metode statistika (stk 5 11)

Metode Statistika Metode Statistika (STK(STK5511)11)

Konsep Peluang Konsep Peluang (Probability Concept)(Probability Concept)

PendahuluanPendahuluan Suatu fenomena dikatakan “acak” jika Suatu fenomena dikatakan “acak” jika

hasil dari suatu percobaan bersifat tidak hasil dari suatu percobaan bersifat tidak pastipasti

Fenomena “acak” sering mengikuti suatu Fenomena “acak” sering mengikuti suatu pola tertentupola tertentu

Keteraturan “acak” dalam jangka panjang Keteraturan “acak” dalam jangka panjang dapat didekati secara matematikadapat didekati secara matematika

Studi matematika mengenai “keacakan” Studi matematika mengenai “keacakan” TEORI PELUANG – peluang merupakan TEORI PELUANG – peluang merupakan suatu bentuk matematika dari sifat acak suatu bentuk matematika dari sifat acak tersebuttersebut

Teori PeluangTeori Peluang Ada dua tipe percobaan:Ada dua tipe percobaan:

Deterministik : Deterministik :

Suatu percobaan yang Suatu percobaan yang menghasilkan output menghasilkan output

yang samayang sama

Probabilistik : Probabilistik : Hasil dari percobaan bisa Hasil dari percobaan bisa sembarang kemungkinan sembarang kemungkinan

hasil yang adahasil yang ada

We are waiting the bus

Lama menunggu sampai bus datang

Bagaimana menghitung banyaknya Bagaimana menghitung banyaknya kemungkinan?kemungkinan? perlu pengetahuan mengenai KAIDAH perlu pengetahuan mengenai KAIDAH

PENGGANDAAN, KOMBINASI, & PENGGANDAAN, KOMBINASI, & PERMUTASIPERMUTASI

dapat dihitung peluang kejadian dari dapat dihitung peluang kejadian dari suatu percobaansuatu percobaan

Ruang Contoh dan KejadianRuang Contoh dan Kejadian

Ruang ContohRuang Contoh adalah suatu gugus adalah suatu gugus yang memuat semua hasil yang yang memuat semua hasil yang berbeda, yang mungkin terjadi dari berbeda, yang mungkin terjadi dari suatu percobaan. suatu percobaan. – Notasi dari ruang contoh adalah sebagai Notasi dari ruang contoh adalah sebagai

berikut:berikut:S = {e1, e2, …, en}, n = banyaknya hasilS = {e1, e2, …, en}, n = banyaknya hasiln bisa terhingga atau tak terhingga n bisa terhingga atau tak terhingga

Contoh (1)Contoh (1) Pelemparan sebutir dadu yang Pelemparan sebutir dadu yang

seimbangseimbang

Pelemparan coin setimbangPelemparan coin setimbang

Semua kemungkinan nilai yang muncul

S={1,2,3,4,5,6}


S={G, A}

Contoh (1)Contoh (1) lanjutan…..lanjutan….. Jenis Kelamin BayiJenis Kelamin Bayi

Pelemparan dua keping coin Pelemparan dua keping coin setimbangsetimbang


S={Laki-laki,Perempuan}


S={GG, GA, AG, AA}

Ruang kejadianRuang kejadian

adalah anak gugus dari ruang contoh, adalah anak gugus dari ruang contoh, yang memiliki karakteristik tertentu. yang memiliki karakteristik tertentu. – Ruang kejadian biasanya dinotasikan Ruang kejadian biasanya dinotasikan

dengan huruf kapital (A, B, …).dengan huruf kapital (A, B, …).

Contoh (2)Contoh (2) Percobaan : pelemparan 2 coin setimbangPercobaan : pelemparan 2 coin setimbang

Kejadian : munculnya sisi angka Kejadian : munculnya sisi angka

Percobaan : Pelemparan dua dadu sisi Percobaan : Pelemparan dua dadu sisi enam setimbangenam setimbangKejadian : munculnya sisi ganjil pada dadu Kejadian : munculnya sisi ganjil pada dadu II

A={GA, AG, AA}

B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 31, 32, …., 56}

Ruang

Kejadian

Bagaimana cara Bagaimana cara menghitung banyaknya menghitung banyaknya

ruang contoh & kejadian?ruang contoh & kejadian?

