Ruang Vektor

Definisi Misalkan F adalah field, yang elemen-elemennya dinyatakansebagai skalar. Ruang vektor

atas F adalah himpunan tak kosong V, yang elemen-elemennya merupakan vektor, bersama dengan dua

operasi. Operasi pertama disebut penjumlahan dan dinotasikan dengan +, yang dimaksud dengan setiap

pasangan (u, v) di V adalah vektor u + v di V. Operasi kedua disebut perkalian dengan skalar dan

dinotasikan penjajaran, yang dimaksud dengan setiap pasangan (r, u) F x V adalah vektor ru di V. Lebih

lanjut, harus pula memenuhi sifat-sifat: 1

1. (Assosiatif terhadap penjumlahan) Untuk setiap vektor u, v, w V, u + (v + w) = (u + v ) + w

2. (Komutatif terhadap penjumlahan) Untuk setiap vektor u, v, w V, u + v = v + u

3. (Eksistensi elemen nol) Terdapat vektor 0 V yang bersifat 0 + u = u + 0 = u untuk setiap vektor

u V

4. (Eksistensi invers penjumlahan) Untuk setiap vektor u V, terdapat vektor di V, dinotasikan dengan

u, yang bersifat:

u + ( u) = (u) + u = 0

5. (Sifat perkalian dengan skalar) Untuk setiap skalar a, b F dan untuk setiap vektor u, v V,

a(u + v) = au + av

(a + b)u = au + bu

(ab)u = a(bu)

1u = u, dengan 1 F

Perhatikan bahwa empat sifat pertama pada definisi ruang vektor dapat diringkas dengan

mengatakan bahwa V adalah grup abelian terhadap operasi penjumlahan.

Ruang vektor atas field F disebut Ruang-F. Ruang vektor atas field real disebut ruang vektor real dan ruang

vektor atas field kompleks disebut ruang vektor kompleks.

Definisi Misalkan S adalah subset tidak kosong dari ruang vektor V. Kombinasi linier dari vektor-

vektor di S dinyatakan dalam bentuk

a1v1 + + anvn

dengan v1, , vn S dan a1, , an F. Skalar ai disebut koefisien dari kombinasi linier.

Suatu kombinasi linier dikatakan trivial jika setiap koefisien ai adalah nol, selain itu dikatakan nontrivial.

Contoh-Contoh Ruang Vektor

Berikut ini beberapa contoh ruang vektor.

Contoh :

1. Misalkan F adalah suatu field. Himpunan FF yaitu himpunan semua fungsi dari F ke F, adalah

ruang vektor atas F, dibawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada fungsi:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

dan

(af)(x) = a(f(x)).

2. Himpunan Mm,n(F) yaitu himpunan semua matriks m x n dengan entri-entrinya di field F, adalah

ruang vektor atas F, dibawah operasi penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar.

3. Himpunan Fn yaitu himpunan semua susunan n-tuples yang komponen-komponennya berada di

field F, adalah ruang vektor atas F, dengan penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan:

(a1, , an)+(b1, , bn) = (a1 + b1, , an + bn)

dan

c(a1, , an) = (ca1, , can)

Element-elemen Fn dapat juga ditulis dalam bentuk kolom. Jika F adalah field hingga dengan q

elemen, ditulis V(n, q) untuk

4. Misal F adalah suatu field. Bentuk barisan sSebagian besar ruang barisan adalah ruang vektor.

Himpunan Seq(F) yaitu himpunan semua barisan tak hingga yang merupakan anggota field F,

adalah ruang vektor yang operasinya didefinisikan

(sn) + (tn) = (sn + tn) . n q F

dan

a(sn) = (asn)

Dengan cara serupa, himpunan co yaitu himpunan bilangan kompleks yang konvergen ke 0 adalah

ruang vektor, seperti himpunan yaitu himpunan semua barisan kompleks terbatas. Juga, jika p adalah

bilangan bulat positif, maka himpunan yaitu himpunan semua barisan kompleks (sn) dengan

