Kegiatan Belajar 1

Sistem Bilangan

Sistem bilangan (number system) adalah suatu cara untuk mewakili besaran suatu

item fisik. Sistem bilangan yang banyak dipergunakan manusia adalah sistem bilangan

desimal, yaitu sistem bilangan yang menggunakan 10 macam simbol untuk mewakili

suatu besaran. Sistem ini banyak digunakan karena manusia mempunyai sepuluh jari

untuk dapat membantu perhitungan. Lain halnya dengan komputer, logika di komputer

diwakili oleh bentuk elemen dua keadaan yaitu off (tidak ada arus) dan on (ada arus).

Konsep inilah yang dipakai dalam sistem bilangan binary yang mempunyai dua macam

nilai untuk mewakili suatu besaran nilai.

Selain sistem bilangan biner, komputer juga menngunakan sistem bilangan oktal

dan sistem bilangan heksadesimal.

1.1 Bilangan Desimal dan Bilangan Biner

Sistem bilangan desimal menggunakan 10 macam simbol, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, dan 9. Sistem ini menggunakan basis 10. Bentuk nilai ini dapat berupa integer

desimal atau pecaha. Integer desimal adalah nilai desimal yang bulat, misalnya 8598.

Pecahan desimal adalah nilai desimal yang mengandung nilai pecahan dibelakang

koma, misalnya 183,75.

Sistem bilangan biner menggunakan 2 macam simbol bilangan berbasis 2 digit,

yaitu 0 dan 1. Sistem ini biasanya digunakan dalam rangkaian (circuit) komputer,

kalkulator, dan peralatan digit yang lain, yaitu on-off, high-low, ya-tidak, dan

seterusnya. Untuk membedakan bilangan pada sistem yang berbeda digunakan subskrip.

Sebagai contoh 910 menyatakan bilangan sembilan ini pada sistem bilangan desimal,

dan 011012 menunjukkan bilangan biner 01101. Subskrip tersebut sering diabaikan jika

sistem bilangan yang dipakai sudah jelas.

a. Konversi Desimal ke Biner

Cara untuk mengubah bilangan desimal ke biner adalah dengan pembagian.

Bilangan desimal yang akan diubah secara berturut-turut dibagi 2 sampai sisanya = 0.

Sisa-sisa pembagian membentuk jawaban, yaitu sisa yang pertama akan menjadi

Least Significant Bit (LSB) dan sisa yang terakhir menjadi Most Significant Bit

(MSB).

Contoh konversi 17910 ke biner :

179 / 2 = 89 sisa 1 (LSB)

89 / 2 = 44 sisa 1

44 / 2 = 22 sisa 0

22 / 2 = 11 sisa 0

11 / 2 = 5 sisa 1

5/ 2 = 2 sisa 1

2/ 2 = 1 sisa 0

1 / 2 = 0 sisa 1 (MSB)

Jadi, 17910 = 101100112

b. Konversi Biner Ke Desimal

Cara untuk mengubah bilangan biner ke desimal adalah dengan menggunakan

konversi radiks-r ke desimal :

ܦ = ଵ

ୀ ݎ ݔ

Contoh :

11012 = 1x23 + 1x22 + 1x20

= 8 + 4 + 1

= 1310

Jadi, 11012 = 1310

1.2 Bilangan Oktal

Bilangan oktal adalah sistem bilangan yang berbasis 8 dan mempunyai delapan

simbol bilangan yang berbeda, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Contoh subskrip untuk

bilangan oktal misalnya 5628 yang menunjukkan bilangan oktal 562.

a. Konversi bilangan oktal ke biner

Untuk mengkonversi bilangan oktal ke biner yang harus dilakukan adalah

terjemahkan setiap bilangan oktal ke 3 digit bilangan biner.

Contoh : konversikan 2638 ke bilangan biner.

Jawab : 2 6 3

010 110 011

Jadi 2638 = 0101100112 Karena 0 di depan tidak ada artinya, maka kita bisa

menuliskan 101100112

b. Konversi bilangan biner ke oktal

Untuk mengkonversi bialangan biner ke bilangan oktal, lakukan

pengelompokan 3 digit bilangan biner dari posisi LSB sampai ke MSB.

Contoh : konversikan 101100112 ke bilangan oktal

Jawab : 10 110 011

2 6 3

Jadi, 101100112 = 2638

c. Konversi bilangan desimal ke oktal

Untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan oktal, bilangan desimal

yang akan diubah secara berturut-turut dibagi dengan 8 dan sisa pembagiannya harus

selalu dicatat.

Contoh : konversikan 581910 ke bilangan oktal

5819/8 = 727, sisa 3, LSB

727/8 = 90, sisa 7

90/8 = 11, sisa 2

11/8 = 1, sisa 3

1/8 = 0, sisa 1, MSB

Jadi, 581910 = 132738

d. Konversi bilangan oktal ke desimal

Untuk mengubah bilangan oktal ke desimal dengan menggunakan eksponen

dengan basis 8, yaitu 80=1, 81=8, 82=16, dan seterusnya namun dimulai dari

eksponen yang lebih besar.

