mekanika statistik mikrajuddin abdullah
DESCRIPTION
FTRANSCRIPT
MEKANIKA
STATISTIK
Prof. Dr. Mikrajuddin Abdullah
Program Studi Fisika, FMIPA
Institut Teknologi Bandung
2015
vanderlustmike.com
- i -
Kata Pengantar
Pengalaman selama sekitar 10 tahun memberikan kuliah Mekanika Statistik
untuk Mahasiswa Magister dan Doktor di Institut Teknologi Bandung bahwa mata
ini yang merupakan mata kuliah wajib termasuk yang cukup sulit dipahami para
mahasiswa. Hal ini tidak dapat dipungkiri karena memang materi yang terkandung
di dalamnya lebih banyak yang bersifat abstrak. Diperlukan abstraksi yang tinggi
untuk dapat memahami bab-bab yang ada dalam kuliah tersebut.
Kesulitan makin bertambah akibat cara pembahasan di sejumlah buku yang
ada terlalu global sehingga ada beberapa bagian yang memerlukan pemikiran ekstra
untuk dapat memahaminya. Buku acuan utama kuliah ini di antaranya Statistical
Mechanics tulisan K. Huang atau buku klasik Statistical Mechanics tulisan J.E.
Mayer dan M.G. Mayer. Namun, materi yang dipaparkan dalam buku tersebut perlu
dicermati dan direnungi secara mendalam agar dapat memahaminya. Tidak saja
mahasiswa, tetapi dosen juga perlu kerja keras untuk memahami mater-materi
tersebut.
Atas pengalaman mengajar sekitar 10 tahun saya mencoba menyusun draft
sedikit-demi sedikit dan dicobakan ke mahasiswa tiap semester. Penambahan,
koreksi, dan penyesuaian dengan cara tangkap mahasiswa menghasilkan naskah
seperti ini. Beberapa bagian yang tidak dijelaskan detail di buku-buku yang ada
akan dipaparkan secara detail di buku ini sehingga mudah dipahami mahasiswa.
Beberapa ilustrasi yang tidak dijumpai pada buku-buku sebelumnya dimasukkan
dalam buku ini untuk memeprmudah pemahaman. Versi awal draft ini telah muncul
dalam bentuk diktat kuliah yang diterbitkan Penerbit ITB dan menjadi salah satu
pegangan utama mahasiswa magister dan doktor fisika ITB.
Dalam buku ini, beberapa topik yang rumit yang dibahas di buku-buku
Mekanika Statistik yang sudah ada tidak dimasukkan. Harapannya adalah
mahasiswa memahami dasar-dasar Mekanika Statistik dan tidak terganggu oleh
sejumlah topik yang memerlukan pemahaman matematika yang cukup tinggi.
Mahasiswa yang tertarik mempelajari lebih mendalam sangat dianjurkan
mempelajari buku-buku teks yang sudah ada, seperti yang disebutkan di atas.
- ii -
Di bagian awal tiap bab dijelaskan sejumlah persyaratan yang diperlukan
untuk memahami tiap bab tersebut secara lebih mudah. Mempelajari tiap ban dari
buku ini menuntuk pemahaman materi kuliah tingkat sebelumnya seperti Fisika
Matematika, Fisika Statistik, Termodinamika, dan sedikit Fisika Kuantum.
Mahasiswa sangat diharapkan untuk mereview kembali materi-materi tersebut.
Penyelesaian buku ini tidak lepas dari bantuan dari Kementerian Riset dan
Pendidikan Tinggi berupa Hibah Penulisan Buku Teks 2015. Oleh karena itu
ucapan terima kasih penulis sampaikan pada Kemenristekdikti. Penulis juga
sampaikan ucapan terima kasih kepada Agus Purwanto, D.Sc. daru Jurusan Fisika
Institut Teknologi Sepuluh November, Surabaya atas kesediaan menjadi
pendamping. Sejumlah saran dan komentar sangat berguna bagi perbaikan isi buku
ini.
Semoga buku ini menjadi salah satu acuan yang berguna bagi mahasiswa
magister maupun doktor fisika di Indonesia. Tentu kekurangan masih banyak
dijumpai. Perbaikan terus menerus akan tetap diperlukan. Oleh karena itu masukan
dan sarat dari para mahasiswa, rekan dosen, atau pembaca lainnya sangat
diharapkan.
Bandung, Oktober 2015
Penulis
- iii -
Daftar Isi
Bab 1 Pengenalan Ensembel 1
1.1 Pendahuluan 1
1.2 Dinding Assembli yang Transparan Terhadap Energi 2
1.3 Konsep Ensembel 4
1.4 Assembli Terbuka 7
1.4 Jenis-Jenis Ensembel 9
Bab 2 Ensembel Kanonik 10
2.1 Probabilitas Kemunculan Assembli 11
2.2 Sifat-Sifat Termodinamika 13
2.3 Energi Bebas Helmholtz 16
2.4 Ungkapan lain Entropi 19
2.5 Fungsi Partisi Kanonik Klasik 20
2.6 Fungsi Partisi Kanonik Semiklasik 29
2.7 Formulasi Kanonik Gas Tidak Ideal 33
2.8 Persamaan Keadaan Gas Tidak Ideal 44
2.9 Fluktuasi Energi Assembli 48
Latihan 42
- iv -
Bab 3 Ensembel Grand Kanonik 47
3.1 Energi Bebas Helmholtz dan Gibbs 57
3.2 Penurunan Besaran Termodinamika dari Eentropi 59
3.3 Fungsi Grand Partisi 60
3.4 Ungkapan Alternatif 63
3.5 Entropi dalam Ungkapan Probabilitas 63
3.6 Besaran Termodinamika dari Fungsi Grand Partisi 64
3.7 Perhitungan Fungsi Grand Partisi 66
3.8 Fluktuasi Jumlah Sistem dalam Assembli 81
3.9 Penurunan Fungsi Fermi-Dirac dengan Metode Perturbasi 83
Bab 4 Mekanika Statistik Kuantum 87
4.1 Fungsi Gelombang Sistem dan Liungkungan 87
4.2 Nilai Rata-Rata 88
4.3 Postulat Mekanika Statistik Kuantum 90
4.4 Matriks Kerapatan 91
4.5 Ensembel Mikrokanonik 93
4.6 Ensembel Kanonik dan Grand Kanonik 94
4.7 Metode Operator 96
4.8 Formulasi Alternatif 104
4.9 Kondensasi Boson dan Non Kondensasi Fermion 106
4.10 Tekanan Gas Kuantum Ideal 108
4.11 Persaman Gerak Matriks Kerapatan 111
4.12 Persamaan Kerapatan Sistem Bebas 113
- v -
4.13 Persamaan Kerapatan Sistem Osilator Harmonik 116
Bab 5 Gas Fermi Ideal 120
5.1 Persamaan Keadaan 120
5.2 Aplikasi Suhu Tinggi dan Kerapatan Rendah 129
5.3 Aplikasi Suhu Rendah dan Kerapatan Tinggi 131
5.4 Teori Bintang Katai Putih 132
5.5 Diamagnetisme Landau 153
5.6 Efek de Hass-Van Alphen 166
5.7 Paramagnetisme Pauli 172
Bab 6 Gas Bose Ideal 186
6.1 Persamaan Keadaan Boson 186
6.2 Kondensasi Bose-Einstein 193
6.3 Tekanan Radiasi 197
6.4 Sifat Termal Fonon 203
6.5 Radiasi Benda Hitam untuk Foton dan Neutrino 209
Latihan 213
Bab 7 Ekspansi Kluster 216
7.1 Pendahuluan 216
7.2 Penurunan Fungsi Partisi 218
Bab 8 Model Ising 232
8.1 Formulasi Ising 232
8.2 Aproksimasi Bragg-Williams 237
8.3 Aproksimasi Bethe-Pierls 243
- vi -
8.4 Model Ising Satu Dimensi 254
Latihan 266
Baftar Pustaka 268
Indeks 269
- 1 -
Bab 1
PENGENALAN ENSEMBEL
Bab ini berisi penjelasan tentang ensembel sebagai kumpulan dari sejumah
assembli. Ensembel dapat dipandang sebagai super assembli yang anggotanya
adalah assembli-assembli. Sedangkan assembli sendiri beranggotakan sistem-sistem.
Tujuan bab ini adalah memberi pemahaman kepada mahasiswa tentang definisi
ensembel, mengapa konsep ensembel diperlukan, dan mengenal ciri masing-masing
ensembel dalam mekanika statistik: mikrokanonik, kanonik, dan grand kanonik.
Namun demikian, bab ini tidak terlalu sulit untuk dipahami, karena hanya berisi
pengenalan tentang konsep ensembel itu sendiri. Dengan demikian tidak ada
kemampuan awal khusus yang diperlukan untuk memahami penjelasan dalam bab
ini.
1.1 Pendahuluan Assembli yang telah kita bahas di kuliah Fisika Statistik memiliki kriteria
yang sangat ketat, yaitu energi yang dimiliki assembli maupun jumlah sistem dalam
assembli selalu tetap. Dalam dunia nyata mungkin assembli demikian sulit
diwujudkan. Assembli semacam ini dapat didekati oleh satu wadah yang terisolasi
rapat dari bahan isolator panas yang sangat tebal, tidak ada medan magnet, medan
listrik, bahkan medan gravitasi yang dirasakan sistem-sistem dalam assembli. Jadi,
pada prinsipnya, asembli yang telah kita bahas selama ini merupakan sebuah
pendekatan untuk kondisi nyata. Pendekatan tersebut tentu mengandung sejumlah
kekurangan. Namun untuk dinding assembli yang terbuat dari bahan isolator yang
sangat baik, kekurangan yang dihasilkan tidak terlalu signifikan.
Apabila kita ingin masuk ke kondisi yang lebih mendekati keadaan nyata,
maka pembatasan yang sangat ketat harus diperlonggar. Kalau kita menempatkan
sistem-sistem dalam wadah tertutup maka peluang sistem untuk keluar dari dan
masuk ke dalam wadah dapat masih dapat dihindari. Dengan demikian pembatasan
jumlah sistem yang konstan bukanlah asumsi yang dibuat-buat. Tetapi untuk energi
total yang dimiliki assembli, pembatasan bahwa energi assembli adalah konstan
- 2 -
mungkin dapat dilanggar. Tidak ada dinding wadah yang benar-benar sanggup
meniadakan pertukaran energi secara sempurna, apalagi jika wadah yang kita miliki
terbuat dari bahan konduktor. Lebih lanjut, kadang assembli yang kita miliki tidak
dibatasi oleh dinding, tetapi melakukan kontak langsung dengan udara terbuka.
Sebagai contoh, assembli kita adalah sebatang logam yang berada di udara terbuka.
Jumlah sistem dalam assembli tersebut selalu tetap (karena atom-atom atau elektron
tidak dapat meninggalkan logam), namun energi sangat mudah bertukaran antara
batang logam dan udara luar. Untuk menjelaskan mekanisme yang terjadi dalam
assembli yang memiliki dinding yang transparan terhadap energi, para ahli juga
mengembangkan statistik untuk assembli yang memiliki jumlah sistem konstan
tetapi jumlah energi tidak konstan.
Kasus yang lebih umum lagi adalah untuk assembli terbuka seperti udara
yang ada di sekitar kita. Kita bahkan tidak memiliki wadah sama sekali. Kondisi ini
dapat diasumsikan sebagai assembli yang dibatasi oleh wadah yang dapat ditembus
oleh sistem maupun oleh energi. Implikasinya adalah jumlah sistem maupun energi
total yang dimiliki asembli tidak tetap.
1.2 Dinding Assembli yang Transparan terhadap Energi Sejauh ini kita telah merumuskan panjang lebar tentang assembli yang
dibatasi dinding yang tidak transparan terhadap sistem maupun energi.
Pertanyaanya adalah bagaimana bentuk perumusan untuk assembli yang dibatasi
dinding yang sifatnya lebih longgar, yaitu dapat ditembus energi namun tidak dapat
ditembus sistem?
Perhatikan sebuah assembli dengan jumlah sistem tetap tetapi energi yang
dimiliki dapat berubah-ubah (Gambar. 1.1). Assembli tersebut memiliki dinding
yang transparan terhadap energi tetapi tidak transparan terhadap sistem. Contoh
dinding tersebut adalah logam. Karena dinding dapat ditembus energi maka pada
saat yang berbeda, energi yang dimiliki assembli mungkin berbeda. Misalkan energi
yang dimiliki assembli pada saat yang berbeda-beda diilustrasikan pada Tabel 1.1.
Untuk kondisi dengan energi yang dimiliki assembli berubah-ubah
bagaimana cara mendapatkan persamaan keadaan assembli? Kita lakukan strategi
sebagai berikut:
1) Bisa saja terjadi bahwa pada saat yang berbeda, energi yang dimiliki
assembli kembali sama. Contohnya, bisa saja terjadi bahwa pada saat t1 dan
t7 energi yang dimiliki assembli sama, yaitu E1 = E7.
2) Untuk mudahnya kita urutkan energi yang dapat dimiliki assembli dari nilai
terkecil hingga terbesar sebagai berikut E1, E2, E3, …, E.
- 3 -
3) Assembli akan memiliki energi yang berbeda-beda tersebut dalam durasi
waktu yang berbeda-beda pula. Misalkan lama assembli memiliki energi E1
adalah t1, lama assembli memiliki energi E2 adalah t2, dan seterusnya.
N konstan
E tidak konstan
Ener
gi
dap
at
kel
uar
dan
mas
uk
N konstan
E tidak konstan
Ener
gi
dap
at
kel
uar
dan
mas
uk
Gambar 1.1 Dinding assembli transparan terhadap energi tetapi
tidak transparan terhadap sistem. Sistem tidak dapat keluar atau
masuk dari/ke dalam assembli sehingga jumlah sistem dalam
assembli selalu konstan. Namun energi dapat menembus dinding
asembli. Energi dapat keluar atau masuk dari/ke dalam assembli
sehingga energi assembli tidak tetap.
Tabel 1.1 Energi assembli berbeda-beda pada saat yang berbeda.
Namun tidak menutup kemungkinan bahwa pada saat berbeda nilai
energi sama (energi yang semula telah dimiliki muncul kembali).
Saat Energi yang dimiliki
t1 E1
t2 E2
.
.
.
.
.
.
t E
4) Dengan demikian probabilitas assembli memiliki energi-energi di atas
menjadi:
- 4 -
a) probabilitas memiliki energi E1:
ttt
tEp
...)(
21
11
;
b) probabilitas memiliki energi E2:
ttt
tEp
...)(
21
22
;
.
.
.
c) probabilitas memiliki energi E:
ttt
tEp
...)(
21
.
5) Karena kita tidak dapat mengetahui dengan pasti berapa t1, t2, dan
seterusnya maka diasumsikan bahwa p(Ei) exp[-Ei/kT]. Asumsi ini
diinspirasi oleh fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann bahwa peluang
mendapatkan sistem pada tingkat energi i sebanding dengan exp[-i/kT].
Asumsi ini dapat diterima secara logis; bahwa makin besar energi yang
dimiliki assembli maka makin kecil peluang menemukan assembli tersebut.
Jika energi assembli tak berhingga maka peluang menemukan assembli
menjadi nol. Dengan kata lain tidak ada assembli yang memiliki energi tak
berhingga.
6) Probabilitas di atas didukung juga oleh alasan berikut ini. Misalkan ada dua
assembi dengan energi Ei dan Ej. Peluang mendapatkan masing-masing
assembli adalah p(Ei) exp[-Ei/kT] dan p(Ej) exp[-Ej/kT]. Jika dua
assembli digabung menjadi satu assembli yang besar maka peluang
menemukan assembli tersebut menjadi p(Ei)p(Ej). Tetapi, saat dua assembli
digabung maka energinya menjadi Ei+Ej. Dengan demikian peluang
menemukan assembli dengan energi gabungan tersebut adalah p(Ei+Ej)
exp[-(Ei+Ej)/kT] exp[-Ei/kT] exp[-Ej/kT] = p(Ei)p(Ej), sesuai dengan
perkalian probabilitas yang sudah kita sebutkan di atas.
1.3 Konsep Ensembel Apa yang kita bahas di atas adalah satu assembli saja yang memiliki
sejumlah kemungkinan energi. Energi yang berbeda dapat muncul pada saat yang
berbeda. Kita dapat juga mejelaskan kondisi ini dari sudut pandang yang berbeda
tetapi memiliki hasil akhir yang setara. Kita seolah-olah memiliki sejumlah besar
assembli di mana jumlah sistem pada semua assembli sama tetapi energi yang
dimiliki satu assembli dengan assembli lain dapat berbeda. Untuk satu assembli
tertentu, jumlah sistem dan energi yang dimilikinya selalu tetap. Lebih tegas lagi,
seolah-olah kita memiliki sejumlah besar assembli di mana jumlah sistem dalam
- 5 -
tiap-tiap assembli sama, yaitu N tetapi energinya bisa berbeda-beda. Semua
konfigurasi yang mungkin dilakukan bagi penyusunan sistem-sistem dalam
assembli ada wakilnya dalam kelompok assembli tersebut. Apa yang kita miliki
dapat diilustrasikan pada Gambar. 1.2.
Assembli 1
Konfigurasi W1
Energi E1
Assembli 2
Konfigurasi W2
Energi E2
Assembli 1
Konfigurasi W1
Energi E1
Assembli 2
Konfigurasi W2
Energi E2
Gambar 1.2 Ensembel adalah kumpulan assembli. Tiap assembli
memiliki jumlah sistem dan energi yang tetap. Tetapi jumlah sistem
yang dimiliki masing-masing assembli sama sedangkan besar
energi berbeda antara satu assembli dengan assembli lain. Contoh
sederhana assembli ini adalah sampel batang logam. Jumlah atom
dalam batang logam tetap tetapi energi dapat keluar atau masuk dari
batang logam.
Semua assembli tersebut digabung dalam satu wadah besar (super
assembli). Jumlah assembli dalam super assembli tetap dan energi total super
assembli juga tetap. Super assembli semacam ini dinamakan ensembel.
- 6 -
Sebagai ilustrasi adalah kampus. Kampus dapat kita analogikan
sebagai ensembel. Kelas-kelas dalam kampus dianalogikan sebagai
assembli. Mahasiswa yang duduk dalam kelas-kelas dapat
dianalogikan sebagai sistem. Jumlah mahasiswa pada tiap kelas
semuanya sama. Namun, energi total yang dimiliki mahasiswa
berbeda antara satu kelas dengan kelas lainnya. Untuk mencari sifat
rata-rata satu kelas kita dapat lakukan dengan dua cara. Cara
pertama adalah mengukur sifat satu kelas dalam jangka waktu yang
lama lalu merata-ratakan hasil yang diperoleh. Cara kedua adalah
mengukur sifat semua kelas secara serentak lalu merata-ratakan
sifat tersebut. Cara pertama hanya memperhatikan satu kelas
kemudian melakukan perata-rataan terhadap waktu. Cara kedua
memperhatikan seluruh kelas kemudian merata-ratakan terhadap
jumlah. Secara statistik, hasil yang diperoleh sama.
Dalam ensembel yang diilustrasikan pada Gambar 1.3, konfigurasi yang
berbeda dalam menyusun sistem-sistem dalam assembli dapat menghasilkan energi
yang berbeda dan dapat pula memiliki energi yang sama. Sebagai ilustrasi, kita
misalkan E1 = 0, E3 = 2E2. Energi yang dimiliki adalah konfigurasi: (kiri) E3 + 2E1 =
2E2 (tengah) E1+ 2E2 = 2E2 dan (kanan) 2E2 + E3 = 4E2.
E1
E2
E3
E1
E2
E3
E1
E2
E3
E1
E2
E3
E1
E2
E3
E1
E2
E3
Gambar 1.3 Tiga konfigurasi di atas semuanya berbeda. Namun
energi yang dimiliki adalah: (kiri) E3 + 2E1 = 2E2 (tengah) E1+ 2E2
= 2E2 dan (kanan) 2E2 + E3 = 4E2. Tampak bahwa konfigurasi yang
berbeda dapat memiliki energi yang sama. Karena jumlah tingkat
energi dalam assembli sangat banyak bakan akan banyak sekali
konfigurasi yang memiliki energi yang sama.
Konfigurasi penyusunan sistem dalam tiga assembli di atas berbeda. Tetapi
energi assembli 1 sama dengan energi assembli 2 dan berbeda dengan energi
assembli 3. Peluang munculnya assembli dengan energi yang berbeda tentu saja
- 7 -
berbeda. Kita kemukakan hipotesis bahwa peluang mendapatkan asembli dengan
energi Ei diberikan oleh
kTE
iieEp
/)(
(1.1)
1.4 Assembli Terbuka Jika kita melihat udara atau atmosfer maka tampak bahwa tidak ada wadah
pembatas seperti yang kita bahas pada bab-bab sebelumnya. Bagaimana kita dapat
menggunakan statistik untuk menjelaskan sifat-sifat gas di udara?
Kita dapat mengansumsikan bahwa di udara terdapat sejumlah besar wadah
(assembli) tetapi wadah tersebut dapat ditembus energi maupun sistem. Jadi jumlah
energi maupun jumlah sistem yang dimiliki assembli tersebut dapat berubah-ubah.
Untuk menjelaskan sifat-sifat assembli semacam ini, kita bangun sebuah ensemble
yang mengandung sejumlah besar assembli di mana assembli yang berbeda dapat
memiliki jumlah sistem yang berbeda maupun jumlah energi yang berbeda pula
(Gambar. 1.4).
Untuk ensembel semacam ini, peluang mendapatkan assembli ke-i dengan
energi tertentu (Ei) tidak hanya ditentukan Ei, tetapi juga ditentukan oleh Ni.
Meskipun energi dua assembli sama tetapi jumlah sistemnya berbeda maka
probabilitas kemunculan dua assembli tersebut dapat berbeda. Bagaimana bentuk
probablitas tersebut?
Dalam kuliah termodinamika kita mempelajari bahwa
penambahan/pengurangan satu partikel dalam sistem termodinamika melahirkan
penambahan/pengurangan energi sebesar , di mana disebut potensial kimia.
Penambahan/pengurangan sebanyak N partikel menghasilkan penembahan/
pengurangan energi sebesar N (Gambar 1.5). Dengan demikian kita dapat
menyimpulkan bahwa jumlah sistem yang terdapat dalam assembli akan
mempengaruhi energi yang dimiliki assembli tersebut yang pada akhirnya
menentukan peluang kemunculan assembli yang bersangkutan. Akhirnya sangat
logis apabila kita berhipotesis bahwa probabilitas kemunculan assembli dengan
energi Ei dan mengandung sebanyak Ni sistem memenuhi
kTNE
iiiieENp
/)(),(
(1.2)
dengan dan adalah parameter-parameter yang harus ditentukan. Persamaan (1.2)
kembali ke bentuk probabilitas menemukan assembli kanonik dengan energi Ei jika
jumlah sitem pada semua assembli nonstan (Ni = N untuk semua i).
- 8 -
Assembli 1
Jumlah sistem N1
Konfigurasi W1
Energi E1
Assembli 2
Jumlah sistem N2
Konfigurasi W2
Energi E2
Assembli 1
Jumlah sistem N1
Konfigurasi W1
Energi E1
Assembli 2
Jumlah sistem N2
Konfigurasi W2
Energi E2
Gambar 1.4 Sebuah ensembel mengandung anggota berupa
assembli terbuka. Tiap assembli tidak memiliki sekat (pembatas)
sehingga sistem maupun energi dapat berpindah dari satu assembli
ke assembli lainnya. Contoh ensembel ini adalah udara terbuka.
Udara terbuka dapat dipandang sebagai kumpulan atom atau
molekul yang berada dalam kotak-kotak yang memiliki dinding
yang dapat ditembus oleh energi dan sistem (maknanya tidak
memiliki dinding). Dinding di sini hanyalah dinding virtual supaya
konsep sebuah assembli memiliki dinding pembatas masih
digunakan. Setiap saat jumlah sistem maupun energi dalam satu
assembli dapat berubah-ubah. Dengan sifat ini jelas bahwa
pembahasan tentang assembli lebih rumit dari assembli lainnya
(assembli dengan energi dan jumlah sistem konstant atau assembli
dengan sistem konstan tetapi energi tidak konstan).
- 9 -
N N - NN
E E - N
NN N + N
E E + N
Gambar 1.5 (atas) Jika ada N sistem yang keluar dari assembli
maka energi assembli berkurang sebesar N. (bawah). Jika ada
N sistem yang masuk ke dalam assembli maka energi assembli
bertambah sebesar N. Ini berimplikasi bahwa kebolehjadian
menemukan assembli bergantung pada energi dan jumlah sistem
yang dimiliki assembli tersebut.
1.5 Jenis-Jenis Ensembel Dari semua pembahasan di atas kita akhirnya dapat membedakan tiga jenis
ensemble berdasarkan sifat dinding assembli-assembli penyusun ensemble tersebut.
Ensembel Kanonik Jika assembli-assembli penyusun ensemble tersebut memiliki dinding yang
tidak dapat ditembus sistem tetapi dapat ditembus energi maka ensemble tersebut
dinamakan ensemble kanonik. Dalam ensemble ini jumlah sistem dalam semua
assembli sama banyaknya tetapi energi yang dimiliki assembli dapat berbeda-beda.
Namun jumlah total assembli dalam ensembel dan jumlah total energi yang dimiliki
ensemble adalah konstan.
- 10 -
Ensembel Grand Kanonik Jika assembli-assembli penyusun ensemble memiliki dinding yang dapat
ditembus sistem maupun energi maka ensemble yang dibentuk dinamakan ensemble
grand kanonik. Pada ensemble ini jumlah sistem maupun jumlah energi yang
dimiliki satu assembli dapat berbeda dengan yang dimiliki assembli lainnya. Namun
jumlah total assembli dalam ensembel dan jumlah total energi yang dimiliki
ensemble adalah konstan.
Ensembel Mikrokanonik Jika assembli-assembli penyusun ensembel tidak dapat ditembus sistem
maupun energi dan jumlah energi maupun jumlah sistem dalam tiap assembli semua
sama maka ensemble yang dibetuk dinamakan ensemble mikrokanonik. Karena
semua assembli identik maka untuk mempermudah pembahasan kita cukup
meninjau satu assembli saja dan menentukan konfigurasi penyusunan sistem-sistem
dalam satu assembli seperti yang dipelajari di kuliah Fisika Statistik. Karena
sifatnya yang demikian maka penurunan fungsi keadaan untuk assembli
mikrokanonik umumnya tidak dilakukan melalui konsep ensemble, tetapi cukup
pada level assembli saja. Dengan kata lain, kita umumnya tidak mengenalkan
konsep ensemble untuk membahas assembli mikrokanonik.
- 11 -
Bab 2
ENSEMBEL KANONIK
Bab ini berisi diskusi tentang ensembel kanonik. Selama ini statistik yang
kita bahas pada kuliah Fisika Statistik hanya dibatasi pada statistik sebuah assembli
yang memiliki syarat batas ketat, yaitu jumlah sistem dan energi konstan. Mulai
sekarang kita akan memperlonggar persyaratan tersebut dengan memperkenalkan
konsep ensembel. Khusus pada bab ini kita akan bahas ensemble kanonik di mana
persyaratan energi assembli yang konstant tidak diterapkan. Kita hanya
mempertahankan persyaratan bahwa jumlah sistem yang dimiliki assembli konstan.
Tujuan bab ini adalah mahasiswa memahami konsep ensembel, khususnya
ensembel yang dibentuk oleh assembli-assembli klasik yang memenuhi statistik
Maxwell-Boltzmann. Pembahasan difokuskan pada ensemble kanonik di mana
energi assembli tidak konstan. Setelah itu mahasiswa diharapkan dapat menerapkan
konsep tersebut untuk menurunkan besaran-besaran termodinamika gas klasik.
Memahami seluruh topik yang dipelajari di kuliah Fisika Statistik sangat
penting untuk memudahkan pemahaman isi bab ini. Mahasiswa dianjurkan
mereview kembali materi kuliah tersebut, khususnya bagaimana menurunkan
distribusi Maxwell-Boltzmann dan bagaimana mendapatkan besaran termodinamika
dari fungsi partisi.
2.1 Probabilitas Kemunculan Assembli
Seperti disebutkan sebelumnya bahwa ensembel kanonik disusun oleh
sejumlah assembli dengan energi yang bermacam-macam. Kita mulai menurunkan
- 12 -
persamaan-persamaan yang berkaitan dengan ensembel kanonik.
Mari kita tinjau assembli ke-i yang merupakan salah satu elemen dari
ensembel kanonik yang akan kita bahas. Misalkan energi assembli tersebut adalah
Ei. Probabilitas kemunculan assembli dengan energi Ei tersebut dapat ditulis
kTE
iiep
/ atau kTE
iiCep
/ (2.1)
dengan C adalah konstanta normalisasi yang bergantung pada suhu. Karena jumlah
total probabilitas kemunculan semua assembli adalah 1 atau i pi = 1, maka i C
exp[-Ei/kT] = C i exp[-Ei/kT] = 1. Hasil ini memberikan bentuk ungkapan untuk C
sebagai berikut
Ci
kTEZe
Ci
11/
(2.2)
di mana
i
kTE
CieZ
/ (2.3)
Dengan menggunakan persamaan (2.1) dan (2.2) kita dapatkan ungkapan lengkap
untuk pi sebagai berikut
C
kTE
iZ
ep
i /
(2.4)
Perlu dicermati bahwa pada persamaan (2.4) Ei adalah energi total semua
partikel dalam sebuah assembli dan pi adalah peluang kemunculan assembli tersebut.
Bentuk serupa juga dijumpai pada partikel dalam assembli di mana probabilitas
munculnya sistem dengan energi j di dalam suatu assembli memenuhi pj
exp[-j/kT].
- 13 -
2.2 Sifat-Sifat Termodinamika
Setelah kita formulasikan probabilitas kemunculan assembli dalam
ensembel kanonik, selanjutnya mari kita bahas besaran-besaran termodimika dalam
konsep ensembel kanonik. Pertama kita menghitung energi rata-rata yang dimiliki
assembli. Assembli yang berbeda memiliki energi berbeda, walaupun tidak menutup
kemungkinan memiliki energi yang sama. Tetapi ada satu nilai energi rata-rata yang
dimiliki semua assembli. Perata-rataan dilakukan pada semua assembli dalam
ensembel kanonik. Energi rata-rata assembli memenuhi hubungan
i
ii pEE
i
E
Ci
E
i
Ci
kTE
i
C
iii eZ
eEZ
eEZ
111 /
C
Ci
E
C
ZZ
eZ
i
11
CZln
(2.5)
di mana = -1/kT. Dari definisi maka kita dapat menulis T = -1/k sehingga
/ TT // Tk /)/1( 2 TkT /2 . Dengan demikian energi
rata-rata assembli pada persamaan (2.5) dapat ditulis menjadi
CZT
kTE ln2
(2.6)
Perlu diperhatikan bahwa pada persamaan (2.6), parameter ZC dihitung pada energi
assembli, bukan pada energi sistem.
Contoh 2.1
Sebuah assembli yang disusun oleh N momen magnetik identik berada
dalam medan magnet. Energi interaksi momen dengan medan magnet
- 14 -
memenuhi persamaan B
. Misalkan momen hanya dapat memiliki
dua arah orientasi yaitu searah dan berlawanan arah medan magnet.
Berapakan energi rata-rata assembli momen tersebut?
Jawab
Tiap momen hanya dapat memiliki salah satu energi interaksi berikut ini:
-B (searah medan magnet) atau B (berlawanan arah medan magnet).
Perhatikan Gambar 2.1. Misalkan terdapat n momen yang berlawanan
dengan arah medan magnet (energi nB) dan N-n momen yang searah
dengan medan magnet (energi -(N-n)B). Energi total assembli tersebut
adalah nB – (N-n)B = 2nB - NB. Jumlah cara penyusunan n buah
momen dalam arah berlawanan medan dan N-n buah momen searah
medan adalah )!(!
!
nNn
N
. Dengan demikian, fungsi partisi kanonik dapat
ditulis sebagai
n
BNBn
C enNn
NZ )2(
)!(!
!
n
nBBN enNn
Ne 2
)!(!
!
… …
n N-n
B
Gambar 2.1 Penyusunan n buah momen berlawanan arah medan
magnet dan N-n momen magnet searah medan magnet.
Kita gunakan kesamaan berikut ini
n
nN xnNn
Nx
)!(!
!)1( sehingga
kita dapat menulis
- 15 -
NBBN
C eeZ 21
Energi rata-rata assembli dihitung dengan persamaan (2.4), yaitu
B
C eNBNZE
21lnln
BB
B
B
B
ee
eBNBN
e
eBNBN
21
22
2
)tanh(12
BBNee
eeBN
ee
eBN
BB
BB
BB
B
Gambar 2.2 adalah kurva energi sebagai fungsi kuat medan magnet luar
pada berbagai suhu. Satuan medan magnet maupun satuan suhu yang
digunakan adalah sembarang. Tujuan di sini adalah menampilkan bentuk
kurva saja sehingga pola perubahan energi dapat diketahui. Tampak bahwa
makin besar suhu maka energi magnetik makin kecil.
Gambar 2.2 Energi sebagai fungsi kuat medan magnet luar pada
berbagai suhu. Satuan medan magnet maupun satuan suhu yang
digunakan adalah sembarang.
- 16 -
2.3 Energi Bebas Helmholtz
Energi bebas Helmholtz didefinisikan sebagai F = E – TS. Energi bebas
Helmholtz memiliki peranan yang sangat strategis dalam termodinamika. Semua
sistem termodinamika berada pada keadaan setimbang dan keadaan setimbang
dicirikan oleh energi Helmholtz paling kecil. Tampak dari definisi energi Helmholtz
bahwa nilai terkecil dicapai jika energi yang dimiliki sekecil mungkin dan entropi
sebesar mungkin. Itulah sebabnya, proses termodinamika dapat terjadi secara
spontan menuju ke kondisi dengan energi makin kecil dan entropi makin besar.
Dengan melakukan diferensial pada dua ruas ungkapan energi Helmholzt kita
dapatkan
SdTTdSdEdF (2.7)
Mari kita melihat hukum I termodinamika, yang juga merupakan hukum
kekekalan energi,
dWdQdE pdVdQ (2.8)
Di sini kita mendefinisikan dW = -pdV. Untuk proses yang berlangsung secara
reversibel maka berlaku dQ = TdS. Jika disubstitusikan ke dalam persamaan (2.8)
maka kita peroleh
pdVTdSdE (2.9)
Selanjutnya kita substitusi persamaan (2.9) ke dalam persamaan (2.7) sehingga
diperoleh bentuk diferensial dari energi bebas sebagai berikut
SdTTdSpdVTdSdF )( SdTpdV (2.10)
Setiap besaran termodinamika selalu dapat dinyatakan sebagai fungsi
paling sedikit dua besaran termodinamika lainnya. Jika F dinyatakan dalam fungsi
- 17 -
V dan T maka diferensial dari F memenuhi bentuk umum
dTT
FdV
V
FdF
VT
(2.11)
Apabila kita bandingkan ruas paling kanan persamaan (2.10) dengan persamaan
(2.11) maka kita simpulkan hubungan berikut ini
TV
Fp
(2.12)
VT
FS
(2.13)
Selanjutnya kita substitusi S dari persamaan (2.13) ke dalam ungkapan
energi Helmholtz F = E - TS sehingga kita dapat menulis
T
FTEF
T
F
TT
F
T
E 122
T
F
TT
E2
(2.14)
Masukkan ungkapan E dari persamaan (2.6) ke dalam persamaan (2.14) sehingga
didapat
T
F
TZ
Tk Cln
Akhirnya kita memperoleh ungkapan sederhana untuk energi bebas Helmholtz
berupa
- 18 -
CZkTF ln (2.15)
Tampak bahwa energi bebas Helmholtz merupakan fungsi langsung dari fungsi
partisi. Karena entropi dapat diturunkan dari energi bebas Helmholtz maka entropi
mestinya dapat diturunkan langsung dari fungsi partisi. Dari persamaan (2.13) dan
(2.15) kita dapat menulis bentuk ungkapan untuk entropi sebagai
VT
FS
CC ZT
kTZk lnln
(2.16)
Catatan: Satu yang luar biasa kita amati dari persamaan (2.6) dan (2.15).
Jika kita mengetahui fungsi ZC maka energi rata-rata assembli dapat
dihitung dengan mudah menggunakan persamaan (2.6) dan energi
Helmholtz assembli dapat dihitung dengan mudah menggunakan
persamaan (2.15). Setelah mengetahui energi bebas Helmholzt (ditentukan
dengan mudah dari fungsi ZC) maka tekanan dan entropi dapat ditentukan
dengan mudah dengan bantuan persamaan (2.12) dan (2.13). Sekali kita
mengetahui ZC maka hampir semua besaran termodinamika dapat
ditentukan dengan operasi matematika yang cukup sederhana. Oleh karena
itulah, ketika berkutat dengan mekanika statistik, langkah pertama yang
dilakukan para peneliti adalah mencari ungkapan untuk fungsi ZC. Boleh
dikatakan bahwa inti dari statistik adalah mencari fungsi ZC. Dengan
perkataan lain fungsi ZC merupakan jembatan penghubung antara dunia
mikroskopik (sifat partikel atomik) dan dunia makroskopik (persamaan
termodinamika). Hal ini dapat diilustrasikan pada Gambar 2.3.
- 19 -
DuniaMikroskopik(sifat atomik)
DuniaMakroskopik
(termodinamika)Fungsi
Z
Gambar 2.3. Peranan fungsi Z dalam statistik sebagai jembatan
penghubung sifat makroskopik dengan sifat makroskopik
(termodinamika).
Contoh 2.2
Tentukan energi bebas Helmholtz dan entropi assembli pada Contoh 2.1.
Jawab
Kita sudah menentukan fungsi NBBN
C eeZ 21 . Dengan
menggunakan persamaan (2.15) kita dapatkan energi bebas Helmholtz
B
C eNBNkTZkTF 21lnln
kTBeNkTBN /21ln
Dengan menggunakan persamaan (2.13) maka entropi assembli adalah
kTB
kTBkTB
e
e
T
BNeNk
T
FS
/2
/2/2
1
21ln
2.4 Ungkapan Lain Entropi
Di samping dalam bentuk persamaan (2.16), entropi dapat diungkapkan
dalam persamaan lain. Kita mulai dari ungkapan energi bebas Helmholtz F = E - TS
kita dapat menulis S = (E – F)/T. Kita selanjunya menggunakan definisi awal untuk
energi, yaitu E = i pi E. Mengingat F adalah besaran tanpa indeks dan mengingat
- 20 -
kesamaan i pi = 1 maka kita dapat menulis F = Fi pi = i Fpi. Substitusi ungkapan
E dan F ke dalam persamaan entropi maka kita dapat menulis sebagai berikut
i
ii
i
ii
i
i
i
ii
T
FEp
T
FEp
T
FpEp
S)(
)(
(2.17)
Persamaan (2.15) dapat ditulis sebagai kTF
C eZ / . Substitusi hubungan
ini ke dalam persamaan (2.4) maka
kTF
kTE
ie
ep
i
/
/
kTEF ie/)(
(2.18)
Dengan mengambil logaritma dua sisi persamaan (2.18) kita peroleh
kT
FEp i
i
ln (2.19)
Substitusi persamaan (2.19) ke dalam persamaan (2.17) diperoleh ungkapan lain
untuk entropi, yaitu
i
ii pkpS )ln(
i
ii ppk ln (2.20)
2.5 Fungsi Partisi Kanonik Klasik
Kita akan berangkat dari asumsi bahwa energi yang dimiliki sistem-sistem
dalam assembli dianggap terdiri atas tingkat-tingkat energi. Tingkat-tingkat energi
tersebut berada dalam rentangan dari nol sampai tak berhingga. Gambar 2.4 adalah
ilustrasi tingkat-tingkat energi yang dimiliki assembli. Untuk sistem klasik, seperti
- 21 -
atom gas, perbedaan energi dua tingkat berdekatan mendekati nol, atau i+1 - i 0.
Perbedaan energi yang mendekati nol memiliki makna bahwa tingkat energi sistem
klasik bersifat kontinu. Sistem menempati salah satu dari tingkat energi di atas.
Dalam sistem klasik tidak ada batasan jumlah sistem yang dapat menempati satu
keadaan energi. Satu keadaan energi dapat saja kosong, atau ditempati oleh satu
sistem, oleh dua sistem, dan seterusnya. Bahkan semua sistem berada pada satu
keadaan energi pun tidak dilarang.
Gambar 2.4. Tingkat-tingkat energi yang dimiliki assembli.
Sistem-sistem dalam assembli dapat memiliki energi dalam
rentang dari nol hingga tak berhingga. Untuk memudahkan
pembahasan, rentang energi tersebut dibagi atas tingkat-ringkat
energi diskrit dengan jarak yang sangat kecil (mendekati nol).
Satu nilai energi boleh dimiliki oleh sejumlah sistem. Ini berarti
satu tingkat energi atau satu keadaan dapat ditempati oleh berapa
sistem pun.
- 22 -
Agar sifat fisis dari assembli dapat ditentukan maka kita harus mengetahui
bagaimana penyusunan sistem pada tingkat-tingkat energi yang ada serta
probabilitas kemunculan masing-masing cara penyusunan tersebut. Pemahaman ini
sangat diperlukan karena nilai terukur dari besaran yang dimiliki assembli sama
dengan perata-rataan besaran tersebut terhadap semua kemungkinan penyusunan
sistem pada tingkat-tingkat energi yang ada.
Cara menghitung berbagai kemungkinan penyusunan sistem serta
probabilitas kemunculannya menjadi mudah bila tingkat-tingkat energi yang
dimiliki assembli dibagi atas beberapa kelompok, seperti diilustrasikan pada
Gambar 2.5. Di sini kita membagi tingkat energi tersebut atas M kelompok. Tiap
kelompok memiliki jangkauan energi yang cukup kecil sebagai berikut.
kelompok pertama memiliki jangkauan energi : sampai d;
kelompok kedua memiliki jangkauan energi : d sampai 2d;
kelompok ketiga memiliki jangkauan energi : 2d sampai 3d;
…
kelompok ke-s memiliki jangkauan energi : (s-1)d sampai sd;
…
kelompok ke-M memiliki jangkauan energi : (M-1)d sampai Md.
Satu kelompok energi mengandung sejumlah keadaan energi. Jumlah keadaan
energi pada kelompok yang berbeda bisa sama dan bisa berbeda. Misalkan jumlah
keadaan energi pada tiap-tiap kelompok tersebut sebagai berikut:
jumlah keadaan pada kelompok pertama : g1;
jumlah keadaan pada kelompok kedua : g2;
jumlah keadaan pada kelompok ketiga : g3;
…
jumlah keadaan pada kelompok ke-s : gs;
…
jumlah keadaan pada kelompok ke-M : gM.
- 23 -
Gambar 2.5. Kelompok-kelompok energi dalam assembli. Satu
garis mewakili satu tingkat energi dalam assembli.
Tingkat-tingkat energi (garis-garis) dikelompokkan lagi. Satu
kelompok mengandung sejumlah tingkat energi di mana
jumlahnya bisa berbeda antara satu kelompok dengan keompok
lainnya. Namun, nilai-nilai energi dalam satu kelompok diwakili
oleh satu nilai energi saja (energi rata-rata). Mewakilkan pada
satu nilai energi ini dapat dilakukan karena selisih nilai
tingkat-tingkat energi dalam satu kelompok sangat kecil
(mendekati nol).
Energi keadaan yang berbeda dalam satu kelompok umumnya berbeda.
Tetapi karena perbedaan energi keadaan yang berbeda dalam satu kelompok sangat
kecil (mendekati nol) maka kita dapat mengasumsi bahwa energi dalam satu
kelompok diwakili oleh satu nilai energi saja. Energi tersebut dianggap sebagai
energi rata-rata keadaan dalam kelompok yang bersangkutan. Dengan demikian kita
dapat menulis,
energi rata-rata kelompok pertama : E1;
- 24 -
energi rata-rata kelompok kedua : E2;
energi rata-rata kelompok ketiga : E3;
…
energi rata-rata kelompok ke-s : Es;
…
energi rata-rata kelompok ke-M : EM.
