BAB 7

VEKTOR

Vektor Dalam Ruang Berdimensi-2 dan Berdimensi-3

Suatu Vektor di 2-D digambarkan oleh panjangnya dan sudut. Pangkal dari panah tersebut disebut titik pangkal vektor, dan ujung panah disebut titik ujung vektor. MATLAB dibedakan menjadi dua macam vector, yaitu vector kolom dan vector baris . Sepanjang komponen vector adalah semuanya riil, perbedaan antara keduanya adalah struktur dari array. Menginterpretasikan keluaran pada masing-masing contoh berikut :

Anda pasti telah mengamati bahwa :

1. Perbedaan didalam penyajian kolom dan vector baris adalah cara dipisahkan didalam kurung besar .

2. Tanda kutip mengikuti suatu garis vector dengan komponen rill , vector garis dapat berubah menjadi vector kolom ke vector baris dan sebaliknya.

3. Perkalian suatu vector oleh suatu scalar hanya mengalikan komponen masing-masing vector.

4. Kita dapat menambahkan dua garis vector dan komponen yang sama 5. Kita tidak bisa menambahkan dua garis vector dari komponen yang berbeda. Computer

akan memberi suatu pemberitahuan jika ada kesalahan jika kita menambahkan jumlah dari dimensi yang berbeda.

Komponen, Kosinus Arah, dan Proyeksi Komponen

Komponen suatu vector adalah nilai-nilai ari setiap unsur didalam penjelasan n-tuplet . Sebagai contoh, mempertimbangkan vector = [ 1 5 3 7 ] didalm 4-D riil. Kita katakan pertama, kedua, ketiga, dan komponen keempat adalah 1, 5, 3, dan 7, dan berturut-turut.

Kosinus Arah Didalam 2-D dan 3-D, jumlah ini menpunyai penafsiran yang geometris menjadi kosinus sudut vector membuat x, y, dan z tampak.

Proyeksi

Proyeksi suatu vector adalah suatu vector besar , titik vector dengan garis vector unit yang ditandai . komponen tersebut adalah tegaklurus dengan pengurangan dari vector . Misalkan u dan v adalah vektor tak-nol dalam R2 atau R3 ,anggap vektor-vektor in telah

diposisikan sehingga titik pangkalnya berhimpitan. Sudut antara vektor u dan v adalah ,

dimana .

Proyeksi Ortogonal

Perhatikan gambar berikut :

Dimana

Vektor w1 sejajar dengan a, vektor w2 tegak lurus dengan a, dan

.

Selanjutnya, vektor w1 disebut proyeksi orthogonal dari u pada a atau komponen vektor dari u

yang sejajar dengan a, dinyatakan dengan Proya u. karena , maka

. Vektor w2 disebut komponen vektor u yang orthogonal terhadap a.

Dirac Notasi dan Beberapa pendapat Umum Sampai sekarang, kita mendirikan beberapa hasil praktis dimensional riil vector, yakni:

1. Suatu vector dapat decomposed kedalam suatu kombinasi linear vector. 2. Titik dua vector dapat ditulis perkalian tentang suatu panah/garis vector baris oleh

suatu kolom. 3. Norm suatu vector, suatu kwantitas yang tidak negative adalah akar dua titik vector . 4. Vector unit yang paralel suatu vector spesifik yang vektornya dapat dibagi dengan

norm 5. Proyeksi suatu vector disimpulkan dari titik dua vector

NORMA SUATU VEKTOR ; ARITMATIKA VEKTOR

Pada bagian ini kita akan menetapkan aturan dasar dari aritmatika vektor

SIFAT-SIFAT OPERASI VEKTOR

Teorema :

Jika u, v, w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 dan berdimensi 3 dan k dan l

adalah skalar, maka hubungan berikut ini berlaku.

a. u + v = v + u

b. (u+v)+w = u+(v+w)

c. u + 0 = 0 + u = u

d. u + (-u) = 0

e. k(lu) = (kl)u

f. k(u+v)=ku + kv

g. (k+l) u = ku +lu

h. 1u=u

NORMA SUATU VEKTOR

1 2

2 2

1 2

Panjang suatu vektor u sering disebut sebagai norma u dan dinyatakan sebagai ||u||.

Anggap u =(u ,u ) dalam ruang berdimensi-2.

berdasarkan teorema pythagoras kita dapatkan :

||u|| = u u

Anggap

vektor

1 2 3

2 2 2

1 2 3

u =(u ,u ,u ) dalam ruang berdimensi-3.

berdasarkan teorema pythagoras kita dapatkan :

||u|| = u u u

vektor

1 1 1 1 2 2 2 2

1 2

1 2 2

suatu vektor bernorma 1 disebut suatu vektor satuan

Jika P ( , , ) dan P ( , , ) adalah dua titik dalam ruang

berdimensi -3. maka jarak d antara kedua titik tersebut adalah

norma P P

P P = (x -

x y z x y z

1 2 1 2 1

2 2 2

2 1 2 1 2 1

x , y -y , z -z )

d = x -x y -y z -z

2 2 2

1 2

2 2 2

2 1 2 1 2 1

2 2 2

contoh :

1. u =(-3,2,1)

||u|| = -3 2 1 14

2. P (2, 1, 5) dan P (4, 3,1)

d = x -x y -y z -z

d = 4-2 (-3)-(-1) 1-(-5)

d = 44

Fungsi Garis Vektor

Seperti yang kita ingat, di Bab 1 diuraikan tentang kurva di 2-D dan 3-D oleh parametic . Kita dapat mengkoordinir sebagai fungsi parameter.Vektor berfungsi sebagai titik yang digambarkan kurva dapat ditulis seperti :

Percepatan medan vector berhubungan dengan diatas posisi garis vector yang digambarkan melalui :

Dan garis vector tangent pada kurva diberi :

Menurut garis tangent , garis unit vector menurut definisinya dibangun untuk mempunyai unit panjang. Kita membangun norma kepada kurva dengan garis unit vector diarah time-derivative vector yang menurut garis tangent adalah:

Lengkungan kurva adalah :

Contoh :

Temukan tangen normal dan lengkungan suatu partikel yang bergerak lingkar radius suatu frekuensi sudut . Solusi : Persamaan gerak parametic adalah

Percepatan garis vector adalah

dan pentingnya besar Tangen garis vector kemudian :

Garis vector yang vector adalah

Radius kurva adalah

Didalam ruang Hilbert ini, kita menggambarkkan konsep yang finite-dimensional garis vector.

Orthogonality. Dua panah garis vector adalah orthogonal jika :

Basic Vectos . Fungsi diruang Hilbert dapat diperluas dengan kombinasi linear vector

dasar seperti :

Decomposition rule .Kita memperoleh hubungan orthonormality relasi, yang berikut :

The norm as a function of the components. Norma suatu garis vector dinyatakan

sebagai fungsi tentang komponennya . kita peroleh :

Aplikasi 1 : The Fourier Series Basis :

Orthonormality of the basis vectors:

Decomposition rule :

Dimana

Parsevals identity:

THEOREM Jika fungsi riil f(x) yang digambarkan di interval [-1, 1] adalah menambah integral kemudian

intergral kemudian rangkaian :

Dimana

Contoh : Temukan Legendre polynomials fungsi berikut :

Solusi : Kondisi untuk contoh diatas dicukupu, dan

Dari Eq. (7.96) dan mencatat bahwa PI(1)=1, kita temukan bahwa:

Dan

Kita liat gambar dibawah ini , penjumlahan yang dipotong sebagai contoh untuk nilai-nilai max yang berbeda :