Contoh : konversikan 2578 ke bilangan desimal

Jawab : 2578 = 2x82 + 5x81 + 7x80

= 128 + 40 + 7

= 17510

1.3 Bilangan Heksadesimal

Sistem bilangan heksadesimal menggunakan 16 macam simbol bilangan berbasis

8 digit angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F. Dimana A=10, B=11,

C=12, D=13, E=14, dan F=15. Bilangan heksadesimal sering disingkat dengan hex.

Bilangan yang lebih besar dari 1510 memerlukan lebih dari satu hex. Kolom

heksadesimal menunjukkan eksponen dengan basis 16, yaitu 160=1, 161=16, 162=256

dan seterusnya. Sebagai contoh :

152B16 = 1x163 + 5x162 + 2x161 + 11x160

= 1x4096 + 5x256 + 2x16 + 11x1

= 4096 + 1280 + 32 + 11

= 541910

Sebaliknya untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan heksadesimal

dapat dilakukan dengan cara membagi bilangan desimal tersebut dengan 16. Sebagai

contoh, untuk mengubah bilangan 340910 menjadi bilangan heksadesimal dilakukan

dengan langkah-langkah sebagai berikut :

3409/16 = 213 sisa 110 = 116 LSB

213/16 = 13 sisa 510 =516

13/16 = 0 sisa 1310 =D16 MSB

Sehingga, 340910 = D5116

a. Konversi Bilangan Biner ke Heksadesimal

Untuk mengkonversi bilangan biner ke bilangan heksadesimal dengan cara

mengelompokan 4 digit bilangan biner dari posisi LSB sampai ke MSB.

Contoh : konversikan 101100112 ke bilangan heksadesimal

Jawab : 1011 0011

B 3

Jadi, 101100112 = B316

b. Konversi Bilangan Heksidesimal ke Biner

Sebaliknya untuk mengkonversi bilangan heksadesimal ke biner yang harus

dilakukan adalah terjemahkan setiap digit bilangan heksadesimal ke 4 digit bilangan

biner.

Contoh : konversikan B316 ke bilangan biner

Jawab : B 3

1011 0011

Jadi, B316 = 101100112

1.4 Bilangan Biner Pecahan

Dalam sistem bilangan desimal, bilangan pecahan disajikan dengan menggunakan

titik desimal. Digit-digit yang berada di sebelah kiri titik desimal mempunyai nilai

eksponen yang semakin besar, dan digit-digit yang berada di sebelah kanan titik desimal

mempunyai nilai eksponen yang semakin kecil. Sehingga,

0.12 = 2-1 = 1/2 dan

0.012 = 2-2 =1/4

Sebagai contoh :

0.1112 = ½ + ¼ + 1/8

= 0.5 + 0.25 + 0.125

= 0.87510

Jadi, 0.1112 = 0.87510

101.1012 = 4 + 0 + 1 + ½ + 0 + 1/8

= 5 + 0.625

= 5.62510

Jadi, 101.1012 = 5.62510

Pengubahan bilangan pecahan dari desimal ke biner dapat dilakukan dengan cara

mengalikan bagian pecahan dari bilangan desimal tersebut dengan 2, bagian bulat dari

hasil perkalian merupakan pecahan dalam bit biner. Proses perkalian diteruskan pada

sisa sebelumnya sampai hasil perkalian sama dengan 1 atau sampai ketelitian yang

diinginkan. Bit biner pertama yang diperoleh merupakan MSB dari bilangan pecahan.

Sebagai contoh, untuk mengubah 0.62510 menjadi bilangan biner dapat dilaksanakan

dengan :

0.625 x 2 = 1.25 bagian bulat = 1 (MSB), sisa 0.25

0.25 x 2 = 0.5 bagian bulat = 0, sisa 0.5

0.5 x 2 = 1.0 bagian bulat = 1 (LSB), tanpa sisa

Sehingga,

0.62510 = 0.1012

1.5 Sandi BCD (Binary Coded Decimal)

Mengubah bilangan biner yang panjang-panjang ke dalam bilangan desimal akan

menyita waktu. Dengan menerapkan sandi BCD pekerjaan akan sangat mudah. BCD

adalah desimal yang disandikan ke dalam biner. Setiap angka desimal dari 0 s/d 9

disandikan dalam satu aksara yang terdiri dari 4 bit. Bobotnya tempat bit adalah 8, 4, 2,

1, maka sandi ini dinamai BCD 8421. Lihat tabel berikut :

Tabel 1.1 Sandi BCD

Desimal BCD Desimal BCD

0 0000 5 0101

1 0001 6 0110

2 0010 7 0111

3 0011 8 1000

4 0100 9 1001

a. Konversi BCD ke Biner

Contoh : 100000011BCD = ......2

Ada tiga langkah :

