møtodos para la física. i. introducción al cælculo tensorial · pdf...

Métodos para la Física.I. Introducción al Cálculo Tensorial

Antonio Hernández CabreraPilar Aceituno Cantero

Departamento de Física Básica. Universidad de La Laguna

16 de febrero de 2009

Índice general

I Tensores 9

1. INTRODUCCIÓN 11

2. INDICES 152.1. Reglas para índices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1. Índices mudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2. Índices libres o �jos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.3. Contracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2. Conexión entre índices y la notación matricial . . . . . . . . . 16

2.3. Delta de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4. Cambio de miembro en una igualdad. . . . . . . . . . . . . . . 18

3. ESPACIOS VECTORIALES 213.1. De�nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2. Subespacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3. Relaciones entre subespacios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4. Sistema libre. Base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5. Variedad lineal L=[x1:::xp] : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6. Cambio de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4. APLICACIONESMULTILINEALES: ESPACIOSDUALES 254.1. De�nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2. Condición necesaria y su�ciente para de�nir una aplicación

p-lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3. Conjunto de las aplicaciones p-lineales. . . . . . . . . . . . . . 26

3

4 ÍNDICE GENERAL

4.4. Cambio de base y de coordenadas contravariantes. . . . . . . 294.5. Espacios particulares del L[V n11 ::::V

npp ;Wm] . . . . . . . . . . 30

5. PRODUCTOTENSORIALDE ESPACIOS VECTORIALES 355.1. De�nición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2. Producto tensorial de los vectores x1 2 V n11 ; :::; xp 2 V

npp . . . 35

5.3. De�nición de tensor general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.4. Cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.5. Relación entre tensores y funciones p-lineales . . . . . . . . . 37

6. TENSORES HOMOGÉNEOS DEFINIDOS EN V n(K). 396.1. Potencia tensorial de un V n(K): . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.2. Potencia tensorial generalizada de orden r de un V n(K): . . . 396.3. Tensor homogéneo T de�nido en V n(K): . . . . . . . . . . . . 396.4. Sistema de componentes de�nido en V n(K): . . . . . . . . . . 406.5. Criterios de tensorialidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.5.1. Si veri�can las relaciones tensoriales matricialmente. . . 406.5.2. Leyes del cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7. ÁLGEBRA TENSORIAL HOMOGÉNEA Y MODULAR 457.1. Suma y producto por escalar de tensores homogéneos. . . . . . 457.2. Contracción y producto contraído de sistemas de componentes

de�nidos en V n(K): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.3. Tensores modulares o pseudotensores de�nidos en V n(K) . . . 46

8. TENSORES SIMÉTRICOS Y HEMISIMÉTRICOS 498.1. De�nición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9. ALGEBRAS EXTERIORES DEFINIDAS EN V n(K) 519.1. Fórmulas de � generalizadas y desarrollos de determinantes. . 51

9.1.1. 1) ti1:::ip:::ir es hemisimétrico en un grupo de índices . . 51

9.1.2. 2) ti1:::ip:::ir es hemisimétrico en un grupo de índices . . 51

9.1.3. 3) Desarrollo de un determinante . . . . . . . . . . . . 51

9.2. Producto exterior de p vectores x1; :::; xp 2 V n . . . . . . . . . 529.2.1. De�nición y naturaleza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

9.2.2. Componentes de x1 ^ ::: ^ xp . . . . . . . . . . . . . . . 52

9.2.3. Hemisimetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

ÍNDICE GENERAL 5

9.2.4. Álgebra exterior V (p)n o �(p)n , de orden p, contravariante,homogénea, de�nida en V n(K) . . . . . . . . . . . . . 52

9.2.5. Caso p = n, V (n)n . Tensores hemisimétricos de orden n. 53

9.2.6. Cambio de base asociada y de componentes en V (p)n . . 53

9.3. Producto exterior de funciones lineales (vectores de V �n) . . . 54

9.3.1. De�nición: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9.3.2. Naturaleza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9.3.3. Hemisimetrías: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9.4. Algebra exterior homogénea, covariante, de orden p. . . . . . . 559.4.1. De�nición: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9.4.2. Base de V �(p)n asociada a ei : . . . . . . . . . . . . . . . 55

9.4.3. Caso p = n: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9.4.4. Cambio de base y componentes en V �(p)n : . . . . . . . 56

9.5. Producto exterior de tensores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.5.1. De�nición: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

9.6. Sistema de componentes �p y " en V n(k). . . . . . . . . . . . 579.6.1. De�nición: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

10.ESPACIOS PRE-EUCLÍDEOS Y EUCLÍDEOS 5910.1. De�nición de producto escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.2. Ortogonalidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.3. Propiedades que no cumple el producto escalar. . . . . . . . . 6010.4. Matriz de Gramm de un sistema de vectores. . . . . . . . . . . 60

10.4.1. De�nición: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

10.4.2. Propiedades: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

10.5. Norma y módulo de un vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.6. Sistemas equivalentes de vectores en V n(K). . . . . . . . . . . 6110.7. Expresión analítica del producto escalar. . . . . . . . . . . . . 61

10.8. Condiciones de Gei : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.9. Cambio de base para Gei : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.10.Coordenadas covariantes en En: . . . . . . . . . . . . . . . . . 6210.11.Base recíproca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

10.11.1.Propiedad fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6210.12.Expresiones del producto escalar en En: . . . . . . . . . . . . . 63

6 ÍNDICE GENERAL

10.13.Cambio de base recíproca y de coordenadas covariantes en En: 6310.14.Producto vectorial, producto mixto.

63

11.DUALIDAD EN UN En 6711.1. Dualidad normal E�n � En. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6711.2. Dualidad generalizada en espacios vectoriales. . . . . . . . . . 67

11.3. Tensores modulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

11.4. Simetrías y hemisimetrías de un tensor preeuclídeo. . . . . . . 6811.5. Tensores preeuclídeos de segundo orden particulares en En. . . 69

11.5.1. Tensor regular: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

11.5.2. Tensor conjugado o traspuesto de un tensor T . . . . . 6911.5.3. Tensor recíproco o inverso TR de un tensor T 2 EnEn,

regular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

12.ÁLGEBRA EXTERIOR EN ESPACIOS EUCLÍDEOS 7512.1. Producto exterior de p vectores x1; � � � ; xp 2 En: . . . . . . . . 75

12.2. Álgebra exterior V (p)n de�nida en En:p . . . . . . . . . . . . . . 7612.3. Espacio vectorial orientado V n(K): . . . . . . . . . . . . . . . 76

12.4. Tensores g;1

g;+pjgj; 1

+pjgj; �;�p; " de�nidos en un En: . . . . 76

12.4.1. Naturalezas tensoriales: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7712.4.2. Tensor adjunto TA = adj(T ) de un tensor T 2 V (p)n en

un En: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7712.5. Tensor adjunto del producto exterior (x1 ^ � � � ^ xp)A: . . . . . 7812.6. Producto vectorial y mixto en En: . . . . . . . . . . . . . . . . 79

12.6.1. Producto vectorial: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

12.6.2. Producto mixto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

13.Bibliografía: 81

ÍNDICE GENERAL 7

Cediendo a mi descrédito anhelanteLa mesticia que tengo me defrauda,Y aunque el favor lacónico me aplauda,Preces indico al celestial turbante.Ostento al móvil un mentido Atlante,Húrtome al Lete en la corriente rauda,Y al candor de mi sol, eclipse cauda,Ajando voy mi vida naufragante.Afecto aplauso de mi intenso agravioEn mi valor brillante, aunque tremendo,Libando intercalar gémino labio.¿Entiendes, Fabio, lo que voy diciendo?� Y cómo si lo entiendo. � Mientes, Fabio;Que soy yo quien lo digo y no lo entiendo.(Rinconete y Cortadillo, de un tal Miguel de Cervantes Saavedra)

8 ÍNDICE GENERAL

Parte I

Tensores

9

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN

Las estructuras matemáticas que desarrollan los físicos, siguiendo princip-ios físicos, tienen una inquietante propiedad: la ubicuidad. Pueden trasladarsede un marco conceptual a otro, sirviendo a muchos propósitos diferentes.Un ejemplo claro es el de la geometría no euclídea. Durante milenios losmatemáticos trataron de comprobar si los postulados de tal geometría eranindependientes entre sí, con el �n de abandonar los que no lo fueran y encon-trar una forma más estética y universal. Hasta el siglo XIX no se logró esteobjetivo. Cuando Carl Friedrich Gauss y colegas desarrollaron una geometríano euclídea para un espacio curvo nadie pensó que la nueva geometría fueraaplicable al mundo real. Más tarde, Georg Friedrich Bernhard Riemann ex-tendió la teoría a los espacios curvos de cualquier dimensión, creando unmodelo de gran belleza (y escasa utilidad en ese momento).Pero no fué hasta el siglo XX cuando, casi de pasada y al empezar a

desarrollar la relatividad general, Einstein se percató de que una forma deexpresar su idea de la simetría que relaciona a distintos sistemas de referenciaentre sí era ligar íntimamente la gravitación con la curvatura espacio-tiempo.Buscando alguna teoría matemática sobre espacios curvos dió con Grossman,quién le puso al corriente sobre los trabajos de Riemann. Las matemáticasestaban allí esperando a que Einstein hiciera uso de ellas, aunque ni Gauss,ni Riemann, ni el resto de los geómetras del siglo XIX sospecharan que sutrabajo pudiera servir para algo útil, como son las teorías de la gravitación.Aún más curioso es el caso de los principios de simetría, en particular de

la simetría interna. Esta simetría impone un tipo de estructura de familiasen la lista de posibles partículas elementales. El primer ejemplo conocido fué

11

12 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

el de los nucleones que constituyen los núcleos atómicos ordinarios: protón yneutrón. Estos tienen, más o menos, las mismas masas por lo que se supu-so que las fuerzas nucleares fuertes deberían seguir alguna simetría sencilla.Las ecuaciones que determinan estas fuerzas deberían conservar su aspectoformal al intercambiarse un neutrón y un protón. Es decir, la fuerza repulsi-va entre protón y protón debería ser análoga a la existente entre neutrón yneutrón, aunque no determinara la existente entre protón y neutrón. La sor-presa se produjo cuando, en 1936, se comprobó que esta fuerza era la mismapara las tres opciones, lo que dió lugar a la idea de que la transformaciónprotón-neutrón es contínua, con partículas con probabilidades arbitrarias deser protón o neutrón. También se encontró que los nucleones tenían enormesanalogías con otras seis partículas, descubiertas posteriormente y conocidascomo hiperiones, de masa similar e idéntico espín. Los Físicos, al buscaralguna herramienta útil entre la literatura matemática para describir estafenomenología encontraron, con enorme sorpresa, que ya existlian y estabancatalogados todos los grupos de simetría posibles en la teoría de grupos. Songrupos abstractos que no dependen en absoluto de lo que se transforma. Losgrupos que actúan de forma continua son los llamado grupos de Lie, debidoal matemático noruego Sophus Lie. Estos son los grupos que afectan a lasrotaciones tridimensionales ordinarias y a la teoría electrodébil. En 1960,Gell-Mann y N�eeman descubrieron que uno de estos grupos, el SU(3), erael adecuado para catalogar a las partículas elementales. Este grupo inclusopermite predecir si alguna familia está incompleta y determinar sus carac-terísticas, antes de localizar a la oveja perdida, como así ha ocurrido.Esta teoría de grupos había sido iniciada por Evariste Galois para demostrar

que no existen soluciones generales de las ecuaciones algebráicas de quintoy sexto orden. Posteriormente fué continuada por Lie y catalogada por ÉlieCartan. Ninguno de ellos llegó a sospechar siquiera la enorme utilidad quetendría en física. A esto es a lo que Eugene Wigner llamó �la irrazonableefectividad de la matemática�, en oposición a la �razonable ine�cacia de lapedagogía�. Da la sensación de que, los matemáticos, de forma inconsciente,anticiparan las necesidades de los físicos. Y esto se debe a la cerrilidad deAgustin-Louis Cauchy que impuso el método abstracto y riguroso entre losmatemáticos, método que puede ser independiente de la experiencia y el sen-tido común, pero no de la estética.Como estamos viendo, tres han sido las grandes aportaciones de la Física

a la comprensión de nuestro mundo en el siglo XX: las Simetrías (Teoría deGrupos), la Relatividad General y la Mecánica Cuántica. Todas ellas fueron

13

aceptadas casi de inmediato en los círculos cientí�cos por su belleza formal.Lo podemos incluso extender a la primera estructura matricial de la Mecáni-ca Cuántica de Heisenberg que ni el mismo atinaba a explicar con claridad,debido a su interpretación de las matrices. Fué Schrödinger quién aclaró unpoco la situación, llegando a resultados análogos pero a partir de una formu-lación física más clara. La Mecánica Cuántica Relativista, idea de P. Dirac,condujo a la Electrodinámica Cuántica y posteriormente, al ir apareciendonuevos campos tanto en la teoría como en la experiencia, a la Cromodinámicay a la Teoría Standard, donde las simetrías juegan un papel esencial.(Extraído de "El sueño de una teoría �nal", de S. Weinberg, ed. Crítica.

