MODUL 1 GEJALA TRANSIENPendahuluan1. Deskripsi SingkatBab ini akan membahas tentang kondisi awal kapasitor dan induktor sebagai elemen pasif penyimpan energi. 2. Manfaat Memahami gejala transien pada elemen pasif kapasitor dan induktor.3. Relevansi TopikBab Rangkaian Gejala Transien ini merupakan bagian awal sebelum membahas analisis rangkaian orde satu RL dan RC.4. Kompetensi KhususMemahami kondisi awal kapasitor dan induktor sebagai elemen pasif penyimpan energi.5. Topik yang DibahasElemenpenyimpanenergi,pengertian gejala transien,serta periodetransien dan rangkaian steady state. Penyajian1.1Elemen penyimpan energiElemen penyimpan energi merupakan elemen yang menyimpan muatan listrik dalam elemen-elemennya.a. Kapasitor (C)Kapasitor merupakanelemenyangmemerlukanarussebandingdengan turunan waktu tegangan diantara kutub kutubnya.Secarafisis, terdapat dualempengsejajar, yangsatubermuatanpositif dan yang lain bermuatan negatif seperti gambar 1.1.1.1Gambar 1.1 Model kapasitor dengan dua lempeng sejajardimana :dAC . (1) d = jarak antar lempengan = konstanta dielektrikA = luas lempenganKonstanta dielektrik () untuk beberapa jenis bahan sebagai berikut :Nilai konstanta diatas merupakan permitivitas relatif, r, yang diperoleh dari or dimanaoadalahpermitivitasruanghampa (=8,85 x 10-1).Satuan dari kapasitor/kapasitansi disebut :FaradVoltCoulomb, atau dapat dituliskan sebagai berikut : V C q . Bentuk dari kapasitor sendiri dapat bermacam-macam.Padasaat diberi teganganV, makaadaarusi yangmengalir sehingga muatan q berpindah, jika muatan positif (q+) dianggap searah dengan arah arus positif maka :1.2Tabel 1.1 Konstanta dielektrik beberapa jenis bahanGambar 1.2 Model fisik kapasitor dtdqi . (2)Kalau muatan tersebut dinyatakan sebagai arah arus positif dari arah pergerakan sumber positif :dtCdVdtdVC i1 (3) dt iCV dt iCdV1 1 .(4)dan simbol untuk kapasitor adalah :dengan VqC .i. Energi yang tersimpan dalam kapasitorUntuk menghitung energi yang tersimpan dalamkapasitor dapat menggunakan persamaan berikut : tcdt i V Wdimana dtdVC i tdtdtdVC V tdV C V 1.3Gambar 1.3 Simbol untuk kapasitor ) () (221t VVtCV dV V C . (5)pada saat t = t, V(t) = Vo karena kapasitor sudah diisi, sedangkan pada saat t = -, V(-) = 0 karena kapasitor belum diisi. ii.Kapasitor hubungan seri-paralel Hubungan seriDapat dilihat pada gambar berikut ini :menurut aturan Kirchhoffs Voltage Law (KVL) :nV V V V V + + + + ...3 2 1 (6) dt iCV1111 , dt iCV2221 , , dt iCVnnn1 . (7)karena ni i i ...2 1, maka

,_

+ + + tt nodt iC C CV1...1 12 1 (8)Apabila i adalah variabel peubah terhadapdtdV, maka+ oV dt iCV1, dimana Vo = harga awal dari kapasitor.1.2Gambar 1.4 Hubungan seri kapasitorJadi, +

,_

+ + + ttonoV dt iC C CV1...1 12 1 ..... (9) bila hanya diwakili satu kapasitor maka+ osV dt iCV1 (10)dimana n sC C C C1...1 1 12 1+ + + ... (11) Hubungan paralelDapat dilihat pada gambar 1.6 berikut ini :menurut aturan Kirchhoffs Current Law (KCL) :nI I I I I + + + + ...3 2 1 ... (12)dtdVC I11 1 , dtdVC I22 2 , , dtdVC Inn n .. (13) karena nV V V ...2 1, maka1.2Gambar 1.5 Rangkaian ekivalen dari hubungan seri kapasitorGambar 1.6 Hubungan paralel kapasitordtdVCdtdVCdtdVC In+ + + ...2 1( )dtdVC C Cn+ + + ...2 1 .. (14)bila hanya diwakili satu kapasitor makadtdVC Ip.... (15)dimana n pC C C C + + + ...2 1..... (16)a. Induktor (L)Induktor merupakan elemen yang membutuhkan