modul statistika ii - · pdf filetim asisten dosen statistika feb unpad mengetahui dan...

MODUL STATISTIKA II

LEMBAR PENGESAHAN MODUL PRAKTIKUM STATISTIKA II

SEMESTER GANJIL 2012

FAKULTAS EKONOMI DAN BISNIS

UNIVERSITAS PADJADJARAN

Disusun Oleh:

Tim Asisten Dosen Statistika FEB UNPAD

Mengetahui dan Menyetujui,

Ketua Program Studi ESP UNPAD

Dr. Mohammad Fahmi, S.E., M.T.

NIP. 197312302000121001

Note : Dimungkin Terjadinya Kesalahan, Silahkan Cek Literatur atau Mencoba

Menyelesaikan Soal – Soal dengan Lebih Teliti. Terima Kasih

YESSICA HAMDI DITHA

MEISA IRSYAD ARDINA

DEASY TAUFIK KARINA

RINI RUDOLF ALYA

DAFTAR ISI

DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA DAN PROPORSI .......................................... 1

DISTRIBUSI SAMPLING SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI ......................... 15

PENAKSIRAN RATA-RATA DAN PROPORSI.......................................................... 30

PENAKSIRAN SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI .......................................... 43

UJI HIPOTESIS RATA-RATA DAN PROPORSI ........................................................ 58

UJI HIPOTESIS SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI ......................................... 81

REGRESI DAN KORELASI SEDERHANA ..................... Error! Bookmark not defined.

REGRESI DAN KORELASI BERGANDA ....................... Error! Bookmark not defined.

CHI-SQUARE ................................................................... Error! Bookmark not defined.

NON PARAMETRIK ........................................................ Error! Bookmark not defined.

NON PARAMETRIK I .................................................. Error! Bookmark not defined.

NON PARAMETRIK II ................................................. Error! Bookmark not defined.

APPENDIX ....................................................................... Error! Bookmark not defined.

[Type the document title]

1

DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA DAN PROPORSI

1. Pengertian Populasi dan Sampel

Populasi adalah semua objek atau individu yang akan diteliti, Sudjana (2001:66)

mendefinisikan sampel adalah sebagian dari populasi yang diambil dengan

menggunakan cara tertentu.

2. Metode Sampling

Sebelum melakukan penelitian, diperlukan sampilng agar penelitian dapat

berjalan dengan lancar dan cepat. Untuk mendapatkan sampel yang diambil dari

populasi banyak sekali peluang terjadinya kombinasi-kombinasi sampel yang

akan diteliti. Maka para peneliti perlu tahu berapa banyak sampel yang mungkin

diambil dari populasi tersebut.

Prosedur sampling berfokus pada pengumpulan sebagian kecil anggota

(sampel) dari populasi yang lebih besar. Dimana sampel tersebut kemudian

digunakan untuk memperkirakan karakteristik dari seluruh populasi.

3. Sampel acak dari sebuah Populasi:

Sampel acak (random sample) adalah cara pengembalian sampel dimana

setiap individu mempunyai peluang yang sama untuk dijadikan anggota sampel.

Dibedakan menjadi dua, sesuai dengan ukuran populasi :

1. Sampel acak berasal dari populasi tidak terbatas (infinite population)

2. Sampel acak berasal dari populasi terbatas (finite population)

4. Cara Sampling

Sampling Dengan Pengembalian adalah metode sampling dimana setiap

anggota dari suatu populasi dapat dipilih lebih dari satu kali.

Sampling Tanpa Pengembalian adalah metode sampling dimana setiap

anggota dari suatu populasi tidak dapat dipilih lebih dari satu kali.


2

5. Distribusi Sampling

Distribusi Sampling merupakan kumpulan nilai-nilai statistika yang

sejenis lalu disusun dalam suatu daftar sehingga terdapat hubungan antara nilai

statistik dan frekuensi statistika. (Sudjana, 2001 :87)

Distribusi Sampling terdiri dari:

1. Distribusi Sampling Rata-rata

2. Distribusi Sampling Proporsi

3. Distribusi Sampling Selisih Rata-rata

4. Distribusi Sampling Selisih Proporsi

5.1. DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA

Sudjana (2001 : 87) mendefenisikan Distribusi sampling rata-rata adalah

kumpulan dari bilangan-bilangan yang masing-masing merupakan rata-rata hitung

dari samplenya.

Notasi Dalam Distribusi Sampling Rata-rata:

n : ukuran sampel N : ukuran populasi

x : rata-rata sampel µ : rata-rata populasi

s : standar deviasi sampling : standar deviasi populasi

x : rata-rata pada distribusi sampling rata-rata

x : standar deviasi pada distribusi sampling rata-rata

Rumus Distribusi Sampling Rata-rata:

Populasi tidak

terbatas

≤ 5%

Populasi terbatas

> 5%

Rata-rata x = µ x

= µ

Standar Deviasi x

x

.

Nilai Baku

z =

x x

x

z =

x x

x


3

Ket:

disebut dengan faktor koreksi

Contoh soal:

Yessica Company memproduksi „Walkie-Talkie‟ dengan menggunakan

dua baterai. Rata-rata umur baterai yang digunakan di produk ini adalah 35 jam.

Distribusi umur baterai mendekati distribusi probabilitas normal dengan standar

deviasi 5,5 jam. Sebagai bagian dari program pengujian, diambil sampel sebanyak

25 baterai. Hitunglah:

a. Probabilitas umur baterai lebih dari 36 jam?

b. Probabilitas umur baterai antara 34,5 dan 36 jam?

Penyelesaian:

Dik: x

= µ = 35

= 5,5

n = 25

Dit: a. P( x >36)?

b. P(34,5< x <36)?

Jwb: x

=

=

= 1,1

a. z =

x x

x

=

= 0,91

b.

0 z

Lihat tabel z:

luas sebelah kanan 0 = 0,5000

luas antara 0 - z = 0,3186 -

luas sebelah kanan z = 0,1814

Kesimpulan : Jadi, dari 25 baterai yang dipilih, probabilita umur baterai lebih

dari 36 jam adalah sebesar 0,1814 atau 18,14%.


4

b.

=

x x

x

=

= -0,45

=

x x

x

=

= 0,91

Lihat tabel z:

luas antara

- 0 = 0,1736

luas antara 0 - = 0,3186

+

luas antara

-

= 0,4922

0

Kesimpulan : Jadi, dari 25 baterai yang dipilih probabilita umur baterai antara

34,5 dan 36 jam adalah sebesar 0,4922 atau 49,22%

5.2.DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI

Menurut Sudjana (2001 : 95), distribusi sampling prpporsi adalah

kumpulan atau distribusi semua perbandingan samplenya untuk suatu peristiwa.

Notasi Dalam Distribusi Sampling Proporsi:

` : rata-rata pada distribusi sampling proporsi

: standar deviasi pada distribusi sampling proporsi

Rumus Distribusi Sampling Proporsi

Populasi tidak terbatas

( ≤ 5%)

Populasi terbatas

( 5%)

Rata-rata

= π

= π

Standar Deviasi

=

=

.

Nilai Baku z =

z =

Jika nilai π dari populasi tidak diketahui, dalam hal ini π dianggap sama dengan

0,5 yaitu nilai π(1-π) yang maksimum.


5

Contoh Soal:

Karyawan Toko „Ardina‟s Shop‟ menemukan bahwa 20% dari pelanggan yang

memasuki tokonya melakukan pembelian. Suatu pagi 180 orang yang dapat

dianggap sebagai sampel acak dari semua pelanggan, memasuki toko. Berapa

probabilita pelanggan yang membeli kurang dari 15%?

Penyelesaian:

Dik: n = 180

π(membeli)= 20% = 0,20

Dit: a. P (

< 15%)?

Jwb:

= π = 0,20

=

=

= 0,029814239

a. z =

=

= -1,68

z 0

lihat tabel z:

luas sebelah kiri 0 = 0,5000

luas antara z-0 = 0,4535-

luas sebelah kiri z = 0,0465

Kesimpulan:

Jadi, probabilita bahwa diantara 180 orang yang masuk ke toko, pelanggan yang

membeli kurang dari 15% adalah sebesar 0,0465 atau 4,65%


6

SOAL DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA DAN PROPORSI

1. Dalam sebuah kompetisi yang bertajuk „lomba makan burger tercepat dalam

semenit‟ yang diadakan oleh Hamdie Resto and Cafe tercatat bahwa berat burger

yang dapat dimakan dari masing-masing peserta lomba di kompetisi tersebut

memiliki rata-rata 4,70 ons dan standar deviasi 0,40 ons. Jika 25 peserta dipilih

secara random, Tentukan:

a) Probabilita berat burger yang berhasil dimakan paling sedikit 4,6 ons?

b) Probabilita berat burger yang berhasil dimakan paling banyak 4,9 ons?

(sumber soal : Fiktif)

Jawaban

1. Dik: x = µ = 4,70

= 0,40

n = 25

Dit: a. P ( x ≥ 4,6) ?

b. P ( x ≤ 4,9)?

Jwb:

a. x

=

z =

x x

x

=

= -1,25

z 0


7

lihat tabel z:


luas antara z-0 = 0,3944+


Kesimpulan: Jadi, dari 25 peserta yang dijadikan sample, probabilita

bahwa berat burger yang berhasil dimakan paling sedikit

4,6 ons adalah sebesar 0,8944 atau 89,44%

z =

x x

x

=

= 2,5

lihat tabel z:

luas sebelah kiri 0= 0,5000

luas antara 0 – z = 0,4938

+

luas sebelah kiri z= 0,9938

0 z

Kesimpulan: Jadi, dari 25 peserta yang dijadikan sample, probabilita

bahwa berat burger yang berhasil dimakan paling banyak

4,9 ons adalah sebesar 0,9938 atau 99,38%

2. 250 peserta dijadikan sebagai sampel dalam lomba karya tulis ilmiah.

Ternyata terdapat beberapa karya tulis ilmiah yang merupakan tindakan

plagiarism yang dilakukan oleh para peserta di lomba tersebut. Jika pada

kenyataannya, 30% dari hasil karya tulis tersebut merupakan hasil

plagiarism, berapakah probabilita bahwa akan terdapat antara 25% dan 35% dari

karya tulis tersebut benar-benar hasil plagiarism?

(sumber soal : Fiktif)

Jawaban

Dik: n = 250

π(plagiarism)= 30% = 0,30

Dit: P ( 25% <

< 35%)?


8

Jwb:

= π = 0,30

=

=

= 0,028982753

=

=

= -1,73

=

=

= 1,73

Lihat tabel z:

luas antara -0 = 0,4582

luas antara 0- = 0,4582 +

luas antara = 0,9164

0

Kesimpulan: Jadi, probabilita bahwa akan terdapat antara 25% dan 35%

dari hasil karya tulis tersebut benar-benar plagiarism adalah

sebesar 0,9164 atau 91,64%

3. Irsyad Company has just received 5000 cristal bottles. Before accepting the

bottles, the manager insists that 9 of the cristal bottles be randomly selected for

testing. He intends to measure the maximum capabilty of each bottle and reject

the shipment if the mean capability for the sample is greater than the 300 newton

listed on the product label. Unknown the manager, the bottles on the truck require

an average of 295 newton, with a standard deviation of 12 newton. Stating any

additional assumptions you are using, find the probability that the cristal bottles

will be rejected.

(Sumber Soal : Fiktif)

Jawaban

Dik: N = 5000

µ = 295

n = 9


9

= 12

if the mean capability for the sample is greater than the 300 the

cristal bottles will be rejected

Dit: The probability that the cristal bottles will be rejected,

P( x > 300)?

Jwb:

=

= 0,0018 < 5% (tidak menggunakan faktor koreksi)

x

= µ = 295

x

=

= 4

z =

x x

x

=

= 1,25

lihat tabel z:


luas antara 0 - z = 0,3944

-


0 z

Conclusion: so, the probability that the cristal bottles will be rejected is

0,1056 or 10,56%

4. Meisa Corporation, holding in Property, has average selling price of new

Apartment in Bandung in a year about $115.000. The population standard

deviation was $25.000. 100 new apartment is taken randomly as samples from

Bandung.

a) What is the probability that the sample mean selling price was between

$113.000 and $117.000?

b) What is the probability that the sample mean selling price was more than

$110.000?



