logaritma - · pdf filebilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan...
TRANSCRIPT
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 1
BAB I BENTUK PANGKAT, AKAR DAN
LOGARITMA Dalam perhitungan para ahli, dinyatakan bahwa berat bumi adalah 5.976 juta ton. Berpa kilogramkah itu? Coba kita tuliskan: 5.976.000.000.000.000.000 kg. Dalam ilmu pengetahuan alam, banyak digunakan bilangan-bilangan yang sangat besar atau sangat kecil. Misalnya dalam pelajaran kimia terdapat tetapan avogadro yaitu 602.000.000.000.000.000.000.000; dalam ilmu fisika dikatakan muatan elektron (yang diketemukan oleh Joseph John Thompson) adalah -0,00000000000000000016 Coulomb. Jika seorang ahli fisika dalam perhitungannya melakukan kesalahan penulisan (misalnya kurang satu angka 0 atau kelabihan angka 0), maka hasil akhir perhitungannya juga salah. Dengan adanya cara penulisan bilangan berpangkat, kerepotan penulisan angka dihilangkan dan resiko kesalahan dapat diperkecil. Berat bumi dituliskan sebagai 5,976 . 1018 kg. Tetapan avogadro sebesar 6,02 . 1023 dan muatan elektron -1,6 . 10-19 Coulomb. Masih banyak lagi penulisan berpangkat yang akan kita pelajari dalam bab ini.
Standar Kompetensi 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan
logaritma Kompetensi Dasar
1.1 Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma
1.2 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan logaritma
Joseph John Thompson (1856 – 1940)
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 2
A. Bentuk pangkat Bilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat
pecahan.
1. Pangkat Bulat Positif Perkalian berulang suatu bilangan real dapat dituliskan dalam bentuk
bilangan berpangkat bulat positif. Notasi eksponen sangat berguna untuk menuliskan hasil perkalian
suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri secara berurutan . Misal : 2 x 2 x 2 ditulis 23 berarti 23 = 2 x 2x 2 Pada bentuk 23, 2 disebut bilangan pokok atau basis dan 3 yang ditulis
di atas bilangan 2 disebut pangkat atau eksponen.
Keterangan : an dibaca “ a pangkat n “ disebut bilangan berpangkat. a disebut bilangan dasar atau bilangan pokok. n disebut eksponen atau pangkat.
Contoh 1 : Tuliskanlah bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat / eksponen 1. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 jawab : 54 2. ( - 2 ) x ( - 2 ) x ( - 2 ) jawab : 32
3.
51
51
51
51 xxx jawab :
4
51
4. 81 jawab : 43 5. 256 jawab : 44 6. 30.000 jawab : 4103x
2. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat positif
Untuk m , n B dan Ra maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut 1. nmnm aaxa Bukti :
am x an =
...faktorm
ax...xaxaxaxax...xaxaxa
= faktor...
ax...xaxaxa
= a …
Definisi Bilangan berpangkat bulat positif Jika a adalah bilangan real dan n bilangan bulat lebih dari satu , maka pangkat ke – n dari a ditulis an dan didefinisikan sebagai hasil perkalian n faktor masing-masing a yaitu :
an = faktorn
ax....xaxaxa
untuk n = 1 didefinisikan a1 = a.
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 3
2. nmnm aaa : ; m > n Bukti :
am : an =
...faktorm
ax...xaxaxa:ax...xaxaxa
=
faktor
faktor
faktor...
ax...xaxaxa
)ax...xaxaxax)ax...xaxaxa(
= faktor
3. mnmn aa Bukti : ( am )n =
faktorn
mmmm ax...xaxaxa
=
.........mfaktor
)ax....axaxa(x...x)a...xaxaxa(x)ax...xaxaxa(
= faktorx...
)ax...xaxaxa(
= a…
4. m
mm
ba
ba
Bukti :
faktorm
m
bax...x
bax
bax
ba
ba
=
...
...
bx...xbxbxbax...xaxaxa
= ...
...
ba
5. mmm xbabxa Bukti :
( ab)m = faktorm
abx...xabxabxab
= ...faktorm
bx...xbxbxb(x)ax...xaxaxa(
= am x b… = a… b…
Contoh 2 : Tuliskan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat
1. 32
65
68
yxyx 333625
34
34 yxyx
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 4
2.
yxyx
3
22
42 xyyx
yxyx
12343
24
44
3.
222
22323
64442
yxxyyxyx
2222
2236
616416
yxyxyxyx
28111
22282 4
22
422
yx
yxyxyx
3. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat negatif dan nol Pada sifat 2 : am : an = am-n untuk m > n dan a 0.
Bagaimana jika m = n . Kita tahu bahwa
2525 = 1 dan 25 = 52
Seandainya sifat 2 berlaku maka : 2525 = 2
2
55 = 52- 2 = 50 = 1
Bagaimana jika m < n Perhatikan sifat : am : an untuk a 0 Seandainya berlaku untuk m = 0 diperoleh : am : an = a0 : an pada bilangan a0 = 1 untuk a 0 maka a0 : an = 1 : an a0-n = 1 : an a-n = 1 : an a-n = na
1
Dari ilustrasi di atas lakukan kegiatan berikut untuk membuktikan sifat pankat bulat negatif dan nol
1. Jika 1 maka ,0 0 aa Bukti :
2. Jika nn
aaaBn 1 maka 0dan
Bukti :
Contoh 3 : Tuliskan bilangan-bilangan berikut dengan pangkat bulat positif
1. 161
212 4
4
2. 44
4
811
313
xxx
Latihan Kompetensi 1
1. Sederhanakan 3
2
32
4
2
.
xy
yx
6. Sederhanakan
212
411
512
323
z
yx
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 5
2. Sederhanakan 2
44
332
32
43
.
sqrp
srqp
7.
3
41
41
10
41
32
52
yx:yx
3. Sederhanakan 21
12
baba
8. Tentukan nilai dari 4
43
32
cabT ,
untuk a = 100 , b = 81
dan c = 0,01
4. Sederhanakan 21
11
abbaab
9. Sederhanakan
2222 33.3
31
5. Buktikan 3
3
33
33
1
1
yx
yx
yxyx
10. Sederhanakan 620
532 88
.
TUGAS 1
1. Sederhanakan 55
32
1218
yxyx
6. Tulis dalam satu suku
321
161
81
41
21
2. Sederhanakan 222 yx
7. Tulis dalam bentuk n
m
22
7654
326
322
524
328
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 6
3. Sederhanakan
12
3
43
7
2
.
ba
ba
8. Sederhanakan
22
44
baba
4. Sederhanakan
2
524
232
2 42 4
yxyxxyyx
9. Sederhanakan
11
11
xyyxxy
5. Sederhanakan
3522
2342
2222
10. Sederhanakan
3
213 .1.1 abb
a
B. Bentuk Akar
Kita telah membahas dan memberi arti pula pada bilangan dengan pangkat bulat, misalnya 7-9, 93, 50 dan sebagainya. Sekarang dapatkah kita memberi
arti dan definisi yang baik terhadap bilangan 31
21
71
10035
,, dan bilangan-bilangan lain yang serupa dengan itu. Jawabnya bisa! Bilangan tersebut disebut bilangan berpangkat rasional.
