GEOMETRI

Standar Kompetensi :

Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan

titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.

Kompetensi Dasar :

Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam

ruang dimensi tiga.

Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang

dalam ruang dimensi tiga.

Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan

antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga.

BAB I. PENDAHULUAN

1

A. Deskripsi

Dalam modul ini Anda akan mempelajari kedudukan titik, garis, dan

bidang, jarak titik, garis dan bidang, proyeksi, dan sudut antara

garis dan bidang.

B. Prasyarat

Untuk mempelajari modul ini anda harus menguasai bilangan

pangkat dan bentuk akar, serta trigonometri.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan

adalah sebagai berikut:

1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi

yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari

materi berikutnya.

2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua

soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda

menemui kesulitan,

kembalilah mempelajari materi yang terkait.

3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui

kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah

mempelajari materi yang terkait.

4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan,

catatlah,

kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka

atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi

modul ini. Dengan

membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan

pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:

1. Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang pada ruang

dimensi tiga,

2

2. Menentukan jarak antara titik, garis dan bidang dalam ruang

dimensi tiga,

3. Menentukan proyeksi titik, garis, dan bidang dalam ruang

dimensi tiga,

4. Menentukan sudut antara garis dan bidang dalam ruang dimensi

tiga,

BAB II PEMBELAJARAN

A. KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG

1. Kedudukan titik terhadap garis

Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah garis g, maka :

a. Titik T teletak pada garis g, tau garis g melalui titik T

b. Titik T berada diluar garis g, atau garis g tidak melalui titik

T

2. Kedudukan titik terhadap bidang

Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah bidang H, maka :

a. Titik T terletak pada bidang H, atau bidang H melalui titik T

b. Titik T berada diluar bidang H, atau bidang H tidak melalui

titik T

3. Kedudukan garis terhadap garis

Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah garis h, maka :

a. Garis g dan h terletak pada sebuah bidang, sehingga dapat

terjadi :

garis g dan h berhimpit, g = h

garis g dan h berpotongan pada sebuah titik

garis g dan h sejajar

b. Garis g dan h tidak terletak pada sebuah bidang, atau garis

g dan h bersilangan, yaitu kedua garis tidak sejajar dan

tidak berpotongan.

4. Kedudukan garis terhadap bidang

Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah bidang H, maka :

3

a. Garis g terletak pada bidang H, atau bidang H melalui garis

g.

b. Garis g memotong bidang H, atau garis g menembus

bidang H

c. Garis g sejajar dengan bidang H

5. Kedudukan bidang terhadap bidang

Jika diketahui bidang V dan bidang H, maka :

a. Bidang V dan bidang H berhimpit

b. Bidang V dan bidang H sejajar

c. Bidang V dan bidang H berpotongan. Perpotongan kedua

bidang berupa garis lurus yang disebut garis potong atau

garis persdekutuan.

Contoh :

Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan :

a. Titik yang berada pada garis DF

b. Titik yang berada diluar bidang BCHE

c. Garis yang sejajar dengan CF

d. Garis yang berpotongan dengan BE

e. Garis yang bersilangan dengan FG

f. Bidang yang sejajar dengan bidang BDG

Jawab :

a. Titik D dan F

b. Titik A, D, F, G

c. DE

4

A B

CD

E

GH

F

d. EA, EF, ED, EH

e. AB, DC, AE, DH

f. AFH

B. JARAK TITIK, GARIS, DAN BIDANG

1. Menghitung jarak antara titik dan garis

Jarak antara titik dan garis merupakan panjang ruas garis

yang ditarik dari suatu titik sampai memotong garis tersebut

secara tegak lurus.

Jarak antara titik A dengan garis g

Adalah AB, karena AB tegak lurus

Dengan garis g

2. Menghitung jarak antara titik dan bidang

Jarak antara titik dan bidang adalah panjang ruas garis yang

ditarik dari suatu titik diluar bidang sampai memotong tegak

lurus bidang.

Jarak titik A ke bidang HAdalah AB, karena garis

ABTegak lurus dengan

bidang H

3. Menghitung jarak antara 2 garis

a. Dua garis yang berpotongan tidak mempunyai jarak

b. Jarak antara dua garis yang sejajar adalah panjang ruas

garis yang ditarik dari suatu titik pada salah satu garis

sejajar dan tegak lurus garis sejajar yang lain.