Adalah ruang vektor dibawah operasi componentwise. Untuk melihat apakah pejumlahan merupakan

operasi biner di , salah satu dari Minkowskis inequality

Sub ruang

Sebagian besar struktur aljabar memuat substruktur, termasuk ruang vektor. Definisi S subset dari

V dikatakan subruang dari ruang vektor V jika S adalah ruang vektor dengan operasi yang sama dengan

operasi pada V, dinotasikan dengan S V dan jika S adalah subruang sejati dari V dinotasikan dengan S

< V. Subruang nol dari V adalah {0}.

Untuk mengetahui apakah S adalah subruang dari V, cukup diselidiki bahwa S tertutup dibawah operasi di

V.

Teorema 1.1 Subset S yang tidak kosong dari ruang vektor V adalah subruang dari V jika dan hanya jika S

tertutup dibawah operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar atau, secara ekivalen, S tertutup dibawah

kombinasi linier, yaitu,

a, b F, u, v S au + bv S

Bukti:

1. Jika diketahui S V, S, S adalah subruang dari ruang vektor V maka S tertutup dibawah operasi

penjumlahan dan perkalian dengan skalar.

Bukti:

Diketahui S V, S, S adalah subruang dari ruang vektor V.

Akan ditunjukkan bahwa S tertutup dibawah operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.

Ambil sebarang a, b F

Karena S, ambil sebarang u, v S.

Karena S adalah subruang dari ruang vektor V, berarti S adalah ruang vektor dengan operasi yang sama

dengan operasi pada V.

Lattice dari Sub ruang

Himpunan S(V) adalah himpunan semua subruang dari ruang vektor V yang terurut secara set

inclusion. Subruang nol {0} adalah elemen terkecil di S(V) dan V adalah elemet terbesar di S(V). Jika S,

T S(V) maka S T adalah subruang terbesar dari V yang terkandung didalam S maupun T. Dalam

bentuk set inclusion, S T adalah batas bawah terbesar dari S dan T.

S T = glb {S, T}

Secara umum, jika {S i|iK} adalah sebarang koleksi subruang dari V, maka irisan-irisannya adalah batas

bawah terbesar dari subruang:

Si glb{Si | i K}

iK

Dengan kata lain, jika S, TS(V) ( dan F adalah tak hingga), maka S T S(V) jika dan hanya jika S T

atau T S. Dengan demikian gabungan dua subruang bukanlah subruang.

Teorema 1.2 Ruang vektor non trivial V atas field tak hingga F tidak dapat dinyatakan sebagai gabungan

sejumlah hingga dari subruang sejati.

Bukti. Andaikan V = S1 Sn, asumsikan bahwa S1 S2 Sn

Misalkan w S1 \ (S2 Sn) dan v S1. Pandang himpunan tak hingga A = {rw + v | r F}

yaitu garis yang melalui v sejajar w. Akan ditunjukkan bahwa setiap S i memuat paling banyak satu vektor

dari himpunan tak hingga A, yang kontradiksi dengan V = S 1 Sn.

Jika rw + v S1, r 0 maka w S1 akibatnya v S1, bertentangan dengan asumsi.

Berikutnya, andaikan r1w + v Si dan r2w + v Si, i 2 dan r1 r2.

Maka

Si (r1w + v) (r2w + v) = (r1 r2)w

Diperoleh w Si, hal ini juga bertentangan dengan asumsi.

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Bab ini membahas suatu vektor tidak nol x dan skalar l yang mempunyai hubungan tertentu dengan

suatu matriks A. Hubungan tersebut dinyatakan dalam bentuk Ax = x. Bagaimana kita memperoleh x dan

dimaksud akan dibahas lebih lanjut dalam bagian ini.

