1

Oleh :

AZIS SUSANTO,ST.,MT

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.idJl

. Am

al L

ama

No.

01,

Tar

akan

, Kal

iman

tan

Tim

ur 7

7123

, Tel

p. 0

551~

5509

459,

em

ail :

civ

il_ub

@ya

hoo.

co.id

Metode matriks, aljabarmatriks, metode matriksperpindahan, metodematriks gaya, aplikasipada struktur rangkabatang, balok dan portal, grid, substructring.

Metode matriks, aljabarmatriks, metode matriksperpindahan, metodematriks gaya, aplikasipada struktur rangkabatang, balok dan portal, grid, substructring.

1. FX. Supartono, Ir & Teddy Boen, Ir, ANALISA STRUKTUR DGN METODE MATRIX, UI Press, 1984

2. Binsar Hariandja, ANALISA STRUKTUR BERBENTUK RANGKA DALAM FORMULASI MATRIKS

3. Chu Kia Wang – Ismoyo PH, Ir, PENGANTAR ANALISIS STRUKTUR DGN CARA MATRIKS, Erlangga,1985

4. A. Ghali & AM Neville ~ Wira, MSc, Ir, ANALISA STRUKTUR (Gabungan Metode Klasuk & Matrik), Erlangga, 1985

1. FX. Supartono, Ir & Teddy Boen, Ir, ANALISA STRUKTUR DGN METODE MATRIX, UI Press, 1984

2. Binsar Hariandja, ANALISA STRUKTUR BERBENTUK RANGKA DALAM FORMULASI MATRIKS

3. Chu Kia Wang – Ismoyo PH, Ir, PENGANTAR ANALISIS STRUKTUR DGN CARA MATRIKS, Erlangga,1985

4. A. Ghali & AM Neville ~ Wira, MSc, Ir, ANALISA STRUKTUR (Gabungan Metode Klasuk & Matrik), Erlangga, 1985

2

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id

DEFINISI MATRIKS :Bentuk penyajian sekelompok bilangan ygdisusun atas baris & kolom.Suatu matrik [C] secara umum ditulis :

DEFINISI MATRIKS :Bentuk penyajian sekelompok bilangan ygdisusun atas baris & kolom.Suatu matrik [C] secara umum ditulis :

[ ]

11 12 1j 1n

21 22 2 j 2n

ij m x ni1 i2 ij in

m1 m2 mj mna a a a

c c c cc c c c

C cc c c c

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

? ?? ?

@ @ @ @ @ @? ?

@ @ @ @ @ @? ?

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id JENIS MATRIKS1. Matrik Persegi, m ≠ n2. Matrik Bujur Sangkar (Square Matrix), bila m = n3. Matrik Baris (Row Matrix), m = 14. Matrik Kolom (Column Matrix), n = 15. Matrik Nol (Null Matrix), jika cij = 0

BEBERAPA TIPE MATRIK BUJUR SANGKAR :1. Upper Triangular Matrix, yaitu matrik dimana semua elemen

di bawah diagonal utama sama dengan nol

11 12 13 14 1n

22 23 24 2n

33 34 3n

44 4n

mn

00 00 0 0

0 0 0 0 0

c c c c cc c c c

c c cc c

c

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

????

@ @ @ @ B @

Diagonal Utama

3

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id

2. Lower Triangular Matrix, yaitu matrik dimana semua elemendi atas diagonal utama sama dengan nol

11

21 22

31 32 33

41 42 43 44

m1 m2 m3 m4 m5 mn

0 0 0 0 00 0 0 0

0 0 00 0

cc cc c cc c c c

c c c c c c

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

@ @ @ @ B @

3. Diagonal Matrix, yaitu matrik dimana semua elemennyasama dengan nol kecuali diagonal utamanya

11

22

33

44

mn

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 0

cc

cc

c

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

@ @ @ @ B @

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id

4. Skalar Matrix, yaitu matrik diagonal dimana semua elemendiagonalnya merupakan bilanngan yg sama

5. Unit Matrix (Matrik satuan) atau matrik identitas [ I ] yaitumatrik diagonal dimana semua elemen diagonalnya samadengan 1