1. Pangkat Rasional Definisi pangkat rasional Misalkan a dan b bilngan real, n bilangan bulat positif , n ≥ 2 dan bn = a
maka b dinamakan akar pangkat n dari a dan dinyatakan dengan
nn aa
1
, n ≥ 2; dibaca akar pangkat n dari bilangan a
Untuk n = 2, aa 21
; pangkat tidak ditulis dan dibaca akar a Jika m , n bilangan bulat dan ala Re , maka
mnn mnm
aaa , n ≥ 2; dibaca akar pangakat n dari bilangan a pangkat m
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 7
Contoh 4 : Tuliskan dalam bentuk akar yang sederhana
1. 5 252
aa
2. 3 2327
212
aaa
3. 33
331
3 431
274
274
274
2. Bilangan Irasional dan Bentuk Akar
Sebelum membahas lebih jauh bentuk akar, mengingat kembali tentang bilangan rasional dan bilangan irasional yang telah dibahas sebelumnya. Bilangan Real Bilangan Irasional Bilangan Rasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat dinyatakan
dalam bentuk ba dengan a, b bilangan bulat dan b 0.
Berdasarkan definisi tersebut, bilangan rasional dapat dibedakan menjadi dua macam yaitu bilangan bulat dan bilangan pecahan, sedangkan bentuk akar merupakan bagian dari bilangan irasional. Perhatikan barisan bilangan berikut ini :
2 , 4 , 6 , 8 , 9 , 12 , 16 , 20 , 25 , 36 .
2 , 6 , 8 , 12 , 20 merupakan bentuk akar, karena bilangan-
bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan ba dan
mempunyai nilai masing-masing sebagai berikut : 2 = 1.4142135623... 12 = 3.4641016151...
6 = 2.4494897427... 20 = 4.4721359549...
8 = 2.8284271247...
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 8
Bilangan irasional dapat diartikan sebagai bilangan pecahan desimal tak terbatas dan tak berulang
4 , 9 , 16 , 25 , 36 bukan bentuk akar karena bilangan-bilangan
tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan bulat, seperti : 4 = 2,000... 9 = 3,000... 16 = 4,000... 25 = 5,000... 36 = 6,000...
Bilangan rasional dapat diartikan sebagai bilangan pecahan desimal tak terbatas tetapi berulang
Contoh 5 : Tunjukkan bahwa bilangan 0,666... = 2/3
Penyelesaian : Misalkan : x = 0,666...
- - - - - - - - - ( kedua ruas dikalikan dengan 10 ) 10x = 6,666 ... 10 x = 6 + 0,666 ... 10 x = 6 + x 10 x – x = 6 9 x = 6 x = 6/9 = 2/3 Kerjakan soal berikut ini seperti contoh di atas Tunjukkan bahwa bilangan 0,242424... = 8/33 Misalkan : x = 0,242424... - - - - - - - - - (kedua ruas dikalikan dengan 100) .... = 24 , ... .... = .... + ... .... = .... + ... .... – ... = .... .... = .... .... = ....
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 9
Contoh 6 :
Pada bangun persegi di bawah ini, diagonal manakah yang merupakan bentuk akar, jika diketahui
a. panjang sisi 3 cm
b. panjang sisi 2 2 cm
Penyelesaian : C D A B
a. AD = 22 33 )()(
= 33 = 6 Panjang diagonal ini merupakan bentuk akar b. AD = ............................ = ............................ = ............................ .......................................................................... 3. Bentuk akar atau Radikal
Pernyataan yang berbentuk n a yang berarti akar pangkat n bilangan a. bilangan positif n adalah indeks atau tingkat akar dari radikal dan bilangan a adalah bilangan yang diambil akarnya (radikan), serdangkan lambang n
tanda akar. Apabila n = 2 maka indeksnya dihilangkan, sehingga a memiliki arti 2 a . Definisi Jika n bilangan asli dengan n > 1 dan a R, maka akar pangkat n bilangan a ditulis n a didefinisikan sebagai berikut: n a adalah akar pangkat n yang positif dari a, dengan a > 0 n a adalah akar pangkat n yang negatif dari a, dengan a < 0 dan n ganjil. 00 n .
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 10
4. Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya Pada bagian ini akan dibahas bagaimana cara mengubah bentuk akar ke dalam bentuk pangkat dan sebaliknya.
Contoh 7 : Nyatakan bilangan berpangkat di bawah ini dalam bentuk akar
a. 52
6 b. 32
5
a c. 322
x
Penyelesaian :
a. 52
6 = 5 26 =
5 36 c. 322
x = x2 . 32
x = 3 22 xx
b. 32
5
a = 32
5
a
= 3 25
a
Contoh 8 :
Nyatakan dalam pangkat rasional pecahan positif
a. 5 23 b. 6 23 aa c. 31 bb d. 3
811
91
Penyelesaian :
a. 5 23 = 5
23
b. 6 23 aa = a3 x 62
a = 313
a
c. 31 bb = b–1 x 23
b = 21
b
d. 3811
91 = 3– 2 x 3
1
811
= 3– 2 x 31
43 = 31
33 = 31
33
1
Latihan Kompetensi 2 1. Manakah diantara bilangan di bawah ini yang merupakan bentuk akar,
berikan alasan. a. 10 c. 90, e. 3 80, g. 3 080,
b. 125 d. 96 f. 3 1000 h. 3
648
2. Nyatakan bilangan pangkat di bawah ini dalam bentuk akar
a. 21
3 c. 431
a e. 31
81 g. 54
7
y
b. 32
5 d. 21
81 )( f. 2
1x h. 3
122
)yx(
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 11
3. Nyatakan bentuk akar di bawah ini dalam pangkat pecahan a. 3 2 c. 3 36 e. 5 32 a g. 42 pp
b. 4 9 d. 3 16 f. 5 3xx h. 3 8191
4. Nyatakan bentuk akar di bawah ini dalam bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 2
a. 5 16 c. 5 42 e. 3321 g. 3 4
21
b. 3 32 d. 21 f. 4 4
81 h.
21
41
5. Nyatakan x dalam bentuk pecahan murni untuk setiap soal di bawah a. x = 0,777... b. x = 0,252525...
c. x = 0,135135135...
6. Nyatakan bilangan desimal 2,525252 … ke dalam bentuk bilangan rasional
pecahan ba
7. Nyatakan bentuk pangkat di bawah ini dalam bentuk akar
a. 3122 )yx( e.
32
2
2
2
yx
b. 31
65
ba f. 21
31
1
2
ba
c. 21
3
2
x
g. 21x ( 3
2x + 2
1x )
d. 31
1
2
ba h. 2
1x ( 2 + 21y )
8. Nyatakan dalam bentuk pangkat pecahan positif
a. ( x 2 – 1 )1/ 4 ( x 2 – 1 )3/ 4 c. 3
3 2
x
x
b. x 13 x d. 4 36
51
31
x
x
c. x
1 xx 3 f. 2
4 32
xxx
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 12
5. Menyederhanakan bentuk akar
Dalam perhitungan sering menemukan bentuk akar bilangan besar yang bukan merupakan bilangan prima, pada bagian ini akan dibahas bagaimana cara menyederhanakan bentuk akar yang dimaksud tadi.
Untuk menyederhanakan atau menjabarkan akar, terlebih dahulu kita harus memahami sifat-sifat berikut:
a) aan n e) mn mnn
ma
aa
b) nnn abba f) n ppn aa
c) mn nmnm aaa g) mnn m aa
d) n
nn
ba
ba h) np mpn m aa
Contoh 9 : Sederhanakan bentuk akar di bawah ini
a. 48 d. 8112b
b. 125 e. 3 854x
c 596a f. 3 10192y Penyelesaian :
a. 48 = 316 x b. 125 = .√25 x 5.. = 316 x = . √25.. x . √5.. = 34 = .5√5..
c. 596a = aa 6416 x d. 8112b = ...