Misalkan pada konfigurasi tertentu tiap-tiap kelompok energi telah
ditempati oleh sistem-sistem dengan distribusi jumlah sebagai berikut:
jumlah sistem pada kelompok energi pertama : n1;
jumlah sistem pada kelompok energi kedua : n2;
Jumlah sistem pada kelompok energi ketiga : n3;
…
jumlah sistem pada kelompok energi ke-s : ns;
…
jumlah sistem pada kelompok energi ke-M : nM.
Sekarang kita menghitung fungsi partisi assembli tersebut. Untuk maksud
tersebut kita tinjau sebuah assembli, sebut saja assembli ke-i, yang merupakan
komponen dari ensembel kanonik. Sistem-sistem penyusun assembli bersifat
terbedakan (partikel klasik). Jumlah sistem dan energi yang dimiliki assembli
tersebut memenuhi
s
isnN (2.21)
s
isisi nE (2.22)
Untuk ensembel kanonik, N sama untuk semua assembli tetapi Ei dapat
berbeda untuk assembli yang berbeda. Jumlah cara penyusunan sistem-sistem dalam
assembli yang memiliki energi total Ei adalah
- 25 -
s is
n
isi
n
gNW
is
!! (2.23)
Setelah mengetahui Wi dan Ei maka kita mendapatkan ungkapan untuk fungsi partisi
kanonik sebagai
i
kTE
iCieWZ
/ (2.24)
di mana indeks i adalah indeks untuk assembli (bergerak pada semua assembli
dalam ensembel). Satu assembli dalam ensembel mewakili satu konfigurasi yang
mungkin terjadi. Jadi jumlah assembli dalam ensembel sama dengan jumlah
konfigurasi yang dapat terjadi.
Perlu diingat kembali bahwa ensembel itu tidak ada secara fisik. Yang ada
hanyalah satu assembli. Tetapi satu asembli tersebut dapat memiliki
sejumlah konfigurasi yang berbeda-benda dan memiliki energi yang
berbeda-beda. Nah, semua kemungkinan konfigurasi dan energi yang
dimiliki assembli dikumpulkan, dan kumpulan itulah yang disebut
ensembel. Jadi, ensembel adalah kumpulan virtual dari assembli. Satu
assembli dalam ensembel mewakili konfigurasi yang mungkin dimiliki
oleh sebuah assembli.
Penjumlahan terhadap semua konfigurasi yang mungkin ekivalen dengan
penjumlahan pada semua kombinasi nis yang mungkin yang kita nyatakan dengan
symbol { nis}. Jadi kita dapat menulis ulang persamaan (2.24) menjadi
is
isn
is
n
kTE
nC eWZ/
is
is
n
r
irir
s is
n
is
kT
n
n
gN
exp!
! (2.25)
- 26 -
Sebelum meneruskan penurunan fungsi partisi mari kita lakukan
penyederhanaan berikut ini
kT
nnn
kT
niiiiiir
irir ...expexp 332211
...expexpexp 332211
kT
n
kT
n
kT
n iiiiii
...)/exp()/exp( 21
21ii n
i
n
i kTkT
irn
r
ir
kT
exp (2.26)
Substitusi persamaan (2.26) ke dalam persamaan (2.25) maka diperoleh
is
irir
is
n r
nkT
s is
n
isC e
n
gNZ
/
!!
is
isis
n s is
nkT
is
n
egN
!!
/
(2.27)
Pada penurunan persamaan di atas kita sudah menggunakan kesamaan sxs sys =
sxsys.
Untuk menyelesaikan persamaan (2.27), mari kita tinjau perhitungan
berikut ini.
...!1)!1(
!
!0!
!)( 1
2
1
1
0
2121
xxN
Nxx
N
Nxx NNN
- 27 -
...!)!(
!2
3
1
nnxxnnN
N
n
nnxxnnN
N2
3
1!)!(
! (2.28)
Nnnn
nnnN xxxnnn
Nxxx
321
321
221
321
321!!!
!)(
sn
nnn
n
x
n
x
n
xN
!!!!
3
2
2
2
1
1321
(2.29)
Berdasarkan persamaan (2.28) dan (2.29) maka kita dapat menuliskan
bentuk yang lebih umum untuk sembarang jumlah suku, yaitu
s
s
n s
n
s
nnnN
s
sn
x
n
x
n
x
n
xNx ...
!...
!!!!
3
2
2
2
1
1321
s
s
n s s
n
s
n
xN
!! (2.30)
Apabila dalam persamaan (2.30) kita ganti xs dengan kT
isiseg
/maka
diperoleh
is
isis
is
n s is
nkT
is
N
s
kT
isn
egNeg
!!
//
(2.31)
Ruas kanan persamaan (2.13) persis sama dengan ruang kanan persamaan (2.27).
Dengan demikian, ruas kiri juga mesti sama. Oleh karena itu kita simpulkan bahwa
N
s
kT
isCisegZ
/
NZ (2.32)
- 28 -
Apa yang menarik dari persamaan (2.32)? Pada persamaan (2.32), Z
adalah fungsi partisi satu sistem. Dari persamaan tersebut tampak bahwa fungsi
partisi assembli kanonik sama dengan fungsi partisi satu sistem dipangkatkan
dengan jumlah sistem dalam assembli tersebut. Jadi, walaupun pada assembli
tersebut energi bisa keluar masuk, namun perhitungan fungsi partisi tidak sulit. Kita
cukup menghitung tingkat-tingkat energi sistem lalu menghitung fungsi partisi satu
sistem. Dari situ dapat dihitung fungsi partisi assembli secara mudah.
Contoh 2.3
Asembli osilator harmonik dengan N buah sistem memiliki
dinding yang dapat dilewati energi. Contoh assembli ini adalah kristal
yang disimpan di udara terbuka. Atom-atom tidak dapat meninggalkan
kristal, sedangkan energi (kalor) dapat keluar masuk dari/ke dalam kristal.
Jadi assembli yang kita miliki bersifat kanonik. Kita akan mementukan
fungsi partisi assembli.
Langkah pertama adalah mencari fungsi partisi satu sistem.
Untuk maksud tersebut kita perlu mengetahui tingkat-tingkat energi sistem
di dalam assembli. Energi osilator harmonik terkuantisasi menurut
persamaan )2/1( ss. Dengan demikian, fungsi partisi satu sistem
adalah
0
/)2/1(
0
/
n
kTs
n
kTeeZ s
kT
kT
kT
kT
n
kTskT
e
e
eeee
/
2/
/
2/
0
/2/
11
1
Fungsi partisi kanonik menjadi N
kT
kTN
Ce
eZZ
/
2/
1
Contoh 2.4
Selesaikan kembali Contoh 2.1 dengan menggunakan fungsi partisi
- 29 -
kanonik pada persamaan (2.32)
Jawab
Untuk momen magnetik dengan dua arah orientasi, energi yang mungkin
dimiliki momen adalah -B dan B. Dengan demikian, fungsi partisi satu
sistem adalah
BBkTBkTB eeeeZ //
Fungsi partikel kanonik menjadi
NBBN
C eeZZ
Energi rata-rata assembli
BB
BBBB
Cee
BeBeNeeNZE
lnln
)tanh( BBNee
eeBN
BB
BB
Hasil ini persis sama dengan yang diperoleh di Contoh 2.1.
2.6 Fungsi Partisi Kanonik Assembli Semiklasik
Yang sudah kita bahas pada bagian sebelumnya adalah fungsi partisi
sistem klasik. Assembli ini memiliki ciri utama bahwa sistem-sistem penyusunnya
dapat dibedakan. Pertukaran sistem dari dua keadaan yang berbeda menghasilkan
konfigurasi baru. Tetapi menjadi pertanyaan jika sistem adalah atom-atom yang
ukurannya sangat kecil. Apakah mungkin pertukaran dua atom hidrogen dari dua
tempat berbeda dapat dibedakan? Seberapa sanggupkah kita membedakan dua atom
hidrogen? Oleh karena itu, para ahli memperbaiki sifat yang dimiliki sistem dalam
- 30 -
assembli tersebut dengan mengenalkan konsep assembli semiklasik. Sistem-sistem
tetap memenuhi sifat klasik, namun pertukaran sistem dari dua keadaan berbeda
tidak menghasilkan konfigurasi baru. Jumlah pertukaran total N buah sistem adalah
N!. Dengan demikian, jumlah konfigurasi pada assembli klasik dapat diperoleh dari
jumlah konfigurasi pada assembli klasik dibagi dengan N!. Jadi untuk assembli
semiklasik jumlah cara penyusunan sistem-sistem adalah
s is
n
isi
n
gW
is
!
Dengan melakukan langkah yang sama maka kita sampai pada kesimpulan bentuk
fungsi partisi kanonik assembli semiklasik adalah
!'
N
ZZ
N
C (2.33)
Contoh 2.5
Sebuah sumur potensial persegi memiliki lebar L. Dasar sumur memiliki
energi potensial nol dan dua dinding sumur memiliki energi potensial tak
berhingga (Gambar 2.6). N buah sistem berada dalam sumur. Tentukan
fungsi partisi kanonik assembli partikel tersebut.
Jawab
Gambar sumur potensial sebagai berikut
- 31 -
V = 0
V = V =
x = 0 x = L
Gambar 2.6 Sketsa sumur potensial pada Contoh 2.5.
Kita mulai dengan menghitung tingkat-tingkat energi sistem dalam sumur.
Kita berangkat dari persamaan Schrodinger. Untuk lokasi di dalam sumur,
persamaan Schrodinger adalah
2
22
2 dx
d
m
Persamaan di atas dapat ditulis ulang dalam bentuk
02
2
2
dx
d
dengan 22 /2 m . Solusi umum fungsi gelombang adalah
xBxAx sincos)( . Selanjutnya kita masukkan syarat batas bahwa
pada x = 0 nilai fungsi gelombang nol, atau 0sin0cos0 BA .
Kesamaan ini mengharuskan A = 0. Dengan demikian, fungsi yang
dipenuhi menjadi xBx sin)( . Kemudian kita masukkan syarat batas
kedua bahwa paba x = L fungsi gelombang juga nol, atau LB sin0 .
Kesamaan ini dipenuhi oleh nL . Dengan menggunakan definisi
- 32 -
sebelumnya maka kita dapatkan nmL 2/2 atau
2222 2/ mLnn . Fungsi partisi satu partikel adalah
n
n
n
kTeeZ n
2/
dengan kTmL2
22
2
.
Penjumlahan pada fungsi partisi di atas sama dengan luas semua
persegi panjang pada Gambar 2.7. Penjumlahan luas tersebut sulit
dihitung langsung. Namun kita aprokasimasi luas tersebut dengan luas
daerah di bawah kurva 2xe .
2xe
x1 2 3 4 5
Gambar 2.7 Fungsi partisi sama dengan luas semua persegi
panjang. Karena perhitungan luas semua persegi panjang
tersebut sulit dilakukan maka luas tersebut dapat didekati dengan
luas daerah di bawah kurva yang dapat dicari dengan proses
integral sederhana.
Jadi pendekatan untuk fungsi partisi satu sistem adalah,
- 33 -
eedxeedxedxeZ xxx
2
1
2
1 222
01
Karena sistem ini jelas tidak dapat dibedakan maka kita dapatkan fungsi
partisi kanonik menjadi
NN
C eNN
ZZ
2
1
!
1
!
2.6 Formulasi Kanonik Gas Tidak Ideal
Hingga saat ini gas yang kita bahas adalah gas ideal. Kita tidak pernah
memasukkan interaksi antar partikel gas. Memang persamaan yang dihasilkan dapat
menjelaskan banyak pengamatan tentang sifat-sifat gas seperti hukum Boyle,
Gay-Lussac dan persamaan gas ideal secara umum. Namun, karena tidak adanya
interaksi antar molekul/atom gas maka gas ideal tidak pernah bisa berubah wujud
menjadi cair. Pencairan gas hanya bisa terjadi kalau ada gaya tarik antar molekul
gas. Saat mendekati suhu pencairan, energi yang dihasilkan oleh gaya interaksi
tersebut lebih besar daripada energi termal (Gambar 2.8). Jika kita ingin membahas
fenomena pencairan gas maka kita harus keluar dari batasan gas ideal dan mulai
memperkenalkan konsep interaksi antar molekul/atom gas.
Dengan menggunakan konsep ensembel kanonik, kita diperbolehkan
untuk memperkenalkan interaksi antar partikel gas dalam assembli. Misalkan energi
yang dimiliki partikel gas hanya energi kinetik maka fungsi partisi hanya
mengandung energi tersebut. Namun jika ada interaksi antar partikel gas maka
fungsi partisi dibangun dari energi total assembli berikut ini
j j
j
j
zjyjxj Upppm
E
)(2
1 222 (2.34)
- 34 -
Interaksi antaratom/molekul gas
Fasa gas
Fasa cair
Gambar 2.8. Antar atom/molekul gas selalu terdapat gaya tarik
menarik meskipun sangat kecil. Gaya tarik tersebut menjadi
dominan ketika suhu cukup rendah. Gaya tersebut dapat
menyatukan atom/molekul gas dalam fase baru, yaitu fase cair.
Tanpa adanya interaksi antara atom/molekul gas maka tidak akan
terjadi proses pencairan gas. Untuk membahas mekanisme ini
maka kita tidak dapat menggunakan teori gas ideal (gambar
adalah hasil modifikasi dari: employees.csbsju.edu).
Suku pertama pada persamaan (2.34) adalah jumlah energi kinetik semua
partikel gas dan suku kedua adalah jumlah interaksi total partikel-partikel gas.
Penjumlahan suku kedua dilakukan pada semua pasangan molekul gas. Pada
penjumlahan Uj kita mensyaratkan > j untuk menghindari perhitungan ganda.
Contohnya adalah U19 = U91. Suku tersebut hanya boleh dihitung satu kali dan
diwakilkan kepada U19 saja (j = 1 dan = 9). Suku dengan = j juga tidak
disertakan karena tidak ada interaksi antara sistem dengan dirinya sendiri.
Kita akan menghitung fungsi partisi dengan metode integral. Untuk
maksud tersebut kita harus menggunakan karapatan keadaan untuk mengganti tanda
- 35 -
penjumlahan menjadi tanda integral. Untuk sistem semiklasik, kerapatan keadaan
adalah d6N/h3N
dengan i ziyixiiiiN dpdpdpdzdydxd 6
. Dengan demikian fungsi
partisi dapat ditulis menjadi
i
ziyixiiii
j j
j
j
zjyjxj
NC dpdpdpdzdydxkT
Um
ppp
hNZ
2
exp!
1
222
3 (2.35)
Mari kita fokuskan pada bagian integral persamaan (2.35) yaitu
i
ziyixiiii
j j
j
j
zjyjxj
dpdpdpdzdydxkT
Um
ppp
2
exp
222
Integral terhadap momentum dan terhadap posisi dapat dipisahkan karena
masing-masing merupakan variabel bebas. Momentum tidak bergantung pada posisi,
dan sebaliknya. Dengan pemisahan tersebut kita dapatkan bentuk berikut ini
i
iii
j j
j
i
ziyixi
j
zjyjxj
dzdydxkT
U
dpdpdpmkT
ppp
exp2
exp
222
i
ziyixi
j
zj
j
yj
j
xj
N dpdpdpmkT
p
mkT
p
mkT
p
I2
exp2
exp2
exp
222
(2.36)
di mana kita telah mendefinisikan
- 36 -
i
iii
j j
j
N dzdydxkT
U
I
exp (2.37)
Persamaan (2.36) dapat ditulis secara lebih sederhana dalam bentuk
perkalian berikut ini
i
ziyixi
j
zj
j
yj
j
xj
N dpdpdpmkT
p
mkT
p
mkT
pI
2exp
2exp
2exp
222
(2.38)
Dengan menggunakan kesamaan berikut ini sxs sys = sxsys maka kita dapat
menulis persamaan (2.38) menjadi
zj
j
zj
yj
j
yj
xj
j
xj
N dpmkT
pdp
mkT
pdp
mkT
pI
2exp
2exp
2exp
222
j
zj
mkTp
j
yj
mkTp
j
xj
mkTp
N dpedpedpeI zjyjxj 2/2/2/ 222
(2.39)
Selanjutnya kita menggunakan integral yang sudah umum (sering juga kita
gunakan) yaitu /)exp( 2
dxx . Dengan sifat ini maka kita dapatkan
mkTdpedpedpe zj
mkTp
yj
mkTp
xj
mkTp zjyjxj 22/2/2/ 222
(2.40)
Tampak bahwa hasil integral pada persamaan (2.40) tidak bergantung pada
indeks. Indeks berapa pun akan menghasilkan nilai integral yang sama. Karena ada
N buah perkalian dalam tanda j maka persamaan (2.39) memberikan hasil sebagai
berikut
- 37 -
jjj
N mkTmkTmkTI 222
NNN
N mkTmkTmkTI 222
N
NImkT
2/32 (2.41)
Substitusi persamaan (2.41) ke dalam persamaan (2.35) didapatkan ungkapan untuk
fungsi partisi kanonik menjadi
N
N
NC ImkThN
Z2/3
32
!
1 (2.42)
Selanjutya kita mencari IN yang didefinisikan pada persamaan (2.37). Mari
kita lakukan prosedur berikut ini. Karena ...!3/!2/1 22 xxxex maka kita
dapat menulis )(1 xgex dengan ...!3/!2/)( 22 xxxxg Dengan cara
yang sama kita dapat menulis
)(1/
j
kTUrfe j
(2.43)
di mana
...!3
1
2
1)(
32
kT
U
kT
U
kT
Urf
jjj
j
. (2.44)
Dengan penulisan tersebut maka kita memperoleh hubungan berikut ini
j j
kTUkTU
jj j
j
ee
/
/
j j
jrf
)(1 (2.45)
Jika terpenuhi kondisi 1)( jrf maka kita dapat melakukan
- 38 -
aproksimasi
j j
j
j j
j rfrf
)(1)(1 (2.46)
Aproksimasi tersebut memiliki makna bahwa besar energi interaksi antar molekul,
Uj, jauh lebih kecil daripada energi termal molekul, kT. Kondisi ini umumnya
dipenuhi oleh gas pada suhu yang tidak terlalu rendah atau gas pada kerapatan
rendah. Dengan melakukan substitusi persamaan (2.45) dan (2.46) ke dalam
persaman (2.37) kita dapatkan bentuk aproksimasi untuk IN sebagai berikut
i
iii
j j
jN dzdydxrfI
)(1
i
iii
j j
j
i
iii dzdydxrfdzdydx
)(
j j i
iiij
i
iii dzdydxrfdzdydx
)( (2.47)
Integral dxidyidzi adalah volum. Namun, karena di sini kita sudah
memperhatikan gaya tarik antar partikel gas maka secara implisit jarak antar
partikel gas dianggap cukup dekat. Dengan jarak yang cukup dekat maka volum
total partikel gas tidak dapat diabaikan terhadap volum assembli. Volum ruang
kosong pada assembli tidak lagi V tetapi V’ = V – Nv0 dengan v0 adalah volum satu
partikel gas. Integral volum yang dilakukan pada pembahasan terdahulu telah
dilakukan pada ruang kosong (karena menganggap volume total partikel gas nol).
Jika langkah integral yang sama diterapkan di sini mana nilai dxidyidzi bukan lagi V
tetapi V’ = V – Nv0. Kemudian, mengingat i mengandung N buah suku perkalian
maka persaman (2.47) memberikan hasil
- 39 -
j j i
iiij
N
N dzdydxrfVI
)(' (2.48)
Langkah selanjutnya adalah menyelesaikan sisa integral pada persamaan
(2.49). Jarak antar partikel j dan memenuhi
222 )()()( jjjj zzyyxxr . Dengan demikian, f(rj) hanya
mengandung enam variable, yaitu x, y, z, xj, yj, dan zj. Oleh karena itu, dalam
perkalian elemen diferensial idxidyidzi (memuat 3N elemen diferensial), hanya
enam elemen diferensial saja yang bekerja pada f(rj) sedangkan sebanyak 3N-6
buah elemen lainnya tidak bekerja pada f(rj). Dengan sifat demikian kita dapat
menulis
j j
jjjj
iji
iii
N
N dzdydxdzdydxrfdzdydxVI
)('
Perhatikan bagian integral
i
jiiii dzdydx yang menghasilkan volume
pangkat sekian. Tetapi hasil yang diperoleh bukan V’N karena dxjdyjdzjdxdydz
tidak termasuk dalam integral tersebut. Kalau dxjdyjdzjdxdydz diintegral maka
hasilnya V’2. Dengan demikian, integral
i
jiiii dzdydx saja menghasilnan V’
N-2.
Akhirnya kita dapat menulis IN sebagai
j j
jjjj
NN
N dzdydxdzdydxrfVVI
)('' 2
j j
jjjj
NN dzdydxdzdydxrfVV
)('' 2 (2.49)
Perlu diingat bahwa setelah kita melakukan integral maka
f(rj)dxjdyjdzjdxdydz tidak lagi mengandung indeks j maupun karena variabel
- 40 -
tersebut habis diintegral. Integral tersebut menghasilkan angka yang tidak lagi
bergantung pada variabel maupun indeks. Akibatnya, penjumlahan pada ruas kanan
menjadi penjumlahan dari angka-angka yang nilainya sama, di mana nilai
masing-masing suku tersebut adalah f(rj)dxjdyjdzjdxdydz.Hasil dari penjumlahan
tersebut sama dengan nilai suku dikali dengan banyaknya suku penjumlahan.
Banyaknya suku pada dobel penjumlahan adalah N(N-1)/2. Dengan demikian kita
dapat menulis
dzdydxdzdydxrfNN
VVI jjjj
NN
N )(2
)1('' 2 (2.50)
Untuk menyelesaikan integral dalam persamaan (2.50), kita perkenalkan
variabel relatif r = rj. Dengan memperkenalkan variabel relatif ini maka kita dapat
melakukan transformasi berikut ini
dzdydxrdrfdzdydxdzdydxrf jjjj
3)()(
rdrfVrdrfdzdydx 33 )(')(
'aV (2.51)
di mana rd3 adalah elemen volum dalam ruang relatif dan rdrfa
3)( .
Akhirnya kita dapatkan
'2
)1('' 2 aV
NNVVI NN
N
1'2
)1(' NN V
aNNV (2.52)
Misalkan energi interaksi antar partikel sangat kecil sehingga berlaku
- 41 -
1/ kTU j. Dengan asumsi ini maka kita dapat menulis
kT
Ue
jkTU j
1/ (2.53)
Jika kita bandingkan persamaan (2.43) dan aproksimasi (2.53) maka kita dapat
simpulkan bahwa
kTUrf jj /)( (2.54)
Dengan bentuk ini maka parameter a menjadi
kT
a
kT
rdrUrd
kT
rUa
')()(3
3
. (2.55)
Selanjutnya kita substitusi persamaan (2.55) ke dalam persaman (2.52) dan
diperoleh
1'2
')1(' NN
N VkT
aNNVI (2.56)
Akhirnya fungsi partisi kanonik menjadi
12/3
3'
2
')1('2
!
1 NNN
NC VkT
aNNVmkT
hNZ (2.57)
Dengan menggunakan persamaan (2.42) maka energi bebas Helmholtz
dapat ditulis
CZkTF ln
NNI
hN
mkTkT ln
!
)2(ln
3
2/3 (2.58)
- 42 -
Dari energi bebas Helmholtz ini kita akan turunkan sejumlah persamaan
termodinamika untuk gas tidak ideal tersebut.
Contoh 2.6
Kita ingin menghitung parameter a untuk potensial seperti pada Gambar
2.9. Potensial pada gambar tersebut memenui persamaan berikut ini
rr
r
ru
rr
rUm
00
0
00
)( (2.59)
U(r)
rr0
Gambar 2.9 Contoh potensial interaksi antar atom/molekul gas.
Pada jarak yang jauh energi interaksi makin kecil dengan
bertambahnya jarak. Pada jarak r0 energi interaksi menjadi tak
berhingga. Ini berarti partikel tidak mungkin lebih dekat lagi dari
jarak r0. Jarak r0 adalah jarak antara dua partikel saat
bersentukan (jika dianggap partikel berbentuk bola). Ini berarti
jarak r0 merupakan diameter partikel.
Sebelum mulai menerapkan energi potensial guna menghitung parameter a,
- 43 -
mari kita balik ke persamaan (2.37)
i
iii
j j
j
N dzdydxkT
U
I
exp
Karena pada daerah 0 r r0 potensial memiliki nilai tak berhingga
sedangkan pada daerah lain nilai potensial berhingga maka kita dapat
memisalkan integral di atas ada dua bagian sebagai berikut
00
exprr i
iii
j j
j
N dzdydxkT
U
I
0
exprr i
iii
j j
j
dzdydxkT
U
Suku pada integral pertama pertama nol sehingga hasil integralnya nol.
Dengan demikian
0
exprr i
iii
j j
j
N dzdydxkT
U
I
Jadi kita hanya melakukan integral pada daerah yang lebih besar dari r0.
Setelah menolkan integral pada daerah r < r0 maka nilai
paremeter a menjadi
000
2/)(23 14)4)(()(r
kTrU
rr
drredrrrfrdrfa
(2.60)
Dengan memasukkan persamaan (2.59) ke dalam persamaan (2.60) maka
- 44 -
kita dapat menulis
0
00 2/)/(14
r
kTrrudrrea
m
Selanjutnya kita misalkan 1/)/( 00 kTrru m. Dengan
aproksimasi ini maka
m
kTrru
r
r
kT
ue
m
00/)/(
100
Dengan demikian, nilai aproksimasi untuk parameter a menjadi
00
)2(00200 44r
mm
r
m
drrkT
rudrr
r
r
kT
ua
0
3
00
)3(
14
r
m
m
rmkT
ru
kT
u
m
r
rkT
rum
m
0
3
0
3
0
00
3
414
2.7 Persamaan Keadaan Gas Tidak Ideal
Untuk gas ideal kita sudah memiliki persamaan keadaan yang sederhana,
yaitu PV = NkT. Sekarang kita ingin mencari persamaan keadaan untuk gas yang
tidak ideal yang dibahas di atas. Kita mulai dengan menentukan tekanan gas dengan
memasukkan F pada persamaan (2.58) ke dalam persamaan (2.12). Dari ungkapan
energi bebas pada persamaan (2.58) hanya IN yang mengandung besaran volum.
Oleh karena itu kita dapat menulis
TV
Fp
T
NIV
kT
ln
T
N
N V
I
IkT
1
- 45 -
kTaVNNV
kTaVNNNVkT
NN
NN
2/'')1('
2/'')1('1
221
'2/')1(1
'2/')1(1
'
2
kTVaNN
kTVaN
V
NkT
12
'2
')1(1
'2
')1(1
'
kTV
aNN
kTV
aN
V
NkT (2.61)
Kemudian menggunakan pendekatan binomal (1 + x)-n
1 – nx, dengan
asumsi 1x . Kita lakukan aproksimasi binomial pada suku kurung terakhir
persamaan (2.61) dan diperoleh
'2
')1(1
'2
')1(1
'
2
kTV
aNN
kTV
aN
V
NkTp
'2
')1(
'2
')1(1
'
2
kTV
aNN
kTV
aN
V
NkT
2'2
')1(
''2
')1(1
' V
aNN
V
NkT
kTV
aN
V
NkT
(2.62)
Karena N >>1 maka N-1 N sehingga persamaan (2.62) dapat diaproksimasi
menjadi
''2
'2
2
V
NkT
V
aNp ;
atau
NkTVV
aNp
'
'2
'2
2
;
atau
NkTNvVNvV
aNp
)(
)(2
'02
0
2
(2.63)
Dengan menganggap bahwa Nv0 masih cukup kecil dibandingkan dengan
- 46 -
V maka kita dapat mengabaikan Nv0 terhadap V pada penyebut persamaan (2.63).
Sedangkan pada pembilang, Nv0 kita pertahankan karena walaupun nilainya lebih
kecil dari Nv0 tetapi tetap memberi perubahan nilai yang signifikan pada persamaan.
Dengan demikian persamaan (2.63) dapat ditulis menjadi
NkTNvVV
aNp
)(
2/'02
2
(2.64)
Jumlah partikel sebanding dengan jumlah mol gas, n, atau N n. Dengan
demikian kita dapat menulis anaN ~2/' 22 dan bnNv~
0 . Akhirnya kita
mendapatkan persamaan akhir sebagai berikut
nRTbnVV
anp
)
~(
~
2
2
(2.65)
Persamaan (2.65) tidak lain merupakan persamaan van der Waals. Nilai a~ dan b~
sudah ditabelkan untuk sejumlah gas. Tabel 2.1 adalah nilai parameter van der
Walls untuk sejumlah gas.
Tabel 2.1 Parameter van der Walls untuk sejumlah gas (dari berbagai
sumber)
Gas a~ (L2 atm/mol
2) b
~ (L/mol)
Air 5.536 0.03049
Asam asetat 17.71 0.1065
Aseton 16.02 0.1124
Asetonitril 17.81 0.1168
Asetilen 4.516 0.0522
Amonia 4.170 0.0371
Argon 1.355 0.03201
Benzen 18.24 0.1154
- 47 -
Butan 14.66 0.1226
Karbon dioksida 3.640 0.04267
Karbon monoksida 1.505 0.03985
Klor 6.579 0.05622
Klorobenzen 25.77 0.1453
Etana 5.562 0.0638
Etanol 12.18 0.08407
Freon 10.78 0,0998
Helium 0.0346 0.0238
Hexan 24.71 0.1735
Hidrogen 0.2476 0.02661
Kripton 2.349 0,03978
Metan 2.283 0.04278
Metanol 9.649 0.06702
Neon 0.2135 0.01709
Nitrogen 1.370 0.0387
Oksigen 1.382 0.03186
Propan 8.779 0.08445
Xenon 4.250 0.05105
Jika kita mendefinisikan v = V/N dengan v adalah volum per mol gas maka
persamaan van der Waals dapat ditulis sebagai
RTbvv
ap
)
~(
~
2 (2.66)
Gambar 2.10 adalah kurva tekanan sebagai fungsi volum pada berbagai
suhu untuk gas amonia. Parameter dalam persamaan van der Walls ada di Tabel 2.1.
Kita gambar tiga kurva pada suhu T1 = 75 K, T2 = 100 K, dan T3 = 150 K. Tampak
bahwa pada suhu yang tinggi kurva mendekati kurva gas ideal, yaitu P 1/V.
Penyimpangan terhadap kurva gas ideal terjadi pada suhu rendah di mana energi
interaksi antar molekul tidak dapat diabaikan terhadap energi kinetik molekul gas.
- 48 -
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10
bv~
/
P(a
tm)
T1
T2
T3
Gambar 2. 10 Tekanan sebagai fungsi volum pada berbagai
suhu untuk gas amonia. Parameter dalam persamaan van der
Walls ada di Tabel 2.1. Tiga kurva memiliki suhu masing-masing
T1 = 75 K, T2 = 100 K, dan T3 = 150 K
2.8 Fluktuasi Energi Assembli
Seperti sudah kita bahas sebelumnya, karena ensembel kanonik
memungkinkan aliran energi keluar atau masuk dari/ke dalam assembli, maka dapat
terjadi fluktuasi energi yang dimiliki oleh assembli tersebut. Pertanyaan selanjutnya
adalah berapa besar fluktuasi energi assembli tersebut? Apa yang menentukan
fluktuasi energi tersebut. Mari kita coba bahas.
Misalkan E adalah energi rata-rata yang dimiliki assembli tersebut.
Misalkan suatu saat assembli tersebut memiliki energi Ei. Penyimpangan energi
sesaat assembli terhadap energi rata-rata adalah
EEE i (2.67)
- 49 -
Kita kuadratkan dua ruas persamaan (2.67) dan diperoleh
2222 2)( EEEEEEE iii (2.68)
Kita selanjutnya melakukan perata-rataaan ke dua ruas persamaan (2.68),
yaitu
2222222 222 EEEEEEEEEEEEE iiiii
22 EEi (2.69)
Dalam mencari persamaan (2.69) kita telah menggunakan kesamaan EEi .
Mengingat E konstan maka E2 juga konstan sehingga perata-rataannya memberikan
nilai yang sama, atau 22 EE .
Sebelunya kita sudah mendapatkan hubungan antara energi dan fungsi
partisi sebagai berikut
C
C
Z
ZE
1 (2.70)
Sekarang kita akan mencari ungkapan untuk 2
iE .
i
kTE
C
i
i
iiiie
ZEpEE
/222 1
i
kTE
Ci
kTE
i
C
ii eZ
eEZ
/
2
2/2 11
2
2/
2
2 11
C
Ci
kTE
C
Z
Ze
Zi (2.71)
- 50 -
Substitusi (2.70) dan (2.71) ke dalam persamaan (2.69) diperoleh
2
22
22
22
22 1111
C
C
C
C
C
C
C
C
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ZE (2.72)
Gambar 2.11 Ilustrasi fluktusi energi assembli. Sumbu datar
menyatakan assembli ke-i sedangkan sumbu vertikal adalah
energi yang dimiliki masing-masing assembli. Garis mendatar
adalah energi rata-rata assembli.
Jika kita diferensialkan E pada persamaan (2.70) terhadap kita dapatkan
2
22
2 111
C
C
C
C
C
C
Z
Z
Z
Z
Z
Z
E (2.73)
Dengan membandingkan persamaan (2.72) dan (2.73) kita simpulkan
- 51 -
T
EkT
EE
22
vCkT2 (2.74)
Tampak dari persamaan (2.74) bahwa bersanya fluktuasi energi bergantung pada
kapasitas kalor yang dimiliki assembli. Makin besar kapasitas kalor maka makin
besar fluktuasi energi yang terjadi. Fluktuasi energi juga naik secara kuadratik
terhadap suhu. Gambar 2.11 adalah ilustrasi fluktuasi energi assembli.
Contoh 2.7
Tentukan fluktuasi energi assembli momen magnetik pada Contoh 2.1 jika
assembli tersebut dibiarkan kontak dengan udara luar.
Jawab
Karena dibiarkan kontak dengan udara luar maka bisa muncul aliran
energi dari atau ke assembi sehingga energi assembli bisa berubah.
Asembli yang kita miliki menjadi kanonik. Kita sudah turunkan di Contoh
2.1 maupun Contoh 2.4 bahwa energi assembli tersebut adalah
kT
BBN
kT
BBNBBNE
tanhtanh)tanh(
Kapasitas kalor assembli adalah
kT
B
kT
BN
T
ECv
2
2
22
tanh1
Fluktuasi energi assembli adalah
vCkTE 22
kT
BBN
222 tanh1
Tampak dari hasil di atas bahwa jika suhu sangat tinggi, maka B/kT 0
- 52 -
sehingga tanh(B/kT) B/kT. Pada kondisi tersebut fluktuasi energi
memenuhi )/1( 22222 TkBE . Sebaliknya, pada suhu sangat rendah
maka B/kT sehingga tanh(B/kT) 1. Akibatnya fluktuasi energi
memenuhi 02 E .
Latihan
1. Sebuah assembli kanonik disusun oleh sistem-sistem yang memiliki dua keadaan
energi. Keadaan pertama memiliki energi E0 dan degenerasi g0 dan keadaan kedua
memiliki energi E1 dan degenerasi g1. Berdasarkan informasi tersebut tentukan
a) Fungsi partisi satu sistem
b) Fungsi partisi kanonik assembli tersebut yang mengandung N sistem
c) Tentukan kapasitas kalor assembli
d) Buat grafik C/R (rasio kapasitas kalor terhadap konstanta gas) sebagai
fungsi T/, di mana = (E1-E0)/k pada berbagai nilai rasio g1/g0.
2. Sebuah assembli disusun oleh sistem identik. Tiap sistem memiliki energi
potensial satu dimensi yang berbentuk V(x) = Axs dengan A dan s adalah konstanta.
Dengan menerapkan skala panjang yang memenuhi hubungan 1/2 222 A
maka energi yang dimiliki sistem terkuantisasi menurut persamaan
)2/(2
)2/1()/11(
)/12/3(
ss
n ns
sE
dengan = 2/2m2
dan (x) adalah fungsi gamma [U. P. Sukhatme, American
Journal of Physics 41, 1015 (1973)]. Perlihatkan bahwa energi tersebut kembali
menjadi tingkat energi osilator harmonik jika s = 2
a) Tentukan nilai aproksimasi untuk fungsi partisi satu sistem
b) Tentukan juga nilai aproksimasi untuk fungsi partisi assembli yang
mengandung N sistem (*)
3. Populasi jantan-betina dan pria-wanita di alam seimbang. Dalam menyelesaikan
- 53 -
perosialan statistik kita sering menjumpai bentuk
)!(!
!),(
nNn
NnNW
Bentuk ini menyatakan jumlan cara penyusunan N sistem yang terdiri dari dua
benda atau dua keadaan. Keadaan (benda) pertama mempunyai jumlah n dan
keadaan (benda) kedua mempunyai jumlah (N-n). Contohnya adalah assembli
magnetik yang tersusun oleh dua orientasi spin atau alloy yang tersusun oleh dua
atom atau populasi yang sangat besar yang terdiri dari jantan dan betina. Yang
selanjutnya kita lakukan adalah mencari nilai n yang menyebabkan W(N,n)
memiliki nilai maksimal. Cara yang sering ditempuh adalah mendiferensial W
terhadap n lalu mencari solusi untuk n yang menyebabkan turunan tersebut nol.
Karena fungsi W sulit dideferesial langsung maka seringkali yang didiferensial
adalah ln W = ln N! – ln n! – ln (N-n)!. Jika diasumsikan bahwa N dan n sangat
besar maka kita dapat memakai pendekatan Striling, yaitu ln N! N ln N – N, ln n!
n ln n – n, dan ln (N-n)! (N-n) ln (N-n) – (N-n). Setelah pendekatan ini maka
diferensial mudah dilakukan dan solusi untuk n yang menyebabkan W(N,n)
maksimal dapat diperoleh. Cara lain adalah dengan mempertimbangkan fungsi
W(N,n) itu sendiri. Misalkan fungsi tersebut maksimal pana n0 maka pada semua
nilai n n0 terpenuhi W(N,n) W(N,n0). Salah satu contohnya adalah W(N,n0-1)
W(N,n0) dan W(N,n0+1) W(N,n0). Dengan menggunakan dua ketidaksamaan ini ke
dalam ungkapan W(N,n) di atas, buktikan bahwa n0 = N/2 dengan asumsi bahwa n0
maupun N sangat besar dibandingkan dengan satu. Hasil ini menginformasikan
kepada kita bahwa jika ada populasi di alam yang disusun oleh dua keadaan maka
secara alamiah jumlah tiap keadaan adalah sama atau hampir sama. Ini barangkali
penyebab bahwa jumlah populasi jantan atau betina untuk hewan sejenis di alam
hampir sama. Itu juga barangkali penyebab mengapa jumlah laki-laki dan
perembuan di dunia ini hampir sama.
4. Sebuah assembli kanonik mengandung sistem berupa osilator harmonik tiga
dimensi. Energi osilator tersebut memenuhi persamaan rst = (r+s+t+3/2) di mana
- 54 -
r, s, dan t adalah bilangan bulat dari 0 sampai .
a) Tuliskan fungsi partisi kanonik asembli tersebut dan sederhanakan sehingga
diperoleh bentuk analitik
b) Carilah nilai asimptotik fungsi partisi pada suhu sangat rendah (T << /k)
dan pada suhu sangat tinggi (T >> /k).
c) Hitunglah energi rata-rara sistem dan nilai aproksimasi energi pada suhu
sangat rendah dan sangat tinggi
d) Hitunglah kapasitas kalor assembli pada volum tetap dan nilai aproksimasi
kapasitas kalor tersebut pada suhu sangat rendah dan sangat tinggi.
5. Penurunan fungsi distribusi tanpa aproksimasi Stirling dan pengali Lagrange.
Pada penurunan fungsi disribusi Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein, dan
Fermi-Dirac kita telah menggunakan aproksimasi Stirling dan pengali Lagrange.
Turoff memperlihatkan bahwa kita dapat menurunkan fungsi distribusi tersebut
tanpa menggunakan keduanya [R.D. Turoff, American Journal of Physics 38, 387
(1970)]. Di sini akan diberikan penurunan untuk fungsi distribusi
Maxwell-Boltzmann. Penurunan fungsi distribusi Bose-Einstein dan Fermi-Dirac
kalian coba lakukan sendiri.
Jumlah konfigurasi penyusunan siatem dalam assebmli klasik memenuhi
N
s s
n
s
n
gNW
s
1 !!
Dari jumlah konfigurasi ini kita langsung mendapatkan ungkapan untuk entropi S =
k ln W. Persamaan di atas dapat diutaikan sebagai berikut
!...
!...
!...
!! 1
1
11
N
n
N
q
n
q
p
nn
n
g
n
g
n
g
n
gNW
Nqp
Sekarang ke dalam assembli kita berikan sedikit energi sehingga ada satu siatem
berpindah dari tingkat energi ke-p ke tingkat energi ke-q. Energi yang kita berikan
adalah
- 55 -
pqdU
Dengan pemberian energi tersebut maka populasi pada tingkat ke-p berkurang satu
dan populasi pada tingkat energi ke-q bertambah satu. Dengan demikian konfigurasi
baru menjadi
!...
)!1(...
)!1(...
!!'
11
1
1
11
N
n
N
q
n
q
p
nn
n
g
n
g
n
g
n
gNW
Nqp
p
p
q
q
N
n
N
q
n
q
p
nn
g
n
n
g
n
g
n
g
n
g
n
gN
Nqp
1!...
!...
!...
!! 1
1
11
p
p
q
q
g
n
n
gW
1
Entropi assembli dalam konfigurasi baru menjadi
p
p
q
q
g
n
n
gkWkWkS
1lnln'ln'
Dengan demikian, perubahan entropi akibat penambahan energi tersebut adalah
p
p
q
q
g
n
n
gkSSdS
1ln'
Karena nq >> 1 maka
pp
p
p
q
q
ng
ngk
g
n
n
gkdS
/
/lnln
Dari kuliah termodinamika kita dapatkan definisi suhu adalah
dS
dU
S
UT
- 56 -
atau
pp
pqng
ngkT
/
/ln
atau
)/exp(
)/exp(
/
/
kT
kT
ng
ng
p
q
pp
Karena kita bisa memilih p dan q sembarang maka hubungan di atas melahirkan
persamaan berikut ini
)/exp( kTAg
nq
q
q
Ini tidak lain daripada fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann. Lakukan penurunan
yang sama untuk mencari fungsi distribusi Bose-Einstein dan Fermi-Dirac. Jumlah
konfigurasi dalam assembli boson dan fermion masing-masing
N
s ss
ssb
gn
gnW
1 )!1(!
)!1(
N
s sss
sf
ngn
gW
1 )!(!
!
- 57 -
Bab 3
ENSEMBEL GRAND KANONIK
Setelah mempelajari cukup banyak tentang ensembel mikrokanonik pada
kuliah Fisika Statistik dan ensembel kanonik pada bab sebelumnya, pada bab ini
kita akan membahas ensembel jenis ketiga, yaitu ensembel grand kanonik. Pada
ensembel grand kanonik tidak ada batasan pada energi maupun jumlah sistem pada
sebuah assembli. Pembatasan hanya dikenakan pada suhu dan volum assembli
tersebut, yaitu dua besaran tersebut konstan. Ensembel ini lebih mendekati
kebanyakan kasus nyata, seperti gas atau partikel di tempat terbuka. Kita akan
membahas ensembel grand kanonik dengan menggunakan sejumlah analogi dengan
ensembel mikrokanonik maupun ensembel kanonik. Analogi seperti ini dialakukan
untuk mempermudah pemahaman.
Untuk memahami uraian dalam bab ini para mahasiswa seyogyanya sudah
memahami materi asembli kanonik yang dibahas pada bab sebelumnya. Mereview
kembali materi Fisika Statistik serta Termodinamika akan mempermudah mengikuti
uraian dalam bab ini.
3.1 Energi Bebas Helmholtz dan Gibbs
Kita berangkat dari hukum I termodinamika yang tidak lain merupakan
hukum kekekalan energi. Pembahasan ini kita lakukan karena ada beberapa
persamaan dalam hukum I ini yang akan menolong kita memahami penurunan
ensemble grand kanonik lebih mudah. Hukum I termodinamika dapat ditulis dE =
dQ + dW, dengan dE adalah pertambahan energi dalam yang dimiliki assembli, dQ
- 58 -
adalah tambahan kalor yang diberikan pada assembli, dan dW adalah kerja yang
diberikan pada assembli. Hukum ini menyatakan bahwa pertambahan energi dalam
yang dimiliki assembli sama dengan kalor yang diberikan pada asembli dan kerja
yang dilakukan pada assembli.