4 0 0 0 0 00 4 0 0 0 00 0 4 0 0 00 0 0 4 0 00 0 0 0 4 00 0 0 0 0 4

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

4

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id 6. Symmetric Matrix, yaitu matrik dengan unsur-unsur ygmemiliki hubungan

cij = cji

7. Antisymmetric Matrix, yaitu matrik dengan unsur-unsur ygmemiliki hubungan

cij = – cji atau cij + cji = 0

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id OPERASI & SIFAT MATRIKBeberapa sifat & operasi matrik yang sering dihadapi dalamterapan rekayasa :

1. Kesamaan, dua matrik persegi [A] & [B] dikatakan sama, jikamemiliki ukuran dan nilai unsur yang sama

[A]mxn = [B]pxq jika m = p ; n = q dan aij = bij

2. Keberlawanan, dua matrik persegi [A] & [B] dikatakanberlawanan, jika memiliki ukuran sama dan nilai unsur yang berlawanan

[A]mxn = – [B]pxq jika m = p ; n = q dan aij = – bij

5

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id 3. Transpos, matrik persegi [B] dikatakan traspos matrik [A], jika berlaku hubungan dimana unsur baris damemiliki n kolom dari [A] adalah masing-masing unsur baris dan kolommatrik [B]

[B]mxn = [A]Tpxq jika m = p ; n = q dan bij = aji

Beberapa hal berhubungan dengan transpos matrik :1). ([A]T)T = [A]2). (k.[A])T = k.[A]T

3). ([A] + [B])T = [A]T + [B]T

4). ([A] . [B])T = [A]T . [B]T

Contoh :

[ ] [ ]8 6

8 3 13 2

6 2 51 5

TA A⎡ ⎤

−⎡ ⎤ ⎢ ⎥= → = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id

4. Penjumlahan, matrik [C] merupakan penjumlahan [A] & [B], jika memiliki ukuran sama dgn nilai unsur merupakanpenjumlahan kedua matrik tersebut.

[C]mxn = [A]mxn + [B]mxn dengan cij = aij + bij

sifat-sifat penjumlahan matrik :1). [A] + [B] = [B] + [A] Ą Commulatif2). [A] + [B] + [C] = ([A] + [B]) + [C] Ą assosiatif3). Akan selalu ada matrik [X]

[A] + [X] = [B]

Contoh : [ ] 2 3 41 5 6

A−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] 1 2 34 7 4

B⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

[C] = [A] + [B]

[ ] 2 1 3 2 4 3 1 5 71 4 5 7 6 4 5 2 10

C− + + + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

6

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id 5. Pekalian Skalar, matrik [A] dapat dikalikan skalar k menghasilkan suatu matrik [C] = k [A]

contoh :

[ ] 2 3 41 5 6

A−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

skalar k = 2

[C] = k [A]= 2 [A]

[ ] 4 6 82 10 12

C−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id

6. Pekalian Matrik, matrik [C] merupakan perkalian dari [A] & [B], jika ukuran kolom matrik pertama sama dgn ukuran barismatrik kedua, ukuran matrik hasil adalah jumlah baris matrikpertama dan kolom matrik kedua.

[C]mxn = [A]mxn x [B]nxq dengan1

a .n

ij ik kjk

c b=

= ∑

sifat-sifat perkalian matrik :1). [A] ([B] + [C]) = [A] [B] + [A] [C] Ą Distributif2). ([A] + [B]) [C] = [A] [C] + [B] [C] Ą Distributif3). [A] ([B] [C]) = ([A] [B]) [C] Ą Associatif4). Pada umumnya [A] [B] ≠ [B] [A] Ą Antikomulatif5). [A] [B] = 0, belum tentu mengakibatkan [A] = 0 atau [B] = 06). [A] [B] = [A] [C], belum tentu [B] = [C]

7

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id

[ ] 2 1 51 3 2

A⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]

3 41 2

2 1B

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ]xC A B=

2 . 3 1 ( 1) 5 . 2 2 . 4 1. 2 5 .1 15 151. 3 3 ( 1) 2 . 2 1. 4 3 . 2 2 .1 4 12

+ − + + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Contoh :

[ ]11 12

21 22

31 32

a aa aa a

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] 11 12

21 22

b bb b

B⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ]11 12

11 1221 22

21 2231 32

x

a ab b

a ab b

a a

C A B=

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

11 11 12 21 11 12 12 22

21 11 22 21 21 12 22 22

31 11 32 21 31 12 32 22

a .b a .b a .b a .ba .b a .b a .b a .ba .b a .b a .b a .b

+ +⎡ ⎤⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id DETERMINANDitulis dalam bentuk : [ ]

11 12 1n

21 22 2nn x n

n1 n2 nn

a a aa a a

det

a a a

A A A= = =

??

