Rotasi Benda Tegar

U

ntuk memindahkan benda-benda yang berat, kita dapat menggunakan crane. Benda-bneda ini digantungkan di bawah lengan crane yang panjang. Letak benda

ini dapat diatur sehingga kedua lengan seimbang. Setelah kedua lengan seimbang. Setelah itu barulah crane berputar untuk menempatkan benda pada tempat yang diinginkan. Tahukah kalian bahwa crane bekerja berdasarkan konsep fisika ?. Konsep fisika yang mendasari cara kerja crane adalah momen gaya atau torsi. Konsep ini merupakan salah satu besaran yang mendasari materi momentum sudut dan keseimbangan benda tegar yang akan kkita pelajari. Ingin tahu lebih lanjut? Simaklah penjelasan berikut ini dengan sungguh-sungguh.

MATERI AJAR FISIKA

1

Setelah mempelajari materi di bab ini, kalian akan mampu memformulasikan pengaruh momen gaya (torsi) terhadap gerak rotasi benda. Selain itu, kalian dapat menggunakan persamaan Hukum II Newton untuk menjelaskan gerak translasi, gerak rotasi, atau perpaduan keduanya. Kalian juga akan dikenalkan dengan konsep momen inersia dan memformulasikannya pada pelbagai bentuk benda tegar. Konsep yang berkaitan dengan momen inersia adalah momentum sudut. Di bab ini, kalian akan dibimbing untuk memformulasikan Hukum Kekekalan

Momentum Sudut dan menggunakannya untuk menjelaskan beberapa peristiwa gerak rotasi. Terakhir, kalian diharapkan mampu menganalisis keseimbangan benda tegar. Dengan menguasai materi di bab ini, kalian akan mampu menjelaskan cara kerja beberapa alat sederhana.

A. Momen Gaya dan Momen Inersia1. Pengertian Momen Gaya Coba kita amati roda yang berputar, pintu yang berotasi membuka atau menutup atau permainan roda putar di pasar malam. Mengapa semua itu bisa berputar atau berotasi? Besaran yang dapat menyebabkan benda berotasi itulah yang dinamakan momen gaya atau torsi. Untuk lebih memahami pengertian di atas perhatikan Gambar .1.1

Berdasarkan gambar tersebut, orang memberikan gaya kepada kunci sehingga kunci dapat memutar baut. Diagram gaya yang diberikan pada baut dan kunci pas tampak pada gambar 1.2.

Gambar 1.1 Pemberian gaya pada kunci pas menyebabkan baut berputar

Dari gambar tersebut baut berfungsi sebagai sumbu rotasi, sedangkan perpanjangan garis gaya disebut garis kerja gaya. Jika gaya yang diberikan tangan tegak lurus

terhadap lengan kunci, maka lengan kunci ini berfungsi sebagai lengan gaya. MATERI AJAR FISIKA 2

Namun jika tidak tegak lurus, maka lengan gaya merupakan jarak yang tegak lurus dari sumbu rotasi dengan garis kerja gaya.

Perhatikan gambar 1.1. Berdasarkan gambar tersebut, manakah yang lebih mudah dilakukan untuk memutar baut? Untuk memutar baut, kedudukan tangan seperti gambar (c) lebih mudah dilakukan dari pada gambar (b) dan (a). Gaya yang diperlukan untuk memutar baut padaGambar 1.2 sumbu rotasi lengan gaya & garis kerja gaya pada permukaan kunci pas

kedudukan (c) lebih kecil dari pada yang diperlukan pada kedudukan (b) dan (a).

