modul matematika sma i - · pdf filepengurangan, perkalian, ... kerjakan soal-soal dalam cek...
TRANSCRIPT
Modul Matematika SMA i
Tim Penyusun :
Liya Nur Qori‟ah (1724143141)
Lusiana Dian Silviani (1724143146)
Masdain Rifa‟I (1724143153)
Muchamad Misbakhudin (1724143158)
Muhammad Eko Budi Rismanto (172143170)
Naela Nur Azizah (1724143178)
Niken Nur Fadilla (1724143182)
Nurma Ekyta Sari (1724143195)
Neti Wahyu H (1724143278)
Nurul Qomaria (1724143198)
Retno Fadilah (1724143207)
Roisatun Nisak (1724143218)
Sinta Kumalasari (1724143226)
Titis Nurul Hanifah (1724143245)
Ulfa Lailatu Khusnia (1724143250)
Ummiy Mitsla Khusnika (1724143257)
Ulil Hikmah (1724143253)
Yulya Elfrida Achmad (1724143269)
Yuyun Ridhowati (1724143272)
Tim Editor :
Muhammad Eko Budi Rismanto (1724143170)
Mochamad Misbakhudin (1724143158)
Modul Matematika SMA ii
KATA PENGANTAR
Matematika itu sebagai ilmu dasar yang dipakai di segala bidang ilmu
pengetahuan pada saat ini, yang telah berkembang sangat amat pesat baik dari
materi maupun kegunaannya. Oleh karena itu, kami akan mencoba membuat
sebuah modul, yang mana modul ini kami kaji dari bebrbagai buku-buku
Matematika SMA/MA kurikulum 2013.
Yang mana tujuan dari pembuatan modul ini adalah:
1. Mempersiapkan siswa agar mampu/berkompeten dalam menghadapi
perubahan kehidupan dan mempertahankan budaya bangsa dan era
globalisasi di masa yang akan datang
2. Menanamkan sifat dasar pola berfikir logis, sistematis, rasional, kritis,
cermat, tekun, jujur, efisien, dan efektif.
pada kesempatan ini penulis menyampaikam terima kasih yang sebesar-
besarnya kepada :
1. Ibu Dian Septi Nur Afifah, selaku dosen mata kuliah Kajian &
Pengembangan Bahan Ajar Matematika yang telah membimbing dalam
pelaksanaan dan penyusunan modul ini.
2. Kedua orang tua serta semua pihak yang telah membantu dalam
penyelesaian pembuatan modul ini.
Kami menyadari bahwa penyusunan modul ini masih jauh dari
kesempurnaan. Oleh karena itu, kami sebagai penyusun sangat menghargai kritik
dan saran kepada pembaca modul ini. Semoga apa yang kami samapaikan dari
modul ini bisa bermanfaat bagi para siswa sekalian.
Selamat belajar, para siswa! Pahami dan kuasailah semua konsep dasar
hingga dapat menjawab semua soal yang ada dalam modul ini. Jadi, kalian dapat
merasakan bahwa matematika itu indah, mudah, dan menyenangkan.
Tulungagung, Desember 2015
Penyusun
Modul Matematika SMA iii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ................................................................................... ii
DAFTAR ISI .................................................................................................. iii
BAB I BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA ................... 1
1.1 Pendahuluan ................................................................................. 2
1.2 Pembahasan .................................................................................. 7
1.2.1 Rencana Belajar Siswa .............................................. 7
1.2.2 Kegiatan Belajar 1...................................................... 7
1.2.3 Kegiatan Belajar 2...................................................... 12
1.2.4 Kegiatan Belajar 3...................................................... 17
1.2.5 Kegiatan Belajar 4...................................................... 22
1.2.6 Kegiatan Belajar 5...................................................... 26
1.3 Evaluasi ......................................................................................... 30
BAB II FUNGSI KUADRAT ....................................................................... 32
2.1 Pendahuluan ....................................................................................... 33
2.2 Pembahasan ........................................................................................ 38
2.2.1 Rencana Belajar Siswa ............................................... 38
2.2.2 Kegiatan Belajar 1 ...................................................... 38
2.2.3 Kegiatan Belajar 2 ...................................................... 46
2.3 Evaluasi ............................................................................................... 52
BAB III SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER . 54
3.1.Pendahuluan ....................................................................................... 55
3.2.Pembelajaran ...................................................................................... 59
3.2.1 Rencana Belajar Siswa ............................................... 59
3.2.2 Kegiatan Belajar 1 ...................................................... 59
3.2.2 Kegiatan Belajar 2 ...................................................... 66
3.2.3 Kegiatan Belajar 3 ...................................................... 72
3.2.4 Kegiatan Belajar 4 ...................................................... 75
3.3.Evaluasi ............................................................................................... 83
BAB IV TRIGONOMETRI ......................................................................... 90
4.1 Pendahuluan ...................................................................................... 91
4.2 Pembahasan ....................................................................................... 96
Modul Matematika SMA iv
4.2.1 Rencana Belajr Siswa ................................................ 96
4.2.2 Kegiatan Belajar 1 ..................................................... 96
4.2.3 Kegiatan Belajar 2 ..................................................... 107
4.2.4 Kegiatan Belajar 3 ..................................................... 111
4.2.5 Kegiatan Belajar 4 ..................................................... 116
4.3 Evaluasi .............................................................................................. 125
BAB V LOGIKA ............................................................................................ 127
5.1 Pendahuluan ..................................................................................... 128
5.2 Pembahasan ...................................................................................... 133
5.2.1 Rencana Belajar Siswa ............................................. 133
5.2.2 Kegiatan Belajar 1 .................................................... 133
5.2.3 Kegiatan Belajar 2 .................................................... 144
5.2.4 Kegiatan Belajar 3 .................................................... 149
5.3 Evaluasi ............................................................................................. 153
BAB VI DIMENSI TIGA .............................................................................. 156
6.1 Pendahuluan ..................................................................................... 157
6.2 Pembahasan ...................................................................................... 162
6.2.1 Rencana Belajar Siswa ............................................. 162
6.2.2 Kegiatan Belajar 1 .................................................... 162
6.2.3 Kegiatan Belajar 2 .................................................... 167
6.2.4 Kegiatan Belajar 3 .................................................... 174
6.2.5 Kegiatan Belajar 4 .................................................... 178
6.3 Evaluasi ............................................................................................. 188
BAB VII STATISTIKA ................................................................................. 191
7.1 Pendahuluan ..................................................................................... 192
7.2 Pembahasan ...................................................................................... 199
7.2.1 Rencana Belajar Siswa ............................................. 199
7.2.2 Kegiatan Belajar 1 .................................................... 199
7.2.3 Kegiatan Belajar 2 .................................................... 210
7.2.4 Kegiatan Belajar 3 .................................................... 216
7.2.5 Kegiatan Belajar 4 .................................................... 225
7.2.6 Kegiatan Belajar 5 .................................................... 231
Modul Matematika SMA v
7.3 Evaluasi ............................................................................................. 238
BAB VIII LINGKARAN ............................................................................... 243
8.1 Pendahuluan ..................................................................................... 244
8.2 Pembahasan ...................................................................................... 249
8.2.1 Kegiatan Belajar 1 .................................................... 249
8.2.2 Kegiatan Belajar 2 .................................................... 256
8.2.3 Kegiatan Belajar 3 .................................................... 260
8.2.4 Kegiatan Belajar 4 .................................................... 269
8.2.5 Kegiatan Belajar 5 .................................................... 275
8.3 Evaluasi ............................................................................................. 283
BAB IX SUKUBANYAK ............................................................................... 285
9.1 Pendahuluan ..................................................................................... 286
9.2 Pembahasan ...................................................................................... 291
9.2.1 Rencana Belajar Siswa ............................................. 291
9.2.2 Kegiatan Belajar 1 .................................................... 291
9.2.3 Kegiatan Belajar 2 .................................................... 307
9.3 Evaluasi ............................................................................................. 314
DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 316
LAMPIRAN
Modul Matematika SMA 2
1.1 PENDAHULUAN
1.1.1 Deskripsi
Dalam modul ini akan dipelajari tentang bilangan bulat pangkat
positif, negatif, pecahan, bentuk akar, merasionalkan penyebut bentuk
akar, dan logaritma, dimana di dalam modul ini akan dijelaskan
mengenai materi tersebut serta membantu siswa-siswi lebih memahami
akan materi itu.
1.1.2 Prasyarat
Dalam mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah
menguasai kompetensi sebelumnya yaitu dasar-dasar penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan real.
1.1.3 Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu diperhatikan
antara lain adalah:
a. Pelajari daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan teliti.
Karena dalam skema modul akan tampak kedudukan modul yang
sedang anda pelajari dengan modul-modul yang lain.
b. Kerjakan soal-soal dalam cek kemampuan untuk mengukur sampai
sejauh mana pengetahuan dan kemampuan yang telah anda miliki.
c. Apabila dari soal cek kemampuan telah anda kerjakan mendapat
score (nilai) 70, maka anda dapat langsung menuju Evaluasi untuk
mengerjakan soal-soal tersebut. Tetapi bila hasil jawaban tidak
mencapai nilai 70, maka anda harus mengikuti kegiatan
pembelajaran dalam modul ini.
d. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam
penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti.
e. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakan semua soal
latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal menemui kesulitan,
kembalilah mempelajari materi terkait.
Modul Matematika SMA 3
f. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui
kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi maka kembalilah
mempelajari materi terkait.
g. Jika anda menemui kesulitan yang sulit dipecahkan, maka catatlah
dan kemudian tanyakan kepada guru saat kegiatan belajar mengajar
atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi yang
terkait.
1.1.4 Tujuan Akhir
Setelah melaksanakan seluruh kegiatan belajar dalam modul ini
diharapkan anda dapat :
a. Memahami bilangan bulat pangkat positif , negatif dan nol
b. Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat bulat
c. Memahami bentuk akar
d. Memahami sifat-sifat bentuk akar
e. Menyederhanakan bentuk akar
f. Menghitung operasi aljabar bentuk akar
g. Merasionalkan penyebut bentuk akar
h. Memahami bilangan berpangkat pecahan
i. Mengenal pengertian logaritma
j. Mengenal penulisan dan cara membaca logaritma
k. Mengenal sifat-sifat logaritma
l. Menentukan nilai logaritma
m. Menyederhanakan bentuk logaritma dengan sifat logaritma
n. Menentukan logaritma suatu bilangan dengan menggunakan
kalkulator
Modul Matematika SMA 4
1.1.5 Kompetensi
Kode Unit :
Judul Unit : Pangkat dan Akar
Uraian Unit : Uraian ini berlaku untuk materi tentang pangkat dan akar
Sub Kompetensi Indikator
1. Bilangan bulat pangkat
positif, negatif, nol,
dan pecahan
1.1 Pengertian pangkat bulat positif
1.2 Sifat-sifat operasi pangkat bulat positif
1.3 Pangkat bulat negatif dan nol
1.4 Pengertian bilangan pangkat pecahan
1.5 Penyelesaian operasi aljabar bilangan
pangkat pecahan
2. Bentuk akar 2.1 Mengenal dan memahami bentuk akar
2.2 Operasi penjumlahan dan pengurangan
bentuk akar
2.3 Operasi perkalian dan pembagian bentuk
akar
2.4 Merasionalkan penyebut bentuk akar
2.5 Menyederhanakan bentuk akar
3. Logaritma 3.1 Mengenal pengertian logaritma
3.2 Mengenal penulisan dan cara membaca
logaritma
3.3 Mengenal dan memahami sifat-sifat
logaritma
3.4 Menentukan nilai logaritma
3.5 Penyederhanaan bentuk loaritma dengan
menggunakan sifat logaritma
3.6 Menentukan logaritma suatu bilngan
dengan menggunakan kalkulator
Acuan Penilaian
1. Unit kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada peserta didik
di kelas
2. Aspek-aspek kritikal yang dinilai
Mengenal bilangan pangkat positif, negatif, dan nol
Mengenal bentuk akar
Mampu menyelesaikan operasi aljabarnya
Mengenal dan memahami pengertian logaritma
Dapat menyederhanakan bentuk logaritma dengan sifat logaritma
3. Kompetensi yang harus dikuasai sebelumnya yaitu operasi aljabar
4. Sikap yang dituntut:
Mengerjakan dengan rapi dan bersih
Mengerjakan dengan ketelitian
Efisien dan optimal dalam mengerjakan
Bersikap positif dan terbuka terhadap penilaian hasil pekerjaan oleh atasan
Modul Matematika SMA 5
1.1.6 Cek Kemampuan
Petunjuk:
Berilah tanda ( ), pada kolom Jawaban : Ya atau Tidak jawaban yang
anda pilih.
....................,............... 20......
No Pertanyaan Jawaban
Ya Tidak
1. Apakah anda mengetahui apa itu bilangan berpangkat bulat
positif, negatif, dan nol ?
2. Apakah anda mengetahui sifat-sifat bilangan berpangkat bulat ?
3. Apakah anda mengetahui bentuk akar ?
4. Apakah anda mengetahui sifat-sifat bentuk akar ?
5. Apakah anda mengetahui cara penyederhanaan bentuk akar ?
6. Apakah anda dapat menyelesaikan operasi aljabar bentuk akar ?
7. Apakah anda dapat merasionalkan penyebut bentuk akar ?
8. Apakah anda memahami bilangan berpangkat pecahan ?
9. Apakah anda mengetahui pengertian logaritma ?
10. Apakah anda mengenal dan memahami sifat-sifat logaritma ?
Skor (nilai)
Modul Matematika SMA 6
Sifat Logaritma
Nilai
Eksponen dan
Logaritma
Pangkat Bulat Positif,
Negatif, Nol, dan Pecahan Bentuk Akar Logaritma
Sifat-Sifat
Bentuk
Akar
Operasi
Aljabar
Sifat-sifat
Pangkat
Bulat
Logaritma
Operasi
Aljabar
PETA KONSEP
Modul Matematika SMA 7
1.2 PEMBAHASAN
1.2.1 Rencana Belajar Siswa
a. Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah uraian tujuan kegiatan belajar,
agar mengetahui kemampuan apa yang akan dicapai pada setiap
kegiatan.
b. Peralatan dan bahan yang harus dibawa pada pertemuan atau tatap
muka berikutnya harus dibaca sebelum kegiatan dilaksanakan.
c. Sebelum melaksanakan kegiatan harus memahami terlebih dahulu
setiap langkah kerja yang dilaksanakan, apabila kurang jelas dapat
menanyakan kepada guru/instruktur.
d. Kerjakanlah setiap latihan dengan bersungguh-sungguh agar
kemampuan anda yang sebenarnya diketahui
1.2.2 Kegiatan Belajar I
1.2.2.1 Bilangan Berpangkat Bulat
A. Definisi Pangkat Bulat Positif
Perhatikan bentuk perkalian berikut.
32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25
81 = 3 x 3 x 3 x 3 = 34
Bentuk perkalian tersebut menurut perkalian faktor-faktor yang
berulang. Perkalian faktor-faktor yang berulang dapat dituliskan
dalam bentuk bilangan berpangkat bulat positif.
Definisi bilangan berpangkat bulat positif
Untuk ɑ bilangan real dan n bilangan bulat positif berlaku ɑn = ɑ
x ɑ x ɑ x ... x ɑ , dimana ɑ > 0, n > 0, dan ɑ € R. ɑn
dibaca “ɑ pangkat
Modul Matematika SMA 8
n” disebut bilangan berpangkat (bilangan eksponen), ɑ disebut
bilangan pokok (basis), dan n disebut pangkat (eksponen).
B. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif
Sifat pertama bilangan berpangkat adalah tentang pekalian
bilangan-bilangan berpangkat dengan bilangan pokok yang sama.
Untuk ɑ bilangan real, m dan n bilangan bulat positif berlaku
sifat: ɑm
x ɑn = ɑ
m+n
Untuk mengalikan bilangan-bilangan berpangkat dengan
bilangan pokok yang sama, tambahkan pangkatnya dan gunakan
bilangan pokok bersama.
Contoh:
65 x 6
3 = 6
8
65 x 6
3 = (6.6.6.6.6) x (6.6.6)
= (6.6.6.6.6.6.6.6)
65 x 6
3 = 6
8
Sifat kedua bilangan berpangkat adalah tentang pembagian
bilangan-bilangan berpangkat dengan bilangan pokok yang sama.
Untuk ɑ bilangan real, m dan n bilangan bulat positif berlaku
sifat: (ɑ𝑚
ɑ𝑛) = ɑ
m-n dengan ɑ ≠ 0
Untuk membagi bilangan-bilangan berpangkat, dengan bilangan
pokok yang sama, kurangkan pangkatnya dan gunakan bilangan
pokok bersama.
Contoh:
𝑥7
𝑥3 =
𝑥 .𝑥 .𝑥 .𝑥 .𝑥 .𝑥 .𝑥
𝑥 .𝑥 .𝑥
= 𝑥. 𝑥. 𝑥. 𝑥
𝑥7
𝑥3 = 𝑥4
Sifat ketiga adalah tentang suatu pernyataan yang mengandung
bilangan berpangkat diberi pangkat lain.
Untuk ɑ bilangan real, m dan n bilangan bulat positif berlaku
sifat: (ɑm
)n = ɑ
mxn
Modul Matematika SMA 9
Contoh:
(53)2 = (5
3) (5
3)
= 53+3
= 56
Sifat keempat adalah tentang suatu perkalian yang diberi
pangkat.
(ɑ x b)m
= ɑ𝑚 b𝑚
Misalnya:
(2 x 3)5
= (2 x 3) . (2 x 3) . (2 x 3) . (2 x 3) . (2 x 3)
= (2 x 2 x 2 x 2 x 2) . (3 x 3 x 3 x 3 x 3)
= 25 x 3
5
Sifat kelima adalah tentang suatu pembagian yang diberi
pangkat.
Untuk ɑ dan b bilangan real, b ≠ 0, dan m adalah bilangan bulat
positif berlaku sifat: (𝑎
𝑏)m
= 𝑎𝑚
𝑏𝑚 dengan b ≠ 0
Suatu pembagian yang dipangkatkan adalah sama dengan
pembagian bilangan-bilangan itu setelah masing-masing
dipangkatkan.
Definisi bilangan berpangkat nol
Untuk ɑ ≠ 0, berlaku a0 = 1
Contoh:
80
= 1, (ab)0 = 1 untuk ɑ ≠ 0 dan b ≠ 0
Definisi bilangan berpangkat bulat negatif
Jika ɑ adalah bilangan real, ɑ ≠ 0, dan n bilangan bulat positif
maka ɑ-n
= 1
𝑎𝑛 atau
1
𝑎−𝑛 = ɑ
n
Contoh:
2−1 = 1
2
3−2 = 1
32 = 1
9
Modul Matematika SMA 10
1.2.2.2 Rangkuman
1. Jika 𝒂 bilangan real dan n bilangan bulat positif maka ɑ𝒏
ditentukan oleh: ɑ𝒏 = 𝒂 × 𝒂 ×…× 𝒂, dengan 𝒂 disebut bilangan
pokok dan 𝒏 disebut pangkat.
2. Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat
Untuk sebarang bilangan real 𝒂 dan 𝒃 serta sebarang bilangan
bulat m dan n berlaku :
ɑ𝒎 × 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
(𝒂𝒃)𝒎 = 𝒂𝒎 × 𝒃𝒎
𝒂𝒎 𝒏 = 𝒂𝒎×𝒏
ɑ𝒎
ɑ𝒏= 𝒂𝒎−𝒏,𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒎 > 𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 0 0
𝒂
𝒃 𝒎
=𝒂𝒎
𝒃𝒎,𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒃 ≠ 𝟎
𝒂𝟎 = 𝟏,𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒂 ≠ 𝟎
𝒂−𝒏 =𝟏
𝒂𝒏,𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒂 ≠ 𝟎
1.2.2.3 Tes Formatif
1. Sederhanakan hasil operasi bilangan berpangkat berikut :
a. 25 × 29 b. 35 × 36 c. 45×43
43
2. Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakan bentuk
berikut:
a. 4−3
4−2 b. 3−4 c. 𝑥3
𝑥3
Modul Matematika SMA 11
1.2.2.4 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
…………….,………………..20…
Modul Matematika SMA 12
1.2.3 Kegiatan Belajar 2
1.2.3.1 Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan
a. Pemahaman Bentuk Akar
Pernyataan bentuk akar 𝑥𝑛
, dengan 𝑛 bilangan bulat yang lebih
besar daripada 1. Adapun n disebut indeks dan notasi disebut
tanda akar. Notasi untuk akar pangkat tiga ditulis 𝑥3
, sedangkan
notasi untuk akar kuadrat ditulis 𝑥2
atau lebih sering disingkat
dengan 𝑥 . selanjutnya akan dipelajari tentang bentuk akar kuadrat.
Suatu bilangan dikatakan sebagai bentuk akar kuadrat jika
bilangan yang terdapat di dalam tanda bukan bilangan kuadrat.
Beberapa bilangan kuadrat ditunjukkan pada tabel berikut.
Bilangan kuadrat Akar positif dari N
N 𝑁
0,16 0,4
0,36 0,6
1
4
1
2
1
64
1
8
0 0
1 1
4 2
9 3
16 4
25 5
36 6
49 7
64 8
81 9
100 10
Modul Matematika SMA 13
b. Sifat-Sifat Bentuk Akar
Sifat-sifat bentuk akar memudahkan Anda untuk menyelesaikan
operasi aljabar yang melibatkan bentuk akar. Perhatikan sifat-sifat
bentuk akar berikut :
1. 𝑎2 = ɑ; ɑ ≥ 0
2. 𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑎 x 𝑏; ɑ ≥ 0 dan b ≥ 0
3. 𝑎
𝑏 =
𝑎
𝑏; ɑ ≥ 0 dan b > 0
4. 𝑎𝑛𝑚
= 𝑎𝑚𝑛
c. Menyederhanakan Bentuk Akar
Untuk memudahkan penggunaan bentuk akar dalam operasi
aljabar, sebaiknya bentuk aljabar dituliskan dalam bentuk yang paling
sederhana. Penulisan bentuk akar dikatakan sederhana jika memenuhi
syarat-syarat sebagai berikut :
1. Tidak memuat faktor yang pangkatnya lebih dari satu.
Contoh:
𝑥 , x > 0
𝑥5 dan 𝑥3 bukan bentuk sederhana, bentuk sederhananya
adalah 𝑥2 𝑥 dan x 𝑥
2. Tidak ada bentuk akar pada penyebut
Contoh:
1
𝑥 bukan bentuk sederhana
1
𝑥 =
1
𝑥 𝑥
𝑥
𝑥
= 𝑥
𝑥 bentuk sederhana
3. Tidak mengandung pecahan
Contoh:
5
2 bukan bentuk sederhana
Modul Matematika SMA 14
10
2 bentuk sederhana
d. Operasi Aljabar Bentuk Akar
Penjumlahan dan pengurangan
Bentuk aljabar hanya bisa dijumlahkan atau dikurangkan
pada variabel-variabel yang sejenis. Begitupula dengan
penjumlahan dan pengurangan bentuk akar, variabel-variabelnya
juga sejenis.
Jika p, q € R dan ɑ ≥ 0 maka:
p 𝑎 + q 𝑎 = (p + q) 𝑎
p 𝑎 - q 𝑎 = (p - q) 𝑎
contoh :
7𝑐 - 2 5 + 5 = (7-2+1) 5
Perkalian bentuk akar
Sebelumnya telah diketahui bahwa 𝑎𝑥𝑏 = 𝑎 x 𝑏 . sifat
tersebut tentu dapat dibalik menjadi 𝑎 x 𝑏 = 𝑎 𝑥 𝑏
Untuk p, q € R dan ɑ ≥ 0 dan b ≥ 0, berlaku:
p 𝑎 x q 𝑎 = (pq) 𝑎𝑥𝑏
Contoh:
2 2 x 5 3 = (2 x 5) 2 𝑥 3
= 10 6
Pembagian bentuk akar
Untuk ɑ, b € R dan ɑ ≥ 0 dan b > 0, berlaku :
𝑎
𝑏 =
𝑎
𝑏
Misal:
18
6 =
18
6 = 3
Modul Matematika SMA 15
1.2.3.2 Rangkuman
1. Bentuk akar 𝑥𝑛
, dengan n bilangan bulat yang lebih besar daripada
1. Adapun n disebut indeks dan notasi disebut tanda akar.
2. Sifat-sifat bentuk akar sebagai berikut :
𝑎. 𝑎2 = ɑ ; ɑ ≥ 0
b. 𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑎 x 𝑏 ; ɑ ≥ 0 dan b ≥ 0
𝑐. 𝑎
𝑏 =
𝑎
𝑏 ; ɑ ≥ 0 dan b > 0
𝑑. 𝑎𝑛 𝑚
= 𝑎𝑚𝑛
3. Syarat-syarat penyederhanaan bentuk akar, sebagai berikut :
1. Tidak memuat faktor yang pangkatnya lebih dari satu.
2. Tidak ada bentuk akar pada penyebut
3. Tidak mengandung pecahan
4. Operasi Aljabar Bentuk Akar
Penjumlahan dan pengurangan
Jika p, q € R dan ɑ ≥ 0 maka :
p 𝑎 + q 𝑎 = (p + q) 𝑎
p 𝑎 - q 𝑎 = (p - q) 𝑎
Perkalian bentuk akar
Untuk p, q € R dan ɑ ≥ 0 dan b ≥ 0, berlaku :
p 𝑎 x q 𝑎 = (pq) 𝑎𝑥𝑏
Pembagian bentuk akar
Untuk ɑ, b € R dan ɑ ≥ 0 dan b > 0, berlaku :
𝑎
𝑏 =
𝑎
𝑏
Modul Matematika SMA 16
1.2.3.3 Tes Formatif
Untuk menguji pemahaman Anda kerjakan soal latian berikut.
1. Tentukan bentuk akar atau bukan.
𝑎. 8 b. 16
25
2. Sederhanakan bentuk akar berikut :
a. 12 b. 48 𝑥4𝑦13
3. Selesaikan operasi aljabar pada bentuk akar berikut
a. 5 2 + 32 - 3 8
b. 18
6
1.2.3.4 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
……………….,……………..20…
Modul Matematika SMA 17
1.2.4 Kegiatan Belajar 3
1.2.4.1 Merasionalkan Penyebut
Merasionalkan penyebut 𝑎
𝑏 ; b > 0
Untuk merasionalkan penyebut dalam bentuk pecahan 𝑎
𝑏 ,
pecahan tersebut harus dikalikan dengan 𝑏
𝑏 . dengan demikian proses
merasionalkan penyebut dalam pecahan 𝑎
𝑏 adalah
𝑎
𝑏 =
𝑎
𝑏 x
𝑏
𝑏 =
𝑎
𝑏
𝑏
Merasionalkan penyebut 𝑐
𝑎± 𝑏 atau
𝑐
𝑎± 𝑏
Anda telah menggunakan sifat perkalian istimewa 𝑎 + 𝑏 𝑎 −
𝑏=𝑎2−𝑏2 atau 𝑎−𝑏𝑎+𝑏=𝑎2−𝑏2. Bentuk (𝑎−𝑏) disebut kawan dari
(𝑎 + 𝑏) dan (𝑎 + 𝑏) adalah kawan dari (𝑎 − 𝑏). Anda telah melihat
bahwa hasil kali dari pasangan sekawan seperti ini selalu
menghasilkan bilangan rasional. Sebagai contoh :
(ɑ + 𝑏) (ɑ - 𝑏) = (ɑ)2 - ( 𝑏 )
2 = ɑ
2 – b
( 𝑎 + 𝑏) ( 𝑎 - 𝑏) = ( 𝑎)2 - ( 𝑏 )
2 = ɑ
– b
Sekarang akan dijelaskan tentang merasionalkan penyebut yang
bentuk akarnya berupa jumlah atau selisih dari dua bilangan. Caranya
dengan mengalikan baik pembilang maupun penyebut dari pecahan
tersebut dengan pasangan bentuk sekawan.
Contoh:
𝑐
𝑎+ 𝑏 =
𝑐
𝑎+ 𝑏 𝑥
𝑎− 𝑏
𝑎− 𝑏 =
𝑐 (𝑎− 𝑏)
𝑎2 −( 𝑏 )2 =
𝑐 (𝑎− 𝑏)
𝑎2−𝑏
𝑐
𝑎− 𝑏 =
𝑐
𝑎− 𝑏 𝑥
𝑎+ 𝑏
𝑎+ 𝑏 =
𝑐 (𝑎+ 𝑏)
𝑎2 −( 𝑏 )2 =
𝑐 (𝑎+ 𝑏)
𝑎2−𝑏
1.2.4.2 Pangkat Pecahan
Definisi bilangan berpangkat pecahan
Untuk mengetahui definisi bilangan berpangkat pecahan,
pelajarilah uraian berikut. Misalnya :
3 = 3𝑎
Modul Matematika SMA 18
( 3)2 = (3𝑎 )
2
3 = 32a
31 = 32𝑎
1 = 2 𝑎
𝑎 = 1
2
Jadi, 3 = (3)1
2
Hasil akhir tersebut menggambarkan definisi bilangan
berpangkat pecahan sebagai berikut:
Jika 𝑎 ≥ 0, m dan n bilangan bulat positif (bilangan asli) maka,
𝑎𝑚
𝑛 = 𝑎𝑚𝑛
atau 𝑎𝑚𝑛
=𝑎𝑚
𝑛
Catatan : 𝑎 boleh negatif jika n bilangan ganjil, sebagai contoh:
−13
= (−1)33 = -1
−325
= (−2)53 = -2
Akan tetapi, untuk bilangan genap diperoleh
−12
= −1
Sebelum mempelajari beberapa contoh soal, perlu Anda ketahui
bahwa sifat-sifat pada bilangan berpangkat bulat juga berlaku bagi
bilangan berpangkat pecahan.
Contoh:
Sifat 𝑎−𝑛 = 1
𝑎𝑛 berlaku untuk pangkat pecahan,
𝑎−1
3 = 1
𝑎13
𝑎−2
5 = 1
𝑎25
Demikian juga dengan sifat 1
𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛
Contoh:
1
𝑎−12
= 𝑎1
2 , 1
𝑎−35
= 𝑎3
5
Merasionalkan penyebut 𝑎𝑚𝑛
, n bulat > 2
Pada bagian sebelumnya, Anda telah mempelajari cara
merasionalkan penyebut suatu pecahan yang memiliki bentuk 𝑎 ,
Modul Matematika SMA 19
(𝑎 ± 𝑏 ), dan ( 𝑎 ± 𝑏 ). Bagaimanakah merasionalkan pecahan
yang penyebutnya memiliki bentuk 𝑎𝑚𝑛
(n bulat > 2), seperti 1
23 ,
4
𝑥5
, 7
𝑥3 , atau
7
1+𝑥3 ?
Pada prinsipnya, langkah-langkah merasionalkan pecahan yang
penyebutnya berbentuk 𝑎𝑚𝑛
; n > 2 adalah sebagai berikut:
1. Ubah penyebut 𝑎𝑚𝑛
ke pangkat 𝑎𝑚
𝑛
Contoh:
1
23 =
1
213 = 1
213
2. Kalikan pecahan tersebut dengan 𝑎𝑝𝑛
𝑎𝑝𝑛
sehingga penyebutnya
memiliki pangkat bulat positif terdekat ke 𝑎𝑚
𝑛
Contoh:
Pangkat bulat positif terdekat ke 21
3 adalah 21. Supaya penyebut
21
3 menjadi 23
3 = 21 maka 21
3 harus dikalikan dengan 22
3
Jadi, 1
213
= 1
213
x 2
23
223
= 2
23
213
+23
= 2
23
21 = 2
3
2 =
1
2 4
3
Contoh soal:
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan
penyebutnya.
7
𝑥5 =
7
𝑥15
= 7
𝑥15
𝑥 𝑥
45
𝑥45
= 7
45
𝑥15
+45
= 7
45
𝑥1 = 7 𝑥45
𝑥
Modul Matematika SMA 20
1.2.4.3 Rangkuman
1. Merasionalkan Penyebut
a. Merasionalkan penyebut 𝑎
𝑏 ; b > 0
𝑎
𝑏 =
𝑎
𝑏 x
𝑏
𝑏 =
𝑎
𝑏 𝑏
b. Merasionalkan penyebut 𝑐
𝑎± 𝑏 atau
𝑐
𝑎± 𝑏
𝑐
𝑎+ 𝑏 =
𝑐
𝑎+ 𝑏 𝑥
𝑎− 𝑏
𝑎− 𝑏 =
𝑐 (𝑎− 𝑏)
𝑎2 −( 𝑏 )2 =
𝑐 (𝑎− 𝑏)
𝑎2−𝑏
𝑐
𝑎− 𝑏 =
𝑐
𝑎− 𝑏 𝑥
𝑎+ 𝑏
𝑎+ 𝑏 =
𝑐 (𝑎+ 𝑏)
𝑎2 −( 𝑏 )2 =
𝑐 (𝑎+ 𝑏)
𝑎2−𝑏
2. Pangkat Pecahan
Jika 𝑎 ≥ 0, m dan n bilangan bulat positif (bilangan asli) maka,
𝑎𝑚
𝑛 = 𝑎𝑚𝑛
atau 𝑎𝑚𝑛
=𝑎𝑚
𝑛
Catatan : 𝑎 boleh negatif jika n bilangan ganjil
3. Merasionalkan penyebut 𝑎𝑚𝑛
, n bulat > 2
Langkah-langkah merasionalkan pecahan yang penyebutnya
berbentuk 𝑎𝑚𝑛
; n > 2 adalah sebagai berikut :
a. Ubah penyebut 𝑎𝑚𝑛
ke pangkat 𝑎𝑚
𝑛
b. Kalikan pecahan tersebut dengan 𝑎𝑝𝑛
𝑎𝑝𝑛
sehingga penyebutnya
memiliki pangkat bulat positif terdekat ke 𝑎𝑚
𝑛
Modul Matematika SMA 21
1.2.4.4 Tes Formatif
1) Sederhanakan pecahan-pecahan berikut dengan merasionalkan
penyebutnya
𝑎.6
10 b.
4
5 3𝑥 ; x>0
2) Jika p = 2− 3
2+ 3 dan q =
2+ 3
2− 3 , hitunglah operasi berikut :
p + q
3) Ubahlah bentuk pangkat pecahan berikut ke bentuk akar paling
sederhana.
1.2.5 122
3 b. ɑ−3
2
4) Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya.
7
𝑥5
1.2.4.5 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
………………,……………. 20…
Modul Matematika SMA 22
1.2.5 Kegiatan Belajar 4
1.2.5.1 Pengertian dan konsep logaritma
Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan. Jadi apabila
diketahui ax = b maka x dapat ditentukan dengan logaritma yang
berbentuk
X = alog b ↔ b = a
x
dimana: a disebut basis (0 < a < 1 atau a > 1)
b disebut numerus (b > 0)
x disebut hasil logaritma
Diskusi
Contoh:
Jika alog x = 3 dan
3alog y = 3, tentukan nilai
𝑦
𝑥
Penyelesaian:
Pada definisi logaritma diperoleh
alog x = 3 maka x = a
3
3alog y = 3 maka y = (3a)
3 = 27a
3
Jadi, 𝑥
𝑦=
27𝑎3
𝑎3 = 27
1.2.5.2 Sifat-sifat logaritma
Sifat dasar logaritma:
Logaritma merupakan invers dari perpangkatan. Oleh karena
itu terdapat 3 sifat dasar logaritma, yaitu: Misalkan a dan n
bilangan real, a > 0 dan a ≠ 1, maka :
1. alog a = 1
2. alog 1 = 0
3. alog a
n = n
Contoh:
1. alog a = x ⇔ a
x = a sehingga x = 1 atau
alog a = 1
2. alog 1 = y ⇔ a
y = 1. Karena a
0 = 1, maka y = 0
3. alog a
n = z ⇔ a
x = a
n sehingga z = n serta
alog a
n = n
Modul Matematika SMA 23
Sifat 1
Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a ≠ 1, dan b > 0,
berlaku
alog (b×c) =
alog b +
alog c
(Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah
logaritma masing-masing bilangan)
Bukti:
Berdasarkan definisi, maka diperoleh :
alog b = x ↔ b = a
x
alog c = y ↔ c = a
y
Dengan mengalikan nilai b dan c maka :
b × c = ax × a
y ↔ b × c = 𝑎𝑥+𝑦
↔ alog (b×c) = x + y substitusi x dan y
↔ alog (b×c) =
alog b +
alog c terbukti
Contoh:
Jika 4log 3 = p,
4log 5 = q,
4log 8 = r, hitunglah:
4log 15 +
4log 64
Penyelesaian:
4log 15 +
4log 64 =
4log (3×5) +
4log (8×8)
= 4log 3 +
4log 5 +
4log 8 +
4log8
= p + q + r + r
= p + q + 2r
Sifat 2
Untuk a, b, dan c bilangan real dengan a > 0, a ≠ 1, dan b
> 0, berlaku:
alog
𝒃
𝒄 =
alog b –
alog c
(Logaritma dari pembagian dua bilangan sama dengan
logaritma bilangan yang dibagi dikurangi logaritma bilangan
pembagi)
Bukti:
Berdasarkan definisi, maka diperoleh :
Modul Matematika SMA 24
alog b = x ↔ b = a
x
alog c = y ↔ c = a
y
Dengan membagi b dan c, maka diperoleh :
𝑏
𝑐 =
𝑎𝑥
𝑎𝑦 ↔
𝑏
𝑐 = a
x-y
↔ alog
𝑏
𝑐 = alog a
x-y
↔ alog
𝑏
𝑐 = x – y substitusi x dan y
↔ alog
𝑏
𝑐 =
alog b –
alog c terbukti
Contoh:
Jika log 2 = 0,3010 hitunglah log 5!
Penyelesaian:
log 5 = 10
2 = log 10−log 2 = 1−0,3010 = 0,6990
Sifat 3
Untuk a, b, dan n bilangan asli, a > 0, b > 0, a ≠ 1, berlaku
alog b
n = n
alog b
(Logaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan hasil
kali pangkat bilangan tersebut dengan logaritma bilangan itu
sendiri)
Bukti:
alog b
n =
alog 𝑏 × 𝑏 × 𝑏 × …× 𝑏
𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
↔ alog b
n = 𝑎log b + 𝑎log b + 𝑎
log b + … +𝑎 log 𝑏
𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
sifat 2
↔ alog b
n = n
alog b terbukti
Contoh:
5log 12
1
2 +
5log 2
Penyelesaian:
5log 12
1
2 +
5log 2 =
5log 12
1
2 × 2
= 5log 25
= 5
log 52 = 2
Modul Matematika SMA 25
1.2.5.3 Tes Formatif
1. Nyatakan dalam bentuk logaritma yang ekuivalen :
a. 𝑎𝑛 = 𝑏 b. 3𝑥 = 𝑦
2. Nyatakan bentuk berikut menjadi bentuk pangkat :
a. log 𝑥 = 𝑛2 b. log𝑎 = 𝑦3
c. log 100 = 210 d. log 𝑎 = 52
3. Hitunglah nilai logaritma berikut :
a. 5log 625 b.
5log 0,2
4. Sederhanakan !
a. log 4 + log 5466 b. log 25 + log 4
c. log 7− log 2822 d. log 16 − log 422
e. 2 log 2 + 2 log 3 f. 2 log 5 − log 25
1.2.5.4 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
……………….,…………….20…
Modul Matematika SMA 26
1.2.6 Kegiatan Belajar 5
1.2.6.1 Lanjutan Kegiatan Belajar 1, Mengenai Sifat-Sifat Logaritma:
Sifat 1
Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a ≠ 1, b ≠ 1, dan c
≠ 1, berlaku
1. alog b =
𝒄𝒍𝒐𝒈 𝒃
𝒄𝒍𝒐𝒈 𝒂 atau
2. alog b =
𝟏
𝒃𝒍𝒐𝒈 𝒂
Bukti:
Berdasarkan definisi:
alog b = x ↔ b = a
x
Ambil sebarang c bilangan real dan c ≠ 1 sedemikian
sehingga:
clog b =
clog a
x ↔
clog b = x
clog a
↔ x = 𝑐log 𝑏
𝑐log 𝑎 ingat sifat 3
↔ alog b =
𝑐log 𝑏
𝑐log 𝑎 terbukti
Karena c bilangan real dan c ≠ 1, maka dengan ketentuan
diatas dapat dipenuhi c = b sehingga diperoleh:
↔ alog b =
𝑏 log 𝑏
𝑏 log 𝑎
= 1
𝑏 log 𝑎 terbukti
Contoh:
Jika 3log 5 = p, tunjukkan bahwa :
5log 3 =
1
p
Penyelesaian:
5log 3 =
3log 3
3log 5=
1
p ambil 3 sebagai bilangan pokok baru.
Sifat 2
Untuk a, b, dan c bilangan real positif dengan a ≠ 1 dan
b≠1,
alog b ×
blog c =
alog c
Modul Matematika SMA 27
Bukti:
Berdasarkan definisi, maka diperoleh :
alog b = x ↔ b = a
x
blog c = y ↔ c = b
y
alog b ×
blog c =
alog a
x ×
blog b
y
↔ alog b ×
blog c =
alog b ×
blog b
y ingat c = b
y
↔ alog b ×
blog c = y
alog b ×
blog b sifat dasar log
↔ alog b ×
blog c = y
alog b ingat sifat 3
↔ alog b ×
blog c =
alog b
y ingat c = b
y
↔ alog b ×
blog c =
alog c terbukti
Contoh:
Hitunglah 2log 5 ×
5log 16
Penyelesaian:
2log 5 ×
5log 16 =
2log 16
= 2log 2
4 = 4
Sifat 3
Untuk a dan b bilangan real positif dengan a ≠ 1, berlaku
a. 𝒂𝒎 log bn =
𝒏
𝒎 ×
alog b
b. 𝒂𝒎 log bn =
alog b
Dimana m, n bilangan real dan m ≠ 1
Contoh:
Hitunglah 8
log 16 !
Penyelesaian:
8log 16 = 2
3log 24
= 4
3 × 2 log 2
= 4
3 × 1 =
4
3
1.2.6.2 Menentukan logaritma suatu bilangan dengan menggunakan
logaritma
Untuk menentukan nilai logaritma, pastikan kalkulator yang
anda gunakan adalah kalkulator Scientific. Berikut akan
dicontohkan cara menentukan nilai 2log 35 dengan menggunakan
Modul Matematika SMA 28
kalkulator Scientific Casio fx-82ES. Anda cukup menekan tombol
berikut secara berurutan.
Tombol yang ditemukan Hasil Layar
log□ (□)
Log
log2 (35)
log2
2,564641508
Contoh:
Tentukan nilai dari log 7,8
Penyelesaian:
Untuk menentukan hasil logaritma dari log 7,8 maka tombol-
tombol yang ditekan adalah sebagai berikut:
Tombol yang ditekan Hasil layar
log (□
log2 (7.8)
log (7.8)
0,892094602
log▪□
=
5 3
2
Replay
log
7 . 8 )
=
Modul Matematika SMA 29
1.2.6.3 Tes Formatif
1. Jika 2log 3 = a, nyatakan logaritma-logaritma berikut dalam bentuk a
a. 8log 3 b. 4
log 81 c. 8log 27
2. Sederhanakan !
a. plog 5 ×
5log y ×
ylog p b. 2
log 25 × 5log 16
c. 3log 16 × (
4log 9 +
4log 3) d. 9
log 3 × 3log 27
3. Diketahui 2log 3 = a, nyatakan dalam bentuk a dari logaritma berikut:
a. 2log 27 b. 8
log 9 c. 4log 9
4. Dengan menggunakan kalkulator tentukanlah!
a. log 4,186 b. log 4,2 c. log 0,096 d. log 103
1.2.6.4 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
Tulungagung, Desember 2015
Modul Matematika SMA 30
1.3 EVALUASI
1.3.1 Soal Evaluasi
1. Tentukan operasi dari bilangan-bilangan berikut:
a. 3𝑥4 x 𝑥2 b. (3ɑ3 𝑏2)4 c. (
𝑥6
𝑥2)3
2. Nilai dari ɑ2 𝑏3 𝑐−1
ɑ−2𝑏 𝑐2 untuk a = 2, b = 3, dan c = 5 adalah...
3. Bentuk sedehana dari bentu akar (3𝑥 + 5)9 , dengan 3𝑥 + 5 ≥ 0
adalah...
4. Bentuk sederhana dari (1− 2
1+ 2)2 adalah...
5. Ubahlah bentuk akar berikut ke bentuk pangkat
a. 2𝑥 𝑥34 b.
3𝑥2
𝑥23 , 𝑥 > 0
6. Sederhanakan bentuk akar berikut:
a. 8 + 2 15 b. 9 − 4 5 7. Hitunglah:
a. log 21 − log 210 b. log 25 − log 5
2
c. 3log 4,5 +
3log 6 d. 6
log 9 + 6log 8 –
6log 2
e. log 2 + log 10 – log 1
5 f. 3
log 45 – 9log 25
g. log 2 + 2 log 3 – log 18
8. Sederhanakan!
a. 2 log 3 + 2 log 3 b. 1
2 2log 16 −
1
3 2log 8
c. 5log 320 – 3
5log 4 d. 2l
og 24 – 8log 27
e. 5log 9 ×
9log 625 f. 5 log 5 + 2 log 2 – log 25
g. 8 log 8 – 2 log 2
9. Jika 5log
1
25 +
5log 125 = x, maka nilai x adalah...
10. Diketahui 3log 7 = a,
5log 2 = b, dan
2log 3 = c. Nyatakan logaritma
berikut dalam bentuk a, b, dan c
a. 7log 3 b. 4
log 5 c. 3log 2
11. Jika 3log 5 = p, tunjukkan bahwa
9log 5 =
1
4 p
12. Diketahui 2log 7 = a dan
2log 3 = b, maka nilai dari
6log 14 adalah...
13. Diketahui 3log 4 = p dan
3log 5 = q, maka nilai dari
3log 80 adalah...
14. Dengan menggunakan kalkulator, tentukan nilai logaritma berikut:
a. log 4,6 b. log 5,2 c. log 69,4 d. log 0,17
Modul Matematika SMA 31
1.3.2 Lembar Penilaian
Nama :
Kelas :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
Tes Formatif Evaluasi
1. Benar cara maupun
hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 – 20
Jumlah
Jumlah Jumlah x 60 % Jumlah x 40%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus
...................., ......................Th.......
Modul Matematika SMA 33
2.1 PENDAHULUAN
2.1.1 Deskripsi
Modul ini berisi tentang Fungsi Kuadrat yang meliputi
menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat, membentuk fungsi kuadrat.
2.1.2 Prasyarat
Dalam melaksanakan modul ini diperlukan prasyarat telah
menguasai kompetensi yang ada pada modul-modul sebelumnya yaitu
koordinat kartesius, sistem linier dua variabel.
2.1.3 Petunjuk Penggunaan Modul
a. Pelajari daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan teliti.
Karena dalam skema modul akan tampak kedudukan modul yang
sedang anda pelajari dengan modul-modul yang lain.
b. Kerjakan soal-soal dalam cek kemampuan untuk mengukur sampai
sejauh mana pengetahuan dan kemampuan yang telah anda miliki.
c. Apabila dari soal cek kemampuan telah anda kerjakan mendapat nilai
70, maka anda dapat langsung menuju Evaluasi untuk mengerjakan
soal-soal tersebut. Tetapi bila hasil jawaban tidak mencapai nilai 70,
maka anda harus mengikuti kegiatan pembelajaran dalam modul ini.
d. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar
untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan.
e. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam
penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian
kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan.
f. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat,
jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah
mempelajari modul ini.
g. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu
konsultasikan hasil tersebut pada guru / instruktur.
h. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk
ditanyakan pada guru/instruktur pada saat kegiatan tatap muka.
Modul Matematika SMA 34
Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar
anda mendapatkan tambahan pengetahuan.
2.1.4 Tujuan akhir
Setelah melaksanakan seluruh kegiatan belajar dalam modul ini
diharapkan anda dapat memiliki kemampuan:
1. Menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat,
2. Membentuk suatu fungsi kuadrat.
2.1.5 Kompetensi
Kode Unit: MAT.FGS.SMA.1
Judul Unit: Menggambar dan membuat sketsa grafik fungsi kuadrat
Uraian Unit: Unit ini berlaku untuk pekerjaan menggambar sketsa grafik
fungsi kuadrat menggunakan peralatan dan perlengkapan
gambar manual
Sub Kompetensi Kriteria Unjuk Kerja
1. Melakukan persiapan
pekerjaan menggambar
grafik fungsi kuadrat.
1.1. Macam-macam bentuk grafik fungsi
kuadrat dan istilah dikenali dan
dipahami.
1.2. Peralatan dan perlengkapan gambar
yang dibutuhkan dipilih dan
disiapkan.
1.3. Media gambar yang dibutuhkan
dipilih dan disiapkan.
1.4. Peralatan dan perlengkapan gambar
diperiksa kondisinya, apabila ada
kerusakan diperbaiki.
1.5. Sumber gambar dipahami, apabila
tidak jelas tanyakan kepada atasan.
2. Menggambar titik potong
grafik dengan sumbu
koordinat
2.1. Sebuah garis lurus (vertikal) Y dan
sebuah garis tegak lurus pada Y
(horisontal) disebut X yang membagi
dua Y di sebuah titik (titik O)
digambar.
2.2. Garis X dibagi dengan ukuran yang
sama besar pada bagian kiri dan
bagian kanan.
2.3. Garis Y dibagi dengan ukuran yang
sama besar pada bagian atas dan
bagian bawah.
2.4. Garis X diberi tanda dengan beberapa
titik tambahan (misalnya titik P, Q, R,
Modul Matematika SMA 35
dan seterusnya) pada bagian kanan.
2.5. Garis Y diberi tanda dengan beberapa
titik tambahan (misalnya titik 1, 2, 3,
dan seterusnya) pada bagian atas.
2.6. Buat pola (titik-titik) pada (P,4),
(Q,1), (,RO), (S,1), dan (T,4).
2.7. Pola (titik-titik) dihubungkan
sehingga membentuk sebuah kurva.
3. Membereskan pekerjaan 3.1. Hasil gambar diperiksa kesesuaian
dengan perintah.
3.2. Perakalatan dan perlengkapan
gambar dibersihkan dan disimpan
pada tempatnya.
3.3. Hasil gambar disimpan pada
tempatnya.
4. Melakukan persiapan
memahami fungsi
kuadrat.
4.1 Mengenali istilah fungsi kuadrat dan
dipahami.
4.2 Memahami bentuk-bentuk dan cara
penyelesaian fungsi kuadrat.
4.3 Memahami gambar yang telah
dipaparkan.
4.4 Sumber materi dipahami, apabila tidak
jelas ditanyakan kepada atasan.
5. Menyelesaikan latihan
soal bentuk-bentuk
fungsi kuadrat.
5.1. Menyusun fungsi kuadrat jika
grafiknya memotong sumbu 𝑿 di 𝒙𝟏,𝟎 dan 𝒙𝟐,𝟎 serta melalui
sebuah titik tertentu
5.2. Menyusun fungsi kuadrat jika
grafiknya memiliki titik puncak
𝒙𝒑,𝒚𝒑 dan melalui sebuah titik
tertentu
5.3. Menyusun fungsi kuadrat jika
grafiknya melalui tiga buah titik
𝒙𝟏,𝒚𝟏 , 𝒙𝟐,𝒚𝟐 ,𝒅𝒂𝒏 𝒙𝟑,𝒚𝟑 5.4. Menyusun fungsi kuadrat jika sketsa
grafiknya diketahui
6. Membereskan pekerjaan. 6.1. Hasil pekerjaan diperiksa
kesesuaiannya dengan perintah
6.2. Hasil pekerjaan disimpan pada
tempatnya
Prasyarat Untuk Kerja
1. Unit ini berlaku untuk menggambar sebuah sketsa grafik fungsi
kuadrat menggunakan peralatan dan perlengkapan gambar manual
Modul Matematika SMA 36
yang dilakukan di studio gambar atau tempat lain.
2. Tersedia acuan untuk menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat
3. Tersedia peralatan gambar yang meliputi:
Pensil atau rapido
Penggaris
Meja atau papan gambar
Media gambar berbagai jenis ukuran
4. Tersedia sumber informasi yang berupa:
Gambar dan sketsa grafik berbagai jenis fungsi
5. Unit ini berlaku untuk pekerjaan memahami fungsi kudrat dengan
penjelasan materi yang dilakukan didalam kelas atau di tempat
lain.
6. Tersedia contoh dari fungsi kuadrat.
7. Tersedia rumus-rumus fungsi kuadrat.
Acuan Penilaian
1. Unit kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada peserta
uji di studio gambar maupun di tempat lain dengan standar
peralatan gambar yang sesuai.
2. Aspek kritikal yang dinilai:
Mengenali jenis-jenis fungsi dan grafiknya
Memahami cara menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat
Mampu menggambar menggunakan peralatan dan perlengkapan
gambar manual
3. Kompetensi yang sebelumnya harus dikuasai
4. Pengetahuan pendukung yang dibutuhkan:
Menghitung titik potong grafik dengan sumbu koordinat
Menghitung sumbu simetri
Menghitung nilai maksimum dan minimum fungsi
Menghitung koordinat titik puncak
Berbagai dan jenis ukuran media gambar
Memahami fungsi kuadrat
Memahami bentuk-bentuk dan penyelesaian fungsi kuadrat
Memahami contoh fungsi kuadrat
Memahami gambar fungsi kuadrat
Berbagai dan jenis soal fungsi kuadrat
5. Sikap yang dituntut:
Bekerja dengan rapi dan bersih
Bekerja dengan ketelitian dan ketepatan ukuran
Menghargai produktifitas dalam bekerja
Efisien dan optimal dalam bekerja
Menghargai mutu hasil pada setiap langkah kerjanya
Bersikap positif dan terbuka terhadap penilaian hasil pekerjaan
oleh atasan
Modul Matematika SMA 37
2.1.6 Cek Kemampuan
Petunjuk:
Berilah tanda (), pada kolom jawaban: Ya atau Tidak pada
jawaban yang anda pilih
No. Pertanyaan
Jawaban
Ya Tidak
1. Apakah anda mengenal bidang datar?
2. Apakah anda dapat menggambar bidang datar?
3. Apakah anda mengetahui tentang koordinat kartesius?
4. Apakah anda mengetahui tentang absis?
5. Apakah anda mengetahui tentang ordinat?
6. Apakah anda mengenal fungsi?
7. Apakah anda dapat memahami fungsi?
8. Apakah anda mengenal fungsi kuadrat?
9. Apakah anda dapat memahami fungsi kuadrat?
10. Apakah anda mengetahui tentang bentuk-bentuk fungsi
kuadrat?
11. Apakah anda dapat memahami gambar bentuk-bentuk
fungsi kuadrat?
Nilai
......................,................. 20...
Modul Matematika SMA 38
2.2 PEMBAHASAN
2.2.1 Rencana Belajar Siswa
1. Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah uraian tujuan kegiatan belajar,
agar kamu mengetahui kemampuan apa yang akan dicapai pada setiap
kegiatan.
2. Peralatan dan bahan yang harus dibawa pada pertemuan atau tatap muka
berikutnya harus dibaca sebelum kegiatan dilaksanakan.
3. Sebelum melaksanakan kegiatan harus memahami terlebih dahulu setiap
langkah kerja yang dilaksanakan, apabila kurang jelas dapat menanyakan
kepada guru/instruktur.
4. Kerjakanlah setiap latihan dengan bersungguh-sungguh agar kemampuan
anda yang sebenarnya diketahui.
2.2.2 Kegiatan Belajar 1
2.2.2.1 Domain, Kodomain, dan Range
a. Pengertian Domain, Kodomain, Range
Misalkan fungsi 𝑓 memetakan setiap anggota himpunan A ke
himpunan B.
1) Himpunan A disebut dengan daerah asal atau domain atau prapeta
fungsi 𝑓.
2) Himpunan B disebut dengan daerah kawan atau kodomain fungsi
𝑓.
3) Himpunan yang beranggotakan himpunan B yang dipasangkan
dengan anggota himpunan A disebut dengan daerah hasil atau
range atau peta fungsi 𝑓.
Modul Matematika SMA 39
Perhatikan kembali pemetaan pada gambar ini
1
2
3
A
B
C
D
2.2.2.2 Rumus dan Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
a. Pengertian Fungsi Kuadrat
Fungsi 𝑓 pada himpunan bilangan real ℝ yang ditentukan oleh
rumus 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 0
dinamakan fungsi kuadrat dengan peubah 𝑥. Grafiknya dinamakan
parabola dan persamaannya adalah 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
b. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
Bentuk umum fungsi kuadrat:
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙+ 𝒄,𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒂,𝒃, 𝒄 ∈ ℝ 𝒅𝒂𝒏 𝒂 ≠ 𝟎
2.2.2.3 Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
a. Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
Untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 +
𝑏𝑥 + 𝑐 secara umum dapat ditempuh dengan langkah-langkah berikut:
1) Titik potong grafik dengan sumbu koordinat
a) Titik potong dengan sumbu X
Titik potong dengan sumbu 𝑋 diperoleh jika 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 0.
Dengan demikian, dapat didapatkan 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Absis
titik potong dengan sumbu 𝑋 diperoleh dari akar-akar
persamaan kuadrat tersebut. Banyaknya titik potong dengan
sumbu 𝑋 tergantung pada nilai diskriminannya, yaitu 𝐷 = 𝑏2 −
4𝑎𝑐.
i. Jika 𝐷 > 0, maka grafik memotong sumbu 𝑋 di dua titik
yang berbeda.
ii. Jika 𝐷 = 0, maka grafik menyinggung sumbu 𝑋.
iii. Jika 𝐷 < 0, maka grafik tidak memotong atau menyinggung
sumbu 𝑋.
Modul Matematika SMA 40
b) Titik potong dengan sumbu Y
Titik potong dengan sumbu 𝑌 diperoleh jika 𝑥 = 0. Dengan
demikian, didapatkan 𝑦 = 𝑎(0)2 + 𝑏 0 + 𝑐 = 𝑐. Jadi, tititk
potong grafik 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan sumbu 𝑌 adalah
(0,c) dan posisi titik potongnya dengan sumbu 𝑌 secara otomatis
bergantung pada nilai c.
(1) Jika 𝑐 > 0, maka grafik memotong sumbu 𝑌 positif.
(2) Jika 𝑐 = 0, maka grafik melalui titik pusat (0,0).
(3) Jika 𝑐 < 0, maka grafik memotong sumbu 𝑌 negatif.
2) Sumbu simetri
Sumbu simetri dari parabola 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 adalah 𝑥 =−𝑏
2𝑎.
3) Nilai maksimum atau minimum fungsi
Fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 mempunyai nilai minimum jika
𝑎 > 0 dan mempunyai nilai maksimum jika 𝑎 < 0. Nilai
maksimum atau minimum 𝑓(𝑥) ditentukan oleh rumus 𝑦 =−𝐷
4𝑎.
4) Koordinat titik puncak
Koordinat titik puncak parabola yang ditentukan oleh fungsi
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 adalah 𝑃 −𝑏
2𝑎,−𝐷
4𝑎
Contoh:
Gambarlah grafik fungsi kuadrat 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 6𝑥 + 5
Jawab:
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 6𝑥 + 5 → nilai koefisien 𝑎 = 1, 𝑏 = −6,𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 5
1) Titik potong dengan sumbu koordinat
1. Titik potong dengan sumbu 𝑋 → 𝑦 = 0, maka
𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0
𝑥 − 1 𝑥 − 5 = 0
𝑥 = 1 atau 𝑥 = 5
Jadi titik potong grafik dengan sumbu 𝑋 adalah (1,0) dan
(0,5).
2. Titik potong dengan sumbu 𝑌 → 𝑥 = 0, maka
𝑦 = 𝑓 0 = 02 − 6 0 + 5 = 5
Modul Matematika SMA 41
Jadi titik potong grafik dengan sumbu 𝑌 adalah (0,5).
2) Persamaan sumbu simetri 𝑥 =−𝑏
2𝑎=
−(−6)
2(1)= 3.
3) Nilai maksimum atau minimum fungsi
𝑦 =−𝐷
4𝑎=
−(𝑏2−4𝑎𝑐 )
4𝑎=
−( −6 2−4(1)(5)
4(1) =
−(36−20)
4 =
−16
4= −4
4) Koordinat titik puncak
𝑥𝑝 ,𝑦𝑝 = −𝑏
2𝑎,−(𝑏2 − 4𝑎𝑐)
4𝑎
=
− −6
2 1 ,− −6 2−4 1 5
4 1
= 6
2,−16
4
= (3,−4)
b. Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat secara Sederhana
Sketsa sederhana dari grafik fungsi kuadrat dapat dibentuk
dengan langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1:
Tentukan beberapa anggota fungsi 𝑓, yaitu koordinat titik-titik
yang terletak pada grafik fungsi 𝑓. Titik-titik ini dapat kita tentukan
dengan memilih beberapa nilai 𝑥 bilangan bulat yang terletak
dalam daerah asalnya. Kemudian kita hitung nilai fungsi 𝑓,
sehingga terdapat beberapa pasangan koordinat titik (𝑥, 𝑓 𝑥 ).
