampu 5500 8000Senter 6500 9000Stop Kontak 4500 7500Jumlah 24000 36500




Jenis bahanharga relatif harga

indeks relatif harga2003 (po) 2006 (pn)

Kabel 3500 5000 1,43 143%Buster 4000 7000 1,75 175%Lampu 5500 8000 1,45 145%Senter 6500 9000 1,38 138%Stop Kontak 4500 7500 1,67 167%

Jumlah 768%


PP

I

PP

n

n

o

RH

n

o

∑

∑

=

=

×

=

=

768

100

7685

153 6

%

%

%

, %

Jadi, jenis rata – rata relatif harga dari PT. Indo adalah:

PP

I

PP

n

n

o

RH

n

o

∑

∑

=

=

×

=

=

768

100

7685

153 6

%

%

%

, %

�.� Indeks Harga Tertimbang (Weighted Index)

Angka indeks yang mencerminkan pentingnya suatu angka penimbang (bobot atau weight) terhadap angka-angka lainnya, sedangkan pemberian bobot angka penimbang tersebut ditentukan berdasarkan pentingnya barang tersebut secara subyektif disebut indeks harga tertimbang. Terkait dengan indeks tertimbang, disamping menggunakan angka penimbang secara subyektif dapat juga memperhatikan kuantitas atau jumlah barang sebagai pengganti angka penimbang tersebut, sehingga sering disebut dengan Indeks Kuantitas. Dalam menghitung indeks kuantitas


tersebut variabel yang sangat penting untuk menjadi pertimbangan adalah kuantitas dari masing-masing barang.

�.�.� Indeks Harga Agregatif Tertimbang

Indeks yang dalam pembuatan telah dipertimbangkan faktor-faktor yang akan mempengaruhi naik turunnya angka indeks disebut indeks agregatif tertimbang. Kelemahannya dari indeks agregatif tertimbang adalah sebagai berikut; 1. Satuan untuk unit harga barang sangat mempengaruhi angka

indeks. 2. Tidak memperhitungkan kepentingan relatif (relatif importance)

barang-barang yang tercangkup dalam pembuatan indeks.

Sebelumnya telah dijelaskan indeks agregatif sederhana atau tidak tertimbang menganggap bahwa perubahan harga masing-masing barang mempunyai peranan yang sama terhadap perubahan harga secara keseluruhan, yang dipakai hanya harga-harga barang tanpa mempertimbangkan kuantitas yang dihasilkan atau yang diproduksi. Oleh karena itu, angka indeks agregatif tidak tertimbang dianggap tidak memuaskan, sehingga jarang sekali digunakannya atau dipakai. Untuk menanggulangi kekurangan dari indeks harga agregatif tak tertimbang, maka kita perlu memberikan bobot atau timbangan pada harga masing-masing barang dengan memakai faktor yang sesuai, yaitu kuantitas atau volume dari komoditi yang dihasilkan selama waktu dasar dan waktu berjalan. Kuantitas yang dipakai dapat berupa nilai tengah dari komoditi selama beberapa waktu. Bobot atau timbangan yang menunjukkan arti penting dari masing-masing komoditi.

�.�.� Indeks Harga Agregatif Tertimbang Laspeyres

Indeks harga agregatif tertimbang yang memakai kuantitas pada waktu dasar sebagai timbangan (bobot) disebut Indeks harga tertimbang Laspeyres.


Persamaan indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres ditentukan sebagai berikut:

IP Q

P QHLn o

o o

= ×∑∑

100%

Keterangan:IHL = Indeks Harga Agregatif Tertimbang Laspeyres.Pn = harga pada waktu berjalan Po = harga pada waktu dasarQo = kuantitas pada waktu dasar

�.�.� Indeks Harga Agregatif Tertimbang Paasche

Indeks harga agregatif tertimbang yang memakai kuantitas pada waktu berjalan sebagai timbangan (bobot) disebut indeks harga agregatif tertimbang Paasche. Persamaan indeks harga agregatif tertimbang Paasche ditentukan sebagai berikut:

IP QP QHP

n n

o n

= ×∑∑

100%

Keterangan:IHP = indeks harga agregatif tertimbang PaaschePn = harga pada waktu berjalanPo = harga pada waktu dasarQn = kuantitas pada waktu berjalanQo = kuantitas pada waktu dasar

Contoh Perhitungan indeks Harga Agregatif Tertimbang Laspeyres dan Harga Agregatif Tertimbang Paasche diberikan dalam contoh sebagai berikut.

Contoh 6.7Berikut ini PT. Citra membeli persediaan barang yang disajikan pada tabel harga (dalam ribuan rupiah) dan banyaknya kebutuhan pada tahun 2005 dan 2007 sebagai berikut:


tabel 6.8Harga dan Kuantitas yang dibeli PT.Citra

Jenis bahanharga Jumlah pembelian

2005 2007 2005 2007Plastik 3,5 6,5 2,0 5.,0Karet 2,5 5,5 3,5 6,5Kertas 3,0 6,5 4,5 7,0Map 4,5 8,0 5,0 6,0Tinta 5,5 9,0 6,5 8,5

penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel sebagai berikut ini:


Jenis Bahanharga Jumlah pembelian

po Qo pn Qo po Qn pn Qn2005 2007 2005 2007po pn Qo Qn

Plastik 3,5 6,5 2,0 5,0 7,0 13,0 17,5 32,5Karet 2,5 5,5 3,5 6,5 8,75 19,25 16.25 35,75Kertas 3,0 6,5 4,5 7,0 13,50 29,25 21,0 45,50Map 4,5 8,0 5,0 6,0 22,50 40,0 27,0 48,0Tinta 5,5 9,0 6,5 8,5 35,75 58,5 46,75 76,5Jumlah 87,5 160,0 128,5 238,25


P Q

P Q

P Q

P Q

IP QP Q

o o

n o

o o

n n

HLn o

o o

∑∑∑∑

∑

=

=

=

=

=

87 5

160 0

128 5

238 25

,

,

,

,

∑∑

∑∑

×

= ×

=

= ×

=

100

16087 5

100

182 86

100

238 25128

%

,%

, %

%

,,

IP QP QHP

n n

o o

550100

185 41

×

=

%

, %


Maka hasil yang diperoleh dari indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres dan Paasche sebagai berikut: Indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres:

P Q

P Q

P Q

P Q

IP QP Q

o o

n o

o o

n n

HLn o

o o

∑∑∑∑

∑

=

=

=

=

=

87 5

160 0

128 5

238 25

,

,

,

,

∑∑

∑∑

×

= ×

=

= ×

=

100

16087 5

100

182 86

100

238 25128

%

,%

, %

%

,,

IP QP QHP

n n

o o

550100

185 41

×

=

%

, %

Indeks harga agregatif tertimbang Paasche:

P Q

P Q

P Q

P Q

IP QP Q

o o

n o

o o

n n

HLn o

o o

∑∑∑∑

∑

=

=

=

=

=

87 5

160 0

128 5

238 25

,

,

,

,

∑∑

∑∑

×

= ×

=

= ×

=

100

16087 5

100

182 86

100

238 25128

%

,%

, %

%

,,

IP QP QHP

n n

o o

550100

185 41

×

=

%

, %

Terlihat bahwa indeks harga agregatif tertimbang yang dihitung dengan rumus Laspeyres dan Paasche ternyata hampir sama. Dengan angka indeks harga Laspeyres, bila jumlah pembelian pada tahun dasar dipakai sebagai timbangan, maka diperoleh kenaikan harga secara keseluruhan dari lima bahan di atas pada tahun 2007 sebesar 82.86 %, sedangkan indeks harga Paasche dengan memakai jumlah pembelian pada tahun berjalan sebagai timbangan, maka diperoleh kenaikan harga secara keseluruhan lima bahan tersebut pada tahun 2007 sebesar 85.41% dibanding tahun 2005.

Contoh 6.8Berikut ini PT. Ayu menyajikan tabel harga (dalam puluhan ribuan rupiah) dan jenis perlengkapan yang dibutuhkan oleh perusahaan:


tabel 6.10Kebutuhan Perlengkapan Perusahaan PT. Ayu Tahun 2000 dan 2005

Jenis perlengkapan

harga Jumlah pembelian2000 2005 2000 2005

po pn Qo QnSepatu 2,0 6,5 1,5 2,5Tas 2,5 4,5 2,5 3,5Baju 3,5 5,5 1,0 4,0Sandal 2,5 4,5 2,0 3,5

Tentukanlah nilai indeks harga agregatif tertimbang dengan menggunakan cara Laspeyres dan Paasche!



Jenis perlengkapan

harga Jumlah pembelianpo Qo pn Qo po Qn pn Qn2000 2005 2000 2005

po pn Qo QnSepatu 2,0 6,5 1,5 2,5 3,0 9,75 5,0 16,25Tas 2,5 4,5 2,5 3,5 6,25 11,25 8,75 15,75Baju 3,5 5,5 1,0 4,0 3,5 5,5 14,0 22,00Sandal 2,5 4,5 2,0 3,5 5,0 9,0 8,75 15,75Jumlah 17,75 35,5 36,5 69,75


P Q

P Q

P Q

P Q

IP QP

o o

n o

o o

n n

HLn o

o

∑∑∑∑

∑

=

=

=

=

=

17 75

35 5

36 5

69 75

,

,

,

,

QQ

IP QP Q

o

HPn n

o n

∑

∑∑

×

= ×

=

= ×

=

100

35 517 75

100

200

100

69 7536 5

%

,,

%

%

%

,, 00

100

191 09

×

=

%

, %


Maka hasil yang diperoleh dari indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres dan Paasche sebagai berikut: Indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres:

P Q

P Q

P Q

P Q

IP QP

o o

n o

o o

n n

HLn o

o

∑∑∑∑

∑

=

=

=

=

=

17 75

35 5

36 5

69 75

,

,

,

,

QQ

IP QP Q

o

HPn n

o n

∑

∑∑

×

= ×

=

= ×

=

100

35 517 75

100

200

100

69 7536 5

%

,,

%

%

%

,, 00

100

191 09

×

=

%

, %


P Q

P Q

P Q

P Q

IP QP

o o

n o

o o

n n

HLn o

o

∑∑∑∑

∑

=

=

=

=

=

17 75

35 5

36 5

69 75

,

,

,

,

QQ

IP QP Q

o

HPn n

o n

∑

∑∑

×

= ×

=

= ×

=

100

35 517 75

100

200

100

69 7536 5

%

,,

%

%

%

,, 00

100

191 09

×

=

%

, %

Terlihat bahwa indeks harga agregatif tertimbang yang dihitung dengan rumus Laspeyres dan Paasche ternyata hampir sama. Dengan angka indeks harga Laspeyres, bila jumlah pembelian pada tahun dasar dipakai sebagai timbangan, maka diperoleh kenaikan harga secara keseluruhan dari empat jenis perlengkapan di atas pada tahun 2000 sebesar 100%, sedangkan indeks harga Paasche dengan memakai jumlah pembelian pada tahun berjalan sebagai timbangan, maka diperoleh kenaikan harga secara keseluruhan empat jenis perlengkapan tersebut pada tahun 2005 sebesar 91,09% dibanding tahun 2000. Perbedaan antara indeks harga Laspeyres dan Paasche sebagai berikut: 1. Perubahan angka indeks harga yang diperoleh dengan rumus Paasche

tidak hanya disebabkan oleh perubahan harga, karena timbangan dari tahun ke tahun akan berubah-ubah.


2. Perhitungan angka indeks harga dengan rumus Paasche membutuhkan waktu dan tenaga lebih banyak untuk mengumpulkan data mengenai timbangan yang dipakai. Metode Paasche memberikan keuntungan yang penting karena memakai timbangan yang up to date.

Indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres dan indeks harga agregatif tertimbang Paasche mempunyai keunggulan dan kelemahan masing-masing. 1. Indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres Keunggulan dari indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres yaitu

data kuantitas yang diperlukan hanya dari periode yang ditentukan. Dengan demikian kita dapat membandingkan yang lebih bermakna seiring waktu, perubahan pada indeks dapat dihubungkan dengan perubahan harga.

Sedangkan kelemahannya yaitu tidak merefleksikan perubahan-perubahan pola pembelian seiring dengan waktu. Selain itu, indeks Laspeyres mungkin memberikan terlalu banyak bobot untuk barang-barang yang meningkat harganya.

2. Indeks harga agregatif tertimbang Paasche Keunggulan dari indeks agregatif tertimbang Paasche yaitu karena

menggunakan kuantitas dari periode sekarang, indeks ini merefleksikan perilaku pembelian masa sekarang.

Sedangkan kelemahannya yaitu memerlukan data kuantitas dari tahun sekarang. Oleh karena itu, kuantitas yang digunakan berbeda-beda setiap tahunnya, tidak mungkin menghubungkan perubahan pada indeks dengan perubahan pada harga. Indeks ini cenderung memberikan terlalu banyak bobot pada barang-barang yang harganya turun. Untuk indeks ini, harga-harganya harus dihitung ulang setiap tahunnya.


�.�.� Indeks Drobisch dan Indeks Fisher

�.�.�.� Indeks Drobisch

Jika diantara indeks harga dengan rumus Laspeyres dan Paasche terdapat perbedaan atau selisih yang besar, kedua angka indeks harga yang diperoleh dari dua rumus tersebut dapat digabungkan menjadi satu angka indeks. Drobisch menggabungkan dua angka indeks tersebut dengan cara mengambil rata-rata hitung dari rumus Laspeyres dan Paasche.Persamaan angka indeks Drobisch ditentukan sebagai berikut:

I I IHD

HL HP=+2

Keterangan:IHD = nilai indeks DrobischIHL = nilai indeks LaspeyresIHP = nilai indeks Paasche

Contoh 6.9Tentukanlah angka indeks menurut Drobisch dari data di bawah ini!

tabel 6.12Harga dan Kuantitas yang dibeli PT.Citra

Jenis bahan harga Jumlah pembelian2005 2007 2005 2007

Lemari 3,5 6,5 2,0 5,0Kulkas 2,5 5,5 3,5 6,5TV 3,0 6,5 4,5 7,0LCD 4,5 8,0 5,0 6,0Laptop 5,5 9,0 6,5 8,5




Jenis bahanharga

Jumlah pembelian

po Qo pn Qo po Qn pn Qn2005 2007 2005 2007

po pn Qo QnLemari 3,5 6,5 2,0 5,0 7,0 13,0 17,50 32,50Kulkas 2,5 5,5 3,5 6,5 8,75 19,25 16,25 35,75TV 3,0 6,5 4,5 7,0 13,50 29,25 21,00 45,50LCD 4,5 8,0 5,0 6,0 22,50 40,0 27,00 48,00Laptop 5,5 9,0 6,5 8,5 35,75 58,5 46,75 76,50Jumlah 87,5 160,0 128,50 238,25

Dengan menggunakan tabel di atas, maka diperoleh

IHL = 182,86% dan IHP = 185,41% Maka, indeks Drobisch adalah

I I

I I I

HL HP

HDHL HP

= =

=+

=+

=

182 86 285 41

2182 86 185 41

21

, % , %

, % , %

dan

884 135, %

Contoh 6.10Tentukan angka indeks Drobisch dari data di bawah ini!

tabel 6.14Kebutuhan Perlengkapan Perusahaan Tahun 2000 dan 2005

Jenis perlengkapan




penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut ini:


Jenis perlengkapan

harga Jumlah pembelianpo Qo pn Qo po Qn pn Qn2000 2005 2000 2005

po pn Qo QnSepatu 2.0 6.5 1.5 2.5 3.0 9.75 5.00 16.25Tas 2.5 4.5 2.5 3.5 6.25 11.25 8.75 15.75Baju 3.5 5.5 1.0 4.0 3.50 5.50 14.00 22.00Sandal 2.5 4.5 2.0 3.5 5.0 9.00 8.75 15.75Jumlah 17.75 35.5 36.50 69.75

Dengan menggunakan tabel di atas, maka diperoleh

IHL = 200% dan IHP = 191,09%

Maka, indeks Drobisch adalah

I I

I I I

HL HP

HDHL HP

= =

=+

=+

=

200 191 09

2200 191 09

2195 545

% , %

% , %

,

dan

%%

�.�.�.� Indeks Fisher

Indeks Fisher yaitu menggabungkan kedua indeks harga itu dengan mengambil rata-rata ukur dari rumus Laspeyres dan Paasche. Persamaan indeks Fisher ditentukan sebagai berikut:

I I IHF HL HP= ( )( )


Keterangan:IHF = nilai indeks FisherIHL = nilai indeks LaspeyresIHP = nilai indeks Paasche

Contoh 6.11Diketahui indeks harga Laspeyres (IHL) = 182,86% dan indeks harga Paasche (IHP) = 185,41%. Tentukan angka indeks menurut Fisher!

penyelesaian:

I I IHF HL HD= ( )( )

= ( )( )

=

182 86 185 41184 13

, % , %, %

Contoh 6.12Diketahui indeks harga Laspeyres (IHL) = 200% dan indeks harga Paasche (IHP) = 191,09%. Tentukan angka indeks menurut Fisher!

penyelesaian:

I I IHF HL HD= ( )( )

= ( )( )

=

200 191 09195 49

% , %, %

�.�.� Indeks Harga Walsh dan Marshall–Edgeworth

Selain memakai rumus Drobisch dan Fisher penanggulangan perbedaan antara indeks harga Laspeyres dan Indeks harga Paasche juga dapat dilakukan dengan memakai rumus Walsh dan rumus Marshall – Edgeworth, sebagai berikut:


�.�.�.� Indeks Harga Walsh

Rumus:

IP Q Q

P Q QHW

n o n

o o n

=( )

( )×

∑∑

100%

Keterangan : IHW = Indeks Harga Walsh Pn = harga pada waktu berjalan Po = harga pada waktu dasar Qn = kuantitas pada waktu berjalan Qo = kuantitas pada waktu dasar

�.�.�.� Indeks Harga Marshall – Edgeworth

Rumus:

IP Q QP Q QHw

n o n

o o n

=+( )+( )

×∑∑

100%

Keterangan : IHME = Indeks Harga Marshall - Edgeworth Pn = harga pada waktu berjalan Po = harga pada waktu dasar Qn = kuantitas pada waktu berjalan Qo = kuantitas pada waktu dasar

Contoh 6.13Hitunglah angka indeks harga Walsh dan Marshall – Edgeworth dari data di bawah ini!


tabel 6.16Penjualan Barang-Barang ElektronikTahun 2005 dan 2007 (dalam jutaan)

Barang elektronik

harga Jumlah penjualan2005 2007 2005 2007

Lemari 3,5 6,5 2,0 5,0Kulkas 2,5 5,5 3,5 6,5TV 3,0 6,5 4,5 7,0LCD 4,5 8,0 5,0 6,0Laptop 5,5 9,0 6,5 8,5


tabel 6.17Perhitungan Dengan Cara Walsh

Barang elektronik

harga Jumlah pembelian

Qo.Qnpo

Qo.Qnpn

Qo.Qn

2005 2007 2005 2007po pn Qo Qn

Lemari 3,5 6,5 2,0 5,0 3,16 11,06 20,54Kulkas 2,5 5,5 3,5 6,5 22,75 56,875 125,125TV 3,0 6,5 4,5 7,0 31,50 94,50 204,75LCD 4,5 8,0 5,0 6,0 30,0 135,0 240Laptop 5,5 9,0 6,5 8,5 55,25 303,875 497,25

Jumlah 601,31 1087,665


P Q Q

P Q Q

IP Q Q

P Q Q

n o n

o o n

HWn o n

o o n

( ) =

( ) =

=( )( )

×

∑∑

∑∑

1087 66

601 31

10

,

,

00

1087 66601 31

100

180 89

%

,,

%

, %

= ×

=


Maka,

P Q Q

P Q Q

IP Q Q

P Q Q

n o n

o o n

HWn o n

o o n

( ) =

( ) =

=( )( )

×

∑∑

∑∑

1087 66

601 31

10

,

,

00

1087 66601 31

100

180 89

%

,,

%

, %

= ×

=tabel 6.18

Perhitungan Indeks Dengan CaraMarshall – Edgeworth

Barang elektronik

harga Jumlah pembelianQo+Qn po(Qo+Qn) pn(Qo+Qn)2005 2007 2005 2007

po pn Qo QnLemari 3,5 6,5 2,0 5,0 7,00 24,50 45,50Kulkas 2,5 5,5 3,5 6,5 10,0 25,0 55,0TV 3,0 6,5 4,5 7,0 11,50 34,50 74,75LCD 4,5 8,0 5,0 6,0 11,0 49,50 88,0Laptop 5,5 9,0 6,5 8,5 15,0 82,50 135,0Jumlah 54,5 216,0 398,3


P Q Q

P Q Q

IP Q Q

P Q Q

n o n

o o n

HMEn o n

o o n

+( ) =

+( ) =

=+( )+( )

×

∑∑

∑∑

398 3

216 0

,

,

1100

398 3216

100

184 39

%

, %

, %

= ×

=

Maka,

P Q Q

P Q Q

IP Q Q

P Q Q

n o n

o o n

HMEn o n

o o n

+( ) =

+( ) =

=+( )+( )

×

∑∑

∑∑

398 3

216 0

,

,

1100

398 3216

100

184 39

%

, %

, %

= ×

=


Dari tabel contoh 6.9, contoh 6.11 dan contoh 6.13 dengan menggunakan rumus Drobisch, Fisher, Walsh, dan Marshall – Edgeworth ternyata hasil yang diperoleh indeks yang sama, yaitu 184% (setelah dibulatkan).