Mengingat kembali apa itu FaktorialMengingat kembali apa itu Faktorial

Jika n adalah bilangan bulat positif, makaJika n adalah bilangan bulat positif, makan! = n (n-1) (n-2) ... (3)(2)(1) n! = n (n-1) (n-2) ... (3)(2)(1)

n! = n (n-1)!n! = n (n-1)! Kasus khusus 0! Kasus khusus 0! 0! = 1 0! = 1 Contoh :Contoh :

4! = 4.3.2.1 = 244! = 4.3.2.1 = 24 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 1205! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 120 6! =6.5! = 7206! =6.5! = 720 7! =7.6! =7! =7.6! = 10! =……………..10! =……………..

Penggandaan (1)Penggandaan (1)

– Pengandaan dapat digunakan jika setiap Pengandaan dapat digunakan jika setiap kemungkinan dibentuk dari komponen-kemungkinan dibentuk dari komponen-komponen yang saling bebas. komponen yang saling bebas.

N(S) = n1 x n2 x … x n1N(S) = n1 x n2 x … x n1– ContohContoh

Melempar 3 buah mata uang:Melempar 3 buah mata uang:N(S) = 2 x 2 x 2 = 8N(S) = 2 x 2 x 2 = 8

Melempar 2 buah daduMelempar 2 buah dadu

N(S) = 6 x 6 = 36N(S) = 6 x 6 = 36

– Permutasi merupakan kejadian dimana Permutasi merupakan kejadian dimana SUSUNAN OBJEK yang terpilih SUSUNAN OBJEK yang terpilih DIPERHATIKAN. DIPERHATIKAN.

– Misalkan memilih orang untuk Misalkan memilih orang untuk membentuk kepengurusan suatu membentuk kepengurusan suatu organisasi, dimana jika Si A terpilih organisasi, dimana jika Si A terpilih menempati posisi ketua berbeda menempati posisi ketua berbeda maknanya dengan Si A terpilih maknanya dengan Si A terpilih menempati posisi wakil ketua. menempati posisi wakil ketua.

Permutasi (2)Permutasi (2)

Permutasi tingkat r dari n unsur/objek dapat dirumuskan Permutasi tingkat r dari n unsur/objek dapat dirumuskan sebagai berikut:sebagai berikut:

Lanjutan Permutasi (2)Lanjutan Permutasi (2)

– Misalkan terdapat 5 kandidat. Akan dibenuk Misalkan terdapat 5 kandidat. Akan dibenuk susunan pengurus yang terdiri dari Ketua, susunan pengurus yang terdiri dari Ketua, Wakil Ketua, dan Bendahara :Wakil Ketua, dan Bendahara :

!0...)1()(

!0...)2()1(

)!(

!

xxrnxrn

xxnxnnx

rn

nPnr

K WK B

5 4 3= 60

Permutasi tingkat 3 dari 5 objek

60!2

!2.3.4.5

!2

!5

)!35(

!553

P

Kombinasi Kombinasi (3)(3)

– Kombinasi merupakan kejadian dimana Kombinasi merupakan kejadian dimana SUSUNAN OBJEK yang terpilih TIDAK SUSUNAN OBJEK yang terpilih TIDAK DIPERHATIKANDIPERHATIKAN

– Misalkan memilih sejumlah orang untuk Misalkan memilih sejumlah orang untuk menempati suatu sejumlah kursi tempat menempati suatu sejumlah kursi tempat duduk, dimana susunan tempat duduk duduk, dimana susunan tempat duduk tidak menjadi perhatian.tidak menjadi perhatian.

Lanjutan Kombinasi (3)Lanjutan Kombinasi (3)

– Misalkan terdapat 5 orang yang akan dipilih 3 Misalkan terdapat 5 orang yang akan dipilih 3 orang untuk masuk ke dalam tim cepat tepat orang untuk masuk ke dalam tim cepat tepat

!!0...)1()(

!0...)2()1(

!)!(

!

xrxxrnxrn

xxnxnnx

rrn

nC nr

Kombinasi tingkat r dari n Kombinasi tingkat r dari n unsur/objek dapat dirumuskan unsur/objek dapat dirumuskan sebagai berikut:sebagai berikut:

Kombinasi 3 dai 5

10!3!2

!3.4.5

!3!2

!5

!3)!35(

!5

3

5

A B C

A B D

A B E

A C D

A C E

A D E

B C D

B C E

B D E

C D E

Contoh (3)Contoh (3)

Dalam satu kepengurusan terdiri dari 5 laki-Dalam satu kepengurusan terdiri dari 5 laki-laki dan 4 perempuan. Jika akan dipilih satu laki dan 4 perempuan. Jika akan dipilih satu tim yang terdiri dari 2 orang laki-laki dan tim yang terdiri dari 2 orang laki-laki dan seorang perempuan untuk mewakili dalam seorang perempuan untuk mewakili dalam munas, ada berapa susunan tim yang munas, ada berapa susunan tim yang mungkin terbentuk! mungkin terbentuk!