Titik-titik pada fungsi 𝑓 itu biasanya akan lebih mudah jika kita
sajikan dengan menggunakan tabel atau daftar.
Langkah 2:
Gambarkan koordinat titik-titik yang telah kita peroleh pada
Langkah 1 pada sebuah bidang Cartecius.
Modul Matematika SMA 42
Langkah 3:
Hubungkan titik-titik yang telah digambarkan pada bidang
Cartecius pada Langkah 2 dengan menggunakan kurva.
Untuk lebih jelas lagi mengenai sketsa grafik fungsi kuadrat
secara sederhana, berikut contoh-contohnya:
Contoh:
Gambarkan grafik fungsi kuadrat yang ditentukan dengan
persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3, jika daerah asalnya adalah
𝐷 = 𝑥 −1 ≤ 𝑥 ≤ 5, 𝑥 ∈ ℝ .
Jawab:
Grafik fungsi kuadrat 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 adalah sebuah parabola
dengan persamaan 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3.
Langkah 1:
Kita buat tabel atau daftaruntuk menentukan titik-titik yang terletak
pada fungsi 𝑓, yaitu beberapa pasangan koordinat titik 𝑥,𝑓(𝑥) .
𝑥 -1 0 1 2 3 4 5
𝑓(𝑥) 8 3 0 -1 0 3 8
Langkah 2:
Gambarkan titik-titik (-1,8), (0,3), (1,0), (2,-1), (3,0), (4,3), dan
(5,8) pada bidang Cartesius.
Langkah 3:
Hubungkan titik-titik pada langkah 2 tersebut dengan kurva,
sehingga diperoleh sketsagrafik fungsi
kuadrat 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3, seperti
ditunjukkan pada gambar berikut.
Grafik fungsi kuadrat ini berbentuk
parabola.
1) Daerah asal fungsi tersebut
𝐷𝑓 = 𝑥 −1 ≤ 𝑥 ≤ 5, 𝑥 ∈ ℝ .
2) Daerah hasil fungsi tersebut adalah
𝐷𝑓 = 𝑦 −1 ≤ 𝑥 ≤ 8,𝑦 ∈ ℝ .
Modul Matematika SMA 43
3) Pembuat nol fungsi itu adalah 𝑥 = 1 dan 𝑥 = 3.
4) Persamaan sumbu simetrinya 𝑥 = 2.
5) Nilai maksimum fungsi tersebut adalah -1, yaitu untuk 𝑥 = 2, titik
puncak minimum fungsi itu adalah (2,-1).
c. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat secara Umum
Dengan memerhatikan tanda nilai 𝑎 dan nilai diskriminan
𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐, maka sketsa grafik fungsi kuadrat dapat dibagi dalam
dua kelompok seperti di bawah ini.
1) Untuk 𝑎 > 0, parabola terbuka ke atas (memiliki titik puncak
minimum).
(a) Jika 𝐷 < 0, parabola tidak memotong atau menyinggung
sumbu 𝑋. Secara aljabar dapat dikatakan nilai 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
dengan nilai 𝑎 > 0 dan 𝐷 < 0, selalu positif untuk setiap
𝑥 ∈ ℝ atau 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓.
(b) Jika 𝐷 = 0, parabola memotong sumbu 𝑋 di satu titik. Dengan
kata lain, parabola menyinggung sumbu 𝑋. Secara aljabar
dapat dikatakan bahwa nilai 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan nilai 𝑎 > 0
dan 𝐷 = 0, tidak pernah negatif untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ.
Modul Matematika SMA 44
(c) Jika 𝐷 > 0, parabola memotong sumbu 𝑋 di dua titik yang
berlainan.
2) Untuk 𝑎 < 0, parabola terbuka ke bawah dan memiliki titik puncak
maksimum
(a) Jika 𝐷 > 0, parabola memotong sumbu 𝑋 di dua titik yang
berlainan.
(b) Jika 𝐷 = 0, parabola memotong sumbu 𝑋 di satu titik.dengan
kata lain, parabola menyinggung sumbu 𝑋. Secara aljabardapat
dikatakan bahwa nilai 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dengan nilai 𝑎 < 0 dan
𝐷 = 0, tidak pernah positifuntuk setiap 𝑥 ∈ ℝ.
(c) Jika 𝐷 < 0parabola tidak memotong atau menyinggung sumbu
𝑋. Secara aljabar dapat dikatakan nilai 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dengan
nilai 𝑎 < 0 dan 𝐷 < 0, selalu negatif untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ atau
𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓.
Modul Matematika SMA 45
2.2.2.4 Naskah Tes Formatif
1) Lukislah sketsa grafik dari fungsi 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 8 dengan terlebih
dahulu menentukan titik potong terhadap sumbu koordinat, sumbu
simetri, nilai maksimum atau minimum fungsi, dan titik puncak
fungsi!
2) Lukislah sketsa grafik dari fungsi 𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 + 3 dengan
menggunakan sketsa sederhana!
2.2.2.5 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
………………,……………20…
Modul Matematika SMA 46
2.2.3 Kegiatan Belajar 2
2.2.3.1 Membentuk Fungsi Kuadrat
a. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya memotong sumbu 𝑿 di
𝒙𝟏,𝟎 dan 𝒙𝟐,𝟎 serta melalui sebuah titik tertentu
Jika suatu grafik fungsi kuadrat y = ax2
+ bx + c memotong
sumbu X di titk 𝑥1, 0 dan 𝑥2, 0 , maka x1 dan x2 disebut pembuat
nol fungsi. Dengan demikian, fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan
sebagai berikut.
𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2
Nilai 𝑎 dapat dinyatakan dengan mensubstitusikan nilai 𝑥 dan 𝑦
dari satu titik ke titik lain yang diketahui ke dalam persamaan di atas.
Contoh:
Tentukan rumus fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu 𝑋
di (2,0) dan (4,0), serta melalui titik (3,6)!
Jawab:
Grafik memotong sumbu 𝑋 di titik (2,0) dan (4,0), maka rumus
fungsi uadratnya adalah
𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2
= 𝑎 𝑥 − 2 𝑥 − 4
Karena grafik melalui titik (3,6), maka
6 = 𝑎 3− 2 3− 4
6 = 𝑎 1 −1 ⟹ 𝑎 = −6
Jadi, rumus fungsi kuadratnya 𝑦 = −6 𝑥 − 2 𝑥 − 4
𝑦 = −6𝑥2 + 36𝑥 − 48
b. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya memiliki titik puncak
𝒙𝒑,𝒚𝒑 dan melalui sebuah titik tertentu
Jika grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak 𝑥𝑝 ,𝑦𝑝 , maka
rumus fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai berikut.
𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝 2
+ 𝑦𝑝
Modul Matematika SMA 47
Nilai 𝑎 dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai 𝑥 dan 𝑦
dari titik lain yang dilalui grafik ke dalam rumus tersebut.
Contoh:
Tentukan rumus fungsi kuadrat yang grafiknya memiliki titik
puncak (-2,3) dan melalui titik (1,-6).
Jawab:
Dengan menggunakan rumus 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝 2
+ 𝑦𝑝 untuk 𝑥𝑝 = −2
dan 𝑦𝑝 = 3, maka diperoleh
𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝 2
+ 𝑦𝑝
= 𝑎 𝑥 − −2 2
+ 3
= 𝑎 𝑥2 + 4𝑥 + 4 + 3
Karena grafik melalui titik (1,-6) maka
−6 = 𝑎 12 + 4 1 + 4 + 3
−6 = 𝑎 9 + 3
𝑎 = −1
c. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya melalui tiga buah titik
𝒙𝟏,𝒚𝟏 , 𝒙𝟐,𝒚𝟐 ,𝒅𝒂𝒏 𝒙𝟑,𝒚𝟑
Rumus fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai berikut.
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Nilai 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 dapat diperoleh dengan mensubstitusikan nilai
𝑥 dan 𝑦 dari ketiga titik tersebut ke rumus di atas sedemikian sehingga
diperoleh tiga buah persamaan dengan tiga variabel dan melakukan
operasi substitusi dan eliminasi pada persamaan-persamaan tersebut.
Contoh:
Tentukan rumus fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik-titik
(1,3), (4,0), dan (2,-2)!
Jawab:
Misalnya rumus fungsi kuadrat tersebut adalah
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Melalui titik (1,3), maka 3 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
Melalui titik (4,0), maka 0 = 16𝑎 + 4𝑏 + 𝑐
Modul Matematika SMA 48
Melalui titik (2,-2), maka −2 = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐
Dengan metode eliminasi atau substitusi diperoleh 𝑎 =
2, 𝑏 = −11,𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 12. Sehingga rumus kuadrat yang dicari
adalah 𝑦 = 2𝑥2 − 11𝑥 + 12.
d. Menyusun fungsi kuadrat jika sketsa grafiknya diketahui
Untuk menyusun fungsi kuadrat dari sebuah grafik yang
diketahui, caranya adalah dengan menerjemahkan data yang dapat
dibaca dari tampilan grafik.
Contoh:
Tentukan rumus fungsi kuadrat
yang grafiknya ditunjukkan pada
gambar di samping!
Jawab:
Dari gambar di samping terlihat
bahwa grafik mempunyai titik
puncak (4,0) dan melalui titik (0,-
2). Dengan demikian, kita dapat menggunakan rumus fungsi
kuadrat berikut.
𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝 2
+ 𝑦 𝑝
= 𝑎 𝑥 − 4 2 + 0
= 𝑎 𝑥 − 4 2
Karena grafik melalui titik (0,-2), maka
−2 = 𝑎 0− 4 2
−2 = 16𝑎
𝑎 = −1
8
Jadi, rumus fungsi kuadratnya adalah
𝑦 = −1
8 𝑥 − 4 2
𝑦 = −1
8𝑥2 + 𝑥 − 2
2.2.3.2 Penggunaan Fungsi Kuadrat
Banyak masalah nyata yang mempunyai model bebentuk
nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi kuadrat. Sebagian
Modul Matematika SMA 49
dari masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari yang brbentuk
demikian telah dibahas pada awal unit ini. Berikut ini adalah
contoh penggunaan fungsi kuadrat dalam pemecahan masalah.
Contoh:
Dua buah titik materi terletak dititik P dan Q pada sumbu x
dengan titik asal O diantara P dan Q. Jika titik P dan Q bergerak
sepanjang sumbu x sehingga untu setiap saat t, PO = t2
– 6t + 10
dan PQ = 3r2 – 14r +19, tentukqn jarak terdekat dari O ke Q.
jawab
Perhatikan bahwa PO dan PQ definit positif karena menyatakan
jarak dua titik. Jarak dari O ke Q adalah:
𝑂𝑄 = 𝑃𝑄 − 𝑃𝑂
= 3𝑡2 − 14𝑡 + 19 − 𝑡2 − 6𝑡 + 10
= 2𝑡2 − 8𝑡 + 9,
yang merupakan fungsi kuadrat. Kita akan menentukan nilai
minimum fungsi 𝑂𝑄 = 𝑓 𝑡 = 2𝑡2 − 8𝑡 + 9 = 2 𝑡 − 2 2 + 1.
Fungsi kuadrat ini mencapai minimum sebesar 1 satuan, yang
tercaai jika 𝑡 = 2. Jadi, jarak trdekat dari 𝑂 ke 𝑄 adalah 1 satuan
jarak.
𝑡2 − 6𝑡 + 10
3𝑡2 − 14𝑡 + 19
P
O
Q
x
Modul Matematika SMA 50
2.2.3.3 Naskah Test Formatif
(1) Tentukan rumus fungsi kuadrat yang grafiknya memiliki titik puncak
(1,5) dan melalui titik (-1,1)!
(2) Tentukan rumus fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (-
3,0) dan (1,0) serta melalui titik (0,6)!
(3) Tentukan rumus fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik-titik
(1,2), (2,9), dan (3,22)!
(4) Nyatakan rumus fungsi kuadrat dari grafik berikut dalam bentuk
baku 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
(5) Untuk menarik minat, biro perjalanan Diamond menawarkan paket
wisata ke Bali dengan biaya Rp 800.000 per orang jika pesertanya
tidak lebih dari 100 orang. Jika pesertanya lebih dari 100 orang,
maka setiap peserta akan mendapat potongan harga sebesar
banyaknya kelebihan peserta dikalikan Rp 5.000,00. Tentukan
pemasukan terbesar biro perjalanan itu.
Modul Matematika SMA 51
2.2.3.4 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
………………,……………20…
Modul Matematika SMA 52
2.3 EVALUASI
2.3.1 Soal evaluasi
1. Gambarlah sketsa grafik 𝐿 = 9 + 6𝑥 + 𝑥2 pada kertas berpetak, dengan
daerah asal 𝑥 −5 ≤ 𝑥 ≤ −1, 𝑥 ∈ ℝ
a. Tentukan terlebih dahulu titik potong terhadap sumbu koordinat,
sumbu simetri, nilai maksimum dan minimum fungsi, dan titik puncak
fungsi!
b. Gambar menggunakan sketsa sederhana!
2. Tentukan rumus fungsi kuadrat yang memenuhi ketentuan-ketentuan
berikut!
a. Memiliki titik puncak (-1,1) dan melalui (1,6)
b. Melalui titik (1,3), (2,3), dan (4,2)
3. Sebuah kebun berbentuk persegipanjang ingin dipagari dengan 100 meter
pagar kawat yang siap dipasang. Jika salah satu sisi kebun adalah tembok
yang tidak perlu dipagari, tentukan luas kebun terbesar yang dapat
dipagari kawat tersebut.
Modul Matematika SMA 53
2.3.2 Lembar penilaian
Nama :...........................
Kelas :...........................
No. Absen :...........................
No. Tugas :..........................
Judul Tugas :...........................
No. Kriteria Rentang Nilai Nilai Prestasi
Tes Formatif Evaluasi
1. Kebenaran Cara 0 – 50
2. Kebenaran Hasil 0 - 30
3. Kebenaran gambar 0 - 10
4. Kerapian Gambar 0 - 10
JUMLAH 0 – 100
JUMLAH (jumlah X 60%) (jumlah X 40%)
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus
...................., ......................Th........
Modul Matematika SMA 55
3.1 PENDAHULUAN
3.1.1 Deskripsi
Modul ini berisi tentang Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan
Linear, akan diuraikan mengenai sistem persamaan linear dua variabel,
tiga variabel, sistem pertidaksamaan linier, dan merancang model
matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan dan
pertidaksamaan linear.
3.1.2 Prasyarat
Dalam melaksanakan modul ini, siswa diharapkan telah
menguasai operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan
pembagian bilangan real.
3.1.3 Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan
adalah sebagai berikut:
1. Pelajari daftar isi dengan cermat, karena daftar isi akan menuntun
anda dalam mempelajari materi ini.
2. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang
mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi
berikutnya.
3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal
latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui
kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
4. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui
kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari
materi yang terkait.
5. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan,
catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap
muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi
modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan
mendapatkan pengetahuan tambahan.
Modul Matematika SMA 56
3.1.4 Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat:
1. Siswa dapat mengerti definisi dan macam-macam persamaan linear.
2. Siswa dapat memahami sistem persamaan linear dua variabel dan
aplikasinya
3. Siswa dapat memahami sistem persamaan linear tiga variabel dan
aplikasinya
4. Siswa dapat memahami sistem pertidaksamaan linier dua variabel
dan aplikasinya
5. Mengetahui metode untuk menyelesaikan SPLDV, SPLTV, dan
SPtLDV
6. Mengetahui ciri- ciri SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV
7. Mengetahui perbedaan antara SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV
8. Mengetahui definisi variabel
9. Siswa dapat menggambar grafik
3.1.5 Kompetensi
Kode Unit :
Judul Unit : Sistem Persamaan Linear
Uraian Unit : Unit ini berlaku untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan
sistem persamaan linear.
Sub Kompetensi Indikator
1. Memahami konsep sistem
persamaan linear dua dan tiga
variabel dan sistem
pertidaksamaan linier dua
variabel dan mampu
menerapkan strategi yang
efektif dalam menentukan
himpunan penyelesaiannya
serta memeriksa kebenaran
jawabnya dalam penyelesaian
soal matematika.
1.1. Menjelaskan karakteristik masalah otentik
yang penyelesaiannya terkait dengan model
matematika sebagai SPLDV, SPLTV, atau
SPtLDV
1.2. Menemukan ciri-ciri SPLDV, SPLTV dan
SPtLDV dari model matematika.
2. Menggunakan SPLDV,
SPLTV, dan SPtLDV untuk
menyajikan masalah
kontekstual dan menjelaskan
makna tiap besaran secara
lisan maupun tulisan.
2.1 Merancang model matematika dari
permasalahan otentik yang merupakan
SPLDV, SPLTV, atau SPtLDV
2.2 Menyelesaikan model matematika untuk
memperoleh solusi permasalahan yang
Modul Matematika SMA 57
diberikan.
2.3 Menentukan jawaban serta menganalisis
model matematika
3. Membuat model matematika
berupa persamaan dua
variabel atau tiga variabel dan
sistem pertidaksamaan linier
dua variabel yang melibatkan
nilai mutlak dari situasi nyata
dan matematika, serta
menentukan jawab dan
menganalisis model sekaligus
jawabnya.
3.1. Menuliskan konsep SPLDV, SPLTV, dan
SPtLDV berdasarkan ciri yang ditemukan
dengan bahasanya sendiri.
3.1.6 Cek Kemampuan
Petunjuk :
Berilah tanda ( ), pada kolom Jawaban : Ya atau Tidak jawaban
yang anda pilih
N
No Pertanyaan
Jawaban
Ya Tidak
1. Apakah anda mengenal sistem persamaan linear?
2. Apakah anda mengenal macam-macam persamaan linear?
3. Apakah anda mengenal sistem persamaan linear dua variabel?
4. Apakah anda mengenal sistem persamaan linear tiga variabel?
5. Apakah anda mengenal sistem pertidaksamaan linier dua variabel?
6. Apakah anda mengetahui metode untuk menyelesaikan SPLDV,
SPLTV, atau SPtLDV?
7. Apakah anda mengetahui ciri- ciri SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV?
8. Apakah anda memahami operasi bilangan?
9. Apakah anda mengetahui perbedaan antara SPLDV, SPLTV, dan
SPtLDV?
10. Apakah anda mengetahui definisi variabel?
Skore ( Nilai )
Tulungagung, November 2015
Modul Matematika SMA 58
PETA KONSEP
Masalah
Otentik
Persamaan
Persamaan Linear Pertidaksamaan Linear
Sistem Pertidaksamaan Linear
Sistem Pertidaksamaan
Linear Dua Variabel
(SPtLDV)
Grafik SPtLDV
Sistem Persaamaan Linear
Sistem Persamaan Linear
Dua Variabel (SPLDV)
Eliminasi
Subsitusi
Eliminasi & Subsitusi
Metode Grafik
Determinan
Himpunan
Penyelesaian
SPLDV
Grafik
SPLDV
Sistem Persamaan Linear
Tiga Variabel (SPLTV)
Eliminasi
Subsitusi
Eliminasi & Subsitusi
Determinan
Himpunan
Penyelesaian
SPLTV
Modul Matematika SMA 59
3.2 PEMBAHASAN
3.2.1 RENCANA BELAJAR SISWA
1. Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah tujuan kegiatan belajar,
untuk mengetahui kemampuan siswa sejauh mana materi yang harus
dicapai.
2. Pada setiap kegiatan belajar buku panduan dan modul selalu dibawa
sebagai panduan siswa.
3. Sebelum dimulai mengerjakan latihan soal siswa harus memahami
secara baik konsep sistem persamaan linear.
4. Kerjakanlah latihan soal dengan baik dan sungguh-sungguh, jika
mengalami kesulitan mintalah bantuan guru maupun mentor anda.
3.2.2 Kegiatan Belajar 1
3.2.5.1 Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Banyak permasalahan dalam kehidupan nyata yang
menyatu dengan fakta dan lingkungan budaya terkait dengan sistem
persamaan linear. Permasalahan-permasalahan tersebut kita jadikan
bahan inspirasi dan menyusun model-model matematika yang
ditemukan dari proses penyelesaian. Model matematika tersebut
kita jadikan bahan abstraksi untuk membangun konsep sistem
persamaan linear dan konsep sistem persamaan linear dua variabel.
Cermatilah masalah berikut!
Kartu bergambar dapat dijadikan bahan inspirasi menemukan
konsep dan aturang yang terkait dengan sistem persamaan linear
melalui masalah yang dirancang.
Anto bermain kartu bergambar bersama temannya. Ketika
mereka selesai bermain, Budi, adiknya Anto mengumpulkaan
Modul Matematika SMA 60
kartu-kartu tersebut. Kemudian ia asyik membangun rumah
bertingkat yang diberi nama rumah kartu. Susunan kartu untuk
setiap tingkatnya berbeda seperti gambar berikut:
Gambar 1.1 Rumah Kartu Bertingkat
Setelah Budi menyusun rumah kartu bertingkat, ia bertanya
dalam pikirannnya, bagaimnana hubungan antara banyak kartu dan
banyak tingkat rumah. Berapa banyak kartu yang dibutuhkan untuk
membangun rumah 30 tingkat? Dapatkah kamu membantu Budi
menyelesaikan masalah tersebut?
Sebelum kamu menyelesaikan masalah tersebut, kira-kira
apakah tujuan masalah tersebut dipecahkan terkait dengan materi?
Pikirkan strategi apa yang kamu gunakan. Agar pekerjaan kamu
lebih efektif, renungkan dan pikirkan pertanyaan berikut:
1) Informasi apa saja yang kamu temukan dalam masalah tersebut
2) Konsep apa saja yang terkait untuk menemukan hubungan
antara banyak tingkaat rumah dan banyak kartu yang digunakan
untuk setiap tingkatannya.
3) Bagaimana strategi kamu untuk menemukan banyak tingkat
rumah dan banyak kartu yang digunakan.
4) Misalkan t menyatakan banyak tingkat rumah dan k banyak
kartu yang dipakai untuk setiap tingkat. Dapatkah kamu
rumuskan aturan yang memasangkan banyak tingkat rumah
dengan banyak kartu yang digunakan?
5) Adakah kesulitan yang harus didiskusikan dengan teman atau
bertanya kepada guru untuk menentukan hubungan antara t dan
k?
6) Apakah aturan pemasangan yang kamu rumuskan untuk
memenuhi situasi penyusunan kartu pada gambar diatas.
Modul Matematika SMA 61
7) Adakah sistem persamaan linear kamu temukan dari rumusan
hubungan antara banyak kartu dan banyak tingkat?
8) Dapatkah kamu menjawab permasalahan Budi? Berapa banyak
kartu yang digunakan untuk membangun rumaah kartu 30
tingkat?
Alternatif Penyelesaian
Berdasar gambar diatas, diperoleh informasi sebagai berikut:
Rumah kartu bertingkat 1 menggunakan kartu sebanyak 2 buah
Rumah kartu bertingkat 2 menggunakan kartu sebanyak 7 buah
Rumah kartu bertingkat 3 menggunakan kartu sebanyak 15 buah
Rumah kartu bertingkat 4 menggunakan kartu sebanyak 26 buah
Sehingga banyak tingkat dan banyak kartu dapat
dikorespondensikan satu-satu membentuk suatu relasi sama dengan
atau banyak kartu dapat dinyaatakan dalam banyak tingkat rumah.
Temukan aturan yang memasangkan banyak tingkat (t)
dengan banyak kartu (k)
Banyak tingkat rumah (t) Banyak kartu (k) Pola banyak kartu
1 2 1 + 1 + 0
2 7 4 + 2 + 1
3 15 9 + 3 + 3
4 26 16 + 4 + 6
Cermati pola bahwa bilangan 1,4,9,16 adalah kuadrat dari
bilangan 1,2,3,4 dan bilangan 1,2,3,4 adalah banyaknya tingkat
rumah. Apakah bilangan 0,1,3, dan 6 dapat dinyatakan dalam t2
dan
t?
Missal x dan y adalah bilangan yang akan ditentukan
dikaitkan dengan banyak kartu dan banyak tingkat rumah yang
dinyatakan dalam persamaan berikut:
k = x t2
+ y t …………………………………………… (persamaan-a)
Modul Matematika SMA 62
Cermati kembali gambar 1.1! untuk mendapatkan model
matematika berupa dua persamaan linear dengan variabel x dan y
yang saling terkait.
Untuk t = 1 dan k = 2 diperoleh persamaan x + y = 2
Untuk t = 2 dan k = 7 diperoleh persamaan 4x + 2y = 7
Dengan demikian kita peroleh dua buah persamaan linear dua
variabel, yaitu:
x + y =………………….………………………… (persamaan-1)
4x + 2y = ………………………………………… (persamaan-2)
Cara menentukan himpunan penyelesaian dari dua persamaan
linear tersebut dengan berbagai metode yaitu : eliminasi, subsitusi,
eliminasi dan subsitusi, serta metode grafik)
Nilai x dan y dapat ditentukan sebagai berikut
x + y = 2 x 4 4x + 4y = 8
4x + 2y = 7 x 1 4x + 2y = 7
2y = 1 y = 1
2
x + y = 2 x 2 2x + 2y = 4
4x + 2y = 7 x 1 4x + 2y = 7
-2x = -2 x = 3
2
Diperoleh himpunan penyelesaiannya adalah {( 1
2,
3
2)}
Evaluasi hasil yang diperoleh, apakah hasil yang diperoleh
adalah solusi terbaik.
k = x t2
+ y t dengan nilai x = 1
2 dan y =
3
2
2 = 3
2 (1)
2 +
1
2 (1) (pernyataan benar)
7 = 3
2 (2)
2 +
1
2 (2) (pernyataan benar)
15 = 3
2 (3)
2 +
1
2 (3) (pernyataan benar)
26 = 3
2 (4)
2 +
1
2 (4) (pernyataan benar)
Modul Matematika SMA 63
Dapat disimpulkan, aturan pengaitan banyak tingkat dengan
banyak kartu yang digunakan untuk membangun rumah kartu
adalah k = x t2
+ y t dengan nilai konstanta x = 1
2 dan y =
3
2
Tentukan banyak kartu yang digunakan membuat rumah
kartu dengan 30 tingkat!
Untuk t = 30 diperoleh k = 3
2 t
2 + 1
2t =
3
2 (30)
2 + 1
2(30)
k = 3
2 (900)
+ 15 = 1365 cara
jadi, banyak kartu yang dibutuhkan membangun rumah kartu
bertingkat dengan 30 tingkat adalah 1365 kartu.
3.2.5.2 Bentuk umum Sistem persamaan linear dengan Dua variabel /
SPL 2 variabel
222
111
cybxa
cybxa
x dan y adalah variabel
Rccbbaa 212121 ,,,,,
Cara menyelesaikannya dengan:
a. Metode Eliminasi
b. Metode Substitusi
c. Metode Campuran Eliminasi dan Substitusi
d. Metode Grafik
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut
273
2
yx
yx
1. Eliminasi
273
2
yx
yx
1
3
x
x
273
633
yx
yx
4y = 8
y = 2
Modul Matematika SMA 64
273
2
yx
yx
1
7
x
x
273
1477
yx
yx
4x = 16
x = 4
2. Substitusi
Dari persamaan (1) y = x – 2 disubstitusikan ke persamaan
(2) diperoleh
3x – 7(x – 2) = -2
3x – 7x + 14 = -2
-4x = -16
x = 4
Untuk x = 4 disubstitusikan ke persamaan (1)
4 – y = 2
y = 4 – 2
= 2
3. Campuran Eliminasi dan Substitusi
273
2
yx
yx
1
3
x
x
273
633
yx
yx
4y = 8
y = 2
y = 2 disubstitusikan ke persamaan (1)
x – 2 = 2
x = 4
4. Grafik
x – y = 2
3x – 7y = -2
-2
2
(4,2)
Modul Matematika SMA 65
Dengan grafik dapat dilihat :
a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik (himpunan
penyelesainnya tepat satu anggota)
b. Jika kedua garis sejajar, tidak mempunyai himpunan
penyelesaian
c. Jika kedua garis berhimpit (himpunan penyelesaiannya
mampunyai anggota tak terhingga)
3.2.5.3 Tes Formatif
1. Nilai x dan ya berturut-turut yang memenuhi persaman x + 3y
= 1 dan 2x - y = 9 adalah…
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 3x +
7y = -1 dan x - 3y = 5 dengan metode gabungan eliminasi dan
subsitusi.
3.2.5.4 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang
Nilai
Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 – 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
………………,……………20…
Modul Matematika SMA 66
3.2.3 Kegiatan Belajar 2
3.2.5.1 Menemukan konsep sistem persamaan linear tiga variabel
Dengan cara analog kita akan menemukan konsep sistem
persamaan linear tiga variabel melalui penyelesaian masalah-
masalah nyata. Perbedaan sistem persamaan linear dua variabel
dengan sistem persamaan linear tiga variabel terletak pada banyak
variabel yang akan ditentukan nilainya.
Cermati masalah berikut!
Suatu ketika Pak Wayan mendapat pesanan membuat 3
ukiran patung dan 1 ornamen rumah dari seorang turis asal Belanda
dengan batas waktu pembuatan diberikan selama 5 bulan. Pak
Wayan dan Putu dapat menyelesaikan keempat jenis ukiran di atas
dalam waktu 7 bulan. Jika Pak Wayan bekerja bersama Gede,
mereka dapat menyelesaikan pesanan dalam waktu 6 bulan. Karena
Putu dan Gede bekerja setelah pulang sekolah, mereka berdua
membutuhkan waktu 8 bulan untuk menyelesaikan pesanan ukiran
tersebut. Dapatkah pesanan ukiran diselesaikan, sesuai batas waktu
yang diberikan?
Sebelum kamu menyelesaikan masalah, manfaatkan
pengetahuan dan ketrampilan yang sudah kamu miliki untuk
menemukan aturan, hubungan, dan struktur-struktur yang belum
diketahui. Dalam menyelesaikan diatas langkah penyelesaiannya
tersirat dalam beberapa pertanyaan berikut:
1. Bagaimana kamu menentukan kecepatan Pak Wayan, Putu, dan
Gede bekerja menyelesaikan satu unit pesanan ukiran tersebut?
2. Dapatkah kamu menentukan hubungan tiap-tiap kecepatan
untuk menyelesaikan pekerjaan dalam bentuk persamaan?
3. Apa yang kamu temukan dari hubungan-hubungan tersebut?
Adakah kaitannya dengan pengetahuan yang kamu miliki
dengan melakukan manipulasi dengan aljabar?
Modul Matematika SMA 67
4. Adakah variabel yang harus kamu tentukan nilainya?
Bagaimana caranya , apakah prinsip analogi (cara yang mirip)
dapat digunakan ketika kamu menentukan nilai variabel pada
sistem persamaan dua variabel?
5. Bagaimana hubungan antara konsep jarak dan kecepatan dalam
menentukan lamanya waktu yang digunakan untuk
menyelesaikan suatu pekerjaan.
6. Adakah jawaban permasalahan yang kamu temukan?
Alternatif Penyelesaian
Diketahui
Pesanan pembuatan ukiran patung dan ornamen rumah
dengan batas waktu 5 bulan.
Waktu yang dibutuhkan membuat patung dan ornamen :
Pak Wayan dan putu : 7 bulan
Pak Wayan dan Gede : 6 bulan
Putu dan Gede : 8 bulan
Ditanya : waktu yang diperlukan bila ketiganya
bekerja bersama-sama
Misalkan: Waktu yang dibutuhkan (bulan) Pak Wayan adalah x
Waktu yang dibutuhkan (bulan) Putu adalah y
Waktu yang dibutuhkan (bulan) Gede adalah z
Berarti pekerjaan yang dapat diselesaikan pak Wayan,
Putu dan Gede dengan waktu x,y,z masing-masing 1
𝑥 ,
1
𝑦
dan 1
𝑧 bagian pekerjaan.
Bila Pak Wayan dan Putu bekerja bersama dalam satu bulan
dapat menyelesaikan 1
𝑥+
1
𝑦 bagian pekerjaan. Karena Wayan
dan Putu membutuhkan 7 bulan menyelesaikan pekerjaan, maka
hal ini dapat di maknai
7 1
𝑥 + 7
1
𝑦 = 1 →
1
𝑥 +
1
𝑦 =
1
7 …………..………. (persamaan-1)
Modul Matematika SMA 68
Bila Pak Wayan dan Gede bekerja bersama dalam satu bulan
dapat menyelesaikan 1
𝑥+
1
𝑧 bagian pekerjaan. Karena Wayan
dan Gede membutuhkan 6 bulan menyelesaikan pekerjaan.
Maka hal ini dapat dimaknai
6 1
𝑥 + 6
1
𝑧 = 1 →
1
𝑥 +
1
𝑧 =
1
6………………….. (persamaan-2)
Bila Putu dan Gede bekerja bersama dalam satu bulan dapat
menyelesaikan 1
𝑦+
1
𝑧 bagian pekerjaan. Karena putu dan Gede
membutuhkan 8 bulan menyelesaikan pekerjaan, maka hal ini
dapat dimaknai
8 1
𝑦 + 8
1
𝑧 = 1 →
1
𝑦 +
1
𝑧 =
1
8…………………. (persamaan-3)
a) Temukan tiga persamaan linear yang saling terkait dari
persamaan 1,2 dan 3 di atas!
b) Misalkan p = 1
𝑥 , q =
1
𝑦 , dan r =
1
𝑧
c) Tentukan nilai p, q, dan r dengan memilih salah 1 metode
yang telah dipelajari sebelumnya. Sebegai alternatif pilihan
adalah metode campuran eliminasi dan subsitusi.
Dengan menerapkan metode eliminasi pada persamaan-1
dan 2 diperoleh
7p + 7q = 1 x 6 42p + 42q = 6
6p + 6r = 1 x 7 42p + 42r = 7 -
42q – 42r = -1 ……(persamaan-4)
Dengan menerapkan metode eliminasi pada persamaan-3
dan 4 diperoleh
8p + 8r = 1 x 42 336q + 336r =42
42q - 42r = -1 x 8 336q – 336r = -8 -
672r = 50
r = 50
672
r = 50
672 disubsitusikan ke persamaan 8q + 8r = 1 diperoleh q =
34
672
q = 34
672 disubsitusikan ke persamaan 7p + 7q =1 diperoleh p =
62
672
Modul Matematika SMA 69
sebelumnya telah kita misalkan :
p = 1
𝑥 dan p =
62
672 → x =
672
62 = 10,8
q = 1
𝑦 dan q =
34
672 → y =
672
34 = 19, 76
r = 1
𝑧 dan r =
50
672 → z =
672
50 = 13,44
Karena x,y, dan z berturut-turut menyatakan waktu yang
dibutuhkan Pak Wayan, Putu, Gede menyelesaikan 1 set
pesanan ukiran. Jika bekerja secara individual, maka Pak Wayan
dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam waktu 10,84 bulan,
Putu dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam waktu 19,76
bulan, dan 1 Gede dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam
waktu 13,44 bulan.
Jadi waktu yang diperlukan Pak Wayan dan kedua
anaknya untuk menyelesaikan 1 set pesanan ukiran patung dan
ornamen, jika mereka bekerja secara bersama-sama adalah
t = 1
62
672+
34
672+
50
672
t = 672
146
t = 4,6
karena waktu yang diberikan turis adalah 5 bulan, maka
ternyata pekerjaan (pesanan) tersebut dapat diterima atau
dipenuhi.
3.2.5.2 Bentuk Umum Sistem persamaan linear dengan Tiga variabel /
SPL 3 variabel
3333
2222
1111
dzcybxa
dycybxa
dzcybxa
x, y, z adalah variabel
Rdddcccbbbaaa 321321321321 ,,,,,,,,,,,
Modul Matematika SMA 70
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut :
72
52
3
zyx
zyx
zyx
Dengan Metode campuran Eliminasi dan Substitusi :
Misal dimulai dengan mengeliminasi z
(1) dan (2)
52
3
zyx
zyx +
3x + 2y = 8 ..............................(4)
(2) dan (3)
72
52
zyx
zyx
x - y = -2 ............................(5)
(4) dan (5)
3x + 2y = 8 x 1 3x + 2y = 8
x - y = -2 x 3 3x - 3y = -6
5y = 14 , y = 14
5
3x + 2y = 8 x 1 3x + 2y = 8
x - y = -2 x 2 2x - 2y = -4 +
5x = 4 , x = 4
5
x = 4
5 dan y =
14
5 disubstitusi ke persamaan (1) :
x + y – z = 3
4
5 +
14
5 – z = 3
18
5 – z = 3
z = 18
5 – 3
z = 3
5 ,Jadi HP : {
4
5,
14
5,
3
5 }
Modul Matematika SMA 71
3.2.5.3 Tes Formatif
1. Tentukan hubungan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.
2x – y + z = -1
3x + 2y – z = 10
-4x – y – 3z = -3
3.2.5.4 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
………………,……………20…
Modul Matematika SMA 72
3.2.4 Kegiatan Belajar 3
3.2.5.1 Aplikasi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan Tiga
Variabel
Banyak permasalahan dalam keseharian yang dapat
diselesaikan dengan sistem persamaan linear. Untuk
menyelesaikannya terjemahkan soal-soal berupa cerita atau
informasi ilmiah ke dalam model matematika yang berbentuk
sistem persamaan linear, baik dua variabel maupun tiga variable.
Untuk memahaminya perhatikan contoh berikut.
Contoh 1
Pak Yudi membeli tiket masuk tempat rekreasi sebanyak 2
lembar untuk dewasa dan tiga lembar untuk anak-anak dengan arga
Rp 315.000,00. Joko membeli 3 lembar tiket untuk dewasadan 1
lembar untuk anak-anak dengan harga Rp 280.000,00. Jika
Andhika membeli 1 lembar tiket untuk dewasa dan 2 lembar untuk
anak-anak dengan menggunakan selembar uang Rp 100.000,00.
Berapakah uang kembalian yang diterima Andhika?
Penyelesaian
Misalnya, harga 1 lembar tiket untuk dewasa = x rupiah
harga 1 lembar tiket untuk anak-anak = y rupiah
Maka diperoleh sistem persamaan
2x + 3y = Rp 315.000,00 …….. (1)
3x + y = Rp 280.000,00 …….. (2)
Eliminasikan persamaan (1) dan (2):
Subsitusikan persamaan (3) ke persamaan (1), sehingga
diperoleh
Jadi, harga 1 lembar tiket untuk dewasa adalah Rp 75.000,00.
Harga 1 lembar tiket untuk anak-anak adalah Rp 55.000,00.
2x + 3y = Rp 315.000,00 │x 3│→ 6x + 9y = 945.000
3x + y = Rp 280.000,00 │x 2│→ 6x + 2y = 560.000 -
7y = 385.000 , y = 55.000 ……. (3)
2x + 3y = 315.000
2x + 2(55.000) = 560.000
2x = 150.000
x = 75.000
Modul Matematika SMA 73
Uang kembalian yang diterima andhika adalah = 2(100.000) –
75.000 + 55.000
= 200.000 – (75.000 + 110.000)
= 200.000 – 185.000
= 15.000 rupiah
Contoh 2
Sepuluh tahun yang lalu, umur Ita adalah dua kali umur Tika.
Lima tahun kemudian, umur Ita adalah satu setengah kali umur
Tika. Berapakah umur Ita sekarang?
Penyelesaian:
Misalnya: umur ita sekarang = x tahun
Umur Tika sekarang = y tahun
Sistem persamaan dari permasalahan di atas adalah:
x – 10 = 2(y-10) → x – 2y = -10 … (1)
x – 5 = 3
2 (y – 5) → 2x – 3y = -5 … (2)
dengan metode eliminasi diperoleh :
x – 2y = -10 │x 3│ → 3x – 6y = -30
2x – 3y = -5 │x 2│ → 4x - 6y = -10 -
-x = -20
x = 20
jadi umur Ita sekarang adalah 20 tahun.
3.2.5.2 Tes Formatif
Sebuah toko kelontong menjual dua jenis beras sebanyak 50
kg. Harga 1 kg beras jenis I adalah Rp 6.000,00 dan jenis II adalah
Rp 6.200,00/kg. Jika harga beras seluruhnya Rp 306.000,00 maka
tentukan jumlah beras jenis I dan beras jenis II yang dijual.
Modul Matematika SMA 74
3.2.4.3 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang
Nilai
Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
………………,……………20…
Modul Matematika SMA 75
3.2.5 Kegiatan Belajar 4
3.2.5.1 Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel.
a. Pengertian Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel.
Gabungan dau atau lebih dari pertidaksamaan linier akan
membentuk suatu sistem yang dikenal dengan istilah Sistem
Pertidaksamaan Linier. Dalam hal ini tidak adannya ketentuan bahwa
banyaknya variabel yang harus sama dengan banyaknya
pertidaksamaan.
Pertidaksamaan linier dua variabel adalah sebagai kalimat
terbuka matematika yang memuat dua variabel, dengan masing-
masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda
ketidaksamaan. Lambing pertidaksamaan yang sering digunakan
seperti berikut:
1) >, berarti: lebih besar atau tidak kurang dari atau (+)
2) <, berarti: lebih kecil atau tidak lebih dari atau (-)
3) ≥, berarti: lebih besar sama dengan atau tidak kurang dari (+)
4) ≤, berarti, lebih kecil sama dengan atau tidak lebih dari (-)
Selidiki, apakah gabungan pertidaksamaan linier berikut
merupakan sistem pertidaksamaan linier dua variabel?
1. 8x + 4y ≤ 18 dan -2x + 4y ≥ -8
Penyelesaian:
1. 8x + 4y ≤ 18 dan -2x + 4y ≥ -8 merupakan pertidaksamaan
linier dalam variabel x dan y, sehingga keduannya dapat
membentuk sistem pertidaksamaan linier dua variabel.
b. Garis Batas Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linier
Ada langkah-langkah yang harus diperhatikan dalam
menggambar garis batas penyelesaian dari petridaksamaan linier dua
variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan
dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan.
Contoh
1.1
Modul Matematika SMA 76
Garis batas daerah penyelesaikan pertidaksamaan linier
sering berupa:
a. Sumbu x (y = 0) b. Sumbu y (x = 0)
c. Sumbu x (y = k) d. Sumbu y (x = k)
e. y = mx ; m > 0 f. y = mx ; m < 0
g. ax + by = ab dengan
a, b > 0 dan a, b < 0
h. ax + by = ab dengan a dan
b berbeda tanda
y
X (y =
0) 0 0
x
Y (x =
0)
y = k (k < 0)
x
y = k (k > 0)
0
y
X
y
0
X = h (h < 0) X = h (h > 0 )
y
a
0 b x
a>0, b<0
y
x -b
-a
b
a
a>0, b<0
0
y
x 0
y = mx;
m>0
y
Y=mx;
m<0
x 0
Modul Matematika SMA 77
Untuk menentukan garis batas daerah penyelesaian pada diagram
kartesius dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1
Menggambar garis dengan persamaan 4x + 3y = 400 dan garis x + y =
125. Agar kita lebih muda menggambar garis ini, lebih baik kita cari
dahulu titik potong dengan sumbu x yang terjadi jika y = 0 dan titik
potong dengan sumbu y yang terjadi jika x = 0.
Untuk garis 4x + 3y = 400, jika y = 0, maka x = 100
jika x = 0, maka y = 133,3
maka garis 4x + 3y = 400 memotong sumbu y di titik (0, 133,3) dan
memotong sumbu x di titik (100, 0).
Untuk garis x + y = 125, jika y = 0 maka x = 125
jika x = 0 maka y = 125
maka garis x + y = 125 memotong sumbu y di titik (0, 125) dan
memotong sumbu x di titik (125, 0)
Langkah 2
Menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 400 dan x
+ y ≤ 125. Daerah penyelesaikan pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 400. Jika
garis 4x + 3y = 400 digambar pada diagram kartesius maka garis
tersebut akan membagi dua daerah, yaitu 4x + 3y < 400 dan 4x + 3y >
400. Selanjutnya kita selidiki daerah mana yang menjadi daerah
penyelesaian dari pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 400, dengan cara
mengambil sembarang titik misalnya P(x,y) pada salah satu daerah,
kemudian mensubtitusikan titik tersebut ke pertidaksamaan 4x + 3y ≤
400. Jika pertidaksamaan terseut bernilai benar maka daerah yang
memuat titik P(x,y) merupakan daerah penyelesaian. Jika bernilai
salah maka daerah tersebut bukan daerah penyelesaian pertidaksamaan
4x = 3y ≤ 400. Dengan cara yang sama maka daerah penyelesaian
pertidaksamaan x + y ≤ 125 juga dapat diketahui.
Modul Matematika SMA 78
Langkah 3
Mengarsir daerah yang merupakan daerah penyelesaian masing-
masing pertidaksamaan. Daerah yang diarsir dua kali merupakan
daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier.
Setelah melakukan langkah 1, 2 dan 3 diatas, maka daerah
penyelesaian sistem pertidaksamaan dapat digambarkan sebagai
berikut.
Gambarlah garis bidang cartesius, himpunan penyelesaian dari
sistem peryidaksamaan dibawah berikut, x≥0, y≥0, 2x+3y≤12, untuk
x,y ∊ R.
Penyelesaian:
Gambarlah garis dengan persamaan x =
0, y = 0, dan 2x + 3y = 12. Kemudian
ambit titik (1,2) sebagai titik uji. Untuk
x ≥ 0 maka 1 ≥ 0 adalah benar. Jadi,
belahan bidang yang memuat titik (1,2)
merupakan himpunan penyelesaian x≥0.
Untuk y ≥ 0 maka 2 ≥ 0 adalah benar.
Jadi, belahan bidang yang memuat titik
(1,2) merupakan himpunan penyelesaian y ≥ 0. Untuk 2x + 3y ≤ 12,
maka 2(1) + 3(2) ≤ 12 ⇔ 8 ≤ 12 adalah benar. Jadi, belahan bidang
y
x 10
0
12
5
12
5
133,3
Gambar 1.1 daerah penyelesaian untuk
sistem pertidaksamaan linier
Contoh
1.2
y
2x + 3y = 12 4
0 6 x
Modul Matematika SMA 79
yag memuat titik (1,2) merupakan himpunan penyelesaian 2x + 3y ≤
12. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan x≥0, y≥0 dan
2x+3y≤12 adalah irisan dari himpunan penyelesaian x ≥ 0, dan
himpunan penyelesaian y ≥ 0, dan himpunan penyelesaian 2x+3y≤12
sehingga himpunan penyelesaian diperlihatkan pada daerah yang
direster pada gambar di samping.
Modul Matematika SMA 80
3.2.5.2 Rangkuman
a. Sistem pertidaksamaan linier adalah himpunan petidaksamaan
linier yang saling terkait dengan koefisien variabelnya bilangan-
bilangan real.
b. Sistem pertidaksamaan linier dua variabel adalah satu sistem
pertidaksamaan linier yang memuat dua variabel denga koefisien
bilangan real.
c. Penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dua peubah adalah
himpunan semua pasangan titik (x,y) yang memenuhi sistem
pertidaksamaan linier tersebut.
d. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier adalah daerah
tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi sistem pertidaksamaan
linier tersebut.
e. Menentukan garis pembatas suatu pertidaksamaan linier dua
variabel.
1). Persamaan garis lurus yang memotong sumbu koordinat di titik
(0,a) dan (b,0) adalah: ax + by = ab.
2). Persamaan garis lurus yang melalui dua titik, yaitu A(x1,y1) dab
B(x2, y2) ditentukan oleh:
y−y1
y2−y1 =
x− x1
𝑥2−𝑥1 atau y =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1 𝑥 − 𝑥1 + 𝑦1
0 b
a
X
y
Ax + by =
ab
Modul Matematika SMA 81
3.2.5.3 Tugas Latihan
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini dengan benar!
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linier
a. 2x + 5y ≥ 20 !
b. 4x – 3y < 12 !
c. 5x + 3y ≤ 15 !
2. Selidiki, apakah himpunan pertidaksamaan linier berikut
merupakan sistem pertidaksamaan linier dua variabel?
a. a – 5b ≥ 9 dan 5a – b ≤ 5 !
b. x + y ≤ 12, y ≥ 4, dan x ≥ 0 !
c. x + 2y ≥ 10 dan m – p ≤ 8 !
3. Jika diberikan sistem pertidaksamaan linier seperti berikut ini,
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 ≥ 𝑐1 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ≥ 0, 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 ≥ 𝑐2 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ≥ 0
a. Syarat apakah yang harus dipenuhi agar sistem memiliki
solusi tunggal?
b. Syarat apakah yang harus dipenuhi agar sistem tidak
memiliki solusi?
Modul Matematika SMA 82
3.2.5.3 Tes Formatif
Jawablah pertanyaan dibawah ini dengan benar dan tepat!
1. Selidiki, apakah pertidaksamaan berikut termasuk persamaan linier
dua variabel. 2x + y ≤ 6 dan x – 2y ≥ -4!
2. Gambarah diagram cartesius dari himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan x ≥ 2, y ≥ 3, 2x + y ≥ 8, untuk x, y ∊ R!
3. Arsirlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x + y ≥ 3, x,
y ∊ R pada sistem koordinat cartesius.
3.2.5.4 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
………………,……………20…
Modul Matematika SMA 83
3.3 EVALUASI
3.3.1 Soal Evaluasi
1) Penyelesaian sistem persamaan 3x –2y= 12 dan 5x + y = 7 adalah x = p
dan y = q. Nilai 4p + 3q adalah . . .
a. 17 c. -1
b. 1 d. - 17
2) Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – 2y = 10 dan 3x +
2y = -2 adalah . . . .
a. {(-2, -4 )} c. {(2, -4)}
b. {(-2 ,4)} d. {(2, 4)}
3) Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier 2y – x = 10 dan 3x
+ 2y = 29 adalah . .
a. {(7, 4)} c. {(-4, 7)}
b. {(7,-4)} d. {(4, 7)}
4) Jika 2x + 5y = 11 dan 4x – 3y = -17, Maka nilai dari 2x – y = . . . .
a. -7 c. 5
b. -5 d. 7
5) Asep membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar
Rp15.000,00, sedangkan Intan membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel
dengan harga Rp18.000,00. Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg
apel?
a. Rp 28.000 c. Rp 39.000
b. Rp 34.000 d. Rp 41.000
6) Selisih umur seorang ayah dan anak perempuannya adalah 26 tahun,
sedangkan lima tahun yang lalu jumlah umur keduanya 34 tahun.
Hitunglah umur ayah dan anak perempuannya dua tahun yang akan
datang.
a. 37 tahun dan 11 tahun c. 36 tahun dan 10 tahun
b. 35 tahun dan 11 tahun d. 39 tahun dan 11 tahun
7) Asti dan Anton bekerja pada sebuah perusahaan sepatu. Asti dapat
membuat tiga pasang sepatu setiap jam dan Anton dapat membuat
Modul Matematika SMA 84
empat pasang sepatu setiap jam. Jumlah jam bekerja Asti dan Anton 16
jam sehari, dengan banyak sepatu yang dapat dibuat 55 pasang. Jika
banyaknya jam bekerja keduanya tidak sama, tentukan lama bekerja
Asti dan Anton.
a. 9 jam dan 8 jam c. 8 jam dan 9 jam
b. 9 jam dan 7 jam d. 7 jam dan 9 jam
8) Tentukan himpunan penyelesaian dari:
3x + 4y – 3z = 3
2x – y + 4z = 21
5x + 2y + 6z = 46
a. {(2, 3, 5)} c. {(4, 3, 5)}
b. {(1, 3, 5)} d. {(3, 3, 5)}
9) Himpunnan penyelesaian sistem persamaan
2x + 5y + 4z = 28
3x – 2y + 5z = 19
6x + 3y – 2z = 4 adalah …
a. {(1, 3, 4)} c. {(1, 2, 4)}
b. {(2, 3, 4)} d. {(1, 4, 5)}
10) Tentukan himpunan penyelesaian dari:
2x + 3y – z = 20
3x + 2y + z = 20
x + 4y + 2z = 15
a. {(5, 3, -2)} c. {(5, 2, -1)}
b. {(5, 3, -1)} d. {(5, 1, -1)}
11) Gambarlah daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan dari
x – y ≥ 0, x + y ≥ 4 adalah….
a. c.
4
4 0 x
y
4
4 0 x
y
Modul Matematika SMA 85
b. d.
12) Daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan dari x – y ≥ 0,
x + y ≥ 4, y ≥ 0 adalah….
a. c.
b. d.
13) Daerah yang diarsir adalah gambar himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan dari x ≥ 0, y ≥ 0 ….
A. x + y ≤ 6, y ≥ 2
B. x + y ≤ 6, y ≤ 2
C. x + y ≤ 6, y – 2 ≥ 0
D. x + y ≤ 6, y – 2 ≤ 0
4
4 0 x
y
4
4 0 x
y
4
4 0 x
y
4
4 0 x
y
4
4 0 x
y
4
4 0 x
y
2
0
6
6 x
y
Modul Matematika SMA 86
14) Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian pertidaksamaan dari
x ≥ 0, y ≥ 0 ….
A. y ≤ 4, y – x ≥ 5, y – 2x ≤ 8
B. y ≤ 4, y + x ≤ 5, y + 2x ≤ 8
C. y ≤ 4, y + x ≥ 5, y + 2x ≤ 8
D. y ≤ 4, 5y + 5 x ≥ 0, y – 2x ≤ 8
15) Koordinat titik-titik di dalam dan sepanjang segitiga ABC pada gambar
berikut ini memenuhi sistem pertidaksamaan….
A. 4x + y ≥ 8, 3x + 4y ≤ 24, x + 6y ≥ 12
B. 4x + y ≥ 8, 3x + 4y ≥ 24, x + 6y ≥ 12
C. 4x + y ≥ 8, 3x + 4y ≤ 24, x + 6y ≤ 12
D. 4x + y ≤ 8, 3x + 4y ≤ 24, x + 6y ≥ 12
16) Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 5x + 3y ≥ 15, x +
2y ≥ 6, x ≥ 0, y ≥ 0 mempunyai …. Buah titik sudut.
A. I
B. II
C. III
D. IV
17) Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + y ≤ 4, x + 3y
≥3, x, y ∊ C dinyatakan oleh daerah….
A. I
B. II
C. III
D. IV
4 x
0 5
4
5
8
y
C
B A
x 12 8 2 0
2
6
8
y
IV II
I
I
I
I
0 3 2
1
4
x
y
Modul Matematika SMA 87
18) Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + y ≤ 40, x + 2y
≤ 40, x ≥ 0, dan y ≥ 0 brbentuk….
A. Persegi panjang
B. Segi empat
C. Trapezium
D. segitiga
19) Makanan x mengandung 4 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B per
kilogram. Makanan y mengandung 4 unit vitamin A dan 6 unit Vitamin
B per kilogram. Makanan-makanan tersebut akan digunakan untuk
membuat makanan campuran yang mengandung sekurang-kurangnya
28 unit vitamin A dan 24 unit vitamin B. model matematika yang dapat
disusun dari masalah di atas adalah…
A. x + y ≥ 7, x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C
B. x + y ≥ 7, x + 3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C
C. x + y ≤ 7, x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C
D. x + y ≤ 7, x + 3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C
20) Seorang pedagang cat akan membeli barang dengan paling banyak 20
kaleng cat ukuran besar dan kecil. Harga sebuah cat kaleng besar
Rp20.000,00 dan sebuah cat kaleng kecil Rp10.000,00, sedangkan uang
yang tersedia adalah Rp250.000,00. Jika banyaknya cat kaleng besar
yang dibeli dimisalkan x buah dan cat kaleng kecil dimisalkan y buah,
maka model matematikanya adalah….
A. X + y ≥ 20, 2x + y ≤ 25, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C
B. X + y ≤ 20, 2x + y ≤ 25, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C
C. X + y ≥ 20, 2x + y ≥ 25, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C
D. X + y ≤ 20, 2x + y ≥ 25, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C
21) Kotak tempat barang dengan seorang penjual minuman kaleng paling
banyak membuat minuman sebanyak 60 kaleng. Ia membeli minuman
jenis A seharga Rp1.500,00/kaleng dan minuman jenis B seharga
Rp1.750,00/kaleng. Ia hanya mempunyai modal Rp200.000,00. Jika
banyaknya minuman kaleng jenis A dinyatakan dengan x buah dan
Modul Matematika SMA 88
minuman jenis B y buah, maka model minuman matematikanya
adalah…
A. X + y ≤ 60, 6x + 7y ≤ 800, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C
B. X + y ≤ 60, 6x + 7y ≥ 800, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C
C. X + y ≥ 60, 6x + 7y ≤ 800, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C
D. X + y ≥ 60, 6x + 7y ≥ 800, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C
22) Jika x ≥ 0, y ≥ 0 dan daerah himpunan penyelesaian adalah daerah III,
maka sistem pertidaksaman yang memenuhi adalah….
A. Y ≥ 2x, 2y ≥ x, 2x + y ≤ 4, x + y ≥ 4
B. Y ≤ 2x, 2y ≥ x, 2x + y ≤ 4, x + y ≥ 4
C. Y ≤ 2x, 2y ≤ x, 2x + y ≤ 4, x + y ≥ 4
D. Y ≥ 2x, 2y ≤ x, 2x + y ≤ 4, x + y ≥ 4
23) Jika daerah himpunan penyelesaian adalah daerah I, maka daerah itu
memenuhi sistem pertidaksamaan….
A. X – 2y ≥ -2, 4x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
B. X – 2y ≤ -2, 4x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
C. X – 2y ≥ -2, 4x + 3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
D. X – 2y ≤ -2, 4x + 3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
24) Jika himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan merupakan daerah
1 dan III, maka sistempertidaksamaan itu adalah….
A. X ≥ 0, y ≤ 1, (x + y – 4)(x + 2y – 6) ≤ 0
B. y ≥ 0, x ≥ 1, (x + y – 4)(x + 2y – 6) ≤ 0
y
4
0 2 4
I II
III
I
V x
I
V
III
I
I I
y
4
1
-2 0 3 x
y
I V
II III
iii I
V
4
3
4 6
1
0 x
Modul Matematika SMA 89
C. X ≥ 0, y ≥ 1, (x + y – 4)(x + 2y – 6) ≤ 0
D. y ≥ 0, x ≤ 1, (x + y – 4)(x + 2y – 6) ≤ 0
25) Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan dari x + y ≥ 4, x + 2y ≤
6, dan y ≥ 1 ditunjukkn oleh…
A. I
B. II
C. III
D. IV
3.3.2 Lembar Penilaian
Nama :...........................
Kelas :...........................
No. Absen :...........................
No. Tugas :..........................
Judul Tugas :...........................
No. Kriteria Rentang
Nilai
Nilai Prestasi
Tes Formatif Evaluasi
1. Kegiatan belajar 1 0 – 30
2. Kegiatan belajar 2 0 – 30
3. Kegiatan belajar 3 0 – 10
4. Evaluasi 0 – 100
JUMLAH 0 – 100
JUMLAH (jumlah X 60%) (jumlah X 40%)
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus
..............................,.......................20....
y
I V
II III
iii I
V
4
3
4 6
1
0 x
Modul Matematika SMA 91
4.1 PENDAHULUAN
4.1.1 Deskripsi
Dalam modul ini anda akan mempelajari perbandingan
trigonometri (sinus, cosinus, tangen), penggunaan perbandingan
trigonometri, penentuan nilai perbandingan trigonometri di berbagai
kuadran, pengkonversian koordinat cartesius dan kutub, aturan sinus
dan cosinus, penentuan luas segitiga, rumus trigonometri jumlah dan
selisih dua sudut
4.1.2 Prasyarat
Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah anda harus sudah
mempelajari bentuk akar dan pangkat, persamaan dan kesebangunan
dua segitiga, dan sudut-sudut istimewa.
4.1.3 Petunjuk Penggunaan Modul
1. Pelajari daftar isi serta skema modul dengan cermat, karena daftar isi
dan skema akan menuntun anda dalam mempelajari modul ini dan
kaitannya dengan modul-modul yang lain.
2. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang
mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi
berikutnya.
3. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan
benar untuk memudahkan pemahaman dalam suatu proses pekerjaan.
4. Kerjakann soal-soal pada cek kemampuan intuk mengukur
kemampuan anda sebelum mempelajari modul ini.
5. Apabila dari soal cek kemampuan yang telah anda kerjakan
mendapat score ≥ 70, maka anda dapat langsung menuju Evaluasi
untuk mengerjakan soal-soal tersebut. Tetapi bila hasil jawaban
mendapat nilai < 70, maka anda harus mengikuti kegiatan
pembelajaran dalam modul ini.
6. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal
latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui
kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
Modul Matematika SMA 92
7. Kerjakan soal-soal yang terdapat dalam modul sesuai dengan
kemampuan anda dalam memahami modul ini.
8. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui
kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari
materi yang terkait.
9. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan,
catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap
muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi
modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan
mendapatkan pengetahuan tambahan.
4.1.4 Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Menemukan nilai perbandingan trigonometri untuk suatu sudut,
2. Menggunakan perbandingan trigonometri,
3. Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran,
4. Mengkonversikan koordinat cartesius dan kutub,
5. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus,
6. Menentukan luas segitiga
7. Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih sudut,
8. Menyelesaikan persamaan trigonometri
9. Memahami pengertian koordinat kutub dan koordinat cartesius
10. Mengkonversikan koordinat cartesius ke koordinat kutub
11. Mengkonversikan koordinat kutub ke koordinat cartesius
12. Menentukan luas segitiga
13. Menyelesaikan masalah Menggunakan aturan sinus dan kosinus
14. Menyelesaikan masalah menggunakan rumus trigonometri jumlah
dan selisih dua sudut
Modul Matematika SMA 93
4.1.5 Kompetensi
Kode Unit
Judul Unit : Trigonometri (jam)
Uraian Unit :
Sub Kompetensi Indikator
1. Menentukan dan
menggunakan nilai
perbandingan trigonometri
suatu sudut.
1.1 Perbandingan trigonometri suatu sudut ditentukan dari sisi-
sisi segitiga siku-siku.
1.2 Perbandingan trigonometri dipergunakan dalam
menentukan panjang sisi dan besar sudut segitiga siku-siku.
1.3 Sudut-sudut diberbagai kuadran ditentukan nilai
perbandingan trigonometrinya.
2. Mengkonversi koordinat
cartesius dan kutub
2.1 Koordinat cartesius dan koordinat kutub dibedakan sesuai
pengertiannya.
2.2 Koordinat cartesius dikonversi ke koordinat kutub atau
koordinat kutub ke koordinat cartesius sesuai prosedur dan
rumus yang berlaku.
3. Menggunakan aturan sinus
dan cosines
3.1 Aturan sinus digunakan untuk menentukan panjang sisi
atau besar sudut pada suatu segitiga.
3.2 Aturan cosinus digunakan untuk menentukan panjang sisi
atau besar sudut pada suatu segitiga
4. Menentukan luas suatu
segitiga
4.1 Luas segitiga dihitung dengan menggunakan rumus luas
segitiga
5. Menggunakan rumus
trigonometri jumlah dan
selisih dua sudut
5.1 Rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut
digunakan untuk menyelesaikan soal-soal yang terkait
6. Menyelesaikan persamaan
trigonometri
6.1 Persamaan trigonometri dihitung penyelesaiannya
7. Mengkonversi koordinat
cartesius dan kutub
7.1 Koordinat cartesius dan koordinat kutub dibedakan sesuai
pengertiannya
7.2 Koordinat cartesius dikonversi ke koordinat kutub atau
koordinat kutub ke koordinat cartesius sesuai prosedur dan
rumus yang berlaku
8. Menentukan luas suatu
segitiga
8.1 Luas segitiga dihitung dengan menggunakan rumus luas
segitiga
Acuan Penilaian
1. Unit kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada peserta uji.
2. Aspek-aspek kritikal yang dinilai:
Mampu mengkonversikoordinat cartesius dan kutub
Memahami rumus trigonometri jumlah dan selisih sudut
3. Kompetensi yang harus dikuasai sebelumnya:
Bentuk akar dan pangkat, persamaan dan kesebangunan dua segitiga, dan sudut-sudut istimewa
4. Pengetahuan yang harus dibutuhkan:
Mengetahui rumus perbandingan
Mampu menemukan kuadran
Mengenal istilah unsur dalam trigonometri
Modul Matematika SMA 94
Memahami sisi-sisi dalam segitiga
5. Sikap yang dituntut:
Bekerja dengan ketelitian dan kecermatan
Efisien dan optimal dalam bekerja
Memperhatikan langkah-langkah dalam suatu proses
Bersikap positif dan terbuka terhadap penilaian pekerjaan oleh atasan
4.1.6 Cek Kemampuan
Berilah tanda ( ), pada kolom Jawaban : Ya atau Tidak jawaban
yang anda pilih
No Pertanyaan Jawaban
Ya Tidak
1. Apakah anda dapat menggunakan rumus perbandingan ?
2. Apakah anda dapat mengukur sudut suatu segitiga ?
3. Apakah anda mengenal atusan sinus dan cosinus ?
4. Apakah anda dapat menentukan kuadran ?
5. Apakah anda mengetahui luas segitiga ?
6. Apakah anda dapat membedakan antara koordinat kutub dan
cartesius ?
7. Apakah anda dapat menghitung besar sudut ?
8. Apakah anda dapat menghitung panjang sisi pada sebuah segitiga ?
9. Apakah anda mengenal istilah unsur dalam trigonometri ?
10. Apakah anda mengetahui yang dimaksud koordinat kutub ?
11. Apakah anda mengetahui yang dimaksud koordinat cartesius ?
Skore (Nilai)
Tulungagung, 2 November 2015
Modul Matematika SMA 95
Trigonometri
Perbandingan Trigonometri suatu sudut
Mengkonversi
Koorinat Cartesius
Koordinat Kutub
Aturan sinus dan cosinus
Luas Segitiga
Jumlah dan Selisih Dua Sudut
PETA KONSEP
Modul Matematika SMA 96
4.2 PEMBAHASAN
4.2.1 Rencana Belajar Siswa
1) Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah uraian tujuan kegiatan belajar,
agar mengetahui kemampuan apa yang akan dicapai pada setiap kegiatan.
2) Peralatan dan bahan yang harus dibawa pada pertemuan atau tatap muka
berikutnya harus dibaca sebelum kegiatan dilaksanakan.
3) Sebelum melaksanakan kegiatan harus memahami terlebih dahulu setiap
langkah kerja yang dilaksanakan, apabila kurang jelas dapat menanyakan
kepada guru/instruktur.
4) Kerjakanlah setiap latihan dengan bersungguh-sungguh agar kemampuan
anda yang sebenarnya diketahui
4.2.2 Kegiatan Belajar 1
4.2.2.1 Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku-siku
Gambar 1.1 merupakan gambar segitiga siku-siku di C, dengan
panjang AB=c, panjang AC= b, panjang BC= a, ∠𝐵𝐶𝐴 =
𝑎,∠𝐴𝐵𝐶 = 𝛽, dan ∠𝐴𝐶𝐵 = 90°. Sisi AC dan BC merupakan sisi
siku-siku, sedangkan sisi AB disebut sisi miring (hipotenusa).
Gambar 1.1:
Bardasarkan ganbar diatas diperoleh perbandingan panjang sisi-sisi
segitiga berikut.
1) 𝐵𝐶
𝐴𝐵=
𝑎
𝑐= sin𝛼 (sinus sudut 𝛼) dan
𝐴𝐶
𝐴𝐵=
𝑏
𝑐= sin𝛽 (sinus sudut
𝛽)
Modul Matematika SMA 97
BC dan AC masing-masing merupakan sisi-sisi didepan sudut 𝛼
dan sudut 𝛽, sedangkan AB merupakan sisi miring segitiga
ABC.
2) 𝐴𝐶
𝐴𝐵=
𝑏
𝑐= cos𝛼 (cosinus sudut 𝛼) dan
𝐵𝐶
𝐴𝐵=
𝑎
𝑐= cos𝛽 (cosinus
sudut 𝛽)
AC dan BC masing-masing merupakan sisi siku-siku yang
mengapit sudut 𝑎 dan sudut 𝛽, sedangkan AB merupakan sisi
miring segitiga ABC.
3) 𝐵𝐶
𝐴𝐶=
𝑎
𝑐= tan𝑎 (tangen sudut 𝑎) dan
𝐴𝐶
𝐵𝐶=
𝑎
𝑏= tan𝛽 (tangen
sudut 𝛽)
BC dan AC masing-masig merupakan sisi-sisi didepan sudut 𝑎
dan sudut 𝛽, sedangkan AC dan BC masing-masing merupakan
sisi siku-siku yang mengapit sudut 𝑎 dan sudut 𝛽.
4) 𝐵𝐶
𝐴𝐶=
𝑎
𝑐= 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑎 (cosecan sudut 𝑎) dan
𝐴𝐵
𝐴𝐶=
𝑐
𝑏= 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛽
(cosecan sudut 𝛽).
Jadi, 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑎 =1
sin 𝑎 dan 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
1
sin 𝛽
5) 𝐴𝐵
𝐴𝐶=
𝑐
𝑏= sec𝑎 (secan sudut 𝑎) dan
𝐴𝐵
𝐵𝐶= sec𝛽 (secan sudut 𝛽).
Jadi, sec𝑎 =1
cos 𝛼 dan sec𝛽 =
1
𝑐𝑜𝑠𝛽
6) 𝐴𝐶
𝐵𝐶=
𝑏
𝑎= cot 𝑎 (cotangen sudut 𝑎) dan
𝐵𝐶
𝐴𝐶=
𝑎
𝑏= cot𝛽
(cotangen sudut 𝛽)
Jadi, cot 𝑎 =1
tan 𝑎 dan cot𝛽 =
1
tan 𝛽
Contoh:
Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri berikut.
a. sin 𝑎 b. tan 𝑎 c. cos 𝑎 d. cosec 𝑎
e. cot 𝑎 f. cos 𝛽 g. sec 𝛽 h. sin 𝛽
Modul Matematika SMA 98
Penyelesaian:
a) Sin 𝑎 =𝐵𝐶
𝐴𝐵=
3
5
b) Tan 𝑎 =𝐵𝐶
𝐴𝐶
AC= 52 − 32 = 16= 4.
Tan 𝑎 =3
4
c) Cos 𝑎 =𝐴𝐶
𝐴𝐵=
4
5
d) Cosec 𝑎 =1
sin 𝑎=
𝐴𝐵
𝐵𝐶=
5
3
e) Cot 𝑎 =1
tan 𝑎=
𝐴𝐶
𝐵𝐶=
4
3
f) Cos 𝛽 =𝐵𝐶
𝐴𝐵=
3
5
g) Sec 𝛽 =1
𝑐𝑜𝑠 𝐵=
𝐴𝐵
𝐵𝐶=
5
3
h) Sin 𝛽 =𝐴𝐶
𝐴𝐵=
4
5
4.2.2.2 Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Istimewa
Sudut-sudut istimewa yang akan dijelaskan pada materi ini adalah
sudut yang besarnya 0°, 30°, 45°, 60°, 𝑑𝑎𝑛 90°. Perbandingan
trigonometri sudut-sudut istimewa adalah sebagai berikut:
B. sudut
Trigono 0° 30° 45° 60° 90°
sin𝑎 0 1
2
1
2 2
1
2 3
1
cos 𝑎 1 1
2 3
1
2 2
1
2
0
tan𝑎 0 1
3 3
1 3 Tak
terdefinisi
4.2.2.3 Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi
Sumbu koordinat membagi bidang koordinat Cartesius menjadi
empat bagian (kuadran). Suatu sudut 𝑎 pada bidang Cartesius
dikelompokan menjadi empat kuadran yaitu:
Kuadaran I : 0° < 𝑎1 < 90° 𝑎𝑡𝑎𝑢 0 < 𝑎1 <𝜋
2
Modul Matematika SMA 99
Kuadran II : 90° < 𝑎2 < 180° 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜋
2< 𝑎2 < 𝜋
Kuadran III : 180° < 𝑎3 < 270° 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜋 < 𝑎3 <3𝜋
2
Kuadran IV : 270° < 𝑎4 < 360° 𝑎𝑡𝑎𝑢 3𝜋
2< 𝑎4 < 2𝜋
a) Perbandingan trigonometri sudut di kuadran I
Sebuah titik P(x,y) terletak pada kuadran I. Jika ∠𝐴𝑃𝑂 = 𝜃,
maka
sin𝛼 =𝑦
𝑟 sin𝜃 =
𝑥
𝑟
cos 𝑎 =𝑥
𝑟 cos 𝜃 =
𝑦
𝑟
tan𝑎 =𝑦
𝑥 tan𝜃 =
𝑥
𝑦
Karena 𝜃 = 90° − 𝑎, diperoleh sebagai berikut ini,
sin 90° − 𝑎 = cos𝑎
cos 90°− 𝑎 = sin𝑎
tan 90°− 𝑎 = cot 𝑎
O
Modul Matematika SMA 100
b) Perbandingan trigonometri sudut di kuadarn II
Pada kuadran II, relasi sudut 𝑎 dapat dinyatakan dengan
(90° + 𝑎) atau (180° − 𝑎). Perhatikan gambar, titik P(x,y)
dicerminkan terhadap sumbu Y sehingga diperoleh titik P (-x,y)
yang terletak di kuadran II. Jika ∠𝑃𝑂𝐵 = 𝑎 dan ∠𝐴𝑂𝑃 = 90° +
𝑎, maka Δ𝑃𝑂𝐵 diperoleh:
sin𝑎 =𝑥
𝑦 cos 𝑎 =
𝑦
𝑟 tan𝑎 =
𝑥
𝑦
Dan dari Δ𝐴𝑂𝑃 diperoleh :
sin 90° + 𝑎 =𝑦
𝑟
cos 90° + 𝑎 =−𝑥
𝑟
tan 90° + 𝑎 =𝑦
−𝑟= −
𝑦
𝑟
Sehingga, diperoleh hubungan sebagai berikut.
sin 90° + 𝑎 =𝑦
𝑟= cos 𝑎
cos 90° + 𝑎 = −𝑥
𝑟= − sin𝑎
tan 90° + 𝑎 = −𝑦
𝑥= − cot𝑎
Modul Matematika SMA 101
Perhatikan gambar, titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu Y
sehingga diperoleh titik P(-x,y) yang terletak pada kuadran II.
Jika ∠𝐴𝑂𝑃 = 𝑎 𝑑𝑎𝑛 ∠𝐴𝑂𝑃 = (180° − 𝑎) , maka dari Δ𝐴𝑂𝑃
diperoleh:
sin𝑎 =𝑦
𝑟 cos 𝑎 =
𝑥
𝑟 tan𝑎 =
𝑦
𝑥
Dan dari Δ𝐴𝑂𝑃 diperoleh:
sin 180 − 𝑎 =𝑦
𝑟= sin𝑎
cos 180 − 𝑎 = −𝑥
𝑟= − cos 𝑎
tan 180 − 𝑎 = −𝑦
𝑟= − tan𝑎
Perhatikan bahwa jika 𝑎 ada di kuadran II, 90° < 𝑎 < 180°,
maka
Trigonometri sin𝑎 cos 𝑎 tan𝑎
Tanda + − −
c) Perbandingan trigonometri sudut di kuadran III
Perhatikan gambar, titik P(x,y) dicerminkan terhadap titik asal
O(0,0) sehingga diperoleh titik P‟(-x,-y) yang terletak pada
kuadran III. Jika ∠𝐴𝑂𝑃 = 𝑎 dan ∠𝐴𝑂𝑃′ = 180° + 𝑎, maka dari
Δ𝐴𝑂𝑃 diperoleh:
sin𝑎 =𝑦
𝑟 cos 𝑎 =
𝑥
𝑟 tan𝑎 =
𝑦
𝑥
Dan dari Δ𝐴𝑂𝑃′ diperoleh:
sin 180 + 𝑎 =−𝑦
𝑟= −
𝑦
𝑟
cos 180 + 𝑎 =−𝑥
𝑟= −
𝑥
𝑟
Modul Matematika SMA 102
tan 180 + 𝑎 =−𝑦
−𝑥=𝑦
𝑥
Sehingga diperoleh hubungan sebagai berikut.
sin 180 + 𝑎 = −𝑦
𝑟= − sin𝑎
cos 180 + 𝑎 = −𝑥
𝑟= − cos𝑎
tan 180 + 𝑎 =𝑦
𝑟= tan𝑎
Selain menyatakan perbandingan trigonometri pada kuadran III
sebagai (180° + 𝑎), juga dapat dinyatakan sebagai (270° + 𝑎).
Perhatikan gambar, titik P‟(-x,-y) terletak pada kuadran III. Jika
∠𝑃𝑂𝐵 = 𝑎 𝑑𝑎𝑛 ∠𝐴𝑂𝑃′ = 270° − 𝑎, maka dari Δ𝑃𝑂𝐵
diperoleh:
sin 𝑎 =𝑥
𝑟 cos 𝑎 =
𝑦
𝑟 tan𝑎 =
𝑥
𝑦
Dan dari Δ𝐴𝑂𝑃′ diperoleh:
sin 270° − 𝑎 =−𝑦
𝑟= −
𝑦
𝑟
cos 270° − 𝑎 =−𝑥
𝑟= −
𝑥
𝑟
tan 270 − 𝑎 =−𝑦
−𝑥=𝑦
𝑥
Sehingga, didapat hubungan sebagai berikut:
sin 270° − 𝑎 = −𝑦
𝑟= − cos 𝑎
cos 270° − 𝑎 = −𝑥
𝑟= − sin 𝑎
tan 270° − 𝑎 =𝑦
𝑥= cot𝑎
Modul Matematika SMA 103
Perhatikan bahwa jika 𝑎 ada di kuadran III, 180° < 𝑎 < 270°,
maka
Trigonometri sin 𝑎 cos 𝑎 tan𝑎
Tanda − − +
d) Perbandingan trigonometri sudut di kuadran IV
Perhatikan gambar. Titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu X
sehingga diperoleh titik P‟(x,-y) terletak pada kuadran IV. Jika
∠𝑃𝑂𝐵 = 𝑎 𝑑𝑎𝑛 ∠𝐴𝑂𝑃′ = 270° + 𝑎, maka dari Δ𝑃𝑂𝐵
diperoleh:
sin𝑎 =𝑥
𝑟 cos 𝑎 =
𝑦
𝑟 tan𝑎 =
𝑥
𝑦
Dan dari Δ𝐴𝑂𝑃′ diperoleh:
sin 270° + 𝑎 =−𝑦
𝑟= −
𝑦
𝑟
cos 270° + 𝑎 =𝑥
𝑟
tan 270° + 𝑎 =−𝑦
𝑥= −
𝑦
𝑟
Sehingga, di dapat hubungan sebagai berikut:
sin 270 + 𝑎 = −𝑦
𝑟= − cos 𝑎
cos 270 + 𝑎 =𝑥
𝑟= sin𝑎
tan 270 + 𝑎 =−𝑦
𝑥= −
𝑦
𝑥
Sehingga, didapat hubungan sebagai berikut.
sin 270° + 𝑎 = −𝑦
𝑟= − cos 𝑎
cos 270° + 𝑎 = sin𝑎
tan 270° + 𝑎 = − cot 𝑎
Modul Matematika SMA 104
Selain dengan (270° + 𝑎), juga dapat menyatakan perbandingan
trigonometri pada kuadran IV dengan 360° − 𝑎 𝑑𝑎𝑛(−𝑎).
Perhatikan gambar:
Titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu X sehingga diperoleh
P‟(x,y) pada kuadran IV.
Jika ∠𝐴𝑂𝑃 = 𝑎 dan ∠𝐴𝑂𝑃′ = 360° − 𝑎, maka dari ∆𝐴𝑂𝑃
diperoleh:
sin 𝑎 =𝑦
𝑟 cos 𝑎 =
𝑥
𝑟 tan𝑎 =
𝑦
𝑥
Dan dari ∆𝐴𝑂𝑃′ diperoleh:
sin 360° − 𝑎 =−𝑦
𝑟= −
𝑦
𝑟
cos 360° − 𝑎 =𝑥
𝑟
tan 360 − 𝑎 =−𝑦
𝑥= −
𝑦
𝑥
Sehingga didapat hbungan sebagai berikut.
sin 360 − 𝑎 = −𝑦
𝑟= − sin 𝑎
cos 360° − 𝑎 =𝑥
𝑟= cos 𝑎
tan 360° − 𝑎 = −𝑦
𝑥= − tan 𝑎
Perhatikan bahwa jika 𝑎 ada di kuadran IV, 270° < 𝑎 < 360°,
maka
Trigonometri sin𝑎 cos 𝑎 tan𝑎
Tanda − + −
Modul Matematika SMA 105
4.2.2.4 Rangkuman
Identitas trigonometri merupakan suatu persamaan yang
didalamnya terdapat perbandingan trigonometri. Adapun cara
membuktikan persamaan tersebut adalah dengan menguraikan ruas
kiri persamaan sehingga hasil uarainnya sama dengan ruas kanan
atau sebaliknya. Ada perbandingan segitiga siku-siku, sudut-sudut
istimewa dengan rumus yang sudah dijelaskan diatas.
4.2.2.5 Tes Formatif
1. sec 300°
Jawab:
sec 300° = sec 360° − 60° 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛 𝐼𝑉
= sec 60° =1
cos 60°=
11
2
= 2
Modul Matematika SMA 106
4.2.2.6 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang
Nilai
Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 – 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
…………….,………………..20…
Modul Matematika SMA 107
4.2.3 Kegiatan Belajar 2
4.2.3.1 Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub
Secara singkat koordinat Cartesius adalah suatu titik yang
digambar pada sumbu x dansumbu y, terdiri dari absis (nilai x) dan
ordinat (nilai y), ditulis P(x,y).
Atau Koordinat Cartesius adalah letak suatu titik yang
mempunyai absis x , ordinat y.
Koordinat kutub adalah koordinat yang digambar pada sumbu
x dan y, terdiri dari nilai r 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 dan sudut θ., yaitu sudut
yang dibentuk oleh garis OP dan OX , ditulis P(r, θ). Atau dapat
diringkas lagi Koordinat Kutub adalah letak suatu titik yang
disajikan dalam bentuk r dan α.
Koordinat cartesius ke koordinat kutub atau koordinat kutub ke
koordinat cartesius sesuai prosedur dan rumus yang berlaku.
Y
O
P(x,y)
X
r
θ
Y
O
P(x,y
)
X
Modul Matematika SMA 108
Hubungan koordinat kartesius dengan koordinat kutub
diperlihatkan oleh gambar berikut ini.
Dari gambar di atas diperoleh hubungan jika pada koordinat
kartesius titik P (x,y) diketahui maka koordinat kutub P (r,θ) dapat
ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
Dengan demikian, apabila koordinat kartesius P (x,y) dinyatakan
menjadi koodinat kutub dapat dinyatakan dengan:
Jika koordinat kutub titik P (r, θ) diketahui maka koordinat
kartesius titik P (x, y) dapat ditentukan dengan menggunakan
rumus sebagai berikut.
Dengan demikian, apabila koordinat kutub P (r, θ) dinyatakan
menjadi koodinat kartesius dapat dinyatakan dengan rumus:
Y
P(r,θ)
r
O x X
θ
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2
tan𝜃 = 𝑥
𝑦 ↔ 𝜃 = arctan
𝑦
𝑥
𝑃 = 𝑥2 + 𝑦2, arctan𝑦
𝑥
sin𝜃 =𝑦
𝑟→ 𝑦 = 𝑟 sin𝜃
cos 𝜃 =𝑥
𝑟→ 𝑥 = 𝑟 cos𝜃
𝑃(𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sin 𝜃)
Modul Matematika SMA 109
4.2.3.2 Rangkuman
1. Koordinat Cartesius adalah letak suatu titik yang mempunyai absis x ,
ordinat y.
2. Koordinat Kutub adalah letak suatu titik yang disajikan dalam bentuk
r dan α.
3. Koorinat Cartesius ditulis dengan P(x,y)
4. Koordinat kutub ditulis dengan P(r, θ)
5. apabila koordinat kartesius P (x,y) dinyatakan menjadi koodinat kutub
dapat dinyatakan dengan: 𝑃 = 𝑥2 + 𝑦2, arctan𝑦
𝑥
6. Jika koordinat kutub titik P (r, θ) diketahui maka koordinat kartesius
titik P (x, y) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai
berikut : sin𝜃 =𝑦
𝑟→ 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 dan cos 𝜃 =
𝑥
𝑟→ 𝑥 = 𝑟 cos𝜃
7. apabila koordinat kutub P (r, θ) dinyatakan menjadi koodinat kartesius
dapat dinyatakan dengan rumus:𝑃(𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sin 𝜃)
4.2.3.3 Tes Formatif
1) Apa yang di maksud dengan Koordinat Kutub
2) Apa yang dimaksud dengan koordinat cartesius
3) Jika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°),
Tentukan koordinat cartesiusnya.
4) Jika diketahui koordinat kutub titik (-4,4)
Tentukan koordinat kutub nya.
5) Tentukan koordinat Kutub jika diketahui koordinat Cartesiusnya
adalah P ( -23 , -2 )
Modul Matematika SMA 110
4.2.3.4 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
………………,……………20…
Modul Matematika SMA 111
4.2.4 Kegiatan Belajar 3
4.2.4.1 Luas Suatu Segitiga
Sebelum menghitung Luas segitiga, tentunya kita harus
mengetahui rumus luas segitiga terlebih dahulu.
Luas Δ ABC = 1
2 × 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖
= 1
2× 𝐴𝐵 × 𝐶𝐷
Untuk menghitung luas segitiga dapat dilakukan dengan
berbagai cara.
1. Menentukam luas segitiga, jika diketahui besar sudut dan
panjang dua sisi yang mengapit sudut itu.
Misalkan pada ΔABC yang diketahui adalah besar sudut A dan
kedua sisi yang mengapit sudut itu, yakni sisi AB dan AC, maka
rumus luasnya ditentukan sebagai berikut:
Luas Δ ABC = 1
2 × 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖
= 1
2× 𝐴𝐵 × 𝐶𝐷
= 1
2× 𝑐 × 𝑏 sin 𝑎 (karena CD = b. sin𝑎)
Modul Matematika SMA 112
Luas Δ ABC = 1
2𝑏. 𝑐. sin 𝑎
Dengan cara analogi yang sama diperoleh juga :
Luas Δ ABC = 1
2𝑎. 𝑏. sin𝛽
Luas Δ ABC = 1
2𝑎. 𝑏. sin 𝛾
Ketiga Rumus Segitiga di atas dapat ditulis juga :
2. Menentukan luas segitiga, jika diketahui panjang ketiga sisinya.
Perhatikan Δ ABC di bawah ini :
Jika sebuah segitiga diketahui panjang ketiga sisinya,
sedangkan sudut-sudutnya tidak diketahui, maka luas segitiga
itu dapat dihitung dengan Formula Hero.
Misalkan pada Δ ABC di atas diketahui AB = c, AC = b, dan
BC = a, maka rumus luasnya diperoleh dari rumus luas Δ ABC
= 1
2 𝑏. 𝑐. sin𝐴 , dengan mengganti nilai sin𝐴 dengan bentuk
cosinus yang diambil dari rumus cos𝐴 = 𝑏2+𝑐2+𝑎2
2.𝑏 .𝑐
Berdasarkan rumus sin2 A = 1 – cos
2 A diperoleh:
↔ sin2 A = (1 + cos A) (1 - cos A)
↔ sin2 A = 1 +
𝑏2+𝑐2+𝑎2
2𝑏𝑐 1−
𝑏2+𝑐2+𝑎2
2𝑏𝑐
↔ sin2
A = 2𝑏𝑐
2𝑏𝑐+
𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
2𝑏𝑐
2𝑏𝑐−
𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
↔ sin2 A =
(𝑏+𝑐)2−𝑎2
2𝑏𝑐
𝑎2−(𝑏−𝑐)2
2𝑏𝑐
Luas Δ ABC = 1
2b. c. sin A
Luas Δ ABC = 1
2a. c. sin B
Luas Δ ABC = 1
2a. b. sin C
Modul Matematika SMA 113
↔ sin2 A =
𝑏+𝑐+𝑎 (𝑏+𝑐−𝑎)
2𝑏𝑐
𝑎+𝑏−𝑐 (𝑎−𝑏+𝑐)
2𝑏𝑐
Misalkan keliling ΔABC adalah 2s, berarti 2s = a + b + c, maka
bentuk (b+c+a) = 2s – 2a; (a + b + c) = 2s – 2c; dan (a – b + c) =
2s – 2b. Sehingga persamaan di atas dapat ditulis:
↔ sin2 A =
2𝑠(2𝑠−2𝑎)
2𝑏𝑐
2𝑠−2𝑐 (2𝑠−2𝑏)
2𝑏𝑐
↔ sin2 A =
2𝑠 ( 𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐)
(𝑏𝑐 )2
↔ sin2 A =
2
𝑏𝑐 𝑠 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 (𝑠 − 𝑐)
Dari bentuk rumus luas Δ ABC = 1
2𝑏. 𝑐. sin𝐴, diperoleh
rumus baru yang disebut Rumus Hero ( Hero’s Formula ).
Yaitu:
3. Menentukan luas segitiga, jika diketahui besar dua sudut dan
panjang sisi yang terletak diantara kedua sudut itu.
Dari rumus luas Δ ABC = 1
2𝑏. 𝑐. sin𝐶 dan rumus sinus
𝑎
sin 𝐴 =
𝑏
sin 𝐵 =
𝑐
sin 𝐶 diperoleh hubungan sebagai berikut:
𝑎
sin 𝐴 =
𝑏
sin 𝐵 ↔ a sin B = b sin A ↔ b =
𝑎 sin 𝐵
sin 𝐴, sehingga:
Luas Δ ABC = 1
2 𝑎 sin 𝐵
sin 𝐴.𝑎. sin𝐶 atau Luas Δ ABC =
1
2 𝑎2 sin 𝐵.sin 𝐶
sin 𝐴
Dengan cara yang sama, diperoleh juga rumus luas
sebagai berikut:
Luas Δ ABC = 𝑠 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 (𝑠 − 𝑐)
dimana s = 𝑎 +𝑏+𝑐
2
Luas Δ ABC = 1
2 𝑎2 sin 𝐵.sin 𝐶
sin 𝐴
Luas Δ ABC = 1
2 𝑏2 sin 𝐴.sin 𝐶
sin 𝐵
Luas Δ ABC = 1
2 𝑐2 sin 𝐴.sin 𝐵
sin 𝐶
Modul Matematika SMA 114
4.2.4.2 Rangkuman
1. Menentukam luas segitiga, jika diketahui besar sudut dan panjang dua
sisi yang mengapit sudut itu. Dapat dihitung menggunakan rumus
1
2𝑏. 𝑐. sin𝑎
2. Menentukan luas segitiga, jika diketahui panjang ketiga sisinya. Dapat
dihitung menggunakan rumus 𝑠 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 𝑠 − 𝑐
3. Menentukan luas segitiga, jika diketahui besar dua sudut dan panjang
sisi yangterletak diantara kedua sudut itu. Dapat dihitung
menggunakan rumus 1
2 𝑎2 sin 𝐵.sin 𝐶
sin 𝐴
4.2.4.3 Tes Formatif
1. Diketahui sebuah segitiga ABC, jika a = 6 cm, b = 9 cm, dan sudut C
= 300
Hitunglah luas segitiga ABC.
2. Diketahui segitiga KLM, jika diketahui panjang sisi KL = 9 cm, KM =
13 cm, dan LM = 10 cm.
Hitunglah keliling segitiga KLM.
3. Diketahui sebuah segitiga ABC, jika < A = 250
dan < B = 350 .
Sedangkan panjang sisi c = 5 cm.
Hitunglah luas segitiga ABC.
Modul Matematika SMA 115
4.2.4.4 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan: Lulus / Tidak Lulus
………………,……………20…
Modul Matematika SMA 116
𝐴 𝐷 𝐶
𝐸
𝐵
𝑐
𝑎
𝛽
𝛾
a
4.2.5 Kegiatan Belajar 4
4.2.5.1 Menggunakan Anturan Sinus dan Cosinus
Kita tentu telah mengetahui bahwa suatu bangun segitiga
memiliki tiga buah sudut dan tiga buah sisi serta jumlah besar
ketiga sudut segitiga adalah 180°. Dalam sub bab ini akan
dipelajari hubungan ketiga titik sudut dan ruas sisi segitiga yang
akan membentuk aturan sinus dan aturan kosinus.
1. Aturan Sinus Dalam Suatu Segitiga
Perhatikan gambar dibawah ini. Dalam ∆ 𝐴𝐵𝐶 ditarik garis
tinggi BD dan AE
Pada ∆ 𝐴𝐵𝐷 :
Sin 𝛼 = 𝐵𝐷
𝐴𝐵→ 𝐵𝐷 = 𝑐 sin𝛼… (1)
Pada ∆𝐶𝐵𝐷 ∶
sin 𝛾 =𝐵𝐷
𝐵𝐶→ 𝐵𝐷 = sin𝛼 sin 𝛾 … 2
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
c sin𝛼 = 𝛼 sin 𝛾, atau 𝑎
sin 𝛼 =
𝑐
sin 𝛾 ... (3)
Pada ∆𝐶𝐴𝐸:
sin 𝛾 = 𝐴𝐸
𝐶𝐴→ 𝐴𝐸 = 𝑏 sin 𝛾 … (4)
Pada ∆𝐴𝐵𝐸:
Sin 𝛽 = 𝐴𝐸
𝐵𝐴→ 𝐴𝐸 = 𝑐 sin𝛽 … 5
Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh :
Modul Matematika SMA 117
𝑏 sin 𝛾 = 𝑐 sin𝛽
𝑏
sin 𝛽=
𝑐
sin 𝛾… 6
Dari persamaan (3) dan (6) diperoleh :
𝑎
sin 𝛼=
𝑏
sin 𝛽=
𝑐
sin 𝛾
Persamaan tersebut disebut aturan sinus dalam suatu segitiga.
2. Aturan Kosinus Dalam Suatu Segitiga
Jika dalam suatu segitiga diketahui dua sisi dan sudut apit
dari kedua sisi itu maka sisi ketiga dapat juga dicari
menggunakan aturan kosinus, selain aturan sinus. Sehingga pada
setiap segitiga ABC berlaku aturan kosinus :
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 . cos 𝑎
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑏 . cos𝛽
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 . cos 𝛾
Bukti:
Pada ∆𝐴𝐵𝐶 jika AD = x maka BD = c – x.
Pada ∆𝐴𝐷𝐶 berlaku :
𝐶𝐷2= 𝑏2- 𝑥2 ... (1)
Pada ∆𝐵𝐷𝐶 berlaku :
𝐶𝐷2= 𝑎2 − 𝑐2 − 𝑥2 … (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan =
𝑏2 − 𝑥2 = 𝑎2 − (𝑐 − 𝑥)2
𝑏2 − 𝑥2 = 𝑎2 − 𝑐2 + 2𝑐 𝑥 − 𝑥2
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑐𝑥 … (3)
Pada ∆𝐴𝐷𝐶 berlaku cos 𝛼 = 𝑥
𝑏 maka x = b cos𝛼.
Sehingga persamaan (3) menjadi:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑐 𝑏 cos𝛼
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos𝛼
Jadi,
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. cos𝛼
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan:
Modul Matematika SMA 118
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐. cos𝛽
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏. cos𝛽
4.2.5.2 Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Sudut
1. Sin (𝜶 ± 𝜷)
Perhatikan gambar berikut :
Pada gambar diatas, O adalah titik pusat lingkaran luar segitiga
ABC, diket ∠BAC = 𝛼, ∠ACB = 𝛾, dan panjang sisi AB = c, BC
= a, dan AC = b serta jari-jari OA= 1
2.𝛼 + 𝛽 < 𝜋.
Pada ∆𝐴𝐷𝑂 siku-siku di D:
OA = 1
2. AD =
𝑐
2, dan ∠𝐴𝑂𝐷 = 𝛾
Maka:
Sin 𝛾 = 𝐴𝐷
𝑂𝐴 =
𝑐
21
2
Sin 𝛾 = c
Sehingga dengan cara yang sama diperoleh, sin 𝛼 =
𝑎, sin𝛽 = 𝑏
Pada ∆𝐴𝐸𝐶, EA=b cos 𝛽, dan pada ∆𝐵𝐸𝐶, EB = 𝛼 cos 𝛽
EA + EB =
c = b cos 𝛼 + 𝛼 cos 𝛽
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝜋 → 𝛾 = 𝜋 − (𝛼 + 𝛽)
Sehingga:
Sin (𝛼 + 𝛽) = sin(𝜋 − 𝛼 + 𝛽 = 𝑠𝑖𝑛 𝛾 = 𝑐
Sin (𝛼 + 𝛽) = 𝑏 cos 𝑎 + 𝑎 cos𝛽
= sin 𝛽 cos 𝑎 + sin𝑎 cos𝛽
b 𝑎
𝑟
┐ ┐ 𝛼
𝛾
𝜷
A B
o
E D
C
o
Modul Matematika SMA 119
Jadi
Sedangkan untuk rumus sin (𝛼 − 𝛽), dapat dilakukan dengan
mensubtitusikan bentuk (𝛼 − 𝛽) = 𝑎 + (−𝛽).
Sin (𝛼 − 𝛽) = sin [𝑎 + (− 𝛽)]
= sin 𝑎 cos −𝛽 + cos 𝑎 sin(−𝛽)
= sin 𝑎 cos𝛽 − cos 𝑎 sin𝛽
Jadi
2. Cos (𝒂± 𝜷)
= +
∠ACB = 𝜋
2− 𝑎 + 𝛽
= 𝜋
2− (𝑎 − 𝛽)
Luas ∆𝐴𝐵𝐶 = luas ∆𝐴𝐷𝐶 + luas ∆𝐵𝐷𝐶
1
2𝑎𝑏 sin(
𝜋
2− (𝑎 − 𝛽)) =
1
2𝑎𝑏 cos 𝑎 cos 𝛽 +
1
2𝑎𝑏 sin 𝑎 sin 𝑏
Jadi,
𝐴 𝐷 𝐵
𝐶
𝑎 𝑏
𝐷
𝐶
𝑎 cos𝛽
𝑏 cos𝑎 𝐴
Sin (𝛼 + 𝛽) = sin𝑎 cos𝛽+ cos 𝑎 sin𝛽
Sin (𝛼 − 𝛽) = sin 𝑎 cos 𝛽 − cos 𝑎 sin 𝛽
Cos 𝑎 − 𝛽 = cos𝑎 cos𝛽 + sin𝑎 sin𝛽
D
C
𝑏 sin 𝑎
𝑎 sin𝛽
𝑎
Modul Matematika SMA 120
Rumus cos 𝑎 − 𝛽 dapat juga didapat dari gambar dibawah ini
(i) (ii)
Pada gambar (i), misalkan titik A(1,0). Jika 𝛼 𝑑𝑎𝑛 𝛽
menentukan letak titik B (𝑥1,𝑦1), C (𝑥2,𝑦2) dan D (𝑥3,𝑦3) pada
lingkaran, maka 𝑥1,2+𝑦1
2= 1 untuk i = 1,2,3, misalnya, kita
asumsikan bahwa 0<𝛽∠𝑎 < 2𝜋, maka:
𝑥1, = cos𝛽, 𝑦1 = sin𝛽
𝑥2, = cos (𝑎 − 𝛽),𝑦2 = sin( 𝑎 + 𝛽)
𝑥3, = cos 𝑎, 𝑦3 = sin𝑎
Pada gambar (ii), panjang busur AC = panjang busur BD,
sehingga panjang tali busur AC dan BD sama panjang.
𝐴𝐶 = |𝐵𝐷|
(𝑥2 − 1)2 + (𝑦2 − 0)2 = 𝑥3 − 𝑥1 2 + (𝑦3 − 𝑦1)2
𝑥2 2 − 2𝑥2 + 1 + 𝑦2
2= 𝑥3 2 − 2 𝑥1𝑥3 + 𝑥1
2 + 𝑦32 − 2𝑦1𝑦3 + 𝑦1
2
(𝑥2 2 + 𝑦2
2)+ 1 - 2 𝑥2 = (𝑥3 2 + 𝑦3
2)+( 𝑥1 2 + 𝑦1
2)− 2𝑥1 𝑥3 −
2𝑦1𝑦3 𝑐𝑜𝑠2 𝑎 − 𝛽 + 1− 2 𝑥2 =(𝑐𝑜𝑠 2𝑎 + 𝑠𝑖𝑛2𝑎) + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 +
𝑠𝑖𝑛2−2 𝑥1𝑥3−2𝑦1𝑦3
1+1-2𝑥2 = 1 + 1 − 2 𝑥1𝑥3 − 2𝑦1𝑦3
𝑥2 = 𝑥3𝑥1 + 𝑦3𝑦1
Dengan mensubtitusikan nilai-nilai 𝑥1, 𝑦1, 𝑥2, 𝑥3 dan 𝑦3 diperoleh:
C (𝑥2,𝑦2)
D (𝑥3,𝑦3)
𝛽 𝑎 − 𝛽
B (𝑥1,𝑦1)
A(1,0)
𝑎
O
𝑌
cos (𝑎 − 𝛽) = cos𝑎 cos 𝛽+sin𝑎 sin 𝛽
O
D(𝑥3,𝑦3)
C(𝑥2,𝑦2)
B(𝑥1,𝑦1)
𝑌
𝐴(1,0)
Modul Matematika SMA 121
Untuk mendapatkan rumus cos (𝑎 − 𝛽), dapat dilakukan dengan
mensubtitusikan (𝛼 + 𝛽) = 𝑎 − (−𝛽).
cos (𝑎 − 𝛽)= cos 𝑎 − (− 𝛽)
= cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠 − 𝛽 + sin𝑎 sin(− 𝛽)
= cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + sin 𝑎 (− sin 𝛽)
Contoh:
Tunjukkanlah bahwa cos 90° + A = − sin𝐴
cos 90° + A = cos 90° cos𝐴 − sin 90° sin𝐴
= 0. cos A − 1. sin𝐴 = − sin𝐴
Jadi , cos 90° + A = − sin𝐴
3. Tan (𝒂± 𝜷)
Rumus-rumus penjumlahan sinus dan kosinus yang telah
kita peroleh sebelumnya, dapat kita gunakan untuk menemukan
rumus penjumlahan tangen, seperti berikut ini:
𝑡𝑎𝑛(𝛼 + 𝛽) =sin (𝛼+𝛽)
cos (𝛼+𝛽)
= sin 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛽 +cos 𝑎 sin 𝛽
cos 𝑎 cos 𝛽−sin 𝑎 sin 𝛽
=
sin 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛽 +cos 𝑎 sin 𝛽
cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛽
cos 𝑎 cos 𝛽−sin 𝑎 sin 𝛽
cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛽
=
sin 𝑎 cos 𝛽
cos 𝑎 cos 𝛽+
cos 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝛽
cos 𝑎 cos 𝛽
cos 𝑎 cos 𝛽
cos 𝑎 cos 𝛽+
sin 𝑎 sin 𝛽
cos 𝑎 cos 𝛽
=
sin 𝑎
cos 𝑎+
sin 𝛽
cos 𝛽
1−sin 𝑎
cos 𝑎.sin 𝛽
cos 𝛽
= tan 𝑎+tan 𝛽
1−tan 𝑎 𝑡𝑎𝑛𝛽
Jadi,
cos (𝑎 + 𝛽)= cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛽- sin𝑎 sin𝛽
𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝛽 = tan𝑎 + tan𝛽
1− tan𝑎 tan𝛽
Modul Matematika SMA 122
Sedangkan untuk 𝑡𝑎𝑛(𝛼 − 𝛽), dengan mensubtitusikan bentuk
𝛼 − 𝛽 = 𝑎 + (−𝛽) ke persamaan di atas diperoleh:
tan 𝛼 − 𝛽 = tan[𝑎 + −𝛽 ]
= tan 𝑎+tan 𝛽
1−tan 𝑎 tan (−𝛽) , ingat tan (-𝛽) = − tan𝛽
= tan 𝑎−tan 𝛽
1+tan 𝑎 tan 𝛽
Jadi,
4.2.5.3 Persamaan Trigonometri
Untuk 𝑘 ∈ 𝐵 dengan 𝐵 merupakan himpunan bilangan bulat,
diperoleh persamaan berikut:
a. Jika sin 𝑥 = sin𝑎,𝑚𝑎𝑘𝑎:
𝑥1 = 𝑎 + 𝑘. 360°
𝑥2 = 180° − 𝑎 + 𝑘. 360°
b. Jika cos 𝑥 = cos 𝑎,𝑚𝑎𝑘𝑎:
𝑥1 = 𝑎 + 𝑘. 360°
𝑥2 = −𝑎 + 𝑘. 360°
c. Jika tan 𝑥 = tan 𝑎,𝑚𝑎𝑘𝑎:
𝑥 = 𝑎 + 𝑘. 180°
d. Jika 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑎,𝑚𝑎𝑘𝑎:
𝑥 = 𝑎 + 𝑘. 180°
tan 𝛼 − 𝛽 =tan𝑎 − tan𝛽
1 + tan𝑎 tan𝛽
Modul Matematika SMA 123
4.2.5.4 Rangkuman
a. Aturan sinus dan kosinus
Aturan sinus
𝒂
𝒔𝒊𝒏 𝒂=
𝒃
𝒔𝒊𝒏 𝜷=
𝒄
𝒔𝒊𝒏 𝜸
Aturan kosinus
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝑎
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos𝛽
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾
b. Rumus jumlah dan selisih sudut
Sin (𝜶 ± 𝜷)
Sin (𝛼 + 𝛽) = sin𝑎 cos𝛽+ cos 𝑎 sin𝛽
Sin (𝛼 − 𝛽) = sin 𝑎 cos 𝛽 − cos 𝑎 sin 𝛽
Cos (𝒂 ± 𝜷)
cos (𝑎 − 𝛽) = cos 𝑎 cos 𝛽+sin𝑎 sin 𝛽
cos (𝑎 + 𝛽)= cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛽- sin𝑎 sin𝛽
Tan (𝒂 ± 𝜷)
𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝛽 = tan 𝑎+tan 𝛽
1−tan 𝑎 tan 𝛽
tan 𝛼 − 𝛽 =tan 𝑎−tan 𝛽
1+tan 𝑎 tan 𝛽
c. Persamaan trigonometri
Jika sin 𝑥 = sin𝑎,𝑚𝑎𝑘𝑎:
𝑥1 = 𝑎 + 𝑘. 360°
𝑥2 = 180° − 𝑎 + 𝑘. 360°
Jika cos 𝑥 = cos 𝑎,𝑚𝑎𝑘𝑎:
𝑥1 = 𝑎 + 𝑘. 360°
𝑥2 = −𝑎 + 𝑘. 360°
Jika tan 𝑥 = tan𝑎,𝑚𝑎𝑘𝑎:
𝑥 = 𝑎 + 𝑘. 180°
Jika 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑎,𝑚𝑎𝑘𝑎:
𝑥 = 𝑎 + 𝑘. 180°
Modul Matematika SMA 124
4.2.5.5 Tes Formatif
1. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang AC= 25 cm, sudut A= 60°,
dan sudut C= 75°, jika sin 75°= 0,9659. Tentukan panjang BC dan AB
2. Bentuk sederhana dari cos 20°. Cos 40°+ sin 20°. Sin 40°
3. Hitunglah nilai dari sin 42° cos 12°- cos 42° sin 12°.
4. Tunjukkanlah bahwa cos 90° + A = − sin𝐴
5. Hitunglah tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri
tan 80°+tan 55°
1−tan 80° tan 55°
6. Tentukanlah besarnya x dalam interval 0°≤ 𝑥 ≤ 360°, yang
memenuhi persamaan 2, sin 𝑥 = 3
4.2.5.6 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
………………,……………20…
Modul Matematika SMA 125
4.3 EVALUASI
4.3.1 Soal evaluasi
1. sin 135°
2. cos 210°
3. tan 315°
4. sec 300°
5. cos(−60°)
6. Dalam ΔPQR diketahui panjang PQ = 10 cm dan PR =8 cm. Jika luas
ΔPQR itu sama dengan 30 cm2, hitungah besar sudut P.
Penyelesaian
7. Nyatakan (4,135°) ke dalam koordinat cartesius
8. Nyatakan koordinat cartesius ( 3,1 ) ke daam koordinat kutub.
9. Sebuah rumah akan direnovasi atapnya. Direncanakan kontruksi
atapnya memiliki kuda-kuda berbentuk segitiga seperti gambar dibawah
ini. Tentukan panjang kedua bagian luar kuda-kuda lainnya yang belum
diketahui
8 m
30° 45°
10. Pada segitiga 𝐴𝐵𝐶 diketahui ∠𝐴 = 60°, 𝑏 = 10 𝑐𝑚, dan c = 16 cm.
Hitunglah panjang sisi 𝑎
a...?
b=10 cm
60°
c= 16 cm
11. Diket sin (A+B) = 3
4 dan sin (A-B)=
1
2 .
Hitunglah sin A cos B
Modul Matematika SMA 126
12. Dengan menggunakan segitiga siku-siku dibawah ini, tunjukkan
cos 𝑎 + 𝛽 = cos 𝑎 + cos𝛽 + sin𝑎 + sin𝛽, jika 𝑎= 90° dan 𝛽= 30°.
2
1
30°
3
13. Diket tan𝑎 = 1
2 dan tan𝛽 =
1
3 , 𝑎 dan 𝛽 sudut lancip. Hitunglah:
𝑎. tan( 𝑎 + 𝛽) 𝑏. tan( 𝑎 − 𝛽)
4.3.2 Lembar Penilaian
Nama :...........................
Kelas :...........................
No. Absen :...........................
No. Tugas :..........................
Judul Tugas :...........................
No. Kriteria Rentang Nilai Nilai Prestasi
Tes Formatif Evaluasi
1. Kegiatan belajar 1 0 – 30
2. Kegiatan belajar 2 0 – 30
3. Kegiatan belajar 3 0 - 10
4. Evaluasi 0 - 100
JUMLAH 0 – 100
JUMLAH (jumlah X 60%) (jumlah X 40%)
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus
..............................,.......................20....
Modul Matematika SMA 128
5.1 PENDAHULUAN
5.1.1 Deskripsi
Modul ini berisi tentang Logika Matematika SMA dan di
dalamnya membahas materi-materi meliputi pernyataan, kalimat
terbuka, serta ingkarannya; pernyataan majemuk; pernyataan majemuk
bersusun.
5.1.2 Prasyarat
Dalam melaksanakan pembelajaran menggunakan modul ini
diperlukan prasyarat telah menguasai materi sebelumnya yaitu aljabar.
5.1.3 Petunjuk Penggunaan Modul
1. Bacalah modul ini dengan teliti dan cermat, serta pamahi benar-
benar seluruh informasi yang termuat di dalamnya.
2. Isilah cek kemampuan yang terdapat di akhir Bab I ini. Pastikan
apakah anda termasuk kategori orang yang harus mempelajari modul
ini atau kategori orang yang tidak lagi mempelajari modul ini karena
telah menguasainya.
3. Laksanakan semua tugas-tugas yang terdapat dalam modul ini agar
kompetensi anda berkembang dengan baik.
4. Setiap mempelajari suatu materi, anda harus memulainya dengan
menguasai pengertian-pengertian dalam uraian materi tersebut.
Setelah itu melaksanakan tugas-tugas serta mengerjakan lembar
latihan.
5. Dalam mengerjakan lembar latihan, anda tidak diperbolehkan
melihat kunci jawaban terlebih dahulu sebelum anda menyelesaikan
lembar latihan tersebut.
6. Cocokkan jawaban anda dengan kunci jawaban setelah anda selesai
mengerjakan lembar latihan tersebut. Hitung nilai yang anda peroleh,
agar anda mengetahui tingkat kemampuan anda.
7. Catatlah kesulitan yang anda temukan pada modul ini, kemudian
tanyakan pada guru pada saat Kegiatan Belajar Mengajar. Dan
Modul Matematika SMA 129
bacalah referensi lain tentang materi dalam modul ini agar
pengetahuan anda semakin bertambah.
5.1.4 Tujuan Akhir
Setelah anda mempelajari seluruh kegiatan belajar di dalam
modul ini diharapkan anda:
1. Dapat memberikan contoh tentang pernyataan.
2. Dapat memberikan contoh kalimat terbuka.
3. Dapat menentukan negasi pernyataan.
4. Dapat memberikan contoh pernyataan majemuk.
5. Dapat memberikan contoh pernyataaan majemuk bersusun.
6. Dapat menentukan invers dari suatu implikasi.
7. Dapat menentukan konvers dari suatu implikasi.
8. Dapat menentukan kontraposisi dari suatu implikasi.
9. Dapat memahami pernyataan berkuantor.
10. Dapat menggunakan modus ponens untuk menarik kesimpulan
dalam kehidupan sehari-hari.
11. Dapat menggunakan modus tolens untuk menarik kesimpulan
dalam kehidupan sehari-hari.
12. Dapat menggunakan silogisme untuk menarik kesimpulan dalam
kehidupan sehari-hari.
Modul Matematika SMA 130
5.1.5 Kompetensi
Kode Unit :
Judul Unit : Logika Matematika SMA
Uraian Unit : Unit ini berlaku untuk pelajaran matematika bab Logika SMA
materi Pernyataan, Kalimat terbuka, serta Ingkarannya;
Pernyataan majemuk.
Sub Kompetensi Indikator
1. Pernyataan, kalimat
terbuka, serta
ingkarannya.
1.1 Memahami pengertian pernyataan, kalimat
terbuka, serta ingkarannya.
1.2 Mampu membedakan pernyataan, kalimat
terbuka, serta inkarannya.
2. Pernyataan majemuk. 2.1 Memahami pengertian Pernyataan majemuk.
2.2 Menentukan nilai kebenaran dari konjungsi.
2.3 Menentukan nilai kebenaran dari disjungsi.
2.4 Menentukan nilai kebenaran dari implikasi.
2.5 Menentukan nilai kebenaran dari biimplikasi.
3. Melakukan persiapan
menentukan konvers,
invers, dan
kontraposisi dari
sebuah pernyataan
3.1 Istilah konvers, invers, dan kontraposisi
dipahami
3.2 Pernyataan yang disajikan dipahami, apabila
kurang jelas dapat ditanyakan kepada
pembimbing atau tutor
4. Pernyataan Berkuantor 4.1 Menentukan nilai kebenaran dari pernyataan
berkuantor.
5. Penarikan kesimpulan 5.1 Menggunakan prinsip logika matematika yang
berkaitan dengan pernyataan majemuk dan
pernyataan berkuantor dalam penarikan
kesimpulan.
Acuan Penelitian
1. Unit kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada peserta uji di
sekolah maupun di tempat lain yang sesuai denan standarnya
2. Aspek-aspek kognitif yang dinilai:
Mengenali pernyataan, kalimat terbuka serta ingkarannya
Dapat menentukan nilai konjungsi, disjungsi, dan biimplikasi
Menentukan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk
Penggunaan prinsip-prinsip logika matematika yang berkaitan dengan
pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan
dan pemecahan masalah
3. Aspek-aspek kritikal yang dinilai:
Memahami pengertian konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi serta
menentukannya. Mampu menarik kesimpulan dari sebuah pernyataan.
4. Kompetensi yang harus dikuasai sebelumnya:
Paham dan mengerti akan pernyataan dan kalimat terbuka serta ingkarannya
dan pernyataan majemuk.
5. Sikap yang dituntut:
Bekerja dengan rapi dan bersih
Bekerja dengan ketelitian dan ketepatan waktu
Efisien dan optimal dalam bekerja
Modul Matematika SMA 131
5.1.6 Cek Kemampuan
Petunjuk:
Isilah kolom di bawah ini dengan jawaban Ya atau Tidak
No Pernyataan Ya Tidak
1. Apakah anda telah memahami pengertian
pernyataan ?
2. Apakah anda telah memahami kalimat terbuka ?
3. Dapatkan anda menentukan negasi dari
pernyataan ?
4. Apakah anda telah memahami pernyataan
majemuk ?
5. Apakah anda telah memahami pernyataan
majemuk bersusun ?
6. Dapatkah anda menentukan konvers dalam
logika matematika?
7. Dapatkah anda menentukan invers dalam logika
matematika?
8. Dapatkah anda menentukan kontraposisi dalam
logika matematika?
9. Apakah anda memahami pernyataan berkuantor?
10. Apakah anda dapat menarik kesimpulan
menggunakan modus ponens?
11. Apakah anda dapat menarik kesimpulan
menggunakan modus tolens?
12. Apakah anda dapat menarik kesimpulan
menggunakan silogisme?
Catatan!
Jika anda menjawab “Tidak” pada salah satu pernyataan di
atas, maka pelajarilah materi pada modul ini.
Apabila anda menjawab “Ya” pada semua pernyataan di
atas, maka lanjutkanlah dengan mengerjakan tugas, tes formatif dan
evaluasi yang ada pada modul ini.
Modul Matematika SMA 132
PETA KONSEP
LOGIKA MATEMATIKA
KALIMAT
KALIMAT TERBUKA
KALIMAT TERTUTUP
KALIMAT BERKUANTOR
KUANTOR UNIVERSAL
KUANTOR EKSISTENSIAL
INGKARAN/NEGASI
OPERATOR LOGIKA
KONJUNGSI
DISJUNGSI
IMPLIKASI
KONVERS
INVERS
KONTRAPOSISI
BIIMPLIKASI
PENARIKAN KESIMPULAN
MODUS PONENS
MODUS TOLLENS
SILOGISME
Modul Matematika SMA 133
5.2 PEMBAHASAN
5.2.1 Rencana Belajar Siswa
a. Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah uraian tujuan kegiatan belajar,
agar mengetahui kemampuan apa yang akan dicapai pada setiap kegiatan.
b. Sebelum melaksanakan kegiatan harus memahami terlebih dahulu setiap
langkah kerja yang dilaksanakan, apabila kurang jelas dapat menanyakan
kepada guru/instruktur.
c. Kerjakanlah setiap latihan dengan bersungguh-sungguh agar kemampuan
anda yang sebenarnya diketahui.
5.2.2 Kegiatan Belajar 1
Kegiatan Belajar 1: Pernyataan, Kalimat Terbuka dan Pernyataan
Majemuk.
5.2.2.1 Pernyataan dan Kalimat Terbuka
a) Pernyataan
Pernyataan adalah kalimat yang dapat ditentukan “benar” atau
“salah” saja oleh semua orang.
Contoh:
Bilangan 2 kurang dari 10.
Ikan dapat terbang.
Kedua kalimat diatas merupakan pernyataan karena kalimat
pertama bernilai benar dan kalimat kedua bernilai salah.
Suatu kalimat merupakan bukan pernyataan jika kalimat
tersebut tidak dapat ditentukan “benar” atau “salah”nya
atau mengandung nilai relatif.
Contoh:
Rumah itu bagus.
X + 3 = 5
Modul Matematika SMA 134
Kedua kalimat diatas merupakan bukan pernyataan karena
pada kalimat pertama bagus itu relatif. Bagus menurut orang
yang rumahnya sederhana, tetapi bagi orang yang rumahnya
megah merupakan hal yang biasa. X + 3 = 5 merupakan
bukan pernyataan karena bila x di ganti dengan 2 maka
pernyataan ini merupakan pernyataan yang benar, sedangkan
bila x di ganti dengan 5 maka 5 + 3 = 5 menjadi pernyataan
yang salah.
Pernyataan dilambangkan dengan sebuah huruf kecil,
misal p, q, r, dan sebagainya. Pernyataan yang benar memiliki
nilai kebenaran benar (B) sedangkan pernyataan salah memiliki
nilai kebenaran salah (S).
b) Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat
ditentukan nilai kebenarannya karena masih mengandug peubah
(variabel). Jika peubah tersebut diganti dengan suatu konstanta
dalam semestanya, akan dihasilkan suatu pernyataan.
Contoh:
5p – 10 = 15, p ∈ A
X adalah bilangan prima
Jika p diganti dengan 5, maka kalimat tersebut menjadi
pernyataan 25 – 10 = 15, dan pernyataan ini bernilai benar.
Sedangkan jika p diganti dengan 3, maka akan terbentuk
pernyataan 15 – 10 = 25 yang bernilai salah. Jika x diganti
dengan bilangan 2, maka pernyataan 2 adalah bilangan prima
merupakan pernyataan bernilai benar. Sedangkan jika x
diganti 1, maka pernyataan 1 adalah bilangan prima
merupakan pernyataan yang salah.
c) Ingkaran (negasi)
Ingkaran (negasi) suatu pernyataan adalah suatu
pernyataan baru yang dibentuk dari suatu pernyataan awal
sehingga nilai kebenarannya berubah. Ingkaran pernyataan p
Modul Matematika SMA 135
atau negasi p dinyatakan dengan “ p ”. dari definisi dapat
dibuat tabel kebenaran sebagai berikut :
p p
B
S
S
B
Sering kali dalam menentukan negasi dengan
menambahkan kata “bukan” atau “tidak benar” pada kalimat
pernyataan. Sesungguhnya penambahan pada pernyataan semula
tidaklah cukup. Untuk menentukan ingkaran atau negasi yang
efektif dari pernyataan yang bervariasi, dapat menggunakan
tabel berikut:
Pernyataan Ingkaran atau Negasi
Semua ...
Ada / beberapa ...