tegangan sebanding dengan turunan waktu atau kecepatan perubahan arus yang mengalir didalamnya.Bentuk fisis dari induktor berupa lilitan kawat seperti gambar 1.8 :1.1Gambar 1.7 Rangkaian ekivalen dari hubungan paralel kapasitorGambar 1.8 Model untuk induktordalam bentuk persamaan dapat dituliskan : dtdiL V , dengan satuan Henry (H), dimana arus i yang melewati L berubah terhadap waktu t. Persamaan dari L sebagai berikut : dA NLo45 , 02+... (17)dimana : N = jumlah lilitan,A = luas penampang = panjang lilitand = diameter kawato = 4x10-7Menurut hukumFaraday : perubahan fluks menyebabkan perubahan tegangan induksi pada setiap lilitan yang sebanding dengan turunan fluks. Hal ini dapat dilihat pada gambar 1.9 :N+ V-idimana dtdN V.Fluks (t) berhubungan dengan arus i dalam kumparan yang mengandung N lilitan. Jadi, N() mendekati L.i, berikut persamaannya :i L N , sehingga dtdiL V VdtLdi VdtLdi1 11.2Gambar 1.9 Model induktor menurut hukum Faraday oI VdtLi + 1 dengan Io = harga awal dari induktor.i. Hubungan seri induktorHubungan seri induktor dapat dilihat pada gambar berikut :menurut KVL : nV V V V V + + + + ...3 2 1 dtdiLdtdiLdtdiLnn+ + + ...2211 dimana nI I I I ...2 1 sehingga :( )dtdiL L L Vn+ + + ...2 1.... (18) atau dapat diwakili dengan rangkaian ekivalen seperti gambar berikut :dimana dtdiL Vs... (19)dengann sL L L L + + + ...2 1....(20) ii.Hubungan paralel induktor1.3Gambar 1.10 Hubungan seri untuk induktorGambar 1.11 Rangkaian ekivalen untuk hubungan seri induktorHubungan paralel induktor dapat dilihat pada gambar 1.12 :menurut KCL :nI I I I I + + + + ...3 2 1 nV V V ...2 1oI dt VLI + 1111 ...o nnnI dt VLI + 1, sehingga+

,_

+ + + ttonoI dt VL L LI1...1 12 1. (21)atau dapat diwakili dengan rangkaian ekivalen sebagai berikut :dimana opI VdtLI + 1 .... (22)1.3Gambar 1.12 Hubungan paralel untuk induktorGambar 1.13 Rangkaian ekivalen untuk hubungan paralel induktordengann pL L L L1...1 1 12 1+ + + .. (23)a. Hubungan antara tegangan V dan arus I pada elemen R, L dan C1. Resistor (R)Simbol rangkaian dari resistor seperti gambar 1.14 :+ V-idimana R i V dan RVi 2. Induktor (L)Simbol rangkaian dari induktor seperti gambar berikut :+ V-idimana dtdiL V dan ottV dt VLio+ 13. Kapasitor (C)Simbol rangkaian dari induktor seperti gambar berikut :+ V-idimana ottI dt iCVo+ 1 dan dtdVC i .1.3Gambar 1.14 Simbol rangkaian resistorGambar 1.15 Simbol rangkaian induktorGambar 1.16 Simbol rangkaian kapasitorContoh soal 1.1 :Tentukanarusiuntukkapasitor1mF apabila teganganyangmelewatinya menghasilkan gelombang seperti gambar 1.17 :Vt01 2 310Penyelesaian :pada : t 0 ,V = 00 < t 1,V = 10t1 < t 2,V = (20-10t)t > 2,V = 0diketahui C = 1 mF = 10-3 F dan menurut persamaan dtdVC i pada : t 0 makai = 0 A0 < t 1 makai = 10-2 A1 < t 2 makai = -10-2 At > 2 makai = 0sehingga hasilnya ditunjukkan gambar 1.18 :it01 2 310-101.2Pengertian gejala transienGejala transien/rangkaian transien mempelajari tentang suatu rangkaian yang dikenakan ke suatu sumber tegangan (secara tiba-tiba). Akan ditinjau 1.3Gambar 1.17 Bentuk gelombang tegangan dari kapasitor untuk contoh soal 1.1Gambar 1.18 Hasil bentuk gelombang arus dari kapasitorpengaruh yang terjadi pada saat awal suatu rangkaian diberi rangsangan dan hubunganpengaruhtersebut dengantanggapanterpaksa(forcedresponse) dan tanggapan alamiah (natural response).Kapan saja sebuah rangkaian