model verhults
DESCRIPTION
model matematik dalam biologiTRANSCRIPT
-
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Manusia tidak lepas dari berbagai macam permasalahan dalam kehidupan di
dunia. Permasalahan permasalahan tersebut menyangkut berbagai aspek, dimana
dalam penyelesaiannya diperlukan sebuah pemahaman melalui suatu metode dan
ilmu bantu tertentu. Salah satu ilmu bantu yang dapat digunakan adalah
matematika.
Matematika merupakan alat untuk menyederhanakan penyajian dan
pemahaman masalah. Matematika mempunyai bahasa dan aturan yang jelas,
sistematis dan keterkaitan antar konsep yang kuat. Oleh karena itu, banyak
permasalahan di luar bidang matematika yang bisa diselesaikan dengan mudah
menggunakan matematika. Salah satu cabang dari ilmu matematika adalah
pemodelan matematika. Model matematika adalah himpunan dari rumus dan atau
persamaan berdasarkan fenomena nyata dan dibuat dengan harapan bisa
merepresentasikan dengan baik fenomena nyata tersebut menurut ilmu yang
melatarbelakanginya. Melalui model matematika, matematika berusaha
merepresentasikan berbagai fenomena yang terjadi di alam ini. Dalam
perkembangannya, model matematika telah digunakan dalam ilmu fisika, biologi,
kesehatan dan bahkan ilmu-ilmu sosial.
Salah satu persoalan paling penting di dunia adalah proyeksi populasi.
Ukuran dan pertumbuhan populasi dalam suatu negara secara langsung
mempengaruhi keadaan ekonomi, politik, budaya, pendidikan dan lingkungan dari
negara tersebut dan menentukan eksplorasi dan kebutuhan sumber daya alam.
Tidak ada yang ingin menunggu sampai sumber daya ini habis karena ledakan
populasi.
Dengan dibentuknya sebuah model matematika, proyeksi populasi tiap
tahun dapat dilakukan berdasar data sensus penduduk yang sudah ada, sehingga
tidak perlu melaksanakan sensus penduduk tiap tahun. Pemerintah dan sektor
perusahaan selalu membutuhkan gambaran akurat tentang ukuran yang akan
-
2
datang dari bermacam entitas seperti populasi, sumber daya, kebutuhan dan
konsumsi untuk perencanaan kegiatan.
Salah satu model matematika untuk pertumbuhan populasi adalah model
logistik pertumbuhan populasi (model Verhults). Model ini memasukkan batas
untuk populasinya sehingga jumlah populasi dengan model ini tidak akan tumbuh
secara tak terhingga. Laju pertumbuhan penduduk akan terbatas akan ketersediaan
makanan, tempat tinggal, dan sumber hidup lainnya. Dengan asumsi tersebut,
jumlah populasi dengan model ini akan selalu terbatas pada suatu nilai tertentu.
Pada masa tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan
(equilibrium), pada titik ini jumlah kelahiran dan kematian dianggap sama. Laju
pertumbuhan, yaitu nilai yang menggambarkan daya tumbuh suatu populasi
diasumsikan positif, karena mengingat setiap populasi memiliki potensi untuk
berkembang biak.
Indonesia adalah Negara besar dengan jumlah penduduk yang banyak. Agar
tidak terjadi ledakan populasi yang dapat menimbulkan bencana, maka diperlukan
perencanaan untuk pengendalian jumlah populasi, salah satunya bisa dimulai
dengan memprediksi pertumbuhan populasi penduduk Indonesia.
Berdasarkan uraian diatas, maka penulis mengambil judul Penerapan
Model Verhults pada Populasi Penduduk Indonesia.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang diuraikan diatas, permasalahan yang akan
dibahas dalam penelitian ini adalah :
Bagaimana memprediksi jumlah populasi menggunakan model logistik
pertumbuhan populasi?
Bagaimana menentukan daya tampung dan laju pertumbuhan intrinsik
berdasarkan model logistik pertumbuhan populasi ?
