model antrian - titoadidewantoblog.files.wordpress.com · pada tabel diatas terlihat terjadi banyak...
TRANSCRIPT
Menunggu dalam suatu antrian adalah hal yang paling sering terjadi
dalam kehidupan sehari-hari
Intro
Theatre 1
Siapapun yang pergi berbelanja atau ke bioskop telah mengalami ketidaknyamanan
dalam mengantri untuk membeli atau membayar tiket
Skip
Intro
Dengan memperhatikan hal ini, banyak perusahaan mengusahakan untuk mengurangi
waktu menunggu sebagai komponen utama dari perbaikan kualitas.
Skip
Intro
Umumnya, perusahaan dapat mengurangi waktu menunggu dan memberikan pelayanan yang lebih cepat dengan menambah jumlah pelayanan, seperti
jumlah teller pada bank atau jumlah kasir pada supermarket.
Skip
Intro
Namun, menambah kapasitas pelayanan memerlukan biaya dan dasar analisi waktu menunggu adalah
adanya trade-off antara biaya perbaikan pelayanan dan biaya yang berasal dari waktu menunggu pelanggan.
Next
Intro
Teori Antrian :
Menunggu giliran untuk
mendapatkan pelayanan dari
suatu fasilitas
Antrian terjadi karena
kemampuan pelayanan tidak
bisa mengimbangi kebutuhan
pelayanan
CONTOH SISTEM ANTRIAN
Sistem Garis tunggu atau
antrian Fasilitas
1. Lapangan terbang Pesawat menunggu di landasan
Landasan pacu
2. Bank Nasabah (orang) Kasir
3. Pencucian Mobil Mobil Tempat pencucian mobil
4. Bongkar muat barang Kapal dan truk Fasilitas bongkar muat
5. Sistem komputer Program komputer CPU, Printer, dll
6. Bantuan pengobatan darurat
Orang Ambulance
7. Perpustakaan Anggota perpustakaan Pegawai perpustakaan
8. Registrasi mahasiswa Mahasiswa Pusat registrasi
9. Skedul sidang pengadilan Kasus yang disidangkan Pengadilan
Nasabah
Ke -
Jam
Datang
Jam Pelayanan Waktu
Menganggur
(teller)
Waktu
Tunggu
(cust)
Panjang
Antrian Mulai Selesai
1 8.07 8.07 8.13 0 0 0
2 8.14 8.14 8.20 1’ 0 0
3 8.25 8.25 8.31 5’ 0 0
4 8.29 8.39 8.45 8’ 0 0
5 8.43 8.45 8.51 0 2’ 1
6 8.56 8.56 9.02 5’ 0 0
8
Tabel 1
Hubungan kedatangan, waktu menganggur, waktu tunggu dan panjang anterian dalam pelayanan nasabah TABANAS di Bank XYZ
Contoh 1.
Misal pelayanan terhadap nasabah TABANAS pada suatu bank
sebagai berikut : Kapasitas pelayanan rata-rata 10 kali setiap
jam berarti pelayanan memerlukan waktu 6 menit, sedangkan
kedatangan orang/nasabah setiap jam rata-rata 6 orang. Waktu
kedatangannya bersifat random dapat dilihat tabel sbb :
Nasabah
Ke -
Jam
Datang
Jam Pelayanan Waktu
Mengangg
ur
Waktu
Tunggu
Panjang
Antrian Mulai Selesai
1 8.07 8.07 8.16 0 0 0
2 8.14 8.16 8.25 0 0 1
3 8.25 8.25 8.34 0 0 0
4 8.29 8.39 8.48 5’ 0 0
5 8.43 8.48 8.57 0 2’ 1
6 8.56 8.57 9.06 0 1’ 1
9
Tabel 2
Pada tabel diatas terlihat terjadi banyak pengangguran petugas
(unit pelayanan) oleh karena itu untuk mengurangi pengangguran
kita kurangi petugas sehingga kapasitas pelayanan menjadi 9
menit tiap nasabah.
Yang kita cari adalah alternatif meminimalkan jumlah kedua biaya yaitu
biaya pengangguran fasilitas pelayanan dan biaya karena
meningkatnya waktu tunggu.