Berdasarkan fakta ini, besar gaya putar atau momen gaya tidak hanya di tentukan oleh besar gaya, tetapi juga oleh panjang lengan gaya. Hubungan antara ke tiga faktor tersebut diberikan pada persamaan berikut : =rxF = r . F sin ......................................1) Keterangan : = Momen gaya (Nm) r= Lengan gaya (m) F= Gaya (N) = Sudut antara garis kerja gaya (F) dengan lengan kerja(r)

Besarnya memenuhi persamaan 1 dan arahnya sesuai kaedah tangan kanan seperti pada Gambar 1.3. Sebagai besaran vector,Momen Gaya tentunya mempunyai arah. Bagaimanakah cara menentukan arah momen gaya? Perhatian gambar 1.2 diatas. Ketika gaya menekan ke atas, baut akan berputar berlawanan dengan arah putaran jarum jam. Sebaliknya, jika gaya yang diberikan mengarah ke bawah,baut berputar searah dengan arah putaran jarum jam. Putaran baut kanan (searah putaran jarum jam) menyebabkan baut bergerak masuk tegak lurus bidang gambar. Sebaliknya, putaran ke kiri (berlawana dengan arah putaran jarum jam) menyebabkan baut keluar bidang gambar. Arah baut (masuk ataupun MATERI AJAR FISIKA 3Gambar.1.3. Arah momen gaya mengikuti kaedah tangan kanan

keluar bidang) menunjukan arah momen gaya ini dapat dicari dengan menggunakan aturan genggaman tangan kanan. Arah genggaman tangan menunjukan arah putaran baut (sumbu rotasi), sedangkan arah ibu jari menunjukan arah momen gaya seperti yang diperlihatkan oleh gambar 1. 3 di diatas Untuk mempermudah pembahasan, kita menggunakan perjanjian berikut : a. Jika benda diberi gaya berputar searah dengan putaran jarum jam, maka momen gaya diberi tanda positif (+) b. Jika benda diberi gaya berputar berlawanan arah dengan putaran jarum jam, maka momen gaya diberi tanda negatif(-)

2. Momen gaya akibat resultan beberapa gaya. Coba kalian perhatikan gambar crane di awal Bab. Pada setiap lengan crane terdapat beban. Beban-beban ini memberikan gaya berat yang arahnya ke bawah. Jika berat lengan crane diabaikan berarti ada dua gaya yang bekerja. Lalu bagaimanakah momen gaya disekitar tiang crane (sumbu crane)? Perhatikan gambar 1.4 Dari gambar tersebut, gaya akibat berat benda 1 (W1) menyebabkan gerak rotasi berlawanan dengan putaran jarum jam (momen gaya bernilai negatif). Sementara

gaya akibat berat benda 2 (W2) menyebabkan rotasi searah putaran jarum jam (momen gaya bernilai positif). Jika pada sebuah benda bekerja dua atau lebih momenGambar.1.4 diagram gaya pada crane akibat beban pada setiap lengannya

gaya maka momen gaya total di sekitar sumbu benda merupakan penjumlahan vektor dari semua momen gaya yang bekerja.

Sehingga dapat dinyatakan dalam persamaan di bawah ini :

................. 2) Keterangan : = momen gaya total = momen gaya akibat gaya ke-1 = momen gaya akibat gaya ke-2

MATERI AJAR FISIKA

4

Contoh soal Dua roda silinder dengan jari-jari r1 = 30 cm dan r2 = 50 cm disatukan dengan sumbu yang melewati pusat keduanya, seperti pada gambar. Hitunglah momen gaya total pada roda gabungan! Penyelesaian: Diketahui: r1 = 30 cm = 0,3 m r2 = 50 cm = 0,5 m F1= -50 N (berlawanan arah jarum jam) F2= +50 N (searah jarum jam) Ditanya: = ... ? Jawab: Komponen gaya F2 yang tegak lurus r2 adalah: F2 sin 60o sehingga: = = r2.F2 sin 60o r1 F1 = 0,5 + 50 . ( ) - (0,3 . 50) = 6,65 Nm2

Uji Kemampuan 1 1. Sebuah crane mempunyai beban tetap sebesar 200 Kg yang diletakkan pada jarak 1 m dari sumbu. Dimanakah harus diletakkan beban sebesar 50 Kg agar crane seimbang (gunakan g = 10 m/s2) ? Besar momen gaya suatu benda adalah 24 Nm dan gaya yang digunakanadalah 4 N. Jika gaya tersebut tegak lurus terhadap lengan, berapakah besar lengan momen gaya tersebut? Perhatikan gambar di samping. Tentukan : a. , , dan b. Jumlah total torsi yang bekerja c. Kemana arah batang mengguling

2.

