Disusun oleh :Dita Mustika AmbarwatiEnden Nendah NurjanahGanjar WinajarM. Sigit Sugiman

DIMENSI TIGA(Jarak, Proyeksi, Sudut)

Kompetensi Dasar :

6.1 Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.

6.2 Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga.

6.3 Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga

Standar Kompetensi :

6. Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.

SKKD

Kita akan membahas :

A. Jarak

B. Proyeksi

C. Sudut dalam ruang dimensi tiga

Kita akan membahas jarak antara:

1. Jarak antara duaTitik

2. Jarak Titik terhadap Garis

3. Jarak Titik terhadap Bidang

4. Jarak antara dua Garis

5. Jarak Garis terhadap Bidang

6. Jarak antara dua Bidang

1. Jarak antara dua titikDefinisi Umum :

Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan kedua titik tersebut.

jarak titik A ke B,

adalah panjang ruas garis

yang menghubungkan

titik A ke B

A

B

Jara

k du

a tit

ik

Contoh :

Diketahui

kubus ABCD.EFGH

dengan

panjang rusuk a cm.

Tentukan jarak

titik A ke C,

dan titik A ke G

A BCD

HE F

G

a cma cm

a cm

Penyelesaian :

Jadi, diagonal sisi AC adalah7

Perhatikan segitiga ABC yang

siku-siku di B, maka AC = = = =

A BCD

HE F

G

a cm

a cm

a cm

22 BCAB 22 aa

2a2

2a

cm 2a

Jadi, Jarak A ke G adalah 8

Perhatikan segitiga ACG yang

siku-siku di C, maka AG =

= = = =

A BCD

HE F

G

a cm

a cm

a cm

22 CGAC 22 a)2a(

2a3

3a

3a

22 aa2

back

Definisi umum :

Jarak titik terhadap garis adalah panjang ruas garis tegak lurus terpendek yang menghubungkan titik dengan garis tersebut.

2. Jarak titik ke Garis

Jarak titik A ke

garis g adalah

panjang ruas garis

yang ditarik dari

titik A dan tegak

lurus garis g

A

g

Jara

k tit

ik d

an g

aris

Contoh :

Diketahui kubus

ABCD.EFGH

dengan panjang

rusuk 5 cm.

Jarak titik A ke

rusuk HG adalah….A B

CD

HE F

G

5 cm

5 cm

Jarak titik A kerusuk HG adalahpanjang ruas garisAH, (AH HG)

A BCD

HE F

G

5 cm

5 cm

AH = (AH diagonal sisi)AH = Jadi, jarak A ke HG = 5√2 cm

2a

25

Penyelesaian :

back

Definisi umum :

Jarak titik terhadap bidang adalah panjang ruas garis tegak lurus terpendek yang menghubungkan titik tersebut dengan garis bidang.

3. Jarak titik ke bidang

Jarak antara titik A

ke bidang V

adalah panjang

ruas garis yang

menghubungkan

tegak lurus titik A

ke bidang V

A

V

Contoh :Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD.

Panjang AB = 8 cm dan TA = 12 cm.

Jarak titik T ke bidang ABCD adalah….

13

8 cm

T

C

A B

D

12 c

m

Penyelesaian :

14

Jarak T ke ABCD = Jarak T ke perpotongan AC dan BD = TP AC diagonal persegiAC = 8√2 AP = ½ AC = 4√2

8 cm

T

C

A B

D

12 c

m

P

15

AP = ½ AC = 4√2 TP = = = = = 4√7 8 cm

T

C

A B

D

12 c

m

P

2 2 AP AT 2 2 )24( 12

32 144 112

Jadi jarak T ke ABCD adalah 4√7 cm

back

Definisi umum :

Jarak antara dua garis adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan tegak lurus kedua garis tersebut.

4. Jarak garis ke garis

Jarak antara garis g ke garis h

adalah panjang ruas garis yang menghubungkan tegak lurus kedua garis tersebut

P

Q

g

h

Contoh :

17

Diketahui kubus ABCD.EFGH

dengan panjang rusuk 4 cm.

