ms2011 modul 3 pemrograman linier metode simpleks1

Modul 3 PEMROGRAMAN LINIER METODE SIMPLEKSDalam menggunakan metode simpleks, hal yang perlu diperhatikan adalah mengonversi constraint yang masih dalam bentuk pertidaksamaan menjadi persamaan menggunakan bantuan variabel slack. Dan nilai di sisi kanan harus non negatif. Dalam constraint yang menggunakan tanda dapat dipikirkan merupakan representasi batas ketersediaan sumber daya, dimana sisi kiri adalah representasi penggunaan sumber daya oleh aktivitas (variabel) model. Perbedaan antara sisi kanan dan sisi kiri tanda merupakan sejumlah sumber daya yang belum digunakan atau slack. Langkah-langkah awal sebelum menggunakan metode simpleks :

6x1 + 4x2 24

Definisikan s1 sebagai variabel slack dari M1, maka constraint dapat dikonversi menjadi : 6x1 + 4x2 + s1 = 24, s1 0

Selanjutnya, untuk constraint dengan tanda , menyatakan batas terendah aktivitas model program linear, sehingga jumlah yang dinyatakan disisi kiri melewati batas minimal yang direpresentasikan sebagai surplus. Konversi dari ke = dicapai dengan mengurangi dengan variabel surplus non negatif dari sisi kiri pertidaksamaan. Misalnya, dalam kasus Ozark Farm, constraint yang menyatakan kebutuhan makanan : x1 + x2 800 Definisikan r1 sebagai variabel surplus, constraint dapat dikonversi menjadi persamaan berikut : x1 + x2 - r1 = 800, r1 0 Sedangkan untuk kasus dimana sisi kanan constraint bernilai negatif, maka harus dilakukan perkalian kedua sisi dengan -1 setelah langkah diatas dilakukan. Misalnya constraint : 17

Ek M o Te an Pra kn aje se ik me ty In n o fo S rm ai at ns ik a U M

G

Untuk mengonversi pertidaksamaan () menjadi persamaan, sebuah variabel slack nonnegative ditambahkan pada sisi kiri constraint. Misalnya pada kasus Reddy Mikks, constraint yang menyatakan penggunakan bahan baku M1 diberikan oleh :

20

11

1. Mengonversi pertidaksamaan ( atau ) menjadi persamaan

-x1 + x2 -3 Maka bentuk persamaannya menjadi : -x1 + x2 + r1 = -3, r1 0 Selanjutnya kedua sisi dikalikan dengan -1, sehingga sisi kanan bernilai positif : x1 - x2 - r1 = 3 2. Menambahkan variabel slack ke fungsi tujuan dengan koefisien nol Pada kasus model Reddy Mikks, fungsi tujuan Z = 5x1 + 4x2 dengan 4 variabel slack menjadi Z = 5x1 + 4x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 + 0s4. 3. Memindahkan komponen sisi kanan fungsi tujuan ke sisi kanan Pada kasus model Reddy Mikks, fungsi tujuan Z = 5x1 + 4x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 + 0s4 menjadi Z - 5x1 - 4x2 - 0s1 - 0s2 - 0s3 - 0s4 = 0. Dalam menyelesaikan kasus pemrograman linier, metode simpleks memberikan langkahlangkah penyelesaian sebagai berikut :

2. Memilih variabel masuk menggunakan syarat keoptimalan. Berhenti jika tidak ada lagi variabel masuk, solusi terakhir adalah solusi optimal. Jika tidak maka ke langkah 3. 3. Memilih variabel keluar menggunakan syarat kelayakan.

4. Menentukan solusi dasar yang baru menggunakan perhitungan Gauss-Jordan. Kembali ke langkah 2. Syarat keoptimalan (optimality condition). Variabel masuk dalam kasus pemaksimalan (peminimalan) adalah variabel nonbasis yang mempunyai koefisien negatif terbesar (pemaksimalan) atau positif terbesar (peminimalan) dalam baris z-row. Syarat optimal dicapai pada iterasi dimana semua koefisien z-row dari variabel nonbasis tidak negatif (pemaksimalan) atau tidak positif (peminimalan) Syarat kelayakan (feasibility condition). Untuk kedua masalah pemaksimalan dan peminimalan, variabel keluar adalah variabel basis yang dikaitkan dengan rasio non negatif terkecil. Operasi baris Gauss-Jordan : 1. Menentukan baris kunci : a. Gantilah variabel keluar dalam kolom basis dengan variabel masuk 18


1. Menentukan awal basis solusi layak

G

20

11

b. Baris kunci baru = Baris kunci elemen kunci 2. Mengganti nilai baris yang lain : Baris baru = Baris lama koefisien kolom kunci Baris kunci baru Variabel basis adalah variabel yang berkontribusi (mempunyai nilai) memberikan solusi yang diminta. Variabel nonbasis adalah variabel yang tidak berkontribusi (bernilai 0) dalam pemberian solusi. Inisialisasi dalam metode simpleks : 1. x1, x2, adalah variabel non basis 2. s1, s2, adalah variabel basis Dalam iterasi metode simpleks, satu persatu variabel slack akan berubah menjadi variabel non basis karena keluar dari solusi dasar (variabel keluar), dan variabel keputusan akan berubah menjadi variabel basis karena masuk ke basis solusi (variabel masuk).