3.

MATERI AJAR FISIKA

5

3. Momen Inersia Pada gerak rotasi ini, kalian dikenalkan besaran baru lagi yang dinamakan momen inersia. Inersia berarti lembam atau mempertahankan diri. Momen inersia berarti besaran yang nilainya tetap pada suatu gerak rotasi. Besaran ini analog dengan massa padagerak translasi atau lurus. Besarnya momen inersia sebuahGambar 1.5 partikel bermassa m berotasi dengan lintasan lingkaran berjejari r

partikel yang berotasi dengan jari-jari R seperti pada Gambar 1.6. didefinisikan sebagai hasil kali massa dengan kuadrat jari-jarinya. I = m R2.

Untuk sistem partikel atau benda tegar memenuhi hubungan berikut.

Gambar 1.6 Partikel bermassa m berotasi mengelilingi sumbunya dengan jari-jari R Kita tinjau partikel pada benda yang bermassa m (gambar 1.6). Anggaplah gaya yang menyebabkan partikel berputar adalah F yang bekerja menyinggung lintasan lintasan benda dan tegak lurus jejarinya. Akibat gaya tersebut, partikel mendapat percepatan tangensial dirumuskan sesuai dengan hukum Newton II sebagai :

F = m a .....................................3)

Kita mendapat hubungan percepatan tangensial dan percepatan sudut. Dengan memasukkan persamaan : a = r .....................................4)

MATERI AJAR FISIKA

6

kita memperoleh persamaan : F = m r ...................................5)

Jika kedua ruas dikalikan dengan r maka akan diperoleh : r F = m r2 ...............................6) Gambar 1.7 Roda sepeda terdiri dari banyak partikel pada jarak yang berbeda dari sumbu (as)

kalian telah mengetahui bahwa faktor di ruas kiri merupakan momen gaya, sementara mr2 pada ruas kanan merupakan momen inersia partikel. Momen inersia pada mr2 pada persamaan tersebut merupakan momen inersia untuk satu partikel yang terdapat pada benda. Padahal kita mengetahui bahwa benda terdiri dari banyak partikel. Kita ambil contoh gambar roda sepeda pada gambar 1.7 Sistem partikel : I = mR2 .........................7) k adalah nilai konstanta inersia yang besarnya tergantung pada suhu dan bentuk bendanya. Momen inersia pada sebuah benda yang terdiri dari banyak partikel merupakan penjumlahan dari momen inersia semua partikel. Jadi momen inersia benda dapat dicari dengan persamaan sebagai berikut :

..............8) Keterangan : I = momen inersia (Kg m2)

m1,m2 = massa partikel 1,2..... (Kg) r1,r2 = Jarak partikel dari sumbu putar (m)

Untuk gerak rotasi peran massa dapat digantikan dengan momen inersia. Jadi momen gaya dapat dituliskan dalam persamaan :

MATERI AJAR FISIKA

7

.

......................... 9)

Perhatikan tabel momen inersia beberapa benda berikut :

Contoh soal : Silinder pejal berjari-jari 8 cm dan massa 2 kg. Sedangkan bola pejal berjari-jari 5 cm dan massa 4 kg. Jika kedua benda tadi berotasi dengan poros melalui pusatnya maka tentukan perbandingan momen inersia silinder dan bola! Penyelesaian mS = 2 kg, RS = 8 cm = 8.10-2 m mB = 4 kg, RB = 5 cm = 5.10-2 m Momen inersia silinder pejal : MATERI AJAR FISIKA 8

IS = . mS RS2 = . 2. (8.10-2)2 = 64.10-4 kg m2 Momen inersia bola pejal : IB = . mB RB2 = . 4. (5.10-2)2 = 40.10-4 kg m2 Perbandingannya sebesar : = =

Uji kemampuan 2.1. 2.

Sebuah roda gila bermassa 20 kg dan jari-jari girasinya 5 cm. Berapakah momen inersianya? Sebuah silinder pejal yang massanya 40 kg dan jari-jari 10 cm, mula-mula diam. Setelah difungsikan selama 5 sekon, silinder berputar dengan frekuensi Hz. a. Tentukan percepatan sudutnya! b. Tentukan besar momen gaya yang bekerja!