Untuk proses yang berlangsung secara reversibel, maka ada hubungan
antara kalor yang diberikan dan perubahan entropi, yaitu dS = dQ/T. Lebih lanjut,
kerja yang dilakukan pada assembli memenuhi dW = -pdV, di mana p adalah
tekanan yang bekerja pada assembli dan V adalah volum assembli. Dengan
demikian, untuk proses yang berlangsung secara reversible, hukum I termodinamika
dapat ditulis menjadi dE = TdS - pdV.
Jika jumlah sistem pada assembli tidak tetap maka ada kemungkinan
terjadi pertambahan dan pengurangan sistem dalam assembli tersebut. Pertambahan
dan pengurangan tersebut akan memengaruhi energi dalam yang dimiliki assembli.
Misalkan pertambahan satu sistem menghasilkan perubahan energi dan
pengurangan satu sistem menyebabkan pengurangan energi maka perubahan dN
sistem menghasilkan perubahan energi dalam sistem sebesar dN. Dengan demikian,
perubahan energi dalam assembli jika jumlah sistem diijinkan untuk berubah
menjadi
dNpdVTdSdE (3.1)
Secara umum, misalkan ada beberapa jenis sistem dalam assembli yang
dapat masuk atau keluar assembli dengan energi per sistem untuk jenis partikel ke-i
adalah i maka hukum I termodinamika mengambil bentuk umum
i
iidNpdVTdSdE (3.2)
Kita batasi persoalan kita pada kondisi di mana suhu, tekanan, dan yang
konstan. Dengan melakukan integral pada persamaan (3.1) kita dapatkan
NpVTSE (3.3)
- 59 -
Berdasarkan definisi energi bebas Helmholtz F = E - TS dan persamaan (3.3) kita
dapatkan ungkapan lain untuk energi bebas tersebut sebagai berikut
NpVF (3.4)
Energi Gibbs didefinisikan sebagai G = F + pV. Dengan menggunakan persamaan
(3.4) maka energi Gibs memiliki bentuk
NG (3.5)
Dari persamaan (3.5) kita peroleh = G/N, yang bermakna bahwa dapat
dipandang sebagai energi Gibbs per satuan jumlah sistem. Besaran ini sering juga
disebut potensial kimia.
3.2 Penurunan Besaran Termodinamika dari Entropi
Ketika kita menyelesaikan persoalan fisika statistik atau mekanika statistik,
langkah pertama yang sering ditempuh adalah menentukan jumlah total konfigurasi
yang dapat terjadi. Jumlah total kondifurasi tersebut berhubungan langsung dengan
entropi assembli. Jika W adalah jumlah total konfigurasi maka entropi assembli
dapat didefinsikan sebagai S = k lnW. Dengan demikian, memahami keterkaitan
entropi dengan besaran termodimika lain menjadi sangat penting. Dengan kata lain,
kemampuan mendapatkan besaran-besaran termodinamika lain dari entropi sangat
penting guna mendapatkan persamaan termodinamika bagi assembli. Kita akan
mencari hubungan tersebut pada bagian ini.
Mari kita lihat kembali persamaan (3.1). Persamaan tersebut dapat ditulis
menjadi TdS = dE + pdV - dN, atau
dNT
dVT
pdE
TdS
1 (3.6)
- 60 -
Jika S dinyatakan sebagai fungsi E, V, dan N atau S(E,V,N) maka diferensial total
dari S selalu dapat ditulis sebagai
dNN
SdV
V
SdE
E
SdS
EVNENV ,,,
(3.7)
Jika kita bandingkan persamaan (3.6) dan (3.7) maka kita akan dapatkan kumpulan
hubungan berikut ini
NVE
S
T ,
1
(3.8)
NEV
S
T
p
,
(3.9)
EVN
S
T ,
(3.10)
Tampak dari persamaan (3.8) sampai (3.10) bahwa apabila kita telah
mendapatkan fungsi entropi, maka besaran lain termodinamika seperti suhu,
tekanan, dan potensial kimia dapat ditentukan dengan mudah melalui operasi
diferensial parsial sederhana.
3.3 Fungsi Grand Partisi
Sekarang mari kita mulai menurunkan fungsi grand partisi. Dalam
ensembel grand kanonik, keadaan suatu assembli ke-i merupakan fungsi dari energi
Ei dan jumlah sistem Ni dari assembli tersebut. Makin besar energi assembli maka
makin kecil peluang mendapatkan assembli tersebut. Sebaliknya, makin banyak
jumlah sistem dalam assembli maka makin banyak konfigurasi yang dapat
dihasilkan sehingga makin besar peluang kemunculan assembli tersebut. Dengan
demikian, kebolehjadian menemukan asembli ke-i memenuhi hubungan: pi
exp[-Ei/] dan pi exp[Ni/] dengan dan adalah parameter yang akan
ditentukan. Kesebandingan pertama jelas menghasilkan probabilitas makin kecil
- 61 -
jika energi makin besar dan kesebandingan kedua menghasilkan probabilitas makin
besar jika jumlah sistem makin besar. Dua kesebandingan tersebut dapat disatukan
menjadi pi exp[(-Ei+Ni)/]. Jika kita menggunakan tanda sama dengan maka
kita masukkan konstanta pembanding sehingga diperoleh pi = Cexp[(-Ei+Ni)/].
Selanjutnya, untuk mempermudah bentuk fungsi probabilitas, kita definisikan
parameter baru yang memenuhi hubungan berikut C = exp[/]. Dengan
memasukkan ungkapan dalam parameter baru tersebut kita dapatkan ungkapan
untuk probabilitas menemukan assembli dengan energi Ei dan jumlah sistem Ni
sebagai berikut
/)( ii EN
i ep
(3.11)
Catatan: untuk ensemble kanonik di mana energi assembli bisa
berbeda-beda sedangkan jumlah sistem tetap maka kebolehjadian untuk
menemukan assembli dengan energi Ei adalah pi exp[-Ei/].
Untuk menentukan parameter-parameter , , dan pada persamaan (3.11)
mari kita bandingkan probabilitas pada persamaan (3.11) dengan ungkapan
probabilitas dalam assembli kanonik, yaitu
kTEFep /)( (2.20)
Dengan membandingkan persaman (3.11) dan (2.20) maka sangat logis apabila kita
menyamakan parameter berikut ini, = kT dan F = + N. Tetapi, dari persaman
(3.4) kita sudah mendapatkan bentuk energi bebas Helmholtz ensembel grand
kanonik, yaitu F = -pV + N. Dengan demikian kita bisa simpulkan lagi bahwa =
-pV dan = . Akhirnya kebolehjadian menemukan assembli dengan energi Ei dan
jumlah sistem Ni adalah
kTENpV
iiiep
/)(
(3.12)
- 62 -
Dengan menggunakan hubungan normalisasi maka 1/)(
i
kTENpV iie . Kita
keluarkan parameter yang tidak mengandung indeks dari tanda penjumlahan
sehingga diperoleh
1/)(/
i
kTENkTpV iiee (3.13)
Selanjutnya kita mendefinisikan fungsi grand partisi sebagai berikut
i
kTEN
GiieZ
/)( (3. 14)
Dengan mensubstitusi persamaan (3.14) ke dalam persamaan (3.13) kita dapatkan
1/
G
kTpV Ze , atau
kTpV
G eZ / (3.15)
atau
GZkTPV ln (3.16)
Persamaan (3.16) adalah persamaan keadaan untuk assembli grand
kanonik. Kita masih ingat persamaan gas ideal PV = NkT. Kalau kita bandingkan
persamaan gas ideal dengan persaaman (3.16) maka dapat kita simpulkan bahwa
untuk gas ideal, ln ZG = N atau ZG = exp(N). Berdasarkan definisi fungsi grand
partisi (3.15) maka probabilitas pi pada persamaan (3.12) dapat ditulis sebagai kTENkTpV
iiieep
/)(/ , atau
G
kTEN
iZ
ep
ii /)(
(3.17)
- 63 -
3.4 Ungkapan Alternatif
Karena jumlah sistem dalam assembli grand kanonik bisa berubah-ubah
maka cara lain mendefinisikan fungsi grand partisi adalah dengan memperhitungkan
berbagai kemungkinan jumlah sistem pada masing-masing assembli. Dengan
pendekatan ini maka fungsi partisi grand kanonik bisa didefinsikan sebagai
N i
kTEN
GNieZ
/)( , (3.18)
Persamaan (3.18) sebenarnya setara dengan persamaan (3.14). Pada
persamaan (3.14) penjumlahan dilakukan pada berbagai kemungkinan energi dan
pada energi yang berbeda bisa saja memiliki N yang sama. Bisa saja terjadi E2 E99,
tetapi N2 = N99. Alternatif lain adalah kita kumpulkan assembli yang memiliki
jumlah sistem yang sama. Tentu energi tiap assembli tersebut berbeda. Penjumlahan
pada energi yang berbeda dilakukan untuk jumlah assembli yang sama. Jadi,
penjumlahan yang dilakukan adalah
i
kTEN Nie/)( ,
. Setelah itu kita jumlahkan
untuk berbagai nilai N sehingga diperoleh persamaan (3.18).
3.5 Entropi dalam Ungkapan Probabilitas
Selanjutnya kita akan mencari ungkapan untuk entropi dikaitkan dengan
kebolehjadian munculnya masing-masing assembli. Pertama mari kita lihat bentuk
eksplisit dari –k i pi ln pi. Dengan menggunakan pi pada persamaan (3.12) maka
i
iii
i
iikT
ENpVpkppk
ln
i
ii
i
ii
i
i EpT
NpT
pT
pV 1
- 64 -
T
ENpV
(3.19)
di mana N adalah jumlah rata-rata sistem dalam satu assembli dan E adalah
energi rata-rata satu assembli. Nilai-nilai tersebut diperoleh setelah merata-ratakan
pada semua asssembli dalam ensembel grand kanonik.
Kita mengingat salah satu persaman termodinamika E = TS – pV + N
yang dapat ditulis dalam bentuk
T
ENpVS
(3.20)
Jika kita bandingkan persamaan (3.19) dan (3.20) kita simpulkan bahwa ungkapan
lain untuk entropi adalah
i
ii ppkS ln (3.21)
Catatan: Dalam teori komunikasi didefinisikan juga entropi dengan
perumusan yang persis sama. Misalkan X adalah himpunan pesan {x1, x2,
x3, …,xn}. Misalkan p(x) adalah probabilitas x terkandung dalam
himpunan tersebut, maka entropi didefinisikan sebagai
Xx
xpxpS )(ln)(
3.6 Besaran Termodinamika dari Fungsi Grand Partisi
Untuk proses yang berlangsung secara reversible, kita memiliki persamaan
ENTSpV . Jika kita diferensiasi dua ruas persamaan ini maka diperoleh
EddNNdSdTTdSpVd )( (3.22)
- 65 -
Berdasarkah hukum I termodinamika proses reversible memiliki hubungan
NdpdVTdSEd . Dengan demikian persamaan (3.22) dapat diubah menjadi
dNSdTpdVpVd )( (3.23)
Persamaan (3.23) mengindikasikan bahwa perkalian (pV) merupakan fungsi dari V,
T, dan . Jika pV(V,T,) kita diferensiansi terhadap tiga variable tersebut maka
diperoleh
dpV
dTT
pVdV
V
pVpVd
TVVT ,,,
)()()()(
(3.24)
Bandingkan persamaan (3.23) dan (3.24). Dengan mudah kita identifikasi
hubungan-hubungan berikut ini
,
)(
TV
pVp
(3.26)
,
)(
VT
pVS
(3.27)
TV
pVN
,
)(
(3.28)
Dari persamaan (3.16) kita dapat menulis pV = kT ln ZG. Substitusi bentuk
ini ke dalam persamaan (3.26) sampai (3.28) kita peroleh bentuk persamaan berikut
ini
,,
)(ln)ln(
T
G
T
G
V
ZkT
V
ZkTp
(3.29)
,,
)(lnln
)ln(
V
GG
V
G
T
ZkTZk
T
ZkTS
(3.30)
TV
G
TV
G ZkT
ZkTN
,,
)(ln)ln(
(3.31)
- 66 -
Tampak dari persamaan (3.29) sampai (3.31) bahwa untuk mendapatkan ungkapan
untuk fungsi grand partisi merupakan kunci untuk menurunkan besaran
termodinamika yang lain. Oleh karena itu, ketika membahas sejumlah assembli
terbuka para ahli akan selalu memulai dengan menurunkan fungsi grand partisi.
Begitu fungsi grand partisi dapat dibangun maka besaran termodinamika lain dapat
diturunkan melalui proses diferensial sederhana.
3.7 Perhitungan Fungsi Grand Partisi
Pada semua pembahasan di atas kita baru menulis ungkapan untuk fungsi
grand partisi dan operasi apa yang mesti dilakukan untuk mendapatkan besaran
termodinamika lain dari fungsi grand partisi tersbeut. Namun, fungsi grand partisi
sendiri belum secara eksplisit diturunkan. Pada bagian ini kita akan menurunkan
bentuk eksplisit fungsi grand partisi untuk assembli klasik, boson, dan fermion.
Partikel Semiklasik dalam Formulasi Sumasi
Tinjau assembli yang memiliki energi Ei dan jumlah sistem Ni. Jumlah
sistem pada masing-masing kelompok energi dalam assembli tersebut adalah ni1, ni2,
ni3, … dan energi kelompok-kelompok tersebut adalah i1, i2, i3, …. Energi total
asembli dan jumlah total sistem dalam assembli ke-i memenuhi
s
isi nN
s
isisi nE
Dengan demikian fungsi grand partisi pada persamaan (3.14) dapat ditulis menjadi
i
iiiG
kT
ENWZ
exp (3.32)
dengan Wi adalah bobot konfigurasi assembli ke-i (jumlah cara penyusunan
- 67 -
system-sistem dalam assembli ke-i).
Untuk sistem semiklasik kita sudah mendapatkan persamaan untuk jumlah
konfigurasi, yaitu
s is
n
isi
n
gW
is
!
Substitusi ungkapan ini ke dalam persamaan (3.32) diperoleh
i
ii
s is
n
isG
kT
EN
n
gZ
is exp
! (3.33)
Tetapi s
isis
s
isii nnEN . Dengan demikian exp[(Ni – Ei)/kT] =
exp[snis-sisnis)/kT] = exp[snis(-is)/kT] = s
n
isiskT/)(exp . Substitusi
hubungan ini ke dalam persamaan (3.33) diperoleh
i s
n
is
s is
n
isG
is
is
kTn
gZ /)(exp
!
ii
s is
nkT
is
n
egis
is
!
/)(
(3.34)
Catatan: Sebelum kita lanjutkan penyederhanaan persamaan (3.34), mari
kita lihat aturan berikut ini. Kita memiliki hubungan matematis berikut ini
Nnn s s
n
s
N
s
sn
xNx
s
...21!
!
atau dapat ditulis balik menjadi
- 68 -
N
s
s
Nnn s s
n
s xNn
x s
!
1
!...21
(3.35)
Selanjutnya ruas kiri dan kanan kita jumlahkan terhadap N dari N = 0
sampai N = sehingga diperoleh
00 ... !
1
!21 N
N
s
s
N Nnn s s
n
s xNn
x s
(3.36)
Jika kita mengganti kT
issisegx
/)( maka
0
/)(
0 ...
/)(
!
1
!21 N
N
s
kT
is
N Nnn s is
nkT
is is
sis
egNn
eg
(3.37)
Ruas kiri persamaan (3.27) dapat ditulis ulang menjadi
0
/)(
0 ...
/)(
!!21 N
Ns is
nkT
s
N Nnn s is
nkT
s
n
eg
n
egis
isis
is
di mana simbol (...)N memiliki makna bahwa bagian dalam tanda kurung
dijumlahkan pada semua konfigurasi yang memiliki jumlah total sistem N. Dengan
demikian persaman (3.37) menjadi
0
/)(
0
/)(
!
1
! N
N
s
kT
is
NN
s is
nkT
is is
isis
egNn
eg
(3.38)
Ruas kiri persamaan (3.38) persis sama dengan ungkapan fungsi grand
partisi pada persamaan (3.34). Dengan demikian kita dapatkan ungkapan lain untuk
grand partisi adalah
- 69 -
0
/)(
!
1
N
N
s
kT
isGiseg
NZ
0
//
!
1
N
N
s
kT
is
kT isegeN
0
/
!
1
N
NkT ZeN
kTZe /exp (3.39)
di mana
s
kT
isisegZ
/ . Tampak bahwa fungsi grand partisi untuk assembli
semiklasik menjadi sangat sederhana. Besaran Z dalam persamaan (3.39) adalah
fungsi partisi sebuah sistem. Jadi fungsi grand partisi dapat ditentukan dari fungsi
partikel satu sistem. Dengan kata lain, untuk mencari fungsi grand partisi assembli
semiklasik kita cukup mencari fungsi partisi untuk satu sistem kemudian
menggunakan persamaan (3.39) untuk mencari fungsi grad partisi.
Dengan menggunakan fungsi grand partisi pada persaman (3.39) maka
jumlah rata-rata sistem dalam assembli adalah
TV
GZkTN
,
ln
kT
TV
kT
ZekT
kTZe
kT /
,
/ 1
kTZe / (3.40)
Contoh 3.1
Kita ingin mencari fungsi grand partisi assembli momen magnetik yang
berada dalam medan magnet. Momen tersebut memiliki tiga kemungkinan
arah orientasi: searah, tegak lurus, atau berlawanan arah medan magnet.
Jawab
Gambar di bawah ini adalah kemungkinan arah orientasi tiap momen
magnetik dan energi yang dimiliki untuk tiap arah orientasi tersebut.
- 70 -
B
E1 = -B E2 = 0 E3 = B
Pada gambar di atas adalah besar momen magnetik. Fungsi partisi satu
sistem adalah
kTEkTEkTE
i
kTEeeeeZ i //// 321
kTBkTB ee // 1
Fungsi grand partisi menjadi
kTBkTBkTkT
G eeeZeZ //// 1expexp
Persamaan keadaan assembli tersebut adalah
kTBkTBkT
G eeeZkT
PV /// 1ln
Dengan menggunakan persamaan (3.40) kita dapatkan rata-rata
sistem dalam assembli adalah
kTZeN /
kTBkTBkT eee /// 1
Jumlah Okupasi Rata-rata
Jika sn adalah jumlah rata-rata sistem pada kelompok energi ke-s dalam
suatu assembli maka jumlah rata-rata sistem dalam suatu assembli dapat ditulis
- 71 -
s
snN . (3.41)
Sekarang kita balik ke definisi fungsi partisi satu partikel yang memenuhi
persamaan
s
kT
ssegZ
/ . Bentuk ini jika digabung dengan persamaan (3.40)
maka kita dapatkan ungkapan lain untuk jumlah rata-rata partikel dalam assembli
sebagai
s
kT
s
kT
s
kT
sss egeegN
/)(// (3.42)
Sekarang kita bandingkan definisi pada persamaan (3.41) dengan
ungkapan pada persamaan (3.42). Dari dua persamaan tersebut kita simpulkan
bahwa jumlah rata-rata sitem dalam kelompok energi ke-s dalam suatu assembli di
dalam ensembel grand kanonik adalah
kT
sssegn
/)( (3.43)
Persamaan (3.45) cukup menarik untuk dicermati. Pada ensembel
mikrokanonik (jumlah energi dan sistem tetap), jumlah sistem yang
menempati keadaan dengan energi s adalah ns = gs exp[-s/kT]. Namun
pada ensembel grand kanonik (jumlah energi maupun sistem dalam
assembli selalu berubah-ubah) maka jumlah sistem yang menempati
keadaan dengan energi s selalu berubah-ubah. Tetapi nilai rata-rata sistem
yang menempati keadaan dengan energi s memenuhi persamaan (3.43),
yang persis sama dengan jumlah sistem pada ensembel mikrokanonik. Jadi,
pada assembli grand kanonik, yang dapat kita definisikan adalah harga
rata-rata, karena harga sesaat selalu berubah. Dan harga rata-rata tersebut
sama dengan harga sesaat untuk ensembel mikrokanonik.
- 72 -
Partikel Semiklasik dalam Formulasi Integral
Untuk mencari bentuk integral dari fungsi grand partisi partikel semi
klasik mari kita mulai dari persamaan (3.24)
N i
kTEN
GNieZ
/)( ,. Kita
mentransformasi penjumlahan ike bentuk integral dengan cara sebagai
berikut: NNid 6(...)(...) , dengan
N adalah kerapatan keadaan. Untuk
assembli semiklasik kerapatan keadaan memenuhi N
N hN 3!/1 . Dengan
demikian bentuk integral dari fungsi grand partisi semiklasik mengambil bentuk
N
N
kTNEN
NG dehN
Z 6
/)]([
3!
1
N
N
kTNEkTN
Ndee
hN6
/)(/
3!
1 (3.44)
Kasus khusus. Untuk kasus khusus di mana interaksi antar partikel
diabaikan maka E(N) hanya mengandung energi kinetik dan memenuhi persamaan
N
i
iziyix pppm
NE1
222
2
1)( . Dengan demikian kita dapat menyelesaikan integral
berikut ini,
i
iziyixiii
kTNE
N
kTNE dpdpdpdzdydxede /)(
6
/)(
i
iziyixi
iziyix
i
iii dpdpdpmkT
ppp
dzdydx2
exp
222
i
ixixN dp
mkT
pV
2exp
2
iz
iziy
iydp
mkT
pdp
mkT
p
2exp
2exp
22
- 73 -
i
N mkTmkTmkTV 222
2/32
NN mkTV (3.45)
Untuk kasus khusus ini fungsi grand partisi memiliki bentuk
N
NNkTN
NG mkTVehN
Z2/3/
32
!
1
N
NkTN
N
N
kTN ZeN
mkTh
Ve
N
/
2/3
3
/
!
12
!
1
kT
N
NkT ZeZeN
// exp!
1
Persamaan di atas tidak lain merupakan persamaan (3.40). Pada hasil di atas,
2/33 ]2)/[( mkThVZ adalah fungsi partisi satu partikel.
Fungsi Grand partisi Bose-Einstein
Sekarang kita akan membahas fungsi partisi untuk assembli kuantum,
yaitu untuk assembli boson dan fermion. Pertama kita bahas fungsi partisi
Bose-Einstein untuk assembli boson. Untuk menentukan fungsi grand partisi
Bose-Einstein mari kita mulai dengan meninjau deret ukur berikut ini
1
32 ...11
1
n
n
jjjj
j
xxxxx
111
...1
1
n
n
j
n
n
j
n
n
j
j j
xxxx
,...3,2,1
...321
nnn
n
j
n
j
n
j xxx
,...3,2,1 nnn j
n
jjx (3.46)
Selanjutnya kita misalkan kT
jjex
/)( sehingga kita dapat menulis (3.46)
- 74 -
menjadi
,...3,2,1
/)(
/)(1
1
nnn j
nkT
jkT
jj
je
e
,...3,2,1
/)(expnnn j
jj kTn (3.47)
Telah didefinisikan bahwa fungsi grand partisi memenuhi bentuk umum
i s
isisiG kTnWZ /)(exp (3.34)
di mana s adalah indeks kelompok energi. Tetapi penjumlahan s isis kTn /)(
terhadap kelompok-kelompok energi memberikan hasil yang persis sama dengan
penjumlahan j jj kTn /)( terhadap keadaan individual. Perbedaan hanya
pada jumlah suku yang dijumlahkan. Jumlah suku pada penjumlahan yang terakhir
lebih banyak daripada jumlah suku pada penjumlahan pertama (lihat Gambar 3.1).
Jadi
j
jj
s
isis kTnkTn /)(/)( (3.48)
Lebih lanjut, karena boson merupakan partikel tak terbedakan maka
jumlah cara penyusunan boson-boson pada keadaan ke-i hanya satu, berapa pun
jumlah boson yang menempati keadaan tersebut. Dengan demikian, untuk boson
1iW sehingga fungsi grand partisi pada persaman (3.34) dapat ditulis menjadi
,...21 ,
/)(exp1nn j
jjG kTnZ
,...21 ,
/)(expnn j
jj kTn (3.49)
- 75 -
j
jj
s
isis kTnkTn /)(/)(
Gambar 3.1 Pada bagian kiri keadaan dikelompokkan.
Penjumlahan di sebelah kiri adalah penjumlahan per kelompok
sedangkan penjumlah di sebelah kanan adalah penjumlahan per
tingkat energi. Hasilnya sama saja. Pada gambat kiri, ns
menyatakan jumlah sistem dalam satu kelompok (yang
mencakup sejumlah keadaan). Pada gambar kanan, ni adalah
jumlah sistem pada satu keadaan.
Perlu diingat bahwa penjumlahan yang semula dilakukan terhadap
indeks-j diubah menjadi penjumlahan terhadap indeks nj karena tiap nj berkorelasi
dengan satu nilai j. Bandingkan persamaan (3.48) dan (3.49). Dari sini kita dapat
simpulkan bahwa fungsi grand patisi untuk boson dapat ditulis sebagai
- 76 -
j
kTGje
Z/)(
1
1
(3.50)
Tampak dari persamaan (3.50) bahwa fungsi grand partisi boson cukup sederhana.
Untuk mencari fungsi grand partisi kita awali dengan mencari tingkat-tingkat energi
dalam asembli tersebut (j). Tingkat energi inilah yang digunakan untuk
menentukan fungsi grand partisi.
Pesan umum yang dapat diperoleh di sini adalah, apapun jenis assembli
yang kita miliki, mencari fungsi partisi atau grand partisi diawali dengan
mencari tingkat-tingkat energi. Setelah tingkat energi diketahui maka
fungsi partisi kanonik maupun partisi grand kanonik dapat dihitung
dengan mudah.
Pada persamaan (3.50) ada parameter sedangkan pada fungsi partisi
kanonik atau mikrokanonik tidak ada. Penyebabnya adalah karena adanya
pertukaran sistem pada assembli grand kanonik. Pertukaran satu sistem melahirkan
perubahan energi sebesar . Pada assembli kanonik atau mikrokanonik , tidak ada
pertukaran partikel sehingga tidak masuk parameter dalam ungkapan fungsi
partisi.
Dari fungsi grand partisi (3.50) kita dapat menghitung jumlah rata-rata
sistem dalam assembli, yaitu
TV
GZkTN
,
ln
TV
j
kTje
kT
,
/)(1ln
- 77 -
jkT
jkT
kT
jj
j
ee
e
1
1
1/)(/)(
/)(
(3.51)
Tetapi jumlah rata-rata sistem dalam assembli sama dengan jumlah dari jumlah
rata-rata sistem pada tiap keadaan energi, atau
j
jnN (3.32)
dengan jn adalah jumlah rata-rata sistem yang menempati keadaan energi ke-j
dalam suatu assembli. Dengan membandingkan persamaan (3.51) dan (3.32) kita
simpulkan bahwa jumlah rata-rata sistem pada keadaan ke-j adalah
1
1/)(
kTjje
n
(3.52)
Persamaan (3.52) juga cukup menarik untuk dicermati. Pada assembli
mikrokanonik (jumlah energi dan sistem tetap), jumlah sistem yang menempati satu
keadaan (keadaan ke-j) dengan energi j adalah 1
1/)(
kTkTjje
n
. Namun pada
assembli grand kanonik (jumlah energi maupun sistem dalam assembli selalu
berubah-ubah) maka jumlah sistem yang menempati keadaan dengan energi j selalu
berubah-ubah. Tetapi nilai rata-rata sistem yang menempati keadaan dengan energi
j memenuhi persamaan (3.52). Pada assembli grand kanonik, yang dapat kita
definisikan adalah harga rata-rata, karena harga sesaat selalu berubah. Dan harga
rata-rata tersebut sama dengan harga sesaat untuk assembli mikrokanonik.
Fungsi Grand Partisi Fermi-Dirac
Terakhir kita mencari fungsi partisi Fermi-Dirac. Kita sudah mendapatkan
bentuk fungsi grand partisi sistem kuantum yaitu persamaa (3.34). Untuk fermion,
satu keadaan energi hanya boleh kosong atau ditempati satu sistem saja karena
memenuhi prinsip ekslusi Pauli. Jadi untuk fermion nj hanya boleh 0 atau 1.
- 78 -
Sebelum itu kita bahas hubungan berikut ini
...1)1( j j m
mj
j j
j
j
j
j
j xxxxxxx
(3.53)
Mengingat n1, n2, n3, … untuk fermion hanya bisa mengambil nilai 0 atau
1 maka bagian kanan persamaan (3.53) dapat disederhanaklan menjadi
)1,0,....(3,2,1 nnn j
n
jjx
Sebagai contoh
000
2
0
1 ......1 Nj xxxx
00
1
10
1
0
2
0
1 ...... Njjjj xxxxxxx
00
1
10
1
0
1
10
1
0
2
0
1 ......... Njjjj xxxxxxxxxxx
Dengan demikian persamaan (3.53) dapat ditulis ulang menjadi
)1,0,....(3,2,1
)1(nnn j
n
j
j
jjxx (3.54)
Jika kita mensubstitusi kT
jjex
/)( pada persamaan (3.54) maka
)1,0,....(3,2,1
/)(/)(1
nnn j
nkT
j
kT jjj ee
)1,0,....(3,2,1
/)(expnnn j
jj kTn (3.55)
Perhatikan bagian kanan persamaan (3.55). Kita dapat menulis ulang
sebagai berikut
- 79 -
)1,0,....(3,2,1
/)(expnnn j
jj kTn
)1,0,....(3,2,1
expnnn
j
jj
j
j
kT
nn
)1,0,....(3,2,1
expnnn
ii
kT
EN
Substitusi ke dalam persamaan (3.55) kita peroleh
)1,0,....(3,2,1
/)(exp1
nnn
ii
j
kT
kT
ENe j
(3.56)
Jika kita perhatikan persamaan (3.56) tampak jelas bahwa bagian kanan persamaan
(3.56) adalah fungsi grand partisi. Akhirnya kita simpulkan bahwa fungsi grand
partisi fermion dapat ditulis dalam bentuk
j
kT
GjeZ
/)(1
(3.57)
Sekarang kita hitung jumlah rata-rata sistem yang menempati keadaan ke-j.
Kita mulai dengan menghitung jumlah rata-rata sistem dalam suatu assembli, yaitu
TV
GZkTN
,
ln
TV
j
kTje
kT
,
/)(1ln
- 80 -
jkT
jkT
kT
jj
j
ee
e
1
1
1/)(/)(
/)(
(3.58)
Sekali lagi, jumlah rata-rata sistem dalam assembli sama dengan jumlah dari jumlah
rata-rata sistem pada tiap keadaan energi, atau
j
jnN (3.32)
Dengan membandingkan persamaan (3.32) dan (3.58) kita simpulkan bahwa jumlah
rata-rata sistem pada keadan ke-j adalah
1
1/)(
kTjje
n
(3.59)
Mengingat jumlah sistem dalam satu keadaan assembli fermion hanya boleh 0 atau
1 maka akan selalu terpenuhi 10 jn .
Persamaan (3.59) juga cukup menarik untuk dicermati. Pada assembli
mikrokanonik (jumlah energi dan sistem tetap), jumlah sistem yang menempati satu
keadaan (keadaan ke-j) dengan energi j adalah 1
1/)(
kTkTjje
n
. Namun pada
assembli grand kanonik (jumlah energi maupun sistem dalam assembli selalu
berubah-ubah) maka jumlah sistem yang menempati keadaan dengan energi j selalu
berubah-ubah. Tetapi nilai rata-rata sistem yang menempati keadaan dengan energi
j memenuhi persamaan (3.59). Pada assembli grand kanonik, yang dapat kita
definisikan adalah harga rata-rata, karena harga sesaat selalu berubah. Dan harga
rata-rata tersebut sama dengan harga sesaat untuk assembli mikrokanonik.
Hal menarik lainnya yang perlu kita cermati adalah mengapa fungsi grand
partisi diungkapkan dalam bentuk perkalian ? Apakah tidak mempersulit?
Mengapa bukan dalam tanda ? Jawabannnya tegas tidak. Karena yang sering kita
gunakan dalam mencari besaran termodinamika bukan fungsi partisi itu sendiri,
tetapi logaritma fungsi partisi. Kita tahu semua bahwa logaritma perkalian sama
- 81 -
dengan jumlah logaritma. Jadi, ketika fungsi grand partisi yang kita miliki
berbentuk , namun ketika kita gunakan dalam mencari besaran termodinamika
kita akan dapatkan bentuk penjumlahan (setelah dilogaritma).
3.8 Fluktuasi Jumlah Sistem dalam Assembli
Seperti dijelaskan sebelumnya, ensembel grand kanonik mengijinkan
terjadinya perubahan jumlah sistem dalam suatu assembli. Dengan kata lain pada
ensembel ini diijinkan terjadinya fluktuasi jumlah sistem. Pada assembli kanonik
yang kita bahas pada bab terdahulu, fluktuasi energi yang dimiliki assembli
diijinkan. Berikut ini kita akan merumuskan fluktuasi jumlah sistem dalam
ensembel grand kanonik (lihat Gambar 3.2).
Gambar 3.2 Ilustrasi fluktusi jumlah partikel dalam assembli.
Sumbu datar menyatakan assembli ke-i sedangkan sumbu
vertikal adalah jumlah partikel yang dimiliki masing-masing
assembli. Garis mendatar adalah jumlah rata-rata partikel pada
assembli. Indeks i pada sumbu datar adalah indeks assembli.
- 82 -
Fluktuasi jumlah sistem dalam assembli didefinisikan sebagai
222
NNN (3.60)
Untuk mencari bentuk eksplisit persamaan (3.60) kita berangkat dari definisi berikut
ini
i G
kTEN
i
i
iiZ
eNpNN
ii /)(
G
i
kTEN
i
G
ZkTeN
Zii
ln1 /)( (3.61)
2
22/)(222 )(
G
Gi G
kTEN
i
i
ii
Z
Z
kT
Z
eNpNN
ii
(3.62)
Dengan demikian
2
2
2
2
222
2 1)(
)(
G
G
G
G
Z
ZkT
Z
Z
kTNN
2
22
22 11
)(
G
G
G
G
Z
Z
Z
ZkT
G
G
G
G
Z
ZkTkT
Z
ZkT
11)( 2
GZkT
(3.63)
Fungsi grand partisi untuk sistem klasik memenuhi persamaan (3.41),
kT
G ZeZ /exp . Dengan menggunakan persamaan (3.61) kita dapatkan
- 83 -
kTkT
G ZeZekTZkTN //ln
. Dengan demikian,
kTNZekTN kT /)/1(/ / . Akhirnya kita dapatkan
NkT
NkTNN
22
dan
NN 2
(3.64)
Fluktuasi jumlah sistem dalam assembli didefinisikan sebagai
2/1
2/1
2
2/1
2
2)(
N
N
N
N
N (3.65)
Tampak bahwa fluktuasi berbanding lurus dengan kebalikan akar rata-rata jumlah
sistem dalam assembli.
3.9 Penurunan Fugsi Fermi-Dirac dengan Metode Perturbasi
Cara lain menurukan fungsi distribusi fermi-dirac adalah menggunakan
teori pertuebasi yang bergntung waktu. Metode ini telah dibahas oleh Walsh [J.E.
Walsh, American Journal of Physics 38, 392(1970)]. Kita akan bahas metode
tersebut lebih detail di sini.
Kita misalkan
P21 adalah probabilitas per satuan waktu transisi elektron dari tingkat energi
2 ke tingkat energi 1.
P21 adalah probabilitas per satuan waktu transisi elektron dari tingkat energi
1 ke tingkat energi 2.
Dengan teori perturbasi maka probabilitas transisi per satuan waktu dari energi 2 ke
tingkat energi 1 memenuhi persamaan
- 84 -
1212
2
2121 )(1)(1)(2
ffnMh
P (3.66)
dengan M21 adalah elemen matrik dipol transisi dari keadaan 2 ke keadaan 1, n()
adalah jumlah rata-rata foton yang memiliki frekuensi dalam assembli sebelum
transisi dari 2 ke 1 dan memenuhi persamaan 2 - 1 = . f() adalah peluang
mendapatkan elektron pada tingkat energi dan 1 – f() adalah peluang tingkat
energi tidak ditempati elektron.
Persamaan (3.66) menyatakan bahwa probabilitas transisi sebanding
dengan peluang mendapatkan elektron di keadaan awal dan peluang mendapatkan
tempat kosong di keadaan akhir. Kita juga menambahkan faktor n()+1 karena
transisi dari tingkat energi 2 ke 1 menambah jumlah foton sebanyak satu buah.
Fungsi delta Dirac menjamin bahwa foton yang dipancarkan memiliki energi persis
sama dengan selisih energi keadaan awal dan akhir.
Dengan cara serupa maka peluang per satuan waktu transisi elekton dari
keadaan dengan energi 1 ke 2 adalah
1221
2
1212 )(1)()(2
ffnMh
P (3.67)
Pada persamaan (3.67), transisi dari 1 ke 2 (dari tingkat energi rendah ke tinggi)
tidak mengubah jumlah foton dalam assembli sehingga pada persamaan kita hanya
menggunakan faktor n().
Dalam kondisi setimbang P12 = P21. Karena operator momen dipol M
bersifat hermitian maka M12 = M21. Dengan demikian, kondisi setimbang
melahirkan persamaan berikut ini
)(1)()()(1)(1)( 2112 ffnffn
atau
- 85 -
)(1/)(
)(1/)(
1)(
)(
11
22
ff
ff
n
n
(3.68)
Untuk memudahkan perhitungan mari kita definisikan fungsi berikut ini
)(1
)()(
f
fg
(3.69)
Dengan definisi tersebut maka persaman (3.68) dapat ditulis
)(
)(
1)(
)(
1
2
g
g
n
n
(3.70)
Perhatikan suku di ruas kiri persamaan (3.70). Suku tersebut hanya fungsi .
Karena 2 - 1 = maka suku di ruas kiri persamaan (3.70) hanya fungsi 2 - 1.
Berdasarkan sifat tersebut maka persamaan (3.70) dapat ditulis menjadi
)()(
)(12
1
2
g
g
atau
)()()( 1122 gg (3.71)
dengan (2-1) adalah fungsi yang hanya bergantung pada selisih 2-1.
Berdasarkan definisi tersebut kita dapatkan (0) = 1.
Mari kira tulis 1 = dan 2 = + . Dengan demikian kita dapat menulis
persamaan (3.71) menjadi
)()()( gg (3.72)
Kemudian kita uraikan fungsi-fungsi dalam dalam deret Taylor sebagai berikut
- 86 -
d
dggg )()(
0
)0()(
d
d
Kita definisikan juga d/d=0 = sehingga dapat kita tulis
1)( . Dengan demikian, persamaan (3.72) menjadi
)(1)(
gd
dgg
atau
)(
gd
dg (3.73)
Dengan mudah kita dapatkan solusi untuk g() sebagai berikut
Aeg )( (3.74)
dengan A adalah konstan. Kembali ke definisi g() pada persamaan (3.69)
kita dapatkan ungkapan untuk f() sebagai berikut
1)/1(
1)(
eAf (3.75)
Kita menulis 1/A sebagai exp[] sehingga diperoleh ungkanan akhir untuk
f() menjadi
1
1)(
)(
ef (3.76)
Persamaan (3.76) tidak lain daripada fungsi distribusi Fermi-Dirac.
- 87 -
Bab 4
MEKANIKA STATISTIK KUANTUM
Setelah cukup banyak membahas statistik yang berbasis pada formulasi
klasik, sekarang kita membangun statistik yang berangkat dari postulat kuantum.
Walaupun kita telah mempelajari assembli boson dan fermion yang merupakan
partikel kuantum, namun”interpretasi” statistik yang kita gunakan masih berbasis
pada interpretasi klasik. Salah satu ciri khas sistem kuantum yang direpresentasikan
oleh fungsi gelombang belum muncul pada pembahasan sebelumnya. Pada bagian
ini kita mempelajari statistik yang berangkat dari postulat kuantum.
Untuk memahami bagian ini secara mudah para mahasiswa diharapkan
meriew kembali kuliah Fisika Statistik dan Fisika Kuantum. Pemahaman tentang
operator serta beberapa sifat dasar operator, operator bra dan ket, operator fungsi
kerapatan, trace, dan lain-lain cukup penting untuk dipahami sebagai modal awal.
4.1 Fungsi Gelombang Sistem dan Liungkungan Kita berangkat dari konsep gelombang dari partikel. Pada sembarang waktu,
fungsi gelombang suatu sistem terisolasi dapat diungkapkan sebagai superposisi
linier dari kumpulan ortonormal lengkap dari fungsi gelombang stasioner {n},
yaitu
n
nnc (4.1)
dengan cn adalah bilangan kompleks. Secara umum cn merupakan fungsi waktu.
Kebergantungan pada waktu ditentukan oleh kebergantungan cn pada waktu
karena {n} bersifat stasioner. Indeks n adalah bilangan kuantum untuk keadaan-
keadaan yang dimiliki assembli. Interpretasi dari cn adalah nilai cn2 menyatakan
bahwa
- 88 -
Probabilitas pengukuran yang dilakukan pada saat tertentu menemukan
sistem pada keadaan kuntum n
Catatan: Fungsi ortonormal artinya modulusnya sama dengan 1. Yang
dimaksud dengan lengkap adalah setiap fungsi sembarang selalu dapat
dinyatakan sebagai superposisi himpunan fungsi yang lengkap tersebut.
Fungsi yang berbeda hanya pada kumpunan konstanta superposisi.
Namun, dalam mekanika statistik, yang kita bahas bukan assembli yang
terisolasi melainkan assembli yang berinteraksi dengan lingkungan (dunia luar).
Dengan demikian, untuk assembli statistik sebenarnya superposisi pada persamaan
(4.1) tidak dapat langsung dipakai. Namun demikian kita dapat melakukan strategi
agar persamaan (4.1) tetap dapat digunakan. Caranya adalah memandang assembli
dengan lingkungan sebagai sebuah assembli baru. Karena tidak ada lagi yang lain di
luar gabungan assembli dan lingkungan maka gabungan assembli dan lingkungan
dapat dipandang sebagai assembli terisolasi yang baru.
ASSEMBLI + LINGKUNGAN = ASSEMBLI TERISOLASI BARU
Dengan trik demikian maka ungkapan fungsi gelombang pada persaman
(4.1) tetap dapat digunakan, namun dengan melakukan sedikit reinterpretasi. Di sini
fungsi gelombang tidak lagi bergantung pada koordinat assembli tetapi juga
bergantung pada koordinal lingkungan.
Dengan pendekatan semacam ini kita memiliki berbagai asumsi berikut ini.
Jika {n} menyatakan kumpulan lengkap fungsi gelombang stasioner yang dimiliki
assembli maka fungsi gelombang assembli + lingkungan tetap berbentuk
n nnc , dengan menafsirkan {cn} sebagai fungsi gelombang lingkungan. Jadi
kita memiliki dua macam fungsi gelombang, yaitu:
Hinpunan {n} bergantung pada koordinat assembli dan
Himpunan {cn} bergantung pada koordinat lingkungan dan waktu.
Dengan demikian, fungsi gelombang total merupakan superposisi dari perkalian
fungsi gelombang assembli dengan fungsi gelombang lingkugan.
4.2 Nilai Rata-Rata Dalam teori kuantum kita sering berhadapan dengan operator. Nilai suatu
besaran fisis sama dengan nilai ekspektasi dari operator terkait. Jika O adalah
sebuah operator yang berkaitan dengan sebuah observable (besaran yang dapat
- 89 -
diamati) yang dimiliki assembli maka nilai besaran tersebut yang terukur pada suatu
saat adalah
n m
mnmn
n m
mnmn
cc
OccO
),(
ˆ),(ˆ (4.2)
Karena {n} adalah himpunan fungsi gelombang ortonormal maka nm = nm.
