2. Modelos Lineares de Espaco de Estados

2.3 - Solucao das equacoes de espaco de estados, funcao de transferencia

e resposta ao impulso

Metodo para o calculo das solucoes: atraves do uso de transformadas de

Laplace

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2. Modelos Lineares de Espaco de Estados

Transformadas de Laplace

f : [0, +∞[ → R, f ∈ Eα, para algum α ∈ R, isto e:

• f e seccionalmente contınua no intervalo [0, +∞[

• f e de ordem de crescimento α-exponencial, i.e.,

∃M > 0 ∃t0 ≥ 0 |f(t)| ≤ Meαt ∀ t ≥ t0

Transformada de Laplace de f : L{f}(s) ou F (s)

L{f} : Df → C

s 7→ L{f}(s) =∫ +∞

0

e−stf(t)dt

onde Df = {s ∈ C : o integral∫ +∞0

e−stf(t)dt converge}

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Exemplo:

f(t) = eat −→ L{f} = F (s) = ?

F (s) =∫ ∞0

eat e−stdt =∫ ∞0

e−(s−a)tdt

= − 1s−a

e−(s−a)t]+∞

0= 1

s−a

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• O domınio de convergencia do integral∫ +∞0

e−stf(t)dt contem um

semi-plano direito, no plano complexo.

Mais concretamente:

Proposicao: Usando a notacao anteriormente introduzida, se f ∈ Eα

entao

Cα := {s ∈ C : Re(s) > α} ⊆ Df .

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Propriedades das transformadas de Laplace

1. Sejam f1 ∈ Eα1 , f2 ∈ Eα2 , a1, a2 ∈ R, entao

• a1f1 + a2f2 ∈ Eα, α = max{α1, α2};

• L{a1f1 + a2f2} = a1L{f1} + a2L{f2}

2. Se f ∈ Eα e a ∈ R entao

(1) L{eatf(t)} = F (s − a),

para todo s ∈ C tal que Re(s − a) > α

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3. Se f ∈ Eα e n ∈ N0 entao

L{tnf(t)} = (−1)n dn

d sn[F (s)],

4. Sejam f, f ′ ∈ Eα, sendo f ′ contınua para t ≥ 0, entao

L{f ′} = sF (s) − f(0)

5. Se f ∈ Eα, entao

L{∫ t

0

f(τ ) dτ

}=

1

sF (s)

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Tabela

f(t) L{f}

1 1s

tn n!sn+1

eat 1s−a

sin at as2+a2

cos at ss2+a2

eatf(t) F (s − a)

f(t − a)u∗a(t) e−asF (s)

tnf(t) (−1)n dnF (s)dsn

n ∈ N0, a ∈ R, u∗a(t) - degrau unitario (= 1 t ≥ a)

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Transformada inversa

Uma transformada inversa de Laplace de uma funcao F (s), L−1{F (s)}, e

outra funcao f que goza da propriedade L{f} = F (s).

Teorema: Se L{f} ≡ L{g} e se f e g so contınuas em [0, +∞[,

entao f ≡ g.

Teorema: Se as transformadas inversas de Laplace de duas funcoes F1(s)

e F2(s) existem, entao para quaisquer constantes c1 e c2

L−1{c1F1(s) + c2F2(s)} = c1L−1{F1(s)} + c2L−1{F2(s)}.

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Exemplo: F (s) = 1(s−2)(s+3)2

−→ f(t) = ?

1(s−2)(s+3)2

= As−2

+ B(s+3)2

+ Cs+3

A = 125 ;B = − 1

5 ; C = − 125

L−1[

1(s−2)(s+3)2

]= 1

25L−1(

1s−2

)- 125L−1

(1

s+3

)- 15L−1

(1

(s+3)2

)

= 125 e2t - 1

25 e−3t - 15L−1

(d

ds

(−

1

s + 3

))︸ ︷︷ ︸L−1

(−

d

ds

(1

s + 3

))︸ ︷︷ ︸

tL−1(

1s+3

)=te−3t

= 125e2t- 1

25e−3t- 15 te−3t

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Transformada de Laplace e derivacao

L{ ˙f(t)} = s L{f(t)} − f(0)