Contoh 6.14Tentukan angka indeks Walsh dan Marshall - Edgeworth dari data di bawah ini!

tabel 6.19Kebutuhan Perlengkapan Perusahaan Tahun 2000 dan 2005

Jenis perlengkapan




tabel 6.20Perhitungan Dengan Cara Walsh

Jenis perlengkapan

hargaJumlah pembelian

Qo.Qn po Qo.Qn

pn Qo.Qn

2000 2005 2000 2005po pn Qo Qn

Sepatu 2,0 6,5 1,5 2,5 3,75 3,87 12,58Tas 2,5 4,5 2,5 3,5 8,75 7,39 13,31Baju 3,5 5,5 1,0 4,0 4,0 7,0 11,0Sandal 2,5 4,5 2,0 3,5 7,0 6,61 11,9Jumlah 24,87 48,79



P Q Q

P Q Q

IP Q Q

P Q Q

n o n

n o n

HWn o n

o o n

( ) =

( ) =

=( )( )

×

=

∑∑

∑∑

48 79

24 87

100

,

,

%

448 7924 87

100

196 18

,,

%

, %

×

=

Maka,

P Q Q

P Q Q

IP Q Q

P Q Q

n o n

n o n

HWn o n

o o n

( ) =

( ) =

=( )( )

×

=

∑∑

∑∑

48 79

24 87

100

,

,

%

448 7924 87

100

196 18

,,

%

, %

×

=tabel 6.21

Perhitungan Dengan Cara Marshall – Edgeworth

Jenis perlengkapan

harga Jumlah pembelianQo+Qn po(Qo+Qn) pn(Qo+Qn)2000 2005 2000 2005

po pn Qo QnSepatu 2,0 6.5 1,5 2,5 4,0 8,0 26,0Tas 2.5 4,5 2,5 3,5 6,0 15,0 27,0Baju 3,5 5,5 1,0 4,0 5,0 17,5 27,5Sandal 2,5 4,5 2,0 3,5 5,5 13,75 24,75

Jumlah 54,25 105,25


P Q Q

P Q Q

IP Q Q

P Q Q

n o n

o o n

HMEn o n

o o n

+( ) =

+( ) =

=+( )+( )

∑∑

∑∑

105 25

54 25

,

,

××

= ×

=

100

105 2554 25

100

194 12

%

,,

%

, %

Maka,

P Q Q

P Q Q

IP Q Q

P Q Q

n o n

o o n

HMEn o n

o o n

+( ) =

+( ) =

=+( )+( )

∑∑

∑∑

105 25

54 25

,

,

××

= ×

=

100

105 2554 25

100

194 12

%

,,

%

, %


Dari tabel contoh 6.10, contoh 6.12 dan contoh 6.14 dengan menggunakan rumus Drobisch, Fisher, Walsh, dan Marshall – Edgeworth ternyata hasil yang di peroleh indeks yang sama, yaitu 195% (setelah dibulatkan).

�.�.� Indeks Rata-rata Relatif Harga Tertimbang

Pada penghitungan indeks rata–rata dengan menggunakan indeks rata–rata sederhana memiliki kelemahan. Kelemahan indeks rata-rata sederhana yaitu tidak mempunyai kuatitas dari produksi dimana harga masing masing komoditi diberi bobot yang sama. Dalam mengatasi kelemahan digunakanlah indeks rata-rata relatif harga tertimbang. Dengan menggunakan cara ini, pada masing–masing harga diberi bobot sesuai nilai total dari komoditi yang dinyatakan dalam satuan moneter seperti rupiah. Oleh karena itu, nilai dari suatu komoditi diperoleh dengan mengalikan harga (P) dari komoditi dengan kuantitas (Q), maka timbangannya ditentukan oleh (P x Q). Pada indeks rata–rata relatif harga tertimbang ada tiga (3) rumus untuk menghitung rata–rata yang tergantung pada nilai (P x Q) pada tahun dasar, tahun berjalan atau pada waktu tertentu (t), yaitu berturut–turut adalah PoQo, PnQn atau PtQt sebagai berikut: 1. Indeks rata – rata relatif harga tertimbang PoQo adalah: Rumus:

I

PP

P Q

P QP QP Q

I

RHT

n

oo o

o o

n o

o o

RHT

=

( )

× = ×∑

∑∑∑

100 100% %

==

( )

×

=

∑

∑

∑

PP

P Q

P Q

I

PP

P

n

on n

n n

RHT

n

o

100%

tt t

t t

Q

P Q

( )×

∑100%

2. Indeks rata – rata relatif harga dengan tertimbangan PnQn adalah Rumus:

I

PP

P Q

P QP QP Q

I

RHT

n

oo o

o o

n o

o o

RHT

=

( )

× = ×∑

∑∑∑

100 100% %

==

( )

×

=

∑

∑

∑

PP

P Q

P Q

I

PP

P

n

on n

n n

RHT

n

o

100%

tt t

t t

Q

P Q

( )×

∑100%


3. Indeks rata – rata relatif harga dengan tertimbang PtQt adalah Rumus:

I

PP

P Q

P QP QP Q

I

RHT

n

oo o

o o

n o

o o

RHT

=

( )

× = ×∑

∑∑∑

100 100% %

==

( )

×

=

∑

∑

∑

PP

P Q

P Q

I

PP

P

n

on n

n n

RHT

n

o

100%

tt t

t t

Q

P Q

( )×

∑100%

Contoh 6.15Hitunglah indeks rata-rata hitung tertimbang PnQn dari data harga dan jumlah pembelian dari empat jenis dari PT. Asia pada tahun 2001 dan 2006 (dalam ribuan)!

tabel 6.22Harga Dan Jumlah Pembelian 4 Jenis Bahan Tahun 2001 dan 2006

Jenis Bahan


2001 (po)

2006 (pn)

2001 (Qo)

2006 (Qn)

Tepung 2,5 3,6 2,1 4,3Garam 2,2 4,6 1,5 4,4Susu 3,4 5,6 2,7 4,7Gula 4,2 6,8 3,1 5,0

penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel sebagai berikut:


Jenis Bahan

harga Jumlah pembelianpn pn Qn

pn (pn Qn)2001 (po)

2006 (pn)

2001 (Qo)

2006 (Qn)

po po

Tepung 2,5 3,6 2,1 4,3 1,44 15,48 22,29Garam 2,2 4,6 1,5 4,4 2,09 20,24 42,32Susu 3,4 5,6 2,7 4,7 1,65 26,32 43,35Gula 4,2 6,8 3,1 5,0 1,62 34,00 55,05Jumlah 96,04 163,01



PP

P Q

P Q

I

PP

n

on n

n n

RHT

n

o

( )=

=

=

∑

∑

163 01

96 04

,

,

( )×

= ×

=

∑

∑

P Q

P Q

n n

n

100

163 0196 04

100

169 82

%

,,

%

, %

Maka,

PP

P Q

P Q

I

PP

n

on n

n n

RHT

n

o

( )=

=

=

∑

∑

163 01

96 04

,

,

( )×

= ×

=

∑

∑

P Q

P Q

n n

n

100

163 0196 04

100

169 82

%

,,

%

, %

�.� Indeks Berantai

Untuk data berkala, angka indeks dapat dibuat dengan melakukan perubahan secara berurutan dari waktu dasarnya, misalnya dalam satu tahun, dua tahun, atau lebih. Susunan keseluruhan angka indeks bisa diperoleh dengan cara ini disebut indeks berantai. Untuk indeks harga berantai yang sederhana dirumuskan sebagai berikut:

I PPn n

n

n. %−

−

= ×11

100

Keterangan:In, n-1 = Indeks BerantaiPn = harga pada tahun berjalanPn-1 = harga pada tahun dasar

Contoh 6.16Data harga perdagangan besar suatu komoditi dari indikator ekonomi, Biro Pusat Statistik, tahun 1990 sampai 1995 adalah sebagai berikut:


tabel 6.24Harga Perdagangan Tahun 1990 – 1995

Tahun 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Harga/kg 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Tentukan indeks berantai dari data tersebut!

penyelesaian:

Tahun dasar 1990: I = 20001500

Tahun d

1991/1990 × =100 133 33% , %

aasar 1991: I = 25002000

Tahun dasar 1992

1992/1991 × =100 125% %

:: I = 30002500

Tahun dasar 1993: I

1993/1992

1994/1

× =100 120% %

9993

1995/1994

= 35003000

Tahun dasar 1994: I = 4

× =100 116 67% , %

00003500

× =100 114 29% , %

�.� Rangkuman

Angka indeks sangat dibutuhkan bagi orang yang melakukan kegiatan (terutama kegiatan perdagangan), karena dengan angka indeks itu, suatu perusahaan dapat mengetahui kenaikan dan penurunan penjualan yang terjadi. Indeks Harga Tidak Tertimbang (Unweight Index) terbagi menjadi tiga macam yaitu sebagai berikut: a. Indeks relatif harga merupakan perbandingan dari suatu harga barang

pada waktu tertentu terhadap waktu dasar. b. Indeks harga agregatif sederhana (tidak tertimbang) merupakan

perbandingan keseluruhan harga pada tahun berjalan terhadap keseluruhan harga barang pada waktu tahun dasar.


c. Indeks rata-rata relatif harga Indeks Harga Tertimbang (Weight Index) terdiri dari:

a. Indeks Harga Agregatif Tertimbang1. Indeks Harga Agregatif Tertimbang Laspeyres2. Indeks Harga Agregatif Tetimbang Paasche3. Indeks Drobish dan Indeks Fisher4. Indeks Rata-Rata Relatif Harga Tertimbang5. Indeks Harga Walsh dan Marshall – Edgeworth

b. Indeks Berantai


6.8.1 Harga terigu pada tahun 2004 adalah Rp. 3200,00 dan pada tahun 2009 adalah Rp. 6000,00 dalam hal ini tahun 2000 sebagai tahun dasar dan tahun 2004 sebagai tahun berjalan.

Tentukanlah indeks relatif harga sederhana!

6.8.2 PT Suka-Suka membeli lima jenis kebutuhan alat-alat kantor pada tahun 2002 dan 2007, ditampilkan dalam tabel berikut ini:

tabel 6.25Kebutuhan Alat-Alat Kantor

Tahun 2002 dan 2007


2002 2007

Buku 10000 14000Bolpoin 25000 40000Map 10000 13500Tipe-X 4000 7500Tinta Print 20000 35000

Tentukanlah indeks harga agregatif sederhana dari lima jenis kebutuhan alat-alat kantor!


6.8.3 Tentukan indeks relatif harga sederhana PMI dari jenis kebutuhan medis pada tahun 2005 dan 2009 sebagai berikut:

tabel 6.26Jenis Kebutuhan-Kebutuhan Medis Tahun 2005 dan 2009

Jenis kebutuhan Medisharga

2005 (po) 2009 (pn)Kayu Putih 8000 12500Betadine 4500 7000Alkohol 10000 15000Perban 7500 11000Jumlah 21000 45500

6.8.4 Berikut ini PT. Angkasa membeli persediaan barang yang disajikan pada tabel harga (dalam ribuan rupiah) dan banyaknya kebutuhan pada tahun 2006 dan 2010 sebagai berikut:

tabel 6.27Harga dan Kuantitas Persediaan Barang yang dibeli PT. Angkasa

Jenis bahanharga Jumlah pembelian

2006 2010 2005 2007Mentega 7,0 15,0 2,5 5,3Telur 7,5 11,0 4,0 7,4Terigu 4,8 6,0 4.5 6,5Coklat 5,5 8.0 5.0 6,8

Tentukanlah:a. Indeks Laspeyres dan Paascheb. Indeks Drobisch dan Fisher


6.9.1 penyelesaian:

I = P2009/2004

n

Po

×

= ×

=

100

500300

100

166 67

%

%

, %


6.9.2 penyelesaian: ∑Pn = 14000+40000+13500+7500+35000 = 110000 ∑P0 = 10000+25000+10000+4000+20000 = 69000

Jadi, angka indeks harga agregatif sederhana dari PT Suka-Suka adalah:

P

Pn

o

= + + + + =

= + +

∑∑

14000 40000 13500 7500 35000 110000

10000 25000 100000 4000 20000 69000

100

11000069000

100

159 4

+ + =

= ×

= ×

=

∑∑

IPPHA

n

o

%

%

, 22%

Jadi, secara agregat (keseluruhan) harga lima kebutuhan alat-alat kantor pada tahun 2007 mengalami kenaikan 59,42 dibandingkan tahun 2002.

6.9.3 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan

sebagai berikut:tabel 6.28

Jenis Kebutuhan-Kebutuhan Medis Tahun 2005 dan 2009

Jenis kebutuhan Medis

harga relatif harga

indeks relatif harga2005 (po) 2009 (pn)

Kayu Putih 8000 12500 1,56 156%Betadine 4500 7000 1,55 155%Alkohol 10000 15000 1,50 150%Perban 7500 11000 1,46 146%Jumlah 21000 45500 5,89 590%

Jadi, indeks rata-rata relatif harga dari PT Indra adalah

I

PP

nRH

n

o=

×

=

=

∑100

6074

151 75

%

%

, %


6.9.4 penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel sebagai

berikut ini:


Jenis bahan


po Qo pn Qo po Qn pn Qn2006 2010 2006 2010

po pn Qo QnMentega 7,0 15,0 2,5 5,3 17,5 37,5 37,1 79,5Telur 7,5 11,0 4,0 7,4 30,0 44,0 55,5 81,4Terigu 4,8 6,0 4,5 6,5 21,6 27,0 31,2 39,0Coklat 5,5 8,0 5,0 6,8 27,5 40,0 37,4 54,4Jumlah 96,6 148,5 161,2 254,3


P Q

P Q

P Q

P Q

IP QP Q

o o

n o

o n

n n

HLn o

o o

=

=

=

=

= ×

∑∑∑∑

∑∑

96 6

148 5

161 2

254 3

,

,

,

,

1100

148 596 6

100

153 72

100

154 3161 2

%

,,

%

, %

%

,,

= ×

=

= ×

=

∑∑

IP QP QHP

n n

o n

××

=

=+

=+

=

=

100

157 75

2153 72 1557 75

2155 73

%

, %

, % , %

, %

I I I

I I

HDHL HP

HF HLL HPI( )( )

= ( )( )

=

153 72 157 75155 72

, % , %, %

Maka hasil yang diperoleh dari indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres dan Paasche sebagai berikut:a. Indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres:

P Q

P Q

P Q

P Q

IP QP Q

o o

n o

o n

n n

HLn o

o o

=

=

=

=

= ×

∑∑∑∑

∑∑

96 6

148 5

161 2

254 3

,

,

,

,

1100

148 596 6

100

153 72

100

154 3161 2

%

,,

%

, %

%

,,

= ×

=

= ×

=

∑∑

IP QP QHP

n n

o n

××

=

=+

=+

=

=

100

157 75

2153 72 1557 75

2155 73

%

, %

, % , %

, %

I I I

I I

HDHL HP

HF HLL HPI( )( )

= ( )( )

=

153 72 157 75155 72

, % , %, %



P Q

P Q

P Q

P Q

IP QP Q

o o

n o

o n

n n

HLn o

o o

=

=

=

=

= ×

∑∑∑∑

∑∑

96 6

148 5

161 2

254 3

,

,

,

,

1100

148 596 6

100

153 72

100

154 3161 2

%

,,

%

, %

%

,,

= ×

=

= ×

=

∑∑

IP QP QHP

n n

o n

××

=

=+

=+

=

=

100

157 75

2153 72 1557 75

2155 73

%

, %

, % , %

, %

I I I

I I

HDHL HP

HF HLL HPI( )( )

= ( )( )

=

153 72 157 75155 72

, % , %, %

b. Indeks Drobisch adalah

P Q

P Q

P Q

P Q

IP QP Q

o o

n o

o n

n n

HLn o

o o

=

=

=

=

= ×

∑∑∑∑

∑∑

96 6

148 5

161 2

254 3

,

,

,

,

1100

148 596 6

100

153 72

100

154 3161 2

%

,,

%

, %

%

,,

= ×

=

= ×

=

∑∑

IP QP QHP

n n

o n

××

=

=+

=+

=

=

100

157 75

2153 72 1557 75

2155 73

%

, %

, % , %

, %

I I I

I I

HDHL HP

HF HLL HPI( )( )

= ( )( )

=

153 72 157 75155 72

, % , %, %

Indeks Fisher adalah

P Q

P Q

P Q

P Q

IP QP Q

o o

n o

o n

n n

HLn o

o o

=

=

=

=

= ×

∑∑∑∑

∑∑

96 6

148 5

161 2

254 3

,

,

,

,

1100

148 596 6

100

153 72

100

154 3161 2

%

,,

%

, %

%

,,

= ×

=

= ×

=

∑∑

IP QP QHP

n n

o n

××

=

=+

=+

=

=

100

157 75

2153 72 1557 75

2155 73

%

, %

, % , %

, %

I I I

I I

HDHL HP

HF HLL HPI( )( )

= ( )( )

=

153 72 157 75155 72

, % , %, %

��

regreSI Dan KOreLaSIBab 7

Dalam kehidupan sehari-hari kita sudah sering menemukan kegiatan-kegiatan yang saling berhubungan satu sama lainnya. Kegiatan-

kegiatan itu tentunya membutuhkan analisis hubungan antara kegiatan-kegiatan tersebut. Pada bab ini yang akan dipelajari yaitu hubungan statistik antara 2 atau lebih variabel yang disebut regresi dan korelasi.

�.� Pengertian Regresi dan Korelasi

Regresi dan korelasi digunakan untuk mempelajari pola dan mengukur hubungan statistik antara 2 atau lebih variabel. Jika digunakan hanya 2 variabel disebut regresi dan korelasi sederhana. Sedangkan jika digunakan lebih dari 2 variabel disebut regresi dan korelasi berganda. Persamaan regresi dibentuk untuk menerangkan pola hubungan variabel-variabel. Variabel yang akan diduga disebut variabel terikat (tidak bebas), bisa dinyatakan dengan variabel Y. Variabel yang menerangkan perubahan variabel terikat disebut variabel bebas, bisa dinyatakan dengan variabel X.


�.� Regresi dan Korelasi

Kegunaan Regresi Mengukur besar dan arah hubungan.Dipergunakan untuk pendugaan dan peramalan.Harus ditentukan mana variabel bebas dan variabel

terikatnya.Bisa disajikan dalam bentuk gambar.

Kegunaan KorelasiMengukur derajat keeratan hubungan.Bukan untuk pendugaan dan peramalan.Tak perlu memilih variabel bebas dan terikatnya.Tidak bisa disajikan dalam bentuk gambar.

