Model Endemik SIR Pada Penyakit Campak dengan Faktor

Vaksinasi dan Imigrasi

Beverly C. Wicaksono, Hasna Nabila K., Ghiffaniaz Zahra F.

Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Padjadjaran

Jl. Raya Bandung – Sumedang Km. 21 Jatinangor 45363

Telp 022-84288888 Fax. 022-84288889 Website: www.unpad.ac.id

ABSTRAK

Penyakit Campak (Measles) merupakan salah satu penyakit endemik yang menjadi perhatian

penting dari berbagai sudut bagian Negara. Penyakit Campak adalah penyakit yang biasanya terjadi

pada anak-anak dan disebabkan oleh virus golongan Paramixovirus. Dari kasus campak pada

sebagian besar Negara, pencegahan campak salah satunya dilakukan dengan vaksinasi saat usia bayi

karena penyakit tersebut cenderung menyerang pada rentan umur di bawah 15 bulan atau masa kanak-

kanak. Sehingga, pada artikel ini akan dibahas Model SIR (Suspectible,-Infected-Recovered) dengan

faktor vaksinasi dan imigrasi. Dengan asumsi, vaksinasi diberikan kepada populasi bayi yang baru

lahir dan imigran, dengan tujuan untuk mengurangi peneybaran penyakit campak tersebut dari

berbagai dimensi umur..

Kata kunci : Penyakit Endemik, Model SIR, Vaksinasi, Imigrasi.

ABSTRACT

Measles is one of endemic diseases that has became important problem in the world. Measles

usually attacks children and caused by Paramixovirus. In most country all around the world, measles

is being prevented by vaccination at infant age because Measles tends to attack those under 15 months

years old or children. //Having done so, there are immigrants coming every time and it's not certain

whether they've been vaccinated or not, which means they might have bought along the disease. //That's

why, this article will be about SIR model (Suspectible, Infected, Recovered) with vaccination and

immigration factor, assuming vaccination is given to newborn baby and immigrant to lessen Measles

from spreading in any range of age.

Keywords : Endemic Diseases, SIR Models, Vaccination, Immigration.

I. PENDAHULUAN

Penyakit menular merupakan penyakit yang menjadi masalah terpenting di berbagai kalangan

bagian tiap Negara tanpa memandang status, baik umur, gender, maupun lingkup sosial karena

penyebarannya melalui virus. Penyakit menular yang sering sekali terjadi biasanya penyakit pada anak,

seperti rubella (Campak Jerman), Campak, gondok, dan pertussis atau batuk 100 hari.

Penyakit Campak kerap sekali menjadi penyakit yang sangat bersahabat di kalangan anak-anak

maupun remaja dan dewasa. Di Indonesia, penyakit campak merupakan penyakit menular yang paling

mendominasi. Penyakit campak disebarkan oleh Virus Rubeolla yang dapat tertular dari udara, yaitu

jika menghirup percikan ludah penderita campak yang keluar saat bersin, batuk, atau pilek. Salah satu

pencegahan yang dilakukan banyak Negara dalam menghadapi kasus penyakit campak tersebut adalah

dengan melakukan vaksinasi saat masih bayi,

Penularan penyakit campak tidak hanya dalam lingkup sederhana dari suatu daerah terisolasi yang

memungkinkan peyebaran terjadi karena saat bayi belum dilakukan vaksinasi. Tetapi, penyakit menular

seperti campak juga berkaitan dengan faktor imigran, yaitu individu yang menjadi pendatang dalam

suatu populasi. Karena pada dasarnya individu yang datang sebagai imigran di suatu Negara tertentu

belum diketahui imun tubuhnya terhadap penyakit menular seperti campak. Ada dua kemungkinan

bahwa imigran sebagai pembawa virus atau tidak membawa virus. Sehingga, imigran juga menjadi

sangat berperan menjadi individu yang mungkin terinfeksi atau rentan terhadap penyakit menular