10

Answer:

Given: µ = 115.000

= 25.000

n = 100

Determine: a. P(113.000< x <117.000)?

b. P( x >110.000)?

Answer : x

= µ = 115.000

x

=

=

= 2500

a. z =

x x

x

=

= -0,8

z =

x x

x

=

= 0,8

0

Lihat tabel z:

luas antara

- 0 = 0,2881

luas antara 0 -

= 0,2881 -

luas antara

-

= 0,5762

Conclusion : so the probability that the sample mean selling price was between

$113.000 and $117.000 is 0,5762 or 57,62%

b. =

x x

x

=

= -2

z 0


11

lihat tabel z:


luas antara z-0 = 0,4772 +


Conclusion : So the probability that the sample mean selling price was more than

$110.0000 is 0,9772 or 97,72%.

5. PT. Ditha Sentosa Lestari membuka lowongan pekerjaan untuk 120 pelamar

dari lulusan perguruan tinggi. Manager HRD berasumsi bahwa pelamar dapat

dianggap sebagai sampel acak dari semua lulusan tersebut. Berapakah probabilita

bahwa antara 35% dan 45% dari mereka adalah wanita jika 40% dari semua

lulusan perguruan tinggi tersebut adalah wanita?


Jawaban

Dik: n = 120

π(wanita)= 40% = 0,40

Dit: P (35% <

< 45%)

Jwb:

= π = 0,40

=

=

= 0,044721359

=

=

= -1,12

=

=

= 1,12

Lihat tabel z:

luas antara -0 = 0,3686

luas antara 0- = 0,3686

+

luas antara - = 0,7372

0


12

Kesimpulan: Jadi, probabilita bahwa antara 35% dan 45% dari pelamar

adalah wanita ialah sebesar 0,7372 atau 73,72%

6. Ardina Pastry and Bakery mempunyai 200 cabang di Indonesia yang memiliki

Omzet rata-rata $58.000 dengan standar deviasi $10.000. 30 cabang dipilih secara

acak untuk berpartisipasi dalam acara tahunan yaitu festival makanan yang

diadakan oleh kementrian kesehatan.

a) berapa probabilita bahwa cabang yang berpartisipasi dalam festival

tahunan memiliki omzet minimal $60,000?,

b) berapa probalilita bahwa cabang yang berpartisipasi dalam festival

tahunan tersebut memiliki omzet diantara $56.000 dan $59.000?


Jawaban

Dik: N = 200

n = 30

µ = 58.000

= 10.000

Dit: P ( x ≥ 60.000)?

Jwb: a. x = µ = 58.000

=

= 0,15 > 5% (gunakan faktor koreksi)

x

=

.

= 1687,474797

z =

x x

x

=

= 1,19

Lihat tabel z:

luas sebelah kanan 0= 0,5000

luas antara 0 - z = 0,3830

-


13


0 z

Kesimpulan: Jadi, probabilita bahwa cabang yang berpartisipasi dalam

festival tahunan memiliki omzet minimal $60,000 adalah

0,1170 atau 11,70%

b. x

= µ = 58.000

=

= 0,15 > 5% (gunakan faktor koreksi)

x

=

.

= 1687,474797

Z1 =

x x

x

=

= -1,19 Z2=

x x

x

=

= 0,59

0

Lihat tabel z:

luas antara

- 0 = 0,3830

luas antara 0 -

= 0,2224 -

luas antara

-

= 0,6054

Kesimpulan: Jadi, probabilita bahwa cabang yang berpartisipasi dalam

festival tahunan memiliki omzet diantara $56,000 dan

$58000 adalah 0,6054 atau 60,54%

7. Yessica Incorporation has a plan to open a recquirement for new employee in

2013 for 528 persons. 211 persons from that amount, ever had experinces in

working before and the residual is fresh graduated. 120 employees is taken

randomly to be a sample. Determine

a) Proportion of Deviation Standard ?


14

b) Probability that the new employees who had working experinece is

between 50% and 60%?

Answer

Given: N= 528

x = 211

n = 120

Determine: a.

?

b. P (50% <

< 60%)?

Answer: π =

= 0,3996

=

= 0,227 > 5% (Use Correction Factor)

=

=

.

=

0,039342978

= π =

= 0,3996

=

=

= 2,55

=

=

= 5,09

0

Lihat tabel z:

luas antara 0- = 0,5000

luas antara 0- = 0,4946-

luas antara - = 0,0054

Conclution: probability that between 50% and 60% new employees had a

working experinece before is 0054 atau 0,54%.


15

DISTRIBUSI SAMPLING SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI

Statistik merupakan salah satu hal terpenting dalam proses pengambilan

keputusan pada bidang ekonomi, bisnis maupun ilmu pengetahuan. Statistik

mengacu pada estimasi dan uji hipotesis. Agar estimasi atau uji hipotesis

mendekati kondisi sebenarnya pada populasi maka perlu diambil sampel-sampel

yang dapat mewakili populasi. Hal ini dapat dilakukan dengan cara random

sampling, dimana setiap elemen dari populasi memiliki peluang yang sama untuk

terpilih menjadi sampel. Dari pengambilan sampel ini kita dapat mempelajari

karakteristik populasi berdasarkan sampel yang diambil dari populasi itu.

Berdasarkan sifat-sifat sampel yang diambil dari sebuah populasi, statistika akan

membuat kesimpulan umum yang diharapkan berlaku untuk populasi itu.

Jika nilai-nilai statistik yang sejenis dikumpulkan lalu disusun dalam suatu

daftar sehingga terdapat hubungan antara nilai statistik dan frekuensi statistik

yang didapat, maka diperoleh kumpulan statistik yang biasa disebut distribusi

sampling (Sudjana, 2004: 87).

1. Distribusi Sampling Selisih Rata-Rata

Distribusi sampling selisih rata-rata adalah distribusi probabilitas yang

dapat terjadi dari selisih rata-rata dua sampel yang berbeda berdasarkan pada dua

sampel tertentu dari ukuran parameter dua populasinya.

Untuk ukuran-ukuran sampel n1 dan n2 cukup besar (n1, n2 > 30), maka

distribusi sampling selisih rata-rata sangat mendekati distribusi normal, untuk

mengubahnya ke dalam bentuk normal standar maka diperlukan rumus :

Dimana :

a. Rata-rata ( Means )


16

b. Simpangan baku ( standart deviation )

Jika dan

tidak diketahui, maka dapat menggunakan standar deviasi

dari sampel

Contoh soal :

Pada suatu wilayah didapat rata-rata pendapatan manajer dan karyawan

per hari masing-masing sebesar Rp70.000,00 dan Rp30.000,00 dengan simpangan

baku Rp20.000,00 dan Rp4.000,00. Jika dari wilayah tersebut diambil sampel

manajer sebanyak 42 orang dan karyawan sebanyak 135 orang. Tentukan

probabilitas bahwa pendapatan manajer Rp45.000,00 lebih besar dari pendapatan

karyawan pada wilayah tersebut?

Jawab :

Dik :μ1 = 70.000 σ1 = 20.000 n1 = 42

μ2 = 30.000 σ2 = 4.000 n2 = 135

Dit : 5

Jwb :

= 70.000 – 30.000

= Rp40.000,00

=

= Rp3.105,209823


17

=

= 1.61

Kesimpulan : Jadi, probabilitas bahwa pendapatan manajer Rp45.000,00 lebih

besar dari pendapatan karyawan pada wilayah tersebut adalah sebesar 0,0537 atau

5,37%.

2. Distribusi Sampling Selisih Proporsi

Distribusi sampling selisih proporsi adalah distribusi probabilitas yang

dapat terjadi dari selisih proporsi dua sampel yang berbeda berdasarkan pada dua

sampel tertentu dari ukuran parameter dua populasinya, adapun rumus distribusi

sampling selisih proporsi dinyatakan dalam :

a. Rata-rata proporsi

b. Simpangan baku proporsi

Distribusi sampling selisih proporsi inipun akan mendekati distribusi

normal bila ukuran-ukuran sampel cukup besar (n1, n2 > 30), maka untuk

merubahnya menjadi bentuk normal standar diperlukan rumus :

Lihat tabel Z :

Luas sebelah kanan 0 :

0,5000

Luas 0 – Z :

0,4463

Luas sebelah kanan Z :

0,0537

0 Z


18

Jika tidak diketahui dan dianggap sama maka nilai :

= p =

sehingga standar baku proporsinya menjadi :

Contoh soal :

Suatu perusahaan pesawat melakukan perubahan strategi penjualan tiket

pesawat. Setelah dilakukan pengamatan pada dua tiket, tiket Ekonomi dan tiket

Bisnis, menunjukkan peningkatan penjualan sebesar 40% pada tiket ekonomi dan

32% pada tiket bisnis. Apabila penjualan tiket ekonomi pada bulan agustus

sebanyak 370 unit dan tiket bisnis sebanyak 230 unit, berapa probabilitas beda

persentase peningkatan penjualan mobil A dengan mobil B tidak lebih dari 5% ?

Jawab :

Dik : π1 = 40% = 0,4 n1 = 370

π2 = 32% = 0,32 n2 = 230

Dit : 5%

5%

Jwb :

= 0,4 – 0,32

= 0,08

=


19

= 0,03993414

Z1 =

Z2 =

5

Kesimpulan : Jadi, probabilitas beda persentase peningkatan penjualan tiket

ekonomi dengan tiket bisnis tidak lebih dari 5% adalah sebesar 0,2260 atau

22,60%.

0 Z2 Z1

Lihat tabel Z :

Luas Z1 – 0 :

0,4994

Luas Z2 – 0 :

0,2734

Luas Z1 – Z2 :

0,2260


20

SOAL & JAWABAN DISTRIBUSI SAMPLING SELISIH

RATA-RATA DAN SELISIH PROPORSI

1. Pegawai perusahaan STA Corporation pada Divisi Komputer mempunyai

gaji rata-rata sebesar $ 4500/bulan sedangkan Divisi Manual mempunyai

gaji $4000/bulan setelah dihitung didapat rata-rata hitung dari deviasi

kuadrat setiap gaji terhadap gaji rata-rata Divisi Manual $90.000

Sedangkan Divisi Komputer sebesar $40.000, Bila diasumsikan diambil

sampel random pada divisi komputer sebanyak 50 orang dan divisi manual

100, berapakah probability selisih rata-rata gaji dari dua sampel lebih besar

dari $ 600 ?

Jawab :

Divisi Komputer : μ1 = $ 4500 = 40.000 n1 = 50

Divisi Manual : μ2 = $ 4000 = 90.000 n2 = 100

Ditanya : ?

= 4.500 – 4.000 = 500

=

= 41,23

=

= 2,43

Luas kanan 0 = 0,5000

Luas 0- Z = 0,4925 –

Luas Kanan Z = 0,0075

Jadi, Probability selisih rata-rata gaji dari dua sampel

lebih besar dari $ 600 adalah 0,0075 atau 0,75 %


21

2. Ditha dan Dina akan melakukan sebuah pertandingan pelemparan pada

sekeping uang logam, Dina akan memperoleh kemenangan bila

memperoleh 5 sisi angka lebih banyak dari pada Dita, jika diasumsikan

mereka diberi kesempatan masing – masing percobaan melempar uang

logam tersebut sebanyak 50 kali, berapakah peluang Dina memenangkan

pertandingan ini ? dan berilah saran apakah dina akan ikut dalam

pertandingan itu atau tidak, jika harapan kemenanganya harus sebesar 20

% atau lebih?

Jawab :

Dik : π1 = π2 = 50 %

n1=n2 = 100

Dit : a.

%

Jwb : a.

= ( 0-5 – 0,5 )

= 0

=

= 0,1

=

1,0


Luas 0- Z = 0,3413–



22

Jadi, peluang dina memenangkan pertandingan ini adalah 0,1587 atau 15,87 %,

saran , karena peluang dina menang hanya 15,87 % < 20% (Harapan menang )

maka dina disarankan tidak megikuti pertandingan ini.