Sama dengan (=)
Lebih dari (>)
Lebih dari atau sama dengan (≥)
Kurang dari (<)
Kurang dari atau sama dengan (≤)
Ada / beberapa ... tidak ...
Semua ... tidak ...
Tidak sama dengan (≠)
Kurang dari atau sama dengan (≤)
Kurang dari (<)
Lebih dari atau sama dengan (≥)
Lebih dari (>)
Contoh:
p : Hari Senin tidak ada tes kompetensi logika matematika
p : Hari Senin ada tes kompetensi logika matematika
p : Semua hewan berkaki empat
p : Ada hewan yang tidak berkaki empat
5.2.2.2 Pernyataan Majemuk dan Negasinya
Pernyataan majemuk adalah suatu pernyataan baru yang
diperoleh dari penggabungan beberapa pernyataan tunggal dengan
kata hubumg kalimat tertentu. Kata hubung yang dimaksud yaitu
dan, atau, tetapi, jika ..., maka ..., ... jika dan hanya jika ..., dan
lain-lain.
a) Konjungsi
Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan dengan
menggunakan kata hubung “dan” membentuk sebuah kalimat
Modul Matematika SMA 136
majemuk. Konjungsi dilambangkan dengan notasi “⋀”. Jika p
dan q dua pernyataan, maka p ⋀ q (dibaca: p dan q). Berikut
contoh kalimat konjungsi.
p : Saham adalah surat berharga.
q : Saham diperjualbelikan di bursa efek.
p ∧ 𝑞 : Saham adalah surat berharga dan dijualbelikan di bursa
efek.
Kata hubung “dan” dalam konjungsi dapat diganti dengan
kata tetapi, sehingga, walaupun, maupun, dan kemudian selama
artinya tetap sama. Suatu konjungsi tidak diharuskan adanya
hubungan antara komponennya.
Suatu konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan
tunggalnya bernilai benar.
Konjungsi dapat disusun dalam sebuah tabel kebenaran
seperti berikut:
P q p ∧ q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
Contoh :
p : persegi memiliki empat sisi. ( B )
q : 2 + 3 = 6 ( S )
p ∧ q : persegi memiliki empat sisi dan 2 + 3 = 6 ( S )
b) Disjungsi
Disjungsi adalah gabungan dua pernyataan yang
menggunakan kata penghubung logika “atau” sehingga
membentuk dua pernyataan majemuk. Kata penghubung “atau”
dalam logika matematika dilambangkan dengan “ ⋁ ”. Disjungsi
dua pernyataan p dan q dapat dituliskan “p ∨ q” dan dibaca ”p
atau q”. Dalam kehidupan sehari-hari, kata “atau” dapat berarti
salah satu atau kedua-duanya, dapat pula berarti salah satu tetapi
Modul Matematika SMA 137
tidak kedua-duanya. Misalnya, 2 adalah bilangan prima atau
genap. Pernyataan ini dapat diartikan dua, yaitu: (1) hanya
bilangan prima saja atau genap saja, (2) juga bilangan genap dan
prima.
Disjungsi bernilai benar apabila paling sedikit satu dari
keduanya bernilai benar.
Disjungsi dapat disusun dengan tabel kebenaran sebagai berikut:
P q p ∨ 𝑞
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
S
Contoh:
p : ada 7 hari dalam satu minggu. ( B )
q : Jakarta adalah ibukota Jawa Timur. ( S )
p ∨ 𝑞 : ada 7 hari dalam seminggu atau Jakarta adalah ibukota
Jawa Timur.( B )
c) Implikasi
Implikasi adalah gabungan dua pernyataan p dan q
sehingga membentuk pernyataan majemuk dengan
menggunakan kata penghubung “jika..., maka...”. Implikasi dua
pernyataan p dan q dapat ditulis “p → q” dan dibaca “jika p
maka q”. Pernyataan p dinamakan anteseden atau hipotesis,
sedangkan pernyataan q dinamakan konsekuen atau kesimpulan.
Perhatikan contoh berikut :
p : 23 = 8
q : 11 adalah bilangan prima.
p → q : jika 23 = 8, maka 11 adalah bilangan prima.
Implikasi bernilai salah jika p bernilai benar dan q
bernilai salah, dalam hal lain implikasi bernilai benar.
Modul Matematika SMA 138
Implikasi dapat disusun dengan tabel kebenaran sebagai berikut:
P q p → 𝑞
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
Contoh:
p : ada hewan berkaki empat. ( B )
q : ayam berkaki empat. ( S )
p → 𝑞 : jika ada hewan berkaki empat, maka ayam berkaki
empat. ( S )
d) Biimplikasi
Biimplikasi adalah gabungan dua pernyataan majemuk
dengan kata hubung “...jika dan hanya jika...”. Biimplikasi dua
pernyataan p dan q dapat ditulis “p⟷q” dibaca p jika dan hanya
jika q, yang berarti “jika p maka q dan jika q maka p”.
Biimplikasi bernilai benar, jika keduanya mempunyai nilai
kebenaran yang sama (semua benar atau semua salah). Jika
nilai kebenaran keduanya tidak sama maka pernyatan bernilai
salah.
Dapat disusun dengan tabel kebenaran sebagai berikut :
P q p ⟷ 𝑞
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
Contoh:
p : 5 < 1 ( S )
q : 32 > 9 ( S )
p ⟷ 𝑞 : 5 < 1 jika dan hanya jika 32 > 9 ( B )
e) Negasi Konjungsi
Modul Matematika SMA 139
Negasi harus menyangkal keadaan sebenarnya. Perhatikan
pernyataan “saya suka buah dan tidak suka sayur”. Sehingga
negasinya “saya tidak suka buah atau saya suka sayur”.
Pernyataan di atas dapat ditulis dalam logika matematika.
p : saya suka sayur
q : saya tidak suka sayur
p ∧ 𝑞 : saya suka buah dan tidak suka sayur
Maka ~ (𝑝 ∧ 𝑞) : saya tidak suka buah atau saya suka sayur.
≡ ~ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞
Pernyataan ~ (𝑝 ∧ 𝑞) ekuivalen dengan ~ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞. Jadi secara
umum, negasi pernyataan p ∧ 𝑞 adalah ~ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞. Dapat ditulis:
~ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ~ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞
f) Negasi Disjungsi
Perhatikan pernyataan berikut !
p : Rani pergi ke sekolah
q : Rani bermain di rumah Ima
p ∨ 𝑞 ∶ Rani pergi ke sekolah atau bermain di rumah Ima
Keadaan yang dinyatakan disjungsi diatas adalah Rani
melakukan salah satu atau kedua kegiatan tersebut. Yaitu Rani
pergi ke sekolah atau bermain di rumah Ima. Ingkaran
pernyataan ini adalah”Rani tidak pergi ke sekolah dan tidak
bermain di rumah Ima” yang menyatakan Rani tidak melakukan
satu pun dari kegiatan di atas. Secara umum, negasi dari
pernyataan p ∨ 𝑞 adalah ~ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 atau ditulis:
~ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ~ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞
g) Negasi Implikasi
Perhatikan implikasi berikut !
p : matahari bersinar cerah
q : hari ini tidak hujan
p → 𝑞 : jika matahari cerah, maka hari ini tidak hujan.
Modul Matematika SMA 140
Keadaan yang dinyatakan implikasi di atas adalah jika
matahari bersinar cerah terjadi, maka hari ini tidak terjadi hujan.
Ingkaran (negasi) pernyataan yang bertentangan dengan
pernyataan ini adalah “matahari bersinar cerah dan hari ini
hujan”. Secara umum, negasi pernyataan p → 𝑞 adalah 𝑝 ∧ ∼ 𝑞
atau di tulis:
~ (𝑝 → 𝑞) ≡ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞
h) Negasi Biimplikasi
Pernyataan bersyarat ganda seperti “sudut suatu segitiga
sama besar jika dan hanya jika segitiga itu sama sisi” merupakan
pernyataan berimplikasi. Bagaimana negasi dari suatu
pernyataan biimplikasi ?
Secara umum, negasi pernyataan p ↔ 𝑞 adalah ~ 𝑝 ↔ 𝑞
atau 𝑝 ↔ ∼ 𝑞, dapat ditulis :
~ 𝑝 ↔ 𝑞 ≡ ~ 𝑝 ↔ 𝑞
Atau
~ 𝑝 ↔ 𝑞 ≡ 𝑝 ↔ ∼ 𝑞
Bentuk ekuivalen lain dari negasi suatu implikasi adalah
~ 𝑝 ↔ 𝑞 ≡ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 ∨ (𝑞 ∧ ~ 𝑝)
Modul Matematika SMA 141
5.2.2.3 Rangkuman
Gabungan dua pernyataan tunggal yang menggunakan kata
penghubung “dan” sehingga terbentuk pernyataan majemuk disebut
konjungsi.
Disjungsi adalah gabungan dua pernyataan yang menggunakan kata
penghubung logika “atau” sehingga membentuk dua pernyataan
majemuk.
Implikasi adalah gabungan dua pernyataan p dan q sehingga
membentuk pernyataan majemuk dengan menggunakan kata
penghubung “jika..., maka...”.
Biimplikasi adalah gabungan dua pernyataan majemuk dengan kata
hubung “...jika dan hanya jika...”.
Dua pernyataan dikatakan ekuivalen apabila kedua pernyataan
tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Modul Matematika SMA 142
5.2.2.4 Tes formatif
Kerjakan soal berikut, jangan melihat kunci jawaban ketika kalian
mengerjakan!
1. Diantara kalimat berikut, tentukan mana yang merupakan kalimat
pernyataan dan kalimat terbuka !
a. 2x + 5 = 21
b. Setiap orang membutuhkan oksigen untuk bernafas.
c. 5 – 2 + 1 > 0
d. Jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180.
e. p adalah bilangan prima kurang dari 20.
2. Jika diketahui pernyataan p bernilai benar dan q bernilai salah,
tentukan nilai kebenaran dari ~ (𝑝 ∧ ~ 𝑞) !
3. Jika Semarang ibu kota Jawa Tengah, maka x2 – 3x – 28 = 0.
Tentukan nilai x agar implikasi bernilai benar!
4. Diketahui pernyataan berikut:
p : saya lulus ujian
q : semua keluarga berbahagia
r : saya melanjutkan ke Perguruan Tinggi Negeri
t : saya bekerja
Tentukan pernyataan berikut ini
a. ~ 𝑝 → ~ 𝑡
b. ~ 𝑞 ↔ ~ 𝑟
Modul Matematika SMA 143
5.2.2.5 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang
Nilai
Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
………………,……………20…
Modul Matematika SMA 144
5.2.3 Kegiatan Belajar 2
5.2.3.1 Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Seperti yang telah Anda pelajari pada modul sebelumnya, dua
buah pernyataan atau lebih dapat dibentuk menjadi suatu kalimat
majemuk. Pernyataan-pernyataan majemuk yang menggunakan
kata hubung " → " (jika ... maka ...) adalah implikasi, konvers,
invers, dan kontraposisi, yang didefinisikan sebagai berikut.
Jika p dan q adalah suatu pernyataan maka pernyataan majemuk
a) 𝑞 → 𝑝 disebut konvers dari 𝑝 → 𝑞
b) ~𝑝 → ~𝑞 disebut invers dari 𝑝 → 𝑞
c) ~𝑞 → ~𝑝 disebut kontraposisi dari 𝑝 → 𝑞
Hubungan antara implikasi-implikasi tersebut dapat
ditunjukkan dengan diagram dibawah ini.
Konvers
Kontraposisi
Invers Invers
Konvers
Dengan menggunakan tabel kebenaran, kita dapat melihat
nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan baru tersebut.
Tabel kebenaran itu ialah sebagai berikut.
𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑞 → 𝑝 ~𝑝 → ~𝑞 ~𝑞 → ~𝑝
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B
𝑝 → 𝑞 𝑞 → 𝑝
~𝑞
→ ~𝑝
~𝑝
→ ~𝑞
Modul Matematika SMA 145
Dengan memperhatikan nilai kebenaran pada tabel di atas,
dapat disimpulkan sebagai berikut:
a) Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya, yaitu:
𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑞 → ~𝑝
b) Konvers suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya yaitu:
𝑞 → 𝑝 ≡ ~𝑝 → ~𝑞
Contoh soal:
1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi
“Jika harga BBM naik, maka harga kebutuhan sehari-hari
naik“.
Pemecahan:
Konvers: Jika harga kebutuhan sehari-hari naik, maka
harga BBM naik
Invers: Jika harga BBM tidak naik, maka harga
kebutuhan sehari- hari tidak naik
Kontraposisi: Jika harga kebutuhan sehari-hari tidak naik,
maka harga BBM tidak naik
2. Tentukan pernyataan yang senilai dari pernyataan berikut:
a. Jika saya rajin belajar, maka semua pelajaran sekolah
dapat saya ikuti dengan baik.
b. ~𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟)
c. (𝑝 → 𝑞) → 𝑟
Pemecahan:
Diketahui bahwa nilai kebenaran implikasi sama dengan
nilai kebenaran kontraposisinya. Sehingga pernyataan
yang senilai dengan implikasi adalah kontraposisinya.
a. Jika ada pelajaran sekolah yang tidak dapat saya ikuti
dengan baik, maka saya tidak rajin.
b. ~𝑝 ∧ 𝑟 → ~ ~𝑝 atau ~𝑞 ∨ ~𝑟 → 𝑝
c. ~(~𝑟) → ~ 𝑝 → 𝑞 atau 𝑟 → (𝑝 ∧ ~𝑞)
Modul Matematika SMA 146
5.2.3.2 Pernyataaan Berkuantor
Pernyataaan berkuantor ialah pernyataan yang melibatkan
kata yang menyatakan jumlah anggota semesta pembicaraan untuk
mewakili suatu sistem atau keadaan. Adapun kuantor yang kita
kenal adalah kuantor universal dan kuantor eksistensial. Agar Anda
dapat memahaminya, perhatikan uraian berikut ini.
a) Kuantor Universal (∀)
Dibaca: untuk semua, untuk seluruh, untuk setiap, tanpa
kecuali. Dimisalkan 𝑝(𝑥) adalah suatu kalimat
terbuka, pernyataan ∀𝑥,𝑝(𝑥) dibaca “untuk setiap 𝑥
berlaku 𝑝(𝑥)“
b) Kuantor Eksistensial (∃)
Dibaca: ada, beberapa, terdapat. Jika dimisalkan 𝑝(𝑥)
adalah suatu kalimat terbuka maka ∃𝑥, 𝑝(𝑥) dibaca “untuk
beberapa 𝑥 berlaku 𝑝(𝑥)“
Negasi kalimat berkuantor universal adalah kalimat
berkuantor eksistensial, sedangkan negasi kalimat berkuantor
eksistensial adalah kalimat berkuantor universal. Jika terdapat
kalimat kuantor universal ∀𝑥 𝑝(𝑥) dan kalimat berkuantor
eksistensial ∃𝑥 𝑝(𝑥) negasi dari keduanya ditulis sebagai
berikut:
~ ∀𝑥 ,𝑝 𝑥 ≡ ∃𝑥 , ~𝑝(𝑥)
~ ∃𝑥 ,𝑝 𝑥 ≡ ∀𝑥 , ~𝑝(𝑥)
Contoh soal:
Tentukan ingkaran dari pernyataan “ada pohon yang daunnya
meranggas“
Pemecahan:
Misalnya: 𝑥 = pohon dan 𝑝 𝑥 = daunnya meranggas.
Kalimat tersebut dilambangkan dengan ∃𝑥,𝑝(𝑥).
Ingkarannya: ~ ∃𝑥 ,𝑝 𝑥 ≡ ∀𝑥 , ~𝑝(𝑥) dapat dibaca “tidak
ada pohon yang daunnya meranggas“ ekuivalen dengan “Semua
pohon daunnya tidak meranggas“.
Modul Matematika SMA 147
5.2.3.3 Rangkuman
Jika p dan q adalah suatu pernyataan maka pernyataan majemuk
𝑞 → 𝑝 disebut konvers dari 𝑝 → 𝑞
~𝑝 → ~𝑞 disebut invers dari 𝑝 → 𝑞
~𝑞 → ~𝑝 disebut kontraposisi dari 𝑝 → 𝑞
Ada dua macam kuantor, yaitu kuantor universal dan kuantor
eksistensial. Kuantor Universal ∀ , dibaca: untuk semua, untuk seluruh,
untuk setiap, tanpa kecuali. Kuantor Eksistensial ∃ , dibaca: ada,
beberapa, terdapat. Negasi kalimat berkuantor universal adalah kalimat
berkuantor eksistensial, sedangkan negasi kalimat berkuantor eksistensial
adalah kalimat berkuantor universal.
5.2.3.4 Tes Formatif
1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut:
a) Jika 2 + 4 > 5, maka 5 merupakan bilangan prima.
b) Jika saya pergi ke dokter, maka saya sakit.
c) Jika harga turun, maka permintaan naik.
2. Tentukan pernyataan yang senilai dari pernyataan berikut.
a) Jika saya rajin belajar, maka semua pelajaran sekolah dapat saya
ikuti dengan baik.
b) ~𝑝 → 𝑞 ∧ 𝑟
c) (𝑝 → 𝑞 → ~𝑟
3. Tentukan negasi dari kalimat ”Setiap siswa SMA terpelajar”!
Modul Matematika SMA 148
5.2.3.5 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
………………,……………20…
Modul Matematika SMA 149
5.2.4 Kegiatan Belajar 3
5.2.4.1 Penarikan Kesimpulan
Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu
kesimpulan diasumsi-kan benar terjadi dan disebut premis.
Kesimpulan dapat bernilai valid (sah) dan ada juga yang tidak valid
tergantumg dari premis-premis penyusunnya. Untuk menentukan
sah atau tidaknya suatu kesimpulan, kita dapat menggunakan ketiga
prinsip berikut, yaitu modus ponens, modus tollens, dan silogisme.
a) Modus Ponens
Modus ponens adalah argumentasi
atau penarikan kesimpulan yang disajikan
dalam bentuk sebagai berikut.
Modus ponens menyatakan apabila
diketahui “jika 𝑝 maka 𝑞" benar, dan
𝑝 benar, disimpulkan 𝑞 benar.
b) Modus Tollens
Modus tollens adalah argumentasi
yang disajikan dalam bentuk sebagai
berikut.
Modus tollens menyatakan apabila
diketahui “jika 𝑝 maka 𝑞“ benar dan 𝑞
tidak benar, disimpulkan 𝑝 tidak benar.
c) Silogisme
Silogisme adalah argumentasi yang
disajikan dalam bentuk sebagai berikut.
Silogisme menyatakan benar apabila “jika
𝑝 maka 𝑞“ benar dan “jika 𝑞 maka 𝑟“
benar, disimpulkan “jika 𝑝 maka 𝑟“ benar.
Premis 1 : 𝑝 → 𝑞
Premis 2 : 𝑝
Konklusi : 𝑞
Premis 1 : 𝑝 → 𝑞
Premis 2 : ~𝑞
Konklusi : ~𝑝
Premis 1 : 𝑝 → 𝑞
Premis 2 : 𝑞 → 𝑟
Konklusi : 𝑝 → 𝑟
Modul Matematika SMA 150
Contoh soal:
Tentukan kesimpulan yang sah dari premis-premis berikut!
a. Jika irigasi tidak lancar, maka tanaman padi kekurangan air.
b. Jika tanaman padi kekurangan air, maka petani gagal panen.
c. Petani tidak gagal panen.
Pembahasan:
𝑝 : irigasi tidak lancar
𝑞 : tanaman padi kekurangan air
𝑟 : petani gagal panen
(a) : 𝑝 → 𝑞
(b) : 𝑞 → 𝑟
(d) : ∴ 𝑝 → 𝑟
(c) : ~𝑟
∴ ~𝑝
Jadi, kesimpulannya adalah “irigasi lancar“
5.2.4.2 Rangkuman
Penarikan kesimpulan
Modus ponens Modus tollens silogisme
𝑃1 :𝑝 → 𝑞
𝑃2 : 𝑝
∴ ∶ 𝑞
𝑃1 : 𝑝 → 𝑞
𝑃2 : ~𝑞
∴ ∶ ~𝑝
𝑃1 : 𝑝 → 𝑞
𝑃2 : 𝑞 → 𝑟
∴ ∶ 𝑝 → 𝑟
Modul Matematika SMA 151
5.2.4.3 Tes Formatif
1) Tentukan kesimpulan yang sah dari premis berikut!
a) 𝑃1 : Jika terjadi kecelakaan, maka jalan macet
𝑃2 : jika jalan macet, maka banyak yang terlambat
b) 𝑃1 : jika harga barang naik, maka permintaan barang turun
𝑃2 : jika permintaan barang turun, maka produksi barang
turun
c) 𝑃1 : jika 𝑛 bilangan ganjil, maka 𝑛2 bilangan ganjil
𝑃2 : jika 𝑛2 bilangan ganjil, maka 𝑛2 + 1 bilangan genap
2) Selidikilah argumen di bawah ini, sah atau tidak dengan menggunakan
tabel kebenaran.
𝑎. 𝑃1 : jika Santi rajin belajar, maka ia akan menjadi pintar
𝑃2 : Santi pintar
∴ : Santi rajin belajar
𝑏. 𝑃1 : jika di Indonesia tidak ada korupsi, maka semua
penduduknya tidak miskin
𝑃2 : ada penduduk Indonesia yang miskin
∴ : di Indonesia masih ada korupsi
3) Selidikilah argumen di bawah ini, sah atau tidak dengan menggunakan
tabel kebenaran.
𝑎. 𝑃1 : 𝑝 → 𝑞
𝑃2 : ~𝑞
∴ : 𝑝
𝑏. 𝑃1 : 𝑝𝑞 ∨
𝑃2 : 𝑝
∴ : ~𝑞
Modul Matematika SMA 152
5.2.4.4 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
………………,……………20…
Modul Matematika SMA 153
5.3 EVALUASI
5.3.1 Soal Evaluasi
Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti dan benar !
1. Nyatakan kalimat-kalimat berikut merupakan kalimat terbuka atau
pernyataan. Jika pernyataan nyatakan nilai kebenaranya : x + 2 = x – 2
dan 2(x + 1)+ 3 = 2x +5 !
2. Tuliskan negasi dari pernyataan 2 bilangan prima dan 2 + 3 sama
dengan 5 !
3. Tentukan nilai kebenaran dari 3 bilangan prima atau 5 bilangan genap
dengan disjungsi !
4. Tentukan nilai kebenaran dari 6 bilangan prima dan 3 bilangan ganjil
dengan konjungsi !
5. Tentukan nilai kebenaran jika 2 + 3 = 5 , maka 4 + 5 = 7 dengan
implikasi !
6. Tentukan nilai kebenaran 2 + 2 = 4 ↔ 3 + 4 = 8 !
7. Buatlah tabel kebenaran dari ~ p → ~ q !
8. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan x ganjil ↔2x genap !
9. Salin dan lengkapilah tabel kebenaran dari tabel berikut :
P Q q → 𝑝 [p ∨ (𝑞 → 𝑝)] ∼[p ∨ (𝑞 → 𝑝)]
B B
B S
S B
S S
10. Jika p bernilai benar, q bernilai benar, dan r bernilai salah. Tentukan
nilai kebenaran pernyataan berikut !
a. p ∨ 𝑞 → 𝑟
b. ~ 𝑝 ∨ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑟]
11. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari setiap pernyataan
implikasi berikut:
Modul Matematika SMA 154
a) Jika biaya sekolah gratis, maka semua penduduk Indonesia pandai
b) Jika Badu siswa SMA, maka ia lulusan SMP
c) Jika Carli siswa yang pandai, maka ia lulus tes
d) Jika Ali seorang anggota MPR, maka ia seorang anggota DPR
12. Diketahui premis-premis berikut:
Premis 1 : Jika hari ini hujan maka saya tidak pergi
Premis 2 : Jika saya tidak pergi maka saya nonton sepak bola
Kesimpulan yang sah dari penarikan kedua premis tersebut adalah….
13. Tentukan negasi (ingkaran) dari pernyataan-pernyataan berikut:
a) p : Semua dokter memakai baju putih saat bekerja.
b) p : Semua jenis burung bisa terbang.
c) p : Semua anak mengikuti ujian fisika hari ini.
Modul Matematika SMA 155
5.3.2 Lembar Penilaian
Nama :...........................
Kelas :...........................
No. Absen :...........................
No. Tugas :..........................
Judul Tugas :...........................
No. Kriteria Rentang Nilai Nilai Prestasi
Tes Formatif Evaluasi
1. Kegiatan belajar 1 0 – 30
2. Kegiatan belajar 2 0 – 30
3. Kegiatan belajar 3 0 - 10
4. Evaluasi 0 - 100
JUMLAH 0 – 100
JUMLAH (jumlah X 60%) (jumlah X 40%)
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus
..............................,.......................20....
Modul Matematika SMA 157
6.1 PENDAHULUAN
6.1.1 Deskripsi
Modul ini membahas Dimensi Tiga, yang mana berisi materi
tentang konsep jarak, titik, garis, bidang, serta bangun-bangun ruang.
6.1.2 Prasyarat
Dalam mempelajari modul ini diperlukan prasyarat telah
menguasai bilangan pangkat dan bentuk akar, unsur-unsur bangun datar
dan bangun ruang serta materi-materi sebelumnya yang masih
berkaitan.
6.1.3 Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan
adalah sebagai berikut:
1. Pahami daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan teliti.
Karena dalam skema modul akan tampak kedudukan modul yang
sedang anda pelajari dengan modul-modul yang lain.
2. Kerjakan soal-soal dalam cek kemampuan untuk mengukur sampai
sejauh mana pengetahuan dan kemampuan yang telah anda miliki.
3. Apabila dari soal cek kemampuan yang telah anda kerjakan
mendapat score ≥ 70, maka anda dapat langsung menuju Evaluasi
untuk mengerjakan soal-soal tersebut. Tetapi bila hasil jawaban
mendapat nilai < 70, maka anda harus mengikuti kegiatan
pembelajaran dalam modul ini.
4. Dalam mempelajari materi yang ada pada modul ini harus berurutan,
materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari
materi berikutnya.
5. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, kemudian kerjakanlah
semua soal latihan untuk menunjang pemahaman Anda tentang
materi ini. Jika dalam mengerjakan soal latihan Anda menemui
kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
Modul Matematika SMA 158
6. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui
kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari
materi yang terkait.
7. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan,
catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap
muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi
modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan
mendapatkan pengetahuan tambahan.
6.1.4 Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Menentukan kedudukan titik
2. Menentukan jarak antara titik dan titik
3. Menentukan jarak titik ke garis
4. Menentukan jarak titik ke bidang
5. Menentukan jarak antara dua garis dan dua bidang yang sejajar
6. Menentukan sudut antara dua garis dalam ruang dimensi
7. Menentukan sudut antara garis dan bidang dalam ruang dimensi tiga
8. Menentukan sudut antara dua bidang dalam dimensi ruang
Modul Matematika SMA 159
6.1.5 Kompetensi
Judul Unit: Dimensi Tiga (3 jam pelajaran)
Uraian Unit: unit ini berlaku untuk menentukan kedudukan dan jarak,
yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.
Sub Kompetensi Indikator
1. Menentukan kedudukan
titik
1.1 Memahami pengertian titik.
1.2 Mampu menentukan kedudukan
antara dua titik dalam ruang dimensi
tiga.
1.3 Mampu menentukan kedudukan
antara titik dan garis dalam ruang
dimensi tiga.
1.4 Mampu menentukan kedudukan
antara titik dan bidang dalamruang
dimensi tiga.
2. Menentukan jarak 2.1 Mampu menentukan jarak antara
titik dan titik.
2.2 Mampu menentukan jarak titik ke
garis.
2.3 Mampu menentukan jarak titik ke
bidang.
3. Menentukan jarak antara
dua garis dan dua bidang
yang sejajar
3.1 Memahami pengertian dua garis
yang sejajar.
3.2 Mampu menentukan jarak antara dua
garis yang sejajar.
3.3 Memahami pengertian dua bidang
yang sejajar.
3.4 Mampu menentukan jarak antara dua
bidang yang sejajar.
4. Menentukan besar sudut
antara garis dengan bidang
dan dua bidang dalam ruang
dimensi tiga
4.1 Menentukan sudut antara dua garis
dalam dimensi tiga
4.2 Menentukan sudut antara garis
dengan ruang dalam dimensi tiga
4.3 Menentukan sudut antara bidang
dengan bidang dalam dimensi
ruang
Acuan Penilaian
1. Unit kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada peserta uji.
2. Aspek-aspek kritikal yang dinilai:
Mampu menentukan kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruang
dimensi tiga.
Mampu menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang
dalam ruang dimensi tiga.
3. Pengetahuan pendukung yang dibutuhkan:
Memahami pengertian titik, garis dan bidang.
Mengenal istilah-istilah yang ada pada macam-macam bangun ruang.
Mampu menghitung menggunakan bilangan pangkat dan bentuk akar.
Modul Matematika SMA 160
4. Sikap yang dituntut:
Tepat dalam mengerjakan perintah yang diberikan
Memaksimalkan pekerjaan dalam menggunakan waktu yang ditentukan
Disiplin dan teliti dalam mengerjakan setiap perintah yang diberikan
Bersikap positif dan terbuka terhadap penilaian hasil pekerjaan oleh
guru.
6.1.6 Cek Kemampuan
Petunjuk:
Berilah tanda ( ), pada kolom Jawaban : Ya atau Tidak jawaban
yang anda pilih
No. Pertanyaan Jawaban
Ya Tidak
1. Apakah anda dapat menentukan kedudukan titik?
2. Apakah anda dapat menentukan jarak antara titik dan
titik?
3. Apakah anda dapat menentukan jarak antara titik ke
garis?
4. Apakah anda dapat menentukan jarak titik ke bidang?
5. Apakah anda dapat menentukan jarak antara dua garis
dan dua bidang yang sejajar
Skore ( Nilai )
....................,............... 20......
Modul Matematika SMA 161
PETA KONSEP
DIMENSI TIGA
JARAK TITIK, GARIS, DAN
BIDANG
KEDUDUKAN TITIK
JARAK TITIK DAN TITIK
JARAK TITIK DAN GARIS
JARAK TITIK DAN BIDANG
JARAK DUA GARIS DAN DUA BIDANG YANG SEJAJAR
SUDUT PADA BANGUN RUANG
SUDUT ANTARA DUA GARIS DALAM RUANG
SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG PADA BANGUN
RUANG
SUDUT ANTARA DUA BIDANG DALAM BANGUN RUANG
Modul Matematika SMA 162
6.2 PEMBELAJARAN
6.2.1 Rencana Belajar Siswa
1. Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah uraian tujuan kegiatan belajar,
agar mengetahui kemampuan apa yang akan dicapai pada setiap kegiatan.
2. Kerjakanlah setiap latihan dengan bersungguh-sungguh agar kemampuan
anda yang sebenarnya diketahui.
6.2.2 Kegiatan Belajar 1
6.2.2.1 Tujuan Kegiatan Belajar 1:
Dapat menentukan kedudukan titik
6.2.2.2 Uraian Materi
Untuk mengetahui kedudukan titik, tentunya kalian harus
mengetahui pengertian titik terlebih dahulu. Sebagai ilustrasi
perhatikan gambar berikut.
Gambar 1.1
Pada gambar 1.1 di samping
terdapat bintang. Salah satu bintang
tersebut merupakan contoh dari titik.
Titik tersebut tak terhingga kecilnya.
Jadi apa yang dimaksut dengan titik? Titik adalah sesuatu
yang tidak memiliki ukuran (tak berdimensi) dan hanya ditentukan
oleh letaknya. Titik digambarkan dengan simbol noktah (•) dan
biasanya diberi nama dengan huruf kapital, misalnya A,B, P,Q,R
dan S.
Modul Matematika SMA 163
Kedudukan titik dapat dibedakan menjadi dua, yaitu
kedudukan titik terhadap garis dan kedudukan titik terhadap
bidang.
a) Kedudukan titik terhadap garis ada dua kmungkinan, yaitu
sebuah titik bisa terletak di luar garis atau pada garis, jika:
1. Melalui sebuah garis dan sebuah titik diluarnya, dapat dibuat
tepat satu bidang.
Gambar 1.2
2. Melalui tiga buah titik yang tidak segaris, dapat dibuat tepat
satu bidang.
Gambar 1.3
b) Titik terletak pada bidang dan di luar bidang
Titik A adalah titik yang terletak pada
bidang, dan titik B adalah titik yang
terletak di luar bidang.
Gambar 1.4
A
A
C
B
B
A
Modul Matematika SMA 164
Contoh :
Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH seperti gambar berikut.
Bidang DCGH sebagai wakil bidang
U. Tentukan :
titik-titik sudut kubus yang terletak
pada bidang U dan di luar bidang U.
Gambar 1.5
Penyelesaian :
titik-titik sudut kubus yang terletak pada bidang U adalah
titik-titik C,D,G, dan H.
titik-titik sudut kubus yang terletak di luar bidang U adalah
titik-titik A,B,F, dan E.
6.2.2.3 Rangkuman
1. Titik adalah sesuatu yang tidak memiliki ukuran (tak berdimensi)
dan hanya ditentukan oleh letaknya.
2. Titik terletak pada garis jika titik itu dilalui oleh sebuah garis,
dan terletak di luar garis jika titik itu tidak dilalui oleh garis.
3. Titik terletak pada bidang jika titik itu dilalui oleh sebuah bidang,
dan berada di luar bidang jika titik itu tidak dilalui oleh bidang.
E
H
C
B A
U D
F
G
Modul Matematika SMA 165
6.2.2.4 Test Formatif
1. Perhatikan gambar kubus berikut!
Gambar 1.6
Sebuah kardus berbentuk kubus ABCD.EFGH. Segmen atau ruas garis
AB sebagai wakil garis g. Tentukan:
a. Titik sudut kubus yang terletak pada garis g!
b. Titik sudut kubus yang berada di luar garis g!
2. Perhatikan kubus ABCD.EFGH pada Gambar 1.6. Terhadap bidang
DCGH, tentukanlah:
a. titik sudut kubus apa saja yang terletak pada bidang DCGH!
b. titik sudut kubus apa saja yang berada di luar bidang DCGH!
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH, BC mewakili garis k, DE mewakili
garis l, dan AG mewakili garis m. Sebutkan titik-titik sudut kubus
yang:
a. Terletak pada garis k,
b. Berada di luar garis k,
c. Terletak pada garis l,
d. Terletak pada garis m,
e. Berada di luar garis m.
4. Diketahui kubus KLMN.PQRS, bidang KLMN mewakili bidang 𝛼,
bidang KLQP mewakili bidang 𝛽, dan bidang KMRP mewakili
bidang 𝛾. Sebutkan titik-titik kubus yang :
a. Terletak pada bidang 𝛼,
b. Berada di luar bidang 𝛼,
c. Terletak pada bidang 𝛽,
d. Berada di luar bidang 𝛽,
H
E
A B
C D
G
F
g
Modul Matematika SMA 166
e. Terletak pada bidang 𝛾,
f. Berada di luar bidang 𝛾.
5. Pada limas segiempat T.ABCD. Sebutkan titik sudut yang :
a. Terletak pada bidang alas ABCD
b. Terletak di luar bidang alas ABCD
c. Terletak pada garis BC
d. Terletak diluar garis TB
6.2.2.5 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
………………,……………20…
Modul Matematika SMA 167
6.2.3 Kegiatan Belajar 2
6.2.3.1 Tujuan Kegiatan Belajar 2:
Dapat menentukan jarak antara titik dan titik.
Dapat menentukan jarak titik ke garis.
Dapat menentukan Jarak Titik ke Bidang.
6.2.3.2 Uraian Materi
Untuk memahami jarak titik ke titik, titik ke garis dan titik ke
bidang, coba perhatikan ilustrasi berikut.
Ada tiga buah ukuran pintu yang dapat
dilewati. Pintu tersebut dapat dilewati
oleh orang yang berukuran tinggi,
sedang dan kecil. Jarak kayu pada daun
pintu yang diukurpun berbeda sesuai
yang melewati.
Nah......bagaimana cara mengukurnya agar memperoleh ukuran
yang tepat, pastinya keduanya harus saling tegak lurus.
1) Jarak antara titik dan titik
Jarak antara titik dan titik biasa juga disebut jarak antara
dua titik. Jarak antara dua titik adalah panjang garis yang
menghubungkan kedua titik tersebut. Untuk menghitung jarak
antara dua titik sering difunakan rumus phytagoras, dalil
steward, kesebangunan, dan trigonometri. Perhatikan gambar
Gambar 2.1
Modul Matematika SMA 168
2.2. Jarak P dan Q dapat dihitung dengan membuat segitiga
siku-siku dan menggunakan rumus Phytagoras.
PQ = 𝑂𝑃2 + 𝑂𝑄2.
Gambar 2.2
2) Jarak titik ke garis
Seperti diuraikan di awal bab ini, kalian pasti sudah
mengetahui kedudukan titik terhadap garis. Terdapat dua
kemungkinan titik pada garis, yaitu titik terletak pada garis atau
titik berada di luar garis. Titik dikatakan terletak pada garis, jika
titik tersebut dilalui oleh garis. Dalam hal ini, jarak titik ke garis
adalah nol. Dari Gambar 2.3, kita dapat melihat bahwa titik A
dan B terletak pada garis l. Titik A dan titik B dikatakan sebagai
titik yang segaris atau kolinear.
Gambar 2.3
Jika sebuah titik berada di luar garis, maka ada jarak
antara titik ke garis itu. Jarak antara titik P dan garis g adalah
panjang ruas garis penghubung titik P dengan proyeksi titik P
pada garis g.
Gambar 2.4
P
O
Q
A B
l
P
P3 P1 P4 P2 H
g
Modul Matematika SMA 169
Pada Gambar 2.4 P1 pada g. Jika dari titik P ditarik ruas
garis PP1 dengan P1 pada g dan PP1 ⊥ g, maka P1 disebut
proyeksi titik P pada g. Pada gambar tersebut titik P1 adalah
proyeksi titik P pada garis g karena PP1 ⊥ g dan P1 pada g. Jadi
jarak antara titik P dan garis g adalah PP1.
3) Jarak titik ke bidang
Jika sebuah titik berada di luar bidang, maka ada jarak
antara titik ke bidang itu. Jarak titik ke bidang merupakan
panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik sampai memotong
tegak lurus suatu bidang. Jarak titik A ke bidang 𝛼 (titik A
berada di luar bidang 𝛼) dapat digambarkan dengan
menggunakan langkah-langkah berikut:
Buatlah garis g melalui titik A dan tegak lurus bidang 𝛼.
Garis g menembus bidang 𝛼 di titik Q.
Ruas garis AQ merupakan jarak titik A ke bidang 𝛼 yang
diminta.
Proses di atas dapat divisualisasikan dengan gambar ruang
sebagaimana diperlihatkan pada gambar 2.5.
Gambar 2.5
Contoh:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm.
Hitunglah jarak antara:
a. Titik A ke H
A
g
Q
𝛼
Modul Matematika SMA 170
b. Titik A ke P (P adalah perpotongan diagonal ruang)
c. Titik A ke garis CE
d. Titik A ke bidang BCGF
e. Titik A ke bidang BDHF
Penyelesaian :
Gambar 2.6
a. Jarak titik A ke H = AH
AH = 22 DHAD
= 100100
= 200
= 210 cm
b. Jarak titik A ke P = AP
AP = ½ AG
= 32
10cm
c. Jarak A ke CE = AK
Gambar 2.7
A
F
P
R
10 cm B
C
G H
E
D
E
A C
G K
Modul Matematika SMA 171
Pada segitiga siku-siku CAE
L CAE = ½.AC.AE = ½.CE.AK
63
10
3
210
310.2
1
10.210.2
1
.310.210.210.2
1
AK
AK
AK
AK
d. Jarak titik A ke bidang BCGF = AB = 10 cm
e. Jarak titik A ke bidang BDHF = AR (R titik tengah garis
BD)
AR = ½ AC = ½ 210 = 25 cm
6.2.3.3 Rangkuman
1. Jarak antara titik dan titik biasa juga disebut jarak antara dua
titik. Jarak antara dua titik adalah panjang garis yang
menghubungkan kedua titik tersebut.
2. Jarak antara titik dengan garis merupakan panjang ruas garis
yang ditarik dari titik tersebut tegak lurus terhadap garis itu.
3. Jarak titik ke bidang merupakan panjang ruas garis yang ditarik
dari suatu titik sampai memotong tegak lurus suatu bidang.
Modul Matematika SMA 172
6.2.3.4 Test Formatif
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik P pada
perpanjangan DC sehingga CP = ½ DC. Titik Q pada pertengahan EH.
Hitunglah jarak dari P ke Q !
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Titik P
pertengahan rusuk CG. Hitunglah jarak :
a. Titik A ke garis BC
b. Titik A ke garis FG
c. Titik C ke garis FH
d. Titik P ke garis CD
e. Titil P ke garis BF
f. Titik P ke garis BD
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Hitunglah jarak B
ke garis EG !
4. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = 10 cm, AD = 8 cm, dan
AE = 6 cm. Titik O adalah titik potong diagonal-diagonal bidang alas
AC dan BD. Hitunglah jarak:
a. Titik A ke bidang BCGF
b. Titik A ke bidang CDHG
c. Titik A ke bidang EFGH
d. Titik O ke bidang ABFE
e. Titik O ke bidang BCGF
f. Titik O ke bidang EFGH
5. Bidang alas limas tegak T.ABCD berbentuk persegi panjang. AB = 4
cm, BC = 3 cm, dan TA = TB = TC = TD = 6,5 cm. Hitunglah:
a. Panjang AC
b. Jarak titik puncak T ke bidang alas A
Modul Matematika SMA 173
6.2.3.5 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
………………,……………20…
Modul Matematika SMA 174
6.2.4 Kegiatan Belajar 3
6.2.4.1 Tujuan Kegiatan Belajar 3:
Dapat menentukan jarak antara dua garis dan dua bidang yang sejajar
6.2.4.2 Uraian Materi
Dua garis dikatakan sejajar jika kedua garis itu terletak pada
sebuah bidang dan tidak mempunyai titik persekutuan. Misalkan
diketahui garis g dan garis h sejajar. Jarak antara garis g dan garis h
yang sejajar adalah jarak antara sebuah titik pada salah satu garis
ke garis lainnya. Pada bidang O, garis g // h (Gambar 3.1). Titik P,
A, dan B pada garis g. Titik P1, A1 dan B1 berturut-turut adalah
proyeksi titik P, A dan B di g pada h. Jarak antara g dan h adalah
PP1 = AA1 = BB1. Untuk setiap titik An, n ≠ 1, dan An pada h, maka
∆AAnA1 siku-siku di A1. Akibatnya AA1 ≤ AAn. Dengan kata lain,
AA1 adalah yang terpendek di antara penghubung A dengan setiap
titik pada garis h.
Jadi AA1 adalah jarak antara garis g dan h. Dengan cara sama
dapat dibuktikan, bahwa PP1 dan BB1 merupakan jarak antara garis
g dan h yang sejajar.
Gambar 3.1
Sedangkan jarak antara dua bidang yang sejajar adalah jarak
salah satu titik pada suatu bidang terhadap bidang lain, atau
sebaliknya. Misalnya, Balok PQRS.TUVW pada Gambar 3.2,
semua rusuk pasangan rusuk yang sejajar pasti sama panjang.
Misalnya, rusuk PQ sejajar dengan RS, yang terletak pada bidang
PQRS.
g
h
O
B P A
A1 P1 B1
Modul Matematika SMA 175
H
E
A B
C D
G
F
k
𝛼
Gambar 3.2
Lebih lanjut, bidang PSTW sejajar dengan bidang QRVU, dan
jarak antara kedua bidang tersebut adalah panjang rusuk yang
menghubungkan kedua bidang.
Rusuk PQ memotong rusuk QU dan QR secara tegak lurus, maka
sudut segitiga PQR adalah 90°.
Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm.
Gambar dan hitunglah jarak antara garis AE dan garis BF.
Penyelesaian:
Garis AE dan garis BF merupakan dua garis yang sejajar. Jarak
antara garis AE dan BF dapat digambarkan sebagai berikut:
Buat bidang 𝛼 yang melalui garis AE dan garis BF. Bidang 𝛼
diwakili oleh bidang ABFE.
Garis k yang tegak lurus terhadap garis AE dan garis BF
dapat dipilih garis AB atau garis EF.
Panjang ruas garis AB merupakan jarak antara garis AE dan
garis AF sebagaimana diperlihatkan pada gambar 3.3.
Gambar 3.3
P Q
R S
T U
V W
𝛼
Modul Matematika SMA 176
Jadi, jarak antara garis AE dan garis BF yang sejajar sama
dengan panjang rusuk AB = 6 cm.
6.2.4.3 Rangkuman
1. Dua garis dikatakan sejajar jika kedua garis itu terletak pada
sebuah bidang dan tidak mempunyai titik persekutuan.
2. Jarak antara garis g dan garis h yang sejajar adalah jarak antara
sebuah titik pada salah satu garis ke garis lainnya.
3. Jarak antara dua bidang yang sejajar adalah jarak salah satu titik
pada suatu bidang terhadap bidang lain, atau sebaliknya.
6.2.4.4 Test Formatif
1. Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 5 cm. Titik A
adalah titik tengah RT. Hitunglah jarak antara titik V dan titik A!
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Gambar
dan hitunglah jarak antara garis AE dan garis CG !
3. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk-rusuk AB = 5
cm, BC = 4 cm, dan AE = 3 cm. Hitunglah jarak antara garis AE dan
bidang BCGF.
4. Dengan menggunakan balok yang sama seperti soal nomor 3,
hitunglah jarak antara bidang ABCD dan bidang EFGH.
5. Dengan menggunakan kubus yang sama seperti soal nomor 2,
hitunglah jarak antara garis AE dan garis GH.
Modul Matematika SMA 177
6.2.4.5 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
………………,……………20…
Modul Matematika SMA 178
6.2.5 Kegiatan Belajar 4
6.2.5.1 Sudut antara garis dengan garis
Sebelum mempelajari sudut antara garis dengan garis, apakah
kalian masih ingat materi sebelumnya tentang kedudukan dua
garis?
Kedudukan antara dua garis ada empat yaitu :
Dua garis saling berimpit
Dua garis saling berpotongan
Dua garis saling bersilangan
Setelah mengingat materi tersebut,kita bisa mempelajari
tentang sudut antara dua garis,lakukan kegiatan berikut !!!
Kegiatan 1
1. Siapkan dua lidi, kemudian sejajarkan atau himpitkan kedua lidi
tersebut seperti gambar dibawah ini
g
h
Perhatikan gambar diatas,berapakah besar sudut yang dibentuk
pada garis tersebut?
2. Siapkan dua lidi, kemudian usahakan dengan kondisi silang
berpotongan seperti gambar dibawah ini:
Perhatikan gambar diatas!
Adakah sudut yang terbentuk?
Berapakah besar sudut yang dibentuk pada garis tersebut?
g
Modul Matematika SMA 179
3. Setiapkan dua lidi,kemudian usahakan kondisinya saling
berpotongan seperti gambar di bawah ini:
Perhatikan gambar diatas!!
Adakah sudut yang terbentuk?
Berapakah besar sudut yang dibentuk pada garis tersebut?
Solusi Cerdas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. titik P
pertengahan rusuk DC. Carilah :
a. Cosinus sudut antara garis AH dan garis HP !
b. Sinus sudut antara garis AH dan BE !
Jawab :
a. Panjang garis AH = 42 HP = 25 AP = 25
Dalam segitiga AHP, sudut alfa adalah sudut antara garis
AH dan HP.
AP2 + AH
2 = HP – 2 AH.HP cos
(25)2 = (2)
2 + (25)
2 – 2 (42).25.cos
20 = 32 + 24 – 1610.cos
cos = 36
16 10 =
1
510
P
g’
g
h‟
h
Modul Matematika SMA 180
Jadi nilai dari cosinus sudut antara garis AH dan garis HP
= 1
510
b. Tarik garis dari BG yang sejajar AH, garis asal sejajar
dapat dipindahkan. Sudut antara garis BE dan garis AH
sama dengan sudut garis BE dan BG. Dalam ∆𝐸𝐵𝐺, sudut
𝛽 adalah sudut antara garis BE dan BG, ∆𝐸𝐵𝐺 adalah
segitiga sama sisi, jadi 𝛽 = 60° sin 60° = 1
23. Jadi
nilai dari cosinus sudut antara garis BE dan AH = 1
23
Catatan
1. Dua buah garis di katakana berhimpit jika kedua garis itu
mempunyai tak hingga banyaknya titik persekutuan (lebih
dari satu titik persekutuan)
2. Dua buah garis dikatakan sejajar jika kdua garis itu terletak
pada sebuah bidang dan tidak mempunyai titik persekutuan
3. Dua garis dikatakan bersilangan jika kedua garis tersebut
tidak terletak pada satu bidang
Tugas Mandiri
1. Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH yang mempunyai
rusuk 4cm,hitunglah besar sudut antara berikut
a. Rusuk DE dan rusuk HF
b. Rusuk AH dan rusuk BF
c. Rusuk DE dan rusuk BG
E
D
A G
B A
F
H
C
Modul Matematika SMA 181
6.2.5.2 Sudut Antara Garis dan Bidang
Pada bagian sub bab ini akan dibahas besar sudut antara garis
dengan bidang. Masih ingatkah kalian dengan kedudukan antara
garis dengan bidang.
Kedudukan antara garis dengan bidang ada tiga yaitu :
Garis terletak pada bidang
Garis sejajar bidang
Garis menembus bidang
Setelah mengingat materi tersebut,kita bisa mempelajari tentang
kedudukan garis dengan bidang, lakukan kegiatan berikut untuk
mengetahui besar sudut antara garis dengan bidang.
Kegiatan 2
1. Letakkan sebuah lidi diatas buku tulis seperti gambar
berikut
Perhatikan kondisi tersebut
Adakah sudut diantara garis dan bidang?
Berapakah sudutnya?
2. Letakkan lidi diatas buku, hingga tidak ada titik yang
bertemu.
Seperti di bawah ini
Perhatikan kondisi tersebut
Adakah sudut diantara garis dan bidang?
Berapakah sudutnya?
g
g
Modul Matematika SMA 182
3. Letakkan sebuah lidi sampai menembus buku, seperti
gambar di bawah ini
g
Perhatikan kondisi tersebut
Adakah sudut diantara garis dan bidang?
Berapakah sudutnya?
Solusi Cerdas
Diketahui bidang alas dari limas T.ABCD beerbentuk persegi
panjang dengan AB = 12, AD = 5 cm dan
TA=TB=TC=TD=7cm
a. Hitunglah panjang AC dan tinggi limas TO
b. Hitunglah sin (TA,alas ABCD)
Jawab :
Penyelesaian :
a. AC = (𝐴𝐵)2 + (𝐵𝐶)2
AC = (12)2 + (5)2
AC = 169 = 13
Tinggi limas TO :
TO = (𝑇𝐶)2 + (𝑂𝐶)2
TO = (7)2 − (6,5)2
TO = 49 – 42,25 = 6,75 =2 3
3
b. Sudut antara rusuk TA dengan bidang alas ABCD adalah
TAO, sebab proyeksi TA pada bidang alas ABCD adalah
Modul Matematika SMA 183
AO.TAO adalah segitiga siku-siku di O,sehingga sin
TAO = 𝑇𝑂
𝑇𝐴 =
2 3/3
7 =
33
14
Catatan
A. Proyeksi suatu garis ke suatu bidang merupakan himpunan
titik-titik yang proyeksi nya ke bidang tersebut dari titik –
titik pada garis ersebut.
B. Proyeksi garis ke suatu bidang adalah garis, jika bukan maka
garis dan bidang tersebut saling tegak lurus
C. Sudut antara garis g dan bidang 𝛼 dilambangkan dengan
(g, 𝛼)
Latihan Soal
T.ABCD adalah limas tegak beraturan dengan alas
berbentuk las 4m, dan rusuk tegak 8m, hitunglah cosinus sudut
antara garis TQ dan bidang alas dengan Q titik tengah AD
B
C D
P Q
T
8 m
A
4 m
Modul Matematika SMA 184
0
T
6.2.5.3 Sudut antara dua bidang
Masih ingatkah materi sebelumnya tentang kedudukan bidang
dengan bidang
Kedudukan antara bidang dengan bidang ada 3 yaitu:
Dua bidang yang saling berhimpit
Dua bidang yang saling berpotongan
Dua bidang yang sejajar
Setelah mengingat materi tersebut, perhatikan gambar dibawah ini
Anda mengetahui bahwa dan 𝛽 berpotongan,dengan garis
potongnya adalah (,𝛽). Dari titik A pada dibuat garis AT
(,𝛽) dan dari titik B pada 𝛽 dibuat garis BT (,𝛽).
Sudut yang terbentuk oleh garis AT dan garis BT (ATB ) adalah
sudut antara dua bidang yang berpotongan (sudut antara bidang
dan bidang 𝛽). ATB disebut sudut tumpuan, besarnya 0 derajat
sampai 90 derajad. Adapun bidang ATB (bidang 𝛾) disebut sebagai
bidang tumpuan. Jika ATB = 0° maka 𝛼 DAN 𝛽 berimpit, jika
ATB 90 maka dan 𝛽 saling tegak lurus
Solusi Cerdas
Bidang empat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk 6cm.
Hitunglah besar sudut antara sudut bidang TAB dengan bidang alas
ABC
Jawab :
Diketahui : rusuk bidang segi empat 6cm
Ditanyakan : besar sudut antara bidang TAB dengan bidang alas
ABC
B
𝛽
(,𝛽) A
(𝛽,)
Modul Matematika SMA 185
Penyelesaian :
ΔTPB siku-siku di P,BT = 6 cm dan PB = 3 cm,sehingga :
TP = TB2 – PB
2
TP = 62 – 3
2
TP = 27 = 33
ΔPBC siku-siku di P,BC = 6 cm dan PB = 3 cm,sehingga
PC = BC2 – PB
2
TC = 62 – 32
TC = 27 = 33
Menggunakan rumus kosinus pada ΔTPC diperoleh :
TC2 = TP
2 + PC
2 - 2.PC.TP. cos sudut TPC
Cos TPC = 27+27−36
54 =
18
54 =
1
3
Dari cos TPC = 1
3 dioeroleh diperoleh TPC = 70,5
Catatan
1. Sudut yang dibentuk oleh bidang dan bidang jika bidang
yang satu sejajar atau terletak pada bidang yang lain maka
sudut yang terbentuk adalah 0°
2. Sudut antara dua bidang yang berpotongan (sebuuah
garis pada bidang pertama dan sebuah garis pada bidang yang
lainnya) garis-garis itu tegak lurus terhadap garis potong antara
kedua bidang tersebut.
B
A
C
T
P
Modul Matematika SMA 186
Latihan Soal
Pada limas segi emapat T.ABCD, bidang alas ABCD
berbentuk persegi panjang dengan AB=8cm,BC=6cm, dan
TA=TB=TC=TD=13 cm. sudut adalah sudut antara bidang
TBC dengan alas bidang ABCD,hitunglah besar sudut ∝
6.2.5.4 Tes Forrmatif
1. Suatu kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10cm. Tentukan jarak antara
bidang BDE dengan bidang CFG?
2. Tentukan jarak titik C ke garis HF pada kubus ABCD.EFGH yang
panjang rusuknya 5?
3. Pada kubus ABCD.EFGH apakah AC proyeksi DG pada bidang
ABCD
A
T
B
C D
Modul Matematika SMA 187
6.2.5.5 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
………………,……………20…
Modul Matematika SMA 188
6.3 EVALUASI
6.3.1 Soal Evaluasi
1) Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan :
a. Titik yang berada pada garis DF (skor 5)
b. Titik yang berada di luar bidang BCHE (skor 5)
c. Garis yang sejajar dengan CF (skor 5)
2) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah
jarak antara : (skor
a. Titik H ke garis AC (skor 4)
b. Titik B ke garis AG (skor 4)
c. Garis AE dan CG (skor 4)
d. Garis AB dan CDHG (skor 4)
e. Bidang HFC dan DBE (skor 4)
3) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a = 6 cm. Tentukan
jarak titik C ke bidang AFH ! (skor 25)
4) Diketahui limas dengan alas berbetuk persegi panjang, dengan AB = 5
cm, AD = 7 cm, TA = TB = TD = 17 cm. Hitung jarak titik T ke bidang
ABCD ! (skor 25)
5) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah
jarak antara:
a. AE ke CG (skor 10)
b. ABCD dan EFGH (skor 5)
6) Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. jarak titik A ke C adalah
6cm
D
G A
B A
F
H
C
E
Modul Matematika SMA 189
7) ABCD.EFGH adalah sebuah kubus, jika 𝛼 adalah sudut antara diagonal
AG dan rusuk AD,maka cos 𝛼 ……..
8) Garis a tegak lurus dengan bidang A, garis b tegak lurus dengan bidang
B. Jika c adalah garis potong A dan B maka ….
9) Pada balok ABCD.EFGH jika dipotong menurut bidang ABGH dan
bidang CDEF akan diperoleh….
10) Manakah yang disebut sebagai bidang frontal…
D
G A
B A
F
H
C
E
D
G A
B A
F
H
C
E
Modul Matematika SMA 190
6.3.2 Lembar Penilaian
Nama :...........................
Kelas :...........................
No. Absen :...........................
No. Tugas :..........................
Judul Tugas :...........................
No. Kriteria Rentang Nilai Nilai Prestasi
Tes Formatif Evaluasi
1. Kegiatan belajar 1 0 – 30
2. Kegiatan belajar 2 0 – 30
3. Kegiatan belajar 3 0 - 10
4. Evaluasi 0 - 100
JUMLAH 0 – 100
JUMLAH (jumlah X 60%) (jumlah X 40%)
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus
..............................,.......................20....
Modul Matematika SMA 192
7.1 PENDAHULUAN
7.1.1 Deskripsi
Modul ini berisi teori tentang Statistika biasanya dibagi dalam
beberapa aspek diantaranya yaitu penyajian data, ukuran pemusatan,
ukuran letak data, dan ukuran penyebaran data. Tetapi dalam modul
hanya akan membahas tentang Penyajian data dan materi materi dasar
tentang statistika.
7.1.2 Prasyarat
Dalam melaksanakan modul ini diperlukan prasyarat telah
menguasai kompetensi yang ada pada modul-modul tentang mencari
dan menghitung data pada kompetensi sebelumnya, juga harus
membaca mengenai data, populasi, dan sampel. jadi sebelum
menghitung data kita harus tau mengenai data apa yang harus dihitung
dan dihitung dengan menggunakan apa.
7.1.3 Petunjuk Penggunaan Modul
1. Pelajari daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan
teliti.Karena dalam skema modul akan tampak kedudukan modul
yang sedang anda pelajari dengan modul-modul yang lain.
2. Kerjakan soal-soal dalam cek kemampuan untuk mengukur sampai
sejauh mana pengetahuan dan kemampuan yang telah anda miliki.
3. Apabila dalam cek kemampuan dapat mengerjakan dengan lancar
maka dapat dilanjutkan evaluasi, lebih baik jika dapat menjawab
setidaknya 7 soal atau lebih.
4. Dalam mencari dan menghitung data, anda harus memahami data
apa yang akan anda hitung dan menggunakan penyajian data apa.
5. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam
penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian
kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan.
6. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat,
jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah
Modul Matematika SMA 193
mempelajari modul ini.lebih baik jika lengkap beserta rumus dan
proses jawabanya.
7. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu
konsultasikan hasil tersebut pada guru / instruktur.
8. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk
ditanyakan pada guru/instruktur pada saat kegiatan tatap muka.
Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul
agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan.
9. Modul ini bersangkutan antara materi saru dengan materi yang
lainya, jadi disarankan untuk membaca dari awal.
7.1.4 Tujuan Akhir
Setelah melaksanakan seluruh kegiatan belajar dalam modul ini
diharapkan anda dapat memiliki kemampuan mencari dan menyajikan
data dengan cermat dan tepat. Dan dapat menggambar grafik, tabel, dan
diagram dengan bagus. karena data statistik sangat dibutuhkan dalam
kehidupan sehari-hari. Disamping itu ada beberapa tujuan pembelajaran
yang diantarannya yaitu:
1. Tujuan Aspek Sikap
Dengan mengikuti kegiatan yang ada di modul ini anda
diharapkan:
a. Memiliki motivasi untuk terus belajar aktif secara mandiri
b. Memiliki kemampuan bekerja sama melalui diskusi kelompok
c. Memiliki tanggung jawab sosial dengan menghasilkan
pemahaman diantara semua anggota kelompok
2. Aspek Pengetahuan
Dengan memahami isi dan materi di dalam modul ini anda
diharapkan
a. Dapat menentukan rata-rata, modus, median dari suatu data
b. Memiliki kemampuan dalam menentukan kuartil, desil, presentil
suatu data
c. Dapat menentukan jangkauan, jangkauan antar kuartil, simpangan
kuartil, simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku
Modul Matematika SMA 194
d. Menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang
berkaitan dengan statistika
3. Aspek Keterampilan
Dengan mempelajari modul ini anda diharapkan :
a. Memiliki kemampuan dalam menyajikan data tunggal maupun
kelompok
b. Kemampuan menentukan hasil penghitungan data dari data
tunggal dan data kelompok
Mampu membuat kesimpulan serta fungsi dari
pembelajaran data-data dalam statistika
7.1.5 Kompetensi
Kode Unit :
Judul unit : STATISTIKA Menyajikan Data (12 jam)
Uraian unit : Unit ini berlaku untuk pekerjaan menyajikan suatu data
menggunakan alat tulis menulis dan penggaris.