Barcelona, 2003, y que me viene al pelo. He tratado de apañar un poco laabominable traducción original).Estos apuntes tratarán de dar una idea de las matemáticas necesearias

para poder desarrollar la Relatividad General y las simetrías precisas para laTeoría Standard. Para los dos primeros puntos señalados se supone que losalumnos tienen una base general de la Mecánica Cuántica. En principio, elalumno puede prescindir de los primeros capítulos y empezar por la Introduc-ción a la Teoría de Campos. Pero si alguno está especialmente interesado porlas matemáticas y carece de la fe necesaria, no está de más que ojee los capí-tulos iniciales. Los apuntes estarán distribuidos en tres bloques diferentes,cálculo tensorial, introducción a la teoría de campos, y grupos contínuos.

14 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Capítulo 2

INDICES

2.1. Reglas para índices

Vamos a empezar por establecer los �codigos�o normas del lenguaje quevamos a utilizar a lo largo de la asignatura. No son difíciles de aprender ytienen una enorme utilidad para facilitar los desarrollos matemáticos. Dadoque fue Einstein el que, por razones obvias, estructuró la geometría riemanni-ana para que la entendieran también los físicos, seguiremos la conocida comonotación de Einstein. Esencialmente consta de dos tipos de índices:

2.1.1. Índices mudos

Son aquellos que aparecen repetidos en un monomio. Signi�can valoresde 1 a n y sumas. Ejemplo:

ai:� � b� = ai :1 � b1 + :::+ ai :n � bn; (2.1)

donde el índice � es mudo. Estos índices pueden cambiar su nombre de formaconjunta sin afectar a su signi�cado. En general, no se pueden poner 3 índicesiguales en un monomio.

2.1.2. Índices libres o �jos

Estos índices encierran varias expresiones diferentes al darles valores. Esel caso del índice i en (1). Si i toma N valores diferentes, (1) representa Nexpresiones diferentes. Si aparece un índice �jo en una expresión, tiene que

15

16 CAPÍTULO 2. INDICES

estar en todos los monomios y miembros de dicha expresión a igual altura.Más adelante analizaremos con detenimiento el por qué de las diferentes�alturas�o posiciones de los índices

2.1.3. Contracción

Esta operación consiste en pasar dos índices �jos a sumatorios. Por ejem-po, la contracción de los índices primero y tercero de una expresión se rep-resenta como

C13[aij :k] = a� j :

� (2.2)

El producto contraído de dos sistemas de componentes es una contracción ensu producto respecto de un índice de cada factor. Ejemplo:

C25[aij � b lm

k ] = ai� � b l�k : (2.3)

Es interesante comentar en este punto que, en ordenaciones o matrices cuadradas,la contracción coincide con la traza de la matriz.

2.2. Conexión entre índices y la notación ma-

tricial

Un producto contraído de dos sistemas de componentes se traduce en elproducto de las matrices que representan a dicho sistema. Ejemplo:

aji = bi� � c� :j (2.4)

Para realizar esta operación elegimos al azar un índice. Tomemos, por ejem-plo, el índice i como representativo de las �las de la matriz aji. Como dichoíndice está en la posición de columna, hemos de trasponer la matriz A y teneren cuenta que columna por �la siempre multiplica a derechas:

AT = B � C (2.5)

Si llamamos i a las columnas, �la por columna multiplica a izquierdas, esdecir,

A = CT �BT : (2.6)

2.3. DELTA DE KRONECKER 17

Como vemos, todas las operaciones supuestamente �contra natura�siempreestán relacionadas con la izquierda, lamentable error que parece tener su ori-gen en las religiones semitas, ya que la parte izquierda representa al principiofemenino. Pero eso es otro tema.Pongamos algunos ejemplos algo más complicados.

Ejemplo 1.ai� � pj� � c �

� = mj� � ni�; (2.7)

aquí a denota a los elementos inversos de una matriz. Elegimos el índice jcomo �la, con lo cual nos queda

PC�1(A�1)T =MNT (2.8)

Ejemplo 2.ai = b�� p� � c� i (2.9)

Si tomamos a como matriz �la k a1:::ank = k aik, el único índice de a indi-caría columna:

columna

8>>><>>>:a1......an

9>>>=>>>; = faig (2.10)

En nuestro ejemplo, si hacemos i �la,

faig = CTBT � fp�g (2.11)

Si hacemos i columna,

k aik = k p�k �BC (2.12)

2.3. Delta de Kronecker

Se de�ne como

�(ij) = � :ji = �i :j =

�1 si i = j0 si i 6= j )

�� ji�= Im (2.13)

Su forma de actuar puede expresarse a través de los siguientes ejemplos:


Ejemplo 1: a i� a

�j = �i j: Si i es �la ) AA�1 = I

Ejemplo 2: a�i�:�j = aji: Si i es �la ) AT I = AT

2.4. Cambio de miembro en una igualdad.

Sistema de dos componentes.Caso I.- Cuando un índice es �jo y otro sumatorio se subraya el sistema

de componentes, dado que hay que invertirlo, y se intercambian los índices.Además, si están a la misma altura inicialmente, se suben o bajan en bloque.

Ejemplo:a ji bk = c

ji k ) bk = ci

jkaj

i (2.14)

Caso II.- Cuando ambos índices son mudos en un sistema de compo-nentes: No se puede pasar por sí sólo dicho sistema de componentes en unaigualdad. Ejemplo:

a :ji � bj� � c�i = d�:� ) C � A �B = D: (2.15)

Para cambiar de miembro en la anterior igualdad a a, previamente hay quepasar b ) a :j

i � c�i = d�:� � b�j. Ahora se puede pasar a mediante el procesoanterior.

Caso III.- Cuando los dos índices son �jos. Ejemplo: a :ji � bjk = cki. Los

dos índices de c son �jos, con lo que hay que auxiliarse con la � de Kroneckerpara pasar este sistema de componentes al primer miembro de la igualdad.Es decir, a :j

i � bjk � ci� = � :�k .

2.4. CAMBIO DE MIEMBRO EN UNA IGUALDAD. 19

Capítulo 3

ESPACIOS VECTORIALES

3.1. De�nición

Un espacio vectorial V (K), de�nido sobreK, es un conjunto de elementosx; y; z, llamados vectores, que han de cumplir dos leyes de composición:A) Ley de composición interna: V � V ! (+) ! V =x; y ! x + y. Si secumple esta ley, el espacio es abeliano.B) Ley de composición externa: K � V ! (�) ! V =�; x ! � � x:Esta leytiene las siguientes propiedades:a) Asociativa ) (��) � x = �(� � x)b) Tiene elemento neutro ) 1 � x = xc) Distributiva ) (�+ �) � x = �:x+ � � x, � � (x+ y) = � � x+ � � yPara las leyes anteriores se consideran conmutativos los elementos de K.

El producto neutro se de�ne de forma que si �:x = 0() � = 0 _ x = 0:

3.2. Subespacio vectorial

Es un subconjunto de un espacio vectorial que, a su vez, forma espaciovectorial. Un subconjunto S es subespacio si todas las operaciones con suselementos son cerradas, es decir, si x; y 2 S ) � � x+ � � y 2 S:

3.3. Relaciones entre subespacios.

21

22 CAPÍTULO 3. ESPACIOS VECTORIALES

Se de�ne como suma de subespacios a la operación:

S1 + S2 = fx=x = x1 + x2g ; (3.1)

con x1 2 S1, x2 2 S2:Y se de�ne como suma directa de subespacios a:

S1 � S2 � :::� Si � :::� Sp = S1 + :::+ Si + :::+ Sp (3.2)

, Si \ (S1 + :::+ Sp) =�0;

donde en la última suma, entre paréntesis, no está incluido Si:Los espacios suplementarios son aquellos que sumados barren al es-

pacio vectorial total. Los subespacios S1 y S2 son suplementarios si:

S1; S2

�V = S1 + S2S1 \ S2 =

�0 (3.3)

Como consecuencia, en V n , si S1 y S2 son suplementarios, las bases juntasde ambos con�guran la base V n.

Si S1; S2 son suplementarios()�8x 2 V =) 9 alguna descomposición

=x = x1(2 S1) + x2(2 S2)

�.

En general, S1::::Sp son suplementarios si V = S1� :::�Sp. Y, para cualquierV n, S1:::Sp son suplementarios si sus bases juntas conforman la base de V n:Además, para cualquier vector x 2 V n siempre existe la descomposiciónx = x1(2 S1) + :::+ xp(2 Sp)

3.4. Sistema libre. Base.

x1; :::; xp es un sistema libre si��ixi = 0) �i = 0

�:

Base de V es el conjunto de vectores tales que�a) son generadoresa) son linealmente independientes

:

Dimensión de V: es el número de vectores de la base. Para subespacios secumple que dimS1 + dimS2 = dim(S1 + S2) + dim(S1 \ S2):

3.5. VARIEDAD LINEAL L=�X1:::XP

�: 23

3.5. Variedad lineal L=[x1:::xp] :

De�nición: es el conjunto de generadores [x1:::xp]= fx = �ixig : Unapropiedad inmediata es que una variedad lineal es subespacio vectorial, condim [x1:::xp] igual al número de vectores linealmente independientes y alrango

�x :ji

�: Se pueden expresar mediante distintos tipos de ecuaciones. Sea

L = [x1:::xp] ; con los vectores linealmente independientes;Ecuación vectorial:

8x 2 L) x = �i � xi = �i � v ::ji ej; (3.4)

siendo ej base de V.Ecuación paramétrica:

xj = �j � v ::ji ; (3.5)

el número de parámetros v ha de coincidir con dimL:Ecuación en implícitas: se obtiene eliminando las constantes �j ) aj:i �xi = 0, con i 2 In y j 2 Im, con lo que dimL = n� rango(aj:i):

3.6. Cambio de base.

Sean ej y e0j dos bases de un espacio vectorial V n. Ambas bases estánrelacionadas de tal forma que podemos pasar de una a otra mediante unamatriz conocida como matriz cambio de base:

�!e 0i = a::ji�!e j ) f�!e 0ig = A f�!e jg : (3.6)

�!e i = b:ij�!e 0j ) f�!e ig = A�1

��!e 0j :El efecto sobre los vectores es el siguiente:

8x 2 V n ) x =

�x�e�

x0ie0i = x0ia ��i e�

(3.7)

Es decir, las componentes en ambas bases se relacionarán mediante:

x0i = b :i� x� )

�x0i=�AT��1 fx�g ;

xp = a :pm x0m ) fxpg = AT fx0mg (3.8)

24 CAPÍTULO 3. ESPACIOS VECTORIALES

Capítulo 4

APLICACIONESMULTILINEALES:ESPACIOS DUALES

4.1. De�nición

Dados �p�espacios vectoriales V n11 (K); :::; Vnpp (K) y el espacio Wm(K),

se llama aplicación p-lineal ', de�nida en los anteriores espacios, a todaaplicación (es decir, todo elemento tiene imagen única) a:

V n11 (K)� :::� V npp (K)'�! Wm(K)= (x1; :::; xp) �! ' (x1; :::; xp) (4.1)

con la condición de p-linealidad, es decir, ' es lineal para cada vector:

'

�i11 xi1

1

; :::; �ippxipp

!= �i11 � :::: � �ipp '

xi11

; :::; xipp

!: (4.2)

Como ejemplo veamos la aplicación trilineal siguiente: V 21 �V 32 �V 23'�! W 3,

especi�cada por

25

26CAPÍTULO 4. APLICACIONESMULTILINEALES: ESPACIOS DUALES

'

�3x11+ 4x2

1; x1

2� 3x2

2; x1

3� 2x2

3

�= 3'

�x11; x1

2; x1

3

�� 6'

�x11; x1

2; x2

3

�� 9'

�x11; x2

2; x1

3

�+18'

�x11; x2

2; x2

3

�+ 4'

�x21; x1

2; x1

3

�� 12'

�x21; x2

2; x1

3

��8'

�x21; x1

2; x2

3

�+ 24'

�x21; x2

2; x2

3

�: (4.3)

Como consecuencia, en una aplicación p-lineal, '�x1; :::; 0; :::; xp

�= 0: La

dimensión de V n11 � :::� V npp es la suma de las dimensiones de cada espacio.

