Mean untuk Data Tunggal

Definisi .

Jika suatu sampel berukuran n dengan anggota x1 , x2 , x3 , … ,

xn ,

maka mean sampel didefinisiskan :

n

Xi

n

X...XXX

n

1iN21

Mean untuk Data Kelompok

Definisi

Mean dari data yang dikelompokan adalah :

n

xf

f

xf

X

n

1i

ii

n

1i

i

n

1i

ii

dengan : xi = titik tengah pada kelas interval ke – I

fI = frekuensi pada kelas interval ke-I

n = banyak data (sampel)

Contoh

Kelas Interval xi fi fi xi

35 - 44

45 - 54

55 - 64

65 - 74

75 - 84

85 - 94

95 - 104

39,5

49,5

59,5

69,5

79,5

89,5

99,5

4

3

10

22

18

19

4

158

148,5

595

1529

1431

1700,5

398

Jumlah - 80 5960

n

xf

f

xf

X

n

1i

ii

n

1i

i

n

1i

ii

= (5960) / 80 = 74,5

Sehingga mean

:

MODUS

Modus pada umumnya digunakan untuk menyatakan kejadian

yang sering muncul. Sehingga ukuran ini dalam keadaan tidak

disadari sering dipakai untuk menentukan rata-rata yang

berasal dari data kualitatif.

Modus untuk Data Tunggal

Untuk menentukan modus dari suatu data yaitu dengan cara

mencari frekuensi paling banyak.

Definisi :Data nilai yang berbentuk distribusi frekuensi , modus

dapat dicari dengan rumus sbb :

)ba

a(cLMo MO

Di mana :

LMo : batas bawah interval modus

a : frek. kelas modus dikurangi frekuensi interval kelas

sebelumnya.

b : frek. kelas modus dikurangi frekuensi interval berikutnya.

c : panjang interval.

Modus untuk data kelompok

Contoh

Kelas Interval fi

35 - 44

45 - 54

55 - 64

65 - 74

75 - 84

85 - 94

95 - 104

4

3

10

22

18

19

4

Dari tabel di atas kelas modusnya adalah interval keempat ,

dengan L M = 64,5

a= 22 - 10 = 12 ; b = 22 - 18 = 4 dan c = 10Sehingga :

)ba

a(cLMo MO

= 64,5 + 10 (12)/(12+4) = 64,5 + 7,5

= 72

Median

Definisi Median untuk data tunggal :

Jika suatu data yang telah diurutkan dari yang kecil

samapai terbesar dengan notasi X(1) , X(2) , X(3) , …

, X(n) , maka

1. Untuk sampel berukuran ganjil

Mediannya adalah data paling tengah atau

Me = X((n + 1)/2) .

2. Untuk sampel berukuran genap.

Mediannya adalah rata-rata dari dua data tengah

atau

Me = ½ { X(n /2) + X((n/2)+1) } .

Diberikakan data nilai mahasiswa untuk mata kuliah statistika

matematika I sbb :

a) 45 55 70 65 75 40 75

b) 45 55 70 65 75 40 75 50

Tentukan mediannya.

Penyelesaian :

a. Data diurutkan telebih dahulu mulai dari yang terkecil sampai

terbesar

40 45 55 65 70 75 75

Jadi median untuk nilai statistika matematika I adalah 65.

b. Data diurutkan telebih dahulu mulai dari yang terkecil sampai

terbesar

40 45 50 55 65 70 75 75

Dua data ditengah

Sehingga mediannya adalah (55 + 65) / 2 = 60

Median untuk Data Kelompok

Definisi

Sedangkan untuk data yang disajikan dalam tabel frekuensi,

maka median dapat dicari sebagai berikut :

Di mana :

Lme : batas bawah kelas median

F : jumlah frekuensi semua interval sebelum klas median.

c : panjang interval

f : frekuensi kelas median

)f

F)2/n((cLMe me

Kelas Interval fi

35 - 44

45 - 54

55 - 64

65 - 74

75 - 84

85 - 94

95 - 104

4

3

10

22

18

19

4

CONTOH :