3.1 Program Linier pada kasus memaksimalkan

Perusahaan Reddy Mikks memproduksi cat interior dan exterior dari dua bahan baku, M1 dan M2. Tabel dibawah ini adalah informasi mengenai kebutuhan bahan baku, ketersediaan, dan keuntungannya. Kebutuhan bahan baku (ton) M1 M2 6 1 4 2 24 6 Keuntungan (x1000) 5 4 Z

Produk Cat Ext Cat Int Kapasitas

Survey pasar menunjukkan bahwa kebutuhan perhari untuk cat interior tidak boleh melebihi cat exterior lebih dari 1 ton, juga kebutuhan harian maksimal untuk cat interior adalah 2 ton. Reddy Mikks ingin menentukan jumlah optimal (terbaik) produk antara cat interior dan exterior dengan memaksimalkan total keuntungan harian. Penyelesaian Model lengkap Reddy Mikks: Konversi model Reddy Mikks menjadi : Kendala : 19


Contoh 3-1

G

20

11

6x1 + 4x2 + s1 = 24 (bahan baku M1) x1 + 2x2 + s2 = 6 (bahan baku M2) -x1 + x2 + s3 = 1 (batas pasar) x2 + s4 = 2 (batas kebutuhan) x1, x2, s1, s2, s3, s4 0 Maksimalkan Z = 5x1 + 4x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 +0s4

(1) (2) (3) (4)

Variabel s1, s2, s3, dan s4 adalah variabel slack yang dikaitkan dengan constraint yang bersangkutan. Fungsi tujuan diubah menjadi : Z - 5x1 - 4x2 - 0s1 - 0s2 - 0s3 - 0s4 = 0 Tabel awal simpleks dapat dilihar sebagai berikut : Basis Z x1 x2 s1 s2 s3 s4 Solusi Z 1 -5 -4 0 0 0 0 0 z-row s1 0 6 4 1 0 0 0 24 s1-row s2 0 1 2 0 1 0 0 6 s2-row s3 0 -1 1 0 0 1 0 1 s3-row s4 0 0 1 0 0 0 1 2 s4-row Informasi dari tabel diatas adalah bahwa sejumlah variabel basis dan nonbasis telah dimasukkan pada awal iterasi. Iterasi awal simplekas dimulai pada titik (x1,x2) = (0,0) yang jika dikaitkan dengan himpunan variabel basis dan nonbasis adalah : Variabel nonbasis (nol) : {x1,x2} Variabel basis : {s1, s2, s3, s4}

Dengan mensubstitusikan variabel nonbasis (x1,x2) = (0,0) pada constraint dan fungsi tujuan maka variabel basis (s1, s2, s3, s4) didapatkan : Z=0

s1 = 24 s2 = 6 s3 = 1 s4 = 2

Informasi diatas ditunjukkan dalam tabel pada kolom Basis dan nilainya di kolom Solusi sebelah kanan. Perlu diingat bahwa variabel basis adalah variabel yang mempunyai hubungan dengan nilai fungsi tujuan Z. Sedangkan variabel nonbasis sellau bernilai nol (tidak ada dalam kolom Basis). 20


G

20

11

Solusi dari fungsi Z = 5x1 + 4x2 yang ditunjukkan oleh tabel dapat ditingkatkan dengan meningkatkan x1 dan x2. Untuk variabel yang akan masuk sebagai variabel basis dipilih nilai variabel nonbasis yang mempunyai nilai koefisien positif terbesar. Karena fungsi tujuan dalam tabel simpleks adalah Z 5x1 4x2 = 0, variabel masuk akan dikaitkan pada variabel dengan koefisien negatif terbesar dalam fungsi tujuan. Aturan ini disebut dengan syarat optimal. Mekanisme penentuan variabel keluar dari tabel simpleks dilakukan dengan menghitung rasio non negatif dari sisi kanan persamaan (kolom Solusi) pada koefisien constraint yang bersangkutan dengan variabel masuk seperti yang ditunjukkan dibawah ini : Basis s1 s2 s3 s4 Masuk Solusi Rasio x1 6 24 x1 = 24/6 = 4 minimal 1 6 x1 = 6/1 = 6 -1 1 x1 = 1/-1 = -1 (diabaikan) 0 2 x1 = 2/0 = (diabaikan) Kesimpulan : x1 masuk dan s1 keluar

Variabel nonbasis (nol) : {s1, x2} Variabel basis : {x1, s2, s3, s4}

Proses penukaran didasarkan pada operasi Gauss-Jordan. Operasi ini menjadikan kolom variabel masuk sebagai kolom kunci dan variabel keluar sebagai baris kunci. Elemen yang tepat menjadi anggota kolom kunci dan baris kunci disebut elemen kunci. Tabel akan diupdate berdasarkan baris dan kolom yang dihighlight. Masuk x1 -5 6 1 -1 0 Kolom kunci

Ek M o Te an Pra kn aje se ik me ty In n o fo S rm ai at ns ik a U MBasis Z s1 s2 s3 s4 Z 1 0 0 0 0 x2 -4 4 2 1 1 s1 0 1 0 0 0 s2 0 0 1 0 0 s3 0 0 0 1 0 s4 0 0 0 0 1 21

Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa rasio nonnegative minimal didapatkan pada variabel basis s1. Solusi yang baru didapatkan dengan menukar x1 sebagai variabel masuk (menjadi variabel basis) dengan s1 sebagai variabel keluar (menjadi variabel nonbasis). Sehingga himpunan variabel basis dan nonbasis menjadi :

Keluar

G

Solusi 0 24 6 1 2

20Baris kunci

11

Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru : 1. Baris kunci Ganti s1 pada kolom Basis dengan x1 Baris x1 baru = Baris s1 elemen kunci = [0 6 4 1 0 0 0 24] / 6 = [0 1 2/3 1/6 0 0 0 4] 2. Baris yang lain Baris z baru = Baris z (-5) Baris x1 baru = [1 -5 -4 0 0 0 0 0] (-5) [0 1 2/3 1/6 0 0 0 4]

= [0 1 2 0 1 0 0 6] (1) [0 1 2/3 1/6 0 0 0 4] = [0 1 2 0 1 0 0 6] [0 1 2/3 1/6 0 0 0 4] = [0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2]

Baris s3 baru = Baris s3 (-1) Baris x1 baru

= [0 -1 1 0 0 1 0 1] (-1) [0 1 2/3 1/6 0 0 0 4] = [0 -1 1 0 0 1 0 1] [0 -1 -2/3 -1/6 0 0 0 -4] = [0 0 5/3 1/6 0 1 0 5]

Baris s4 baru = Baris s4 (0) Baris x1 baru

= [0 0 1 0 0 0 1 2] (0) [0 1 2/3 1/6 0 0 0 4] = [0 0 1 0 0 0 1 2] [0 0 0 0 0 0 0 0] = [0 0 1 0 0 0 1 2] Solusi baru adalah (x1, s2, s3, s4) dan tabel simpleks berubah menjadi :