Dengan sifat demikian maka kita mendapatkan
n m
nmmn
n m
mnmn
cc
OccO
),(
ˆ),(ˆ
n
nn
n m
mnmn
cc
Occ
),(
ˆ),( (4.3)
Proses pengukuran biasanya memerlukan waktu yang cukup lama jika
dibandingkan dengan waktu ”proses molekuler/atomik” tetapi jauh lebih pendek
dibandingkan dengan waktu yang berkaitan dengan ”resolusi alat ukur”. Dengan
demikian, besaran sebenarnya yang diperoleh dari hasil pengukuran adalah perata-
rataan besaran tersebut terhadap selang waktu yang lebih lama dari waktu proses
molekuler dan lebih pendek dari waktu resolusi alat. Jadi, besaran yang didapat dari
hasil pengukuran sebenarnya bukan (4.3) itu sendiri, melainkan perata-rataan (4.3)
terhadap waktu, yaitu
n
nn
n m
mnmn
cc
Occ
O),(
ˆ),(ˆ
(4.4)
Karena variabel waktu hanya tertuang dalam fungsi cn maka kita dapat menulis
ulang persamaan (4.4) menjadi
n
nn
n m
mnmn
cc
Occ
O),(
ˆ),(ˆ
(4.5)
- 90 -
Sekarang kita tinjau suatu assembli yang memiliki volum V. Assembli
tersebut dianggap berinteraksi cukup lemah dengan lingkungan sehingga energinya
hanya bervariasi antara E sampai E+ di mana << E. Kita pilih {n} sebagai
himpunan fungsi eigen ortonormal dari hamiltonian H assembli tersebut, yaitu
nnn EH (4.5)
4.3 Postulat Mekanika Statistik Kuantum Ada dua postulat yang melandasi mekanika statistik kuantum, yaitu
Postulat ”Equal a Priori Probability” Postulat ini menyatakan bahwa semua keadaan kuantum memiliki peluang
yang sama untuk muncul. Lebih lanjut, tidak ada keadaan yang memiliki energi
kurang dari E atau lebih dari E+E karena energi assembli hanya ada dalam rentang
E sampai E+E. Postulat tersebut dapat dituangkan dalam ekspresi matematika
sebagai berikut
EEatauEE
EEEcc
nn
n
nn,0
,1),( (4.6a)
Postulat Fase Random Postulat ini menyatakan bahwa kemunculan satu keadaan tidak
mempengaruhi oleh kemunculan keadaan lainnya. Artinya tiap keadaan muncul
secara random dari tidak mempengaruhi atau dipengaruhi oleh keadaan lainnya.
Secara matematis, postulat tersebut dinyatakan oleh ekspresi berikut ini,
mncc mn ,0),( (4.6b)
Catatan: Jikan munculnya satu keadaan dipengaruhi oleh keadaan lainnya
maka 0),( mn cc .
Dua postulat di atas dapat diungkapkan dalam satu ekpresi umum sebagai
berikut
EEatauEE
EEEbcc
nn
nnnmmn
,0
,),(
2 (4.7)
- 91 -
Dengan menggunakan persamaan (4.7) maka persamaan (4.5) dapat ditulis menjadi
n
n
n
nnn
n
n
n m
mnnnm
b
Ob
b
Ob
O2
2
2
2 ˆˆ
ˆ
(4.8)
4.4 Matriks Kerapatan Sebuah operator terdefinisi secara lengkap jika semua elemen matriksnya
terhadap suatu himpunan keadaan yang lengkap telah terdefinisi. Jika ini diketahui
maka elemen matriks terhadap himpunan keadaan lengkap lainnya dapat diketahui
melalui transformasi sederhana (transformasi tersebut sangat umum dibahas pada
kuliah mekanika kuantum). Kita dapat menentukan matriks kerapatan dengan
terlebih dahulu mendefinisikan nilai-nilai elemen matriksnya pada himpunan fungsi
eigen dan hamiltonian H, yaitu {n}. Karena dengan mengetahui nilai elemen
matrik pada huimpunan keadaan tersebut maka elemen pada himpuyna keadaan
lainnya dapat ditentukan dengan mudah.
Untuk mudahnya kita definisikan matariks kerapatan di mana elemen-
elemennya memenuhi
2
ˆnmnnmmn b (4.9)
Ini artinya matriks dalam himpunan {n} adalah matriks diagonal, atau
2
2
2
2
1
000
000
000
000
ˆ
Nb
b
b
(4.10)
Jika kita memilih himpunan lengkap yang lain, misalnya {n} maka kita
selalu dapat memperoleh elemen matrik kerapatan dalam himpunan lengkap ini
melalui transformasi yang dibahas berikut ini. Karena {n} adalah himpunan yang
lengkap maka kita selalu dapat menulis
m
mnmn a (4.10)
- 92 -
di mana anm = mm. Elemen matriks kerapatan dalam himpunan {n} adalah
nmmn ˆ'
p q
pqnqmp
p q
qpnqmp aaaa ** ˆ (4.11)
Tampak bahwa ’mn dapat diperoleh dari mn melalui perkalian matriks sederhana.
Cara lain mengungkapkan operator sebagai berikut
m
mm
n
nn ˆ1ˆ1ˆ
n m
mmnn ˆ
n m
mnmn (4.12)
Dalam notasi matriks kerapatan, nilai rata-rata hasil pengukuran suatu
observabel adalah
n
nn
n m
mnnm
n
n
n m
mnnnm O
b
Ob
O
ˆˆ
ˆ2
2
n
nn
m
m
n
nnm
n
nn
n m
mnnmOO
ˆˆˆˆ
Mengingat 1n nn maka kita dapat menulis
)ˆ(
)ˆˆ(ˆˆ
ˆ
Tr
OTrO
O
n
nn
m
mm
(4.13)
- 93 -
Di mana Tr(..) menyatakan jumlah elemen diagonal suatu matriks, atau
i iiAATr )( .
4.5 Ensembel Mikrokanonik Dalam representasi {n} yang merupakan himpunan lengkap fungsi eigen
Hamiltonian, elemen matriks kerapatan assembli dalam ensembel mikrokanonik
adalah
2
nnmnm b
di mana
EEatauEE
EEEb
nn
n
n,0
,12 (4.14)
Dengan demikian operator matriks kerapatan dapat ditulis
n
nnn
n m
mnnmn
n m
mnmn bb 22
ˆ
EE
nnn
EEE
nnn
EE
nnn
nnn
bbb 222
EE
nn
EEE
nn
EE
nn
nnn
010
EEE
nn
n
(4.15)
dan
m
m
EEE
nnm
m
mm
n
Tr ˆ)ˆ(
m EEE
mnnm
n
)(1 Emm EEE
nmnm
n
(4.16)
- 94 -
di mana (E) adalah jumlah keadaan yang berada dalam selang energi antara E
sampai E+.
Kita mendefinisikan entropi mikrokanonik sebagai
)(ln EkS (4.17)
Jadi entropi dalam assembli mikrokanonik sebanding dengan logaritma jumlah
keadaan yang dimiliki assembli tersebut.
4.6 Ensembel Kanonik dan Grand Kanonik Elemen matriks kerapatan ensembel kanonik diturunkan dari probabilitas
menemukan assembli dalam ensembel kanonik, yaitu
kTE
mnmnne
/ (4.18)
Dengan demikian operator matriks kerapatan
n m
m
kTE
nmn
n m
mnmnne /ˆ
n
n
kTE
nne /
n
nn
kTEne /
n
nn
kTH
n
nn
kTH
n
nn
kTEeee n /ˆ/ˆ/
kTHe /ˆ (4.19)
Dengan demikian fungsi partisi kanonik dan nilai rata-rata pengukuran observable
O memenuhi
)()ˆ( /ˆ kTH
N eTrTrZ (4.20)
N
kTH
N Z
eOTrO
)ˆ(ˆ/ˆ
(4.21)
Fungsi partisi grand kanonik adalah
- 95 -
N i
kTEN
GieZ
/)(
kTNHeTr /)ˆˆ( (4.22)
dengan N adalah operator jumlah partikel untuk assembli. Operator tersebut
memenuhi persamaan
s snN ˆˆ (4.23)
di mana sn adalah operator jumlah partikel pada keadaan ke-s dan memenuhi
ssss nn ˆ . Selanjutnya kita dapat dengan mudah memperlihatkan hubungan
berikut ini:
qqssqs nn ˆ , (4.24a)
srqssqsr nn ˆ , (4.24b)
qrq
s
srqss
s
qsrqr nnnN ˆˆ . (4.24c)
Nilai rata-rata pengukuran observable O dapat diperoleh berdasarkan
pemikiran sebagai berikut. Perhatikan persamaan (4.20) dan (4.21) untuk ensembel
kanonik. Bagian dalam tanda Tr(..) pada persamaan (4.21) tidak lain dari operator
O dakalikan dengan bagian dalam tanda Tr(...) dalam persamaan (4.20). Bagian
dalam tanda Tr(...) pada persamaan (4.20) tidak lain daripada operator untuk
mencari fungsi partisi kanonik ZN. Dengan pola pemikiran yang sama, maka kita
dapat menentukan nilai rata-rata observabel O dalam ensembel grand kanonik
dengan menggunakan persamaan yang mirip dengan persamaan (4.21) dengan cara
mengganti operator fungsi partisi kanonik pada persamaan (4.21) dengan operator
fungsi partisi grand kanonik.
Berdasarkan persamaan (4.22), operator fungsi partisi grand kanonik
diperoleh dengan mengganti ZN di dalam penjumlahan dengan kTHe /ˆ . Dengan
demikian, nilai rata-rata observabel dalam ensembel grand kanonik menjadi
- 96 -
G
kTNH
Z
eOTrO
/)ˆˆ(ˆˆ
(4.25)
4.7 Metode Operator Perlu dipahami bahwa aljabat operator tidak persis sama dengan aljabar
bilangan biasa karena banyak operator yang tidak bersifat komutatif. Secara umum
operator A dan B memenuhi aturan berikut ini
0ˆˆˆˆˆ,ˆ ABBABA . (4.26)
Dengan aturan ini mana secara umum ketidaksamaan berikut berlaku:
)ˆˆexp( BA )ˆexp()ˆexp( BA . Hanya jika A dan B bersifat komutatif baru terpenuhi
)ˆexp()ˆexp()ˆˆexp( BABA . Secara umum persamaan yang berlaku adalah
2/]ˆ,ˆ[ˆˆˆˆ BABABA eeee (4.27)
Mari kita tinjau sebuah kasus dia mana suatu assembli disusun oleh N
sistem kuantum. Hamiltonian tiap sistem adalah )(2/ˆ 22 rVmH
. Persamaan
Schrodinger untuk satu sistem adalah sssH ˆ dengan s adalah fungsi eigen dan
s adalah energi eigen. Karena di dalam assembli terdapat N sistem maka bentuk
paling sederhana dari fungsi gelombang assembli menenuhi
N
s
sN
1
(4.28)
Fungsi grand partisi memenuhi persamaan
)
ˆˆexp
kT
NHTrZG
(4.29)
Dengan menggunakan persamaan (4.27) maka kita dapat menguraikan
persamaan (4.29) menjadi
kT
N
kT
H
kT
NH
kT
N
kT
H ˆ,
ˆ
2
1exp
ˆˆexp
ˆexp
ˆexp
- 97 -
Kerana operator H dan N bersifat komutatif maka komutator dalam eksponensial
suku paling kanan sama dengan nol. Dengan demikian kita peroleh bentuk
sederhana berikut ini
kT
NH
kT
N
kT
H ˆˆexp
ˆexp
ˆexp
Akhirnya fungsi grand partisi (4.29) dapat ditulis dalam bentuk lebih sederhana
sebagai berikut
kT
N
kT
HTrZG
ˆexp
ˆexp
(4.30)
Kita dapat menyatakan hamiltonian dan operator jumlah sistem di dalam
assembli dengan operator jumlah sistem yang menempati tiap keadaan seperti
ungkapan berikut ini
s
ssnH ˆˆ (4.31)
s
snN ˆˆ (4.32)
Substitusi persamaan (4.31) dan (4.32) ke dalam persamaan (4.30) maka diperoleh
bentuk lain dari fungsi grand partisi
s
s
s
ssG
kT
n
kT
nTrZ
ˆexp
ˆexp
s
ss
kT
nTr
)(ˆexp
(4.33)
Mengingat sifat Tr(..) yang memenuhi kesamaan )ˆ()ˆ()ˆˆ( BTrATrBATr
maka fungsi grand partisis (4.33) dapat ditulis menjadi
s
s
s
ssG Z
kT
nTrZ
)(ˆexp
(4.34)
- 98 -
dengan
kT
nTrZ ss
s
)(ˆexp
(4.35)
Dari ungkapan pada persamaan (4.35), jelas bahwa operator
kTn ss /)(ˆexp berbentuk matriks diagonal yang dapat ditulis sebagai
000
000
000
000
/)(ˆexp/)(
/)(
/)(
33
22
11
kTn
kTn
kTn
sse
e
e
kTn
Karena Tr(..) adalah jumlah elemen diagonal maka menjadi jelaslah bahwa
.../)(/)(/)( 332211
kTnkTnkTn
s eeeZ
s
ss
n
kTne
/)( (4.36)
Untuk fermion, jumlah sistem yang boleh menempati satu keadaan hanya
boleh 0 atau 1, atau ns = 0 dan ns = 1. Dengan demikian, penentuan Zs untuk fermion
hanya melibatkan dua suku penjumlahan sehingga diperoleh
kTkTf
sss eeZ
/)(1/)(0
kTse
/)(1
(4.37)
Akhirnya fungsi grand partisi untuk fermion adalah
s
kTf
GseZ
/)(1
(4.38)
Untuk boson jumlah sistem yang boleh menempati satu keadaan hanya
boleh berapa saja, atau dari 0 sampai tak bergingga. Dengan demikian, untuk boson
- 99 -
kTn
kTnb
ss
s
ss
eeZ
/)(0
/)(
1
1
(4.39)
Akhirnya fungsi grand partisi untuk boson adalah
s
kT
b
Gse
Z/)(
1
1
(4.40)
Sekarang kita menghitung jumlah rata-rata sistem pada keadaan ke-s.
Dengan menggunakan persamaan (4.25) maka kita dapat menulis
G
kTNH
ss
Z
enTrn
/)ˆˆ(ˆ
G
kTn
s
G
kTn
s
Z
ekTTr
Z
enTrs
s
ss
s
s
/)(ˆ/)(ˆ '
'
''
'
'
ˆ
G
kTn
s
Z
eTr
kT
s
s
s
/)(ˆ '
'
'
G
G
s
Z
Z
kT
G
s
ZkT ln
(4.41)
Jumlah rata-rata sistem fermion pada keadaan ke-s adalah
'
/)( '1lnlns
kT
s
f
G
s
f
ssekTZkTn
kT
ss
sekT/)(
'
'1ln
',
/)(
'/)(
'
'
1
1
1ss
kT
skT
s
se
kTekT
- 100 -
kT
kT
s
s
e
e/)(
/)(
'
'
1
1
1/)( '
kTse
(4.42)
Jumlah rata-rata sistem boson pada keadaan ke-s adalah
'
/)( '1
1lnln
skT
s
f
G
s
b
sse
kTZkTn
kT
ss
sekT/)(
'
'1ln
',
/)(
'/)(
'
'
1
1
1ss
kT
skT
s
se
kTekT
kT
kT
s
s
e
e/)(
/)(
'
'
1
1
1/)( '
kTse
(4.43)
Selanjutnya kita diskusikan contoh lain yang sedikit lebih rumit. Perlu
sedikit kemampuan matematika untuk memahaminya. Misalkan kita memiliki gas
yang terdiri dari dua jenis partikel. Kedua partikel tersebut saling berinteraksi
dengan energi potensial V0 yang dianggap konstan. Kita ingin menentukan fungsi
grand partisi untuk assembi tersebut.
Kita mulai dengan menentukan hamiltonian sistem yang terdiri dari dua
jenis pertikel yang berinteraksi. Hamiltonian dapat ditulis dalam bentuk operator
kreasi dan anihilasi berikut ini
p
pppp
p
pp
b
ppp
a
p abbaVbbaaH ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ0 (4.44)
- 101 -
Suku pertama adalah suku energi partikel terisolasi dan suku kedua adalah suku
energi interaksi. Operator
pa , pa ,
pb , dan pb adalah operator kreasi dan anihilasi
untuk partikel a dan b. Fungsi grand partisi assembli tersebut adalah
NHTrZGˆˆ(exp
dengan
p
pppp bbaaN )ˆˆˆˆ(ˆ (4.45)
Dengan adanya suku interaksi maka operator eksponensial menjadi tidak
diagonal. Untuk mencari Tr(...) maka kita perlu mendiagonalkan terlebih dulu
operator. Untuk maksud tersebut kita perlu melakukan sejenis transformasi.
Transformasi untuk menghasilkan operator diagonal kita lakukan dengan
memperkenalkan operator quasi partikel pA dan
pB yang memenuhi hubungan
berikut ini
sinˆcosˆˆppp baA (4.46)
cosˆsinˆˆppp baB (4.47)
Transformasi semacam ini sering disebut transformasi Bogoliobov. Transformasi
(4.46) dan (4.47) adalah transformasi ortogonal. Inversi dari transformasi tersebut
adalah
sinˆcosˆˆppp BAa (4.48)
cosˆsinˆˆppp Bab (4.49)
Operator kreasi yang berkaitan adalah
sinˆcosˆˆ ppp BAa (4.50)
cosˆsinˆˆ ppp Bab (4.51)
- 102 -
Dari bentuk operator (4.46)-(4.51) kita dapatkan perkalian berikut ini
22 sinˆˆsincosˆˆsincosˆˆcosˆˆˆˆpppppppppp BBABBAAAaa
22 cosˆˆsincosˆˆsincosˆˆsinˆˆˆˆpppppppppp BBABBAAAbb
sincosˆˆsinˆˆcosˆˆsincosˆˆˆˆ 22
pppppppppp BBABBAAAba
sincosˆˆcosˆˆsinˆˆsincosˆˆˆˆ 22
pppppppppp BBABBAAAab
Dengan demikian suhu dalam hamiltonian (4.44) menjadi
pppppp
b
ppp
a
p abbaVbbaa ˆˆˆˆˆˆˆˆ0
sincos2sincosˆˆ0
22 VAA b
p
a
ppp 22 sincosˆˆ b
p
b
ppp BB
22
0 sincossincossincosˆˆ VBA b
p
a
ppp
22
0 sincossincossincosˆˆ VAB b
p
a
ppp
pppppppp BBAAbbaa ˆˆˆˆˆˆˆˆ
Jelaslah bahwa operator eksponensial dalam fungsi grand paertisi menjadi diagonal
jika koefisien dari pp BA ˆˆ dan
pp AB ˆˆ pada persamaan di atas adalah nol. Dengan
demikian syarat diagonal adalah
0sincossincossincos 22
0 Vb
p
a
p
atau
02cos2sin2
10 Vb
p
a
p
Yang memberikan bentuk untuk sudut sebagai berikut
b
p
a
p
V
02
2tan (4.52)
- 103 -
Jika kita mendefinisikan parameter berikut ini
sincos2sincos 0
22 Vb
p
a
p
a
p (4.53)
dan
22 sincos b
p
b
p
b
p (4.54)
maka kita dapat menulis hamiltonian menjadi
p
pppppp
b
ppp
a
p BBAABBAANH ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
p
pp
b
ppp
a
p BBAA ˆˆˆˆ (4.55)
Karena hubungan komutatif berikut berlaku, 0ˆˆ,ˆˆ
pppp BBAA maka
p
pp
b
ppp
a
p BBAA ˆˆˆˆexp
p
pp
b
p
p
pp
a
p BBAA ˆˆexpˆˆexp
Dengan demikian fungsi grand partisi menjadi
p
pp
b
p
p
pp
a
p BBAATr ˆˆexpˆˆexp
p
pp
b
p
p
pp
a
p BBTrAATr ˆˆexpˆˆexp
b
G
a
GZZ (4.56)
di mana a
GZ dan b
GZ didefinisikan sebagai
- 104 -
p
pp
a
p
a
G AATrZ ˆˆexp
s n
kTn
ap
ap
ape
/)( (4.57)
p
pp
b
p
b
G BBTrZ ˆˆexp
s n
kTn
bp
bp
bpe
/)( (4.58)
4.8 Formulasi Alternatif Sekarang kita coba membahas penurunan fungsi grand partisi boson dan
fermion dengan metode lain. Fungsi grand partisi boson dan fermion yang telah kita
turunkan sebelumnya dapat dinyatakan dalam bentuk umum
j
GjzeZ
1 (4.59)
dengan = -1/kT, ez , = +1 untuk fermion dan = -1 untuk boson. Jika kita
ambil logaritma dua ruas persamaan (4.59) maka kita dapatkan,
j
GjzeZ
1lnln (4.60)
Kita ingat kembali definisi berikut ini yang dipelajadi di kuliah Kalkulus,
x
dxx
1)1ln(
Selanjutnya kita uraikan 1/(1+x) dalam deret Taylor sebagai berikut
...)1(...11
1 1132
nn xxxxx
1
11)1(n
nn x
Dengan demikian kita dapat menulis
1
1
1
11 )1()1(1
)1ln(n
nn
n
nn
n
xdxx
x
dxx
- 105 -
Jika kita substitusi jzex
maka diperoleh
1
1)1()1ln(n
n
n
n
zeze
j
j
Dengan menggunakan ungkapan di atas maka fungsi grand partisi pada persamaan
(4.60) dapat ditulis dalam bentuk berikut ini
1
11
1
1 )1()(
)1(lnn j
nn
nn
j n
nn
Gj
j
en
z
n
zeZ
1
11 )()1(n
nnn nq
n
z (4.61)
di mana
j
n jenq
)( (4.62)
Pada bagian awal kita sudah turunkan persamaan yang menghubungan
perkalian tekanan dan volum dengan fungsi grand partisi sebagai -PV = ln ZG.
Dengan demikian bentuk perkalian tekanan dan volum memenuhi
1
11 )()1(n
nnn nq
n
zPV (4.63)
Jumlah rata-rata partikel dalam assembli memenuhi
1
11 )()1(lnn
nnn
G nqn
z
zzZ
zzN
1
11 )()1(n
nnn nqz (4.64)
Energi rata-rata assembli dapat ditulis dalam bentuk
1
11 )()1(lnn
nnn
G nqn
zZE
- 106 -
1
11 )()1(
n
nnn nq
n
z
(4.65)
Dari persamaan jumlah rata-rata sistem dalam assembli kita dapat
menentukan jumlah rata-rata sistem dalam tiap tingkat energi sebagai berikut,
1
11
1
11 )1()()1(n j
nnnn
n
nnn jeznqzN
jjj n
nn
j
j
j
j
j
ze
ze
ze
zeze
11)()1(
2
1
1
j
j
j
ze
ze
1 (4.66)
Persamaan (4.66) dapat ditulis sebagai j jnN sehingga jumlah rata-rata
partikel pada tingkat energi ke-j memenuhi
j
j
ze
zen j
1 (4.67)
Dari persamaan (4.67) kita dapat ungkapkan jumlar rata-rata sistem pada
assembli boson dan fermion. Untuk boson ( = -1) persamaan (4.67) menjadi
1
1
1)(
jj
j
eee
een j
(4.68)
Untuk fermion ( = +1) maka persamaan (4.68) menjadi
1
1
1)(
jj
j
eee
een j
(4.69)
4.9 Kondensasi Boson dan Non Kondensasi Fermion Sekarang kita menyelidiki satu sifat yang menarik untuk boson dan
fermion. Kita pisahkan partikel yang berada di keadaan dasar dan keadaan di
atasnya (kita sebut keadaan terkesitasi). Untuk maksud tersebut kita lakukan
penguraian sebagai berikut
- 107 -
)()( 0 eqgq (4.70)
di mana g0 adalah kontribusi keadaan dasar dan qe adalah kontribusi keadaan
lainnya (keadaan terkesitasi). Dengan definisi ini maka kita dapat menulis jumlah
rata-rata sistem dalam assembli sebagai berikut
1
0
11 )()1(n
e
nnn nqgzN
1
11
1
1
0 )()1()()1(n
e
nnn
n
nn nqzzg
1
11
0 )()1(1 n
e
nnn nqzz
zg
1
110 )()1(1 n
e
nnn nqzz
zg
(4.71)
Sekarang kita tentukan bentuk untuk boson dan fermion. Untuk boson ( =
-1) persamaan (4.71) menghasilkan
1
110 )()1()1(1 n
e
nnn nqzz
zgN
1
0 )(1 n
e
n nqzz
zg (4.72)
Dari persamaan (4.72) kita dapatkan jumlah sistem yang berada pada keadaan dasar
adalah
z
zgN b
1
00
(4.73)
Tampak dari persamaan (4.73) bahwa jika z 1 maka N0 . Ini berarti banyak
sekali partikel yang berada pada keadaan dasar. Kondisi ini disebut kondensasi
Bose–Einstein.
Untuk fermion ( = +1) persamaan (4.71) menghasilkan
- 108 -
1
110 )()1()1(1 n
e
nnn nqzz
zgN
1
10 )()1(1 n
e
nn nqzz
zg (4.74)
Dengan demikian jumlah sistem yang berada pada keadaan dasar untuk assembli
fermion adalah
z
zgN f
1
00
(4.75)
Karena z <1+z maka N0 < g0. Namun, g0 itu sendiri adalah degenerasi keadaan dasar.
Jadi jumlah fermion di keadaan dasar selalu lebih kecil daripada degerasi keadaan
dasar tersebut. Jumlah fermion di keadaan dasar selalu terbatas. Ini adalah implikasi
dari prinsip ekslusi Pauli. Oleh karena itulah fermion tidak pernah menunjukkan
gejala kondensasi atau kita tidak pernah mendapatkan kondensasi Fermi-Dirac.
4.10 Tekanan Gas Kuantum Ideal Sekarang kita akan menentukan tekanan yang dihasilkan oleh gas boson
dan gas fermion. Untuk assembli boson dalam ensembel grand kanonik kita
memiliki persamaan
jkT
j
kT
j
j
ee
kT
PV
1
11ln1ln
/)(
/)(
j
jb1ln (4.76)
di mana kita memperkenalkan bentuk altenatif
1/)(1
kT
jjeb
(4.77)
Tekanan pada persamaan (4.76) merupakan tekanan yang dihasilkan boson atau
fermion dan kita definisikan sebagai tekanan gas kuantum. Jumlah rata-rata sistem
dalam assembli adalah
j
j
jkT
be
Nj 1
1/)(
(4.78)
- 109 -
Kita dapatkan selisih antara tekanan gas kuantum (tekanan yang memenuhi
persamaan (4.76)) dengan tekanan gas ideal (NkT/V) sebagai berikut
j
jj bbV
kT
V
kTNP 1ln (4.79)
Kita akan mengecek tanda yang dimiliki persamaan selisih (4.79): apakah
positif atau negatif. Tanda jenis tanda menyimpulkan apakah tekanan gas kuantum
lebih besar atau lebih kecil daripada tekanan gas ideal. Untuk maksud tersebut mari
kita perhatikan fungsi berikut ini
xxxf )1ln()(
xxdx
df
1
111
1
1
Karena x > 0 maka df/dx < 0 untuk semua x > 0. Pada nilai x yang memenuhi x 0
kita dapat uraikan f(x) dalam deret Taylor dan diperoleh sebagai berikut
...32
...32
)(3232
xxx
xxxxf
Dengan demikian
00lim
2/
0lim
)( 2
x
x
x
xf
Dari sini kita simpulkan bahwa f(0) < 0 dan fungsi f(x) bersifat monoton
turun. Jadi f(x) selalu negatif untuk semua x > 0. Ini berimplikasi bahwa
0/ VkTNP atau VkTNP / . Untuk gas ideal klasik VkTNP / . Dengan
demikian, tekanan gas boson ideal lebih kecil daripada tekanan gas ideal klasik. Ini
disebabkan oleh adanya tarikan antar partikel boson. Tarikan inilah yang
menyebabkan terjadinya kondensasi Bose-Einstein.
Untuk assembli fermion dalam ensembel grand kanonik kita mendapatkan
hubungan
- 110 -
jkT
j
kT
j
j
ee
kT
PV
1
11ln1ln
/)(
/)(
j
jf1ln (4.80)
di mana
1/)(1
kTe
jjef
(4.81)
Jumlah rata-rata partikel dalam assembli adalah
j
j
jkTe
fe
Nj 1
1/)(
(4.82)
Dengan demikian kita dapatkan selisih antara P dengan NkT/V sebagai
j
jj ffV
kT
V
kTNP 1ln (4.83)
Di sini juga kita akan mengecek apakah tanda yang dimiliki persamaan
selisih (4.83). Untuk maksud tersebut mari kita perhatikan fungsi berikut ini
xxxf )1ln()(
xxdx
df
1
111
1
1
Mengingat 1
1/)(
kTjex
maka 0 < x < 1. Dengan demikian 1/(1-x) > 1. Oleh
karena itu df/dx = 1-1/(1-x) < 0. Jadi, fungsi f(x) bersifat monoton turun.
Pada kondisi di mana x memenuhi x 0 kita dapat uraikan f(x) dalam
deret Taylor dan diperoleh sebagai berikut
...32
...32
)(3232
xxx
xxxxf
Jelas di sini bahwa untuk x 0, f(x) < 0. Karena f(x) monoton turun maka f(x)
negatif untuk semua 0 < x < 1. Dengan demikian, untuk fermion 0/ VkTNP .
- 111 -
Ini artinya tekanan gas fermion ideal lebih besar daripada tekanan gas ideal klasik.
Ini hanya mungkin disebabkan oleh adanya tolakan antar partikel fermion akibat
perinsip ekslusi Pauli.
4.11 Persaman Gerak Matriks Kerapatan Pada bagian berikut ini kita akan menganalisis persamaan gerak untuk
matriks kerapatan. Kembali ke bentuk matriks kerapatan
nm
mnmn (4.84)
Jika waktu berubah maka keadaan yang diijinkan bagi sistem juga berubah. Secara
umum kita dapat menulis kebergantungan matriks kerapatan pada waktu sebagai
berikut
nm
mnmn ttt )()()(ˆ (4.85)
Untuk mencari persamaan gerak bagi matrik kerapatan sehingga
kebergantungan matriks kerapatan pada waktu dapat ditentukan, mari kita tinjau
cara berikut ini. Misalkan {En} adalah kumpulan fungsi eigen dari Hamiltonian H
dan {En} adalah nilai-nilai eigen yang bersesuaian maka
nnn EEEH ˆ (4.86)
Keadaan sembarang n(0) pada saat t=0 selalu dapat diuraikan atas fungsi eigen
{En} sebagai berikut
'
'')0(n
nnn EC (4.87)
dengan nnn EC '' . Dengan menggunakan koefisien tersebut maka persamaan
(4.87) dapat ditulis
)0()0( '
'
' nn
n
nn EE (4.88)
- 112 -
Setelah kita mengetahui keadaan-keadaan n pada saat t=0 maka kita dapat
menentukan keadaan-keadaan n pada saat sembarang melalui transformasi berikut
)0()( '
'
/
''
nn
n
tiE
nn EeEt n
)0('
'
'
/'
nn
n
n
tiEEEe n
)0('
'
'
/ˆ
nn
n
n
tHi EEe
)0('
'
'
/ˆ
nn
n
n
tHi EEe
)0(/ˆ
n
tHie (4.89)
Dengan demikian, matriks kerapatan pada saat t menjadi
nm
tHi
mnmn
tHi eet /ˆ/ˆ)0()0()(ˆ
/ˆ/ˆ)0()0( tHi
nm
mnmn
tHi ee
/ˆ/ˆ)0(ˆ tHitHi ee (4.90)
Pada penurunan persamaan (4.90) kita sudah menggunakan sifat hermitian
dari operator Hamiltonian, yaitu HH ˆˆ . Lakukan diferensial persamaan (4.90)
terhadap waktu sehingga diperoleh
Hi
eeeeHi
t
tHitHitHitHiˆ
)0(ˆ)0(ˆˆˆ /ˆ/ˆ/ˆ/ˆ
HiHi ˆˆˆ
ˆ
- 113 -
HHi ˆˆˆˆ
(4.91)
Dari persamaan (4.90) kita juga mendapatkan
)0(ˆ)0(ˆ))(ˆ( /ˆ/ˆ/ˆ/ˆ tHitHitHitHi eeTreeTrtTr
))0(ˆ(Tr (4.92)
Untuk assembli kanonik ungkapan untuk matriks kerapatan dapat
HkTH eeˆ/ˆ
ˆ . Dengan demikian
ˆˆˆˆ ˆHeH H
(4.93)
Dalam representasi posisi maka persamaan (4.93) mengambil bentuk
'ˆ"""ˆ'ˆˆ'ˆ
xdxxxHxxHxxx
"'ˆ""ˆ'ˆ dxxxxHxxx
");'"()"(ˆ);'( dxxxxxHxx
);'(ˆ xxH x (4.94)
di mana operator Hx hanya bekerja pada variable x, bukan variable x’. Persamaan
(4.94) adalah persamaan dasar untuk menentukan kebergantungan matriks
kerapatan terhadap suhu. Pada perumusan ini suhu seolah-olah berperan seperti
variabel waktu pada perumusan mekanika kuantum. Berikut ini kita akan
menurunkan matriks kerapatan untuk beberapa kasus sederhana.
4.12 Persamaan Kerapatan Sistem Bebas Pertama kita bahas partikel bebas yang bergerak dalam ruang satu dimensi x
(tidak mendapat gaya apa pun). Hamiltonian adalah
- 114 -
2
22
2 xmH
(4.95)
Dengan menggunakan Hamiltonian (4.95) makapersamaan matriks kerapatan (4.94)
menjadi
);'(2
);'(2
22
xxxm
xx
(4.96)
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial (4.96), kita kenalkan variabel
baru berikut ini
m
xx
/2
'2
(4.97)
Elemen matriks kerapatan menjadi fungsi dua variabel, dan x’, atau (,x’).
Dengan permisalan tersebut maka
2
1 (4.98a)
mxx /2
12
(4.98b)
2
2
222
2
2
2
/2
1
/2
1
mmxx (4.98c)
Substitusi persamaan (4.98a) – (4.98c) ke dalam persamaan (4.96) maka diperoleh
2
2
2
2
/2
1
22
1
mm
atau
022
2
(4.99)
- 115 -
Untuk mencari solusi persamaan (4.99) kita mulai dengan permisalan
berikut ini,
(4.100)
Dengan permisalan ini maka persamaan (4.99) dapat ditulis menjadi
02
(4.101)
Solusi persamaan (4.101) sangat standar, yaitu
)exp()( 2
1 C (4.102)
Dari persamaan (4.100) dan (4.102) kita peroleh persamaan diferensial
berikut
)exp( 2
1
C
yang memiliki solusi umum
2
0
2
1 ')'exp()( CdC
(4.103)
Untuk menentukan konstanta C1 dan C2 kita menerapkan syarat awal. Salah
satu syarat awal adalah
)'(0lim
);'(xx
xx
(4.104)
Dengan syarat awal (4.104) maka persamaan (4.103) dapat ditulis menjadi
2
0
2
1 ')'exp(0lim0lim
)(CdC
- 116 -
2
/2/)'(
02
22
1
2
/2
1)/2/()'(exp
0limCdx
mmxxC
mxx
2
0
22
2
1 )/2/()'(exp0lim/2
Cdxmxxm
C
)'()'(/2/2
2
2
2
1 xxCxxmm
C
Dari hubungan ini kita dapatkan
221
2/2
1
m
mC dan C2 = 0 (4.105)
Akhirnya solusi umum matriks kerapatan menjadi
mxx
dm
xx
/2/)'(
0
2
2
2
')'exp(2
);'(
mxx
dm
/2/)'(
0
2
2
2
')'exp(2
22
2
22)'(
28xx
merf
m
(4.106)
4.13 Matriks Kerapatan Sistem Osilator Harmonik Berikutnya kita tinjau kasus lain, yaitu osilator harmonik. Hamiltonian
osilator harmonik adalah
22
2
22
22x
m
xmH
(4.107)
Dengan demikian persamaan matriks kerapatan menjadi
- 117 -
22
2
22
22x
m
xm
(4.108)
Untuk menyederhakan penyelesaian, sekarang kita perkenalkan variable
sebagai berikut
xm
(4.109)
kTf
22
(4.110)
Dengan variable baru tersebut maka persamaan (4.108) menjadi
2
2
22
2
mf
(4.111)
Syarat batas untuk adalah = (x-x’) jika f = 0, atau
)'(
m (4.112)
Jika f = 0. Syarat kedua diperoleh setelah kita menggunakan hubungan yang berlaku
bagi fungsi delta Dirac, yaitu ])[]]()(
)( oo xfxfx
xfxx
.
Pada suhu tinggi, atau f kecil maka kelakuan partikel akan mendekati
kelakukan partikel bebas. Dengan demikian, aproksimasi untuk matrik kerapatan
pada suhu tinggi haruslah sama dengan persamaan (4.112). Dengan demikian kita
dapat menulis
ff
mf
4
)'(exp
4);'(
2
(4.113)
Untuk mencari fungsi pada berbagai nilai suhu, mari kita misalkan
)()()(exp 2 fcfbfa (4.114)
- 118 -
dengan a, b, dan c adalah konstanta. Substitusi fungsi coba-coba di atas ke dalam
persaman (4.111), kita peroleh
2222 24)41(''' baabacba (4.115)
Samakan koefisien yang mengandung pangkat yang sama di ruas kiri dan kanan,
maka kita peroleh persaman berikut ini
241' aa (4.116a)
abb 4' (4.116b)
22' bac (4.116c)
Solusi umum persamaan (4.116a) adalah
)(2coth2
1offa (4.117)
Dengan menerapkan syarat batas bahwa = (x-x’) jika f = 0, dan melihat
approksimasi untuk pada suhu tinggi (persamaan (4.113)) maka kita harus
mengambil f0 = 0 sehingga
fa 2coth2
1 (4.118)
Subsitusi persamaan (4.118) ke dalam persaman (4.116b) kita peroleh solusi untuk
parameter b
f
Ab
2sinh (4.119)
Substitusi persamaan (4.118) dan (4.119) ke dalam persamaan (4.116c) kita
dapatkan solusi untuk c sebagai berikut
BfA
fc ln2coth2
2sinhln2
1 2
(4.120)
- 119 -
Pada persamaan (4.119) dan (4.120), A dan B adalah konstanta.
Selanjutnya substitusi a, b, dan c ke dalam persmaaan (4.114) kita peroleh
ungkpatan untuk matriks kerapatan sebagai berikut
f
A
f
Af
f
B2coth
22sinh2coth
2exp
2sinh
22 (4.121)
Jika diambil f 0 maka akan mendekati
f
AA
f
B
4
2exp
2
22 (4.122)
Dengan membandingkan persamaan (4.122) dengan (4.113) maka kita simpulkan
bahwa
'A
2
mB
Akhirnya kita dapatkan bentuk final untuk matriks kerapatan sebagai berikut
'22coth)'(2sin2
exp2sinh2
);'( 22 xxfxxf
m
f
mxx
(4.123)
- 120 -
Bab 5
GAS FERMI IDEAL
Untuk melihat salah satu aplikasi mekanika statistik mari kita membahas
gas fermi ideal. Gas fermi ideal adalah kumpulan fermion bebas. Tidak ada interaksi
antar fermion. Contoh gas fermi ideal adalah gas elektron. Walaupun ada gaya
tolak-menolak antar elektron (gaya coulumb) yang menghasilkan energi potensial
listrik, namun jika gas elektron berada pada suhu sangat tinggi sehingga energi
kinetik yang dimiliki jauh lebih besar daripada energi potential maka energi
potensial (energi interaksi) dapat diabaikan. Dalam kondisi demikian seolah-olah
tidak ada interaksi antar elektron. Kalian dapat membandingkan dengan gas ideal
klasik di mana antar partikel gas tidak ada interaksi.
Pemahaman tentang topik-topik yang dibahas di bab-bab sebelumnya
menjadi modal penting untuk mengikuti bab ini secara lebih mudah.
5.1 Persamaan Keadaan
Kita akan menurunkan persamaan keadaan untuk gas fermi. Kita mulai
dari ungkapan fungsi grand partisi untuk fermion, yaitu
i
GizeZ
1 (5.1)
dengan z = exp(/kT). Fungsi grand partisi memiliki hubungan langsung dengan
perkalian tekanan dan volum, yaitu ZG = exp(PV/kT) sehingga
- 121 -
GZkT
PVln
i
ize
1ln izei
1ln (5.2)
Tampak jelas di sini betapa strategisnya pernyataan fungsi partisi sebagai bentuk
perkalian semua suku. Karena pada akhirnya yang kita butuhkan adalah logaritma
fungsi partisi yang berbentuk penjumlahan suku-suku.
Untuk menentukan secara eksplisit fungsi grand partisi pada persamaan
(5.2) mari kita ganti tanda penjumlahan terhadap energi dengan integral terhadap
variabel momentum. Untuk maksud tersebut, terlebih dahulu kita ubah ungkapan
diskrit menjadi kontinu sebagai berikut
m
pi
2
2
dpph
V
i
2
34(...)(...) (5.3)
Dengan menggunakan persamaan (5.3) maka persamaan (5.2) menjadi
0
2/2
3
2
1ln4
dpzeph
V
kT
PV mp (5.4)
Jumlah rata-rata sistem seperti dinyatakan dalam persamaan (3.30)
menjadi
GZkTN ln
kT
PVkT
0
2/2
3
2
1ln4
dpzeph
VkT mp
(5.5)
- 122 -
Dengan mengacu pada definisi z maka kita dapat menulis
zkT
z
ze
kTz
z kT
/1
(5.6)
Dengan demikian, jumlah rata-rata sistem dapat ditulis sebagai
0
2/2
3
2
1ln4
dpzeph
V
zkT
zkTN mp
0
2/2
3
2
1ln4
dpzez
ph
Vz mp
0
2/
2/
2
3
2
2
1
14dpe
zep
h
Vz mp
mp
02/
2/2
3 2
2
1
4dp
ze
zep
h
Vmp
mp
02/1
2
31
142
dpez
ph
Vmp
(5.7)
Dari semua penjelasan di atas kita merangkum dua persamaan utama,
yaitu
0
2/2
3
2
1ln4
dpzephkT
P mp (5.4)
02/1
2
31
1412
dpez
phV
N
v mp
(5.7)
Dua persamaan di atas merupakan persamaan dasar untuk assembli fermion dalam
ensembel grand kanonik. Persamaan inilah yang akan kita kaji lebih jauh untuk
- 123 -
mencari sifat termodinamika assembli fermion seperti yang akan dibahas di bagian
akhir bab ini.
Agar lebih sederhana, kita definisikan besaran berikut yang dapat
diaproksimasi sebagai panjang gelombang termal partikel
mkT
22 (5.8)
Panjang gelombang termal adalah panjang gelombang de Broglie berdasarkan
momentum partikel yang dihasilkan oleh getaran termal. Panjang gelombang de
Broglie memenuhi persamaan = h/p. Berdasarkan teori ekipartisi energi, gerakan
termal partikel dalam ruang tiga dimensi memiliki energi rata-rata K = (3/2)kT.
Jika momentum rata-rata partikel adalah p maka kita dapat mengaproksimasi K
= p2/2m. Dengan demikian kita aproksimasi (3/2)kT = p
2/2m atau p
2
1/2 =
(3mkT)1/2
. Panjang gelombang de Broglie kira-kira menjadi h/p2
1/2 =
h/(3mkT)1/2
= (h2/3mkT)
1/2. Mengingat = h/2 maka (4
22/3mkT)
1/2
(42/mkT)
1/2. Pada persamaan terakhir kita sudah aproksimasi /3 1. Panjang
gelombang terakhir yang kita turunkan tidak berbeda jauh dengan persamaan (5.8).