1.3 Batasan Masalah
Adapun batasan masalah yang digunakan dalam penelitian ini adalah :
Model pertumbuhan populasi yang dibahas adalah model logistik
pertumbuhan populasi Verhulst.
-
3
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah diatas maka tujuan dari penelitian ini adalah :
Mengetahui hasil prediksi populasi berdasarkan perhitungan model logistik
pertumbuhan populasi (Verhulst).
Menentukan daya tampung dan laju pertumbuhan intrinsik dari suatu populasi
menggunakan model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults).
1.5 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan pendekatan teoritis, dimana penulis
menganalisa jurnal, mengeksplor apa yang ada didalam jurnal dan kemudian
menarik kesimpulan dari penelitian ini.
1.6 Sistematika Penulisan
Adapun sistematika yang dipakai dalam penyusunan studi literatur ini,
adalah sebagai berikut :
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini meliputi Latar Belakang Masalah, Rumusan masalah, Batasan
Masalah, Tujuan Penelitian, Metode Penelitian, Sistematika Penulisan dan
Kerangka Berfikir dari studi literatur.
BAB II LANDASAN TEORI
Bab ini akan menguraikan dasar teori yang akan digunakan dalam
penyusunan studi literatur, yang meliputi Persamaan Diferensial dan Model
Pertumbuhan Populasi (model eksponensial pertumbuhan populasi (model
Malthus) dan model logistik pertumbuhan populasi (Verhulst)).
BAB III
Bab ini merupakan bab pembahasan yang merupakan aplikasi teori yaitu
model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults) menggunakan studi kasus
pertumbuhan populasi Indonesia.
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN
Dalam bab ini, berisi kesimpulan dan saran yang merupakan hasil yang
telah didapatkan.
-
4
DAFTAR PUSTAKA
1.7 Kerangka Berfikir
Ledakan pertumbuhan populasi manusia dan penggunaan sumberdaya
secara besar-besaran merupakan penyebab utama kerusakan lingkungan. Kedua
kekuatan utama yang mempengaruhi pertumbuhan populasi, yaitu angka kelahiran
dan angka kematian, dapat diukur dan digunakan untuk memprediksi bagaimana
ukuran populasi akan berubah menurut waktu.
Model eksponensial pertumbuhan populasi menjelaskan suatu pertumbuhan
populasi ideal dalam lingkungan yang tidak terbatas. Model ini memprediksi
bahwa semakin besar suatu populasi akan semakin cepat populasi tersebut
tumbuh. Namun, pertumbuhan eksponensial tidak dapat dipertahankan tanpa batas
dalam populasi apapun. Model logistik, merupakan model yang lebih realistis
membatasi pertumbuhan dengan menyertakan daya tampung, ukuran populasi
yang dapat didukung oleh sumberdaya yang tersedia.
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Persamaan Diferensial
Banyak hukum-hukum alam yang mendasari perubahan-perubahan di alam
ini dinyatakan dalam bentuk persamaan yang memuat laju perubahan dari suatu
kuantitas, yang tak lain adalah berupa persamaan diferensial.
Persaman diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau
beberapa turunan dari suatu fungsi, dengan satu atau lebih peubah yang tak
diketahui. Jika fungsi yang tidak diketahui itu hanya bergantung pada satu peubah
saja, maka persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial biasa.
Sedangkan jika fungsinya bergantung pada dua atau lebih peubah, maka
persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial parsial.
Orde dari persamaan diferensial didefinisikan sebagai orde turunan
tertinggi yang terkandung pada persamaan tersebut. Persamaan diferensial orde
-
5
pertama hanya mengandung . bentuk umum dari persamaan diferensial pertama
dapat dituliskan sebagai ,, = 0, atau biasa di tulis = (,). Arti
fisis diferensial adalah, laju perubahan sebuah peubah terhadap peubah lain.
