modul2.pdf
TRANSCRIPT
-
Modul 2
Sistem Persamaan Linear
A. Tujuan Praktikum
Peserta diharapkan dapat mencari solusi sistem persamaan linear dengan menggunakan
metode eliminasi gaussian dan backsubstitution serta metode iterasi jacobi
B. Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear dibentuk dari dua atau lebih persamaan linear yang memiliki beberapa
variabel independen. Contoh sistem persamaan linear antara lain sbb :
6233
20224
283402
1342
dcba
dcba
dcba
dcba
Penentuan solusi persamaan linear tersebut dapat dilakukan dengan proses substitusi-eliminasi
variabel dari semua persamaan.
Penentuan solusi secara numerik dapat dilakukan dengan menggunakan metode eliminasi
Gaussian. Eliminasi gaussian mengubah sistem persamaan linear ke dalam bentuk matriks
sistem persamaan yang kemudian akan diubah ke dalam bentuk matriks segitiga atas. Solusi
bisa didapatkan melalui proses backsubstitution pada matriks segitiga atas tersebut.
Untuk membuat matriks segitiga bawah,maka diambil titik pivot yang pertama, yaitu 1. Titik
pivot ini digunakan untuk mengubah elemen di kolom bawahnya menjadi nol semua. Misal
untuk baris kedua, baris kedua ini dikurangi oleh baris pertama dikalikan dua (elemen matriks
ke (2,1) ) dibagi oleh satu (elemen matriks ke (1,1) atau titik pivot ). Proses dilakukan juga
untuk baris selanjutnya dgn titik pivot yg sama sampai habis. Sehingga matriksnya berubah
menjadi :
-
Titik pivot selanjutnya adalah elemen diagonal dari baris kedua, yaitu -4. Lakukan lagi proses
seperti sebelumnya, agar matriksnya menjadi :
Dari bentuk matriks segitiga atas, solusi untuk x4 adalah -18/-9, selanjutnya solusi untuk x3 adalah -35 dikurang -7.5 dikali x4 dan dikurang -5. Solusi untuk selanjutnya dapat anda cari dengan mudah. Proses ini disebut dengan backsubstitution. Metode iterasi jacobi juga dapat digunakan untuk mencari solusi dari sistem persamaan linear. Contoh :
1552
2184
74
zyx
zyx
zyx
Solusi sistem persamaan tersebut dapat dicari dengan membentuk persamaan iterasi sbb :
5
215
8
421
4
7
1
1
1
iii
iii
iii
yxz
zxy
zyx
D. Program MATLAB
Program MATLAB untuk menentukan solusi sistem persamaan linear adalah sbb :
-
function X = uptrbk(A,B) [N N] = size(A); X=zeros(N,1); C=zeros(1,N+1); Aug=[A,B]; for p=1:N-1 [Y,j]=max(abs(Aug(p:N,p))); C=Aug(p,:); Aug(p,:)=Aug(j+p-1,:); Aug(j+p-1,:)=C; if Aug(p,p)==0 break end for k=p+1:N m=Aug(k,p)/Aug(p,p); Aug(k,p:N+1)=Aug(k,p:N+1)-m*Aug(p,p:N+1); end end P=Aug(1:N,1:N); Q=Aug(1:N,N+1); n = length(Q); X = zeros(n,1); X(n)=Q(n)/P(n,n); for k=n-1:-1:1 X(k) = (Q(k)-P(k,k+1:n)*X(k+1:n))/P(k,k); end
Untuk menggunakan program diatas, di command window MATLAB, masukkan perintah sbb:
Misalnya matriks sistem persamaan yang akan dicari solusinya adalah :
>> A = [1 2 1 4;2 0 4 3;4 2 2 1;-3 1 3 2]
>> B = [13 ; 28 ; 20 ; 6]
>> C = uptrbk(A,B)
-
E. Tugas Pendahuluan
Diketahui sebuah rangkaian listrik sbb :
Tentukan arus yang mengalir pada tiap resistor jika sumber tegangan di sebelah kiri adalah 25
volt ! (Petunjuk : Gunakan hukum kirchoff)
F. Tugas Praktikum dan Laporan
1. Buatlah solusi numerik dari persoalan di tugas pendahuluan dengan menggunakan metode
eliminasi gaussian di MATLAB dan laporkan dalam format yang telah ditentukan oleh Asisten !
2. Buatlah solusi numerik di persoalan 1 dengan menggunakan metode iterasi jacobi di Excel !