Dari persamaan (5.4) kita definsikan p2/2m = x
2. Dengan demikian, p
2 =
2mx2/; p = (2m/)
1/2x, dan dp = (2m/)
1/2dx. Substitusi ke dalam persamaan (5.4)
diperoleh
0
2
3
21ln
24 2
dxm
zemx
hkT
P x
0
2
2/3
3
2
1ln24
dxzexm
h
x
0
2
2/3
2
2
1ln2
4dxzex
mkT x
- 124 -
0
2
3
2
1ln41
dxzex x
(5.10)
Kita definisikan fungsi fermi f5/2 sebagai berikut,
0
2
2/5
2
1ln4
)( dxzexzf x
(5.11)
Dengan definisi tersebut maka persamaan (5.10) dapat ditulis menjadi
)(1
2/53zf
kT
P
(5.12)
Dengan cara serupa, persamaan (5.8) dapat ditulis
01
2
3
2
1
12412 dx
m
ez
mx
hv x
01
2
3
01
2
31
141
1
1
2
422 dx
ezxdx
ezx
mkTxx
(5.13)
Kita definisikan fungsi fermi f3/2 sebagai berikut
01
2
2/31
4)( 2 dx
ez
xzf
x (5.14)
Dengan definisi tersebut maka persamaan (5.13) dapat ditulis menjadi
)(11
2/33zf
v (5.15)
Perhatikan persamaan (5.11). Jika kita lakukan diferensial terhadat z maka
- 125 -
0
2
2/5
2
1ln4
)( dxzez
xzfz
x
0
2
0
22
2
2
14
1
14dx
zexdxe
zex
x
x
x
01
2
1
1412 dx
ezx
z x
Dengan demikian kita dapatkan hubungan berikut ini
)()( 2/32/5 zfzfz
z
(5.16)
Bentuk f3/2(z) maupun f5/2(z) pada persamaan (5.11) dan (5.14) kadang sulit
untuk dianalisis. Kita dapat mengungkapkan dua fungsi tersebut dalam bentuk deret
sehingga dapat menentukan dengan mudah aproksimasi untuk nilai-nilai z yang
ekstrim, seperti saat z mendekati nol atau mendekati tak berhingga. Untuk maksud
tersebut, mari kita perhatikan uraian berikut ini 1/(1+y) = 1 – y + y2 – y
3 +-…
Dengan uraian tersebut maka kita dapatkan
dyyyyy
dyy ...)1(
1)1ln( 32
1
132
)1(...32
yyyy
Kita substitusi y = z exp(-x2) sehingga persamaan di atas menjadi
1
1
1
1
22
2
)1()1(1ln
xxx ezze
ze
- 126 -
Dengan demikian kita dapatkan uraian deret untuk fungsi fermi sebagai berikut
0
2
1
1
2/5
2
)1(4
)( dxexz
zf x
(5.17)
Bagian integral pada persamaan (5.17) sangat standar. Kita dapat
menghitung dengan mudah. Kalau ingin lebih cepat kita dapat menggukanan
software yang tersedia secara online seperti Wolfram alpha. Hasilnya integrasinya
adalah 2/3
0
2 4/2
dxex x . Dengan demikian, bentuk deret untuk f5/2(z) adalah
2/31
1
2/54
)1(4
)(
zzf
1
2/5
1)1(
z (5.18)
Deret pada persamaan (5.18) merupakan bentuk khusus dari fungsi
polylogaritma. Bentuk umum fungsi tersebut adalah
1
)(
ss
zzLi (5.19(
Dari bentuk ini kita mendapatkan bahwa
1
1
11
)1()1()(
)(
ssss
zzzzLi (5.20)
Dengan demikian dapat dibuktikan dengan mudah bahwa
)()( 2/52/5 zLizf (5.21)
- 127 -
Fungsi f3/2 diperoleh dengan mendiferensiasi f5/2 yaitu
12/5
11
2/52/3 )1()()(
zzzf
dz
dzzf
1
2/3
1)1(
z (5.22)
Kalau dinyatakan dalam fungsi polilogartima maka kita dapatkan
)()( 2/32/3 zLizf (5.23)
Dari persamaan (5.19) kita dengan mudah mendapatklan aproksimasi pada
nilai z sekitar 0. Kita dapat memilih sejumlah suku sesuai dengan ketelitian yang
kita inginkan. Aproksimasi tersebut adalah
Hanya satu suku: zzf )(2/3 (5.24a)
Sampai dua suku: 2/3
2
2/32
)(z
zzf (5.24b)
Sampai tiga suku: 2/3
3
2/3
2
2/332
)(zz
zzf (5.24c)
Sampai empat suku: 2/3
4
2/3
3
2/3
2
2/3432
)(zzz
zzf (5.24d)
Selanjutnya kita tinjau kasus ekstrim lainnya, yaitu untuk z yang besar.
Pertama mari kita definisikan = /kT sehingga
eez kT / (5.25)
Dengan definisi ini maka kita dapat menulis
- 128 -
)()( 2/32/3
eLief (5.26)
Selanjutnya kita gunakan bentuk asimptotik dari fungsi polilogaritma, yaitu
)1()Re(
)(
s
eLi ss
(5.27)
Dari sifat asimptotik ini maka kita aproksimasi untuk f3/2 pada z atau
adalah
2/32/3
2/3 )(ln3
4
)12/3()( zef
(5.28)
Berdasarkan nilai asimptotik pada persamaan (5.24) dan (5.28) maka kita dapat
membuat plot grafik f3/2(z) sebagai fungsi z seperti diilustrasikan pada Gambar 5.1.
z
f 3/2
(z) 2/3)(ln
3
4z
z
Gambar 5.1 Grafik f3/2(z) sebagai fungsi z. Pada nilai z sangat
kecil maka fungsi memenuhi persamaan (5.24) dan pana z yang
sangat besar maka fungsi berubah menurut persamaan (5.28).
- 129 -
Sekarang kita tinjau sifat assembli fermion pada beberapa kondisi ekstrim.
Dua kasus eksprim yang akan kita bahas adalah kondisi pada suhu tinggi atau
kerapatan rendah dan kondisi suhu rendah atau kerapatan tinggi.
5.2 Aplikasi Suhu Tinggi dan Kerapatan Rendah
Pada suhu tinggi laju partikel sangat besar sehingga momentumnya sangat
besar. Akibatnya panjang gelombang de Broglie sangat kecil ( sangat kecil). Pada
kerapatan rendah jarak antar partikel sangat besar sehingga volum yang ditempati
per partikel besar ( sangat besar). Akibatnya pada kondisi suhu tinggi dan
kerapatan fermion rendah terpenuhi 3/ 0. Tetapi 3
/ = f3/2(z) sehingga pada
kondisi sini f3/2(z) 0. Berdasarkan Gambar 5.1, f3/2(z) 0 manandakan z 0.
Dengan demikian, berdasarkan persamaan (5.24) kita dapat melakukan aproksimasi
f3/2(z) pada z 0, yaitu (dengan mengambil hanya dua suku)
2/3
2
2/32
)(z
zzf
atau
2/3
23
2
zz
v
(5.29)
Untuk mencari solusi bagi z pada persamaan (5.29) kita lakukan operasi
rekursif sebagai berikut. Dari persamaan (5.38) kita dapat menulis
2/3
23
2
z
vz
Proses rekursif dilakukan dengan memasukkan z pada bentuk di atas ke dalam z
pada suku kedua sehingga
- 130 -
3
4
2/3
23
2/3
23
2/3
32
2/3
23
2/3
3
222
1
2
1
22
1 z
v
z
vv
z
vvz
23
2/3
3
2
1
vv
(5.30)
Selanjutnya kita mendapatkan jumlah rata-rata sistem pada keadaan energi
ke-i, yaitu
i
i
ze
zeni
1 (5.31)
Mengingat = -1/kT dan ketika T terjadi 1ize maka
kT
iii
i
ev
zeze
n/
3
01
(5.32)
Persamaan (5.32) merupakan persamaan distribusi Maxwell-Boltmann
(partikel klasik). Ini berarti pada suhu tinggi dan kerapatan rendah fermion
berperilaku sebagai partikel klasik. Ketika membahas fermion pada suhu tinggi dan
kerapatan rendah sebenarnya kita dapat langsung menggunakan statsitik klasik,
yaitu Maxwell-Boltzmann, untuk menghindari kerumitan statistik Fermi-dirac.
Persamaan keadaan dapat diperoleh sebagai berikut. Pada nilai z 0
maka aproksimasi untuk f5/2(z) menurut persamaan (5.18) adalah z- z2/2
5/2. Dengan
demikian aproksimasi untuk persamaan keadaan pada suhu tinggi tersebut adalah
2/5
2
32/53 2
1)(
1 zzzf
kT
P
2
3
2/52
6
2/5
3
3 2
11
2
11
vvvv
- 131 -
atau
vkT
Pv 3
2/52
11
(5.33)
Suku kedua di sebelah kanan sangat kecil sehingga praktis Pv/kT 1 yang
merupakan persamaan keadaan gas ideal klasik.
5.3 Aplikasi Suhu Rendah dan Kerapatan Tinggi
Untuk kondisi ini berlaku 3/v >> 1 sehingga kita dapat menggunakan
aproksimasi persamaan (5.28). Dengan aproksimasi ini maka kita peroleh
2/33
ln3
4z
v
atau
3/23
4
3ln
vz
(5.34)
Mengingat ez maka
3/23
4
3
v
(5.35)
Tetapi 2/1
2
mkT
sehingga
mkTvvkT
2
4
3
4
33/2
2
3/2
atau
3/2
4
32
vm
(5.36)
- 132 -
Jumlah sistem yang menempati keadaan energi ke-i adalah
1
1
1
1)(1
ii eez
ni (5.37)
Jika i < maka ketika T 0 atau - terjadi 1in . Sebaliknya jika i >
maka ketika ketika T 0 atau - terjadi 0in . Berikutnya kita akan bahas
beberapa aplikasi gas fermi.
5.4 Teori Bintang Katai Putih
Kita mulai pembahasan tentang teori klasik yang diterapkan pada bintang.
Bintang dianggap sebagai sebuah bola gas. Bintang yang memiliki massa M dan
jari-jari R mempunyai energi potensial gravitasi yang memenuhi persamaan
R
GMU
2
5
3 (5.38)
dengan G = 6,67 10-11
N m2/kg
2 (konstanta gravitasi universal). Penggunaan
persamaan di atas menyaratkan bahwa massa jenis bintang tersebar secara homogen
(rapat massa di mana-maan konstan). Namun, realitasnya tidak demikian. Massa
jenis umumnya makin besar ketika menuju ke pusat bintang. Pusat bintang memiliki
massa jenis paling besar. Tetapi sebagai aproksimasi awal (tentu dengan sejumlah
kesalahan) kita asumsikan bahwa massa bintang terdistribusi secara homogen.
Tampak dari persamaan (5.38) bahwa makin kecil ukuran bintang maka
energi potensial gravitasinya makin kecil. Karena kondisi stabil adalah kondisi
dengan energi yang makin kecil maka energi potensial gravitasi cenderung makin
memperkecil ukuran bintang (bintang makin mengkerut). Namun, kecenderungan
bintang untuk mengkerut dilawan oleh tekanan dari dalam. Dengan asumsi bahwa
gas penyusun bintang besifat menyerupai gas ideal maka tekanan gas dalam bintang
- 133 -
memenuhi persamaan gas ideal
V
NkTP (5.39)
dengan N adalah jumlah atom penyusun bintang.
Jika massa rata-rata satu atom penyusun bintang adalah m maka N = M/m.
Dengan demikian tekanan dari dalam bintang dapat diaproksimasi dengan
m
kT
m
kT
V
M
V
kT
m
MP
(5.40)
dengan adalah rapat massa bintang.
R
r
Gambar 5.2 Permukaan Gauss untuk menentukan percepatan
gravitasi pada jarak r dari pusat bintang.
Tekanan gravitasi yang dihasilkan di pusat bintang dianggap sama dengan
tekanan hidrostatis gas (fluida) penyusun bintang. Tekanan hidrostatis pada jarak r
dari pusat bintang memenuhi persamaan
- 134 -
)(rgdr
dP (5.41)
dengan g(r) adalah percepatan gravitasi pada jarak r dari pusat bintang. Percepatan
tersebut dapat dihitung dengan hukum Gauss sebagai berikut
r
rS
dMGAdrg0)(
4)(
(5.42)
dengan S(r) adalah permukaan Gauss yang berbentuk permukaan bola yang
berjari-jari r (lihat Gambar 5.2). Kita sudah asumsikan bahwa massa bintang
tersebar secara homogen sehingga integral di atas menghasilkan
32
3
44)4)(( rGrrg
atau
rGrg 3
4)( (5.43)
Dengan demikian, persamaan tekanan hidrostatis menjadi
rGdr
dP 2
3
4
atau
CrGP 22
6
4 (5.44)
Kita ambil syarat batas bahwa tekanan gas di permukaan bintang (r = R) adalah nol
sehingga diperoleh C = -(4/6)G2R
2. Akhirnya, tekanan gas pada berbagai posisi di
dalam bintang memenuhi
- 135 -
222
6
4)( rRGrP (5.45)
Kita bermaksud mencari tekanan gas di pusat bintang akibat gravitasi.
Dengan menggunakan persamaan (5.45) tekanan gas di pusat bintang adalah
R
MG
RRGRGP
2
1
3
4
2
1
6
4)0( 322
(5.46)
Jari-jari Keseimbangan Bintang
Kita dapat memprediksi jari-jari kesetimbangan bintang dengan dua cara.
Cara pertama adalah menyamakan tekanan hidrostatis yang dihasilkan bintang
dengan tekanan gas ideal. Cara kedua adalah menyamakan tekanan hidrostatis
bintang dengan tekanan radiasi.
Jari-jari Keseimbangan Gas Ideal
Jika tekanan ini disamakan dengan tekana gas ideal (dalam kondisi
seimbang) maka
R
GM
m
kT
2
1
atau
R
GMmkT
2
1 (5.47)
Dari persamaan ini maka kita peroleh jari-jari setimbang bintang kira-kira
memenuhi
kT
GMmR
2
1 (5.48)
Dengan menggunakan persamaan (5.46) maka energi termal semua atom
- 136 -
penyusun bintang sekitar
URGMRGMNmNkTTE /2
1/
2
1)( 2 (5.49)
Tampak bahwa energi termal semua atom penyusun bintang kira-kira sama dengan
energi potensial gravitasi.
Jari-jari Keseimbangan Radiasi
Pada Bab 6 kita akan bahas tekanan yang dilakukan oleh radiasi. Reaksi
nuklir dalam bintang memancarkan gelombang elektromagnetik ke segala arah.
Pancaran radiasi tersebut menghasilkan tekanan yang memenuhi
3
42
)(
)(
45 c
kTPr
(5.50)
Samakan tekanan ini dengan tekanan di pusat bintang (persamaan (5.46)) maka
diperoleh
R
GM
c
kT
2
1
)(
)(
45 3
42
atau jari-jari setimbang bintang memenuhi
4
2
2 )(
)(
2
45
kT
cGMR
(5.51)
Perkiraan Parameter-parameter Bintang Katai Putih
Sekarang kita fokuskan pembahasan pada bintang katai putih. Bintang
katai putih adalah bintang yang sudah kehabisan bahan bakar hidrogen. Tidak ada
reaksi fusi lebih lanjut. Materi penyusun bintang hanyalah helium. Sumber energi
bintang semata-mata karena energi gravitasi yang berasal dari kontraksi bintang
- 137 -
secara perlahan-lahan. Energi yang dipancarkan sangat sedikit sehingga bintang
tampak putih remang-remang. Contoh bintang ini adalah pengiring Sirius. Bintang
ini tidak tampak oleh mata karena terlalu redup tetapi secara periodik menutup
Sirius. Bintang ini dan Sirius berotasi mengelilingi pusat massa keduanya.
Perkiraan besaran-besaran fisis bintang katai putih adalah kerapatan 1010
kg/m3 10
7 M, massa 10
30 kg MM, suhu pusat 10
7 K TM. Suhu sebesar 10
7
K berkaitan dengan energi termal sebesar kT 1,3 10-16
J 103 eV. Pada suhu ini
semua atom helium terionisasi. Bintang katai putih dapat dipandang sebagai
kumpulan inti helium dan electron-elektron yang berberak bebas.
Berdasarkan data kerapatan bintang kita dapat memperkirakan jumlah
atom helium per satuan volum. Massa atom helium adalah 4 (1,67 10-27
kg) 6
10-27
kg. Jumlah atom helium per satuan volum adalah
37
2710
6
1
106
HeN atom/m
3.
Satu atom helium menyumbang dua elektron. Dengan demikian, kerapatan electron
adalah
37103
12 HeNn electron/m
3
Kerapatan ini melahirkan energi fermi sebesar
2/32/3
4
32
4
32
n
mvmF
20 MeV
Tampak bahwa energi fermi jauh lebih besar daripada energi termal (F >>
kT). Dengan demikian dapat dikatakan bahwa dalam bintang katai putih, electron
menempati tingkat-tingkat energi paling dasar, jauh di bawah energi fermi. Keadaan
ini sangat mirip dengan assembli electron yang berada pada suhu mendekati nol.
Jadi meskipun suhu bintang katai putih sangat tinggi, tetapi kerapatan yang luar
- 138 -
biasa tinggi menyebabkan energi fermi sangat besar. Energi yang dimiliki electron
sangat jauh di bawah energi fermi. Dari sifat ini kita dapat lakukan idealisasi
sebagai berikut
a) Bintang katai putih adalah assembli N elektron pada keadaan dasar dengan
kerapatan sangat tinggi sehingga dinamika electron harus dijelaskan secara
relativistic.
b) Elektron bergerak dalam background N/2 buah inti helium yang melakukan
gaya gravitasi sehingga seluruh system menyatu membentuk bintang.
Teori Sederhana
Mari kita membahas fenomena bintang katai putih dengan teori yang
sederhana. Karena massa elektron sangat kecil dibandingkan dengan massa proton
atau netron maka energi kinetik dalam bintang yang menghasilkan tekanan
didominasi oleh energi yang dimiliki elektron. Karena suhu bintang sangat tinggi
maka laju elektron sangat besar sehingga energi kinetik harus dinyatakan dalam
formula relativistik, yaitu
2
0
2/12242
0 cmcpcmK (5.52)
Kita asumsikan bahwa momentum elektron mendekati momentum fermi
yaitu
3/1
8
3
V
Nhp
(5.53)
Dengan momentum sebesar ini maka energi kinetik elektron jauh melebihi energi
diam (m0c2). Dengan demikian kita dapat melakukan aproksimasi
3/13
)(2
1
V
NhcpcK
(5.54)
- 139 -
Energi kinetik total elektron memenuhi
3/13
)(8
3
4
3
V
NhcNKNK eetot
(5.55)
Jika digabung dengan energi potensial gravitasi maka diperoleh energi total bintang
sebagai
UKE tottot
R
GM
V
NhcN e
e
23/1
5
33)(
8
3
(5.56)
Pada persamaan (5.56) Ne adalah jumlah elektron. Jumlah elektron persis
sama dengan jumlah proton. Misalkan jumlah nukleon (proton + netron) penyusun
bintang berjumlah N maka jumlah elektron adalah Ne = xN dengan 0 < x < 1. Massa
bintang memenuhi M Nmp jika diasumsikan massa proton kira-kira sama dengan
massa neutron. Persamaan energi total menjadi
R
mGN
V
xNxNhcE
p
tot
223/1
5
33)(
8
3
(5.57)
Mengingat V = (4/3)R3 maka
R
mGNxN
R
xNhcE
p
tot
223/1
2 5
3
4
9
8
3
(5.58)
Berdasarkan persamaan (5.58) Etot makin berharga negatif dengan
mengecilnya R jika 3/1
2
22
4
9)(
8
3
5
3
xNxNhcmGN p
. Makin kecil R maka makin
mengecil energi sehingga bintang terus-menerus mengerut tanpa henti. Pengerutan
makin cepat jika N makin besar (atau massa bintang makin besar). Pengerutan akan
berhenti jika ada batas bawah untuk N. Kita sebut batas bawah tersebut adalan Ncr.
- 140 -
Saat pengkerutan berhenti maka terpenuhi
3/1
2
22
4
9)(
8
3
5
3
crcrpcr xNhcxNmGN
atau
2/3
3
2
8
5
2
3
G
hc
m
xN
p
cr
(5.59)
Sebagai contoh, saat bintang kehabisan hidrogen, nukleon yang ada pada
bintang hanya inti helium. Jumlah proton persis sama dengan setengah jumlah
nukleon. Dengan demikian jumlah elektron persis sama dengan setengah jumlah
nukleon, atau x = 1/2. Dengan menggunakan mp = 1,67 10-27
kg, h = 6,625 10-34
dan c = 3 108 maka perkiraan jumlah kritis nukleon agar bintang stabil adalah Ncr
2 1057
nukleon. Dengan demikian, massa kritis bintang agar tidak terus
mengkerut adalah Mcr = Ncrmp 3,4 1030
kg. Massa matahari adalah 2 1030
kg.
Dengan demikian massa kritis bitang sekitar 1,7 kali massa matahari. Perhitungan
lebih seksama oleh Changrasekhar menghasilkan massa kritis 1,4 kali massa
matahari. Nilai ini disebut limit Chadrasekhar.
Teori Ensembel Bintang Katai Putih
Sekarang kita akan membahasa teori bintang katai putih berangkat dari
konsep ensembel grand kanonik untuk fermion. Ada tiga mekanisme yang harus
diperhitungkan secara bersamaan pada bintang katai putih, yaitu tekanan elektron
akibat ekslusi Pauli, hukum gravitasi, dan dinamika relativistik. Gambar 5.3 adalah
komponen-komponen tekanan yang berperan dalam bintang normal dan bintang
katai putih.
- 141 -
Gaya oleh radiasiGaya oleh gravitasi Gaya oleh eksklusi Pauli
Gaya oleh gravitasi
Gambar 5.3 (kiri) Pada bintang normal ukuran bintang
dihasilkan dari kompetisi antara gaya gravitasi dan gaya radiasi
dan (kanan) pada bintang katai putih dkuran bintang dihasilkan
dari kompetisi antara gaya gravitasi dan gaya ekslusi Pauli
(globe-views.com, astronomiamo.it).
Kita mulai dengan menentukan energi total relativistik yang dimiliki
elektron yang memiliki momentum p , yaitu
222 )()( pccmep (5.60)
- 142 -
dengan em adalah massa diam elektron. Kita menggunakan persamaan relativistik
karena suhu sangat tinggi sehingga laju elektron sangat besar. Pada persamaan
(5.60) kita mengabaikan energi potensial. Pada suhu yang sangat tinggi, energi
kinetik elektron sangat besar. Akibatnya energi kinetik jauh melampaui energi
potensial coulomb elektron sehingga energi potensial dapat diabaikan.
Walaupun suhu bintang katai putih sangat tinggi, namun energi termal
elektron sangat jauh di bawah energi Fermi. Kelakuan bintang katai putih
menyerupai assembli dengan suhu mendekati nol. Pada suhu mendekati nol maka
sistem menempati tingkat-tingkat energi rendah. Batas teratas energi yang ditempati
adalah energi fermi. Dengan demikian, energi total assembli gas fermi pada pada
bintang katai putih dapat didekati dengan
0
)(2p
ppfE
F
F
pp
p
p
p
p pfpf )(2)(20
(5.61)
Faktor 2 dimasukkan karena tiap tingkat energi ditempati oleh dua electron dengan
arah spin berlawanan. Karena pada suhu mendekati nol fungsi distribusi
Fermi-Dirac memenuhi
F
F
pp
pppf
0
1)( (5.62)
Maka kita dapat menulis
Fp
p
pE0
2 (5.63)
Penjumlahan pada persamaan (5.63) dapat diganti dengan integral dengan
terlebih dahulu melakukan transformasi sebagai berikut
- 143 -
PFpp
p
dpph
V
0
2
30
)4((...)(...)
Dengan transformasi tersebut maka persamaan (5.63) menjadi
Pp
e dpppccmh
VE
0
2222
3)()(
8 (5.64)
Untuk menyelesaikan integral (5.64) kita ganti vasiabel berikut ini pc/mec2
= x. Dengan penggantian variabel tersebut kita dapatkan p = mecx, dp = mecdx, dan
pF = mecxF,. Dengan permisalan di atas maka persamaan (5.64) menjadi
Pp
e
e dppcm
pcm
h
VE
0
2
2
2
31
8
Fx
eee cdxmcxmxcmh
V
0
222
31
8
Fx
e dxxxcmh
V
0
2254
31
8 (5.64)
Energi rata-rata yang tiap elektron adalah
Fx
e dxxxcmh
NV
N
E
0
2254
31
)/(8
)()(8
32
54
3
54
Fe
Fe xf
cvmxf
h
cvm
(5.65)
dengan
- 144 -
Fx
F dxxxxf0
22 1)( (5.74)
Sekarang kita eksplorasi dua kasus ekstrim yaitu untuk xF <<1 dan xF >>
1.
a) Jika xF <<1 maka pada semua daerah integrasi kita dapat melakukan aproksimasi
...2
111 22 xx
...10
1
3
1...
2
1...
2
11)( 53
0
42
0
22
FF
xx
F xxdxxxdxxxxfPF
...
10
31
3
1 23
FF xx (5.75)
b) Sebaliknya, jika xF >> 1 kita dapat menulis sebagai berikut
FF xx
F dxxxdxxxdxxxxf
22
0
22
0
22 111)(
di mana adalah bilangan yang cukup besar dibanding dengan satu tetapi jauh
lebih kecil dari xF (1 << < xF). Dengan sifat tersebut kita dapat mengaproksimasi
)2/11()/11(1 22/122 + 1/2. Karena pada integral di ruas
kanan semua x > maka untuk semua x kita dapat mengaproksimasi suku yang
mengandung akar dengan x + 1/2x. Dengan demikian integral dapat diaprokasimasi
menjadi
Fx
F dxxxxdxxxxf
2/11)( 2
0
22
- 145 -
FF xx
xxdxxxdxxxdxxx
24
0
223
0
22
4
1
4
112/1
2424
0
22
4
1
4
1
4
1
4
11
FF xxdxxx
Mengingat << xF maka suku-suku yang mengandung dapat dibuang (karena
jauh lebih kecil daripada suku-suku yang mengandung xF) dan kita dapat melakukan
aproksimasi lebih lanjut sebagai berikut
2
424 11
4
1
4
1
4
1)(
F
FFFFx
xxxxf (5.75)
Misalkan massa total bintang M dan jari-jarinya R maka
)22(22
npeHee mmN
NmmN
NmM (5.78)
Karena mn mp dan me << mp maka
pNmM 2 (5.79)
3
3
4RV
atau
3/1
4
3
VR (5.80)
M
Rm
mM
R
N
Vv
p
p
33
3
8
2/
3/4 (5.81)
- 146 -
R
M
m
M
cRmvcmx
pee
F
3/13/13/1
2
8
93
(5.82)
dengan
pm
MM
8
9 (5.83)
cm
RR
e/ (5.84)
Perlu diketahui bahwa /mec adalah panjang gelombang Compton. Jadi R adalah
jari-jari bintang dalam satuan panjang gelombang Compton.
Dari energi assembli kita dapat menghitung tekanan yang dilakukan oleh
gas fermi sebagai berikut
)(
22
54
Feo
fermi xfNvcm
VV
EP
)(22
54
Fe xvf
v
cm
v
xfvxf
cm FF
e )()(
22
54
v
x
x
xfvxf
cm F
F
FF
e )()(
22
54
(5.85)
Dengan menggunakan (5.77) maka
22 1)(
FF
F
F xxx
xf
- 147 -
3/13/12
3/12
33
v
cmvcmx
ee
F
v
xv
cmvv
cmv
x F
ee
F
33
3
13
3
1 3/13/123/43/12
Jadi
v
xxvxxf
cmP F
FFFe
fermi3
1)( 22
22
54
)(1
3
1 23
22
54
FFFe xfxxcm
(5.86)
Tekanan non Relativistik
Untuk kasus nonrelativistik di mana xF << 1 kita gunakan f(xF) pada
persamaan (5.75) dan diperoleh
...
10
31
3
1...
2
11
3
1 2323
22
54
FFFFe
fermi xxxxcm
P
5
22
5455
22
54
1510
1
6
1F
eFF
e xcm
xxcm
5
3/5
5
4
R
MK (5.87)
Tekanan Relativistik
Untuk kasus relativistik di mana xF >>1 1Fx kita gunakan f(xF) pada
persamaan (5.76) dan diperoleh
- 148 -
...
11
4
111
3
12
4
2
3
22
54
F
F
F
FFe
fermix
xx
xxcm
P
...
4
1
4
1...
2
11
3
1 24
2
4
22
54
FF
F
Fe xx
xx
cm
24
22
54
12
1
12
1FF
e xxcm
24
22
54
12FF
e xxcm
2
3/2
4
3/4
R
M
R
MK (5.88)
dengan
3
2
2
12
cmcmK ee
(5.89)
Kondisi Keseimbangan
Kita akan mencari kondisii kesetimbang sebagai berikut. Kondisi
setimbang terjadi jika gaya dari arah dalam yang berasal dari tekanan fermion sama
dengan gaya dari arah luar akibat gravitasi. Kita lakukan proses berikut ini.
Misalkan tidak ada interaksi gravitasi. Kerapatan materi bintang akan
homogen dan materi bintang akan tersebar dalam ruang yang tak berhingga.
Gravitasilah yang memyebabkan kerapatan materi makin besar ketika menuju ke
pusat bintang. Gravitasilah yang menyebabkan bintang memiliki batas terluar, yaitu
tidak tersebar dalam ruang tak berhingga. Apabila gravitasi tidak ada maka agar
bintang memiliki batas terluar yang jelas diperlukan dinding pembatas untuk
menahan materi. Kerja yang diperlukan untuk mengkompresi materi bintang ke
bentuk yang memiliki massa dan jari-jari tertentu sehingga memiliki tekanan Po
adalah
- 149 -
R
rdFW
R
o drrP )4( 2 (5.90)
Sekarang bayangkan interaksi gravitasi tiba-tiba di-ON-kan.
Bagian-bagian bintang akan saling tarik menarik sehingga menghasilkan penurunan
energi. Jumlah penurunan energi tersebut disebut gravitational self energy.
Besarnya energi tersebut dapat diperkirakan sebagai berikut.
Energi potensial gravitasi (gravitation self energy) bintang diberikan oleh
persamaan (5.47). Karena ukuran bintang tidak lagi berubah maka gaya yang
dilakukan oleh gravitational self energy harus tepat sama dengan gaya yang
dilakukan “oleh dinding artifisial bintang”. Dengan kata lain, gaya oleh “dinding
artifisial” tersebut berasal dari gaya gravitasi. Gaya oleh dinding bintang adalah
R
odinding drrPdR
d
dR
dWF )4( 2
24 RPo (5.91)
Gaya oleh gravitional self energy adalah
2
2
5
3
R
MG
dR
dUFself (5.92)
Kedua gaya tersebut sama besar, selfdinding FF , sehingga
2
22
5
34
R
MGRPo
atau
- 150 -
4
2
20
3
R
MGPo
4
242
9
8
20
3
R
M
h
cmmG ep
4
2
'R
MK (5.93)
dengan
42
9
8
20
3'
h
cmmGK ep
(5.94)
Bintang katai putih memiliki kerapatan sangat tinggi sehingga memenuhi
persamaan relativistic (xF >> 1). Tekanan gas fermi, Pfermi, pada kondisi ini
memenuhi persamaan (5.88). Samakan Po pada persamaan (5.93) dengan Pfermi pada
persamaan (5.88) maka diperoleh
2
3/2
4
3/4
4
2
'R
M
R
MK
R
MK
yang akhirnya memberikan ungkapan jari-jari bintang katai putih
3/22/3 )/(1 oMMMR (5.95)
dengan
2/3
2
2/3
2/3
192
135'/
p
oGm
cKKM
(5.96)
Gambar 5.4 adalah plot jari-jari bintang karai putih sebagai fungsi massa menurut
- 151 -
persamaan (5.95). Dengan memasukkan nilai konstanta yang sudah baku maka
diperoleh 57
0 103.7 M . Atau dalam satuan kilogram diperoleh o
p
o Mm
M9
8
3,43 1030
kg. Karena massa matahari adalah 2 1030
kg maka M0 1,7 massa
matahari.
0/ MM
R
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Gambar 5.3 Plot jari-jari bintang karai putih sebagai fungsi
massa yang dihitung menggunaan persamaan (5.95). satuan
jari-jari masih sembarang.
Dari persamaan (5.95) tampak bahwa tidak ada solusi jika oMM . Hasil
ini mengindikasikan bahwa tidak mungkin bintang katai putih memiliki massa lebih
besar daripada massa matahari. Ada batas terbesar massa bintang agar menjadi katai
putih.
- 152 -
Gambar 5.4 Kebergantungan jari-jari bintang katai putih
terhadap massa awal bintang berdasarkan teori yang lebih teliti.
Massa pada sumbu datar dinyatakan dalam satuan massa
matahari sedangkan jari-jari pada sumbu vertikal dinyatakan
dalam satuan jari-jari matahari (cpp.edu).
Teori yang lebih teliti yang dibangun para ahli memberikan kurva yang
berbeda dengan kurva pada Gambar 5.3. Sebagai contoh ditunjukkan bahwa
jari-jari bintang katai putih adalah fungsi monoton turun terhadap massa bintang
dan mencapai nilai kritis ketika massa bintang sekitar limit Chandrasekhar.
Gambar 5.4 adalah kurva teoretik dan sejumlah data eksperimen tentang bintang
katai putih.
- 153 -
5.5 Diamagnetisme Landau
Sekarang kita akan bahas aplikasi gas fermi untuk menjelaskan fenomena
diamagnetisme. Dengan menggunakan mekanika statistik klasik, fenomena
diamagnetisme tidak muncul. Fenomena ini muncul ketika atom-atom dipandang
secara mekanika kuantum. Diamagnetisme muncul akibat kuantisasi orbital
atom-atom. Dalam mekanika klasik, kuantisasi orbital atom tidak ada.
Elektron-elektron dianggap mengelilingi inti dalam orbit sembarang sehingga
meniadakan efek diamagnetisasi. Pada bagian ini kita akan jelaskan fenomena
diamagnestisme dalam konsep ensembel grand kanonik untuk fermion.
Kita mulai dari definisi susseptibilitas magnetik yang memenuhi
persamaan
B
M
(5.97)
dengan M adalah magnetisasi. Jika Mi adalah magnetisasi assembli ke-i maka
momen magnetik total assembli ke-i adalah tot,i = MiV. Dengan demikian, energi
magnetik assembli ke-i adalah Ei = -tot,iB = -MiVB. Magnetisasi rata-rata assembli
memenuhi
i
VBM
i
VBM
i
i
E
i
E
i
i
i
i
i
e
eM
e
eM
M
i
VBM
i
VBM
i
VBM
i
VBM
i
i
i
i
e
eB
Ve
eBV
1
1
i
VBM ieBV
ln
1
NZBV
kTln
(5.98)
- 154 -
Suatu assembli disebut diamagnet jika < 0 dan paramagnetik jika > 0. Tabel 5.1
adalah susseptibilitas sejumlah bahan diamagnetik.
Tabel 5.1 Susseptibilitas sejumlah bahan diamagnetik (dari berbagai
sumber)
Bahan Susseptibilitas (m3/kg)
Bismuth -1,66 10-5
Tembaga -9,8 10-6
Intan -2,2 10-5
Emas -3,6 10-5
Timbal -1,7 10-5
Air raksa -2,9 10-5
Nitrogen -5,0 10-9
Perak -2,6 10-5
Silikon -4,2 10-6
Sifat magnetik suatu zat secara dominan dipengaruhi oleh
elektron-elektron dalam zat tersebut, baik elektron bebas maupun elektron yang
terikat pada atom. Di bawah pengaruh medan magnetik luar elektron akan bergerak
dalam orbit yang terkuantisasi dan spin elektron cenderung mengambil arah sejajar
dengan arah medan. Inti atom memberi kontribusi yang sangat kecil pada sifat
magnetik bahan sehingga sering diabaikan. Penyearahan spin yang sejajar medan
magnetik luar memberi kontribusi pada efek paramagnetisme. Sedangkan gerak
elektron dalam orbital terkuantisasi memberi efek pada fenomena diamagnetisme.
Kuantisasi Jari-jari Orbit dan Energi
Sekarang kita fokuskan pembahasan pada fenomena diamagnetisme.
Elektron dianggap tidak berspin (keberadaan spin diabaikan). Hal ini dapat
dilakukan karena efek yang akan kita pelajari bukan penyearahan spin oleh medan
luar tetapi kuantisasi orbit elektron oleh medan luar. Penyerahan spin hanya
menghasilkan efek paramagnetisme atau ferromagnetisme. Misalkan terdapat N
- 155 -
elektron yang berada dalam ruang bervolum V. Ruang di sini bisa saja berupa
potongan logam. Jadi tidak harus assembli yang isinya hanya gas elektron bebas. Di
dalam ruang tersebut diterapkan medan magnetik luar B
. Menurut teori kuantum
klasik, terkuantisasi orbit partikel memenuhi persaman
hjrdp )2/1(
(5.99)
dengan j = 0, 1, 2,… merupakan bilangan kuantum orbital.
Antara satu elektron dengan elektron lain dianggap tidak ada interaksi.
Dengan demikian, ketika membangun hamiltonian yang menjelaskan gerak elektron,
kita cukup membangun hamiltonian elektron tunggal. Komponen hamiltonian hanya
energi kinetik elektron. Hamiltonian elektron tunggal dalam medan magnetik
memenuhi persamaan
2
2
1),(
A
c
ep
mrpH
(5.100)
dengan A
adalah vektor potensial. Sudah kita pelajari di kuliah listrik magnet atau
elektrodinamika bahwa vektor potensial memenuhi persamaan
AB
(5.101)
Jika tidak ada gerakan elektron sejajar medan magnet maka bentuk orbit
electron berupa lingkaran dengan jari-jari a. Gaya yang dialami elektron adalah
gaya Lorentz yang arahnya tegak lurus kecepatan (menuju ke pusat lingkaran).
Gaya ini kita kenal dengan gaya sentripetal. Gaya tersebut tidak mengubah laju
elektron tetapi hanya mengubah arah sehingga berbentuk lingkaran. Laju elektron
selalu konstan dan memenuhi,
c
Bve
a
vm
2
- 156 -
atau
mc
eaBv
(5.102)
Partikel bermuatan yang bergerak dalam medan magnet memiliki dua
komponen momentum. Komponen pertama disumbang oleh kecepatannya sendiri
dan komponen kedua disumbang oleh vektor potensial medan. Momentum total
(kanonik) elektron dalam medan magnet memenuhi
Ac
evmp
(5.103)
Dengan menggunakan momentum pada persamaan (5.103) maka persamaan
kuantisasi (5.99) dapat ditulis menjadi
hjrdAc
evm )2/1(
hjrdAc
erdvm )2/1(
Karena v
menyinggung lingkaran rd
adalah perpindahan posisi elektron
(juga menyinggung lingkaran) maka v
dan rd
selalu sejajar. Oleh karena itu
suku pertama di ruas kiri persamaan di atas menjadi
)2( avmdrvmrdvm
Integral kedua di ruas kiri diselesaikan dengan menggnakan hukum Stokes berikut
ini
- 157 -
)()( 2aBSdBSdArdA
Dengan demikian persamaan kuantisasi orbital dapat ditulis menjadi
hjaBc
eavm )2/1()()2( 2
hjaBc
ea
mc
eaBm )2/1()()2( 2
hjaBc
e)2/1()( 2
atau
hjeB
ca )2/1(2
(5.104)
Persamaan (5.104) dengan jelas memperlihatkan kuantisasi jari-jari orbital.
Besar jari-jari orbital memenuhi a (j +1/2)1/2
. Jari-jari orbital makin kecil jika
medan yang diterapkan makin besar. Jika medan yang diterapkan mendekati nol
maka jari-jari orbit menuju tak berhingga. Jari-jari tak berhingga tidak lain
menyatakan lintasan berbentuk garis lurus.
Setelah mendapatkan kuantisasi jari-jari orbital maka kita dapat
menurunkan kuantisasi energi. Energi yang dimiliki elektron dalam medan
magnetik hanya energi kinetik. Medan magetik tidak memberi kontribusi energi
pada partikel bermuatan. Apabila elektron hanya memiliki komponen kecepatan
yang tegak lurus medan magnetik maka energi kinetik yang berkaitan dengan
keadaan orbital ke-j adalah
2
222
2
1
2
1
2
1a
mc
eBm
mc
eaBmvm
- 158 -
hj
eB
c
mc
eBm )2/1(
2
12
)2/1()2/1(2
1 j
mc
eBhj
mc
eB
(5.105)
Namun, jika elektron memiliki juga komponen kecepatan yang sejajar medan
magnetik maka komponen kecepatan yang sejajar medan tidak terkuantisasi. Energi
kinetik total electron sama dengan jumlah energi terkuantisasi dalam arah x dan y
(dalam bidang tegak lurus medan) serta energi kinetik dalam arah z (bersifat
kontinu), yaitu
m
pj
mc
eBjp z
z2
)2/1(),(2
(5.106)
di mana pz adalah momentum dalam arah z (sejajar medan magnet).
Selanjutnya kita akan mencari degenerasi energi (pz,j). Degenerasi
tersebut dapat ditentukan dengan membandingkan ungkapan energi kinetik dalam
bidang yang tegak lurus medan, yaitu 22
2
1yx pp
m dengan ungkapan energi
kinetik pada persamaan (5.106). Dengan adanya medan magnet maka gerak bebas
(gerak yang bersifat kontinu) dalam bidang x dan y menjadi terkuantisasi dengan
energi )2/1( jmc
eB. Dalam medan magnet, elektron tidak bisa lagi memiliki
momentum arah x dan y sembarang. Momentum arah x dan y harus tertentu
sehingga energi kinetiknya sama dengan (5.105). Ini berarti, dalam diagram px dan
py lintasan elektron akan berupa lingkaran dengan jari-jari R. Jari-jari R tersebut
adalah besar momentum total elektron dalam bidang (x,y). Dengan demikian
jari-jari tersebut memenuhi 222
yx ppR . Karena energi kinetik total dalam bidang
(x,y) memenuhi persamaan (5.105) maka haruslah
- 159 -
)2/1(2
2
jmc
eB
m
R j
atau
)2/1(22 j
c
eBR j
(5.107)
px
py
Rjpx
py
Rj
Gambar 5.6 Kuantisasi orbit elektron dalam bidang (x,y).
Momentum dalam arah x dan y terikat oleh persamaan 222
yx ppR . Dengan demikian energi kin etik total dalam
bidang (x,y) adalah R2/2m.
Perhatikan Gambar 5.6. Luas daerah antara dua lintasan berurutan, yaitu
lintasan ke-j dan dan ke-j+1 adalah
22
1 jj RRA
- 160 -
)2/1(2
)2/1]1([2
jc
eBj
c
eB
c
eB2 (5.108)
Tampak dari persamaan (5.108) bahwa luas daerah antara dua orbit berdekatan
selalu konstan, tidak bergantung pada bilangan kuantum j. Ini berimplikasi bahwa
makin ke arah luar maka lingkaran orbital makin rapat untuk menjamin luas daerah
antar lingkaran tetap sama.
Saat medan magnet tidak ada, keadaan-keadaan dalam ruang fase tersebar
secara merata dalam bidang px dan py. Namun, ketika medan magnet diberikan,
keadaan-keadaan dari daerah seluas A sesuai dengan persamaan (5.108) terkumpul
pada lintasan kuantisasi saja. Jadi, penerapan medan magnet menyebabkan keadaan
yang tersebar dalam daerah seluas A ditempelkan ke lintasan kuantisasi. Berapa
degenerasi keadaan tersebut?
Misalkan kita memiliki sebuah silinder berongga dengan panjang pz. Sisi
dalam silinder dibatasi oleh orbital dengan bilangan kuantum j dan sisi luarnya
dibatasi oleh orbital dengan bilangan kuantum j+1. Menurut persamaan (5.108) luas
alas silinder adalah A = 2eB/c. Volum silinder dalam ruang momentum adalah
zzp pc
eBpAV
2 (5.109)
Volum silinder dalam ruang fasa tiga dimensi adalah perkalian antara volume dalam
ruang momentum dengan volume spasial yaitu
zpp pc
VeBVV
2 (5.110)
Volum terkecil ruang fasa tiga dimensi adalah h3. Jumlah keadaan di dalam silinder
- 161 -
di atas adalah
z
pp
ch
VeB
hG
33
2 (5.111)
Ukuran terkecil ruang fasa dalam arah sumbu momentum pz adalah h.