10
Pelayanan
Analisis Antrian
Rerata kedatangan ( Jumlah Rerata
dalam Antrian (nq )
Waktu Rerata dalam Sistem (tt )
Jumlah Rerata dalam Sistem (nt )
Waktu Tunggu Rerata dalam Antrian (tq )
Laju Pelayanan (
11
Grafik hubungan antara biaya, jumlah server dan kinerja
Jum
lah
Serv
er Biaya & jumlah
server Kinerja
Biaya Pelayanan
Optimal
Cost / biaya
12
Biaya Sistem Antrian
=1.0= 0.0
Bia
ya F
asi
lita
s P
ela
yan
an
Biaya Perkiraan Total
Biaya Waktu Tunggu Biaya
Pengadaan Layanan
Biaya Pelayanan
Optimal
*
13
Karakteristik Kedatangan
Ukuran Populasi Kedatangan
Tak terbatas (essentially infinite)
Terbatas (finite)
Pola kedatangan pada sistem
Terjadwal
Secara acak distribusi Poisson
!x
exP x
= !x
exP x
=
Komponen sistem antrian
1. Populasi masukan Berapa banyak pelanggan potensial yang masuk sistem antrian
2. Distribusi kedatangan Menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu dan dalam
periode waktu tertentu berturut-turut dalam waktu yang berbeda
3. Disiplin pelayanan Pelanggan yang mana yang akan dilayani lebih dulu : a. FCFS (first
come, first served) b. LCFS (last come, first served) c. Acak (SIRO) d. Prioritas (UGD)
4. Fasilitas Pelayanan mengelompokkan fasilitas pelayanan menurut jumlah yang tersedia
: a. Single-channel b. multiple-channel
5. Distribusi Pelayanan a. Berapa banyak pelanggan yang dapat dilayani per satuan waktu b. Berapa lama setiap pelanggan dapat dilayani
6. Kapasitas sistem pelayanan memaksimumkan jumlah pelanggan yang diperkenankan masuk
dalam sistem
6. Karakteristik sistem lainnya pelanggan akan meninggalkan sistem jika antrian penuh, dsb
Notasi dalam sistem antrian
nt = jumlah pelanggan dalam sistem
Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem
λ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang persatuan waktu
µ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktu
Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem
p = tingkat intensitas fasilitas pelayanan
nt = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dlm sistem
nq = jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian
tt = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem
tq = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama menunggu dalam antrian
1/µ = waktu rata-rata pelayanan
1/λ = waktu rata-rata antar kedatangan
S = jumlah fasilitas pelayanan
Ct = Biaya Total = S.Cs + nt.Cw
16
Konfigurasi Sistem Antrian
Single Channel, Single Phase System
Single Channel, Multiphase System
17
Konfigurasi Sistem Antrian
Multichannel, Single Phase System
Multichannel, Multiphase System
18
Disiplin Antrian
Bagaimana pelanggan diseleksi dari antrian untuk dilayani?
First Come First Served (FCFS)
Last Come First Served (LCFS)
Served in Random Order (SIRO)
Priority (jobs are in different priority classes)/UGD
Untuk kebanyakan model diasumsikan FCFS
Pemrograman Simulasi
19
Penamaan Antrian
X / Y / k (notasi Kendall)
X = distribusi kedatangan (iid)
Y = distribusi waktu pelayanan (iid)
M = distribusi eksponensial untuk waktu layanan dan kedatangan
Ek = distribusi Erlang k
G = general (antrian secara umum)
D = deterministic (layanan dan kedatangan konstan)
k = jumlah server
20
Model Antrian
1. M/M/1 atau M/M/I/I/I
2. M/M/s atau M/M/S/I/I
3. Model Waktu Pelayanan Konstan
4. G/G/k
5. Model Populasi Terbatas
21
Antrian M/M/1
22
Asumsi M/M/1
Laju kedatangan (distribusi Poisson)
Laju pelayanan (distribusi exponential)
Server tunggal (satu fasilitas pelayanan)
First-come-first-served (FCFS)
Panjang antrian tak terbatas
Jumlah pelanggan tak terbatas
SINGLE CHANNEL MODEL
Model yang paling sederhana yaitu model saluran tunggal atau sistem M/M/1
1. Populasi input tak terbatas 2. Distribusi kedatangan pelanggan potensial
mengikuti distribusi poisson 3. Disipliln pelayanan mengikuti FCFS 4. Fasilitas pelayanan terdiri dari saluran tunggal 5. Distribusi pelayanan mengikuti distribusi
poisson 6. Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas 7. Tidak ada penolakan maupun pengingkaran
24
Karakteristik Operasi M/M/1
Faktor Utilitas
Rerata Waktu Tunggu
Rerata Jumlah Pelanggan
=
=L
=
=
=
=tn
)(
2
=qn
)(
=qt
== sn
=
1tt
25
Karakteristik Operasi M/M/1
Persentasi Waktu Luang
Prob ada n Pelanggan dalam Sistem
Biaya Pengeluaran Total
=10P
1
=
k
knP
Total Cost = Waiting Cost + Service Cost
=10P
n
nP
=
1
Total Cost = Waiting Cost + Service Cost
=10P
Ct = Biaya Total = nt.Cw + S.Cs
26
Contoh 1
Sebuah bank memiliki 1 mesin ATM.