4.2. Condición necesaria y su�ciente para de�niruna aplicación p-lineal

Sea V n11 (K)� :::�Vnpp (K)

'�! Wm(K). Para poder de�nir la aplicaciónse requiere conocer su actuación sobre las bases de los espacios:

(x1; � � � ; xp) �! ' (x1; � � � ; xp) = (4.4)

'

xi11 ei1

1

; � � � ; xipp eipp

!= xi11 � � �xipp

ei11

; � � � ; eipp

!;

donde las componentes xi� son conocidas, con lo que se necesitan saber los

n1� :::�np grupos ' ei11

; :::; eipp

!= ' j

i1:::ip�j, donde '

ji1:::ip

son n1� :::�

np �m escalares.

4.3. Conjunto de las aplicaciones p-lineales.

(Conjunto de aplicaciones p-lineales de�nidas en V n11 ; :::; V nppy Wm : L

�V n11 ; :::; V

npp ;Wm

�):

4.3. CONJUNTO DE LAS APLICACIONES P-LINEALES. 27

1. L�V n11 ; :::; V

npp ;Wm

�es una forma espacio vectorial, subespacio de

Wm, siendo este último el espacio vectorial de las aplicaciones de V n11 � :::�Vnpp enWm(V n11 �:::�V npp ). Hemos utilizado la notación donde AB es el conjuntode aplicaciones de B en A.2. La base de L

�V n11 ; :::; V

npp ;Wm

�, asociada al grupo de bases (ei1

1

); :::; (eipp

); �j,

es el conjunto de aplicaciones p-lineales Ei1:::ip:::::::::j, donde i1 2 In1,...,ip 2 Inp , yde�nidas como : Ei1:::ip:::::::::j(ej1

1

; :::; ejpp

) = �i1::j1 :::�i1::j1� �j

Como consecuencia, 8' 2 L ;

'

ej1 ;1

ej2 ;2

:::; ejpp

!= '::::::::jj1:::jp

�j; (4.5)

' = '::::::::jj1:::jpEj1:::jp:::::::::j:

Problema 1.Pasar a forma matricial:

1) a�i � b� = d� � c�:� � ei�2) a�� = bi � cj � d i

j

Solución:1) Se selecciona un índice �jo, y se toma como �la o como columna. El índicei es �jo. Si i = fila, entonces ATfb�g = EC�1fd�gSi i = columna, kb�kA =

d� (C�1)TET2) Como no hay índices �jos, se selecciona uno cualquiera. Si j = fila,a�� = kbikDTfcjg. Si i = fila, a�� = kcjkDfbig. Si i = columna, a�� =kbikDTfcjg:

Problema 2.Simpli�car las expresiones:

1) (mij +mji)aij, siendo aij simétrico

2) (mij +mji) ai � aj

3) (mijk +mjki +mkij) ai � aj:ak

4) aijk � b jim , con A simétrica en índices 1 y 2, y B simétrica en los índices

2 y 3.5) (�i :j � �k:l + �i :l � �k:j)aik, siendo A simétrica.

Problema 3.


Para los índices pertenecientes a In, con aij � bi = 0, comprobar que, 8bjy 8i; j 2 In, aij = 0:

Problema 4.Comprobar que, si 8i; j; k 2 In, con aijbk = 0) aij = 0:

Problema 5.En un espacio V 3(R), se da el vector x = e01+ e

02� e03 y el cambio de base

dado por e1 = e01 � e03; e02 = e2; e03 = e01 + 2e02. Se dan también los espaciosde�nidos por S1 = (e1 + e2 � e3) y

S2 ��2x1 + x2 + x3 = 0x1 � x2 + 3x3 = 0

1) Calcular la dimensión, la base, las ecuaciones paramétricas e implícitas deS1; S2; S1 + S2 y S1 \ S2 en la base ei:2) Pasar x a la base ei:3) Ecuaciones implícitas de S1 en la base e0i:4) Buscar una base de un espacio suplementario de S1 y otra de S2:Solución:

1) dim S1 = 1, con la base de�nida en el enunciado. dimS2 = 1 con base(4;�5;�3)) v = 4e1 � 5e2 � 3e3.Sus ecuaciones son:

paramétricas

8<:x1 = 4�x2 = �5�x3 = �3�

.

Las implícitas son las dadas en el enunciado, o bien�2x1 + x2 + x3 = 03x1 + 4x3 = 0

:

Para S1\S2 las ecuaciones en implícitas son

8<:x1 + x3 = 0

2x1 + x2 + x3 = 03x1 + 4x3 = 0

, con S1\

S2 = f0g. Por último, en forma vectorial, S1+S2 = [e2; e1� e3; 4e1� 5e2�3e3] = V

3:2) x = xiei = x0ie0i. De donde,x0i = b i

� x� ) i = fila) fx0ig = (AT )�1fx�g )

fx�g = ATfx0ig

A�1 =

0@ 1 0 �10 1 01 2 0

1A) A =

0@ 0 �3 10 1 0�1 �2 1

1A

4.4. CAMBIODEBASEYDECOORDENADASCONTRAVARIANTES. 29

fx�g =

0@ 0 0 �1�3 1 �21 0 1

1A8<:11�3

9=; =

8<:35�2

9=;) x = 3e1 + 5e2 � 2e3:

También se puede hacer por sustitución directa.3) Implícitas de S1 en la base e0i :

fxig = ATfx0�g =

0@ 0 0 �1�3 1 �21 0 1

1A8<:x01

x02

x03

9=; ; como x1 + x3 = 0)�x01 + x02 + x03 = 0) x01 = 0:4) Para S1N tanto [e1] como [e2] o [e3] son suplementarios de S1:Para S2N =[e1; e2]:

4.4. Cambio de base y de coordenadas con-travariantes.

(Cambio de base y de coordenadas contravariantes enL�V n11 ; :::; V

npp ;Wm

�).Sea V1; ::::::::::; Vp; W �! L

�V n11 ; :::; V

npp ;Wm

�y las correspondientes

bases ei11

; :::::::::; ei22

; �j �! Ei1:::::::ip

j : Si cambiamos a las bases e0i11

; :::::::::; e0i22

; �0j

mediante las matricesA1; :::; Ap;D; ¿Cómo cambiaráEi1:::::::ip

j E0i1:::::::ip

j ?. Supong-

amos que E 0i1:::::::ipj = �i1:::::::ip�

�1:::::�pjE�1::::�p

� (I).Por de�nición sabemos que E�1::::�p� (ei1

1

; :::::::::; ei22

) = ��1:�1 :::��P:�P� �� (II).

Y que E 0i1::::ip j (e0j11

; :::::::::; ej22

) = �i1:j1 :::�iP:jP� �0j (III). Como e0j1

1

= a:�1j11

e�11

,

sustituimos en las expresiones este tipo de cambio, obteniéndo,�i1::::ip�

�1::::�pj� a :�1

j11

:::a:�pjp2

��1: �1 ::::��p: �p�� =

�i1: j1 ::::�ip: jp�0j = �

i1: j1::::�

ip: jpd :�j �� . Despejando las �,

�i1::::ip�

�1::::�pj= �i1: j1 ::::�

ip: jpd :�j b :j1

�11

::::::b:jp

�pp

)

E0i1:::::::ip

j = b:j1

�11

::::::b :jp�pp

d �j E

�1:::::�p� (4.6)

El cambio de coordenadas contravariantes se realiza de la siguiente forma:Sea una ' genérica de L de tal forma que, en dos bases diferentes,


' = ' ��1::::::�p

E�1:::::�p

� = '0 ji1::::::ip

E0i1::::::ip

j =

'0 ji1::::::ip

b i1�11

::::bip

�pp

d �j E

�1:::::�p� =)

' ��1::::::�p

= '0 ji1::::::ip

b i1�11

::::bip

�pp

=)

'0 ji1::::::ip

= ai11

�1 ::::a�p

ipp

d �j '

��1::::::�p

: (4.7)

Es común denominar en las componentes a los subíndices como covariantesy a los superíndices como contravariantes. El origen de tal denominaciónestá en las invariancias bajo transformaciones de Lorentz (véase Grupo deLorentz: Relatividad).

4.5. Espacios particulares del L[V n11 ::::Vnpp ;Wm]

1. L[V n11 ::::Vnpp ;K]. Como base del cuerpo K se usa el 1, por costumbre,

aunque serviría cualquier otro número real. La base asociada sería E�1:::::�p

donde no existe variación del subíndice �nal, por lo que se suprime en lanotación. 8f 2 L ) f = fi1:::::ipE

i1:::::ip = f(ei11

::::eipp

)

2. L[V n(K);K] � V �n= Espacio Dual de V n: Es el espacio de las funciones(aplicaciones lineales) de V n(K): La base asociada a ei de V n(K) es Ei � e�i,de tal forma que 8f 2 V �n ) f = fie

�i = f(ei):

El cambio de base dual y de coordenadas sería:

e0�i = b i� e

��

f 0i = a�i f� (4.8)

Problema 6.Dados los espacios vectoriales V 21 (R); V

32 (R); V

23 (R) y W

2(R), de basesrespectivas (ei1);

1

(ei2);2

(ei3);3

(�j). Se de�ne una aplicación trilineal ' : V1 �

V2 � V3 ! W = '(ei1; ej2

; ek)3

= ' lijk �l, siendo:

4.5. ESPACIOS PARTICULARES DEL L[V N11 ::::V NPP ;WM ] 31

' lijk =

0BB@�1 0 00 1 0

� �0 0 00 0 0

��1 0 00 0 0

� �0 0 00 1 0

�1CCAcon

8>><>>:i = fila

j = columnak = fila matricial

l = columna matricial

1) Hallar '(x; y; z), siendo x = e1 � 21e21; y = e2

2; z = 2e1

3� e2

3

2) Expresar ' en base de L[V1; V2; V3;W ], asociada a las bases dadas.

Problema 7.Dado el espacio L[V 2; V 2; V 2;R] y el cambio de bases en V 2(R)

fe0ig =�1 01 1

�fe�g, se de�ne f 2 L = f(ei; ej; ek) = fijk =

�2 00 0

��0 10 0

�,

función trilineal:

1) Hallar f(x; y; z), siendo

8<:xyz

9=; =

0@ 2 00 00 1

1A� e1e2

�:

2) Expresar f en base de L asociada a ei:3) Expresar f en base de L asociada a e0i:4) Hallar f(e02; e

01; e

01 � e02):

Problema 8.Se da V 3(R) con base ei. Se de�ne una función bilineal f en V 3 por

f(ei; ej) = fij =

0@ 1 0 00 0 20 2 0

1A, con i �la y j columna.Se da el cambio de base fe0ig =

0@ 1 0 10 0 10 1 0

1A :1) Hallar f(e1; e1 + e2):2 Hallar f(e02; 2e

01 � e02):

3) Buscar la matriz de cambio de base en L2[V 3;R] de la base asociada a eia la base asociada a e0i:4) Expresar f en las dos bases de L25) Estudiar si 8(x; y) 2 V 3 ) f(x; y) = f(y; x):

Problema 9.


Dado V 3(R) con base ei: Se de�ne f : V n ! K, función lineal = f(ei) = fi,

conf(e1) = 5f(e2) = 0f(e3) = �1

Se da el cambio de base fe0ig =

0@ 1 0 10 1 01 0 �1

1A fe�g:1) Calcular f(e1 + 2e3) en las dos bases.2) Calcular f = fie�i en las dos bases.3) Calcular e�(e0j) en forma matricial.