@ @ B @?

Untuk determinan matrik ordo 2 x 2 : [ ]2 x 2

a bc d

A ad bc

A⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

= −

Untuk determinan matrik ordo 3 x 3 dapat menggunakan metodecramer :

–– –– –– ++ ++ ++

[ ]11 12 13 11 12

21 22 23 21 223 x 3

31 32 33 31 32

11 22 33 12 23 31 13 21 32 12 21 33 32 22 31 11 22 31

a a a a aa a a a aa a a a a

A a a a a a a a a a a a a a a a a a a

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= + + − − −

8

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id Untuk matrik dengan ordo lebih tinggi, sebelum dihitungditerminannya, maka perlu dikenal terlebih dahulu minor dancofaktor dari elemen matrik.Minor dari satu elemen aij, dimana aij merupakan satu elemendari matrik bujursangkar [A], didefinisikan sebagai determinandari bagian matrik [A] diluar baris ke-i dan kolom ke-j yang diberi notasi Mij.

Contoh :

[ ]

2 3 1 57 1 3 2

2 5 6 21 2 4 3

A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

11

1 3 25 6 2 2 4 3

M =

Bila Mij dikalikan (-1)i+j, maka akan menghasilkan cofaktor dariaij, yg diberi notasi Cij.

Cij = (-1)i+j Mij

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id Determinan dari matrik [A] dengan ordo n x n, didefinisikansebagai :

i1 i1 i2 i2 i3 i3 in in

ik ik1

a . a . a . ..... a .atau

A a .Cn

k

A C C C C

=

= + + + +

=∑

1j 1j 2j 2j 3j 3j nj nj

kj kj1

a . a . a . ..... a .

atau

A a .Cn

k

A C C C C

=

= + + + +

=∑

Atau

Ekspansi terhadapbaris ke-i

Ekspansi terhadapkolom ke-j

9

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id Beberapa hal yang perlu diperhatikan berhubungan denganperhitungan diterminan, antara lain :

1. Apabila dua baris atau dua kolom dari matrik [A] adalahsama, maka determinan matrik [A] = 0

2. Apabila [A] adalah matrik satuan maka determinan matrik[A] = 1

3. Apabila satu kolom dari [A] dijumlahkan dengan kolom yglain (atau kelipatan dari kolom yg lain), maka determinanmatrik [A] tidak berubah

4. Apabila dua kolom dari matrik [A] ditukar posisinya, makadeterminan determinan matrik [A] mengalami perubahantanda

5. Determinan dari matrik [A] akan sama dengan determinanmatrik tranposenya

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id ADJOINT DARI MATRIKAdjoint dari matrik bujur sangkar [A] yg diberi notasi [A]+ ialahsatu matrik dengan orde yg sama yg didapat dengan menggantielemen dari [A]T dengan cofaktor elemen yang bersangkutan

[ ]11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]11 21 31

12 22 32

13 23 33

a a aa a aa a a

TA⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]11 21 31

12 22 32

13 23 33

C C CA C C C

C C C

+⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

10

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id INVERS DARI MATRIKApabila [A] dan [B] matrik bujur sangkar sehingga[A] [B] = [B] [A] = matrik satuan, maka [B] disebut invers darimatrik [A] dan [A] adalah invers dari matrik [B]

[ ] [ ]1 2 3 6 -2 -31 3 3 dan -1 1 01 2 4 -1 0 1

A B⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ]

[ ]

1 2 3 6 -2 -3. 1 3 3 -1 1 0

1 2 4 -1 0 1

1 0 0 0 1 0

0 0 1

A B

I

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id ADA BEBERAPA CARA UNTUK MENCARI INVERS DARI MATRIK, DIANTARANYA :