Ek M o Te an Pra kn aje se ik me ty In n o fo S rm ai at ns ik a U M22

G


20

= [1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20]

11

= [1 -5 -4 0 0 0 0 0] [0 -5 -10/3 -5/6 0 0 0 -20]

Basis Z x1 s2 s3 s4

Z 1 0 0 0 0

x1 0 1 0 0 0

x2 -2/3 2/3 4/3 5/3 1

s1 5/6 1/6 -1/6 1/6 0

s2 0 0 1 0 0

s3 0 0 0 1 0

s4 0 0 0 0 1

Solusi 20 4 2 5 2

Dari tabel diatas, terlihat bahwa fungsi tujuan Z = 20. Selanjutnya dicari lagi variabel masuk pada baris Z (fungsi tujuan) yang mempunyai koefisien negatif terbesar, ditemukan x2 dengan koefisien -2/3 sebagai variabel masuk. Syarat optimal ditunjukkan bahwa x2 adalah variabel masuk. Syarat layak ditunjukkan dibawah ini : Basis x1 s2 s3 s4 Masuk Solusi Rasio x2 2/3 4 x2 = 4/(2/3) = 6 4/3 2 x2 = 2/(4/3) = 3/2 minimal 5/3 5 x2 = 5/(5/3) = 3 1 2 x2 = 2/1 = 2 Kesimpulan : x2 masuk dan s2 keluar

Nilai rasio positif terkecil menjadi baris kunci dan kolom pada fungsi tujuan dengan koefisien negatif terbesar menjadi kolom kunci. Masuk x2 -2/3 2/3 4/3 5/3 1 Kolom kunci

Ek M o Te an Pra kn aje se ik me ty In n o fo S rm ai at ns ik a U MBasis Z x1 s2 s3 s4 Z 1 0 0 0 0 x1 0 1 0 0 0 s1 5/6 1/6 -1/6 1/6 0 s2 0 0 1 0 0 s3 0 0 0 1 0

Gs4 0 0 0 0 1

Keluar

20

Solusi 20 4 2 5 2

11Baris kunci

Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru : 1. Baris kunci Ganti s2 pada kolom Basis dengan x2 Baris x2 baru = Baris s2 elemen kunci 23

= [0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2] / (4/3) = [0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2] 2. Baris yang lain Baris z baru = Baris z (-2/3) Baris x2 baru = [1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20] (-2/3) [0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2] = [1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20] [0 0 -2/3 1/12 -1/2 0 0 -1] = [1 0 0 0 0 21] Baris x1 baru = Baris x1 (2/3) Baris x2 baru = [0 1 2/3 1/6 0 0 0 4] (2/3) [0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2]

= [0 0 5/3 1/6 0 1 0 5] (5/3) [0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2] = [0 0 5/3 1/6 0 1 0 5] [0 0 5/3 -5/24 5/4 0 0 5/2] = [0 0 0 3/8 -5/4 1 0 5/2]


= [0 0 1 0 0 0 1 2] (1) [0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2] = [0 0 1 0 0 0 1 2] [0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2] = [0 0 0 1/8 -3/4 0 1 1/2]

Solusi baru adalah (x1, x2, s3, s4) dan tabel simpleks berubah menjadi : Basis Z x1 x2 s3 s4 Z 1 0 0 0 0 x1 0 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 0 s1 -1/8 3/8 1/8 s2 -1/2 -5/4 -3/4 s3 0 0 0 1 0 s4 0 0 0 0 1 Solusi 21 3 3/2 5/2 1/2

Berdasarkan pada syarat optimal, tidak ada dalam koefisien z-row yang variabel nonbasis (s1 dan s2) nilainya negatif. Sehingga tabel diatas sudah mencapai optimal. 24


G

Baris s3 baru = Baris s3 (5/3) Baris x1 baru

20

= [0 1 0 1/4 -1/2 0 0 3]

11

= [0 1 2/3 1/6 0 0 0 4] [0 0 2/3 -1/12 1/2 0 0 1]

Solusi optimal bisa dibaca dari tabel simpleks dengan cara berikut : Nilai optimal variabel dikolom Basis diberikan disisi kanan. Kolom Solution dapat diartikan sebagai berikut : Variabel keputusan x1 x2 Z Nilai Optimal 3 3/2 21 Rekomendasi Produksi 3 ton cat exterior perhari Produksi 1.5 ton cat interior perhari Keuntungan harian adalah 21(x1000)

Kita bisa melakukan verifikasi bahwa nilai s1 = 0, s2 = 0, s3 = 5/2, dan s4 = adalah sesusi dengan nilai yang yang diberikan oleh x1 dan x2 seperti diatas dengan memasukannya kedalam constraint. Solusi tersebut juga memberikan informasi mengenai status sumber daya. Sumber daya yang dirancang sebagai scarce jika aktivitas (variabel) model menggunakan semua sumber daya. Jika sebaliknya, maka sumber daya ditolak. Informasi diamankan oleh tabel optimal dengan pemeriksaan nilai variabel slack yang dikaitkan dengan constraint yang merepresentasikan sumber daya. Jika nilai slack adalah nol, berarti sumber daya digunakan semua, dan diklasifikasikan sebagai scarce. Sebaliknya, nilai slack positif menunjukkan sumber daya berlimpah. Klasifikasi constraint ada di tabel berikut : Sumber daya Bahan baku M1 Bahan baku M2 Batas pasar Batas kebutuhan Nilai slack s1 = 0 s2 = 0 s3 = 5/2 s4 = 1/2

3.2 Solusi Awal Buatan

Pemrograman linear yang constraintnya menggunakan tanda dengan nilai non negatif disisi kanan menyebabkan semua variabel slack memulai solusi layak awal. Model yang menggunakan tanda = dan atau tidak seperti itu. Prosedur untuk awal pemrograman linear dengan tanda = dan pada constraint adalah menggunakan variabel buatan (artificial variables) yang memainkan peranan slack diawal iterasi dan kemudian mengatur keabsahannya diakhir iterasi. Dua metode terkait adalah : metode M dan metode dua fase 3.2.1 Metode M Metode M memulai LP dalam bentuk persamaan. Jika persamaan i tidak mempunyai slack, sebuah variabel buatan ri ditambahkan untuk membentuk solusi awal yang menyerupai semua basis solusi awal. Bagaimanapun, karena variabel buatan bukan bagian dari model asli LP, 25

