OLEH MARVEL GRACE MAUKAR 12/337225/PPA/03857 PASCASARJANA MATEMATIKA PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA YOGYAKARTA 2013TUGAS MODEL MATEMATIKAMARVEL GRACE MAUKAR Diketahui model bunga majemuk dengan variable t mengikuti himpunan semua bilangan real tak negative[0, ) . Misalkan[0, ) dipartisi menjadi interval-interval waktu 1 12 1 23 2 31[0, ]( , ]( , ]( , )n nI tI t tI t tI t==== Dengan1 2 3 10nt t t t< < < < < ,[0, )it e Untuksuatubilanganasli2 n > danbungamajemukpadaintervalwaktu iI adalah konstanta iruntuk1, 2, 3, , i n = , irtidak harus sama dengan jr , untuki j = . 1.Formulasikan bunga majemuk( ) r tversus t pada[0, ) dan gambarlah sketsa grafiknya! 2.JikatabunganawalArupiah,() Ft menyatakanjumlahuangkitapadasaatt, diasumsikan() Ft diferensiabelpada[0, ) kecualidititik-titik 1 1, ,nt tdan() Ftkontinudititik-titik 1 1, ,nt tmakaformulasikan() Ft versustdangambarlah sketsanya! TUGAS MODEL MATEMATIKAMARVEL GRACE MAUKAR Diketahuimodelbungamajemuktmengikutihimpunansemuabilanganrealtaknegative [0, ) dan dimisalkan[0, ) dipartisi menjadi interval-interval waktu 1 12 1 23 2 31[0, ]( , ]( , ]( , )n nI tI t tI t tI t==== dengan1 2 3 10nt t t t< < < < < ,[0, )it e Untuksuatubilanganasli2 n > danbungamajemukpadaintervalwaktu iI adalah konstanta iruntuk1, 2, 3, , i n = , irtidak harus sama dengan jr ,i j = . 1.Formula bunga majemuk( ) r tversus t pada [0, ) dan sketsa grafiknya Berdasarkanyangdiketahuidandenganmengasumsikan 1 2 3 10n nr r r r rs s s s s sdiperoleh untuk 1rmaka 1 1[0, ] I t =dengan 10 t t s s untuk 2rmaka 2 1 2( , ] I t t =dengan 1 2t t t < suntuk 3rmaka 3 2 3( , ] I t t =dengan 2 3t t t < s untuk 1 nr maka 1 2 1( , ]n n nI t t =dengan 2 1 n nt t t < suntuk nrmaka 1( , )n nI t= dengan 2 3t t t < s Sehingga dapat diformulasikan bunga majemuk( ) r tversustdengan TUGAS MODEL MATEMATIKAMARVEL GRACE MAUKAR ( )1 12 1 23 2 31 2 11, 0,,,,n n nn nr t tr t t tr t t tr tr t t tr t t s s < s < s=< s< < Berdasarkan dari formulasi tersebut dapat dibuat sketsa grafik dari bunga majemuk( ) r tversust 012345670 1 2 3 4 5 6 7r1 r2 r3 rn-2 rn-1 r(t) t1t2 t3 tn-2 tn-1 TUGAS MODEL MATEMATIKAMARVEL GRACE MAUKAR 2.Formulasi jumlah uang() Ftversus tdan gambar sketsanya DiketahuiA = Tabungan awal (rupiah) () Ft = jumlah uang kita pada saat tDiasumsikan() Ft diferensiabelpada[0, ) kecualidititik-titik 1 1, ,nt tdan() Ftkontinu di titik-titik1 1, ,nt t