Volume ruang fasa dalam arah sumbu z saja sama dengan perkalian panjang
momentum dalam arah sumbu z dan panjang spasial dalam sumbu z. Panjang
momentum dalam arah sumbu z adalah pz. Jika dianggap ukuran assembli dalam
arah x, y, dan z sama maka terpenuhi V = L3. Oleh karena itu panjang spasial dalam
arah sumbu z adalah L = V1/3
. Akhirnya, volum ruang fasa dalam arah sumbu z
adalah pzV1/3
. Kerapatan keadaan ruang fasa diukur dalam arah sumbu z saja
menjadi G’ = V1/3pz/h. Dari sini kita dapatkan bahwa kerapatan keadaan ruang fasa
dalam bidang (x,y) adalah
g = kerapatan ruang fasa dalam ruang (x,y,z) dibagi kerapatan ruang fasa
dalam ruang z saja
atau
hpV
chpVeB
G
Gg
z
z
/
/2
' 3/1
3
2
3/22
ch
VeB (5.112)
Tiap titik dalam ruang fasa mewakili satu keadaan dan semua keadaan
tersebut memiliki energi yang sama. Ini berarti, keberadaan medan magnetik
menyebabkan degenerasi g keadaan energi. Dengan adanya degenerasi tersebut,
energi elektron dapat ditulis dalam bentuk umum
m
pj
mc
eBjp z
z2
)2/1(),,(2
(5.113)
- 162 -
dengan = {pz,j,}, j = 0, 1, 2, …, dan = 1, 2, 3, …, g. Dalam persamaan (5.113)
kita perkenalkan indeks untuk memperhitungkan degenerasi energi electron pada
orbital-orbital.
Fungsi grand partisi fermion adalah
)1( zeZG
atau
)1ln()1(lnln zezeZG
x
z
p
jp
j
g
ze],,[
01
1ln
(5.114)
Seperti sudah disebutkan di atas, untuk semua nilai besarnya energi
elektron sama. Dengan demikian penjumlahan terhadap indeks pada persamaan
(5.114) dapat diganti dengan perkalian tiap suku dengan bilangan degenerasi g. Jadi
kita dapatkan
x
z
p
jp
j
G zegZ],[
0
1lnln (5.115)
Untuk menyelesaikan (5.115) kita ganti pejumlahan terhadap pz dengan
integral dengan terlebih dahulu melakukan transformasi berikut ini
z
p
dph
V
z
3/1
(...)(...) . Dengan demikian persamaan (5.115) menjadi
0
],[3/1
1lnlnj
z
jp
G dpzeh
gVZ z (5.116)
Dari persamaan (5.116) kita dapat mencari jumlah rata-rata elektron dalam assembli
- 163 -
sebagai berikut
0],[1
3/1
1
1ln
j
zjpG dpezh
gVZ
zzN
z (5.117)
Sekarang kita akan mengecek apa persyaratan yang harus dipenuhi oleh z.
Pada suhu yang sangat tinggi, yaitu T maka e-
= e/kT
1. Dengan demikian
0
1
3/1
1
1
j
zdpzh
gVN (5.118)
Agar hasil penjumlahan (5.118) tidak tak berhingga (karena N harus berhingga)
maka haruslah 1z jauh lebih besar daripada satu. Ini berarti nilai z harus jauh
lebih kecil daripada satu. Karena nilai z jauh lebih kecil daripada satu maka kita
dapat mengaproksimasi
],[],[1ln
jpjp zz zeze
Dengan demikian kembali ke persamaan (5.116) yang dapat diapkroksimasi sebagai
0
],[3/1
lnj
z
jp
G dpzeh
gVZ z
0
23/1
)2/1(2
expj
zz dpj
mc
Be
m
p
h
zgV
0
23/1
)2/1(exp2
expj
zz j
mc
Bedp
m
p
h
zgV
0
3/1
exp2
expj mc
Bej
mc
Bem
h
zgV
- 164 -
mc
Bemc
Bem
h
zgV
exp1
1
2exp
3/1
mc
Be
mc
Be
m
h
zgV
2exp
2exp
13/1
xx
m
h
zgV
expexp
13/1
(5.119)
dengan
mc
Bex
2
(5.120)
Dalam kondisi di mana medan magnet yang diterapkan cukup lemah
diperoleh x << 1 sehingga
621
32 xxxe x
621
32 xxxe x
621
621
3232 xxx
xxxee xx
612
32
23 xx
xx
Dengan demikian, aproksimasi untuk fungsi partisi menjadi
6/12
1ln
2
3/1
xx
m
h
zgVZG
- 165 -
x
xm
h
zgV
2
6/1 23/1
x
xm
h
VceBVz
2
6/1)2/( 23/13/2
Persamaan di atas dapat ditulis ulang sebagai
x
xm
ch
zeBZ
VG
2
6/1ln
1 2
2
22
2 26
11
)(
21
)(
2
22 kT
B
mc
em
hh
mz
22
3 26
11
22 kT
B
mc
ez
(5.121)
Suseptibilitas magnetik akhirnya menjadi
GZVB
kTB
Mln
12
2
2
3 226
mc
e
kT
z
(5.122)
Tampak jelas bahwa susseptibilitas magnetik bernilai negatif yang menunjukkan
fenomena diamagnetik.
- 166 -
5.6 Efek de Hass-Van Alphen
Sekarang kita tinjau kelakuan gas fermi ideal pada suhu mendekati nol
mutlak. Salah satu fenomena yang menarik adalah efek de Hass-Van Alphen. Pada
bagian ini kita turunkan persamaan yang menjelaskan efek tersebut.
Kita mulai dengan menulis energi assembli pada suhu nol mutlak yaitu
MVBBEo (5.123)
Berdasaran bentuk energi tersebut, kita dapat menulis magnetisasi sebagai
B
E
VM o
1
Kemudian susseptibilitas magnetik memenuhi persamaan
2
21
B
E
VB
M o
(5.124)
Dengan keberadaan medan magnetik searah sumbu z maka elektron akan
bergerak secara bebas dalam arah sumbu z dan gerakannya terkuantisasi dalam
bidang x dan y. Sekarang kita melihat kasus khusus di mana gerakan dalam arah
sumbu z tidak ada. Elektron hanya bergerak dalam bidang x dan y, yaitu tegak lurus
medan magnetik. Tingkat-tingkat energi elektron menjadi terkuantisasi dan
memenuhi persamaan
)2/1( jmc
Bej
(5.125)
Dari persamaan di atas maka tingkat energi terendah yang dimiliki elektron adalah
0 = eB/2mc.
Karena hanya berada dalam bidang x dan y maka tiap tingkat energi
- 167 -
memiliki degenerasi
c
eBL
c
eBVg
22
23/2
(5.126)
dengan asumsi bahwa assembli berbentuk kubus dengan sisi L sehingga V = L3.
Karena suhu assembli adalah nol mutlak maka energi assembli E0 sama
dengan jumlah i pada semua N keadaan terendah. Karena degenerasi g bergantung
pada medan magnet B maka tingkat energi tertinggi yang ditempati elektron juga
akan bergantung pada B.
a) Jika g N maka semua elektron hanya menempati satu tingkat energi terendah.
Tidak ada elektron yang menempati tingkat energi kedua, ketiga, dan
seterusnya. Dalam kondisi ini, energi total yang dimiliki elektron hanyalah
mc
BeNEo
2
1 (5.127)
b) Jika B cukup kecil sehingga g N maka elektron akan menempati sejumlah
tingkat energi. Tingkat energi terendah terisi g elektron dan sisanya elektron
akan menempati tingkat energi berikutnya. Sampai tingkat energi berapa yang
ditempati elektron akan sangat bergantung pada nilai B.
Untuk menentukan ungkapan umum energi E0 sebagai fungsi B,
perhatikan ilustrasi tingkat-tingkat energi pada Gambar 5.7. Setiap tingkat energi
menampung g elektron. Tingkat energi dengan j = 0 berisi penuh g elektron.
Misalkan sampai tingkat energi ke-j telah penuh ditempati elektron. Berarti ada
sebanyak (j+1) buah tingkat energi yang masing-masing berisi g elektron (dari
indeks 0 sampai indeks j). Jumlah elektron tersebut yang menempati tingkat energi
penuh tersebut adalah (j+1)g.
Sisa elektron sebanyak N – (j+1)g akan mengisi tingkat energi ke-(j+1)
dan tidak penuh, yaitu jumlahnya kurang dari g. Dengan demikian N > (j+1)g. Jika
sampai tingkat energi ke (j+1) terisi penuh maka jumlah elektron harusnya (j+2)g.
- 168 -
Tetapi karena tingkat energi ini tidak penuh maka jumlah elektron kurang dari itu,
atau N < (j+2)g. Dengan demikian kita dapatkan ketidaksamaan
gjNgj )2()1(
j = 0
j = 1
j
j + 1
j + 2
Terisi
penuh
Terisi
sebagian
Kosong
j = 0
j = 1
j
j + 1
j + 2
Terisi
penuh
Terisi
sebagian
Kosong
Gambar 5.7 Ilustrasi tingkat-tingkat energi yang ditempati
elektron yang terisi penuh dan terisi sebagian. Tingkat energi
tearkhir terisi sebagian.
Masukkan ungkapan untuk g pada persamaan (5.126) sehingga diperoleh
c
eBLjN
c
eBLj
2)2(
2)1(
22
)2(2
)1(2
j
eB
c
LNj
- 169 -
Ketidaksamaan di atas dapat ditulis ulang sebagai berikut
2
1
21
1 2
jc
eB
N
L
j
2
1
/21
12
jeLcN
B
j
2
1
1
1
jB
B
j o
(5.129)
dengan
2
2
eL
cNBo
(5.130)
Dengan mengingat sampai tingkat energi ke-j telah penuh berisi elektron
dan energi ke-(j+1) hanya tersisi sebagian maka energi keadaan dasar yang dimiliki
assembli dengan kehadiran medan magnet menjadi
1
0
)1(
j
j
i
io jgNgE
)2/3()1()2/1(0
jmc
BejgNi
mc
Beg
j
i
)2/3()1()1(
2
1)1(
2
1jgjNjjjg
mc
Be
oo
oB
Bjjj
B
B
mc
eNB )2)(1(
2
1)2/3(
(5.131)
Akhirnya kita dapatkan ungkapan umum energi keadaan dasar pada berbagai medan
- 170 -
magnetik, yaitu
1
1
2
1,)2)(1(
2
1)2/3(
1,21
jx
jxjjjx
mc
Be
xxBmc
e
EN o
o
o
(5.132)
dengan x = B/B0.
Magnetisasi dan suseptibilitas menjadi
1
1
2
1,)32()2)(1(2
1
1,2
1
jx
jjxjj
mc
e
v
xmc
e
vM
(5.133)
1
1
2
1,)2)(1(
11,0
jx
jjj
mc
e
vB
x
o
(5.134)
Plot magnetisasi dan susseptibilitas sebagai fungsi x = B/B0 tampak pada
Gambar 5.8. Gambar 5.9 adalah contoh hasil pengamatan magnetisasi bahan
sebagai fungsi kuat medan magnetik. Pengamatan dilakukan pada suhu 2,2 K.
Tampak muncul pola magnetisasi yang serupa dengan ramalan teori yang
ditunjukkan pada Gambar 5.9. Ini menunjukkan teramatinya efek de Haas van
Aplhen pada bahan tersebut.
- 171 -
x
x
M/(e/vmc)
1
-1
/(e/vBomc)
1/4 1/3 1/2 1
2
6
12
x
x
M/(e/vmc)
1
-1
/(e/vBomc)
1/4 1/3 1/2 1
2
6
12
Gambar 5.8 Plot magnetisasi dan susseptibilitas sebagai fungsi
medan magnet luar
- 172 -
T = 2,2 K
0 5 10 15
-1
0
1
2
3
B
M(1
01
2J/
T)
Gambar 5.9 Magnetisasi bahan yang diamati pada suhu 2,2 K.
Termatati kemunculan efek de Hass van Alphen (e10.ph.tum.de).
5.7 Paramagnetisme Pauli
Kita sudah membahas tentang diamagnetisme Landau yang dapat dijelaskan
dengan menggunakan konsep kuantum di mana elektron bergerak dalam orbit-orbit
yang terkuntisasi. Sekarang kita membahas fenomena paramagnetisme yang muncul
akibat sumbangan spin elektron.
Hamiltonian elektron bebas yang berada dalam medan magnetik dapat ditulis
BAc
ep
mH
2
2
1 (5.135)
Dengan
adalah operator magnetik intrinsik elektron yang memenuhi
(5.136)
mc
e
2
(5.137)
- 173 -
dan
adalah matriks Pauli (operator spin).
Feromagnetisme muncul dari suku kedua dalam hamiltonian. Kita fokuskan
perhatian pada efek yang dihasilkan bagian tersebut. Hamiltonian kita sederhanakan
menjadi
Bm
pB
m
pH
22
22
(5.138)
Fungsi eigen dari B
adalah sB dengan s = 1. Dengan demikian tingkat
energi elektron tunggal yang merupakan solusi eigen hamiltonian di atas adalah
Bsm
psp
2),(
2
(5.139)
Energi assembli menjadi
s
sp
p
spnE ),(,
s
sp
p
Bsm
pn
2
2
,
p
p
p
p Bm
pnB
m
pn
22
2
1,
2
1, (5.140)
di mana np,s adalah jumlah fermion yang memiliki momentum p dan spin s. Karena
memenuhi prinsip ekslusi Pauli maka harga yang boleh dimiliki oleh np,s adalah 0 atau 1
dan
Nnp s
sp ,
- 174 -
Sekarang kita menulis dengan simbol lebih singkat lagi
pp nn 1,
pp nn 1,
Nnp
p 1,
NNNnp
p 1,
Dengan notasi di atas maka energi total dapat ditulis
)(2
2 NNB
m
pnnE
p
pp (5.141)
Selanjutnya, fungsi partisi menjadi
pp nn p
ppN NNBm
pnnZ )(
2exp
2
(5.142)
Untuk melakukan penjumlahan fungsi partisi di atas kita gunakan langkah
berikut ini.
a) Kita pilih N tertentu
b) Lakukan penjumlahan terhadap semua {
pn } dan {
pn } yang memenuhi
Nnp
p dan NNn
p
p
c) Lakukan penjumlahan terhadap N dari 0 sampai N
Dengan urutan penjumlahan ini kita dapat menulis fungsi partisi menjadi
- 175 -
pp n p
p
n p
p
N
N
Nm
pn
m
pnNNBZ
2exp
2exp)(exp
22
0
pp n p
p
n p
p
N
N m
pn
m
pnNNB
2exp
2exp)2(exp
22
0
(5.143)
Misalkan ZN(0) adalah fungsi partisi N fermion yang tidak memiliki spin di
mana massa tiap sistem adalah m. Kita dapat menulis
)(exp2
exp)0(2
NFm
pnZ
Nn p
pN
p
(5.144)
di mana F(N) adalah ebergi bebas Helmholtz assembli yang memiliki N sistem (lihat
persamaan (2.15)). Dengan demikian fungsi partisi akibat kehadiran medan dapat ditulis
N
NNNNN ZZBNBNZ
0
)0()0(2expexp ,
atau
N
N
N NNFNFBNN
BZN 0
)()(2expln1
ln1
(5.145)
Dalam penjumlahan di atas akan ada suku-suku yang memberi kontribusi
terbesar. Nilai total penjumlahan kira-kira sama dengan nilai suku dengan kontribusi
terbesar tersebut. Suku-suku lainnya dapat diabaikan. Ini berarti nilai satu suku yang
memberi kontribusi terbesar jauh lebih besar daripada jumlah nilai suku-suku lainnya.
Misalkan suku yang memberikan kontribusi terbesar adalah NN maka
)()(2expln1
ln1
NNFNFNBN
BZN
N
- 176 -
N
NNFNFNBB
)()(2
(5.146)
Agar N merupakan nilai yang memberi kontribusi terbesar maka diferensial
persamaan (5.146) harus nol, atau
0)()(2
N
NNFNFNB
N
0)()(
2
N
NNF
N
NFB
Dengan menggunakan sifat )(// xYx maka persamaan di atas dapat
ditulis ulang menjadi
0)(
)()(2
NN
NNF
N
NFB
atau
BNN
NNF
N
NF2
)(
)()(
(5.148)
Pada assembli elektron yang berada pada suhu mendekati 0 K maka
elektron-elektron menempati tingkat energi paling rendah hingga tingkat energi fermi.
Jumlah elektron dengan spin up sama dengan elektron dengan spin down atau paling
jauh berbeda satu elektron. Tiap tingkat energi diisi oleh dua elektron dengan arah spin
berlawanan. Ketika pada assembli tersebut diberikan medan magnet maka yang pertama
kali terpengaruh oleh medan magnet adalah elektron di sekitar tingkat energi fermi.
Medan magnet menyebabkan elektron dengan spin up mengalam kenaikan energi
sebesar B dan elektron dengan spin down mengalami penuruhan energi sebesar B
juga. Dengan demikian, selisih energi elektron yang mengalami spin up dan spin down
adalah 2B.
Sebelum dikenakan medan magnet, energi elektron yang memiliki spin up dan
- 177 -
down sama besar, yaitu sama dengan energi fermi. Setelah dikenakan medan magnet,
energi elektron yang memiliki spin up menjadi )( NF dan energi elektron yang
memiliki spin down menjadi )( NNF . Karena selisih energi elektron yang
memiliki spin up dan down adalah 2B maka kita dapatkan
BNNN FF 2)()( (5.149)
Jika kita bandingkan persamaan (5.148) dan (5.149) maka kita simpulkan bahwa
N
NFNF
)()( (5.150)
Secara umum energi fermi bergantung pada suhu. Pada suhu 0 K, energi fermi
N sistem adalah
mV
NNF
2
3)0,(
23/22
(5.151)
Pada suhu T yang memenuhi kT << F(N), bentuk aproksimasi untuk energy Fermi
adalah (lihat Mikrajuddin, Fisika Statistik, CV Rezeki Putra (2009))
22
)0,(121)0,(),(
N
kTNTN
F
FF
(5.152)
Berdasarkan persamaan (5.151) dan (5.152) kita dapat menulis kebergantungan energi
fermi pada jumlah sistem sebagai berikut
3/2)0,( NNF (5.153a)
3/4
3/2 )(1),(
N
TNTNF
(5.153b)
- 178 -
dengan =322
/2mV dan (T) = 2k
2T
2/122
. Persamaan (5.149) dan (5.153) akan kita
gunakan untuk menentukan suseptibilitas magnetik bahan. Suseptibilitas ini ditentukan
oleh elektron yang berada di sekitar tingkat energi fermi.
Susseptibilitas Fungsi Suhu
Karena energi fermi bergantung pada suhu maka sangat logis kita prediksi
bahwa suseptibilitas yang dihasilkan juga bergantung pada suhu. Untuk mempermudah
kita akan melakukan perhitungan secara terpisah pada rentang suhu yang berbeda-beda.
Hal ini dilakukan karena energi fermi memiliki bentuk asimptot yang berbeda pada
rentang suhu yang berbeda. Penggunaan bentuk asimptot tersebut akan memudahkan
kita melakukan perhitungan. Ada tida daerah suhu tempat kita melakukan perhitungan
susseptibilias, yaitu daerah suhu mendekati 0 K, rentang suhu 0 K < T < F/k dan dan
rentang suhu T > F/k.
Suseptibilitas pada Suhu 0 K. Pada rentang suhu ini energi fermi diaproksimasi oleh 3/2)0,( NNF .
Dengan demikian, persamaan (5.149) dapat ditulis menjadi
BNNN 2)()( 3/23/2
BN
N
N
NN 21
3/23/2
3/2
BN
N
N
NNF 21)0,(
3/23/2
(5.154)
Untuk mempermudah, kita definisikan parameter berikut 1)/(2 NNr . Dengan
parameter ini maka kita dapat menulis
- 179 -
2
1
2
11
2
2
1
2
1
2
1 r
N
N
N
N
N
N
(5.155a)
2
11
2
2
1
2
1
2
1
2
11
r
N
N
N
N
N
N
(5.155b)
Substitusi persamaan (1.55) ke dalam persamaan (1.54) diperoleh
Brr
NF 22
1
2
1)0,(
3/23/2
BrrNF
211
2
)0,( 3/23/2
2/3
)0,(
211
2/53/23/2
N
Brr
F
(5.156)
Pada kondisi medan magnet cukup kecil sehingga B/F(N,0) << 1 maka suku
di ruas kanan persamaan (5.156) menuju nol. Suku di ruas kanan nol hanya terjadi jika
pada suku di ruas kiri terpenuhi r 0. Dengan kondisi r 0 maka kita dapat
melakukan pendekatan binomial pada suku di ruas kiri dan persamaan (5.156) menjadi
)0,(
2
3
21
3
21
2/5
N
Brr
F
)0,(
2
3
4 2/5
N
Br
F
atau
)0,(
23
N
Br
F
(5.157)
- 180 -
Momen magnetik total ditentukan oleh selisih elektron yang memiliki spin up
dan spin down. Dengan mengacu para persamaan (5.155) jelas bahwa selisih tersebut
bergantung pada parameter r. Dengan mudah dapat kita hitung bahwa jumlah spin up
adalah
NrN
NNNNNNNN
1
22 (5.158)
Dengan demikian momen magnetik total assembli adalah
)0,(
23 2
N
BNNrN
F
tot
(5.159)
Magnetisasi didefinsikan sebagai momen magnetik total per satuan volum.
Dengan menggunakan persamaan (5.159) kita dapat menghitung magnetisasi sebagai
berikut
vN
B
NVN
B
VN
BN
VM
FFF
tot
)0,(
23
)/)(0,(
23
)0,(
23 222
(5.160)
di mana v = V/N, yaitu volum per sistem. Akhirnya, dari magnetisasi total kita dengan
mudah menghitung suseptibilitas magnetik sebagai berikut
vNB
M
F )0,(
23 2
(5.161)
Tampak dari persamaan (5.160) bahwa susseptibilitas memiliki tanda positif. Ini
menunjukkan bahwa assebmli bersifat paramagnetik.
Susseptibilitas pada Suhu 0 K < T < F/k
Selanjutnya kita tinjau kondisi pada rentang suhu yang jauh lebih kecil
- 181 -
daripada suhu Fermi. Pada suhu tersebut, energi fermi dapat didekati dengan persamaan
(5.153b). Dengan demikian, hubungan pada persamaan (5.149) dapat ditulis menjadi
BNN
TNN
N
TN
2
)(1
)(1
3/4
3/2
3/4
3/2
B
NN
NT
N
NN
NN
NT
N
NN
2
/1
/)(11
/
/)(1
3/4
3/43/2
3/2
3/4
3/42/3
3/2
B
r
NTrN
r
NTrN
2
2/)1(
/)(1
2
1
2/)1(
/)(1
2
13/4
3/43/2
3/2
3/4
3/43/2
3/2
)0,(
2
1
/)(211
1
/)(211
2/5
3/4
3/43/43/2
3/4
3/43/43/2
N
B
r
NTr
r
NTr
F
)0,(
2
1
1
1
1)(211
2/5
3/23/23/4
3/43/23/2
N
B
rrN
Trr
F
(5.162)
Kita masih menggunakan aproksimasi binomial untuk menyederhanakan suku (1+r)2/3
dan (1-r)2/3
sehingga diperoleh
)0,(
2
3
21
3
21
)(2
3
21
3
21
2/5
3/4
3/4
N
Brr
N
Trr
F
)0,(
2
3
4)(2
3
4 2/5
3/4
3/4
N
Br
N
Tr
F
)0,(
2)(21
3
4 2/5
3/4
3/4
N
B
N
Tr
F
- 182 -
1
3/4
3/4 )(21
)0,(
23
N
T
N
Br
F
(5.163)
Substitusi kembali (T) yang telah didefinisikan sebelumnya ke dalam
persamaan (5.163) akan diperoleh
)0,(12
21
)0,(
23
)0,(12
21
)0,(
232
2223/41
2
2223/4
N
Tk
N
B
N
Tk
N
Br
FFFF
(5.164)
Dari persamaan (5.154) kita dapatkan selisih antara jumlah spin up dan down sebagai
berikut
)0,(12
21
)0,(
232
2223/4
N
Tk
N
BNNrN
FF
(5.165)
Akhirnya dari persamaan (5.165) kita dapatkan magnetisasi dan susseptibiltas
magnetik sebagai berikut
)0,(12
21
)0,(
232
2223/42
N
Tk
VN
BN
V
NM
FF
)0,(12
21
)0,(
232
2223/42
N
Tk
vN
B
FF
(5.166)
)0,(12
21
)0,(
232
2223/42
N
Tk
vNB
M
FF
(5.167)
Di sini juga tampak bahwa suseptibilitas bernilai positif yang mengindikasikan sifat
paramagtetisme. Juga tampak pada persamaan (5.167) bahwa susssptibilitas makin
kecil dengan naiknya suhu. Ini adalah gejala yang umum ditemukan pada semua bahan
- 183 -
magnetik. Sifat magnetik makin menurun dengan naiknya suhu.
Susseptibilitas pada suhu T >> F(N,0)/k
Untuk kasus ini kita kembali melihat penurunan pada bagian awal dari bab ini.
Kita sudah mendefinisikan kTNkT Feez/)0,(/ . Pada kondisi di mana kT >> F(N,0)
maka nilai z menjadi sangat kecil. Untuk nilai z yang kecil kita sudah dapatkan bentuk
aproksimasi (persamaan (5.24a))
V
N
vz
33
Dengan demikian
V
Ne
kTNF
3/)0,(
atau
V
NkTNF
3
ln)0,(
(5.168)
Dari persamaan (5.168) kita mendapatkan dua persamaan berikut ini
NV
NNkT
V
NkTNF
/
)/(lnln)0,(
33
vkTrkT
v
rkT
2ln1ln
2/)1(ln
33 (5.169a)
vkTrkTNNF
2ln1ln)0,(
3 (5.169b)
Dari persamaan (5.169a) dan (5.169b) kita tentukan selisihnya dan diperoleh
- 184 -
r
rkTNNN FF
1
1ln)0,()0,( (5.170)
Substitusi persamaan (5.170) ke dalam persamaan (5.149) diperoleh
Br
rkT 2
1
1ln
kT
B
r
r 2exp
1
1 (5.171)
Dengan demikian kita dapatkan solusi untuk r sebagai berikut
kT
Br
tanh (5.172)
Dari persamaan (5.172) kita dapatkan ungkapan untuk magnetisasi sebagai
berikut
kT
B
vV
NrM
tanh (5.173)
Karena kita bahas kondisi suhu sangat tinggi maka kT >> B. Pada kondisi tersebut kita
dapat mengaproksimasi tanh(x) x di mana x = B/kT << 1. Akibatnya, magnetisasi
pada persamaan (5.173) dapat diparoksimasi menjadi
vkT
B
kT
B
vM
2
(5.174)
Dari magnetisasi kita dapatkan suseptibilitas sebagai berikut
- 185 -
vkTB
M 2
(5.175)
Sekali lagi tampak bahwa susseptibilitas memiliki harga positif yang menunjukkan sifat
paramagnetisme. Juga tampak bahwa susseptibilitas berbanding terbalik dengan suhu.
- 186 -
Bab 6
GAS BOSE IDEAL
Bab ini berisi diskusi tentang gas bose ideal dalam konstruksi grand
kanonik serta sejumlah aplikasinya. Tujuan bab ini adalah mahasiswa memahami
beberapa aplikasi ensembel grand kanonik boson. Tiga contoh yang dibahas adalah
kondensasi bose-einstein, tekanan radiasi, dan sifat termal kristal. Kita akan
melakukan penurunan persamaan lebih detail yang jarang ditemui di buku-buku
yang sudah terbit. Kurang detail penurunan persamaan pada seumlah buku yang ada
menyebabkan materi yang disampaikan sering sulit diikuti.
Agar dapat memahami bab ini secara mudah para mahasiswa diharapkan
telah memahami cukup baik materi tentang grand partisi. Review ulang tentang
materi di kuliah Fisika Statistik dan termodinamika juga sangat membantu dalam
menguasai materi bab ini.
6.1 Persamaan Keadaan Boson
Kita akan membahas gas bose ideal yang merupakan kumpulan boson
bebas. Boson bebas artinya interaksi antar boson dapat diabaikan dibandingkan
dengan energi kinetik energi internal yang dimiliki boson. Contoh gas boson ideal
adalah assembli foton dan fonon. Kita mulai dari ungkapan fungsi grand partisi
untuk boson, yaitu
i
Gize
Z
1
1 (6.1)
- 187 -
Fungsi grand partisi memiliki hubungan langsung dengan perkalian tekanan dan
volum, yaitu
GZkT
PVln
i
ize
1ln izei
1ln (6.2)
Untuk menentukan secara eksplisit fungsi grand partisi pada persamaan
(6.2) kita mengganti simbol penjumlahan dengan integral terhadap variable
momentum. Untuk maksud tersebut, terlebih dahulu kita ubah ungkapan diskrit
menjadi kontinu sebagai berikut
m
pi
2
2
dpph
V
i
2
34(...)(...) (6.3)
Tetapi sebelum mengganti penjumlahan dengan integral, kita pisahkan suku yang
memiliki energi nol (momentum nol) dari suku yang memiliki energi tidak nol
sebagai berikut
)1ln(1ln)0(
zzekT
PVi
ii
atau
)1ln(1
1ln1
)0(
zV
zeVkT
Pi
ii
(6.4)
Mungkin ada pertanyaan, mengapa pemisahan seperti pada persamaan
(6.4) tidak dilakukan pada saat membahas fermion? Kalau kita pisahkan pada saat
membahas fermion maka suku dengan energi nol adalah ln(1+z)/V. Ketika V
maka untuk z berhingga, nilai 0)1ln()/1( zV Oleh karena itulah suku
- 188 -
dengan energi nol pada fermion tidak ada gunanya untuk dipisahkan karena nilainya
mendekati nol. Namun sebaliknya terjadi pada boson. Sebagai contoh, jika z 1
maka ln (1-z) -. Dengan demikian suku –ln(1-z)/V (suku kedua pada persamaan
(6.4)) bisa memiliki nilai berhingga meskipun V . Dengan kata lain, suku
dengan energi nol pada boson tidak boleh diabaikan.
Dengan menggunakan (6.3) maka (6.4) menjadi
)1ln(1
1ln4
0
2/2
3
2
zV
dpzephkT
P mp
(6.5)
Selanjutnya kita mencari ungkapan untuk jumlah rata-arata sistem boson
dalam assembli. Jumlah rata-rata sistem seperti dinyatakan dalam persamaan (3.34)
menjadi
GZkTN ln
kT
PVkT
0
2/2
3)1ln(1ln
4 2
zdpzeph
VkT mp
(6.6)
Mengingat kTez / maka kita dapat menulis
zkT
z
ze
kTz
z kT
/1
Dengan demikian persamaan (6.6) dapat ditulis menjadi
- 189 -
0
2/2
3)1ln(1ln
4 2
zdpzeph
V
zkT
zkTN mp
z
zdpze
zp
h
Vz mp
11ln
4
0
2/2
3
2
z
zdpe
zep
h
Vz mp
mp
11
14
0
2/
2/
2
3
2
2
z
zdp
ze
zep
h
Vmp
mp
11
4
0
2/
2/2
3 2
2
z
zdp
ezp
h
Vmp
11
14
0
2/1
2
3 2
(6.7)
Dari semua penjelasan di atas kita merangkum dua persamaan utama
beriut ini
)1ln(1
1ln4
0
2/2
3
2
zV
dpzephkT
P mp
(6.5)
z
z
Vdp
ezp
hV
N
v mp
1
1
1
141
0
2/1
2
3 2
(6.7)
Persamaan (6.5) dan (6.7) merupakan persamaan dasar untuk assembli boson dalam
ensembel grand kanonik. Sama dengan sebelumnya, agar lebih sederhana, kita
definisikan panjang gelombang termal partikel = (22/mkT)
1/2. Dari persamaan
(6.5) kita definsikan p2/2m = x
2. Dengan demikian, p
2 = 2mx
2/, p = (2m/)
1/2 x,
dan dp = (2m/)1/2
dx. Substitusi ke dalam persamaan (6.5) dipeoleh
- 190 -
)1ln(12
1ln24
0
2
3
2
zV
dxm
zemx
hkT
P x
)1ln(1
1ln24
0
2
2/3
3
2
zV
dxzexm
h
x
)1ln(1
1ln2
4
0
2
2/3
2
2
zV
dxzexmkT x
)1ln(1
1ln41
0
2
3
2
zV
dxzex x
(6.8)
Kita definisikan fungsi boson-5/2 berikut ini
0
2
2/5
2
1ln4
)( dxzexzg x
(6.9)
Dengan menggunakan persamaan (6.9) maka persamaan (6.5) dapat ditulis menjadi
)1ln(1
)(1
2/53z
Vzg
kT
P
(6.10)
Dengan cara serupa, persamaan (6.7) dapat ditulis
z
z
Vdx
m
ez
mx
hv x
1
12
1
1241
01
2
3 2
z
z
Vdx
ezx
mkTx
1
1
1
1
2
4
01
2
3 2
- 191 -
z
z
Vdx
ezx
x
1
1
1
141
01
2
3 2
(6.11)
Kemudian kita definisikan fungsi boson-3/2 sebagai berikut
01
2
2/31
4)( 2 dx
ez
xzg
x (6.12)
Substitusi persamaan (6.12) ke dalam persamaan (6.11) kita peroleh
z
z
Vzg
v
1
1)(
112/33
(6.13)
Perhatikan persamaan (6.9). Jika kita lakukan diferensial terhapat z maka
kita peroleh
0
2
2/5
2
1ln4
)( dxzez
xzgz
x
0
2
0
22
2
2
14
1
14dx
zexdxe
zex
x
x
x
01
2
1
1412 dx
ezx
z x
Dengan memperhatikan persamaan (6.12) maka tampak jelas bahwa
)()( 2/32/5 zgzgz
z
(6.14)
Baik g3/2(z) maupun g5/2(z) sulit diselesaikan secara analitik untuk semua z.
Namun kita dapat menguraikan kedua fungsi tersebut dalam bentuk deret. Mari kita
- 192 -
perhatikan uraian berikut ini 1/(1-y) = 1 + y + y2 + y
3 + …. Dengan demikian
dyyyyy
dyy ...)1(
1)1ln( 32
1
32
...32
yyyy
Kita substitusi 2xzey sehingga
11
22
2
1ln
xxx ezze
ze (6.15)
Dengan demikian kita dapat menguraikan persamaan (6.9) sebagai berikut
0
2
1
2/5
24)( dxex
zzg x
(6.16)
Dengan menggunakan hasil yang diperoleh pada bab sebelumnya (persamaan
(5.17)) maka persamaan (6.16) menjadi
1
2/52/5 )(
zzg (6.17)
Fungsi g3/2(z) diperoleh dengan mendiferensialkan g5/2(z), yaitu
1
2/5
1
2/52/3 )()(
zzzg
dz
dzzg
1
2/3
z (6.18)
- 193 -
Kita akan menggunakan persamaan (6.10), (6.11), (6.17), dan (6.18) untuk
menbahas sifat-sifat boson. Kita akan bahas tiga topik khusus secara detail yaitu
kondensasi bose-einstein, tekanan radiasi, dan sifat termal kristal.
6.2 Kondensasi Bose-Einstein
Mari kita perhatikan ungkapan deret untuk g3/2(z). Jika kita diferensial
terhadap z diperoleh
1
2/1
1
12/3
1
12/32/3 )(
zzz
dz
dzg
dz
d (6.19)
Tampak jelas dari persamaan (6.19) bahwa turunan g3/2(z) selalu positif sehingga
g3/2(z) adalah fungsi monoton naik.
Mudah dibuktikan bahwa ruas kiri persamaan (6.13) memiliki nilai
berhingga. Oleh karena itu ruas kanan juga harus memliki nilai berhingga. Ini
berimplikasi bahwa g3/2(z) juga harus berhingga. Dengan melihat bentuk fungsi
g3/2(z) seperti diungkapkan dalam deret (6.18) maka g3/2(z) hanya berhingga untuk
10 z .
Karena g3/2(z) adalah fungsi monoton naik maka g3/2(z) g3/2(1) untuk 0
z 1. Dari deret (6.18) kita dapatkan
2
31)1(
12/32/3
g (6.20)
Di mana (x) adalah fungsi zeta Riemann. Nilai fungsi zetta Riemann untuk
beberapa bilangan spesifik sudah ditabulasi. Khusus untuk x = 3/2 nilainya adalah
2,612… Jadi g3/2(1) = 2,612 dan untuk semua 10 z berlaku g3/2(z) 2,612…
Misalkan N0 adalah jumlah boson yang menempati keadaan dasar maka
jelas dari persamaan (6.7)
- 194 -
z
zN
10
(6.21)
Persamaan (6.13) selanjutnya dapat ditulis
V
Nzg
v
02/33
)(11
atau
)(2/3
3
0
3
zgv
NV
(6.22)
Karena g3/2(z) g3/2(1) maka
)1(2/3
3
0
3
gv
NV
(6.23)
Mengingat N0 menyatakan jumlah boson yang berada di keadaan dasar
maka di keadaan dasar (momentum = 0) dijumpai boson jika terpenuhi 3N0/V > 0,
atau
)1(2/3
3
gv
Kondisi ketika boson mulai ada di keadaan dasar kita sebut sebagai keadaan kritis.
Kondisi kritis ini mulai terjadi ketika = c dan ditandai oleh hubungan
)1(2/3
3
gv
c
(6.24)
Dengan memasukkan bentuk explisit dari kita dapat menulis
- 195 -
)1(21
2/3
2/32
gmkTv c
di mana Tc disebut suhu kritis atau suhu transisi di mana mulai terjadi penempatan
keadaan dengan momentum nol oleh boson. Dari persaman di atas maka ungkapan
suhu transisi adalah
3/2
2/3
3/2
2
)1(
2
gmkvTc
(6.25)
Suhu Tc disebut suhu kondensasi Bose-Einstein. Tampak jelas bahwa suhu transisi
bergantung pada massa partikel boson dan volum rata-rata yang ditempati satu
partikel boson. Makin besar massa partikel boson atau makin besar volume rata-rata
yang ditempati partikel boson maka suhu transisi makin kecil. Dengan memasukkan
sejumlah nilai massa maupun volum rata-rata yang ditempati partikel boson dapat
dihitung suhu transisi memiliki nilai di bawah ratusan nano kelvin.
Kondensasi Bose-Einstein sudah diamati dalam percobaan pada suhu
sangat rendah. Kumpulan atom didinginkan dan ditembakkan dengan cahaya
koheren. Cahaya transmisi dideteksi. Boson yang berada pada keadaan eksitasi dan
keadaan konsensasi meneruskan cahaya dengan sifat yang berbeda. Dengan
mengamati perubahan sifat cahaya transmisi ketika melewati kumpulan boson yang
didinginkan maka dapat diamati terjadinya perubahan populasi boson yang berada
pada keadaan dasar. Gambar 6.1 adalah skema percobaan pengamatan kondensasi
bose-einstein (atas) dan perubahan polupasi boson ketika suhu diturunkan (bawah).
Warna biru menyatakan boson yang berada pada keadaan dasar (boson yang
mengalami kondensasi).
- 196 -
Gambar 6.1 (atas) skema percobaan deteksi peristiwa
kondensasi Bose-Einstein. Kumpulan atom yang didingin pada
seuhu mendekati 0 K disinari dengan cahaya koheren. Cahaya
yang melewati kum pulan atom tersebut dideteksi dengan
detektor yang sangat sensitif. Pola intensitas cahaya yang lolos
diamati. Ketika suhu mendekati 0 K terjadi pertumbuhan pola
yang berbeda dan makin besar ketika suhu makin diturunkan.
Bagian yanbg tumbuh tersebut dihasilkan oleh boson yang
mengalami konsensasi. (bawah) Contoh pertumbuhan boson
yang mengalami konsensasi. Pada suhu 200 nK mulai ada boson
yang mengalami konsensasi dan makin banyak (intensitas makin
tinggi) ketika suhu masin menuju 0 K (physicsworld.com,
hyperphysics.phy-astr.gsu.edu).
- 197 -
6.3 Tekanan Radiasi
Matahari atau bintang adalah massa yang berbentuk gas yang memiliki
suhu sangat tinggi. Massa matahari dan bintang-bintang sangat besar. Matahari kita
memiliki massa 2 1030
kg. Bumi sendiri memiliki massa 5,96 1024
kg. Dengan
demikian massa matahari sekitar 336.000 kali massa bumi. Dengan massa yang
sangat besar tersebut maka matahari melakukan gaya gravitasi yang sangat tinggi
pada material penyusunnya. Dengan wujud yang berbentuk gas maka harusnya
material penyusun matahari tertarik ke pusat matahari atau runtuh ke pusat matahari.
Tetapi mengapa hal tersebut tidak terjadi? Mengapa material penyusun matahari
tetap stabil dan tidak tumpah ke matarahi?
Material penyusun matahari tidak tumpah ke pusat karena dari dalam
matahari dihasilkan tekanan. Tekanan tersebut dihasilkan oleh radiasi yang
drpoduksi dari dalam matahari. Dengan suhu yang sangat tinggi matahari
memancarkan radiasi ke segala arah dalam jumlah yang sangat besar. Radiasi
tersebut membawa momentum sehingga dapat menghasilkan gaya. Gaya tersebutlah
yang mengimbangi gaya gravitasi sehingga bentuk matahari atau bintang-bintang
tetap stabil (Gambar 6.2).
Radiasi matahari tetap dihasilkan selama di pusat matahari masih
berlangsung reaksi fusi nuklir (pegambungan inti hidrogen menjadi inti helium).
Masalah akan muncul ketika hidrogen sebagai bahan bakar fusi nuklir habis. Reaksi
nuklir akan berhenti sehingga matahari pun berhenti memproduksi radiasi.
Akibatnya, tidak ada lagi gaya radiasi yang mengimbangi gaya gravitasi. Material
penyusun matahari atau bintang akan runtuh sehingga ukuran bintang mengecil.
- 198 -
Gaya oleh tekanan radiasi
Gaya oleh gravitasi
Gambar 6.2. Ukuran bintang ditentukan oleh kompetisi antara
gaya akibat tekanan radiasi yang berasal dari dalam ke arah luar
dan gaya akibat gravitasi pada material bintang yang berarah dari
luar ke dalam (www4.nau.edu)
Pada bagian ini kita akan menghitung tekanan yang dihasilkan oleh radiasi.
Kita mulai dari fungsi grand partisi untuk boson pada persamaan (6.1). Ketika kita
menurunkan fungsi distribusi untuk boson (lihat materi Fisika Statistik), parameter
adalah pengali Lagrange yang diperkenalkan untuk menjamin kekonstanan
jumlah sistem (partikel). Namun, untuk foton maupun fonon, jumlah partikel dapat
diciptakan dan dimusnahkan (tidak konstan) sehingga pengali Lagrange untuk
konstrain jumlah partikel tidak diperlukan. Ini setara dengan nilai = 0 atau z = 1.
Jadi, fungsi grand partisi untuk foton atau fonon memenuhi
- 199 -
j
Gje
Z
1
1
atau
j
GjeZ
1ln (6.26)
Lebih lanjut, karena foton memiliki dua arah polarisasi maka penjumlahan terhadap
indeks j meliputi penjumlahan terhadap polarisasi dan penjumlahan terhadap tingkat
energi. Penjumlahan terhadap polarisasi dapat dilakukan langsung dan
menghasilkan dua kali penjumlahan terhadap energi saja. Jadi kita dapat menulis
persamaan (6.26) menjadi
k
GkeZ
1ln2ln (6.27)
Sudah kita turunkan di bab sebelumnya bahwa ada hubungan antara
perkalian tekanan dan volum dengan fungsi grand partisi, yaitu PV = kT ln ZG.