Banyak kegunaan praktis persamaan diferensial biasa dapat diturunkan
kedalam bentuk
= () ...(2.1)
dengan manipulasi aljabar murni. Maka dapat diintegralkan kedua sisi terhadap ,
diperoleh
= + (2.2)
Dikiri dapat dapat diubah kepada sebagai variabel dari pengintegralan. Dengan
kalkulus, = , maka
= + (2.3)
Jika dan adalah fungsi kontinu, integral di (2.3) ada, dan dengan
mengevaluasinya diperoleh solusi umum dari (2.1). Metode penyelesaian
persamaan direfensial biasa ini disebut metode variabel terpisah , dan (2.1)
disebut persamaan terpisah , karena di (2.3) variabel sekarang terpisah : hanya
muncul dikanan dan hanya dikiri. [6]
2.2 Model Pertumbuhan Populasi
Kedua kekuatan utama yang mempengaruhi pertumbuhan populasi, yaitu
angka kelahiran dan angka kematian, dapat diukur dan digunakan untuk
memprediksi bagaimana ukuran populasi akan berubah menurut waktu. [8]
2.2.1 Model Eksponensial
Model eksponensial merupakan model pertumbuhan yang sangat sederhana.
Model eksponensial pertumbuhan populasi menjelaskan suatu populasi ideal
dalam lingkungan yang tidak terbatas. Pada model ini individu berkembang tidak
dibatasi oleh lingkungan seperti kompetisi dan keterbatasan akan suplai makanan.
Laju perubahan populasi dapat dihitung jika banyaknya kelahiran, kematian dan
migrasi diketahui.
Prediksi bahwa jumlah populasi akan tumbuh secara eksponensial pertama
kali dicetuskan oleh Malthus (1798) [1]. Populasi yang tumbuh secara
-
6
eksponensial pertama kali diamati terjadi di alam bebas. Dinamika populasi dapat
di aproksimasi dengan model ini hanya untuk periode waktu yang pendek saja.
Mengasumsikan bahwa laju pertumbuhan populasi terhadap waktu
berbanding lurus dengan jumlah populasi yang ada. [2]
Misalkan () menyatakan jumlah populasi pada saat dan diketahui
bahwa jumlah populasi saat = 0 = 0 adalah 0 , maka model matematikanya
dapat dituliskan :
= ; dimana konstan (2.4)
Berikut ini adalah solusi jumlah populasi pada saat atau ()
berdasarkan (2.4) :
=
ln = +
() = +
() = .
() = 1
Karena 0 = 0 = 1(0) = 1 , maka :
= () ...(2.5)
dimana
: daya tumbuh suatu populasi (intrinsic growth rate) / perbedaan antara angka
kelahiran dan kematian per kapita ( = angka kelahiran tahunan perkapita angka
kematian tahunan per kapita) / laju pertumbuhan populasi per kapita.
Persamaan (2.5) dikenal sebagai Model Eksponensial pertumbuhan
populasi / Model pertumbuhan populasi Malthus.
Dari (2.5) dapat diperoleh :
(0) = 0
ln (0) =
0
=
()
(2.6)
Jika solusi (2.5) ditampilkan dalam bentuk grafik, maka didapatkan dua
grafik berikut :
-
7
Dari Gambar.2.1 jelas bahwa untuk > 0 diperoleh lim = . Jika
hasil ini dikaitkan dengan jumlah suatu populasi, maka akan menimbulkan pertanyaan :
dapatkah suatu populasi berkembang sampai pada jumlah tak-hingga?
= 0
0
0
Gambar.2.1
Grafik Pertumbuhan Eksponensial
Grafik untuk > 0
= 0
0
0
Gambar.2.2
Grafik Pertumbuhan Eksponensial
Grafik untuk < 0
-
8
Gambar.2.2, untuk < 0 akan didapatkan lim = 0, yang mana jika
dikaitkan dengan jumlah populasi nampaknya hasil ini cukup logis. Suatu populasi akan
mendekati kepunahan (akan habis) jika laju pertumbuhannya negatif.
Model ini memprediksi bahwa semakin besar suatu populasi akan semakin cepat
populasi tersebut tumbuh.