1. METODE ADJOINT (ADJOINT METHOD)

2. METODE PEMISAHAN (MATRIX PARTITIONING)

3. METODE GAUSS-JORDAN (GAUSS-JORDAN

METHOD)

4. METODE CHOLESKY (CHOLESKY METHODE)

11

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id MENCARI INVERS MATRIK DENGAN :

[ ] [ ]1 AA

A

+− =

Dimana :

[A]-1 : invers matrik [A]

[A]+ : adjoint matrik [A]

A : determinan matrik [A]

Dimana :

[A]-1 : invers matrik [A]

[A]+ : adjoint matrik [A]

A : determinan matrik [A]

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id

Contoh :Hitung invers matrik [A] dibawah ini dengan metode adjoint !

[ ]1 3 31 4 31 3 4

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Solusi :Hitungan determinan matrik A

4 3 3 3 3 31 1 1

3 4 3 4 4 3 (1 6 9 ) ( 1 2 9 ) ( 9 1 2 ) 1

A = − +

= − − − + −=

12

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id Hitungan cofaktor dari elemen matrik A

1 1 1 2

4 3 1 37 1

3 4 1 4C C= = = − = −

1 3 2 1

1 4 3 31 3

1 3 3 4C C= = − = − = −

2 2 2 3

1 3 1 31 0

1 4 1 3C C= = = − =

3 1 3 2

3 3 1 33 0

4 3 1 3C C= = − = − =

3 3

1 31

1 4C = =

Note :

Tanda Positif (+) dan Negatif (–)

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id Adjoint matrik A

[ ]11 21 31

12 22 32

13 23 33

7 3 31 1 01 0 1

C C CA C C C

C C C

+− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Invers dari matrik A

[ ] 1

7 3 31 1 0

7 3 31 0 1

1 1 01

1 0 1A −

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥ − −⎡ ⎤⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎣ ⎦= = −⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎣ ⎦

[ ] [ ]1 AA

A

+− =

13

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id

MENCARI INVERS MATRIK DENGAN :

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id Langkah-langkah pemisahan pada matrik :

[ ]11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Ambil satu matrik [A] :

[ ]11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Atau dinyatakan dalam sub matrik [A] :

[ ] 11 12

21 22

A AA A

A⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

11 1211

21 22

a aa a

A⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]22 33aA =

1312

23

aa

A⎧ ⎫

= ⎨ ⎬⎩ ⎭

[ ]21 31 32a aA =

14

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id11 12 11 12

21 22 21 22

F F A A 1 0F F A A 0 1⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Bila dimisalkan [A]-1 = [F] maka akan terdapat hubungan : [F] . [A] = [I]

dengan mengexpansi perkalian di atas akan didapat :

11 11 12 21

21 11 22 21

11 12 12 22

21 12 22 22

F .A + F .A = 1F .A + F .A = 0F .A + F .A = 0F .A + F .A = 1

Merupakan persamaan linier dengan 4 “besaran anu”,yaitu F11, F12, F21 dan F22

Penyelesaian persamaan diatas :

( )( )

( )( )

1-1 -1 -1 -111 11 11 12 22 21 11 12 21 11

1-1 -112 11 12 22 21 11 12

1-1 -121 22 21 11 12 21 11

1-122 22 21 11 12

F A A A A A A A A A

F A A A A A A

F A A A A A A

F A A A A

−

−

−

−

= + −

= − −

= − −

= −

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id Urutan perhitungan penyelesian persamaan di atas :

1. Hitung : A11-1

2. Hitung : A11-1 . A12

3. Hitung : A21 . A11-1

4. Hitung : {hasil (3)} . A12

5. Hitung : A22 – {hasil (4)}6. Hitung : F22 = {hasil (5)}-1

7. Hitung : F21 = - F22 . {hasil (3)}8. Hitung : F12 = - {hasil (2)} . F22

9. Hitung : F12 . {hasil (3)}10.Hitung : F11 = A11-1 . - {hasil (9)}

15

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id Contoh :Hitung invers matrik [A] dibawah ini denganmetode partitioning !