diubah dari satu keadaan (kondisi) ke keadaan lainnya, entahkarena perubahansumber terpasangatauperubahandalam elemen-elemen rangkaian, terdapat suatu periode peralihan (transisi/transien) selama manaarus-aruscabang dan tegangan-tegangan elemen berubah dari nilai semula menjadi nilai yang baru. Periode ini disebut peralihan (transien). Setelahperalihan berlaku, keadaanrangkaiandisebut menjadi tunak atau keadaan mantap (steady state). Sekarang, persamaan diferensial linear yang menjelaskan rangkaian akan mempunyai dua bagian penyelesaian.Pemecahan persamaan diferensial menggambarkan respons rangkaian, dan ini dikenal dengan berbagai nama seperti berikut : Respons tanpa sumber dikenal sebagai respons alami, respons transien, respons bebas, atau fungsi komplementer. Respons rangkaian yang dikenakan suatu sumber bebas, sebagian respons menggambarkan sifat sumber khusus yangdipakai, bagian respons ini dinamai respons paksaan atau solusi khusus. Komplemen antara respons rangkaian tanpa sumber dan respons rangkaian dengan sumber disebut respons lengkap. Jadi, respons lengkap = respons alami + respons paksaan Sebagai catatan, fungsi komplementer berhubungan dengan peralihan, dan solusi khusus berhubungan dengan keadaan tunak.1.3 Periode transien dan Rangkaian Steady Statea) Keadaan C dan L pada saat mula-mula dan saat setelah lama sekali (t=0+ dan t=)Induktor (L) dan kapasitor (C) adalah elemen-elemen pasif yang mampu menyimpan dan memberikan energi yang terbatas jumlahnya. InduktorJenis elemen rangkaian ini memerlukan tegangan antara kutub-kutubnyayangadalahsebandingdengankecepatanperubahanarus yang melaluinya terhadap waktu. Secara kuantitatif dapat dituliskan,1.2dtdiL V volt .. (24)Konstanta pembanding L adalah induktansi. Induktansi melawan perubahan arus. Dari persamaan (24) memperlihatkan bahwa tidak ada tegangan melintasi sebuah induktor yang menyangkut arus konstan, tak peduli berapa besar arus tersebut. Karena itu, kita dapat memandang sebuah induktor sebagai sebuah hubungan pendek bagi dc.Kalau digambarkan apa yang sudah dibahas di atas tentang induktor : pada saat t=0, saklar S ditutup.Sifat dari L selalu menentang akibat yang menimbulkannya. pada saat t=0+, L dinyatakan sebagai open circuit (hubungan terbuka). setelah cukup lama (t=), L dinyatakan sebagai short circuit (hubungan singkat). Kapasitor 1.2Gambar 1.19 Rangkaian induktor untuk t = 0Gambar 1.20 Rangkaian induktor untuk t = 0+Gambar 1.21 Rangkaian induktor untuk t = Jenis elemen rangkaian ini memerlukan arus yang melaluinya sebanding dengan turunan waktu tegangan antara kutub-kutubnya. Secara kuantitatif dapat dituliskan,dtdVC i Ampere (25)Konstanta pembanding C adalah kapasitansi (menyatakan sifat penyimpanan muatan dalamelemen itu). Kapasitansi menentang perubahan tegangan. Sebuah tegangan konstan yang melalui kapasitor memerlukan arus nol melalui kapasitor tersebut. Jadi, kapasitor adalah rangkaian terbuka bagi dc. Kalau digambarkan hal-hal tentang kapasitor di atas : pada saat t=0, saklar S ditutup.Tegangan E mulai mengisi kapasitor. pada saat t=0+, C dinyatakan sebagai short circuit. Setelah cukup lama (t=), C dinyatakan sebagai open circuit.Contoh soal 1.2 :Induktansi dibangkitkan oleh suatu sumber arus sempurna seperti berikut.1.2Gambar 1.22 Rangkaian kapasitor untuk t = 0Gambar 1.23 Rangkaian kapasitor untuk t = 0+Gambar 1.24 