1) Dibagi ke dalam kelompok empat bit : 0001 0000 0011

2) Ubah ke dalam desimal : 0001 0000 0011

1 0 3

3) Ubah ke biner : 10310 = 11001112

Sehingga bilangan 100000011BCD = 11001112

b. Konversi Biner ke BCD

Contoh : 100010102 = ..........BCD

Ada 2 langkah pengerjaan :

1) 1x27 + 1x23 + 1x21 = 138

2) 1 3 8

0001 0011 1000

Sehingga 100010102 = 0001 0011 1000 BCD

1.6 Sandi Excess-3 (XS-3)

Lihat tabel di bawah ini. Bila dari tabel ini dibuang tiga bilangan biner teratas dan

juga bilangan biner paling bawah, maka kita peroleh 10 bilangan yang nilai binernya

selalu tiga lebih tinggi dari nilai desimal. Sandi tersebut dinamakan sandi excess-3 (3-

lebih).

Tabel 1.2 Sandi Excess-3

Desimal Express-3 Desimal Express-3

0 0011 5 1000

1 0100 6 1001

2 0101 7 1010

3 0110 8 1011

4 0111 9 1100

a. Konversi Desimal ke Excess-3

Contoh : ubahlah 6410 ke dalam excess-3

Jawab : 6 4

3 + 3 +

9 7

1001 0111 diubah ke biner

Maka 6410 = 1001 0111xs-3

b. Konversi Excess-3 ke Desimal

Contoh : ubahlah 10001100xs-3 =...........10

Jawab : 1000 1100

0011 - 0011 - dikurangi dengan 0011 = 3

0101 1001 bilangan BCD

5 9

Maka 10001100xs-3 = 5910

1.7 Sandi Gray

Sandi Gray adalah sandi tak berbobot dan sangat berguna bagi piranti

masukan/keluaran, pengubah analog ke digital serta peralatan-peralatan bantu lainnya.

a. Konversi Biner ke Gray

Contoh : 11002 = ............gray

1) 1 1 0 0 angka gray pertama = angka biner yang pertama

1

2) 1 1 0 0 kemudian tambahkan 2 bit pertama bilangan biner dengan

mengabaikan bawaan, hasinya merupakan angka yang

berikutnya

1 0

3) 1 1 0 0 kemudian tambahkan 2 bit berikutnya.

1 0 1 0 maka bilangan 11002 = 1010gray

Tabel 1.3 Sandi Gray

Desimal Biner Gray Desimal Biner Gray

0 0000 0000 8 1000 1100

1 0001 0001 9 1001 1101

2 0010 0011 10 1010 1111

3 0011 0010 11 1011 1110

4 0100 0110 12 1100 1010

5 0101 0111 13 1101 1011

6 0110 0101 14 1110 1001

7 0111 0100 15 1111 1000

b. Konversi Gray ke Biner

Contoh : 101110101gray = .........2

1 ------ angka pertama tetap sama

Kemudian tambahkan secara diagonal sebagai berikut :

1 0 1 1 1 0 1 0 1

1 1 0 1 0 0 1 1 0

Maka, 101110101gray = 1101001102

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, silahkan Anda

mengerjakan latihan berikut ini !

1) Coba anda jelaskan konsep dasar sistem bilangan binary !

2) Sebutkan macam-macam sistem bilangan dan jelaskan !

3) Ubahlah bilangan biner berikut ini menjadi bilangan desimal !

(a) 110(2) (b) 101101(2)

4) Ubahlah bilangan oktal berikut ini menjadi bilangan heksadesimal !

(a) 70026(8) (b) 324(8)

5) Ubahlah bilangan desimal berikut ini menjadi bilangan BCD8421 !

(a) 59(10) (b) 843(10)

Petunjuk Jawaban Latihan

Jika Anda menemui kesulitan dalam menjawab soal latihan tersebut di atas,

gunakanlah petunjuk berikut ini !

1) Anda ceritakan definisi dari sistem bilangan itu sendiri, kemudian jelaskan konsep

sistem bilangan binary.

2) Anda harus menyebutkan terlebih dahulu macam-macam sistem bilangan, setelah

itu jelaskan sistem bilangan tersebut satu persatu.

3) Untuk mengubah bilangan biner ke bilangan desimal dengan menngunakan

konversi radiks-r ke desimal.

4) Untuk megubah bilangan oktal ke heksadesimal terlebih dahulu konversikan ke

bilangan biner, setelah itu konversikan kembali ke bilangan heksadesimal.

5) Untuk mengubah bilangan desimal ke bilangan BCD8421 setiap bilangan desimal

diubah dengan sandi BCD8421 dimulai dari MSB.

RANGKUMAN

Sistem bilangan (number system) adalah suatu cara untuk mewakili besaran suatu

item fisik. Logika di komputer diwakili oleh bentuk elemen dua keadaan yaitu off (tidak

ada arus) dan on (ada arus). Konsep inilah yang dipakai dalam sistem bilangan binary

yang mempunyai dua macam nilai untuk mewakili suatu besaran nilai. Sistem bilangan

terdiri dari beberapa jenis, antara lain :

a. Sistem bilangan desimal

b. Sistem bilangan biner

c. Sistem bilangan oktal

d. Sistem bilangan heksadesimal

e. Sandi Binary Coded Decimal (BCD 8421)

f. Sandi Excess-3 (XS-3)

g. Sandi Gray

TES FORMATIF 1

Pilih salah satu jawaban yang paling tepat dari beberapa alternatif jawaban yang

disediakan !