404101

4

2

5

x

Definisi PeluangDefinisi Peluang

Peluang Klasik Peluang Klasik

Pendekatan klasik terhadap Pendekatan klasik terhadap penentuan nilai peluang diberikan penentuan nilai peluang diberikan dengan menggunakan nilai frekuensi dengan menggunakan nilai frekuensi relatif.relatif.

Andaikan dilakukan percobaan Andaikan dilakukan percobaan sebanyak N kali, dan kejadian A sebanyak N kali, dan kejadian A terjadi sebanyak n terjadi sebanyak n N kali maka N kali maka peluang A didefinisikan sebagai P(A) peluang A didefinisikan sebagai P(A) = n/N= n/N

Hukum Bilangan BesarHukum Bilangan Besar P(A) P(A) m/n m/nJika suatu proses atau percobaan diulang Jika suatu proses atau percobaan diulang

sampai beberapa kali (DALAM JUMLAH sampai beberapa kali (DALAM JUMLAH BESAR = n), dan jika karakteristik A BESAR = n), dan jika karakteristik A muncul m kali maka frekuensi relatif, m/n, muncul m kali maka frekuensi relatif, m/n, dari A akan mendekati peluang dari Adari A akan mendekati peluang dari A

Peluang Subyektif Peluang Subyektif

Berapa peluang hidup di mars?Berapa peluang hidup di mars? Berapa peluang dapat bertahan Berapa peluang dapat bertahan

hidup dalam kondisi dingin?hidup dalam kondisi dingin?

Aksioma PeluangAksioma Peluang

Beberapa kaidah sebaran peluang, Beberapa kaidah sebaran peluang, yaitu:yaitu:1.1. 0 0 p(xi) p(xi) 1, untuk i=1,2, …, n 1, untuk i=1,2, …, n2.2. Jumlah peluang seluruh kejadian dalam Jumlah peluang seluruh kejadian dalam

ruang contoh adalah 1, ruang contoh adalah 1,

3.3. p(A1+A2+…+Am) = p(A1)+p(A2)+…p(A1+A2+…+Am) = p(A1)+p(A2)+…+p(Am), jika A1, A2, …, Am merupakan +p(Am), jika A1, A2, …, Am merupakan kejadian-kejadian yang terpisah. kejadian-kejadian yang terpisah.

1)(1

n

iixp

Contoh (4):Contoh (4):

1.1. Sebuah dadu dilempar, maka ruang contohnya:Sebuah dadu dilempar, maka ruang contohnya:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S)=6S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S)=6jika setiap sisi seimbang maka peluangnyajika setiap sisi seimbang maka peluangnyap(1)=p(2)=….=p(6)=1/6p(1)=p(2)=….=p(6)=1/6

2.2. Sebuah kejadian yang diharapkan adalah sisi Sebuah kejadian yang diharapkan adalah sisi yang muncul kurang atau sama dengan empat yang muncul kurang atau sama dengan empat maka ruang kejadiannya:maka ruang kejadiannya:

A = {1, 2, 3, 4}, n(A) = 4A = {1, 2, 3, 4}, n(A) = 4Maka peluang kejadian A adalah:Maka peluang kejadian A adalah:P(A) = 4/6 = 2/3P(A) = 4/6 = 2/3

Lanjutan Contoh (4)Lanjutan Contoh (4)

Dalam satu kepengurusan terdiri dari 5 laki-laki Dalam satu kepengurusan terdiri dari 5 laki-laki dan 4 perempuan. Jika akan dipilih satu tim yang dan 4 perempuan. Jika akan dipilih satu tim yang terdiri dari 2 orang laki-laki dan seorang terdiri dari 2 orang laki-laki dan seorang perempuan untuk mewakili dalam munas, perempuan untuk mewakili dalam munas, berapa peluang dari tim tersebut terbentuk? berapa peluang dari tim tersebut terbentuk?