(suspectible). Semakin banyaknya imigran, maka semakin banyak pula populasi yang rentan yang dapat

terinfeksi kembali jika adanya indivisu yang telah terinfeksi. Solusi dari sebagian besar Negara adalah

dengan melakukan vaksin kepada para imigran. Oleh karena itu, pada Model SIR (Suspectible-Infected-

Recovered) diasumsikan bahwa vaksinasi diberikan kepada bayi baru lahir dan imigran. Model SIR

akan melihat interaksi antara individu an rentan terhadap penyakit campak, dengan penderita yang telah

terinfeksi dan individu yang telah pulih.

II. PEMBAHASAN

A. Model Matematika

Model SIR merupakan salah satu model matematika yang berkaitan dengan persaamaan diffrensial

dalam melihat interaksi antara indivisu yang sehat namun rentan terinfeksi, individu yang terinfeksi,

dan individu yang telah pulih.

Persamaan yang diperoleh sebagai berikut.

Persamaan (1)

𝑑𝑆

𝑑𝑡= (1 − 𝜎1)𝜇1𝑁 + (1 − 𝜎2)𝜇2𝑁 −

𝛽𝑆𝐼

𝑁− (𝜇1 + 𝜇2)𝑆

𝑑𝐼

𝑑𝑡=

𝛽𝑆𝐼

𝑁− 𝛾𝐼 − (𝜇1 + 𝜇2)𝐼

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 𝜎1𝜇1𝑁 + 𝜎2𝜇2𝑁 + 𝛾𝐼 − (𝜇1 + 𝜇2)𝑅

Jumlah populasi adalah 𝑁 sehingga persamaan (1) dapat disederhanakan dengan proporsi

banyaknya individu pada tiap kelompok dinyatakan sebagai �̂� =𝑆

𝑁 , 𝑖̂ =

𝐼

𝑁 , �̂� =

𝑅

𝑁 , populasi

dinormalisasi yang artinya �̂� + 𝑖̂ + �̂� = 1 dan persamaan yang baru sebagai berikut.

𝑑𝑆

𝑑𝑡= (1 − 𝜎1)𝜇1 + (1 − 𝜎2)𝜇2 − 𝛽�̂��̂� − (𝜇1 + 𝜇2)�̂�

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝛽�̂�𝑖̂ − 𝛾𝑖̂ − (𝜇1 + 𝜇2)𝑖 ̂

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 𝜎1𝜇1 + 𝜎2𝜇2 + 𝛾𝑖̂ − (𝜇1 + 𝜇2)�̂�

Penjelasan setiap variabel dan parameter sebagai berikut.

Tabel 1. Parameter yang Mempengaruhi Model SIR dengan Faktor Vaksinasi dan Imigrasi.

Notasi Keterangan

𝑁 Jumlah populasi

𝜇1 Laju kelahiran warga Negara

𝜇2 Laju imigran yang masuk ke populasi

𝜇1 + 𝜇2 Laju kematian alami

𝜎1 Laju warga yang divaksinasi saat lahir/tahun

𝜎2 Laju imigran yang masuk populasi dan diberi vaksin

𝛽 Laju perubahan populasi dari rentan menjadi terinfeksi

𝛾 Laju perubahan populasi dari terinfeksi menjadi sembuh

B. Analisis Model Matematika

Analisis Titik Kesetimbangan

Setelah diperoleh Model SIR untuk penyakit campak, yaitu diperolehnya persamaan (2), maka

selanjutnya dapat dilakukan analisis kesetimbangan untuk persamaan (2) tersebut dengan mencari nilai

eigen dari persamaan (2).

Membahas tentang model dari suatu penyakit endemik, tentunya akan memperoleh dua hal

pembahasan, yaitu persamaan untuk penyakit endemik dan persamaan untuk penyakit non endemik.