1. Sistem bilangan yang memiliki radix/basis enam belas (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...,F)

adalah …

A. Biner

B. Oktal

C. Desimal

D. Heksadesimal

2. Anggota bilangan oktal adalah ...

A. 0,1

B. 0,1,2,3,4,5,6,7

C. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

D. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

3. Hasil konversi bilangan (118)10 = ( ... )2 adalah ...

A. (01110110)2

B. (00110110)2

C. (11100110)2

D. (10100110)2

4. Hasil konversi bilangan (1110010)2 = ( ... )8 adalah ...

A. (724)8

B. (162)8

C. (356)8

D. (443)8

5. Bilangan oktal yang berharga sama dengan bilangan heksadesimal 91A adalah ...

A. (4432)8

B. (1234)8

C. (4321)8

D. (4444)8

6. Bilangan heksadesimal yang berharga sama dengan bilangan oktal 62750 adalah ...

A. (65E8)16

B. (56E8)16

C. (658E)16

D. (568E)16

7. Bilangan biner 100,01 dikonversi ke bilangan desimal adalah ...

A. (4,75)10

B. (4,50)10

C. (4,25)10

D. (5,25)10

8. Bilangan desimal 3,375 dikonversi ke bilangan biner adalah ...

A. (11,011)2

B. (11,101)2

C. (11,110)2

D. (11,100)2

9. Hasil konversi bilangan (1001 0101 0011) BCD8421 = ( ... )10 adalah ...

A. (359)10

B. (935)10

C. (953)10

D. (593)10

10. Hasil konversi bilangan (1001 0111)xs-3 = ( ... )10 adalah ...

A. (46)10

B. (64)10

C. (97)10

D. (79)10

Cocokanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat

di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus di

bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar

1.

ݏݑ ݐ = ௨ ௪ ௗ ௬ ଵ

.% 100 ݔ

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai :

90 – 100 % = baik sekali

80 – 89 % = baik

70 – 79 % = cukup

< 70 % = kurang

Bila Anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan

dengan kegiatan belajar selanjutnya. Bagus! Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih

dibawah 80% , Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang

belum Anda kuasai.

Kegiatan Belajar 2

Aritmatika Biner

1.8 Penjumlahan Biner

Penjumlahan biner serupa dengan penjumlahan pada bilangan desimal. Dua

bilangan yang akan dijumlahkan disusun secara vertikal dan digi-digit yang mempunyai

signifikasi sama ditempatkan pada kolom yang sama. Digit-digit ini kemudian

dijumlahkan dan jika dijumlahkan lebih besar dari bilangan basisnya ( 10 untuk desimal

dan 2 untuk biner ), maka akan ada bilangan yang disimpan. Bilangan yang disimpan ini

kemudian dijumlahkan dengan digit di sebelah kirinya, dan seterusnya. Dalam

penjumlahan biner, penyimpanan akan terjadi jika jumlah dari dua digit yang

dijumlahkan adalah 2.

Operasi ilmu hitung dengan bilangan biner juga mengikuti aturan yang berlaku

untuk bilangan desimal, bahkan lebih sederhana karena angka-angkanya yang terlibat

hanyalah 0 dan 1.

Untuk mendapatkan aturan penambahan dalam bilangan biner perlu dibahas

empat kasus sederhana berikut :

1. Bila kosong ditambah kosong, hasilnya adalah kosong. Perwakilan biner dalam hal

ini adalah 0 + 0 = 0.

2. Bila kosong ditambah dengan 1 maka hasilnya adalah 1. Dengan bilangan biner

dapat dituliskan sebagai 0 + 1 =1.

3. Bila 1 ditambahkan dengan kosong, hasilnya 1. Setara biner untuk ini adalah 1 + 0

= 1.

4. Bila 1 ditambahkan dengan 1, hasilnya adalah 2. Dengan menggunakan bilangan

biner, hal itu diwakili oleh 1 + 1 = 10.

Jadi keempat kasus di atas dapat disimpulkan sebagai berikut :

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10 ( 0 dengan simpanan 1 )

Untuk menjumlahkan bilangan yang lebih besar, simpanan untuk kolom dengan urutan

yang lebih tinggi dilakukan seperti hanya dengan bilangan desimal biasa.

Contoh :

Jumlahkan bilangan biner 101 dengan 110.

Jawab : 101

110 +

1011

Kolom pertama : 1 + 0 = 1

Kolom kedua : 0 + 1 = 1

Kolom ketiga : 1 + 1 = 10 ( 0 dengan simpanan 1 )

Tabel 1.4 menunjukkan perbandingan antara penjumlahan pada sistem bilangan desinal

dan sistem bilangan biner, yaitu 82310 + 33810 dan 110012 + 110112.