�.� Analisa Regresi Sederhana

Garis lurus atau garis linear yang merupakan garis taksiran atau perkiraan untuk mewakili pola hubungan antara variabel X dengan variabel Y disebut garis regresi atau korelasi. Dalam hal ini X disebut variabel bebas dan Y disebut variabel tak bebas. Persamaan garis regresi linear sederhana ditentukan sebagai berikut:

Y a bX= +

Keterangan:Y bX= +α = nilai-nilai taksiran untuk variabel tak bebas (Y)X = nilai-nilai variabel bebas a = intersep (pintasan) bilamana X = 0b = koefisien arah atau slope dari garis regresi

Dalam hal ini a dan b merupakan koefisien regresi

��Bab 7 Regresi dan Korelasi

Variabel bebas X sering disebut sebagai prediktor, yaitu variabel yang dipakai untuk memprediksi nilai Y, sedangkan variabel Y sering disebut sebagai variabel yang diprediksi Dalam hal ini, suatu kriteria bahwa persamaan regresi yang paling baik adalah regresi yang mempunyai total

kuadrat selisih atau total kuadrat eror S (Y – Y bX= +α) yang paling minimum. Model

populasi linear ini diduga dengan metode kuadrat terkecil (Least Square Method). Persamaan regresi linear dengan metode kuadrat terkecil akan mempunyai total kuadrat eror minimum ditentukan sebagai berikut:

Keterangan : a = intersep (pintasan) bilamana X = 0 X = variabel bebas Y = variabel tak bebas

Keterangan : b = koefisien arah atau slope dari garis regresi X = variabel bebas Y = variabel tak bebas

Persamaan regresi linier di atas di hitung secara terpisah. Selain dengan persamaan di atas bisa juga koefisien b dihitung pertama kali dan hasil yang diperoleh digunakan untuk menghitung koefisien a, persamaannya ditentukan sebagai berikut:

aY X X XY

n X X=

−

−( )∑∑ ∑∑∑ ∑

2

2 2

bXY X Y

n X X=

−

−( )∑ ∑∑∑ ∑2 2


Keterangan : a = intersep (pintasan) bilamana X = 0 b = koefisien arah atau slope dari garis regresi X = variabel bebas Y = variabel tak bebas n = banyaknya data

�.� Pembuatan Analisa Regresi Sederhana

Setelah mengetahui persamaan analisa regresi sederhana, maka sekarang kita akan membuat analisa regresi sederhana dari hubungan-hubungan berikut ini: 1. Hubungan antara kecepatan beroperasi mesin cetak (X) dengan jumlah

kerusakan kertas (Y). 2. Hubungan antara besarnya pendapatan (X) dengan besarnya

pengeluaran (Y). 3. Hubungan antara biaya iklan (X) dengan volume penjualan (Y). 4. Hubungan antara pendapatan perminggu (X) dengan konsumsi atau

belanja (Y) dalam $.

Contoh 7.1 Data pada suatu pabrik kertas menunjukkan bahwa kebanyakannya kertas rusak ada hubungannya dengan kecepatan beroperasi mesin cetak.

aY

nb

Xn

= −

∑ ∑

�0�Bab 7 Regresi dan Korelasi

tabel 7.1Data Kecepatan Mesin Per Menit Dan Jumlah Kerusakan Kertas (Lembaran)

kecepatan mesin permenit (X)

Jumlah kerusakan kertas (Y)

9,2 7,012,2 8,013,2 8,514,2 6,714,5 9,615,8 9,216,5 11,517,6 12,2

Tentukan persamaan regresi linear dengan memakai metode kuadrat terkecil!



kecepatan mesin permenit

(X)

Jumlah kerusakan kertas

(Y)XY X2 Y2

9,2 7,0 64,4 84,64 4912,2 8,0 97,6 148,84 6413,2 8,5 112,2 174,24 72,2514,2 6,7 95,14 201,64 44,8914,5 9,6 139,2 210,25 92,1615,8 9,2 145,36 249,64 84,6416,5 11,5 189,75 272,25 132,2517,6 12,2 214,72 309,76 148,84

113,2 72,7 1058,37 1651,26 688,03


Dari tabel perhitungan di atas diperoleh:X

Y

XY

X

Y

n XY X Y

=

=

=

=

=

=−

∑∑∑∑∑

∑

113 2

72 7

1 058 37

1 651 26

688 03

2

2

,

,

. ,

. ,

,

b ∑∑∑∑ ∑−( )

=( )−( )( )

( )−( )

n X X2 2

2

8 1 058 37 113 2 72 78 1651 26 113 2. , , ,

, ,

==

=

= −

= −( )

∑ ∑

237 32395 840 5995

72 7 0 5995 11

,,

,

, ,

aY

nb

Xn

n33 28

9 0875 6 4830 6045

,

, ,,

= −=

Maka, nilai b yaitu:

X

Y

XY

X

Y

n XY X Y

=

=

=

=

=

=−

∑∑∑∑∑

∑

113 2

72 7

1 058 37

1 651 26

688 03

2

2

,

,

. ,

. ,

,

b ∑∑∑∑ ∑−( )

=( )−( )( )

( )−( )

n X X2 2

2

8 1 058 37 113 2 72 78 1651 26 113 2. , , ,

, ,

==

=

= −

= −( )

∑ ∑

237 32395 840 5995

72 7 0 5995 11

,,

,

, ,

aY

nb

Xn

n33 28

9 0875 6 4830 6045

,

, ,,

= −=

Maka, nilai a yaitu:

X

Y

XY

X

Y

n XY X Y

=

=

=

=

=

=−

∑∑∑∑∑

∑

113 2

72 7

1 058 37

1 651 26

688 03

2

2

,

,

. ,

. ,

,

b ∑∑∑∑ ∑−( )

=( )−( )( )

( )−( )

n X X2 2

2

8 1 058 37 113 2 72 78 1651 26 113 2. , , ,

, ,

==

=

= −

= −( )

∑ ∑

237 32395 840 5995

72 7 0 5995 11

,,

,

, ,

aY

nb

Xn

n33 28

9 0875 6 4830 6045

,

, ,,

= −=

Jadi persamaan regresi linier dengan menggunakan metode kuadrat terkecil yaitu

Y = 0,6045 + 0,5995X


Contoh 7.2 Data pada tabel berikut menyajikan besarnya pendapatan dan pengeluaran suatu negara (dalam jutaan dolar) dari tahun 2000 sampai dengan tahun 2009.

tabel 7.3Data Besarnya Pendapatan Dan Pengeluaran Negara

tahunBesar pendapatan

(X)Besar pengeluaran

(Y)2000 5,2 4,22001 4,7 4,02002 5,0 4,12003 4,8 4,32004 5,4 5,02005 5,1 4,92006 5,8 5,72007 6,4 5,72008 6,8 6,32009 7,2 6,9

Tentukan persamaan regresi linear dengan menggunakan metode kuadrat terkecil!




tahunBesar

pendapatan (X)

Besar pengeluaran

(Y)XY X2 Y2

2000 5,2 4,2 21,84 27,04 17,642001 4,7 4,0 18,8 22,09 162002 5,0 4,1 20,5 25 16,812003 4,8 4,3 20,64 23,04 18,492004 5,4 5,0 27 29,16 252005 5,1 4,9 24,09 26,01 24,012006 5,8 5,7 33,06 33,64 32,492007 6,4 5,7 36,48 40,96 32,492008 6,8 6,3 42,84 46,24 39,692009 7,2 6,9 49,68 51,84 47,61

Jumlah 56,0 51,1 295,83 325,02 270,23

Dari tabel perhitungan di atas maka diperoleh:

X

Y

XY

X

=

=

=

=

∑∑∑∑

56 0

51 1

295 83

325 022

,

,

,

,

b

Y

n XY X Y

n X X

2

2

270 23=

=−

−(

∑

∑∑∑∑ ∑

,

))

=( )−( )( )

( )−( )

=−

2

2

10 295 83 56 4 51 110 325 02 56 4

2958 3 2882

, , ,, ,

, , 0043250 3180 96

76 2669 241 10

51 110

−

=

=

= −

=

∑ ∑

,,,

,

,

aY

nb

Xn

−−

= −=

1 10 56 410

5 11 6 2041 094

, ,

, ,,-


X

Y

XY

X

=

=

=

=

∑∑∑∑

56 0

51 1

295 83

325 022

,

,

,

,

b

Y

n XY X Y

n X X

2

2

270 23=

=−

−(

∑

∑∑∑∑ ∑

,

))

=( )−( )( )

( )−( )

=−

2

2

10 295 83 56 4 51 110 325 02 56 4

2958 3 2882

, , ,, ,

, , 0043250 3180 96

76 2669 241 10

51 110

−

=

=

= −

=

∑ ∑

,,,

,

,

aY

nb

Xn

−−

= −=

1 10 56 410

5 11 6 2041 094

, ,

, ,,-



X

Y

XY

X

=

=

=

=

∑∑∑∑

56 0

51 1

295 83

325 022

,

,

,

,

b

Y

n XY X Y

n X X

2

2

270 23=

=−

−(

∑

∑∑∑∑ ∑

,

))

=( )−( )( )

( )−( )

=−

2

2

10 295 83 56 4 51 110 325 02 56 4

2958 3 2882

, , ,, ,

, , 0043250 3180 96

76 2669 241 10

51 110

−

=

=

= −

=

∑ ∑

,,,

,

,

aY

nb

Xn

−−

= −=

1 10 56 410

5 11 6 2041 094

, ,

, ,,-

Jadi persamaan regresi linier dengan menggunakan metode kuadrat terkecil yaitu

Y = –1,094 + 1,10 X

Contoh 7.3Dari hasil pencatatan antara biaya iklan dan volume penjualan sebuah perusahaan jasa eceran produk komputer diperoleh informasi sebagai berikut:

tabel 7.5Data Antara Biaya Iklan Dan Volume Penjualan Perusahaan Jasa Eceran Produk

Komputer

Biaya iklan(jutaan rupiah)

X

Volume penjualan(ribuan unit)

Y3 124 115 136 127 138 149 16






X


YX2 Y2 XY

3 12 9 144 364 11 16 121 445 13 25 169 656 12 36 144 727 13 49 169 918 14 64 196 1129 16 81 256 144

42 91 280 1199 564

Dari tabel perhitungan di atas diperoleh:=

=

=

=

∑∑∑∑

42

280

564

912

Y

XY

X

b

Y

n XY X Y

n X X

2

2 2

1199

7 564

=

=−

−( )

=

∑

∑∑∑∑ ∑(( )−( )( )( )−( )

=

= −

= −

∑ ∑

42 917 280 42

0 6429

917

0

2

,

,

aY

nb

Xn

6642 427

13 0 6429 613 3 85749 1426

= − ( )

= −=

,,

,


=

=

=

=

∑∑∑∑

42

280

564

912

Y

XY

X

b

Y

n XY X Y

n X X

2

2 2

1199

7 564

=

=−

−( )

=

∑

∑∑∑∑ ∑(( )−( )( )( )−( )

=

= −

= −

∑ ∑

42 917 280 42

0 6429

917

0

2

,

,

aY

nb

Xn

6642 427

13 0 6429 613 3 85749 1426

= − ( )

= −=

,,

,



=

=

=

=

∑∑∑∑

42

280

564

912

Y

XY

X

b

Y

n XY X Y

n X X

2

2 2

1199

7 564

=

=−

−( )

=

∑

∑∑∑∑ ∑(( )−( )( )( )−( )

=

= −

= −

∑ ∑

42 917 280 42

0 6429

917

0

2

,

,

aY

nb

Xn

6642 427

13 0 6429 613 3 85749 1426

= − ( )

= −=

,,

,

Jadi, persamaan regresi linier dengan menggunakan metode kuadrat terkecil yaitu Y = 9,1426 + 0,6429X

Contoh 7.4Hubungan antara pendapatan perminggu (X) dengan konsumsi (belanja = Y) perminggu dalam $.

tabel 7.7Data Pendapatan Dengan Konsumsi Per Minggu Dalam $

pendapatan (X) konsumsi (Y)8 6

10 812 1014 1216 1418 1620 1822 2024 2226 2428 2630 2832 3034 32





pendapatan (X)

konsumsi (Y)

XY X2 Y2

8 6 48 64 3610 8 80 100 6412 10 120 144 10014 12 168 196 14416 14 224 256 19618 16 288 324 25620 18 360 400 32422 20 440 484 40024 22 528 576 48426 24 624 676 57628 26 728 784 67630 28 840 900 78432 30 960 1024 90034 32 1088 1156 1024

294 266 6496 7084 5964


X

X

XY

Y

=

=

=

=

∑∑∑∑

294

7084

6496

266

2

b

Y

n XY X Y

2 5964=

=−

∑

∑∑∑nn X X

aY

n

∑ ∑

∑

−( )

=( )−( )( )

( )−( )=

= −

2 2

2

14 6496 294 26614 7084 294

0 958,

bbX

n∑

= −

= − ( )

= −

26614

0 958 29414

19 0 958 2119

,

,220 118

1 118,

,= -



X

X

XY

Y

=

=

=

=

∑∑∑∑

294

7084

6496

266

2

b

Y

n XY X Y

2 5964=

=−

∑

∑∑∑nn X X

aY

n

∑ ∑

∑

−( )

=( )−( )( )

( )−( )=

= −

2 2

2

14 6496 294 26614 7084 294

0 958,

bbX

n∑

= −

= − ( )

= −

26614

0 958 29414

19 0 958 2119

,

,220 118

1 118,

,= -


X

X

XY

Y

=

=

=

=

∑∑∑∑

294

7084

6496

266

2

b

Y

n XY X Y

2 5964=

=−

∑

∑∑∑nn X X

aY

n

∑ ∑

∑

−( )

=( )−( )( )

( )−( )=

= −

2 2

2

14 6496 294 26614 7084 294

0 958,

bbX

n∑

= −

= − ( )

= −

26614

0 958 29414

19 0 958 2119

,

,220 118

1 118,

,= -

Jadi, persamaan regresi linier dengan menggunakan metode kuadrat terkecil yaitu

Y = –1,118 + 0,958X

�.� Analisa Korelasi Sederhana

Derajat hubungan antara variabel-variabel dikenal dengan analisa korelasi. Ukuran yang digunakan untuk mengetahui derajat hubungan, terutama untuk data kuantitatif yang disebut koefisien korelasi. Jika garis regresi yang terbaik untuk sekelompok data berbentuk linear, maka derajat hubungannya akan dinyatakan dengan r dan biasa disebut koefisien korelasi. Persamaan koefisien korelasi (r) ditentukan sebagai berikut:

rn XY X Y

n X X n Y Y=

−

−( ){ } −( ){ }∑∑∑

∑ ∑ ∑ ∑2 2 2 2


Jika b positif maka r positif sedangkan jika b negatif maka r negatif, nilai r terletak dari -1 sampai +1 atau ditulis -1 < r <+1. Bila r mendekati +1 dan -1 maka terjadi korelasi tinggi dan terjadi hubungan linear yang sempurna antara X dan Y, bila r mendekati 0 hubungan linearnya sangat lemah atau tidak ada.

Contoh: r = -0,6 itu menunjukkan arah yang berlawanan, X↑ maka Y↓ atau X↓ maka Y↑. r = = 0,6 itu menunjukkan arah yang sama, X↑ maka Y↑ atau X↓ maka Y↓. r = 0 itu menunjukkan tidak ada hubungan linear antara X dan Y.

�.� Koefisien Determinasi (r�)

Alat untuk mengukur tingkat kecocokan/kesempurnaan model regresi disebut koefisien determinasi (r2) misal r2 = 0,90 artinya nilai duga regresi yang kita peroleh memenuhi model yang kita kehendaki atau 90% (Sembilan puluh persen) nilai-nilai Y besarnya ditentukan oleh nilai-nilai variabel X yang dimasukkan dalam model, sedangkan 10% lagi ditentukan oleh variabel lain di luar model. Atau untuk menyatakan proporsi keragaman total nilai-nilai peubah Y yang dapat dijelaskan oleh nilai-nilai peubah X melalui hubungan linear tersebut. Koefisien determinasi ditulis r2 untuk regresi dua variabel dan nilainya antara 0 dan 1. Contoh halnya r2 = 0,6 artinya 0,36 atau 36% diantara keragaman total nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan nilai-nilai X atau besarnya sumbangan X terhadap naik turunnya Y adalah 36% sedangkan 64% disebabkan oleh faktor lain.

Contoh 7.5Data pada suatu pabrik kertas menunjukkan bahwa kebanyakannya kertas rusak ada hubungannya dengan kecepatan beroperasi mesin cetak.


tabel 7.9Data Kecepatan Mesin Per Menit Dan Jumlah Kerusakan Kertas (Lembaran)

kecepatan mesin permenit (X)


9,2 7,012,2 8,013,2 8,514,2 6,714,5 9,615,8 9,216,5 11,517,6 12,2

Tentukan koefisien korelasi dan koefisien determinasinya!



X Y XY X2 Y2

9,2 7,0 64,4 84,64 4912,2 8,0 97,6 148,84 6413,2 8,5 112,2 174,24 72,2514,2 6,7 95,14 201,64 44,8914,5 9,6 139,2 210,25 92,1615,8 9,2 145,36 249,64 84,6416,5 11,5 189,75 272,25 132,2517,6 12,2 214,72 309,76 148,84

113,2 72,7 1058,37 1651,26 688,03


Dari tabel perhitungan di atas diperoleh:

X=113,2

Y

XY

X = 1.651,26 2

∑∑∑∑

=

=

72 7

1 058 37

,

. ,

Y∑

∑∑∑∑ ∑

=

=−

−(

2

2

688 03,

rn XY X Y

n X X)){ } −( ){ }=

( )−( )( )

( )−(

∑ ∑2 2 2

8 105 37 113 2 72 7

8 1651 26 113 2

n Y Y

, , ,

, , )){ } ( )−( ){ }

=−

−{

2 28 688 03 72 7

8466 96 8229 6413210 08 12814 24

, ,

, ,, , }} −{ }

=

=

=

5504 24 5285 293237 32294 396237 3286669 17

237 3229

, ,,,,

,,

44 3960 81

,,=

Maka, koefisien korelasinya yaitu:

X=113,2

Y

XY

X = 1.651,26 2

∑∑∑∑

=

=

72 7

1 058 37

,

. ,

Y∑

∑∑∑∑ ∑

=

=−

−(

2

2

688 03,

rn XY X Y

n X X)){ } −( ){ }=

( )−( )( )

( )−(

∑ ∑2 2 2

8 105 37 113 2 72 7

8 1651 26 113 2

n Y Y

, , ,

, , )){ } ( )−( ){ }

=−

−{

2 28 688 03 72 7

8466 96 8229 6413210 08 12814 24

, ,

, ,, , }} −{ }

=

=

=

5504 24 5285 293237 32294 396237 3286669 17

237 3229

, ,,,,

,,

44 3960 81

,,=

Dengan nilai koefisien relasinya 0,81 terletak antara 0,70 dan 0,90, maka terdapat hubungan positif yang kuat antara kecepatan mesin dengan jumlah kerusakan kertas. Maka, koefisien determinasinya yaitu:

r² = (0,81)² = 0,6561 = 65,61%


r2 = 0,81 artinya 0,6561 atau 65,61% diantara keragaman total nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan nilai-nilai X terhadap naik turunnya Y adalah 65,61% sedangkan 34,39% disebabkan oleh faktor lain.

Contoh 7.6Data pada tabel berikut menyajikan besarnya pendapatan dan pengeluaran suatu negara (dalam jutaan dolar) dari tahun 2000 sampai dengan tahun 2009.


tahunBesar pendapatan

(X)Besar pengeluaran

(Y)2000 5,2 4,22001 4,7 4,02002 5,0 4,12003 4,8 4,32004 5,4 5,02005 5,1 4,92006 5,8 5,72007 6,4 5,72008 6,8 6,32009 7,2 6,9

Tentukanlah nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasi!




tahun X Y XY X2 Y2

2000 5,2 4,2 21,84 27,04 17,642001 4,7 4,0 18,8 22,09 162002 5,0 4,1 20,5 25 16,812003 4,8 4,3 20,64 23,04 18,492004 5,4 5,0 27 29,16 252005 5,1 4,9 24,09 26,01 24,012006 5,8 5,7 33,06 33,64 32,492007 6,4 5,7 36,48 40,96 32,492008 6,8 6,3 42,84 46,24 39,692009 7,2 6,9 49,68 51,84 47,61

Jumlah 56,0 51,1 295,83 325,02 270,23


X=56,0

Y

XY

X = 325,02 2

∑∑∑∑

=

=

51 1

295 83

,

.

Y∑

∑∑∑∑ ∑

=

=−

−( ){

2

2

2 2

270 23,

rn XY X Y

n X X }} −( ){ }=

( )−( )( )

( )−( ){ }

∑ ∑n Y Y2 2

2

10 295 83 56 4 51 1

10 325 02 56 4

, , ,

, , 110 270 23 51 1

2958 3 2882 043250 2 3180 96 2702 3

2, ,

, ,, , ,

( )−( ){ }

=−

−{ } −−{ }

=( )( )

=

=

2611 2176 26

69 24 91 0976 2679 420 96

,,

, ,,,

,

Maka, nilai koefisien korelasinya yaitu:

X=56,0

Y

XY

X = 325,02 2

∑∑∑∑

=

=

51 1

295 83

,

.

Y∑

∑∑∑∑ ∑

=

=−

−( ){

2

2

2 2

270 23,

rn XY X Y

n X X }} −( ){ }=

( )−( )( )

( )−( ){ }

∑ ∑n Y Y2 2

2

10 295 83 56 4 51 1

10 325 02 56 4

, , ,

, , 110 270 23 51 1

2958 3 2882 043250 2 3180 96 2702 3

2, ,

, ,, , ,

( )−( ){ }

=−

−{ } −−{ }

=( )( )

=

=

2611 2176 26

69 24 91 0976 2679 420 96

,,

, ,,,

,


Dengan nilai koefisien relasinya 0,96 terletak antara 0,90 dan 1,0, maka terdapat hubungan positif yang sangat kuat antara besarnya pendapatan dengan besarnya pengeluaran. Maka, nilai koefisien determinasi yaitu:

r² = (0,96)² = 0,9216 = 92,16%




Komputer


X


Y3 124 115 136 127 138 149 16

Tentukan nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasinya!