Definisi :

Jika A adalah matriks nxn, maka sebuah vektor tak nol x di dalam Rn, dinamakan vektor karakteristik

/ vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yakni

Ax = x

untuk suatu skalar yang dinamakan nilai karakteristik / nilai eigen (eigen value) dari A. Dalam hal ini

dikatakan x adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen .

Istialah eigen di dalam bahasa Jerman mempunyai arti asli (proper). Beberapa penulis menamakan

nilai eigen dengan nilai asli (proper value), nilai karakteristik (characteristie value), atau akar laten (latent

root).

Contoh :

Vektor x = 12

adalah vector eigen dari matrik A = [3 08 1

] yang bersesuaian dengan nilai eigen

= 3, karena Ax = [3 08 1

] 12

= 36

= 3 12

= 3x.

Untuk menentukan nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x n, kita tinjau kembali

Ax = x

sebagai

Ax = Ix

yang dapat ditulis dengan

(I A)x = 0

Bentuk terakhir ini dapat dipandang sebagai system persamaan linear yang homogen. Karena x

adalah vektor eigen, maka x bernilai tidak nol. Ini berarti sistem persamaan linear homogen di atas harus

mempunyai penyelesaian tidak nol. Hal ini dapat diperoleh jika dan hanya jika det(I A) = 0

Persamaan ini dinamakan persamaan karakteristik dari A. Jika ruas kiri diekspansikan, maka det(I

A) adalah sebuah polinomial di dalam yang kita namakan polinomial karakteristik dari A.

Teorema : Jika A adalah sebuah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan yang berikut ekivalen satu

sama lain.

a. adalah nilai eigen dari A

b. Sistem persamaan (I A)x = 0 mempunyai penyelesaian yang tak trivial.

c. Ada sebuah vektor tak nol x di dalam Rn sehingga Ax = x.

d. adalah penyelesaian real dari persamaan karakteristik det (I A) = 0

Contoh :

1. Jika matriks A = [3 2

1 0], tentukan polynomial karakteristik, persamaan karakteristik, nilai

karakteristik, dan vector karakteristik dari A.

Jawab : Karena

I A = (1 00 1

) - (3 2

1 0) = (

3 21

)

maka polinomial karakteristik dari A adalah

det(I A) = det ( 3 2

1 ) = 2 - 3+ 2

dan persamaan karakteristik dari A adalah

2 - 3 + 2= 0

Pemecahan-pemecahan persamaan ini adalah = 1 dan = 2. Inilah nilai eigen -

nilai eigen dari A.

Menurut definisi, x = 12

adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan jika dan hanya jika x

adalah penyelesaian tak nol dari (I A)x = 0, yakni

( 3 2

1 )

12

= 00

Ini berarti -2x1 + x2 = 0, yang menghasilkan x2 = 2x1. Jika x1 = t, maka x2 = 2t. Jadi vektor

eigen yang bersesuaian dengan = 1 adalah

x =

2 = t

12

Untuk = 2, persamaan menjadi

(1 21 2

) 12

= 0 0

Ini berarti x1 + 2x2 = 0, yang menghasilkan x1 = -2x2. Jika x2 = t, maka x1 = -2t. Jadi vektor

eigen yang bersesuaian dengan = 2 adalah

2. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A = 3 2 0

2 3 00 0 5

Jawab :

Karena det (I A) = 3 3 0

2 3 00 0 5

maka persamaan det (I A) = 0, menghasilkan 2 - 6 + 5 = 0 sehingga diperoleh

( -1) ( -5) = 0. Ini berarti nilai eigen dari A adalah =1 dan = 5.

Misalkan x = 123

adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan maka (I A)x = 0,

Menghasilkan 3 2 0

2 3 00 0 5

123

= 000

Untuk = 5, persamaan menjadi

2 2 02 2 00 0 0

123

= 000

sehingga diperoleh persamaan linear homogen:

2x1 + 2x2 + 0x3 = 0

2x1 + 2x2 + 0x3 = 0

0x1 + 0x2 + 0x3 = 0

Penyelesaiannya adalah x1 = -x2 dan x3 = t. Jika x2 = s, maka x1 = -s dan x3 = t

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan = 5 adalah

x = 123

=

= s 110

+ t 001

Untuk =1, persamaan karakteristik menjadi

2 2 02 2 00 0 4

123

= 000

Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear ini dihasilkan, x1 = x2 dan x3 = 0.