B. Momentum SudutPada bab sebelumnya kalian telah mempelajari mengenai momentum yang merupakan hasil kali antara massa dengan kecepatan. Dalam gerak rotasi, besaran yang analog dengan momentum linier adalah momentum sudut. Untuk bend a yang berotasi di sekitar sumbu yang tetap, besarnya momentum sudut dinyatakan: L = I. ......................... 10)

Keterangan : L = momentum sudut (kg m2/s) I = momen inersia (kg m2) Gambar 1.8 arah momentum sudut = kecepatan sudut ( rad/s)

Momentum sudut merupakan besaran vektor. Arah momentum sudut dari suatu benda yang berotasi dapat ditentukan dengan kaidah putaran sekrup atau dengan aturan tangan kanan (Gambar 1.8). Jika keempat jari menyatakan arah gerak rotasi, maka ibu jari menyatakan arah momentum sudut. Jika benda bermassa m bergerak rotasi pada jarak r dari sumbu rotasi dengan kecepatan linier v, maka persamaan (10) dapat dinyatakan sebagai berikut: MATERI AJAR FISIKA 9

L =I Karena I = m r2 dan L = m r2 L = m r v ............................11) = , maka

Hubungan momentum sudut dengan momen gaya Pada bab sebelumnya kalian telah mempelajari bahwa impuls merupakan perubahan momentum dari benda. F.dt = dp F= Karena v = r F= Jadi, kedua ruas dikalikan dengan r, diperoleh rF= mengingat r F = dan m r2 = I maka : , maka :

Dengan I

merupakan momentum sudut, sehingga : ...............................12

Uji kemampuan 3 Seorang atlet senam lantai memiliki momen inersia 4 kg m2 ketika kedua lengannya telentang dan 2 kg m2 ketika merapat ke tubuhnya. Pada saat kedua lengannya terentang, atlet tersebut berputar dengan kelajuan 3 putaran/s. Setelah itu, kedua lengannya dirapatkan ke tubuhnya. Tentukanlah laju putaran atlet ketika kedua lengannya merapat!

MATERI AJAR FISIKA

10

C. Hukum Newton Gerak Rotasi1. Keseimbangan Benda Tegar Menurut Hukum Pertama Newton, apabila resultan gaya-gaya yang bekerja pada benda sama dengan nol, percepatan benda tersebut juga akan sama dengan nol. Dalam hal ini, dapat diartikan bahwa benda berada dalam keadaan diam atau bergerak dengan kecepatan tetap. Kondisi ini berlaku untuk gerak translasi dan gerak rotasi. Apabila pada benda berlaku hubungan F = 0 dan t = 0 (a = 0 dan a = 0) maka dikatakan benda tersebut dalam keadaan setimbang. Benda yang berada dalam keadaan setimbang tidak harus diam, akan tetapi harus memiliki nilai percepatan linier a = 0 (untuk gerak translasi) dan percepatan sudut a = 0 (untuk gerak rotasi). Sebaliknya, benda yang diam pasti berada dalam keadaan setimbang. Dengan demikian, keadaan setim-bang itu terdapat dua macam, yaituSetimbang statik (benda diam). a. Setimbang statik (benda diam). v = 0 dan = 0 F = 0 dan = 0 .................................. 13)

b. Setimbang mekanik (benda bergerak translasi atau rotasi). Setimbang translasi benda bertranslasi dengan v konstan. Setimbang rotasi (untuk benda tegar) benda berotasi dengan konstan. 2. Gerak Rotasi Pada materi Gaya dan Gerak, kita telah menggunakan Hukum II Newton untuk menjelaskan gerak sistem benda yang dihubungkan de ngan tali melalui katrol. Namun, pada pembahasan tersebut, gerak katrol yang berotasi tidak diperhitungkan. Nah, bagaimanakah jika gerak rotasi katrol diperhitungkan? Selain masalah katrol, di subbab ini, kita juga akan menganalisis gerak roda yang melakukan gerak translasi dan rotasi sekaligus. a. Momen Gaya Pada Katrol Di kelas X dan kelas XI semester 1, kalian telah mempelajari materi dinamika partikel untuk gerak lurus (gerak linear). Pada Subbab kali ini, kalian akan mempelajari dinamika rotasi yang didasari oleh Hukum II Newton. Hukum II

MATERI AJAR FISIKA

11

Newton tidak hanya dapat digunakan untuk memecahkan masalah dinamika translasi, tetapi dapat juga digunakan untuk menjelaskan dinamika rotasi.