Tentukan jarak:A B

CD

HE F

G

4 cm a.Garis AB ke garis HGb.Garis AD ke garis HFc.Garis BD ke garis EG

Penyelesaian :

18

Jarak garis:a. AB ke garis HG = AH (AH AB, AH HG) = 4√2 (diagonal sisi)b. AD ke garis HF = DH (DH AD, DH HF) = 4 cm

A BCD

HE F

G

4 cm

19

Jarak garis:c. BD ke garis EG = PQ (PQ BD, PQ EG) = AE = 4 cm A B

CD

HE F

G

4 cm

P

Q

back

Definisi Umum :

Jarak garis terhadap bidang ialah panjang garis terpendek yang menghubungkan tegak lurus sebuah titik pada garis dengan bidang.

5. Jarak garis ke bidang

Jarak antara garis g ke bidang V

adalah panjang ruas garis yang menghubungkan

tegak lurus garis

dan bidang

V

g

Contoh :

21

Diketahui kubus

ABCD.EFGH

dengan panjang

rusuk 8 cm

Jarak garis AE ke

bidang BDHF

adalah….

A BCD

HE F

G

8 cm

Penyelesaian :

22

Jarak garis AE kebidang BDHF diwakili olehpanjang AP.(AP AEAP BDHF)AP = ½ AC(ACBDHF) = ½.8√2 = 4√2

A BCD

HE F

G

8 cm

P

Jadi, jarak A ke BDHF adalah 4√2 cmback

Definisi umum :

6. Jarak Bidang dan BidangJarak antara dua bidang adalah panjang garis terpendek yang menghubungkan tegak lurus kedua bidang tersebut.

V

W

Jarak antara bidang W

dengan bidang V adalah

panjang ruas garis yang

tegak lurus bidang W dan

tegak lurus bidang V

WJarak D

ua Bidang

Contoh :

24

Diketahui kubus

ABCD.EFGH

dengan panjang

rusuk 6 cm.

Jarak bidang AFH

ke bidang BDG

adalah….

A BCD

HE F

G

6 cm

6 cm

Penyelesaian :

25

Jarak bidang AFH

ke bidang BDG

diwakili oleh PQ

PQ = ⅓ CE

(CE diagonal ruang)

PQ = ⅓. 9√3

= 3√3

A BCD

HE F

G

6 cm

6 cm

P

Q

Jadi, jarak AFH ke BDG adalah 3√3 cmHOME

Proyeksi Pada Bangun Ruang:

1. Proyeksi titik pada garis

2. Proyeksi titik pada bidang

3. Proyeksi garis pada bidang

1. Proyeksi titik pada garis

27

Dari titik Pditarik garis m garis k

garis m memotong k di Q,

titik Q adalah

hasil proyeksi

titik P pada k

P

Q

k

m

Contoh :

Diketahui

kubus ABCD.EFGH

Tentukan proyeksi

titik A pada garis

a. BC b.BD

c. ET

(T perpotongan

AC dan BD).

A BCD

HE F

G

T

Penyelesaian :

Proyeksi titik A pada

a. BC adalah titik

b. BD adalah titik

c. ET adalah titik

A BCD

HE F

G

T

B

TA’

A’(AC ET)

(AB BC)

(AC BD)

back

2. Proyeksi Titik pada Bidang :

Dari titik P

di luar bidang H

ditarik garis g H.

Garis g menembus

bidang H di titik P’.

Titik P’ adalah

proyeksi titik P

di bidang H

H

P

P’

g

Contoh : Diketahui kubus

ABCD.EFGH

a. Proyeksi titik E

pada bidang ABCD

adalah….

b. Proyeksi titik C

pada bidang BDG

adalah….

A BCD

HE F

G

Pembahasan :a. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah

b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah (CE BDG)

A BCD

HE F

GA

P

P

back

3. Proyeksi garis pada bidang

Proyeksi sebuah garis ke sebuah bidang dapat diperoleh dengan memproyeksikan titik-titik yang terletak pada garis itu ke bidang.H

A

A’

g

Jadi, proyeksi garis g pada bidang H adalah g’

B

B’g’

HOME

Sudut-sudut Bangun ruang

1. Sudut antara dua garis

a. Sudut antara dua garis berpotongan

b. Sudut antara dua garis bersilangan

2. Sudut antara garis dan bidang

3. Sudut antara dua bidang

Yang dimaksud dengan

besar sudut antara

dua garis berpotongen

adalah besar sudut yang

dibentuk oleh kedua garis

tersebut

k

m

a. Sudut antara dua garis berpotongan

Diketahui :kubus ABCD.EFGH Besar sudut antaragaris-garis:a. AB dengan BGb. AH dengan AF c. BE dengan DFA B