Tekanan yang dihasilkan memenuhi persamaan
,
)(
TV
pVp
GG ZV
kTZkTV
lnln
(6.28)
Misalkan assembli foton berada dalam kotak dengan dimensi L. Volume
assembli adalah V = L3 atau panjang sisi kotak adalah L = V
-1/3. Bilangan gelombang
berdiri yang dapat terjadi dalam kotak memenuhi
- 200 -
3/122 nVL
nk
(6.29)
Dengan demikian, energi foton di dalam kotak dapat ditulis
3/12 cnVckk (6.30)
Substitusi persamaan (6.30) ke dalam persamaan (6.28) dan (6.27) diperoleh
k
cnVeV
kTp3/121ln2 (6.31)
Untuk menyelesaikan persamaan (6.31), mari kita gunakan hubungan
berikut ini
1
1)1ln(
m
myy em
e . Jika disubstitusi ke dalam persamaan (6.31) kita
peroleh
k m
cnVmemV
kTp1
)2( 3/112
3/4
1
)2( 23
112
3/1
cnVmem
kTk m
cnVm
Vmem
kT k
k m
m k /3
112
1
k m
m
k
k m
m
kkk e
V
kTe
V
kT
11 3
2
3
2
k
kk
k
e
e
V
kT
13
2 (6.32)
- 201 -
Terlebih dahulu mari kita hitung penjumlahan berikut ini
k
kk
k
e
e
1
Kita ganti penjumlahan dengan integral yang diawali dengan melakukan
tnasformasi sebagai berikut
hk
)/()/(2
14
)2(
1 2
2
2
3cdcdkk
k
dc
2
322
1 (6.33)
Dengan transformasi tersebut maka kita dapatkan
0
2
32 1)(
2
1
1
e
ed
ce
e
k
kk
k
0 0
3
32
0
3
32 212 m
meedce
ed
c
0 0
)1(3
322 m
medc
0 1
3
322 m
medc
1
4321 0
3
32 )(
16
22 mm
m
mced
c
90
6
2
16
2
4
44321
44432
cmc m
- 202 -
3
45
)(
)(
15
4
hc
kT (6.34)
Akhirnya dengan substitusi persamaan (6.34) ke dalam persamaan (6.32) kita
dapatkan
3
45
3
45
)(
)(
45
8
)(
)(
15
4
3
2
hcV
kT
hc
kT
V
kTp
(6.35)
Persamaan (6.35) adalah tekanan radiasi yang dihasilkan oleh benda yang memiliki
suhu T.
Untuk foton dengan dua arah polarisasi, energi total foton memenuhi
persamaan
k
kk
k
e
eU
1
2 (6.36)
Kemudian mengacu pada persamaan (6.32) kita dapatkan
3
45
3
45
)(
)(
15
4
)(
)(
15
42
hc
kT
hc
kTU
(6.37)
Dengan membandingkan persamaan (6.35) dan (6.37) kita dapatkan
V
UP
3
1 (6.38)
Dari sejumlah penjelasan di atas kita sudah membuktikan bahwa radiasi
elektromagnetik menghasilkan tekanan. Tekaan yang dihasilkan merupakan fungsi
pangkat 4 dari suhu. Dengan suhu ratusan juta kelvin maka dapat diprediksi bahwa
tekanan radiadsi di bintang sangat besar. Tekanan itulah yang melawan gaya
- 203 -
gravitasi sehingga bintang tidak runtuh. Persamaan (6.38) menunjukkan bahwa
tekanan radiasi berbanding langsung dengan kerapatan energi yang dimiliki benda,
yaitu P = u/3 dengan u = U/V adalah energi per satuan volum.
6.4 Sifat Termal Fonon
Sama dengan foton, fonon mengalami peristiwa produksi dan musnah
secara berulang-ulang di dalam assembli kristal. Dengan demikian jumlah fonon
dalam assembli tidak konstan. Tidak ada potensial kimia yang berkaitan dengan
produksi atau pemusnahan fonon sehingga = 0 atau z = 1. Fungsi grand partisi
fonon menjadi persis sama dengan persamaan (6.26).
Penjumlahan terhadap j meliputi penjumlahan terhadap tingkat energi dan
polarisasi. Fonon memiliki tiga arah polarisasi (vibrasi dalam arah sumbu x, sumbu
y, dan sumbu z) (Gambar 6.3). Misalkan kristal bersifat isotropik maka tiga arah
polarisasi bersifat identik dan kita dapat langsung mengganti kj
3
dengan k adalah indeks untuk tingkat energi saja. Dengan demikian untuk fonon
persamaan (6.26) menjadi
k
GkeZ
1ln3ln (6.39)
Fonon dapat dipandang sebagai gelombang, serupa dengan gelombang
elektromagnetik. Hubungan antara bilangan gelombang dan frekuensi yang berlaku
pada gelombang elektromagnetik juga berlaku pada fonon. Dengan demikian,
energi fonon dapat ditulis dalam bentuk k = (k) dan hubungan antara frekusnasi
dan panjang gelombang memenuhi
kvg (6.40)
dengan vg adalah kecepatan grup.
- 204 -
x
y
z
Gambar 6.3. Secara umum atom-atom dalam kristal memiliki
tiga arah vibrasi. (memiliki tiga polarisasi) (www1.aps.anl.gov)
Seperti yang telah kita lakukan pada gelombang elektromagnetik, kita
dapat mengganti penjumlahan pada persamaan dengan integral sebagai berikut
3
2
)2(
4(...)(...)
dkk
k
d
v
vdv
g
gg 2
333
2
(...))2(
4
)2(
)/()/(4(...)
Dengan transformasi tersebut maka persamaan (6.39) menjadi
- 205 -
dev
Zg
G
1ln)2(
12ln 2
33 (6.41)
Berbeda dengan gelombang elektromagnetik yang dapat memiliki
frekuensi dari 0 sampai tak berhingga, menurut Debye fonon hanya diijinkan
memiliki frekuensi dari nol hingga frekuensi maksimum tertentu. Frekuensi
maksimum tersebut bergantung pada jenis material. Misalkan frekuensi maksimum
kita tandai dengan m maka bentuk lengkap dari persamaan (6.41) adalah
m
dev
Zg
G
0
2
321ln
2
3ln (6.42)
Energi assembli memenuhi persamaan
m
dev
ZUg
G
0
3
32 12
3ln
(6.43)
Untuk menyelesaikan persamaan (6.43) kita misalkan = x/(-). Dengan
demikian d = dx/(-), dan m = xm/(-). Substitusi ke dalam persamaan (6.43)
kita peroleh
mm x
x
g
x
x
g
dxe
x
v
xd
e
x
vU
0
3
432
0
3
32 1)(2
3
)(1
)]/([
2
3
mx
x
g
dxe
x
v
kT
0
3
32
4
1)(2
)(3
(6.44)
Untuk menyelesaikan persamaan (6.44) mari terlebih daulu kita
definisikan fungsi berikut ini
y
xdx
e
xy
0
3
1)( (6.45)
- 206 -
Dengan fungsi tersebut maka persamaan (6.44) dapat ditulis
)()(2
)(332
4
m
g
xv
kTU
(6.46)
Fungsi (y) sulit untuk dihitung langsung. Yang dapat kita lakukan adalah
mencari aprokasi pada kondisi ekstrim di mana y << 1 atau y >> 1. Jika y << 1 maka
semua x dalam integral (6.45) memenuhi x <<1. Dengan demikian kita dapat
melakukan aproksimasi berikut ini
)2/1(2/12/11 22 xxxxxxex
Dan fungsi pada persamaan (6.45) terapkrokasimasi menjadi
yyy
dxxxdxxxdxxx
xy
0
2
0
12
0
3
)2/1()2/1()2/1(
)(
43
0
32
8
1
3
1)2/( yydxxx
y
(6.47)
Sebaliknya, jika y >> 1, kita lakukan proses perhitungan berikut ini. Kita
mulai dengan melakukan penguraian deret berikut ini.
...11
)1(
1
1
1 2
xx
xxxxee
eeee
1
32 ...n
nxxxx eeee
Dengan uraian deret ini maka fungsi (y) menjadi
- 207 -
1 0
3
0 1
3)(n
y
nx
y
n
nx dxexdxexy
Mari kita selesaikan dulu integral berikut ini
y
nx
n
y
nx dxedn
ddxex
0
3
3
1 0
3
Untuk y yang sangat besar kita bisa ambil y sehingga
43
3
0
3
3
1 0
3 61
nndn
ddxe
dn
ddxex nx
n
y
nx
Dengan demikian aproksimasi (y) pada y yang sangat besar adalah
15906
16
6)(
44
14
14
nn nny (6.48)
Dari persamaan (6.46), (6.47), dan (6.48) kita dapatkan ungkapan untuk
energi dalam pada dua kondisi ektrem sebagai berikut
115
18
1
3
1
)(2
)(34
43
32
4
m
mmm
g x
xxx
v
kTU
(6.49)
Karena kT
x mmm
maka kita dapat menulis ulang persamaan (6.49)
sebagai
- 208 -
015
8
1
3
1
)(2
)(34
43
32
4
T
TkTkT
v
kTU
mm
g
015
8
1
3
1
)(2
3
44
43
32
4
TT
Tk
Tk
v
kmm
g
(6.50)
Dari ungkapan energi dapat kita tentukan kapasitas kalor sebagai berikut
dT
dUCv
015
4
3
1
)(2
3
34
3
32
4
TT
Tk
v
km
g
(6.51)
Kita definisikan suhu Debye sebagai berikut kT mD / . Dai definisii
tersebut maka kapasitas kalor memenuhi persamaan
015
43
1
)(2
3
34
3
32
4
TT
TT
v
kC
D
g
v (6.52)
- 209 -
TD = 215 K
Gambar 6.4. Kapasitas kalor perak. Simbol adalah eksperimen
dan garis adalah teori Debye dengan menggunakan suhu Debye
215 K (hyperphysics.phy-astr.gsu.edu)
Tampak dari persamaan (6.52) bahwa pada suhu sangat tinggi kapasitas
kalor kristal tidak bergantung pada suhu. Inis esuai dengan hukum Dulong-Petit
yang diturunkan dari fisika klasik (persamaan ekipartisi energi). Sebaliknya, pada
suhu mendekati 0 K kapasitas kalor berubah sesuai dengan pangkat tiga suhu.
Gambar 6.4 adalah contoh hasil pengukuran kapasitas perak dan kurva
Debye yang dibuat dengan menggunakan TD = 215 K. Tampak jelas kesesuaian
yang luar biasa antara hjasil eksperimen dengan teori Debye.
6.5 Radiasi Benda Hitam untuk Foton dan Neutrino
Sekarang kita coba membandingkan sifat radiasi benda hitam foton dan
neutron. Topik ini dibahas oleh Walsh dan Gallo (P.J Walsh dan F.F. Gallo,
American Journal of Physics 48, 599 (1980)). Asumsi adalah neutrino adalah partile
- 210 -
yang dipancarkan bintang-bintang dan bergerak dengan laju sama dengan laju
cahaya. Neutrino tidak (atau hampir tidak) memiliki massa sehingga sifat radiasi
neutrino mirip dengan sifat radiasi gelombang elektromagnetik. Perbedaannya
adalah neutrino berinteraksi sangat lemag dengan material sedangkan gelombang
elektromagnetik berinteraksi kuat dengan material. Perbedaan lain adalah neutrino
merupakan fermion dengan spin /2 sedangkan foton adalah boson dengan spin .
Selama kita membahas radiasi neutriino saat meninggalkan permukaan bintang dan
menuju ruang dalam alam semesta (tidak ada materi di situ) maka sifat radiasi
neutroni hampir mendekati sifat radiasi foton. Energi foton memenuhi persamaan
() = dan energi neutrino juga memenuhi hubungan yang sama.
Kerapatan keadaan gelombang per satuan volum per satuan frekuensi
memenuhi persamaan 32 /4)( cN . Karena foton memiliki dua arah polariasi
(degenerasi 2) maka keparapan keadaan foton per satuan volum per satuan frekuensi
adalah
3
242)(
cN p
(6.53)
Neutrino memiliki dua spin (/2) sehingga memberikan dua degerasi dan neutrino
muncul dalam s tipe. Dengan demikian total degenerasi neutrino adalah 2s. Oleh
karena itu kerapatan keadaan neutroni per satuan volum per satuan frekuensi adalah
3
242)(
csNs
(6.54)
Jumlah rata-rata foton yang memiliki frekuensi memenuhi statistik
bose-einstein yaitu
1
1)(
/
kTfe
n
(6.55)
Jumlah rata-rata neutrino yang memiliki frekuensi memenuhi statistik fermi-dirac
- 211 -
yaitu
1
1)(
/
kTne
n
(6.56)
Dengan demikian, kerapatan energi foton dan neutrino menjadi
1
8)()()(
/3
2
kTfffec
nN
(6.57)
1
8)()()(
/3
2
kTnnnec
snN
(6.58)
Berdasarkan persamaan (6.57) dan (6.58) kita dapat mencari pendekatan
pada suhu sangat rendah dan suhu sangat tinggi. Pada suhu sangat rendah terpenuhi
>> kT sehingga exp(/kT) 1 exp(/kT). Akibatnya kerapatan energi foton
dan neutrino menjadi
)/exp(8
)(3
3
kTc
f
(6.59)
)/exp(8
)(3
3
kTc
sn
(6.70)
Pada suhu sangat tinggi sehingga terpenuhi /kT << 1 maka exp(/kT) -1 {1 –
(/kT) ]- 1 = /kT dan exp(/kT) +1 {1 + (/kT) ]+ 1 2. Dengan demikian,
kerapatan foton dan neutrino menjadi
3
28)(
c
kTf
(6.71)
- 212 -
3
24)(
c
sn
(6.72)
Tampak bahwa kerapatan energi foton meningkat dengan bertamhanya suhu
sedangkan kerapatan energi neutrino konstan.
Daya radiasi foton atau neutrino yang dipancarkan bintang pada frekuensi
memenuhi persamaan
)(4
)( ff
cR
1
)/(2
1
2/
3
22
33
/2
2
kTkT e
kT
c
Tk
ec
(6.73)
dan
)(4
)( nn
cR
1
)/(2
1
2/
3
22
33
/2
2
kTkT e
kT
c
Tsk
ec
s
(6.74)
Kita substitusi variabel baru x = /kT sehingga .
1
2)(
3
22
33
xfe
x
c
TkxR
(6.75)
1
2)(
3
22
33
xne
x
c
TskxR
(6.76)
Radiasi yang dipancarkan dengan energi maksimum dapat diperoleh
dengan mendifensial persamaan di atas. Hasilnya adalah
- 213 -
01
2)( 3
22
33
x
f
e
x
dx
d
c
Tk
dx
xdR
03)3( xex
Solusi untuk x adalah xm = m/kT = hc/mkT = 2,8225 atau
k
hcTm
8225,2 (6.77)
Dengan cara yang sama maka untuk neutrino
01
2)( 3
22
33
x
n
e
x
dx
d
c
Tsk
dx
xdR
03)3( xex
Solusi untuk x adalah xm = m/kT = hc/mkT = 3,1325 atau
k
hcTm
1325,3 (6.78)
Persamaan (6.77) dan (6.78) adalah persamaan pergheseran Wien untuk
foton dan neutrino. Persamaan (6.77) sudah sering kita pelajari karena meruypakan
persamaan yang ditutunkan Wien sendiri satu abad yang lalu. Persamaan (6.78)
mungkin baru pertama kita lihat.
Latihan
1) Jumlah rata-rata sistem yang menempati tingkat energi ke-j dalam assembli
boson memenuhi
- 214 -
1
1/)(
kTjje
n
Dengan demikian jumlah total sistem boson diberikan oleh persamaan
jkT
j
jje
nN1
1/)(
a) Dari persamaan di atas buktikan bahwa potensial kimia memenuhi 0.
Petunjuk: Jika tidak lebih kecil dari 0 maka akan ada energi yang lebih kecil
daripada . Dengan demikian, ada tingkat energi ke-i sedemikian sehingga j <
pada semua j < i. Buktikan bahwa kondisi ini tidak memiliki makna fisis.
b) Pada suhu T 0 hampir semua boson berada pada tingkat energi paling rendah
(0). Buktikan bahwa pada suhu T 0, potensial kimia memenuhi
NkT
T
11ln
0lim0
c) Dengan mendefinisikan = j - 0 buktikan bahwa N dapat ditulis sebagai
1 0
//)( 0
s
kTskTseeN
d) Kerapatan keadaan partikel tidak berinteraksi dalam kotak 3 dimensi memenuhi
persaman
dh
mVd 2/1
3
2/3)2(2)(
Jika sumasi di atas ditransformasi ke dalam bentuk integral maka kita dapat menulis
- 215 -
1 0 0
/2/1/)(
3
2/3
0)2(2
s
kTskTsdee
h
mVN
Buktikan bahwa integral di atas menghasilkan
]/)[()2(
03
2/3
kTFh
mkTVN
dengan F[x] adalah fungsi London yang diberikan oleh
1
2/3][
s
sx
s
exF
e) Salah satu sifat fungsi London adalah F[0] = 2,612. Dari sifat ini buktikan bahwa
pada suhu T0 yang sangat rendah terpenuhi hubungan
3
2/3
0)2(612,2
h
mkTVN
- 216 -
Bab 7
EKSPANSI KLUSTER
Pada bab ini kita akan mempelajari salah satu metode ekspansi dalam
mekanika statistik. Metode ekspansi yang sangat populer adalah ekspansi kluster
yang diperkenalkan oleh Meyer. Topik ini cukup sulit dipahami karena sangat
abstrak. Kita akan membahas secara lebih rinci sehingga dapat dipahami lebih
mudah daripada pembahasan yang dikemukakan di sejumlah buku yang telah ada.
7.1 Pendahuluan Metode ekspansi kluster digunakan untuk mencari persamaan keadaan
assembli yang mengandung partikel-partikel yang saling berinteraksi satu dengan
lainnya. Dengan adanya interaksi ini maka energi total tidak hanya berupa energi
kinetik tetapi juga mengandung komponen energi potensial yang merupakan fungsi
jarak antar partikel. Energi interaksi antar partikel ke-i dan ke-j kita nyatakan
sebahai u(rij) di mana jiij rrr
. Energi total yang dimiliki assembli menjadi
N
i
N
ij
ij
N
i
i rum
pE
11
2
)(2
(7.1)
Pada penjumlahan dobel di atas kita batasi i>j untuk menghindari perhitungan dobel
mengingat u(rij) = u(rji). Kita juga meniadakan suku dengan i = j karena tidak ada
interaksi partikel dengan dirinya sendiri.
Kita juka akan membatasi pada interaksi yang tidak terlalu besar. Karena
umumnya metode ekspansi dapat diterapkan jika ekspansi dilakukan terhadap suku
yang ordenya kecil (lebih kecil dari satu) untuk mencapai konvergensi. Interkasi
yang tidak terlalu besar sering ditemui pada assembli gas. Meskipun ada interaksi
antar pertikel gas namun atom atau molekul gas masih dapat bergerak dengan
- 217 -
bebas. Ini menunjukkan bahwa tarikan atau tolakan antara atom atau molekul
tersebut sangat kecil.
Dengan menggunakan energi interkasi pada persamaan (7.1) maka fungsi
partisi kanonik untuk partikel yang bersigat semiklasik dapat ditulis
i ij
ij
i
i rump
NNNN epdpdpdrdrdrdhN
Z)(2/
3
2
3
1
33
2
3
1
3
3
2
.........!
1
(7.2)
Komponen energi kinetik dan energi potensial masing-masing merupakan variabel
bebas (tidak terkait satu sama lainnya) sehingga integral dapat dilakukan masing-
masing. Jadi kita dapat menulis
i ij
ij
i
iru
N
mp
NNN erdrdrdepdpdpdhN
Z)(
3
2
3
1
32/
3
2
3
1
3
3............
!
12
(7.3)
Mari kita lakukan integral terhadap momentum dulu. Antara momentum
satu dengan lainnya tidak tekait satu dengan lainnya. Dengan demikian variabel
momentum untuk masing-masing partikel merupakan variabel bebas. Oleh karena
itu integral tersebut dapat dipisah sebagai berikut
N
mpmpmpmp
N pdepdepdeepdpdpd Ni
i 32/
2
32/
1
32/2/
3
2
3
1
322
221
2
.........
(7.4)
Kita gunakan hubungan yang sudah sangat dikenal berikut ini
2/3
2/3
32/2
22
mkTm
pde i
mpi
(7.5)
Dengan memasukkan persamaan (7.5) ke dalam (7.4) kita mendapatkan
2/32/32/32/
3
2
3
1
3 2...22......
2
mkTmkTmkTepdpdpd i
i mp
N
2/32
NmkT (7.6)
\Oleh karena itu fungsi partisi kanonik menjadi
- 218 -
i ij
ijru
N
N
NN erdrdrdmkThN
Z)(
3
2
3
1
32/3
3......2
!
1
i ij
ijru
N
N
erdrdrdh
mkT
N
)(3
2
3
1
3
2/3
2......
2
!
1
(7.6)
Selanjutya dengan medefinisikan mkTh 2/2 kita dapat menulis persamaan
(7.6) menjadi
i ij
ijru
NNN erdrdrdN
Z)(
3
2
3
1
3
3......
!
1
(7.7)
Setelah menentukan fungsi partisi kanonik maka kita dapat menentukan
fungsi partisi grand kanonik menurut hubungan berikut ini
0N
N
N
G ZzZ (7.8)
dengan kTez /
7.2 Penurunan Fungsi Partisi Mari terlebih dahulu kita tentukan fungsi partisi kanonik lebih rinci dengan
metode ekspansi kluster. Kita kembali menulis sebagai berikut
i ij
ruru
iji ij
ij
ee)(
)(
(7.9)
Untuk mempermudah pembahasan kita kembali definisikan fungsi f(rij) sebagai
berikut
)(1)(
ij
rurfe ij
(7.10)
Dengan menggunakan persamaan (7.9) dan (7.10) kita mendapatkan hubungan
berikut ini
i ij
ij
i ij
rurfe ij )(1
)(
- 219 -
Akibatnya, bagian integral pada persamaan (7.10) menjadi
i ij
ijN
ru
N rfrdrderdrd i ij
ij
)(1............ 3
1
3)(
3
1
3
...........1...... 13121312
3
1
3
fffffffrdrd N
(7.11)
dengan , , …, adalah pasangan dua angka yang berbeda. Misal = 12, = 24,
dan seterusnya.
Tugas kita selanjutnya adalah menyelesaikan integral pada tiap suku
persamaan (7.11). Suku pertama dalam tanda kurung hanya angka satu sehingga
integralnya dapat dilakukan dengan mudah dan hasilnya adalah VN. Suku-suku
lainnya mengandung fij yang berupa satu unit atau perkalian sejumlah fij sehingga
integral yang dilakukan lebih sulit.
Beberapa integral yang dapat dilakukan dengan mudah adalah
N
NN Vrdrdrdrdrd 3
2
3
1
33
1
3 ......... (7.12)
NN rdrdrdfrdrdrdrdrdf 3
4
3
3
3
122
3
1
33
2
3
1
3
12 .........
122
3
1
32 frdrdV N
(7.13)
Kita kembali ingat bahwa 121212 )( rrfrf
. Untuk menyelesaikan integral
di atas masri kita definisikan variabel baru berikut ini
12 rrr
2
21 rrR
Dengan definisi tersebut maka f(r12) f(r), 2/1 rRr
dan 2/2 rRr
.
Transformasi elemen volume ke dalam variabel baru memenuhi persamaan
rdRdJrdrd 33
2
3
1
3
Dengan J adalah Jacobian yang memenuhi
- 220 -
12
1
2
1
2/11
2/11
//
//
22
11
rrRr
rrRrJ
Jadi rdRdrdrd 33
2
3
1
3
. Persamaan (7.13) selanjutnya dapat ditulis
)(...... 3323
2
3
1
3
12 rfrdRdVrdrdrdf N
N
)()( 31332 rfrdVrfrdRdV NN
Tampak bahwa hasil integral tidak bergantung pada indeks. Jadi, berapa pun indeks
yang muncul pada fungsi f maka nilai integral selalu sama. Jadi, secara umum
)(...... 313
2
3
1
3 rfrdVrdrdrdf N
Nij
(7.14)
Yang sulit kita hitung adalah integral yang memuat perkalian fij yang saling terkopel
(tidak dapat diuraikan atas integral terpisah).
Perhatikan kembali uraian suku-suku dalam persamaan (7.11). Angka-
angka yang muncul pada indeks maksimal berjumlah N angka. Sebagian suku hanya
mengandung angka yang jumlahnya lebih sedikit daripada N. Sebagai contoh,jika
dalam suku tersebut hanya ada f12f15 maka jumlah angka yang muncul hanya 3
angka.Jika dalam suku tersebut hanya ada f12f34f56f59 maka jumlah angka yang
muncul hanya 7 angka.
Sebagai bahan pembahasan mari kita lihat suku yang mengandung
perkalian berikut ini f12f34f35f56f78f79. Koordinat yang tidak saling bebas dalam suku
tersebut adalah 1r
dan 2r
(muncul dalam f(r12)), 3r
, 4r
, 5r
dan 6r
(muncul dalam
f(r34)f(r35)f(r56)), dan 7r
, 8r
dan 9r
(muncul dalam f(r78)f(r79)). Jadi, terdapat 9
koodinat posisi yang tidak saling bebas. Nilai integralnya dapat ditulis menjadi
Nrdrdrdffffff 3
2
3
1
3
797856353412 ......
9
3
8
3
7
3
6
3
5
3
4
3
3
3
2
3
1
3
797856353412
9 ... rdrdrdrdrdrdrdrdrdffffffV N
9
3
8
3
7
3
79786
3
5
3
4
3
3
3
5635342
3
1
3
12
9 ...... rdrdrdffrdrdrdrdfffrdrdfV N
- 221 -
Grafik Sekarang mari kita mendefinisikan besaran yang dinamakan grafik. Grafik
adalah representasi lain dari bentuk integral. Gambar 7.1 adalah contoh integral
dan bentuk grafiknya. Grafik adalah kumpulan lingkaran-lingkaran yang
dihubungkan oleh garis-garis. Tiap lingkaran diberi nomor dengan angka antara 1
sampai N. Tampak dalam Gambar 7.1 bahwa jika dalam integral terdapat fij, maka
dalam grafik lingkaran yang diberi angka i dan angka j terhubung dengan garis.
Selanjutnya, jika suku-suku dalam persamaan (7.11) ada indeks yang tidak
muncul maka grafik definisikan sebagai sebuah lingkaran yang memiliki angka
yang tidak muncul tersebut. Contohnya dapat dilihat pada Gambar 7.2. Pada
persamaan yang pertama dan kedua dalam Gambar 7.2 tidak ada f yang muncul
sehingga grafik hanya berupa satu lingkaran. Lingkaran tersebut diberi angka sama
dengan indeks pada rd2 . Pada persamaan ketiga hanya f12 yang muncul sedangkan
angka 3 tidak muncul. Maka yang diperoleh adalah perkalian grafik yang berupa
dua lingkaran terhubung dan satu grafik yang hanya berupa sebuah lingkaran.
Gambar 7.1 Contoh integral dan representasinya dalam bentuk
grafik.
1 2
1 2
3
1 2
3
2
3
1
3
12 rdrdf
3
3
2
3
1
3
1312... rdrdrdff
3
3
2
3
1
3
2312... rdrdrdff
1 2
3
3
3
2
3
1
3
3423141312... rdrdrdfffff
4
- 222 -
Gambar 7.2 Jika anda angka yang tidak muncul dalam f maka
grafiknya didimbolkan sebagai sebuah lingkaran saja yang
memiliki nomor angka yang tidak muncul tersebut.
Dari penjelasan di atas dapat kita tarik kesimpulan bahwa suku-suku dalam
persamaan (7.11) selalu dapat dinyakan sebagai perkalian sejumlah grafik yang
terdiri dari satu lingkaran, 2 lingkaran, 3 lingkaran, dan setersunya. Grafik yang
mengandung lingkaran yang dihubungkan oleh garis-garis kita sebut kluster-.
Dalam satu suku penjumlahan pada persamaan (7.11) bisa terjadi kluster-1, kluster-
10 atau kluster lainnya muncul beberapa kali. Sebaliknya bisa jadi kluster lainnya
tidak pernah muncul. Sebagai contoh dapat dilihat pada ilustrasi berikut ini.
Pada ilustrasi di atas kluster-1 muncul sebanyak N kali sedangkan kluster-kluster
lainnya tidak pernah muncul.
Misalkan pada satu suku dalam persamaan (7.11)
kluster-1 muncul sebanyak m1 kali;
kluster-2 muncul sebanyak m2 kali;
.
.
.
kluster muncul sebanyak m kali;
dan seterusnya.
di mana m dapat memiliki nilai antara 0 sampai N. Karena tiap lingkaran tidak
boleh memiliki angka yang sama maka jumlah total lingkaran memenuhi persamaan
NmN
0
(7.15)
1
1 2 3
1 2 3
1
3rd
3
3
2
3
1
3... rdrdrd
3
3
2
3
1
3
12... rdrdrdf
1 2 3 N… Nrdrdrdf 3
2
3
1
3
12 ......
- 223 -
Misalkan salah satu suku dalam persamaan (7.11) mengandung komposisi
kluster sebagai berikut {m1, m2, … m, … mN} = {m}. Simbol ini menyatakan
bahwa ada m1 kluster-1, ada m2 kluster 2, dan seterusnya. Tetapi, untuk kluster-
tertentu, terdapat banyak sekali cara mengubungkan lingkaran-lingakaran dalam
kluster tersebut. Sebagai contoh, untuk kluster-3, cara-cara menghubungkan
lingkaran-lingkaran diilustrasikan pada Gambar 7.3.
Gambar 7.3 Empat cara menghubungkan lingkaran-lingkaran pada
kluster-3.
Jadi untuk kluster-3 terdapat 4 cara menghubungkan lingkaran-lingkaran
penyusunnya. Dengan demikian, jika jumlah kluster-3 ada 6 (m3 = 6) maka
kemungkinan-kemungkinan yang dapat terjadi diilustrasikan pada Gambar 7.4.
Gambar 7.4 Contoh kemungkinan-kemungkinan munculnya
kluster-3 pada suku persamaan (7.11).
Tampak dari Gambar 7.4 bahwa dapat terjadi sejumlah cara hubungan
antar lingkaran yang muncul berkali-kali. Sebaliknya, dapat terjadi pula ada cara
hubungan antar lingkaran yang tidak pernah muncul.
Yang perlu kita tentukan selanjutnya adalah jumlah cara mengubungkan
semua kemungkinan kluster-kluster tersebut. Jumlah cara tersebutlah yang akan
menentukan fungsi partisi yang selanjutnya akan digunakan untuk menurunkan
besaran-besaran termodinamika.
1 2
3
1 2
3
1 2
3
1 2
3
1 2
3
5 8
9
15 21
33
34 35
45
61 77
85
91 92
99
- 224 -
Sekarang mari kita fokuskan pada satu susunan kluster yang disimbolkan
dengan {m}. Dapat dibuktikan dengan mudah bahwa
karena jrdrdrd 3
2
3
1
3 ... . Dengan demikian jika terdapat m1 buah kluster-1
maka suku dalam persamaan (7.11) hanya menghasilkan 1][m
. Selanjutnya,
perhatikan kluster-2. Contonhya
Artinya, berapa pun angka yang ada dalam dua lingkaran yang terhubung maka
hasilnya selalu sama. Oleh karena itu jika di dalam salah satu suku dalam persaman
(7.11) terdapat m2 kluster-2 maka perkaliannya menghasilkan 2][m
.
Untuk kluster-3 terdapat 4 jenis grafik yang muncul. Untuk sementara mari
kita simbolkan grafik-grafik tersebut dengan a, b, c, dan d seperti pada Gambar
7.5.
Gambar 7.5 Kita simbolkan grafik-grafik pada kluster-3 dengan
huruf untuk mempermudah pemahaman.
Dengan demikian, grafik-grafik (kombinasi antar huruf) yang dapat muncul dalam
m3 buah kluster-3 adalah
1 2 3= = = … = j
3 4 rdrfVrdrfRdrdrdrf 333
4
3
3
3
34 )()()(... =
i j rdrfVrdrfRdrdrdrf jiij
33333 )()()(... =
1 2
3
1 2
3
1 2
3
1 2
3
a b c d
aaaa…aa + aaaa…ab + … + ab…bbbb + bbbb…bb
m3 kali m3 kali m3 kali m3 kali
- 225 -
Penjumlahan semua kombinasi di atas persis sama dengan 3)(m
dcba . Jadi
kontribusi kluster-3 ke dalam suku penjumlahan pada persamaa (7.11) adalah
Sekarang mari kita perhatikan angka-angka yang diisi pada lingkaran-
lingkaran grafik. Angka-angka yang menomori lingkaran pada tiap suku dapat
dipertukarkan maka jumlah kemungkinan menjadi lebih banyak lagi. Akibatnya
salah satu suku dalam persamaan (7.11) dapat ditulis sebagai jumlah suku-suku
yang diperoleh dari hasil permutasi suku lainnya. Jadi jumlah tiap suku sama,
namun satu suku adalah hasil permutasi nomor pada suku lainnya. Persamaan yang
diperoleh adalah
(7.16)
di manaPmenyatakan permutasi angka-angka yang menandai lingkaran
(permutasi angka 1 sampai N).
Selanjutnya kita perlu menentukan S{m} secara eksplisit. Karena yang kita
permutasi ada N partikel maka jumlah suku pada persamaan (7.16) adalan N! buah.
Tetapi perlu diingat bahwa tidak semua permutasi menghasilkan susunan yang
1 2
3
1 2
3
1 2
3
1 2
3
+ + +
m3
1 2
3
1 2
3
1 2
3
1 2
3
+ + +
m3
[ ]m1 [ ]m2
m4
… …
PmS }{
- 226 -
berbeda. Contohnya kita lihat kluster-1 yang terditi dari m1 buah. Misalkan kluster-
kluster tersebut sebagai berikut.
Tetapi, karena
maka permutasi terhadap m1 buah angka pada lingkaran-lingaran tersebut tidak
memberikan konfigurasi yang berbeda (karena angka yang dipertukarkan
merupakan konstanta yang persis sama). Jumlah cara mempertukarkan m1 angka
adalah m1! cara. Jadi pada jumlah N! harus dibagi dengan m1! untuk menghidari
pengulangan permutasi yang tidak menghasilkan konfigirasi berbeda.
Alasan yang sama pun kita terapkan ketika akan membahas permutasi m
kluster-. Untuk menghindari pengulangan permutasi yang tidak menghasilkan
konfigurasi berbeda maka N! harus dibagi dengan m!. Jadi jumlah cara berbeda
setelah membuang permutasi yang ditak menghasilkan konfigurasi berbeda akibat
pertukaran kluster yang memiliki lingkaran yang sama jumlahnya menjadi
!!...!...!
!
21 Nmmmm
N
(7.17)
Selanjutnya perhatikan kluster yang mengandung beberapa lingkaran
(misalnya kluster-3). Misalkan anggota kluster tersebut sebagai berikut.
Jika kita menukarkan angka-angka dalam satu grafik maka kita tidak menghasilkan
konfigurasi yang berbeda. Penyebabnya adalah ketika dilakukan integral maka
angka-angka tersebut akan hilang. Jadi, konfigurasi di bawah ini tidak berbeda
dengan konfigurasi di atas. Pada konfigurasi di bawah angka-angka pada grafik
1 2 3 m1…
1 2 3= = = … = m1
1 2
3
5 8
9
15 21
33
34 35
45
61 77
85
91 92
99
m3 buah
- 227 -
pertama dipertukarkan antar mereka, angka-angka pada grafik kedua dipertukarkan
pada mereka, dan seterusnya.
Ketika kita permutasi angka 1, 2, dan 3 pada grafik pertama maka kita tidak
menghasilkan konfigurasi baru. Jumlah cara permutasi 3 angka tersebut adalah 3!.
Ketika kita permutasi angka 5, 8, dan 9 pada grafik kedua maka kita pun tidak
mendapatkan konfigurasi baru. Jumlah cara permutasi tersebut adalah 3!. Dengan
demikian total cara permutasi semua angka dalam kluster-3 adalah 3)!3(m . Karena
permutasi tersebut tidak menghasilkan konfigurasi baru maka pada jumlah cara
yang dinyatakan dalam ungkapan (7.17) harus dibagi dengan 3)!3(m untuk
membuang pengulangan yang sama. Hal yang sama berlaku pada kluster-kluster
lainnya. Untuk kluster- jumlah cara permutasi yang harus dihilangkan adalah
m)!( . Akhirnya, jumlah suku yang benar-benar hanya menghasilkan konfigurasi
berbeda hanyalah
Nmmmm
N Nmmmm
N
)!...()!...()!2()!1(!!...!...!
!21
21
(7.18)
Jumlah yang diungkapkan (7.18) adalah jumlah suku penjumlahan yang
berbeda dalam persamaan (7.16). Karena tiap grafik sejenis selalu menghasilkan
nilai yang sama (berapa pun angka yang terkandung di dalamnya) maka nilai }{ mS
persis sama dengan jumlah suku yang berbeda dikalikalikan dengan perkalian
semua grafik yang muncul dalam persamaan (7.16). Akhirnya kita dapat simpulkan
3 1
2
9 5
8
21 15
33
34 45
35
85 77
61
91 99
92
m3 buah
- 228 -
(7.19)
Tiap suku dalam persamaan (7.11) mengandung satu set {m}. Oleh karena
itu jumlah untuk semua set {m} yang mungkin adalah
}{
}{
m
mS
Akhirnya kita dapatkan fungsi partisi kanonik sebagai
}{
3}{
!
1
m
NN mSN
Z
(7.20)
Seperti yang umum dilakukan hingga saat ini, mari kita definisikan integral
kluster sebagai berikut
VTVb
33!
1),(
(jumlah semua kemungkinan kluster-) (7.21)
Sebagai contoh
111
][!1
1),( 3
3131 V
Vrd
VVTVb
2
3
1
3
1233232 )(!2
1][
!2
1),( rdrdrf
VVTVb
1 2
3
1 2
3
1 2
3
1 2
3
+ + +
m3
[ ]m1 [ ]m2
m4
… …
Nmmmm
N Nmmmm
NmS
)!...()!...()!2()!1(!!...!...!
!}{
21
21
- 229 -
rdrfrdrfRdV
3
3
33
3)(
!2
1)(
!2
1
Dengan definisi (7.21) maka kita dapat menulis
}{ 21
3 )!...()!2()!1(!!...!
!
!
121
mmmm
N
NNNNmmm
N
NZ
NmN
N
mmVNbVbVb 33323
2
313
1 !...!2!121
}{
)23(
3
2)13(
3
1
32
2
1
11
m
m
m
m
m
N
VbVb
N
N
mN
m
Nm
mVbVb )3(
3
)3(
3......
}{
3
33}{
)3(
33
11
m
mm
Nm
m
m
N
VbVb
}{3
}{
3
33
1
m
m
m
N
m
N
VbVb
(7.22)
Dari fungsi partisi kanonik kita mendapatkan fungsi grand partisi sebagai berikut
0 }{3
N m
m
N
G
VbzZ
(7.23)
Selanjutnya, karena mN maka
mmmN zzzz
sehingga persamaan (7.23) dapat ditulis ulang menjadi
0 }{3
N m
m
G zVb
Z
(7.24)
- 230 -
Kita ingin lebih menyederhakan lagi persamaan (7.24). Karena N dapat
meniliki nilai dari 0 sampai tak berhingga maka semua m dapat memiliki nilai dari
0 sampai tak berhingga. Dengan demikian, fungsi grand partisi dapat ditulis ulang
menjadi
033
2
3
21
3
1
1
21
2
............m
m
NN
mmm
mmm
G
N
N
zVb
zVb
zVb
zVb
Z
03
03
0
2
3
2
0
1
3
1 ......2
2
1
1
m
m
NN
m
m
m
m
m
m N
zVb
zVb
zVb
zVb
zVb
zVb
zVb
zVb
zVb NN
333
2
3
21
3
1 expexp...exp...expexp
(7.25)
Dari persamaan (7.25) dengan mudah kita mendapatkan
zbV
zVb
ZG 33ln
(7.26)
Akhirnya kita dapatkan persamaan berikut ini
zbZ
VkT
PG 3
1ln
1
(7.27)
kTzzbV
kTz
zbz
VkT
ZkTN
TV
G /)(ln 1
33
,
zb
V3
atau
zb
V
N
v 3
11
(7.28)
Persamaan (7.27) dan (7.28) merupakan landasan untuk mencari persamaan
keadaan dalam metode ekspansi kluster. Yang dilakukan adalah mencari konstanta
- 231 -
b pada deret persamaan (7.27) dan (7.28). Konstanta tersebut dihitung dari integral
fungsi potensial. Nilai konstanta sangat bergantung pada jenis interaksi antar
atom/molekul gas.
- 232 -
Bab 8
MODEL ISING
Pada bab ini kita akan bahas salah satu topik yang sering dijumpai pada
mekanika statistik, yaitu model Ising. Model ini pertama kali dikembangkan oleh
Ising untuk menjelaskan sifat magnetik bahan dengan memandang bahan tersusun
atas momen-momen magnetik yang tersusu secara teratur. Dalam perkembangan
selanjutnya model ini diterapkan untuk sejumlah kasus yang kadangkala tidak ada
hubungan langsung dengan kemagnetan.
Untuk memahami isi bab ini diperlukan kemampuan matematika yang agak
tinggi. Mahasiswa perlu mempelajari lagi operasi diagonalisasi matriks, mencari
trace matriks.
8.1 Formulasi Ising Dalam model Ising, assembli dipandang sebagai susunan teratur dari N
system pada posisi tetap. Penyusunan sistem-sistem tersebut membentuk kisi-kisi
kristal. Bentuk kisi bisa berupa kisi linier (1D), bujur sangkar, persegi panjang, atau
segitiga (2D), simple cubic, face centered cubic, hexagonal, dan lain-lain (3D). Tiap
titik kisi berkaitan dengan salah satu dari dua keadaan yang dilambangkan dengan
nilai +1 dan -1. Jika variabel yang menyatakan keadaan kisi ke-i asalah si maka si
hanya boleh memiliki nilai -1 atau +1. Dalam bahan feromagnet, keadaan dengan si
= +1 berkaitan dengan spin up dan keadaan dengan si = -1 berkaitan dengan spin
down. Kumpulan {si} menentukan keadaan assembli.
Misalkan energi interaksi keadaan ke-i dan ke-j adalah -ij dan energi
interaksi antara keadaan ke-i dengan medan magnetik B adalah -Bsi maka energi
assembli pada konfigurasi {si} memenuhi
i
i
ji
jiiji sBsssE ,
}{ (8.1)
- 233 -
Jika dianggap bahwa hanya interaksi antara dua tetangga terdekat saja yang
dominan, yaitu dua sistem yang berhubungan langsung, maka energi interaksi dapat
ditulis
i
i
ij
jiiji sBsssE }{ (8.2)
di mana simbol ijmenyatakan penjumlahan dilakukan dengan
memperhitungkan tetangga terdekat saja.
b) Jika dianggap bahwa interaksi antara dua tetangga terdekat adalah sama untuk
semua tetangga, tidak bergantung pada lokasi di mana dua sistem terdekat berada
maka ij untuk semua i dan j. Dengan demikian kita bisa sederhanakan
persamaan (8.2) menjadi
i
i
ij
jii sBsssE }{ (8.3)
Berapakah jumlah suku dalam penjumlahan di sebelah kiri persamaan
(8.3)? Misalkan jumlah tetangga terdekat adalah . Untuk setiap nilai i ada sebanyak
buah nilai j yang merupakan tetangga terdekat. Karena ada N buah indeks i maka
jumlah indeks j yang menjadi tetangga terdekat adalah N. Tetapi perhitungan
semacam ini akan menyebabkan dua kali cacahan. Saat menghitung jumlah tetangga
yang dimiliki spin dengan indeks i, maka spin dengan indeks j dihitung. Kemudian
saat menghitung tetangga yang dimiliki sistem dengan indeks j, maka sistem dengan
indeks i juga diperhitungan. Dengan demikian, jumlah suku sebenarnya dalam
penjumlahan di atas hanyalah N/2. Contoh nilai untuk beberapa penyusunan
adalah:
kisi bujur sangkar, = 4;
kisi simple cubic, = 6;
kisi body centered cubic, = 8;
kisi hexagonal closed packing , =12.
Sekarang kita tinjau kasus khusus, yaitu untuk > 0 yang berkaitan dengan
bahan ferromagnetik. Fungsi partisi adalah
Ns
i
ss
sETBZ exp...,21
(8.4)
- 234 -
Pada persamaan (8.4) tiap variabel is mengambil nilai -1 dan +1. Karena ada N
buah tanda penjumlahan maka jumlah suku dalam penjumlahan fungsi partisi
adalah 2N buah. Energi bebas helmholtz diperoleh langsung dari fungsi partisi
melalui persamaan,
),(ln),( TBZkTTBF (8.5)
Ada cara lain untuk menentukan fungsi partisi secara lebih mudah.