X Y X2 Y2 XY3 12 9 144 364 11 16 121 445 13 25 169 656 12 36 144 727 13 49 169 918 14 64 196 1129 16 81 256 144

42 91 280 1199 564


X=42

X 280

XY

Y= 91

2

∑∑∑∑

=

= 564

Y∑

∑∑∑∑ ∑ ∑ ∑

=

=−

−( ){ } −( ){ }=

( )−( )

2

2 2 2 2

1199

7 564 42

rn XY X Y

n X X n Y Y

991

7 280 42 7 1199 91

3948 38821960 1764 839

2 2

( )

( )−( ){ } ( )−( ){ }

=−

−{ } 33 8281126

196 112126

148 20 85

−{ }

=( )( )

=

=,

,

Maka, nilai koefisien korelasi yaitu:

X=42

X 280

XY

Y= 91

2

∑∑∑∑

=

= 564

Y∑

∑∑∑∑ ∑ ∑ ∑

=

=−

−( ){ } −( ){ }=

( )−( )

2

2 2 2 2

1199

7 564 42

rn XY X Y

n X X n Y Y

991

7 280 42 7 1199 91

3948 38821960 1764 839

2 2

( )

( )−( ){ } ( )−( ){ }

=−

−{ } 33 8281126

196 112126

148 20 85

−{ }

=( )( )

=

=,

,


Dengan nilai koefisien relasinya 0,85 terletak antara 0,70 dan 0,90, maka terdapat hubungan positif yang kuat antara biaya iklan dengan volume penjualan. Maka, koefisien determinasinya yaitu:

r2 = (0,85)2 = 0,7225 = 72,25%




pendapatan (X)

konsumsi (Y)

8 610 812 1014 1216 1418 1620 1822 2024 2226 2428 2630 2832 3034 32

Tentukan nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasinya!




(X) (Y) XY X2 Y2

8 6 48 64 3610 8 80 100 6412 10 120 144 10014 12 168 196 14416 14 224 256 19618 16 288 324 25620 18 360 400 32422 20 440 484 40024 22 528 576 48426 24 624 676 57628 26 728 784 67630 28 840 900 78432 30 960 1024 90034 32 1088 1156 1024

294 266 6496 7084 5964


X=294

X 7084

XY

Y= 266

2

∑∑∑∑

=

= 6496

Y∑

∑∑∑∑ ∑ ∑ ∑

=

=−

−( ){ } −( )

2

2 2 2

5964

rn XY X Y

n X X n Y Y22

2 2

14 6496 294 266

14 7084 294 14 5964 266

{ }=

( )−( )( )

( )−( ){ } ( )−( ){ }

==−

{ }{ }

=

=

90944 7820412740 12740

12740127401 0,


Maka, nilai koefisien korelasinya yaitu:

X=294

X 7084

XY

Y= 266

2

∑∑∑∑

=

= 6496

Y∑

∑∑∑∑ ∑ ∑ ∑

=

=−

−( ){ } −( )

2

2 2 2

5964

rn XY X Y

n X X n Y Y22

2 2

14 6496 294 266

14 7084 294 14 5964 266

{ }=

( )−( )( )

( )−( ){ } ( )−( ){ }

==−

{ }{ }

=

=

90944 7820412740 12740

12740127401 0,

Dengan nilai koefisien relasinya 1,0, terletak antara 1,0 dan 0,90, maka terdapat hubungan positif yang sangat kuat antara pendapatan dengan konsumsi. Maka, koefisien determinasinya yaitu:

r2 = (1,0)2 = 1 = 100%

r2 = 1,0 artinya 1 atau 100% diantara keragaman total nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan nilai-nilai X terhadap naik turunnya Y adalah 100%.

�.� Kesalahan Baku dari Penaksiran Y = a + bx

Penaksiran dengan persamaan regresi e Y Y2 2= −( )∑ ∑ = a + bX memberi total kuadrat

eror sebesar:

e Y Y2 2= −( )∑ ∑

Keterangan: Σe2 = total kuadrat eror Y = variabel tak bebas Ŷ = nilai-nilai taksiran untuk variabel tak bebas


Persamaan regresi yang memberi total kuadrat eror merupakan total kuadrat kesalahan dari penaksiran e Y Y2 2

= −( )∑ ∑ = a + bX terhadap nilai-nilai Y yang sebenarnya. Bila bentuk itu kita bagi dengan banyaknya data, yaitu n, maka kita peroleh rata-rata kesalahan baku, yaitu:

en

Y Yn

∑ ∑= −( )2 2

Keterangan: Σe2 = total kuadrat eror Y = variabel tak bebas Ŷ = nilai-nilai taksiran untuk variabel tak bebas n = banyaknya data

Selanjutnya kita ambil akarnya maka diperoleh:

SY yny x. =−( )∑ 2

Keterangan: Sy.x = penaksiran kesalahan baku Y = variabel tak bebas Ŷ = nilai-nilai taksiran untuk variabel tak bebas n = banyaknya data

Persamaan terakhir ni merupakan kesalahan baku dari penaksiran (standard eror of estimate) ini oleh e Y Y2 2

= −( )∑ ∑ = a + bX.

Contoh 7.9Data pada suatu pabrik kertas menunjukkan bahwa kebanyakannya kertas rusak ada hubungannya dengan kecepatan beroperasi mesin cetak.


tabel 7.17Data Kecepatan Mesin Per Menit dan Jumlah Kerusakan Kertas (Lembaran)

kecepatan Mesin permenit (X)


9,2 7,012,2 8,013,2 8,514,2 6,714,5 9,615,8 9,216,5 11,517,6 12,2

Tentukan kesalahan baku yang diberikan oleh persamaan regresi jika diketahui persamaan regresi liniernya yaitu e Y Y2 2

= −( )∑ ∑ = 0,6045 + 0,5995X

penyelesaian:Dengan menggunakan persamaan regresi tersebut adalah Ŷ= 0,6045 + 0,5995X, maka penaksiran kesalahan baku yaitu:

X = 9,2 Y = 0,6045 + 0,5995(9,2) = 6,12

(Y Y ) = (7,0 1

1 1− − 66,12) = 0,7744

X = 12,2 Y = 0,6045 + 0,5995(12,2) = 7,92

2

2 2

((Y Y ) = (8,0 7,92) = 0,0064

X = 13,2 Y = 0,6045 + 2 2

2

3 3

− −

00,5995(13,2) = 8,52

(Y Y ) = (8,5 8,52) = 0,0004

X = 3 3

2

4

− −

114,2 Y = 0,6045 + 0,5995(14,2) = 9,12

(Y Y ) = (6,7 9

4

4 4− − ,,12) = 5,8564

X = 14,5 Y = 0,6045 + 0,5995(14,5) = 9,37

(

2

5 5

YY Y ) = (9,6 9,37) = 0,0529

X = 15,8 Y = 0,6045 + 05 5

2

6 6

− −

,,5995(15,8) = 10,08

(Y Y ) = (9,2 10,08) = 0,7744

X = 6 6

2

7

− −

116,5 Y = 0,6045 + 0,5995(16,5) = 10,49

(Y Y ) = ( 11,5

7

7 7− −− 10,49) = 1,0201

X = 17,6 Y = 0,6045 + 0,5995(17,6) = 1

2

8 8 11,16

(Y Y ) = (12,2 11,16) = 1,08168 82− −


X = 9,2 Y = 0,6045 + 0,5995(9,2) = 6,12

(Y Y ) = (7,0 1

1 1− − 66,12) = 0,7744

X = 12,2 Y = 0,6045 + 0,5995(12,2) = 7,92

2

2 2

((Y Y ) = (8,0 7,92) = 0,0064

X = 13,2 Y = 0,6045 + 2 2

2

3 3

− −

00,5995(13,2) = 8,52

(Y Y ) = (8,5 8,52) = 0,0004

X = 3 3

2

4

− −

114,2 Y = 0,6045 + 0,5995(14,2) = 9,12

(Y Y ) = (6,7 9

4

4 4− − ,,12) = 5,8564

X = 14,5 Y = 0,6045 + 0,5995(14,5) = 9,37

(

2

5 5

YY Y ) = (9,6 9,37) = 0,0529

X = 15,8 Y = 0,6045 + 05 5

2

6 6

− −

,,5995(15,8) = 10,08

(Y Y ) = (9,2 10,08) = 0,7744

X = 6 6

2

7

− −

116,5 Y = 0,6045 + 0,5995(16,5) = 10,49

(Y Y ) = ( 11,5

7

7 7− −− 10,49) = 1,0201

X = 17,6 Y = 0,6045 + 0,5995(17,6) = 1

2

8 8 11,16

(Y Y ) = (12,2 11,16) = 1,08168 82− −

Keseluruhan nilai-nilai yang sudah didapat jika dimasukkan ke dalam bentuk tabel maka akan tampak seperti berikut:


(X) (Y) Ŷ (Y-Ŷ)²9,2 7,0 6,12 0,7744

12,2 8,0 7,92 0,006413,2 8,5 8,52 0,000414,2 6,7 9,12 5,856414,5 9,6 9,37 0,052915,8 9,2 10,08 0,774416,5 11,5 10,49 1,020117,6 12,2 11,16 1,0816

Jumlah 9,5666

Dari tabel di atas dapat diperoleh total kuadrat kesalahan

Y Y

SY Y

nyx

−( ) =

=−( )

=

=

∑

∑

2

2

9 5666

9 56668

1 09

,

,

,

Jadi, kesalahan baku dari taksiran regresi tersebut adalah:

Y Y

SY Y

nyx

−( ) =

=−( )

=

=

∑

∑

2

2

9 5666

9 56668

1 09

,

,

,


Contoh 7.10Data pada tabel berikut menyajikan besarnya pendapatan dan pengeluaran suatu negara (dalam jutaan dolar) dari tahun 2000 sampai dengan tahun 2009.


tahun Besar pendapatan (X) Besar pengeluaran (Y)2000 5,2 4,22001 4,7 4,02002 5,0 4,12003 4,8 4,32004 5,4 5,02005 5,1 4,92006 5,8 5,72007 6,4 5,72008 6,8 6,32009 7,2 6,9

Tentukan kesalahan baku yang diberikan oleh persamaan regresi jika diketahui persamaan regresi liniernya yaitu

Y X=− +1 094 1 10, , !

penyelesaian:Dengan menggunakan persamaan regresi tersebut adalah

Y = –1,094 +

1,10X maka penaksiran kesalahan baku yaitu:

Y X= +

−

-

X = 9,2 Y = -1,094 + 1,10(5,2) = 4,6

(Y Y1

1

1 094 1 10, ,

112

2 2

) = (4,2 4,63) = 0,1849

X = 4,7 Y = -1,094 + 1,10(4,7

−

)) = 4,08

(Y Y ) = (4,0 4,08) = 0,0064

X = 5,0 Y = -2 2

2

3 3

− −

11,094 + 1,10(5,0) = 6,6

(Y Y ) = (4,1 6,6) = 6,25

X =3 3

2

4

− −

4,8 Y = -1,094 + 1,10(4,8) = 4,19

(Y Y ) = (4,3 4,1

4

4 4− − 99) = 0,0121

X = 5,1 Y = -1,094 + 1,10(5,4) = 4,85

(Y

2

5 5

5 − YY ) = (5,0 4,85) = 0,0225

X = 5,1 Y = -1,094 + 1,10(5

52

6 6

−

,,1) = 4,52

(Y Y ) = (4,9 4,52) = 0,1444

X = 5,8 Y = -6 6

2

7 7

− −

11,094 + 1,10(5,8) = 5,29

(Y Y ) = ( 5,7 5,29) = 0,167 72− − 881

X = 6,4 Y = -1,094 + 1,10(6,4) = 5,95

(Y Y ) = (5,78 8

8 8− 5,95) = 0,0625

X = 6,8 Y = -1,094 + 1,10(6,8) = 6,39

2

9 9

−

((Y Y ) = (6,3 6,39) = 0,0081

X = 7,2 Y = -1,094 9 9

2

10 10

− −

++ 1,10(7,2) = 6,83

(Y Y ) = (6,9 6,83) = 0,004910 102− −


Y X= +

−

-

X = 9,2 Y = -1,094 + 1,10(5,2) = 4,6

(Y Y1

1

1 094 1 10, ,

112

2 2

) = (4,2 4,63) = 0,1849

X = 4,7 Y = -1,094 + 1,10(4,7

−

)) = 4,08

(Y Y ) = (4,0 4,08) = 0,0064

X = 5,0 Y = -2 2

2

3 3

− −

11,094 + 1,10(5,0) = 6,6

(Y Y ) = (4,1 6,6) = 6,25

X =3 3

2

4

− −

4,8 Y = -1,094 + 1,10(4,8) = 4,19

(Y Y ) = (4,3 4,1

4

4 4− − 99) = 0,0121

X = 5,1 Y = -1,094 + 1,10(5,4) = 4,85

(Y

2

5 5

5 − YY ) = (5,0 4,85) = 0,0225

X = 5,1 Y = -1,094 + 1,10(5

52

6 6

−

,,1) = 4,52

(Y Y ) = (4,9 4,52) = 0,1444

X = 5,8 Y = -6 6

2

7 7

− −

11,094 + 1,10(5,8) = 5,29

(Y Y ) = ( 5,7 5,29) = 0,167 72− − 881

X = 6,4 Y = -1,094 + 1,10(6,4) = 5,95

(Y Y ) = (5,78 8

8 8− 5,95) = 0,0625

X = 6,8 Y = -1,094 + 1,10(6,8) = 6,39

2

9 9

−

((Y Y ) = (6,3 6,39) = 0,0081

X = 7,2 Y = -1,094 9 9

2

10 10

− −

++ 1,10(7,2) = 6,83

(Y Y ) = (6,9 6,83) = 0,004910 102− −



tahunBesar

pendapatan (X)Besar

pengeluaran (Y)Ŷ (Y- Ŷ)²

2000 5,2 4,2 4,63 0,18492001 4,7 4,0 4,08 0,00642002 5,0 4,1 6,6 6,252003 4,8 4,3 4,19 0,01212004 5,4 5,0 4,85 0,02252005 5,1 4,9 4,52 0,14442006 5,8 5,7 5,29 0,16812007 6,4 5,7 5,95 0,06252008 6,8 6,3 6,39 0,00812009 7,2 6,9 6,83 0,0049

Jumlah 6,8639



Y Y

Y Y

nx

−( ) =

=−( )

=

=

∑

∑

2

2

6 8639

6 863910

0 69

,

,

,

Sy


Y Y

Y Y

nx

−( ) =

=−( )

=

=

∑

∑

2

2

6 8639

6 863910

0 69

,

,

,

Sy



Komputer


X


Y3 124 115 136 127 138 149 16


Y X= +9 1426 0 6429, , !


penyelesaian:Dengan menggunakan persamaan regresi tersebut adalah Y x

Y X

X Y

= +

= +

= = +

9 1426 0 6429

1 094 1 10

3 9 1426 0 64291 1

, ,

- , ,

, ,

(( ) ,

( ) ( , ) ,

3 11 07

12 11 07 0 8649

41 1

2

2 2

2

=

− = − =

= =

Y Y

X Y

2

9 1426 0 6429 4 11 71

11 11 71 02 22

, , ( ) ,

( ) ( , )

+ =

− = − =Y Y ,,

, , ( ) ,

( ) (

5041

5 9 1426 0 6429 5 12 363 3

3 32

X Y

Y Y

= = + =

− = 113 12 36 0 4096

6 9 1426 0 6429 6 134 4

2− =

= = + =

, ) ,

, , ( )

(

X Y

Y44 42

5 5

12 13 1

7 9 1426 0 6429 7 1

2− = − =

= = + =

Y

X Y

) ( )

, , ( ) 33 64

13 13 64 0 4096

8 9 14265 5

2

6 6

,

( ) ( , ) ,

,

Y Y

X Y

2− = − =

= = ++ =

− = − =

2

0 6429 8 14 29

14 14 29 0 08416 62

7

, ( ) ,

( ) ( , ) ,Y Y

X == = + =

− = −

9 9 1426 0 6429 9 14 93

14 14 9

7

7 72

Y

Y Y

, , ( ) ,

( ) ( , 33 1 14) ,2 =

maka penaksiran kesalahan baku yaitu:

Y x

Y X

X Y

= +

= +

= = +

9 1426 0 6429

1 094 1 10

3 9 1426 0 64291 1

, ,

- , ,

, ,

(( ) ,

( ) ( , ) ,

3 11 07

12 11 07 0 8649

41 1

2

2 2

2

=

− = − =

= =

Y Y

X Y

2

9 1426 0 6429 4 11 71

11 11 71 02 22

, , ( ) ,

( ) ( , )

+ =

− = − =Y Y ,,

, , ( ) ,

( ) (

5041

5 9 1426 0 6429 5 12 363 3

3 32

X Y

Y Y

= = + =

− = 113 12 36 0 4096

6 9 1426 0 6429 6 134 4

2− =

= = + =

, ) ,

, , ( )

(

X Y

Y44 42

5 5

12 13 1

7 9 1426 0 6429 7 1

2− = − =

= = + =

Y

X Y

) ( )

, , ( ) 33 64

13 13 64 0 4096

8 9 14265 5

2

6 6

,

( ) ( , ) ,

,

Y Y

X Y

2− = − =

= = ++ =

− = − =

2

0 6429 8 14 29

14 14 29 0 08416 62

7

, ( ) ,

( ) ( , ) ,Y Y

X == = + =

− = −

9 9 1426 0 6429 9 14 93

14 14 9

7

7 72

Y

Y Y

, , ( ) ,

( ) ( , 33 1 14) ,2 =



X Y Ý (Y - Ý)2

3 12 11,07 0,86494 11 11,71 0,50415 13 12,36 0,40966 12 13 17 13 13,64 0,40968 14 14,29 0,08419 16 14,93 1,1449

Jumlah 4,4172



Y Y

Y Y

nx

−( ) =

=−( )

=

=

∑

∑

2

2

4 4172

4 41727

0 79

,

,

,

Sy


Y Y

Y Y

nx

−( ) =

=−( )

=

=

∑

∑

2

2

4 4172

4 41727

0 79

,

,

,

Sy



pendapatan (X) konsumsi (Y)8 6

10 812 1014 1216 1418 1620 1822 2024 2226 2428 2630 2832 3034 32


Y = –1,118 + 0,958X!


penyelesaian:Dengan menggunakan persamaan regresi tersebut adalah Y X= +

−

1 1186 0 958, ,

X = 8 Y = -1,118 + 0,958(8) = 6,546

(Y 1 1

1 YY ) = (6 6,546) = 0,298

X = 10 Y = -1,118 + 0,958(10

12 2

2 2

−

)) = 8,462

(Y Y ) = (8 8,462) = 0,213

X = 12 Y = -1,2 2

2 2

3 3

− −

1118 + 0,958(12) = 10,378

(Y Y ) = (10 10,378) = 0,13 32 2− − 4428

X = 14 Y = -1,118 + 0,958(14) = 12,294

(Y Y ) = 4 4

4 42− ((12 12,294) = 0,086

X = 16 Y = -1,118 + 0,958(16) = 14

2

5 5

−

,,21

(Y Y ) = (14 14,21) = 0,0441

X = 18 Y = -1,118 5 5

2 2

6 6

− −

++ 0,958(18) = 16,126

(Y Y ) = (16 16,126) = 0,0158

X6 6

2 2− −

77 7

7 72

= 20 Y = -1,118 + 0,958(20) = 18,042

(Y Y ) = (18 − − 118,042) = 0,001764

X = 22 Y = -1,118 + 0,958(22) = 19,9

2

8 8 558

(Y Y ) = (20 19,958) = 0,001764

X = 24 Y = -1,8 8

2 2

9 9

− −

1118 + 0,958(24) = 21,874

(Y Y ) = (22 21,874) = 0,9 92 2− − 00158

X = 26 Y = -1,118 + 0,958(26) = 23,79

(Y Y )10 10

10 102− = (24 23,79) = 0,0441

X = 28 Y = -1,118 + 0,958(28)

2

11 11

−

= 25,706

(Y Y ) = (26 25,706) = 0,0864

X = 30 Y11 11

2 2

12

− −

112

12 1

= -1,118 + 0,958(30) = 27,622

(Y Y− 222 2

13 13

) = (28 27,622) = 0,1428

X = 32 Y = -1,118 + 0,958

−

((32) = 29,538

(Y Y ) = (30 29,638) = 0,2134

X =13 13

2 2

14

− −

34 Y = -1,118 + 0,958(34) = 31,459

(Y Y ) = (32

14

14 142− −− 31,459) = 0,2926812

maka penaksiran kesalahan baku yaitu:

Y X= +

−

1 1186 0 958, ,

X = 8 Y = -1,118 + 0,958(8) = 6,546

(Y 1 1

1 YY ) = (6 6,546) = 0,298

X = 10 Y = -1,118 + 0,958(10

12 2

2 2

−

)) = 8,462

(Y Y ) = (8 8,462) = 0,213

X = 12 Y = -1,2 2

2 2

3 3

− −

1118 + 0,958(12) = 10,378

(Y Y ) = (10 10,378) = 0,13 32 2− − 4428

X = 14 Y = -1,118 + 0,958(14) = 12,294

(Y Y ) = 4 4

4 42− ((12 12,294) = 0,086

X = 16 Y = -1,118 + 0,958(16) = 14

2

5 5

−

,,21

(Y Y ) = (14 14,21) = 0,0441

X = 18 Y = -1,118 5 5

2 2

6 6

− −

++ 0,958(18) = 16,126

(Y Y ) = (16 16,126) = 0,0158

X6 6

2 2− −

77 7

7 72

= 20 Y = -1,118 + 0,958(20) = 18,042

(Y Y ) = (18 − − 118,042) = 0,001764

X = 22 Y = -1,118 + 0,958(22) = 19,9

2

8 8 558

(Y Y ) = (20 19,958) = 0,001764

X = 24 Y = -1,8 8

2 2

9 9

− −

1118 + 0,958(24) = 21,874

(Y Y ) = (22 21,874) = 0,9 92 2− − 00158

X = 26 Y = -1,118 + 0,958(26) = 23,79

(Y Y )10 10

10 102− = (24 23,79) = 0,0441

X = 28 Y = -1,118 + 0,958(28)

2

11 11

−

= 25,706

(Y Y ) = (26 25,706) = 0,0864

X = 30 Y11 11

2 2

12

− −

112

12 1

= -1,118 + 0,958(30) = 27,622

(Y Y− 222 2

13 13

) = (28 27,622) = 0,1428

X = 32 Y = -1,118 + 0,958

−

((32) = 29,538

(Y Y ) = (30 29,638) = 0,2134

X =13 13

2 2

14

− −

34 Y = -1,118 + 0,958(34) = 31,459

(Y Y ) = (32

14

14 142− −− 31,459) = 0,2926812


Y X= +

−

1 1186 0 958, ,

X = 8 Y = -1,118 + 0,958(8) = 6,546

(Y 1 1

1 YY ) = (6 6,546) = 0,298

X = 10 Y = -1,118 + 0,958(10

12 2

2 2

−

)) = 8,462

(Y Y ) = (8 8,462) = 0,213

X = 12 Y = -1,2 2

2 2

3 3

− −

1118 + 0,958(12) = 10,378

(Y Y ) = (10 10,378) = 0,13 32 2− − 4428

X = 14 Y = -1,118 + 0,958(14) = 12,294

(Y Y ) = 4 4

4 42− ((12 12,294) = 0,086

X = 16 Y = -1,118 + 0,958(16) = 14

2

5 5

−

,,21

(Y Y ) = (14 14,21) = 0,0441

X = 18 Y = -1,118 5 5

2 2

6 6

− −

++ 0,958(18) = 16,126

(Y Y ) = (16 16,126) = 0,0158

X6 6

2 2− −

77 7

7 72

= 20 Y = -1,118 + 0,958(20) = 18,042

(Y Y ) = (18 − − 118,042) = 0,001764

X = 22 Y = -1,118 + 0,958(22) = 19,9

2

8 8 558

(Y Y ) = (20 19,958) = 0,001764

X = 24 Y = -1,8 8

2 2

9 9

− −

1118 + 0,958(24) = 21,874

(Y Y ) = (22 21,874) = 0,9 92 2− − 00158

X = 26 Y = -1,118 + 0,958(26) = 23,79

(Y Y )10 10

10 102− = (24 23,79) = 0,0441

X = 28 Y = -1,118 + 0,958(28)

2

11 11

−

= 25,706

(Y Y ) = (26 25,706) = 0,0864

X = 30 Y11 11

2 2

12

− −

112

12 1

= -1,118 + 0,958(30) = 27,622

(Y Y− 222 2

13 13

) = (28 27,622) = 0,1428

X = 32 Y = -1,118 + 0,958

−

((32) = 29,538

(Y Y ) = (30 29,638) = 0,2134

X =13 13

2 2

14

− −

34 Y = -1,118 + 0,958(34) = 31,459

(Y Y ) = (32

14

14 142− −− 31,459) = 0,2926812



pendapatan (X)

konsumsi(Y)

Ý (Y - Ý)2

8 6 6,546 0,29810 8 8,462 0,21312 10 10,378 0,142814 12 12,294 0,08616 14 14,21 0,044118 16 16,126 0,015820 18 18,042 0,00176422 20 19,958 0,00176424 22 21,874 0,015826 24 23,79 0,044128 26 25,706 0,086430 28 27,622 0,142832 30 29,538 0,213434 32 31,459 0,292681

Jumlah 1,939


Y Y

Y Y

nx

−( ) =

=−( )

=

=

∑

∑

2

2

1 939

1 93914

0 37

,

,

,

Sy



Y Y

Y Y

nx

−( ) =

=−( )

=

=

∑

∑

2

2

1 939

1 93914

0 37

,

,

,

Sy

�.� Rangkuman

Analisis regresi berbeda dengan analisis korelasi. Jika analisis korelasi digunakan untuk melihat hubungan dua variabel, maka analisis regresi digunakan untuk melihat pengaruh variabel bebas terhadap variabel tergantung serta memprediksi nilai variabel tergantung dengan menggunakan variabel bebas. Dalam analisis regresi variabel bebas berfungsi untuk menerangkan (explanatory) sedangkan variabel tergantung berfungsi sebagai yang diterangkan (the explained). Untuk mengumpulkan data waktu ke waktu kita dapat menggunakan deret berkala metode semi average. Analisa regresi ingin mengetahui pola relasi dalam bentuk persamaan regresi, analisa korelasi ingin mengetahui kekuatan tersebut dalam koefisien korelasinya. Hasil dari suatu analisis regresi linier tidak lain persamaan linier Y = a + bX. Nilai a dan b dapat langsung dicari menggunakan rumus penurunan parsial terhadap a dan b yang sederhana.


7.9.1 Data tinggi badan ayah (X) dan tinggi badan putra (Y) yang diperoleh dari suatu survei dengan sampel 12 orang ayah dan putra mereka disajikan pada tabel berikut (dalam satuan in).


tabel 7.25Tinggi Badan Ayah dan Tinggi Badan Putra dengan Sampel

12 Orang Ayah dan Putra

tinggi Badan ayah (X)

tinggi Badan putra (Y)

66 6964 6768 6965 6669 7063 6772 6967 6668 7162 6261 6071 70

Tentukan:a. Persamaan regresi linear dengan memakai metode kuadrat

terkecil.b. Koefisien korelasic. Koefisien determinasid. Penaksiran kesalahan baku

7.9.2 Percobaan nitrogen pada tanaman padi menghasilkan data berikut:

tabel 7.26Percobaan Nitrogen pada Tanaman Padi

pupuk Nitrogen (X)

hasil (Y)

0 5,10 4,5

30 5,730 5,560 6,560 7,090 7,090 7,5

120 5,5120 6,0


Tentukan:a. Persamaan regresi linear dengan memakai metode kuadrat

terkecil.b. Koefisien korelasic. Koefisien determinasid. Penaksiran kesalahan baku

�.�0 Jawaban Latihan Soal

7.10.1 penyelesaian:a. Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel

perhitungan sebagai berikut:

tabel 7.27Perhitungan Metode Kuadrat Terkecil

X Y XY X2 Y2

66 69 4554 4356 476164 67 4288 4096 448968 69 4692 4624 476165 66 4290 4225 435669 70 4830 4761 49063 67 4221 3969 448972 69 4968 5184 476167 66 4422 4489 435668 71 4828 4624 504162 62 3844 3844 384461 60 3660 3721 360071 70 4970 5041 4900

796 806 53567 52934 54258



X=796

∑∑∑∑

=

=

=

Y

XY

X

806

53567

529342

Y

bn XY X

2 54258=

=−

∑

YY

n X X∑∑∑∑∑ −( )

=( )−( )( )

( )−( )

=

2 2

2

12 53567 796 80612 52934 796

6428044 641576635208 633616122815920 77

−−

=

=

= −

=

∑ ∑

,

a Y

nb

Xn

880612

0 77 79612

67 17 0 77 66 3367 17 51 0716

−

= − ( )

= −=

,

, , ,, ,,11

16 1 51 07 16 1

12

2 2 2 2

Y

rn XY X Y

n X X n Y Y

= − =

=−( ){ } −( ){ }

=

∑∑∑∑∑ ∑∑

, , ,

-

553567 796 806

12 52934 796 12 54258 806

64

2 2

( )−( )( )

( )−( ){ } ( )−( ){ }

=22804 641576

635208 633616 651096 64963631228

1592 1460

−−{ } −{ }

=( )(( )

=

=

12281524 50 80

,,

Maka nilai b yaitu:

X=796

∑∑∑∑

=

=

=

Y

XY

X

806

53567

529342

Y

bn XY X

2 54258=

=−

∑

YY

n X X∑∑∑∑∑ −( )

=( )−( )( )

( )−( )

=

2 2

2

12 53567 796 80612 52934 796

6428044 641576635208 633616122815920 77

−−

=

=

= −

=

∑ ∑

,

a Y

nb

Xn

880612

0 77 79612

67 17 0 77 66 3367 17 51 0716

−

= − ( )

= −=

,

, , ,, ,,11

16 1 51 07 16 1

12

2 2 2 2

Y

rn XY X Y

n X X n Y Y

= − =

=−( ){ } −( ){ }

=

∑∑∑∑∑ ∑∑

, , ,

-

553567 796 806

12 52934 796 12 54258 806

64

2 2

( )−( )( )

( )−( ){ } ( )−( ){ }

=22804 641576

635208 633616 651096 64963631228

1592 1460

−−{ } −{ }

=( )(( )

=

=

12281524 50 80

,,

Maka nilai a yaitu:

X=796

∑∑∑∑

=

=

=

Y

XY

X

806

53567

529342

Y

bn XY X

2 54258=

=−

∑

YY

n X X∑∑∑∑∑ −( )

=( )−( )( )

( )−( )

=

2 2

2

12 53567 796 80612 52934 796

6428044 641576635208 633616122815920 77

−−

=

=

= −

=

∑ ∑

,

a Y

nb

Xn

880612

0 77 79612

67 17 0 77 66 3367 17 51 0716

−

= − ( )

= −=

,

, , ,, ,,11

16 1 51 07 16 1

12

2 2 2 2

Y

rn XY X Y

n X X n Y Y

= − =

=−( ){ } −( ){ }

=

∑∑∑∑∑ ∑∑

, , ,

-

553567 796 806

12 52934 796 12 54258 806

64

2 2

( )−( )( )

( )−( ){ } ( )−( ){ }

=22804 641576

635208 633616 651096 64963631228

1592 1460

−−{ } −{ }

=( )(( )

=

=

12281524 50 80

,,

Jadi persamaan regresi linier dengan menggunakan metode kuadrat minimum yaitu Ŷ = 16,1 + 0,77 X


b. Maka nilai koefisien korelasinya adalah

X=796

∑∑∑∑

=

=

=

Y

XY

X

806

53567

529342

Y

bn XY X

2 54258=

=−

∑

YY

n X X∑∑∑∑∑ −( )

=( )−( )( )

( )−( )

=

2 2

2

12 53567 796 80612 52934 796

6428044 641576635208 633616122815920 77

−−

=

=

= −

=

∑ ∑

,

a Y

nb

Xn

880612

0 77 79612

67 17 0 77 66 3367 17 51 0716

−

= − ( )

= −=

,

, , ,, ,,11

16 1 51 07 16 1

12

2 2 2 2

Y

rn XY X Y

n X X n Y Y

= − =

=−( ){ } −( ){ }

=

∑∑∑∑∑ ∑∑

, , ,

-

553567 796 806

12 52934 796 12 54258 806

64

2 2

( )−( )( )

( )−( ){ } ( )−( ){ }

=22804 641576

635208 633616 651096 64963631228

1592 1460

−−{ } −{ }

=( )(( )

=

=

12281524 50 80

,,

Dengan nilai koefisien relasinya 0,80 terletak antara 0,70 dan 0,90, maka terdapat hubungan positif yang kuat antara tinggi badan ayah dengan tinggi badan putranya.

c. Maka nilai koefisien determinasinya adalah

r2 0 800 6464

=( )

=

=

.,

%

r2 = 0,80 artinya 0,64 atau 64% diantara keragaman total nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan nilai-nilai X terhadap naik turunnya Y adalah 64% sedangkan 36% disebabkan oleh faktor lain.

d. Maka, penaksiran kesalahan baku dari persamaan regresi linier yaitu Ŷ= 16,1 + 0,77X adalah sebagai berikut:

X = 66 Y = 16,1 + 0,77(66) = 66,92

(Y Y ) = (69 66,91 1

1 1− − 22) = 4,33

X = 64 Y =16,1 + 0,77(64) = 65,38

(Y Y ) =

2

2 2

2 2− (67 65,8) = 2,62

X = 68 Y = 16,1+0,77(68) = 68,46

(Y

2

3 3

3

−

Y ) = (69 68,46) = 0,29

X =65 Y = 16,1 + 0,77(65)

32

4 4

− −

= 66,15

(Y Y ) = (66 66,15) = 0,023

X =69 Y = 16,4 4

2

5 5

− −

11 + 0,77(69) = 69,23

(Y Y ) = (70 69,23) = 0,59

X = 5 5

2

6

− −

663 Y = 16,1 + 0,77(63) = 64,61

(Y Y ) = (67 64,61)

6

6 62− − == 5,71

X =72 Y = 16,1 + 0,77(72) = 71,54

(Y Y ) = (69 7 7

7 7− − 71,54) = 6,45

X =67 Y =16,1 + 0,77(67) = 67,69

(Y Y

2

8 8

8 − 882

9 9

) = (66 67,69) = 2,86

X = 68 Y = 16,1 + 0,77(68) = 6

−

88,46

(Y Y ) = (71 68,46) = 6,45

X = 62 Y = 16,1 + 9 9

2

10 10

− −

00,77(62) = 63,84

(Y Y ) = (62 63,84) = 3,39

X = 610 10

2

11

− −

11 Y = 16,1 + 0,77(61) = 63,07

(Y Y ) = (60 63,07)

11

11 112− − = 9,42

X = 71 Y = 16,1 + 0,77(71) = 70,77

(Y Y ) =12 12

12 12− (70 70,77) = 0,592−


X = 66 Y = 16,1 + 0,77(66) = 66,92

(Y Y ) = (69 66,91 1

1 1− − 22) = 4,33

X = 64 Y =16,1 + 0,77(64) = 65,38

(Y Y ) =

2

2 2

2 2− (67 65,8) = 2,62

X = 68 Y = 16,1+0,77(68) = 68,46

(Y

2

3 3

3

−

Y ) = (69 68,46) = 0,29

X =65 Y = 16,1 + 0,77(65)

32

4 4

− −

= 66,15

(Y Y ) = (66 66,15) = 0,023

X =69 Y = 16,4 4

2

5 5

− −

11 + 0,77(69) = 69,23

(Y Y ) = (70 69,23) = 0,59

X = 5 5

2

6

− −

663 Y = 16,1 + 0,77(63) = 64,61

(Y Y ) = (67 64,61)

6

6 62− − == 5,71

X =72 Y = 16,1 + 0,77(72) = 71,54

(Y Y ) = (69 7 7

7 7− − 71,54) = 6,45

X =67 Y =16,1 + 0,77(67) = 67,69

(Y Y

2

8 8

8 − 882

9 9

) = (66 67,69) = 2,86

X = 68 Y = 16,1 + 0,77(68) = 6

−

88,46

(Y Y ) = (71 68,46) = 6,45

X = 62 Y = 16,1 + 9 9

2

10 10

− −

00,77(62) = 63,84

(Y Y ) = (62 63,84) = 3,39

X = 610 10

2

11

− −

11 Y = 16,1 + 0,77(61) = 63,07

(Y Y ) = (60 63,07)

11

11 112− − = 9,42

X = 71 Y = 16,1 + 0,77(71) = 70,77

(Y Y ) =12 12

12 12− (70 70,77) = 0,592−



tabel 7.28Perhitungan Penaksiran Kesalahan Baku

X Y Ý (Y- Ŷ)²66 69 66,92 4,3364 67 65,38 2,6268 69 68,46 0,2965 66 66,15 0,02369 70 69,23 0,5963 67 64,61 5,7172 69 71,54 6,4567 66 67,69 2,8668 71 68,46 6,4562 62 63,84 3,3961 60 63,07 9,4271 70 70,77 0,59

Jumlah 42,72


Y Y

Y Y

nx

−( ) =

=−( )

=

=

∑

∑

2

2

42 72

42 7212

1 89

,

,

,

Sy


Y Y

Y Y

nx

−( ) =

=−( )

=

=

∑

∑

2

2

42 72

42 7212

1 89

,

,

,

Sy

7.10.2 penyelesaian:a. Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel



tabel 7.29Perhitungan Metode Kuadrat Terkecil

pupuk Nitrogen (X)

hasil(Y)

X2 Y2 XY

0 5,1 0 26,01 00 4,5 0 20,25 0

30 5,7 900 32,49 17130 5,5 900 30,25 16560 6,5 3600 42,25 39060 7,0 3600 49 42090 7,0 8100 49 63090 7,5 8100 56,25 675

120 5,5 14400 56,25 660120 6,0 1440 36 720600 60,3 54000 397,75 3831


X= 600

∑∑∑∑

=

=

=

X

XY

Y

2 54000

3831

60,,

,

5

397 752

Y

bn X

=

=

∑

YY X Y

n X X

−

−( )

=( )−( )( )

( )−( )=

∑∑∑∑∑ 2 2

2

10 3831 600 60 310 54000 600

0

,

,0012

60 310

0 012 60010

6 03 0

a = −

= −

= −

∑ ∑Yn

bX

n

, ,

, ,,, ,,

, ,

-

012 606 03 0 725 31

5 31 0 012

2 2

( )

= −=

= +

=−( )

∑∑∑∑∑

Y X

rn XY X Y

n X X{{ } −( ){ }=

( )−( )( )

( )−( ){ }

∑∑n Y Y2 2

2

10 3831 600 60 3

10 54000 600 10 39

,

77 75 60 3

38310 361805400000 360000 3977 5 3636 0

2, ,

, ,

( )−( ){ }

=−

−{ } − 992130

5040000 341 412130

41481 40 05

{ }

=( )( )

=

=

,

,,

Maka nilai b yaitu:

X= 600

∑∑∑∑

=

=

=

X

XY

Y

2 54000

3831

60,,

,

5

397 752

Y

bn X

=

=

∑

YY X Y

n X X

−

−( )

=( )−( )( )

( )−( )=

∑∑∑∑∑ 2 2

2

10 3831 600 60 310 54000 600

0

,

,0012

60 310

0 012 60010

6 03 0

a = −

= −

= −

∑ ∑Yn

bX

n

, ,

, ,,, ,,

, ,

-

012 606 03 0 725 31

5 31 0 012

2 2

( )

= −=

= +

=−( )

∑∑∑∑∑

Y X

rn XY X Y

n X X{{ } −( ){ }=

( )−( )( )

( )−( ){ }

∑∑n Y Y2 2

2

10 3831 600 60 3

10 54000 600 10 39

,

77 75 60 3

38310 361805400000 360000 3977 5 3636 0

2, ,

, ,

( )−( ){ }

=−

−{ } − 992130

5040000 341 412130

41481 40 05

{ }

=( )( )

=

=

,

,,


Maka nilai a yaitu:

X= 600

∑∑∑∑

=

=

=

X

XY

Y

2 54000

3831

60,,

,

5

397 752

Y

bn X

=

=

∑

YY X Y

n X X

−

−( )

=( )−( )( )

( )−( )=

∑∑∑∑∑ 2 2

2

10 3831 600 60 310 54000 600

0

,

,0012

60 310

0 012 60010

6 03 0

a = −

= −

= −

∑ ∑Yn

bX

n

, ,

, ,,, ,,

, ,

-

012 606 03 0 725 31

5 31 0 012

2 2

( )

= −=

= +

=−( )

∑∑∑∑∑

Y X

rn XY X Y

n X X{{ } −( ){ }=

( )−( )( )

( )−( ){ }

∑∑n Y Y2 2

2

10 3831 600 60 3

10 54000 600 10 39

,

77 75 60 3

38310 361805400000 360000 3977 5 3636 0

2, ,

, ,

( )−( ){ }

=−

−{ } − 992130

5040000 341 412130

41481 40 05

{ }

=( )( )