Ek M o Te an Pra kn aje se ik me ty In n o fo S rm ai at ns ik a U MStatus Scarce Scarce Abundant Abundant

G

20

11

kehadirannya memberikan pelanggaran yang sangat berat dalam fungsi tujuan, maka pemaksaan variabel buatan agar bernilai nol harus dilakukan. Hal ini akan terjadi dalam kasus jika masalah mempunyai solusi yang layak. Aturan pelanggaran pada variabel buatan : Diberikan M, nilai positif yang cukup besar (secara matematis M ), koefisien tujuan variabel buatan merepresentasikan pelanggaran (penalty) yang tepat jika : - M, dalam masalah memaksimalkan Koefisien obyektif variabel buatan = M, dalam masalah meminimalkan Contoh 3-2 Minimalkan Z = 4x1 + x2 Constraint : 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 6

x1, x2 0 Penyelesaian

Menggunakan r1 sebagai variabel surplus dalam constraint kedua dan s1 sebagai slack dalam constraint ketiga, bentuk persamaan masalah menjadi : Minimalkan Z = 4x1 + x2 Constraint :

3x1 + x2

4x1 + 3x2 r1 x1 + 2x2

x1, x2, r1, s1 0 Persamaan ketiga mempunyai variabel slack yaitu s1, tetapi persamaan pertama dan kedua tidak. Maka kita tambahkan variabel buatan R1 dan R2 dalam persamaan pertama dan kedua dan melanggar fungsi tujuan dengan MR1 + MR2 (karena meminimalkan). Hasil LP menjadi : Minimalkan Z = 4x1 + x2 + MR1 + MR2 Constraint : 26

Ek M o Te an Pra kn aje se ik me ty In n o fo S rm ai at ns ik a U M=3 =6 + s1 =4

x1 + 2x2 4

G

20

11

3x1 + x2 4x1 + 3x2 r1 x1 + 2x2 + s1

+ R1 = 3 + R2 = 6 =4

x1, x2, r1, s1, R1, R2 0 Solusi basis awal diberikan oleh (R1, R2, s1) = (3,6,4). Dari titik awal solusi masalah, M harus mengasumsikan sebuah nilai. Nilai M ini nantinya akan dimanipulasi secara aljabar dalam tabel simpleks. Berapa nilai awal M yang baik digunakan ? Tergantung pada data asli LP. Nilai M sebaiknya cukup besar yang relative terhadap koefisien obyektif yang asli sehingga dapat bertindak sebagai pelanggaran yang memaksakan variabel buatan pada level nol dalam solusi optimal. Tetapi nilai M juga tidak boleh terlalu besar karena bisa membawa hasil tak terhingga. Dalam kasus contoh ini, nilai koefisien obyektif x1 dan x2 adalah 4 dan 1, maka cukup beralasan jika M = 100. Dengan menggunakan M = 100 maka tabel simpleks dibentuk seperti dibawah : Basis Z R1 R2 s1 x1 -4 3 4 1 x2 -1 1 3 2 r1 0 0 -1 0 R1 -100 1 0 0 R3 -100 0 1 0 s1 0 0 0 1

Sebelum diproses dengan metode simpleks, kita perlu membuat z-row konsisten dengan hasil tabel. Dalam tabel, x1 = x2 = r1 = 0, yang merupakan solusi basis awal R1 = 3, R2 = 6, dan s1 = 4. Solusi ini berarti Z = 100 (3) + 100 (6) = 900 (seharusnya 0, seperti sisi kanan z-row yang tampak ditabel). Ketidakkonsistenan ini muncul dari fakta bahwa R1 dan R2 mempunyai koefisien nonzero (-100, -100) dalam z-row (bandingkan dengan semua solusi awal slack pada contoh sebelumnya) dimana koefisien z-row dari slack adalah nol. Kita dapat menghilangkan inkonsistensi ini mensubstitusi R1 dan R2 dalam z-row menggunakan persamaan constraint yang tepat. Dalam tabel dibawah ini, elemen bernilai 1 yang dihighlight dalam R1-row dan R2-row, perkalian setiap R1-row dan R2-row oleh 100 dan menambahkan jumlahnya ke z-row akan mensubstitusi R1 dan R2 dalam baris obyektif. Sehingga : Z-row baru = Z-row lama + (100 R1-row + 100 R2-row) Z-row baru = [-4 -1 0 -100 -100 0 0] + (100 [3 1 0 1 0 0 3] + 100 [4 3 -1 0 1 0 6]) Z-row baru = [-4 -1 0 -100 -100 0 0] + ([300 100 0 100 0 0 300] + [400 300 -100 0 100 0 600]) 27


G

20Solusi 0 3 6 4

11

Z-row baru = [-4 -1 0 -100 -100 0 0] + [700 400 -100 100 100 0 900] Z-row baru = [696 399 -100 0 0 0 900] Perubahan tabel menjadi : Basis Z R1 R2 s1 x1 696 3 4 1 x2 399 1 3 2 r1 -100 0 -1 0 R1 0 1 0 0 R3 0 0 1 0 s1 0 0 0 1 Solusi 900 3 6 4

Dari tabel diatas, dapat dipastikan bahwa nilai Z=900, konsisten/tepat dengan nilai solusi layak awal : R1 = 3, R2 = 6, dan s1 = 4. Tabel yang terakhir diatas siap untuk dilakukan pemrosesan dengan metode simpleks menggunakan syarat keoptmalan dan kelayakan. Karena disii ingin meminimalkan fungsi tujuan, variabel x1 mempunyai mempunyai koefisien positif terbesar dalam z-row (=696) memasuki solusi. Rasio minimum dari syarat kelayakan menetapkan R1 sebagai variabel keluar. Lihat tabel dibawah ini :

Nilai rasio positif terkecil menjadi baris kunci dan kolom pada fungsi tujuan dengan koefisien positif terbesar menjadi kolom kunci. Masuk x1 696 3 4 1 Kolom kunci