2.2.2 Model Logistik
Model ini merupakan penyempurnaan dari model eksponensial dan pertama
kali diperkenalkan oleh Pierre Verhulst pada tahun 1838. [1]
Model pertumbuhan eksponensial mengasumsikan sumberdaya yang tidak
terbatas, model ini merupakan kasus yang tidak pernah ditemukan di dunia nyata
ini. Karena setiap populasi tumbuh dan tumbuh sehingga jumlahnya semakin
besar, peningkatan kepadatan populasi bisa mempengaruhi kemampuan individu
untuk mengambil sumberdaya yang mencukupi untuk pemeliharaan,
pertumbuhan, dan reproduksi. Populasi hidup dari jumlah sumberdaya yang
terbatas, dan ketika populasi menjadi semakin padat, masing-masing individu
mendapat bagian sumberdaya yang semakin kecil. Akhirnya, terdapat suatu batas
dari jumlah individu yang dapat menempati suatu habitat. Para ahli ekologi
mendefinisikan daya tampung (carrying capacity) sebagai ukuran populasi
maksimum yang dapat ditampung oleh suatu lingkungan tertentu tanpa ada
pertambahan atau penurunan ukuran populasi selama periode waktu yang relatif
lama. [8] Daya tampung yang disimbolkan dengan
adalah ciri lingkungan,
dengan demikian daya tampung bervariasi terhadap waktu dan ruang dengan
keberlimpahan sumberdaya yang terbatas.
Kepadatan dan keterbatasan sumberdaya dapat mempunyai dampak yang
besar pada laju pertumbuhan populasi. Jika individu tidak mendapatkan
sumberdaya yang mencukupi untuk bereproduksi, angka kelahiran per kapita akan
menurun. Jika mereka tidak memperoleh cukup energi untuk mempertahankan
diri mereka sendiri, angka kematian per kapita akan meningkat. Suatu penurunan
dalam angka kelahiran tahunan per kapita atau suatu peningkatan dalam angka
kematian tahunan per kapita akan mengakibatkan laju pertumbuhan populasi yang
lebih kecil.
-
9
Model ini memasukkan batas untuk populasinya sehingga jumlah populasi
dengan model ini tidak akan tumbuh secara tak terhingga. Laju pertumbuhan
penduduk akan terbatas akan ketersediaan makanan, tempat tinggal, dan sumber
hidup lainnya. Dengan asumsi tersebut, jumlah populasi dengan model ini akan
selalu terbatas pada suatu nilai tertentu. Pada masa tertentu jumlah populasi akan
mendekati titik kesetimbangan (equilibrium), pada titik ini jumlah kelahiran dan
kematian dianggap sama. [5]
Verhulst menunjukkan bahwa pertumbuhan populasi tidak hanya
bergantung pada ukuran populasi tetapi juga pada sejauh mana ukuran ini dari
batas atasnya seperti daya tampung. Dia memodifikasi model Malthus
(eksponensial) untuk membuat ukuran populasi sesuai baik untuk populasi
sebelumnya dengan syarat
, dimana dan disebut koefisien vital dari
populasi.
Suatu model logistik diawali dengan model pertumbuhan eksponensial dan
menciptakan suatu ekspresi yang mengurangi nilai ketika meningkat. Jika
ukuran populasi maksimum yang dapat dipertahankan adalah
, maka
akan memberikan petunjuk berapa banyak individu tambahan yang dapat
ditampung oleh lingkungan tersebut, dan
=
memberikan petunjuk
berapa fraksi
yang masih tersedia untuk pertumbuhan populasi.
Persamaan yang telah dimodifikasi menggunakan syarat baru adalah :
=
=
22
= 2
= (2.7)
Model ini merupakan persamaan diferensial nonlinear yang mempunyai solusi :
2=
1
1
+
=
1
1
+
= +
( ( )) = + (2.8)
Diketahui bahwa jumlah populasi saat = 0 = 0 adalah 0 , maka:
=1
(ln0 ln( 0))
-
10
Dengan mensubstitusi nilai , persamaan (2.8) menjadi :
1
(ln ln( )) = +
1
(ln0 ln( 0))
1
(ln ln( )) (ln0 ln( 0)) =
0
0=
(0)
0()=
Dengan melakukan pengeksponensialan pada kedua ruas, diperoleh :
(0)
0()=
0 = ( 0)
0 0
= ( 0)
0 = 0 + (0
)
0 = ( 0 + 0
)
=0
0+0 (bagi dengan 0
)
=
1+ 00
1
=
1+
01
1
() =
+
(2.9)
Persamaan (2.9) dikenal sebagai Model Logistik pertumbuhan populasi /
Model pertumbuhan populasi Verhulst .