3. PT BMW 2000, a Travel Company has two routes, the route is BKT –

PDG and PDG – BSK, on the route BKT - PDG usually average ticket

price sold - is Rp. 50000.00 with a standard deviation of Rp 15.000,00,

whereas, on the route PDG – BSK usually average ticket price sold at price

Rp.12.000,00 with standart deviation Rp 1.000,00, If the random samples

taken from BKT - PDG as much as 40 times way trip and route of PDG -

BSK trip as much as 150 times. Tentukan :

a) Different average ticket price of the sample?

b) Standar deviation of the ticket price of the sample ?

c) The probability of different average of the ticket price of BKT -

PDG and PDG - BSK more than $ 35000.00?

Jawab :

BKT - PDG : μ1 = 50.000 = 15.000 n1 = 40

PDG - BSK : μ2 = 12.000 = 1.000 n2 = 150

a) = 50.000– 12.000 = 38.000

b)

=

= 2373,11

c)

=

= -1,26


Luas 0- Z = 0,3962 –


Jadi Probability selisih rata-rata gaji dari

dua sampel lebih besar dari 35.000 adalah

0.8962 atau 89,62 %


23

4. PT BNL dan PT BSW are the two companies engaged in banking and

insurance, These two companies operate four weeks a month and five days

a week, PT BNL daily average customers visited as many as 70 people and

83 custumers visited PT BSW for each day, with the standard deviation of

each at 6 and 10 for PT BNL and PT BSW, if sample is taken as many as

75 people on PT BNL and 90 the PT BSW, determine, the average possible

number of customers who visited the PT BSW differ between 10 to 15

clients over PT BNL?

Jawab :

BSW : μ1 = 83 = 10 n1 = 90

BNL : μ2 = 70 = 6 n2 = 75

a) = 83 – 70 = 13

b)

=

= 10,5636694

c)

=

= - 0,284

=

= 0,190

Luas Z1 - 0 = 0,1102

Luas 0- Z2 = 0,0753 –



24

Jadi , Kemungkinan rata – rata jumlah nasabah yang mengunjungi PT BSW

berbeda antara 10 sampai 15 nasabah lebihnya dari PT BNL adalah 0,1855 atau

18,55 %

5. PT Sony Sebagai produsen alat elektronik terbesar di Kopo menghasilkan

330 buah televisi perbulannya dimana 90% diantaranya merupakan televisi

dengan keadaan baik, dilain pihak PT Samsung sebagai saingan PT Sony

juga memproduksi Televisi Sejenis dengan berbeda Merek sejumlah 280

buah perbulan, dimana televisi yang diproduksi oleh PT Samsung 92 % nya

memiliki Kondisi yang baik.

Berdasarkan data diatas, saudara diminta menghitung :

a. Probabilitas jika Televisi rusak dari PT Sony akan berbeda kurang

dari 6% daripada Televisi dari PT Samsung ?

b. Probabilitas jika Televisi rusak dari kedua Perusahaan tersebut

akan berbeda antara 1% sampai 4% ?

Jawab :

Dik : π1 = 100% - 90% = 10% n1 = 330

π2 = 100% - 92% = 8% n2 = 280

Dit : a.

%

b. %

%

Jwb : a.

= 0,10 – 0,08

= 0,02


25

=

= 0,023142696

=

= 1,73

Kesimpulan : Jadi, probabibilitas Tv rusak dari PT Sony akan berbeda kurang dari

5% daripada Tv rusak dari PT Samsung adalah sebesar 0,9682 or 95,82%.

b.

Z1 =

= -0,43210 = - 0,43

Z2 =

= 1,29305322 = 1,30

0 Z

Lihat tabel Z :

Luas sebelah kiri 0 : 0,5000

Luas 0 – Z : 0,4582

Luas sebelah kiri Z : 0,9582

Lihat tabel Z :

Luas Z1 - 0 : 0,1664

Luas 0 – Z2 : 0, 4032 +

Luas Z1 – z2 : 0,5696

0 Z2 Z1


26

Kesimpulan : Jadi, Probabilitas Televisi tidak baik dari kedua perusahaan akan

berbeda antara 1% sampai 4% adalah sebesar 0,5696 or 56,96 %.

6. Sebuah perusahaan memiliki 2 gudang yang terpisah, pada gudang Helium

dinyatakan lima persen barang didalamnya dinyatakan rusak, sedangkan

pada gedung Hydrogen barang yang rusak sebesar 10 %. Bila diambil

sampel acak dari gudang Helium sebanyak 200 sedangkan pada gudang

Hydrogen sebanyak 300, tentukanlah berapa selisih persentase barang yang

cacat pada gudang Hydrogen lebih banyak dibanding gudang Helium jika

luas sebelah kanan dari nilai Z adalah 0,9032

Jawab :

Gudang Hydrogen : n1 = 300 = 0,1

Gudang Helium : n2 = 200 = 0,05

Luas sebelah kanan Z = 0,9032

= 0,10 – 0,05 = 0,05

=

= 0,023

Sehingga didapat :

5


Luas kiri O = 0,5000 –

Luas Z – 0 = 0,4032

Maka nilai Z = -1,30


27

%

Jadi, persentase barang yang cacat pada gudang Hydrogen lebih banyak dibanding

gudang Helium adalah 2 %, atau persentase barang yang cacat dalam gudang

hydrogen 2 % lebih banyak dari pada gudang helium

7. Hamdie `s Corporation has two different departments in the Corporate

Finance , Departement of Investing dan Departement of Budgeting, every

year an estimated error in each department doing their job , 12 % dan 6 %

for Investing and Budgeting Departement, Irsyad as a Chief financial

Officer want to analyze it, and took 320 people from each -department as a

sample. Determine the :

a. The probability of different departments of the percentage error of

less than 1% investing more shall the department of budgeting?

b. What is the number of samples taken? if the observations by Chief

Financial Officer of the department show that the chances of

mistakes investing at least 6% of the departmental budgeting is

0.2743 (where the number of samples department of investing and

department of budgeting, the same amount)

Answer :

: a.

= 0,12 – 0,10

= 0,02

=

= 0,02472347

=


28

Kesimpulan : Jadi, probabilitas beda persentase kesalahan departemen investing

kurang dari 4 % lebihnya daripada departemen penyelesaian adalah sebesar

0,7910atau 79,10 %

b.

0,60 =

= 0,066666666

.

0,06666666 =

0,0044444 =

0 Z

Lihat tabel Z :

Luas sebelah kiri 0 : 0,5000

Luas Z – 0 : 0,2910 +


Lihat tabel Z :

Luas sebelah kanan 0 : 0,5000

Luas 0 – Z : 0,2743 -


0 Z Lihat tabel Z; Nilai Z = 0,60


29

n = 44,0144 ≈ 44 orang

Kesimpulan : Jadi, Jumlah sampel yang diambil bila ternyata hasil pengamatan

menunjukkan bahwa peluang kesalahan departemen investing minimal 6 %

daripada departemen budgeting adalah 0,2743 dimana jumlah sampel departemen

investing dan departemen budgeting berjumlah sama adalah sebanyak 44 orang.


30

PENAKSIRAN RATA-RATA DAN PROPORSI

1. Pendahuluan

Setiap orang pasti pernah membuat prakiraan. Contohnya seorang manajer

perusahaan, yang sering kali dituntut untuk membuat prediksi yang rasional

ketika berhadapan dengan suatu kondisi yang penuh ketidakpastian, tanpa

informasi yang lengkap. Agar dapat menjalankan tugas dengan baik, seorang

manajer harus menguasai konsep penaksiran secara statistik. Penaksiran

adalah seluruh proses dengan menggunakan statistik sampel untuk menduga

parameter yang tidak diketahui. (Statistika Untuk Ekonomi dan Keuangan

Modern, Suharyadi). Jadi pada penaksiran, kita mengambil sampel untuk

dianalisis, kemudian hasil analisis tersebut digunakan untuk

menduga/memperkirakan ukuran populasi (parameter populasi).

2. Jenis Penaksiran Statistik

Ada 2 jenis penaksiran yang dilakukan terhadap populasi, yaitu: Pendugaan

Titik (Point Estimation) dan Pendugaan Interval (Interval Estimation). Pada

pendugaan titik, sebuah nilai (dari hasil analisis sampel) digunakan untuk

menduga ukuran atau parameter populasi yang ingin diketahui. Pada

pendugaan interval, suatu interval nilai digunakan untuk menduga parameter

populasi. Sebagai contoh, untuk menduga usia rata-rata mahasiswa. Dari

sampel acak sebanyak 50 mahasiswa, rata-rata berusia 23 tahun. Pada

pendugaan titik, nilai 23 tersebut digunakan untuk menduga usia rata-rata

populasi, sedangkan pada pendugaan interval kita membentuk suatu interval

duga yang dikembangkan dari nilai 23 tersebut. Katakanlah, interval duga

tersebut adalah 23 ± 1 tahun. Dengan demikian, maka kita dapat

memperkirakan bahwa rata-rata usia populasi berkisar antara 22 sampai 24

tahun.


31

3. Kriteria Penaksir yang Baik

Statistik sampel yang digunakan untuk menduga parameter populasi harus

memenuhi tiga kriteria berikut, yaitu:

Tidak bias

Statistik sampel yang digunakan sebagai penduga harus sama atau

mendekati parameter populasi yang diduga.

Efisien

Statistik sampel memiliki standar deviasi yang kecil.

Konsisten

Jika ukuran sampel meningkat, maka statistik sampel akan semakin

mendekati parameter populasinya.

4. Penaksiran Titik (Point Estimation)

Pada penaksiran titik, kita menggunakan satu nilai untuk menduga parameter

populasi.

Contoh: Diambil 10 buah batere dengan daya tahan batere seperti yang

ditunjukkan oleh tabel berikut :

Batere 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Daya Tahan 2 2 2 2,1 1,9 2 2,1 2,2 1,8 1,9

Untuk menduga rata-rata dan standar deviasi populasi, kita dapat

menggunakan dan s.

5

Maka dugaan untuk µ dan σ adalah:

= µ = 2

s = σ = 0,1154


32

5. Penaksiran Interval (Interval Estimation)

Macam-macam penaksiran interval:

1. Penaksiran Rata-rata

2. Penaksiran Proporsi

3. Penaksiran Selisih Rata-rata

4. Penaksiran Selisih Proporsi

Ketika menggunakan penaksiran interval, ada beberapa hal yang harus

diperhatikan:

Tingkat keyakinan (1-α) adalah luas di bawah kurva merupakan tempat

kedudukan titik-titik yang menunjukkan nilai taksiran parameter populasi

berdasarkan statistik sampelnya yang masih dapat diyakini kebenarannya.

Tingkat signifikansi (α) adalah luas daerah di bawah kurva yang merupakan

tempat kedudukan titik-titik yang menunjukkan nilai taksiran parameter

populasi berdasarkan statistik sampelnya yang tidak dapat diyakini

kebenarannya.

1. Penaksiran Rata-rata

Ada 3 rumus pendugaan interval rata-rata µ.

a.

Rumus ini berlaku untuk sampel besar (n ≥ 30) dari populasi yang tak

terbatas (infinite population) atau dari populasi terbatas (finite

population) namun

≤ 0,05.

b.

Rumus ini berlaku untuk sampel besar (n ≥ 30) dari populasi terbatas

dengan

> 0,05.

c.


33

Rumus ini berlaku bagi sampel kecil (n < 30) yang diambil dari

populasi (σ tak diketahui).

Contoh:

Suatu penelitian melibatkan pengambilan suatu sampel acak terdiri dari

256 manajer untuk menduga rata-rata penghasilan per tahun. Diperoleh

informasi bahwa rata-rata sampel adalah Rp 35.420.000 dan standar

deviasi sampel adalah Rp 2.050.000. Buatlah interval duga dengan

interval keyakinan 95%!

Dik: = Rp 35.420.000

s = Rp 2.050.000

n = 256

= Z0,475 = 1,96

Dit: P (

) = 0,95

5 5

5 5

5

5

5 5 5 5 5 5

5 5 5 5

Jadi, dengan tingkat signifikansi 5% rata-rata penghasilan per tahun

berkisar antara Rp 35.168.875 dan Rp 35.671.125

Penyelesaian dengan Minitab:

Klik stat, basic stat, 1-sample Z (karena sampel ≥ 30)

Pilih summarized data, isi dengan mean, sample size, dan standar

deviation

Klik option, dan isi confidence level dan pilih alternative not equal

Klik OK


34

2. Penaksiran Proporsi

Kata proporsi menunjukkan persentase dari suatu bagian atau unsur dari

suatu bagian. Di dalam setiap penelitian, elemen populasi/sampel dapat

dikategorikan sesuai dengan karakteristik tertentu. Misalnya elemen

populasi/sampel tersebut dibagi menjadi dua kelompok atau kategori,

yaitu kelompok elemen yang mempunyai atau tidak mempunyai

karakteristik tertentu.