Keluar

Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru : 28

Ek M o Te an Pra kn aje se ik me ty In n o fo S rm ai at ns ik a U MBasis R1 R2 s1 Basis Z R1 R2 s1 x2 399 1 3 2 r1 -100 0 -1 0 R1 0 1 0 0 R3 0 0 1 0

Masuk Solusi Rasio x1 3 3 x1 = 3/3 = 1 minimal 4 6 x1 = 6/4 = 3/2 1 4 x1 = 4/1 = 4 Kesimpulan : x1 masuk dan R1 keluar

s1 Solusi 0 900 0 3 Baris kunci 0 6 1 4

G

20

11

1. Baris kunci Ganti R1 pada kolom Basis dengan x1 Baris x1 baru = Baris R1 elemen kunci = [3 1 0 1 0 0 3] / 3 = [1 1/3 0 1/3 0 0 1] 2. Baris yang lain Baris z baru = Baris z (696) Baris x1 baru = [696 399 -100 0 0 0 900] (696) [1 1/3 0 1/3 0 0 1] = [696 399 -100 0 0 0 900] [696 232 0 232 0 0 696]

= [4 3 -1 0 1 0 6] [4 4/3 0 4/3 0 0 4] = [0 5/3 -1 -4/3 1 0 2]

Baris s1 baru = Baris s1 (1) Baris x1 baru = [1 2 0 0 0 1 4] (1) [1 1/3 0 1/3 0 0 1] = [1 2 0 0 0 1 4] [1 1/3 0 1/3 0 0 1] = [0 5/3 0 -1/3 0 1 3]

Solusi baru adalah (x1, R2, s1) dan tabel simpleks berubah menjadi : Basis Z x1 R2 s1 x1 0 1 0 0 x2 167 1/3 5/3 5/3 r1 -100 0 -1 0 R1 -232 1/3 -4/3 -1/3 R3 0 0 1 0 s1 0 0 0 1 Solusi 204 1 2 3

Dari tabel diatas, terlihat bahwa fungsi tujuan Z = 204. Selanjutnya dicari lagi variabel masuk pada baris Z (fungsi tujuan) yang mempunyai koefisien positif terbesar, ditemukan x2 dengan koefisien 167 sebagai variabel masuk. Syarat optimal ditunjukkan bahwa x2 adalah variabel masuk. Syarat layak ditunjukkan dibawah ini : 29


G

= [4 3 -1 0 1 0 6] (4) [1 1/3 0 1/3 0 0 1]

20

Baris R2 baru = Baris R2 (4) Baris x1 baru

11

= [0 167 -100 -232 0 0 204]

Basis x1 R2 s1

Masuk Solusi Rasio x2 1/3 1 x2 = 1/(1/3) = 3 5/3 2 x2 = 2/(5/3) = 6/5 minimal 5/3 3 x2 = 3/(5/3) = 9/5 Kesimpulan : x2 masuk dan R2 keluar

Nilai rasio positif terkecil menjadi baris kunci dan kolom pada fungsi tujuan dengan koefisien positif terbesar menjadi kolom kunci. Masuk x2 167 1/3 5/3 5/3 Kolom kunci

Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru : 1. Baris kunci

Ganti R2 pada kolom Basis dengan x2

Baris x2 baru = Baris R2 elemen kunci = [0 5/3 -1 -4/3 1 0 2] / (5/3) = [0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5] 2. Baris yang lain

Baris z baru = Baris z (167) Baris x2 baru = [0 167 -100 -232 0 0 204] (167) [0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5] = [0 167 -100 -232 0 0 204] [0 167 -501/5 -668/5 501/5 0 1002/5] = [0 0 1/5 -492/5 -501/5 0 18/5] Baris x1 baru = Baris x1 (1/3) Baris x2 baru = [1 1/3 0 1/3 0 0 1] (1/3) [0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5] 30


G

20

11

Keluar

Basis Z x1 R2 s1

x1 0 1 0 0

r1 -100 0 -1 0

R1 R3 -232 0 1/3 0 -4/3 1 -1/3 0

s1 0 0 0 1

Solusi 204 1 2 3

Baris kunci

= [1 1/3 0 1/3 0 0 1] [0 1/3 -1/5 -4/15 3/15 0 6/15] = [1 0 1/5 3/5 -3/15 0 3/5] Baris s1 baru = Baris s1 (1) Baris x2 baru = [0 5/3 0 -1/3 0 1 3] (5/3) [0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5] = [0 5/3 0 -1/3 0 1 3] [0 5/3 -1 -4/3 1 0 -2] = [0 0 1 1 -1 1 5] Solusi baru adalah (x1, x2, s1) dan tabel simpleks berubah menjadi : Basis Z x1 x2 s1 x1 0 1 0 0 x2 0 0 1 0 r1 1/5 1/5 -3/5 1 R1 -492/5 3/5 -4/5 1 R3 -501/5 -3/5 3/5 -1 s1 0 0 0 1 Solusi 18/5 3/5 6/5 5

Dari tabel diatas, terlihat bahwa rasio minimal terdapat pada variabel basis x1 dan ini adalah variabel keputusan. Sehingga tidak ada lagi syarat kelayakan yang dapat dilakukan dan tabel simpleks diatas adalah yang paling optimal.

3.2.2 Metode dua fase Dalam metode M, penggunaan penalty M, dimana didefinisikan nilainya harus relative besar terhadap koefisien obyektif actual dari model, dapat menghasilkan kisaran error yang dapat melemahkan akurasi perhitungan simpleks. Metode dua fase mengurangi kelemahan ini dengan menghilangkan konstanta M. Metode ini menyelesaikan kasus LP dalam dua fase : Fase I berusaha untuk mencari solusi layak awal, dan jika ditemukan, maka fase II dijalankan untuk menyelesaikan masalah aslinya. 31