Jika persamaan (2.9) dilimitkan sebagai , didapatkan (untuk > 0) :
= =
..(2.10)
Verhulst menjelaskan bagaimana parameter dan
dapat diperkirakan dari
populasi () dalam tiga yang berlainan tetapi dengan jarak tahun yang sama. [1]
Jika 0 adalah populasi pada saat = 0 , 1 pada saat = 1 dan 2 pada saat = 2,
maka dari persamaan (2.9) dapat diperoleh :
Ambil = 1, sehingga adalah 1
1 =
1+ 0
1 (1)
-
11
=
1+
01
=
1+ 00
=
0+
0
0
=0
(0+0 )
1 =0
0+0
1
1 =
0+0
0
=
+
00
0
1
1=
1 +
0
=
..(2.11)
Ambil = 2, sehingga adalah 2 dengan cara yang sama diperoleh :
=
..(2.12)
Bagi (2.12) oleh (2.11) untuk mengeliminasi
, diperoleh :
12 =
1
22
0
1 =
1
1
0
1 + =
1
22
01
1
0
=
022
0201
01
=01(02
2 )
02(01 )
=1(02
2 )
2(01 )
=0112
2
0212
-
12
=0112
2
0 212
0212
0212
02 12 = 01 12
2 (02 12)
02 12
2 = 01 122 02 +12
02 12
= 01 02
02 +12
= 01 +02
(1
2
0
2) = 01 +02
=0201
1202
=()
() ..(2.13)
Substitusi (2.13) ke (2.11), maka :
1
0(21)
2(10) =
1
1
0(21)
2(10)
0
2(10)
2(10)0(21)
2(10) =
2(10)1(21)
12(10)
=
2(10)1(21)
12(10)
2(10)0(21)
2(10)
=2(10) 2(10)1(21)
12(10) 2(10)0(21)
=120212+1
2
1(120202+01)
=1
202
1(01202+12)
=
(+)
..(2.14)
Dengan mensubstitusi (2.14) ke (2.10) , diperoleh :
= =
=(+)
..(2.15)
Ketika ukuran suatu populasi berada dibawah daya tampungnya,
pertumbuhan populasi akan berjalan cepat menurut model logistik, akan tetapi
ketika mendekati
, pertumbuhan populasi akan menjadi lambat.
-
13
Untuk > 0 berlaku lim =
, sehingga disimpulkan bahwa grafik
dari (2.9) mempunyai asimtot mendatar =
. Grafik solusi untuk kasus
dapat dilihat pada Gambar.2.3
Dapat dilihat bahwa kurva logistik adalah -shaped dan mempunyai titik
infleksi ketika =
2 . (dihasilkan dari
2
2= =0). [3]
Sedangkan untuk
< 0 , > 0 grafik solusinya adalah :
() =
1 +
0
1
() =
1 +
0
1
0
0
()
Gambar.2.3
Grafik pertumbuhan logistik yang Naik
2
() =
1 +
0
1
0
()
Kasus
< 0 , > 0
Gambar.2.4
Grafik pertumbuhan Logistik yang Menurun
-
14
Untuk < 0 didapatkan solusi yang tidak stabil, yaitu tidak mengarah pada
titik kesetimbangan tertentu. Himpunan grafik solusinya adalah sebagai berikut :
Dari (2.9) dapat diperoleh nilai dengan cara sebagai berikut :
() =
1+
0
1
=
1
01
=
1
01
=
..(2.16)
Persamaan (2.16) adalah nilai yang menunjukkan waktu ketika mencapai
setengah dari batas populasi maksimum. [1]
Gambar.2.5
Solusi Model Pertumbuhan Logistik dengan < 0
() =
1 +
0
1
()
Kasus < 0
-
15
Model pertumbuhan logistik memberikan pengertian akan jumlah populasi
maksimum atau minimum sebagai titik jenuh pertumbuhannya.