= aa 6416 x = ... x ... = aa 624 = ...
e. 3 854x = 3 22627 xx x f. 3 10192y = ...
= 3 223 627 xx x = ... x ...
= 3 2223 xx = ...
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 13
Latihan Kompetensi 3 1. Sederhanakan bentuk akar di bawah ini
a. 20 f. 147 k. 2 40 b. 45 g. 150 l. 5 90 c. 63 h. 180 m. 8 200 d. 98 i. 245 n. 7 216 e. 108 j. 432 o. 11 320
2. Sederhanakan bentuk akar yang terdefinisi di bawah ini
a. 5a d. 412s g. 5227 yx
b. 72p e. ba36 h. 2764 yx
c. 48x f. 5832 ya i. 11880 qp 3. Sederhanakan bentuk akar di bawah ini.
a. 4 3625 d. 15 2551032 cba
b. 542100 )yx( e. 3 27120964 yx.
c. 8 62yx f. 5 3 2540305 ba 4. Segitiga ABC siku-siku di A dengan panjang AB = 4 cm, dan Panjang
AC = 6 cm, tunjukkan bahwa panjang BC = 2 13 cm 5. Luas sebuah persegi panjang adalah 72 cm2 , jika panjangnya tiga kali
lebarnya, hitunglah panjang diagonalnya. 6. Operasi aljabar pada bentuk akar
Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar hanya dapat dilakukan, jika bentuk akar-akarnya sejenis. 0 a dengan anmanam
0 a dengan anmanam 00 b dan a dengan abbxa
Contoh 10 : Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk akar di bawah ini :
a. 3 5 + 4 5 c. 6 7 – 4 7 b. 2 3 + 7 3 d. 5 2 + 2 2 – 4 2
Penyelesaian : Bentuk akar dari tiap-tiap soal di atas sejenis ( memenuhi syarat ) berarti dapat dijumlahkan atau dikurangkan a. 3 5 + 4 5 = ( 3 + 4 ) 5 = 7 5
b. 2 3 + 7 3 = ( ... + ... ) ... = ...
c. 6 7 – 4 7 = ( ... – ... ) ... = ...
d. 5 2 + 2 2 – 4 2 = ( ... + ... – ... ) ... = ...
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 14
Untuk di ingat : a + b ba dan a – b ba
Operasi Perkalian Bentuk Akar
Seperti telah di sebutkan sebelumnya bahwa
a x a = aa x = 2a = a , untuk a R dan a > 0
maka a x b = ba x = ab , untuk a,b R dan a,b > 0 Hasil perkalian bentuk akar diartikan sebagai perkalian bilangan-bilangan di bawah tanda akar. Perkalian bentuk akar :
p x q 1. p a x q b = pq ab
a x b
2. p a ( q b r c ) = pq ab pr ac
3. ( a + b )( c + d ) = ac + ad + bc + bd
4. ( a + b )2 = (a + b) + 2 ab
( a + b ) = abba 2)(
5. ( a – b )2 = (a + b ) – 2 ab
( a – b ) = abba 2)( , dengan a > b Contoh 11 :
Tentukan hasil perkalian bentuk akar di bawah ini a. 5 x 2 e. 2 3 x 5 2 x 4 3 b. 2 7 x 3 2 f. ( 2 + 7 )( 5 + 3 ) c. 5 2 ( 2 + 3 ) g. ( 5 + 2 )2 d. 3 3 (4 2 – 2 5 ) h. ( 3 – 2 )2 Penyelesaian :
a. 5 x 2 = 2x5 = 10
b. 2 7 x 3 2 = (2 x 3) 14 = 6 14
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 15
c. 5 2 ( 2 + 3 ) = 10 + 5 6 d. 3 3 (4 2 – 2 5 ) = 12 6 – 6 15 e. 2 3 x 5 2 x 4 3 = ( 2 x 5 x 4 x 3 ) 2 = 120 2 f. ( 2 + 7 )( 5 + 3 ) = 10 + 6 + 35 + 21
g. ( 5 + 2 )2 = ( 5 + 2 ) + 2 10 = 7 + 2 10 h. ( 3 – 2 )2 = ( 3 + 2 ) – 2 6 = 5 – 2 6
Contoh 12 :
Nyatakan dalam bentuk operasi jumlah atau kurang untuk setiap bentuk akar di bawah ini
a. 26215 c. 249
b. 72218 Penyelesaian : 13
a. 26215 26 syarat 2 + Jumlah hasil kali 15
26215 = ( 13 + 2 )
... b. 72218 72 ... +
18 72218 = ( ..2
√3. – ..
√6. )
... c. 249 = 829 8 ... +
249 = ( 2
√2... + .1.. ) Latihan Kompetensi 4
1. Sederhanakan operasi penjumlahan dan pengurangan di bawah ini. a. 5 2 + 2 e. 8 10 + 3 10 – 10 10 b. 4 7 + 3 7 f. 3 6 – 2 5 – 6 + 7 5 c. 5 5 – 2 5 g. 5 2 – 2 5 – 9 2 + 7 5 d. 6 3 – 3 h. 6 3 + 4 2 – 2 3 – 6 2
2. Sederhanakan bentuk akar di bawah, kemudian tentukan hasil jumlah dan kurangnya a. 4 3 + 3 27 d. 3 45 + 4 20 – 5 125 b. 5 28 – 10 7 e. 5 63 – 4 20 – 2 175 + 5 125
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 16
c. 128 + 5 50 f. 2 512 – 243 + 4 32 + 5 27 3. Sederhanakan bentuk perkalian akar di bawah ini
a. 3 ( 2 + 2 3 ) h. 2 x 8 x 3 x 27 b. 6 ( 3 – 2 2 ) i. 63 x 7 x 28 x 112
c. 8 ( 6 – 3 ) j. ( 6 + 3 )( 6 – 2 )
d. 15 ( 3 + 5 ) k. ( 5 + 3 )(3 5 – 2 3 )
e. ( 7 – 5 )2 l. ( 2 – 2 3 )( 2 + 2 3 )
f. ( 10 + 6 )2 m. (2 3 + 5 2 )(2 3 – 5 2 ) g. (2 3 – 5 2 )2 n. (3 8 + 2 7 )(3 8 – 2 7 )
4. Nyatakan dalam bentuk operasi jumlah atau kurang untuk setiap bentuk akar di bawah ini
a. 5618 b. 28532 c. 34133
Merasionalkan penyebut bentuk akar
Salah satu cara untuk mempermudah perhitungan pada operasi pembagian apabila penyebutnya berbentuk akar yaitu dengan cara merasionalkan penyebut.
Sebagai ilustrasi : Tanpa menggunakan kalkulator atau alat bantu hitung lainnya,
tentukan hasil bagi dari 2
1, jika 2 = 1,4142
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, lakukan pengerjaan sbb : Cara 1 menggunakan operasi pembagian bilangan
2
1 =
4142,11
= ...
Cara 2 dengan merasionalkan penyebut
21
= 2
1x
22
= ½ 2 = ½ (1,4142) = ...
Cara manakah yang paling sederhana menurut anda ? Merasionalkan Penyebut : 1. Bilangan Berbentuk
ba
Untuk merasionalkan penyebut ba , kalikan dengan
bb
Contoh 13 : Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan berikut ini :
a. 3
6 b. 52
3 c. 35
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 17
Penyelesaian :
a. 3
6 = 3
6 x 33 =
336 = 2 3
b. 52
3 = 52
3 x 55 =
1053 = 5
103
c. 35 =
35 x
33 = 15
335
31
x
2. Bilangan Berbentuk ba
c
atau ba
c
Bentuk a + b dan a – b masing-masing penyebut dari bilangan tersebut dikatakan saling sekawan atau konjugat.