L{f(t)} =∫ ∞0

f(t) e−stdt =integrando por partes

=[f(t)(−1

se−st)

]+∞0

+ 1s

∫ ∞0

ddt

(f(t)) e−stdt

= f(0)s

+1sL{ d

dt(f(t))}

L{f(t)} = s L{f(t)}- f(0)

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Generalizando:

L{f (k)} =skL{f} -∑k−1

l=0 sk−1−lf (l)(0)

=skL{f} - sk−1 f(0) − sk−2 f (1)(0) − · · · − f (k−1)(0)

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Convolucao e a transformada de Laplace

P1: Sejam f, g : [0, +∞[ → R, seccionalmente contınuas

• O produto de convolucao ou convolucao de f e g dado por

(f ∗ g) (t) =∫ t

0

f(t − τ ) g(τ ) dτ.

Elemento neutro do produto de convolucao → δ tal que:

(δ ∗ f) (t) :=∫ t

0

δ(t − τ ) f(τ ) dτ = f(t)

δ → ”funcao” δ de Dirac → nao e uma funcao!!!

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Teorema: Sejam f e g satisfazendo P1, e de ordem exponencial.

Entao:

L{f ∗ g} = L{f} L{g} = F (s) G(s)

Corolario: L{δ} = 1

Demonstracao do teorema →

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2. Modelos Lineares de Espaco de Estados

L{f ∗ g} =∫ ∞0

[∫ t

0f(t − τ ) g(τ ) dτ

]e−st dt =

= limb→∞∫ b

0

[∫ t

0f(t − τ ) g(τ ) dτ

]e−st dt = ∗

∗ = limb→∞∫ b

0

∫ b−τ

0f(θ) g(τ ) e−s(θ+τ) dθ dτ =

= limb→∞∫ b

0

[∫ b−τ

0f(θ) e−sθ dθ

]g(τ ) e−sτ dτ =

=∫ ∞0

[∫ ∞

0

f(θ) e−sθ dθ

]︸ ︷︷ ︸

F (s)

g(τ ) e−sτ dτ =

=F (s)∫ ∞

0

g(τ ) e−sτ dτ︸ ︷︷ ︸G(s)

= F (s) G(s)

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2. Modelos Lineares de Espaco de Estados

∗

t

τ

→

θ = t − τ dθ = dt

τ

τ : 0 → b

t : τ → b

→

τ : 0 → b

θ : 0 → b − τ

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2. Modelos Lineares de Espaco de Estados

Aplicacao da transformada de Laplace aos sistemas EE x(t) = A x(t) + Bu(t)

y(t) = C x(t) + Du(t)↓ L sX(s) − x(0) = A X(s) + BU(s)

Y (s) = C X(s) + DU(s)↓ (sIn − A)X(s) = x(0) + BU(s)

Y (s) = C X(s) + DU(s)↓ X(s) = (sIn − A)−1x(0) + (sIn − A)−1BU(s)

Y (s) = C (sIn − A)−1x(0) + [C(sIn − A)−1B + D]U(s)

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2. Modelos Lineares de Espaco de Estados

Quando o sistema esta livre da influencia da entrada, isto e, quando

u(t) = 0 e portanto U(s) = 0:

X(s) = (sIn − A)−1x(0) =: Xl(s) → evolucao livre do estado

Y (S) = C(sIn − A)−1x(0) =: Yl(s) → evolucao livre da saıda / do

sistema

Quando os sistema tem condicao inicial nula, isto e, x(0) = 0, e e apenas

forcado pela entrada:

X(s) = (sIn − A)−1BU(s) =: Xf(s) → evolucao forcada do estado

Y (s) = [C(sIn − A)−1B + D]U(s) =: Yf(s) → evolucao forcada da

saıda / do sistema

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2. Modelos Lineares de Espaco de Estados

Yf(s) = [C(sIn − A)−1B + D]︸ ︷︷ ︸ U(s)

Funcao de transferencia do sistema

↓funcao (matricial) racional propria

∗

∗As suas entradas sao funcoes racionais (i.e., quocientes de dois

polinomios) proprias (i.e., o grau do denominador nao excede o do

numerador).

