Menceraikan Pecahan kedalam Pecahan Bagian

Telah kita ketahui bahwa, hasil jumlah dua atau beberapa buah pecahan pada

umumnya berupa pecahan pula. Sekarang kita hendak memeriksa, adakah hasil jumlah itu

dapat diuraikan lagi kedalam suku-sukunya. Pengerjaan ini di sebut menceraikan pecahan

kedalam pecahan bagian.

penjumlahan beberapa buah pecahan aljabar menghasilkan suatu pecahan jumlah, yang

penyebutnya berupa KPK penyebut suku-suku yang di jumlahkan. Maka jika suatu pecahan

aljabar hendak diuraikan kedalam suku-suku asalnya, mestilah penyebut pecahan itu

diuraikan dahulu kedalam factor. Pangkat penyebut pecahan yang akan diceraikan ituboleh

dipandang sekurang-kurangnya satu lebih tinggi daripada pangkat pembilang; bila tidak

demikian halnya, pecahan boleh dijabar dahulu menjadi bentuk tercampur, contohnya :

1). x2+3 x+5x2−5x+4

≡ x+5+ 24 x−15x2−5 x+4

; yang harus diceraikan menjadi pecahan bagian,

yaitu bentuk 24 x−15x2−5 x+4

. Mula-mula diuraikan penyebutnya : x2−5 x+4=( x−1 ) ( x−4 ) ;

sesudah itu diumpamakan :

24 x−15x2−5 x+4

≡ AX−1

+ BX−4 . . . . . . .(I)

Kedua pembilang didalam ruas yang kedua itu harus berupa pangkat x yang ke-nol,

sebab jika umpamanya ia berpangkat satu atau lebih dalam x, mestilah pecahan dalam ruas

kedua itu dapat diceraikan kedalam bentuk tercampur, sedang hasil jumlah bentuk-bentuk

bulat itumenurut suatu sifat yang telah dibicarakan terdahulu harus identik dengan nol. Hal

itu disebabkan, oleh karena ruas pertama berupa pecahan sebenarnya.

Selanjutnya (I) itu memperlihatkan, bahwa A dan B melukiskan bilangan yang

demikian, sehingga dipenuhi :

24x-15 ≡ A ( x−4 )+B ( x−1 ) .

Artinya, untuk setiap harga yang diberikan kepada x, ruas pertama harus sama dengan ruas

kedua. Karena ruas-ruas itu hanyalah berupa pangkat kesatu dalam x, jika kita mengusahan,

agar ia sama untuk dua buah harga x yang berlainan; maka berturut-turut diambil x = 1 dan

x2+3 x+5x2−5 x+4

≡ x+5-3

X−1+ 27

X−4 .

Jadi untuk selanjutnya boleh dianggap bahwa pecahan yang hendak diceraikan itu berbentuk

g (x)f (x )

; dalam bentuk f(x) menyatakan suku banyak yang berpangkat n dan g(x) menyatakan

suku banyak yang pangkatnya lebih rendah dari pada n, sedang disamping itu dianggap pula,

bahwa f(x) dapat diuraikan kedalam n factor linier yang berbeda-beda, jadi umpamanya :

f(x) ≡ A(x-a1) (x-a2). . . . . . . .(x-xn).

perlu pula diperhatiakn, bahwa faktor-faktor seperti px + pa dan qx + qa, yang dapat di tulis

sebagai p(x + a) dan q(x + a), tidaklah dipandang sebagai faktor-faktor yang berbeda. Dalam

segala faktor linier berpangkat satu dalam x) yang terbentuk karena penguraian diatas itu

koefisien x disamakan dengan 1(bila perlu, dengan jalan memindahkan sesuatu faktor

bilangan kedepan kurung), sedang segala bilangan-bilangan a1, a2, dsb. Itu dianggap berbeda-

beda.

Sekarang kita hendak mencoba untuk menceraikan pecahan yang tak dapat

dimudahkan g (x)f (x ) kedalam hasil jumlah n pecahan bagian yang bentuknya dinyatakan oleh

Tk

x−ak , atau dengan kata-kata yang laen, kita mengumpamakan, bahwa:

g (x)f (x )

≡ T1

x−a1 +

Tx−a2

+ . . . . . .+ Tn

x−an .