Bentuk sekawan dari suatu bilangan :
a. 5 + 4 3 adalah 5 – 4 3 b. 7 2 – 3 adalah 7 2 + 3 c. 3 + 7 adalah 3 – 7 d. 5 2 – 4 5 adalah 5 2 + 4 5 dan seterusnya
Contoh 14 :
Rasionalkan penyebut bilangan pecahan berikut ini :
a. 53
2
b. 324
6
c. 452
2
Penyelesaian :
a. 53
2
= 53
2
x 5353
= 59532
)(
= 4
532 )(
= 2
53 )(
b. 324
6
= 324
6
x 324324
= )()(
34163246
= 1216
3246
)(
= 3234
)32(2.64
)324(6
= 6 + 3 3
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 18
c. 452
2
= 452
2
x 452452
= 1620
4522
)(
= 4
24102
= 21021
3. Bilangan Berbentuk ba
c
atau ba
c
Contoh 15 : Rasionalkan penyebut bilangan pecahan berikut ini :
a. 53
4
b. 322
5
Penyelesaian :
a. 53
4
= 53
4
x 5353
= 2
534
)(
= )( 532
= 3252
b. 322
5
= 322
5
x 322322
= 122
3225
)(
= 10
15210
= 151051
101
Latihan Kompetensi 5 1. Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan pecahan di bawah ini
a. 2
6 f. 232 k.
534
b. 3
7 g. 126 l.
5255
c. 56
3 h. 205 m.
372
d. 965 i.
7263 n.
6322
e. 32 j.
5002150 o.
246332
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 19
2. Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan pecahan di bawah ini
a. 2626
c. 52532
e.
21
1
2
b. 3535
d. 265323
f.
31
1
32
3. Rasionalkan penyebut bentuk akar di bawah ini
a. 321
4
b. 3324
13
TUGAS 2 1. Sederhanakan bentuk akar di bawah ini
a. 33
4 2
321
4 2
32
41
1312
321
32
4
y
yx
y
yx
.x
)(
)(
(
x
)
b. 21
341331
c.
213213
213213
2. Tentukan nilai x yang memenuhi bentuk akar di bawah ini
a. xx 222
b. xx 111
c. x = 3 3 3 3363636 x
d. x = ))()(( 321052325232
e. 942012412012 22 xxxx
3. Diketahui nilai a = 22 , b = 22 dan c = a + b . Buktikan bahwa nilai c = 2a 4. Tentukanlah nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan :
29
43
43 22 yyxyxyxx
143
43 22 yyxyxyxx
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 20
C. Bentuk Logaritma 1. Pengertian Logaritma
Dalam pasal terdahulu kita telah memahami definisi perpangkatan. Bentuk umum dari suatu bilangan berpangkat adalah an, a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat. Jika bilangan pokok dan pangkat sudah ditetapkan, maka nilai dari bilangan berpangkat itu dengan segera dapat ditentukan. Sebagai ilustrasi:
23 = 8
3327 31
331
102 = 100 dan seterusnya.
Sekarang persoalannya dibalik, yaitu apabila bilangan pokok dan hasil bilangan berpangkat sudah di ketahui, maka pangkat dari bilangan pokok itu dapat pula ditentukan. Sebagai ilustrasi:
162 , mencari pangkat dari bilangan 2 yang hasilnya 16. Pangkat itu sama dengan 4
39 , mencari pangkat dari bilangan 9 yang hasilnya 3.
Pangkat itu sama dengan 21
100010 , mencari pangkat dari bilangan 10 yang hasilnya 1000. Pangkat itu sma dengan 3, dan seterusnya.
Persoalan mencari pangkat dari suatu bilangan pokok jika hasil perpangkatannya sudah diketahui seperti di atas dapat dilakukan dengan memakai notasi logaritma (disngkat: log) sebagai berikut:
162 , ditulis 2log 16 = ... dan nilai 2log 16 = 4
39 , ditulis 9log 3 = ... dan nilai 9log 3 = 21
100010 , ditulis 10log 1000 = ... dan nilai 10log 1000 = 3 Jelaslah bahwa logaritma adalah invers dari perpangkatan.
Definisi Misalkan y adalah bilangan positif (y > 0) dan a adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (0 < a < 1 atau a > 1).
ybxylog xb b disebut basis/bilangan pokok (0 < b < 1 atau b > 1) atau (b > 0 dan b ≠ 1) y disebut numerus (y > 0) x disebut hasil logaritma nilainya dapat bernilai positif, nol dan negatif.
Untuk diingat : Jika b = 10, bilangan pokok tidak ditulis. Jadi 10log 2 ditulis log 2.
Sebagai akibat dari definisi di atas:
a) nblog nb b) 1blogb c) 01logb
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 21
Contoh 16 : Hitunglah nilai tiap logaritma berikut ini.
a. 7log 49 d. 5log √5
b. 331
log e. 42 log
c. 2log 1 f. 2log 2√2 Penyelesaian
a. 7log 49 = 2, sebab 72 = 49 d. 5log √5 = 21 , sebab 552
1
b. 331
log = -1, sebab 331 1
e. 42 log = 4, sebab 424
c. 2log 1 = 0, sebab 20 = 1 f. 2log 2√2 = 23
, sebab 222 23
Contoh 17 : Misalkan xlog 5 = 0,7; tunjukan bahwa 7 355x . Penyelesaian xlog 5 = 0,7 x0,7 = 5
5107
x
7107
10
107
5
xx
73
55x
7 355x Latihan Kompetensi 6 1. Carilah nilai tiap logaritma berikut ini.
a. 1612 log d. 273 log g.
21616 log
b. 3log 243 e. 4log √2 h. 16log 2
c. 5log 125 f. 10log 0,1 i. 3181log
2. Jika alog 3 = -0,3; tunjukan bahwa 3 9811
a
3. Jika 21232
1
alog , tunjukan bahwa 221
a
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 22
2. Sifat-sifat Logaritma Setelah kita memahami definisi logaritma, untuk mempermudah perhitungan, sekarang akan mengkaji sifat-sifat logaritma. 1) ylogxlog)y.xlog( bbb
0 y 0, x 1,b , 0 b dengan Bukti : Misalkan : x = bm dan y = bn
ylognby
xlogmb xbn
bm
o m + n = ylogxlog bb
o )y.xlog(nmby.x bnm
Jadi, ylogxlog)y.xlog( bbb
6) xlogxlog bnbn
Bukti :
xlog
xlognnxlog
b
bnbn
2) ylogxlogyxlog bbb
dengan b> 0, b 1, x > 0 dan y >0 Bukti : Misalkan x = bm dan y = bn
ylognby
xlogmb xbn
bm
o m - n= ylogxlog bb
o n
mnm
bb
yxbbyx
yxlognmb
yx bnm
Jadi, ylogxlogyxlog bbb
7) dlogdlog.clog.blog acba Bukti :
dlogalogdlog
clogdlog
blogclog
alogblogdlog.clog.blog
a
cba
Jadi, dlogdlog.clog.blog acba
3) xlog.pxlog bpb 0 x 1,b , 0 b dengan
Bukti : Misalkan x = bm xlogm b
pbmpp
pmp
xlogmpbx
)b(x
pbb xlogxlog.p Jadi, xlog.pxlog bpb
8) xa xloga
Bukti : Misal: alog x = m, maka am = x Karena alog x = m
xa
aaxlog
mxlog
a
a
Jadi, xa xloga
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 23
4) blogblog
xlogxlog xp
pb 1
Bukti : Misalkan mb bxmxlog
blogxlogm
blogmxlog
blogxlog
p
p
pp
mpp
blogxlogxlog p
pb
9) nmr
xlogxlogm xaaarna
Bukti :
Misalkan pxlog ra xlognrp a
Sehingga : mpmpxlogm aaarna
nmrm
anr
xxloga
5) xlognmxlog bmbn
Bukti :
xlognm
blognxlogm
blogxlogxlog
b
n
mmbn
Jadi, xlognmxlog bmbn
Contoh 17 : 1. Diketahui 4771,03log dan 3010,02log maka nilai
77810477103010032326 ,,,loglogxloglog
2. Diketahui plog log
log
log
loglogloglogmaka plog 333
232
32
2
34993 8
2
8
22
28
8
848
3
3. Sederhanakan : 353353527 3533535 log x loglog x loglog x log Contoh 18 : Misalkan 2log 3 = a dan 3log 5 = b. Nyatakan logaritma 5log 4,5 dalam bentuk a dan b Penyelesaian 2log 3 = a
alog 123 dan 3log 5 = b 3log 5 = b
aba
ba
logloglog
logloglog
log
log
loglog,log
1212
5232
529
5
29
104554
3
33
3
33
3293
555
Jadi, aba,log 12545
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 24
Latihan Kompetensi 7 1. Sederhanakan!
