modul 1, bilangan real - belajar matematika smk · pdf filediharapkan kompetensi dasar dan...

1

MODUL 1

BILANGAN REAL

Disusun oleh:

Ani Ismayani S.Pd

2

KATA PENGANTAR

Tidak dapat dipungkiri kemampuan berhitung aritmatika banyak diperlukan dan

digunakan dalam aktivitas kehidupan kita sehari-hari. Konsep Operasi Bilangan

Real adalah salah satu kompetensi yang bisa melatih hal tersebut.

Modul pembelajaran ini dirancang untuk mengarahkan bagaimana siswa belajar

menguasai kompetensi Menerapkan Konsep Operasi Bilangan Real secara

mandiri, tanpa mengesampingkan kerjasama dalam bekerja kelompok.

Keberhasilan pembelajaran ditandai dengan adanya perubahan perilaku positif

pada diri siswa sesuai dengan standar kompetensi dan tujuan pendidikan.

Informasi tentang Konsep Operasi pada Bilangan Real disajikan secara garis

besar tetapi konseptual. Untuk pendalaman, dan perluasan materi, serta

pembentukan kompetensi kunci, dianjurkan siswa dapat memperoleh melalui

observasi di lapangan, studi referensi, diskusi, dan tutorial dengan guru.

Strategi penyajian modul dirancang agar belajar siswa tidak terfokus hanya

mempelajari satu sumber saja, tapi siswa didorong untuk melakukan eksplorasi

terhadap sumber-sumber belajar lain yang relevan. Melalui pendekatan ini,

diharapkan kompetensi dasar dan kompetensi kunci seperti kemampuan

komunikasi, kerjasama dalam tim, penguasaan teknologi informasi, pemecahan

masalah dan pengambilan keputusan dapat terbentuk pada diri siswa.

Cianjur, Januari 2006 Penyusun

3

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ....................................................................... i

DAFTAR ISI .................................................................................... ii

PETA KEDUDUKAN MODUL ......................................................... iii

GLOSARIUM ............................................................................. 2 iv

MODUL 1: OPERASI BILANGAN REAL

BAB I PENDAHULUAN

BAB II PEMELAJARAN

RENCANA BELAJAR SISWA ........................................................ 7

KEGIATAN BELAJAR .................................................................... 8

KEGIATAN BELAJAR 1 ........................................................... 8




BAB III EVALUASI

EVALUASI KOMPETENSI ............................................................. 36

KUNCI EVALUASI ......................................................................... 37

BAB IV PENUTUP .......................................................................... 38

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................ 39

4

PETA MODUL MATEMATIKA BIDANG KEAHLIAN : Rekayasa Perangkat Lunak KELOMPOK PROGRAM KEAHLIAN : Teknik 1 MATA DIKLAT : Matematika

Kode Kompetensi Sub Kompetensi Judul Modul Keterangan

A Menerapkan konsep operasi bilangan real

Menerapkan operasi pada bilangan real

Menerapkan operasi pada bilangan berpangkat

Menerapkan operasi pada bilangan irasional (bentuk akar)

Menggunakan konsep logaritma

Operasi Bilangan Real

Modul 1

B Menerapkan konsep aproksimasi

Menerapkan konsep kesalahan pengukuran

Menerapkan konsep operasi hasil pengukuran

Aproksimasi Modul 2

C Mengaplikasikan konsep persamaan dan pertidaksamaan

1. Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linear

2. Menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

3. Menyelesaikan sistem persamaan

Persamaan dan Pertidaksamaan

Modul 3

D Menerapkan konsep matriks

1. Mendeskripsikan macam-macam matriks

2. Menyelesaikan operasi matriks

3. Menentukan determinan dan invers

Matriks Modul 4

5

E Menerapkan konsep program linear

1. Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear

2. Menentukan model matematika dari soal ceritera (kalimat verbal)

3. Menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linear, model matematika

4. Menerapkan garis selidik

Program Linear Modul 5

F Menerapkan konsep logika matematika

1. Mendeskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan (kalimat terbuka)

2. Mendeskripsi kan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan ingkarannya

3. Mendeskripsi kan invers, konvers dan kontraposisi

1. Menerapkan modus ponens, modus tollens dan prinsip silogisme dalam menarik kesimpulan

Logika Matematika

Modul 6

6

G Menerapkan trigonometri

1. menentukan dan menggunakan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut

2. mengkonversi koordinat kartesius dan kutub

3. menggunakan aturan sinus dan kosinus

4. menentukan luas suatu segi tiga

5. menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut

6. menyelesaikan persamaan trigonometri

Trigonometri Modul 7

H Mengaplikasikan konsep fungsi

1. Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi

2. Menerapkan konsep fungsi linear

3. Menerapkan konsep fungsi kuadrat

4. Menerapkan konsep fungsi eksponen

5. Menerapkan konsep fungsi logaritma

6. Menerapkan konsep fungsi trigonometri

Relasi dan Fungsi

Modul 8

7

I Mengaplikasikan konsep barisan dan deret

1. Mengidentifikasi pola bilangan bilangan dan deret

2. Menerapkan konsep barisan dan deret aritmetika

3. Menerapkan konsep barisan dan deret geometri

Barisan dan Deret

Modul 9

J Menerapkan konsep geometri dimensi dua

1. Mengidentifikasi sudut

2. Menentukan keliling dan luas daerah bidang datar

3. menerapkan transformasi bangun datar

Geometri Dimensi Dua

Modul 10

K Menerapkan konsep geometri dimensi tiga

1. Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsurnya

2. Menghitung luas permukaan

3. Menerapkan konsep volum bangun ruang

4. menentukan hubungan antar unsur-unsur dalam bangun ruang

Geometri Dimensi Tiga

Modul 11

L

Menerapkan konsep vektor

1. menerapkan konsep vektor pada bidang datar

2. menerapkan konsep vektor pada bangun ruang

Vektor Modul 12

M Menerapkan konsep teori peluang

1. Mendeskripsikan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi

2. Menghitung peluang suatu kejadian

Peluang Modul 13

8

N Mengaplikasikan konsep statistika

1. Mengidentifikasi pengertian statistik, statistika, populasi dan sampel

2. Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram

3. Menentukan ukuran pemusatan data

4. Menentukan ukuran penyebaran data

Statistika Modul 13

O Menerapkan konsep irisan kerucut

1. menerapkan konsep lingkaran

2. menerapkan konsep parabola

3. menerapkan konsep elips

4. menerapkan konsep hiperbola

Irisan Kerucut Modul 14

9

BAB I

PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Modul siswa tentang Penerapan Konsep Operasi Bilangan Real ini terdiri terdiri 4

bagian proses pemelajaran yang meliputi 4 sub kompetensi, yaitu :