Tabel 1.4 Penjumlahan

a. Penjumlahan Desimal

103 (1000)

102 (100)

101 (10)

100 (1)

8 3

2 3

3 8

Simpan (carry) 1 1 Jumlah 1 1 6 1

b. Penjumlahan Biner

25 32

24 16

23 8

22 4

21 2

20 1

1 1

1 1

0 0

0 1

1 1

Simpan (carry)

1 1 1 1

Jumlah 1 1 0 1 0 0

1.9 Pengurangan Biner

Pada bagian ini hanya akan ditinjau pengurangan bilangan biner yang

memberikan nilai positif. Dalam hal ini, metode yang digunakan adalah sama dengan

metode yang digunakan untuk pengurangan pada bilangan desimal. Dalam pengurangan

bilangan biner jika perlu dipinjam 1 dari kolom di sebelah kirinya, yaitu kolom yang

menpunyai derajat lebih tinggi.

Untuk mengurangkan bilangan biner, ditinjau terlebih dahulu empat kasus berikut :

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

10 – 1 = 1

Hasil terakhir itu mewakili 2 – 1 = 1. Dalam operasi pengurangan tersebut, seperti

halnya dengan pengurangan desimal, dilakukan kolom demi kolom. Bila perlu

dilakukan peminjaman dari kolom dengan urutan yang lebih tinggi.

Contoh :

Hitunglah 110 dikurangi dengan 101.

Jawab : 110

101 –

001

Kolom pertama : 10 – 1 = 1 (setelah meminjam)

Kolom kedua : 0 – 0 = 0 (setelah dipinjamkan)

Kolom ketiga : 1 – 1 = 0

1.10 Perkalian Biner

Perkalian pada bilangan biner mempunyai aturan sebagai berikut :

0 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 0 = 0

1 x 1 = 1

Perkalian bilangan biner dapat dilakukan seperti pada perkalian bilangan desimal.

Sebagai contoh, untuk mengalikan 11102 = 1410 dengan 11012 = 1310 langkah-langkah

yang harus ditempuh adalah :

Biner Desimal

1 1 1 0 1 4

1 1 0 1 1 3

--------x ----x

1 1 1 0 4 2

0 0 0 0 1 4

1 1 1 0

1 1 1 0

---------------+ -------+

1 0 1 1 0 1 1 0 1 8 2

Perkalian juga bisa dilakukan dengan menambahkan bilangan yang dikalikan ke

bilangan itu sendiri sebanyak bilangan pengali.

Contoh di atas, hasilnya akan sama dengan jika kita menambahkan 1112 ke bilangan itu

sendiri sebanyak 1101 atau 13 kali.

1.11 Pembagian Biner

Pembagian pada sistem bilangan biner dapat dilakukan sama seperti contoh

pembagian sistem bilangan desimal. Ada 2 contoh pembagian biner.

Contoh 1:

11

10 110

10

10

10

00

Contoh 2 :

Hasil 1 0 1

----------------

1 0 0 1 / 1 1 0 0 1 1

/ 1 0 0 1

------------------

0 0 1 1 1 1

1 0 0 1

------------

sisa 1 1 0

Sehingga hasilnya adalah 1012 dan sisa pembagian adalah 1102

Pembagian bisa juga dilakukan dengan cara menjumlahkan secara berulang kali

dengan bilangan pembagi dengan bilangan itu sendiri sampai jumlahnya sama dengan

bilangan yang dibagi atau setelah sisa pembagian yang diperoleh lebih kecil dari

bilangan pembagi.

1.12 Bilangan Biner Bertanda

Sejauh ini kita hanya melihat bilangan biner positif atau bilangan biner tak

bertanda. Sebagai contoh bilangan biner 8-bit dapat mempunyai nilai antara

0000 00002 = 0010 dan 1111 11112 = 25510

yang semuanya bermilai positif, tanda ‘-‘ diletakkan di sebelah kiri bilangan desimal,

misalnya –2510. Dalam sistem bilangan biner, tanda bilangan (yaitu negatif) juga

disandikan dengan cara tertentu yang mudah dikenal dengan sistem digital. Untuk

menyatakan bilangan negatif pada bilangan biner, bit yang dikenal dengan bit tanda

bilangan (sign bit) ditambah di sebelah kiri MSB. Bilangan biner yang ditulis dengan

cara di atas menunjukkan tanda dan besarnya bilangan. Jika bit tanda ditulis 0, maka

bilangan tersebut positif, dan jika ditulis 1, bilangan tersebut adalah bilangan negatif.