Rumus penaksiran proporsi:

Rumus ini berlaku untuk sampel besar (n ≥ 30) dari populasi yang tak

terbatas (infinite population) atau dari populasi terbatas (finite population)

namun

≤ 0,05.

Jika

> 0,05, gunakan faktor koreksi

Jika sampel kecil (n < 30), ganti Zα/2 menjadi tα/2.

Contoh:

Dari sampel 100 mahasiswa PTS “ABC”, ternyata 25 mahasiswa memiliki

Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) ≥ 3. Buatlah dugaan untuk proporsi

populasi mahasiswa PTS “ABC” yang memiliki IPK ≥ 3 dengan interval

keyakinan 95%.

Dik: n = 100

5

Z α/2 = 1,96


35

Dit:P(

5

5 5 5

5

5 5

0,25 – 0,084870489 < π < 0,25 + 0,084870489

0,165129511 < π < 0,334870489

Jadi, dengan tingkat signifikansi 5% proporsi populasi mahasiswa PTS

“ABC” yang memiliki IPK ≥ 3 berkisar antara 16,51% dan 33,49%.

Penyelesaian dengan Minitab:

Klik stat, basic stat, 1-proportion

Pilih summarized data, isi dengan number of trials dan number of

events sesuai soal

Klik option, dan isi confidence level sesuai soal dan pilih alternative

not equal

Klik OK


36

SOAL PENAKSIRAN RATA-RATA DAN PROPORSI

1. Direktorat Jenderal Pariwisata Departemen Perhubungan ingin mengetahui

rata-rata pengeluaran wisatawan asing selama tinggal di Indonesia. Untuk

maksud tersebut dilakukan interview terhadap 9 orang wisatawan yang dipilih

secara acak. Ternyata besarnya pengeluaran Rp 270.500 dengan simpangan

baku sebesar Rp 18.240. Buatlah pendugaan rata-rata pengeluaran yang

sebenarnya bagi wisatawan asing selama tinggal di Indonesia, dengan tingkat

keyakinan 90%!

Dik: n = 9

= Rp 270.500

s = Rp 18.240

tα/2 = t0,05; 8 = 1,8595

Dit: P (

) = 0,90

Jawab:

5 5 5

5 5 5

270,5 – 11,30576 < µ < 270,5 + 11,30576

259,19424 < µ < 281,80576

Jadi, dengan tingkat signifikansi 10% rata-rata pengeluaran yang sebenarnya

bagi wisatawan asing selama tinggal di Indonesia berkisar antara Rp

259.194,24 dan Rp 281.805,76.


37

2. Rektor Universitas Padjadjaran ingin mengetahui berapa persen mahasiswa

Padjadjaran yang datang ke kampus dengan mengendarai mobilnya sendiri.

Untuk itu telah diteliti sebanyak 250 mahasiswa yang dipilih secara acak,

ternyata ada 90 orang yang datang ke kampus dengan mengendarai mobilnya

sendiri. Dengan menggunakan tingkat signifikansi 5%, buatlah pendugaan

persentase mahasiswa Padjadjaran yang datang ke kampus dengan

mengendarai mobilnya sendiri!

Dik: n = 250

x = 90

=

= 0,36

Zα/2 = Z0,475 = 1,96

Dit: P(

5

Jawab:

5

5

0,36 – 0,059501416 < π < 0,36 + 0,059501416

0,300498583 < π < 0,419501416

Jadi, dengan tingkat signifikansi 5%, persentase mahasiswa Padjadjaran yang

datang ke kampus dengan mengendarai mobilnya sendiri berkisar antara

30,05% dan 41,95%.

3. Pedagang buah-buahan yang mengimpor 1000 jeruk dari California, Amerika,

ingin mengetahui berapa persen jeruk yang busuk. Untuk maksud tersebut,

dipilih 100 buah jeruk impor dari California yang dipilih secara acak, ternyata

ada 82 buah yang tidak busuk. Buatlah pendugaan interval persentase jeruk

yang busuk dengan tingkat keyakinan 98%!

Dik: N = 1000

n = 100

x = 18

=

= 0,18


38

=

= 0,1

Dit: P(

Jawab:

0,18 – 0,08496452 < π < 0,18 + 0,08496452

0,095035479 < π < 0,26496452

Jadi, dengan tingkat signifikansi 2% persentase jeruk yang busuk berkisar

antara 9,50% dan 26,50%.

4. Financial manager PT Kina wants to do research to estimate the average cost

of the project (billion rupiahs) with sampling error Rp 400 millions, and

standar deviation of Rp 1 billion. How many projects to be taken as samples

by the manager with confidence level of 95%!

Given: s = 1 billions

SE = 400 millions

Zα/2 = 1,96

Asked: n

Answer:

n = 240,1

So, there are 240 projects to be taken as samples by the manager with

significance level of 5%.


39

5. If seven students chosen at random with the height 160 cm, 170 cm, 165 cm,

175 cm, 180 cm, 155 cm and 170 cm. Make an estimate of the average

student‟s height with a confidence level of 99%!

Given: n = 7

= 167,8571429

s = 8,59124693

tα/2 = t0,005; 6 = 3,7074

Asked: P (

) = 0,99

Answer:

5 5

5

5

167,8571429 – 12,03861782 < µ < 167,8571429 + 12,03861782

155,8185251 < µ < 179,8957607

So, with the significance level of 1% the average student‟s height is between

155,8185251 cm and 179,8957607 cm.

6. Manager of PT Dinar wants to raise the salaries of employees due to the

current spending has also increased. Therefore he wanted to interview the

employees to get the data, how many employees that he would interview if he

wants the sampling error Rp 2.500 and standard deviation of Rp 15.000

confidence level of 96%?

Given: SE = 2,5

s = 15

Zα/2 = 2,05

Asked: n

Answer:

5 5 5

5 5 5

n = 151,29


40

So, with the significance level of 4% there are 151 employees that manager

would interview.

7. Dari 300 perusahaan swasta nasional di Indonesia, seorang pejabat perbankan

berpendapat bahwa dari 75 perusahaan swasta nasional di Indonesia yang ia

selidiki, modal perusahaan Rp 750.000.000. Standar deviasi modal tersebut

sebesar Rp 30.000.000. Dengan tingkat keyakinan sebesar 99%, berapakah

taksiran rata-rata modal perusahaan swasta nasional?

Dik: N = 300

n = 75

= 750

s = 30

= 0,25 (menggunakan faktor koreksi)

Zα/2 = Z0,495 = 2,575

Dit: P(

) = 0,99

Jawab:

5 5 5

5 5

5 5 5

5 5

750 – 7,737907277 < µ < 750 + 7,737907277

742,2620927 < µ < 757,737907277

Jadi, dengan tingkat signifikansi 1% rata-rata modal perusahaan swasta

nasional berkisar antara Rp 742.262.092,7 dan Rp 757.737.907,277 juta.


41

8. Sebuah perguruan tinggi di Jakarta akan mengadakan penelitian mengenai

rata-rata penghasilan per tahun para alumninya. Dari 970 alumni, akan diteliti

sekitar 34 alumni dengan standar deviasi dan rata-rata penghasilan sebesar Rp

250.000 dan Rp 4.500.000. Buatlah dugaan rata-rata penghasilan 970 alumni

tersebut dengan tingkat signifikansi 5%!

Dik: N = 970

n = 34

= 0,0350051546 (tidak menggunakan faktor koreksi)

Zα/2 = 1,96

s = 250.000

= 4.500.000

Dit: P(

) = 0,95

Jawab:

5 5

5

5

4500000 – 84034,30672 < µ < 4500000 + 84034,30672

4415965,693 < µ < 4584034,307

Jadi, dengan tingkat signifikansi 5% rata-rata penghasilan 970 alumni

berkisar antara Rp 4.415.965,693 dan Rp 4.584.034,307.

9. Manajemen perusahaan ingin meneliti apakah para karyawan menyukai

sistem penilaian baru yang ditawarkan. Tim peneliti menghendaki bahwa

dugaan proporsi populasi karyawan yang menyukai sistem baru akan berkisar

± 2% dari proporsi sampel dengan tingkat keyakinan 90%. Berapa besar

sampel yang harus diambil?

Dik: SE = 2%

Zα/2 = 1,645

Dit: n

Jawab:


42

5 5 5

5 5

n = 1691

Jadi, dengan tingkat signifikansi 10% maka banyaknya karyawan yang harus

dijadikan sampel sebanyak 1691 orang.

10. Survei terhadap 25 calon pemilih menunjukkan bahwa 80% akan memilih

Bill Clinton. Buatlah dugaan sebesar 95% confidence level untuk proporsi

calon yang akan memilih Bill Clinton!

Dik: n = 25

tα/2 = t0,025; 24 = 2,0639

= 0,8

Dit: P(

5

Jawab:

5

5

0,8 – 0,165112 < π < 0,8 + 0,165112

0,634888 < π < 0,965112

Jadi, dengan tingkat signifikansi 5% proporsi calon yang akan memilih Bill

Clinton berkisar antara 63,49% dan 96,51%.


43

PENAKSIRAN SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI

Penaksiran Selisih Rata-Rata

Apabila kita hendak menaksir perbedaan rata-rata )( 21 pada dua populasi,

maka kita bisa menaksir rata-rata populasi tersebut dengan menggunakan statistik

sampel rata-rata )( 21 xx . Jika sampel yang diambil dari populasi ke satu

berukuran n1 dan simpangan baku s1 dengan rata-rata 1x dan sample yang

diambil dari populasi ke dua berukuran n2 dan simpangan baku s2 dengan rata-rata

2x , maka titik taksiran selisih rata-rata populasi )( 21 adalah )( 21 xx .

1. Untuk sample besar )30&30( 21 nn

2. Untuk sample kecil )30&30( 21 nn

2

2

2

1

2

1

22121

2

2

2

1

2

1

221 )()(

nnZxx

nnZxx

2

2

2

1

2

1

22121

2

2

2

1

2

1

221 )()(

n

s

n

sZxx

n

s

n

sZxx

2

2

2

1

2

1

22121

2

2

2

1

2

1

221 )()(

nntxx

nntxx

2

2

2

1

2

1

22121

2

2

2

1

2

1

221 )()(

n

s

n

stxx

n

s

n

stxx

*)*2; 21 nndf

)11

(2

)1()1()()

11(

2

)1()1()(

2121

2

22

2

11

22121

2121

2

22

2

11

221

nnnn

snsntxx

nnnn

snsntxx

**)*

*)


44

Catatan :

Digunakan bila dan

tidak diketahui nilainya

Digunakan bila dan

tidak diketahui nilainya dan diketahui

Digunakan bila dan

tidak diketahui nilainya dan diketahui

Contoh Soal:

Seorang mahasiswa melakukan penelitian terhadap daya tahan 2 jenis barang yang

fungsinya sama. Barang X memiliki rata-rata daya tahan 4.500 jam dengan

varians 90.000 jam, sedangkan barang Y memiliki rata-rata daya tahan 3.800 jam

dengan simpangan baku 200 jam. Apabila diambil dari masing-masing jenis

barang itu 150 unit, maka tentukanlah selisih rata-rata daya tahan kedua barang

tersebut dengan tingkat kepercayaan 95 %!

Jawab:

(Manual)

Dik :

= 150 = 4500 = 90.000

= 150 = 3800 = 40.000

Dan untuk tingkat signifikansi 95%, maka:

5

5

Maka selisih rata-ratanya:

*)

*)*

**)*

2

2

2

1

2

1

22121

2

2

2

1

2

1

221 )()(

nnZxx

nnZxx


45

(4500– 3800) – 1.96

< µx - µy < (4500– 3800) +1.96

700 – 57.70083766 < µx - µy < 700 + 57.70083766

642.2991623 < µx - µy < 757.7008377

maka selisih rata-rata daya tahan kedua barang tersebut dengan tingkat

kepercayaan 95 % adalah 642.299 jam sampai dengan 757.7 jam.