a. 64 3213 loglog d. xlogxlog 232
b. 4320 55 loglog e. )a(log)a(log 42 244 c. 6229 666 logloglog f. 32248 logloglog
2. Jika xploga , yqloga dan zrloga , nyatakan logaritma-logaritma berikut ini dalam x, y dan z.
a. pqrloga e.
42
2
rqploga
b. 23qrploga f.
4 33 rq
ploga
c.
3 22 rqploga g. 2apqrloga
d.
qprloga h.
praloga
3. Sederhanakan. a. 2log 24 – 8log 27 e. 259 95 loglog
b. 3log 45 – 9log 25 f.
2513 35 loglog
c. 2log 12 + 4log 9
16 g. 2736 63 loglog
d. 3log 36 + 9log 161 h. 104 loglog
4. a. Jika a dan b adalah bilangan-bilangan real positif yang lebih besar dari 1,
tunjukan bahwa 0blogblog a1
a b. Hitunglah :
i) 6
650
2
loglog
, ii)
blog
blog
a1
2
c. Tunjukan bahwa qlogalogalog p
q
p
5. a. Jika p, q dan r adalah bilangan-bilangan real positif yang lebih besar dari 1, tunjukan bahwa 1 rlogqlogplog prq
b. Hitunglah nilai dari 216410 62 logloglog 6. Carilah nilai x pada persamaan-persamaan berikut:
a. xlog 32 = 5 c. xlog 6 = 0,7 b. xlog 8 = 1,5 d. xlog 3 = -0,5
7. Carilah nilai x pada persamaan berikut 93 3425 xlogxlogxlogxlog
8. Diketahui 8log 3 = a, nyatakan tiap bentuk berikut ini dalam a
a. 2log 3 c.
3132 log
b. 4log 3 d. 32 9log
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 25
9. Misalkan diketahui plog q = 6, rlog p = 4, p, q dan r bilangan-bilangan real
positif p ≠ 1, r ≠ 1. Hitunglah nilai dari 31
20qrlogp . 10. Misalkan diketahui 2log 3 = m dan 2log 5 = n, nyatakan tipa bentuk berikut ini dalam
m dan n. a. 6log 50 b. 18log 20
3. Menentukan Logaritma dan Antilogaritma Suatu Bilangan Dalam pembahasan di atas telah kita menentukan nilai logaritma menggunakan definisi dan sifat-sifat logaritma. Tetapi tidak mudah menentukan nilai suatu logaritma jika: i) 2log 3 = x 2x = 3, tidak mudah mencari nilai x walaupun sudah diubah
kedalam bentuk bilangan berpangkat ii) 5log 7 = y 5y = 7, tidak mudah mencari nilai y walaupun sudah diubah
kedalam bentuk bilangan berpangkat Untuk menjawab persoalan i)dan ii) di atas diperlukan cara lain. Ada dua cara untuk menentukan logaritma bilangan seperti di atas, yaitu:
dengan menggunakan grafik fungsi y = ax, dengan memakai tabel logaritma. dengan menggunakan kalkulaor scientifik dengan menggunakan Ms excel
Dalam buku ini hanya akan dibahas cara menentukan logaritma dengan menggunakan tabel logaitma.
Logaritma Bilangan Antara 1 Sampai 10 dengan Menggunakan Tabel
Logaritma. Untuk keprluan perhitung perhitungan, telah dibuat daftar atau tabel matematika. Daftar atau tabel matematika memuat hasil logaritma suatu bilangan dengan bilangan pokok 10. Sebelum menggunakan tabel matematika ada baiknya kita pahamiterlebih dahulu beberapa hal berikut: 1) Dalam tabel logaritma yang ditulis hanya bilangan desimal yang
menyatakan hasil logaritma dari suatu bilangan. Bilangan desimal ini disebut mantis (dari kata mantisse).
2) Lajur-lajur dalam tabel logaritma terdiri atas: Lajur pertama (disebut lajur N), dari atas ke bawah memuat
bilangan-bilangansecara berurutan dari 0 sampai dengan 1000. Baris judul pada lajur kedua sampai dengan lajur kesebelas, dari
kiri ke kanan berturut-turut diisi dengan angka-angka 0, 1, 2, 3 ....8, 9. Lajur yang memuat angka 0 disebut lajur 0, yang memuat angka 1 dosebut lajur 1, ....demikian seterusnya. Pada tiap lajur itu, dari atas ke bawah memuat mantis, yaitu bilangan desimal yang menyatakan logaritma suatu bilangan dengan bilangan pokok 10.
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 26
Lajur N →
Lajur 0 →
Lajur 1 →
Lajur 2 →
Lajur 3 →
Lajur 4 →
Lajur 5 →
Lajur 6 →
Lajur 7 →
Lajur 8 →
Lajur 9 →
Baris Judul
→ N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
0
0 3010 4771 6021 6990 7782 8451 9031 9542
1 0 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2788
2 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 4624
3 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911
4 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902
5 6990 7076 ,716 7243 7324 7404 7482 7559 7634 7709
6 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388
7 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976
8 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494
9 9542 ,959 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956
10 0000 0043 0086 0128 ,017 0212 0253 0294 0334 0374
11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755
12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106
13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 ,143
14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732
15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014
16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279
17 2304 2330 2355 ,238 2405 2430 2455 2480 2504 2529
18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765
19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989
20 ,301 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201
21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404
22 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598
23 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784
24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962
25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133
26 4150 4166 4183 1,42 4216 4232 4249 4265 4281 4298
27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456
28 4472 4487 4502 4518 4533 4548 4564 4579 4594 4609
29 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4757
30 4771 4786 1480 4814 4829 4843 4857 4871 4886 1,49
31 4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 27
Contoh 19: Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah nilai tiap logaritma berikut ini. a) log 4,6 d) log 1,013 b) log 1,21 e) log 1,238 c) log 3,69 f) log 1,495
Penyelesaian a) log 4,6 = ....
logaritma tiap bilangan antara 1 sampai 10 mempunyai nilai antara 0 dan 1, maka kita dapat menuliskan log 4,6 = 0,.... angka didepan tanda koma disebut indeks atau karakeristik, yaitu bagian bulat dari logaitma suatu bilangan. angka-angka di belakan koma adalah bagian desimal atau mantis dari logaritma suatu bilangan itu. mantis ini dapat ditentuka dari tabel logaitma pada baris ke-4 lajur 6, diperolh 6628. jadi, log 4,6 = 0, 6628
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
0
0 3010 4771 6021 6990 7782 8451 9031 9542 1 0 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2788 2 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 4624 3 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911 4 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902 5 6990 7076 ,716 7243 7324 7404 7482 7559 7634 7709 6 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388 7 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976 8 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494 9 9542 ,959 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956 10 0000 0043 0086 0128 ,017 0212 0253 0294 0334 0374
b) Tulis dulu log 1,21 = 0,...
bagian desimalnya ditentukan dari tabel loigaritma, yaitu baris ke-12 lajur 1, diperoleh 0828 jadi, log 1,21 = 0,0828
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
. . 9 9542 ,959 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956
10 0000 0043 0086 0128 ,017 0212 0253 0294 0334 0374 11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 ,143
.