BAB III
PENERAPAN MODEL VERHULTS
PADA POPULASI PENDUDUK INDONESIA
Salah satu persoalan paling penting di dunia adalah proyeksi populasi.
Ukuran dan pertumbuhan populasi dalam suatu negara secara langsung
mempengaruhi keadaan ekonomi, politik, budaya, pendidikan dan lingkungan dari
negara tersebut dan menentukan eksplorasi dan kebutuhan sumber daya alam.
Tidak ada yang ingin menunggu sampai sumber daya ini habis karena ledakan
populasi.
Dengan dibentuknya sebuah model matematika, proyeksi populasi tiap
tahun dapat dilakukan berdasar data sensus penduduk yang sudah ada, sehingga
tidak perlu melaksanakan sensus penduduk tiap tahun. Pemerintah dan sektor
perusahaan selalu membutuhkan gambaran akurat tentang ukuran yang akan
datang dari bermacam entitas seperti populasi, sumber daya, kebutuhan dan
konsumsi untuk perencanaan kegiatan.
Indonesia merupakan Negara kepulauan yang berdasarkan posisi garis
lintang dan garis bujur berada diantara 60 LU 110 LS dan 950 BT 1410 BT.
Secara geografis Indonesia terletak diantara dua samudera dan dua benua, yaitu
Samudera Pasifik dan Samudera Hindia, serta Benua Asia dan Benua Australia.
Topografi wilayah Indonesia sangat bervariasi, hal tersebut berpengaruh pada
kehidupan masyarakatnya. Masyarakat Indonesia merupakan masyarakat yang
majemuk, dimana Indonesia memiliki berbagai macam bahasa, agama, mata
pencaharian, suku bangsa dan lain-lain.
Indonesia juga merupakan Negara besar dengan jumlah penduduk yang
banyak. Agar tidak terjadi ledakan populasi yang dapat menimbulkan bencana,
maka diperlukan perencanaan untuk pengendalian jumlah populasi, salah satunya
bisa dimulai dengan memprediksi pertumbuhan populasi pendudukIndonesia.
-
16
Studi literatur ini memusatkan pada aplikasi model logistik pertumbuhan
populasi (model Verhults) untuk memprediksi pertumbuhan populasi Indonesia
menggunakan data dari tahun 1987 sampai 2010.
Data jumlah penduduk Indonesia dari tahun 1987 sampai dengan 2010
berdasarkan katalog BPS (Badan Pusat Statistik) : 3101015. [4]
Tabel.3.1 Jumlah penduduk Indonesia (ribu), 1987-2010
Sumber : Badan Pusat Statistik
Tahun Populasi Tahun Populasi
1987 170653 1999 207437
1988 173472 2000 205132
1989 176336 2001 207995
1990 179379 2002 210898
1991 182940 2003 213841
1992 186043 2004 216826
1993 189136 2005 219852
1994 192217 2006 222747
1995 195283 2007 225642
1996 198320 2008 228523
1997 201353 2009 231370
1998 204393 2010 237556
Gambar.3.1
Grafik jumlah populasi penduduk sebenarnya dari tahun 1987 sampai 2010
-
17
Berdasarkan pada populasi dari tahun 1987 sampai 2010 pada Tabel.3.1 ,
misal = 0,1,2 mewakili masing-masing tahun 1987, 1988 dan 1989 . Maka
0,1,2 berturut-turut adalah 170653, 173472 dan 176336.
Substitusi 0,1 dan 2 kedalam persamaan (2.15) diperoleh :
= lim =
= 1(01202+12)
1202
=173472( 170653 173472 2 170653 176336 +(173472)( 176336)
(173472)2( 170653 176336 )
=1.446928564 1012
267376
= 5411587.293
ini merupakan prediksi daya tampung (carring capacity) atau ukuran populasi
penduduk maksimum yang dapat ditampung Indonesia.