Problema 10.Dados V 3(R) y (f 1; f2; f3) 2 V �3, con f 1(x) = x1 � x2; f 2(x) =

x2�x3; f 3(x) = x1+x3. Se da el cambio de base fe0ig =

0@ 1 1 00 1 11 0 1

1A fe�g:1) Buscar la base e00i 2 V 3 de la cual la (f 1; f2; f3) es la dual en función deei.2) Lo mismo en función de e0i:3) Calcular f 2(e01 � 2e03):

Problema 11.Sea f , función lineal tal que f 2 Lp[V n; :::; V n;R], con f : V n� :::�V n !

R = (x1; :::; xp)! f(x1; :::; xp). Buscar la condición necesaria y su�ciente paraquef hemisim�etrica, f alternada:

Problema 12.Sean U(K); V (K) espacios vectoriales de dimensión �nita y (u�1; :::; u

�p); (v

�1; :::; v

�p)

dos familias de vectores de U�; V �:1) Demostrar que la aplicación T : U�V ! K = 8(u; v) 2 U�V ) T (u; v) =(u�iu)(v

�i v);con i 2 Ip; es una aplicación bilineal.

2) Demostrar que para toda aplicación bilineal f : U � V ! K existen dosfamilias (u�i ; v

�i ) = f(u; v) = (u

�iu)(v

�i v):

3) Sean U3(R) y V 4(R), de bases ei y Ej. Se considera una función bilineal

f : U � V ! R f(ei; Ej) = tij =

0@ 1 1 2 10 1 1 21 0 2 0

1AHallar las familias (U

�1:::U

�p); (V

�1:::V

�p); del apartado anterior.

4.5. ESPACIOS PARTICULARES DEL L[V N11 ::::V NPP ;WM ] 33

Capítulo 5

PRODUCTO TENSORIAL DEESPACIOS VECTORIALES

5.1. De�nición.

Se llama producto tensorial de los espacios vectoriales V n11 (K); :::; Vnpp (K)

de bases (ei11

); :::; (eipp

) a un nuevo espacio vectorial que se representa por

V n11 ; :::;Vnpp , tal que:

a) Una base de V n11 ; :::;Vnpp es el conjunto de grupos representado por

ei11

::: eipp

, que se llama base de V n11 ; :::;Vnpp asociada a las bases

(ei11

); :::; (eipp

):

b) Se de�ne una aplicación p-lineal ' de V n11 �; :::;�Vnpp en V n11 ; :::;V

npp

por '( ei11

; :::; eipp

) = ei11

::: eipp

(APLICACIÓN UNIVERSAL).

5.2. Producto tensorial de los vectores x1 2V n11 ; :::; xp 2 V

npp

Es el vector de V1:::Vp que se representa por x1:::xp, y se de�ne porx1:::xp = ' (x1; :::; xp) = (por ser ' p-lineal) = x i1

1 :::xip

p �(ei11

::: eipp

):

35

36CAPÍTULO 5. PRODUCTOTENSORIALDEESPACIOS VECTORIALES

5.3. De�nición de tensor general

De�nido en V1; :::; Vp, es todo vector T del espacio vectorial V1 ::: VpEj.: x1 ::: xp de�ne a un tensor tal que,

8T 2 V1 ::: Vp; T =

8><>:ti1:::ip(ei1

1

::: eipp

)

t0i1:::ip(e0i1

1

::: e0ipp

)siendo ti1:::ip las compo-

nentes de T (son las x1 ::: xp)ti1:::ip(ei1

1

::: eipp

) = x i11 ::: x ip

p

El orden p del tensor es el número de componentes de T en un determinadogrupo de bases = dim(V n11 ; :::; V

npp ) = n1 � :::� np

5.4. Cambio de bases

De forma esquemática podemos representar el cambio de base comoEspacios: V n11 ; :::; V

npp �! V n11 ; :::; V

npp

Bases: ei11

; :::; eipp

�! ei11

::: eipp

Matriz: # A1e0i11

:::e0ipp

�! e0i11

::: e0ipp

e0i1 ::: e0ipp

= ai11

�1 ; :::; aipp

�p (e�11

::: e�pp

)

8T 2 V1 ::: Vp =

T =

8><>:t�1:::�p(e�1

1

::: e�pp

)

t0i1:::ip(e0i1

1

::: e0ipp

) = t0i1:::ipai1

1

�1 ; :::; aipp

�p(e�11

::: e�pp

)

=)

t0i1:::ip = b�1

1

i1 ; :::; b�pp

ip t�1:::�p ; (5.1)

que son las expresiones conocidas como RELACIONES TENSORIALES.

5.5. RELACIÓN ENTRE TENSORES Y FUNCIONES P-LINEALES 37

5.5. Relación entre tensores y funciones p-lineales

Podemos plantearnos ahora qué relaciones existen entre los tensores ylas funciones p-lineales. Dados los espacios V n11 (k); :::; V

npp (k) tenemos que

V n11 ; :::; Vnpp � Lp[V �n11 ::::V

�npp ;K]

O también, V n11 ; :::; Vnpp � (Lp[V n11 ::::V

npp ;K])�

Problema13.Dado un tensor T de�nido en V 21 (R); V

�32 (R) y V 23 (R)

T = ti kj (ei

1 e�j

2 ek

3), siendo ti k

j =

�1 0 11 0 0

�;

�0 1 00 0 0

�y las matrices de cambios de bases en V2 :

0@ 0 0 10 1 01 1 0

1A ; en V1 : � 1 10 1

�;

en V3 :�1 01 1

�a) Componentes de T en las nuevas basesb) Componentes de U = (e1

1� 2e2

1) (e1

2) (e1

3� e2

2)

Problema 14.Dados V n11 ; ::::; V

nrr , estudiar si V

n11 ::::V nrr � Lr[V �n11 ; ::::; V �nrr ;K] =

(Lr[V n11 ; ::::; V nrr ;K])� = Lr[V n11 ; ::::; V nrr ;K]:

Problema 15.Dado T 2 V 1(K)Wm(K), con T = x1x2 descomponible) rang(tij) �

1:

Problema 16.Dados x 2 V n(K); y 2 Wm(K), hallar la condición necesaria y su�ciente

para que x y = y x:

38CAPÍTULO 5. PRODUCTOTENSORIALDEESPACIOS VECTORIALES

Capítulo 6

TENSORES HOMOGÉNEOSDEFINIDOS EN V n(K).

CRITERIOS DE TENSORIALIDAD

6.1. Potencia tensorial de un V n(K):

Es el espacio vectorial

pz }| {V n ::: V n = (V n)p. La base de (V n)p aso-

ciada a ei es ei1 ::: eip :

6.2. Potencia tensorial generalizada de ordenr de un V n(K):

Es el espacio vectorial (V n)p1 (V �n)q1 ::: (V n)pr (V �n)qr

6.3. Tensor homogéneo T de�nido en V n(K):

Es todo vector de la anterior potencia tensorial generalizada. El orden deT , o de la potencia tensorial, es r = p1 + q1 + ::: + pr + qr: La especie ovarianza de T viene dado por el número de contravarianzas p = p1+:::+pry el número de covarianzas q = q1 + :::+ qr:

39

40CAPÍTULO 6. TENSORES HOMOGÉNEOS DEFINIDOS EN V N(K).

Las componentes de T en ei son las coordenadas de T en la base asociada.Como ejemplo tengamos a V n V n V �n que tiene por base ei ej e�k:Se puede expresar el tensor en cualquier otra base, ya que,

T =

�t�� (e� e� e� )

t0ij k(e0i e0j e0�k) = t

0ijk a

�i a

�j b

k (e� e� e� )

)

t�� = t0ijka

�i a

�j b

k ) t0ij k = b

i� b

j� a

k t�� (6.1)

El número de relaciones, en un caso general, es nr, que coincide con elnúmero de componentes de una base y con la dimensión de la potencia ten-sorial.

6.4. Sistema de componentes de�nido en V n(K):

Es un conjunto de sistemas de componentes de igual orden, de�nido enK, asociados uno y sólo uno a cada base de V n: Un sistema de componentesde�nido en V n(K) tiene naturaleza tensorial homogénea si pueden ser lascomponentes, en cada base, de un T homogéneo; o sea, si veri�can las rela-ciones de cambio de base.

6.5. Criterios de tensorialidad.

(Criterios de tensorialidad para sistemas de compo-nentes de�nidos en V n(K)).

Son los métodos para comprobar si el sistema de componentes tienenaturaleza tensorial. Existen varios métodos:

6.5.1. Si veri�can las relaciones tensoriales matricial-mente.

Ejemplo:Sea T 2 V n(K):) t0i = b i

� t� ) ft0ig = (AT )�1ft�gt0i = a

�i t� ) ft0ig = Aft�g:

Sea T 2 V �n V �n ) t0ij = a�

i a �j t�� ) (t0ij) = A(t��)A

T :

6.5. CRITERIOS DE TENSORIALIDAD. 41

Sea T 2 V n V n ) t0ij = b i� b j

� t�t� ) (t0ij) = (AT )�1(t��)A�1:

Sea T 2 V �n V n ) (t0 ji ) = A(t �

� )A�1:

Sea T 2 V n V �n ) (t0i j) = (AT )�1(t� �)A

T :

El sistema de componentes �; correspondiente a �(ij); es la matriz identidadI en cualquier especie.

6.5.2. Leyes del cociente

1a ley del cociente:

Si el producto algo-contraido de un sistema de componentes T 2 V n(K) porun tensor arbitrario U da otro tensor V ) T tiene naturaleza tensorial.Ejemplo:

Sea T�en ei componentes t(ijk)en e0i componentes t

0(ijk); U�u ji en eiu0 ji en e0i

tensor arbitrario; V�v jki en eiv0 jki en e0i

tensor resultante del producto contraído. Si se veri�ca en una ei genérica quet(�� ) � u �

� = v �� y que t0(ijk) � u0 l

i = v0 klj , entonces T tiene naturalezatensorial homogéna, de tercer orden, contra-cova-contravariante. Se demues-tra haciendo el cambio de base, ya que t0(ijk) = b i

� a�j b

k t(�� ):


Si el producto sin contraer de un sistema de componentes T 2 V n(K)por un tensor U , no nulo, da otro tensor V ) T tiene naturaleza tensorial,dados su orden y especie por las reglas de índices.Ejemplo:

t(��) � u = v� � , T tiene naturaleza tensorial homogénea, de segundo or-

den, contra-covariante. Se demuestra cambiando de base, ya que t0(ij) =b i� a

�j t(��):


Si el producto contraído en un índice de un sistema de componentesT 2 V n(K) por un tensor U de segundo orden, regular (sus matrices sonregulares), da un tensor V ) T tiene naturaleza tensorial, dados su orden yespecie por las reglas de índices.



Si el producto totalmente contraído de un sistema de componentes T 2V n(K) por un producto tensorial de vectores y funciones lineales arbitrariosda un tensor homogéneo de orden cero (escalar intrínseco) ) T tiene natu-raleza tensorial, dados su orden y especie por las reglas de índices. Tengamospues, en una base ei genérica, el producto t(�� ) x� f� y = k. En otra basee0i; t

0(ijk) x0 i f 0j y0 k = k (para escalares intrínsecos k0 = k). Esto nos indica

la naturaleza homogénea de T , de tercer orden. Mediante el cambio de basepueden saberse las especies del tensor:t0(ijk) b i

� x� a �j f� b

k y = t(�� ):x� f� y

ht0(ijk) b i

� a �j b k

� t(�� )i

| {z } :x� f� y | {z } = 0; 8:x�; f�; y

+ +C(�� ) hay que quitarlos por partes

=) t0(ijk) = a �i b j

� a k t(�� )

Un ejemplo de la aplicación de las leyes del cociente sería en V n(K);

el sistema de componentes de�nido por ��ei ! � (ij)e0i ! � (ij)

: Sea x un vector

cualquiera de V n de tal forma que, en ei; � (ij) �xj = xi y en e0i; �(ij) �x0 j =x0 i. Como x es arbitrario, se usa la primera ley del cociente con lo que �tiene naturaleza homogénea contra-covariante. Si � (ij) � xi = xj; � tienenaturaleza homogénea cova-contravariante.