1. Operasi pada bilangan real. Kegiatan belajar 1 membahas macam-macam

bilangan real, lengkap dengan sifat-sifat dan operasi yang berlaku pada

bilangan real.

2. Operasi pada bilangan berpangkat (eksponen). Pada kegiatan belajar 2

bilangan berpangkat dijelaskan dengan konsep yang berlaku.

3. Operasi pada bilangan irasional (bentuk akar). Pada kegiatan belajar 3,

bilangan real diklasifikasikan ke dalam bilangan rasional atau irasional.

4. Logaritma. Kegiatan belajar 4 membahas bentuk bilangan logaritma,

termasuk di dalamnya dijelaskan sifat-sifat bilangan lgaritma.

5. Evaluasi untuk kompetensi Penerapan Konsep Operasi Bilangan Real di

alokasikan waktu 2 jam pelajaran.

Setelah mempelajari modul ini , kompetensi yang di harapkan adalah siswa

dapat menerapkan Konsep Operasi Bilangan Real dalam memecahkan

permasalahan yang berhubungan perhitungan-perhitungan teoritis maupun

aplikatif.

Pendekatan yang digunakan dalam modul ini adalah pendekatan siswa aktif

melalui metode: pemberian tugas, diskusi memecahkan masalah dan presentasi.

Guru merancang pemelajaran yang memberikan kesempatan seluas-luasnya

pada siswa untuk berperan aktif dalam membangun konsep secara mandiri

maupun bersama-sama. Peran guru lebih sebagai fasilitator, disamping sebagai

tutor.

B. Prasyarat

10

Kemampuan awal yang diperlukan untuk mempelajari modul ini adalah siswa

telah mempelajari dan mengerti konsep dasar mengenai bilangan yang sudah

dikenal sejak Sekolah Dasar.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

1. Penjelasan Bagi Siswa

a. Bacalah modul ini secara berurutan dari Kata Pengantar sampai Cek

Kemampuan, pahami benar isi dari setiap babnya.

b. Setelah anda mengisi Cek Kemampuan, apakah anda termasuk kategori

orang yang perlu mempelajari modul ini? Apabila anda menjawab YA, maka

pelajari modul ini. Jika TIDAK, Anda bisa langsung mengerjakan latihan-

latihan atau evaluasi di bagian akhir modul, maka acungan jempol layak bagi

Anda!

c. Laksanakan semua tugas-tugas yang ada dalam modul ini agar kompetensi

anda berkembang sesuai standar.

d. Buatlah rencana belajar anda dengan menggunakan format seperti yang ada

dalam modul, konsultasikan dengan guru dan institusi pasangan penjamin

mutu, hingga mendapat persetujuan.

e. Lakukan kegiatan belajar untuk mendapatkan kompetensi sesuai rencana

kegiatan belajar yang telah anda susun dan disetujui oleh guru dan institusi

pasangan penjamin mutu.

f. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, anda harus mulai dari menguasai

pengetahuan pendukung (Uraian Materi), melaksanakan tugas-tugas,

mengerjakan lembar latihan.

g. Dalam mengerjakan Lembar Latihan, anda jangan melihat Kunci Jawaban

terlebih dahulu sebelum anda menyelesaikan Lembar Latihan.

h. Laksanakan Lembar Kerja untuk pembentukan keterampilan psikomotorik

sampai anda benar-benar terampil sesuai standar. Apabila anda mengalami

kesulitan dalam melaksanakan tugas ini, konsultasikan dengan guru anda.

2. Peran Guru

11

a. Membantu siswa dalam merencanakan proses belajar.

b. Membimbing siswa melalui tugas-tugas pelatihan yang dijelaskan dalam

tahap belajar.

c. Membantu siswa dalam memahami konsep dan praktek baru dan menjawab

pertanyaan siswa mengenai proses belajar siswa.

d. Membantu siswa dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain

yang diperlukan untuk belajar.

e. Mengorganisasikan kegiatan belajar kelompok jika diperlukan.

f. Merencanakan seorang ahli/ pendamping guru dari tempat kerja untuk

membantu jika diperlukan.

g. Melaksanakan penilaian.

h. Menjelaskan kepada siswa mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan

merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya

i. Mencatat pencapaian kemajuan siswa.

D. Tujuan Akhir

Spesifikasi kinerja yang diharapkan dikuasai siswa setelah mengikuti seluruh

kegiatan belajar adalah siswa dapat :

1. Menelaah dan menganalisa berbagai himpunan bilangan yang termasuk

bilangan real

2. Mampu menerapkan operasi-operasi yang berlaku pada bilangan real

3. Menelaah dan menganalisa operasi pada bilangan berpangkat

4. Menelaah dan menganalisa operasi pada bilangan bentuk akar

5. Menelaah dan menganalisa operasi pada bilangan logaritma

Berdasarkan spesifikasi kinerja diatas, kemungkinan aplikasi konsep operasi

bilangan real secara nyata di dalam kehidupan sehari-hari dan dunia kerja

diantaranya aplikasi operasi hitung dalam berbagai transaksi bisnis atau

perdagangan, perhitungan-perhitungan yang membutuhkan ketelitian dengan

akurasi tertentu dengan menggunakan konsep eksponen atau logaritma, dan

sebagainya.