=

=

,

,,

Jadi, persamaan regresi linier dengan menggunakan metode

kuadrat minimum yaitu

X= 600

∑∑∑∑

=

=

=

X

XY

Y

2 54000

3831

60,,

,

5

397 752

Y

bn X

=

=

∑

YY X Y

n X X

−

−( )

=( )−( )( )

( )−( )=

∑∑∑∑∑ 2 2

2

10 3831 600 60 310 54000 600

0

,

,0012

60 310

0 012 60010

6 03 0

a = −

= −

= −

∑ ∑Yn

bX

n

, ,

, ,,, ,,

, ,

-

012 606 03 0 725 31

5 31 0 012

2 2

( )

= −=

= +

=−( )

∑∑∑∑∑

Y X

rn XY X Y

n X X{{ } −( ){ }=

( )−( )( )

( )−( ){ }

∑∑n Y Y2 2

2

10 3831 600 60 3

10 54000 600 10 39

,

77 75 60 3

38310 361805400000 360000 3977 5 3636 0

2, ,

, ,

( )−( ){ }

=−

−{ } − 992130

5040000 341 412130

41481 40 05

{ }

=( )( )

=

=

,

,,

b. Maka koefisien korelasinya yaitu:

X= 600

∑∑∑∑

=

=

=

X

XY

Y

2 54000

3831

60,,

,

5

397 752

Y

bn X

=

=

∑

YY X Y

n X X

−

−( )

=( )−( )( )

( )−( )=

∑∑∑∑∑ 2 2

2

10 3831 600 60 310 54000 600

0

,

,0012

60 310

0 012 60010

6 03 0

a = −

= −

= −

∑ ∑Yn

bX

n

, ,

, ,,, ,,

, ,

-

012 606 03 0 725 31

5 31 0 012

2 2

( )

= −=

= +

=−( )

∑∑∑∑∑

Y X

rn XY X Y

n X X{{ } −( ){ }=

( )−( )( )

( )−( ){ }

∑∑n Y Y2 2

2

10 3831 600 60 3

10 54000 600 10 39

,

77 75 60 3

38310 361805400000 360000 3977 5 3636 0

2, ,

, ,

( )−( ){ }

=−

−{ } − 992130

5040000 341 412130

41481 40 05

{ }

=( )( )

=

=

,

,,

Dengan nilai koefisien relasinya 0,05 terletak antara 0,0 dan 0,30, maka terdapat hubungan positif yang sangat lemah antara pupuk nitrogen dengan hasil tanaman padi.

c. Maka koefisien determinasi yaitu:

r2 = (0,05)2 = 0,0025 = 0,25%


r2 = 0,05 artinya 0,0025 atau 25% diantara keragaman total nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan nilai-nilai X terhadap naik turunnya Y adalah 25% sedangkan 75% disebabkan oleh faktor lain.

d. Maka, penaksiran kesalahan baku dari persamaan regresi linier yaitu Ŷ= 5,31 + 0,012X adalah sebagai berikut:

X = 0 Y = 5,31 + 0,012 (0) = 5,31

(Y Y ) = (5,1 5,311 1

1 12− − )) = 0,0441

X = 0 Y = 5,31 + 0,012 (0) = 5,31

(Y Y ) =

2

2 2

2 22− (4,5 5,31) = 0,6561

X = 30 Y = 5,31 + 0,012 (30) = 5

2

3 3

−

,,67

(Y Y ) = (5,7 5,67) = 0,0009

X = 30 Y = 5,31+ 3 3

2 2

4 4

− −

00,012 (30) = 5,67

(Y Y ) = (5,5 5,67) = 0,0289

X = 4 4

2 2

5

− −

660 Y = 5,31 + 0,012 (60) = 6,03

(Y Y ) = (6,5 6,03

5

5 52− − )) = 0,2209

X6 = 60 Y = 5,31 + 0,012 (60) = 6,03

(Y Y

2

6

6 6− )) = (7 6,03) = 1,2321

X = 90 Y = 5,31 + 0,012 (90)

2 2

7 7

−

== 6,39

(Y Y7) = (7 6,39) = 0,3721

X = 90 Y = 5,317

2 2

8 8

− −

+ 0,012 (90) = 6,39

(Y Y8) = (7,5 6,39) = 1,2321

X8

2 2

9

− −

= 120 Y = 5,31 + 0,012 (120) = 6,75

(Y Y ) = (5,5 6

9

9 92− − ,,75) = 1,5625

X = 120 Y = 5,31 + 0,012 (120) = 6,75

(Y

2

10 10

110 102 2 Y ) = (6 6,75) = 0,5625− −



tabel 7.30Perhitungan Penaksiran Kesalahan Baku

X Y Ý (Y - Ý)2

0 5,1 5,31 0,04410 4,5 5,31 0,6561

30 5,7 5,67 0,000930 5,5 5,67 0,028960 6,5 6,03 0,220960 7,0 6,03 0,940990 7,0 6,39 0,372190 7,5 6,39 1,2321

120 5,5 6,95 1,5625120 6,0 6,95 0,5625

Jumlah 5,621


Y Y

Y Y

nx

−( ) =

=−( )

=

=

∑

∑

2

2

5 621

5 62110

0 74

,

,

,

Sy


Y Y

Y Y

nx

−( ) =

=−( )

=

=

∑

∑

2

2

5 621

5 62110

0 74

,

,

,

Sy

��

anaLISIS Data BerKaLaBab 8

Data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk menggambarkan suatu perkembangan atau kecenderungan keadaan/peristiwa

(perkembangan produksi, harga, hasil penjualan, jumlah penduduk, jumlah kecelakaan, jumlah kejahatan, dan sebagainya) disebut data berkala. Data berkala sering disebut time series data. Serangkaian nilai-nilai variabel yang disusun berdasarkan waktu disebut juga dengan data berkala. Analisis data berkala sangat berguna untuk mengetahui perkembangan satu atau beberapa keadaan serta hubungan terhadap keadaan lain. Artinya apakah suatu keadaan mempunyai hubungan terhadap keadaan yang lain atau apakah suatu keadaan mempunyai pengaruh yang besar terhadap keadaan yang lain. Analisis data berkala yang akan kita pelajari yaitu dengan menggunakan metode setengah rata-rata (semi average), metode rata-rata bergerak (moving average), dan metode kuadrat minimun (least square).


�.� Komponen Deret Berkala

Empat komponen deret berkala yaitu diantaranya: 1. Trend Sekuler, yaitu gerakan yang berjangka panjang, lamban, seolah-

olah alun ombak dan berkecenderungan menuju ke satu arah, arah menaik atau menurun.

2. Variasi Musiman, yaitu ayunan sekitar trend yang bersifat musiman serta kurang lebih teratur.

3. Variasi Sikli, yaitu ayunan trend yang berjangka lebih panjang dan agak lebih tidak teratur.

4. Variasi Random, yaitu gerakan yang tidak teratur sama sekali.

KomponenDeretBerkalaSebagaiBentukPerubahan:

Gerakan atau variasi dari data berkala terdiri dari empat komponen yaitu sebagai berkut: 1. Gerakan Trend Jangka Panjang Atau Trend Sekuler (Long Term

Movement Or Secular Trend), yaitu suatu gerakan yang menunjukan arah perkembangan atau kecenderungan secara umum, arahnya bisa menaik atau menurun. Garis trend ini juga sangat berguna untuk membuat ramalan (forecasting). Trend sekuler umunya meliputi gerakan yang lamanya sekitar 10 tahun atau lebih.

gambar 8.1 Grafik Trend Jangka Panjang

Analisis Data Berkala 355

4. Variasi Random, yaitu gerakan yang tidak teratur sama sekali.

Komponen Deret Berkala Sebagai Bentuk Perubahan : Gerakan atau variasi dari data berkala terdiri dari empat komponen yaitu sebagai berkut : 1. Gerakan Trend Jangka Panjang Atau Trend Sekuler (Long

Term Movement Or Secular Trend), yaitu suatu gerakan yang menunjukan arah perkembangan atau kecenderungan secara umum, arahnya bisa menaik atau menurun.. Garis trend ini juga sangat berguna untuk membuat ramalan (forecasting). Trend sekuler umunya meliputi gerakan yang lamanya sekitar 10 tahun atau lebih.

Y =f(X) Y = f(X)

X(Waktu) X (Waktu)

Gambar 8.1 Grafik Trend Jangka Panjang

2. Gerakan/Variasi Sikli atau Siklus (Cyclical Movement or Variations), yaitu gerakan atau variasi jangka panjang di sekitar garis trend (berlaku untuk data tahunan). Gerakan sikli bisa terulang setelah jangka waktu tertentu (setiap 3 tahun, 5 tahun atau bisa lebih), bisa juga tidak terulag dalam jangka waktu yang sama. Gerakan/variasi sikli berlangsung selama lebih dari setahun dan tidak pernah variasi tersebut memperlihatkan pola yang tertentu mengenai gelombangnya. Gerakan/variasi yang sempurna meliputi fase-fase pemulihan (recovery), kemakmuran (prosperity), kemunduran atau resesi (recession) dan depresi (depression).

��Bab 8 Analisis Data Berkala

2. Gerakan/Variasi Sikli atau Siklus (Cyclical Movement or Variations), yaitu gerakan atau variasi jangka panjang di sekitar garis trend (berlaku untuk data tahunan). Gerakan sikli bisa terulang setelah jangka waktu tertentu (setiap 3 tahun, 5 tahun atau bisa lebih), bisa juga tidak terulang dalam jangka waktu yang sama. Gerakan/variasi sikli berlangsung selama lebih dari setahun dan tidak pernah variasi tersebut memperlihatkan pola yang tertentu mengenai gelombangnya. Gerakan/variasi yang sempurna meliputi fase-fase pemulihan (recovery), kemakmuran (prosperity), kemunduran atau resesi (recession) dan depresi (depression).

gambar 8.2Tahap-tahap Siklis


resesi kemakmuran

Pemulihan

Depresi

Gambar 8.2 Tahap-tahap Siklis

3. Gerakan/Variasi Musiman (Seasonal Movement or Variations), yaitu gerakan yang mempunyai pola tetap atau berulang-ulang secara teratur selama kurang lebih setahun, Gerakan-gerakan tersebut disebabkan karena adanya kebiasaan masyarakat seperti pemberian hadiah di Tahun Baru, Idul Fitri dan Natal serta konsumsi menjelang Tahun Baru dan hari-hari besar lainnya yang menimbulkan variasi yang tertentu dalam penjualan barang-barang konsumsi. Dalam bidang produksi dan harga-hargabarang agraria keadaan alam seperti iklim, hujan, sinar matahari, tingkat kelembaban, angin, tanah, dan lain-lain merupakan penyebab terjadinya variasi musim.

Y=f(X) 1990 1991 1992 1993

Waktu

Gambar 8.3 Variasi Musiman

3. Gerakan/Variasi Musiman (Seasonal Movement or Variations), yaitu gerakan yang mempunyai pola tetap atau berulang-ulang secara teratur selama kurang lebih setahun, Gerakan-gerakan tersebut disebabkan karena adanya kebiasaan masyarakat seperti pemberian hadiah di Tahun Baru, Idul Fitri dan Natal serta konsumsi menjelang Tahun Baru dan hari-hari besar lainnya yang menimbulkan variasi yang tertentu dalam penjualan barang-barang konsumsi. Dalam bidang produksi dan harga-harga barang agraria keadaan alam seperti iklim, hujan, sinar matahari, tingkat kelembaban, angin, tanah, dan lain-lain merupakan penyebab terjadinya variasi musim.


gambar 8.3 Variasi Musiman


resesi kemakmuran

Pemulihan

Depresi

Gambar 8.2 Tahap-tahap Siklis

3. Gerakan/Variasi Musiman (Seasonal Movement or Variations), yaitu gerakan yang mempunyai pola tetap atau berulang-ulang secara teratur selama kurang lebih setahun, Gerakan-gerakan tersebut disebabkan karena adanya kebiasaan masyarakat seperti pemberian hadiah di Tahun Baru, Idul Fitri dan Natal serta konsumsi menjelang Tahun Baru dan hari-hari besar lainnya yang menimbulkan variasi yang tertentu dalam penjualan barang-barang konsumsi. Dalam bidang produksi dan harga-hargabarang agraria keadaan alam seperti iklim, hujan, sinar matahari, tingkat kelembaban, angin, tanah, dan lain-lain merupakan penyebab terjadinya variasi musim.

Y=f(X) 1990 1991 1992 1993

Waktu

Gambar 8.3 Variasi Musiman

4. Gerakan/VariasiRandom/Residu (Irregular or Random Variations), yaitu gerakan/variasi yang disebabkan oleh faktor kebetulan (chance factor). Gerakan yang berbeda tapi dalam waktu yang singkat, tidak diikuti dengan pola yang teratur dan tidak dapat diperkirakan. Variasi random biasanya disebabkan oleh peperangan, banjir, gempa bumi, perubahan politik, pemogokan dan sebagainya, yang mempengaruhi kegiatan-kegiatan perdagangan perindustrian, keuangan dan lain-lain. Variasi ini berbeda dengan ketiga variasi sebelumnya yaitu terletak pada sistematik fluktuasi itu sendiri.

gambar 8.4 gerakan tidak teratur


4. Gerakan/VariasiRandom/Residu (Irregular or Random Variations), yaitu gerakan/variasi yang disebabkan oleh faktor kebetulan (chance factor). Gerakan yang berbeda tapi dalam waktu yang singkat, tidak diikuti dengan pola yang teratur dan tidak dapat diperkirakan. Variasi random biasanya disebabkan oleh peperangan, banjir, gempa bumi, perubahan politik, pemogoka dan sebagainya, yang mempengaruhi kegitan-kegiatan perdagangan perindustrian, keuangan dan lain-lain. Variasi ini berbeda dengan ketiga variasi sebelumnya yaitu terletak pada sistematik fluktuasi itu sendiri.

Y = f(X)

Gambar 8.4 Gerakan Tidak Teratur

8.2 Cara Menentukan Trend

Ada 3 cara yang akan kita pelajari untuk menentukan persamaan trend linier yaitu : metode setengah rata-rata (semi average), metode rata-rata bergerak (moving average), dan metode kuadrat minimum (least square). Ketiga cara ini yang akan digunakan untuk menentukan bentuk umum dari persamaan trend linier yaitu :


�.� Cara Menentukan Trend

Dalam bagian ini akan dibahas 3 cara untuk menentukan persamaan trend linier yaitu: metode setengah rata-rata (semi average), metode rata-rata bergerak (moving average), dan metode kuadrat minimum (least square). Ketiga cara ini yang akan digunakan untuk menentukan bentuk umum dari persamaan trend linier yaitu:

Y bX= +α

Keterangan:Y = nilai trend pada periode tertentuX = periode waktua = intersep dari persamaan trendb = koefisien kemiringan atau gradien dari persamaan trend yang

menunjukan besarnya suatu perubahan suatu unit pada X

�.�.� Metode Setengah Rata-rata (Semi Average)

Penentuan persamaan trend linier Y = a + bx dengan metode setengah rata-rata dilakukan dengan tahapan seperti berikut: 1. Kelompokanlah data berkala menjadi dua kelompok dengan jumlah

tahun dan jumlah deret yang sama, sebagai kelompok 1 dan kelompok 2.

2. Tentukanlah rata-rata hitung masing-masing kelompok, sebagai Y₁ dan Y₂.

3. Tentukan dua titik, yaitu (X₁; Y₁) dan (X₂; Y₂), dimana absis X₁ dan X₂ ditentukan dari periode waktu data berkala.

4. Tentukan nilai a dan b dengan mensubtitusikan nilai-nilai data X dan Y dari dua titik tersebut pada persamaan trend

Y = a + bX


Permasalahan akan muncul ketika kita membagi data berkala menjadi dua kelompok yang sama banyak. Dalam hal banyak data berkala genap maka kita tidak akan banyak masalah, karena tiap kelompok akan terdiri dari nilai data berkala yang sama banyaknya. Akan tetapi bila banyaknya data berupa ganjil, agar masing-masing kelompok terdiri atas nilai data berkala yang sama banyak, maka dapat dilakukan dengan cara yaitu, pertama menghilangkan nilai data paling tengah atau kedua memasukan nilai data paling tengah tersebut pada masing-masing kelompok.

Contoh 8.1

Tentukanlah persamaan trend Y = a + bX dari data di bawah ini dengan

menggunakan metode setengah rata-rata (semi average)!

tabel 8.1Besar Pendapatan Usaha (Jutaan Rupiah)

X tahun Besar pendapatan (Y)0 2000 1,21 2001 1,52 2002 2,33 2003 3,34 2004 1,05 2005 1,86 2006 1,37 2007 7,18 2008 9,39 2009 1,1

10 2010 3,5



tabel 8.2 Perhitungan Semi Average

X tahun Besar pendapatan (Y)0 2000 1,21 2001 1,52 2002 2,33 2003 3,34 2004 1,05 2005 1,86 2006 1,37 2007 7,18 2008 9,39 2009 1,1

10 2010 3,5

Keterangan: : Kelompok 1

: Dihilangkan : Kelompok 2

Dengan banyaknya data berkala n = 11 (ganjil) maka data berkala dibagi menjadi 2 kelompok yaitu dengan cara menghilangkan nilai paling tengah, yaitu nilai data berkala tahun 2005 = 1,8, sehingga masing-masing kelompok terdiri atas 5 nilai data berkala. Sekarang kita akan menentukan nilai rata-rata hitung dari kelompok data tersebut.

Y

Y

1

2

1 2 1 5 2 3 3 3 1 05

1 86

1 3 7 1 9 3 1 1 3 55

4 46

=+ + + +

=

=+ + + +

=

, , , , , ,

, , , , , ,

Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 1,86 bertepatan dengan tahun 2002 (paling tengah dari kelompok 1) sehingga X = 2 dan nilai rata-rata Y₂ = 4,46 bertepatan dengan tahun 2008 (paling tengah dari kelompok 2) sehingga X = 8. Dengan demikian diperoleh dua titik yaitu (X₁; Y₁) = (2; 1,86) dan (X₂; Y₂) = (8; 4,46).


Dengan dua titik (2; 1,86) dan (8; 4,46) sekarang kita akan tentukan nilai a dan b dari persamaan trend y = a + bX, dengan menggunakan cara berikut yaitu:

Titik (2; 1,86) X1 = 2 Y1 = 1.86 → 1,86 = a + 2b …..(1)Titik (8; 4,46) X2 = 8 Y2 = 4.46 → 4,46 = a + 8b …..(2)

Maka diperoleh:

a ba b

b

b

+ =

+ = −

− =−

=−−

=

2 1 868 4 466 2 6

2 66

0 43

,,

,,

,

Masukkan nilai bb = 0,43 pada persamaan 1 maka:a+2 0,43

( )

( )=+ =

1 860 86 1 8

,, ,a 66

1 86 0 861 0

aa= −=

, ,,

Masukkan nilai b = 0,43 pada persamaan (1) maka:

a ba b

b

b

+ =

+ = −

− =−

=−−

=

2 1 868 4 466 2 6

2 66

0 43

,,

,,

,

Masukkan nilai bb = 0,43 pada persamaan 1 maka:a+2 0,43

( )

( )=+ =

1 860 86 1 8

,, ,a 66

1 86 0 861 0

aa= −=

, ,,

Jadi persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-rata

(semi average) yaitu Y = 1 +0,43X

Contoh 8.2

Tentukanlah persamaan trend Y = a + bX dari data di bawah ini dengan menggunakan metode setengah rata-rata (semi average)!


tabel 8.3 Besar Keuntungan Penjualan Laptop (Puluhan Juta Rupiah)

X tahun Besar keuntungan (Y)0 2002 3,21 2003 3,72 2004 4,03 2005 4,34 2006 4,45 2007 5,0


tabel 8.4Perhitungan Semi Average

X tahun Besar keuntungan (Y)0 2002 3,21 2003 3,72 2004 4,03 2005 4,34 2006 4,45 2007 5,0

Keterangan: : Kelompok 1 : Kelompok 2

Dengan banyaknya data berkala n = 6 (genap) maka data berkala dibagi menjadi 2 kelompok yaitu dengan cara membagi dua kelompok dengan sama banyaknya. Sekarang kita akan menentukan rata-rata hitung dari dua kelompok tersebut.