Jika x1 = s, maka x2 = s dan x3 = 0

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan =1 adalah

x = 123

=

0

= s 110

BAB FUNGSI

A. Pengertian Relasi

Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di

A dengan elemen-elemen di B.

Contoh:

A = {2,3,4,5,6}

B = {1,2,3,4,5,6}

Relasi : adalah faktor dari

Dapat disajikan dalam dua macam cara.

a. Dengan diagram panah

Gambar. 1

b. Dengan diagram pasangan berurutan.

R = {(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6)}

Dengan menggunakan penyajian relasi di atas, maka relasi R dari himpunan A ke himpunan B

dapat kita definisikan sebagai himpunan pasangan (a,b) pada A x B, di mana a A dan b B salah

satu dari kalimat berikut:

1. a berelasi dengan b ditulis a R b atau R(a,b)

2. a tidak berelasi dengan b ditulis a R b atau R (a,b)

Relasi atau hubungan itu dapat terjadi di berbagai bidang misalnya ekonomi, IPA, keteknikan dan

lain sebagainya, seperti hubungan antara jumlah suatu barang dengan harganya, dalam hubungan

antara harga dengan permintaan atau penawaran, dalam hubungan antara kekuatan suatu zat

radioaktif dengan waktu.

B. Pengertian Fungsi Perhatikan diagram dibawah ini:

Relasi fungsional atau sering disingkat fungsi sering juga

disebut dengan istilah pemetaan (mapping) didefinisi-

kan sebagai berikut:

Definisi: Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B

adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari

A secara tunggal, dengan elemen pada B.

A B

f

Gamabar. 2

Ditulis f : A B dibaca fungsi f pemetaan A ke dalam / into B

Apabila f memetakan suatu elemen x A ke suatu y B dikatakan bahwa y adalah peta dari x

oleh f dan peta ini dinyatakan dengan notasi f(x), dan biasa ditulis dengan f:x f(x), sedangkan x biasa

disebut prapeta dari f(x)

Himpunan A dinamakan daerah asal (domain) dari fungsi f , sedangkan himpunan B disebut daerah

kawan (kodomain) sedangkan himpunan dari semua peta di B dinamakan daerah hasil (range) dari fungsi f

tersebut.

Contoh 1:

Diagram sebagaimana pada G.b. 2.4 di atas adalah fungsi karena pertama, terdapat relasi (yang melibatkan

dua himpunan yakni A dan B) dan kedua, pemasangan setiap elemen A adalah secara tunggal.

Contoh 2

Diagram di samping bukan merupakan fungsi karena ada

elemen A yang dipasangkan tidak secara tunggal dengan

elemen pada B

A B

f

Gambar. 3

Contoh 3 :

Diketahui A = {x | -3 x < 3, x R} dan suatu fungsi f: A R

Ditentukan oleh rumus f(x) = x2 + 1

a. Carilah f(-1), f(0) dan prapeta dari 5

b. Dengan melukis grafik, tentukan daerah hasil dari fungsi f.

c. Jelaskan bahwa f adalah suatu fungsi.

a

b

c

d

x

y

z

u

a

b

c

d

x

y

z

u

Jawab:

a. f(x) = x2 + 1 f(-1) = (-1)2 + 1 = 2

f(0) = 02 + 1 = 1

Prapeta dari 5 x2 + 1 = 5 x2 = 4 x = +2

Sehingga prapeta dari 5 adalah 2 atau 2

b. y Dibuat grafik y= x2 + 1

y=x2 +1 f(-3) = (-3)2 + 1 =10

f(3) = (3)2 + 1 = 10 titik balik (0,1)

Jadi daerah hasil dari fungsi f adalah:

R = { y 1 < y < 10, y R }, karena nilai f(x) = y terletak pada interval tersebut sebagaimana

terlihat pada sumbu y.

y

daerah hasil x

Gambar. 4

c. Karena f suatu relasi dimana setiap elemen pada domain A (sumbu x) dipasangkan secara tunggal

maka f merupakan fungsi.