Pada bilangan biner bertanda yang terdiri dari 8-bit, bit yang paling kiri menunjukkkan

besarnya. Perhatikan contoh berikut :

No Bit 7 6 5 4 3 2 1 0

Bit 26 25 24 23 22 21 20

tanda (64) (32) (16) (8) (4) (2) 1

Maka, 0110 0111 = +(64+32+4+2+1) = +10310

1101 0101 = -(64+16+4+2) = - 8510

1001 0001 = -(16 + 1) = -1910

0111 1111 = +(64+32+16+8+4+2+1) = +12710

1111 1111 = -(64+32+16+8+4+2+1) = - 12710

1000 0000 = -0 = 0

0000 0000 = +0 = 0

Dari contoh diatas dapat dilihat, bahwa hanya karena tujuh bit yang menunjukkan

besarnya , maka bilangan terkecil dan terbesar yang ditunjukan bilangan biner bertanda

yang terdiri dari 8-bit adalah :

[1]111 11112 = - 12710 dan

[0]111 11112 = + 12710

dengan bit dalam kurung menunjukkan bit tanda bilangan.

Secara umum, bilangan biner tak bertanda yang terdiri dari n-bit mempunyai nilai

maksimum M = 2n – 1. Sementara itu, untuk bilangan bertanda yang terdiri dari n-bit

mempunyai nilai maksimum M = 2n-1 – 1. Sehingga, untuk register 8-bit di dalam

mikroprosesor yang menggunakan sistem bilangan bertanda, nilai terbesar yang bisa

disimpan dalam register tersebut adalah :

M = 2(n-1) – 1

= 2(8-1) – 1

= 27 – 1

= 12810 – 1

= 12710

sehingga mempunyai jangkauan – 12710 sampai +12710.

1.13 Komplemen R

Dalam sistem digital, komplemen digunakan untuk memudahkan operasi

pengurangan dan untuk manipulasi logika. Ada dua macam komplemen untuk setiap

sistem bilangan dengan radiks R yaitu komplemen–R dan komplemen–(R-1). Bila nilai

radiks itu diberikan, kedua jenis komplemen itu mempunyai nama yang sesuai dengan

nilai hasilnya yaitu komplemen-10 dan komplemen-9 untuk bilangan desimal,

komplemen-2 dan komplemen-1 untuk sistem biner.

Komplemen-R untuk suatu bilangan nyata positif-N dengan radiks R dan bagian

bulatnya terdiri atas n angka, didefinisikan sebagai :

Rn – N untuk N ≠ 1

0 untuk N = 0

Komplemen-10 untuk 4321010 adalah 105 – 43210 = 56790

Karena banyaknya angka tersebut adalah n = 5.

Komplemen-10 untuk 0.09810 adalah 100 – 0.098 = 0.092.

Dalam hal ini bilangan itu tidak mempunyai bilangat bulat sehingga n = 0.

Komplemen-10 untuk 765.4310 adalah 103 – 765.43 = 234.57

Komplemen-2 untuk 11001102 adalah 2107 – 11001102 = 100000002 – 11001102 =

00110102.

Komplemen-2 untuk 0.10102 adalah 1 - 0.10102 = 0.01102

Dari definisi dan uraian di atas, jelas bahwa komplemen-10 untuk bilangan

desimal dapat dibentuk dengan membiarkan semua 0 pada kedudukan yang terendah

tidak berubah, mengurangkan semau angka pada kedudukan yang lebih tinggi lainnya

dari 9. Komplemen-2 dapat dibentuk dengan membiarkan semua nol pada LSB dan 1

yang pertama dari kanan tidak berubah dan kemudian mengubah semua 1yang lain

menjadi 0 dan semua 0 yang lain menjadi 1.

Cara pengurangan langsung yang diajarkan di sekolah dasar adalah dengan

menggunakan konsep pinjaman. Dalam cara itu, bila pada salah satu kolom nilai yang

dikurangi lebih besar daripada yang mengurangi, dipinjam sevuah 1 dari kolom dengan

kedudukan yang lebih tinggi. Hal yang demikian itu sangat mudah bila dikerjakan di

atas kertas. Bila cara pengurangan itu dilakukan dengan pertolongan rangkaian logika,

cara itu ternyata kurang efisien. Metode pengurangan dengan memanfaatkan

komplemen dan penjumlahan lebih sesuai untuk dikerjakan dengan rangkaian logika.

Pengurangan dua bilangan positif (M - N), dan keduanya mempunyai radiks R

yang sama, dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut :

1. Tambahkan bilangan yang dikurangi, M, ke komplemen-R dari bilangan yang

mengurangi, N.

2. Periksa hasil penjumlahan yang diperoleh dalam langkah 1 itu.

a. Jika hasilnya mempunyai simpanan akhir, abaikan simpanan akhir itu.

b. Jika hasilnya tidak mempunyai simpanan akhir, cari komplemen-R untuk

bilangan yang diperoleh dalam langkah 1 dan berikan tanda negatif

depannya.

1.14 Komplemen R – 1

Untuk suatu bilangan positif N dengan radiks R dan bagian bulatnya terdiri dari n

angka serta bagian pecahannya m angka, komplemen–(R – 1) untuk N didefinisikan

sebagai

Rn – Rm – N

Komplemen-9 untuk 4321010 adalah 105 – 100 – 43210 = 99999 – 43210 = 56789.

dalam hal ini bilangan tersebut tidak mempunyai bagian pecah sehingga m = 0.