Dari persamaan (2.13), dengan mensubstitusi 0,1 dan 2 diperoleh :
=0(21)
2(10)
=170653(176336173472)
176336(173472170653)
=488750192
497091184
= 0.9832220398
= ln 0.9832220398
= 0.016920304
= 1.692030459%
ini mengimplikasikan bahwa laju pertumbuhan populasi penduduk Indonesia
diperkirakan 1.692030459% pertahun.
Untuk memperoleh prediksi populasi, substitusi nilai 0, dan
kedalam
persamaan (2.9) sebagai berikut :
=
1+ 0
1
=5411587.293
1+ 5411 587 .293
170653 1 (0.9832220398 )
-
18
Tabel.3.2 Jumlah penduduk Indonesia (ribu), 1987-2010
Populasi sebenarnya dan populasi prediksi berdasarkan model Verhults.
Tahun Populasi
Sebenarnya
Prediksi
Populasi Tahun
Populasi
Sebenarnya
Prediksi
Populasi
1987 170653 170653 1999 207437 207598
1988 173472 173472 2000 205132 211002
1989 176336 176335 2001 207995 214460
1990 179379 179245 2002 210898 217972
1991 182940 182200 2003 213841 221539
1992 186043 185203 2004 216826 225162
1993 189136 188254 2005 219852 228842
1994 192217 191352 2006 222747 232579
1995 195283 194500 2007 225642 236375
1996 198320 197698 2008 228523 240229
1997 201353 200946 2009 231370 244144
1998 204393 204246 2010 237556 248119
Gambar.3.2
Grafik jumlah populasi prediksi berdasarkan model Verhults
Kurva logistik mempunyai titik infleksi ketika =
2 . [3]
2= 2705793.647
-
19
Dari persamaan (2.16) diperoleh nilai sebagai berikut :
=
1
0
1
=
5411 587.2932705793.647
1
5411 587.293
1706531
0.016920304
=3.424622827
0.016920304
= 202.3972399
202
Jadi, populasi penduduk Indonesia diprediksikan menjadi 2705793.647 pada
tahun 2202.
BAB IV
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Dari kajian studi literatur yang telah dilakukan, maka dapat disimpulkan
bahwa sebagai berikut :
Model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults) adalah :
() =
1+
0
1 (9)
dimana :
() : jumlah populasi pada saat
: daya tampung / carrying capacity (ukuran populasi maksimum yang dapat
ditampung oleh suatu lingkungan tertentu tanpa ada pertambahan atau penurunan
ukuran populasi selama periode waktu yang relatif lama).
: daya tumbuh suatu populasi (intrinsic growth rate) / perbedaan antara angka
kelahiran dan kematian per kapita ( = angka kelahiran tahunan perkapita angka
-
20
kematian tahunan per kapita) / laju pertumbuhan populasi per kapita dan
diasumsikan positif.
Dengan model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults)
diprediksikan daya tampung untuk populasi Indonesia adalah 5411587.293 .
Berdasarkan model ini, laju pertumbuhan populasi Indonesia adalah
1.692030459% pertahun, dan populasi akan mencapai 2705793.647 pada tahun
2202.
4.2 Saran
Dalam kajian studi literatur ini, penulis hanya membahas model logistik
pertumbuhan populasi (model Verhults) untuk prediksi pertumbuhan populasi di
Indonesia. Dari kajian studi literatur yang telah dilakukan, pembaca dapat
memperhatikan kelebihan dan kekurangan dari model logistik pertumbuhan
populasi (model Verhults), sehingga diharapkan bagi yang akan menyusun studi
literatur mengenai pemodelan matematika khususnya model matematika untuk
pertumbuhan populasi, modifikasi dari pertumbuhan logistik pertumbuhan
populasi atau model pertumbuhan populasi lainnya dapat dijadikan sebagai bahan
penulisan selanjutnya.