12

F. Cek Kemampuan

NO.

PERTANYAAN

YA

TIDAK

1. Apakah Anda pernah mendengar istilah “bilangan real”

2. Tahukah Anda operasi yang berlaku pada bilangan real

3. Dapatkah Anda melakukan operasi penjumlahan,

pengurangan, perkalian, dan pembagian pada bilangan real

4. Tahukah Anda definisi bilangan berpangkat

5. Tahukah Anda definisi bilangan bentuk akar

6. Tahukah Anda definisi logaritma

Apabila Anda menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas,

pelajarilah materi tersebut pada modul ini. Apabila Anda menjawab

“YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah dengan

mengerjakan tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul

ini.

13

BAB II

PEMELAJARAN

A. Rancangan belajar Siswa

Sebagaimana telah diinformasikan dalam pendahuluan bahwa modul ini hanya

sebagian dari sumber belajar yang dapat anda pelajari untuk menguasai

kompetensi Konsep Bilangan Real untuk mengembangkan kompetensi anda

dalam substansi non instruksional, anda perlu melatih diri. Aktifitas yang

dirancang dalam modul ini selain mengembangkan kompetensi matematika juga

mengembangkan kompetensi substansi non instruksional. Untuk itu maka dalam

menggunakan modul ini anda harus melaksanakan tugas-tugas yang telah

dirancang dalam modul ini.

1. Buatlah rencana belajar anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang

telah disusun oleh guru, untuk menguasai kompetensi Konsep Logika

Matematika, dengan menggunakan format sebagai berikut :

NO.

KEGIATAN

PENCAPAIAN ALASAN PERUBAHAN BILA

DIPERLUKAN

PARAF

TGL JAM TEMPAT SISWA GURU

Mengetahui, Cianjur, .............................. 2006

Guru Pembimbing Siswa

(.............................) (.............................)

14

2. Rumuskan hasil belajar anda sesuai standar bukti belajar yang telah

ditetapkan.

a. Untuk penguasaan pengetahuan, anda dapat membuat suatu ringkasan

menurut pengertian anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan

dengan kompetensi yang pernah anda pelajari. Selain ringkasan anda

juga dapat melengkapi dengan kliping terhadap informasi yang relevan

dengan kompetensi yang sedang anda pelajari.

b. Tahapan pekerjaan dapat anda tuliskan dalam diagram alir yang

dilengkapi dengan penjelasan.

c. Produk hasil praktik kegiatan ini produksi dapat anda kumpulkan berupa

contoh dan bentuk fisualisasinya.

d. Setiap tahapan proses akan diakhiri, lakukanlah diskusi dengan guru

pembimbing untuk mendapatkan persetujuan, dan apabila ada hal-hal

yang harus dibetulkan maka anda harus melaksanakan saran guru

pembimbing anda.

A. KEGIATAN BELAJAR

1. Kegiatan Belajar 1 (Bilangan Real)

a. Tujuan Kegiatan Belajar 1

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, diharapkan Anda dapat:

1) Megelompokkan bilangan-bilangan ke dalam berbagai himpunan

bilangan

2) Melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan real

3) Melakukan operasi perkalian dan pembagian pada bilangan rel

4) Melakukan konversi bilangan pecahan ke persen dan sebaliknya

5) Menghitung perbandingan skala

b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 1

1) Berbagai sistem bilangan

15

Sistem matematika adalah himpunan unsur-unsur dengan operasi yang

didefinisikan. Operasi-operasi yang telah kita kenal antara lain:

" "," "," "," "," ",+ − × ÷ dan logaritma. Sedangkan sebagian himpunan

dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan.

Himpunan-himpunan bilangan secara skematis terlihat seperti pada

bagan berikut:

Gambar 1.1

Himpunan bilangan kompleks

Himpunan

Bilangan Real

Himpunan

Bilangan Imajiner

Himpunan

Bilangan Rasional

Himpunan

Bilangan Irasional

Himpunan

Bilangan Bulat

Himpunan

Bilangan Pecahan

Himpunan

Bilangan cacah

Himpunan

Bilangan Bulat negatif

Himpunan

Bilangan Asli Nol

(1) Himpunan

Bilangan Prima

Himpunan

Bilangan Komposit

16

2) Pengertian Bilangan Real

Apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, kita

mulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana berikut ini.

Bilangan-bilangan bulat dan rasional

Diantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan-

bilangan asli (� = Natural),

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 2

Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, teman-teman

kita, uang kita, dan lain sebagainya. Jika kita gandengkan negatifnya dan

nol, kita akan peroleh bilangan-bilangan bulat ( � = dari bahasa Jerman,

Zahlen):

2, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 2

Bila kita mencoba mengukur panjang, berat benda, atau tegangan listrik,

bilangan-bilangan bulat tidak akan memadai. Bilangan ini terlalu kurang

untuk memeberikan ketelitian yang cukup dalam sebuah pengukuran.

Kita dituntut untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari

bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan-bilangan seperti:

3 7 21 19 16 17, , , , ,

4 8 5 2 2 1

− −−

,2

Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk m

n, dimana m dan

n adalah bilangan bulat dan 0n ≠ , disebut bilangan-bilangan rasional

(� = Quotient ).

Apakah bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Fakta

yang mengejutkan ini ditemukan pertama kali oleh orang Yunani kuno

beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa

meskipun 2 merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku

dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi

17

dua bilangan bulat. Jadi 2 adalah suatu bilangan tak rasional

(irasional). Demikian juga 33, 5, 7,π

Jika kita belum terbiasa untuk bisa membedakan bilangan rasional dan

bilangan irasional secara langsung, maka ada satu ciri khusus yang yang

bisa kita jadikan pedoman untuk membedakan keduanya.