Dalam kasus penyakit campak tersebut, persamaan yang menyatakan penyakit endemik yatu ketika S, I,

dan R saling terkait. Sedangkan untuk persamaan yang menyatakan bagian non endemik, yaitu ketika hanya

S dan I yang saling terkait atau berpengaruh dan R diabaikan.

Dalam kasus ini, akan dibahas bagian non endemic dari penyakit campak. Sehingga, persamaan yang

digunakan yaitu S (Susceptible) dan I (Infected).

Persamaan (3) sebagai berikut.

𝑑𝑆

𝑑𝑡= (1 − 𝜎1)𝜇1 + (1 − 𝜎2)𝜇2 − 𝛽�̂�𝑖̂ − (𝜇1 + 𝜇2)�̂�

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝛽�̂��̂� − 𝛾𝑖̂ − (𝜇1 + 𝜇2)𝑖 ̂

Kasus 1

Jika pada persamaan (3) dengan 𝑑𝑆

𝑑𝑡= 0 dan

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 0 maka tidak diperoleh titik keseimbangan yang

memenuhi persamaan. Sehingga kriteria tersebut tidak sesuai dengan Model SIR pada penyakit campak

tersebut.

Kasus 2

Jika persamaan (3) dengan 𝑑𝑆

𝑑𝑡≠ 0 dan

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 0 maka persamaan (3) akan berubah menjadi berikut.

(1 − 𝜎1)𝜇1 + (1 − 𝜎2)𝜇2 − 𝛽�̂�𝑖̂ − (𝜇1 + 𝜇2)�̂� = 0

(1 − 𝜎1)𝜇1 + (1 − 𝜎2)𝜇2 − (𝜇1 + 𝜇2)�̂� = 0

(1 − 𝜎1)𝜇1 + (1 − 𝜎2)𝜇2 = (𝜇1 + 𝜇2)�̂�

�̂� =(1 − 𝜎1)𝜇1 + (1 − 𝜎2)𝜇2

(𝜇1 + 𝜇2)

Diperoleh titik setimbangan,

(𝑆, 𝐼) = ((1 − 𝜎1)𝜇1 + (1 − 𝜎2)𝜇2

(𝜇1 + 𝜇2), 0)

Kasus 3

Jika persamaan (3) dengan 𝑑𝑆

𝑑𝑡= 0 dan

𝑑𝐼

𝑑𝑡≠ 0 maka tidak diperoleh titik kestimbangan yang memenuhi

persamaan. Sehingga kriteria tersebut tidak sesuai dengan Model SIR pada penyakit campak.

Kasus 4

Jika persamaan (3) dengan 𝑑𝑆

𝑑𝑡≠ 0 dan

𝑑𝐼

𝑑𝑡≠ 0 maka persamaan (3) akan berubah menjadi berikut.

𝑑𝑆

𝑑𝑡= (1 − 𝜎1)𝜇1 + (1 − 𝜎2)𝜇2 − 𝛽�̂��̂� − (𝜇1 + 𝜇2)�̂�

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝛽�̂��̂� − 𝛾𝑖̂ − (𝜇1 + 𝜇2)𝑖 ̂

Modifikasi persamaan menjadi.

𝛽�̂�𝑖̂ − 𝛾𝑖̂ − (𝜇1 + 𝜇2)𝑖̂ = 0

𝛽�̂�𝑖̂ = 𝛾𝑖̂ + (𝜇1 + 𝜇2)𝑖̂

�̂� =𝛾𝑖̂ + (𝜇1 + 𝜇2)𝑖̂

𝛽𝑖̂

�̂� =𝛾 + (𝜇1 + 𝜇2)

�̂�(∗)