Ek M o Te an Pra kn aje se ik me ty In n o fo S rm ai at ns ik a U MBasis

Dari tabel diatas, terlihat bahwa fungsi tujuan Z = 18/5. Selanjutnya dicari lagi variabel masuk pada baris Z (fungsi tujuan) yang mempunyai koefisien positif terbesar, ditemukan r1 dengan koefisien 1/5 sebagai variabel masuk. Syarat optimal ditunjukkan bahwa r1 adalah variabel masuk. Syarat layak ditunjukkan dibawah ini : Masuk Solusi Rasio r1 x1 1/5 3/5 r1 = (3/5)/(1/5) = 3 minimal x2 -3/5 6/5 r1 = (6/5)/(-3/5) = -2 (diabaikan) s1 1 5 r1 = 5/1 = 5 Kesimpulan : tidak ada syarat kelayakan yang memenuhi

G

20

11

Langkah-langkah metode dua fase : Fase I Kondisikan masalah dalam bentuk persamaan, dan tambahkan variabel buatan yang diperlukan pada constraint (seperti metode M) untuk mengaman basis solusi awal. Selanjtnya, cari solusi basis dari persamaan yang didapatkan itu, tanpa memandang LP adalah memaksimalkan atau meminimalkan, selalu meminimalkan jumlah dari variabel buatan. Jika nilai minimum penjumlahan adalah positif, masalah LP tidak mempunyai solusi layak, sehingga merupakan akhir proses. Jika tidak, lanjutkan ke fase II. Gunakan solusi layak dari fase I sebagai basis solusi awal layak pada masalah yang sesungguhnya.

Fase II

Contoh 3-3 Mengacu pada Contoh 3-2.

4x1 + 3x2 6 x1 + 2x2 4 x1, x2 0 Penyelesaian

Menggunakan r1 sebagai variabel surplus dalam constraint kedua dan s1 sebagai slack dalam constraint ketiga, bentuk persamaan masalah menjadi : Minimalkan Z = 4x1 + x2 Constraint :

3x1 + x2 4x1 + 3x2 r1 x1 + 2x2 + s1

x1, x2, r1, s1 0 Penyelesaian dengan metode dua fase Fase I 32

Ek M o Te an Pra kn aje se ik me ty In n o fo S rm ai at ns ik a U M=3 =6 =4

G

3x1 + x2 = 3

20

Constraint :

11

Minimalkan Z = 4x1 + x2

Minimalkan R = R1 + R2 Kendala : 3x1 + x2 4x1 + 3x2 r1 x1 + 2x2 x1, x2, r1, s1, R1, R2 0 Tabel simpleksnya tampak sebagai berikut : Basis R R1 R2 s1 x1 0 3 4 1 x2 0 1 3 2 r1 0 0 -1 0 R1 -1 1 0 0 R3 -1 0 1 0 s1 0 0 0 1 Solusi 0 3 6 4 + R1 + R2 + s1 =3 =6 =4

R-row baru = R-row lama + (1 R1-row + 1 R2-row)

R-row baru = [0 0 0 -1 -1 0 0] + (1 [3 1 0 1 0 0 3] + 1 [4 3 -1 0 1 0 6]) R-row baru = [0 0 0 -1 -1 0 0] + ([3 1 0 1 0 0 3] + [4 3 -1 0 1 0 6]) R-row baru = [0 0 0 -1 -1 0 0] + [7 4 -1 1 1 0 9] R-row baru = [7 4 -1 0 0 0 9]

Tabel simpleks berubah menjadi : Basis R R1 R2 s1 x1 7 3 4 1 x2 4 1 3 2 r1 -1 0 -1 0

Ek M o Te an Pra kn aje se ik me ty In n o fo S rm ai at ns ik a U MR1 0 1 0 0 R3 0 0 1 0 s1 0 0 0 1 x1 x2 r1 R1 33 R3 s1

Dengan metode M, R1 dan R2 disubstitusikan dalam R-row dengan menggunakan perhitungan :

Selanjutnya dipilih x1 sebagai kolom kunci (memenuhi syarat optimal meminimalkan karena mempunyai koefisien positif terbesar). Perhitungan rasio dan syarat kelayakan ditampilkan dalam tabel dibawah ini : Basis Solusi Rasio

G

20Solusi 9 3 6 4

11

R R1 R2 s1

7 3 4 1

4 1 3 2

-1 0 -1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

9 3 6 4

3/3 = 1 minimal 6/4 = 1.5 4/1 = 4

Dari tabel tersebut, R1 menjadi variabel keluar dan x1 menjadi variabel masuk. Perubahan pada tiap baris dengan Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru : 1. Baris kunci Ganti R1 pada kolom Basis dengan x1 Baris x1 baru = Baris R1 elemen kunci = [3 1 0 1 0 0 3] / 3

= [7 4 -1 0 0 0 9] (7) [1 1/3 0 1/3 0 0 1] = [7 4 -1 0 0 0 9] [7 7/3 0 7/3 0 0 7] = [0 5/3 -1 -7/3 0 0 2]

Baris R2 baru = Baris R2 (4) Baris x1 baru = [4 3 -1 0 1 0 6] (4) [1 1/3 0 1/3 0 0 1] = [4 3 -1 0 1 0 6] [4 4/3 0 4/3 0 0 4] = [0 5/3 -1 -4/3 1 0 2]

Baris s1 baru = Baris s1 (1) Baris x1 baru = [1 2 0 0 0 1 4] (1) [1 1/3 0 1/3 0 0 1] = [1 2 0 0 0 1 4] [1 1/3 0 1/3 0 0 1] = [0 5/3 0 -1/3 0 1 3] Perubahan tabel simpleks menjadi :


G

Baris R baru = Baris R (7) Baris x1 baru

20

2. Baris yang lain

11

= [1 1/3 0 1/3 0 0 1]

Basis R x1 R2 s1

x1 0 1 0 0

x2 5/3 1/3 5/3 5/3

r1 -1 0 -1 0

R1 -7/3 1/3 -4/3 -1/3

R3 0 0 1 0

s1 0 0 0 1

Solusi 2 1 2 3

Selanjutnya dipilih x2 sebagai kolom kunci (memenuhi syarat optimal meminimalkan karena mempunyai koefisien positif terbesar). Perhitungan rasio dan syarat kelayakan ditampilkan dalam tabel dibawah ini : Basis R x1 R2 s1 x1 0 1 0 0 x2 5/3 1/3 5/3 5/3 r1 -1 0 -1 0 R1 -7/3 1/3 -4/3 -1/3 R3 0 0 1 0 s1 0 0 0 1 Solusi 2 1 2 3 Rasio 1/(1/3) = 3 2/(5/3) = 1.2 3/(5/6) = 3.6

minimal

1. Baris kunci

Ganti R2 pada kolom Basis dengan x2

Baris x2 baru = Baris R2 elemen kunci = [0 5/3 -1 -4/3 1 0 2] / (5/3) = [0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5] 2. Baris yang lain