Sekarang, coba periksa dengan menggunakan kalkulator nilai dari

1 2, , 2, .

7 3π . Akan lebih bagus jika kalkulator yang digunakan memiliki

digit lebih banyak dibanding kalkulator biasa, atau Anda bisa

menggunakan kalkulator yang tersedia di dalam setiap program windows

di komputer Anda, yang ketelitiannya bisa mencapai 34 digit.

Setelah diperiksa, diperoleh sebagai berikut:

10,14285714285714285714285714285714

7=

20,66666666666666666666666666666667

3=

2 1, 4142135623730950488016887242097=

3,1415926535897932384626433832795π =

Apabila kita perhatikan, dua bilangan yang pertama yaitu 1

7 dan

2

3

memiliki bentuk desimal yang bilangan-bilangannya berulang dengan

urutan tertentu. Sedangkan dua bilangan terakhir yaitu 2 dan π (pi)

bentuk bilangan desimalnya tidak berulang (sembarang).

Coba periksa juga bilangan-bilangan lainnya, apakah termasuk bilangan

rasional ataukah irasional!

Bilangan-bilangan real

Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur

panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan

bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah

bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada

18

garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi

lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan

atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang

tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang dihasilkan diacu

sebagai garis real. Perhatikan gambar!

Kedudukan bilangan real dalam sistem bilangan dapat kita lihat dalam

diagram Gambar 1.1.

Pertanyaan

Dengan mengetahui anggota dari masing-masing himpunan bilangan

yang termasuk kelompok bilangan real, bagaimanakah hubungan masing-

masing himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan

rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks jika kita gambarkan dalam

diagram venn?

3) Operasi pada Bilangan Real

Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian

a) Operasi penjumlahan

Contoh:

1. 4 6 10+ =

2. ( )4 6 2+ − = −

3. 4 6 2− + =

4. ( )4 6 10− + − = −

b) Operasi pengurangan

dengan , ,a b c a b c+ = ∈�

19

Contoh:

1. 6 4 2− =

2. ( )6 4 6 4 10− − = + =

3. ( )6 4 6 4 10− − = − + − = −

c) Operasi perkalian

Contoh:

1. 6 4 24⋅ =

2. ( )6 4 24⋅ − = −

3. ( ) ( )6 4 24− ⋅ − =

d) Operasi pembagian

Contoh:

1. 8 1

8 24 4

= × =

2. 4 1 5

4 : 4 201 5 1

5

= = ⋅ =

3.

11 1 1 3 3 12: 1

12 3 2 1 2 2

3

= = ⋅ = =

4.

11 1 1 12:32 3 2 3 6

= = × =

1 dengan , ,

aa c a b c

b b= ⋅ = ∈�

( ) dengan , ,a b c a b c a b c− = ⇔ + − = ∈�

dengan , ,a b c a b c⋅ = ∈�

20

Pengubahan pecahan ke desimal, desimal ke persen, dan

sebaliknya

a) Mengubah pecahan biasa ke desimal

Contoh:

1. 2 2 2 4

0,45 5 2 10

×= = =

×

2. 5 5 4 20

0,225 25 4 100

×= = =

×

3. 1 1 125 125

0,1258 8 125 1000

×= = =

×

b) Mengubah pecahan desimal ke persen

Contoh:

1. 0,3 0,3 100% 30%= × =

2. 0,05 0,05 100% 5%= × =

c) Mengubah persen ke pecahan dan sebaliknya

Contoh:

Nyatakan ke dalam pecahan atau ke dalam persen!

1. 25 1

25%100 4

= =

2.

2 5016

2 50 13 316 %3 100 100 300 6

= = = =

3. 3 75

75%4 100

= =

4. 1 20

20%5 100

= =

Menghitung persentase

a) Komisi

Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat

penjualan yang dilakukan

Contoh:

21

Seorang salesman akan mendapatkan komisi sebesar 15 % jika ia

mampu menjual barang senilai Rp. 2.000.000,00. tentukan besarnya

komisi yang diterima?

Jawab:

Komisi 15% Rp 2.000.000,00= ×

15

Rp 2.000.000,00100

= ×

Rp 300.000,00=

∴ Jadi besarnya komisi yang diterima oleh salesman itu

sebesarRp 300.000,00 .

b) Diskon

Diskon adalah potongan harga yang diberikan

Contoh:

Menjelang miladnya, sebuah toko serba ada memberikan diskon

sebesar 25% untuk semua produk. Jika kita berbelanja senilai Rp.

800.000,00, berapa kita harus membayar?

Jawab:

Diskon 25% Rp. 800.000,00= ×

25

Rp. 800.000,00100

= ×

Rp. 200.000,00=

∴ Jadi, kita harus membayar sebesar:

Rp. 800.000,00 Rp. 200.000,00 Rp. 600.000,00− =

c) Laba dan rugi

Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau biaya

pembelian. Dirumuskan sebagai berikut:

Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau biaya

pembelian. Rumusannya sebagai berikut:

Laba = Penjualan - Pembelian

Rugi = Pembelian - Penjualan

22

Contoh:

Sebuah barang dibeli dengan harga Rp. 2.000.000,00, dan di jual

dengan harga Rp. 2.400.000,00. Hitunglah persentase keuntungan

dari harga pembelian dan dari harga penjualan!

Jawab:

Laba =Rp. 2.400.000,00 Rp. 2.000.000,00 Rp. 400.000,00− =

Persentase keuntungan (laba) dari harga beli:

Rp. 400.000% 100% 20%

Rp. 2.000.000p = × =

Persentase keuntungan (laba) dari harga penjualan:

Rp. 400.000% 100% 16,7%

Rp. 2.400.000p = × =

4) Sifat-sifat operasi bilangan real

Waktu SMP kita sudah mengenal operasi-operasi yang berlaku pada

bilangan real berikut sifat-sifatnya, dan sekarang kita tengok kembali

sifat-sifat yang berlaku pada bilangan real dengan operasi “penjumlahan”

dan “perkalian”.