Substitusikan (*) pada persamaan 𝑑𝑆

𝑑𝑡

(1 − 𝜎1)𝜇1 + (1 − 𝜎2)𝜇2 − 𝛽�̂�𝑖̂ − (𝜇1 + 𝜇2)�̂� = 0

𝛽�̂��̂� = (1 − 𝜎1)𝜇1 + (1 − 𝜎2)𝜇2 − (𝜇1 + 𝜇2)�̂�

𝑖̂ =(1 − 𝜎1)𝜇1 + (1 − 𝜎2)𝜇2 − (𝜇1 + 𝜇2)�̂�

𝛽�̂�

𝑖̂ =(1 − 𝜎1)𝜇1 + (1 − 𝜎2)𝜇2

𝛽�̂�−(𝜇1 + 𝜇2)

𝛽

𝑖̂ =(1 − 𝜎1)𝜇1 + (1 − 𝜎2)𝜇2

𝛾 + 𝜇1 + 𝜇2−(𝜇1 + 𝜇2)

𝛽

𝑖̂ =𝜇1𝛽 − 𝜇1𝜎1𝛽 + 𝜇2𝛽 − 𝜇2𝜎2𝛽 − (𝜇1 + 𝜇2)(𝛾 + 𝜇1 + 𝜇2)

𝛽(𝛾 + 𝜇1 + 𝜇2)

𝑖̂ =𝛽(𝜇1 + 𝜇2 − 𝜇1𝜎1 − 𝜇2𝜎2) − (𝜇1 + 𝜇2)(𝛾 + 𝜇1 + 𝜇2)

𝛽(𝛾 + 𝜇1 + 𝜇2)

Diperoleh titik kesetimbangan,

(𝑆, 𝐼) = (𝛾 + (𝜇1 + 𝜇2)

�̂�,𝛽(𝜇1 + 𝜇2 − 𝜇1𝜎1 − 𝜇2𝜎2) − (𝜇1 + 𝜇2)(𝛾 + 𝜇1 + 𝜇2)

𝛽(𝛾 + 𝜇1 + 𝜇2))

Untuk lebih jelasnya, hasil dari titik kesetimbangan yang telah diperoleh di atas dapat dilihat pada

simulasi numerik berikut ini.

Analisis Numerik

Pada bagian ini, Model SIR akan lebih diperjelas dengan suatu kasus tentang penyebara penyakit

campak dengan laju kelahiran warga negara 𝜇1=0.015875, laju imigran yang masuk ke dalam populasi

𝜇2=0.015, dan laju perubahan populasi dari rentan menjadi terinfeksi 𝛽=1700. Kemudian parameter

vaksinasi untuk laju warga Negara yang divaksinasi saat lahir 𝜎1=0.6 dan laju imigran yang masuk ke dalam

populasi diberi vaksin 𝜎2=0.5, dan laju perubahan populasi dari terinfeksi menjadi sembuh 𝛾=100.

Gambar 1. Vektor Field Analisis Numerik

1500 1000 500 0 500 1000 1500

1500

1000

500

0

500

1000

1500

Phase portrait dari analisis numerik tersebut berbentuk stable spiral sehingga Model SIR seimbang

pada kasus tersebut.

III. KESIMPULAN

Pada permasalahan penyakit endemik seperti penyakit campak digunakan Model SIR dan akan dikaitkan

dengan variabel pendukung lain terkait dengan penyakit campak tersebut. Kemudian Model SIR akan

dianalisis titik kesetimbangannya. Dalam artikel ini, pembahasan lebih ke arah non endemik yaitu kaitannya

antara susceptible dengan infected. Sehingga akan ditemukan dua hal terkait keterikatan S dan I.

Kekurangan dari Model SIR tersebut yaitu tidak mengikutsertakan Resceptible dalam menganalisis titik

kesetimbangan sehingga kurang akuratnya model endemik penyakit campak.

DAFTAR PUSTAKA

1. C. Piccolo, L. Billings, 2005, The Effect of Vaccinations in an Immigrant Model, Montclair State

University.

2. N. anggriani, A. Supriatna, B. Subartini, R. Wulantini, Kontrol Optimum pada Model Epidemik

SIR dengan Pengaruh Vaksinasi dan Faktor Imigrasi,Universitas Padjadjaran.