5

g

A

B

A

B

H

gA

Jarak antara garis g dan h

Adalah AB, karena AB g dan h

c. Jarak dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis

hubung yang letaknya tegak lurus pada kedua garis

bersilangan itu.

Jarak antara garis g dan hadalah AB karena AB

tegaklurus g dan h

4. Menghitung jarak antara garis dan bidang

Jarak antara garis dan bidang yang sejajar adalah jarak antara

salah satu titik pada garis tehadap bidang.

Jarak antara garis g dan Bidang H adalah AB,

karena AB tegak lurus g dan Bidang H.

5. Jarak antara dua bidang

6

hB

h

g

A

B

H

g

B

A

H

Jarak antara dua bidang yang sejajar sama dengan jarak

antara sebuah titik pada salah satu bidang ke bidang yang

lain.

Jarak antara bidang G dan H Adalah AB.

Contoh :

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm.

Hitunglah jarak antara :

a. Titik A ke H

b. Titik A ke P (P adalah perpotongan diagonal ruang)

c. Titik A ke garis CE

d. Titik A ke bidang BCGF

e. Titik A ke bidang BDHF

f. Titik A ke bidang BDE

g. Garis AE ke garis CG

h. Garis AE ke garis CG

i. Bidang ABCD ke EFGH

Jawab :

a. Jarak titik A ke H = AHAH = = = = cm

b. Jarak titik A ke P = AP = ½ AG

= cm

c. Jarak A ke CE = AK

7

A

BH

G

A B

CD

G

EF

H

10

GE

P

R

Pada segitiga siku-siku CAE L CAE = ½.AC.AE = ½.CE.AK

d. Jarak titik A ke bidang BCGF = AB = 10 cme. Jarak titik A ke bidang BDHF = AR (R titik tengah garis BD)

AR = ½ AC = ½ = cm

g. Jarak titik A ke bidang BDE

Perhatikan persegi panjang ACGE sbb :

8

A C

K

A B

CD

GH

EF

T

E

R

Garis AG berpotongan tegak lurus dengan

Garis ER dititik T, sehingga jarak A ke Bidang BDE adalah AT.ER = = = = cm.

L. ARE = ½. AR. AE = ½. RE. AT

½. = ½ .

=

AT = = cm

h. Jarak AE ke CG = AC =

i. Jarak ABCD dan EFGH = AC = 10 cm

Tugas I

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH denan panjang rusuk 6 cm.

Hitunglah jarak antara :

a. Titik H ke garis AC

b. Titik B ke garis AG

c. Titik C ke BDG

d. garis AE dan CG

e. garis AB dan CDHG

f. bidang HFC dan DBE

2. Diketahui balik PQRS.TUVW dengan PQ = 4 cm, QR = 3 cm, PT =

6 cm

Hitung jarak antara :

a. V ke RSTU

b. Q ke PRVT

9

A C

G

R

T

3. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan AB = 10 cm, TA = 12

cm. Hitung jarak antara :

a. titik B ke AT

b. titik T ke ABCD

c. titik A ke TBC

4. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk

8 cm. Tentukan jarak T ke bidang ABC.

C. PROYEKSI

1. Proyeksi titik pada bidang

Jika titik A diluar bidang H, maka proyeksi A pada bidang H

ditentukan sebagai berikut :

a. Dari titik A dibuat garis g yang tegak lurus bidang H

b. Tentukan titik tembus garis g terhadap bidang H, misalnya

titik B. Proyeksi titik A pada bidang H adalah B.

2. Proyeksi garis pada bidang

Menentukan proyeksi garis pada bidang sama dengan

menentukan proyeksi dua buah titik yang terletak pada garis

ke bidang itu, dan proyeksi garis tadi pada bidang merupakan

garis yang ditarik dari titik-titik hasil proyeksi.

10

A

B

a. Jika sebuah garis tegak lurus pada bidang maka

proyeksi garis ke bidang itu berupa titik.

b. Jika garis sejajar bidang maka proyeksi garis ke bidang

merupakan garis yang sejajar dengan garis yang

diproyeksikan.

Contoh :

Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan AB = 5 cm dan TA = 8

cm.

