1

3 Solving ODE Using Matlab

Nama:____________

NIM :____________

Nilai:

_________________

A. Pendahuluan Dalam modul ini, Anda akan belajar bagaimana cara mencari solusi analitik maupun solusi

numerik dari suatu persamaan diferensial biasa alias ODE (ordinary differential equation)

dengan menggunakan bantuan Matlab. Solusi analitik dicari dengan mengeksekusi perintah

pada command window, sedangkan solusi numerik dicari dengan menggunakan simulink.

B. Lembar Kerja

1. Solusi Analitik ODE

KASUS #1 Solusi Analitik ODE tanpa Kondisi Awal

Solusi analitik untuk ODE berikut:

2()

2+ 4() = 0

dapat dicari dengan mengeksekusi perintah berikut:

dsolve('D2x+4*x=0')

Berdasarkan hasil eksekusi, akan diperoleh bahwa solusi persamaan diferensial adalah

() = 1 cos(2) + 2 sin(2) ,

di mana 1 dan 2 merupakan konstanta.

LATIHAN #1 Solusi Analitik ODE tanpa Kondisi Awal

Dengan menggunakan bantuan Matlab, carilah solusi analitik untuk ketujuh ODE berikut.

No. Persamaan Diferensial (), tulis dengan benar, jangan tiru command window!

1

+ 3 = 0 () =

2 2

2+ 3

= 0 () =

3 2

2+ 3 = 0 () =

2

No. Persamaan Diferensial (), tulis dengan benar, jangan tiru command window!

4 22

2+

+ 3 = 0 () =

5 2

2+ 9

+ = 0 () =

6 3

3+

+ = 0 () =

7 2

2+

+ 3 = 1 () =

KASUS #2 Solusi Analitik ODE dengan Kondisi Awal

Matlab mampu menyelesaikan ODE yang disertai dengan kondisi awal. Misal, ODE berikut

2()

2+ 4() = 0

memiliki kondisi awal

(0) = 0,5 dan (0) = 1,

di mana

(0) =

|

=0.

Solusi analitik dari ODE ini dapat dicari dengan mengeksekusi perintah berikut:

dsolve('D2x+4*x=0','x(0)=0.5','Dx(0)=1')

Berdasarkan hasil eksekusi, akan diperoleh solusi persamaan diferensial sbb:

() =1

2cos(2) +

1

2sin(2) .

Jadi, Matlab akan menghitung koefisien-koefisien fungsi () secara otomatis ketika kondisi

awal fungsi () dimasukkan.

LATIHAN #2 Solusi Analitik ODE dengan Kondisi Awal

Dengan menggunakan bantuan Matlab, carilah solusi analitik untuk tiap ODE berikut.

No. Persamaan Diferensial Kondisi Awal Solusi

1

+ 2 = 0 (0) = 0 () =

2 2

2+ 7

= 0

(0) = 0

(0) = 0.1 () =

3

No. Persamaan Diferensial Kondisi Awal Solusi

3 2

2+ 5 = 0

(0) = 1

(0) = 0 () =

4 2

2+

+ 3 = 0

(0) = 1

(0) = 1 () =

5 2

2+ 9

+ = 0

(0) = 0

(0) = 1 () =

6 2

2+ 9 = 0

(0) = 0

(0) = 1 () =

PERTANYAAN #1

Persamaan nomor berapa yang tidak bisa diselesaikan oleh Matlab? Mengapa?

Jawab : ___________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

KASUS #3 Solusi Analitik ODE yang Mengandung Simbol

Selain angka, koefisien-koefisien ODE dapat juga berupa simbol sebagaimana dinyatakan

dalam persamaan berikut

2

2+

+ = 0.

Di sini, merupakan konstanta. Persamaan semacam ini pun dapat diselesaikan dengan

menjalankan program berikut:

syms a

dsolve('D2x+a*Dx+x=0')

Berdasarkan hasil program Matlab, tuliskan solusi analitik ODE.

Jawab : ___________________________________________________________________

2. Solusi Numerik ODE

Solusi numerik ODE dicari ketika Matlab tidak mampu lagi memberikan solusi analitik. Hal ini

umum terjadi ketika ODE yang diselesaikan bersifat tidak linear. Sebagai contoh, ODE berikut

2

2+ sin() = 0

4

tidak dapat diselesaikan secara analitik dengan menggunakan bantuan Matlab. Silakan coba.

Untuk mencari solusi numerik ODE, gunakanlah simulink. Ada 2 cara untuk membuka

simulink, yaitu:

1. Meng-klik icon simulink pada toolbar atau

2. Mengeksekusi perintah simulink pada command window.

KASUS #4 Solusi Numerik ODE Linear dengan Cara Integrasi

Sebelum Anda mencoba menyelesaikan ODE tak linear, terlebih dahulu cobalah gunakan

simulink untuk menyelesaikan ODE linear berikut

2

2+ 3

+ 2 = 0

dengan kondisi awal (0) = 1 dan (0) = 5. Agar cara integrasi dapat diterapkan, ODE ini

harus diubah ke dalam bentuk

2

2= 3

2.