Kenyataanya :
Waktu rata-rata untuk melayani customer 50 detik
Rata-rata customer yang akan memakai atm 60 org/jam
Dirancang pembuatan mesin ATM yang baru.
Pihak bank ingin mengetahui probabilitas seorang customer pasti harus mengantri untuk memakai ATM
Penyelesaian :
=Tingkat kedatangan = 60 org/jam = 1 org/mnt
= tingkat layanan = 1 org/50 detik x 3600 detik /1 jam= 72 org/jam
Sehingga tingkat kesibukan = 60/72 = 0,833
Rata waktu tunggu dalam antrian = 0,0694 jam = 4,167menit
Artinya P(seorang customer harus mengantri) = 0,833
Lama menunggu rata-rata = 4,167 menit
Rata jumlah customer dalam antrian = 4,2 = 4 org
=
)(
=qt
)(
2
=qn
27
Contoh 2
Suatu toko variasi mobil memiliki data sbb: Selama 1 jam rata-rata ada 3 pembeli yang datang. Kapasitas pelayanan yang ada rata-rata setiap jam mampu melayani 8 langganan/pembeli.
Hitunglah :
A. Rata-rata jumlah langganan yang antri sebelum dilayani
B. Rata-rata jumlah langganan dalam sistem
C. Rata-rata lama langganan sebelum dilayani
D. Rata-rata lama langganan dalam sistem
E. Prob ada n langganan dalam sistem
F. Rata-rata banyak langganan yang sedang dilayani
G. Kalau biaya pelayanan setiap jam Rp 500 dan biaya karena langganan menunggu setiap jam Rp 100, maka hitunglah jumlah seluruhnya setiap jam.
28
=Tingkat kedatangan = 3 org/jam
= tingkat layanan = 8 org/jam
225,0)(
2
=
=
qnA
6,038
3=
=
=
tnB
075,0)38(8
3
)(=
=
=
qtC
2,038
11=
=
=
ttD
8
3==
F
G> E(Ct) = S.Cs + nt.Cw = 1.500 + 0,6.100=560
n
nPE
=
1
n 0 1 2 3 4 5 6 7 >8
P 0,625 0,324 0,088 0,012 0,005 0,002 0,001 0
Contoh 3 PT CIARD mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu operator. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi poisson yaitu 20 kendaraan per jam. Operator dapat melayani rata-rata 25 mobil per jam, dengan waktu pelayanan setiap mobil mengikuti distribusi probabilitas eksponensial. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan operator tersebut (M/M/1), hitunglah :
1. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan (p)
2. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem
3. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian
4. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan)
5. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian
Mobil antri menunggu
pelayanan
s
1 pompa bensin
melayani 20 mobil per
jam
Kedatangan
mobil, 15 per
jam
Mobil Keluar
SPBU CIARD
Fasilitas
Pelayanan
Penyelesaian
λ = 20 dan µ = 25
1. Tingkat intenstas (kegunaan) pelayanan atau 80,025
20
μ
λ p ===
Angka tersebut menunjukkan bahwa operator akan
sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya.
Sedangkan 20% dari waktunya
(1 – p) yang sering disebut idle time akan digunakan
operator untuk istirahat, dll
2 atau,42025
20
λ-μ
λ nt =
==
480,01
80,0
p-1
p nt =
==
Angka tersebut menunjukkan bahwa operator dapat
mengharapkan 4 mobil yang berada dalam sistem
3 20,3125
400
)2025(25
)20(
λ)-μ(μ
λ nq
22
==
==
Angka tersebut menunjukkan bahwa mobil yang
menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3,20
kendaraan
4 menit 12atau jam 20,025
1
2025
1
λ-μ
1 tt ==
==
Angka tersebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata
kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit
5 menit 9,6atau jam 16,0125
20
)2025(25
20
λ)-μ(μ
λ tq ==
==
Angka tersebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata
kendaraan menunggu dalam antrian selama 9,6 menit
32
Antrian M/M/s
33
Asumsi M/M/s
Laju kedatangan of (distribusi Poisson)
Service rate of (distribusi exponential)
Dua/lebih server
First-come-first-served (FCFS)
Panjang antrian tak terbatas
Jumlah pelanggan tak terbatas
Laju pelayanan sama pada semua server
34
Karakteristik Operasi M/M/s
Faktor Utilitas/rata-rata banyaknya objek dalam
fasilitas pelayanan
Rerata Waktu Tunggu
Rerata Jumlah Pelanggan
.M=
= LLq
.M=
.M=
1= qt ttS
q
SSS
Pot ).(
)/(1)(!( 2
=
.S=
= qt nn
02.