Berdasarkanyangdiketahui() Ft menyatakanjumlahuangkitapadasaattdengan 0 t > makadiperolehangkapertumbuhanrata-ratauangpadaintervalwaktu( ) , t t t + Ayakni ( )( ) ()(),Ft t Ftr t ttFt+ A A =A Karena() Ft diferensiabelpada[0, ) kecualidititik-titik 1 1, ,nt tdanmerupakan fungsi kontinu terhadap waktu t maka angka pertumbuhan dapat dimodelkan sebagai Selanjutnya diperoleh ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )()( )()lnrt Crt CdFtr t dtFtdFtr t dtFtFt r t t CFt eFt e e+=== +==} } Tabungan awal (rupiah) = A= ( ) 0 Fmaka ( )( ) 0 00r C CF e e e A = = = () ( )( ) ()() ()() 1lim , limt tFt t Ft dFtr t r t ttFt Ft dtA A + A = A = =ATUGAS MODEL MATEMATIKAMARVEL GRACE MAUKAR Diperoleh ()() () rt rtFt e A Ae = =dengan( )1 12 1 23 2 31 2 11, 0,,,,n n nn nr t tr t t tr t t tr tr t t tr t t s s < s < s=< s< < Untuk( ) r t = 1rdengan 1 1[0, ] I t = , 10 t t s s ()() ()()1 11dFt dFtr r dtFt dt Ft= = ( )( )( ) |( ) ( )( )( )( )( )( )1 11 11 11 110 010 01 1 111 111 111lnln ln 0ln0lnt tt tr tr tdFtr dtFtFt rtFt F rtFtrtFFtrtAFteAFt Ae= = ( = = = = =} } TUGAS MODEL MATEMATIKAMARVEL GRACE MAUKAR Untuk( ) r t = 2rdengan 2 1 2( , ] I t t = ,1 2t t t < s ()() ()()2 21dFt dFtr r dtFt dt Ft= = ( )( )( ) |( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )2 21 12 21 1112 2 2 1111 1 2 2 2 11 2 1 2 2222 1 2 2 2 122 2 2 1112 2 2 1222lnln lnlnlnr tr tt tt tt tt tr t r tr t r t r tr r t r tdFtrdtFtFt r tFt Ft r t r tFtr t r tFtFtr t r tAeFteAeFt Ae eFt Ae e= = ( = = = = = =} } Untuk( ) r t = 3rdengan 3 2 3( , ] I t t = ,2 3t t t < s ()() ()()3 31dFt dFtr r dtFt dt Ft= = penyelesaianya adalah ( )( )( ) |( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )3 32 23 32 21 2 1 2 23 3 3 21 2 1 2 21 2 1 3 3 3 2 2 21 2 1 2 3 3 3 3323 2 3 3 3 233 3 3 2233 3 3 2333lnln lnlnlnt tt tt tt tr r t r tr t r tr r t r tr r t r t r t r tr r t r r t r tdFtr dtFtFt r tFt Ft r t r tFtr t r tFtFtr t r tAe eFteAe eFt Ae e eFt Ae e + = = ( = = = = = =} }TUGAS MODEL MATEMATIKAMARVEL GRACE MAUKAR dan seterusnya Sehingga untuk( ) r t = 1 nr dengan 1 2 1( , ]n n nI t t = ,2 1 n nt t t < s ()()11ndFtrFt dt= ()()1 ndFtr dtFt=penyelesaianya adalah ( )( )( ) |( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )1 12 21 12 21 2 1 2 3 3 3 2 2 2 21321 2 1 1 1 211 1 1 2211 1 1 21lnln lnlnlnn nn nn nn nn n n n nt tt tt tt tn n n n n nnn n n nnnn n n nr r t r r t r r t r tnr rdFtr dtFtFt r tFt Ft r t r tFtr t r tFtFtr t r tAe eFtAe + + + = = ( = = = } }( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 22 1 2 3 3 3 2 2 2 21 2 1 2 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 21 2 1 2 3 3 3 2 2 2 1 1 1 111n n n nn n n n nn n n n n n n n nn n n n n n n nr t r tt r r t r r t r tr r t r r t r r t r t r t r tnr r t r r t r r t r r t r tneeFt Ae e eFt Ae e + + + + + + + + + + = = = Sehingga diperoleh formula untuk( )nFtyakni ( )( )( )1 111 11ni i ii nni i i nnr r tr tnnr r t r tiFt Ae eA e e = ==| |= |\ .[ TUGAS MODEL MATEMATIKAMARVEL GRACE MAUKAR Berdasarkan dari formulasi tersebut dapat dibuat sketsa grafik dari() Ftversust A F (t1) F (t2) F (t3) F (tn-2) F(t) t1t2 t3 tn-2 tn-1 F (tn-1) t