[ ]1 3 31 4 31 3 4

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Solusi :Lakukan pemisahan matrik A : [ ]

1 3 31 4 31 3 4

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

11 1211

21 22

a a 1 3a a 1 4

A⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

[ ] [ ]22 33a 4A = =1312

23

a 3a 3

A⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

[ ] [ ]21 31 32a a 1 3A = =

Sub matrik A

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id

Urutan penyelesaian persamaan :T

111

4 1 4 313 1 1 14 3

A − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −− ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

111 12

4 3 3 3.

1 1 3 0A A− −⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

[ ] [ ]121 11

4 3. 1 3 1 0

1 1A A − −⎡ ⎤

= =⎢ ⎥−⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ]12

31 0 . 1 3 3

3A

⎧ ⎫= =⎨ ⎬

⎩ ⎭

[ ] [ ] [ ] [ ]22 3 4 3 1A − = − =

[ ] [ ]122 1 1F −= =

16

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id [ ] [ ] [ ]21 1 1 0 1 0F = − = − [ ]12

3 31

0 0F

−⎧ ⎫ ⎧ ⎫= − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

[ ]3 3 01 0

0 0 0− −⎧ ⎫ ⎡ ⎤

=⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦

111 11

3 0F A

0 0− −⎡ ⎤

= − ⎢ ⎥⎣ ⎦

4 3 3 0 7 31 1 0 0 1 1

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Jadi matrik [F] yang merupakan invers dari matrik [A] dapatdisusun dari hasil di atas sebagai berikut :

[ ] 11 12

21 22

7 3 3F F

F 1 1 0F F

1 0 1

− −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

Dengan demikian invers dari [A] : [ ] 17 3 3

A 1 1 01 0 1

−− −⎡ ⎤

⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id

MENCARI INVERS MATRIK DENGAN :

17

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id LANGKAH-LANGKAH :1. Ambil matrik satuan [ I ] dengan

ordo n x n 2. Dgn cara oprasi baris, ubah [A]

menjadi matrik satuan :

a. Bagilah baris ke-1 dgn a11, sehingga a11 sama dgn 1

b. Jumlahkan baris ke-2 dgn bariske-1 yg telah dikalikan dgn –a21sehingga –a21 sama dgn nol

c. Analog langkah (b) utk baris ke-3, 4 ……n sehingga kolom ke-imenjadi nol kecuali a11 = 1

d. Analog langkah (a, b, c) utk bariske-2 dimulai dgn membuat a22 = 1 dan a12 = a32 = a42 ………….an2 = 0

e. Analog langkah (d) utk baris ke-3, 4, 5 …………… n

f. Proses selesai

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id

3. Analogi proses (2) sekaliguspada matrik [ I ], sehingga setelahproses selesai, matrik [ I ] telahberubah menjadi matrik [ F ], matrik [ F ] invers dari matrik [ A ]

4. Proses keseluruhan dpatdinyatakan sebagai :

[ ] [ ]A I I Foprasi baris⎯⎯⎯⎯→

18

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id Contoh :Hitung invers matrik [A] dibawah ini denganmetode Gauss-Jordan !

[ ]1 3 31 4 31 3 4

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦Solusi :

Notasi Hik (p) menyatakan penjumlahan baris ke-i denganbaris ke-k yg sudah dikalikan dgn p

( 1)21H

1 3 3 1 0 0 1 3 3 1 0 01 4 3 0 1 0 0 1 0 1 1 01 3 4 0 0 1 1 3 4 0 0 1

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎯⎯⎯→ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( 1) ( 3)31 12H H

1 3 3 1 0 0 1 0 3 4 3 00 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 00 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1

− −

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Jl. A

mal

Lam

a N

o. 0

1, T

arak

an, K

alim

anta

n Ti

mur

771

23, T

elp.

055

1~55

0945

9, e

mai

l : c

ivil_

ub@

yaho

o.co

.id ( 3)13H

1 0 0 7 3 30 1 0 1 1 00 0 1 1 0 1

−

− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎯⎯⎯→ −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Dengan demikianinvers dari [A] :

[ ] 17 3 3

A 1 1 01 0 1

−− −⎡ ⎤

⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