Berdasarkan persamaan ini, lakukan simulasi pada simulink dengan membuat skema berikut.

TIPS #1

Matikan 'warning' di command window dengan mengatur 'Automatic solver parameter

selection' menjadi 'none'. Pengaturan ini terdapat dalam 'model configuration parameter'

(Tekan Ctrl+E).

Agar sinyal hasil simulasi memiliki step size yang cukup baik, lakukan pengaturan di bagian

'solver' pada 'model configuration parameter' (Tekan Ctrl+E).

5

LATIHAN #3 Menyelesaikan ODE Linear dengan Cara Integrasi

Gambarkan grafik () terhadap untuk tiap ODE berikut. Gunakan cara integrasi untuk

menyelesaikannya.

ODE: + 4 = 0 dengan kondisi awal (0) = 0 dan (0) = 0,1.

ODE: + + 9 = 0 dengan kondisi awal (0) = 0,1 dan (0) = 0.

ODE: 5 = 0 dengan kondisi awal (0) = 0 dan (0) = 0,1.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.1

-0.05

0

0.05

0.1Solusi Numerik ODE

t

x(t

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.1

-0.05

0

0.05

0.1Solusi Numerik ODE

t

x(t

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

1

2

3

4

5

6Solusi Numerik ODE

t

x(t

)

6

KASUS #5 Ayunan Bandul Sederhana

Persamaan gerak dari sebuah bandul sederhana (lihat Gambar 1) adalah

+ sin() = 0

di mana adalah panjang kawat, adalah percepatan gravitasi bumi, dan adalah simpangan

bandul dari posisi kesetimbangannya. Bila panjang tali adalah 1 meter dan besar percepatan

gravitasi bumi adalah 10 m/s2, maka persamaan

gerak bandul akan menjadi

+ 10 sin() = 0.

Persamaan ini tidak bersifat linear karena

mengandung suku sin(). Namun, persamaan ini

dapat dianggap linear (dilinearisasi) ketika nilai

sangat kecil karena dapat dilakukan pendekatan

sin tan ,

sehingga

+ 10 = 0.

Gambar 1 Bandul sederhana

Untuk menyelidiki berapa nilai terbesar di mana linearisasi masih diperbolehkan, lakukan

simulasi persamaan bandul dengan dan tanpa linearisasi untuk dua kondisi berikut.

(0) = 0,1 rad dan (0) = 0.

(0) = 1,0 rad dan (0) = 0.

Gambarkan grafik () terhadap .

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

(0) = 0,1 rad

t

(t

)

7

LATIHAN #4 Pegas Tak Linear

Diketahui terdapat sebuah pegas tak linear dengan persamaan F = 1000 X2, di mana F adalah

gaya yang bekerja pada pegas dan X adalah simpangan ujung pegas bagian atas. Pegas ini

digunakan untuk sistem getaran sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 2.

Gambar 2 Pegas tak linear

Berdasarkan DBB (Diagram Benda Bebas), dapat dituliskan persamaan gerak berikut

F = 0

mX + Fpegas mg = 0

m(xo + x) + 1000X2 mg = 0

m(0 + x) + 1000(xo + x)2 mg = 0

mx + 1000(xo2 + 2xox + x

2) mg = 0mx + 1000xo2 + 2000xox + 1000x

2 mg = 0

mx + 2000xox + 1000x2 = 0. (1)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.5

0

0.5

1

(0) = 1 rad

t

(t

)

8

TIPS #2

Pahami proses penurunan persamaan pegas tak linear. Proses penurunan ini akan

ditanyakan di pre-test.

Bila simpangan awal x bernilai sangat kecil, maka suku x2 dapat diabaikan, sehingga

Persamaan (1) dapat dianggap sebagai persamaan linear berikut

mx + 2000xox = 0. (2)

Lakukan simulasi Persamaan (1) dan Persamaan (2) dalam satu file simulink agar dapat

dibandingkan. Terapkan persamaan mg = 1000 xo2 pada kalkulator Matlab untuk menghitung

nilai xo. Lakukan simulasi untuk kasus:

m = 4 kg, dengan kondisi awal x(0) = 5 cm,

m = 64 kg, dengan kondisi awal x(0) = 5 cm,

m = 25 kg, dengan kondisi awal x(0) = 5 cm, dan

m = 25 kg, dengan kondisi awal x(0) = 30 cm.

Bandingkan hasil simulasi linear dengan simulasi tak linear untuk tiap kasus dengan cara

menggambarkan grafik hasil simulasi.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

Kasus m = 4 kg dan x(0) = 5 cm

t

x(t

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

Kasus m = 64 kg dan x(0) = 5 cm

t

x(t

)

9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

Kasus m = 25 kg dan x(0) = 5 cm

t

x(t

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Kasus m = 25 kg dan x(0) = 30 cm

t

x(t

)