Dari kelas median batas bawahnya adalah 74,5 ; panjang interfal : 10

f : frekuensi kelas median adalah 18 serta F = 4 + 3 + 10 + 22 = 39Sehingga :

)f

F)2/n((cLMe me

= 74,5 + 10 ( 40 – 39 )/18

= 74,5 + 0,556 = 75,056

Kuantil (N – til)

Definisi :

Kuantil (N-til) merupakan sekumpulan data yang dibagi menjadi

(N-1) kelompok dan untuk menentukan letak data , terlebih

dahulu data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar.

Sehingga :

untuk N = 4 disebut kuartil artinya setelah data dirutkan ,

kemudian dibagi dalam 3 kelompok ;

N = 10 disebut desil artinya setelah data diurutkan ,

kemudian dibagi dalam 9 kelompok

N = 100 disebut persentil artinya setelah data diurutkan ,

kemudian dibagi dalam 99 kelompok

Kuantil Untuk Data Tunggal

Definisi

Untuk menentukan letak data ke –i dari suatu kuantil digunakan

rumus :

Letak Ke i = data ke

Dengan : I = letak ke i

n = banyak data

N = jenis kuantil

N

)1n(i

Diberikan data sampel seperti berikut.

63 52 35 55 60 40 45 70 30

64 35 45 43

Tentukan :

Kuartil ke 1 (K1)

Kuartil ke 3 (K3)

Penyelesaian :

Data diurutkan terlebih dahulu :

30 35 35 40 43 45 45 52 55 60

63 70

berarti n = 12 dan N = 4

a) Kuartil ke – 1 adalah

Letak (K1) = data ke (1(12+1)/4) = 3,25

Sehingga K1 = data ke- 3 + (1/4) (data ke-4 - data ke-3)

= 35 + (1/4)(40-35)

= 35 + (5/4) = 36,25

b) Kuartil ke – 3 adalah

Letak (K3) = data ke (3(12+1)/4) = 9,75

Sehingga K3 = data ke- 9 + (3/4)(data ke-10 - data ke-9)

= 35 + (3/4)(60 – 55) = 58,75

Ukuran Penyimpangan

Ukuran ini menunjukan adanya penyimpangan (sebaran/deviasi) tiap

observasi data terhadap suatu harga tengah.

Karena merupakan ukuran pusat , maka penyimpangan yang terjadi

pada masing-masing data terhadap rata-rata adalah

Penyimpangan untuk Data Tunggal

Deviasi rata-rataDefinisi :

Deviasi rata-rata adalah harga rata-rata sebaran tiap observasi data terhadap

meannya.

Andaikan ada data nilai X 1, X 2 , … , X n dengan mean X , maka deviasi

rata-rata adalah

n

XX

r.d

n

1i

i

)())(( 21 xxxxxx n

Definisi :

(1) Variansi sampel dari sekumpulan n data : X 1, X 2 , … , X n

.adalah

(2) Deviasi standar (simpangan baku) dari sekumpulan n data : X

1, X 2 , … , X n adalah

S.D =

1n

)XXi(

S

n

1i

2

2

1n

)XXi(

S

n

1i

2

2

Deviasi untuk Data Kelompok

Definisi :

Untuk sekumpulan n data : X 1, X 2 , … , X n yang telah diubah dalam tabel distribusi frekuiensi , maka

(1) Deviasi rata-ratanya adalah

n

XXf

r.d

n

1i

ii

(2) Variansi sampelnya adalah

di mana :

i : 1 , 2 , 3, … , n

fi : frekuensi

Xi : data ke-i

: mean data sampelX

1n

)XXi(f

S

n

1i

2

i

2

)1n(n

)Xf(Xfn

1n

)XXi(f

S

n

1i

n

1i

2

ii

2

ii

n

1i

2

i

2

Theorema