Komplemen-9 untuk 0.987610 adalah 100 – 10-4 – 0.9876 = 0.9999 – 0.9876 = 0.0123.

Di sini bilangan itu tidak mempunyai bagian bulat sehingga n = 0.

Komplemen-9 untuk 23.45610 adalah 102 – 10-3 – 23.456 = 99.999 – 23.456 = 76.543.

Komplemen-1 untuk 1011002 adalah 2106 – 210

0 – 1011002 = 1111112 – 1011002 =

0100112

Komplemen-1 untuk 0.01102 adalah 2100 – 210

-3 – 0.01102 = 0.11112 – 0.01102 = 0.10012

Dari urutan di atas tampak bahwa komplemen-9 suatu bilangan desimal dapat

diperoleh dengan mengurangkan semua angkanya dari 9. komplemen-1 suatu bilangan

biner bahkan lebih sederhana; semua angka 1 diubah menjadi 0 dan semua 0 menjadi 1.

Karena komplemen-(R – 1) itu lebih mudah untuk didapatkan, komplemen inilah yang

umum dipakai. Dari definisi dan pembandingan hasil yang diperoleh dari contoh

tersebut, tampak bahwa komplemen-R dapat diperoleh dari komplemen-(R – 1) setelah

penambahan R-m ke angka yang paling kurang berarti. Misalnya komplemen-2 untuk

10110100 didapatkan dari komplemen-1 sebagai 01001100.

Perlu diperhatikan bahwa komplemen dari suatu komplemen akan

mengembalikan bilangan itu ke nilai aslinya. Komplemen-R untuk N adalah Rn – N dan

komplemen-R untuk (Rn – N) adalah Rn – (Rn – N) yang sama dengan N. Hal yang

sama dapat diperoleh untuk komplemen-(R – 1).

Adapun cara menunjukkan komplemen R sebagai berikut :

Salah satu metoda yang dipergunakan dalam pengurangan pada komputer yang

ditransformasikan menjadi penjumlahan dengan menggunakan minusradiks-komplemen

satu atau komplemen radiks. Pertama-tama kita bahas komplemen di dalam sistem

desimal, dimana komplemen-komplemen tersebut secara berurutan disebut dengan

komplemen sembilan dan komplemen sepuluh (komplemen di dalam system biner

disebut dengan komplemen satu dan komplemen dua). Sekarang yang paling penting

adalah menanamkan prinsip ini:

"Komplemen sembilan dari bilangan desimal diperoleh dengan mengurangkan masing-

masing digit desimal tersebut ke bilangan 9, sedangkan komplemen sepuluh adalah

komplemen sembilan ditambah 1"

Lihat contoh nyatanya!

Bilangan Desimal 123 651 914

Komplemen Sembilan 876 348 085

Komplemen Sepuluh 877 349 086 --> ditambah dengan 1!

Perhatikan hubungan diantara bilangan dan komplemennya adalah simetris. Jadi,

dengan memperhatikan contoh di atas, komplemen 9 dari 123 adalah 876 dengan simple

menjadikan jumlahnya = 9 ( 1+8=9, 2+7=9 , 3+6=9 )! Sementara komplemen 10

didapat dengan menambahkan 1 pada komplemen 9, berarti 876+1=877!

Pengurangan desimal dapat dilaksanakan dengan penjumlahan komplemen

sembilan plus satu, atau penjumlahan dari komplemen sepuluh!

893 893 893

321 678 (komp. 9) 679 (komp. 10)

---- - ---- + ---- +

572 1571 1572

1

---- +

572 --> angka 1 dihilangkan!

Analogi yang bisa diambil dari perhitungan komplemen di atas adalah,

komplemen satu dari bilangan biner diperoleh dengan jalan mengurangkan masing-

masing digit biner tersebut ke bilangan 1, atau dengan bahasa sederhananya mengubah

masing-masing 0 menjadi 1 atau sebaliknya mengubah masing-masing 1 menjadi 0.

Sedangkan komplemen dua adalah satu plus satu. Perhatikan Contoh .!

Bilangan Biner 110011 101010 011100

Komplemen Satu 001100 010101 100011

Komplemen Dua 001101 010110 100100

Pengurangan biner 110001 - 1010 akan kita telaah pada contoh di bawah ini!

110001 110001 110001

001010 110101 110110

--------- - --------- + --------- +

100111 100111 1100111

---------> dihilangkan!

Alasan teoritis mengapa cara komplemen ini dilakukan, dapat dijelaskan dengan

memperhatikan sebuah speedometer mobil/motor dengan empat digit sedang membaca

nol!

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, silahkan Anda

mengerjakan latihan berikut ini !

1) Lakukanlah penjumlahan bilangan biner berikut ini :

(a) 101 + 110 (b) 1010 + 1101

2) Lakukanlah pengurangan bilangan biner berikut ini :

(a) 11011 – 01101 (b) 1111 – 0101

3) Kalikanlah 11102 dengan 11012 !