(Komputer dengan software minitab)

Langkah-langkahnya :

1. Pilih menu Stat, kemudian basic statistik, kemudian 2 sample t

2. Pilih summarized data, masukkan jumlah sample, mean, standar deviasi

masing-masing data kedalam kolom first dan second. Sesuaikan dengan soal.

3. Klik options dan masukkan confidence level 95,0

4. Terakhir klik OK

Output:

Two-Sample T-Test and CI

SE

Sample N Mean StDev Mean

1 150 4500 300 24

2 150 3800 200 16

Difference = mu (1) - mu (2)

Estimate for difference: 700.000

95% CI for difference: (642.029, 757.971)

T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 23.78 P-Value = 0.000 DF

= 259


46

Penaksiran selisih proporsi

Begitu juga dengan taksiran selisih proporsi )( 21 . Jika sample yang diambil

dari populasi ke satu berukuran n1 dan terdapat kejadian dari n1 sampel atau

percobaan dan sample yang diambil dari populasi ke dua berukuran n2 dan

terdapat kejadian dari n2 sampel atau percobaan, maka titik taksiran selisih

proporsi populasi )( 21 adalah )( 21 pp dimana 1

11

n

xp dan

2

22

n

xp

1. Untuk sample besar )30&30( 21 nn

2. Untuk sample kecil )30&30( 21 nn

Catatan :

1.Bila x1, x2, n1 & n2 masing-masing dinyatakan dengan bilangan bulat

positif, persoalan penaksiran tersebut dapat diselesaikan atau

dipecahkan dengan menggunakan rumus *) atau **).

2.Akan tetapi bila x1/n1, x2/n2 masing-masing dinyatakan dengan

bilangan dalam bentuk rasio atau persen maka hanya digunakan

rumus *).

)11

)(1()()11

)(1()(21

22

2

1

121

212

2

2

1

1

nnZ

n

x

n

x

nnZ

n

x

n

x

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

121

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

1

)1()1(

)(

)1()1(

)(n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

Zn

x

n

x

n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

Zn

x

n

x

*)*

*)

2; 21 nndf

)11

)(1()()11

)(1()(21

22

2

1

121

212

2

2

1

1

nnt

n

x

n

x

nnt

n

x

n

x

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

1

21

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

1

)1()1(

)(

)1()1(

)(n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

tn

x

n

x

n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

tn

x

n

x

*)*

*)


47

Contoh Soal:

Sebuah sampel random dari produk makanan perusahaan A sebanyak 200 buah

diambil dari pasaran bebas ternyata didapat 20 diantaranya adalah cacat. Sampel

yang lain dari produk makanan perusahaan B yang sama jenisnya terdiri dari 250

buah ternyata ada 25 buah yang cacat. Tentukan beda proporsi kerusakan produk

makanan ke dua perusahaan tersebut dengan confidence level 95 %? Selama ini

diketahui kualitas produk makanan perusahaan A dan B sama!

Jawab:

(manual)

Dik :

= 20 C.l = 95 %

5 = 25 = 1.96

Solusi:

- 1.96

< π1 – π2 <

+ 1.96

0.1 – 0.0867729 < π1 – π2 < 0.1 + 0.0867729

0.013223 < π1 – π2 < 0.1867729

Kesimpulan : Dengan tingkat kepercayaan 95 %, rentang taksiran selisih proporsi

kerusakan antara dua produk makanan tersebut adalah sebesar 1.32% sampai

dengan 18.68 %.

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

121

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

1

)1()1(

)(

)1()1(

)(n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

Zn

x

n

x

n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

Zn

x

n

x


48



1. Pilih menu Stat, kemudian basic statistik, kemudian 2 proportions

2. Pilih summarized data, masukkan jumlah trials dan events masing-

masing data ke dalam kolom first dan second. Sesuaikan dengan soal..


4. Terakhir klik OK

Output:

Test and CI for Two Proportions

Sample X N Sample p

1 20 100 0.200000

2 25 250 0.100000

Difference = p (1) - p (2)



Test for difference = 0 (vs not = 0): Z = 2.26 P-Value = 0.024


49

SOAL PENAKSIRAN SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI

1. STA Organization melakukan penelitian, menemukan bahwa 200 ekor kambing

yang diteliti memakan rata-rata 0,75 hektar rumput per hari. Sedangkan 100

ekor sapi memakan rata-rata 0,57 hektar rumput per hari. Menurut data

penelitian, besaran simpangan baku yang didapat masing-masing sebesar 0,09

dan 0,12. Dengan tingkat kepercayaan 95%, berapakah nilai taksiran

banyaknya luas area rumput yang dimakan kedua kelompok hewan tersebut?

Jawab :

Dik:

= 200 = 0.75 = 0.09

= 100 = 0.57 = 0.12 = 1.96

(manual)

(0.75 - 0.57) – 1.96

< µ1 - µ2 < (0.75 - 0.57) + 1.96

Atau 0.18 - 0.02662 < µ1 - µ2 < 0.18 + 0.02662

0.1534 < µ1 - µ2 < 0.2066

Jadi dengan tingkat sigifikansi 5%, nilai taksiran banyaknya luas area

rumput yang dimakan kedua kelompok hewan tersebut 0.1534 dan 0.2066

hektar



1. Pilih menu Stat, kemudian basic statistik, kemudian 2 sample t

2

2

2

1

2

1

22121

2

2

2

1

2

1

221 )()(

nnZxx

nnZxx


50

2. Pilih summarized data, masukkan jumlah sample, mean, standar

deviasi masing-masing data kedalam kolom first dan second.

Sesuaikan dengan soal.


4. Terakhir klik OK

Output:


Sample N Mean StDev SE Mean

1 200 0,7500 0,0900 0,0064

2 100 0,570 0,120 0,012


Estimate for difference: 0,180000

95% CI for difference: (0,153170; 0,206830)

T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 13,25 P-

Value = 0,000 DF = 156

2. Yessica meneliti dua jenis perusahaan, yaitu perusahaan ritel dan

pertambangan, dengan mengambil sampel sebanyak 500 perusahaan untuk

menemukan informasi mengenai kemampuan perusahaan membayar hutang.

Dari 240 perusahaan ritel, 136 dinyatakan mampu. Dari 260 perusahaan

pertambangan, 36 dinyatakan tidak mampu. Dari data tersebut, peneliti ingin

menentukan selisih antara proporsi kemampuan kedua sektor perusahaan

tersebut dalam membayar hutangnya. Tentukanlah selisih proporsi tersebut jika

peneliti ingin taraf nyatanya 1%?

Jawab :

Dik:

= 240 = 260

=

5

=

= 0.862

= 2.575


51

(manual)

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

121

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

1

)1()1(

)(

)1()1(

)(n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

Zn

x

n

x

n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

Zn

x

n

x

5 – 2.575

< π1 – π2 <

5 + 2.575

or

-0.295 - 0.0990785 < π1 – π2 < -0.295 + 0.0990785

-0.394079 < π1 – π2 < -0.1959215

Jadi, dengan tingkat signifikansi 1% selisih antara proporsi kemampuan

kedua sektor perusahaan tersebut dalam membayar hutangnya diantara

19.59% dan 39.41%.

(Komputer dengan software Minitab)


Sample X N Sample p

1 136 240 0.566667

2 224 260 0.861538


Estimate for difference: -0.294872

99% CI for difference: (-0.394031, -0.195712)

Test for difference = 0 (vs not = 0): Z = -7.66 P-Value = 0.000

3. Irsyad Oil Support And Gas menggunakan sebuah pengamatan untuk

memeriksa kegunaan mesin bor yang baru mereka kembangkan. Dari 300

perusahaan tambang minyak yang menggunakan mesin tersebut, 50% mengaku

puas dengan mesin baru tersebut. Sedangkan dari 250 perusahaan gas, 42%

mengaku puas dengan menggunakan mesin tersebut. Dengan tingkat signifikasi

10%, tentukanlah batas-batas nilai kepuasan kedua kelompok perusahaan yang

menggunakan mesin baru tersebut?

Jawab :


52

Dik:

= 300 = 250

0.5

0.42

= 1.645

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

121

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

1

)1()1(

)(

)1()1(

)(n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

Zn

x

n

x

n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

Zn

x

n

x

5 – 1.645

< π1 – π2 < 5 +1.645

0.08-0.0699412 < π1 – π2 < 0.08+0.0699412

0.0100588 < π1 – π2 < 0.1499412

Dengan tingkat signifikansi 10%, batas-batas nilai kepuasan kedua

kelompok perusahaan yang menggunakan mesin baru tersebut diantara

1.00% dan 14.99%.

Output Minitab


Sample X N Sample p

1 150 300 0.500000

2 105 250 0.420000





4. Hamdie Brothers Survey Consultant ingin mengadakan sebuah survey dengan

tujuan mengetahui waktu tunggu layanan perbankan dan rumah sakit. Untuk itu

dilakukan pengamatan pada data-data waktu tunggu setiap pelanggan selama


53

satu periode yang didapat dari dua sektor usaha tersebut. Data berikut

merupakan waktu tunggu dari sampel yang dipilih secara acak 11 pelanggan :

Waktu tunggu (dalam menit)

Perbankan 9,66 5,9 8,02 5,79 8,73 3,82 8,01 8,35 10,1 6,6 5,6

Rumah Sakit 4,21 5,55 3,02 5,13 4,77 2,34 3,54 3,2 4,5 6,1 0,3

Asumsikan varians populasinya sama, tentukanlah batas-batas taksiran selisih

rata-rata waktu tunggu hasil survei Hamdie Brothers Survey Consultant dengan

tingkat sigifikansi 5%?

Jawab :

Dik:

= 11 = 11

= 7.326 = 3.878

= 3.730287273

= 2.707076364

C.l = 95 % = 2.0860 (df = 11 + 11 -2 = 20)

Solution

)11

(2

)1()1()()

11(

2

)1()1()(

2121

2

22

2

11

22121

2121

2

22

2

11

221

nnnn

snsntxx

nnnn

snsntxx

(7.326-3.878) - 2.0860

< µ1 -

µ2< (7.326-3.878) - 2.0860

1.851< µ1 - µ2 < 5.043

Dengan tingkat sigifikansi 5%, maka batas-batas taksiran selisih rata-rata

waktu tunggu hasil survei Hamdie Brothers Survey Consultant antara

1.851 menit dan 5.043 menit.

Two-Sample T-Test and CI: Garut, Bandung

Two-sample T for Garut vs Bandung

N Mean StDev SE Mean

Garut 11 7.33 1.93 0.58

Bandung 11 3.88 1.65 0.50


54

Difference = mu (Garut) - mu (Bandung)



T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 4.51 P-Value =

0.000 DF = 20

Both use Pooled StDev = 1.7941

5. Ditha manufacturer is testing two different designs for an air tank. Testing

involves pumping air into a tank. Testing involves pumping air into a tank until

it bursts, then noting the air pressure just prior to tank failure. Four tanks of

design A are found to fail at an average of 1620 pounds per square inch (psi),

with standard deviation of 120 psi. Six tanks of design B fail at an average

1400 psi, with standard deviation of 115 psi. Assuming normal populations

with not equal standard deviations. Use 0.1 level of significance find the

interval estimation for the difference between the population means?

Jawab :

Given:

= 4 = 6

= 1620 = 1400

= 14400

= 13225

C.l = 90 % = 1.8595 (df = 4 + 6 -2 = 8)

(1620-1400) –

1.8595

< µ1 - µ2< (1620-1400) + 1.8595

220 - 141.6662 < µ1 - µ2< 220 + 141.6662

78.3338 < µ1 - µ2< 361.6662

2

2

2

1

2

1

22121

2

2

2

1

2

1

221 )()(

n

s

n

stxx

n

s

n

stxx


55

So, with 10% significance level the interval estimation for the difference

between the populations mean of tanks of design A and tanks of design B

is between 78.3338 psi and 36.6662 psi.

6. Berdasarkan hasil pengamatan Ardina, seorang manajer toko souvenir,

terhadap 20 orang sampel pelanggan toko yang berkunjung pada pagi hari,

menghabiskan rata-rata waktu 18 menit untuk berbelanja di tokonya.