Untuk setiap , ,a b c∈� , beralku sifat-sifat berikut;

Penjumlahan:

1. Sifat tertutup pada penjumlahan;

,a b r r+ = ∈�

2. Sifat komutatif pada penjumlahan

a b b a+ = +

3. Sifat asosiatif pada penjumlahan

( ) ( )a b c a b c+ + = + +

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

( )

( ) (distributif kiri)

jika ada operasi perkalian (distributif kanan)

a b c ab ac

b c a ab ac

+ = +

+ = +

23

5. Sifat identitas pada penjumlahan (0 adalah elemen identitas atau

elemen netral)

0 0a a a+ = + =

6. Sifat invers pada penjumlahan

( ) ( ) 0a a a a+ − = − + =

Perkalian:

1. Sifat tertutup pada perkalian

,a b r r× = ∈�

2. Sifat komutatif pada perkalian

a b b a× = ×

3. Sifat asosiatif pada perkalian

( ) ( )a b c a b c× × = × ×

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

( )

( ) (distributif kiri)

jika ada operasi penjumlahan (distributif kanan)

a b c ab ac

b c a ab ac

+ = +

+ = +

5. Sifat identitas pada perkalian (1 adalah elemen identitas perkalian)

1 1a a a× = × =

6. Sifat invers pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai

invers.

1 1

1a aa a

× = × = (untuk 0a ≠ )

1

0 10

× ≠ (tidak ada/tidak didefinisikan)

Catatan:

Untuk selanjutnya kita sepakati jangan sekali-kali membagi dengan nol,

karena kita tidak mungkin membuat pengertian dari lambang-lambang ini

c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 1

24

• Bilangan-bilangan real adalah Sekumpulan bilangan (rasional dan

irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan

negatifnya dan nol.

• Sifat-sifat operasi penjumlahan pada bilangan real diantaranya:

tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, identitas (0 adalah elemen

identitasnya), invers (lawan bilangannya).

• Sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan real diantaranya: tertutup,

komutatif, asosiatif, distributif, identitas (1 adalah elemen identitasnya).

• Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat

penjualan yang dilakukan.

• Diskon adalah potongan harga yang diberikan.

• Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau biaya

pembelian.

• Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau biaya

pembelian.

d. Tugas Kegiatan Belajar 1

Diskusikan soal-soal LKS 1 dengan anggota kelompok anda, kemudian

presentasikan hasilnya, sesuai dengan yang ditugaskan oleh guru.

e. Tes Formatif 1 (waktu 15 menit)

1. Nyatakan himpunan berikut dengan cara mendaftar semua

anggotanya!

a) { }3 10,A x x x= < < ∈�

b) { }5,B x x x= ≥ − ∈�

c) { }2 15, bilangan primaC x x x= ≤ < ∈

2. Manakah bilangan di bawah ini yang termasuk bilangan rasional dan

bilangan irasional?

a) 5− b) 5

25

c) 1

5 d) 9

e) 1,3232

3. Nyatakan pecahan berikut ke dalam bentuk persen atau sebaliknya!

a) 3

5

b) 5

20

c) 12,5%

d) 175%

e) 13 %4

4. Frodo menjual tanah pamannya, Mr. Bilbo, seharga Rp.

75.000.000,00. Jika Mr. Bilbo memberinya komisi 1

2 %2

, berapakah

komisi yang diterima Frodo?

5. Berapa persen diskon yang diberikan “Toko Little S” jika harga

barang Rp. 2.500.000,00 bisa dibayar dengan harga Rp.

2.325.000,00?

f. Kunci Jawaban Tes Formatif 1

g. Lembar Kerja Siswa 1 (waktu 45 menit)

Dalam soal nomor 1-15, sederhanakan atau cari nilai dari bilangan-

bilangan berikut. Sedikit manipulasi mungkin diperlukan sehingga

hasilnya akan lebih mudah diperoleh.

1. 3,056 5,301− =

2. 3 1 11 3 114 3 6+ − =

3. 2 1

23 53 2× =

4. 23,005 101,5× =

5. 3 1

4 : 25 10

=

6. 4,05 : 0,001=

7. ( )4 3 8 12 6− − − =

8. ( )2 3 2 4 8− − =

9. 5 1 2

6 4 3

− + =

10. 3 5 2

4 8 12

− − =

11. 1 1 1 1

3 4 3 6

− + =

12. 1 2 1 1

3 5 2 5

− − − =

26

13.

1 3 7

2 4 81 3 7

2 4 8

− +=

+ −

14. 2

11

22

− =+

15. 2

21

22

+ =−

2. Kegiatan Belajar 2 (Bilangan Berpangkat)


Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar 2, Anda diharapkan :

1. Memiliki pemahaman tentang bilangan berpangkat

2. Dapat menyelesaikan soal-soal dengan menggunakan sifat-sifat

eksponen

3. Dapat menentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponen


Bentuk pangkat, akar, dan logaritma bukan hal asing bagi kita. Kita

sudah mengenal dan mempelajarinya di SMP. Pada bab ini konsep

tersebut akan kita pelajari kembali tentu dengan beberapa

pengembangan.

Konsep-konsep tersebut tentunya akan bermanfaat sekali jika kita

pelajari dngan baik, sebab ada beberapa permasalahan dalam

kehidupan kita sehari-hari yang menggunakan konsep tersebut.

1) Bilangan Berpangkat (eksponen)

Kenyataan menunjukkan bahwa kebanyakan orang berkeinginan untuk

menggunakan cara yang paling simpel dalam berbagai hal, termasuk

cara menuliskan suatu bilangan.