Y

Y

1

2

3 2 3 7 4 03

3 63

4 3 4 4 5 03

4 56

=+ +

=

=+ +

=

, , , ,

, , , ,


Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 3,63 bertepatan dengan tahun 2003 (paling tengah dari kelompok 1) sehingga X = 1 dan nilai rata-rata Y₂ = 4,56 bertepatan dengan tahun 2006 (paling tengah dari kelompok 2) sehingga X = 4. Dengan demikian diperoleh dua titik yaitu (X₁; Y₁) = (1; 3,63) dan (X₂; Y₂) = (4; 4,56). Dengan dua titik (1; 3,63) dan (4; 4,56) sekarang kita akan tentukan

nilai a dan b dari persamaan trend Y = a + bX, dengan menggunakan cara

berikut yaitu:

Titik (1; 3.63) X1 = 1 Y1 = 3.63 → 3,63 = a + 1b …..(1)Titik (4; 4.56) X2 = 4 Y2 = 4.56 → 4,56 = a + 4b …..(2)

Maka diperoleh:

a ba b

b

b

+ =

+ = −

− =−

=−−

=

3 634 4 563 0 93

0 933

0 31

,,

,,

,

Masukkan nilai b = 0,2325 pada persamaan 1 maka:( )

+ == −

aa

0 31 3 633 63 0 3

, ,, , 11

3 32a= ,

Masukkan nilai b = 0.2325 pada persamaan (1) maka:

a ba b

b

b

+ =

+ = −

− =−

=−−

=

3 634 4 563 0 93

0 933

0 31

,,

,,

,

Masukkan nilai b = 0,2325 pada persamaan 1 maka:( )

+ == −

aa

0 31 3 633 63 0 3

, ,, , 11

3 32a= ,

Jadi persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-

rata (semi average) yaitu Y = 3,32 + 0,31X.


Contoh 8.3



tabel 8.5Biaya Produksi Sparepart Mobil (Milliaran Rupiah)

X tahun Biaya produksi (Y)0 1992 1,31 1993 1,42 1994 1,53 1995 1,74 1996 2,05 1997 2,16 1998 2,37 1999 2,78 2000 3,09 2001 3,3

10 2002 3,0



X tahun Biaya produksi (Y)0 1992 1,31 1993 1,42 1994 1,53 1995 1,74 1996 2,05 1997 2,16 1998 2,37 1999 2,78 2000 3,09 2001 3,3

10 2002 3,0Keterangan:

: Kelompok 1 : Dihilangkan : Kelompok 2


Nilai rata-rata hitung dari masing-masing kelompok yaitu

Y

Y

1

2

1 3 1 4 1 5 1 7 2 05

1 58

2 3 2 7 3 0 3 3 3 05

2 86

=+ + + +

=

=+ + + +

=

, , , , , ,

, , , , , ,



berikut yaitu:

Titik (2; 1,58) X1 = 2 Y1 = 1,58 → 1,58 = a + 2b …..(1)

Titik (8; 2,86) X2 = 8 Y2 = 2,86 → 2,86 = a + 8b …..(2)

Maka diperoleh:a ba b

b

b

+ =

+ = −

− =−

=−−

=

2 1 588 2 866 1 28

1 286

0 21

,,

,,

,

Masukkan nilaii b = 0,32 pada persamaan 1 maka:a+2 0,21

( )

( )=+ =

1 580 42 1

,,a ,,

, ,,

581 58 0 421 16

aa= −=


Masukkan nilai b = 0.32 pada persamaan (1) maka:

a ba b

b

b

+ =

+ = −

− =−

=−−

=

2 1 588 2 866 1 28

1 286

0 21

,,

,,

,

Masukkan nilaii b = 0,32 pada persamaan 1 maka:a+2 0,21

( )

( )=+ =

1 580 42 1

,,a ,,

, ,,

581 58 0 421 16

aa= −=

Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-

rata (semi average) yaitu Y = 1,16 + 0,21X

Contoh 8.4



tabel 8.7Besar Pengeluaran PT. Indo (Miliaran Rupiah)

X tahun Besar pengeluaran (Y)0 2002 1,21 2003 1,52 2004 1,83 2005 2,04 2006 2,25 2007 2,46 2008 2,87 2009 3,0




X tahun Besar pengeluaran (Y)0 2002 1,21 2003 1,52 2004 1,83 2005 2,04 2006 2,25 2007 2,46 2008 2,87 2009 3,0


Nilai rata-rata hitung dari masing-masing kelompok yaitu:

Y

Y

1

2

1 2 1 5 1 8 2 04

1 63

2 2 2 4 2 8 3 04

2 60

=+ + +

=

=+ + +

=

, , , , ,

, , , , ,

Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 1,63 berada di antara nilai data 1,5 pada tahun 2003 dengan X = 1 dan nilai 1,8 tahun 2004 dengan X = 2. Dengan demikian rata-rata Y₁ = 1,63 bertepatan dengan nilai X = = 1,5 sehingga diperoleh titik (1,5; 1,63). Sedangkan Y₂ = 2, 60 berada di antara nilai data 2, 4 tahun 2007 dengan X = 5 dan nilai data 2,8 tahun 2008 dengan X = 6; dengan demikian rata rata Y₂ = 2,60 bertepatan dengan X = = 5,5 sehingga diperoleh titik kedua, yaitu (5,5; 2,60). Dengan dua titik (1,5; 1,63) dan (5,5; 2,60) sekarang kita akan tentukan


berikut yaitu:Titik (1,5; 1.63) X1 =1,5 Y1 = 1,63 → 1,63 = a + 1,5b …..(1)


Titik (5,5; 2.60) X2=5.5 Y2 = 2,60 → 2,60 = a + 5,5b …..(2)

Maka diperoleh:

a ba b

b

b

+ =

+ = −

− =−

=−−

==

1 5 1 635 5 2 60

4 0 970 97

40 24250 24

, ,, ,

,,

,,

Massukkan nilai b = 0,24 pada persamaan 1 :( )+ =

+

a ba

1 5 1 631 5

, ,, 00 24 1 63 0 36

1 27, , ,

,( )= −

=

Masukkan nilai b = 0,24 pada persamaan (1):

a ba b

b

b

+ =

+ = −

− =−

=−−

==

1 5 1 635 5 2 60

4 0 970 97

40 24250 24

, ,, ,

,,

,,

Massukkan nilai b = 0,24 pada persamaan 1 :( )+ =

+

a ba

1 5 1 631 5

, ,, 00 24 1 63 0 36

1 27, , ,

,( )= −

=

Jadi persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-rata

(semi average) yaitu Y = 1,27 + 0,24X.

Contoh 8.5



tabel 8.9Besar Penjualan Cabai

(Jutaan Rupiah)

X tahun Besar penjualan (Y)0 2002 2,01 2003 2,32 2004 2,73 2005 3,04 2006 3,25 2007 3,76 2008 4,0




X tahun Besar penjualan (Y)0 2202 2,01 2003 2,32 2004 2,73 2005 3,04 2006 3,25 2007 3,76 2008 4,0




Y

Y

1

2

2 0 2 3 2 73

2 3

3 2 3 7 4 03

3 63

=+ +

=

=+ +

=

, , , ,

, , , ,

Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 2,3 bertepatan dengan tahun 2003 (paling tengah dari kelompok 1) sehingga X = 1 dan nilai rata-rata Y₂ = 3,63 bertepatan dengan tahun 2007 (paling tengah dari kelompok 2) sehingga X = 5. Dengan demikian diperoleh dua titik yaitu (X₁; Y₁) = (1; 2,3) dan (X₂; Y₂) = (5; 3,63).


Dengan dua titik (1; 2,3) dan (5; 3,63) sekarang kita akan tentukan

nilai a dan b dari persamaan trend Y = a + bx, dengan menggunakan cara

berikut yaitu:Titik (1; 2,3) X1 = 1 Y1 = 2,3 → 2,3 = a + 1b .…(1)

Titik (5; 3,63) X2 = 5 Y2 = 3.63 → 3,63 = a + 5b …. (2)

Maka diperoleh:

a ba b

b

b

+ =

+ = −

− =−

=−−

==

2 35 3 634 1 33

1 334

0 33250 33

,,

,,

,,

Masukkan nilai b = 0,33 pada persamaan 1 :a+1b 0,33

( )

( )=+ =

2 30 33 2

,,a ,,

, ,,

32 3 0 331 97

aa= −=


a ba b

b

b

+ =

+ = −

− =−

=−−

==

2 35 3 634 1 33

1 334

0 33250 33

,,

,,

,,

Masukkan nilai b = 0,33 pada persamaan 1 :a+1b 0,33

( )

( )=+ =

2 30 33 2

,,a ,,

, ,,

32 3 0 331 97

aa= −=



Contoh 8.6




tabel 8.11Keuntungan Penjualan Smartphone Di Gerai Smart

(Milliaran Rupiah)

X tahun Besar keuntungan penjualan (Y)

0 2000 1,31 2001 2,42 2002 3,33 2003 2,14 2004 1,75 2005 4,36 2006 1,27 2007 5,18 2008 2,29 2009 1,1



X tahun Besar keuntungan penjualan (Y)

0 2000 1,31 2001 2,42 2002 3,33 2003 2,14 2004 1,75 2005 4,36 2006 1,27 2007 5,18 2008 2,29 2009 1,1




Y

Y

1

2

1 3 2 4 3 3 2 1 1 75

2 16

4 3 1 2 5 1 2 2 1 15

2 78

=+ + + +

=

=+ + + +

=

, , , , , ,

, , , , , ,



berikut yaitu:

Titik (2; 2,10) X1 = 2 Y1 = 2,16 → 2,16 = a + 2b .…..(1)

Titik (7; 2,78) X2 = 7 Y2 = 2,78 → 2,78 = a + 7b ..….(2)

Maka diperoleh:

a ba b

b

b

bb

+ =

+ = −

− =−

=−−

=

=

2 2 167 2 785 0 62

0 625

0 1240 12

,,

,,

,,

Masukkkan nilai b = 0,12 pada persamaan 1 yaitu:( )

+ =

+

a ba

2 2 162 0

,,, ,

, ,,

12 2 162 16 0 241 92

( )== −=

a


Masukkan nilai b = 0,12 pada persamaan (1) yaitu:

a ba b

b

b

bb

+ =

+ = −

− =−

=−−

=

=

2 2 167 2 785 0 62

0 625

0 1240 12

,,

,,

,,

Masukkkan nilai b = 0,12 pada persamaan 1 yaitu:( )

+ =

+

a ba

2 2 162 0

,,, ,

, ,,

12 2 162 16 0 241 92

( )== −=

a



Contoh 8.7



tabel 8.13Frekuensi Penggunaan Layanan Email Perusahaan

(Jutaan Rupiah)

X tahun frekuensi (Y)0 2003 20,71 2004 24,52 2005 24,63 2006 27,84 2007 30,15 2008 32,46 2009 34,5




X tahun frekuensi (Y)0 2003 20,71 2004 24,52 2005 24,63 2006 27,84 2007 30,15 2008 32,46 2009 34,5




Y

Y

1

2

20 7 24 5 24 63

23 26

30 1 32 4 34 53

32 33

=+ +

=

=+ +

=

, , , ,

, , , ,


nilai a dan b dari persamaan trend Y = a + bx, dengan menggunakan cara

berikut yaitu:

Titik (1; 23,26) X1 = 1 Y1 = 23,26 → 23,26 = a + 1b …..(1)

Titik (5; 32,33) X2 = 5 Y2 = 32,33 → 32,33 = a + 5b ….. (2)


Maka diperoleh:

a ba b

b

b

b

+ =

+ = −

− =−

=−−

==

1 23 265 32 334 9 07

9 074

2 26752 27

,,,,

,,

Masuukkan nilai b = 2,27 pada persamaan 1 maka:2,27

( )

+ ( )=a 1 23,,, ,

, ,,

262 27 23 26

23 26 2 2720 99

aaa

+ == −=

Masukkan nilai b = 2,27 pada persamaan (1) maka:

a ba b

b

b

b

+ =

+ = −

− =−

=−−

==

1 23 265 32 334 9 07

9 074

2 26752 27

,,,,

,,

Masuukkan nilai b = 2,27 pada persamaan 1 maka:2,27

( )

+ ( )=a 1 23,,, ,

, ,,

262 27 23 26

23 26 2 2720 99

aaa

+ == −=

Jadi persamaan trendnya dengan menggunakan metode setengah rata-


Contoh 8.8



tabel 8.15Keuntungan Penjualan CCTV

(Dalam Jutaan)

X tahun Besar keuntungan (Y)0 2000 1,01 2001 3,02 2003 2,83 2004 2,14 2005 1,55 2006 3,46 2007 3,27 2008 1,7




X tahun Besar keuntungan (Y)0 2000 1,01 2001 3,02 2003 2,83 2004 2,14 2005 1,55 2006 3,46 2007 3,27 2008 1,7



Y

Y

1

2

1 0 3 0 2 8 2 14

2 23

1 5 3 4 3 2 1 74

2 45

=+ + +

=

=+ + +

=

, , , , ,

, , , , ,

Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 2,23 berada di antara nilai data 3,0 pada tahun 2001 dengan X = 1 dan nilai 2,8 tahun 2003 dengan X = 2. Dengan demikian rata-rata Y₁ = 2,23 bertepatan atau bersesuaian dengan

nilai X = Y = 1,5 sehingga diperoleh titik (1,5; 2,23). Sedangkan Y₂ = 2,45

berada di antara nilai data 3,4 tahun 2006 dengan X = 5 dan nilai data 3,2 tahun 2007 dengan X = 6; dengan demikian rata rata Y₂ = 2,45 bertepatan

atau bersesuaian dengan X = Y = 5,5 sehingga diperoleh titik kedua, yaitu

(5,5; 2,45).


Dengan dua titik (1,5; 2,23) dan (5,5; 2,45) sekarang kita akan tentukan


berikut yaitu:

Titik (1,5; 2,23) X1 = 1,5 Y1 = 2,23 → 2,23 = a + 1,5b …….(1)

Titik (5,5; 2,45) X2 = 5,5 Y2 = 2,45 → 2,45 = a + 5,5b …….(2)

Maka diperoleh:

a ba b

b

b

+ =

+ = −

− =−

=−−

==

1 5 2 235 5 2 45

4 0 22224

0 0550 05

, ,, ,

,

,,

Masukkkan nilai b = 0,05 pada persamaan 1 :( )+ =

+

a ba

1 5 2 231 5 0 0

, ,, , 55 2 23

2 23 0 0752 155

( )== −=

,, ,,

a


a ba b

b

b

+ =

+ = −

− =−

=−−

==

1 5 2 235 5 2 45

4 0 22224

0 0550 05

, ,, ,

,

,,

Masukkkan nilai b = 0,05 pada persamaan 1 :( )+ =

+

a ba

1 5 2 231 5 0 0

, ,, , 55 2 23

2 23 0 0752 155

( )== −=

,, ,,

a

Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-rata (semi average) yaitu Y = 2,155 + 0,05X.

�.�.� Metode Rata-rata Bergerak (Moving Average)

Jika setelah rata-rata dihitung, diikuti gerakan satu periode ke belakang maka disebut dengan rata-rata bergerak. Metode rata-rata bergerak disebut


juga rata-rata bergerak terpusat, karena rata-rata bergerak diletakkan pada pusat dari periode yang digunakan. Pada metode rata-rata bergerak diadakan penggantian nilai data suatu tahun dengan nilai rata-rata, dihitung dengan nilai data tahun yang mendahuluinya dan nilai data tahun berikutnya. Langkah-langkahnya ialah sebagai berikut: 1. Menghitung rata-rata dari sejumlah data paling awal 2. Melupakan nilai data yang pertama 3. Mengulangi tahap (a) dan (b) sampai data yang terakhir

Kalau kita mempunyai data sebanyak n yaitu Y1, Y2, Y3,…,Yn, maka rata-rata bergerak (moving average) n waktu (tahun, bulan, minggu, hari) merupakan urutan rata-rata hitung sebagai berikut:

Y Y Yn

Y Y Yn

Y Y Yn

n n n1 2 1 2 1 3 4 1+ + + + + + + + ++ +… … , ,

Dan seterusnya, setiap rata-rata hitung di atas disebut total gerak (moving total), yang berguna untuk mengurangi variasi dari data asli.di dalam data berkala, rata-rata bergerak sering dipergunakan untuk memuluskan fluktuasi yang terjadi dalam data tersebut.proses pemulusan ini disebut pemulusan data berkala. Bagian pembilang masing-masing disebut total bergerak menurut total n yang bergantung pada periode waktu data berkala. Data berkala merupakan data tahunan, maka urutan n adalah dalam tahunan, bila data berkala merupakan data bulanan, maka urutan n adalah bulanan, dan seterusnya. Dengan demikian kita dapat mengenal rata-rata bergerak satu tahun, rata-rata bergerak 5 tahun rata-rata bergerak 10 tahun, rata-rata bergerak 3 bulan, dan seterusnya. Apabila rata-rata bergerak dibuat dari data tahunan atau bulanan sebanyak n waktu, maka rata-rata bergerak disebut rata-rata bergerak tahunan atau bulanan dengan order n (moving average of order n).


Dalam menggunakan metode rata-rata bergerak untuk mencari nilai trend, perlu diperhatikan beberapa hal yaitu: 1. Jika dalam membuat prakiraan digunakan rata-rata bergerak, misalnya

3 tahun, prakiraan tahun ke-4 dapat dilakukan jika sudah tersedia data sampai dengan 3 tahun sebelumnya. Demikian juga, membuat prakiraan dengan rata-rata bergerak 5 tahun, harus tersedia data dari 5 tahun sebelumnya, dan seterusnya.

2. Semakin banyak tahun bersangkutan diambil, semakin kurang fluktuasi rata-ratanya dan semakin kelihatan halus (smooth) grafiknya.

3. Jika diperkirakan tidak banyak terjadi perubahan data di masa datang maka dalam membuat prakiraan sebaiknya diambil waktu yang panjang, demikian pula sebaliknya.

Metode rata-rata bergerak (moving average) dapat dibedakan menjadi 2 yaitu: 1. Rata-Rata Bergerak Sederhana yaitu sering digunakan untuk

meratakan deret berkala yang bergelombang adalah metode rata-rata bergerak. Metode ini beda berdasarkan jumlah tahun yang dipakai untuk mencari rata-rata.

2. Rata-Rata Bergerak Tertimbang yaitu umumnya timbangan yang digunakan bagi rata-rata bergerak adalah koefisien Binomial. Rata-rata bergerak per 3 tahun harus diberi koefisien 1, 2, 1, sebagai timbangan.

Berikut ini prosedur-prosedur cara menghitung metode moving average: a. Prosedur menghitung rata-rata bergerak sederhana per 3 tahun sebagai

berikut: (1) Jumlahkan data selama 3 tahun berturut-turut. Hasilnya diletakkan di tengah-tengah tahun tersebut. (2) Bagilah dengan banyaknya tahun tersebut untuk mencari nilai rata-rata hitungnya. (3) Jumlahkan data berikutnya selama 3 tahun berturut-turut dengan


meninggalkan tahun yang pertama. Hasilnya diletakkan di tengah-tengah tahun tersebut dan bagilah dengan banyaknya tahun tersebut dan seterusnya sampai selesai.

b. Rata-rata Bergerak Tertimbang. Umumnya timbangan yang digunakan bagi rata-rata bergerak ialah koefisien binomial. Rata-rata bergerak per 3 tahun harus diberi koefisien 1, 2, 1 sebagai timbangannya prosedur menghitung rata-rata bergerak tertimbang per 3 tahun sebagai berikut: (1) Jumlahkan data tersebut selama 3 tahun berturut-turut secara tertimbang. (2) Bagilah hasil penjumlahan tersebut dengan faktor pembagi 1+2+1 = 4. Hasilnya diletakkan di tengah-tengah tahun tersebut dan seterusnya sampai selesai.