Rangkaian kapasitor untuk t = Bentuk gelombang arus sebagai fungsi waktu seperti berikut :Gambarkan bentuk gelombang tegangan V sebagai fungsi waktu !Penyelesaian : Bentuk gelombang tegangan : dtdiL V volt. tegangan (volt )20 1 2 3 4dtk0- 20 a) Kondisi awal pada L dan C Induktor Saklar S mula-mula di titik 1, pada saat t=0 maka saklar dipindahkan ke titik 2. Pada saat saklar di titik 1, keadaan L seperti berikut. Io merupakan kondisi awal dari L.1.2Gambar 1.25 Rangkaian induktor dengan sumber arus sempurnaGambar 1.26 Bentuk gelombang arus dari induktor untuk contoh soal 1.2Gambar 1.27 Hasil bentuk gelombang tegangan dari induktorGambar 1.28 Rangkaian induktor untuk kondisi awal Pada saat t=0+ (saklar sudah berada di titik 2), Io merupakan kondisi awal dari L dan L dinyatakan open circuit. Pada saat t=, kondisi awal Io makin berkurang sehingga akhirnya Io=0 dan L digambarkan short circuit. Kapasitor Saklar S mula-mula di titik 1, pada saat t=0 maka saklar dipindahkan ke titik 2. Pada saat saklar di titik 1, keadaan C seperti berikut. Eo merupakan kondisi wal dari C.1.3Gambar 1.29 Rangkaian induktor saat saklar di titik 1 Gambar 1.30 Rangkaian induktor saat t = 0+ Gambar 1.31 Rangkaian induktor saat t = Gambar 1.33 Rangkaian kapasitor saat saklar di titik 1Gambar 1.32 Rangkaian kapasitor untuk kondisi awal Pada saat t=0+(saklar sudah berada di titik 2), Eomerupakan kondisi awal dari C dan C dinyatakan short circuit. Pada saat t=, kondisi awal Eo makin berkurang sehingga akhirnya Eo=0 dan C digambarkan open circuit.Contoh soal 1.3 :Pada saat t=0, saklar S ditutup. Pada saat t=0+, kapasitor 4F menjadi short circuit dan induktor 3H menjadi open circuit. Pada saat t=, kapasitor 4F menjadi open circuit dan induktor 3H menjadi short circuit.Tentukan : arus i pada masing-masing loop pada saat t=0 dan t= !Penyelesaian : Pada saat t=0+, rangkaian menjadi seperti berikut :10V122i1i2i3Voci41.1Gambar 1.34Rangkaian kapasitor saat t = 0+Gambar 1.35 Rangkaian kapasitor saat t = Gambar 1.36 Rangkaian untuk contoh soal 1.3Gambar 1.37 Rangkaian untuk contoh soal 3 saat t = 0+i4 = 0A, Voc = 10v + 12 22 2pRRs = Rp + 1 = 2socRVi 1= 5A, 52 222 221 2+ + i i= 2,5A, 1 32 22i i += 2,5A Pada saat t=, rangkaian menjadi seperti berikut :10 V12i1i2i3 i4atau dapat disederhanakan seperti berikut :10 V12i1i3 i4I1I2untuk mencari I1 dan I2, gunakan persamaan berikut :3I1 2I2 = 10-2I1 + 2I2 = 0dengan menggunakan metode determinan kita peroleh I1 dan I2 :A I 102202 22 32 02 101 dan A I 102202 22 30 210 32 i3 = I1 I2 = 10 10 = 0A; i1 = I1 = 10A; i2 = 0A; i4 = i1 = 10A.Latihan1.2Gambar 1.38 Rangkaian untuk contoh soal 3 saat t = Gambar 1.39 Rangkaian yang disederhanakan untuk contoh soal 3 saat t = 1. Turunkan rumus untuk rangkaian ekivalen dari rangkaian seri kapasitor berikut ini !2. Turunkanrumus untukrangkaianekivalendari rangkaianparalel induktor berikut ini !3. Jelaskan kondisi induktor dalam suatu rangkaian dengan tegangan untuk t = 0+ dan t = ! 4. Jelaskan kondisi kapasitor dalam suatu rangkaian dengan tegangan untuk t = 0+ dan t = ! RangkumanDua elemen pasif penyimpan energi adalah kapasitor dan induktor. Apabila keduanyadiberieksitasiberupa sumber teganganatausumberarus, maka akan terjadi dua periode yaitu periode transien dan steady state ( atau keadaan mantap ).PenutupTest formatif1.11. Dalam rangkaian berikut ini nilai( )'