Sedangkan hasil pengamatan Ardina pada 15 orang sampel pelanggan toko

yang berkunjung pada siang hari, mereka menghabiskan rata-rata waktu 14

menit untuk berbelanja di toko. Berdasarkan data toko, besarnya simpangan

baku populasi waktu kunjungan pelanggan toko pagi hari dan sore hari

berturut-turut adalah sebesar 2,5 menit dan 1.3 menit. Tentukan batas-batas

selisih rata-rata waktu kunjungan pelanggan pagi hari dan siang hari toko

souvenir milik Ardina, jika taraf nyatanya 10%?

Jawab :

Dik:

= 20 = 18 = 2.5

= 15 = 14 = 1.3

and for a 90 % confidence interval

= 1.6924

(18-14) – 1.6924

< µ1 - µ2< (18-14) + 1.6924

4 - 1.103526 < µ1 - µ2< 4 + 1.103526

2.89647 < µ1 - µ2< 5.103526

2

2

2

1

2

1

22121

2

2

2

1

2

1

221 )()(

nntxx

nntxx


56

Dengan tingkat signifikansi 10%, selisih rata-rata waktu kunjungan

pelanggan pagi hari dan siang hari toko adalah diantara 2.90 menit dan

5.14 menit.



Sample N Mean StDev SE Mean

1 20 18.00 2.50 0.56

2 15 14.00 1.30 0.34




T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 6.13 P-Value =

0.000 DF = 29

7. Meisa melakukan penelitian terhadap kepuasan mahasiswa asing terhadap

kualitas pendidikan jurusan manajemen keuangan di Universitas Dream High.

Untuk itu peneliti mengumpulkan dua sampel mahasiswa dari negara Korea

Selatan dan Jepang masing masing sebanyak 17 orang dan 19 orang. Dari 17

orang mahasiswa Korsel, 10 orang menyatakan kualitas pendidikan baik.

Sedangkan dari 19 orang mahasiswa Jepang, 14 orang menyatakan kualitas

pendidikan kurang baik. Dengan menggunakan tingkat signifikansi 10%,

tentukan batas-batas selisih perbedaan proporsi antara mahasiswa Korea

Selatan dan Jepang?

Jawab :

Dik:

= 17 = 19

=

5

=

= 0.26


57

Cl = 90% = (df = 19 + 17 - 2 = 34)

5 – 1.6909

< π1 – π2 < 5 –

1.6909

0.33-0.263887292 < π1 – π2 < 0.33+0.263887292

0.0661< π1 – π2 < 0.5939

Dengan menggunakan tingkat signifikansi 10%, selisih perbedaan proporsi

antara mahasiswa Korea Selatan dan Jepang yang menyatakan kualitas

pendidikan Universitas Dream High baik adalah diantara 6.61% dan

59.39%.



Sample X N Sample p

1 10 17 0.588235

2 5 19 0.263158





2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

1

21

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

1

)1()1(

)(

)1()1(

)(n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

tn

x

n

x

n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

tn

x

n

x


58

UJI HIPOTESIS RATA-RATA DAN PROPORSI

Hipotesis adalah sebuah dugaan atau referensi yang dirumuskan serta

diterima untuk sementara yang dapat menerangkan fakta-fakta yang diamati dan

digunakan sebagai petunjuk dalam pengambilan keputusan. (Suharyadi; 2009)

Pengujian Hipotesis

Pengujian Hipotesis adalah prosedur yang didasarkan pada bukti sampel

yang dipakai untuk menentukan apakah hipotesis merupakan suatu pernyataan

yang wajar dan oleh karenanya tidak ditolak, atau hipotesis tersebut tidak wajar

dan area itu ditolak.

Perumusan Hipotesis

Perumusan hipotesis dikembangkan menjadi hipotesis nol dan hipotesis alternatif.

a. Hipotesis Nol (Ho)

- Hipotesis nol dilambangkan dengan Ho dan diformulasikan untuk ditolak

sesudah pengujian.

- Memprediksi tidak adanya perbedaan antara satu kondisi dengan kondisi

yang lain.

b. Hipotesis Alternatif ( )

- Hipotesis alternatif ( ) merupakan hipotesis yang diterima ketika

menolak hipotesis nol (Ho) dan berlaku sebaliknya.

- Memprediksi adanya perbedaan antara satu kondisi dengan kondisi lain.

Contoh:

1. : = 25% (Rata-rata hasil investasi reksadana pada tahun 2010 sama

dengan 25%)

2. : 25% (Rata-rata hasil investasi reksadana pada tahun 2010 tidak sama

dengan 25%)


59

Uji Hipotesis Rata-Rata

Adalah pengujian mengenai hipotesis rata-rata suatu populasi yang

didasarkan atas informasi sampelnya.

Langkah-Langkah Menguji Rata-Rata Populasi (µ):

1. Rumuskan Hipotesis

a. : = (pengertian sama/uji 2 pihak)

:

: >

: <

b. : ≤ (uji 1 pihak kanan/ pengertian max)

: >

c. : (uji 1 pihak kiri/ pengertian min)

: <

2. Perhitungan Z stat dan t stat

Perhitungan Z stat:

bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan

5, gunakan faktor koreksi


≤ 5 atau bila populasinya tidak terbatas (N tidak diketahui

nilainya)


60

Ket :

* Bila standar deviasi populasi ( ) tidak diketahui dapat diganti

dengan standar deviasi sampelnya (s).

Perhitungan t stat:


5, gunakan faktor koreksi


≤ 5 atau bila populasinya tidak terbatas (N tidak diketahui

nilainya)

Keterangan : Bila standar deviasi populasi ( ) tidak diketahui dapat diganti

dengan standar deviasi sampelnya (s).

3. Menentukan batas daerah penerimaan dan penolakan:

a. n ≥ 30, tentukan nilai Z table

Z1/2α = α

Zα = 5 α

Ket : Z1/2α = Z table untuk uji 2 pihak

Zα = Z table untuk uji 1 pihak

n < 30, tentukan nilai t table dengan derajat kebebasan (degree of

freedom/df)

t1/2α = t table untuk uji 2 pihak

tα = t table untuk uji 1 pihak

df = n -1


61

b. Gunakan α (tingkat signifikasi)

c. Gambarkan daerah penolakan dan penerimaan hipotesis nol

berdasarkan langkah 1

i. Uji 2 pihak

ii. Uji 1 pihak kanan

iii. Uji 1 pihak kiri

Keterangan :

Daerah yang diasir adalah daerah penolakan Ho dan untuk n < 30, Z diganti

dengan t.

Daerah penerimaan H

-Z1/2α Z1/2α

Daerah penolakan H ( daerah kritis )


?


Daerah penerimaan H

Zα

Daerah penerimaan H

-Zα



62

4. Menentukan kriteria penerimaan atau penolakan

(1) Untuk uji 2 pihak : Z < -2

atau Z > 2

Ho ditolak

Jika 2

≤ Z ≤ 2

Ho tidak dapat

ditolak

(2) Uji 1 pihak kanan : Z > , Ho ditolak

Z ≤ , Ho tidak dapat ditolak

(3) Uji 1 pihak kiri : Z < Ho ditolak

Z ≥ Ho tidak dapat ditolak

Nilai Z diganti dengan t jika n ≤ 30.

5. Bandingkan nilai Z atau t (yang diperoleh pada tahap 2) dengan Z atau t

table serta simpulkan apakah Ho tidak dapat ditolak atau ditolak berdasarkan

kriteria penerimaan/penolakan.

6. Membuat kesimpulan secara komprehensif/lengkap

Contoh Soal:

Bisnis yang menguntungkan pada tahun 2012 adalah penjualan mobil mewah.

Harga mobil-mobil mewah rata-rata mencapai Rp1 miliar. Dari hasil survey

terhadap 40 penjual mobil mewah diketahui bahwa harga rata-rata mobil mewah

adalah sebesar Rp 1,25 miliar dengan standar deviasi 0,46 miliar. Ujilah apakah

harga mobil-mobil mewah sama dengan Rp 1 miliar, gunakan tingkat signifikansi

5%!

Dik : n = 40 = 5% s = 0,46

= 1,25 μ = 1

Dit : Ujilah pernyataan tersebut!


63

Jawab :

1. : μ = 1

: μ ≠ 1

2.

3. Z = 3,4373

=

5

Lihat pada table z dengan probabilitas 0,4750, maka

= 1,96

4. Kriteria uji : uji 2 pihak : Z < atau Z > , ditolak

, tidak dapat ditolak

-1,96 1,96

Ternyata : 3,4373 > 1,96; maka Z > , ditolak

Kesimpulan : Dengan tingkat signifikansi 5%, maka pernyataan harga mobil-

mobil mewah sama dengan Rp 1 miliar adalah tidak benar.


64

Uji Hipotesis Proporsi

Adalah pengujian hipotesis mengenai proporsi/perbandingan suatu

populasi yang didasarkan atas informasi sampelnya.

Langkah – langkah menguji proporsi populasi ( :

a. Rumuskan Hipotesis

a. : = (uji 2 pihak)

:

: >

: <

b. : (uji 1 pihak kanan/ pengertian max)

: >

c. : (uji 1 pihak kiri/ pengertian min)

: <

2) Perhitungan Z stat dan t stat (Z hitung atau t hitung)

Perhitungan Z stat:


, gunakan faktor koreksi

Z =


atau bila populasinya tidak terbatas (N tidak diketahui

nilainya)


65

Ket : x/n = proporsi sampel

π = proporsi populasi

Perhitungan t stat:


, gunakan faktor koreksi

t =


atau bila populasinya tidak terbatas (N tidak diketahui

nilainya)

t =

; df : n - 1

3) Menentukan batas daerah penerimaan dan penolakan

a. n ≥ 30, tentukan nilai Z table

Z1/2α = α

Zα = 5 α

Ket : Z1/2α = Z table untuk uji 2 pihak

Zα = Z table untuk uji 1 pihak

n < 30, tentukan nilai t table dengan derajat kebebasan (degree of

freedom/df)

t1/2α = t table untuk uji 2 pihak

tα = t table untuk uji 1 pihak

df = n -1


66

b. Gunakan tingkat signifikansi (

c. Gambarkan daerah penolakan dan penerimaan hipotesis nol

berdasarkan langkah 1.

i. Uji 2 pihak

ii. Uji 1 pihak kanan

iii. Uji 1 pihak kiri

Keterangan : daerah yang diasir adalah daerah penolakan Ho dan untuk n < 30, Z

diganti dengan t.

4) Menentukan kriteria penerimaan atau penolakan

i. Untuk uji 2 pihak :

Daerah penerimaan H

-Z1/2α Z1/2α



?


Daerah penerimaan H

Zα

Daerah penerimaan H

-Zα



67

Z < atau Z > , ditolak


ii. uji untuk 1 pihak kanan

Z > , ditolak


iii. uji 1 pihak kiri

Z < Ho ditolak

Z ≥ Ho tidak dapat ditolak

Nilai Z diganti dengan t jika n ≤ 30.

5) Bandingkan nilai Z atau t (yang diperoleh pada tahap 2) dengan Z atau t

tabel serta simpulkan apakah tidak dapat ditolak atau ditolak

berdasarkan kriteria penerimaan/ penolakan.

6) Membuat kesimpulan secara lengkap

Contoh soal:

Para CEO perusahaan-perusahaan besar sangat yakin bahwa dengan

beriklan maka penjualan akan meningkat. Pada tahun 2011 dari 30 produk yang

diiklankan, sebanyak 26 produk yang menunjukan peningkatan penjualan dan 4

produk lainnya mengalami kegagalan. Dari data tersebut ujilah pernyataan bahwa

90% lebih iklan mengalami kesuksesan dengan taraf nyata 5%!

Dik : x = 26 α = 5% π = 90% n = 30

Dit : Ujilah pernyataan tersebut

Jawab :

1. : π ≥ 0.9

: π < 0.9

2. t =


68

t =

Z = - 0,6086

3. tα df : n – 1 = 29 Lihat table t; maka tα = 1,6991

α= 0,05

4. Kriteria uji : uji 1 pihak kiri : Z < , ditolak

Z , tidak dapat ditolak

-1,6691

5. Ternyata : - 0,6086> -1,6691; maka Z > , tidak dapat ditolak

6. Kesimpulan : Dengan tingkat signifikansi 5%, maka pernyataan bahwa

bahwa 90% lebih iklan mengalami kesuksesan adalah benar.