Sub Kompetensi Indikator
1. Melakukan persiapan
memahami tentang
pengertian dasar statistika.
a. mengenal apa itu statistika
b. mengenal apa itu data
c. mengenal data menurut cara
memperolehnya
d. mengenala data menurut sifatnya
e. mengenal apa itu data tungggal
f. mengenal apa itu data kelompok
2. Melakukan penghitungan
data tunggal dengan
berbagai bentuk penyajian
data.
a. Menghitung data dengan penyajian data
dalam bentuk tabel
b. Menghitung data dengan penyajian data
dalam bentuk diagram garis
c. Menghitung data dengan penyajian data
dalam diagram lingkaran
d. Menghitung data dengan penyajian data
dalam diagram batang
3. Melakukan penghitungan
data kelompok dengan
berbagai bentuk penyajian
data
a. Menghitung data dengan penyajian data
dalam bentuk tabel
b. Menghitung data dengan penyajian data
dalam bentuk diagram(histogram)
Modul Matematika SMA 195
4. Melakukan pengolahan
data dengan konsep
ukuran pemusatan
a. Mengalisis data dan menentukan mean dari
data tunggal dan kelompok
b. Memahami dan menentukan nilai median
dari suatu data tunggal dan kelompo
c. Menghitung median dari suatu data tunggal
dan kelompok
5. Melakukan pengolahan
data dengan konsep
ukuran letak data
a. Memahami, mengenali pengertian, konsep
serta rumus kuartil suatu data tunggal dan
kelompok
b. Memahami, mengenali pengertian, konsep
serta rumus desil suatu data tunggal dan
kelompok
c. Memahami, mengenali pengertian,konsep
serta rumus presentil suatu data tunggal dan
kelompok
6. Melakukan pengolahan
data dengan konsep
penyebaran data
a. Memahami dan mengenali pengertian,
konsep serta rumus jangkauan suatu data
tunggal maupun kelompok
b. Memahami dan mengenali pengertian,
konsep serta rumus jangkauan antarkuartil
suatu data tunggal maupun kelompok
c. Memahami dan mengenali pengertian,
konsep serta rumus simpangan kuartil suatu
data tunggal maupun kelompok
d. Memahami dan mengenali pengertian,
konsep serta rumus simpangan rata-rata
suatu data tunggal maupun kelompok
e. Memahami dan mengenali pengertian,
konsep serta rumus ragam suatu data
tunggal maupun kelompok
f. Memahami dan mengenali pengertian,
konsep serta rumus simpangan baku suatu
data tunggal maupun kelompok
7. Mencari data dan
menyajikan dalam bentuk
data statistika dan
mengolah data dalam
konsep ukuran pemusatan,
ukuran letak data, dan
penyebaran data
a. Mendiskusikan materi yang telah
didapatkan
b. Bekerja sama dalam menyajikan data
c. Memahami dan meneliti data yang telah
dibuat
d. Mengambil kesimpulan dari data-data serta
pengolahan yang telah dilakukan
Modul Matematika SMA 196
Persyaratan Unjuk Kerja
1. Unit ini berlaku untuk pekerjaan mencari dan menyajikan suatu data
dengan menggunakan data yang telah ada, atau data yang telah dicari
sebelumnya, yang dapat dilakukan di sekolah atau tepat lain.
2. Tersedia acuan untuk mencari dan menyajikan suatu data dalam berbagai
bentuk.
3. Disini tidak membutuhkan peralatan apapun, tetapi jika kita mencari data
dengan menggunakan grafik atau diagram maka dibutuhkan penggaris
ataupun jangka agar pekerjaan menjadi lebih rapi.
4. Tersedia sumber informasi yang berupa
buku yang menyangkut mengenai statistika dalam mencari dan menyajikan
data, disarankan untuk buku yang terpercaya.
Acuan Penilaian
1. Unit kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada peserta uji di
sekolah maupun di tempat lain dengan standar buku pegangan yang sesuai.
2. Aspek-aspek kritikal yang dinilai:
Mengenali istilah statistika dan sejenisnya
Memahami cara mencari dan menghitung data
Mampu menggambar sesuai dengan penyajian data
3. Pengetahuan pendukung yang dibutuhkan:
Mengenali langkah-langkah dalam menentukan data
Menunjukkan pemahaman tentang data yang akan dihitung
Menghitung menggunakan pecahan, desimal, persen
Mempelajari tentang diagram, grafik, dan tabel.
Dapat mencari data di lapangan.
4. Sikap yang dituntut:
Bekerja dengan rapi dan bersih
Bekerja dengan ketelitian dan penghitungan dengan benar
Menghargai produktifitas dalam bekerja
Efisien dan optimal dalam bekerja
Menghargai mutu hasil pada setiap langkah kerjanya
Mengutamakan proses daripada hasil.
Bersikap positif dan terbuka terhadap penilaian hasil pekerjaan oleh atasan
Teliti dalam menghitung dan menggambar
Modul Matematika SMA 197
7.1.6 Cek Kemampuan
Petunjuk :
Berilah tanda ( ), pada kolom Jawaban : Ya atau Tidak jawaban
yang anda pilih
No. Pertanyaan Jawaban
Ya Tidak
1. Apakah anda mengenal tantang statistika?
2. Apakah anda mengenal tentang data?
3. Apakah anda dapat menggambar lingkaran?
4. Apakah anda dapat menggambar tabel?
5. Apakah anda mengetahui tentang diagram?
6. Apakah anda dapat menggambar diagram garis?
7. Apakah anda mengetahui tentang data tunggal?
8. Apakah anda mengetahui cara mengurutkan data?
9. Apakah anda mengetahui perbedaan data tunggal dan
data kelompok ?
10. Apakah anda dapat menghitung tentang data
kelompok?
11. Apakah anda dapat menggambar grafik?
12. Apakah anda mengetahui tentang frekuensi ?
13. Apakah anda mengetahui tentang penulisan interval ?
14. Apakah anda mengenal statistika deskriptif ?
Skore ( Nilai )
....................,...............20.......
Modul Matematika SMA 198
PETA KONSEP
STATISTIKA
Penyajian data
Pengenalan
Apa itu statistika
Apa itu data
mengenal data menurut
cara memperolehnya
mengenala data menurut
sifatnya
mengenal apa itu data
tungggal
Mengenal apa itu data
kelompok
Data tunggal
Bentuk tabel
Bentuk diagram
(histogram)
Data tunggal
Bentuk tabel
Bentuk diagram
Modul Matematika SMA 199
7.2 PEMBELAJARAN
7.2.1 Rencana Belajar Siswa
1) Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah uraian tujuan kegiatan belajar,
agar mengetahui kemampuan apa yang akan dicapai pada setiap kegiatan.
2) Peralatan dan bahan yang harus dibawa pada pertemuan atau tatap muka
berikutnya harus dibaca sebelum kegiatan dilaksanakan.
3) Sebelum melaksanakan kegiatan harus memahami terlebih dahulu setiap
langkah kerja yang dilaksanakan, apabila kurang jelas dapat menanyakan
kepada guru/instruktur.
4) Kerjakanlah setiap latihan dengan bersungguh-sungguh agar kemampuan
anda yang sebenarnya diketahui
7.2.2 Kegiatan belajar 1
7.2.2.1 Mengenal dasar-dasar Statistika
Dasar-dasar Statistika, sebelum kita mempelajari tentang
penyajian datakita harus mengetahui dulu tentang dasar-dasar
mengenai statistika. Antarilain adalah:
a. Pengertian statistika
Statistika dalam pengertian sebagai ilmu dibedakan
menjadi 2 yaitu:
1). Statistika deskriptif (perian) mempunyai tujuan untuk
mendeskripsikan atau memberi gambaran objek yang
diteliti sebaimana adanya tanpa menari kesimpulan atau
generalisasi. Dalam deskriptif ini dikemukakan cara-cara
penyajian data dalam bentuk tabel, diagram, mean, modus,
median, serta simpangan baku.
2). Statistika inferensial(induktif) mempunyai tujuan untuk
penarikan kesimpulan, sebelum menarik kesimpulan
Modul Matematika SMA 200
dilakukan suatu dugaan yang dapat diperoleh dari statistika
deskriptif.
Dari pengertian diatas dapat disimpulkan bahwa statistika
adalah ilmu pengetahuan dengan cara-cara pengumpulan,
penyajian, pengolahan, analisis data serta penarikan kesimpulan.
b. Pengertian data
Setiap kegiatan yang berkaitan dengan statistik, selalu
berhubungan dengan data. Menurut kamus besar bahasa
indonesia pengertian data adalah keterangan yang benar dan
nyata. Data adalah bentuk jamak dari datum, datum adalah
keterangan atau informasi yang diperoleh dari satu pengamatan
sedangkan data adalah segala keterangan atau informasi yang
dapat memberikan gambaran tentang suatu keadaan.
c. Data menurut cara memperolehnya
1). Data primer, data yang dikumpulkan lansung oleh peneliti
(suatu organisasi atau perusahaan). Contoh: pemerintah
melalui biro pusat statistik melakukan sensus penduduk
tahun 1980 untuk memperoleh data penduduk di negara
Indonesia.
2). Data sekunder, data yang dikutip dari sumber lain.
Contoh: suatu perusahaan memperoleh data dari laporan
yang ada dari biro pusat statistik.
d. Data menurut sifatnya
1) Data kualitatif, data yang tidak dalam bentuk angka.
Contoh: mutu barang di supermarket “X” bagus atau jelek.
2). Data kuantitatif, data dalam bentuk angka.
Contoh: data hasil ulangan mata pelajaran matematika siswa
kelas 6 di SD Turban adalah 6,7,6,7,8,9,8,..
e. Data tunggal
Data tunggal merupakan data yang berkuantitas kecil dan
suatu statistik, disebut sebagai data tunggal jika data tersebut
Modul Matematika SMA 201
hanya memuat sartu variabel data yang ingin kita ketahui dari
objek populasi.
Beberapa Cntohnya adalah :data nilai ulangan siswa, dat
tinggi siswa, dan data tingkat keuntungan suatu usaha. Penyajian
data yang akan dibahs dalam modul ini tabel, diagaram, grafik.
f. Data kelompok
Jika data tunggal yang kita hitung menjadi semakin
banyak maka dalam penyajianya akan kurang efektif dan efisien.
Oleh karena itu untuk dapat lebih menyederhanakan penyajian
data dilakukan dengan mengelompokan data dalam interval
kelas tertentu.
7.2.2.2 Menghitung data tunggal dengan berbagai bentuk penyajian
data
a. Penyajan data dalam bentuk tabel
setidaknya ada dua cara menyajikan data dalam
bentuk tabel yaitu :
1. Daftar baris-kolom
2. Daftar distribusi frekuensi
Daftar baris kolom
Seorang pengawas dari departemen nasional ditugaskan
untuk mendata banyak anak-anak yang bersekolah di desa
suka hati tahun 2006 atau 2007. Dia mencatat ada 1.562
anak bersekolah di tingkat SD yang terdiri dari 687 laki-laki
dan 875 perempuan , 1.451 di tingkat SMP yang terdiri atas
592 Laki-laki dan 859 perempuan, 1.118 di tingkat SMA
yang terdiri dari 576 laki-laki dan 542 perempuan, dan ada
443 anak di tingkat SMK yang terdiri ats 216 laki-laki dan
227 perempan.
Dia akan membuat laporan mengenai data ini, bentuk data
mentah seperti di atas akan menyulitkan untuk dibaca. Dia
menyajikan data dalam bentuk yang lebih mudah dibaca,
yaitu tabel.
Modul Matematika SMA 202
Banyak siswa desa suka hati menurut tingkat sekolah dan jenis
kelamin tahun 2006/2007
Tingkat
sekolah
Banyaknya siswa
Jumlah siswa Laki-laki perempuan
SD 687 875 1.562
SMP 592 859 1.451
SMA 576 542 1.118
SMK 216 227 443
Total 2.071 2.503 4.574
Daftar distribusi frekuensi
Berkut ini adalah daftar nilai ulangan matematika dari 48
siswa kelas XI E yang tertera pada rapor
7 6 7 6 6 8 6 7 7 6 6 6 6 4 7 7
6 7 8 6 7 7 7 6 7 7 7 5 5 6 7 6
7 6 6 6 7 6 5 7 7 6 6 8 8 7 6 6
Misalkan X1 = 4, X2 = 5, X3 = 6, X4 = 7, X5 = 8
f1 adalah frekuensi dari X1, atau banyaknya yang
bernilai 4, => f1 = 1
f2 adalah frekuensi dari X2, atau banyaknya yang
bernilai 5, => f2 = 3
f3 adalah frekuensi dari X3, atau banyaknya yang
bernilai 6, => f3 = 21
f4 adalah frekuensi dari X4, atau banyaknya yang
bernilai 7, => f4 = 19
f5 adalah frekuensi dari X5, atau banyaknya yang
bernilai 5, => f5 = 4
Modul Matematika SMA 203
data di atas bisa dirangkum dalam tabel
Nilai (Xi) Frekuensi (fi)
X1 4 1
X2 5 3
X3 6 21
X4 7 19
X5 8 4
Total 𝑓𝑖
7
𝑖
= 40
Tabel ini disebut daftar distribusi data tunggal atau
daftar distribusi frekuensi tunggal. Jumlah total frekuensi
selalu sama dengan ukuran data
Dari penyajian data diatas diperoleh banyak kegunaan
penyajian data dalam bentuk tabel, antara lain data terlihat
rapi sehingga memudahkan dalam pengolahan data.
b. Penyajian data dalam bentuk diagram
1. Diagram Garis
Pada penyajian data kali ini kita akan belajar
menyajikan data dengan diagram garis. Sebenarnya diagram
garis dapat dikatakan sebagai diagram yang digambarkan
berdasarkan satu waktu, biasanya waktu yang digunakan
dalam bulan atau tahun. Untuk membuat diagaram garis kita
membutuhkan dua sumbu.
Berikut adalah contoh diagram garis untuk kurs
rupiah terhadap dollar AS dari tanggal 8 januari sampai 12
januari tahun 2007.
Cara membuat diagram garis cukup mudah, ikuti tiga
langkah berikut :
a) Letakkan data pada sumbu horizontal dengan jarak yang
sama, dan nilai jumlah pada sumbu vertikal.
b) Tentukan nilai data yang bersesuaian
c) Hungkan dua data yang bertetangga dengan garis lurus
Modul Matematika SMA 204
9,530 9,515 9,560 9,558 9,635
8,530 8,515 8,560 8,558 8,635
7,500
8,000
8,500
9,000
9,500
10,000
08-Jan 09-Jan 10-Jan 11-Jan 12-Jan
kurs uang kertas asing
Kurs uang kertas asing
Kurs jual
Kurs beli
Melalui grafik diatas kita dapat dengan mudah
membaca hasil data nilai tukar rupiah dibandingkan dengan
menggunakan tabel. Misalnya, kita dapat dengan mudah
menentukan nilai tukar kurs rupiah tertinggi ataupun
terendah dan pada saat kapan hal itu terjadi .
Dari masalah dan kegiatan diatas dapat kita nyatakan
bahwa diagram garis adalah suatu penyajian data statistik
dengan menggunakan garis-garis lurus yang terhubung
dengan komponen-komponen pengamatan. Diagram garis
biasanya digunakan untuk data tentang keadaan dan
perkembangan. Biasanya data bersifat kontinu pada ukuran
satuan. Misalnya, kecepatan mobil dalam suatu perjalanan,
nilai tukar rupiah, dan pertumbuhan jumlah penduduk pada
suatu daerah.
2. Diagram Lingkaran
Penyajian data dalam bentuk diagram lingkaran
didasarkan pada sebuah lingkaran yang dibagi-bagi dalam
beberapa bagian sesuai dengan macam data dan
perbandingan frekuensi macam-macam data yang disajikan.
Modul Matematika SMA 205
beras
terigu
kacang tanah
kedelai
Contoh membuat diagaram lingakaran:
Data bahan pangan di KUD Usaha Jaya
Langkah-langkah dalam membuat diagram lingkaran
adalah sebagai berikut:
a) Ubah nilai data absolut ke dalam bentuk persentase untuk
masing-masing data.
b) Tentukan juring sudut dari masing-masing data yang ada
dengan rumus
𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑥 =𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑥
𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑠𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢 𝑑𝑎𝑡𝑎× 360°
c) Buat sebuah lingkaran dengan menggunakan jangka, ukuran
lingkaran jagan terlalu besar dan jangan terlalu keci.
d) Masukan data yang pertama dengan menggunakan busur
derajat dimulai dari titik tertinggi.
e) Masukan data-data lainya kedalam lingaran sesuai juring
susut data yang telah dihitung sesuai dengan arah jarum jam.
f) Setiap data yang terdapat dalam lingkaran, hendaknya diberi
arsir atau warna yang berbeda.
g) Masing-masing data yang ada dalam lingkaran masing-
masing diberi identitas.
(a) Nama data disertai prsentasenya, atau
(b) Nilai persentasenya saja, sedangakan nama data
dicantumkan ada catatan tersendiri yang terletak dilar
lingkaran disertai dengan arsir atauwarna yang sesuai
seperti yang terdapat di dalam lingkaran.
Modul Matematika SMA 206
0
20
40
60
80
100
1 2 3 4 5 6
jum
lah
sis
wa
jumlah siswa di SD sari mulyo
3. Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berdasarkan data
berbentuk kategori. Diagram ini banyak digunakan untuk
membandingkan data maupun menunjukan hubungan suatu
data dengan data keselruhan. Diagram ini menyajikan
datanyan dalam bentuk batang. Sebuah batang menunjukan
jumlah tertentu dari data
Langkah-langkah dasar dalam pembuatan digram batang
1) Buat sumbu mendatar dan sumbu tegak yang saling
tegak lurus
2) Sumbu mendatar dibagi menjadi beberapa bagian skala
yang sama, demikian pula sumbu tagaknya: skala pada
sumbu mendatar dengan skala pada sumbu tegak tidak
perlu sama.
3) Jika diagram batang dibuat tegak, maka sumbu mendatar
menyatakan keterangan atau fakta mengenai kejadian,
sumbu tegak menyatakan frekuensi keterangan
4) Jika digram batang dibuat horizontal , maka sumbu tegak
menyatakan keterangan atau fakta mengenai peristiwa.
Sumbu mendtar menyatakan frekuensi keterangan.
5) Tunjukan satu batang untuk mewakili frekuensi data
tertentu
6) Arsir atau warnai batang yang memenuhi frekuensi data
7) Variasi diagram batang, dapat dibuat sesuai keahlian
guru.
Contoh diagram batang :
Modul Matematika SMA 207
0 20 40 60 80 100
1
2
3
4
5
6
jumlah siswa
kela
s
Atau
7.2.2.3 Rangkuman
a. Penyajan data dalam bentuk tabel setidaknya ada dua cara menyajikan
data dalam bentuk tabel yaitu :
Daftar baris-kolom
Daftar distribusi frekuensi
b. diagram garis adalah suatu penyajian data statistik dengan
menggunakan garis-garis lurus yang terhubung dengan komponen-
komponen pengamatan. Diagram garis biasanya digunakan untuk data
tentang keadaan dan perkembangan. Biasanya data bersifat kontinu
pada ukuran satuan.
c. Penyajian data dalam bentuk diagram lingkaran didasarkan pada
sebuah lingkaran yang dibagi-bagi dalam beberapa bagian sesuai
dengan macam data dan perbandingan frekuensi macam-macam data
yang disajikan
d. Diagram batang adalah diagram berdasarkan data berbentuk kategori.
Diagram ini banyak digunakan untuk membandingkan data maupun
menunjukan hubungan suatu data dengan data keselruhan. Diagram
ini menyajikan datanyan dalam bentuk batang
Modul Matematika SMA 208
7.2.2.4 Tes Formatif
1. Rara ditugaskan guru untuk melakukan suvey data terhadap
keuntungan penjualan barang atau jasa selama stu tahun melalui buku
koperasi sekolah. Data yang diperoleh sebagai berikut (dalam satuan
ribu rupiah):
Keuntungan penjualan buku tulis, pensil, ballpoint, keping cd, tinta
printer, makanan ringan, kertas hvs, kertas folio, minuman ringan dan
air mineral, seragam sekolah, buku olahraga, seragam olahraga, buku
bacaan, majalah, komik, dan fotocopy secara berturut turut adalah
400, 300, 550, 200, 325, 540, 350, 450, 750, 900, 500, 600, 300, dan
525. Sajikan dalam bentuk tabel. Dan carilah 5 keuntungan tertinggi.
2. Ayah beni bekerja di Amerika dan telah pulang ke Indonesia. Ia ingin
menukarkan uang hasil tabungan selama bekerja agar dapat dipakai di
tanah air untuk memenuhi kebutuhan mereka. Iapun mengamati harga
beli dan harga jual mata uang dollar Amerika selama beberapa hari.
Berikut hasil pencatatan nilai tukarrupiah terhadap dollar yang
diamati.
Tabel nilai tukar rupiah
Tanggal 5 juli 6 juli 7 juli 8 juli 9 juli 10
juli
Kurs
jual
9.050 9.124 8.967 9.110 9.089 9.075
Kurs
beli
9.175 9.012 9.045 9.020 9.006 8.985
Ubahlah tabel dalam bentuk diagram garis garis dan tentukan di
tanggal berapakah nilai tukar rupiah tertinggi dan terendah!
3. Sebuah toko handphone mencatat penjualan produk smartphone yang
dijual dalam kurun waktu sebulan.
Jenis HP Tipe I Tipe II Tipe III Tipe IV Tipe V Tipe VI
Banyak Penjualan 35 25 20 40 10 50
Gambarkan data penjualan smartphone dari tabel berikut ke dalam :
a) diagram lingkaran
b) diagram batang
Modul Matematika SMA 209
7.2.2.5 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang
Nilai
Nilai
Prestasi
1 Benar cara, Hasil, Maupun
gambar
0 - 55
2 Cara Benar, hasil benar, gambar
salah
0 – 15
3 Cara benar, hasil salah, gambar
benar
0 - 15
4 Cara salah, hasil benar, gambar
benar
0 - 15
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
……………,……………..20…
Modul Matematika SMA 210
7.2.3 Kegiatan Belajar 2
7.2.3.1 Menghitung data kelompok dengan berbagai bentuk penyajian
data
1) Penyajian data dalam bentuk tabel
Disini akan disinggung mengenai peyajian dat dalam
bentuk tabel pada data berkelompok. Perhatikan data ulangan
matematika berikut :
32 45 55 60 65 70 74 85 40 50
56 62 68 71 80 90 44 55 60 65
35 50 56 61 66 70 78 85 42 54
58 65 68 72 82 95 68 74 84 95
Jika kita buatkan daftar distribusi frekuensi untuk data ini,
maka akan diperoleh data yang sangat panjang, terdiri dari 40
baris. Untuk menyiasati hal ini kita kita perkenalkan
peringkasan data alternatifyang disebut daftar distribusi
frekuensi berkelompok. Pada daftar distribusi frekuensi
berkelompok kiat menghitung frekuensi yang berkait dengan
pengamatan berkelompok, bukan pengamatan tunggal.
Nilai Frekuensi
32 1
35 1
...... .....
90 1
95 2
Modul Matematika SMA 211
Data ulangan harian matematika biasa kita tampilkan
dalam daftar distribusi frekuensi kelompok. Kelompok-
kelompok di kolom panling kiri misalnya 30-39, disebut kelas.
Nilai turus Frekuensi
30-39 II 2
40-49 IIII 4
50-59 IIII III 8
60-69 IIII IIII I 11
70-79 IIII II 7
80-89 IIII 5
90-99 III 3
Total 40
Berikut adalah beberapa istilah pada daftar distribusi
frekuensi berkelompok
1) Kelas
Data di ats dikelompokan ke dalm kelas-kelas
Kelas pertama adalah 30-39, memuat niali-nilai 32 dan 35
Kelas kedua adalah 40-49, memuat nilai-nilai 40, 42, 44, 45
dst.
2) Banyaknya kelas
Adalah banyaknya kelompok dalam tabel, data diatas
dikelompokan menjadi 7 kelompok. Dikatakan bahwa
banyak kelas = 7.
Atau dengan rumus k = 1 + (3,3) × log n
3) Batas kelas
Adalah nilai ujung yang terdapat pada kelas. Niali ujung
bawah (nilai yang terkecil dari kelas) disebut batas bawah,
dan nilai ujung atas (niali terbesar dari kelas) disebut batas
atas.
Pada data di atas, kelas bawah pertama adalah 30, batas
atasnya adalah 49 dan seterusnya.
4) Tepi kelas
Untuk data yang diperoleh dari hasil pengukuran dengan
ketelitian sampai satuan terdekat, tepi kelasnya adalah
Tepi bawah = batas bawah – 0,5
Modul Matematika SMA 212
Tepi atas = batas atas + 0,5
Pada data di atas kelas pertama adalah 30-39
Batas bawah adalah 30 = tepi bawahnya 30 - 0,5 = 29,5
Batas atasnya adalah 39 = tepi atasnya 39 + 0,5 = 39,5
Tepi bawah kelas pertama = 29,5 dan tepi atasnya = 39,5
Dengan cara yang sama diperoleh , tepi bawah kelas = tepi
bawah kelas kedua adalah 39,5 dan tepi atasnya adalah
49,5.
5) Lebar kelas
Lebar kelas di sebut juga panjang kelas atau interval kelas,
yaitu selisih tepi atas dan tepi bawah kelas
Pada data di atas lebar kelas pertama = 39,5 – 29, 5 = 10
dan lebar kelas kedua 49,5 – 39, 5 = 10 . saat membuat
daftar distribusi ,frekuensi data berkelompok , sebaiknya
lebar setiap kelasnya sama.
Atau dengan rumus , Panjang kelas = 𝑗𝑎𝑛𝑔𝑎𝑘𝑎𝑢𝑎𝑛
𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠
Perlu di cermati Bahwa pembentukan kelas interval tersebut
harus memuat semua data. Jika ada 1 data yang tidak
tercakup pada interval kelas maka terdapat kesalahan dalam
mendistribusikan data.
6) Titik tengah kelas
Titik tengah suatu kelas merupakan niali yang dianggap
mewakili kelas itu. Titik tengah kelas disebut juga nilai
tengah kelas atau rataan kelas.
Titik tengah kelas = 1
2 (batas bawah kelas + batas atas kelas)
dari tabel diatas dapat kita ketahui
titik tengah kelas pertama = 1
2 ( 30 + 39 ) = 34,5
titik tengah kelas kedua = 1
2 ( 40 + 49 ) = 44, 5
titik tengah kelas ketiga = 54, 5
Modul Matematika SMA 213
dengan titik tengah Xi, maka daftar distribusi frekuensi
dapat dinyatakan sebagai berikut
Kelas Xi Frekuensi (fi)
30-39 34,5 2
40-49 44,5 4
50-59 54,5 8
60-69 64,5 11
70-79 74,5 7
80-89 84,5 5
90-99 94,5 3
Total 40
2) Penyajian Penyajian data dalam bentuk diagram (histogram)
Data pada tabel distribusi frekuensi dapat disajikan dengan
menggunakan histogram. Prinsip penyajiannya hampir sama
dengan menyajikan diagram batang yaitu meggambarkan grafik
batang yang sama lebar namun tidak terputus-putus. Variabel
pengamatan berupa interval-interval kelas yang sama panjang
dihubungkan dengan nilai pengamatan berupa frekuensi. Maka
dengan tabel distribusi frekuensi di atas dapat disajikan
histogram berikut ini.
Misalkan kita memiliki daftar distribusi frekuensi nilai
ulangan umum bahasa indonesia seperti berikut :
Nilai ulangan Frekuensi
50 – 59 27
60 – 69 31
70 – 79 25
80 – 89 23
jumlah 100
Modul Matematika SMA 214
Dari pembahasan di atas dapat dinyatakan bahwa
histogram adalah jenis grafik batang yang digunakan untuk
menampilkan data numerik yang telah disusun dalam
interval yang sama.
7.2.3.2 Rangkuman
1. Pada daftar distribusi frekuensi berkelompok kiat menghitung
frekuensi yang berkait dengan pengamatan berkelompok, bukan
pengamatan tunggal
2. Data pada tabel distribusi frekuensi dapat disajikan dengan
menggunakan histogram. Prinsip penyajiannya hampir sama
dengan menyajikan diagram batang yaitu meggambarkan grafik
batang yang sama lebar namun tidak terputus-putus.
27
31
2523
0
5
10
15
20
25
30
35
50 -59 60 - 69 70 - 79 80 - 89
fre
kue
nsi
kelas interval
data nilai siswa
Modul Matematika SMA 215
7.2.3.3 Tes formatif
1. Hasil Ujian semester mata pelajaran matematika terhadap 80 siswa
dinyatakan sebagai berikut. 38 90 92 85 76 88 78 74 70 48 61 83 88
81 82 72 83 87 81 82 48 90 92 85 76 74 88 75 90 97 93 72 91 67 88
80 63 76 49 84 61 83 88 81 82 60 66 98 93 81 80 63 76 49 84 79 80
70 68 92 81 91 56 65 63 74 89 73 90 97 75 83 79 86 80 51 71 72 82
70
Dari data di atas sajikan data dengan :
a. Dengan tabel distribusi frekuensi
b. Histogram
7.2.3.4 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang
Nilai
Nilai
Prestasi
1 Benar cara, Hasil, Maupun
gambar
0 – 55
2 Cara Benar, hasil benar, gambar
salah
0 – 15
3 Cara benar, hasil salah, gambar
benar
0 – 15
4 Cara salah, hasil benar, gambar
benar
0 – 15
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
…………….,………………20….
Modul Matematika SMA 216
7.2.4 Kegiatan Belajar 3
7.2.4.1 Materi pembelajaran
Dalam materi pembelajaran kelas X, Anda telah mempelajari
cara mengumpulkan data satistik dan menyajikannya dalam
berbagai bentuk dan diagram. Penyajian data seperti ini hanya
memberikan gambaran menyeluruh, tetapi belum cukup digunakan
untuk pengambilan keputusan tertentu. Ada beberapa cara atau hal
yang ditonjolkan dalam menceritan data. Mean atau yang sering
disebut sebagai rata-rata, median yang merupakan nilai tengah dari
data yang telah diurutkan , dan modus yaitu data yang sering
muncul merupakan nilai yang menggambarkan tentang pemusatan
nilai-nilai dari data yang diperoleh dari suatu peristiwa yang telah
diamati. Itulah sebabnya mean, median, dan modus disebut sebagai
ukuran pemusatan.
7.2.4.2 Rata-rata/ rataan hitung/ mean
Rataan adalah rata-rata nilai data. Rataan paling sering sering
dijadikan ukuran pusat data kuantitatif. Kita bagi pembahasan
menjadi dua :
1) Rata –rata data tunggal
Rataan data tunggal merupakan jumlah nilai semua data dibagi
ukuran data tersebut :
Keterangan :
𝑥𝑖 : data ke-i
n : banyaknya data
Contoh
Tentukan Mean dari data berikut :
6 8 5 7 6 3 2 4 8
Penyelesaian :
Mean (𝑥 ) = 2+3+4+5+6+7+8+8
9 = 5,4
𝑥 =𝑥1 + 𝑥2 +⋯+𝑥𝑛
𝑛= 𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑛
Modul Matematika SMA 217
2) Rataan data kelompok
Seperti telah anda ketahui, mean / rataan adalah jumlah seluruh
data dibagi dengan banyak data dibagi dengan banyak data,
Rumus rataan / mean :
Keterangan: 𝑥𝑖 : data ke-i
𝑓𝑖 : frekuensi data ke-i
𝑥 =𝑓1𝑥1 + 𝑓2𝑥2 +⋯+𝑓𝑛𝑥𝑛
𝑓1 + 𝑓2 +⋯+ 𝑓𝑛= 𝑓𝑖𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑓𝑖𝑛𝑖=1
Tentukan rataan hitung dari data berkelompok berikut :
Nilai Frekuensi
1 - 50 4
51 - 100 7
101 - 150 10
151 - 200 16
201 – 250 30
251 - 300 13
Penyelesaian :
nilai
Titik
tengah
(xi)
Frekuensi
(fi)
xi fi
1 – 50 25,5 4 102
51 – 100 75,5 7 528,5
101 – 150 125,5 10 1.225
151 – 200 175,5 16 2.808
201 – 250 225,5 30 6.767
251 – 300 275,5 13 3.581,5
Total ∑ fi = 80 ∑xi fi =
15.040
Dari table diperoleh ∑ fi = 80 dan ∑xi fi = 15.040 ,
maka
𝑥 = 15.040
80 = 188
Jadi, rataanya adalah 188
Modul Matematika SMA 218
Menentukan Mean dengan menggunakan
Rataan Sementara : Untuk menghitung rataan/ mean pada
data kelompok juga dapat dihitung dengan menggunakan rataan
sementara ( xs) dengan rumus berikut :
Keterangan :
𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑠
𝑥 𝑠: rataan sementara
𝑥 = 𝑥 𝑠 + 𝑓𝑖𝑑𝑖𝑛𝑖=1
𝑓𝑖𝑛𝑖=1
𝑥 = 𝑥 𝑠 + 𝑓𝑖𝑑𝑖𝑛𝑖=1
𝑓𝑖𝑛𝑖=1
Contoh :
Tentukan rataan hitung/mean data kelompok berikut dengan
menggunakan rataan sementara :
Nilai Frekuensi
1 - 50 4
51 - 100 7
101 - 150 10
151 - 200 16
201 – 250 30
251 - 300 13
Penyelesaian :
Misalkan kita pilih rataan sementara (𝑥 𝑠 ) = 225,5 yang
merupakantitik tengah kelas dengan frekuensi terbesar, sehingga
diperoleh table :
nilai
Titik
tengah
(xi)
Frekuensi
(fi)
xi - 𝑥 𝑠 fi (xi - 𝑥 𝑠)
1 – 50 25,5 4 -200 -800
51 – 100 75,5 7 -150 -1050
101 – 150 125,5 10 -100 -1000
151 – 200 175,5 16 -90 -800
201 – 250 225,5 30 0 0
251 – 300 275,5 13 50 650
Total ∑ fi = 80 ∑ fi (xi - 𝑥 𝑠) = −3000
Rataan hitung adalah :
= 225,5 + −3000
80
= 188
Hasil ini sama persis dengan cara sebelumnya.
Modul Matematika SMA 219
a. Median
Median adalah nilai tengah data setelah diurutkan. Median
merupakan salah satu statistic yang digunakan untuk ukuran
pemusatan data. Salah satu unggulan median daripada rataan
adalah kemudahan menentukannya (tidak banyak perhitungan)
dan tidak tergantung pada nilai-nilai yang ekstrim.
1) Median data tunggal
Jika banyaknya data ganjil, maka 𝑀𝑒 = 𝑋𝑛+1
2
Jika banyaknya data genap, maka 𝑀𝑒 =𝑋𝑛
2+𝑋𝑛
2+1
2
Keterangan: Me : Median
n : Banyaknya data
𝑥𝑛 : data ke-n
2) Median data kelompok :
Contoh
Tentukan median dari data berikut:
a) 3,5, 7, 4, 9, 8, 7, 9, 6
b) 4, 8, 8, 6, 9, 8, 7, 3
Penyelesaian :
a) Data diurutkan menjadi: 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9. Karena
datanya sebanyak ganjil, maka mediannya adalah
𝑋9+1
2
= 𝑋5 = 7.
b) Data diurutkan menjadi: 3, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9. Karena
datanya sebanyak genap, maka median = 𝑋8
2
+𝑋82
+1
2=
𝑋4+𝑋5
2=
7+8
2= 7,5
𝑀𝑒 = 𝑇𝐵𝑀𝑒 +
12𝑛 − 𝐹𝑘
𝑓𝑀𝑒 𝑙
Modul Matematika SMA 220
Keterangan: Me : median
𝑇𝐵𝑀𝑒 : tepi bawah kelas median
l : panjang kelas median
n : banyaknya data
𝐹𝑘 : frekuensi kumulatif sebelum
kelas median
𝑓𝑀𝑒 : frekuensi kelas median
Contoh
Tentukan median dari data yang dinyatakan dalam daftar distribusi
frekuensi berikut :
Data Frekuensi
40 – 49 5
50 – 59 14
60 – 69 16
70 – 79 12
80 – 89 3
Penyelesaian :
Data Frekuensi Frekuensi kumulatif
kurangdari
40 – 49 5 5
50 – 59 14 19
60 – 69 16 35
70 – 79 12 47
80 – 89 3 50
Kelas
Median
𝑀𝑒 = 𝑇𝐵𝑀𝑒 +
12𝑛 − 𝐹𝑘
𝑓𝑀𝑒 𝑙
𝑀𝑒 = 59,5 +
12 50 − 19
35 . 10
Ukuran data (n) = 50 (genap)
Berarti median terletah anta data ke-25 dan data ke-26. Kedua data
tersebut terletak di kelas 60 – 69.
Berdasarkan data diatas, dapat diketahui:
𝑇𝐵𝑀𝑒 = 59,5 , 𝐹𝑘 = 19 , l= 10, 𝑓𝑀𝑒 = 35
𝑀𝑒 = 61,21
Modul Matematika SMA 221
b. Modus
Pada sebuah kelompok data, modus adalah nilai yang
paling sering muncul, yaitu nilai yang memiliki frekuensi paling
tinggi.
1) Modus data tunggal
Contoh:
Tentukan modus dari data berikut:
50, 45, 64, 70, 50, 69, 75, 70, 70, 80.
73, 50, 65, 68, 66, 65, 73, 90.
35, 42, 48, 50, 52, 55, 60.
44, 46, 51, 51, 44, 46.
Jawab:
Untuk mempermudah, data diurutkan terlebih dahulu
menjadi:
45, 50, 50, 64, 69, 70, 70, 70, 75, 80 sehingga
modusnya adalah 70
50, 65, 65, 66, 68, 73, 73, 90 sehingga modusnya adalah
65 dan 73
35, 42, 48, 50, 52, 55, 60 data tersebut tidak memiliki
modus
44, 44, 46, 46, 51, 51 data tersebut tidak memiliki
modus
2) Modus data kelompok
𝑀𝑜 = 𝑇𝐵𝑀𝑜 + 𝑑1
𝑑1 + 𝑑2 𝑙
Keterangan:
Mo : modus
𝑇𝐵𝑀𝑜 : tepi bawah kelas modus
l : panjang kelas modus
𝑑1: selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas
sebelumnya
Modul Matematika SMA 222
𝑑2: selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas
sesudahnya
Contoh:
Tentukan modus data berikut.
Data F
65-67 2
68-70 5
71-73 13
74-76 14
77-79 4
80-82 2
𝑀𝑜 = 𝑇𝐵𝑀𝑜 + 𝑑1
𝑑1+𝑑2 𝑙
= 73,5 + 1
1+10 3
= 73,5 +3
11
= 73,5 + 0,27
= 73,77
Kelas modus
Modul Matematika SMA 223
7.2.4.3 Rangkuman
Statistik deskriptif ditujukan untuk “menceritakan” data.
Ada tiga ukuran pemusatan data yang biasa digunkan yaitu
Mean, modus, median
Rataan (Mean) data tunggal
Rataan data kelompok
Modus nilai yang paling sering muncul
Modus data kelompok
Median nilai tengah data setelah data diurutkan
Median data tunggal
Median data kelompok
𝑀𝑜 = 𝑇𝐵𝑀𝑜 + 𝑑1
𝑑1 + 𝑑2 𝑙
𝑀𝑒 = 𝑋𝑛+12
𝑀𝑒 = 𝑇𝐵𝑀𝑒 +
12𝑛 − 𝐹𝑘
𝑓𝑀𝑒 𝑙
𝑥 =𝑥1 + 𝑥2 +⋯+𝑥𝑛
𝑛
= 𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑛
𝑥 =
𝑓1𝑥1 + 𝑓2𝑥2 +⋯+𝑓𝑛𝑥𝑛𝑓1 + 𝑓2 +⋯+ 𝑓𝑛
= 𝑓𝑖𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑓𝑖𝑛𝑖=1
Modul Matematika SMA 224
7.2.4.4 Tes Formatif
Kerjakan dan diskusikan soal-soal berikut dengan anggota kelompok.
1. Nilai matematika Ani adalah sebagai berikut: 6, 8, 9, 7, 10. Nilai rata-
rata dari nilai matematika Ani tersebut adalah…
2. Tentukan rata-rata data berikut!
Nilai 4 5 6 7 8
F 3 7 12 14 4
3. Rata-rata nilai ulangan 30 siswa adalah 7. Jika ditambahkan nilai
ulangan susulan 5 siswa diperoleh rata-rata 6,8. Maka rata-rata nilai 5
siswa tersebut adalah…
4. Tentukan median dari data berikut:
a) 3,5, 7, 4, 9, 8, 7, 9, 6
b) 4, 8, 8, 6, 9, 8, 7, 3
7.2.4.5 Lembar Penilaian
Nama :...........................
Kelas :...........................
No. Absen :...........................
No. Tugas :..........................
Judul Tugas :...........................
No. Kriteria Rentang Nilai Nilai Prestasi
Tes Formatif
1. Kebenaran jawaban 0 – 60
3. Kelengkapan
pengerjaan
60 - 100
JUMLAH 0 – 100
JUMLAH (jumlah X 100%)
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus
...................., ......................Th.....
Modul Matematika SMA 225
7.2.5 Kegiatan Belajar 4
7.2.5.1 Materi Pembelajaran
a. Kuartil
Konsep membagi dua menjadi dua bagian yang sama
banyak (median) dapat diperluas menjadi berapa pun bagian yang
sama banyak. Misalkan menjadi kuartil. Kuartil membagi data
menjadi empat bagian sama banyak. Kuartil ada tiga yaitu kuartil
bawah (Q1), kuartil tengah (Q2) atau median, dan kuartil atas
(Q3). Ingat bahwa kuartil bisa ditentukan jika data telah terurut.
1) Kuartil data tunggal
𝑄𝑖 = 𝑋𝑖 𝑛+1 4
Keterangan: 𝑄𝑖 : kuartil ke-i
𝑥𝑖 : data ke-i
𝑛: banyaknya data
Contoh Soal 6 :
Dari data berikut: 3,5, 7, 4, 6, 8, 9, 8, 7, 9, 6, 5. Tentukan kuartil
bawah dan kuartil atasnya.
Penyelesaian :
Data diurutkan terlebih dahulu: 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9
Kuartil bawah (𝑄1) = 𝑋1 12+1
4
= 𝑋13
4
= 𝑋3 +1
4 𝑋4 − 𝑋3
= 5 + 1
4 5 − 5
= 5
Kuartil atas (𝑄3) = 𝑋3 12+1
4
= 𝑋39
4
= 𝑋9 +3
4 𝑋10 − 𝑋9
= 8 + 1
4 8 − 8
= 8
Modul Matematika SMA 226
2) Kuartil data kelompok
𝑄𝑖 = 𝑇𝐵𝑄𝑖 +
𝑖4𝑛 − 𝐹𝑘
𝑓𝑄𝑖 𝑙
Keterangan: 𝑄𝑖 : kuartil ke-i
𝑇𝐵𝑄𝑖 : tepi bawah kelas kuartil ke-i
l : panjang kelas kuartil ke-i
n : banyaknya data
𝐹𝑘 : frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil
ke-i
𝑓𝑀𝑒 : frekuensi kelas kuartil ke-i
Contoh Soal :
Tentukan kuartil bawah data berikut:
Data F
65-67 2
68-70 5
71-73 13
74-76 14
77-79 4
80-82 2
Letak kuartil atas (𝑄3) adalah pada data ke 3.40
4=
30 yaitu pada kelas ke-4.
𝑄3 = 𝑇𝐵𝑄3+
3
4𝑛−𝐹𝑘
𝑓𝑄3
𝑙.
= 73,5 + 3
440−20
14 3
=73,5 + 10
14 3
= 73,5 + 2,1
= 75,6
b. Desil dan Presentil
Desil data kelompok ditentukan dengan rumus berikut.
Kelas kuartil atas
𝐷𝑚 = 𝑏𝑚 +
𝑚10𝑛 − 𝐹𝑘𝑘𝑠𝑑
𝑓𝐷𝑚 𝑙
Modul Matematika SMA 227
Keterangan :
m = 1, 2, 3, …, 9
b = tepi bawah kelas desil ke-m
n = ukuran data
fkksd = frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas
desil ke –m
fDm = frekuensi dari kelas desil ke-m
l = panjang kelas
Sedangkan untuk rumus Presentil data kelompok adalah sebagai
berikut :
Keterangan :
m = 1, 2, 3, …, 99
b = tepi bawah kelas desil ke-m
n = ukuran data
fkksp = frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas
presentil ke –m
fPm = frekuensi dari kelas presentil ke-m
l = panjang kelas
𝑃𝑚 = 𝑝𝑚 +
𝑚100 𝑛 − 𝐹𝑘𝑘𝑠𝑝
𝑓𝑃𝑚 𝑙
Modul Matematika SMA 228
𝐷𝑚 = 𝑏𝑚 +
𝑚10𝑛 − 𝐹𝑘𝑘𝑠𝑑
𝑓𝐷𝑚 𝑙
𝐷𝑚 = 39,5 +
110 50− 0
5 10
𝐷𝑚 = 49,5
Contoh
Berat badan (kg) Frekuensi
40 – 49 5
50 – 59 14
60 – 69 16
70 – 79 12
80 – 89 3
Total 50
Tentukan D9 dan P30
Penyelesaian :
Berat badan (kg) Frekuensi Frekuensi kumulatif
40 – 49 5 5
50 – 59 14 19
60 – 69 16 35
70 – 79 12 47
80 – 89 3 50
Total 50
Ukuran data (n) = 50
Untuk D1
1
10 . 50 = 5, kelas D1 adalah 40 – 49, maka b1 = 39,5 ; fkksd =
0 ; fD1 = 5, l = 10 maka
𝑃𝑚 = 𝑝𝑚 +
𝑚100𝑛 − 𝐹𝑘𝑘𝑠𝑝
𝑓𝑃𝑚 𝑙
𝑃𝑚 = 49,5 + 15 − 5
14 10
Untuk P30
30
100 . 50 = 15, kelas P30 adalah 50 – 59, maka b30 = 49,5 ;
𝐹𝑘𝑘𝑠𝑝 = 5 ; fD30 =14 ; l =10 maka :
Pm = 56,64
Modul Matematika SMA 229
7.2.5.2 Rangkuman
a. Kuartil
Kuartil untuk data tunggal
Kuartil untuk data kelompok
b. Desil dan Presentil
Rumus desil untuk data kelompok
Rumus presentil untuk data kelompok
7.2.5.3 Tes Formatif
1. Tentukan kuartil bawah dan atas dari data : 2,2,3,4,5,6,8,8
2. Dari data berikut: 3,5, 7, 4, 6, 8, 9, 8, 7, 9, 6, 5. Tentukan kuartil
bawah dan kuartil atasnya.
𝑄𝑖 = 𝑋𝑖 𝑛+1 4
𝑄𝑖 = 𝑇𝐵𝑄𝑖 +
𝑖4𝑛 − 𝐹𝑘
𝑓𝑄𝑖 𝑙
𝐷𝑚
= 𝑏𝑚 +
𝑚10 𝑛 − 𝐹𝑘𝑘𝑠𝑑
𝑓𝐷𝑚 𝑙
𝑃𝑚
= 𝑝𝑚 +
𝑚100
𝑛 − 𝐹𝑘𝑘𝑠𝑝
𝑓𝑃𝑚 𝑙
Modul Matematika SMA 230
7.2.5.4 Lembar Penilaian
Nama :...........................
Kelas :...........................
No. Absen :...........................
No. Kriteria Rentang Nilai Nilai Prestasi
Tes Formatif
1. Kebenaran
jawaban
0 – 60
2. Kelengkapan
pengerjaan
0 – 40
JUMLAH 0 – 100
JUMLAH (jumlah X
100%)
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus
...................., ......................Th.......
Modul Matematika SMA 231
7.2.6 Kegiatan Belajar 5
7.2.6.1 Ukuran Penyebaran Data
a. Jangkauan
Jangkauan (J) = 𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 ( untuk data tunggal)
J = nilai tengah kls tertinggi – nilai tengah kls terendah
…(untuk data kelompok)
Jangkauan interkuartil (H) = 𝑄3 − 𝑄1
Jangkauan semi interkuartil/ simpangan kuartil (𝑄𝑑) = 1
2 𝑄3 −
𝑄1
Langkah (L) = 3
2 𝑄3 − 𝑄1
b. Simpangan rata-rata (SR)
1) Simpangan rata-rata data tunggal
𝑆𝑅 =1
𝑛 𝑥𝑖 − 𝑥
𝑛
𝑖=1
Keterangan:
SR : simpangan rata-rata
n : banyaknya data
𝑥𝑖 : data ke-i
𝑥 : rata-rata
Contoh:
Tentukan simpangan rata-rata data berikut: 9, 7, 5, 6, 8
Jawab:
Data diurutkan terlebih dahulu menjadi 5, 6, 7, 8, 9. Kemudian
ditentukan rata-ratanya:
𝑥 =5 + 6 + 7 + 8 + 9
5= 7
𝑆𝑅 =1
5 5− 7 + 6− 7 + 7− 7 + 8− 7 + 9− 7
= 1
5 2 + 1 + 0 + 1 + 2 =
6
5
Modul Matematika SMA 232
2) Simpangan rata-rata data kelompok
𝑆𝑅 = 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑛𝑖=1
𝑓𝑖𝑛𝑖=1
Keterangan:
SR : simpangan rata-rata
𝑥𝑖 : data ke-i
𝑓𝑖 : frekuensi data ke-i
𝑥 : rata-rata
Contoh:
Tentukan simpangan rata-rata dari data pada table berikut:
Nilai Frekuensi
2
3
4
5
6
7
8
2
4
5
8
11
6
4
Jawab:
Ditentukan terlebih dahulu rata-ratanya:
Nilai
(𝒙𝒊) Frekuensi
(𝒇𝒊) 𝒇𝒊.𝒙𝒊 𝒙 𝒙𝒊 − 𝒙 𝒇𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙
2
3
4
5
6
7
8
2
4
5
8
11
6
4
4
12
20
40
66
42
32
5,4 3,4
2,4
1,4
0,4
0,6
1,6
2,6
6,8
9,6
7
3,2
6,6
9,6
10,4
Total 40 216 53,2
Rataan hitung: 𝑥 = 𝑓𝑖𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑓𝑖𝑛𝑖=1
=216
40= 5,4
Simpangan rata-rata: 𝑆𝑅 = 𝑓𝑖 𝑥𝑖−𝑥 𝑛𝑖=1
𝑓𝑖𝑛𝑖=1
=53,2
40
= 1,33
Modul Matematika SMA 233
c. Varians (𝒔𝟐)
1) varians data tunggal
𝑠2 = 𝑥𝑖 − 𝑥
2𝑛𝑖=1
𝑛
Keterangan:
𝑠2: varians
n : banyaknya data
𝑥𝑖 : data ke-i
𝑥 : rata-rata
2) varians data kelompok
𝑠2 = 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥
2𝑛𝑖=1
𝑓𝑖𝑛𝑖=1
Keterangan:
𝑠2: varians
𝑥𝑖 : data ke-i
𝑓𝑖 : frekuensi data ke-i
𝑥 : rata-rata
d. Simpangan baku (s)
1) Simpangan baku data tunggal
𝑠 = 𝑥𝑖 − 𝑥 2𝑛𝑖=1
𝑛
Keterangan:
𝑠 : simpangan baku
n : banyaknya data
𝑥𝑖 : data ke-i
𝑥 : rata-rata
Contoh:
Tentukan ragam dan simpangan baku dari data: 2,3,6,8,11
Jawab:
𝑥 =2 + 3 + 6 + 8 + 11
5= 6
𝑠2 = 𝑥𝑖−𝑥
2𝑛𝑖=1
𝑛
Modul Matematika SMA 234
=1
5 (2− 6)2 + (3− 6)2 + (6 − 6)2 + (8− 6)2 +
11−6 2
=1
5 16 + 9 + 0 + 4 + 25
=54
5
𝑠 = 54
5=
3
5 30
Jadi, ragam 54
5 dan simpangan baku
3
5 30
2) Simpangan baku data kelompok
𝑠2 = 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥
2𝑛𝑖=1
𝑓𝑖𝑛𝑖=1
Keterangan:
𝑠: simpangan baku
𝑥𝑖 : data ke-i
𝑓𝑖 : frekuensi data ke-i
𝑥 : rata-rata
Contoh:
Tentukan ragam dan simpangan baku dari data berikut:
Nilai Frekuensi
141-147
148-154
155-161
162-168
169-175
176-182
183-189
2
7
12
10
9
7
3
Modul Matematika SMA 235
Jawab:
Dengan menentukan rata-rata terlebih dahulu,
Nilai Frekuen
si (𝒇𝒊) Titik
tengah
(𝒙𝒊)
𝒇𝒊.𝒙𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙 (𝒙𝒊 − 𝒙 )𝟐 𝒇𝒊(𝒙𝒊 − 𝒙 )𝟐
141-147
148-154
155-161
162-168
169-175
176-182
183-189
2
7
12
10
9
7
3
144
151
158
165
172
179
186
288
1057
1896
1650
1548
1253
558
-21
-14
-7
0
7
14
21
441
196
49
0
49
196
441
882
1372
588
0
441
1372
1323
jumlah 50 8250 5978
Diperoleh rata-rata 𝑥 = 𝑓𝑖𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑓𝑖𝑛𝑖=1
=58250
50= 165
Ragam
𝑠2 = 𝑓𝑖 𝑥𝑖−𝑥
2𝑛𝑖=1
𝑓𝑖𝑛𝑖=1
=5978
50=
2989
25
Simpangan baku
𝑠 = 2989
25=
1
5 2989
Modul Matematika SMA 236
7.2.6.2 Rangkuman
a. Jangkauan
b. Simpangan rata-rata
e. Varians (𝒔𝟐)
varians data tunggal
𝑠2 = 𝑥𝑖 − 𝑥
2𝑛𝑖=1
𝑛
varians data kelompok
𝑠2 = 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥
2𝑛𝑖=1
𝑓𝑖𝑛𝑖=1
f. Simpangan baku (s)
Simpangan baku data tunggal
𝑠 = 𝑥𝑖 − 𝑥 2𝑛𝑖=1
𝑛
Simpangan baku data kelompok
𝑠2 = 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥
2𝑛𝑖=1
𝑓𝑖𝑛𝑖=1
Jangkauan (J) = 𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 ( untuk data
tunggal)
J = nilai tengah kls tertinggi – nilai tengah kls
terendah …(untuk data kelompok)
Jangkauan interkuartil (H) = 𝑄3 − 𝑄1
Jangkauan semi interkuartil/ simpangan
kuartil (𝑄𝑑) = 1
2 𝑄3 − 𝑄1
𝑆𝑅 =
𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑛𝑖=1
𝑓𝑖𝑛𝑖=1
Modul Matematika SMA 237
7.2.6.3 Tes Formatif
1. Simpangan rataan hitung data 10, 10, 9, 8, 8, 7, 7, 6, 6, 5 adalah ....
2. Simpangan rataan hitung data x1, x2, ... , x10 adalah 2,29. Jika setiap
data ditambah satu maka simpangan rataan hitungnya adalah ....
3. Jika jangkauan data 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4,x sama dengan rataan
hitungnya maka nilai x adalah ....
4. Simpangan baku dari data 3, 6, 6, 2, 6, 2,1, 1, 5, 3 adalah ....
7.2.6.4 Lembar Penilaian
Nama :...........................
Kelas :...........................
No. Absen :...........................
Judul Tugas :...........................
No. Kriteria Rentang Nilai Nilai Prestasi
Tes Formatif
1. Kebenaran jawaban 0 – 60
2. Kelengkapan pengerjaan 60 - 100
JUMLAH 0 – 100
JUMLAH (jumlah X 100%)
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus
...................., ......................Th....
Modul Matematika SMA 238
7.3 EVALUASI
7.3.1 Soal evaluasi
1. Data nilai tukar rupiah terhadap dolar AS dari tanggal 18 Februari
2008 sampai dengan 22 Februari 2008 ditunjukkan oleh table
berikut:
Tanggal 18/2 19/2 20/2 21/2 22/2
Kurs beli Rp. 9.091 Rp. 9.093 Rp. 9.128 Rp. 9.123 Rp. 9.129
Kurs jual Rp. 9.181 Rp. 9.185 Rp. 9.220 Rp. 9.215 Rp. 9.221
nyatakan dalam diagram garis !
2. Pelajar di desa karang anyar yang ikut kerja bakti desa pada hari
libur sebagai berikut:
Pendidikan Jumlah
SD
SMP
SMA/SMK
Perguruan tinggi
10 orang
30 orang
21 orang
20 orang
Jumlah penduduk 81 orang
nyatakan dalam diagram lingkaran !
3. Banyaknya lulusan SMA X dari tahun 2000-2004 dinyatakan dalam
table berikut:
Tahun 2000 2001 2002 2003 2004
Jumlah lulusan 20 40 50 70 100
nyatakan dalam diagram batang !
4. Diketahui data sebagai berikut
Kelas Frekuensi
35 – 44 15
45 – 54 17
55 – 64 18
65 – 74 25
75 – 84 10
Jumlah 85
Nyatakan dalam bentuk histogram !
Modul Matematika SMA 239
Data berikut untuk soal nomor 5 – 8
Nilai ulangan harian matematika dari 14 orang siswa yang diambil
secara acak adalah 7, 5 , 8 , 6 , 7 , 8 , 7 , 7 , 7 , 9 , 5 , 8 , 6 , 8
5. Nilai rata-rata ulangan harian matematika adalah ….
6. Median dari data tersebut adalah ….
7. Modus data diatas adalah ….
8. Jangkauan data tersebut adalah ….
9. Dari data : 5 , 6 , 9 , 6 , 5 , 8 , 6 , 9 , 6 , 10
Dapat disimpulkan …
10. Nilai rata-rata, median dan modus dari data 6, 4, 5, 8, 8, 4, 7, 6, 6
berturut-turut adalah ….
11. Perhatikan gambar berikut!
Berat badan siswa pada suatu kelas disajikan dengan histogram
seperti pada gambar. Rataan berat badan tersebut adalah ….
12. Modus dari data pada histogram diatas adalah ….
13. Kuartil atas dari histogram tersebut adalah ….
14. Desil ke-4 (D4) dari data pada histogram diatas adalah ….
15. Diketahui data : 3 , 7 , 5 , a , 6 , 4 , 6 , 9 , 6 , 4
Jika rata-rata data tersebut adalah 6 maka nilai a = ….
Modul Matematika SMA 240
16. rata-rata hitung untuk data pada histogram berikut adalah 48. dengan
demikian nilai x = ….
Data berikut untuk soal nomor 17 – 18!
Hasil suatu penelitian adalah sebagai berikut:5 , 5 , 14 , 7 , 10 , 7 , 12
, 9 , 6.
17. Kuartil bawah dari data diatas adalah ….
18. Kuartil atas dari data diatas adalah ….
19. Desil ke-8 (D8) dari data berikut adalah ….
Nilai Frekuensi
41 – 45 7
46 – 50 12
51- 55 9
56 – 60 8
61 - 65 4
Data berikut untuk soal nomor 20– 25!
Tabel distribusi frekuensi
Data Frekuensi
20 – 24 6
25 – 29 10
30 – 34 2
35 – 39 5
40 – 44 4
45 – 49 3
Modul Matematika SMA 241
20. Nilai rata-rata dari tabel diatas adalah ….
21. Modus dari tabel diatas adalah ….
22. Median dari tabel diatas adalah ….
23. Kuartil atas dari tabel diatas adalah ….
24. Kuartil bawah dari tabel diatas adalah ….
25. Simpangan kuartil dari tabel diatas adalah ….
26. Tentukan simpangan baku dari data : 4 , 8 , 5 , 9 , 10 , 6
27.