Baris R baru = Baris R (5/3) Baris x2 baru

= [0 5/3 -1 -7/3 0 0 2] (5/3) [0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5] = [0 5/3 -1 -7/3 0 0 2] [0 5/3 -1 -4/3 1 0 2] = [0 0 0 -1 -1 0 0] Baris x1 baru = Baris x1 (1/3) Baris x2 baru = [1 1/3 0 1/3 0 0 1] (1/3) [0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5] = [1 1/3 0 1/3 0 0 1] [0 1/3 -1/5 -4/15 1/5 0 2/5] = [1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5] 35


G

Dari tabel tersebut, R2 menjadi variabel keluar dan x2 menjadi variabel masuk. Perubahan pada tiap baris dengan Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru :

20

11

Baris s1 baru = Baris s1 (5/3) Baris x2 baru = [0 5/3 0 -1/3 0 1 3] (5/3) [0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5] = [0 5/3 0 -1/3 0 1 3] [0 5/3 -1 -4/3 1 0 2] = [0 0 1 1 -1 1 1] Perubahan tabel simpleks menjadi : Basis R x1 x2 s1 x1 0 1 0 0 x2 0 0 1 0 r1 0 1/5 -3/5 1 R1 -1 3/5 -4/5 1 R3 -1 -1/5 3/5 -1 s1 0 0 0 1 Solusi 0 3/5 6/5 1

Fase II

Setelah penghapusan kolom variabel buatan, masalah asli menjadi : Minimalkan Z = 4x1 + x2 Constraint :

x1 + 1/5 r1 = 3/5 x2 3/5 r1 = 6/5 r1 + s1 = 1

x1, x2, r1, s1 0 Secara esensial, fase I adalah prosedur yang mentransformasikan persamaan constraint asli dalam cara yang memberikan basis solusi awal layak pada masalah. Tabel dalam fase II menjadi :


Karena minimal R = 0. Fase I menghasilkan basis solusi optimal x1 = 3/5 dan x2 = 6/5 dan s1 = 1. Pada titik ini, variabel buatan telah mecapai tujuan, dan kita dapat menghilangkan kolom tersebut dari tabel dan dilanjutkan ke fase II.

G

20

11

Tidak ada syarat optimal yang ditemui pada tabel (tidak ada koefisien positif terbesar di zrow). Sehingga untuk fase I selesai dan mencapai optimal.

Basis Z x1 x2 s1

x1 -4 1 0 0

x2 -1 0 1 0

r1 0 1/5 -3/5 1

s1 0 0 0 1

Solusi 0 3/5 6/5 1

Karena variabel basis x1 dan x2 mempunyai koefisien nonzero dalam z-row, keduanya harus disubstitusikan menggunakan perhitungan berikut : Z-row baru = Z-row lama + (4 x1-row + 1 x2-row) Z-row baru = [-4 -1 0 0 0] + (4 [1 0 1/5 0 12/5] + 1 [0 1 -3/5 0 6/5]) Z-row baru = [-4 -1 0 0 0] + ([4 0 4/5 0 12/5] + [0 1 -3/5 0 6/5]) Z-row baru = [-4 -1 0 0 0] + [4 1 1/5 0 18/5] Z-row baru = [0 0 1/5 0 18/5] Inisial tabel simpleks di fase II menjadi

Kasusnya adalah meminimalkan, sehingga dicari koefisien variabel dalam z-row yang mempunyai nilai positif terbesar. Didapatkan r1 bernilai positif terbesar, sehingga menjadi kolom kunci (memenuhi syarat optimal meminimalkan karena mempunyai koefisien positif terbesar). Perhitungan rasio dan syarat kelayakan ditampilkan dalam tabel dibawah ini : Basis Z x1 x2 s1 x1 0 1 0 0 x2 0 0 1 0 r1 1/5 1/5 -3/5 1 s1 0 0 0 1 Solusi 18/5 3/5 6/5 1 Rasio

Dari tabel tersebut, s1 menjadi variabel keluar dan r1 menjadi variabel masuk. Perubahan pada tiap baris dengan Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru : 1. Baris kunci Ganti s1 pada kolom Basis dengan r1 37


Basis Z x1 x2 s1

x1 0 1 0 0

x2 0 0 1 0

r1 1/5 1/5 -3/5 1

s1 0 0 0 1

Solusi 18/5 3/5 6/5 1

(3/5)/(1/5) = 3 (6/5)/(-3/5) = -2 (diabaikan) 1/1 = 1 minimal

G

20

11

Baris r1 baru = Baris s1 elemen kunci = [0 0 1 1 1] / 1 = [0 0 1 1 1] 2. Baris yang lain Baris Z baru = Baris Z (1/5) Baris r1 baru = [0 0 1/5 0 18/5] (1/5) [0 0 1 1 1] = [0 0 1/5 0 18/5] [0 0 1/5 1/5 1/5] = [0 0 0 -1/5 17/5] Baris x1 baru = Baris x1 (1/5) Baris r1 baru

Baris x2 baru = Baris x2 (-3/5) Baris r1 baru = [0 1 -3/5 0 6/5] (-3/5) [0 0 1 1 1] = [0 1 -3/5 0 6/5] [0 0 -3/5 -3/5 -3/5] = [0 1 0 3/5 9/5]

Perubahan tabel simpleks menjadi : Basis Z x1 x2 r1 x1 0 1 0 0 x2 0 0 1 0 r1 0 0 0 1

Solusi baru adalah (x1, x2, r1) dan tabel simpleks dan memberikan nlai x1 dan x2 yang optimal yaitu masing-masing 2/5 dan 9/5. Perlu diperhatikan Penghilangan variabel buatan dan kolomnya diakhir fase I hanya bisa dilakukan ketika semua variabel buatan tersebut sudah menjadi variabel nonbasis. Jika satu atau lebih variabel buatan