Problema 17

Dado V 2(R); y el cambio de base fe0ig =�1 11 2

�fe�g : Sean T; U ten-

sores homogéneos de�nidos en V 2, de componentes, orden y especie dadospor, en ei : t

jki l = �

ki � � j

l y en e0i : u0ij = �

ji ;

1) Componentes de U en ei2) Componentes de T en ei y e0i, matricialmente.3) Componentes de C12 [T ] en ei y e0i, matricialmente. Naturaleza tensorial.4) Componentes de C23 [T ] en ei y e0i, matricialmente. Naturaleza tensorial.5) Componentes de C [U ] en ei y e0i, matricialmente. Naturaleza tensorial.6) Componentes de C14 [U T ]7) Componentes de C13 [U T ]

6.5. CRITERIOS DE TENSORIALIDAD. 43

Capítulo 7

ÁLGEBRA TENSORIALHOMOGÉNEA Y MODULAR

7.1. Suma y producto por escalar de tensoreshomogéneos.

Son las operaciones del Espacio Vectorial potencia tensorial de dondeproceden vectores.

7.2. Contracción y producto contraído de sis-temas de componentes de�nidos en V n(K):

Dado un sistemna de componentes T 2 V n de componentes en dos basesdiferentes

�ei : t(ijk)e0i : t

0(ijk)) C13 [T ] =

�ei : t(�j�)e0i : t

0(�j�): Si T son componentes

de un tensor homogéneo entonces, �si se contraen índices de distinta especie) Cij [T ] tiene naturaleza tensorial�. Pero si se contraen índices de igualespecie, en general el resultado de la contracción no es tensorial.Ejemplo:

45

46CAPÍTULO 7. ÁLGEBRA TENSORIAL HOMOGÉNEA Y MODULAR

Tengamos el tensor T 2 V �n V �n V n de componentes en dos basesdiferentes

�ei : t

kij

e0i : t0 kij

�) C13 [T ] =

�ei : t

��j

e0i : t0 ��j

Como t0 kij = a �

i a �j b k

t �� , entonces, t0 i

ij = a �i a �

j b i t

�� =(como a �

i b i = � �

) = a �j t �

�� , donde hemos sumado n2 componentes.Como se puede apreciar, el resultado de la contracción consiste en reducir endos el orden del tensor contraído.Producto contraído de dos tensores homogéneos es una contrac-

ción en su producto tensorial. Se realiza respecto de un índice de cada factor.Aplicación de un tensor homogéneo a un vector. Es su producto

contraído en índices contiguos y de distinta especie. Veámoslo con un ejemplo.Sean T 2 V �n V n y x 2 V n. La aplicación como postfactor es x � T =xi � t j

i ej: Si T 2 V �n V �n, las aplicaciones�T � x = tij xj e�ix � T = xi � tij e�j

serán

iguales en simetría.

7.3. Tensores modulares o pseudotensores de�nidosen V n(K)

Un tensor T modular de peso ! 2 K es un sistema de componentesde�nido en V n que veri�ca las relaciones tensoriales modulares. Veámoslocon el siguiente ejemplo: Sea T tensor modular, de tercer orden, peso !,contra-cova-contra, de componentes en dos bases diferentes:

T

�ei : t

i kj

e0i : t0 i kj

. Si al hacer el cambio de bases obtenemos que

t0 i kj = jAj! b �

i a j� b

k t� � ; (7.1)

T es modular de peso !. Este tipo de tensor es corriente en Electrodinámicay en Relatividad. Si ! = 0 el tensor es homogéneo. El álgebra para tensoresmodulares es idéntica a la de los homogéneos. El conjunto de los tensoresmodulares de orden, especie y peso cero forman un espacio vectorial. Esinteresante anotar los siguientes puntos:1. En caso de que ! 6= 0, los tensores T modulares no se pueden poner enbase de la correspondiente potencia tensorial. Es decir, T 6= ti j(ei e�j).2. Las contracciones funcionan igual que en los tensores homogéneos, peroconservando el peso.

7.3. TENSORESMODULARESOPSEUDOTENSORESDEFINIDOS EN V N(K)47

3. Los productos de tensores tienen por peso la suma de los pesos de cadatensor.4. Siguen valiendo todas las leyes del cociente, pero teniendo en cuenta elpárrafo anterior para los pesos.

Problema 18.Sea un V 2(R), donde se de�ne el tensor T , de cuarto orden, cova-cova-

contra-contravariante, de componentes en ei :

t klij =

0BB@�0 00 0

� �4 22 1

��4 �2�2 �2

� �0 00 0

�1CCA : Se da el cambio de base� e1 = e

01 + e

02

e2 = e01

:

1) Buscar las simetrías y hemisimetrías de T .2) Descomponer T en productos del máximo número de tensores sin con-traer, de forma que, en ei, los dos primeros tengan por primera componenteel 2, siendo el primer tensor homogéneo y el último modular, con peso 1.Expresarlos en las dos bases.3) Calcular todos los tensores de segundo orden contraídos de T en ei:4) Calcular todos los tensores doblemente contraídos de T en las dos bases.5) Componentes de T en e0i:6) Naturaleza tensorial del sistema de componentes t 12

ij :

Problema 19.Siendo A y B tensores homogéneos asimétricos de segundo orden, covari-

antes, y U; V tensores homogéneos de primer orden contravariantes, todosde�nidos en V n(K), y cuyas componentes veri�can que [aij � kbij]ui = 0 y[aij � k0bij]vi = 0, 8(i; j) 2 In y k 6= k0;1) Demostrar que aijuivj = bijuivj = 0:2) Expresar k en función de las componente de los tensores. Naturaleza de k

48CAPÍTULO 7. ÁLGEBRA TENSORIAL HOMOGÉNEA Y MODULAR

Capítulo 8

TENSORES SIMÉTRICOS YHEMISIMÉTRICOS

8.1. De�nición.

Un tensor T homogéneo o modular en V n(K) se dice que es simétrico ohemisimétrico en un grupo de índices si sus componentes, en cualquier base,son simétricas o hemisimétricas en dicho grupo de índices.Consecuencia: Si en una base las componentes de un tensor son simétricaso hemisimétricas en un grupo de índices a igual altura, el tensor es simétri-co o hemisimétrico en cualquier base. Sin embargo, si las componentes deun tensor son simétricas o hemisimétricas en un grupo de índices de dis-tinta especie, al cambiar el tensor de base no tiene por qué conservarse lasimetría o la hemisimetría. Esta característica puede patentizarse con el sigu-iente ejemplo. Sea T 2 V �n V n V �n; con t j

i k = �t jk i en ei. Hay que

demostrar que en otra base, e0i, t0 ji k = �t0 j

k i. Haciendo el cambio de base,t0 ji k = a �

i bj

� a k t �

� y t0 jk i = �a �

k bj

� a i t �

� ) t0 ji k = �t0 j

k i. Luego,se conserva la hemisimetría para índices de la misma especie.

Problema 11Sea f , función lineal de�nida por f 2 Lp [V n; :::; V n;R] : V n�:::

pV n �!

fR

(x1:::xp) �! f(x1:::xp)Se dice que f es alternada si : f(x1:::xp) = 0 cuando se repiten dos vectores,y que f es hemisimétrica si : f(:::xi:::xj:::) = � f(:::xj:::xi:::):1)Demostrar que f hemisimétrica () f alternada.

49

50 CAPÍTULO 8. TENSORES SIMÉTRICOS Y HEMISIMÉTRICOS

CONDICIÓN NECESARIA:Si f es alternada, f(:::xi:::xi:::) = 0: Como f(:::xi:::xi:::) = � f(:::xi:::xi:::) =0Esto sólo es cierto para cuerpos de característica 0 (ej. los reales).CONDICIÓN SUFICIENTE:

f(::: xi + xj ::: xi + xj :::) = 0, por alternada. Por p-linealidad tenemos quef(::: xi ::: xi :::) + f(::: xi ::: xj :::) + f(::: xj ::: xi :::) + f(::: xj ::: xj :::) = 0�! 0 �! 0

por alternada por alternada=) f(::: xi ::: xj :::) = � f(::: xj ::: xi :::)2) Se de�ne f 2 L3 [V 2(R);R] f(ei ej ek) =240@ 0 1 0

�1 0 00 0 0

1A0@ 0 0 10 0 0�1 0 0

1A0@ 0 0 00 0 10 �1 0

1A35siendo F = fijk: Ver si f(ei ej ek) es totalmente hemisimétrico.Vemos que fijk es simétrico en 10 y 20 índices por ser simétricas las matricesen la ordenación usual. Para ver si lo es en los índices 10 y 30 , se ordena deforma que los índices 10 y 30 indiquen �la y columna:

fijk

0@ i = filak = columnaj = matriz

1A =0@ 0 0 0�1 0 00 �1 0

1A| {z }

j=1

0@ 0 0 00 0 00 0 0

1A| {z }

j=2

0@ 0 0 00 0 00 0 0

1A| {z }

j=3

En este caso ya no es hemisimétrica =) f no es alternada.3) LpH [V n;R] � Lp [V

n;R] son las funciones p-lineales hemisimétric-as. Calcular la base y la dimensión. La base asociada a ei (conjunto de

funciones p-lineales hemisimétricas) es E(i1:::ip)H

.E(i1:::ip)H (ej1:::ejp) = �

(i1:::ip)j1:::jp

cuya dimensión es�np

�:Tienen que ser funciones hemisimétricas. Se ve que

sí lo son en la �: Los índices entre paréntesis indican que están ordena-dos de manera preestablecida, como ocurrirá en el Algebra Exterior. Así,8f 2 LpH [V n;R]) f = f(i1:::ip) E

(i1:::ip)H .

Capítulo 9

ALGEBRAS EXTERIORESDEFINIDAS EN V n(K)

9.1. Fórmulas de � generalizadas y desarrol-los de determinantes.

9.1.1. 1) ti1:::ip:::ir es hemisimétrico en un grupo de índices

�1; :::; �p () ti1:::ip:::ir = �(�1:::�p)i1:::ip

t(�1:::�p) ip+1:::ir

9.1.2. 2) ti1:::ip:::ir es hemisimétrico en un grupo de índices

�1; :::; �p () ti1:::ip:::ir =1p!�(�1:::�p)i1:::ip

t(�1:::�p) ip+1:::ir sin ser la t estrictaen sus índices. Estricto quiere decir estrictamente ordenados los índices, y sesimboliza poniendo los índices ordenados entre paréntesis.

9.1.3. 3) Desarrollo de un determinante��a j1i1

� � � ajp

i1...

. . ....

a j1ip

� � � ajp

ip

�� =(�j1:::jp�1:::�p

a �1i1

::: a�p

ip

��1:::�pi1:::ip

a j1�1

::: ajp

�p

51

52 CAPÍTULO 9. ALGEBRAS EXTERIORES DEFINIDAS EN V N(K)��ai1j1 � � � ai1jp...

. . ....

aipj1 � � � aipjp

�� =��1:::�pj1:::jp

ai1�1 ::: aip�p��1:::�pi1:::ip

a�1j1 ::: a�pjp

9.2. Producto exterior de p vectores x1; :::; xp 2V n

9.2.1. De�nición y naturaleza

x1 ^ ::: ^ xp = ��1:::�p1:::p (x�1 ::: x�p)) x1 ^ ::: ^ xp 2 (V n)p

9.2.2. Componentes de x1 ^ ::: ^ xp

x1 ^ ::: ^ xp = ��1:::�p1::::p x i1�1

::::xip

�p (ei1 ::: eip) = ti1:::ip(ei1 ::: eip) =��x i11 � � � x

ip1

.... . .

...x i1p � � � x

ipp

�� (ei1 ::: eip) = �i1:::ip�1:::�px�11 :::x

�pp :(ei1 ::: eip)

9.2.3. Hemisimetrías

A) T = x1 ^ ::: ^ xp es un tensor totalmente hemisimétrico.B) Tiene le hemisimetría especial de unos productos exteriores respecto

a otros.

9.2.4. Álgebra exterior V (p)n o �(p)n , de orden p, con-

travariante, homogénea, de�nida en V n(K)

De�nición:

Es el conjunto de todos los tensores T de orden p, totalmente contravariantes,homogéneos de�nidos en V n(K), x1 ^ ::: ^ xp

Propiedad:

V(p)n � (V n)p, con operaciones cerradas ) V

(p)n es espacio vectorial.