404101

4

2

5

x 84

!6!3

!6.7.8.9

!6!3

!9

3

9

A = kejadian terbentuknya tim yang terdiri 2 laki-laki dan 1 perempuan

n(A) = n(S) =

21

10

84

40

)(

)()(

Sn

AnAP

Hukum Penjumlahan dalam Peluang

Jika terdapat dua kejadian A dan B maka P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

Jika A dan B saling lepas (mutually exclusive), P(AB) =0, sehingga

P(AB) = P(A) + P(B)

Hukum Perkalian dalam Peluang

Jika terdapat dua kejadian A dan B maka P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)

Jika A dan B saling bebas, P(AB) = P(A) P(B)

A B

A BA B

Kejadian Saling BebasKejadian Saling Bebas

Kejadian saling bebas adalah Kejadian saling bebas adalah kejadian-kejadian yang tidak saling kejadian-kejadian yang tidak saling mempengaruhi. mempengaruhi.

Peluang dari dua buah kejadian yang Peluang dari dua buah kejadian yang saling bebas adalah:saling bebas adalah:

P(AP(AB)=P(A).P(B)B)=P(A).P(B)


Peluang bayi berjenis kelamin laki-laki Peluang bayi berjenis kelamin laki-laki diketahui 0.6. Jika jenis kelamin anak diketahui 0.6. Jika jenis kelamin anak pertama (A) dan kedua (B) saling pertama (A) dan kedua (B) saling bebas, berapa peluang jenis kelamin bebas, berapa peluang jenis kelamin anak pertama dan anak kedua laki-anak pertama dan anak kedua laki-laki?laki?

P(A P(A B)= P(A).P(B)=0.6*0.6=0.36B)= P(A).P(B)=0.6*0.6=0.36

Peluang BersyaratPeluang Bersyarat

Peluang bersyarat adalah peluang suatu Peluang bersyarat adalah peluang suatu kejadian (A) jika kejadian lain (B) diketahui kejadian (A) jika kejadian lain (B) diketahui telah terjadi. telah terjadi.

Peluang A bersyarat B dinotasikan P(A|B), Peluang A bersyarat B dinotasikan P(A|B), dimana:dimana:P(A|B) = P(AP(A|B) = P(AB) / P(B)B) / P(B)

Jika kejadian A dengan B saling bebas Jika kejadian A dengan B saling bebas maka,maka,P(A|B)=P(AP(A|B)=P(AB) / P(B) B) / P(B) =P(A).P(B)/P(A)=P(A)=P(A).P(B)/P(A)=P(A)

Contoh (5):Contoh (5):

Dalam sebuah kotak berisi 2 bola Dalam sebuah kotak berisi 2 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil merah dan 3 bola biru. Jika diambil dua buah bola tanpa pemulihan. dua buah bola tanpa pemulihan. Berapakah peluang bola kedua Berapakah peluang bola kedua berwarna merah (A) jika pada berwarna merah (A) jika pada pengambilan pertama diketahui pengambilan pertama diketahui berwarna biru (B).berwarna biru (B).

P(A/B)= P(AP(A/B)= P(AB)/P(B) B)/P(B)

= (3/5)(2/4)/(3/5) = (3/5)(2/4)/(3/5) = 2/4= 2/4

I

II

3/5

2/4

MIsalkan :MIsalkan :A= terambilnya bola merah A= terambilnya bola merah pada pengambilan IIpada pengambilan II

B = terambilnya bola biru B = terambilnya bola biru pada pengambilan Ipada pengambilan I

A

B

Pengambilan

I

3/5

2/5

3/4

A

2/4

1/4

2/4

A

Untuk mengerjakan Untuk mengerjakan kasus diatas, dapat kasus diatas, dapat juga dilakukan juga dilakukan sebagai berikut:sebagai berikut:

MIsalkan B = MIsalkan B = terambilnya bola biru terambilnya bola biru pada pengambilan Ipada pengambilan I

A= terambilnya bola A= terambilnya bola merah pada merah pada pengambilan IIpengambilan II

PertamaPertamaKeduaKedua

Merah Merah (B(B--))

Biru Biru (B)(B)

TotalTotal

Merah Merah (A)(A)

2/202/20 6/206/20 8/208/20

BiruBiru(A(A--))

6/206/20 6/206/20 12/2012/20

TotalTotal 8/208/20 12/2012/20 20/2020/20

P(A B) = P(A).P(B)Perhatikan tabel kemungkinanPerhatikan tabel kemungkinanP(A/B)=(6/20)/(12/20)=1/2P(A/B)=(6/20)/(12/20)=1/2

Teorema BayesTeorema Bayes


Kota Bogor disebut kota hujan karena peluang Kota Bogor disebut kota hujan karena peluang terjadinya hujan (H) cukup besar yaitu sebesar terjadinya hujan (H) cukup besar yaitu sebesar 0.6. Hal ini menyebabkan para mahasiswa harus 0.6. Hal ini menyebabkan para mahasiswa harus siap-siap dengan membawa payung (P). Peluang siap-siap dengan membawa payung (P). Peluang seorang mahasiswa membawa payung jika hari seorang mahasiswa membawa payung jika hari hujan 0.8, sedangkan jika tidak hujan 0.4. hujan 0.8, sedangkan jika tidak hujan 0.4.