Setelah ruas kiri dan ruas kanan diperbanyak dengan f(x), didapatlah

g(x) = AT1 (x-a2) (x-a3). . . . . (x-an) +

AT2 (x-a1) (x-a3). . . . . (x-an) +

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+

ATn (x-a1) (x-a2). . . . . (x-an-1) . . . . . . . . . . . (2)

Ruas-ruas yang diatas itu setinggi-tingginya berpangkat n-1; agar identitet itu berlaku, telah

cukuplah jika ruas-ruas itu berharga sama untuk n harga x yang berbeda-beda. Yang terpilih

sebagai n harga-harga itu yakni a1, a2, . . . . ,an, yang menurut anggapan yang diatas itu

semuanya berbeda-beda.

Substitusi x = a1 memberikan :

g (a1) = AT1 (a1 – a2) (a1 – a3). . . . . . . (a1 – an),

sehingga T1 =g(a¿¿1)

A (a¿¿1−a2)(a¿¿1−a3)…(a¿¿1−an)¿¿¿¿ ,

Demikian pula substitusi x = a2 kedalam (2) akan memberikan :

T2 =g(a¿¿1)

A (a¿¿1−a2)(a¿¿1−a3)…(a¿¿1−an)¿¿¿¿ ,

Dst. Dengan jalan demikian segala pembilang itu telah dapat ditetapkan; lain dari pada itu

Nampak pula, bahwa jika penyebut dapat diuraikan kedalam bermacam-macam linier,

penceraian pecahan bagian menurut cara ini selamanya mungkin dikerjakan.

Tentang cara ini hendak diberikan sebuah contoh lagi :

2). Ceraikan 3 x2+x−382x2−14 x2+30

kedalam pecahan bagian.

Yang mula-mula dikerjakan yaitu penyebut, penyebut itu yakni 2(x3 – 7x2 + 7x +15),

diuraikan kedalam faktor-faktor linier.

Oleh sebab x2 – 7x2 + 7x + 15 itu menjadi nol untuk x = -1, bentuk tersebut dapat dibagi

dengan x + 1. 1 – 7 +7 +15

pembagian itu di kerjakan dengan cara – 1 +8 – 15

berhitung menurur Horner; hasil pembaginya 1 –8 +15 0

ialah x2 – 8x + 15 = (x – 3) (x – 5), sehingga diperoleh

2x3 – 14x2 + 30 = 2(x + 1)(x – 3)(x – 5).

Sesudah itu dimisalkan :

3 x2+x−382x2−14 x2+30

≡T1

x+1 +

T 2

x−3 +

T 3

x−5

Sehingga kita peroleh indentitet :

3x2 + x – 38 ≡ 2T1 (x – 3)(x – 5) + 2T2 (x + 1)( x – 5) + 2T3 (x +1)(x – 3).

Sehingga substitusi x = - 1 menghasilkan :

–36 = + 48T1, sehingga T1 = - 34 ; x = 3 memberikan :

–8 = + 16T2, sehingga T2 = 12 dan x = 3 memberikan :

42 = 24T3, sehingga T3 =1 34 .

Hasil penceraian yang di tanyakan itu berupa

3 x2+x−382x2−14 x2+30

≡−34

x+1 +

12

x−3 +

1 34 3

x−5

Apabila pecahan g (x)f (x )

itu dapat dimudahkan, pengerjaan yang diatas itu baru dilakukan,

setelah pembilang dan penyebut dibagi oleh faktor persekutuan itu.

Hingga sekarang telah diumpamakan, bahwa penyebut pecahan yang harus diceraikan itu

dapat diuraikan kedalam faktor-faktor linier yang semuanya berbeda. Tapi jika didalam

penyebut yang asli itu ada terdapat faktor-faktor yang sama (pecahan diandaikan tak dapat

dimudahkan), penceraian kedalam pecahan-pecahanyang hanya mengandung penyebut linier

itu tidak mungkin dilaksanakan.