9.2. PRODUCTO EXTERIOR DE P VECTORES X1; :::; XP 2 V N 53

Base de V (p)n asociada a una base ei de V n :

Es el conjunto de vectores de V (p)n ; e(i1) ^ ::: ^ e(ip), con i1; :::ip 2 In )

dimV(p)n = Cn;p =

�np

�:

Además, 8T 2 V (p)n ; T tiene por coordenadas t(i1:::ip)(e(i1) ^ ::: ^ e(ip)): Parademostrarlo hay que tener en cuenta que e(i1) ^ ::: ^ e(ip) son(A) generadores, con lo que:8T 2 V (p)n ; T = ti1:::ip(ei1 ::: eip) =�i1:::ip(�1:::�p)

t(�1:::�p)(ei1 ::: eip) = t(�1:::�p)(e(�1) ^ ::: ^ e(�p)):(B) e(i1) ^ :::^ e(ip) son linealmente independientes. Si existiera otro con-junto análogo �) �(�1;:::;�p)e(�1) ^ ::: ^ e(�p) = p (tensor nulo).�(�1;:::;�p)�

i1:::ip(�1:::�p)

ei1 ::: eip = p )�(�1;:::;�p)�

i1:::ip(�1:::�p)

= �i1:::ip = 0; 8(i1; :::; ip) 2 In:

9.2.5. Caso p = n, V (n)n . Tensores hemisimétricos de orden n.

En este caso sólo hay un elemento en la base del espacio, por lo quedimV

(n)n = 1: La base asociada a la ei es la e1 ^ ::: ^ en. Es decir, 8T 2

V(n)n ) T = t1��n(e1 ^ � � � ^ en), donde t1��n es un sistema de componentes deV n. Además, 8ei ) ti1��in = �i1��in1��n t1��n = "i1��int1��n, siendo 1 � � �n estricto, esdecir, ordenado de 1 a n. Hemos introducido aquí el tensor de permutaciones"i1��in = �i1��in1��n , donde la permutación de dos índices implica un cambio designo. Al igual que la delta de Kronecker puede valer 1, -1, o 0. El últimocaso corresponde al de dos índices repetidos.Mediante la 2a ley del cociente se puede demostrar que t1��n es un tensor

de orden cero y peso -1, es decir, un escalar contramodular. Esto es debidoa que "i1��in tiene peso 1, mientras que "i1��in tiene peso -1. Otra forma deverlo es haciendo un cambio de base:t01��n = b 1

�1� � � b n

�n t�1��n = b 1

�1� � � b n

�n ��1��n1��n t1��n = jAj�1 t1��n, por ser

t�1��n totalmente hemisimétrico.

9.2.6. Cambio de base asociada y de componentes en V (p)n .

(A) El cambio de base viene dado por e0(i1)^:::^e0(ip)= a �1

(i1)� � � a �p

(ip)(e�1^

::: ^ e�p). Pero esta última aún no es base del álgebra exterior por no ser

54 CAPÍTULO 9. ALGEBRAS EXTERIORES DEFINIDAS EN V N(K)

estrictas sus componentes (las alfas no están entre paréntesis, es decir, notienen por qué estar ordenadas). Aprovechando las hemisimetrías podemosescribir,(e�1 ^ ::: ^ e�p) = �(j1��jp)�1��p (e(j1) ^ ::: ^ e(jp))) e0(i1) ^ ::: ^ e

0(ip)

=

��a

(j1)(i1)

� � � a(jp)

(i1)...

. . ....

a(j1)

(ip) � � � a(jp)

(ip)

�� (e(j1) ^ ::: ^ e(jp)), que ya tiene la base adecuada.Luego,

(e�1 ^ ::: ^ e�p) =

��a

(j1)(i1)

� � � a(jp)

(i1)...

. . ....

a(j1)

(ip) � � � a(jp)

(ip)

�� (e(j1) ^ ::: ^ e(jp)) (9.1)

(B) Para las componentes hemos de relacionar t(�1��p) con t0(i1��ip). Unaforma de hacerlo es sustituyendo directamente el cambio de base:En la base ei tenemos que T = t(�1��p)(e�1 ^ ::: ^ e�p):En la base e0i, T = t

0(i1��ip)e0(i1) ^ ::: ^ e0(ip)=

t0(i1��ip)

��a

(�1)(i1)

� � � a(�p)

(i1)...

. . ....

a(�1)

(ip) � � � a(�p)

(ip)

�� (e�1 ^ ::: ^ e�p) =t0(i1��ip) jApj (e�1 ^ ::: ^ e�p)))

t0(i1��ip) = jApj�1 t(�1��p): (9.2)

Otra forma es hacer el cambio directo de componentes:t0(i1��ip) = b

( i1)�1 � � � b (ip)

�p t�1��p = b( i1)�1 � � � b (ip)

�p ��1:::�p(j1��jp)t

(j1��jp) = jApj�1 t(j1��jp):Hayque hacer constar que jApj es un menor del determinante total de cambio debase jAj. Es decir, sólo cuando p = n) t01��n = jAj t1��n

9.3. Producto exterior de funciones lineales

(vectores de V �n)

9.3.1. De�nición:

Es un tensor f 1 ^ � � � ^ fp = �1��p�1��p(f�1 � � � f�p), con p � n.

9.4. ALGEBRAEXTERIORHOMOGÉNEA, COVARIANTE, DEORDENP.55

9.3.2. Naturaleza:

f 1 ^ � � � ^ fp 2 (V �n)p es un tensor totalmente covariante, homogéneo, deorden p.

9.3.3. Hemisimetrías:

f 1^� � �^fp es un tensor totalmente hemisimétrico, con hemisimetría especialdada por:f 1 ^ � � � ^ fp = �i1��ip�1��pf

�1i1: : : f

�pip(e�i1 � � � e�ip) = ti1��ip(e�i1 � � � e�ip),

donde ti1��ip = �i1��ip�1��pf�1i1: : : f

�pipes totalmente hemisimétrico, dadas las

propiedades de la � de Kronecker generalizada.

9.4. Algebra exterior homogénea, covariante,de orden p.

(Algebra exterior homogénea, covariante, de orden p, V �(p)n o ��(p)n de�nidaen V ).


Es el conjunto de tensores homogéneos, de orden p, totalmente covariantes ytotalmente hemisimétricos como el f 1^� � �^fp: V �(p)n forma espacio vectorial.

9.4.2. Base de V �(p)n asociada a ei :

Es e�(i1) ^ � � � ^ e�(ip), de forma que8T 2 V �(p)n ) T = t(i1��ip)(e

�(i1) ^ � � � ^ e�(ip))

9.4.3. Caso p = n:

Cuando el número de índices que entran en el producto exterior coincide conla dimensión del espacio, sólo existe una ordenación linealmente independi-ente. Es decir, sólo hay un elemento en la base del álgebra exterior, de modoque 8T 2 V �(n)n ) T = t1��ne

�1 ^ � � � ^ e�n y t01��n = jAj t1��n, es un tensorcomodular, de orden 0, es decir, un escalar comodular.


9.4.4. Cambio de base y componentes en V �(p)n :

(e0�(i1) ^ � � � ^ e0�(ip)) =

��b

(i1)(�1)

� � � b(ip)

(�1)...

. . ....

b(i1)

(�p)� � � b

(ip)

(�p)

�� (e�(�1) ^ � � � ^ e�(�p)) (9.3)

=)

t0(i1��ip) =

��a

(�1)(i1)

� � � a(�p)

(i1)...

. . ....

a(�1)

(ip)� � � a

(�p)

(ip)

�� t(�1��p): (9.4)

9.5. Producto exterior de tensores.


Dados T1 2 V (p)n ; T2 2 V (q)n ; T3 2 V (r)n se de�ne como producto exteriorde dichos tensores a:T1 ^ T2 ^ T3 = t(�1��p)1 � t(�1��q)2 � t( 1�� r)3

�(e�1 ^ ::: ^ e�p ^ e�1 ^ ::: ^ e�q ^ e 1 ^ ::: ^ e r) 2 V(p+q+r)n

Problema 20.Dado un V n(K), estudiar si los espacios L[V n;V n]; L[V n;V �n]; L[V �n;V �n]; L[V �n;V n]

son isomorfos canónicos con los espacios de tensores de segundo orden de�nidosen V n:

Problema 21.Las componentes en una base ei de V n(R) de un tensor A covariante de

segundo orden veri�can la relación Baij+Caji = 0, 8i; j 2 In, con B;C 2 R.¿Tiene carácter intrínseco la relación?¿Se deduce alguna peculiaridad paraA?.Problema 22.Sea T un tensor homogéneo contra-cova-cova-contravariante, de�nido en

V 2(R), hemisimétrico en los índices (1 y 4) y (2 y 3).1) Calcular C25;36[T x1 x2], con x1; x2 2 V 2(R), en función de x1 ^ x2:2) Naturaleza tensorial de una componente cualquiera de T .

9.6. SISTEMA DE COMPONENTES �P Y " EN V N(K). 57

3) En una base cualquiera ei, dada t1 221 = 5, ordenar matricialmente las

ti ljk :

Problema 23.Un sistema de índices varía de 1 a n. Se da la matriz A = a j

i , regular,de tal forma que:

U(i1��ip) =

��a j1i1

� � � ajp

i1...

. . ....

a j1ip

� � � ajp

ip

�� t(j1��jp). Despejar t(j1��jp) a partir de U(i1��ip).

9.6. Sistema de componentes �p y " en V n(k).


Con el �n de utilizar una notación mas abreviada es común recurrir a lanotación siguiente:�p = �

j1��jpi1��ip en una base ei, o �

0j1��jpi1��ip en una base e

0i:

" = "(i1 � � � in) = �1��ni1��in = �i1��in1��n que es invariante.

Existen C2p;p =�2pp

�tensores diferentes del tipo �p, con naturalezas

tensoriales diferentes, según el orden de los super y subíndices. Es decir,aunque no es costumbre en este caso ordenar los índices, existen tanto � j1��jp

i1��ipcomo �j1��jp i1��ip y las posible variantes.Por su parte " tiene naturaleza tensorial de orden n, totalmente con-

travariante, modular de peso 1. Existe la versión totalmente covariante,que es modular de peso -1. Estas dos últimas características pueden com-probarse mediante un cambio de base. Para el primer caso, como p = n,i1 � � � in = 1; � � � ; n: Entonces,"0�1��n = a �1

1 � � � a �nn b

�1j1b

�njn

�j1��jn�1��n =

jAj b �1j1b

�njn

"j1��jn ; ya que a �11 � � � a �n

n �j1��jn�1��n = jAj.

Problema 24.En V 3(R) nos dan los vectores sigientes:

x1 = e1 + e3x2 = e1 � e2x3 = 2e1 + e2 + e3Calcular:


1) Componentes de x1 ^ x2 en base de V (2)3 :2) Componentes de x1 ^ x2 en base de (V3)2:3) Componentes de x1 ^ x2 ^ x3 en base de V (3)3 :4) Componentes de x1 ^ x2 ^ x3 en base de (V3)3:

Problema 25.Dado un V 4(R) donde se de�ne un tensor T = tijk(e

�i e�j e�k) decomponentes0BB@

0 0 0 00 0 2 40 �2 0 50 �4 5 0

1CCA0BB@0 0 �2 �40 0 0 02 0 0 �24 0 2 0

1CCA0BB@0 2 0 5�2 0 0 20 0 0 0�5 �2 0 0

1CCA0BB@0 4 �5 0�4 0 �2 05 2 0 00 0 0 0

1CCA

:

1) Expresar T como combinación lineal de productos exteriores.2) Expresar T como producto exterior. Expresión general de T .

Capítulo 10

ESPACIOS PRE-EUCLÍDEOSY EUCLÍDEOS

10.1. De�nición de producto escalar.

Un espacio vectorial pre-euclídeo (o euclideano) En es un V n(R) en el quese de�ne una aplicación g : V n � V n ! R, bilineal, simétrica y regular, detal forma que, para un par de vectores x; y 2 V n � V n ! g(x; y) = x � y 2 Rse ha de satisfacer que1) Bilinealidad: (�ixi) � (�jyj) = �i�j(xi � yj)2) Simetría: x � y = y � x3) Regularidad: Si 8x 2 V n; x � y = 0 ) y = 0. Es decir, el único vectorortogonal a todos los del espacio es el vector nulo.Esta aplicación se denomina producto escalar. Un espacio euclídeo En esun pre-euclídeo en el que se exige que 8x 2 En ) x �x > 0, excepto si x = 0:Es decir, la norma ha de ser positiva. En consecuencia, la positividad dela norma implica la regularidad.