Contoh sederhana tentang dinamika rotasi yang dapat dijelaskan dengan Hukum II Newton adalah gerak putaran katrol. Kita tahu, katrol sering digunakan untuk mengangkat atau

memindahkan benda. Ketika digunakan untuk mengangkat benda, katrol berputar pada sumbunya. Dengan kata lain, katrol melakukan gerak rotasi. Perhatikan Gambar 1.9. Gaya apakah yang menyebabkan katrol berotasi?Gambar 1.9 Skema gayagaya yang bekerja pada katrol

Gaya pada tali yang digunakan atau gaya yang menyinggung katrol menyebabkan katrol berotasi. Pada pembahasan di depan, kita telah menemukan persamaan:

Persamaan tersebut merupakan persamaan Hukum II Newton untuk gerak rotasi. Jika persamaan tersebut diterapkan pada gerak katrol, kita mendapatkan persamaan berikut. ....................... 14)Jika katrol licin, maka f diabaikan, sehingga:

......................... 15) Bagaimanakah kita mencari FT ? Untuk mencari F T kita harus tahu arah gerak benda. Gerak benda mempunyai dua kemungkinan yaitu bergerak ke bawah atau bergerak ke atas. Jika benda bergerak ke bawah

Jika benda bergerak ke bawah, maka berlaku Hukum II Newton seba gai berikut.

............... 16)Kita juga tahu hubungan a dan , yang dinyatakan dengan

a=

........................17)

Jadi, persamaan rotasi pada katrol dapat dituliskan sebagai berikut.

MATERI AJAR FISIKA

12

.........................18) Jadi percepatan sudutnya adalah :

.......................19) Keterangan :

= percepatan sudut ( rad/s2) = massa benda (Kg) = momen inersia katrol (kg m2) = percepatan gravitasi ( m/ s2) = jejari katrol (m) jika benda bergerak ke atas jika benda berferak ke atas, berlaku persamaan :

................. 20) sehingga percepatan sudut katrol dapat di cari dengan persamaan

..................... 21) 1. Kekekalan Energi Mekanik Pada Gerak Rotasi Benda dengan massa m yang bergerak translasi dengan kelajuan v bisa dipastikan mempunyai energi kinetik. Seperti halnya gerk translasi, benda yang berotasi juga

MATERI AJAR FISIKA

13

mempunyai energi kinetik. Energi kinetik rotasi dapat diturunkan dari energi translasi. Dimana energi kinetik translasi adalah :

............... 22)

Dengan mensubtitusikan persamaan, v = r

maka :

...................23 )

Faktor mr2 pada persamaan di atas tak lain adalah merupakan momen inersia (I). Jadi persamaan 23 di atas dapat diubah dalam bentuk : ..................24) Keterangan : = energi kinetik rotasi Persamaan tersebut menyatakan energi knetik dari suatu benda tegar yang mempunyai momen inersia I dan kecepatan sudut .

Uji kemampuan 4.Sebuah bola pejal bermassa 10 kg berjari-jari 50 cm menggelinding di atas bidang datar karena dikenai gaya 14 N dengan waktu 5 sekon. Tentukan momen inersia, percepatan tangensial tepi bola, percepatan sudut bola, momentum sudut, dan besarnya torsi yang memutar bola!