Didalam penyebut bersama, suatu faktor linier itu hanya akan terambil m kali, apabila

sekurang-kurangnya satu diantara berbagai penyebut pecahan yang harus dijumlahkan itu

mengandung m faktor tersebut. Bahwa jika pecahan asli yang tak dapat dimudahkan

f ( x)( x−a1 )3 ( x−a2 )2(x−a3)

(a1 ≠ a2 ≠ a3 ) dapat ditulis sebagai hasil jumlah pecahan yang lain,

salah satu diantara suku-suku itu harus mengandung tiga faktor x – a1 didalam penyebut.

Maka bentuk yang semudah-mudahnya daripada pecahan itu ialah T 1

( x−a1 )3 ; dalam bangun

itu T1 menyatakan suatu bilangan yang diketahui. Selanjutnya dapat juga dibuktikan, bahwa

pecahn dapat diceraikan menurut cara yang berikut ; penceraian macam lain tidak mungkin

pula ada :

f ( x)( x−a1 )3 ( x−a2 )2(x−a3)

≡ T 1

( x−a1 )3 +

T 2

( x−a2 )2 + T 3

(x−a1) +

T 4

( x−a1 )2 +

T 5

(x−a2) +

T 6

(x−a3) .

3). Ceraikan x2

(x+1)3(x−x 1)2 kedalam pecahan bagian.

Mka dimisalkan :

x2

(x+1)3(x−x1)2 =A

(x+1)3 + B

(x+1)2 + C

(X+1) + D

(x−1)2 + E

(X−1).

Setelah ruas kiri dan kanan di perbanyak dengan (x+1)3(x−x1)2 di peroleh identitet:

X2 ≡ A(x−1)2 + B(x+1) (x−1)2 + C(x+1)2(x−1)2 + D(x+1)3+ E(x+1)3(x-1).

Subtitusi x=1 kedalam bentuk itu memberikan : 1=8D, jadi D=1/8.

Untuk x = -1 diperoleh : 1 = 4A, jadi A = 14 .

Setelah koefisien x4 didalam ruas pertama disamakan dengan koefisien x4 didalam ruas

kedua didapat pula : 0 = C + E.

Selanjutnya dimasukkan harga x = 0:

0 = A + B + C +C – E,

Lalu koefisien x3 didalam kedua ruas itu disamakan pula : 0 = B + D + 2E.

Harga yang telah didapat untuk A dan D dimasukkan kedalam dua persamaan yang terakhir,

sehingga diperoleh :

B + C – E = −38 ; B + 2E =

−18 ;

Sesuai dengan perhubungan C + E = 0, diperoleh pula :

B = −14 , C =

−116 , E =

116 .

Akhirnya harga-harga yang telah didapatkan untuk A, B, C, D, dan E itu dimasukkan

kedalam bentuk yang dimisalkan tadi, sehingga penceraian pecahan bagian yang di tanyakan

itu menjadi :

x2

(x+1)3(x−x1)2 ≡ 1

4 (x+1)3 - 1

4 (x+1)2 - 1

16(X+1) +

18(x−1)2 +

116(X−1) .

Soal no 5

2 x+3( x+1 )2(x+2)

=A

( x+1 )2 +

B(x+1) +

C(x+2)

2 x+3( x+1 )2(x+2)

=

A (x+2 )+B ( x+1 ) ( x+2 )+C ( x+1 )2

( x+1 )2(x+2)

Untuk x = -2

C ( x+1 )2= 2x + 3

C(−2+1 )2 = 2 (-2) + 3

C = -1

Ax +2 A

Bx2 + 3Bx +2B

Cx2 + 2 Cx + C

B + C = 0 (koefisien x2)

B – 1 = 0

B = 1

A + 3 B + 2C = 2 (koefisien x)

A + 3(1) +2(-1) = 2

A + 3 - 2 = 2

A = 1

2A + 2B + C = 3 (konstanta)

2A + 2 (1) -1 = 3

2A = 2

A = 1

Bukti : 2 x+3

( x+1 )2(x+2)=

1( x+1 )2

+ 1

(x+1)

−1(x+2)

2 x+3( x+1 )2(x+2)

=

( x+2 )+( x+1 )+( x+2 )−( x+1 )2

( x+1 )2(x+2)

2 x+3( x+1 )2(x+2)

=

x+2+x2+3 x+2−x2−2x−1( x+1 )2(x+2)

2 x+3( x+1 )2(x+2)

= 2 x+3

( x+1 )2(x+2)