10.2. Ortogonalidad.

1) x; y 2 En son ortogonales , x � y = 0:2) fx1; � � �xpg forma un sistema ortogonal, (8i; j 2 In e i 6= j ) xi �xj = 0).En los sitemas vectoriales anteriores no se considera el 0.

59

60 CAPÍTULO 10. ESPACIOS PRE-EUCLÍDEOS Y EUCLÍDEOS

3) Dos subespacios S1 y S2 son ortogonales si todo vector de uno de ellos esortogonal a todos los del otro.

4) El complemento ortogonal Sn de un subespacio S � En es el subconjuntode vectores de En ortogonales a todos los vectores de S: Sn es espacio vectorial.Sin embargo, Sn no es suplementario de S en En, pero sí lo es en En.

10.3. Propiedades que no cumple el productoescalar.

1) No es asociativo: (a � b) � c 6= a � (b � c).2) No es cancelativo: a � b = a � c; b = c a no ser que la igualdad sea 8a:

10.4. Matriz de Gramm de un sistema de vec-tores.


En un espacio En se llama matriz de Gramm de (x1; � � �xp) a:

G =

0B@ x1 � x1 � � � x1 � xp...

. . ....

xp � x1 � � � xp � xp

1CA : El grammiano es el determinante de G =�(x1; � � �xp) = jGxj :

10.4.2. Propiedades:

-G es simétrica de dimensión p� p:-Si (x1; � � �xp) es un sistema ortogonal ) G es diagonal.-Si (x1; � � �xp) es linealmente independiente ) G es regular.-En espacios euclídeos, �(x1; � � �xp) � 0, y G está de�nida positiva.

10.5. NORMA Y MÓDULO DE UN VECTOR. 61

10.5. Norma y módulo de un vector.

1) Norma de un vector: 8x 2 En; N(x) = x � x, que puede ser mayor, igual omenor que cero. La norma sólo está de�nida positiva en los espacios euclídeos.

2) Módulo de un vector: 8x 2 En, jxj = +pN(x):

10.6. Sistemas equivalentes de vectores en V n(K).

Dos sistemas fx1; � � �xpg y fy1; � � � ypg son equivalentes si [x1] = [y1], [x1�x2] =[y1 � y2], etc.

10.7. Expresión analítica del producto escalar.

Sea la aplicación g : En � En ! R = 8 (x; y) 2 En � En, de modo que

x � y = (xiei)(yjej) = xiyjei � ej = gijxiyj = xi G�yj : (10.1)

A gijxiyj se le denomina forma bilineal fundamental de En en forma

contravariante, en la base ei:

10.8. Condiciones de Gei:

En En; Gei es simétrica en R, n� n: Además, es regular.EnEn,Gei además de simétrica ha de estar de�nida positiva, es decir,N(x) =gijx

iyj � 0.Como podemos observar, es norma general llamar a g�!e i�!e j = gij. Así, deahora en adelante gij sólo corresponderá al producto escalar de vectores delas bases, gij = ei � ej:

10.9. Cambio de base para Gei:

Dado el cambio de base e0i = a�

i e�, como g0ij = e0i � e0j = a �

i a �j :e� � e� =

a �i a �

j g�� )G0ei = AGeiA

T (10.2)


Este tipo de cambio de base recibe el nombre de transformación congru-ente.

10.10. Coordenadas covariantes en En:Las coordenadas covariantes de un vector x en una base ei de En son unconjunto n de números reales tales que xi = x � ei: En consecuencia, xi =(xjej) � ei = gijx

j que, en forma matricial será fxig = Geifxjg: De estasexpresiones se deduce que xj = gjixi:

10.11. Base recíproca.

Se llama base recíproca ei de la base ei a la que veri�ca ei � ej = �i j: Siei = �ijej y ei � e� = �i � ) (�ijej):e� = �i � = �ijgj� ) �ij = �i �g

�j =gij ) ei = gijej, o bien,

feig = G�1ei fejg: (10.3)

Si de�nimos Gei = gij = ei � ej = (gi�e�) � (gj�e�) =

= gi�gj�g�� = gi��j� = g

ij )

Gei =�Gei��1

: (10.4)

La base recíproca de la recíproca coincide con la base original de partida.En sistemas ortonormales y sólo en En, feig = G�1ei fejg = feig: Es el casode los sitemas cartesianos ortonormales y, como veremos, de los sistemasnaturales.

10.11.1. Propiedad fundamental

Las coordenadas covariantes de un vector en una base determinada son lascontravariantes en la base recíproca. En efecto, sea x 2 En: Entonces,

x = xjej = gjixiei = xie

i: (10.5)

10.12. EXPRESIONES DEL PRODUCTO ESCALAR EN EN : 63

10.12. Expresiones del producto escalar enEn:

Aprovechando la propiedad fundamental podemos escribir que:x � y = (xiei) � (yjej) = gijxiyj = kxikGei fyjgx � y = (xiei) � (yjej) = gijxiyj = kxikG�1ei fyjgx � y = (xiei) � (yjej) = �jixiyj = xiyix � y = (xiei) � (yjej) = �ijxiyj = xiyj

10.13. Cambio de base recíproca y de coor-denadas covariantes en En:

Dado el cambio de base e0i = a�

i e� y sabiendo que G0ei = AGeiAT , podemos

ver que:fe0ig = (AT )�1G�1A�1AGfe�g = fe0ig(AT )�1fe�g )

e0i = b i� e

�; (10.6)

x = x0ie0i = x0ib

i�e� )

x0i = a�

i x�: (10.7)

10.14. Producto vectorial, producto mixto.

Se de�ne como producto vectorial de dos vectores a:

x1 � x2 =pg

��e1 e2 e3

x11 x21 x31x12 x22 x32

�� = 1pg

��e1 e2 e3x11 x12 x13x21 x22 x23

�� : (10.8)


Se de�ne como producto mixto de tres vectores a:

[x1; x2; x3] =pg

��x11 x21 x31x12 x22 x32x13 x23 x33

�� ==

1pg

��x11 x12 x13x21 x22 x23x31 x32 x33

�� (10.9)

:El volumen de un paralepípedo viene dado por:V (x1; x2; x3) =

p�(x1; x2; x3) = j[x1; x2; x3]j :

El área de un paralelogramo viene dada por:A(x1; x2) =

p�(x1; x2) = jx1 � x2j :

10.14. PRODUCTO VECTORIAL, PRODUCTO MIXTO. 65

Capítulo 11

DUALIDAD EN UN En

11.1. Dualidad normal E�n � En.Dado que la base ei 2 En se transforma en los cambios de base de la misma

forma que la base e�i 2 E�n, se dice que En y E�n son isomorfos naturales. Enconsecuencia, En � E�n y ei = e�i. Esta propiedad va a ser de gran importanciaen Física, por poderse trabajar indistintamente con un espacio determinadoo con su dual.

11.2. Dualidad generalizada en espacios vec-

toriales.

Dos espacios vectoriales U(K) y V (K) son duales, con dualidad gener-alizada, si existe una aplicación g : U � V ! K = 8u 2 U y 8v 2 V )g(u; v) = u � v, siendo g bilineal y regular. Es decir, se han de cumplir laspropiedades siguientes:1) Bilinealidad: (�u) � (�v) = ��(u � v):2) Regularidad por la izquierda: Si (8u 2 U; u � v = 0K), v = 0V :3) Regularidad por la derecha: Si (8v 2 V; u � v = 0K), u = 0U :En consecuencia,1) Si U(K) y V (K) son de dimensión �nita y son duales entre sí, ambostienen igual dimensión.2) Para dos espacios de dimensión �nita, con bases ei; �j, la matriz Gei�j =ei � �j es regular.

67

68 CAPÍTULO 11. DUALIDAD EN UN EN

3) Dos espacios vectoriales de dimensión �nita, e igual para ambos, sonduales.

11.3. Tensores modulares.

Los tensores modulares en En se de�nen y funcionan exactamente igualque en V n:Un tensor preeuclídeo se llama isotrópico si sus componentes de una ciertaespecie son iguales en cualquier base. Un caso de este tipo es �p.

11.4. Simetrías y hemisimetrías de un tensorpreeuclídeo.

Un tensor preeuclídeo se llama simétrico o hemisimétrico en un grupo deíndices si, en una base ei, las componentes correspondientes a esos índices,que han de estar a igual altura, son simétricas o hemisimétricas.

Consecuencias:1) Al igual que en V n, dentro de la especie determinada por los índices, seconserva la simetría y hemisimetría al cambiar de base.2) Además, todas las especies de componentes que tengan esos índices a igualaltura también son simétricas o hemisimétricas.Ejemplo:

Sea T 2 (En)3, con componentes, en la base ei, tijk, hemisimétricas en losíndices i:j. Según la segunda consecuencia, t j

i k también son hemisimétricasen i; j:t ji k = gi�gk t

�j , hemisimétricas estas últimas, por el enunciado, en �; :t jk i = gk�gi t

�j = �gk�gi t j� = �t ji k, como queríamos demostrar.

Propiedad:La contracción de un tensor pre-euclídeo en dos índices hemisimétricos es eltensor nulo. Recordemos que la contracción de un tensor preeucídeo en dosíndices es otro tensor preeuclídeo si las especies de componentes contraídastienen los índices a distinta altura. Por esta razón, para poder contraer espreciso cambiar de altura uno de los índices en los que las componentes sonhemisimétricas.Ejemplo:

11.5. TENSORES PREEUCLÍDEOS DE SEGUNDOORDENPARTICULARES ENEN .69

Sea, en En, el tensor T = tijk(eiejek), hemisimétrico en i; j. Contrayendo

estos índices,C12[T ] = t

��ke

k = 0, puesto que g��t��

k = 0K : Sin embargo, t��K 6= 0K .

11.5. Tensores preeuclídeos de segundo ordenparticulares en En.

11.5.1. Tensor regular:

Es aquel que tiene la matriz de componentes regular en alguna base. Siesto ocurre, la matriz de componentes es regular para cualquier especie ybase:Si (t j

i ) es regular ) (t0 ji ) = A(t �

� )A�1 también es regular.Si (t j

i ) es regular ) tij = gj�t�

i ) (tij) = (t�

i )G también es regular.

11.5.2. Tensor conjugado o traspuesto de un tensor T

Es el tensor euclídeo T c 0 8ei, cuya la matriz de componentes cova-covariantes es la traspuesta de la matriz de las componentes cova-covariantesde T: Es decir, (t0ij ) = A(t��)A

T ) (t0ij )T = A(t��)

TAT : En consecuencia,se veri�ca que:

componentes de T

8>><>>:(tij )) (tcij ) = (tij )

T

(tij)) (tcij) = (tij)T

(t ji )) (tc j

i ) = (ti j)T

(ti j)) (tci j) = (tj

i )T

9>>=>>; componentes de T c:

11.5.3. Tensor recíproco o inverso TR de un tensor T 2En En, regular.

Es el tensor preeuclídeo TR 0 8ei, y la matriz de sus componentescova-contravariantes es la inversa de la matriz de las componentes cova-contravariantes de T . Por lo tanto,(t0 ji ) = A(t �

� )A�1 ) (t0 ji )�1 = A(t �

� )�1A�1: En consecuencia, tendremos


que para las componentes de un T regular

8>><>>:(t ji )) (tR j

i ) = (t ji )

�1

(tji)) (tRj i) = (tji)�1

(t ij)) (tRij) = (tij)�1

(tij)) (tRij) = (tij)�1

9>>=>>;componentesde TR:

Problema 26.Dado un V 4(R) y el tensor T = tij(ei ej), de componentes

tij =

��0 0 1 00 0 0 �3�1 0 0 00 3 0 0

��y el vector x = e1 � 3e2 + e4, calcular:1) U = T ^ x2) Lu de�nida como el conjunto de vectore de V 4(R) tales que U ^ x = ,siendo el tesor nulo.3) Descomponer U en producto exterior de tensores.Problema 27.

Sea un V 4(R). Se introduce una conexión medianteGei =

0BB@�1 1 0 01 1 0 �10 0 1 00 �1 0 1

1CCA :1) Clasi�car la conexión. ¿Cuál es el índice del espacio?.