69

SOAL UJI HIPOTESIS RATA-RATA DAN PROPORSI

1. PT Jaya sedang melakukan pengembangan sistem pengamanan untuk

menurunkan tingkat pencurian. Perusahaan menekankan bahwa pencurian

tidak boleh lebih dari 4 kali sehari. Selama pengamatan 35 hari ternyata angka

rata-rata pencurian, yaitu 5 kali. Dengan standar deviasi sebesar 3 dan

menggunakan taraf nyata 1%, apakah target perusahaan tersebut tercapai?

Dik : n = 35 = 1% s = 3

= 5 μ = 4

Dit : Apakah target perusahaan tersebut tercapai?

Jawab :

: μ ≤ 4

: μ > 4

Z = 1,9720

Zα = 2.33

Kriteria : Z > , ditolak


2.33

Ternyata : 1,9720< 2.33, maka Z < , tidak dapat ditolak


70

Kesimpulan : Dengan tingkat signifikansi 1%, maka perusahaan tersebut

mencapai target menekan tingkat pencurian.

2. Suatu perusahaan reksadana menyatakan bahwa rata-rata hasil

investasinya adalah 28% pada caturwulan pertama pada tahun 2012. Untuk

menguji apakah pernyataan tersebut benar, maka lembaga konsultan

mengadakan penelitian pada 42 perusahaan reksadana didapatkan rata-rata

hasil investasi adalah 23% dengan standar deviasi 7%. Ujilah apakah

pernyataan perusahaan reksadana tersebut benar?

Dik : n = 42 = 5% s = 7%

= 23% μ = 28%

Dit : Ujilah pernyataan perusahaan reksadana tersebut

Jawab :

: μ = 28%

: μ ≠ 28%

Z = -0,1102

= 1.96

Kriteria uji : uji 2 pihak : Z < atau Z > , ditolak


71


-1.96 1.96

Ternyata : -1.96< -0,1102<1.96 ; < Z < , tidak dapat ditolak

Kesimpulan : Dengan tingkat signifikansi 5%, maka pernyataan perusahaan

reksadana tersebut bahwa hasil investasinya rata-rata adalah 28% adalah benar.

3. Perusahaan pembiayaan di Indonesia relatif kalah perkembangannya dengan

perusahaan reksadana. Pada tahun 2011, dari 110 perusahaan pembiayaan

memiliki asset Rp215 miliar untuk setiap perusahaan sedangkan dari 115

perusahaan reksadana memiliki asset sebesar Rp250 miliar untuk setiap

perusahaan. Menurut majalah Investor , walaupun perusahaan pembiayaan

relatif kurang berkembang, dari 50% ke atas merupakan perusahaan yang

sehat. Untuk meneliti lebih lanjut diambil 45 perusahaan pembiayaan sebagai

sampel. Hasil penelitian menunjukan bahwa 67% sehat. Dengan tingkat

signifikansi 5% apakah penemuan majalah tersebut cukup bukti?

Dik : x/n = 67% α = 5% π = 50% n = 45

Dit : Apakah penemuan majalah tersebut cukup bukti

Jawab :

: π ≥ 0.5

: π < 0.5


72

Z =

Z = 2,2807

Zα = 1,645

Kriteria uji : uji 1 pihak kiri : Z < , ditolak


Z= -1,645

Ternyata : 2,2807 > -1,645 ; maka Z > , tidak dapat ditolak

Kesimpulan : Dengan tingkat signifikansi 5% maka terdapat cukup bukti

bahwa lebih dari 50% perusahaan pembiayaan merupakan perusahaan

yang sehat.

4. Suatu perusahaan yang membuat spare part mobil mengklaim bahwa paling

sedikit 86% dari spare part yang dipasok ke suatu pabrik mobil adalah

sesuai dengan spesifikasi. Suatu pengujian dari sampel yang terdiri dari 150

buah spare part memperlihatkan bahwa 19 diantaranya rusak . Ujilah klaim

mereka pada tingkat resiko 5%.

Dik : n= 150 = 5%

rusak = 19 buah , tidak rusak(sesuai spesifikasi) maka x = 131 buah

Jawab :

: 86%

: < 86%


73

Z =

= 0,4706

Zα = 0.5-0.05 = 0.4500 = 1,645

Kriteria uji : uji 1 pihak kiri : Z < , ditolak


-1,645

Ternyata 0,476 > -1,645, Z > , tidak dapat ditolak

Kesimpulan : Pada tingkat signifikansi 5% pernyataan perusahaan bahwa

paling sedikit 86% dari peralatan yang dipasok ke suatu pabrik adalah

sesuai dengan spesifikasi adalah benar.

5. Daya tahan lampu bohlam yang diproduksi PT. A memiliki rata-rata 150

hari dan standar deviasi 95 hari. Dengan menggunakan teknik baru dalam

proses produksi, diklaim bahwa daya tahan lampu bohlam dapat

ditingkatkan. Untuk menguji klaim ini, sampel yang terdiri dari 40 lampu

bohlam uji, dan diketahui bahwa rata-rata daya tahan lampu bohlam adalah

178 hari. Dapatkah kita membenarkan klaim tersebut pada tingkat

signifikansi 1%?

Jawab:

Dik : n = 40 = 1%


74

= 178 = 100

= 95

Dit :Uji klaim tersebut

Jawab :

: = 100

: > 100

Z = 5,1928

Zα = 2,33

Kriteria uji : uji 1 pihak kanan : Z > , ditolak

≤ , tidak dapat ditolak

2,33

Ternyata 5,1928> 2,33 : maka ,Z > , ditolak

Kesimpulan : pada tingkat signifikansi 1% pernyataan perusahaan tersebut bahwa

dengan menggunakan teknik baru dalam proses produksi dapat meningkatkan

daya tahan lampu adalah benar.


75

6. The claims department at MacFarland Insurance Company reports that the

mean cost to process a claim, handle all the paper work, pay the investigator,

and so on at least $60. An industry comparison showed this amount was

larger than most other insurance companies, so they cutting the costs. To

evaluate of the cost-cutting, MacFarland selected a random sample of 26

claims and found the mean of this sample was $57 and the standard

deviation $10. At the 1% significance level, should they conclude the cost –

cutting actually reduced the cost?

Given : n = 26 = 1% s = 10

= 57 μ = 60

Question : should they conclude the cost – cutting actually reduced the

cost?

Answer :

: μ 60

: μ < 60

= -1,5297

tα = 2,485

Criteria : one tailed test : t < , reject

t , do not reject

-2,485


76

Fact -1,5297 > -2,485 ; so t >

, do not reject

Conclusion : So the null hypothesis is not rejected at the 1% significance

level. This is indicates that the cost cutting have not reduced the mean cost.

7. The mean length of a small counterbalance bar is 45 millimeters. There is

concern that the adjustment of the machine producing affected the length of

the bars. Thirteen bars were randomly selected from production. Their

lengths, in millimeters were 42, 39, 41, 44, 46, 40, 38, 42, 42, 43, 43, 44, 45.

Test the hypothesis at 2,5%!

Given : n = 13 = 2,5% s = 2,24

= 42,23 μ = 45

Question : Test the hypothesis

Answer:

: μ = 45

: μ ≠ 45

= -4,4587

tα = 2,5600

Criteria : 2 tailed test : t < or t > , reject

, do not reject


77

-2,5600 2,5600

Fact : -4,4587 < 2,5600 ; so t < reject

Conclusion : with 2,5% significance level, we can conclude that the mean is

not 45 millimeters was accepted. The adjustment of the machine producing

affected the length of the bars.

8. The National Safety Council reported that 52% of American Turnpike

drivers are men. A sample of 29 cars traveling eastbound on the Ohio

Turnpike yesterday revealed that 16 were driven by men. At the significance

1%, can we conclude that a smaller proportion of men were driving on the

Ohio Turnpike than the National Safety Council indicates?

Given : n= 29 = 1%

x = 16 = 52%

Question : can we conclude that a smaller proportion of men were driving on

the Ohio Turnpike

Answer :

: = 52%

: < 52%

t =

t =

t = 0,3420

tα = 2,467

Criteria : one tailed test : t < , reject


78

t , do not reject

-2,467

Fact 0,3420 > -2,467; so t >

, do not reject

Conclusion : So the null hypothesis is not rejected at the 1% significance

level we can not conclude that a smaller proportion of men were driving on

the Ohio Turnpike than the National Safety Council indicates (we can

conclude that that 52% of American Turnpike drivers are men).

9. Research at the University of Toledo indicates that not more than 60% of the

students change their major area of study their first year in a program. A

random sample of 25 students in the College of Business revealed that 13

had changed their major area of study after their first year of the program.

Has there been a significant increase in the proportion of student who

changed their major after the first year in this program?

Given : n= 25 = 5%

x = 13 = 60%

Question : Has there been a significant increase in the proportion of student

who changed their major after the first year in this program?

Answer :

: ≤ 60%

: > 60%


79

t =

t =

t = -0,8165

tα = 1,7109

Criteria : one tailed : t > , reject

, do not reject

1,7109

Fact : -0,8165 < 1,7109 ; so t < , do not reject

Conclusion : At the 5% significance level. There hasn‟t been a significant

increase in the proportion of student who changed their major after the

first year in this program. The proportion of the students change their

major area of study their first year in a program is still not more than 60%

10. Pada tahun 2011, pemerintah berusaha terus – menerus membangun BUMN

yang sehat dan mampu menggerakkan perekonomian. Pada akhir tahun 2011

diharapkan 62% dari jumlah BUMN sudah sehat dan mempunyai

keuntungan. Untuk melihat kerja BUMN diambil 28 sampel dan hasilnya

46,43% BUMN dinyatakan sehat dan mempunyai keuntungan. Apakah

harapan pemerintah pada akhir 2011 tersebut terwujud?

Given : n= 28 = 5%

x/n = 46,43% = 62%


80

Question : Apakah harapan pemerintah pada akhir 2011 tersebut terwujud?

Answer :

: = 62%

: ≠ 62%

t =

t =

t = -1,4794

tα/2 = 2,0518

Kriteria uji : uji 2 pihak : t < atau t > , ditolak


-2,0518 2,0518

Ternyata : -2,0518 <-1,4794 <2,0518; maka < t < , tidak

dapat ditolak

Kesimpulan : dengan tingkat signifikansi 5% maka harapan

pemerintah pada akhir 2011 tersebut dapat terwujud.


81

UJI HIPOTESIS SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI

A. UJI HIPOTESIS SELISIH RATA-RATA

Pengujian hipotesis selisih rata-rata digunakan ketika terdapat dua buah rata-rata

hitung. Pengujian ini dimaksudkan untuk mengetahui apakah:

1. Beberapa populasi mempunyai rata-rata yang sama ataukah berbeda?

2. Beberapa buah sampel berasal dari sebuah populasi yang sama ataukah berlainan?

(Prof. Dr. Sudjana, M.A., M.Sc - Statistika Untuk Ekonomi dan Niaga Jilid II)

Perumusan Hipotesis:

Uji 2 Pihak

: μ μ

: μ μ

Kurva :

Kriteria :

≤ Z ≤ tidak dapat ditolak

Z < atau Z > ditolak

Uji Pihak Kanan

: μ ≤ μ

: μ μ

Kurva :

Kriteria :


82

Z ≤ tidak dapat ditolak

Z > ditolak

Uji Pihak Kiri

: μ μ

: μ μ

Kurva :

Kriteria :

Z ≥ tidak dapat ditolak

Z < ditolak

Keterangan:

- Untuk sampel kecil ubah Z menjadi t

- Untuk proporsi ubah μ menjadi

Rumus:

n>30 (sampel besar)

Z = μ μ

Jika dan

tidak diketahui nilainya, maka:

Z = μ μ

n≤30 (sampel kecil)

t = μ μ

Jika dan

tidak diketahui nilainya, tetapi diketahui bahwa ≠

maka :

t = μ μ


83

Jika dan

tidak diketahui nilainya, tetapi diketahui bahwa =

maka :

t = μ μ

contoh soal:

Seseorang berpendapat bahwa rata-rata jam kerja buruh di kota Jakarta lebih lama dari

jam kerja buruh di kota Bandung. Untuk itu, diambil sampel di kedua kota, masing-

masing 100 dan 70 dengan rata-rata dan simpangan baku 38 dan 9 jam per minggu

untuk kota Jakarta serta 35 dan 7 jam per minggu untuk kota Bandung. Ujilah

pendapat tersebut dengan tingkat signifikansi 5%!