C. Sifat Fungsi

Dengan memperhatikan bagaimana elemen-elemen pada masing-masing himpunan A dan B yang

direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal tiga sifat fungsi yakni

sebagai berikut :

1. Injektif (Satu-satu)

Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif),

apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B.

Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:AB adalah fungsi injektif apabila a a berakibat

f(a) f(a) atau ekuivalen, jika f(a) = f(a) maka

akibatnya a = a.

Contoh:

1. Fungsi f pada R yang didefinisikan dengan f(x) = x2 bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-2) = f(2).

Adapun fungsi pada A ={bilangan Asli} yang

didefinisikan dengan f(x) = 2x adalah funsi satu

satu, sebab kelipatan dua dari setiap dua bilangan

yang berlainan adalah berlainan pula.

B

f

Gambar. 5

2. Surjektif (Onto)

Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil f(A) dari fungsi f adalah

B.

Apabila f(A) = B, yang berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu

elemen di A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau f memetakan A Onto B

Contoh:

1. Fungsi f: RR yang didefinisikan dengan rumus f(x) = x2 bukan fungsi yang onto karena himpunan

bilangan negatif tidak dimuat oleh hasil fungsi tersebut.

2. Misal A = {a, b, c, d} dan B = {x, y, z} dan fungsi f: A

B yang didefinisikan dengan diagram panah adalah suatu

fungsi yang subjektif karena daerah hasil f adalah sama

dengan kodomain dari f (himpunan B).

B

Gambar. 6

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

7

8

a

c

c

d

a

c

c

3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)

Suatu pemetaan f: AB sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif

sekaligus, maka dikatakan f adalah fungsi yang bijektif atau A dan B berada dalam korespondensi satu-

satu.

Contoh:

1. Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke himpunan B = {p,

q, r} yang didefinisikan sebagai diagram di samping

adalah suatu fungsi yang bijektif.

2. Fungsi f yang memasangkan setiap negara di dunia dengan ibu kota negara- negara di dunia

adalah fungsi korespondensi satu-satu (fungsi bijektif), karena tidak ada satu kotapun yang

menjadi ibu kota dua negara yang berlainan.

D. Jenis jenis Fungsi

Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama, misalnya D, maka sering

dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah

himpunan semua bilangan real (R). Untuk fungsi-fungsi pada R kita kenal beberapa fungsi antara lain

sebagai berikut.

a. Fungsi Konstan

a

c

c

p

r

q

f : x C dengan C konstan disebut fungsi konstan (tetap).

Fungsi f memetakan setiap bilangan real dengan C.

b. Fungsi Identitas

c. Fungsi Linear Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a 0 disebut fungsi liniar.

f(x) = ax + b f(p) = ap + b

f(q) = aq + b

f(q) - f(p) = a(q-p)

= a= tan < , disebut gradien dari garis y = ax + b tersebut.

Jika garis y = mx + c maka gradiennya adalah m dan melalui titik (0,c).

Fungsi RR yang didefinisikan sebagai: f : x x disebut fungsi identitas.

D. Fungsi Kuadrat

Fungsi f: RR yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 R dan a 0 disebut

fungsi kuadrat.

Contoh:

Gambarlah sketsa grafik fungsi f(x) = x2 2x 3.

Jawab:

E. Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah suatu fungsi terbentuk dengan P(x) dan Q(x) adalah suku

banyak dalam x dan Q(x) 0.

Contoh :

maka grafiknya adalah sebagai berikut :