Andai ditemukan kasus sebagai berikut. Anda diminta menuliskan cara

yang paling simpel untuk hal berikut!

a) 2 2 2 2 ... 2 × × × × × (seratus kali)

27

b) 1 2 3 4 ... 100 × × × × × (sampai dengan 100)

c) 2 3 10 15 43× × × × (perkalian 5 bilangan sembarangan)

d) 1 2 3 100...x x x x+ + + + (sampai dengan 100)

e) 1 2 3 100...x x x x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (sampai dengan 100)

Penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

a) Ditulis dengan cara eksponen, 1003 (3 pangkat 100)

b) Ditulis dengan notasi faktorial, 100! (100 faktorial)

c) Tidak ada cara umum (tidak beraturan)

d) Ditulis dengan mengunakan notasi sigma, 100

1

i

i

x=∑

e) Ditulis dengan mengunakan notasi pi, 100

1i

ixπ

=

Dari keempat model cara penulisan singkat (bentuk umum) di atas, yang

akan kita pelajari sekarang adalah cara penulisan dalam bentuk

perpangkatan (eksponen).

Pengertian bilangan berpangkat

Kita ulangi cara penulisan seperti soal nomor (a) di atas.

32 2 2 2× × =

44 4 4 4 4× × × =

5a a a a a a× × × × =

Dari cara penulisan itu dapat kita simpulkan:

Keterangan:

� na dibaca a pangkat n

� a (ruas kiri) disebut bilangan pokok, berasal dari a (ruas kanan)

yang disebut faktor.

� n disebut eksponen (pangkat), menunjukkan banyaknya faktor a

n buah faktor a

...na a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1442443

28

Selanjutnya 1a a= , dan nanti kita akan menemukan bahwa 0 1a = .

Sifat-sifat bilangan berpangkat

Contoh Generalisasi

1. 3 22 2 2 2 2 2 2× = ⋅ ⋅ × ⋅

3 22 +=

52=

2. 5 3 2 2 2 2 22 : 2

2 2 2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅

5 32 −=

22=

3. ( )32 2 2 24 4 4 4= × ×

2 2 24 + +=

64=

4. ( )32 4 2 4 2 4 2 4⋅ = ⋅ × ⋅ × ⋅

2 2 2 4 4 4= ⋅ ⋅ × ⋅ ⋅

3 52 2= ×

5. ( )

3 3 3

33 2

2 2 2

4 4 2

= =

3

6 3

2 1 1

2 2 8= = =

6. 3

3 3

3

22 : 2 1

2= =

2 2 2

2 2 2

⋅ ⋅=

⋅ ⋅

3 3 02 2−= =

7. 3

3 5

5

22 : 2

2=

2 2 2

2 2 2 2 2

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

m n m na a a +× =

:m

m n m n

n

aa a a

a

−= =

( )np pna a=

( )n n na b a b⋅ =

( )0 1 0a a= ≠

1 n

na

a

− =

; 0

n n

n

a ab

b b

= ≠

29

3 5 2

2

12 2

2

− −= = =

8.

32 2 2 2 2

323 3 3 3 3 =aa a a a a

⋅ = × × =

( )3

3 3 3 32 2 2 2a a a a= × ×

3 6 2a a= =

2

3 23a a=

Contoh:

Hitung atau sederhanakan bentuk berikut!

1. 5 311 11×

2. 9 3a a×

3.

7 51 1

5 5

×

4. 3 10:b b

5. 7 4

4 3

a b c

a b c

⋅ ⋅⋅ ⋅

Jawab:

1. 5 3 5 3 811 11 11 11+× = =

2. 9 3 9 3 12a a a a+× = =

3.

7 5 7 5 12

12

12

1 1 1 1 15

5 5 5 5 5

+− × = = = =

4. 3 10 3 10 7:b b b b− −= =

5. 7 4

7 4 1 3 4 1 3 2 3

4 3

a b ca b c a b c

a b c

− − − −⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅

Persamaan eksponen

Definisi:

Persamaan eksponen adalah persamaan yang didalamnya terdapat eksponen

(pangkat) yang berbentuk suatu fungsi dalam x.

m

n mna a=

30

Cara penyelesaiannya:

Tipe 1

Contoh:

Selesaikan!

1. 2 1 95 5x+ =

2. 2 4 1

5125

x x− =

Jawab:

1. 2 1 95 5 2 1 9x x+ = ⇔ + =

2 9 1x⇔ = −

8

42

x⇔ = =

{ }4HP∴ =

2. 2 24 4 31

5 5 5125

x x x x− − −= ⇔ =

2 4 3x x⇔ − = −

2 4 3 0x x⇔ − + =

( )( )1 3 0x x⇔ − − =

1 21; 3x x⇔ = =

{ }1,3HP∴ =

Tipe 2

Contoh:

Selesaikan!

1. 2 1 25 5x x+ −=

2. 2 4 1

5125

x x− =

Jawab:

( ) ( )f x pa a f x p= ⇔ =( )

( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x= ⇔ =

31

1. 2 1 25 5 2 1 2x x x x+ −= ⇔ + = −

2 2 1x x⇔ − = − −

3x⇔ = −

{ }3HP∴ = −

2. ( )

2 23 4

6 2 6

1 15 5

25 5

x x x x

x x

− −− −

= ⇔ =

( )2 2 635 5xx x − −−⇔ =

( )2 3 2 6x x x⇔ − = − −

2 3 6 2x x x⇔ − = − +

2 3 2 6 0x x x⇔ − − + =

2 5 6 0x x⇔ − + =

( ) ( )2 3 0x x⇔ − − =

2 atau 3x x⇔ = =

{ }2,3HP∴ =

c. Rangkuman :

• Bilangan berpangkat (eksponen) didefinisikan sebagai:

n buah faktor a

...na a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1442443

� a (ruas kiri) disebut bilangan pokok, berasal dari a (ruas kanan) yang

disebut faktor.