4) Bagilah 1100112 dengan 10012

5) Berapakah komplemen-2 dari 1010112 dan 0.10112 ?

Petunjuk Jawaban Latihan

Jika Anda menemui kesulitan dalam menjawab soal latihan tersebut gunakanlah

petunjuk berikut ini !

1) Jumlahkan kolom pertama atau paling belakang lalu lanjutkan ke kolom berikutnya

dan perhatikan apakah hasilnya memiliki simpanan atau tidak.

2) Untuk operasi pengurangan sama saja dengan pengurangan desimal biasa. Apabila

diperlukan peminjaman 1 maka diambil dari kolom sebelah kiri atau yang

mempunyai derajat lebih tinggi.

3) Perkalian bilangan biner sama saja dengan perkalian bilangan desimal biasa namun

menggunakan 2 digit angka yaitu 0 dan 1.

4) Untuk operasi pembagian bilangan biner sama saja dengan pembagian desimal

biasa.

5) Pergunakanlah persamaan Rn – N untuk N ≠ 1.

RANGKUMAN

Operasi-operasi aritmatika pada bilangan biner meliputi penjumlahan,

pengurangan, perkalian, dan pembagian. Pada prinsipnya, operasi aritmatika pada

bilangan biner sama saja dengan operasi aritmatika pada bilangan desimal namun pada

bilangan biner menggunakan 2 digit angka yaitu 1 dan 0.

Dalam sistem digital, komplemen digunakan untuk memudahkan operasi

pengurangan dan untuk manipulasi logika. Ada dua macam komplemen untuk setiap

sistem bilangan dengan radiks R yaitu komplemen–R dan komplemen–(R-1). Bila nilai

radiks itu diberikan, kedua jenis komplemen itu mempunyai nama yang sesuai dengan

nilai hasilnya yaitu komplemen-10 dan komplemen-9 untuk bilangan desimal,

komplemen-1 dan komplemen-0 untuk sistem biner.

TES FORMATIF 2

Pilih salah satu jawaban yang paling tepat dari beberapa alternatif jawaban yang

disediakan !

1) Hasil dari 10112 + 10102 adalah ...

A. 101012

B. 101112

C. 100112

D. 101102

2) Hasil dari 11112 – 01012 adalah ...

A. 10012

B. 10102

C. 10112

D. 11002

3) Hasil dari 11012 x 10112 adalah ...

A. 101011112

B. 110001112

C. 100011112

D. 110101112

4) Hasil dari 1100112 : 10012 adalah ...

A. 1102 sisa 1012

B. 1012 sisa 1002

C. 1102 sisa 1002

D. 1012 sisa 1102

5) Nilai jangkauan terkecil dari 11001102 adalah ...

A. – 3810

B. + 3810

C. – 10210

D. + 10210

6) Komplemen-2 untuk 101012 adalah ...

A. 001112

B. 010012

C. 010112

D. 010102

7) Komplemen-1 untuk 0.01102 adalah ...

A. 0.11002

B. 0.10012

C. 0.10102

D. 0.11102

8) Komplemen-9 untuk 267810 adalah ...

A. 1237

B. 2237

C. 7123

D. 7322

9) Hasil dari 100100112 – 010010112 adalah ...

A. 100010002

B. 110011002

C. 101010102

D. 111000112

10) Nilai jangkauan terbesar dari 01011102 adalah ...

A. + 10210

B. – 6410

C. + 6410

D. – 4610

Cocokanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat

di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus di

bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar

2.

ݏݑ ݐ = ௨ ௪ ௗ ௬ ଵ

.% 100 ݔ

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai :

90 – 100 % = baik sekali

80 – 89 % = baik

70 – 79 % = cukup

< 70 % = kurang

Bila Anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat

meneruskan dengan kegiatan belajar selanjutnya. Bagus! Tetapi bila tingkat penguasaan

Anda masih dibawah 80% , Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama

bagian yang belum Anda kuasai.

27

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF

TES FORMATIF 1

1) D Heksadesimal

2) B 0,1,2,3,4,5,6,7

3) A (01110110)2

4) B (162)8

5) A (4432)8

6) A (65E8)16

7) C (4,25)10

8) A (11,011)2

9) C (953)10

10) B (64)10

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF 2

1) A 101012

2) B 10102

3) C 100011112

4) D 1012 sisa 1102

5) A - 3810

6) C 010112

7) B 0.10012

8) D 7321

9) A 100010002

10) D + 4610

28

DAFTAR PUSTAKA

Ibrahim, KF, Teknik Digital, Andi Offset, Yogyakarta, 1996

Malvino dkk., Prinsip prinsip dan Penerapan Digital,Erlangga, Jakarta,, 1994

Purnomo, Sigit. 2001. Dasar Digital. Yogyakarta: Departemen Pendidikan Nasional.

Tim Fakultas Teknik Universitas Negeri Yogyakarta. 2001. Dasar Digital. Direktorat Pendidikan Menengah Kejuruan Departemen Pendidikan Nasional