model sediaan probabilistik

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Model Sediaan Probabilistik

Riset OperasiSemester Genap 2011/2012


Model Sediaan Probabilistik Single Period Newspaper Boy Problem

• Setiap hari koran dipesan dari agen di pagi hari dengan jumlah tertentu (q), per eksemplar seharga Rp. 2000, yang akan dijual dengan harga Rp. 2500/eks.

• Di dalam satu hari permintaan (D) dianggap sebagai peubah acak.

• Dua kasus: – D ≤q, sisa koran dijual siang hari atau dikembalikan ke agen dengan

harga Rp. 1000/eks (Overstocked).– D ≥q+1, ada beberapa pelanggan yang tidak terlayani (Understocked).

• Akan dicari berapa q yang meminimumkan biaya total yang harus dikeluarkan


Newspaper Boys Problem

• Konstanta pada q:– Pada (1) disebut sebagai biaya overstocked Co= 1000– Pada (2) (abaikan tanda - )disebut sebagai biaya

understocked Cu= 500

Kemungkinan jumlah demand

Biaya yang dikeluarkan

Uang yang masuk Biaya Total

D q 2000q 2500D + 1000(q - D) 1000q – 1500D (1)

D q + 1 2000q 2500q -500q (2)


Analisis Marjinal

• Untuk permintaan (D) yang bersifat peubah acak dengan sebaran peluang tertentu

)()( dpdDP

• Biaya c(q, d) di mana d kemungkinan jumlah permintaan:• biaya yang timbul akibat memesan q unit pada jumlah

permintaan d unit.

• Kebijakan: memilih q yang meminimumkan nilai harapan biaya:

d

dqcdpqE ),()()(


Analisis Marjinal

• Konsep analisis marjinal: q* : q terkecil sedemikian: 0*)(1* qEqE


Newspaper Boy Problem• Overstocked D ≤q : jika pemesanan q ditambah satu unit

menjadi q+1, akan menambah biaya yang dikeluarkan sebesar co , – Kasus ini terjadi dengan peluang P(D ≤ q )

• Understocked D ≥q+1 : jika pemesanan q ditambah satu unit menjadi q+1, akan mengurangai biaya yang dikeluarkan sebesar cu ,

• kasus ini terjadi dengan peluang P(D ≥q+1 ) =1 - P(D ≤q)

• Sesuai konsep marjinal analisis:

0*))(1(*)(*)()1*( qDPcqDPcqEqE uo


• Jika demand menyebar dengan sebaran peluang diskrit, hubungan tersebut menjadi:

0*))(1(*)(*)()1*( qDPcqDPcqEqE uo

ou

u

ccc

qFqDP

*)(*

• Jika demand menyebar dengan sebaran peluang kontinyu maka dapat ditentukan q* sedemikian sehingga hubungan di atas menjadi persamaan:

ou

u

ccc

qFqDP

*)(* atau ou

o

ccc

qFqDP

*)(1*


Contoh Newspaper boys problem (lanjut)

• Dari slide sebelumnya Co= 1000, Cu= 500

Jumlah demand atau koran terjual di pagi hari

Peluang Peluang Kumulatif

100 0.3 0.3

150 0.2 0.5

200 0.3 0.8

250 0.15 0.95

300 0.05 1

3301500

500.*)(* qFqDP

• Berdasarkan sebaran peluang: q*= 150


Contoh Penjualan Tiket Pesawat• Harga tiket pesawat New York – Indianapolis adalah $200

• Kapasitas setiap pesawat: 100 penumpang

• Untuk proteksi terhadap ketidamunculan penumpang, perusahaan airline menjual tiket lebih dari 100 tiket

• Peraturan: penumpang yang tidak jadi terbang, tidak perlu membayar tiket dan mendapat kompensasi $100

• Jumlah penumpang dari data historis ~ N(20, 52)


• Didefinisikan:– q: # tiket yang dijual perusahaan airline– d: # jumlah penumpang yang tidak muncul– (q – d): jumlah penumpang yang pasti berangkat

• Keputusan: q – 100 – Berapa harus menjual lebih dari kapasitas penerbangan

• Understocked:(q – d)≤100 atau d ≥q – 100

• Overstocked(q – d)≥ 100 atau d ≤q – 100

• Understocked:(q – d)≤100 atau d ≤ q – 100

• Overstocked(q – d)≥ 100 atau d ≥ q – 100

dqPenerimaankompensasi

200:0

Total Cost perusahaan = biaya kompensasi - penerimaan

dqTotal 200

100200100200200 qd

100200:

100100Penerimaan

dqkompensasi 20000100100 dqTotal

20000100100100 dq

Keputusan

Keputusan

cu

co


• Jika q – 100 adalah peubah keputusan (q*)• Harus ditentukan sedemikian sehingga:

ou

u

ccc

qFqDP

*)(*Cu=200

Co=100

32

100200200

*

qDP

25,20~ ND32

520*

520

qD

P 667.032

520*

q

ZP

667.043.0 ZPDari tabel Z 43.05

20*

q43.0

520100

q

15.12243.0520100 q 22.15 tiket adalah kelebihan jumlah tiket dari kapasitas penerbangan yang meminimumkan biaya total.

Model Probabilistik Multi Periods:EOQ dengan Permintaan Probabilistik (r, q) model

• Menentukan:– Kapan memesan: pada reorder point r– Berapa banyak: q, yang meminimumkan TC(r, q)

• Dengan asumsi:– Demand berupa peubah acak– Lead time ≠ 0– Diberlakukan stockout dengan backorder– Besaran K, h, q, dan L mempunyai definisi yang sama pada

EOQ dasar.– cB: biaya setiap unit stockout per waktu

• Dalam pembentukan model, diasumsikan bahwa: – D~Poisson(λ)

Posisi sediaan dalam waktu

• Demand sebagai proses poisson

Posisi sediaan, L=2, r = 100, q* = 240

OHI(t): jumlah persediaan on hand (nyata) pada waktu t

OHI(0)=200, OHI(1)=100, OHI(3)=240, OHI(6)=OHI(7)=0




B(t): jumlah back order yang belum terlayani pada waktu t

B(t) = 0 pada 0≤ t ≤ 6, B(7) = 100.




I(t)= OHI(t) – B(t) : jumlah persediaan netto pada waktu t

I(0)=200-0=200, I(3)=240-0=240, I(6)=0-0=0, I(7)=0 – 100 = -100




Nilai harapan jumlah siklus/frekuensi pemesanan per tahun: qDE

EOQ dengan Permintaan Probabilistik (r, q) model

• Karena demand proses Poisson:

• X: peubah acak sbg jumlah permintaan selama lead time, jika lead time selama L maka– X~Poisson(Lλ)– Berlaku:

)(DE )(DVar

)()( DELLXE

)()( DVarLLXVar

DX L


Struktur biaya dalam nilai harapan:1. Nilai harapan biaya pemesanan/tahun 2. Nilai harapan biaya penyimpanan /tahun3. Nilai harapan biaya stockout dan Backorders/tahun

Struktur biaya• Nilai harapan biaya pemesanan per tahun:

biaya pesan/pemesanan × nilai harapan frekuensi pesan/tahun (1)


qDE

K

• Nilai harapan biaya penyimpanan per tahun (HC):

h × Nilai harapan # penyimpanan/tahun

siklus akhir siklus awal 21

tIEtIEtIE Nilai harapan # penyimpanan/tahun


Akhir siklus: xErtIE siklus akhir

Awal siklus: qxErtIE siklus awal

Struktur biaya


• Nilai harapan biaya penyimpanan per tahun (HC) (2):

h × Nilai harapan # penyimpanan/tahun siklus akhir siklus awal

21

t I E t I E t I E

XErqXErtIE 21

2q

XEr

2q

XErh


Struktur Biaya

• Nilai harapan biaya stockout per tahun (3)• Menggunakan definisi:• Br: peubah acak jumlah stockout selama satu siklus pada

reorder point r

Nilai harapan biaya stockout per tahun, dengan biaya cB per unit stockout per waktu:

Nilai harapan biaya stockout/siklus × nilai harapan jumlah siklus/tahun

rB Ec B

cB × Nilai harapan # stockout/siklus qDE

q

DEEc rB B


• Total biaya (1) + (2) + (3)

q

DEEcqXErh

qDE

KrqTC rB B

2,

• r* dan q* dipilih sedemikian yang meminimumkan total cost

• Dengan f.o.c 0

**,**,

r

rqTCq

rqTC 21

2*

hDKE

EOQq

• Pemilihan r* dapat dijelaskan dengan pendekatan marjinal analisis (minggu depan)

)(*

*DEc

hqrXP

B

model sediaan probabilistik

Documents