Nilai 5 6 7 8 9
Frekuensi 4 8 5 M 2
Jika nilai rata-rata dari data tersebut adalah 7, maka nilai M = …
28. Suatu keluarga mempunyai 3 orang anak. anak termuda berumur x
tahu. dua anak yang lain berumur x + 2 dan x + 7. bila rata-rata
hitung umur mereka adalah 24 tahun, maka anak termuda berumur
…
29. Lima kelompok siswa masing-masing terdiri dari 10 , 8 , 12 , 11 , 9
orang menyumbang korban bencana alam. raa-rata sumbangan
masing-masing kelompok adalah Rp 7.000,-, Rp 6.000,-, Rp
10.000,00,-, Rp 8.000,-, dan Rp 5.000,-. rata-rata sumbangan tiap
siswa seluruh kelompok adalah ….
30. Nilai rata-rata ujian Sejarah dari 20 siswa adalah 7,8, jika digabung
dengan 12 siswa maka nilai rata-rata menjadi 7,5. nilai rata-rata dari
12 siswa tersebut adalah ….
31. Nilai rata-rata kimia dalam suatu kelas adalah 6,5. jika ditambah
nilai siswa baru yang besarnya 9 maka rata-rata menjadi 6,6. banyak
siswa semula dalam kelas tersebut adalah ….
32. Perhatikan tabel berikut
Nilai Ujian 4 5 6 7 8
Frekuensi 2 5 8 11 4
Siswa dinyatakan lulus ujian matematika jika nilai ujiannya lebih
tinggi dari nilai rata-rata kelas.
Dari tabel diaas jumlah siswa yang lulus adalah ….
Modul Matematika SMA 242
33. Nilai rata-rata sekelompok siswa yang berjumlah 50 siswa adalah 64.
Jika seorang siswa yang mendapat nilai 88,5 tidak dimasukkan
dalam perhitungan rata-rata nilai sekelompok siswa, maka nilai rata-
rata menjadi ….
34. Pada ulangan matematika diketahui nilai rata-rata kelas adalah 58.
jika rata-rata nilai matematika untuk siswa putra adalah 65,
sedangkan untuk siswa putri rata-ratanya 54, maka perbandingan
jumlah siswa putri dan putra pada kelas tersebut adalah ….
7.3.2 Lembar Penilaian
Nama :...........................
Kelas :...........................
No. Absen :...........................
Judul Tugas :...........................
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
Tes Formatif Evaluasi
1. Benar cara maupun
hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 – 20
Jumlah
Jumlah Jumlah x 60 % Jumlah x 40%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus
....................,......................Th.......
Modul Matematika SMA 244
8.1 PENDAHULUAN
8.1.1 Deskripsi
Modul ini berisi teori tentang lingkaran meliputi persamaan
lingkaran serta garis singgung lingkaran.
8.1.2 Prasyarat
Dalam melaksanakan modul ini diperlukan prasyarat telah
menguasai kompetensi yang ada pada modul sebelumnya meliputi
koordinat kartesius, aljabar, persamaan kuadrat, dan phitagoras.
8.1.3 Petunjuk Penggunaan Modul
1) Pelajari daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan
teliti.Karena dalam skema modul akan tampak kedudukan modul
yang sedang anda pelajari dengan modul-modul yang lain.
2) Kerjakan soal-soal dalam cek kemampuan untuk mengukur sampai
sejauh mana pengetahuan dan kemampuan yang telah anda miliki.
3) Apabila dari soal cek kemampuan telah anda kerjakan mendapat
score (nilai) 70, maka anda dapat langsung menuju Evaluasi untuk
mengerjakan soal-soal tersebut. Tetapi bila hasil jawaban tidak
mencapai nilai 70, maka anda harus mengikuti kegiatan
pembelajaran dalam modul ini.
4) Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan
benar untuk mempermudah dalam memahami proses pembelajaran.
5) Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam
penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian
kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan.
6) Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat,
jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah
mempelajari modul ini.
8.1.4 Tujuan Akhir
Setelah melaksanakan seluruh kegiatan belajar dalam modul ini
diharapkan anda dapat memiliki kemampuan :
Modul Matematika SMA 245
1) Mampu menemukan konsep persamaan lingkaran yang berpusat di
titik tertentu.
2) Mampu menemukan persamaan garis singgung lingkaran dalam
berbagai bentuk.
3) Mampu menyelesaikan masalah aktual dalam menentukan
persamaan garis singgung lingkaran menggunakan diskriminan.
4) Mampu mengaplikasikan konsep lingkaran dalam menyelesaikan
masalah
8.1.5 Kompetensi
Kode Unit:
Judul Unit : LINGKARAN (12 jam)
Uraian Unit : Unit ini berlaku untuk pekerjaan menyusun serta menentukan
persamaan lingkaran dan garis singgung lingkaran.
Sub Kompetensi Indikator
1. Menyusun persamaan
lingkaran yang memenuhi
persyaratan yang ditentukan
1.1. Menemukan konsep lingkaran yang berpusat di
titik (0,0) dan (a,b) melalui pemecahan masalah
otentik.
1.2. Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang
persamaannya diketahui.
1.3. Menentukan persamaan lingkaran yang
memenuhi kriteria tertentu.
1.4. Menentukan posisi dan jarak suatu titik terhadap
lingkaran
2. Menentukan persamaan garis
singgung pada lingkaran
dalam berbagai situasi
2.1 Melukis garis yang menyinggung lingkaran dan
menentukan sifat-sifatnya.
2.2 Merumuskan persamaan garis singgung yang
melalui suatu titik pada lingkaran.
2.3 Menentukan persamaan garis singgung yang
melalui titik di luar lingkaran.
2.4 Merumuskan persamaan garis singgung yang
gradiennya diketahui.
Modul Matematika SMA 246
Acuan Penilaian
1. Unit kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada peserta uji.
2. Aspek-aspek kritikal yang dinilai:
Memahami berbagai konsep tentang persamaan lingkaran dan garis singgung nya.
Mampu mencari persamaan dan garis singgung lingkaran dari berbagai pusat lingkaran
yang diketahui.
3. Kompetensi yang harus dikuasai sebelumnya meliputi koordinat kartesius, aljabar,
persamaan kuadrat, dan phitagoras.
4. Pengetahuan pendukung yang dibutuhkan:
Mengenali elemen-elemen sebuah lingkaran (segmen, busur, garis singgung, dsb)
5. Menunjukkan pemahaman tentang koordinat kartesius, aljabar, persamaan kuadrat, dan
phitagoras.
6. Sikap yang dituntut:
Bekerja dengan mandiri dan kreatif
Bekerja dengan ketelitian dan ketepatan
Memunculkan rasa ingin tahu dan bekerja keras
Efisien dan optimal dalam kegiatan pembelajaran
Menghargai mutu hasil pada setiap langkah kerjanya
Bersikap positif dan terbuka terhadap penilaian hasil pekerjaan oleh atasan
Modul Matematika SMA 247
8.1.6 Cek Kemampuan
Berilah tanda ( ), pada kolom Jawaban : Ya atau Tidak pada
jawaban yang anda pilih
No. Pertanyaan Jawaban
Ya Tidak
1. Apakah anda mengetahui rumus persamaan lingkaran yang
berpusat di o (0,0) ?
2. Apakah anda dapat menyebutkan persamaan lingkaran yang
berpusat (a,b)?
3. Apakah anda mengetahui hubungan garis dengan lingkaran?
4. Apakah anda dapat menentukan persamaan garis singgung
lingkaran melalui suatu titik pada lingkaran ?
5. Apakah anda dapat menentukan persamaan garis singgung dengan
gradien m ?
6. Apakah anda dapat menetukan persamaan garis singgung yang
melalui titik P (x1,y1) diluar lingkaran ?
7 Apakah anda mampu menyelesaikan masalah nyata dan
mengidentifikasinya dalam model matematika berupa persamaan
lingkaran ?
Skore ( Nilai )
....................,........20....
Modul Matematika SMA 248
PETA KONSEP
Lingkaran
Persamaan garis
singgung lingkaran Tempat kedudukan
titik pada lingkaran
Persamaan
lingkaran
Pusat di
(a,b) jari-jari
r
Melalui
sebuah titik
di luar
lingkaran
Pusat di
(a,b) jari-
jari r
Pusat di (0,0)
jari-jari r
Pusat di (0,0)
jari-jari r
Pusat di
(0,0) jari-jari
r
Pusat di
(0,0) jari-jari
r
Bentuk
umum
Gradien m Gradien m
Melalui (x,y)
pada
lingkaran
Melalui (x,y)
pada
lingkaran
Modul Matematika SMA 249
8.2 PEMBAHASAN
8.2.1 Kegiatan Belajar 1
8.2.1.1 Menemukan Konsep Persamaan Lingkaran
Lingkaran adalah sebuah bangun datar yang sering digunakan
sebagai alat bantu dalam menjelaskan ilmu pengetahuan lain
maupun dalam berbagai penyelesaian masalah kehidupan sehari-
hari.
Pada bab ini akan dibahas tentang lingkaran dan beberapa hal
dasar yang pada akhirnya membantu kita untuk menemukan konsep
tentang lingkaran itu sendiri.
Masalah 1
Gunung Sinabung di Kabupaten Karo, Sumatera Utara kembali
meletus sekitar pukul 12.00 WIB hari Selasa tanggal 17
September 2013. Material yang dikeluarkan lebih banyak
dibanding letusan pertama dua hari lalu. Akibat letusan ini
banyak warga yang mengungsi. Pemerintah setempat pun
memberikan peringatan agar masyarakat yang berada pada
radius 3 km dari puncak gunung Sinabung harus segera
mengungsi dan daerah tersebut harus bebas dari aktivitas dan
dikosongkan untuk sementara. Bantulah pemerintah kabupaten
Karo untuk menentukan daerah mana saja masyarakatnya harus
mengungsi. (Petunjuk: Gunakan Peta Kabupaten Karo)
Modul Matematika SMA 250
Alternatif Penyelesaian
Pertama kali yang dilakukan adalah membuat radius (jari-jari)
sepanjang 3 km dari titik pusatnya yaitu puncak Gunung
Sinabung. Setelah itu tariklah secara melingkar dan terbentuklah
sebuah lingkaran. Berdasarkan daerah lingkaran yang dibuat
tersebut ternyata terdapat beberapa desa yang penduduknya
harus mengungsi karena berada pada daerah radius 3 km yaitu
Desa Simacem, Bekerah, Sigaranggarang, dan Kutatonggal di
Kecamatan Naman Teran, serta Desa Sukameriah di Kecamatan
Payung.
Definisi 1
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada suatu
bidang yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu.
Masalah 2
Misalkan Gambar 9.1 pada Masalah 9.1 dipindahkan ke bidang
koordinat cartesius dan gunung Sinabung berpusat di P(0, 0) dan
jari-jarinya r = 3. Misalkan salah satu desa yaitu Sigaranggarang
berada pada titik S(x, y) pada lingkaran tersebut, tentukanlah
persamaan lingkaran tersebut!
Gb 1: peta kabupaten kairo
Modul Matematika SMA 251
Sifat 1
Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan memiliki jari-jari
r adalah x2 + y2 = r2 Atau dengan kata lain Jika L adalah
himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(0, 0) maka L
{(x, y) | x2 + y2 = r2}
Contoh. 1
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0)
dengan jari-jari sebagai berikut:
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6
Alternatif Penyelesaian
a. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan
panjang jari-jari 3 adalah x2 + y
2 = 3
2 ⇔ x
2 + y
2 = 9
Alternatif Penyelesaian:
jarak titik S(x, y) ke titik P(0, 0) dapat ditentukan
dengan rumus:
|PS| = (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2
Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS = r,
maka
r = (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = r
Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh
(x – 0)2 + (y – 0)2 = r2 ⇔ x2 + y2 = r2
(x – 0)2 + (y – 0)2 = r2 ⇔ x2 + y2 = r2
Diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh
x2 + y2 = 32 ⇔ x2 + y2 = 9
Gb.2: lingkaran pusat P(0,0) dan jari-
jari=3
Modul Matematika SMA 252
b. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan
panjang jari-jari 4 adalah x2
+ y2 = 4
2 ⇔ x
2 + y
2 = 16
c. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan
panjang jari-jari 5 adalah x2 + y
2 = 5
2 ⇔ x
2 + y
2 = 25
d. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan
panjang jari-jari 6 adalah x2 + y
2 = 6
2 ⇔ x2 + y
2 = 36
Masalah 3
Misalkan gambar pada masalah 1 dipindahkan ke bidang
koordinat Kartesius dan gunung Sinabung berpusat di P(a, b)
dan jari-jarinya r = 3 Misalkan salah satu desa yaitu Sukameriah
berada pada titik S(x, y), tentukanlah persamaan lingkaran
tersebut!
Alternatif Penyelesaian:
Jarak titik S(x, y) ke titik P(a, b)
adalah |PS| = (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2
Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS = r, maka
r = (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = r
Dikuadratkan kedua ruas maka diperoleh
(x – a)2 + (y – b)
2 = r
2
Berdasarkan informasi diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh
(x – a)2 + (y – b)
2 = 32 ⇔ (x – a)
2 + (y – b)
2 = 9
Sifat 2
Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari-jari
r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2 Atau dengan kata lain Jika L
adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(a, b)
maka L {(x, y) | (x – a)2 + (y – b)2 = r2}
Gb.3: lingkaran pusat P(a,b)
dilalui titik S(x,y)
Modul Matematika SMA 253
Contoh 2
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 2) dan
berjari-jari r = 2.
Alternatif penyelesaian
(x – a)2 + (y – b)
2 = r
2
a = 2; b = 2; c = 2
⇔ (x – 2)2
+ (y – 2)2 = 2
2
⇔ (x – 2)2 + (y – 2)
2 = 4
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di
(2, 2) dan berjari-jari r = 2 adalah
(x – 2)2 + (y – 2)2 = 4
Contoh 3
Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran berikut!
a. (x – 2)2 + (y + 2)
2 = 4
b. (x + 2)2 + (y + 2)
2 = 9
c. (x + 2)2 + (y – 2)
2 = 16
d. (x + 2)2
+ y2
= 16
Alternatif Penyelesaian:
a. (x – 2)2 +
(y + 2)2
= 4
⇔ (x – 2)2 + (y + 2)
2 = 2
2
a = 2; b = –2; r = 2
lingkaran tersebut berpusat di titik (2, – 2) dan berjari-jari 2
b. (x + 2)2
+ (y + 2)2 = 9
⇔ (x + 2)2 + (y + 2)
2 = 3
2
a = –2; b = –2; r = 3
Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, –2) dan berjari-jari 3
Gb.4: lingkaran pusat
(2,2) dan r=2
Modul Matematika SMA 254
1. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap titik tertentu.
2. Persamaan lingkaran adalah sebagai berikut
a. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan memiliki jari-jari r adalah x2 + y2 + r2
b. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2
c. (x + 2)2 + (y – 2)2 = 16
⇔ (x + 2)2 + (y – 2)2 = 42
a = –2; b = 2; r = 4
Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, 2) dan berjari-jari 4
d. (x + 2)2 + (y – 2)2 = 16
⇔ (x + 2)2 + (y – 2)2 = 42
a = –2; b = 2; r = 4
Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, 2) dan berjari-jari 4
8.2.1.2 Kesimpulan
8.2.1.3 Tes Formatif
Dari persamaan berikut, manakah yang merupakan
persamaan lingkaran?
a. x + y – 9 = 0
b. x2 + y
2 – 2x + 5y + 4xy - 4 = 0
c. x2 + 9y
2 + 6x - 8y = 25
d. x2
+ y2
- 6x + 5y – 9 = 0
Modul Matematika SMA 255
8.2.1.4 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
…………….,………………..20…
Modul Matematika SMA 256
8.2.2 Kegiatan Belajar 2
8.2.2.1 Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas tentang konsep
persamaan lingkaran yaitu :
a. Lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r
persamaannya adalah
x2 + y
2 = r
2
b. Lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r
persamaannya adalah
(x – a)2 + (y – b)
2 = r
2
Jika diperhatikan kedua bentuk persamaan lingkaran tersebut,
maka dapat langsung diketahui titik pusat lingkaran dan panjang
jari-jarinya. Persamaan tersebut dinamakan bentuk baku persamaan
lingkaran.
Kegiatan 1
Jabarkanlah persamaan (x – a)2 + (y – b)
2 = r
2.
Alternatif Penyelesaian
Untuk menyelesaikan persoalan di atas, maka kamu harus
mengingat kembali tentang operasi bentuk aljabar yang telah
kamu pelajari sebelumnya.
Contoh 1
Berdasarkan kegiatan 2.1, diperoleh persamaan a2 + b
2 – r
2 = C
dengan –a = A; –b = B, tentukanlah nilai r.
Alternatif peyelesaian
Karena a2 + b
2 – r
2 = C dan –a = A; –b = B, maka r
2 = A
2 + B
2 –
C2 ⇔ r = ± 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶
Modul Matematika SMA 257
Contoh 2
Berdasarkan kegiatan 2.1 diperoleh persamaan x2 + y
2 + 2Ax +
2By + C = 0, ubahlah persamaan tersebut ke dalam persamaan
bentuk baku persamaan lingkaran!
Alternatif Penyelesaian
x2
+ y2 + 2Ax + 2By + C = 0
⇔ x2
+ y2
+ 2Ax + 2By = –C
⇔ (x2
+ 2Ax + A2)– A
2 + (y
2 + 2By + B
2)– B
2 = –C
⇔ (x + A)2 + (y + B)
2 = A
2 + B
2 = –C
⇔ (x + A)2 + (y + B)
2 = 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶 2
Berdasarkan penyelesaian Latihan 2 diperoleh bahwa persamaan
(x + A)2 + (y + B)
2 = 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶 2
adalah persamaan
lingkaran yang berpusat di titik P(–A, –B) dan berjari-jari r =
𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶
Sifat 3
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah x2 + y
2 + 2Ax +
2By + C = 0 dengan titik pusat P(–A, –B) dan berjari-jari dengan r
= 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶 dengan A, B, C bilangan real dan A2 + B
2 ≥ C
Pertanyaan Kritis
1. Berdasarkan Fakta 1 diperoleh bahwa r = 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶 .
Bagaimana jika A2 + B
2 = 0? Apa yang kamu peroleh?
2. Mengapa C2 ≤ A
2 + B
2
Modul Matematika SMA 258
Contoh 3
Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran yang memiliki
persamaan x2 + y
3 + 10x – 8y + 25 = 0, lalu gambarkan lingkaran
tersebut dalam bidang Kartesius!
Alternatif Penyelesaian:
x2 + y
3 + 10x – 8y + 25 = 0
A = –5; B = 4, dan C = 25
Titik Pusat (–5, 4)
Jari-jari lingkaran
r = 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶
r = (−5)2 + 42 − 25
8.2.2.2 Rangkuman
Gb.5: Lingkaran x2 + y3 + 10x – 8y +
25 = 0
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dengan
titik pusat P(–A, –B) dan berjari-jari dengan r = 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶 dengan A, B,
C bilangan real dan A2 + B2 ≥ C
Modul Matematika SMA 259
8.2.2.3 Tes Formatif
1. Misalkan pada bidang koordinat Kartesius desa Sigaranggarang
terletak pada titik (3, -1), desa sukameriah terletak pada titik (5, 3),
dan desa Kutatonggal terletak pada titik (6, 2) yang terkena dalam
radius daerah yang penduduknya harus mengungsi. Tentukanlah letak
gunung Sinabung (titik pusat) dan radiusnya!
8.2.2.4 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
…………….,………………..20…
Modul Matematika SMA 260
8.2.3 Kegiatan Belajar 3
8.2.3.1 Materi
1. Pengertian Lingkaran
Dari gambar diatas, titik O adalah pusat lingkaran. Titik A,
B, C, D terletak pada lingkaran, maka OA = OB = OC = OD
adalah jari-jari lingkaran = r.
2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di P (0,0) dan A (a,b)
a. Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik P(0,0)
Jika titik S berada pada lingkaran yang berpusat di P
(0,0) maka berlaku PS adalah jari-jari lingkaran, dengan
Modul Matematika SMA 261
menggunakan rumus jarak dari titik P(0,0) ke titik S(x,y)
diperoleh :
𝑃𝑆 = 𝑟 = 𝑥 − 0 ² + (𝑦 − 0)²
𝑟² = 𝑥 − 0 ² + (𝑦 − 0)²
𝑟² = 𝑥² + 𝑦²
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di P(0,0) dan
berjari-jari r adalah :
Untuk lebih memahami tentang cara menentukan
persamaan lingkaran berpusat di P(0, 0), pelajarilah contoh
soal berikut.
Contoh soal :
Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui :
1. pusatnya O(0, 0) dan berjari-jari12
2. pusatnya O(0, 0) dan melalui (7, 24)
Penyelesaian :
1. Lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan r = 12 maka
persamaanya :
𝑥² + 𝑦² = 𝑟²
⟺ 𝑥2 + 𝑦2 = 122
⟺ 𝑥2 + 𝑦2 = 144
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan r
= 12 adalah 𝑥2 + 𝑦2 = 144
2. Lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui (7, 24)
maka jari-jari r = 𝑥2 + 𝑦2 = 72 + 242 =
49 + 576 = 625 = 25 jadi persamaan lingkaran
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
Modul Matematika SMA 262
yang berpusat di titik O(0,0) melalui (7, 24) adalah
𝑥2 + 𝑦2 = 25
b. Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik A(a,b)
Jika titik A(a, b) adalah pusat lingkaran dan titik B(x, y)
terletak pada lingkaran, maka jari-jari lingkaran r sama
dengan jarak dari A ke B.
𝑟 = 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝐴 𝑘𝑒 𝐵
𝑟² = (𝐴𝐵)²
= 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ² + (𝑦 𝐵 − 𝑦𝐴)²
= 𝑥 − 𝑎 ² + (𝑦 − 𝑏)²
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-
jari r adalah:
Untuk memahami tentang persamaan lingkaran berpusat di
titik A(a, b), perhatikan contoh soal berikut.
𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² = 𝑟²
Modul Matematika SMA 263
Contoh soal :
Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui pusatnya (-
2,3) dan berjari-jari 5
Penyelesaian :
Pusat (-2, 3), r =5
Persamaan lingkaran : 𝑥 − −2 ² + 𝑦 − 3 ² = 5²
𝑥 + 2 ² + 𝑦 − 3 ² = 25
𝑥² + 4𝑥 + 4 + 𝑦²− 6𝑦 + 9 = 25
𝑥² + 𝑦² + 4𝑥 − 6𝑦 + 13 = 25
𝑥² + 𝑦² + 4𝑥 − 6𝑦 − 12 = 25
3. Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran yang
Persamaanya diketahui
Berdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan
berjari-jari r adalah:
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
𝑥²− 2𝑎𝑥 + 𝑎² + 𝑦²− 2𝑏𝑦 + 𝑏² = 𝑟²
𝑥² + 𝑦²− 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎² + 𝑏² = 𝑟²
𝑥² + 𝑦²− 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎² + 𝑏²− 𝑟² = 0
Jika −2𝑎 = 2𝐴,−2𝑏 = 2𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑎² + 𝑏² = 𝐶, maka
diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran :
𝑥² − 𝑦² + 2𝐴𝑥 + 2𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 , dimana pusatnya
(−𝐴,−𝐵) dan jari-jari lingkaran
𝑟 = 𝑎² + 𝑏² − 𝐶² 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑟 = 𝐴² + 𝐵²− 𝐶
Modul Matematika SMA 264
Untuk lebih memahaminya, pelajarilah contoh berikut :
Contoh soal 1
Tentukan koordinat pusat dan panjang jari-jari lingkaran
apabila diketahui persamaan lingkaran sebagai berikut.
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 6𝑦 − 15 = 0
Penyelesaian :
𝑥² + 𝑦²− 2𝑥 − 6𝑦 − 15 = 0
𝑥² + 𝑦² + 2𝐴𝑥 + 2𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Maka diperoleh :
2𝐴 = −2 2𝐵 = −6 𝐶 = −15
𝐴 = −1 𝐵 = −3
𝑟 = 𝐴² + 𝐵²− 𝐶
= −1 ² + −3 ²− (−15)
= 1 + 9 + 15 = 25 = 5
Jadi ,pusat lingkaran (1, 3) dan jari-jari lingkaran = 5
Contoh soal 2
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3, -1), (5,
3), dan (6 , 2) kemudian tentukan pula pusat lingkaran dan
jari-jari lingkaran.
Penyelesaian :
Persamaan lingkaran adalah 𝑥² + 𝑦² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
Modul Matematika SMA 265
Melalui (3 ,-1) maka :
𝑥² + 𝑦² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
3² + −1 ² + 𝑎. 3 + 𝑏. −1 + 𝑐 = 0
9 + 1 + 3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0
3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 10 = 0 …… (1)
Melalui (5, 3) , maka :
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
5² + 3² + 𝑎. 5 + 𝑏. 3 + 𝑐 = 0
25 + 9 + 5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0
5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 34 = 0 …… (2)
Melalui (6, 2) , maka :
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
6² + 2² + 𝑎. 6 + 𝑏. 2 + 𝑐 = 0
36 + 4 + 6𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0
6𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 40 = 0 …… (3)
Dari persamaan (1) dan (2) :
3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 10 = 0
5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 34 = 0
−2𝑎 + −4𝑏 + 0− 24 = 0
𝑎 + 2𝑏 + 12 = 0 …… (4)
Dari persamaan (2) dan (3) :
Modul Matematika SMA 266
5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 34 = 0
6𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 40 = 0
−𝑎 + 𝑏 − 6 = 0
𝑎 − 𝑏 + 6 = 0 …… (5)
Dari persamaan (4) dan (5) :
𝑎 + 2𝑏 + 12 = 0
𝑎 − 𝑏 + 6 = 0
3𝑏 + 6 = 0
𝑏 = −2
b = - 2 disubtitusikan ke persamaan (5) :
𝑎 − 𝑏 + 6 = 0
𝑎 + 2 + 6 = 0
𝑎 + 8 = 0
𝑎 = −8
a = - 8 ,b = - 2 disubtitusikan ke persamaan (1) :
3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 10 = 0
3(−8)− (−2) + 𝑐 + 10 = 0
−24 + 2 + 𝑐 + 10 = 0
𝑐 = 12
Jadi persamaan lingkaran adalah :
𝑥² + 𝑦² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
Modul Matematika SMA 267
𝑥² + 𝑦²− 8𝑥 − 2𝑦 + 12 = 0
Maka diperoleh :
2𝐴 = −8 2𝐵 = −2 𝐶 = 12
𝐴 = −4 𝐵 = −1
𝑟 = 𝐴² + 𝐵²− 𝐶
= −4 ² + −1 ²− 12
= 16 + 1 − 12 = 5
Jadi, pusat −𝐴,−𝐵 = (4,1) dan jari-jari 𝑟 = 5
8.2.3.2 Rangkuman
1. Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan titik - titik yang
berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.
2. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0,0) dan berjari-jari r adalah
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
3. Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
4. Bentuk umum persamaan lingkaran 𝑥²− 𝑦² + 2𝐴𝑥 + 2𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
dimana pusatnya (−𝐴,−𝐵) dan jari-jari lingkaran
𝑟 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝐶2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑟 = 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶
Modul Matematika SMA 268
8.2.3.3 Test Formatif
Kerjakan soal-soal dibawah ini secara tepat !
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan
jari-jari sebagai berikut:
a. 3 b. 5
2. Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui pusatnya (4, 5) dan
menyinggung sumbu X.
3. Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui pusat (5, 2) dan melalui
(-4, 1).
4. Tentukan koordinat pusat dan panjang jari-jari lingkaran apabila
diketahui persamaan lingkaran sebagai berikut.
2𝑥2 + 2𝑦2 − 4𝑥 + 3𝑦 = 0
8.2.3.4 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
…………….,………………..20…
Modul Matematika SMA 269
8.2.4 Kegiatan Belajar 4
8.2.4.1 Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran
a. Kedudukan Titik 𝑨 𝒙,𝒚 Terhadap Lingkaran 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐
Berdasarkan gambar diatas persamaan lingkaran adalah
𝑥2 + 𝑦2 = 25
Untuk titik A (2,-1) jika disubtitusikan dalam persamaan
lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25 , maka diperoleh
2² + −1 ² = 4 + 1 = 5 ⟹ 5 < 25
Artinya titik (2,-1) terletak didalam lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25
Untuk titik B (5,0) jika disubtitusikan dalam persamaan
lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25 , maka diperoleh
5² + 0² = 25 + 0 = 25 ⟹ 25 = 25
Artinya titik (5,0) terletak pada lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25
Untuk titik C (5,4) jika disubtitusikan dalam persamaan
lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25 , maka diperoleh
5² + 4² = 25 + 16 = 41 ⟹ 41 > 25
Artinya titik (2,-1) terletak diluar lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25
sehingga dapat disimpulkan bahwa :
1. Titik 𝑃 𝑥,𝑦 terletak di dalam lingkaran, jika berlaku
𝑥2 + 𝑦2 < 𝑟2
2. Titik 𝑃 𝑥,𝑦 terletak pada lingkaran, jika berlaku 𝑥² + 𝑦² = 𝑟²
3. Titik 𝑃 𝑥,𝑦 terletak diluar lingkaran, jika berlaku 𝑥2 + 𝑦2 > 𝑟2
Modul Matematika SMA 270
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut :
Contoh soal
Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran 𝑥² +
𝑦² = 𝑟²
1. 𝐴 3,1
2. 𝐵 −3,4
Penyelesaian :
1. A 3,1 ⟹ 𝑥² + 𝑦² = 3² + 1² = 9 + 1 = 10 < 25
Jadi A(3, 1) terletak didalam lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 𝑟²
2. 𝐵 −3,4 ⟹ 𝑥2 + 𝑦2 = −3 2 + 42 = 9 + 16 = 25 =
25
Jadi titik B(-3, 4) terletak pada lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 𝑟²
b. Kedudukan Titik 𝑨(𝒙,𝒚) Terhadap Lingkaran 𝒙 − 𝒂 ² +
𝒚 − 𝒃 ² = 𝒓²
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut :
Contoh soal :
Tentukan posisi titik-titk berikut terhadap lingkaran 𝑥2 +
𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0
1.𝐴(0,0) 2.𝐵(2,1)
Penyelesaian :
1. 𝐴 0,0 ⟹ 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0 + 0− 6.0 + 8.0
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Jadi titik 𝐴 0,0 terletak pada lingkaran
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0
𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² < 𝑟²
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟
𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² > 𝑟
1. Titik 𝐴(𝑥,𝑦) terletak didalam lingkaran, jika berlaku
2. Titik 𝐴 𝑥,𝑦 terletak pada lingkaran, jika berlaku
3. Titik 𝐴(𝑥,𝑦) terletak di luar lingkaran, jika berlaku
Modul Matematika SMA 271
2. 𝐵 2,1 ⟹ 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 2² + 1² − 6.2 + 8.1
= 4 + 1 − 12 + 8 = 1 > 0
Jadi titik 𝐵 2,1 terletak pada lingkaran
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0
c. Posisi Garis Terhadap Lingkaran
Misalkan g garis dengan persamaan y = ax + b dan L
lingkaran dengan persamaan x2 + y
2 = r
2 Kedudukan garis g
terhadap sebuah lingkaran ditentukan oleh nilai diskriminan
𝐷 = 1 + 𝑎² 𝑟²− 𝑏², yaitu:
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut :
Contoh soal :
Diberikan sebuah garis 2x + y = 2 dan lingkaran x2 + y
2 = 9,
selesaikanlah sistem persamaan linear-kuadrat tersebut!
Kemudian tentukan nilai diskriminannya.
𝐵(𝑥2 ,𝑦2) Y
X 0
Y
X
0
Y
X 0
𝐴(𝑥𝑎 ,𝑦𝑏)
𝐴(𝑥1 ,𝑦1)
(i) (ii) (iii)
g
Modul Matematika SMA 272
Penyelesaian :
2𝑥 + 𝑦 = 2 ⟺ 𝑦 = 2 − 2𝑥 …… (1)
𝑥² + 𝑦² = 5 …… (2)
Subtitusikan persamaan 1 ke 2
𝑥2 + 2− 2𝑥 2 = 5
⟺ 𝑥2 + 4− 8𝑥 + 4𝑥2 = 5
⟺ 5𝑥2 − 8𝑥 − 1 = 0
Sehingga selesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat
tersebut adalah 5x2 – 8x – 1 = 0, dengan nilai diskriminan
𝐷 = 𝑏²− 4𝑎𝑐 = −8 ²− 4 5 −1 = 64 + 20 = 84
Modul Matematika SMA 273
8.2.4.2 Rangkuman
1. Kedudukan titik 𝐴 𝑥,𝑦 Terhadap Lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
a. Titik 𝑃 𝑥,𝑦 terletak di dalam lingkaran, jika 𝑥2 + 𝑦2 <
𝑟2
b. Titik 𝑃 𝑥,𝑦 terletak pada lingkaran, jika berlaku
𝑥² + 𝑦² = 𝑟²
c. Titik 𝑃 𝑥,𝑦 terletak diluar lingkaran, jika berlaku
𝑥2 + 𝑦2 > 𝑟2
2. Kedudukan titik 𝐴 𝑥,𝑦 Terhadap lingkaran 𝑥 − 𝑎 2 +
𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
a. Titik 𝐴(𝑥,𝑦) terletak didalam lingkaran, jika berlaku
𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² < 𝑟²
b. Titik 𝐴 𝑥,𝑦 terletak pada lingkaran, jika berlaku
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟
c. Titik 𝐴(𝑥,𝑦) terletak di luar lingkaran, jika berlaku
𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² > 𝑟
3. Kedudukan garis g terhadap sebuah lingkaran ditentukan oleh
nilai diskriminan 𝐷 = 1 + 𝑎² 𝑟²− 𝑏², yaitu:
a. D > 0 ⇔ garis g memotong lingkaran di dua titik yang
berlainan
b. D = 0 ⇔ garis g menyinggung lingkaran
c. D < 0 ⇔ garis g tidak memotong maupun menyinggung
lingkaran
Modul Matematika SMA 274
8.2.4.3 Test Formatif
Kerjakan soal-soal dibawah ini secara tepat !
1. Tentukan posisi titik 𝐶 5,−6 terhadap lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
2. Tentukan posisi titik 𝐶(3,−2) terhadap lingkaran
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0
3. Diberikan sebuah garis –x + y = 3 dan lingkaran x2 + y
2 = 5 ,
selesaikan-lah sistem persamaan linear-kuadrat tersebut! Kemudian
tentukan nilai diskriminannya.
8.2.4.4 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
…………….,………………..20…
Modul Matematika SMA 275
8.2.5 Kegiatan Belajar 5
8.2.5.1 Persamaan Garis Singgung
1. Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada
Lingkaran berpusat P(0, 0) dan berjari-jari r
Misalnya titik A(x1, y1) terletak pada sebuah lingkaran yang
berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r yaitu, x2
+ y2 = r
2.
Asumsikan x1 ≠ 0 dan y1 ≠ 0 Gradien garis PA adalah 𝑚𝑜𝑝 =𝑦1
𝑥1 ,
garis singgung g tegak lurus dengan garis PA. Gradien garis g
adalah 𝑚𝑔 = −1
𝑚𝑜𝑝= −
1𝑦1𝑥1
= −𝑥1
𝑦1. Akibatnya, persamaan garis
singgung g adalah :
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚𝑔 𝑥 − 𝑥1
⟺ 𝑦 − 𝑦1 = −𝑥1
𝑦1 𝑥 − 𝑥1
⟺ 𝑦 − 𝑦1 𝑦1 = −𝑥1 𝑥 − 𝑥1
⟺ 𝑦𝑦1 − 𝑦12 = −𝑥1𝑥 + 𝑥1
2
⟺ 𝑦𝑦1 + 𝑥1𝑥 = 𝑥12 + 𝑦1
2
Karena A(x1, y1) terletak pada lingkaran x2 + y
2 = r
2, maka
diperoleh x12 y1
2 r. Jadi, persamaan garis singgung lingkaran
yang berpusat di titik P(0, 0) dan berjari-jari r yang melalui titik
A(x1, y1) pada lingkaran x2 + y
2 = r adalah x1x + y1y = r
2
P(0,0
)
r
X
g
A(𝑥1 ,𝑦1)
Y
Modul Matematika SMA 276
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut :
Contoh soal
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui
titik (2, 0) dengan pusat P(0,0) dan berjari-jari 3
Penyelesaian :
Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari 3
adalah x2 + y
2 = 9 Persamaan garis singgung lingkaran x
2 + y
2
= 9 yang melalui titik (2, 0) adalah
𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 = 𝑟2
⟺ 𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 = 9
⟺ 𝑥 2 + 𝑦 0 = 9
⟺ 2𝑥 − 9 = 0
Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (0, 0)
dan berjari-jari 3 adalah 2x – 9 = 0
2. Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada
Lingkaran berpusat P (a, b) dan berjari-jari r
Misalkan titik 𝐴(𝑥1,𝑦1) terletak pada lingkaran 𝑥 − 𝑎 ² +
𝑦 − 𝑏 ² = 𝑟². Gradient garis PA adalah 𝑚𝑃𝐴 =𝑦1−𝑏
𝑥1−𝑎
Garis singgung 𝑔 tegak lurus garis PA, sehingga gradien garis
singgung 𝑔 adalah 𝑚𝑔 = −1
𝑚𝑃𝐴=
𝑥1−𝑎
𝑦1−𝑏
Persamaan garis singgung 𝑔 adalah
Modul Matematika SMA 277
𝑦 − 𝑦1 𝑚𝑔 𝑥 − 𝑥1
⟺ 𝑦− 𝑦1 = −𝑥1−𝑎
𝑦1−𝑏 𝑥 − 𝑥1
⟺ 𝑦 − 𝑦1 𝑦1 − 𝑏 = − 𝑥1 − 𝑎 𝑥 − 𝑥1
⟺ 𝑦𝑦1 − 𝑦𝑏 − 𝑦1𝑦1 + 𝑦1𝑏 = − 𝑥1𝑥 − 𝑥1𝑥1 − 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥1
⟺ 𝑦𝑦1 − 𝑦𝑏 − 𝑦1𝑦1 + 𝑦1𝑏 = −𝑥1𝑥 + 𝑥1𝑥1 + 𝑥𝑎 − 𝑥 1𝑎
⟺ 𝑥1𝑥 − 𝑥𝑎 + 𝑥1𝑎 + 𝑦𝑦1 − 𝑦𝑏 + 𝑦1𝑏 = 𝑥12 + 𝑦1
2
Karena 𝐴(𝑥1,𝑦1) terletak pada lingkaran 𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² =
𝑟², maka diperoleh :
(𝑥1 − 𝑎)² + (𝑦1 − 𝑏)2 = 𝑟2
⟺ 𝑥12 − 2𝑥1𝑎 + 𝑎2 + 𝑦1
2 − 2𝑦1𝑏 + 𝑏2 = 𝑟2
⟺ 𝑥12 + 𝑦1
2 = 𝑟2 + 2𝑥1𝑎 − 𝑎2 + 2𝑦1𝑏 − 𝑏
2
Subtitusikan 𝑥12 + 𝑦1
2 = 𝑟2 + 2𝑥1𝑎 − 𝑎2 + 2𝑦1𝑏 − 𝑏
2 ke
persamaan garis singgung di atas diperoleh,
𝑥1𝑥 − 𝑥𝑎 + 𝑥1𝑎 + 𝑦𝑦1 − 𝑦𝑏 + 𝑦1𝑏 = 𝑟2 + 2𝑥1𝑎 − 𝑎2 +
2𝑦1𝑏 − 𝑏2
⟺ 𝑥1𝑥 – 𝑥𝑎 + 𝑥1𝑎 + 𝑎2 + 𝑦𝑦1 – 𝑦𝑏 + 𝑦1𝑏 +
𝑏2 = 𝑟2
⟺ 𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 𝑟2
Jadi persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik
𝑃(𝑎, 𝑏) dan berjari-jari r yang melalui titik 𝐴 𝑥1,𝑦1 pada
lingkaran
𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² = 𝑟² adalah
𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 𝑟²
Contoh soal
Persamaan garis singgung yang melalui titik (𝑥1 − 𝑦1)
pada lingkaran 𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² = 𝑟² adalah 𝑥 −
𝑎 𝑥1 − 𝑞 + 𝑦1 − 𝑏 = 𝑟²
Modul Matematika SMA 278
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui
titik (2, 4) dengan persamaan lingkarannya adalah (x – 1)2 +
(y – 2)2 = 5.
Penyelesaian :
Persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 – 1)² + (𝑦 – 2)² =
5 yang melalui titik (2, 4)
𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 𝑟2
⟺ 𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 5
⟺ 𝑥 − 1 + 2− 1 + 𝑦 − 2 4− 2 = 5
⟺ 𝑥 − 1 1 + 𝑦 − 2 2 = 5
⟺ 𝑥 − 1 + 2𝑦 − 4 = 5
⟺ 𝑥 + 2𝑦 = 0
Jadi persamaan garis singgung lingkaran (x – 1)2
+ (y – 2)2 =
5 adalah x + 2y = 0
3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran melalui Suatu Titik
di Luar Lingkaran
Misalkan titik A(x1, y1) terletak di luar lingkaran. Terdapat dua
garis singgung lingkaran yang melalui titik A(x1, y1) ,
Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis
singgungnya adalah sebagai berikut:
1. Misalkan gradien garis singgung yang melalui titik A(x1, y1)
adalah m sehingga diperoleh persamaan.
Modul Matematika SMA 279
2. Dari langkah 1 substitusikan nilai y = mx – mx1 + y1 ke dalam
persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat
dalam variabel x, kemudian tentukan nilai diskriminannya,
dari persamaan kuadrat tersebut.
3. Karena garis singgung itu merupakan garis lurus dan
menyinggung lingkaran akibatnya nilai diskriminan nol,
Setelah itu carilah nilai m. Selanjutnya nilai m tersebut
substitusikan ke persamaan y = mx – mx1 + y1 sehingga
diperoleh persamaan-persamaan garis singgung tersebut.
Contoh soal
Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran dengan
pusat P(0, 0) dan berjari-jari 5 yang melalui titik (7, 1).
Penyelesaian :
Titik (7, 1) berada di luar lingkaran x2
+ y2 = 25 sebab jika
titik (7, 1) disubstitusikan ke persamaan lingkaran tersebut
diperoleh
72 + 12 = 50 > 25
Persamaan lingkaran dengan pusat P(0, 0) dan berjari-jari 5
adalah x2
+ y2
= 25
Garis yang melalui titik (7, 1) dengan gradient m, memiliki
persamaan
y = mx – mx1 + y1
⇒ y = mx –7m + 1
Subtitusikan nilai 𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1 ke persamaan lingkaran
𝑥² + 𝑦² = 25 , diperoleh
𝑥2 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1 2 = 25
⟺ 𝑥2 +𝑚2𝑥2 − 49𝑚2 + 1 − 14𝑚2𝑥 + 2𝑚 − 14𝑚 = 25
Modul Matematika SMA 280
⟺ 1 +𝑚2 𝑥2 + 2𝑚 − 14𝑚2 𝑥 + −49𝑚2 − 14𝑚 −
24=0
Selanjutnya di tentukan nilai diskriminan 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝐷 = 2𝑚− 14𝑚2 2 − 4 1 +𝑚2 49𝑚2 − 14𝑚 − 24
= 4𝑚2 − 56𝑚3 + 196𝑚4 − 4(49𝑚2 − 14𝑚 − 24 +
49𝑚4 − 14𝑚3 − 24𝑚2
= 4𝑚2 − 56𝑚𝑚3 + 1196𝑚4 − 196𝑚2 + 56𝑚 + 96 −
196𝑚4 − 56𝑚3 + 96𝑚²
= 4𝑚² + 96𝑚²− 196𝑚2 + 56𝑚 + 96
Syarat 𝐷 = 0
−96𝑚2 + 56𝑚 + 96 = 0
⟺ 96𝑚2 + 56𝑚 + 96 = 0
⟺ 12𝑚2 − 7𝑚 − 12 = 0
⟺ 4𝑚 + 3 3𝑚 − 4 = 0
⟺𝑚 = −3
4 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚 =
4
3
Sehingga diperoleh persamaan garis singgung
3𝑥 − 4𝑦 − 25 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 4𝑥 − 3𝑦 − 25 = 0
Modul Matematika SMA 281
8.2.5.2 Rangkuman
1. Persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada lingkaran x2
+ y2 = r
2 adalah x1x + y1y = r
2
2. Persamaan garis singgung yang melalui titik (𝑥1 − 𝑦1) pada lingkaran
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2 adalah 𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑞 + 𝑦1 − 𝑏 = 𝑟2
3. Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgung di luar
lingkaran adalah sebagai berikut:
a. Misalkan gradien garis singgung yang melalui titik A(x1, y1) adalah
m sehingga diperoleh persamaan.
b. Dari langkah 1 substitusikan nilai y = mx – mx1 + y1 ke dalam
persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam
variabel x, kemudian tentukan nilai diskriminannya, dari persamaan
kuadrat tersebut.
c. Karena garis singgung itu merupakan garis lurus dan menyinggung
lingkaran akibatnya nilai diskriminan nol, Setelah itu carilah nilai
m. Selanjutnya nilai m tersebut substitusikan ke persamaan y = mx
– mx1 + y1 sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung
tersebut.
8.2.5.3 Test Formatif
1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik
(0,4) dengan pusat P(0,0) dan berjari-jari 3
2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (2,3)
dengan persamaan lingkarannya adalah (x – 1)2 + (y – 2)
2 = 4.
Modul Matematika SMA 282
8.2.5.4 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
…………….,………………..20…
Modul Matematika SMA 283
8.3 EVALUASI
8.3.1 Soal Evaluasi
1. Pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan x2
+ y2 + 4x – 6y – 12 =
0 adalah…
2. Lingkaran x2
+ y2 + 4x + by – 12 = 0 melalui titik (1,7). Pusat ligkaran
itu adalah…
3. Diketahui ligkaran 2x2
+ 2y2 – 4x + 3py – 30 = 0 melelui titik (-2,1).
Persamaan lingkaran yang sepusat tetapi panjang jari-jarinya duakali
panjang jari-jari lingkaran tadi adalah…..
4. Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui :
a. pusatnyaO(0, 0) danberjari-jari12
b. pusatnyaO(0, 0) danmelalui (7, 24)
5. Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui:
a. pusatnya (-2,3) danberjari-jari5
b. pusatnya (5, 2) danmelalui (-4,1)
c. pusatnya (4, 5) danmenyinggungsumbu X.
6. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui
titik A(3,4)
7. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(4, 3) dan r = 6
8. Lingkaran x2 + y
2 + 4x + by – 12 = 0 melalui titik (1, 7), tentukan pusat
lingkaran tersebut !
9. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y
2 – 6x + 8y – 24 = 0
10. Tanpa menggambar pada bidang kartesius tentukan posisi titik A(1,2)
terhadap lingkaran x2 + y
2 + 6x – 2y + 3 = 0
11. Diberikan titik A(6, 8) dan L x2 + y
2 = 49. Hitunglah jarak terdekat
titik A ke lingkaran L !
12. Tentukan posisi garis y= 3x + 2 terhadap Lx2 + y
2 + 4x – y + 1= 0
13. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran : L (x + 3)2 + (y – 2)
2
= 58 di titik B(0, 9)
14. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x + 2)2 + (y – 1)
2 =4
yang sejajar dengan garis 3x + 4y – 1 = 0
Modul Matematika SMA 284
15. Tentukan persamaangaris singgung lingkaran L x2 + y
2 – 2x + 6y + 5
= 0 yang tegak lurus garis x + 2y = 5
8.3.2 Lembar Penilaian
Nama :...........................
Kelas :...........................
No. Absen :...........................
Judul Tugas :...........................
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
Tes Formatif Evaluasi
1. Benar cara maupun
hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 – 20
Jumlah
Jumlah Jumlah x 60 % Jumlah x 40%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus
....................,......................Th.......
Modul Matematika SMA 286
9.1 PENDAHULUAN
9.1.1 Deskripsi
Modul ini berisi tentang suku banyak yang meliputi pengertian,
rumus umum, nilai suku banyak,danoperasi antar suku banyak.
9.1.2 Prasyarat
Dalam mempelajari modul ini diperlukan prasyarat yakni
memahami konsep aljabar, pemfaktoran.
9.1.3 Petunjuk Penggunaan Modul
a. Mempelajari daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan
teliti.
b. Kerjakan soal-soal dalam latihan untuk mengukur seberapa jauh
anda menguasai materinya.
c. Apabila dari soal tes formatif anda mendapat score (nilai) 75 maka
anda dapat menuju evaluasi. Apabila anda mendapat score (nilai)
skurang dari 75 maka anda harus mengikuti kegiatan belajar.
d. Perhatikan langkah-langkah dalam mengerjakan soal latihan dengan
benar untuk mempermudah pemahaman anda tentang materi yang
disampaikan.
e. Pahami konsep dan rumus-rumus yang terdapat dalam modul dengan
teliti untuk mempermudah anda dalam mengerjakan soal latihan.
f. Untuk menjawab soal latihan usahakan jawaban singkat, jelas sesuai
kemampuan anda.
g. Bila anda mengalami kesulitan dalam mempelajari dan memahami
modul ini, catatlah kemudian mintalah bantuan kepada guru maupun
mentor anda.
9.1.4 Tujuan Akhir
1. Setelah siswa mempelajari modul ini siswa diharapkan dapat
memahami pengertian suku banyak.
2. Setelah siswa mempelajari modul ini siswa diharapkan dapat
memahami pembagian teorema sisa suku banyak.
Modul Matematika SMA 287
3. Siswa mampu memahami rumus-rumus yang berkaitan dengan suku
banyak dan teorema fektor suku banyak.
4. Siswa mampu memahami akar-akar pada suku banyak.
5. Siswa mampu menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan suku
banyak.
6. Dalam kegiatan belajar mengajar siswa terlibat aktif dan dapat
bertanggung jawab memberi saran, kritik, dan dapat bekerjasama
dengan siswa lainnya.
9.1.5 Kompetensi
Kode Unit:
Judul Unit: Suku Banyak (6 x 45 menit)
Uraian Unit: Unit ini berlaku untuk menentukan Nilai Suku Banyak dengan
berbagai cara.
Sub Kompetensi Indikator
1. Pengertian dan rumus umum
Suku Banyak.
1.1. Memahami pengertian Suku Banyak.
1.2. Memahami rumus umum Suku
Banyak.
1.3. Mengerjakan soal-soal dengan baik
yang berkaitan dengan rumus umum
Suku Banyak.
2. Nilai Suku Banyak. 2.1.Memahami Nilai Suku Banyak
dengan cara substitusi.
2.2.Memahami Nilai Suku Banyak
dengan cara skema.
2.3.Menentukan Nilai Suku Banyak
dengan carasubstitusi dan skema.
3. Operasi Antar – Suku
Banyak
3.1.Memahami penjumlahan Suku
Banyak.
3.2.Menyelesaikan soal yang berkaitan
dengan penjumlahan SukuBanyak.
3.3.Memahami pengurangan Suku
Banyak
3.4.Menyelesaikan soal yang berkaitan
dengan pengurangan Suku Banyak.
3.5.Memahami perkalian Suku Banyak.
3.6.Menyelesaikan soal yang berkaitan
dengan perkalian Suku Banyak.
3.7.Memahami pembagian Suku Banyak
3.8.Menyelesaikan soal yang berkaitan
dengan pembagian Suku Banyak.
4. Pembagian teorema pada
Suku Banyak.
4.1. Memahami Teorema Sisa Suku
Banyak.
4.2. Memahami pembagian Teorema
Modul Matematika SMA 288
Sisa pada Suku Banyak.
4.3. Mengerjakan soal-soal dengan baik
yang berkaitan dengan pembagian
Teorema Sisa Suku Banyak.
5. Teorema Faktor 5.1.Memahami pengertian Teorema
Faktor Suku Banyak.
5.2.Menentukan faktor-faktor Suku
Banyak
5.3.Mengerjakan soal-soal yang
berkaitan dengan Teorema Faktor.
6. Akar-akar Suku Banyak 6.1.Memahami Fungsi Derajat Tiga akar-
akar pada suku banyak.
6.2.Memahami Fungsi Derajat Empat
pada Suku Banyak.
6.3. Mengerjakan soal-soal yang
berkaitan dengan Fungsi Derajat
Akar-akar pada Suku Banyak.‟
Acuan Penilaian
1. Uji kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada pesertauji.
2. Aspek-aspek kritikal yang dinilai
Mampu memahami rumus-rumus Suku Banyak.
Mampu mengerjakan soal dengan baik yang berkaitan dengan Suku
Banyak.
3. Sikap yang dituntut
Siswa mampu mengerjakan soal dengan tepat dan teliti.
Modul Matematika SMA 289
9.1.6 Cek Kemampuan
Petunjuk:
Berilah tanda (√) pada kolom jawaban Ya atau Tidak.
No. Pertanyaan Ya Tidak
1. Apakan anda mengenal Suku Banyak?
2. Apakah memahami pembagian Teorema suku
banyak?
3. Apakah anda memahami rumus-rumus Suku
Banyak dan Teorema faktor suku banyak?
4. Apakah anda memahami Akar-akar pada Suku
Banyak?
5. Apakah anda dapat menyelesaikan soal-soal yang
berkaitan dengan Suku Banyak?
6. Apakah dalam kegiatan belajar mengajar anda
termasuk siswa yang aktif?
Score(Nilai)
…………..,………..20….
Modul Matematika SMA 291
9.2 PEMBAHASAN
9.2.1 Rencana Belajar Siswa
1. Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah tujuan kegiatan belajar, untuk
mengetahui kemampuan siswa sejauh mana materi yang harus dicapai.
2. Pada setiap kegiatan belajar buku panduan dan modul selalu dibawa
sebagai panduan siswa.
3. Sebelum dimulai mengerjakan latihan soal siswa harus memahami
secara baik rumus-rumus Suku Banyak.
4. Kerjakanlah latihan soal dengan baik dan sungguh-sungguh, jika
mengalami kesulitan mintalah bantuan gurumaupun mentor anda.
9.2.2 Kegiatan Belajar 1
9.2.2.1 Pengertian Suku Banyak
Suku Banyak /polinom adalah bentuk suku-suku dengan banyak
terhingga yang disusun dari variable dan konstanta. Suatu Suku
Banyak berderajat n secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk
berikut:
dengan
𝑎𝑛 ,𝑎𝑛−1 ,𝑎𝑛−2,…𝑎0merupakan konstanta dan disebut koefisien
suku,
𝑎𝑛 ≠ 0,𝑛 ∈ 𝐶
𝑎𝑛𝑥𝑛disebut suku utama,
𝑎0 disebut suku tetap atau konstanta,
𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥+ 𝑎0
Modul Matematika SMA 292
𝑎𝑛disebut konstanta utama.
Pangakat tertinggi variable x pada suku banyak yang bersangkutan
disebut derajat suku banyak.Penulisan suku banyak biasanya
disusun menurut pangkat turun dari variabel tersebut. Pangkat yang
tertinggi diletakkan pada urutan paling depan, sedangkan yang
berpangkat lebih kecil berada disebelah kanannya. Perhatikan
beberapa bentuk berikut untuk mengenali suku banyak.
a. 𝑥2 − 3𝑥 + 2, merupakan suku banyak berderajat 2 dengan
koefisien𝑥2 adalah 1,
koefisienx adalah -3,
konstanta atau suku tetap adalah 2.
b. 5𝑥3 + 3𝑥 − 2,merupakan suku banyak berderajat 3, dengan
koefisien𝑥3 adalah 5
koefisien𝑥2 adalah 0
koefisienx adalah 3
konstanta atau suku tetap adalah -2.
c. 4, merupakan suku banyak berderajat 0, dengan konstanta atau
suku tetap 4.
d. 𝑥 + 7𝑥2 − 2𝑥 + 5, bukan merupakan suku banyak karena
pangkat pada suku pertama bukan bilangan bulat non negative.
e. 2
𝑥+ 𝑥2 + 4, bukan merupakan suku banyak karena pangkat pada
suku pertama bukan bilangan bulat non-negatif.
Contoh:
Susunlah bentuk berikut menurut pangkat turun dari variabel x,
dan tentukan derajatnya:
a. 1 − 7𝑥 + 𝑥3 − 6𝑥2 = 𝑥3 − 6𝑥2 − 7𝑥 + 1(berderajat 3)
b. 4 − 3𝑥 + 2𝑥 − 3 2 = 4− 3𝑥 + 2𝑥 − 3 2𝑥 − 3
= 4 − 3𝑥 + 4𝑥2 − 12𝑥 + 9
= 4𝑥2 − 15𝑥 + 13 (berderajat 3)
Modul Matematika SMA 293
2𝑥2−5𝑥−7
2𝑥−7=
2𝑥−7 (𝑥+1)
2𝑥−7 = x + 1 (berderajat 1)
9.2.2.2 Nilai Suku Banyak
Suatu Suku Banyak berderajat n secara umum dapat dinyatakan
dalam bentuk berikut:
𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0
untuk𝑎𝑛 ≠ 0,𝑛 ∈ 𝐶.
Nilai suku banyak f(x) untuk x=k adalah f(x).
Nilai suku banyak langsung dapat ditentukan dengan metode
substitusi langsung dan metode skema.
a) Metode Substitusi Langsung
Cara substitusi langsung adalah cara paling alamiah untuk
menghitung nilai f(x) karena mudah untuk dilakukan.
Substitusikan nilai k pada x (mengganti nilai x oleh k), lalu
lakukan perhitungan (pangkat, tambah, kali, kurang) untuk
mendapatkan f(x).
Misalkan suku banyak:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0
untukx=k, maka nilai suku banyak dinyatakan oleh:
𝑓 𝑘 = 𝑎𝑛𝑘𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑘
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑘𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑘 + 𝑎0
Contoh:
1. Tentukan nilai f(3) jika diketahui f(x)=2x3-5x
2+3x+4
Solusi: f(3)= 2x3-5x
2+3x+4
=33 − 3.1 + 5
=27 – 9 + 5
2. Diketahui suku banyak f(x)=𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥. Tentukan nilai k
yang memenuhi f(x)=0
Solusi:
Jika f(x)= , maka𝑘3 − 𝑘2 − 2𝑘 = 0
↔ 𝑘(𝑘2 − 𝑘 − 2) = 0
Modul Matematika SMA 294
↔ 𝑘 𝑘 + 1 𝑘 − 2 = 0
↔𝑘 = 0,𝑘 = −1atau k = 2
Jadi, f(x)= 0 jika k=0, -1 atau 2
b) Metode Skema
Metode skema adalah cara mengubah suku banyak melalui
perhitungan langkah demi langkah dengan skema.
Misalkan: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
Akan ditentukan nilainya untuk x = k, maka:
𝑓 𝑘 = 𝑎𝑘3 + 𝑏𝑘2 + 𝑐𝑘 + 𝑑
= 𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘 + 𝑐 𝑘 + 𝑑
= 𝑎𝑘 + 𝑏 𝑘 + 𝑐 𝑘 + 𝑑
Jadi, f(k) = 𝑎𝑘 + 𝑏 𝑘 + 𝑐 𝑘 + 𝑑
Langkah-langkah diperolehnya f(k) diatas:
1. Kalikan a dengan k lalu hasilnya ditambah dengan b,
diperoleh ak+b.
2. Kalikan ak+b dengan k lalu hasilnya tambah dengan c,
diperoleh (ak+b)k+c.
3. Kalikan (ak+b)k+c dengan k lalu hasilnya tambah dengan d
diperoleh [(ak+b)k+c]k+d yang merupakan nilai dari x= k.
Secara skema:
k a b c d
ak ak2+bk ak
3+bk
2+ck +
a ak+b ak2+bk+c ak
3+bk
2+ck+d=f(k)
keterangan: tanda berarti dikalikan dengan k.
1 2
3
Modul Matematika SMA 295
Contoh:
Tentukan nilai f(3) jika diketahui f(x)=2x3-5x
2+3x+4 dengan
cara skema. Bandingkan hasilnya dengan cara substitusi.
Tulislah koefisien-koefien variable x berurutan pangkat
tertinggi sampai terendah:
3 2 -5 3 4
6 3 18 +
2 1 6 22=f(3)
Jadi, nilai f(3)=22
Keterangan: tanda berarti dikalikan 3
Dengan cara substitusi:
𝑓 3 = 2. 33 − 5. 32 + 3.3 + 4
= 54 − 45 + 9 + 4
= 22.
Ternyata hasil cara skematik dan cara substitusi sama.
9.2.2.3 Operasi Antar Suku Banyak
a. Penjumlahan dan pengurangan suku banyak
Penjumlahan dan pengurangan suku bayak f(x) dengan g(x)
dapat ditentukan dengan cara penjumlahan dan pengurangan
suku-suku sejenis dari kedua suku banyak itu:
Misalkan:
f(x) suku banyak berderajat m
Modul Matematika SMA 296
g(x) suku banyak berderajat n
Maka f(x) ± g(x) adalah suku banyak berderajat maksimum m
atau n.
Contoh:
Diketahui dua persamaan suku banyak f(x) dan g(x) yakni
𝑓 𝑥 = 𝑥4 + 𝑥2 + 2dan 𝑔 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 1.