CD

HE F

G

Contoh:

Besar sudut antara

garis-garis:

a. AB dengan BG

= 900

b. AH dengan AF

= 600 ( AFH)

c. BE dengan DF

= 900 (BE DF)

A BCD

HE F

G

Pembahasan:

back

m

l 2Garis l’ sejajar garis l

Garis m’ sejajar garis m

Garis l’ dan garis m’

berpotongan di titik O

b. Sudut antara dua garis bersilangan

Perhatikan gambar di bawah ini:

m’

l’

O

Sudut θ yang dibentuk oleh garis l’ dan garis m’

adalah sudut antara garis l dan garis m.

θ

back

2. Sudut antara garis dan bidang

Garis BA menembus bidang α di titik A.

Titik B’ adalah proyeksi titik B pada bidang α,

A

B Garis AB’ proyeksi AB pada bidang α.

B’jadi,

Sudut antara garis dan bidang adalah

sudut lancip yang dibentuk oleh garis

dengan proyeksinya dengan bidang.

Sudut BAB’ bidang α adalah

sudut antara garis BA dan AB’

40

Pada limas

segiempat beraturan

T.ABCD yang semua

rusuknya sama panjang,

sudut antara TA dan bidang ABCD

adalah….

T

A B

CD

a cm

a cm

Contoh :

41

• TA = TB = a cm

• AC = a√2 (diagonal

persegi)

• ∆TAC = ∆ siku-siku

sama kaki

T

A B

CD

a cm

a cm

sudut antara TA dan bidang ABCD adalah

Pembahasan:

sudut antara TA dan AC yang besarnya 450 back

3. Sudut antara Dua BidangSudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan serta masing-masing garis itu tegaklurus terhadap garis potong antara bidang.

Perhatikan gambar dibawah ini!Sudut antara

bidang dan bidang adalah sudut antara

garis g dan h, dimana

g (,) dan h (,).(,) garis potong bidang dan

(,)

g

h

Limas beraturan

T.ABC, panjang

rusuk alas 6 cm dan

panjang rusuk tegak

9 cm. Nilai sinus sudut

antara bidang TAB

dengan bidang ABC

adalah….

A

B

C

T

6 cm

9 cm

Contoh :

• sin (TAB,ABC)

= sin (TP,PC)

= sin TPC

• TC = 9 cm, BP = 3 cm

• PC =

=

• PT =

=

A

B

C

T

6 cm

9 cm

P3

2 2 3 6

33

2 2 3 9

36

Pembahasan:

Catatan

Penting!!!

Catatan Penting!!!Pada saat menentukan sudut, hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan titik potong antara dua objek yang akan dicari sudutnya, kemudian buat garis-garis bantu.

LATIHAN SOAL-SOAL

Mohon d

iPerha-

tikan

Diketahui:

kubus ABCD.EFGH

panjang rusuk 8 cm.

A BCD

HE F

G

8 cm

Nilai tangens sudut antara garis CGdan bidang AFH adalah….

Latihan 1

A. 1/2

B.2

C. ½2

D. 42

E. 2

A BCD

HE F

G

8 cm

P

Q

tan (CG,AFH) = tan (PQ,AP)

= tan APQ

PQ

AQ

21

GC

AC

8

28.21

221

Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang

AFH adalah ½√2

Pembahasan:

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm.

Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah . . .

A. 22cm

C. 42cm

B. 26cm

D. 46cm

E. 82cm

Latihan 2

Panjang proyeksi DE pada bidang BDHFadalah DE’:

DH = 8, D’H = ½ FH,

FH = ½ . 82 = 42

DE’ = (E'H)² + (DH)²

=

=

=

64 32 96

A BCD

HE F

G

64

Pembahasan:

E’

keberhasilan seseorang dalam belajar bukan ditentukan oleh kuantitas nilai

melainkan kualitasnya

Tetap Semangat !!!

AlhamdulillahYou’re Very

Good

Subhanallah ....Hati-hati anda Yaaa....

Lebih teliti lagi...