� n disebut eksponen (pangkat), menunjukkan banyaknya faktor a

• Sifat-sifat ekponen diantaranya:

� m n m na a a +× =

� :m

m n m n

n

aa a a

a

−= =

� ( )np pna a=

� ( )n n na b a b⋅ =

� ; 0

n n

n

a ab

b b

= ≠

� ( )0 1 0a a= ≠

� 1 n

na

a

− =

� m

n mna a=

32

• Cara menyelesaikan persamaan eksponen:

� Tipe 1: ( ) ( )f x pa a f x p= ⇔ =

� Tipe 2: ( ) ( ) ( ) ( )f x g x

a a f x g x= ⇔ =

d. Tugas Kegiatan Belajar 2

Kerjakan dan diskusikan soal-soal Lembar Kerja 2 secara berkelompok,

kemudian presentasikan hasilnya.

e. Tes Formatif 2 (waktu 45 menit)

1. Hitunglah!

a) 9 610 10−×

b)

3 71 1

5 5

×

c)

5

3 122

⋅

d)

2

3 228 9

3

−− ⋅ ⋅

2. Sederhanakan bentuk berikut ini!

a) 9 6a a−×

b) ( )32 52p q

c) 10 2 5

7 8

a b c

a bc

d) 32 2x x

3. Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut ini!

a) 6 3 2 113 3x x− +=

b) 13 22 128x+ =

c) 2 65 5 5x− =

d) 3 2 20125 25x x− −=

f. Kunci Jawaban Tes Formatif 2

g. Lembar Kerja Siswa 2

1) Lengkapi pernyataan-pernyataan berikut ini sehingga diperoleh

pernyataan yang benar!

1. Perhatikan sifat m

m n

n

aa

a

−= untuk 0a ≠ dan m n≥ .

33

2. Sifat pada Langkah 1 menunjukkan bahwa hanya berlaku untuk m n≥ .

Jika ditetapkan m dan n dengan m n< , misalnya 6m = dan 8n = ,

maka sifat pada langkah 1 memberikan:

6

... ... ...

8

aa a

a

− −= = (*)

3. sekarang hitunglah 6

8

a

a dengan menyatakan 6a dan 8a ke dalam

perkalian berulang a .

6

...

8

...

...

...

faktor

faktor

a a aa

a a a a a

× × ×

=× × × ×

14243

1442443

Sederhanakan faktor yang sama pada pembilang dan penyebut di

ruas kanan, dan tulis hasilnya.

6

8 ...

1a

a a= (**)

4. Ruas kiri persamaan (*) dan (**) adalah sama, sehingga Anda dapat

menyamakan ruas kanannya dan diperoleh:

...

...

1a

a

− = (***)

Ulangi langkah 2 sampai dengan Langkah 4 untuk nilai m dan n lainnya

dengan m n< . Perhatikan persamaan (***) yang telah Anda peroleh!

3. Kegiatan Belajar 3 (Bilangan Bentuk Akar)


Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :

1) Memahami bentuk dan pengertian bilangan bentuk akar

2) Memahami sifat-sifat bilangan bentuk akar

3) Melakukan berbagai operasi pada bilangan bentuk akar

34


1) Bilangan bentuk akar

Definisi bilangan bentuk akar

Disebut bilangan bentuk akar, ini berasal dari persamaan nb a= .

Keterangan:

� n a disebut radikal atau bentuk akar

� a disebut radikan atau bilangan di bawah tanda akar

� n disebut indeks (penunjuk akar) yang selanjutnya disebut pangkat

akar, dengan 1,n n> ∈� .

Catatan:

a) 29 3 3= =

3 33 125 5 5= =

b) ( )33 38 2 2− = − = −

( )55 5243 3 3− = − = −

c) 4− = tidak ada

(khayal/ imajiner)

9− = tidak ada

(khayal/ imajiner)

Sebab: ( )22 4=

( )22 2− =

( )2? 4= − (tidak ada)

Operasi pada bilangan bentuk akar

Perhatikan beberapa ketentuan berikut ini!

nb a=

Akar pangkat n dari suatu

bilangan positif adalah positif


bilangan negatif adalah negatif

untuk n ganjil


bilangan negatif tidak ada jika n

genap

Bilangan m a dan n b disebut senama jika dan hanya

jika m n= .

35

(penting untuk prinsip perkalian dan pembagian)

Contoh:

a. 2,2 3,3 5, 8 adalah bilangan-bilangan yang senama

b. 3 33 32, 3, 2 8, 21 adalah bilangan-bilangan yang senama

(penting untuk prinsip penjumlahan dan pengurangan)

Contoh:

a. 2,3 2, 6 2,10 2− adalah bilangan-bilangan yang sejenis

b. 3 3 3 333,5 3,7 3, 32

− adalah bilangan-bilangan yang sejenis

1. Penjumlahan/ pengurangan bilangan bentuk akar

Contoh:

a. ( )6 2 5 2 3 2 6 5 3 2 8 2+ − = + − =

b. ( )3 3 3 3 3 310 2 5 2 3 2 2 10 5 3 1 2 3 2− − + = − − + =

c. 5 332 8 2 2− = −

22 2 2 2= −

4 2 2 2 2 2= − =

d. 2 29 12 2 75 9 2 3 2 5 3− = ⋅ − ⋅

9 2 3 2 5 3= ⋅ − ⋅

18 3 10 3 8 3= − =

Bilangan m a dan n b disebut sejenis jika dan hanya

jika m n= dan a b= .

Dua atau lebih bilangan bentuk akar bisa dijumlahkan/

dikurangkan jika dan hanya jika akarnya sejenis.

36

Perhatikan bahwa untuk contoh c dan d diperlukan penyederhanaan

terlebih dahulu sehingga akar-akarnya menjadi sejenis sehingga

operasi penjumlahan dan pengurangan bisa dilakukan.