Ek M o Te an Pra kn aje se ik me ty In n o fo S rm ai at ns ik a U Ms1 -1/5 -1/5 3/5 1 Solusi 17/5 2/5 9/5 1 38

G

= [1 0 0 -1/5 2/5]

20

= [1 0 1/5 0 3/5] [0 0 1/5 1/5 1/5]

11

= [1 0 1/5 0 3/5] (1/5) [0 0 1 1 1]

adalah basis (pada level nol) di akhir fase I, maka langkah tambahan berikut ini harus dilakukan untuk menghilangkannya sebelum masuk ke fase II Langkah 1 Pilih variabel buatan nol untuk meninggalkan basis solusi dan rangcanglah baris sebagai baris kunci. Variabel masuk bisa sembarang variabel nonbasis (non buatan) dengan koefisien nonzero (positif atau negatif) dalam baris kunci. Lakukan iterasi simpleks. Hilangkan kolom variabel buatan (yang baru saja keluar) dari tabel. Jika semua variabel buatan nol telah dikeluarkan, lanjutkan ke fase II. Jika tidak, kembali ke langkah 1.

Langkah 2

3.3 Soal Latihan3.1 Perhatikan constraint dibawah ini x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 40 2x1 x2 + x3 + 2x4 8

x1, x2, x3, x4 0

Selesaikan masalah setiap fungsi tujuan dibawah ini dengan metode simpleks: (a) Maksimalkan Z = 2x1 + x2 3x3 + 5x4

(b) Maksimalkan Z = 8x1 + 6x2 + 3x3 - 2x4 (c) Maksimalkan Z = 3x1 - x2 + 3x3 + 4x4

(d) Maksimalkan Z = 5x1 - 4x2 + 6x3 - 8x4

3.2 Perhatikan Linear Programming dibawah ini Maksimalkan Z = 16x1 + 15x2 Fungsi kendala : 40x1 + 31x2 124 -x1 + x2 1 x1 3 x1, x2 0 39


4x1 2x2 + x3 x4 10

G

20

11

(a) Selesaikan masalah dengan metode simpleks, dimana variabel masuk yang terpilih adalah variabel nonbasis dengan koefisien z-row negatif terbesar. (b) Selesaikan ulang masalah dengan metode simpleks, dimana variabel masuk yang terpilih adalah variabel nonbasis dengan koefisien z-row negatif terkecil. (c) Lakukan analisis perbandingan hasil (a) dan (b). 3.3 Gutchi Company memproduksi purses, shaving bag dan backpack. Konstruksi barang terbuat dari kulit. Proses produksi membutuhkan dua jenis keterampilan kerja : sewing dan finishing. Tabel dibawah ini menginformasikan ketersediaan sumber daya, penggunaan oleh tiga produk dan keuntungan per unit. Sumber daya Kulit (ft2) Sewing (hr) Finishing (hr) Harga jual ($) Kebutuhan sumber daya per unit Purse Bag Backpack 2 1 3 2 1 2 1 5 1 24 22 45 Kapasitas harian 42 ft2 40 hr 45 hr

(b) Dari solusi optimal yang didapatkan tentukan status dari setiap sumber daya. 3.4 Perhatikan Linear Programming berikut : Maksimalkan Z = x1 + x2 + 3x3 + 2x2 Constrain :

x1 + 2x2 3x3 + 5x4 4 5x1 - 2x2 + 6x4 8

2x1 + 3x2 2x3 + 3x4 3 -x1 + x3 + 2x4 0 x1, x2, x3, x4 0 (a) Formulasikan masalah menjadi pemrogram linear dan carilah solusi optimal dengan metode simpleks (b) Dari solusi optimal yang didapatkan tentukan status dari setiap sumber daya. 3.5 Perhatikan constraint Linear Programming berikut : 40


(a) Formulasikan masalah menjadi pemrogram linear dan carilah solusi optimal dengan metode simpleks

G

20

11

-2x1 + 3x2 = 3 4x1 + 5x2 10 x1 + 2x2 5 6x1 + 7x2 3 4x1 + 8x2 5 x1, x2 0

(1) (2) (3) (4) (5)

Untuk setiap masalah dibawah ini, dapatkan nilai Z : (a) Maksimalkan Z = 5x1 + 6x2 dengan kendala (1), (3), dan (4) (b) Maksimalkan Z = 2x1 7x2 dengan kendala (1), (2), (4) dan (5)

3.6 Perhatikan constraint berikut : x1 + x2 + x3 = 7

2x1 - 5x2 + x3 10 x1, x2, x3 0

Selesaikan masalah untuk setiap fungsi tujuan berikut : (a) Maksimalkan Z = 2x1 + 3x2 5x2 (b) Minimalkan Z = 2x1 + 3x2 5x3 (c) Maksimalkan Z = x1 + 2x2 + x3

(d) Minimalkan Z = 4x1 8x2 + 3x2 3.7 Perhatikan masalah berikut : Maksimalkan Z = x1 + 5x2 + 3x3 Kendala : x1 + 2x2 + x3 = 3 2x1 x2 =4 41


G

(e) Minimalkan Z = 3x1 + 2x2 dengan kendala (1) dan (5)

20

(d) Minimalkan Z = 4x1 + 6x2 dengan kendala (1), (2), dan (5)

11

(c) Minimalkan Z = 3x1 + 6x2 dengan kendala (3), (4), dan (5)

x1, x2, x3 0 Variabel x3 bisa dianggap memainkan peran sebagai slack. Sehingga, tidak ada variabel buatan yang dibutuhkan di constraint pertama. Di constraint kedua, variabel buatan masih diperlukan. Coba gunakan solusi awal ini (x3 dalam constraint pertama dan R2 dalam constraint kedua) untuk menyelesaikan masalah. 3.8 Tunjukkan bagaimana metode M akan menunjukkan bahwa masalah dibawah ini tidak punya solusi yang layak. Maksimalkan Z = 2x1 + 5x2 Kendala : 3x1 + 2x2 6 2x1 + x2 2


G

20

11

x1, x2 0

ms2011 modul 3 pemrograman linier metode simpleks1

Documents