.
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 28
c) Tulis dulu log 3,69 = 0,... bagian desimalnya ditentukan dari tabel loigaritma, yaitu baris ke-36 lajur diperoleh 5670 jadi, log 3,69 = 0, 5670
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
. . 31 4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038
32 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172 33 5185 5198 5211 5224 5237 5250 5263 5276 5289 5302 34 5315 5328 5340 5353 5366 5378 5391 5403 5416 5428 35 5441 5453 5465 5478 5490 5502 5514 5527 5539 5551 36 5563 5575 5587 5599 5611 5623 5635 5647 5658 5670 37 5682 5694 5705 5717 5729 5740 5752 5763 5775 5786 38 5798 5809 5821 5832 5843 5855 5866 5877 5888 5899 39 5911 5922 5933 5944 5955 5966 5977 5988 5999 6010 40 6021 6031 6042 6053 6064 6075 6085 6096 6107 6117
.
. d) log 1,013 = 0,0056
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
100 0000 0004 0009 0013 0017 0022 0026 0030 0035 0039 101 0043 0048 0052 0056 0060 0065 0069 0073 0077 0082 102 0086 0090 0095 0099 0103 0107 0111 0116 0120 0124 103 0128 0133 0137 0141 0145 0149 0154 0158 0162 0166 104 0170 0175 0179 0183 0187 0191 0195 0199 0204 0208 105 0212 0216 0220 0224 0228 0233 0237 0241 0245 0249 106 0253 0257 0261 0265 0269 0273 0278 0282 0286 0290 107 0294 0298 0302 0306 0310 0314 0318 0322 0326 0330 108 0334 0338 0342 0346 0350 0354 0358 0362 0366 0370 109 0374 0378 0382 0386 0390 0394 0398 0402 0406 0410 110 0414 0418 0422 0426 ,043 0434 0438 0441 0445 0449
e) log 1,238 = 0,0927
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
. . 122 0864 0867 0871 0874 0878 0881 0885 0888 0892 0896
123 0899 0903 0906 0910 0913 0917 0920 0924 0927 0931 124 0934 0938 0941 0945 0948 0952 0955 0959 0962 0966 125 0969 0973 0976 0980 0983 0986 0990 0993 0997 2,1 126 1004 1007 1011 1014 1017 1021 1024 1028 1031 1035
.
.
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 29
f) log 1,495 = 0,1746 N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
147 1673 1676 1679 1682 1685 1688 1691 1694 1697 1700 148 1703 1706 1708 1711 1714 1717 1720 1723 1726 1729 149 1732 1735 1738 1741 1744 1746 1749 1752 1755 1758 150 1761 1764 1767 ,177 1772 1775 1778 1781 1784 1787
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Logaritma Bilangan Lebih dari 10 Untuk menghitung logaritma yang lebih dari 10 gunakan pertolngan sifat-sifat logaritma. Nilai logaritma suatu bilangan yang lebih dari 10 dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut. Langkah 1: Nyatakan bilangan yang akan ditentukan nilai logaritmanya itu dalam notasi baku a x 10n Langkah 2: Gunakan sifat logaritma Log (a x 10n) = log a + log 10n log (a x 10n) = n + log a Langkah 3: Oleh karena 1 ≤ a < 10 maka log a dapat dicari dari tabel logaritma. Nilai log a yang diperoleh dari tabel loigaritma tadi dijumlahkan dengan n. Hasil penjumlahan itu merupakan nilai logaritma dari bilangan yang dimaksudkan.
Contoh 20: Carilah nilai dari tiap logaritma berikut. a) log 67,5 d) log 65.600 b) log 482,6 e) log 423.800 c) log 7.452 f) log 5.452.000
Penyelesaian a) log 67,5 = log (6,75 x 101)
= log 6,75 + log 10 = log 6,75 + 1 = 0,8293 + 1 = 1,8293 Jadi, log 67,5 = 1,8293
d) log 65.600 = log (6,56 x 104) = log 6,56 + log 104
= log 6,56 + 4 = 0,8619 + 4 = 4,8619 Jadi, log 65.600 = 4,8619
b) log 482,6 = log (4,826 + log 102) = log 4,826 + 2 = 0,6836 + 2 = 2,6836 Jadi, log 482,6 = 2,6836
e) Log 423.800 = log (4,238 + 105) log 4,238 + log 105) log 4,238 + 5 = 0,6272 + 5 = 5,6272 Jadi, log 423.800 = 5,6272
c) log 7.452 = log (7,452 x 103) = log (7,452 + log 103) = log 7,452 + 3 = 0,8723 + 3 = 3,8723 Jadi, log 7.452 = 3,8723
f) Log 5.452.000 = log (5,452 + 106) = log 5,452 + log 106 = 0,7366 + 6 = 6,7366 Jadi, log 5.452.000 = 6,7366
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 30
Logaritma Bilangan Antara 0 dan 1 Nilai logaritma bilangan-bilangan antgara 0 dan dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah yang sama seperti dalam hal menentukan logaritma bilangan-bilangan yang lebig dari 10. Untuk lebih jelasnya simak contoh berikut.
Contoh 21: Carilah nilai dari tiap logaritma berikut ini. a) log 0,67) c) log (0,00362) b) log (0,0451) d) log (0,000124)
Penyelesaian a) log (0,67) = log (6,7 x 10-1)
= log 6,7 + log 10-1 = log 6,7 – 1 = 0,8261 – 1 = -0,1739
Jadi, log 0,67 = -0,1739 Nilai log 0,67 lebih sering ditulis dalam bentuk 0,8261 – 1, karena dapat dengan mudah diperlihatkan bagian bulat (karakteristik) dan mantisnya.
b) log (0,0451) = log (4,51 x 10-2)
= log 4,51 + log 10-2 = log 4,51 – 2 = 0,6542 – 2
Jadi, log (0,0451) = 0,6542 – 2
c) log (0,00362) = log (3,62 + 10-3) = log 3, 62+ log 10-2 = log 3,62 – 3 = 0,5587 – 3
Jadi, log (0,00362) = 0,5587 – 3
d) log (0,000124) = log (1,24 + 10-4) = log 1, 24+ log 10-4 = log 1,24 – 4 = 0,0934 – 4
Jadi, log (0,000124) = 0,0934 – 4
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 31
Menentukan Antilogaritma Suatu Bilangan Menggunakan Tabel Logaitma
Pada pasal ini kita akan demonstrasikan bagaimana menentukan antilogaritma suatu bilangan menggunakan tabel logaritma.