Misalkan N+ adalah jumalah spin up dan N- = N-N+ adalah jumlah spin down. Akan
muncul tiga jenis pasangan antar spin, yaitu up-up (++), down-down (--) dan up-
down (+-). Pasangan (--) dan (++) menyumbang energi yang sama besarnya,
sedangkan pasangan (-+) menyumbang energi yang berlawanan tanda. Energi total
assembli dapat ditentukan dengan menenentukan jumlah pasangan (--), (++), dan
(+-). Misalkan jumlah pasangan-pasangan yang adalah
Pasangan (++): N
Pasangan (--): N
Pasangan (+-): N
Untuk menentukan jumlah masing-masing pasangan tersebut, mari kita lihat
skema pada Gambar 8.1:
a) tiap bertemu satu spin up, kita tarik garis ke tetangga terdekat (ada buah
garis yang ditarik);
b) tiap ketemu satu spin down kita tidak membuat garis ke tetangga
terdekatnya;
c) akibatnya, pasangan up-up akan dihubungkan oleh dua garis;
d) pasangan up-down dihubungkan oleh satu garis;
e) pasangan down-down tidak dihubungkan oleh garis;
f) karena tiap satu spin up menghasilkan buah garis maka jumlah garis yang
dibuat adalah N+. Garis tersebut akan terbagi menjadi dua buah
penghubungn up-up dan satu buah penghubung up-down. Jadi akan
terpenuhi hubungan
NNN 2 (8.6)
- 235 -
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Gambar 8.1 Skema menentukan jumlahan pasangan spin up dan
down dengan menarik satu garis keluar dari spin up dan tidak
menarik garis keluar dari spin down.
Selanjutnya kita balik aturan penggambaran di atas dengan aturan seperti
diilustrasikan pada Gambar 8.2:
a) tiap ketemu satu spin down, kita tarik garis ke tetangga terdekat (ada garis
yang dibuat);
b) tiap ketemu satu spin up kita tidak membuat garis ke tetangga terdekatnya;
c) akibatnya, pasangan down-down akan dihubungkan oleh dua garis;
d) pasangan up-down dihubungkan oleh satu garis;
e) pasangan up-up tidak dihubungkan oleh garis;
f) karena tiap satu spin down menghasilkan buah garis (jumlah tetangga
terdekat) maka jumlah garis yang dibuat adalah N-. Garis tersebut akan terbagi
menjadi dua buah penghubungn down-down dan satu buah penghubung up-
down. Jadi akan terpenuhi hubungan.
- 236 -
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Gambar 8.2 Skema menentukan jumlahan pasangan spin up dan
down dengan menarik satu garis keluar dari spin down dan tidak
menarik garis keluar dari spin up.
NNN 2 (8.7)
Di samping itu karena jumlah total spin adalah N maka
NNN (8.8)
Dari tiga persamaan di atas kita dapatkan persamaan berikut ini
NNN 2 (8.9)
NNN (8.10)
NNNN
2 (8.11)
- 237 -
NNNNNNssij
ji2
24
(8.12)
NNNNsi
i 2 (8.13)
Dengan demikian, energi assembli dapat ditulis menjadi
NBNBNNNE
2
124),( (8.14)
Fungsi partisi selanjutnya dapat ditulis
N
NN
N
NBBNTBA eNNgeee 4
0
)(2)2/(),( ),( (8.15)
di mana g(N+,N++) adalah jumlah konfigurasi yang berkaitan dengan N+ dan N++
tertentu.
Penjumlahan di atas sangat sulit untuk diselesaikan. Penjumlahan baru
dapat dilakukan jika kita mengetahui bentuk eksplisit dari g(N+,N++). Yang dapat
dilakukan sekarang adalah melakukan sejumlah pendekatan. Kita akan membahas
sejumlah aproksimasi yang sudah diperkenalkan orang sejak lama.
8.2 Aproksimasi Bragg-Williams Tampak pada fungsi partisi persamaan (8.15) bahwa energi assembli tidak
bergantung secara eksplisit pada distribusi spin up dan spin down, tetapi hanya
bergantung pada berapa jumlah spin up dan berapa pasangan spin up-up. Di mana
letak spin up tersebut tidak menentukan energi konfigurasi. Di sini kita perkenalkan
dua buah besaran, yaitu N+/N dan N++/(N/2). Perhitungan besaran pertama akan
memperhatikan seluruh lokasi dalam assembli, yaitu menghitung semua spin up
dalam seluruh ruang assembli. Besaran tersebut mengukur keteraturan munculnya
spin up pada seluruh ruang dalam assembli. Besaran tersebut sering dinamakan
long-range order. Sebaliknya, besaran kedua hanya mempertimbangkan pasangan-
pasangan tetangga terdekat. Besaran tersebut merepresentasikan keteraturan lokal,
yaitu bagaimana terbentuknya pasangan spin up-up pada wilayah yang sangat kecil,
yaitu tatangga terdekat. Oleh karena itu besaran tersebut dinamakan short-range
order.
Kita definisikan parameter long-range order, L dan short-range order, ,
sebagai berikut
- 238 -
)1(2
1 L
N
N (-1 ≤ L ≤ +1) (8.16)
)1(2
1
)2/(
N
N (-1 ≤ ≤ +1) (8.17)
Nilai N+ bervriasi dari 0 sampai N. Jika N+ = 0 maka L = -1. Jika N+ = N maka L =
+1. Jadi jangkauan nilai L memenuhi -1 ≤ L ≤ 1. Nilai N++ paling kecil adalah 0
(tidak ada pasangan spin up-up). Pada konsisi ini = -1. Jumlah maksimum
pasangan yang dapat terbentuk adalah N/2. Dengan demikian nilai maksimum N++
adalah N/2 dan pada kondidi ini = +1. Jadi jangkauan nilai adalah -1 ≤ ≤ 1.
Dengan pengenalan dua parameter tersebut maka kita peroleh
)122()2/( LNssij
ji (8.18)
NLsi
i (8.19)
Substitusi ke dalam persamaan (8.14) diperoleh energi rata-rata per spin
BLLN
E )122)(2/( (8.20)
Menurut aproksimasi Bragg-Williams, terbentunya short-range order
adalah akibat dari long-range order. Dengan demikian ada keterkaitan langsung
antara short-range order dan long-range order. Keterkaitan tersebut adalah
2
2/
N
N
N
N
(8.21)
Dengan aproksimasi ini maka
2
)1(2
1)1(
2
1
L
atau
- 239 -
1)1(2
1 2 L (8.22)
Substitusi (8.22) ke dalam (8.20) diperoleh energi rata-rata per spin menjadi
BLLN
E 2)2/( (8.23)
Selanjutnya fungsi partisi menjadi
is
BLLNeTBZ )2/( 2
),( (8.24)
Penjumlahan terhadap {si} dapat diganti dengan penjumlahan terhadap L
dari -1 sampai +1. Nilai L ditentukan oleh N+. Jumlah kedanaan yang berkaitan
dengan satu nilai L sama dengan jumlah cara mengambil N+ dari sejumlah N spin
yang tersedia. Jumlah cara tersebut adalah
]!2/)1([]!2/)1([
!
)!(!
!
LNLN
N
NNN
N
Dengan demikian,
1
1
)2/( 2
]!2/)1([]!2/)1([
!),(
L
BLLNeLNLN
NTBZ (8.25)
Jika dijumpai penjumlahan seperti pada persamaan (8.25) maka akan ada
satu suku yang memiliki nilai sangat dominan. Dengan adanya suku yang sangat
dominan tersebut maka nilai suku-suku lain dapat diabaikan. Bahkan, jumlah semua
suku-suku lainnya masih lebih kecil daripada nilai satu suku yang dominan tersebut.
Dengan demikian penjumlahan pada persamaan (8.25) dapat didekati dengan nilai
suku dominan saja. Misalkan suku yang memiliki nilai sangat dominan tersebut
berkaitan dengan LL , maka kita dapat melakukan aproksimasi sebagai berikut,
)2/( 2
]!2/)1([]!2/)1([
!),( LBLNe
LNLN
NTBZ
atau
- 240 -
)2/( 2
]!2/)1([]!2/)1([
!ln),(ln LBLNe
LNLN
NTBZ
(8.26)
Kemudian kita lakukan aproksimasi logaritma suku faktorial dengan
aproksimasi Stirling. Dengan aproksimasi tersebut maka persamaan (8.26) dapat
ditulis sebagai
2
1ln
2
1
2),(ln
1 2 LLLB
LTBZ
N
N
NLL !ln
2
1ln
2
1
(8.27)
Karena L memberikan nilai maksimum pada fungsi partisi maka turunan fungsi
partisi pada nilai L harus nol, atau
),(ln1
TBZNL
02
1ln
2
1
2
1ln
2
1
2
2
LLLLLB
L
L
Diferensial di atas memberikan solusi
LL
L 22
1
1ln
atau
kT
L
kT
BL
tanh (8.28)
Solusi persamaan (8.28) dapat diperoleh dengan metode grafik. Caranya
adalah membuat grafik Ly 1 dan )//tanh(2 kTLkTBy . Perpotongan dua
grafik tersebut merupakan solusi untuk L . Gambar 8.3 adalah grafik
)//tanh(2 kTLkTBy pada tida suhu yang berbeda yaitu T1, T2, dan T3. Kita
menggunakan T2 = T1/2 dan T3 = T1/5. Solusi yang didapat adalah pada nilai L > 0.
- 241 -
Tampak bahwa makin rendah suhu maka nilai L makin tinggi dan mendekati satu.
Ketika T 0 maka solusinya adalah L = 1. Ini adalah kondisi di mana spin magnet
mengarah sempurna ke satu arah.
Gambar 8.3 Kurva Ly 1 (garis lurus warna biru) dan
)//tanh(2 kTLkTBy (tiga kurva lengkung) sebagai fungsi
L pada berbagai nilai suhu. Sebagai ilustrasi, pada gambar tersebut
kita menggunakan T2 = T1/2 dan T3 = T1/5, sedangkan medan
magnetik dibuat tetap. Titik potong garis lurus dan kurva lengkung
merupakan solusi untuk L . Tampak bahwa suhu yang berbeda
memberikan L yang berbeda. Makin rendah suhu maka L makin
menuju ke nilai satu. Ini menunjukkan bahwa makin rendah suhu
maka spin makin mengarah ke satu arah. Makin rendah suhu maka
agitasi termal spin makin kecil sehingga spin makin mudah
diarahkan oleh medan magnet menuju arah yang sama.
Gambar 8.4 adalah penentuan solusi persamaan (8.28) ketika besar medan
magnet diubah-ubah. Kita menggunakan tiga nilai medan, B1, B2, dan B3 di mana B2
= 3B1 dan B3 = 8B1. Tampak bahwa makin besar medan maka solusi untuk L makin
besar dan menuju ke satu.
- 242 -
Gambar 8.4 Kurva Ly 1 (garis lurus warna biru) dan
)//tanh(2 kTLkTBy (tiga kurva lengkung) sebagai fungsi
L pada berbagai kuat bedan magneti. Sebagai ilustrasi, pada
gambar tersebut kita menggunakan B2 = 3B1 dan B3 = 8B1,
sedangkan suhu dibuat tetap. Titik potong garis lurus dan kurva
lengkung merupakan solusi untuk L . Tampak bahwa medan
magnet yang berbeda memberikan L yang berbeda. Makin besar
medan magnet maka L makin menuju ke nilai satu. Ini
menunjukkan bahwa makin besar medan magnet maka spin makin
mengarah ke satu arah. Medan magnet yang besar memaksa makin
banyak spin untuk mengambil arah yang sama dengan arah medan.
Kita periksa kasus khusus ketika medan yang diterapkan nol (tidak ada
medan yang diterapkan). Pada kondisi tersebut persamaan (8.28) menjadi
kT
LL
tanh (8.29)
Persamaan (8.29) memiliki dua jenis solusi yang bergantung pada perbandingan
energi interaksi antar spin dengan energi termal. Dua jenis solusi untuk L adalah
- 243 -
1,
1,0
kTL
kTL
o
(8.30)
Nilai 0L dapat diperoleh dengan metode grafik seperti diuraikan di atas.
Persamaan (8.30) atas menginformasikan bahwa jika energi interaksi yang
dialami spin lebih kecil daripada energi termal naka solusi yang ada hanyalah L =
0. Nilai ini menunjukkan bahwa jumlah spin up persis sama dengan spin down.
Artinya, spin mengambil arah random. Tarikan akibat interaksi antar spin (yang
cenderung membuat spin mengambil satu arah) tidak cukup kuat mengimbangi
energi termal (cenderung membuat arah spin acak). Sebaliknya, jika energi interaksi
antar spin lebih besar daripada energi termal maka kebih banyak spin berorientasi
ke satu arah. Energi ikatan antar spin (yang cenderung mengarahkan spin) lebih
besar daripada energi termal yang cenderung mengacaukan arah spin,
Dengan mendefinisikan /k = Tc , di mana Tc dinamakan suhu kritis maka
co
c
TTL
TTL
,
,0 (8.31)
Jadi, selama suhu assembli lebih besar daripada suhu kritis maka tidak ada
keteraturan spin. Spin menunjukkan keteraturan pada suhu di bawah suhu kritis.
Makin jauh suhu assembli di bawah suhu kritis maka keteraturan makin tinggi.
8.3 Aproksimasi Bethe-Pierls Salah satu langkah yang cukup drastis dalam aproksimasi Bragg-Williams
adalah melakukan pendekatan
2
2/
N
N
N
N
Pendekatan ini menyatakan bahwa terbentuknya pasangan spin up-up ditentukan
oleh jumlah titik yang memiliki keadaan spin up. Pendekatan ini cukup kasar,
seperti dapat dilihat pada Gambar 8.5. Pada gambar kiri dan kanan, N sama
banyaknya sehingga (N+/N)2 juga sama. Tetapi N++ pada gambar kiri lebih banyak
daripada pada gambar kanan sehingga N++/(N/2) pada gambar kiri lebih besar
nilainya. Ini menunjukkan bahwa aproksimasi Bragg-Williams masih sangat kasar.
- 244 -
-
+
- - -
+
+
+
+
+
+
+
+
- - - -
-
-
-
+ - -
+
+
+
+
+
+
+
- -
-
-
-- +
-
- -
Gambar 8.5 Ilustrasi yang memperlihatkan bahwa aproksimasi
Bragg-Willims masih kurang teliti. Walaupun fraksi spin up (N+/N)
sama pada dua gambar namun jumlah pasangan spin up-up
(N++/(N/2)) tidak sama pada dua gambar. Dengan demikian tidak
selalu berlaku bahwa N++/(N/2) = (N+/N)2.
Aproksimasi Bethe-Pierls memperbaiki ketelitian aprokasimasi Bragg-
Williams. Langkah yang diterapkan sebagai berikut.
a. mengambil satu bagian kecil saja dari kisi besar untuk dianalisis lebih detail;
b. menghitung secara eksak pembentukan pasangan spin dalam bagian kecil
tersebut;
c. sisa kisi lainnya (sebagian besar) dipandang sebagai latar belakang.
Bagian kisiyang dihitung
dengan teliti
Latar belakang
- 245 -
Langkah ini sangat mirip dengan saat menghitung medan listrik polarisasi dalam
bahan dielektrik dengan menggunakan metode Lorentz.
Sebagian kecil bahan dielektrik dipilih. Momen dipol dalam bagian yang dipilih
tersebut dipandang tersusun secara diskrit. Sisanya adalah latar belakang yang
dipandang sebagai medium kontinu.
Bagian kisiyang dihitung
dengan teliti. Moden dipol
dianggap tersebar secara
diskrit
Latar belakang
dianggap kontinu
Untuk memudahkan penerapan aproksimasi Bethe-Pierls, kita tinjau kasus
khusus di mana medan magnet luar nol. Untuk memulai perumusan tersebut, mari
kita lihat sebuah titik kisi dengan keadaan spin s. Keadaan spin s memiliki dua
kemungkinan nilai, yaitu s = +1 untuk spin up dan s = -1 untuk spin down. Titik kisi
tersebut dihubungkan dengan tetangga terdekat.
1
2
3
4
s
- 246 -
Misalkan dari tetangga terdekat ada n buah yang memiliki spin up dan -n buah
yang memiliki spin down. Selanjutnya kita definisikan
P(s,n) = probabilitas menemukan n tetangga terdekat dengan spin up dan
-n buah tetangga terdekat dengan spin down jika keadaan kisi di pusat
adalah s.
Jadi,
a. P(+1,n) = probabilitas menemukan n pasangan (++) dan -n pasangan (+-)
b. P(-1,n) = probabilitas menemukan n pasangan (-+)dan -n pasangan (--)
c. Pada kondisi P(+1,n) energi yang dimiliki adalah
)2()()(),1( nnnnE (8.32)
d. Pada kondisi P(-1,n) energi material adalah
)2()()()(),1( nnnnE (8.33)
e. Jumlah cara menemukan n spin up dari tetangga terdekat adalah
nnn
)!(!
! (8.34)
f. Dengan demikian, kita dapat menulis probabilitas P(+1,n) dan P(-1,n) sebagai
berikut
kTnEen
nP /),1(),1(
(8.35)
kTnEen
nP /),1(),1(
(8.36)
g. Kita mengubah tanda kesebandingan dengan tanda sama dengan dengan
memperkenalkan faktor pengali zn/q sehingga
)2(),1(
n
n
enq
znP (8.37)
- 247 -
)2(),1( nn
enq
znP
(8.38)
Pada persamaan-persamaan di atas q adalah bilangan penormalisasi sedangan zn
adalah parameter yang memperhitungkan efek latar belakang.
Perhatikan penjelasan berikut ini.
0
),1(n
nP = probabilitas menemukan titik kisi di tengah memiliki spin
up untuk semua kemungkinan spin tetangga terdekatnya.
0
),1(n
nP = probabilitas menemukan titik kisi di tengah memiliki spin
down untuk semua kemungkinan spin tetangga terdekatnya.
Dari dua definisi tersebut dapat kita tarik kesimpulan bahwa
00
),1(),1(nn
nPnP = probabilitas menemukan titik kisi di tengah
memiliki spin apa saja (apakah up atau down) untuk semua kemungkinan
spin tetangga terdekatnya. Nilai tersebut jelas sama dengan satu.
Dengan demikian
1),1(),1(00
nn
nPnP
10
)2(
0
)2(
n
nn
n
nn
enq
ze
nq
z
yang dapat disusun ulang menjadi
0
2
0
2
n
nn
n
nn ezen
ezen
q
0
2
0
2
n
n
n
nze
neze
ne
- 248 -
22 11 zeezee
zeezee (8.39)
Dari pernyataan bahwa
0
),1(n
nP = probabilitas menemukan titik kisi di tengah memiliki spin up
untuk semua kemungkinan spin tetangga terdekatnya
maka jelaslah bahwa
2
1),1(
0
L
N
NnP
n
(8.40)
Dari definisi
),1( nP = probabilitas menemukan n pasangan (++) dan - n pasangan
(+-)
maka kita dapatkan
nP(+1,n) = jumlah spin up-up jika kisi di tengah memiliki spin up;
(n/)P(+1,n) = probabilitas menemukan spin up-up jika kisi di tengah
memiliki spin up;
dan
0
),1(n
nPn
= probablitas menemukan spin up-up dalam kisi
2
1
2/
N
N (8.41)
Yang kita lakukan dengan aproksimasi Bethe-Pierls sebagai berikut:
a.
0
),1(n
nP = kemungkinan mendapatkan spin up di tengah;
- 249 -
b.
0
),1(n
nPn
= kemungkinan mendapatkan spin up di tetangga jika di tengah
berada pada keadaan spin up;
c.
0
),1(n
nPn
= kemungkinan mendapatkan spin up di tetangga jika di tengah
berada pada keadaan spin down;
d.
0
),1(),1(n
nPn
nPn
= kemungkinan mendapatkan spin up di tetangga
jika di tengah berada pada keadaan spin apa saja.
Karena titik kisi yang berada di tengah dapat dipilih titik kisi mana saja maka
haruslah
Kebolehjadian menemukan spin up di tengah sama dengan
kemungkinan menemukan spin up di tetangga,
atau
00
),1(),1(),1(nn
nPn
nPn
nP
0
),1(),1(1
n
nnPnnPzee (8.42)
Dapat ditunjukkan dengan mudah hubungan berikut ini
),1(),1( nPz
znnP
(8.43)
),1(),1( nPz
znnP
(8.44)
Jadi
0
),1(),1(1
n
nPnPz
zzee
zeezee
zzzee
1
- 250 -
ezeeezeez
zee11
ezeeezeezzee11
e
zee
zeeezzee
1
e
zee
zeezzezee
1
1
1
zee
zeez
atau 1
zee
zeez
1
2
21
ez
ze (8.45)
Solusi untuk z pada persamaan (8.45) dapat dicari dengan metode grafik.
Kita gambar y1 = z dengan kurva 1
2 ])}2exp[/(])2exp[1{( zzy
sebagai fungsi z. Perpotongan dua kurva tersebut merupakan solusi z yang dicari.
Gambar 8.6 adalah kurva y1 dan y2 pada berbagai nilai : 0,05; 0,1; dan 0,5.
Makin besar nilai berarti suhu makin rendah atau interaksi antar spin makin
besar. Tampak pada gambar bahwa makin besar maka nilai z makin besar.
- 251 -
Gambar 8.6 Fungsi y1 = z dan fungsi 1
2 ])}2exp[/(])2exp[1{( zzy sebagai fungsi z pada
berbagai nilai : 0,05; 0,1 dan 0,5. Perpotongan kurva lengkung
dengan garis lurus merupakan solusi untuk z pada persamaan
(8.45). Tampak bahwa makin kecil (suhu makin tinggi atau
energi interaksi antar spin makin kecil) maka nilai z makin kecil.
Sekarang kita tinjau solusi pada beberapa kondisi khusus. Mudah
ditunjukkan bahwa z = 1 merupakan solusi. Ini mudah dibuktikan dengan
memasukkan z = 1 ke dalam persamaan (8.48) dan diperoleh.
1
2
2
1
11
e
e
Sifat lain yang dapat dibuktikan dengan mudah adalah jika sudah
ditemukan z sebagai solusi maka 1/z juga merupakan solusi persamaan (8.48).
Pembuktiannya adalah dengan mengganti z pada persamaan (8.48) dengan 1/z dan
diperoleh
1
2
2
)/1(
)/1(11
ez
ez
z
1
2
2
1
ze
ez
- 252 -
atau 1
2
21
ez
zez
Hasil di atas menyimpulkan bahwa jika z adalah solusi maka 1/z juga merupakan
solusi.
Perhatikan lagi fungsi 1
2 ])}2exp[/(])2exp[1{()( zzzy .
Sudah kita tunjukkan bahwa pada z = 1, nilai y2(z) sama dengan nilai z karena y2(1)
= 1. Pada z 0 diperoleh y2 exp[2(-1)]. Ini berarti bahwa y2(z) > z ketika z
0. Dua kondisi tersebut berimplikasi bahwa fungsi y2(z) memotong fungsi y1 = z
pada z = 1 dan pada z antara 0 sampai 1. Kondisi asimptot pada z diperoleh
y2(z) exp[-2(-1)]. Karena berharga negatif maka y2()/y2(0) > 1. Dan
dengan sifat asimptotik ini maka y2(z) < z ketika z .
Selanjutnya kita periksa apakah fungsi y2(z) monoton naik dengan cara
menyelidiki gradien pada semua nilai z. Untuk mengecek apakah fungsi y2(z)
monoton naik atau turun akan lebih mudah kita mengecek fungsi ln y2(z). Sebab
kalau ln y2(z) monoton naik maka y2(z) juga monoton naik. Sebaliknya, kalau ln
y2(z) monoton turun maka y2(z) juga monoton turun. Dengan mudah dapat
ditunjukkan bahwa
2
2
2
1ln)1()(ln
ez
zezy
Dengan demikian
22
2
2 1
1)1(
)(ln
ezze
e
z
zy
))(1(
1)1(
22
4
ezze
e
Karena < 0 maka jelas bahwa ln y2/z > 0 pada semua z. Dengan demikian
fungsi ln y2(z) monoton naik yang berimplikasi bahwa fungsi y2(z) monoton naik.
Dari semua penjelasan di atas dapat kita simpulkan bahwa, ketika z 0, y2
(z) > z, ketika z = 1, y2(z) = z, dan ketika z , y2(z) < z. Sifat ini beserta sifat
monoton naik fungsi y2(z) berimplikasi bahwa
a) Jika pada z = 1 kemiringan kurva y2(z) kurang dari 1 maka fungsi y2(z)
hanya berpotongan dengan fungsi y1 = z pada z = 0.
- 253 -
b) Jika pada z = 1 kemiringan kurva y2(z) lebih dari 1 maka fungsi y2(z)
berpotongan dengan fungsi y1 = z pada tiga nilai z, yaitu z = 1, z = z0, dan z
= 1/z0.
Solusi dengan z = 1 adalah solusi dengan kondisi spin acak. Jumlah spin up dan
down sama banyak dan bahan tidak berifat magnetik. Sifat magnetik muncul hanya
jika ada solusi dengan z 1 dan itu terpenuhi jika kemiringan kurva y2(z) pada z = 1
lebih dari satu. Dengan demikian kondisi di mana kemiringan kurva y2(z) pada z = 1
merupakan kondisi kritis saat terjadi transisi dari sifat magnetik ke sifat non
magnetik.
Dapat dibuktikan dengan mudah bahwa kemiringan fungsi ini pada z = 1,
adalah
22
4
)1(
)1)(1(
e
em (8.46)
Kita definisikan suhu kritis yaitu suhu ketika m = 1, yang memenuhi
22
4
)1(
)1)(1(1
c
c
e
e
atau
2/2/4
)1()1)(1( cc kTkTee
(8.47)
Solusi dari persamaan (8.47) adalah
)1/(ln
2
ckT (8.48)
Tampak dari persamaan (8.48) bahwa suhu kritis sangat bergantung pada
kekuatan interaksi antar spin bertetangga dan jumlah tetangga yang dimiliki setiap
spin. Makin kuat interaksi dan makin banyak tetangga terdekat maka makin besar
suhu kritis. Ini dapat dipahami dengan mudah bahwa makin kuat interaksi dan
makin banyak tertangga terdekat maka arah spin akan makin sulit diacak oleh
energi termal. Perlu suhu yang lebih tinggi untuk mengacak arah spin (mengubah
dari kondisi magnetik menjadi non magnetik)
- 254 -
8.4 Model Ising Satu Dimensi Sekarang kita bahas kasus yang sangat khusus yaitu model Ising satu
dimensi di mana titik-titik kisi disusun dalam jarak yang sama sepanjang garis.
Model ini menjadi menarik karena memiliki solusi analitik yang cukup mudah
dicari.
s1 s2 s3 sNs1 s2 s3 sN
Kita misalkan jumlah titik kisi adalah N dan keadaan tiap titik kisi dinyatakan
dengan variable s1, s2, …, sN. Tiap keadaan memiliki dua kemungkinan nilai, yaitu –
1 dan +1. Untuk lebih mudah, kita gunakan syarat batas periodik, yaitu
kNk ss (8.49)
Jika dikenakan medan magnetik B maka energi kisi adalah
k
k
k
kki sBsssE 1 (8.50)
Pada penulisan bentuk energi di atas kita telah menganggap bahwa interaksi antar
titik kisi hanya terjadi antara tetangga terdekat saja, yaitu hanya dengan satu titik
kisi di sebelah kiri dan satu titik kisi di sebelah kanan. Dengan penggunaan syarat
batas periodik maka kita memiliki hubungan
k
k
k
k ss 1 (8.52)
k
kk
k
k sss 12
1 (8.53)
sehingga kita dapat menulis
k
kk
k
kki ssBsssE 112
1 (8.84)
Fungsi partisi assembli adalah
- 255 -
Ns
i
ss
sEZ exp...21
Ns k
kk
k
kk
ss
ssBss 11 )2/1(exp...21
(8.85)
Kita akan menggunakan dua cara untuk mencari fungsi partisi pada
persamaan (8.55). Cara pertama telah dilakukan oleh Ising tahun 1925 (E. Ising, Z.
Phys. 31, 253 (1925)) dan cara kedua dipaparkan oleh Tejero (C.F. Tejero,
American Journal of Physics 56, 169 (1988)).
Metode Ising Untuk memudahkan penyelesaian persamaan di atas kita definisikan
matriks 2 2, , yang memiliki elemen sebagai berikut
)'()2/1('' ssBssess
dengan s dan s’ memiliki nilai –1 atau +1. Dengan definisi tersebut maka
Be 11 (8.57)
Be 11 (8.58)
e 11 (8.59)
e 11 (8.60)
Dengan demikian
1111
1111
)(
)(
B
B
ee
ee
(8.61)
- 256 -
Akhirnya kita dapat menulis fungsi partisi sebagai
Nsss
ssBssZ 2121 )2/1(exp...21
3232 )2/1(exp ssBss
4343 )2/1(exp ssBss
11 )2/1(exp... NNNN ssBss
Ns
NN
ss
ssssss 13221 ......21
Ns
N
ss
ssssss 13221 ......21
(8.62)
Mengingat
1ks
kk ss (8.63)
maka
1
11
s
N ssZ
NTr (8.64)
Trace sebuah matriks tidak berubah jika jika dilakukan transformasi
orthogonal pada matriks tersebut. Untuk menentukan NTr dengan mudah kita
terlebih dahulu melakukan transformasi orthogonal pada N sehingga menjadi
diagonal. Transformasi yang dilakukan adalah
NN AAAAAAAAAA ... (8.65)
di mana 1AA . Agar AA N diagonal maka syarat yang cukup adalah AA
diagonal. Dalam bentuk diagonal tersebut maka elemen-elemen diagonal dari AA adalah energi eigen dari , atau
- 257 -
0
0AA (8.66)
dengan + dan - adalah energi-energi eigen dari . Dengan demikian kita akan
mendapatkan
N
N AA
0
0 (8.67)
Jadi persoalan kita tinggal mencari energi eigen dari . Untuk maksud ini,
mari kita tulis
db
ba (8.68)
Nilai eigen dari ditentukan dengan memechakan persamaan berikut ini
y
x
y
x
atau
0
y
x
db
ba
(8.69)
Persaman (8.69) memiliki solusi jika determian matrix 2 2 nol, atau
0
db
ba
0))(( 2 bda
atau
0)()( 22 badda (8.70)
Dengan membandingkan persamaan (8.61) dan (8.68) kita dapatkan
hubungan
)( Bea
- 258 -
eb
)( Bed
Sehingga
)()( BB eeda Beeee BB cosh2
2)()(2 eeebad BB 2sinh222 ee
Dengan demikian, persamaan (8.70) menjadi
02sinh2)cosh2(2 Be (8.71)
Solusi untuk adalah
2
2sinh8cosh4cosh2 22
,
BeBe
2
2sinh2cosh2cosh2 22 eBeBe
2sinh2coshcosh 22 eBBe (8.72)
Dengan demikian
2sinh2coshcosh 22 eBBe
(8.73)
2sinh2coshcosh 22 eBBe
(8.74)
Tampak dari persamaan (6.73) bahwa + > -. Karena
- 259 -
N
N AA
0
0
maka
NN
N
NN TrAATrTr
0
0 (8.75)
sehingga
NN
NZ
N ln
1ln
1
N
N
N
1ln
1
N
N
NN
1ln
1ln
1
N
N
1ln
1ln (8.76)
Mengingat + > - maka akan terpenuhi -/+ 0 jika N . Dengan demikian
persamaan (8.76) teraproksimasi menjadi
lnln1
ZN
(8.77)
Hubungan antara fungsi partisi dengan energi bebas helmholtz adalah F =
(1/) ln Z. Berdasarkan persamaan (8.77) maka energi helmholtz per spin adalah
ln1
ln11
ZN
FN
2sinh2coshcoshln1 22 eBBe
- 260 -
2sinh2coshcoshln1 22 eBB (8.78)
Dari energi helmholtz kita menghitung magetisasi menggunakan persamaan M =
(1/V)F/B kita dapatkan magnetisasi assembli sebagai
B
F
VM
1
2sinh2coshcosh
2sinh2coshcosh1sinh
22
2/122
eBB
eBBBN (8.80)
Tampak dari persamaan (8.78) bahwa jika B = 0 maka M = 0. Jadi, pada suhu
berapa pun magnetisasi selalu nol. Ini berarti tidak ada magnetisasi spontan pada
model Ising satu dimensi. Atau, dalam model ising satu dimensi tidak muncul
fenomena feromagnetik.
Kita dapat melihat bentuk khusus persamaan (8.78) pada suhu sangat kecil
dan sangat besar. Karena = -1/kT maka maka ketika T 0, - sehingga
exp[2] 0 dan exp[2] sinh[2] -1/2. Magnetisasi per satuan spin dapat
diaproksimasi sebagai
V
NM
(8.81)
Persamaan (8.81) menyatakan semua spin mengarah ke satu arah, yaitu searah
dengan medan magnet.
Sebaliknya, jika T maka 0. Akibatnya cosh [B ] 1,
exp[2] 1, dan sinh[2] 0. Dengan sigat ini maka bagian dalam tanda
kurung dalam persamaan (8.80) mendekati satu dan momen magnetik menjadi
0sinh BNM (8.82)
Persamaan (8.82) bermakna bahwa semua spin memiliki arah acak sehingga tidak
ada arah resultan.
Korelasi Spin
- 261 -
Selanjutnya kita bahs tentang korelasi antar spin dalam model ini. Kita tulis
ulang fungsi partisi sebagai berikut
Ns k
k
k
kk
ss
sBssZ 1exp...21
Ns k
kkk
ss
sKsbs 1exp...21
(8.83)
Korelasi antara spin tetangga terdekat adalah nilai rata-rata perkalian dua spin
tetangga terdekat, yaitu
Ns k
kkkjj
ss
jj sKsbsssZ
ss 111 exp...1
21
(8.82)
Karena sifat simetri maka 11433221 ... ssssssssss NNN
. Oleh karena
itu kita dapat menulis
Ns k
kkkN
ss
jj sKsbsN
ssssss
Zss 1
132211 exp
......
1
21
Ns k
kkkN
ss
sKsbsssssssZN
113221 exp......1
21
Ns k
kkk
ss
sKsbsKZN
1exp...1
21
K
Z
ZNsKsbs
KZNNs k
kkk
ss
1exp...
11
21
ZNK
ln1
(8.83)
Karena pada limit N kita memiliki persamaan aproksimasi (8.77) maka kita
dapatkan
- 262 -
KKN
ss jj
1ln
lim
1 (8.84)
Persamaan (8.73) dapat ditulis ulang dalam bentuk
)2sinh(2coshcosh 22 KeBBe KK (8.85)
Dengan menggunakan persamaan (8.73) dapat kita tulis
)2sinh(2coshcosh 22 KeBBeK
KK
)2sinh(2cosh
)2cosh()2sinh(2
22
3
KeB
KKe
K
K
dan
)2sinh(2coshcosh
)2sinh(2coshcosh
lim 22
22
1
KeBBe
KeBBe
N
ss
KK
KK
jj
)2sinh(2coshcosh
)2sinh(2cosh
)2cosh()2sinh(2
22
22
3
KeBBe
KeB
KKe
KK
K
K
)2sinh(2cosh)2sinh(2coshcosh
)2cosh()2sinh(21
2222
2
KeBKeBB
KKe
KK
K
(8.86)
Metode Tejero Pendekatan lain menyelesaikan model Ising adalah dengan metode yang
dibahas Tejero. Kita bahas metode tersebut sebagai berikut. Kita tulis ulang fungsi
partisi sebagai berikut
Ns k
k
k
kk
ss
sBssZ 1exp...21
Ns k
kkk
ss
sKsbs 1exp...21
(8.87)
- 263 -
dengan b = -B dan K = -. Kita asumsikan bahwa jumlah partikel (N) adalah
genap. Persamaan (8.55) kita uraikan sebagai berikut.
N
N
s
ssssKbsssssb
ss
eeZ)()...( 322121531
21
...
)()( 1154434 ...ssssKbsssssKbs NNNNee
(8.88)
Dengan memperhatikan persamaan (8.76) tampak jelas bahwa s2 hanya
muncul pada kurung kurawal pertama. Dengan demikian penjumlahan pada s2 dapat
dilakukan langsung pada bagian kurung tersebut. Begitu pula s4, s6, s8, dan
seterusnya hanya muncul pada kurung kurawal. Oleh karena itu kita dapat menulis
ulang persamaan (8.76) men jadi
1 2
322121531
31
)()...(...
N
N
s s
ssssKbsssssb
ss
eeZ
N
NNNN
s
ssssKbs
s
ssssKbsee
)()( 11
4
54434 ... (8.89)
Mengingat variabel spin hanya memiliki nilai -1 atau +1 maka
)()()()()( 31313131
2
32212 ssKbssKbssKbssKb
s
ssssKbseeeee
)()()( 5353
4
54434 ssKbssKb
s
ssssKbseee
.
.
)()()( 111111 ssKbssKb
s
ssssKbs NN
N
NNNN eee
Dengan demikian persamaan (8.76) menjadi
1
31311531
31
)()()...(...
N
N
s
ssKbssKbssssb
ss
eeeZ
)()()()( 11115353 ...ssKbssKbssKbssKb NN eeee
(8.77)
- 264 -
Lebih lanjut kita lakukan transformasi berikut ini
jijijiji ssKssbssKbssKbefee 11 2/)(
1
)()( (8.78)
Selanjutnya kita perlu mencari parameter f1, b1, dan K1. Kita lakukan sebagai
berikut. Masukkan s1 = -1 dan s2 = -1 ke dalam persamaan (8.78) maka
11
1
22 KbKbKb efee
atau
11
1
2)2(
22
KbKbKb
efee
atau
11
1)2cosh(2Kb
efKb
(8.79)
Masukkan s1 = +1 dan s2 = +1 ke dalam persamaan (8.78) maka
11
1
22 KbKbKb efee
atau
11
1
2)2(
22
KbKbKb
efee
atau
11
1)2cosh(2Kb
efKb
(8.80)
Masukkan s1 = +1 dan s2 = -1 atau s1 = -1 dan s2 = +1 ke dalam persamaan
(8.78) maka
1
1
Kbb efee
atau
1
12
2K
bb
efee
atau
1
1cosh2K
efb
(8.81)
Bagi persamaan (8.80) dengan persamaan (8.79) sehingga diperoleh
- 265 -
12
)2cosh(
)2cosh( be
Kb
Kb
atau
)2cosh(
)2cosh(ln
2
11
Kb
Kbb (8.82)
Selanjutnya dari persamaan (8.81) kita dapatkan
befK
cosh2 1
1 (8.83)
Kalikan persamaan (8.79) dan persamaan (8.80) dan diperoleh persamaan berikut
ini
122
1)2cosh()2cosh(4K
efKbKb (8.84)
Substitusi f1 dari persamaan (8.83) ke dalam persamaan (8.84) maka diperoleh
beKbKbK 24
cosh4)2cosh()2cosh(4 1
atau
b
KbKbe
K
2
4
cosh
)2cosh()2cosh(41
atau
b
KbKbK
21cosh
)2cosh()2cosh(4ln
4
1 (8.85)
Dari persamaan (8.85) atau persamaan sebelumnya kita dapat menulis
4/1
2cosh
)2cosh()2cosh(41
b
KbKbe
K
Substitusi ke dalam persamaan (8.83) diperoleh
bb
KbKbf cosh
cosh
)2cosh()2cosh(42
4/1
21
(8.86)
Persamaan (8.87) dapat ditulis menjadi
- 266 -
1
3113111531
31
2/)(
1
)...(...
N
N
s
ssKssbssssb
ss
efeZ
111111531531 2/)(
1
2/)(
1 ...ssKssbssKssb NNefef
1
115331115311
31
)...()...)((2/
1 ...N
NN
s
ssssssKssssbb
ss
N ef
),( 112/
2/
1 KbbZf N
N (8.87)
di mana ZN/2(b+b1,K1) adalah fungsi partisi N/2 buah partikel dengan medan luar
menjadi b+b1 dan energi interaksi antar spin menjadi K1. Persamaan (8.87) dapat
diiterasi terus hingga dinyatakan dalam Z1.
Latihan Perekat konduktif adalah komposit yang dibuat dengan mendispersi partikel yang
bersifat konduktif seperti partikel logam ke dalam resin yang bersifat. Jika fraksi
volum partikel sangat kecil maka konduktivitas listrik komposit sama dengan
konduktivitas listrik resin (bersifat isilator). Jika fraksi volum partikel dinaikkan
terus-menerus maka pada suatu saat, terjadi loncatan konduktivitas secara tiba-tiba
dan menyamai konduktivitas partikel. Peristiwa ini disebut perkolasi. Perkolasi
terjadi karena terbentuknya persambungan kontinu kontak antar partikel yang
memungkinkan terbentuknya jalur bagi arus liatrik. Fraksi volum saat terjadi
perkolasi disebut ambang perkolasi. Pada saat fraksi volum partikel berada di
bawah ambang perkolasi maka masih ada kontak yang terputus antar partikel
sehingga komposit belum bisa dialiri listrik. Saat fraksi volum sama dengan ambng
perkolasi maka kontak kontinu antar partikel mulai terbentuk sehingga arus tiba-tiba
mengali (konduktivitas tiba-tiba tinggi). Ketika fraksi volum dinaikkan melebihi
ambang perkolasi maka konduktivitas tidak lagi berubah (tetap tinggi). Terjadinya
perkolasi pada komposit perekat konduktif dapat dibahas dengan model Ising.
Strateginya sebagai berikut. Kita bagi komposit atas sejumlah sel-sel kecil. Ukuran
satu sel sedemikian sehingga ketika partikel diisikan ke dalam sel maka permukaan
partikel tepat menyentuh dinding sel. Jika sel yang dibuat berbentuk kubus maka
panjang sisi sel sama dengan diameter partikel. Sel-sel yang dibuat dapat berada
dalam dua kondisi: terisi oleh partikel atau terisi penuh oleh bahan perekat. Inilah
yang menjadi landasan mengapa model Ising dapat digunakan, yaitu adanya dua
keadaan. Dalam komposit dpat terjadi kontak dua sel yang mengandung partikel,
dua sel yang mengandung perekat saja dan sel yang mengandung partikel dan yang
- 267 -
mengandung perekat. Jika jumlah sel yang dibuat adalah N dan jumlah partikel
adalah Np maka jumlah sel yang tidak diisi partikel adalah N-Np. Dikaitkan dengan
model Ising untuk spin maka n ekuivalen dengan N+ dan N-Np ekivalen dengan N- =
N-N+. Jika energi interaksi ketika terjadi kontak antara dua sel yang berisi partikel
adalah pp, energi interaksi antara dua sel yang hanya bersisi resin adalah rr, dan
energi interaksi antara sel yang berisi partikel dan yang berisi resin adalah rp, maka
energi konfigurasi memenuhi
prprrrrrppppprrrpp NNNNNNE },,{
dengan Npp, Nrr, dan Npr masing-masing adalah jumlah kontak dua sel yang
mengandung partikel, jumlah kontak dua sel yang berisi resin saja, dan jumlah
kontak sel yang mengandung partikel dan yang mengandung resin. Jika jumlah
tetangga terdekat tiap sel adalah , buktikan bahwa energi konfigurasi di atas dapat
ditulis sebagai
321},,,{ NEENENNNNE pppppp
dengan
prrrppE 21
rrprE 2
2/3 rrE
Dengan mendefinisikan parameter L yang memenuhi Np/N = (1+L)/2 dan
menggunakan pendekatan Bragg-Williams, buktikan bahwa energi konfigurasi per
satuan partikel memenuhi
3
2121
2
1
28248E
EEL
EELE
N
E
Tentukan fraksi jumlah partikel saat terjadi perkolasi.
(lihat Mora, Sahrul Saehana, Euis Sustini, Khairurrijal, and Mikrajuddin Abdullah,
American Journal of Applied Sciences 9,1113-1123 (2012))
-268-
Daftar Pustaka
1. Mikrajuddin Abdullah, Pengantar Fisika Statistik, Bandung: CV
Rezeki Putera (2009).
2. Mikrajuddin Abdullah, Diktat Kuliah Mekanika Statistik, Bandung:
Penerbit ITB (2007).
3. Kerson Huang, Statistical Mechanics, New York: John Wiley (1987).
4. Joseph Edward Meyer and Maria Geopaert Meyer, Statistical
Mechanics, New York: John Wiley (1977).
5. Anthony John Pointon, An Introduction To Statistical Physics For
Students, New York: Longmann (1967).
6. Richard P. Feynman, Statistical Mechanics, Massachusetts: Benjamin
(1972).