Contoh 8.9Gunakan data berkala berikut: 3, 6, 1, 6, 4, 7, 3, 3, 1

Tentukanlah rata-rata bergerak menurut urutan 3!

penyelesaian:

Y

Y

Y

Y

1

2

3

4

3 6 13

103

3 33

6 1 63

133

4 33

1 6 43

113

3 66

6

=+ +

= =

=+ +

= =

=+ +

= =

=

,

,

,

++ += =

=+ +

= =

=+ +

= =

=+ +

4 73

173

5 66

4 7 33

143

4 66

7 3 33

133

4 33

3 3

5

6

7

,

,

,

Y

Y

Y 113

73

2 33= = ,


Data berkala asli: 3, 6, 1, 6, 4, 7, 3, 3, 1

Rata-rata bergerak: 3,33, 4,33, 3,66, 5,66, 4,66, 4,33, 2,33

Contoh 8.10Gunakan data berkala ini: 3, 6, 1, 6, 4, 7, 3, 3, 1 bila tiap nilai menurut urutan 3 masing-masing diberi bobot 1, 4, dan 1, maka tentukanlah rata-rata bergerak secara tertimbang menurut urutan 3!

penyelesaian:

Y

Y

1

2

1 3 4 6 1 11 4 1

3 24 16

286

4 66

1 6 4 1 1 61

=( )+ ( )+ ( )+ +

=+ +

= =

=( )+ ( )+ ( )+

,

44 16 4 6

6166

2 66

1 4 4 6 1 41 4 1

4 24 46

326

5 33

+=+ +

= =

=( )+ ( )+ ( )+ +

=+ +

= =

,

,Y 33

1 6 4 4 1 71 4 1

6 16 76

296

4 83

1 4 4 7 1 3

4

5

Y

Y

=( )+ ( )+ ( )+ +

=+ +

= =

=( )+ ( )+ ( )

,

11 4 14 28 3

6356

5 83

1 7 4 3 1 31 4 1

7 12 36

2266

+ +=+ +

= =

=( )+ ( )+ ( )+ +

=+ +

= =

,

Y 33 66

1 3 4 3 1 11 4 1

3 12 16

166

2 667

,

,Y = ( )+ ( )+ ( )+ +

=+ +

= =

Dengan demikian diperoleh:Data berkala asli: 3, 6, 1, 6, 4, 7, 3,

Rata-rata bergerak: 4,66, 2,66, 5,33, 4,83, 5,83, 3,66, 2,66


Contoh 8.11Dengan menggunakan data berkala di bawah ini, tentukanlah: a. Rata-rata bergerak 2 tahun b. Rata-rata bergerak 3 tahun

tabel 8.17Besar Pinjaman Suatu Negara (Milliaran Rupiah)

tahun Besar pinjaman (Y)2000 2,52001 3,82002 3,52003 2,32004 1,52005 4,52006 4,22007 1,72008 1,8

a. Rata-rata bergerak 2 tahun:

Y

Y

Y

1

2

3

2 5 3 82

6 32

3 15

3 8 3 52

7 32

3 65

3 5 2 32

5 82

=+

= =

=+

= =

=+

=

, , , ,

, , , ,

, , ,==

=+

= =

=+

= =

=+

= =

2 9

2 3 1 52

3 82

1 9

1 5 4 52

62

3

4 5 4 22

8 72

4

5

6

,

, , , ,

, ,

, , ,

Y

Y

Y 44 35

4 2 1 72

5 42

2 95

1 7 1 82

3 52

1 75

7

8

,

, , , ,

, , , ,

Y

Y

=+

= =

=+

= =


b. Rata-rata bergerak 3 tahun:

Y

Y

Y

1

2

3

2 5 3 8 3 53

9 83

3 26

3 8 3 5 2 33

9 63

3 2

3 5 2

=+ +

= =

=+ +

= =

=+

, , , , ,

, , , , ,

, ,33 1 53

7 33

2 43

2 3 1 5 4 53

8 33

2 76

1 5 4 5 4 23

4

5

+= =

=+ +

= =

=+ +

=

, , ,

, , , , ,

, , ,

Y

Y 88 33

2 76

4 5 4 2 1 73

10 43

3 46

4 2 1 7 1 83

7 73

2

6

7

, ,

, , , , ,

, , , ,

=

=+ +

= =

=+ +

= =

Y

Y ,,56

Letak rata-rata bergerak 2 tahun dan rata-rata bergerak 3 tahun disajikan pada 2 tabel berikut:

tabel 8.18Letak Rata-Rata Bergerak 2 Tahun

tahun Data aslitotal Bergerak 2

tahunrata-rata Bergerak 2

tahun2000 2,52001 3,8 6,3 3,152002 3,5 7,3 3,652003 2,3 5,8 2,92004 1,5 3,8 1,92005 4,5 6 32006 4,2 8,7 4,352007 1,7 5,9 2,952008 1,8 3,5 1,75


tabel 8.19Letak Rata-Rata Bergerak 3 Tahun

tahunData asli

total bergerak3 tahun

rata-rata Bergerak 3 tahun

2000 2.52001 3,8 9,8 3,262002 3,5 9,6 3,22003 2,3 7,3 2,432004 1,5 8,3 2,762005 4,5 10,2 3,42006 4,2 10,4 3,462007 1,7 7,7 2,562008 1,8

Contoh 8.12Diketahui data berkala sebagai berikut: 4, 5, 3, 2, 1, 7, 6, 4

Tentukanlah rata-rata bergerak urutan 4!

penyelesaian:

Y

Y

Y

1

2

3

4 5 3 24

144

3 5

5 3 2 14

114

2 75

3 2 1 74

134

3 2

=+ + +

= =

=+ + +

= =

=+ + +

= =

,

,

, 55

2 1 7 64

164

4

1 7 6 44

184

4 5

4

5

Y

Y

=+ + +

= =

=+ + +

= = ,

Data bergerak asli: 4, 5, 3, 2, 1, 7, 6, 4

Rata-rata bergerak: 3,5, 2,75, 3,25, 4, 4,5


Contoh 8.13Diketahui data berkala berikut ini: 4, 5, 3, 2, 1, 7, 6, 4. Bila nilai menurut urutan 4 masing-masing diberi bobot 2, 3, 3 dan 2 maka tentukanlah rata-rata bergerak secara tertimbang menurut urutan 4!

penyelesaian:

Y

Y

1

2

2 4 3 5 3 3 2 22 3 3 2

3610

3 6

2 5 3 3 3 2 2 1

=( )+ ( )+ ( )+ [ ]

+ + += =

=( )+ ( )+ ( )+

,

[[ ]

+ + += =

=( )+ ( )+ ( )+ [ ]

+ + += =

2 3 3 22710

2 7

2 3 3 2 3 1 2 72 3 3 2

2910

2 93

,

,Y

Y44

5

2 2 3 1 3 7 2 62 3 3 2

4010

4

2 1 3 7 3 6 2 4

=( )+ ( )+ ( )+ [ ]

+ + += =

=( )+ ( )+ ( )+ [ ]Y

22 3 3 24910

4 9+ + +

= = ,

Dengan demikian diperoleh:Data berkala asli: 4, 5, 3, 2, 1, 7, 6, 4

Rata-rata bergerak: 3,6, 2,7, 2,9, 4, 4,9

Contoh 8.14Diketahui data berkala berikut: 2, 6, 2, 3, 4, 5, 4, 4, 1

Tentukanlah rata-rata bergerak menurut urutan 4!


penyelesaian:

Y

Y

Y

Y

1

2

3

4

2 6 24

104

2 5

6 2 34

114

2 75

2 3 44

94

2 25

3 4

=+ +

= =

=+ +

= =

=+ +

= =

=+

,

,

,

++= =

=+ +

= =

=+ +

= =

=+ +

54

124

3 25

4 5 44

134

3 25

5 4 44

134

3 25

4 4 14

5

6

7

,

,

,

Y

Y

Y == =94

2 25,

Data berkala asli: 2, 6, 2, 3, 4, 5, 4, 4, 1

Rata-rata bergerak: 2,5, 2,75, 2,25, 3, 3,25, 3,25, 2,25

Contoh 8.15Diketahui data berkala berikut ini: 2, 6, 2, 3, 4, 5, 4, 4, 1Bila tiap nilai menurut urutan 2 masing-masing diberi bobot 2, 1, dan 2, maka tentukanlah rata-rata bergerak secara tertimbang menurut urutan 4!


penyelesaian:

Y

Y

1

2

2 2 1 6 2 22 1 2

4 6 45

145

2 8

2 6 1 2 2 32 1

=( )+ ( )+ ( )+ +

=+ +

= =

=( )+ ( )+ ( )+ +

,

2212 2 6

5205

4

2 2 1 3 2 42 1 2

4 3 85

155

3

2 3

3

4

=+ +

= =

=( )+ ( )+ ( )+ +

=+ +

= =

=( )

Y

Y ++ ( )+ ( )+ +

=+ +

= =

=( )+ ( )+ ( )+ +

=+ +

1 4 2 52 1 2

6 4 105

205

4

2 4 1 5 2 42 1 2

8 5 85Y

55215

4 2

2 5 1 4 2 42 1 2

10 4 85

225

4 4

2 4 1 4

6

7

= =

=( )+ ( )+ ( )+ +

=+ +

= =

=( )+

,

,Y

Y (( )+ ( )+ +

=+ +

= =2 1

2 1 28 4 2

5145

2 8,

Dengan demikian diperoleh:Data berkala asli: 2, 6, 2, 3, 4, 5, 4, 4, 1

Rata-rata bergerak: 2, 8, 4, 3, 4, 4,2, 4,4, 2,8

�.�.� Metode Kuadrat Minimum (Least Square)

Telah dijelaskan sebelumnya dalam bab regresi dan korelasi bahwa

antara nilai-nilai data berkala y₁, y₂, y₃,.....,yn dengan nilai-nilai trend Y 1

, Y 2 ,

Y 3 ,....

Yn , yang diperoleh dari persamaan trend linear

Y i = a + bX

mempunyai selisih sebesar ei = Yi –Y i , sehingga jumlah seluruh selisih

dari semua titik adalah Σei. Oleh karena nilai ei bisa bertanda positif atau bertanda negatif, maka agar menjadi nilai bertanda positif, dapat diambil kuadrat dari semua ei, yaitu ei

2 sehingga diperoleh jumlah kuadrat selisih,


yaitu Σei2 = Σ (Yi –

Y i)

2. Dengan meminimumkan bentuk kuadrat ini, maka akan diperoleh persamaan trend linear

Y = a + bX yang mempunyai

kesalahan atau selisih (paling kecil). Persamaan trend dengan menggunakan metode kuadrat terkecil dalam

persamaan trend linear Y = a + bX ditentukan sebagai berikut:

aY

n

bXY

X

=

=

∑

∑2

Keterangan:Y = nilai data berkalan = jumlah periode waktuX = tahun kode

Dengan syarat ΣX = 0, di mana X adalah variable waktu dari data berkala dan Y adalah nilai – nilai data berkala. Oleh karena itu pendekatan yang dipakai bersifat matematis, maka persamaan trend yang diperoleh dengan metode kuadrat terkecil ini dipandang sebagai suatu persamaan trend yang paling baik dibandingkan dengan metode bebas, metode setengah rata-rata dan metode rata-rata bergerak, sehingga banyak dipakai dalam analisis data berkala. Secara teknis persyaratan ΣX = 0, ditentukan berdasarkan banyaknya nilai data berkala. Bila banyaknya nilai data berkala n ganjil, maka nilai – nilai X adalah...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...... sedangkan bila banyaknya nilai berkala n genap, maka nilai – nilai X adalah...., -5, -3, -1, 1, 3, 5,....

Contoh 8.16Tentukanlah persamaan trend linier dari data di bawah ini dengan menggunakan metode kuadrat minimum (least square)!


tabel 8.20Besar Penjualan Motor

(Jutaan Rupiah)

tahun penjualan2001 1702002 1902003 2252004 2502005 325


tabel 8.21Perhitungan Least Square

tahun penjualan (Y) X XY X²2001 170 -2 -340 42002 190 -1 -190 12003 225 0 0 02004 250 1 250 12005 325 2 650 4

Jumlah 1160 370 10


Y XY X

Yn

XYX

= = =

=

=

=

=

=

=

∑∑∑

∑

∑∑

1160 370 10

11605

232

37010

37

2

2

a

s

b


Y XY X

Yn

XYX

= = =

=

=

=

=

=

=

∑∑∑

∑

∑∑

1160 370 10

11605

232

37010

37

2

2

a

s

b



Y XY X

Yn

XYX

= = =

=

=

=

=

=

=

∑∑∑

∑

∑∑

1160 370 10

11605

232

37010

37

2

2

a

s

b

Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode kuadrat minimum

(least square) yaitu Y = 232 + 37X.

Contoh 8.17Tentukanlah persamaan trend linier dari data di bawah ini dengan menggunakan metode kuadrat minimum (least square)!

tabel 8.22Besar Pembelian Baju (Dalam Jutaan Rupiah)

tahun pembelian (Y)2000 2002001 2352002 1552003 1752004 2102005 220

Jumlah 1195




tahun pembelian (Y) X XY X²2000 200 -5 -1000 252001 235 -3 -705 92002 155 -1 -155 12003 175 1 175 12004 210 3 630 92005 220 5 1100 25

Jumlah 1195 45 70


∑Y = 1195 ∑XY = 45 ∑X² = 70


aY

n

b =XYX2

=

=

=

=

=

∑

∑∑

11956

199 17

45700 64

,

,


aY

n

b =XYX2

=

=

=

=

=

∑

∑∑

11956

199 17

45700 64

,

,

Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode kuadrat minimum

(least square) yaitu Y = 199,17 + 0,64X


�.� Rangkuman

Data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk menggambarkan suatu perkembangan atau kecenderungan keadaan/peristiwa (perkembangan produksi, harga, hasil penjualan, jumlah penduduk, jumlah kecelakaan, jumlah kejahatan, dan sebagainya) disebut data berkala. Gerakan atau variasi dari data berkala terdiri dari empat komponen yaitu sebagai berkut: 1. Gerakan Trend Jangka Panjang Atau Trend Sekuler (Long Term

Movement Or Secular Trend), yaitu suatu gerakan yang menunjukan arah perkembangan atau kecenderungan secara umum, arahnya bisa menaik atau menurun.

2. Gerakan/Variasi Sikli atau Siklus (Cyclical Movement or Variations), yaitu gerakan atau variasi jangka panjang di sekitar garis trend (berlaku untuk data tahunan).

3. Gerakan/Variasi Musiman (Seasonal Movement or Variations), yaitu gerakan yang mempunyai pola tetap atau berulang-ulang secara teratur selama kurang lebih setahun.

4. Gerakan/VariasiRandom/Residu (Irregular or Random Variations), yaitu gerakan/variasi yang disebabkan oleh faktor kebetulan (chance factor). Gerakan yang berbeda tapi dalam waktu yang singkat, tidak diikuti dengan pola yang teratur dan tidak dapat diperkirakan.

Cara menentukan persamaan trend yaitu diantaranya dengan menggunkan metode setengah rata-rata (semi average), metode rata-rata bergerak (moving average) dan metode kuadrat minimum (least square).


8.4.1 Tentukanlah persamaan trend Y= a + bX dari data di bawah ini dengan menggunakan metode:


a. setengah rata-rata (semi average)b. rata-rata bergerak urutan 3 (moving average)c. kuadrat minimum (least square)

tabel 8.24Besar Pinjaman Perusahaan (Jutaan Rupiah)

X tahun Besar pinjaman (Y)0 2002 1,81 2003 2,02 2004 2,13 2005 2.34 2006 2,65 2007 2,86 2008 3,07 2009 3,48 2010 3,6


8.5.1 penyelesaian:a. Metode Setengah Rata-Rata (Semi Average) Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel



X tahun Besar pinjaman (Y)0 2002 1,81 2003 2,02 2004 2,13 2005 2.34 2006 2,65 2007 2,86 2008 3,07 2009 3,48 2010 3,6





Y

Y

1

2

1 8 2 0 2 1 2 34

2 05

2 8 3 0 3 4 3 64

3 2

=+ + +

=

=+ + +

=

, , , , ,

, , , , ,

Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 2,05 berada di antara nilai data 2,0 pada tahun 2003 dengan X = 1 dan nilai 2,1 tahun 2004 dengan X = 2. Dengan demikian rata-rata

Y₁ = 2,05 bertepatan atau bersesuaian dengan nilai X = Y =

1,5 sehingga diperoleh titik (1,5; 2,05). Sedangkan Y₂ = 3,2 berada di antara nilai data 3,0 tahun 2008 dengan X = 6 dan nilai data 3,4 tahun 2009 dengan X = 7; dengan demikian rata

rata Y₂ = 2,45 bertepatan atau bersesuaian dengan X = Y =

6,5 sehingga diperoleh titik kedua, yaitu (6,5; 3,2). Dengan dua titik (1,5; 2,05) dan (6,5; 3,2) sekarang kita

akan tentukan nilai a dan b dari persamaan trend Y = a + bx, dengan menggunakan cara berikut ini yaitu:

Titik (1,5; 2,05) X1 = 1,5 Y1 = 2,05 → 2,05 = a + 1,5b .…..(1)

Titik (6,5; 3,2) X2 = 6,5 Y2 = 3,2 → 3,2 = a + 6,5b ..….(2)

Maka diperoleh:

a ba b

b

b

b

a b

+ =

+ = −

− =−

=−−

=

+ =

1 5 2 056 5 3 2

5 1 151 15

50 23

1 5 2

, ,, ,

,,

,

, ,

0051 5 0 23 2 05

2 05 0 3451 705

aa

+ ( )== −=

, , ,, ,,


Masukan nilai b = 0,23 pada persamaan (1) yaitu:

a ba b

b

b

b

a b

+ =

+ = −

− =−

=−−

=

+ =

1 5 2 056 5 3 2

5 1 151 15

50 23

1 5 2

, ,, ,

,,

,

, ,

0051 5 0 23 2 05

2 05 0 3451 705

aa

+ ( )== −=

, , ,, ,,

Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-rata yaitu

Y = 1,705+ 0,23X

b. Metode Rata-rata Bergerak

Y

Y

Y

1

2

3

1 8 2 0 2 13

5 93

1 97

2 0 2 1 2 33

6 43

2 13

2 1 2

=+ +

= =

=+ +

= =

=+

, , , , ,

, , , , ,

, ,, , ,

, , , , ,

, , ,

3 2 63

73

2 33

2 3 2 6 2 83

7 73

2 57

2 6 2 8 3 03

8

4

5

+= =

=+ +

= =

=+ +

=

Y

Y ,, ,

, , , , ,

, , , ,

43

2 8

2 8 3 0 3 43

9 23

3 07

3 0 3 4 3 63

103

3 33

6

7

=

=+ +

= =

=+ +

= =

Y

Y

Data berkala asli: 1,8, 2,0, 2,1, 2,3, 2,6, 2,8, 3,0, 3,4, 3,6

Rata-rata bergerak: 1,97, 2,13, 2,33, 2,57, 2,8, 3,07, 3,33c. Metode Kuadrat Minimum (Least Square) Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel




tahunBesar

pinjaman (Y)X XY X²

2002 1,8 -4 -7,2 162003 2,0 -3 -6,0 92004 2,1 -2 -4,2 42005 2,3 -1 -2,3 12006 2,6 0 0 02007 2,8 1 2,8 12008 3,0 2 6,0 42009 3,4 3 10,2 92010 3,6 4 14,4 16

Jumlah 23,6 13,7 60

d. Dari tabel perhitungan di atas diperoleh:

∑Y = 23,6 ∑XY = 13,7 ∑X² = 60


Y

XY

X

aY

n

bXY

X

=

=

=

=

=

=

=

=

∑∑∑

∑

∑∑

23 6

13 7

60

23 69

2 62

1

2

2

,

,

,

,

33 760

0 23

,

,=


Y

XY

X

aY

n

bXY

X

=

=

=

=

=

=

=

=

∑∑∑

∑

∑∑

23 6

13 7

60

23 69

2 62

1

2

2

,

,

,

,

33 760

0 23

,

,=

Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode kuadrat

minimum (least square) yaitu Y = 2,62 + 0,23X.

��

Daftar PUStaKa

Boediono, Wayan Koster, Teori dan Aplikasi Statistika dan Probabilitas. PT. Remaja Rosdakarya. Bandung. 2008.

Dajan, Anto. Pengantar Metode Statistik. Jilid 1. LP3ES Jakarta. 1991Hinkle Dennise, et.al.Apllied Statistikcs for the Behavioral Sciences

Houghton Mifflin Company. New Jersey, London, 1979.Lewis E.E. Introduction to Relaibility Engineering, Second Edition, John

Wiley & Sons, Inc. New York, 1994.Susila, I Nyoman. Statistika, Edisi Kedua, Penerbit Erlangga, Jakarta,

1994.Soemartojo H, Statistik untuk Manajemen dan Ekonomi, Edisi Keempat,

Jilid I, Penerbit Erlangga, Jakarta,1982.Soentoro, A. Idris. Cara Mudah Belajar Metodologi Penelitian Bisnis, CV

Taramedia, Jakarta.2002Sri Mulyono, Statistika untuk Ekonomi, Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi

UI, Jakarta, 1991.Supranto, Statistika Teori dan Aplikasi, Jilid I, Penerbit Erlangga, Jakarta,

1992.Sujadi PA, Seri Matematika Pendahuluan Teori Kemungkinan dan Statistika,

Penerbit ITB, Bandung, 1983.Sudjana, Metoda Statistika. Edisi Ke-6. Tarsito. Bandung. 1996.


Walpole Ronald E., Introduction Statistics, 3rd Edition, Terjemahan Bambang Soemantri, Penerbit ITB, Bandung, 1986.

Walpole Ronald E., Probability and Statistics for Engineer and Scientiest, Second Edition, Terjemahan R.K. Sembiring, Penerbit ITB, Bandung, 1986.

nusa mandiri

Documents