Misalkan log x 2,5. Berapakab nilai x
Perlu kita ingat bahwa: Jika 0 < log x < 1, maka 1 < x <10 Jika 1 < log x < 2, maka 10 < x < 102
Jika 2 < log x < 3, maka 102 < x < 103 ... dst
Contoh 22: Tentukan nilai x menggunakan tabel logaritma a) log x = 0,9912 c) log x = 4,718 b) log x = 2,34 d) log x = 5,2146
Penyelesaian a) log x = 0,9912
mantisa 9912 diperoleh 9,80 pada lajur N diperleh 98 pada lajur 0 samapai 9 diperoleh 0 log x = 0,9912 karakteristiknya 0, berarti 1 < x < 10
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
.
. 90 9542 9547 9552 9557 9562 9566 9571 9576 9581 9586
91 9590 9595 1,96 9605 9609 9614 9619 9624 9628 9633 92 9638 9643 9647 9652 9657 9661 9666 9671 9675 ,968 93 9685 9689 9694 9699 9703 9708 9713 9717 9722 9727 94 9731 9736 9741 9745 ,975 9754 9759 9763 9768 9773 95 9777 9782 9786 9791 9795 1,98 9805 9809 9814 9818 96 9823 9827 9832 9836 9841 9845 ,985 9854 9859 9863 97 9868 9872 9877 9881 9886 ,989 9894 9899 9903 9908 98 9912 9917 9921 9926 ,993 9934 9939 9943 9948 9952 99 9956 9961 9965 9969 9974 9978 9983 9987 9991 9996 100 0000 0004 0009 0013 0017 0022 0026 ,003 0035 0039 101 0043 0048 0052 0056 ,006 0065 0069 0073 0077 0082
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Jadi, log x = 0,9912 x = 9,80
b) log x = 2,34 mantisa 3400 diperoleh 2,188 karakteristik dari log x = 2,34 adalah 2, berarati 102 < x < 103
maka x = 2,188 102 = 218,8 Jadi, log x = 2,34 x = 218,8
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 32
c) log x = 4,718 mantisa 7180 diperoleh 5,224 karakteristik dari log x = 4,718 adalah 4, berarti 104 < x < 105
maka x = 5,224 104 = 52.240 Jadi, log x = 4,718 x = 52.240
d) log x = 5,2146 mantisa 2146 diperoleh 1,639 karakteristik dari log x = 5,2146adalah 5, berarti 105 < x < 106 maka x = 1,639 105 = 163.900 Jadi, log x = 5,2146 x = 163.900
Contoh 23: Tentukanlah bilangan yang logaritma-logaritmanya adalah a) 0,415 – 1 c) -1,52 b) 0,29 – 3 d) -4,6315
Penyelesaian: a) Misalkan log y = 0,415 – 1
mantisa 4150 diperoleh 2,600 karena karakteristiknya -1, didapat dari 10-1 (10-1 < y < 1) maka y = 2,600 10-1 = 0,26 Jadi, log y = 0,415 – 1 y = 0,26
b) Misalkan log y = 0,29 – 3 mantisa 2900 diperoleh 1,95 karena karakteristiknya -3 didapat dari 10-3 (10-3 < y < 10-2) maka y = 1,95 10-3 = 0,00195 Jadi, log y = 0,29 – 3 y = antilog (0,29 – 3 ) = 0,00195
c) Kita tulis dulu -1,52 = -1,52 + 2 – 2 = 0,48 - 2 misalkan log y = 0,48 – 2 mantisa 4800 diperoleh 3,02 karena karakteristiknya -2 didapat dari 10-2 (10-2 < y < 10-1) maka y = 3,02 10-2 = 0,0302 Jadi, log y = -1,52 y = 0,0302
d) Kita tulis dulu -4,6315 = -4,6315 + 5 -5 = 0,3685 -5 mantisa 3685 diperoleh 2,336 karena karakteristiknya -5 didapat dari 10-5 (10-5 < y < 10-4) maka y = 2,336 10-5 = 0,00002336 Jadi, log y = -4,6315 y = 0,00002336
Latihan Kompetensi 8 1. Dengan menggunakan tabel logaritma. Carilah nilai logaritma-logaritma
berikut. a) log 3 g) log 3,61 b) log 6 h) log 1,68 c) log 9 i) log 6,21 d) log 2,3 j) log 2,926 e) log 4,5 k) log 8,532 f) log 9,3 l) log 6,071
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 33
2. Dengan memekai tabel logaritma, carila nilai a pada setiap persamaan di bawah ini. a) log a = 0,316 d) log a = 0,94 b) log a = 0,415 e) log a = 0,8791 c) log a = 0,49 f) log a = 0,9298
3. Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah loagritma-logaritma berikut a) log 12,3 g) log 83.260 b) log 16,6 h) log 137.500 c) log 32,5 i) log 854.400 d) log 147,5 j) log 6.819.000 e) log 252,6 k) log 47.800.000 f) log 3.051 h) log 841.000.000
4. Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah logaritma-logaritma berikut ini. a) 0,15 g) 0,058 b) 0,18 h) 0,0642 c) 0,2 i) 0,006 d) 0,25 j) 0,00063 e) 0,268 k) 0,000632 f) 0,05 l) 0,0000841
5. Diketahui log 3,02 = 0,48, carilah logaritma-logaritma berikut. a) 3 2023,log g) log 302.000 b) log (3,02)4 h) log 0,302 c) log 30,2 i) log 0,0320 d) log 302 j) log 0,00320 e) log 3.020 k) log 0,000320 f) log 30.200 l) log 0,0000320
6. Carilah bilangan yang nilai logaritma-logaritmanya sebagai berikut. a) 0,2 g) 4,235 b) 0,43 h) 0,416 - 1 c) 1,632 i) 0,531 - 2 d) 2,42 j) 0,624 - 4 e) 2,56 k) -4,325 f) 3,841 l) -2,931
4. Penggunaan Logaritma dalam Perhitungan
Sekarang kita akan membicarakan penggunaan logaritma untuk memepermudah perhitungan yang melibatkan bilangan besar yang memerlukan operasi aljbar yang rumit seperti ketika menghitung
mengalikan dan membagi bilangan menghitung pemangkatan dan pebarikan akar suatu bilangan
sehingga untuk keperluan di atas, kita kadang menggunakan kalkulator untuk memecahkannya. Kali ini, kita tidak menggunakan alat hitung kalkulator, tapi dengan memanfaatkan sifat-sifat logaritma dan tabel logaritma yang sudah kita bahas sebelumnya.
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 34
Mengalikan dan Membagi Bilangan. Ingat kembali sifat logaritma:
log (a b) = log a + log b
blogalogbalog
Contoh 23: Dengan menggunakan logaritma, hitunglah:
a) 4,321 6,571 c) 635
827564,
,,
b) 64522143,, d)
34224580065,.