Penyelesaian:

Dik: = 100 = 38 = 9

= 70 = 35 = 7

Dit: Ujilah pernyataan bahwa jam kerja buruh di Jakarta lebih lama dibandingkan

jam kerja buruh di Bandung (μ μ

)!

Jawab:

: μ ≤ μ

: μ μ

Z =

Z =

= 2,441365376 2,4414

α = 0,05

= 0,5 – 0,05 = 0,45 = 1,645

Kriteria :


84


Z > ditolak

Ternyata:

2,4414 > 1,645

Z > ditolak

Kesimpulan:

Dengan tingkat signifikansi 5%, pernyataan tersebut benar yaitu jam kerja buruh di

kota Jakarta lebih lama dari jam kerja buruh di kota Bandung.

B. UJI HIPOTESIS SELISIH PROPORSI

Pengujian hipotesis selisih proporsi digunakan ketika terdapat dua buah

perbandingan. Pengujian ini dimaksudkan untuk mengetahui apakah ada perbedaan

presentase yang menyolok ataukah tidak antara dua kelompok yang sedang dipelajari.

Rumus:

n>30 (sampel besar)

Z =

Jika dan tidak diketahui, maka:

dimana, =

atau dapat juga digunakan rumus:

Z =

n≤30 (sampel kecil)

t =

Jika dan tidak diketahui, maka:


85

t =

dimana, =

atau dapat juga digunakan rumus:

t =

contoh soal:

Dalam sampel random yang diambil dari para turis yang mengunjungi kota Bali

diketahui bahwa 105 dari 325 turis lokal dan 245 dari 400 turis asing membeli

cendera mata. Dengan tingkat kepercayaan 90% ujilah apakah proporsi turis lokal

yang membeli cendera mata lebih banyak dari turis asing yang membeli?

Penyelesaian:

Dik: = 105 = 245

= 325 = 400

Dit: π π

Jawab:

: ≤ (proporsi turis lokal yang membeli cendera mata tidak lebih banyak dari

turis asing yang membeli)

: (proporsi turis lokal yang membeli cendera mata lebih banyak dari turis

asing yang membeli)

=

=

= 0,48275862

= -0,572829072 -0,5728

α = 0,1


86

= 0,5 – 0,1 = 0,40 = 1,28

Kriteria :


Z > ditolak

Ternyata:

-0,5728 < 1,28

Z < tidak dapat ditolak

Kesimpulan:

Dengan tingkat signifikansi 10% dapat disimpulkan bahwa proporsi turis lokal yang

membeli cendera mata tidak lebih banyak dari turis asing yang membeli cendera

mata, karena tidak terdapat perbedaan yang signifikan.


87

SOAL UJI HIPOTESIS SELISIH RATA-RATA DAN SELISIH PROPORSI

1. Dari suatu penelitian yang dilakukan terhadap 2 jenis merek rokok, diambil sampel

sebanyak 10 batang merek A dan 8 batang merek B. Ternyata rata-rata nikotin rokok

merek A sebesar 23,1 mg dengan simpangan baku 1,5 mg. Sedangkan untuk rokok

merek B mengandung rata-rata nikotin sebesar 22,7 mg dengan simpangan baku 1,7

mg. Dengan taraf nyata 5% dapatkah diambil kesimpulan bahwa tidak ada perbedaan

kandungan nikotin antara kedua jenis merek rokok tersebut?

Penyelesaian:

Dik: = 10

= 8

= 23,1

= 22,7

= 1,5

= 1,7

Dit: μ μ

Jawab:

: μ μ

(tidak terdapat perbedaan kandungan nikotin antara rokok merek A dan

rokok merek B)

: μ μ

(terdapat perbedaan kandungan nikotin antara rokok merek A dan rokok

merek B)

t = μ μ

t =

= 0,530161848

df = = 0,05

= (10 + 8) -2 = 16 = 2,1199

-


88

Kriteria :

≤ t ≤ tidak dapat ditolak

t < atau t > ditolak

Ternyata:

-2,1199 < 0,5302 < 2,1199

< t < tidak dapat ditolak

Kesimpulan: Jadi, dengan taraf nyata 5% dapat disimpulkan bahwa tidak ada

perbedaan kandungan nikotin antara rokok merek A dan rokok merek B. Karena

perbedaannya tidak cukup berarti.

2. Guna menguji efektif tidaknya suatu vaksin, maka 150 ekor binatang percobaan diberi

vaksinasi sedangkan 150 ekor tidak diberi vaksinasi diatas. Ketiga ratus ekor binatang

percobaan diatas ditularkan dengan semacam penyakit. Diantara mereka yang telah

menerima vaksinasi, 10 ekor mati karena penyakit diatas. Sedangkan diantara yang

tidak diberi vaksinasi, 30 ternyata mati karena penyakit diatas. Dapatkah kita menarik

suatu kesimpulan bahwa vaksin diatas memang efektif guna memperkecil kematian

dari penyakit diatas? Gunakan taraf nyata 5%!

Penyelesaian:

Dik: = 10 = 30

= 150 = 150

Dit:

Jawab:

: (vaksin tersebut tidak efektif memperkecil kematian dari penyakit)

: (vaksin tersebut efektif memperkecil kematian dari penyakit)

=

=

= 0,133333333

= -3,396831102 -3,3968


89

= 0,5-0,05 = 0,45 = 1,645

Kriteria :

Z ≥ tidak dapat ditolak

Z < ditolak

Ternyata:

-3,3968 < -1,645

Z < ditolak

Kesimpulan:

Dengan tingkat signifikansi 5% dapat disimpulkan bahwa vaksin diatas memang

efektif guna memperkecil kematian dari penyakit.

3. The developer of a new welding rod claims that spot welds using his product will

have greater strength than conventional welds. For 45 welds using the new rod, the

average tensile strength is 23.500 pounds per square inch, with a standard deviation of

600 pounds. For 40 conventional welds on the same materials, the average tensile

strength is 23.140 pounds per square inch, with a standard deviation of 750 pounds.

Use the 0,01 level in testing the claim of superiority for the new rod.

Penyelesaian:

Dik: = 45

= 40

= 23.500

= 23.140

= 600

= 750

Dit: testing the claim! (μ μ

)

Jawab:

: μ ≤ μ

(spot welds using welding rod will not have greater strength than

conventional welds)


90

: μ μ

(spot welds using welding rod will have greater strength than

conventional welds)

Z =

Z =

= 2,42367922 2,4237

α = 0,01

= 0,5 – 0,01 = 0,49 = 2,33

Criteria :

Z ≤ cannot be rejected

Z > rejected

Fact:

2,4237 > 2,33

Z > rejected

Conclusion:

With 0,01 significance level, the claim that spot welds using his product will have

greater strength than conventional welds can be accepted

4. Seorang pejabat BRI berpendapat bahwa proporsi petani peminjam kredit Bimas yang

belum melunasi kredit tepat pada waktunya untuk Desa I dan Desa II adalah sama.

Berdasarkan hasil penelitian di Desa I, dari 1000 sampel petani terdapat 150 orang

yang belum melunasi. Sedangkan di Desa II, dari 800 petani terdapat 100 orang yang

belum melunasi. Dengan α = 5% ujilah pernyataan tersebut!

Dik: = 150 = 100

= 1000 = 800

Dit: π π

Jawab:


91

: π π

: π π

=

=

= 0,1388

= 1,524410761 1,5244

=

= 0,475 Z = 1,96

Kriteria :



Ternyata:

-1,96 < 1,5244 < 1,96

< Z < tidak dapat ditolak

Kesimpulan:

Jadi, dengan tingkat signifikansi 5% dapat disimpulkan bahwa pendapat pejabat BRI

yang menyatakan bahwa proporsi petani yang belum melunasi kredit Bimas dari Desa

I dan II adalah sama, dapat diterima karena tidak terdapat perbedaan yang signifikan.

5. Medical researchers monitoring two groups of physicians over a 6-year period found

that, of 3429 doctors who took aspirin daily, 148 died from a heart attack or stroke

during this period. For 1710 doctors who received a placebo instead of aspirin, 79

death were recorded. At the 0,01 level of significance, does this study indicate that

taking aspirin is more effective in reducing the likelihood of a heart attack?

Penyelesaian:

Dik: = 148 = 79


92

= 3429 = 1710

Dit:

Jawab:

: ≤ (taking aspirin is not more effective in reducing the likelihood of a heart

attack)

: (taking aspirin is more effective in reducing the likelihood of a heart

attack)

=

=

= 0,044172017

= -0,014631868 -0,01463

α = 0,01

= 0,5-0,01 = 0,49 = 2,33

Criteria :

Z ≤ cannot be rejected

Z > rejected

Fact:

-0,01463 < 2,33

Z < cannot be rejected

Conclusion:

With 0,01 level of significance, we can conclude that taking aspirin is not more

effective in reducing the likelihood of a heart attack.


93

6. Seorang importir telah mengimpor sejumlah lampu pijar dengan 2 merek berbeda,

yaitu lampu pijar merek everbright dan everlight. Importir tersebut ingin sekali

mengetahui ada atau tidak perbedaan secara nyata antara usia rata-rata kedua merek

lampu pijar diatas. Secara random, dipilih 50 buah lampu pijar merek everbright dan

50 lampu pijar merek everlight. Setelah diadakan pengujian ternyata usia rata-rata

lampu pijar everlight ialah sebesar 1.282 jam dan everbright 1208. Berdasarkan

pengalaman, ia menduga bahwa standar deviasi populasi dari lampu pijar everlight

dan everbright masing-masing sebesar 80 jam dan 94 jam. Yakinkah pedagang impor

diatas bahwa usia rata-rata kedua merek lampu diatas nyata berbeda?

Penyelesaian:

Dik: = 50

= 50

= 1.282

= 1.208

= 80

= 94

Dit: μ μ

?

Jawab:

: μ μ

(tidak terdapat perbedaan usia rata-rata antara lampu pijar everlight dan

everbright)

: (terdapat perbedaan usia rata-rata antara lampu pijar everlight dan

everbright)

Z = μ μ

Z =

= 4,239173971 4,2392

α = 0,05

=

= 0,475

= ±1,96


94

Kriteria :



Ternyata:

4,2392 > 1,96

Z > ditolak

Kesimpulan:

Dengan tingkat signifikansi 5%, dapat disimpulkan bahwa usia rata-rata lampu pijar

everlight dan everbright adalah nyata berbeda .

7. A nutrionist has noticed a FoodFarm ad stating the company‟s peanut butter contains

less fat than that produced by a major competitor. She purchase both of brand for test

the fat content. The 11 FoodFarm jars had an average of 31,3 grams of fat, with a

standard deviation of 2,1 grams. The 11 jars from the other company had an average

of 33,2 grams of fat, with a standard deviation of 1,8 grams. Assuming normal

population with equal standard deviation. Use 0,05 level of significance in examining

whether FoodFarm‟s ad claim could be valid.

Penyelesaian:

Dik: = 11

= 11

= 31,3

= 33,2

= 2,1

= 1,8

Dit: μ μ

Jawab:

: (FoodFarm company‟s peanut butter is not contains less fat than peanut

butter produced by a major competitor)

: (FoodFarm company‟s peanut butter contains less fat than peanut


95

butter produced by a major competitor)

t =

t =

= -1,199128224 -1,1991

df = = 0,05

= (11 + 11) -2 = 20 = 1,7247

Criteria :

t ≥ cannot be rejected

t < rejected

Fact: -1,1991 < -1,7247

t < rejected

Conclusion:

With 0,01 significance level the claim that FoodFarm company‟s peanut butter

contains less fat than peanut butter produced by a major competitor is right.


96

modul statistika ii - · pdf filetim asisten dosen statistika feb unpad mengetahui dan...

Documents