2) Clasi�car los subespacios S1 � [(1101)(0010)(0001)] y S2 ��x2 � x4 = 0x3 = 0

:

3) Buscar los complementos ortogonales de S1 y S2. ¿Son suplementarios deS1 y S2, respectivamente?.4) Sea x = e1 + 2e4: Buscar la proyección ortogonal de x sobre S1 y S2.5) Buscar la base recíproca de e1.

Problema 28.

Sea E3, con la métrica Gei =

0@ 1 0 10 1 01 0 2

1A : Se da el cambio de base(e0i) =

0@ 1 0 10 1 00 0 1

1A (ei).1) Clasi�car E3.2) Buscar la base recíproca de ei en función de e0i.


3) Buscar la base recíproca de e0i en función de la recíproca de ei:4) Buscar la base recíproca de e0i en función de ei:5) Buscar la base ortogonal de E3 en función de ei:6) Buscar la base ortonormal de E3 en función de ei y e0i:7) Poner en forma covariante al vector x = e1 � 2e3 en las bases ei y e0i:Problema 29.

Sea E2, con la métricaGei =�1 11 2

�. Se da el tensor euclídeo, de cuarto

orden, cova-contra-cova-contravariante, de componentes en la base ei :

t j li k =

0BB@�0 00 2

� �0 �20 0

��

0 0�2 0

� �2 00 0

�1CCA y el cambio de base

e01 = e1 � e2e02 = e1

:

1) Buscar las simetrías y hemisimetrías de T .2) Relacionar T con el tensor �. ¿Es T isotrópico?.3) Buscar los tensores procedentes de las contracciones simples y dobles deT .

Problema 30.

Dada la métrica Gei =

0@ 2 1 11 1 11 1 2

1A, estudiar si existen tensores eu-clídeos hemisimétricos de segundo orden, distintos del tensor nulo, cuyascomponentes mixtas en la base ei sean hemisimétricas. Hacer lo mismo paralas simetrías. ?�Es general el resultado obtenido?.

Problema 31.Sea En, euclídeo y el sistema v1; � � � ; vn 2 En. Se foema la matriz M

cuyas �las 1; 2; � � � ; n son las coordenadas contravariantes de los vectoresv1; � � � ; vn. Se pide:1) Naturaleza tensorial de los cofactores de una �la cualquiera de M .2) Si v1; � � � ; vn forman base, buscar las coordenadas covariantes de la baserecíproca en función de los cofactores anteriores.

Problema 32.Sea T un bivector de V n(K), es decir, un tensor antisimétrico dos veces

contravariante.1) Mostrar que si T es descomponible en un producto de dos vectores, elsistema de ecuaciones lineales S, dado por T ij � xk + T jkxi + T kixj = 0,admite solución no nula.


2) Recíprocamente, si S admite solución no nula para xi, demostrar queexiste un vector y 0 T ij = xiyj � xjyi. Se puede, mediante un cambio decomponentes, considerar a x como el primer vector de la base.3) Deducir que un bivector de R4 es descomponible si y sólo si sus compo-nentes veri�can T 12T 34 + T 23T 14 + T 31T 24 = 0.

Capítulo 12

ÁLGEBRA EXTERIOR ENESPACIOS EUCLÍDEOS

12.1. Producto exterior de p vectores x1; � � � ; xp 2En:

Es el tensor pre-euclídeo, de orden p en En; x1 ^ � � � ^ xp = ��1��p1��p (x�1 � � � x�p): El producto exterior tiene por componentes x1 ^ � � � ^ xp =��1��p1��p x i1

�1� � �x ip

�p (ei1 � � � eip)) componentes de

ti1��ip =

��x i11 � � � x

ip1

.... . .

...x i1p � � � x

ipp

�� (12.1)

x1 ^ � � � ^ xp = �1��p�1��px�1ii � � �x�pip(ei1 � � � eip)) de componentes

ti1��ip =

��x1i1 � � � x1ip...

. . ....

xpi1 � � � xpip

�� : (12.2)

x1^� � �^xp es un tensor totalmente hemisimétrico, con hemisimería especial.

75

76 CAPÍTULO 12. ÁLGEBRA EXTERIOR EN ESPACIOS EUCLÍDEOS

12.2. Álgebra exterior V (p)n de�nida en En:p

1) Es el conjunto de tensores preeuclídeos de orden p, totalmente hemisimétri-cos, de�nidos en En siendo x1 ^ � � � ^ xp un ejemplo típico.

2) V (p)n es espacio vectorial, subespacio de (En)p =pEn.

3) Las bases de V (p)n asociadas a ei son�(e(i1) ^ � � � ^ e(ip))(e(i1) ^ � � � ^ e(ip)) , tales que, 8T 2

V(p)n , T =

�t(i1��ip)(e(i1) ^ � � � ^ e(ip))t(i1��ip)(e

(i1) ^ � � � ^ e(ip)) .

4) Relación entre ambos tipos de bases y componentes :(e(i1) ^ � � � ^ e(ip)) = g(i1)�1 � � � g(ip)�p(e�1 ^ � � � ^ e�p) =��

g(i1)(j1) � � � g(i1)(jp)...

. . ....

g(ip)(j1) � � � g(ip)(jp)

�� (e(j1) ^ � � � ^ e(jp)).t(i1��ip) = g(i1)�1 � � � g(ip)�pt�1��p (siendo t�1��p totalmente hemisimétrico) =��

g(i1)(j1) � � � g(i1)(jp)

.... . .

...g(ip)(j1) � � � g(ip)(jp)

��.5) Si p = n) t1��n = g�1t1��n:

12.3. Espacio vectorial orientado V n(K):

En V n(K), se dice que dos bases ei y e0i tienen igual orientación si el deter-minante de la matriz de cambio de base es positiva (jAj > 0). La orientaciónes una relación de equivalencia, por lo que establece una partición en clasesde equivalencia. Sólo existen dos clases.V n(K) está orientado si sólo se consideran bases de igual orientación.

12.4. Tensores g;1

g;+pjgj; 1

+pjgj; �;�p; " de�nidos

en un En:Los tensores �p; " son isotrópicos por de�nición.

12.4. TENSORES G;1

G;+pjGj; 1

+pjGj; �;�P; " DEFINIDOS EN UN EN :77

12.4.1. Naturalezas tensoriales:

1) g se transforma como G0 = AGAT ) g0 = jAj2 g ) naturaleza tenensorialmodular, de orden 0, peso 2.

2)1

gse transforma como

1

g0= jAj�2 1

g) naturaleza tensorial modular, orden

0, peso -2.

3) +pjgj ) +

pjg0j = jAj

�+pjgj�) naturaleza tensorial modular, de

orden 0, peso 1 (Solo para En orientado).4) 1

+pjgj) 1

+pjg0jjAj�1 1

+pjgj) naturaleza tensorial modular, orden 0, peso

-1.

5) � ) 8ei : son las constantes �i1:::in = +pjgj"i1:::in ) naturaleza tensorial

homogénea ) preeuclideo de orden n.

6) �i1:::in = gi1�1 :::gin�n +pjgj"�1:::�n =

= +pjgj�i1:::in�1:::�n

� g�11:::g�nn = 1

+pjgj"i1:::in :

+pjgj solo se de�ne en espacios vectoriales orientados.

� se llama tensor de permutación u orientación. Es totalmente hemisimétrico:� 2 V (n)n )

�

(�1:::n e1 ^ ::: ^ en = 1

+pjgje1 ^ ::: ^ en

�1:::n e1 ^ ::: ^ en = +

pjgj e1 ^ ::: ^ en

: (12.3)

12.4.2. Tensor adjunto TA = adj(T ) de un tensor T 2

V(p)n en un En:

De�nición:

Se de�ne como tensor adjunto del tensor T al tensorTA =

1p!C1;n+1

...p;n+p

[� T ], es decir, sus componentes serán:

TA =

8><>:1p!�i1��int

i1��ip(eip+1 � � � ein)1p!�i1��inti1��ip(eip+1 � � � ein)

1p!�i1 i2��int

i2��ipi1

(eip+1 eip+2 � � � ein)2 V (n�p)n : (12.4)


Consecuencias:

Como ti1��ip|{z}H

��irU

Hz }| {i1 � � � ip��jp+1��js = p!t(i1��ip)��irU (i1��ir)��js , tendremos que,

TA =

��(i1��ip)ip+1��int

(i1��ip)(eip+1 � � � ein)�(i1��ip)ip+1��int(i1��ip)(eip+1 � � � ein)

, o, también,

TA =

��(i1��ip)(ip+1��in)t

(i1��ip)(e(ip+1) � � � e(in))�(i1��ip)(ip+1��in)t(i1��ip)(e(ip+1) � � � e(in))

:

Propiedades:

1a (TA)A = (�1)p(n�p)T2a T1; T2 2 V (p)n ) (T1 = T2 , adjT1 = adjT2)

3a T1; T2; T3 2 V (p)n ) [(�T1 + �T2 + T3)A = �(T1)A + �(T2)A + (T3)A]:

12.5. Tensor adjunto del producto exterior(x1 ^ � � � ^ xp)A:

Es el tensor T = (x1 ^ � � � ^ xp)A =

= �(i1��ip)ip+1��in

��x(i1)1 � � � x

(ip)1

.... . .

...x(i1)p � � � x

(ip)p

�� (eip+1 � � � ein) ==pg"

��x(i1)1 � � � x

(ip)1

.... . .

...x(i1)p � � � x

(ip)p

�� (eip+1� � �ein) =pg"t(i1��ip)(eip+1� � �ein) =

pg�1��n(i1��ip)ip+1��int

(i1��ip)(eip+1 � � � ein) =�(i1��in)�1��p x

�11 � � � � � x �p

p )

T = (x1 ^ � � � ^ xp)A = C1;n+1...

p;n+p

(� x1 � � � xp): (12.5)

12.6. PRODUCTO VECTORIAL Y MIXTO EN EN : 79

12.6. Producto vectorial y mixto en En:12.6.1. Producto vectorial:

Es un vector v 2 En, que se de�ne como:v = x1 � � � � � xn�1 = (x1 ^ � � � ^ xn�1)A =

=

��i1��inx

j11 � � �x in�1

n�1 ein

�i1��inx1;i1 � � �xn�1;in�1ein)

v = +pg

��x 11 � � � x n

1...

. . ....

x 1n�1 � � � x n

n�1e1 � � � en

�� =

= +1pg

��x11 � � � x1n...

. . ....

xn�1;1 � � � xn�1;ne1 � � � en

�� : (12.6)

12.6.2. Producto mixto:

Es un escalar intrínseco u 2 R, que se de�ne como:

u = [x1 � � �xn] = (x1 ^ � � � ^ xn)A =��i1��inx

j11 � � �x in

n�1�i1��inx1;i1 � � �xn;in

)

u = +pg

��x 11 � � � x n

1...

. . ....

x 1n � � � x n

n

�� == +

1pg

��x11 � � � x1n...

. . ....

xn1 � � � xnn

�� : (12.7)

Capítulo 13

Bibliografía:

1. Lichnerowicz, A.: Elementos de cálculo tensorial, Aguilar (1972). A pesarde su relativa antigüedad sigue considerándose como la base imprescindibledel cálculo tensorial. Lo cierto es que el cálculo tensorial no ha variado mucho,a nivel docente, desde el pasado siglo.2. Levi-Civita, T.: Der absolute Di¤erentialkakül, Springer (1928). Librohistórico para los adeptos e iniciados.3. Cartan, E.: Leçons sur la géometrie des espaces de Riemann, Gauthier-Villars (1946). Es otro libro histórico, bastante claro e interesante.4. Lawden, D.F.: An introduction to tensor calculus, relativity and cosmology,Wiley (1986). Aunque más moderno que los anteriores está enfocado a larelatividad general.5. Anderson, J. L.: Principles of relativity physics, Academic Press (1967).Al igual que el anterior, se centra en la relatividad general.6. González de Posada, F.: Problemas de análisis tensorial, Copygraph (1972).Los problemas que incluímos en nuestros apuntes han sido extraídos de estetexto. Contiene una rica colección de problemas con sus soluciones.

81

møtodos para la física. i. introducción al cælculo tensorial · pdf...

Documents