Hitunglah panjang proyeksi :

a. TB pada bidang ABCD

b. TB pada bidang TAC

a. Proyeksi T pada bidang ABCD adalah titik O. Jadi proyeksi TB

pada bidang ABCD = BO

BO = ½ .AC

= ½

= ½

= ½

= cm

b. Proyeksi TB pada bidang TAC = TO

TO =

=

11

A B

CD

T

O

=

= cm

Tugas II

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Tentukan dan

hitung panjang proyeksi :

a. BG pada EFGH

b. HF pada ACH

c. GO pada BDE (O titik potong AC dan BD)

2. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan AB = 10 cm dan tinggi

limas 8 cm. Tentukan dan hitung panjang proyeksi :

a. TC pada ABCD

b. TA pada TBD

3. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk

6 cm. Titik P ditengah-tengah AB. Hitung panjang proyeksi :

a. TB pada ABC

b. TP pada ABC

c. TB pada TPC

D. SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG

1. Sudut antara dua garis berpotongan

Sudut antara dua garis berpotongan diambil sudut yang lancip.

Garis g berpotongan dengan garis h di titik A, sudut yang

dibentuk adalah .

2. Sudut antara dua garis bersilangan

Sudut antara dua garis bersilangan ditentukan dengan membuat

garis sejajar salah satu garis bersilangan tadi dan memotong

12

g

h

A

garis yang lain dan sudut yang dimaksud adalah sudut antara

dua garis berpotongan itu.

Garis g bersilangan dg h Garis h1 sejajar dengan h

Memotong gSudut antara g dan h

sama dgSudut antara g dan h1

3. Sudut antara garis dan bidang

Sudut antara garis dan bidang hanya ada jika garis menembus

bidang.

Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis dan

proyeksinya pada bidang itu.

Garis g menembus bidang H dititik A.

Proyeksi garis g pada bidang H adalah g1

Sudut antara garis g dengan bidang H

Adalah sudut yang dibentuk garis g dg g1

4. Sudut antara bidang dengan bidang

Sudut antara dua bidang terjadi jika kedua bidang saling

berpotongan.

Untuk menentukannya sbb :

a. Tentukan garis potong kedua bidang

b. Tentukan sebarang garis pada bidang pertama yang tegak

lurus garis potong kdua bidang

c. Pada bidang kedua buat pula garis yang tegak lurus garis

potong kedua bidang dan berpotongan dengan garis pada

bidang pertama tadi.

13

h

gh1

g

g1

H

A

d. Sudut antara kedua bidang sama dengan sudut antara kedua garis tadi

Bidang G dan H berpotong pada garis (G,H). Garis g pada G

tegak lurus gais (G,H). Garis h pada H tegak lurus garis (G,H)

Sudut antara bidang G dan H sama dengan sudut antara garis

g dan h

Contoh :

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm.

Tentukan :

a. Besar sudut antara BG dan bidang ABCD

b. Cosinus sudut antara BH dan ABCD

Jawab :

14

H

Gg

h

(G,H)

GH

a. Sudut antara BG dengan ABCD adalah sudut CBG = 450

b. Cosinus sudut antara BH dengan ABCD adalah Cos DBH =

=

=

Tugas III

1. ABCD.EFGH adalah sebuah balok. Nyatakan dan gambarkan

kemudian beri nama sudut antara :

a. CH dan ABCD

b. AG dan EFGH

c. BH dan CDHG

2. T. ABCD adalah limas tegak beraturan. Panjang rusuk alas 4 cm

dan panjang rusuk tegak 8 cm. Hitunglah :

a. Tan sudut antar TC dan ABCD

15

A B

CD

E F

5 cm

b. Cos sudut antara TQ dan ABCD dimana Q titik tengah AD

3. Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan AB = 6 cm dan TC =

cm. Hitung :

a. Cosinus sudut antara bidang ABCD dan TDC

b. Sinus sudut antara TAB dan TCD

4. Diketahui limas segitiga T.ABC. TA tegak lurus bidang alas.

Segitiga ABC siku-siku di B. Panjang AB = 6 cm, BC = 8 cm.

Panjang TA = 24 cm. O titik tengah BC. Hitunglah :

a. Panjang AC, TC, AO

b. tan sudut antara TO dan bidang ABC

BAB III PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes

untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda

dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam

modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul

berikutnya.

16

DAFTAR PUSTAKA

Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X,

Jakarta :

PT. Galaxy Puspa Mega.

Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X,

Jakarta : Penerbit Erlangga.

MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA /

MA, Semarang : CV. Jabbaar Setia.

17

“Muhammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN 1 Bone-Bone | Luwu

Utara | Sulsel http://meetabied.wordpress.com”

18