MODUL V

“RHUNGE KUTTA”

OLEH

RISKI ADI MULIA

1207136454

PROGRAM STUDI TEKNIK KIMIA S1

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU

2015

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT yang

telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga tugas Modul 6 Komputasi

Rhunge Kutta telah dapat diselesaikan.

Tugas Modul 6 ini dibuat untuk melengkapi tugas mata kuliah Komputasi

Proses yang merupakan mata kuliah wajib di jurusan Teknik Kimia UR.

Sehubungan dengan hal diatas, penulis ingin menyampaikan rasa hormat

dan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr.Idral Amri ST, MT dosen mata kuliah Komputasi Proses,

Jurusan Teknik Kimia, Universitas Riau tahun 2014.

2. Rekan-rekan serta Senior yang telah berbagi informasi dalam penyelesain

tugas ini.

Dalam penulisan tugas ini, penulis telah berusaha semaksimal mungkin

untuk menghasilkan makalah yang terbaik. Namun penulis mengharapkan kritik

dan saran guna penyempurnaan tulisan tugas ini. Penulis berharap semoga tugas

ini dapat bermanfaat bagi semua pihak dan semoga ALLAH SWT senantiasa

melimpahkan Rahmat dan Karunia-nya kepada kita semua, Amin.

Pekanbaru, 22 Maret 2015

Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Tujuan

1. Memenuhi tugas mata kuliah komputasi proses

2. Mengetahui apa itu Qbasic, Matlab dan mengerti bagaimana cara

memulai dan membuat programnya.

1.2 Batasan Masalah

Menyelesaikan persamaan differensial simultan order satu m baris dengan

metode Rhunge Kutta dan perhitungan matematis, program Qbasic dan program

Matlab serta membahas penyelesaiannya.

1.3 Dasar Teori

1.3.1 Rhunge Kutta

Perkembangan dan kemajuan matematika memberikan bantuan dalam

berbagai bidang,diantaranya teknik, ekonomi, sosial dan sains. Masalah dalam

bidang tersebut dapat diselesaikan dengan menerjemahkan masalah menjadi

model matematika. Dalam model matematika persamaan diferensial merupakan

salah satu alat dalam pemodelan itu. Persamaan diferensial dapat diselesaikan

secara eksak atau numerik. Metode penyelesaian persamaan diferensial secara

numerik salah satunya dengan metode Runge-Kutta.

Metode Runge-Kutta merupakan cara numerik yang digunakan untuk

menyelesaikan persamaan diferensial. Persamaan diferensial yang digunakan

adalah persamaan diferensial linear orde satu yang berbentuk dan nilai awal .

Metode tersebut digunakan untuk mencari nilai pada titik t dan banyak selang n.

Langkah-langkah pencariannya adalah menyelesaikan persamaan tersebut secara

analitik (mencari nilai eksak), secara numerik (metode Runge-Kutta), menghitung

nilai galat dan membandingkan nilai galatnya. 

Dalam menyelesaikan permasalahan diatas dapat juga digunakan

pemrograman. Langkah-langkah dalam pembuatan program yaitu penganalisaan

masalah, pembuatan algoritma, diagram alir (flowchart), dan pembuatan program

dalam bahasa pemrograman yang digunakan yaitu matlab. Masukan yang

diperlukan adalah persamaan diferensial linear orde satu, solusi, nilai awal, nilai t

yang ditentukan, banyak selang dan orde yang digunakan sedangkan keluaran

program adalah nilai h, grafik eksak, grafik metode Runge-Kutta dan grafik

galatnya. Tampilan program yang sederhana memudahkan dalam penggunaannya.

Setelah melakukan perhitungan persamaan diferensial linear orde satu dengan

metode Runge-Kutta secara manual dan dengan program bahasa matlab diperoleh

bahwa ketelitian metode Runge-Kutta orde empat lebih akurat daripada orde tiga

sedangkan metode Runge-Kutta orde tiga lebih akurat daripada orde dua. Semakin

banyak selang yang digunakan maka semakin akurat nilainya.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Hasil Perhitungan

2.1.1 Dengan Q-basic

2.1.2 Dengan Matlab

a

2.2 Pembahasan

Berdasarkan hasil percobaan menggunakan program Qbasic, Matlab dan

penyelesaian secara manual untuk metode Rhunge Kutta, didapatkan hasil yang

sama pada program qbasic dan matlab nya.

BAB III

KESIMPULAN

2.2 Kesimpulan

Dalam penyelesaian persamaan differensial simultan ordiner orde satu m

baris dengan Metode Runge-Kutta merupakan cara numerik yang digunakan

untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Persamaan diferensial yang

digunakan adalah persamaan diferensial linear orde satu dengan m baris dan nilai

awal 3 dan proses berlangsung hingga 10 step.

3.2 Saran

Butuhnya pemahaman akan program QBasic dan Matlab sehingga mampu

mengoperasikan program QBasic dan Matlab, sehingga diharapkan adanya

kesinambungan penyelesaian persamaan matematis dan perhitungan

matematis, program Qbasic dan program Matlab.