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2. Modelos Lineares de Espaco de Estados

As solucoes como funcoes do tempo

X(s) = (sIn − A)−1x(0) + (sIn − A)−1BU(s)

Y (s) = C (sIn − A)−1x(0) + [C(sIn − A)−1B + D]U(s)

↓ L−1 x(t) = L−1{(sIn − A)−1} x(0) + L−1{(sIn − A)−1}B ∗ u(t)

y(t) = C L−1{(sIn − A)−1} x(0) + [CL−1{(sIn − A)−1}B + Dδ] ∗ u(t)

L−1{(sIn − A)−1} = ?

(sIn − A)−1 e uma funcao (matricial) racional (estritamente) propria cuja

transformada de Laplace inversa e facil de calcular componente a

componente.

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2. Modelos Lineares de Espaco de Estados

Exemplo:

Calcule L−1{(sIn − A)−1} para A =

1 2

−2 1

.

(sI − A)−1 =

s−1(s−1)2+4

2(s−1)2+4

−2(s−1)2+4

s−1(s−1)2+4

L−1{(sI − A)−1} = et

cos 2t sin 2t

−sin 2t cos 2t

(verifique!)

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2. Modelos Lineares de Espaco de Estados

Expressao geral para L−1{(sIn − A)−1}

(sI − A)−1 = s−1I +∞∑

k=1

Aks−k−1

L−1{(sIn − A)−1} = L−1{s−1}I +∞∑

k=1

AkL−1{s−k−1}

= I +∞∑

k=1

AkL−1{dk

(1s

)dsk

(−1)k

k!}

=∞∑

k=0

Aktk

k!=: eAt

notacao escolhida por analogia com o caso escalar

L−1{ 1s−a

} = eat =∑∞

k=0aktk

k!

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2. Modelos Lineares de Espaco de Estados

Expressao geral para as solucoes no domınio do tempo x(t) = L−1{(sIn − A)−1} x(0) + L−1{(sIn − A)−1}B ∗ u(t)

y(t) = C L−1{(sIn − A)−1} x(0) + [CL−1{(sIn − A)−1}B + Dδ] ∗ u(t)

x(t) = eAt x(0) + eAtB ∗ u(t)

y(t) = C eAt x(0) + [CeAtB + Dδ] ∗ u(t)

x(t) = eAtx(0)︸ ︷︷ ︸xl(t)

+∫ t

0

eA(t−τ)B u(τ )dτ︸ ︷︷ ︸xf (t)

y(t) = CeAtx(0)︸ ︷︷ ︸yl(t)

+∫ t

0

CeA(t−τ)B u(τ )dτ + Du(t)︸ ︷︷ ︸yf (t)

evolucao livre evolucao forcada

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2. Modelos Lineares de Espaco de Estados

• Para t0 ≥ 0, as solucoes tambem podem ser escritas na seguinte forma:

x(t) = eA(t−t0)x(t0) +∫ t

t0eA(t−τ)B u(τ )dτ

y(t) = CeA(t−t0)x(t0) +∫ t

t0CeA(t−τ)B u(τ )dτ + Du(t)

Pois

x(t) = eAtx(0) +∫ t

0eA(t−τ)B u(τ)dτ

= eA(t−t0)(eAt0x(0) + +

∫ t

0eA(t0−τ)B u(τ)dτ

)= eA(t−t0)

(eAt0x(0) + +

∫ t00

eA(t0−τ)B u(τ)dτ)

+ eA(t−t0)(∫ t

t0eA(t0−τ)B u(τ)dτ

)= eA(t−t0)x(t0) +

∫ t

t0eA(t−τ)B u(τ)dτ

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2. Modelos Lineares de Espaco de Estados

Yf(s) = [C(sIn − A)−1B + D]︸ ︷︷ ︸ U(s)

Funcao de transferencia

L−1 ↓ ↑ L

Resposta ao impulso ∗

yf(t) =︷ ︸︸ ︷[CeAtB + Dδ] ∗u(t)

yf(t) =∫ t

0CeA(t−τ)B u(τ )dτ + Du(t)

∗ Impulso = funcao δ de Dirac; u = δ ⇒ yf = CeAtB + Dδ.

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