2. Perkalian/ pembagian bilangan bentuk akar

Contoh:

a. 26 3 18 3 2 3 2× = = ⋅ =

b. 3 33 33 3 3 3 35 2 2 4 2 5 2 4 2 40 2 2 5 2 2 5 4 5× × = ⋅ ⋅ = = ⋅ = ⋅ =

c. 6 62 33 5 7 5 7× = ×

6 6 625 343 8575= × =

d. 10 105 25 10 102 2 2 2 2 2 2 2× × = × ×

10 5 22 2 2 2= × ×

10 58 42 2 2 2= =

c. Rangkuman :

• Definisi bilangan bentuk akar

Disebut bilangan bentuk akar, ini berasal dari persamaan nb a= .

Keterangan:

� n a disebut radikal atau bentuk akar

� a disebut radikan atau bilangan di bawah tanda akar

� n disebut indeks (penunjuk akar) yang selanjutnya disebut pangkat

akar, dengan 1,n n> ∈� .

• Bilangan m a dan

n b disebut senama jika dan hanya jika m n= .

nb a=

Dua atau lebih bilangan bentuk akar bisa dikalikan/

dibagi jika dan hanya jika akarnya senama.

37

• Bilangan m a dan n b disebut sejenis jika dan hanya jika m n= dan a b= .

• Dua atau lebih bilangan bentuk akar bisa dijumlahkan/ dikurangkan jika

dan hanya jika akarnya sejenis.

• Dua atau lebih bilangan bentuk akar bisa dikalikan/ dibagi jika dan hanya

jika akarnya senama.

4. Kegiatan Belajar 4 (Logaritma)


Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :

1) Memahami pengertian logaritma

2) Memahami sifat-sifat logaritma

3) Menyelesaikan soal-soal dengan menggunakan sifat-sifat logaritma

4) Menentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma


1) Logaritma

Ketika Anda berbisik, intensitas bunyi yang dihasilkan sangatlah kecil.

Berbeda dengan suara halilintar ketika hujan terjadi yang bisa

menghasilkan intensitas bunyi yang sangat besar.

Allah swt. telah menganugerahkan kita sepasang telinga, yang dengan

kepekaannya hingga mampu mendengar bunyi dalam selang intensitas

yang cukup lebar, yaitu mulai dari 10-12 W.m-2 hingga 1 W.m-2, atau

dalam rentang 10-12. Supaya rentang intensitas yang dapat didengar

oleh telinga, yaitu 10-12 dapat dilukiskan dalam kertas milimiter dengan

rentang pengukuran hanya 103, digunakanlah skala logaritma.

Hal yang sama akan Anda temui dalam ilmu kimia ketika Anda belajar

tentang keseimbangan ionik dalam larutan asam basa. Ukuran tingkat

keasaman larutan dinyatakan dalam pH, yang didefiniskan dengan

menggunakan konsep logaritma. Dalam bidang ekonomi pun, ada

konsep logaritma digunakan.

38

Hal tersebut, menggambarkan betapa perlunya Anda memahami

logaritma dengan baik.

Definisi logaritma

dengan syarat: 0; 1a a> ≠ dan 0b > .

Perhatikan, bahwa logaritma adalah invers (kebalikan) dari eksponen.

Bentuk logaritma

a isebut bilangan pokok

b isebut numerus

c disebut hasil

Bentuk eksponen

a disebut bilangan pokok

b disebut pangkat (eksponen)

c disebut hasil

Contoh:

Hitunglah logaritma (soal a dan b) dan cari nilai x (soal c dan d)!

a. log10.000

b. 2 1log

2

c. 2 log 3x =

d. 4 1log

2x =

Jawab:

a. 4log10.000 4, sebab 10 10.000= =

b. 2 11 1log 1, sebab 2

2 2

−= − =

c. 2 3log 3 2 8x x= ⇔ = =

d. 1

4 21

log 42

x x= ⇔ =

4 2x⇔ = =

Sifat-sifat logaritma

loga cb c a b= ⇔ =

39

1. Sifat perkalian

2. Sifat pembagian

3. Sifat pemangkatan

4. Sifat pengubahan bilangan pokok

Contoh:

Jika log 2 0,301= , log3 0, 477= , log5 0,699= , hitung:

a. log 6

b. log18

c. 9

log4

Jawab:

a. log 6 log 2 3 log 2 log3 0,301 0, 477 0,778= ⋅ = + = + =

b. ( )2 2log18 log 2 3 log 2 log3 log 2 2log3 0,301 2 0,477 1,255= ⋅ = + = + = + =

c. ( ) ( )2 29log log9 log 4 log3 log 2 2log3 2log 2 2 0,477 2 0,301 0,352

4= − = − = − = − =

c. Rangkuman :

• Logaritma adalah invers dari eksponen

loga cb c a b= ⇔ =

a disebut bilangan pokok, dengan 0 dan 1a a> ≠

b disebut numerus, dengan 0 b >

( )log log loga a ab c b c× = +

log log loga a abb c

c= −

log loga n ab n b= ⋅

loglog

log

ca

c

bb

a=

1log

log

a

bb

a=

logc b

40

c disebut hasil logaritma, bisa positif, nol, atau negatif

• Sifat-sifat logaritma:

o Sifat perkalian ( )log log loga a ab c b c× = +

o Sifat pembagian log log loga a abb c

c= −

o Sifat pemangkatan log loga n ab n b= ⋅

o Sifat pengubahan bilangan pokok log

loglog

ca

c

bb

a=

41

DAFTAR PUSTAKA

Putra, 2004, Matematika SMA Kelas 1 Jilid 1B, Jakarta: PT Gramedia

Widiasarana Indonesia.

Tim Penulis Matematika, 1995, Matematika SMU 1B Edisi Revisi, Bandung: PT

Remaja Rosdakarya.

Tim Penulis Matematika, 2004, Matematika Untuk SMK Kelas 1, Dinas

Pendidikan Propinsi Jawa Barat.

modul 1, bilangan real - belajar matematika smk · pdf filediharapkan kompetensi dasar dan...

Documents