LAMPIRAN

Algoritma

Listing Program :

a. QBasic

b. Matlab

clcclfclear all % Runghe Kutta method % Solve dy/dt = f(x,y). In general it can be a function of both % variables t and y. If your function is only a function of t then% you will need to add a 0*y to your function. % define f(x,y) fcnstr='sqrt(x)+y^0.3' ; f=inline(fcnstr,'x','y') ; % x0, initial time x0=0.5 ; % y0, corresponding value of y at x0 y0=0.4;

% xf, upper boundary of x (end x). xf=1.5; % n, number of steps to take n=10; % Displays title informationdisp(sprintf('\n\nThe 4th Order Runge-Kutta Method of Solving Ordinary Differential Equations'))h=(xf-x0)/n ;disp(sprintf(' h = ( xf - x0 ) / n '))disp(sprintf(' = ( %g - %g ) / %g ',xf,x0,n))disp(sprintf(' = %g',h)) xa(1)=x0 ;ya(1)=y0 ; for i=1:n disp(sprintf('\nStep %g',i)) disp(sprintf('-----------------------------------------------------------------')) % Adding Step Size xa(i+1)=xa(i)+h ; % Calculating k1, k2, k3, and k4 k1 = f(xa(i),ya(i)) ; k2 = f(xa(i)+0.5*h,ya(i)+0.5*k1*h) ; k3 = f(xa(i)+0.5*h,ya(i)+0.5*k2*h) ; k4 = f(xa(i)+h,ya(i)+k3*h) ; % Using 4th Order Runge-Kutta formula ya(i+1)=ya(i)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)*h ; disp('1) Find k1 and k2 using the previous step information.') disp(sprintf(' k1 = f( x%g , y%g )',i-1,i-1)) disp(sprintf(' = f( %g , %g )',xa(i),ya(i))) disp(sprintf(' = %g\n',k1)) disp(sprintf(' k2 = f( x%g + 0.5 * h , y%g + 0.5 * k1 * h )',i-1,i-1)) disp(sprintf(' = f( %g + 0.5 * %g , %g + 0.5 * %g * %g)',xa(i),h,ya(i),k1,h)) disp(sprintf(' = f( %g , %g )',xa(i)+0.5*h,ya(i)+0.5*k1*h)) disp(sprintf(' = %g\n',k2)) disp(sprintf(' k3 = f( x%g + 0.5 * h , y%g + 0.5 * k2 * h )',i-1,i-1)) disp(sprintf(' = f( %g + 0.5 * %g , %g + 0.5 * %g * %g)',xa(i),h,ya(i),k2,h)) disp(sprintf(' = f( %g , %g )',xa(i)+0.5*h,ya(i)+0.5*k2*h)) disp(sprintf(' = %g\n',k3))

disp(sprintf(' k4 = f( x%g + h, y%g + k3*h)',i-1,i-1)) disp(sprintf(' = f( %g , %g )',xa(i)+h,ya(i)+k3*h)) disp(sprintf(' = %g\n',k4)) disp(sprintf('2) Apply the Runge-Kutta 4th Order method to estimate y%g',i)) disp(sprintf(' y%g = y%g + 1/6*( k1 + 2*k2 + 2*k3 +k4) * h',i,i-1)) disp(sprintf(' = %g + %g * %g * %g',ya(i),1/6,(k1+2*k2+2*k3+k4),h)) disp(sprintf(' = %g\n',ya(i+1))) disp(sprintf(' at t%g = %g',i,xa(i+1)))end % The following finds what is called the 'Exact' solutionxspan = [x0 xf];[x,y]=ode45(f,xspan,y0);[yfi dummy]=size(y);yf=y(yfi); % Plotting the Exact and Approximate solution of the ODE.hold onxlabel('x');ylabel('y');title('Runge-Kutta for The Solution of dy/dx=sqrt(x)+y^(0.3)'); plot(xa,ya,'-o','LineWidth',2,'Color',[1 0 0]);legend('Exact','Approximation');

DAFTAR PUSTAKA

Anonime. 2013. Kegiatan Praktikum: Statement Perintah, Variabel, Dan Operaor

Pada Q Basic. http://satu-ka04.web.id. Diakses Tanggal 14 April 2014.

Anonime. 2012. Pengertian Q-Basic. http://kerja-online-30menit.blogspot.com.

Diakses Tanggal 14 April 2014.

Chapra, Steven C. & Canale, Raymond P., “Numerical Methods for Engineers”,

1985, diterjemahkan ke dalam bahasa Indonesia dengan judul “Metode

Numerik untuk Teknik” oleh UI-Press, Jakarta, 1991.

Chapra, Steven C dan Canale, Raymond P, Numerical Methods for Engineers

Fifth Edition, MacGraw-Hill Book Company, 2006.

Chapra, Steven C, Applied Numerical Methods with MATLAB Second Edition, 

MacGraw-Hill Book Company, 2008.

Constantinides A. & Mostoufi N., “Numerical Methods for Chemical Engineers

with MATLAB Applications”, Prentice Hall, New Jersey, 1983

Hanna, Owen T. & Sandal, Orville C., “Computational Methods In Chemical

Engineering”, Prentice Hall, New Jersey, 1999.

Riggs, James B., “An Introduction to Numerical Methods for Cchemical

Engineers”, Texas Tech University Press, Texas, 1988.