Tentukanlah
a. f(x) + g(x) serta derajatnya.
b. f(x) - g(x) serta derajatnya.
Solusi:
a. 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = (𝑥4 + 𝑥2 + 2) + (𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 1)
= 𝑥4 + 𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑥 + 3 , dan berderajat 4
b. 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = (𝑥4 + 𝑥2 + 2)− (𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 1)
= 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 − 1,dan berderajat 4
b. Perkalian Suku Banyak
Operasi perkalian suku banyak dilakukan menggunakan sifat
distributive perkalian, yaitu dengan mengalikan setiap suku dari
suku banyak dengan semua suku dari suku banyak lainnya.
Misalnya: f(x) dan g(x) masing-masing suku banyak berderajat
m dan n maka:
f(x).g(x) adalah suku banyak berderajat maksimum (m+n).
Contoh:
Diketahui dua persamaan suku banyak f(x) dan g(x) yakni
𝑓 𝑥 = (𝑥2 − 1)dan 𝑔 𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥2 + 1. Tentukan
f(x).g(x) serata derajatnya.
Solusi:
𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 1 . (𝑥3 − 2𝑥2 + 1)
= 𝑥5 − 2𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 − 1, dan memiliki derajat 5
Modul Matematika SMA 297
c. Kesamaan Suku Banyak
Perhatikanlah dua suku banyak f(x) dan g(x) dalam bentuk
umum sebagai berikut:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0
𝑔 𝑥 = 𝑏𝑛𝑥𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑏𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑏2𝑥
2 + 𝑏1𝑥 + 𝑏0
Misalkan f(x) sama dengan g(x) (ditulis f(x) ≡ g(x)) maka dapat
kita nyatakan sebagai berikut.
Pengertian kesamaan suku banyak di atas dipakai untuk
mengetahui koefisien-koefisien tak tentu suatu bentuk al jabar,
yaitu koefisien yang belum diketahui bentuk nilainnya.
Contoh:
Tentukan nilai p dari kesamaan suku banyak (𝑥 − 1)2 ≡
𝑥 − 2 𝑥 + 3 + 2𝑝
Solusi:
(𝑥 − 1)2 ≡ 𝑥 − 2 𝑥 + 3 + 2𝑝
𝑥2 − 2𝑥 + 1 ≡ 𝑥2 + 𝑥 − 6 + 2𝑝
Berdasarkan sifat kesamaan suku banyak diperoleh:
−2𝑥 + 1 = 𝑥 − 6 + 2𝑝
2𝑝 = −3x+7
𝑝 =−3𝑥+7
2
𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 ,𝑎𝑛−1 = 𝑏𝑛−1,… ,𝑎2 = 𝑏2,𝑎1 = 𝑏1
Modul Matematika SMA 298
d. Pembagian Suku Banyak
Seperti pada bilangan, pada operasi pembagian suku banyak
juga berlaku hubungan: yang dibagi,pembagi, hasil bagi, dan
sisa pembagi.
Hubungan tersebut secara matematis ditulis:
f(x) = suku banyak yang dibagi → berderajat m.
p(x) = pembagi → berderajat n
h(x) = hasil bagi → berderajat (m – n)
S = sisa pembagian → berderajat (n – 1)
1) Pembagi berbentuk (x – k)
Pembagian suku banyak f(x) oleh pembagi (x – k)
memberikan hasil bagi h(x) dan sisa pembagian S atau f(k).
hubungan tersebut dinyatakan:
Pembagian suku banyak oleh (x – k) dapat dilakukan
dengan cara pembagian biasa dan pembagian horner.
a. Cara pembagian Biasa.
Misalkan suku banyak 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 6
dibagi dengan (x – 2).
𝑥2 + 5𝑥 + 13
(x – 2) 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 6
Pembagi 𝑥3 + 2𝑥2 -
5𝑥2 + 3𝑥 + 6
5𝑥2 − 10𝑥 -
13x + 6
13x – 26 -
32→sisa pembagian
𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑥 . 𝑥 + 𝑆
𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑥 . 𝑥 + 𝑓(𝑘)
Modul Matematika SMA 299
Pembagian di atas dapat ditulis:
𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 6 = (x – 2)(𝑥2 + 5𝑥 + 13)+ 32.
Hasil bagi, h(x) = 𝑥2 + 5𝑥 + 13
Sisa pembagaian = f(2)= 32.
b. Cara pembagian horner
Pembagian suku banyak 𝑓 𝑥 = 53 − 14𝑥 + 3 oleh (x
– 2)
x=2 5 0 -14 3
10 20 12 +
5 10 6 15 = f(2)
Koefisien-koefisien hasil bagi
Hasil bagi, (𝑥)= 5𝑥3 − 10𝑥 + 6 (perhatikan
koefisiennya)
Sisa pembagian, 𝑓(𝑥)= 15
Persamaan dasarnya:
5𝑥3 − 14𝑥 + 3 = (x – 2) 5𝑥3 − 10 + 6 + 15
2) Pembagi berbentuk (ax+b)
Bentuk pembagian (𝑎𝑥 + 𝑏) dapat diubah menjadi
𝑥 +𝑏
𝑎 . Jika 𝑓(𝑥) dibagi 𝑥 +
𝑏
𝑎 maka hasil banginya
(𝑥) dan sisa pembagian 𝑓 −𝑏
𝑎 . Hubungan tersebut
dinyatakan:
𝑓 𝑥 = 𝑥 +𝑏
𝑎 .(𝑥)𝑓 −
𝑏
𝑎
Karena 𝑥 +𝑏
𝑎 =
1
𝑎(𝑎𝑥 + 𝑏), maka diperoleh:
𝑓 𝑥 =1
𝑎 𝑎𝑥 + 𝑏 . 𝑥 + 𝑓 −
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 .(𝑥)
𝑎+ 𝑓 −
𝑏
𝑎
Atau
Modul Matematika SMA 300
Dengan:
𝑓 𝑥 = suku banyak yang dibagi.
𝑎𝑥 + 𝑏 = pembagi.
(𝑥)
𝑎 = hasil bagi
𝑓 −𝑏
𝑎 atau S = sisa pembagian
Hasil bagi dan sisa pembagian dapat ditentukan dengan
cara horner.
Jika bentuk pembagi 𝑎𝑥 + 𝑏 maka k = −𝑏
𝑎
Jika bentuk pembagi 𝑎𝑥 − 𝑏 maka k = 𝑏
𝑎
Contoh:
Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian (3𝑥3 −
𝑥2 + 7𝑥 + 12)oleh (3𝑥 + 2). Nyatakan pula
persamaan dasar pembagiannya.
Solusi:
Nyatakan ulang pembagi: 3〱 + 2 sebagai 𝑥 −
(−2
3)) sehingga a = 3 dan k = −
2
3
−2
3 3 -1 7 12
-2 2 -6 +
3 -3 9 6
Hasil bagi (𝑥)
𝑎 =
3𝑥2−3𝑥+9
3= 𝑥2 − 𝑥 + 3, sisa = f(k)=6
Jadi, 3𝑥3 − 𝑥2 + 7𝑥 + 12= (𝑥2 − 𝑥 + 3) (3𝑥 + 2)+6
3) Pembagi berbentuk (𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒄 + 𝒄)
Suku banyak f(x) dengan pembagian berbentuk 𝑎𝑥2 +
𝑏𝑥 + 𝑐 (a≠0) dapat dilakukan dengan cara bersusun
pendek dan cara horner.
1. Cara bersusun pendek
Jika suku banyak f(x) berderajat m dan pembaginya
berderajat n maka diperoleh:
Hasil bagi berderajat (m – n)
Modul Matematika SMA 301
Sisa pembagian berderajat (n – 1)
2. Cara sintetik (horner)
Pembagian 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dapat difaktorkan menjadi
𝑎𝑥 − 𝑘1 (𝑥 − 𝑘2)
Langkah-langkah jika f(x) dengan 𝑎𝑥 − 𝑘1 𝑎𝑥 − 𝑘2
a. Bagilah 𝑓 𝑥 dengan 𝑎𝑥 − 𝑘1 maka diperoleh hasil
bagi 1(𝑥) dan sisa 𝑓 𝑘1
𝑎 maka 𝑓 𝑥 =
𝑎𝑥 − 𝑘1 .1 𝑥 + 𝑓 𝑘1
𝑎 .
b. Selanjutnya bagilah 1 𝑥 dengan 𝑥 − 𝑘2 ,
diperoleh hasil bagi 2(𝑥)dan sisa pembagian 𝑓(𝑘2)
maka 1 𝑥 = 𝑥 − 𝑘1 .2 𝑥 + 𝑓(𝑘2) .
c. Diperoleh persamaan suku banyak:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 − 𝑘1 𝑎𝑥 − 𝑘2 .2 𝑥 + 𝑎𝑥 −
𝑘1.𝑓(𝑘2+𝑓𝑘1𝑎]
Hasil bagi = 2 𝑥
Sisa pembagian = 𝑎𝑥 − 𝑘1 .𝑓(𝑘2 + 𝑓 𝑘1
𝑎 ]
Contoh:
Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian
𝑓 𝑥 = 3𝑥4 − 2𝑥3 − 10𝑥2 + 7𝑥 + 1oleh(𝑥2 − 𝑥 −
2)
Solusi:
(𝑥2 − 𝑥 − 2)difaktorkan menjadi 𝑥 − 2 (𝑥 + 1)
Tahap 1:
3𝑥4 − 2𝑥3 − 10𝑥2 + 7𝑥 + 1dibagi dulu dengan
𝑥 − 2 .
2 3 -2 -10 7 1
6 8 -4 6 +
3 4 -2 3 7
Modul Matematika SMA 302
1 𝑥 = 3𝑥3 + 4𝑥2 − 2𝑥 + 3
𝑓 𝑘1
𝑎 = 𝑓 2 = 7
Jadi, 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 (3𝑥3 + 4𝑥2 − 2𝑥 + 3) + 7..(1)
Tahap 2:
3𝑥3 + 4𝑥2 − 2𝑥 + 3dibagi dengan (𝑥 + 1), maka:
−1 3 4 -2 3
-3 -1 3 +
3 1 -3 6
2 𝑥 = 3𝑥2 + 𝑥 − 3
2 𝑘1 = 1 −1 = 6
Jadi, 3𝑥3 + 4〱2− 2𝑥 + 3 = (3𝑥2 + 𝑥 −
3) 𝑥 + 1 + 6…….2.
Tahap 3:
Substitusikan 2 ke 1
3𝑥4 − 2𝑥3 − 10𝑥2 + 7𝑥 + 1
= 𝑥 − 2 (3𝑥2 + 𝑥 − 3 𝑥 + 1 + 6) + 7
= 𝑥 − 2 𝑥 + 1 3𝑥2 + 𝑥 − 3 + 6 𝑥 − 2 + 7
= 𝑥2 − 𝑥 − 2 3𝑥2 + 𝑥 − 3 + (6𝑥 − 5)
Jadi, hasil bagi adalah 3𝑥2 + 𝑥 − 3 dan sisa adalah
+(6𝑥 − 5)
Modul Matematika SMA 303
9.2.2.4 RANGKUMAN
1. Rumus Umum Suku Banyak:
𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0
dengan
𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 ,𝑎𝑛−2,…𝑎0merupakan konstanta dan disebut koefisien suku,
𝑎𝑛 ≠ 0,𝑛 ∈ 𝐶.
2. Nilai Suku Banyak
a. Metode Substitusi
Substitusikan nilai k pada x (mengganti nilai x oleh k), lalu
lakukan perhitungan (pangkat, tambah, kali, kurang) untuk
mendapatkan f(x).
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0
untukx=k, maka nilai suku banyak dinyatakan oleh:
𝑓 𝑘 = 𝑎𝑛𝑘𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑘
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑘𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑘 + 𝑎0
b. Metode Skema
k a b c d
ak ak2+bk ak
3+bk
2+ck +
a ak+b ak2+bk+c ak
3+bk
2+ck+d=f(k)
keterangan: tanda berarti dikalikan dengan k.
3. Operasi Antar Suku Banyak
a. Penjumlahan dan Pengurangan Suku Banyak
Penjumlahan dan pengurangan suku bayak f(x) dengan g(x) dapat
ditentukan dengan cara penjumlahan dan pengurangan suku-suku
sejenis dari kedua suku banyak.
f(x) suku banyak berderajat m
g(x) suku banyak berderajat n
Modul Matematika SMA 304
Maka f(x) ± g(x) adalah suku banyak berderajat maksimum m atau
n.
b. Perkalian Suku Banyak
f(x) dan g(x) masing-masing suku banyak berderajat m dan n
maka:
f(x).g(x) adalah suku banyak berderajat maksimum (m + n).
c. Kesamaan Suku Banyak
f(x) sama dengan g(x) (ditulis f(x) ≡ g(x)) maka dapat kita
nyatakan sebagai berikut.
𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 ,𝑎𝑛−1 = 𝑏𝑛−1,… ,𝑎2 = 𝑏2,𝑎1 = 𝑏1
d. Pembagian
Rumus umum pembagian suku banyak:
𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑥 . 𝑥 + 𝑆
f(x) = suku banyak yang dibagi → berderajat m.
p(x) = pembagi → berderajat n
h(x) = hasil bagi → berderajat (m – n)
S = sisa pembagian → berderajat (n – 1)
Modul Matematika SMA 305
9.2.2.5 Tes Formatif
1. Tentukan derajat suku banyak berikut beserta dengan koefisien-
koefisien dan konstanta yang ada pada suku banyak berikut:
14𝑏 − 25𝑏5 − 20𝑏3 + 3𝑏2
2. Susunlah setiap bentuk suku banyak berikut ini menurut pangkat
turun dari variabel y.
a. (9𝑦2 − 9) + (8𝑦 + 7𝑦2 − 5)
b. (2𝑦2 + 9) − (3𝑦2 − 7)
3. Manakah yang merupaan suku banyak dari bentuk berikut:
a. 1
𝑎+ 𝑎2
b. 𝑥 + 1 𝑥 − 1 (𝑥 + 2)
4. Dengan cara substitusi tentukan nilai dari:
a. 𝑓(3), jika f(x)=2𝑥3 − 9𝑥2 + 2𝑥 − 5
b. 𝑓(1
2), jika 𝑓 𝑥 = 8𝑥3 − 6𝑥 + 3
5. Dengan cara skema tentukan nilai dari:
a. 𝑓(4), jika 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 5𝑥2 + 3𝑥 − 4
b. 𝑓 −2 , jika 𝑓 𝑥 = 4𝑥3 − 3𝑥 + 7
6. Diketahui 𝑓 𝑥 = 2𝑥4 − 𝑥3 + 7𝑥 − 1 dan 𝑔 𝑥 = 𝑥4 − 7𝑥3 − 𝑥 +
2 tentukanlah 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) dan derajatnya.
7. Diketahui 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 − 𝑥2 + 1 dan 𝑔 𝑥 = (𝑥2 + 𝑥)2 tentukan
𝑓 𝑥 .𝑔(𝑥) dan derajatnya.
8. Tentukan nilai konstanta p dari kesamaan 𝑥2 + 4𝑥 − 1 ≡
𝑥 + 1 𝑥 + 2 + 3𝑝
9. Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian (𝑥 3 + 4𝑥2 − 3𝑥 + 1
oleh (𝑥 + 3)
10. Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian (6𝑥2 + 𝑥 − 8) dibagi
oleh 2𝑥 − 3
Modul Matematika SMA 306
9.2.2.6 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 - 20
Jumlah Jumlah x 100%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus
…………….,………………..20…
Modul Matematika SMA 307
9.2.3 Kegiatan Belajar 2
9.2.3.1 Pembagian Teorema Sisa
Berdasarkan pembagian suku banyak f(x) dengan pembagi seperti
(x - k), (ax - b),dan a𝑥2+ bx + c maka dapat diturunkan teorema
sisa berikut.
a. Pembagi Bentuk (x – k)
1) Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k) maka sisanya S = f(k).
2) Jika suku banyak f(x) dibagi (x + k) maka sisanya S = f(-k).
b. Pembagi Bentuk (ax -b)
a. Jika suku banyak f(x) dibagi (ax -b) maka sisanya S = f 𝑏
𝑎
b. Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b) maka sisanya S = f –
𝑏
𝑎
c. Pembagi Bentuk a𝑥2+ bx + c atau (x - a)(x - b)
a. Jika suku banyak f(x) dibagi (x - a)(x - b) maka sisanya S =
(x - a) . h1 (b) + f(a).
b. Jika suku banyak f(x) dibagi (ax - b)(x - c) maka sisanya S =
(ax - b) . h1 (c) + f 𝑏
𝑎 .
c. Jika suku banyak f(x) dibagi (x - a) sisanya S1 dan jika dibagi
(x - b) sisanya S2 maka suku banyak f(x) jika dibagi (x - a)(x
– b) sisanya : S(x) = px + q
Subtitusi x = a dan x = b diperoleh:
P = 𝑠1−𝑠2
𝑎−𝑏 dan q =
𝑎𝑠2−𝑏𝑠1
𝑎−𝑏 .
d. Habis Dibagi (x - a)
Jika suku banyak f(x) habis dibagi (x - a) maka sisanya S = 0
atau f(a) = 0.
Contoh:
Jika f(x) dibagi dengan (x - 2) sisanya 24, sedangkan jika f(x)
dibagi (2x-3) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan (x - 2)( 2x - 3)
sisanya adalah….
Modul Matematika SMA 308
Pembahasan:
f(x) dibagi dengan (x - 2) sisanya 24 maka f(2) = 24
jika f(x) dibagi (2x-3) sisanya 20 maka f 3
2 = 20
f(x) dibagi dengan (x - 2)( 2x – 3) maka sisanya S(x) = px + q.
untuk x = 2 f(2) = 2p + q = 24
untuk x = 3
2 f(
3
2 ) =
3
2 p + q = 20 −
1
2p = 4 p= 8
Untuk p = 8 maka 2(8) + q = 24 q = 8
Jadi, s (x) = px + q = 8x + 8.
1. Pengertian Teorema Faktor.
a. Suku banyak f(x) mempunyai faktor (x – a ), jika dan hanya
jikaf(a)= 0.
b. Jika suku banyak f(x) berlaku f(a)= 0, f(b)= 0 dan f(c) = 0
maka f(x) habis dibagi (x - a)(x - b)(x - c).
c. Jika (x - a) adalah faktor dari f(x) maka x = a adalah akar dari
f(x).
2. Menentukan Faktor-faktor Suku Banyak.
a. Jika suku banyak f(x) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +
⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 dan (x - k) merupakan faktor dari f(x) maka
nilai k yang mungkin adalah faktor-faktor dari 𝑎0.
b. Dengan cara mencoba-coba, subtitusikan x = k pada f(x). Jika
f(x) = 0 maka nilai(x - k) merupakan faktor dari f(x),
sebaliknya jika f(x) ≠ 0 maka (x - k) bukan faktor dari f(x).
c. Jika f(x) faktornya (x - k) maka hasil baginya misalnya h(x)
dapat dicari faktornya lagi seperti langkah 1 dan 2.
Contoh:
Salah satu faktor suku banyak p(x) = 𝑥4 − 15𝑥2 − 10𝑥 + 𝑛
adalah (x + 2). Faktor lainnya adalah.....
Modul Matematika SMA 309
Pembahasan:
p(x) = 𝑥4 − 15𝑥2 − 10𝑥 + 𝑛
(x + 2) faktor dari p(x), maka p(-2) = 0
X = -2 1 0 -15 -10 n
-2 4 22 -2 +
1 -2 -11 12 n-24 = 0
h1(x) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 11𝑥 + 12
nilai k yang mungkinadalah faktor bilangan dari𝑎0 = 12.
Yaitu: ±1, ±2, 3±, 4±, 6±, ± 12.
Dengan cara mencoba-coba bilangan diatas ditemukan faktor
dari h1(x) adalah (x - 1) atau k = 1.
X = 1 1 -2 -11 12
1 -1 -12 +
1 -1 -12 0 = f(1)
Maka (x - k) atau x = 1 merukan faktor dari p (x) karena p (1)
= 0
h2(x)=𝑥2 − 𝑥 − 12
bentuk𝑥2 − 𝑥 − 12 dapat difaktorkan menjadi (x + 3)(x - 4)
sehingga𝑥4 − 15𝑥2 − 10𝑥 + 24 = (x + 2)(x - 1)(x + 3)(x +
4).
Jadi, faktor lainnya dari f(x) adalah (x - 4).
9.2.3.2 Akar-akar Suku Banyak
A. Fungsi Derajat Tiga
Jika x1, x2, dan x3 akar-akar suku banyak 𝑎𝑥3 − 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
= 0 maka berlaku:
Modul Matematika SMA 310
x1 + x2 +x3 = − 𝑏
𝑎
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 𝑐
𝑎
x1 . x2. x3 = − 𝑑
𝑎
B. Fungsi Derajat Empat
Jika x1, x2, x3, x4 akar-akar suku banyak 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 +
𝑑𝑥 + 𝑒 = 0 maka berlaku:
x1 + x2 + x3 + x4 = − 𝑏
𝑎
x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 +
x3x4 = 𝑐
𝑎
x1x2x3 + x1x3x4 + x1x2x4 + x2x3x4
= − 𝑑
𝑎
x1 . x2. x3. x4 = 𝑒
𝑎
Modul Matematika SMA 311
9.2.3.3 Rangkuman
Teorema sisa
Persamaan dasar pada pembagian suku banyak
f(x) = g(x) . h (x) + s(x)
dengan f(x) = suku banyak berderajat n
g(x) = pembagi berderajat m, m<n
h(x) = hasil bagi berderajat (n – m )
s(x) = sisa
Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k ), maka sisanya adalah
f(k)
Jika suku banyak f(k) dibagi (ax + b), maka sisanya adalah
𝑓 − 𝑏
𝑎
Jika suku banyak f( x) dibagi (x – a )(x – b ), maka sisanya
adalah[ (x – a ). h(b) + f(a)].
Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k )(ax – b ), maka sisanya
adalah [(x – k ). h 𝑏
𝑎 +f(k) ]
Teorema factor
Persamaan dasar pada pembagian suku banyak
f(x) = g(x) . h (x) + s(x)
jika s(x) = 0, maka g(x) merupakan factor dari f(x).
(x – k ) merupakan factor dari suku banyak f(x) jika dsan
hanya jika s(x) = f(x) = 0
Akar –akar Suku Banyak.
Untuk fungsi berderajat tiga:
x1 + x2 +x3 = − 𝑏
𝑎
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 𝑐
𝑎
x1 . x2. x3 = − 𝑑
𝑎
Modul Matematika SMA 312
untuk fungsi berderajat empat:
x1 + x2 + x3 + x4 = − 𝑏
𝑎
x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = 𝑐
𝑎
x1x2x3 + x1x3x4 + x1x2x4 + x2x3x4 = − 𝑑
𝑎
x1 . x2. x3. x4 = 𝑒
𝑎 .
9.2.3.4 Tes Formatif
1. Suku Banyak 𝑥4 − 2𝑥3 − 3𝑥 − 7 dibagi dengan (x – 3)
(x + 1), sisanya adalah……..
2. Jika p(x) = 𝑥4 + 5𝑥3 + 9𝑥2 + 13𝑥 + 𝑎 dibagi dengan
(x+ 3) bersisa 2 maka p (x) dibagi (x + 1) akan
bersisa…..
3. Suku Banyak 𝑥4 − 3𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥 − 6 dibagi dengan
𝑥2 − 𝑥 − 2 sisanya adalah….
4. Suku banyak f(x) = 3𝑥3 − 13𝑥2 + 8𝑥 + 12 dapat
dinyatakan dala bentuk perkalian faktoe-faktor
liniernya menjadi......
5. Himpunan penyelesaian dari persamaan 𝑥3 − 4𝑥2 +
𝑥 + 6 = 0 adalah…..
6. Tunjukkan bahwa (x – 2 ) merupakan factor dari
3𝑥3 + 2𝑥2 − 19𝑥 + 6, lalu tentukan factor-faktor yang
lain.
7. Misalkan diketahui persamaan 2𝑥3 − 6𝑥2 − 8𝑥 +
20 = 0 mempunyai akar-akar x1,x2,x3.
Modul Matematika SMA 313
9.2.3.5 Lembar Penilaian
Nama :
No. Absen :
Judul Tugas :
No. Kriteria
Penilaian Rentang Nilai
Nilai Prestasi
Tes Formatif Evaluasi
1.
Benar cara
maupun
hasilnya
0 – 60
2. Benar cara,
hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil,
cara salah 0 – 20
Jumlah Jumlah x 60% Jumlah x 40%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan: Lulus / Tidak Lulus
....................,......................Th.......
Modul Matematika SMA 314
9.3 EVALUASI
9.3.1 Soal Evaluasi
1) Susunlah setiap bentuk suku banyak 𝑥2 − 3𝑥 + 5 − 𝑥3 menurut
pangkat turun dari variabel x dan sebutkan derajatnya.
2) Tentukan koefisien𝑥4 dari suku banyak (3𝑥2 + 1)2 + 𝑥(2𝑥 − 3)
3) Dengan menggunakan cara substitusi, tentukan nilai dari f(-3), jika
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 8𝑥 − 3
4) Dengan menggunakan cara substitusi, tentukan nilai setiap suku banyak
untuk nilai x yang diberikan.4𝑥2 − 6𝑥 + 2, untuk 𝑥 =1
2
5) Dengan menggunakan cara skema, tentukan nilai dari f(-5), jika
𝑓 𝑥 = 2𝑥4 + 8𝑥3 − 𝑥2 − 19𝑥 + 8
6) Dengan menggunakan cara horner, tentukan nilai setiap suku banyak,
untuk nilai x yang diberikan16𝑥3 − 4𝑥 + 6, untuk 𝑥 =1
2
7) Tentukan x yang menjadikan suku banyak berikut bernilai nol.𝑓 𝑥 =
𝑥3 + 2𝑥2 − 8𝑥
8) Tentukan nilai dibawah ini.
a. Jika diketahui𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 5𝑥2 − 𝑎𝑥 + 8 mempunyai nilai f(-2)=
26, tentukan nilai a.
b. Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑘 − 9, jika f(1) = - 6 dan f(3)= 6
tentukan nilai dari (𝑎 − 𝑏)2.
9) Suku banyak 3𝑥3 + 7𝑥2 + 𝑎𝑥 − 6 dibagi 𝑥 + 2 sisanya 16. Tentukan
nilai a.
10) Bila 2𝑥3 + 𝑥2 + 4𝑥 + 4 dan 2𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 + 𝑝 dibagi 2𝑥 − 3
mempunyai sisa yang sama, tentukan nilai p.
11) Tentukan sisa pada pembagian (𝑥3 − 2㔂 + 7) oleh (x + 2 ).
12) Tentukan sisa pada pembagian(4𝑥3 − 2𝑥2 + 3) oleh (2x – 3 ).
13) Suku banyak (6𝑥3 + 7𝑥2 + 𝑝𝑥 − 24 habis dibagi oleh 2x- 3 . tentukan
nilai p=….
14) Suku banyak f(x) jika dibagi (x + 2) mempunyai sisa 14 dan dibagi (x –
4 ) mempunyai sisa -4 . tentukan sisanya jika f(x) dibagi (𝑥2 − 2𝑥 − 8).
Modul Matematika SMA 315
15) Tentukan k sehingga suku banyak (2𝑥4 − 9𝑥3 + 5𝑥2 + 𝑘𝑥 − 4)
mempunyai factor (x – 4 ).
9.3.2 Lembar Penilaian
Nama :...........................
Kelas :...........................
No. Absen :...........................
Judul Tugas :...........................
No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi
Tes Formatif Evaluasi
1. Benar cara maupun
hasilnya 0 – 60
2. Benar cara, hasil salah 0 – 20
3. Benar hasil, cara salah 0 – 20
Jumlah
Jumlah Jumlah x 60 % Jumlah x 40%
Jumlah Nilai Akhir
Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus
....................,......................Th.......
Modul Matematika SMA 316
DAFTAR PUSTAKA
Alisah, Erawati dan M,Idris.2009. Buku Pintar Matematika.Jogyakarta :
Mitra Pelajar
Estien, Yazid.2013,Matematika SMA dan MA.Yogyakarta:Andi.
Fathurin Zen, 2014. ‚„„Trigonometri„„.Bandung: Alfabeta
Fitriana, Stalis. 2004. Matematika Semester 3. Jakarta : Erlangga
Kanginan, Marthen. 2014. Matematika 1 untuk SMK/SMA Kelas X
Kelompok Wajib. Bandung: Grafindo Media Pratama.
Kasmina dan Toali. 2013. Matematika untuk SMK/MAK Kelas X. Jakarta:
Erlangga.
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2013. Matematika untuk
SMA/MA kelas X. Jakarta: Politeknik Negeri Media Kreatif
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika: Buku
Guru/Kementerian
Kementrian pendidikan dan kebudayaan, Matematika : Buku Guru /
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan untuk SMA/MA/SMK/MAK
Kelas XI, Jakarta : 2014
Kementrian pendidikan dan kebudayaan, Matematika : Buku Siswa untuk
SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI, Jakarta : 2014
Kuntarti, Sri Kurnianingsih dan Sulistiyono.2007.Matematika SMA dan
MA.Jakarta:Esis.
Martono, Koko dan Eryanto, R. dan Noor, Firman Syah. 2008.
Matematika dan Kecakapan Hidup Untuk SMA Kelas X. Bekasi: Ganeca
exact.
Marwanta dkk..2009. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: Yudhistira.
Noormandiri, 2006. „„ Matematika 2006“.Jakarta: Penerbit Erlangga.
Pendidikan dan Kebudayaan. Balitbang : Pusat Kurikulum dan Perbukuan,
Kemdikbud.
Rosihan dan Indriyastuti.2013 ”Prespektif Matematika 1”.Solo.PT Tiga
Serangkai Pustaka Mandiri
Sharma, S N, 2014. Matematika 1 A. Jakarta: Yudhistira
Sukino, 2013, Matematika Jilid 1B untuk SMA/MA Kelas X Semester 2,
Jakarta: Erlangga
Sulistiyono. 2006. Matematika SMA. Jakarta : Erlangga
Sunardi Hari Subagyo, 2011. „„ Mathematics“.Jakarta: PT Bumi Aksara
Tim MGMP Matematika Kab Tulungagung.2013.Matematika SMA dan
MA.Tulungagung.
Modul Matematika SMA 317
Tung, Khoe Yau. 2012. Pintar Matematika SMA Kelas X IPA untuk
Olimpiade dan Pengayaan Pelajaran. Yogyakarta: C.V ANDI OFFSET.
Widyantini. 2004. STATISTIKA. Yogyakarta : Widyaiswara.
Winokromo, Sartonp.2007. Matematika untuk SMA kelas X KTPS
2006.Jakarta : Erlangga
Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematika Jilid 1 untuk Kelas X. Jakarta:
Erlangga.
Yuana, Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2013. Perspektif Matematika 1 untuk
Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam.
Solo: PT Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.
Zaelani, Ahmad, dkk. 2006, Matematika SMA dan MA. Bandung: Yrama
Widya Zen, Fathurin. 2014. Trigonometri. ALFABETA : Bandung
Modul Matematika SMA 318
KUNCI JAWABAN
Kunci 1.2.2.4
1. a. 25 x 29 = 25+9 → menggunakan sifat pertama
= 214
b. 35 x 36 = 35+6 → menggunakan sifat pertama
= 311
c. 45 𝑥 43
42 = 45+3
42 → menggunakan sifat pertama
= 48
42
=48−2 → menggunakan sifat kedua
= 46
2. a. 4−3
42 = 1
42 x 1
43 → pangkat bulat negatif
= 1
42 𝑥 43
= 1
42+3 → sifat pertama
= 1
45
b. 3−4 = 1
34
= 1
81 → pangkat bulat negatif
c. 𝑥3
𝑥3 = 𝑥3 . 𝑥−3
= 𝑥3+(−3) → sifat pertama
= 𝑥0 →aturan pangkat nol
= 1
Kunci 1.2.3.3
1. a. 8 = 4 𝑥 2
= 4 x 2
= 2 2 → bentuk akar
𝑏. 16
25 =
16
25
Modul Matematika SMA 319
= 4
5 →bukan bentuk akar
2. a. 12 = 4 𝑥 3
= 4 x 3
= 2 3
b. 48 𝑥4𝑦13 = 16 𝑥 3 𝑥4 . (𝑦12 𝑦1 )
= 16 𝑥4𝑦12 . 3𝑦
= 4𝑥2𝑦6 3𝑦
3. a. 5 2 + 32 - 3 8
= 5 2 + 16 𝑥 2 – 3 . 4 𝑥 2
= 5 2 + 4 2 – 3 . 2 2
= 5 2 + 4 2 - 6 2
= (5 + 4 - 6) 2
= 3 2
b. 18
6 =
18
6
= 3
Kunci 1.2.4.4
6. a. 6
10 =
6
10 x 10
10
= 6 10
10
= 3
5 10
b. 4
5 3𝑥 =
4
5 3𝑥 x 3𝑥
3𝑥
= 4 3𝑥
5 . 3𝑥
= 4
15𝑥 3𝑥
7. p + q = 2− 3
2+ 3 +
2+ 3
2− 3
= 2− 3 2− 3 + 2+ 3 2+ 3
2+ 3 2− 3
= (2− 3)2+(2+ 3)2
(2)2− ( 3)2
Modul Matematika SMA 320
= 4−4 3 +(4+4 3+3)
4−3
= 14
1 = 14
8. a. 122
3 = (22 𝑥 3)2
3
= 22 𝑥 2
3 x 3
2
3
= 24
3 x 32
3
= 243 x 323
= ( 233 x 213
) x 93
= 2 x 23
x 93
= 2 183
b. ɑ−3
2 = 1
ɑ32
= 1
ɑ1 𝑥 ɑ12
= 1
ɑ ɑ x ɑ
ɑ
= 1
ɑ 𝑥 ɑ ɑ =
1
ɑ2 ɑ
4. 7
𝑥5 =
7
𝑥15
= 7
𝑥15
x 𝑥
45
𝑥45
= 7𝑥
45
𝑥55
= 7𝑥
45
𝑥1
= 7 𝑥45
𝑥
Kunci 1.2.5.3
1. Nyatakan dalam bentuk logaritma yang ekuivalen :
a. 𝑎𝑛 = 𝑏
Penyelesaian : an = b ↔
alog b = n
Modul Matematika SMA 321
b. 3𝑥 = 𝑦
Penyelesaian : 3x = y ↔ 3log y = x
2. Nyatakan bentuk berikut menjadi bentuk pangkat :
a. 2log x = n
Penyelesaian : 2log x = n ↔ x = 2
n
b. 3log a = y
Penyelesaian : 3log a = y ↔ a = 3
y
c. 10log 100 = 2
Penyelesaian : 10
log 100 = 2 ↔ 100 = 102
d. 2log a = 5
Penyelesaian : 2log a = 5 ↔ a = 2
5
3. Hitunglah nilai logaritma berikut :
a. 5log 625
Penyelesaian :
Misal : 5log 625 = x ↔ 5
x = 625
x = 4
b. 5log 0,2
Penyelesaian :
Misal : 5log 0,2 = x ↔ 5x
= 0,2 x = 0,4
4. Sederhanakan !
a. 6log 4 +
6log 54
Penyelesaian : 6log 4 +
6log 54 =
6log (4×54) =
6log 216 =
6log 6
3 = 3
b. log 25 + log 4
Penyelesaian : log 25 + log 4 = log 25×4
Modul Matematika SMA 322
c. 2log 7 –
2log 28
Penyelesaian : 2log 7 –
2log 28 =
2log
7
28
= 2log
1
4 =
1
22 = 2-2
= 2
d. 2log 16 –
2log 4
Penyelesaian : 2log 16 –
2log 4 =
2log
16
4
= 2log 4 =
2log 2
2 =2
e. 2 log 2 + 3 log 3
Penyelesaian : 2 log 2 + 3 log 3 = log 22 + log 3
3 = log 4 + log 9 = log 4×9 =
log 36 = log 62 = 2
f. 2 log 5 – log 25
Penyelesaian : 2 log 5 – log 25 = log 52 – log 25 = log 25 – log 25 = log
25
25 =
log 1
Kunci 1.2.6.3
1. Jika 2log 3 = a, nyatakan logaritma-logaritma berikut dalam bentuk a :
a. 8log 3
Penyelesaian : 8log 3 =
log 3
log 8=
log 3
log 23 = log 3
3 log 2=
1
3 2log 3 =
1
3 𝑎
b. 4log 81
Penyelesaian : 4log 81 =
log 81
log 4 =
log 34
log 22 = 4 log 3
2 log 2=
4
2 2log 3 = 2a
c. 8log 27
Penyelesaian : 8log 27 =
log 27
log 8=
log 33
log 23 = 3 log 3
3 log 2 =
2log 3 = a
2. Sederhanakan !
a. plog 5 ×
5log y ×
ylog p
Penyelesaian : gunakan sifat logaritma yang ke-5
plog 5 ×
5log y ×
ylog p =
plog p
b. 2log 25 × 5log 16
Modul Matematika SMA 323
Penyelesaian : gunakan sifat logaritma yang ke-5
2log 25 ×
5log 16 =
2log 25 ×
5log 16 =
2log 5 ×
5log 4 =
2log 4 =
2log 2
2 = 2
c. 3log 16 × (4log 9 +
4log 3)
Penyelesaian : gunakan sifat logaritma yang ke-5 dan ke-1
3log 16 × (
4log 9 +
4log 3) =
3log 4 (
4log 9×3) =
3log 4 (
4log 27) =
3log 4 (
4log 3
3) =
3log 4 ×
4log 3 =
3log 3 = 1
d. 9log 3 ×
3log 27
Penyelesaian : gunakan sifat logaritma yang ke-5
9log 3 ×
3log 27 =
9log 27 = 32
log 33 = 3
3. Diketahui 2log 3 = a, nyatakan dalam bentuk a dari logaritma berikut :
a. 2log 27
Penyelesaian : 2log 27 =
2log 27
2log 2 =
2log 33
2log 2 =
32log 3
1 =
3𝑎
1 = 3a
b. 8log 9
Penyelesaian : 8log 9 =
log 9
log 8 =
2log 32
2log 23 =
22log 3
32log 2
= 2𝑎
3
c. 4log 9
Penyelesaian : 4log 9 =
log 9
log 4 =
2log 32
2log 22 =
22log 3
22log 2
= 2𝑎
2
4. Dengan menggunakan kalkulator tentukanlah !
a. log 4,186 = 0,621...
b. log 4,2 = 0,623...
c. log 0,096 = -1,017...
d. log 103 = 2,012...
Kunci 1.3.1
1. a. 3𝑥4 x 𝑥2 = 3 (𝑥4+2)
= 3𝑥6
b. (3ɑ3 𝑏2)4 = 34 x (ɑ3)
4 x (𝑏2)
4
= 81 x ɑ3 𝑥 4 x 𝑏2 𝑥 4
= 81 ɑ12 𝑏8
2. ɑ2 𝑏3 𝑐−1
ɑ−2𝑏 𝑐2 = ɑ2+2 x 𝑏3− 1 x 𝑐−1−2
= ɑ4 x 𝑏2 x 𝑐−3
Modul Matematika SMA 324
= ɑ4 x 𝑏2
𝑐3
= 24 x 32
53
= 16 (9)
125
= 144
125
3. (3𝑥 + 5)9 = (3𝑥 + 5)8 𝑥 (3𝑥 + 5)1
= (3𝑥 + 5)8 x (3𝑥 + 5)
= (3𝑥 + 5)4 (3𝑥 + 5)
4. (1− 2
1+ 2)2 =
1+2−2 2
1+2+2 2
= 3−2 2
3+2 2 x
3−2 2
3−2 2
= 32−2 3 2 2 + 2 2
2
(3)2− 2 2 2
= 9−12 2+8
9−8
= 17 - 12 2
5. a. 2𝑥 𝑥34 = 2𝑥1 (𝑥
3
4)
= 2𝑥3
4
b. 3𝑥2
𝑥23 = 3𝑥2
𝑥34
= 3𝑥4
3
6. a. 8 + 2 15 = 5 + 3 + 2 5 𝑥 3
= 5 + 2 5 𝑥 3 + 3
= ( 5 + 3 )2
= 5 + 3
Modul Matematika SMA 325
b. 9− 4 5 = 5− 4 5+ 4
= ( 5 − 2)2
= 5 − 2
7. Hitunglah :
a. log 21 − log 210
b. log 25 − log 5
2
c. 3log 4,5 + 3log 6
d. 6log 9 + 6log 8 –
6log 2
e. log 2 + log 10 – log 1
5
f. 3log 45 – 9log 25
g. log 2 + 2 log 3 – log 18
8. Sederhanakan !
a. 2 log 3 + 2 log 3
b. 1
2 2log 16 −
1
3 2log 8
c. 5log 320 – 3 5log 4
d. 2log 24 – 8log 27
e. 5log 9 ×
9log 625
f. 5 log 5 + 2 log 2 – log 25
g. 8 log 8 – 2 log 2
9. Jika 5log
1
25 +
5log 125 = x, maka nilai x adalah...
10. Diketahui 3log 7 = a,
5log 2 = b, dan
2log 3 = c. Nyatakan logaritma berikut dalam
bentuk a, b, dan c
a. 7log 3
b. 4log 5
c. 3log 2
11. Jika 3log 5 = p, tunjukkan bahwa
9log 5 =
1
4 p
12. Diketahui 2log 7 = a dan
2log 3 = b, maka nilai dari
6log 14 adalah...
13. Diketahui 3log 4 = p dan
3log 5 = q, maka nilai dari
3log 80 adalah...
14. Dengan menggunakan kalkulator, tentukan nilai logaritma berikut :
a. log 4,6
b. log 5,2
Modul Matematika SMA 326
c. log 69,4
d. log 0,17
Kunci 2.2.2.4
1) 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 8 → nilai koefisien 𝑎 = 1, 𝑏 = 2,𝑑𝑎𝑛 𝑐 = −8
(a) Titik potong dengan sumbu koordinat
(i) Titik potong dengan sumbu 𝑋 → 𝑦 = 0, maka
𝑥2 + 2𝑥 − 8 = 0
𝑥 + 4 𝑥 − 2 = 0
𝑥 = −4 atau 𝑥 = 2
Jadi titik potong grafik dengan sumbu 𝑋 adalah (-4,0) dan (2,0)
(ii) Titik potong dengan sumbu 𝑌 → 𝑥 = 0, maka
𝑦 = 0 2 + 2 0 − 8
𝑦 = −8
Jadi, titik potong grafik dengan sumbu 𝑌 adalah (0,-8)
(b) Sumbu simetri 𝑥 =−𝑏
2𝑎=
−(2)
2(1)= −1
(c) Nilai minimum fungsi 𝑦 =−𝐷
4𝑎=
− 𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎=
−36
4= −9
(d) Koordinat titik puncak
(𝑥𝑝 ,𝑦𝑝) = −𝑏
2𝑎,−(𝑏2−4𝑎𝑐 )
4𝑎
= − 2
2 1 ,−(22−4(1)(−8)
4 1
= −1,−9
2) 𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 + 3
(i) Pasangan koordinat titik 𝑥,𝑓(𝑥)
Modul Matematika SMA 327
𝑥 -3 -2 -1 0 1
𝑓(𝑥) 0 3 4 3 0
(ii) Gambar titik-titik (-3,0), (-2,3), (-1,4), (0,3), (1,0)
(iii) Hubungkan titik-titik pada (ii) dengan kurva
Kunci 2.2.3.3
(1) Dengan menggunakan rumus 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝 2
+ 𝑦𝑝 untuk 𝑥𝑝 = 1 dan 𝑦𝑝 = 5, maka
diperoleh
𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝 2
+ 𝑦𝑝
= 𝑎 𝑥 − 1 2 + 5
= 𝑎 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 5
Karena grafik melalui titik (-1,1) maka
1 = 𝑎 −1 2 − 2 −1 + 1 + 5
1 = 𝑎 4 + 5
𝑎 = −1
Jadi, rumus fungsi kuadratnya adalah
𝑦 = −1 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 5
𝑦 = −𝑥2 + 2𝑥 + 4
(2) Grafik memotong sumbu X di titik (-3,0) dan (1,0), maka rumus fungsi kuadratnya
adalah
𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2
= 𝑎 𝑥 − 3 𝑥 − 1
= 𝑎 𝑥 + 3 𝑥 − 1
Karena grafik melalui titik (0,6) maka
6 = 𝑎 0 + 3 0− 1
Modul Matematika SMA 328
6 = 𝑎 3 −1
𝑎 = −2
Jadi, rumus fungsi kuadratnya adalah
𝑦 = −2 𝑥 + 3 𝑥 − 1
𝑦 = −2𝑥2 − 4𝑥 + 9
(3) Misalnya rumus fungsi kuadrat tersebut adalah y = ax2 + bx + c
melalui titik (1,2), maka 2 = a + b + c (i)
melalui titik (2,0), maka 0 = 4a + 2b + c (ii)
melalui titik (3,-1), maka -1 = 9a + 3b + c (iii)
dengan metode eliminasi dan substitusi diperoleh 𝑎 =1
2, 𝑏 = −
7
2,𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 5.
Sehingga rumus kuadrat yang dicari adalah y = 1
2x
2 −
7
2𝑥 + 5.
(4) Dari gambar diperoleh titik puncak (3,0) dan melalui (0,9). Sehingga kita dapat
menggunakan rumus 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝 2
+ 𝑦𝑝
= 𝑎 𝑥 − 3 2 + 0
= 𝑎 𝑥 − 3 2
Karena grafik melalui titik (0,9), maka
9 = 𝑎 0− 3 2
9 = 𝑎 −3 2
9 = 9𝑎
𝑎 = 1
Jadi, rumus fungsi kuadratnya adalah
y = 1 (x – 3)2
y = x2 – 6x +9
(5) Misalkan, banyaknya peserta wisata adalah x orang. Bila x > 100, maka setiap
peserta wisata akan membayar sebesar (800 – 5(x – 100)) ribu rupiah.
Besarnya pemasukan biro perjalanan untuk x orang dalam ribuan rupiah adalah f(x)
= x(800 – 5(x – 100)) = -5x2 +1300x = -5(x – 130)
2 + 84500.
Nilai maksimum fungsi ini tercapai bila x = 130 orang dengan setiap peserta wisata
membayar sebesar Rp 650.000,00 dan pemasukan terbesar biro itu adalah Rp
84.500.000,00.
Kunci 2.3.1
Modul Matematika SMA 329
1. 𝐿 = 9 + 6𝑥 + 𝑥2 → nilai koefisien 𝑎 = 1,𝑏 = 6,𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 9
1) Titik potong dengan sumbu koordinat
a. Titik potong dengan sumbu 𝑋 → 𝑦 = 0, maka
9 + 6𝑥 + 𝑥2 = 0
𝑥 + 3 𝑥 + 3 = 0
𝑥 = −3 atau 𝑥 = −3
Jadi, titik potong grafik dengan sumbu 𝑋 adalah (-3,0) dan (-3,0)
b. Titik potong dengan sumbu 𝑌 → 𝑥 = 0, maka
𝑦 = 9 + 6 0 + (0)2
𝑦 = 9
Jadi, titik potong grafik dengan sumbu 𝑌 adalah (0,9)
2) Sumbu simetri 𝑦 =−𝑏
2𝑎=
−(6)
2(1)= −3
3) Nilai minimum 𝑦 =−𝐷
4𝑎=
− 𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎=
− (6)2−4 1 (9)
4(1)= 0
4) Koordinat titik puncak
𝑥𝑝 ,𝑦𝑝 = −𝑏
2𝑎,− 𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎
= −6
2 1 ,−
6 2−4 1 9
4 1
= −3,0
2. Sketsa grafik secara sederhana
(i) (𝑥,𝑓 𝑥 )
Modul Matematika SMA 330
𝑥 -5 -4 -3 -2 -1
𝑓(𝑥) 4 1 0 1 4
(ii) Gambar titik-titik (-5,4), (-4,1), (-3,0), (-2,1), dan (-1,4) pada bidang cartesius.
(iii) Hubungkan titik-titik pada (ii) dengan kurva
3. Rumus fungsi kuadrat
a. Dengan menggunakan rumus 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑝)2 + 𝑦𝑝 untuk
𝑥𝑝 = −1 dan 𝑦𝑝 = 0
𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝 2
+ 𝑦𝑝
= 𝑎 𝑥 − −1 2
+ 0
= 𝑎 𝑥 + 1 2
= 𝑎(𝑥2 + 2𝑥 + 1)
Karena grafik melalui titik (1,6), maka
6 = a(12 + 2(1) + 1)
6 = 4a
a = 3/2
Jadi, rumus fungsi kuadratnya adalah
𝑦 =3
2(𝑥2 + 2𝑥 + 1)
𝑦 =3
2𝑥2 + 3𝑥 +
3
2
b. Misalnya rumus fungsi kuadrat tersebut adalah 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
melalui titik (1,3), maka 3 = a + b + c (i)
melalui titik (2,3), maka 3 = 4a + 2b + c (ii)
melalui titik (4,2), maka 2 = 16a + 4b +c (iii)
Modul Matematika SMA 331
dengan metode eliminasi atau substitusi diperoleh 𝑎 = −1
12, 𝑏 =
1
4,𝑑𝑎𝑛 𝑐 =
17
6.
Sehingga rumus kuadrat yang dicari adalah 𝑦 = −1
12𝑥2 +
1
4𝑥 +
17
6
4. Misalkan, ukuran kebun adalah 𝑥 × 𝑦 meter, maka bagian kebun yang akan dipagari
adalah 2x + y meter. Karena panjangnya pagar kawat adalah 100 meter, maka 2x + y =
100 yang menghasilkan y = 100 – 2x.
Luas kebun adalah xy, yang dapat dinyatakan sebagai fungsi kuadrat
L(x) = x(100 – 2x)
= -2x2 + 100x
= -2(x – 25)2 +1250.
Nilai maksimum fungsi ini tercapai bila x = 25 meter, yang menghasilkan y =100 – 50
= 50 meter, dengan luas terbesar L(25) = 1250 meter persegi.
Kunci 3.2.2.2
1. x + 3y = 1 x 1 x + 3y = 1
2x - y = 9 x 3 6x – 3y = 27 +
7x = 28
x = 4
x + 3y = 1 x 2 2x + 6y = 1
2x – y = 9 x 1 2x – y = 9 +
7y = -7
y = -1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, -1)}
2. x + 7y = -1 x 1 3x + 7y = -1
x - 3y = 5 x 3 3x – 9y = 15 - 16y = -16
y = -1
subsitusikan nilai y = -1 ke persamaan x – 3y = 5 sehingga diperoleh x – 3(-1) = 5
x + 3 = 5
x = 2
Modul Matematika SMA 332
Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah {(2,-1)}
Kunci3.2.3.3
1. 2x – y + z = -1…… (1)
3x + 2y – z = 10….. (2)
-4x – y – 3z = -3 …. (3)
Dari persamaan (1) dan (3), eliminasikan variabel x.
2x – y + z = -1 │x 2│→ 4x – 2y + 4z = -2
-4x – y–3z =-3│x 1│→-4x – y – 3z = -3 +
-3y + z = -5 … (4)
Dari persamaan (2) dan (3), eliminasikan variabel x.
3x + 2y – z = 10 │x 4│→ 12x + 8y – 4z = 40
-4x – y – 3z = -3│x 3│→-12x - 3y – 9z = -9 +
5y – 13z = 31 … (5)
Kemudian, eliminasi variabel y dari persamaan (4) dan (5)
-3y + z = -5 │x 5 │→ -15y + 5z = -25
5y – 13z = 31 │x 3│→ 15y – 39z = 93 +
34z = 68
z = -2
subsitusikan nilai z = -2 ke persamaan (4) sehingga diperoleh y =1
subsitusikan nilai z = -2 dan y = 1 ke persamaan 1 sehingga diperoleh x = 2
jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(2,1,-2)}
Modul Matematika SMA 333
Kunci 3.2.4.2
1. Kita misalkan jumlah beras jenis I = x dan jumlah beras jenis I = y, maka:
x + y = 50
6000x + 6200y = 306000
Selanjutnya, selesaikan dengan menggunakan salah satu metode penyelesaian,
misalnya dengan metode cepat, maka:
=> y = (1 . 306000 – 50 . 6000)/(1 . 6200 – 1 . 6000)
=> y = (306000 – 300000)/(6200 – 6000)
=> y = 6000/200
=> y = 30
Substitusi nilai y = 30 ke persamaan x + y = 50, maka:
=> x + y = 50
=> x + 30 = 50
=> x = 50 – 30
=> x = 20
Dengan demikian, jumlah beras jenis I dan beras jenis II yang dijual adalah 20 kg dan
30 kg.
Kunci 3.2.5.3
1. 2x + y ≤ 6 dan x – 2y ≥ -4 merupakan pertidaksamaan linier dalam variabel x dan y,
sehingga keduanya dapat membentuk sistem pertidaksamaan linier dua variabel.
2.
2x + y = 8
X 0 4
Modul Matematika SMA 334
Y 8 0
Titik (0, 8) (4, 0)
3.
3x + y = 3
x 0 1
y 3 0
titik (0, 3) (1, 0)
Pertidaksamaan 3x + y ≥ 3
Tanda didepan variabel y adalah +
Tanda ≥ berarti +
Perkalian tanda + . + = + (atas)
Arsir di atas garis pembatas (3x + y = 3)
Kunci 3.3.1
0 4 2
3
8
y
x
2x + y =
8
Y =
3
X = 2
3x + y = 3
0
3
1 X
y
3x + y = 3
0
3
1 X
y
Modul Matematika SMA 335
1) C 6) A 11) D 16) C 21) A
2) C 7) B 12) A 17) B 22) B
3) D 8) A 13) C 18) C 23) B
4) A 9) C 14) B 19) C 24) C
5) D 10) B 15) A 20) B 25) C
Kunci 4.2.3.3
1. Koordinat Cartesius adalah letak suatu titik yang mempunyai absis x , ordinat y.
2. Koordinat Kutub adalah letak suatu titik yang disajikan dalam bentuk r dan α.
3. Penyelesaian :
koordinat kutub ⇒koordinat kartesius
(r , α) ⇒ ( x , y )
𝑟 = 6 3 ; 𝛼 = 60°
(Karena α sudut di kuadran I, maka x positif f dan y positif)
𝑥 = 𝑟 cos𝛼
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝛼
⇒ 6 3 𝑥 𝑐𝑜𝑠 60°
⇒ 6 3 𝑥 1
2
⇒ 3 3
𝑦 = 𝑟 sin𝛼
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝛼
⇒ 6 3 𝑥 𝑠𝑖𝑛 60°
⇒ 6 3 𝑥 1
2 3
⇒ 3 𝑥 3
⇒ 9
sehingga koordinat kartesiusnya ialah ( 3 3 , 9)
4. penyelesaian :
(x,y)⇒ (r, α)
Modul Matematika SMA 336
x = -4, y=4
(karena x negatif dan y positif, maka α sudut di kuadran II)
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2
⇒ −42 + 42
⇒ 32
⇒ 4 2
tan𝛼 =𝑥
𝑦
⇒4
−4
⇒ −1
karena 𝛼 sudut di kuadran II, maka : 𝛼 = (180− 45)° = 135°
maka koordinat kutubnya ialah ( 4 2, 135°)
5. P ( -23 , -2 )
𝑟 = 22 )2()32(
= 412
= 4
𝑇𝑎𝑛 𝛼 = 32
2
= 33
1
= 2100 karena ada dikuadran III
jadi koordinat kutup titik P adalah ( 4 , 2100 )
Kunci 4.2.4.3
1. Gunakan rumus Luas Δ ABC (L) = 1
2𝑎. 𝑏. sin𝐶
↔ L = 1
2× 6 × 9 × sin 300
↔ L = 1
2× 6 × 9 ×
1
2
↔ L = 13,5 cm2
Modul Matematika SMA 337
2. Keliling segitiga KLM (2s) = ( 9 + 13 + 10 ) cm = 32 cm atau s = 16 cm.
↔ Luas Δ KLM = 𝑠 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 (𝑠 − 𝑐)
↔ Luas Δ KLM = 16 16− 9 16− 13 (16− 10)
↔ Luas Δ KLM = 16 × 7 × 3 × 6
↔ Luas Δ KLM = 2016 ≅ 44,9 cm2
3. Dengan rumus Luas Δ ABC = 1
2𝑐2 sin 𝐴 sin 𝐵
sin 𝐶 diperoleh
↔ Luas Δ ABC = 1
252 sin 250 sin 350
sin 1200
↔ Luas Δ ABC = 121
2 0,4226 (0,5736)
0,8660
↔ Luas Δ ABC = 12,5 ( 0,2799)
↔ Luas Δ ABC ≅ 3,499 cm2
Kunci 4.2.5.5
1. Maka besar sudut B adalah
∠B = 180°- (∠A+∠C)
∠B = 180°- (60°+75°)
∠B = 180°- 135°
∠B = 45°
2. cos 20°. Cos 40°+ sin 20°. Sin 40° = cos (20°-40°)
= cos (-20°)
= cos 20°
3. Gunakan rumus Sin (𝛼 − 𝛽)
sin 42° cos 12°- cos 42° sin 12°= sin (42°- 12°) = sin 30° = 1
2
4. cos 90° + A = cos 90° cos𝐴 − sin 90° sin𝐴
= 0. cos A− 1. sin𝐴 = − sin𝐴
Jadi , cos 90° + A = − sin𝐴
A
C
25 cm
60°
75°
a
A
Modul Matematika SMA 338
5. tan 80°+tan 55°
1−tan 80° tan 55° = tan (80°+55°)
= tan 135°
= tan (180°-45°)
= - 45°
= -1
Jadi, nilai tan 80°+tan 55°
1−tan 80° tan 55° adalah -1
6. 2 sin𝑥 = 3
sin𝑥 =1
2 3
sin 𝑥 = sin 60°
𝑥1 = 60° + 𝑘. 360° → 𝑘 = 0
Maka :
𝑥1 = 60°
𝑥1 = 180°− 𝑎 + 𝑘. 360° = 180°− 60° + 𝑘. 360°
Untuk k= 0 → 𝑥2 = 120°
Jadi, 𝑥1 = 60°, 𝑥2 = 120°
Kunci 4.3.1
1. sin 135° = sin 180°− 45° = sin 45° =1
2 3
2. cos 210° = cos 180° + 30° = − cos 30 ° = −1
2 3
3. tan 315° = tan 360°− 45° = − tan 45° = −1
4. sec 300° = sec 360°− 60° = sec 60° =1
cos 60°=
11
2
= 2
5. cos −60° = cos 60° =1
2
6. Luas ΔPQR =1
2𝑃𝑄.𝑃𝑅 sin𝑃
=1
2 10 8 𝑠𝑖𝑛 𝑃
= 40 sin𝑃
Modul Matematika SMA 339
Karena luas ΔPQR diketahui sama dengan 30 cm2, maka diperoleh hubungan :
40 sin𝑃 = 30
↔ sin𝑃 =3
4= 0,75
↔ 𝑃 = 48,5 atau 𝑃 = 180°− 48,6° = 131,4°
Jadi, besar sudut P = 48,6° atau sudut P = 131,4°
7. Diketahui : 𝑟 = 4, 𝛼 = 135°
Maka 𝑥 = 𝑟 cos𝛼
= 4 cos 135°
= 4 cos(180− 45) °
= 4 (− cos 45°)
= 4 (−1
2 2)
= −2 2
𝑦 = 𝑟 sin𝛼
= 4 sin 135°
= 4 sin(180− 45) °
= 4 sin 45°
= 4 (1
2 2)
= 2 2
Jadi, koordinat cartesiusnya adalah (−2 2 , 2 2 )
8. Diketahui : x = 3 , y = 1
Maka 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2
= 32 + 12
= 9 + 1
= 10
tan𝛼 =𝑦
𝑥
=1
3
Modul Matematika SMA 340
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐1
3
= 18,43°
Jadi, koordinat kutub nya ialah ( 10, 18,43°)
9. dalam ∆𝐴𝐵𝐶
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°
30° + 45° + 𝛾 = 180°
𝛾 = 180°
𝑎
sin 𝑎 =
𝑏
𝑠𝑖𝑛𝛽
8
sin 30°=
𝑏
sin 45°
81
2
= 𝑏
1
2 2
b = 11,313 m
𝑎
sin 𝑎 =
𝑐
sin 𝛾
8
sin 30° =
𝑐
sin 105°
81
2
= 𝑐
0,9659
c = 15,455 m
jadi, panjang bagian lauar kuda-kuda atap tersebut adalah 11,313 dan 15,455 m.