Berapa peluang hari akan hujan jika diketahui Berapa peluang hari akan hujan jika diketahui mahasiswa membawa payung?mahasiswa membawa payung?

Hujan atau tidak hujan harus siap-siap bawa payung nih, soalnya ga bisa diprediksi

Misalkan :Misalkan :

H = Bogor hujan, H = Bogor hujan,

P = mahasiswa membawa payungP = mahasiswa membawa payung

P(H) = 0.6 P(TH) = 1-0.6=0.4 P(P|H) = 0.8P(H) = 0.6 P(TH) = 1-0.6=0.4 P(P|H) = 0.8

P(P|TH) = 0.4P(P|TH) = 0.4

Ditanya : P(H|P)Ditanya : P(H|P)

Jawab :Jawab :

64.0

48.0

16.048.0

48.0

4.04.08.06.0

8.06.0)/(

)/()()/()(

)/()(

)()(

)(

)(

)()/(

xx

xPHP

THPPTHPHPPHP

HPPHP

PTHPPHP

PHP

PP

PHPPHP

Teorema Bayes

Sesuai hukum perkalian peluang

Teorema BayesTeorema Bayes

Suatu gugus universum disekat menjadi Suatu gugus universum disekat menjadi beberapa anak gugus B1, B2, …, Bn dan A beberapa anak gugus B1, B2, …, Bn dan A suatu kejadian pada U dengan p(B)suatu kejadian pada U dengan p(B)0 0 maka,maka,

P(A) = P(A) = P(Bi)P(A/Bi) P(Bi)P(A/Bi)

Peluang BPeluang Bkk bersyarat A, dapat dihitung bersyarat A, dapat dihitung sebagai berikut:sebagai berikut:

P(BP(Bkk/A) = P(B/A) = P(BkkA)/ P(A)A)/ P(A)

Perhatikan diagram berikut:Perhatikan diagram berikut:– Ruang contoh dipecah Ruang contoh dipecah

menjadi kejadian B1, B2,menjadi kejadian B1, B2,…,Bn saling terpisah…,Bn saling terpisah

– Disamping itu ada kejadian Disamping itu ada kejadian A, yang dapat terjadi pada A, yang dapat terjadi pada kejadian B1, B2,…,Bn. kejadian B1, B2,…,Bn. Dengan demikian, Dengan demikian, A=(AA=(AB1) + (AB1) + (AB2) + …. + B2) + …. + (A(ABn)Bn)

– Peluang kejadian A adalah: Peluang kejadian A adalah: P(A)=P(AP(A)=P(AB1) + P(AB1) + P(AB2) + B2) + …. + P(A…. + P(ABn)Bn)

– Dengan memanfaatkan sifat Dengan memanfaatkan sifat peluang bersyarat, peluang bersyarat, diperoleh peluang Bk diperoleh peluang Bk bersyarat A adalah:bersyarat A adalah:

B1 ………. Bn

Kejadian A

P(Bk/A) = P(Bk)P(A/Bk)/ P(Bk/A) = P(Bk)P(A/Bk)/ P(Bi)P(A/Bi) P(Bi)P(A/Bi)

PRTiga kantung berisi kelereng sebagai berikut:

Kantung 1: 3 Merah, 7 PutihKantung 2: 5 Merah, 5 PutihKantung 3: 6 Merah, 4 Putih

Sebuah kelereng diambil secara acak dari kantung 1. Jika kelereng ini merah, sebuah kelereng diambil dari kantung 2; jika kelereng ini putih, sebuah kelereng diambil dari kantung 3.

(a) Berapa peluang terambilnya kelereng merah pada ambilan yang ke dua?

(b) Misalkan dari ambilan kedua diperoleh kelereng merah. Berapa peluang(bersyarat) bahwa kelereng pertama yang terambil juga merah?

metode statistika (stk 5 11)

Documents