Penyelesaian a) Misalkan y = 4,321 6,517
log y = log (4,321 6,517) log y = log 4,321 + log 6,51 log y = 0,6356 + 0,8140 log y = 1,4496 log y = 1 + 0,4496 log y = log 101 + log 2,816; antilog 0,4496 = 2,816 log y = log (10 2,816) log y = log 28,16
y = 28,61 Jadi, 4,321 6,571 = 28,16
b) Misalkan y = 64522143,,
log y = log 64522143,,
log y = log 3,214 – log 2,645 log y = 0,5070 – 0,4224 log y = 0,0846 log y = log 1,215; antilog 0,0846 = 1,215
y = 1,215
Jadi, 64522143,, = 1,215
c) Misalkan y = 635
827564,
,,
log y = log 635
827564,
,,
log y = log 4,56 + log 7,82 – log 5,63 log y = ( 0,659 + 0,8932 ) – 0,7505 log y = 1,5522 – 0,7505 log y = 0.8017 log y = log 6,334 ; antilog 0,8017 = 6,334
y = 6,334
Jadi, 635
827564,
,, = 6,334
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 35
d) Misalkan y = 342245
80065,.
log y = log
34224580065
,.
log y = log 65,800 – ( log 5,24 + log 342 ) log y = 4,8182 – ( 0,7193 + 2,5340 ) log y = 4,8182 – 3,2533 log y = 1,5649 log y = 1 + 0,5649 log y = log 10 + log 3,672 ; antilog 0,5649 = 3,672 log y = log (10 3,672) log y = log 36,72
y = 36,72
Jadi, 34224,5
800.65
= 36,72
Pemangkatan dan Penarikan Akar Bilangan
Gunakan sifat log an = n log a, sehingga operasi dapat disederhanakan menjadi benuk perkalian antara pemangkatan dan logaritmanya. Unruk lebih jelasnya simak pembahasan berikut ini:
Contoh 24: Dengan menggunakan logaritma, hitunglah:
a) (0,043)4 c) 3 642
b) (2,86)3 (0,436)4 d) 64,3
345,03,84
Penyelesaian a) Misalkan x = (0,043)4
log x = log (0,043)4 log x = 4 log 0,043 log x = 4 ( log 4,3 + log 10-2 ) log x = 4 (0,6335 – 2) log x = 4 ( -1,3665 ) log x = – 5,466 log x = 0,534 – 6 log x = log 3,4198 + log 10-6
log x = log (3,4198 10-6 ) log x = log ( 0,0000034198 )
x = 0,0000034198 Jadi, (0,043)4 = 0,0000034198 = 3,4198 10-6
b) Misalkan x = (2,86)3 (0,436)4
log x = log [(2,86)3 (0,436)4] log x = log (2,86)3 + log (0,436)4 log x = 3 log (2,86) + 4 log (0,436) log x = 3 ( 0,4564 ) + 4 ( -0,3605 ) log x = 1,3692 – 1,442 log x = –0,0728 log x = 0,9272 – 1 log x = log 8,4657 + log 10-1 log x = log ( 8,4657 10-1 )
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 36
log x = log ( 0,84657 ) x = 0,84657
Jadi, x = (2,86)3 (0,436)4 = 0,84657 c) Misalkan x = 3 642
log x = log 3 642
log x = log 3
1642
log x =
31 log 642
log x =
31 ( 2,8075 ) = 0,9358
log x = log 8,626 x = 8,626
Jadi, 3 642 = 8,626
d) Misalkan x = 64,3
345,03,84
log x = log 64,3
345,03,84
log x = log
21
64,3345,03,84
log x = log x =
21 [ ( log 84,3 + log 0,345 ) – log 3,64 ]
log x = 21 [ 1,9258 + (0,5378 – 1) – 0,5611
log x = 0,4513 log x = log 2,827
x = 2,827
Jadi, 64,3
345,03,84 = 2,827
Latihan Kompetensi 9 1. Hitunglah !
a) 3,45 2,64 e) 8,37 4,21 l) 92,086,0
79,0
b) 8,73 11,38 f) 137 56,2 m) 5,36
73,652,4
c) 5,98 1846 h) 2.400 54,72 n) 85,0
078,0145,0
d) 0,158 0,672 i) 0,58 3,92 0) 629385
42821058,4
e) 48,6 0,738 j) 4,57 0,342 p) 28,054,62
065,0148246,6
f) 0,056 0,0625 k) 0,0041 0,0648 q) 39656,4548,0
0025,084,26
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 37
2. Hitunglah tiap perpangkatan dan bentuk akar di bawah ini! a) (4,72)3 g) 67,5 b) (51,6)3 h) 3 960.8 c) (1,004)4 i) 6842,0
d) 4,86 (0,65)3 j) 53,6
0352,0
e) 6,14
)64,0(8,61 2 k) 73,032,0042,0521,0
f) 2
81,264,782,5
l) 56,424664,123,57
3. Hitunglah!
a) (3,93)3 3 762,0 c) 648
43725,4 3
b) (0,214)3 0671 3 34,5 d) 3
33
782,030526264,0
4. Hitunglah luas dari: a) Lingkaran dengan jari-jari 6,54 ( = 3,14) b) Persegi dengan panjang sisi 5,82 cm
5. Volume sebuah tabung ditentukan dengan rumus v = r2t ( = 3,1; r = jari-jari bidang alas, dan t = tinggi tabung) a) Hitunglah V, jika r = 12,36 dan r = 6,85 b) Hitunglah t, jika V = 86 dan r = 3,42 c) Hitunglah r, jika V = 74 dan t = 2,86.
D. Persamaan pangkat dan bentuk akar sederhana
Persamaan pangkat dan bentuk akar dengan bilangan pokok yang sama selalu memiliki penyelesaian.
Untuk a R dan a ≠ 0, berlaku )x(g)x(f aa jika dan hanya jika f(x) = g(x)
Jika pada persamaan eksponen bilangan pokoknya berbeda maka langkah pertama dalam menyelesaikannya adalah menyamakan bilangan pokok tersebut.
Contoh 25 : 1. Diketahui : 168
2x , tentukan nilai x yang memenuhi Penyelesaian :
32x4x622162 4x62x3
2. Diketahui : 4 5x3x 84 , tentukan nilai x yang memenuhi Penyelesaian :
59x5x324x8
415x36x22222 4
15x36x24
5x33x2
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 38
3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 31x24x Penyelesaian:
)memenuhi tidak(60x atau 0x
060xx0x60x
36x12x36x72
36x12x1x236
6x1x26
1x261x294x
1x234x
21
2
2
2
Latihan Kompetensi 10 Tentukan nilai x dari persamaan berikut.
1. 3 x2
1x2
8
1632 6. x2
3 2x
3218
2. 8119273 3 7. y2x1y2x 255
3. 3 x59x
x21x2 5168252 8. 3
2
2x
x3
391
33
2431
4. 1x4
1x
319
9. 8
1
1x2 81327
5. 3 1x31x
241
10. x
3 3a
aa
a
E. Persamaan Logaritma Sederhana
Persamaan logaritma yang kita bahas dibatasi pada bentuk
)x(glog)x(flog aa maka f(x) = g(x)
dengan a > 0 dan a ≠ , f(x) dan g(x) > 0 Contoh 26 : 1. Diketahui : 32xlogxlog 22 , tentukan nilai x yang memenuhi
Penyelesaian:
memenuhitidak 4x atau 2x04x2x08x2x8x2x
8logx2xlog2log2xxlog
2122
222322
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 39
2. Tentukan nilai x jika diketahui 2log9log
21
100 10x
Penyelesaian:
245
49 x 10x
10 x 10x
100 x 10x
100 x 10x
23log2
23log
2log3log
Latihan Kompetensi 11 1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 34log2xlog 2x2 2. Tenatukan nilai x yang memenuhi persamaan 1xlog10logxloglog 22222
3. Tentukan nilai x yang memenuhi
18x6log
2xlog3x2log
4. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 010x3xlog2x3log 2xx adalah
5. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 01 4log.312log xx x
6. Jika a dan b adalah akar-akar persamaan 4943 1xlog3x4log 223 ,
hitunglah a + b 7. Diketahui akar-akar persamaan 4log3xlogxlog 2 adalah x1 dan x2,
hitunglah x1x2
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 40
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 41