10. diketahi ∠A= 60°, b=10 cm, c= 16 cm. Maka dengan aturan kosinus diperoleh:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. cos𝐴
= 102+162-2 x 10 x 16 x cos 60°
= 100+256-320 1
2
Modul Matematika SMA 341
= 100+256-160
𝑎2 = 196
𝑎 = 14
Jadi 𝑎 = 14
11. sin (A+B)= sin A cos B + cos A sin B = 3
4
sin (A - B)= sin A cos B – cos A sin B = 1
2 +
2 sin A cos B = 3
4 +
1
2
2 sin A cos B = 5
4
sin A cos B = 5
8
jadi, sin A cos B = 5
8
12. Ruas kiri= Cos (𝛼 − 𝛽) = cos (90− 30)°= cos 60° =1
2
Ruas kanan= cos𝑎 cos𝛽 + sin𝑎 sin𝛽 = cos 90° cos 30° + sin 90° sin 30°
= (0 x 1
2 3) + (1+
1
2)
= 1
2 = ruas kiri
Jadi, berlaku bahwa cos 𝑎 − 𝛽 = cos𝑎 cos𝛽 + sin𝑎 sin𝛽 untuk 𝑎 dan 𝛽 = 90°
13. tan 𝑎 + 𝛽 = tan 𝑎+tan 𝛽
1−tan 𝑎 tan 𝛽=
1
2+
1
3
1−1
2
1
3 +
1
2+
1
3
1−1
6
=
5
65
6
= 1
tan 𝑎 − 𝛽 = tan 𝑎−tan 𝛽
1+tan 𝑎 tan 𝛽=
1
2−
1
3
1+1
2
1
3 +
1
2−
1
3
1+1
6
=
1
67
6
= 1
7
Kunci 5.2.2.4
1. a. Kalimat terbuka, karena ada variabel x. Variabel harus diganti dengan angka agar
dapat dinyatakan sebagai pernyataan.
Modul Matematika SMA 342
b. Pernyataan, karena benar setiap orang membutuhkan oksigen untuk bernafas.
c. Pernyataan, karena 5 – 2 + 1 = 4 jadi pernyataan 5 – 2 + 1 > 0 bernilai salah.
d. Pernyataan, karena jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 jadi pernyataan bernilai
benar.
e. Kalimat terbuka, karena ada variabel p. Variabel p harus diganti dengan angka agar
dapat dinyatakan sebagai pernyataan
2. Diketahui:
p = benar
q = salah
Ditanya: Nilai kebenaran dari ~ (𝑝 ∧ ~ 𝑞) ?
Jawab: ~q = benar
𝑝 ∧ ~ 𝑞 = 𝐵 ∧ 𝐵
= B
~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 = 𝑆
3. Hipotesis dari implikasi adalah Semarang ibu kota Jawa Tengah (p) bernilai benar.
Agar implikasi tersebut bernilai benar, kesimpulan (q) juga harus bernilai benar.
Sehingga,
x2 – 3x - 28 = 0
(x - 7)(x + 4) = 0
x = 7 atau x = -4
4. Diketahui :
p : saya lulus ujian
q : semua keluarga berbahagia
r : saya melanjutkan ke Perguruan Tinggi Negeri
t : saya bekerja
Ditanya :
a. ~ 𝑝 → ~ 𝑡
b. ~ 𝑞 ↔ ~ 𝑟
Jawab :
Modul Matematika SMA 343
~ 𝑝 : saya tidak lulus ujian
~ 𝑞 : beberapa keluarga tidak berbahagia
~ 𝑟 : saya tidak melanjutkan ke Perguruan Tinggi Negeri
~ 𝑡 : saya tidak bekerja
a. ~ 𝑝 → ~ 𝑡
Jika saya tidak lulus ujian maka saya tidak bekerja.
b. ~ 𝑞 ↔ ~ 𝑟
Beberapa keluarga tidak berbahagia jika dan hanya jika saya tidak melanjutkan ke
Perguruan Tinggi Negeri.
Kunci 5.2.3.4
1) a) Konvers 𝑞 → 𝑝 : jika 5 merupakan bilangan prima, maka 2 + 4 > 5
invers ~𝑝 → ~𝑞: jika 2 + 4 ≤ 5, maka 5 bukan merupakan bilangan prima
kontraposisi ~𝑞 → ~𝑝: jika 5 bukan merupakan bilangan prima, maka 2 + 4 ≤
5.
b) p = saya pergi ke dokter
q = saya sakit
Konvers 𝑞 → 𝑝 : jika saya sakit, maka saya pergi ke dokter.
Invers ~𝑝 → ~𝑞: jika saya tidak pergi ke dokter, maka saya tidak sakit.
Kontraposisi ~𝑞 → ~𝑝: jika saya tidak sakit, maka saya tidak pergi ke dokter.
c) p = harga turun
q = permintaan naik
Konvers : Jika permintaan naik, maka harga turun.
Invers : Jika harga tidak turun, maka permintaan tidak naik
Kontraposisi : Jika permintaan tidak naik, maka harga tidak turun
2) diketahui bahwa nilai kebenaran implikasi sama dengan nilai kebenaran
kontraposisinya. Sehingga pernyataan yang senilai dengan implikasi adalah
kontraposisinya
a. jika ada pelajaran sekolah yang tidak dapat saya ikuti dengan baik, maka saya
tidak rajin.
Modul Matematika SMA 344
𝑏. ~ 𝑞 ∧ 𝑟 → ~ ~𝑝 atau (~𝑞 ∨ ~𝑟) → 𝑝
𝑐. ~ ~𝑟 → ~(𝑝 → 𝑞) atau 𝑟 → (𝑝 ∧ ~𝑞)
3) Misalkan: x = siswa SMA p(x) = terpelajar
Oleh karena itu, kalimat ”Setiap siswa SMA terpelajar” dapat ditulis dalam kalimat
kuantor ∀𝑥,𝑝 𝑥 . Negasi dari ∀𝑥,𝑝 𝑥 adalah ∃𝑥 , ~𝑝 𝑥 . Berarti, negasi dari
”Setiap siswa SMA terpelajar” adalah ”Terdapat siswa SMA yang tidak terpelajar”.
Kunci 5.2.4.3
1. Kesimpulan yang sah dari premis berikut
a) 𝑃1 : Jika terjadi kecelakaan, maka jalan macet
𝑃2 : jika jalan macet, maka banyak yang terlambat
∴ : jika terjadi kecelakaan, maka banyak yang terlambat
b) 𝑃1 : jika harga barang naik, maka permintaan barang turun
𝑃2 : jika permintaan barang turun, maka produksi barang turun
∴ : jika harga barang naik, maka produksi barang turun
c) 𝑃1 : jika 𝑛 bilangan ganjil, maka 𝑛2 bilangan ganjil
𝑃2 : jika 𝑛2 bilangan ganjil, maka 𝑛2 + 1 bilangan genap
∴ : jika 𝑛 bilangan ganjil, maka 𝑛2 + 1 bilangan genap
2. a) Tabel nilai kebenaran pernyataan majemuk ((𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑞) → 𝑝.
𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞 ( 𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑞 ((𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑞) → 𝑝
B B B B B
B S S B B
S B B B S
S S B S B
Dengan tabel kebenaran diketahui bahwa ((𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑞) → 𝑝 bukan tautologi.
Maka penarikan kesimpulan di atas tidak sah atau tidak valid.
Modul Matematika SMA 345
b) Tabel nilai kebenaran pernyataan majemuk ((~𝑝 → ~𝑞) ∧ 𝑞) → 𝑝.
𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 ~𝑝 → ~𝑞 ~𝑝 → ~𝑞 ∧ 𝑞 ((~𝑝 → ~𝑞)
∧ 𝑞) → 𝑝
B B S S B B B
B S S B B S B
S B B S S S B
S S B B B S B
Dengan tabel kebenaran diketahui bahwa ((~𝑝 → ~𝑞) ∧ 𝑞) → 𝑝 adalah
tautology. Maka penarikan kesimpulan di atas sah atau valid.
3. a) Tabel nilai kebenaran pernyataan majemuk ((𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞) → 𝑝.
𝑝 𝑞 ~𝑞 𝑝 → 𝑞 (𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞 ((𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞) → 𝑝
B B S B S B
B S B S S B
S B S B S B
S S B B B S
Dengan tabel kebenaran diketahui bahwa ((𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞) → 𝑝 bukan tautologi.
Maka penarikan kesimpulan di atas tidak sah atau tidak valid.
b) Tabel nilai kebenaran pernyataan majemuk ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑝) → ~𝑞.
𝑝 𝑞 ~𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑝) ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑝)→ ~𝑞
B B S B B S
B S B S B B
S B S B S B
S S B B S B
Dengan tabel kebenaran diketahui bahwa ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑝) → ~𝑞 bukan tautologi.
Maka penarikan kesimpulan di atas tidak sah atau tidak valid.
Kunci 5.3.1
1. Termasuk pernyataan
Modul Matematika SMA 346
Untuk x + 2 = x – 2 :
Karena untuk setiap nilai x , x + 2 = x – 2 bernilai salah , maka x + 2 = x– 2
merupakan pernyataan bernilai salah
Untuk 2(x + 1)+ 3 = 2x +5 :
Karena untuk setiap nilai x , 2(x + 1)+ 3 = 2x +5 bernilai benar, maka 2(x+ 1)+ 3 =
2x +5 merupakan pernyataan bernilai benar.
2. Diketahui:
2 bilangan prima dan 2 + 3 sama dengan 5
Ditanya : negasi pernyataan ?
Jawab :
p : 2 bilangan prima
q : 2 + 3 sama dengan 5
∼ 𝑝 : 2 bukan bilangan prima
∼ 𝑞 ∶ 2 + 3 tidak sama dengan 5
∼∧ ∶ ∨
Sehingga negasi pernyataannya menjadi, “2 bukan bilangan prima atau 2 + 3 tidak
sama dengan 5”.
3. Diketahui:
3 bilangan prima atau 5 bilangan genap
Ditanya : nilai kebenaran ?
Jawab :
bilangan prima atau 5 bilangan gena
B ∨ S
Disjungsi bernilai benar apabila paling sedikit satu dari keduanya bernilai benar.
Jadi,”3 bilangan prima atau 5 bilangan genap” bernilai benar.
4. Diketahui :
6 bilangan prima dan 3 bilangan ganjil
Ditanya : nilai kebenaran ?
Jawab :
6 bilangan prima dan 3 bilangan ganjil
S ∧ B
Suatu konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai benar.
Jadi, “6 bilangan prima dan 3 bilangan ganjil” bernilai salah.
Modul Matematika SMA 347
5. Diketahui :
jika 2 + 3 = 5 , maka 4 + 5 = 7
Ditanya : nilai kebenaran ?
Jawab :
p : 2 + 3 = 5 ( B )
q : 4 + 5 = 7 ( S )
Implikasi bernilai salah jika p bernilai benar dan q bernilai salah, dalam hal lain
implikasi bernilai benar. Jadi, p → 𝑞 bernilai salah.
6. Diketahui :
2 + 2 = 4 ↔ 3 + 4 = 8
Ditanya : nilai kebenaran ?
Jawab :
2 + 2 = 4 ↔ 3 + 4 = 8
B B
Biimplikasi bernilai benar, jika keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama
(semua benar atau semua salah). Jadi, 2 + 2 = 4 ↔ 3 + 4 = 8 bernilai benar.
7. Tabel kebenaran dari ~ p → ~ q
8. Diketahui :
x ganjil ↔2x genap
Ditanya : nilai kebenaran ?
Jawab :
p : x ganjil, berarti p = (1, 3, 5, ... )
q : 2x genap, berarti q = (2, 3, 10, ...)
Biimplikasi bernilai benar, jika keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama
(semua benar atau semua salah). Karena p ≠ 𝑞, maka pernyataan p ↔ 𝑞 bernilai
salah.
p Q ~ 𝑝 ~ 𝑞 ~ p → ~ q
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
B
S
B
Modul Matematika SMA 348
9.
p Q q → 𝑝 [p ∨ (𝑞 → 𝑝)] ∼[p ∨ (𝑞 → 𝑝)]
B B B B S
B S B B S
S B S S B
S S B B S
10. Diketahui :
p bernilai benar, q bernilai benar, dan r bernilai salah.
Ditanya : nilai kebenaran
a. p ∨ 𝑞 → 𝑟
b. ~ 𝑝 ∨ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑟]
Jawab :
a. p ∨ 𝑞 → 𝑟 ≡ B ∨ 𝐵 → 𝑆
≡ B ∨ S
≡ B
b. ~ 𝑝 ∨ 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑟 ≡ 𝑆 ∨ 𝐵 ∨ 𝐵 ∧ 𝑆
≡ 𝑆 ∨ ( B ∧ 𝑆)
≡ 𝑆 ∨ 𝑆
≡ 𝑆
11. a) Konvers : Jika semua penduduk Indonesia pandai, maka biaya sekolah gratis
Invers : Jika biaya sekolah tidak gratis, maka semua penduduk Indonesia tidak
pandai.
Kontraposisi : Jika semua penduduk Indonesia tidak pandai, maka biaya sekolah
tidak gratis.
b) Konvers : Jika Badu lulusan SMP, maka ia siswa SMA
Invers : Jika Badu bukan siswa SMA, maka ia bukan lulusan SMP
Kontraposisi : Jika Badu bukan lulusan SMP, maka ia bukan siswa SMA
c) Konvers : Jika Carli lulus tes, maka ia siswa yang pandai
Invers : Jika Carli siswa yang tidak pandai, maka ia tidak lulus tes
Kontraposisi : Jika Carli tidak lulus tes, maka ia siswa yang tidak pandai.
d) Konvers : Jika Ali seorang anggota DPR , maka ia seorang anggota MPR
Modul Matematika SMA 349
Invers : Jika Ali bukan seorang anggota MPR, maka ia bukan seorang anggota
DPR
Kontraposisi : Jika Ali bukan seorang anggota DPR , maka ia bukan seorang
anggota MPR
12. p = hari ini hujan
q = saya tidak pergi
r = saya nonton sepak bola
premis 1 : p → q
premis 2 : q → r (modus silogisme)
Kesimpulan: p → r
13. Jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola
Pernyataan yang memuat kata "Semua" atau "Setiap" negasinya memuat kata
"Beberapa" atau "Ada" seperti berikut: a) ~p : Ada dokter tidak memakai baju putih
saat bekerja.
Kunci 6.2.2.4
1. a. Titik A,B
b. Titik D,C,E,F,G,H
2. a. Titik D,C,G,H
b. Titik A,B,E,F
3. a. Titik B,C
b. Titik A,D,E,F,G,H
c. Titik D,E
d. Titik A,B,C,F,G,H
e. Titik A,G
f. Titik B,C,D,E,F,H
4. a. Titik K,L,M,N
Modul Matematika SMA 350
b. Titik P,Q,R,S
c. Titik K,L,Q,P
d. Titik M,N,R,S
e. Titik K,M,R,P
f. Titik L,Q,S,N
5. a. Titik A,B,C,D
b. Titik T
c. Titik B dan C
d. Titik A,C,dan D
Kunci 6.2.3.4
1.
Gambar 2.8
Jarak dari P ke Q adalah 2 14 cm
2. a. Jarak titik A ke garis BC adalah AB = 5 cm
b. Jarak titik A ke garis FG adalah AF = 5 2 cm
c. Jarak titik C ke garis FH adalah CO = 5
2 6 cm
d. Jarak titik P ke garis CD adalah PC = 5
2 = 2
1
2 cm
e. Jarak titik P ke garis BF adalah PQ = CB = 5 cm
f. Jarak titik P ke garis BD adalah PR = 5
2 3 cm.
3. Jarak B ke garis EG = 2 6 cm
4. a. jarak titik A ke bidang DCGF adalah AB = 10 cm, sebab AB tegak lurus bidang BCGF.
C P
A
E Q
H G
B
R D
F
Modul Matematika SMA 351
b. jarak titik A ke bidang CDHG adalah AD = 8 cm, sebab AD tegak lurus bidang CDHG.
c. jarak titik A ke bidang EFGH adalah AE = 6 cm, sebab AE tegak lurus bidang EFGH.
d. jarak titik O ke bidang ABFE adalah OP = 1
2 PQ =
1
2 (8) = 4 cm.
e. jarak titik O ke bidang BCGF adalah OR = 1
2 SR =
1
2 (10) = 5 cm.
f. jarak titik O ke bidang EFGH adalah OT = AE = 6 cm, sebab OT tegak lurus bidang
EFGH.
5. a. panjang AC = 5 cm
b. jarak titik puncak T ke bidang alas ABCD adalah TO = 6 cm.
Kunci 6.2.4.4
1. Jarak antara titik V dan titik A adalah 5 3
2 cm.
2. jarak antara garis AE dan garis CG yang sejajar sama dengan panjang diagonal bidang AC =
6 2 cm.
Gambar 3.4
3. Jarak antara garis AE dan bidang BCGF yang sejajar itu sama dengan panjang rusuk AB = 5
cm.
4. Jarak antara bidang ABCD dan bidang EFGH sama dengan panjang rusuk AE = 3 cm.
5. Jarak antara garis AE dan garis GH yang bersilangan tegak lurus sama dengan panjang
rusuk EH = 6 cm.
Kunci 6.3.1
1) a. Titik yang berada pada garis DF adalah titik D dan F.
H
E
A B
C D
G
F
k
6 cm
Modul Matematika SMA 352
b. Titik yang berada di luar bidang BCHE adalah titik A, B, F dan G.
c. Garis yang sejajar dengan CF adalah garis DE.
2) a. Jarak titik H ke garis AC = 3 6 cm.
b. Jarak titik B ke garis AG = 3 5 cm.
c. Jarak garis AE dan CG = 6 2 cm.
d. Jarak garis AB dan CDHG = 6 cm.
e. Jarak bidang HFC dan DBE = 3 2 cm.
3) Jarak titik C ke bidang AFH = 4 3 cm.
4) Jarak antara titik T ke bidang ABCD = 16,45 cm.
5) a. Jarak AE ke CG = AC = 10 3 cm.
b. Jarak ABCD dan EFGH = AE = 10 cm.
6) 32
7) 1
2 2
8) b Tegak lurus a
9) Empat buah prisma segitiga sama sisi
10) ABEF dan DCGH
Kunci 6.2.5.4
1. 10
3 3
2. 5
2 6
3. 𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛
Kunci 7.2.2.4
1. Jika data tersebut kita daftarkan tanpa menggunakan label barang maka kita dapat
menggunakan tabulasi kolom, diperoleh tabel sebagai berikut:
Data keuntungan barang/jasa koperasi sekolah
Jenis Barang/Jasa Jumlah Keuntungan (Satuan Ribu Rupiah)
Buku tulis 400
Pensil 300
Ballpoint 550
Keping CD 200
Tinta printer 325
Modul Matematika SMA 353
Makanan ringan 710
Kertas hvs 350
Kertas folio 600
Minuman ringan dan air mineral 750
Seragam sekolah 900
Seragam olahraga 500
Buku bacaan 600
Majalah/komik 300
Fotocopy 525
Total 7010
Bagaimana jika data yang ada lebih banyak?
Dengan bantuan pelabelan pada setiap jenis pada setiap jenis barang/jasa akan membantu
dan lebih memudahkan kita dalam menyajikan data yang banyak serta dalam berbagai
bentuk tabel, sehingga dengan data berlabel diperoleh dat berikut ini (satuan ribu rupiah) :
Data keuntungan barang/jasa menggunakan label
Jenis barang/jasa keuntungan
1 400
2 300
3 550
4 200
5 325
6 710
7 350
Jenis barang/jasa keuntungan
8 400
9 300
9 550
10 200
11 325
12 710
13 350
14 525
Dari penyajian tabel diatas oleh 5 jenis barang dengan keuntungan tertinggi, yakni:
Data barang/jasa dengan keuntungan tertinggi
No Jenis barang/jasa Jumlah keuntungan
1 Seragam sekolah 900
2 Minuman ringan dan air mineral 750
3 Makanan ringan 710
4 Buku catatan 600
5 Kertas folio 600
Modul Matematika SMA 354
2. Kita akan membuat diagram garis terlebih dahulu, dengan cara yang sudah di pelajari
Kurs jual
Kurs beli
Dari diagram di atas diperoleh data sebagai berikut:
Harga kurs jual tertinggi Rp. 9.124 berada di tanggal 6 juli dan terendah Rp. 8.967
berada di tanggal 7 juli.
Harga kurs jual tertinggi Rp. 9.175 berada di tanggal 5 juli dan terendah Rp. 8.985
berada di tanggal 10 juli.
3. Dari data di atas diperoleh data penjualan smartphone adalah 180 unit.
1) Untuk menggambarkan diagram lingkaran biasanya digunakan dalam dua bentuk
yakni bentuk derajat dan bentuk persentase. Dalam bentuk persentase kita
menghitung lebih dahulu besar persentase tiap bagian data penjualan smartphone
terhadap seluruh penjualan yakni 100%. Sama halnya dengan sudut pusat lingkaran
terlebih dahulu menghitung tiap sudut lingkaran yaitu 360˚. Atau dihitung dengan
menggunakan cara yang telah diajarkan diatas. Dengan pembulatan desimal maka
besar persentase dan besar sudut lingkaran tiap bagian data penjualan smartphone
adalah:
Tipe Handphone
Banayak Penjualan
Persentase Sudut Pusat Lingkaran
Tipe I 35 35
180× 100% = 19%
35
180× 360° = 70°
Tipe II 25 25
180× 100% = 14%
35
180× 360° = 50°
8,800
8,900
9,000
9,100
9,200
05-Jul 06-Jul 07-Jul 08-Jul 09-Jul 10-Jul
nila
i tu
kar
kurs uang kertas asing
Modul Matematika SMA 355
Tipe III 20 20
180× 100% = 11%
35
180× 360° = 40°
Tipe IV 40 40
180× 100% = 22%
35
180× 360° = 80°
Tipe V 10 10
180× 100% = 6%
35
180× 360° = 20°
Tipe IV 50 50
180× 100% = 28%
35
180× 360° = 100°
Dengan memperoleh besaran persentase tiap bagian pada data penjualan smartpone
tersebut maka bentuk diagram lingkaran dalam bentuk persentase adalah sebagai
berikut.
Untuk diagram lingkaran dengan besaran sudut kamu selesaikan sebagai latihan.
Dengan demikian dapat dinyatakan bahwa diagram lingkaran adalah penyajian data
statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran yang pada bagian-
bagian dari daerah lingkaran menunjukan juring atau persentase dari keseluruhan.
2) dari data tersebut kita juga dapat menggambarkan diagram batang. Prinsip penyajian
diagram batang relatif sama dengan diagram garis. Setelah menghubungkan variabel
pengamatan dengan nilai pengamatan dapat dibentuk grafik batang dengan lebar
Tipe I19%
Tipe II14%
Tipe III11%Tipe IV
22%
Tipe V6%
Tipe IV
28%
Banyaknya Penjualan Smartphone
Modul Matematika SMA 356
yang sama dan setinggi atau sejauh nilai data pengamatan. Dengan data penjualan
smartphone di atas dapat disajikan diagram batang sebagai berikut.
= banyak penjualan
Kunci 7.2.3.3
1. Yang pertama harus mengurutkan data terlebih dahulu
38, 48, 48, 49, 51, 56, 60, 61, 61 63, 63, 63, 65, 66,
67, 68, 70, 70, 70, 70, 71, 72, 72, 72, 73, 74, 74, 74,
81, 81, 81, 81, 82, 82, 82, 82, 83, 83, 83, 83, 84, 84,
84, 84, 85, 85, 86, 87, 88, 88, 88, 88, 88, 89, 90, 90,
90, 90, 91, 91, 92, 92, 92, 93, 93, 97, 97, 98,
a) Jangkauan Data = 98 – 38 = 60
banyak kelas = 1 + (3,3) × log 80
= 1 + (3,3) × (1,903)
= 7,28 ≈ 7
Jadi 80 data di atas akan dibagi menjadi 7 kelas interval.
Panjang Kelas = 𝑗𝑎𝑛𝑔𝑎𝑘𝑎𝑢𝑎𝑛
𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 =
60
7 = 8,57 ≈ 9
Tabel Distribusi Frekuensi
Kelas Frekuensi
35
2520
40
10
50
0
10
20
30
40
50
60
Tipe 1 Tipe 2 Tipe 3 Tipe 4 Tipe 5 Tipe 6
banyak penjualan smarphone
Modul Matematika SMA 357
38 – 46 1
47 – 55 5
56 – 64 7
65 – 73 12
74 – 82 25
83 – 91 22
92 – 100 8
Jumlah 80
b) Dengan data di atas kita dapat menggambar histogram sebagai berikut
Kunci 7.2.4.4
1. 𝑥 =6+8+9+7+10
5=
40
5= 8
Jadi rata-rata nilai matematika Ani adalah 8.
2. Dengan cara langsung
1
57
12
2522
8
0
5
10
15
20
25
30
38-46 47-55 56-64 65-73 74-82 83-91 92-100
fre
kuen
si
kelas interval
data nilai siswa
Modul Matematika SMA 358
Nilai 4 5 6 7 8
f 3 7 12 14 4 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 = 40
𝒇𝒊𝒙𝒊 12 35 72 98 32 𝑓𝑖𝑥𝑖𝑛𝑖=1 =249
𝑥 = 𝑓𝑖𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑓𝑖𝑛𝑖=1
=249
40= 6,225
Sehingga rata-rata data tersebut adalah 6,225
Dengan menggunakan rataan sementara (𝑥 𝑠 = 7)
Nilai (𝒙𝒊) 4 5 6 7 8
𝒇𝒊 3 7 12 14 4 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 = 40
𝒙𝒊 − 𝒙 𝒔 -3 -2 -1 0 1
𝒇𝒊(𝒙𝒊 − 𝒙 𝒔) -9 -14 -12 0 4 𝑓𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥 𝑠)
𝑛
𝑖=1
= −31
Sehingga 𝑥 = 𝑥 𝑠 + 𝑓𝑖(𝑥𝑖−𝑥 𝑠)𝑛𝑖=1
𝑓𝑖𝑛𝑖=1
= 7 +−31
40
= 7−0,775
= 6,225
3. 6,8 =𝑥 1 .𝑓1+𝑥 2 .𝑓2
𝑓1+𝑓2
6,8 =7.30+𝑥2 .5
30+5
6,8 .35 = 210 + 5. 𝑥2
238 = 210 + 5. 𝑥2
5. 𝑥2 = 238− 210
5. 𝑥2 = 28
𝑥2 =28
5= 5,6
Jadi, rata-rata lima anak tersebut adalah 5,6.
4. Data diurutkan menjadi: 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9. Karena datanya sebanyak ganjil, maka
mediannya adalah 𝑋9+1
2
= 𝑋5 = 7.
Data diurutkan menjadi: 3, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9. Karena datanya sebanyak genap, maka
median = 𝑋8
2+𝑋8
2+1
2=
𝑋4+𝑋5
2=
7+8
2= 7,5
Modul Matematika SMA 359
Kunci 7.2.5.3
1. Karena data sudah URUT, maka tinggal mencari :
1 3
1 3
2, 2, 3 , 4 , 5, 6, 8 , 8
Q Me Q
2 3 6 8Q 2,5 Q 7
2 2
2. Data diurutkan terlebih dahulu: 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9
Kuartil bawah (𝑄1) = 𝑋1 12+1
4
= 𝑋13
4
= 𝑋3 +1
4 𝑋4 − 𝑋3
= 5 + 1
4 5 − 5
= 5
Kuartil atas (𝑄3) = 𝑋3 12+1
4
= 𝑋39
4
= 𝑋9 +3
4 𝑋10 − 𝑋9
= 8 + 1
4 8− 8
= 8
Kunci 7.2.6.3
1. SR = 1
𝑛 |𝑥𝑖 − 𝑥 |𝑛
𝑖=1
𝑥 = 10+10+9+8+8+7+7+6+6+5
10 =
76
10
= 7,6
𝑆𝑅 = 2 10−7,6 + 9−7,6 +2 8−7,6
10 +
+ 2 7−7,6 +2 6−7,6 + 5−7,6
10
= 2 2,4 +1,4+2 0,4 +2 0,6 + 2 1,6 +2,6
10
= 14
10 = 1,4
Modul Matematika SMA 360
2. 𝑆𝑅1 = 2,29
𝑆𝑅2 = 2,29 ×10 + 10
10
= 22,9+10
10 =
32,9
10 = 3,29
3. 𝑥 − 1 = 20+𝑥
8
8𝑥 − 8 = 20 + 𝑥
7𝑥 = 28
𝑥 = 4
4. 𝑥 = 3+6+ 6+ 2+ 6+ 2+1+ 1+ 5+ 3
10 = 3,5
S = 𝑥𝑖− 𝑥 2𝑛𝑖=1
𝑛−1
= 3 6− 3,5 2+ 2 2− 3,5 2+2 1− 3,5 2+ 2 3− 3,5 2+ 5− 3,5 2
10−1
= 3 2,5 2+ 2 −1,5 2+2 − 2,5 2+ 2 −0,5 2+ 1,5 2
9
= 18,75+ 4,5+12,5+ 0,5+2,25
9 =
38,5
9 =
6,204
3 = 2,068
= 2,1
Kunci 7.3.1
1. Berikut adalah penyataan dalam diagram garis
Modul Matematika SMA 361
2. Sudut SD = 10
180× 100% = 5 %
Sudut SMP = 30
180× 100 % = 16, 5%
Sudut SMA/SMK = 21
180× 100% = 11,5 %
Sudut perguruan tinggi = 20
180× 100% = 11%
3. Dari data di atas dapat kita peroleh diagram batang sebagai berikut :
5%
16.50%11.50%
11%
DATA PELAJAR
sudut SD
sudut SMP
sudut SMA/SMK
perguruan tinggi
Modul Matematika SMA 362
4. Dari data di atas kita dapat kita buat histogram sebagai berikut:
5. Rata-rata = 7 + 5 + 8 + 6 + 7 + 8 + 7 + 7 + 7 + 9 + 5 + 8 + 6 + 8
14 =
98
14 = 7
6. Median = 7 + 7
2 = 7
7. Modus = 7
8. Jangkauan = 9 – 5 = 4
9. Mean = 5 + 6 + 9 + 6 + 5 + 8 + 6 + 9 + 6 + 10
10 = 7
Median = 6
Modus = 6
10. Mean = 6 + 4 + 5 + 8 + 8 + 4 + 7 + 6
9 = 6
Median = 6+6
2= 6
Modus = 6
11. Rata-rata = 4(52) + 6(57) + 8(62) + 10(67) + 8(72) + 4(77)
40 =
2.600
40 = 65 kg
12. Mo = 64,5 + 2
2+2 5 = 64,5 + 2,5 = 67
13. Kuartil atas = 3
4 x 40 = 30
𝑄3 = 𝐿3 + 3
4 𝑓−𝑓𝐾3
𝑓𝑄3
𝑖
1517 18
25
10
0
5
10
15
20
25
30
35 - 44 45 - 54 55 - 64 65 - 74 75 - 84
fre
kue
nsi
kelas interval
banyak data
Modul Matematika SMA 363
= 69,5 + 3
4.40−28
8 5
= 69,5 + 1,25
= 70,75
14. 𝐷4 = 𝐿4 + 4𝑥𝑛
10−𝑓𝑘
𝑓 𝑥𝑐 = 59,5 +
4𝑥40
10−10
8 𝑥5 = 63,25
15. 6 =3 + 7 + 5 + a + 6 + 4 + 6 + 9 + 6 + 4
10
a = 10
16. 38(5) + 43(x) + 48(10) + 53(8) + 58(4)
27+𝑥 = 48
1.326 + 43 x = 48 ( 27 + x )
1.326 + 43 x = 1.296 + 48 x
5x = 30
x = 6
17. Data setelah diurutkan:
5 6 7 7 8 9 10 12 14
𝑄1 𝑄2 𝑄3
Kuartil bawah = 6 + 7
2 = 6,5
18. Kuartil atas = 10 + 12
2 = 11
19. 𝐷8 = 𝐿8 + 8𝑥𝑛
10−𝑓𝑘
𝑓 𝑥𝑐 = 55,5 +
8𝑥40
10−28
8 𝑥5 = 58
20. Nilai rata-rata = 6(22) + 10(27) + 2(32) + 5(37) + 4(42) + 3(47)
30 =
960
30 = 32
21. Modus
Mo = 𝐿 + 𝑑1
𝑑1+𝑑2 𝑖 = 24,5 +
4
4+8 5 = 24,5 +
4
12 5 = 26,2
22. Media
𝑄2 = 𝐿2 + 1
2 𝑓−𝑓𝐾2
𝑓𝑚𝑒𝑑 𝑖
= 24,5 + 1
2.30−6
10 5
= 24,5 +9
10. 5
= 29
23. Kuartil atas
Modul Matematika SMA 364
𝑄3 = 𝐿3 + 3
4 𝑓−𝑓𝐾3
𝑓𝑄3
𝑖
= 34,5 + 3
4.30−18
5 5
= 34,5 + 4,5
= 39
24. Kuartil bawah
𝑄1 = 𝐿1 + 1
4 𝑓−𝑓𝐾1
𝑓𝑄1
𝑖
= 24,5 + 1
4.30−6
10 5
= 24,5 + 0,75
= 25,25
25. Simpangan kuartil
𝑄𝑑 = 1
2(𝑄3 − 𝑄1) =
1
2(39− 25,25) = 6,875
26. Rata-rata data tersebut adalah 7
sehingga diperoleh ragam S2, yaitu
S2 = 1
6 4− 7 2 + 8− 7 2 + 5 − 7 2 + 9− 7 2 + 10− 7 2 + 6 − 7 2
= 1
6 (9 + 1 + 4 + 4 + 9 + 1)
= 4,67
S = 4,67 = 2,16
27. 5(4) + 6(8) + 7(5) + 8(M) + 9(2)
19 +𝑀 = 7
121 + 8 M = 7 ( 19 + M)
121 + 8 M = 133 + 7M
M = 12
28. x + (x + 2) + (x + 7)
3 = 24
3x + 9 = 24 . 3
3x = 72 – 9
x = 21
29. 10(7.000) + 8(6.000) + 12(10.000) + 11(8.000) + 9(5.000)
50 =
371
50= 7.420
30. 𝑥 =𝑥 1 .𝑓1+𝑥 2 .𝑓2
𝑓1+𝑓2
Modul Matematika SMA 365
7,5 =7,8.20+𝑥 2 .12
20+12
7,5 =156+𝑥 2 .12
32
240 = 156 + 𝑥 2 . 12
12 𝑥 2 = 84
𝑥 2 = 7
31. 𝑥 =𝑥 1 .𝑓1+𝑥 2 .𝑓2
𝑓1+𝑓2
6,6 =6,5.𝑓1+9 .1
𝑓1+1
6,6 𝑓1 + 6,6 = 6,5.𝑓1 + 9 . 1
0,1 𝑓1 = 2,5
𝑓1 = 25
32. Rata-rata = 𝑥 = 4(2) + 5(5) + 6(8) + 7(11) + 8(4)
30 =
8 + 25 + 48 + 77 + 32
30 =
190
30 = 6,3
Siswa dinyatakan lulus ujian matematika jika nilainya lebih besar dari 6,3.
Jadi, jumlah siswa yang lulus adalah 11 + 4 = 15 siswa
33. Nilai total kelompok = 50 x 64 = 3.200
Nilai rata-rata 49 siswa = 3.200−88,5
49 = 63,5
34. Misal:
Jumlah siswa laki-laki = a
Jumlah siswa perempuan = b
65𝑎+54𝑏
𝑎+𝑏= 58
65a + 54 b = 58a + 58b
7a = 4b
b : a = 7 : 4
Kunci 8.2.1.3
i. 1. x + y – 9 = 0
Bukan persamaan lingkaran karena x dan y berpangkat 1
ii. x2 + y2 – 2x + 5y + 4xy - 4 = 0
bukan persamaan lingkaran karena memuat suku 4xy
iii. x2 + 9y2 + 6x - 8y = 25
bukan persamaan lingkaran karena koefisien x2 tidak sama dengan koefisien y2
iv. x2 + y2 - 6x + 5y – 9 = 0
Modul Matematika SMA 366
Merupakan Persamaan Lingkaran
Kunci 8.2.2.3
Persamaan lingkaran adalah 𝑥² + 𝑦² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
Melalui (3 ,-1) maka :
𝑥² + 𝑦² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
3² + −1 ² + 𝑎. 3 + 𝑏. −1 + 𝑐 = 0
9 + 1 + 3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0
3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 10 = 0 …… (1)
Melalui (5, 3) , maka :
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
5² + 3² + 𝑎. 5 + 𝑏. 3 + 𝑐 = 0
25 + 9 + 5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0
5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 34 = 0 …… (2)
Melalui (6, 2) , maka :
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
6² + 2² + 𝑎. 6 + 𝑏. 2 + 𝑐 = 0
36 + 4 + 6𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0
6𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 40 = 0 …… (3)
Dari persamaan (1) dan (2) :
3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 10 = 0
Modul Matematika SMA 367
5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 34 = 0
−2𝑎 + −4𝑏 + 0− 24 = 0
𝑎 + 2𝑏 + 12 = 0 …… (4)
Dari persamaan (2) dan (3) :
5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 34 = 0
6𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 40 = 0
−𝑎 + 𝑏 − 6 = 0
𝑎 − 𝑏 + 6 = 0 …… (5)
Dari persamaan (4) dan (5) :
𝑎 + 2𝑏 + 12 = 0
𝑎 − 𝑏 + 6 = 0
3𝑏 + 6 = 0
𝑏 = −2
b = - 2 disubtitusikan ke persamaan (5) :
𝑎 − 𝑏 + 6 = 0
𝑎 + 2 + 6 = 0
𝑎 + 8 = 0
𝑎 = −8
a = - 8 ,b = - 2 disubtitusikan ke persamaan (1):
3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 10 = 0
3(−8)− (−2) + 𝑐 + 10 = 0
−24 + 2 + 𝑐 + 10 = 0
𝑐 = 12
Modul Matematika SMA 368
Jadi persamaan lingkaran adalah :
𝑥² + 𝑦² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
𝑥² + 𝑦² − 8𝑥 − 2𝑦 + 12 = 0
Maka diperoleh :
2𝐴 = −8 2𝐵 = −2 𝐶 = 12
𝐴 = −4 𝐵 = −1
𝑟 = 𝐴² + 𝐵² − 𝐶
= −4 ² + −1 ²− 12
= 16 + 1− 12 = 5
Jadi, pusat −𝐴,−𝐵 = (4,1) dan jari-jari 𝑟 = 5
Kunci 8.2.3.3
1. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan
a. panjang jari-jari 3 adalah x2 + y2 = 32 ⇔ x2 + y2 = 9
b. panjang jari-jari 5 adalah x2 + y2 = 52 ⇔ x2 + y2 = 25
2. Pusat (4, 5) dan menyinggung sumbu X ⟶ jari-jari lingkaran 5
Persamaan lingkaran :
𝑥 − 4 ² + 𝑦 − 5 ² = 5²
𝑥²− 8𝑥 + 16 + 𝑦² − 10𝑦 + 25 = 25
𝑥² + 𝑦²− 8𝑥 − 10𝑦 + 41 = 25
𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 10𝑦 + 16 = 0
3. pusatnya (5, 2) dan melalui (-4,1)
r = 5− −4 ² + (2− 1)²
= 5 + 4 ² + (2− 1)²
Modul Matematika SMA 369
= 9² + 1² = 81 + 1 = 82
Persamaan lingkaran :
𝑥 − 5 ² + 𝑦 − 2 ² = ( 82)²
𝑥²− 10𝑥 + 25 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4 = 82
𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 − 4𝑦 + 29 = 82
𝑥² + 𝑦²− 10𝑥 − 4𝑦 − 53 = 0
4. Dari persamaan
2𝑥² + 2𝑦²− 4𝑥 + 3𝑦 = 0
𝑥² + 𝑦²− 2𝑥 + 11
2𝑦 = 0
𝑥² + 𝑦² + 2𝐴𝑥 + 2𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Maka diperoleh :
2𝐴 = −2 2𝐵 = 11
2 𝐶 = 0
𝐴 = −1 𝐵 =3
4
𝑟 = 𝐴² + 𝐵²− 𝐶 = −1 ² + 3
4 ²− 0 = 1 +
9
16=
25
16=
5
4
Jadi pusat lingkaran 1,−3
4 , dan jari-jari lingkaran =
5
4
Kunci 8.2.4.3
1. 𝐶 5,−6 ⟹ 𝑥2 + 𝑦2 = 52 + −6 = 25 + 36 = 61 > 25
Jadi titik C(5, -6) terletak di luar lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 𝑟²
2. 𝐶 3,−2 ⟹ 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 3² + (−2)²− 6.3 + 8(−2)
= 9 + 4 − 18 − 16 = −21 < 0
Jadi titik 𝐶 3,−2 terletak pada lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0
3. –x + y = 3 ..............................(1)
x2 + y2 = 5........................(2)
Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh:
Modul Matematika SMA 370
x2 + y2 = 5
⇔ x2 + (3 + x)2 = 5
⇔ x2 + 9 + 6x + x2 = 5
⇔ 2x2 + 6x + 4 = 0
⇔ x2 + 3x + 2 = 0
Sehingga selesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah
x2 + 3x + 2 dengan nilai diksriminan
𝐷 = 𝑏²− 4𝑎𝑐 = 3 2 − 4 1 2 = 9− 8 = 1
Kunci 8.2.5.3
1. Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari 5 adalah x2 + y2 =
25 Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik (0,4)
adalah
𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 = 𝑟2
⟺ 𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 = 25
⟺ 𝑥 0 + 𝑦 4 = 25
⟺ 4𝑦 − 25 = 0
Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-
jari 5 adalah 4y – 25 = 0
2. Persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 – 1)² + (𝑦 – 2)² = 4 yang melalui
titik (2, 3)
𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 𝑟2
⟺ 𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 4
⟺ 𝑥 − 1 + 2− 1 + 𝑦 − 2 3− 2 = 4
⟺ 𝑥 − 1 1 + 𝑦 − 2 1 = 4
⟺ 𝑥 − 1 + 𝑦 − 2 = 4
⟺ 𝑥 + 𝑦 = 7
Jadi persamaan garis singgung lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 adalah x + y
= 7
Modul Matematika SMA 371
Kunci 8.3.1
1. x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0
A = 4, B = -6, C = -12
Pusat = (-1
2 𝐴, -
1
2 𝐵)
= (-2, 3)
r = −1
2 𝐴2 +−
1
2 𝐵2 − 𝐶
= 4 + 9− (−12)
= 25
= 5
2. x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0 melalui titik (1,7)
(1)2 + (7)2 + 4(1) + b(7) – 12 = 0
7b = -42
b = -6
untuk b = -6 => x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0
A = 4, B = -6
Pusat = (-1
2 𝐴, -
1
2 𝐵)
= (-2,3)
3. 2x2 + 2y2 – 4x + 3py – 30 = 0 melalui (-2, 1)
2(-2)2 + 2(1)2 – 4(-2) + 3p(1) – 30 = 0
3p = 12
P = 4
Persamaan lingkaran menjadi:
2x2 + 2y2 – 4x + 12py – 30 = 0 melalui (-2, 1) (dibagi 2)
x2 + y2 – 2x + 6py – 15 = 0
∴ pusat (1,-3) dan r1 = 1 + 9− (−15) = 5
Persamaan lingkaran baru dengan pusat (1,-3) dan r = 2r1 = 10 adalah
(x – a)2 + (y - b)2 = r2
(x – 1)2 + (y - 3)2 = 102
x2 + y2 – 2x + 6y – 90 = 0
4. a Pusat (-2, 3), r =5
Modul Matematika SMA 372
Persamaan lingkaran :
𝑥 − −2 ² + 𝑦 − 3 ² = 5²
𝑥+ 2 ² + 𝑦 − 3 ² = 25
𝑥² + 4𝑥 + 4 + 𝑦²− 6𝑦 + 9 = 25
𝑥² + 𝑦² + 4𝑥 − 6𝑦 + 13 = 25
𝑥² + 𝑦² + 4𝑥 − 6𝑦 − 12 = 25
b. Pusat (5, 2) dan melalui (-4, 1)
r = 5− −4 ² + (2− 1)²
= 5 + 4 ² + (2− 1)²
= 9² + 1² = 81 + 1 = 82
Persamaan lingkaran :
𝑥 − 5 ² + 𝑦 − 2 ² = ( 82)²
𝑥²− 10𝑥 + 25 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4 = 82
𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 − 4𝑦+ 29 = 82
𝑥² + 𝑦²− 10𝑥 − 4𝑦 − 53 = 0
5. Pusat di O(0, 0) dan melalui titik A(3, 4) Karena melalui titik A(3, 4) maka
nilai r2 ditentukan dari x2 + y2 = r2 diperoleh nilai r2 = 32 + 42 r2 = 25.
Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 25.
6. berpusat di P(4, 3) dan r = 6 maka diperoleh a = 4 dan b = 3 Persamaan
Lingkaran : 222 )()( rbyax
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 62
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 36
7. Subtitusi (1, 7) ke lingkaran x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0 diperoleh :
12 + 72 + 4.1 + b.7 – 12 = 0
Modul Matematika SMA 373
7b = – 42 b = – 6
Pusat :
2,
2
BA = (– 2, 3)
8. Lingkaran : x2 + y2 – 6x + 8y – 24 = 0 diperoleh A = – 6, B = 8 dan C = – 24
Pusat:
2,
2
BA = (3, – 4)
Jari – jari = CBA
22
22
r = )24()4(3 22
9. Titik A(1, 2) dan L x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0
Subtitusi A(1, 2) ke L x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0
diperoleh 12 + 22 + 6.1 – 2.2 + 3 = 10 > 0. Jadi titik A(1, 2) terletak di luar
Lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0.
10. Mula-mula kita harus mengetahui posisi titik A terhadap lingkaran L dengan
cara mensubtitusi titik A(6, 8) ke L x2 + y2 = 49, diperoleh:
A(6, 8) x2 + y2 = 49
62 + 82 = 100 > 49
jadi titik A berada diluar lingkaran.
Jarak terdekat = AP – r = 22 )08()06( – 7 = 3
Jadi jarak terpendek titik A ke lingkaran L adalah 3 satuan panjang.
11. Subtitusi garis y = 3x + 2 ke L x2 + y2 + 4x – y + 1 = 0, diperoleh:
x2 + (3x + 2)2 + 4x – (3x + 2) + 1 = 0
10x2 + 13x + 3 = 0,
sehingga nila a = 10, b = 13 dan c = 3
Nilai D = b2 – 4ac = 169 – 4.10.3 = 49 > 0
Karena diperoleh D > 0 maka garis y = 3x + 2 memotong ligkaran L di dua
titik yang berlainan.
12. Persamaan garis singgung lingkaran (x + 3)2 + (y – 2)2 = 58 di titik B(0, 9)
berarti
Modul Matematika SMA 374
x1 = 0 y1 = 9, a = - 3 b = 2 r2 = 58
PGS (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
(0 + 3)(x + 3) + (9 – 2)(y – 2) = 58
3x + 7y – 63 = 0
Jadi persamaan garis singgungnya adalah 3x + 7y – 63 = 0.
13. L (x + 2)2 + (y – 1)2 = 4 yang sejajar dengan garis 3x + 4y – 1 = 0, berarti
a = – 2, b = 1 r = 2
Gradien garis 3x + 4y – 1 = 0 adalah m1 = 3
4 . Syarat dua garis sejajar m1
= m2. Jadi m2 = 3
4 .
PGS 21)( mraxmby
y – 1 = 3
4 (x + 2) 2
9
161
y – 1 = 3
4 (x + 2) 2
9
25
y – 1 = 3
4 (x + 2)
3
10
3y – 3 = – 4x – 8 10
4x + 3y = 3 – 8 + 10 atau 4x + 3y = 3 – 8 – 10
4x + 3y = 5 atau 4x + 3y = – 15
Jadi persamaan garis singgungnya adalah 4x + 3y – 5 = 0 atau 4x +
3y + 15 = 0.
14. L x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y = 5
Dari L x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0 , diperoleh
A = – 2 B = 6 C = 5
Pusat lingkaran = (1, -3) dan r = 591 = 5
Dari x + 2y = 5 diperoleh m1 = 2
1 , karena tegak lurus maka
Modul Matematika SMA 375
m1. m2 = – 1, diperoleh m2 = 2
PGS 21)( mraxmby
y + 3 = 2(x – 1) 5 221
y + 3 = 2x – 2 5
2x – y – 5 5 = 0
Jadi persamaan garis singgungnya adalah 2x – y = 0 atau
2x – y – 10 = 0
Kunci 9.2.2.5
1. 14𝑏 − 25𝑏5 − 20𝑏3 + 3𝑏2
−25𝑏5 − 20𝑏3+3𝑏2 + 14𝑏(berderajat 5)
Koefisien 𝑏5 = - 25
Koefisien 𝑏3= - 20
Koefisien 𝑏2= 3
Koefisien 𝑏= 14
2. a. (9𝑦2 − 9) + (8𝑦 + 7𝑦2 − 5)
= 9𝑦2 + 7𝑦2 + 8𝑦 − 9− 5
= 16𝑦2 + 8𝑦 − 14
b. (2𝑦2 + 9)− (3𝑦2 − 7)
= 2𝑦2 − 3𝑦2 + 9 + 7
= −𝑦2 + 16
3. a. Bukan suku banyak
b. 𝑥 + 1 𝑥 − 1 (𝑥 + 2)
= 𝑥3 + 𝑥 − 2 (suku banyak)
4. a. 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 2𝑥 − 5
𝑓 3 = 2 3 3 − 9 3 2 + 2 3 − 5
= 2.27− 9.9 + 6 − 5
Modul Matematika SMA 376
= 54− 81 + 6− 5
= −26
b. 𝑓 𝑥 = 8𝑥3 − 6𝑥 + 3
𝑓 1
2 = 8𝑥3 − 6𝑥 + 3
= 8(1
2)3 − 6
1
2 + 3
= 8.1
8− 6.
1
2+ 3
= 1− 3 + 3
= 1
5. a. 4 1 -5 3 -4
4 -4 18 +
1 -1 -1 -8= f(4)
Jadi nilai f(4)= -8
b. -2 4 0 -3 7
-8 16 -26+
4 -8 13 -19=f(-2)
Jadi nilai f(-2)=-19
6. 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = (2𝑥4 − 𝑥3 + 7𝑥 − 1) + (𝑥4 − 7𝑥3 − 𝑥 + 2)
= 3𝑥4 − 8𝑥3 + 6𝑥 + 1dan berderajat 4.
7. 𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 = (2𝑥3 − 𝑥2 + 1). (𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥2)
= 2𝑥7 + 3𝑥6 + 2𝑥3 + 𝑥2
8. 𝑥2 + 4𝑥 − 1 ≡ 〱 + 1 𝑥 + 2 + 3𝑝
𝑥2 + 4𝑥 − 1 ≡ 𝑥2 + 3𝑥 + 2 + 3𝑝
Berdasarkan sifat kesamaan suku banyak diperoleh:
𝑥 = 3 + 3𝑝
3𝑝 = 𝑥 − 3
𝑝 =𝑥−3
3
9. -3 1 4 -3 1
Modul Matematika SMA 377
-3 -3 18+
1 1 -6 19
Hasil baginya adalah (𝑥2 + 𝑥 − 6) sisanya adalah 19.
10. 3
2 6 1 -8
9 15 +
6 10 7
Hasil bagi (𝑥)
𝑎=
6𝑥+10
2= 3𝑥 + 5.
sisa = f(k) = 7
Jadi, 6𝑥2 + 𝑥 − 8 = 3𝑥 + 5 2𝑥 − 3 + 7
Kunci 9.2.3.4
1. Jika f(x) = 𝑥4 − 2𝑥3 − 3𝑥 − 7 dibagi (x – 3) (x + 1),
f(3) = 34 − 2.33 − 3.3− 7 = 11
f(-1) = −14 − 2 −1 3 − 3(−1)− 7 = -1
f(3) = 3p + q = 11
f(-1) = -p + q = -1-
4p = 12
P = 3
Untuk p = 3, maka : 3 (3) + q = 11
q = 2
jadi, S(x) = px + q = 3x + 2
2. P(x)=𝑥4 + 5𝑥3 + 9𝑥2 + 13𝑥 + 𝑎 dibagi dengan (x + 3) bersisa 2.
x=-3 1 5 9 13 a
-3 -6 -9 -12 +
1 2 3 4 a-12 = 2
a = 14
jadi diperoleh a = 14
p(x) = 𝑥4 + 5𝑥3 + 9𝑥2 + 13𝑥 + 14 dibagi (x + 1)
Modul Matematika SMA 378
x= -1 1 5 9 13 14
-1 -4 -5 -8 +
1 4 5 8 6 = f(-1)
Jadi, jika p(x) dibagi (x + 1) sisanya adalah 6.
3. f(x) = 𝑥4 − 3𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥 − 6 dibagi 𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑥2 − 2𝑥 − 5
𝑥2 − 𝑥 − 2 𝑥4 − 3𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑥4 − 𝑥3 − 2𝑥2 +
−2𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 − 6
−2𝑥2 + 2𝑥2 + 4𝑥
−5𝑥2 − 3𝑥 − 6
−5𝑥2 + 5𝑥 + 10 -
-8x – 16 (sisanya)
4. Pembahasan:
f(x)= 3𝑥3 − 13𝑥2 + 8𝑥 + 12, suku tetapnya adalah 𝑎0 = 12.
Nilai-nilai faktor k yang mungkin adalah faktor bulat dari𝑎0 = 12.
Yaitu: ±1, ±2, 3±, 4±, 6±, ± 12.
Untuk k= 1,diperoleh
f(x) = 3.13 − 13.12 + 8.1 + 12
= 3– 13 +8 +12
= 10
Jadi, (x - 1) bukan faktor dari f(x)
Untuk k = -1,
f(x) = 3.−13 − 13.−12 + 8.−1 + 12
= -3 – 13 – 8 + 12
= - 12
Modul Matematika SMA 379
Jadi, (x + 1) faktor dari f (x).
Untuk k = 2
f() = 3.23 − 13.22 + 8.2 + 12
= 24 – 52 + 16 + 12
= 0
Jadi, (x - 2) faktor dari f(x).
5. Pembahasan.
fx) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 = 0
factor dari 6 yaitu : ±1, ±2, 3±, 6±.
Dengan cara mencoba-coba diperoleh f(x) = 0 untuk x = -1.
X = - 1 1 -4 1 6
-1 5 -6 +
1 -5 6 0 = f(-1)
h(x) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6
bentuk𝑥2 − 5𝑥 + 6 dapat difaktorkan menjadi (x – 2 )(x – 3 ).
Sehingga bentuk persamaannya:
𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 = 0
(x + 1 )(𝑥2 − 5𝑥 + 6) = 0
(x + 1 )(x – 2 )(x – 3 )= 0
x = -1 atau x= 2 atau x = 3
jadi HP = {-1, 2, 3}.
6. Pembahasan
Jika f(2) = 0 maka (x – 2 ) merupakan factor dari suku banyak f(x) = 3𝑥3 + 2𝑥2 − 19𝑥 +
6
2 3 2 -19 6
6 16 -6 +
3 8 -3 0
Ternyata f(2) = 0, maka (x – 2 ) merupakan factor dari 3𝑥3 + 2𝑥2 − 19𝑥 + 6 sehingga
3𝑥3 + 2𝑥2 − 19𝑥 + 6 =(3𝑥2 + 8𝑥 − 3)(x–2) =
(3x – 1 )(x + 3 )(x – 2 )
Modul Matematika SMA 380
Jadi, (3x – 1 ), (x + 3 ), (x – 2 ), dan perkalian antar factor (asal derajat tak lebih dari tiga)
merupakan factor-faktor dari 3𝑥3 + 2𝑥2 − 19𝑥 + 6.
7. Pembahasan:
(a= 2, b = -6, c= -8 dan d = 20)
a) x1 + x2 +x3 = − 𝑏
𝑎 = −
−6
2 = 3
b) x1x2 + x1x3 + x2x3 = 𝑐
𝑎 =
−8
2 =-4
c) x1 . x2. x3 = − 𝑑
𝑎 = −
−20
2 = 10
Kunci 9.3.1
1) a. 𝑥2 − 3𝑥 + 5− 𝑥3 = −𝑥3 +−𝑥2 − 3𝑥 + 5
2) (3𝑥2 + 1)2 + 𝑥(2𝑥 − 3)
= 3𝑥2 + 1 3𝑥2 + 1 + (2𝑥2 − 3𝑥)
= (9𝑥4 + 3𝑥2 + 3𝑥2 + 1) + (2𝑥2 − 3𝑥)
= 9𝑥4 + 8𝑥2 − 3𝑥 + 1f
= Koefisien x4 = 9
3) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 8𝑥 − 3
𝑓 −3 = (−3)3 − 8 −3 − 3
= −27 + 24− 3
= 6
Jadi f(-3) = 6
4) 4𝑥2 − 6𝑥 + 2
= 4(1
2)2 − 6
1
2 + 2
= 1− 3 + 2
= 0
5)
-5 2 8 -1 -19 8
-10 10 -45 320 +
2 -2 9 -64 328= f(-5)
Modul Matematika SMA 381
6) 𝑓 1
2 = 16𝑥3 − 4𝑥 + 6,
= 16(1
2)3 − 4
1
2 + 6
= 16 1
8 − 2 + 6
= 2 − 2 + 6
= 6
7) Misalkan menggunakan x = 2
2 1 2 -8
2 8 +
1 4 0 = f(2)
8) a.𝑓 −2 = 3(−2)2 + 5(−2)2 − 𝑎 −2 + 8
26 = 12 + 20 + 2𝑎 + 8
26 = 40 + 2𝑎
26− 40 = 2𝑎
−14 = 2𝑎
−7 = 𝑎
b. 𝑓 1 = 13 − 𝑎(1)2 + 𝑏 1 − 9
−6 = 1− 𝑎 + 𝑏 − 9
𝑎 − 𝑏 = 1 + 6− 9
𝑎 − 𝑏 = −2....................(1)
𝑓 3 = 33 − 𝑎(3)2 + 𝑏 3 − 9
6 = 27− 9𝑎 + 3𝑏 − 9
9𝑎 − 3𝑏 = 27− 9− 6
9𝑎 − 3𝑏 = 12...............(2)
Dari persamaan 1 dan 2 kita eliminasi.
𝑎 − 𝑏 = −2 x3 3𝑎 − 3𝑏 = −6
9𝑎 − 3𝑏 = 12 x1 9𝑎 − 3𝑏 = 12
−6𝑎 = -18
𝑎 = 3
Modul Matematika SMA 382
3− 𝑏 = −2
3 + 2 = 𝑏
𝑏 = 5
(𝑎 − 𝑏)2 = (3− 5)2
= 4
9) -2 3 7 a -6
-6 -2 4 - 2a +
3 1 -2+a -2-2a= 16
-2 – 2a = 16
-2a = 18
a = −18
2= 9
Jadi, a = 9
10) 3
2 2 1 4 4
3 6 15 +
2 4 10 19
3
2 2 3 -5 p
3 9 6 +
2 6 4 p + 6 = 19
6 + p = 19
p = 19-6
p = 3
Jadi, p = 3
Modul Matematika SMA 383
11) (x – 2 ) = (x- (-2) ), sisa adlah s = f(-2)
Cara subtitusi:
f(-2) = 𝑥3 − 2𝑥 + 7
= (−2)3 − 2 −2 + 7
= -8 +4+7
= 3
Jadi, sisanya adalah 3
12) f(x) = 4𝑥3 − 2𝑥2 + 3 dibagi oleh (2x – 3 )
2x – 3 = 2 (x - 3
2 )
3
2 4 -2 0 3
6 6 9 +
4 4 6 12
Jadi sisanya adalah 12.
13) Jika f(x) = 6𝑥3 + 7𝑥2 + 𝑝𝑥 − 24habis dibagi (2x – 3 ) maka f(3
2 ) = 0.
3
2 6 7 p -24
9 24 (36 +3
2 𝑝)+
6 15 24 +p 3
2 𝑝 + 12 = 0
P = -8
Jadi, nilai p adalah -8.
14) Pembagi (𝑥2 − 2𝑥 − 8). = (x + 2 )(x – 4 )
Misalkan s(x) = px + a
Untuk x = -2, maka f(-2) = -2p + q = 14
Untuk x = 4, maka f(4) = 4p +q +-4
Dari persamaan 1 dan 2 diperoleh:
-2p + q = 14
4p +q = -4 -
-6 + 0 = 18
Modul Matematika SMA 384
-6p = 18
p = -3
untuk p = -3, maka 4p + q = -4
4(-3)+ q = -4
q = 8
jadi, sisanya adalah px + q = -3x + 8
15) (2𝑥4 − 9𝑥3 + 5𝑥2 + 𝑘𝑥 − 4) mempunyai factor (x – 4 ), maka f(4)= 0
4 2 -9 5 k -4
8 -4 4 4(k + 4) -4 +
2 -1 1 (k + 4) 4 (k + 4) – 4
Agar f(4) = 0 maka 4(k + 4) – 4 = 0
4k + 16 – 4 = 0
4k + 12 = 0
K = -3
Jadi nilai k = -3