)()!1(
)/(P
SSn
S
q
=
35
Karakteristik Operasi M/M/s
Persentasi Waktu Luang
=
= S
S
Sn
PS
S
n
n
!
1
!
1
1
1
0
0
36
Contoh 4
Sebuah supermaket memiliki 4 jalur keluar/pembayaran. Kedatangan customer dengan tingkatan 100 org/jam. Rata-rata 1 customer dilayani 2 menit.
Ingin diketahui :
Berapa jumlah customer berada dalam antrian !
Probabilitas customer tidak harus antri !
Penyelesaian :
M = 4
= 100 org/jam
= 30 org/jam 1 jam = ?? Org
1 org = 2 menit
1 jam = 60/2 = 30 org
Sehingga = 0,8331
Dari dan diperoleh nq = 3,29 org
.M=
= 02
.)()!1(
)/(P
SSn
S
t
= tq nn
37
SOAL UJIAN OPERATION RESEARCH
TEORI ANTRIAN
1. Pengertian Sistem Antrian adalah ……. A. Pelayanan kepada pelanggan
B. Pelayanan setiap pelanggan dating
C. Keseluruhaan dari layanan yang diberikan kepada pelanggan sejak ia datang sampai selesai dilayani.
D. Keseluruhan dari layanan sejak pelanggan datang. 2. Penyebab timbulnya antrian adalah ……
A. Orang yang perlu dilayani terlalu banyak
B. Fasilitas layanan sedikit C. Antri yang lama mendatangkan kepuasan
D. Kedatangan orang yang ingin dilayani persatuan waktu lebih tinggi dari lama pelayanan persatuan waktu.
38
3. ‘Traffic Intencity’ merupakan perbandingan rata-rata kedatangan dengan rata-rata kemampuan pelayanan. Formulanya adalah ….
A.
B.
C. /
D. / 4. Suatu toko variasi mobil memiliki data sebagai berikut : Selama 1 jam rata-
rata ada 3 pembeli yang datang. Kapasitas pelayanan yang ada rata-rata setiap jam mampu melayani 8 langganan. Traffic Intencity adalah …..
A. 3/8
B. 8/3
C. 24
D. 2 2/3
39
MASUKAN M S M S KELUARAN
•Lihat diagram berikut :
PHASE 1 PHASE 2
5. Model antrian diatas adalah ….. A. Multi Channel-Single Phase
B. Multi Channel-Multi Phase
C. Single Channel-Multi Phase
D. Single Channel-Single Phase
6. Tingkat pelayanan dalam suatu periode tertentu dalam antrian ……
A.
B. /
C. /
D.
7. Model distribusi kedatangan memiliki ketentuan jumlah …
A. Macam fasilitas pelayanan banyak
B. System lebih dari 1
C. Kapasitas antrian terbatas D. Masukan tidak terhingga
40
•Model antrian dibawah adalah …..
M
S
S
Masukan Keluaran
A. Multi Channel-Multi Phase
B. Single Channel-Multi Phase
C. Single Channel-Single Phase D. Multi Channel-Single Phase
9. Disiplin antrian secara acak tanpa memandang kedatangan disebut …. A. FCFS
B. LCFS
C. SIRO
D. Emergency First
8. Model antrian dibawah adalah …..
41
10. Toko jujur setiap jam dikunjungi 4 pembeli. Kapasitas pelayanan setiap jam di toko jujur adalah 6 orang. Hitung rata-rata waktu antrian sebelum dilayani…. A. 0,30
B. 0,31
C. 0,32
D. 0,33
11. Objek yang datang atau masuk ke dalam system yang memerlukan pelayanan disebut dengan …. A. Antri B. Antrian
C. Input D. Output
12. Struktur yang dipakai di Rumah Sakit adalah ….. A. Multi Channel-Single Phase
B. Multi Channel-Multi Phase
C. Single Channel-Multi Phase
D. Single Channel-Single Phase