MATERI AJAR FISIKA

14

Soal EvaluasiA. Pilihan Ganda 1. Faktor-faktor di bawah ini yang mempengaruhi besarnya momen gaya adalah : (1). Letak sumbu rotasi (2). Kecepatan sudut (3). Massa benda (4). Bentuk benda a. (1) dan (3) b. (2) dan (4) c. (3) dan (4) d. (2) dan (3) e. (1) dan (4) kecepatan sudut 6 rad/s. Besar momentum sudutnya adalah..... a. 50 kg m2/s d. 100 kg m2/s b. 75 kg m2/s e. 108 kg m2/s 2 c. 90 kg m /s 6. Dua buah benda benda bermassa 1 kg dan 2 kg, dihubungkan dengan batang yang sangat ringan sepanjang 2 m. Kemudian batang diputar terhadap sumbu tegak lurus yang jaraknya 0,5 m dari benda bermassa 2 kg. Momen inersianya adalah.....

2. Benda yang mula-mula dalam keadaan diam, resultan gaya pada benda sama dengan nol, dan resultan torsi sama dengan nol. Keadaan ini disebut kesetimbangan..... a. Kesetimbangan netral b. Kesetimbangan statis c. Kesetimbangan stabil d. Kesetimbangan labil e. Kesetimbangan mantap 3. Sebuah benda titik bergerak melingkar dengan kecepatan sudut awal 20 rad/s. Setelah bergerak menempuh sudut 100 rad, kecepatannya menjadi 60 rad/s. Jika momen inersia benda tersebut 4 kg m2 maka momen gaya yang bekerja pada titik tersebut adalah . a. 8 Nm d. 64 Nm b. 16 Nm e. 128 Nm c. 32 Nm 4. Dua buah benda A dan B masing-masing massanya 5 kg, dihubungkan oleh batang yang panjangnya 1 m (massa batang diabaikan). Jika pusat batang digunakan sebagai sumbu putar maka momen inersia dipusat batang tersebut adalah : a. 2,5 kg m2 d. 4,0 kg m2 2 b. 3,0 kg m e. 5,0 kg m2 c. 3,5 kg m2 5. Sebuah roda memiliki massa 50 kg dan diameter 120 cm, diputar dengan

a. 2,05 kg m2 b. 2,55 kg m2 c. 2,75 kg m2

d. 3,50 kg m2 e. 3,55 kg m2

7. Sebuah roda mempunyai momen inersia 15 kg m2. Roda tersebut berputar pada sumbunya dengan percepatan sudut 3 rad/s2. Besar momen gaya yang memutar roda adalah..... a. 5 Nm d. 9 Nm b. 12 Nm e. 45 Nm c. 18 Nm 8. Sebuah bola bermassa 0,5 kg dan berjari-jari 20 cm. Bola tersebut berotasi dengan kecepatan sudut 15 rad/s. Berapakah momentum sudut bola tersebut....... a. 0,10 kg m2/s d. 0,20 kg m2/s b. 0,12 kg m2/s e. 0,25 kg m2/s c. 0,15 kg m2/s 9. Batang AD ringan panjangnya 1,5 m. Batang bisa berputar di titik C dan diberi 3 gaya seperti pada gambar. Panjang AB= 0,5 m dan CD= 0,5 m. Berapakah nilai torsi total dan kemanakah arahnya..

MATERI AJAR FISIKA

15

a. b. c. d. e.

11,5 Nm, searah jarum jam 11,5 Nm, berlawanan jarum jam 2,5 Nm, searah jarum jam 2,5 Nm, berlawanan jarum jam 7,5 Nm, searah jarum jam

10. AC bermassa 40 kg dan panjangnya 3 m. Jarak tumpuan A dan B adalah 2 m ( di B papan dapat berputar). Seorang anak (massa 25 kg) berjalan dari A menuju ke C. Berapa jarak minimum anak dari titik C agar papan tetap setimbang (ujung batang A hampir terangkat ke atas)

a. Nol b. 0,1 m c. 0,2 m

d. 0,3 m e. 0,4 m

B. Jawablah pertanyaan berikut dengan tepat 1. 2. Berikan dan jelaskan contoh penerapan hukum kekekalan momentum sudut. Sebuah benda mengalami momen inersia sebesar 4,5 x 10-4 kg m2 dan kecepatan sudut 15 rad/s. Agar benda berhenti dalam waktu 3 sekon, berapa torsi yang harus dikerjakan benda ? 3. Sebuah silinder berongga dengan dinding yang tipis memiliki diameter 20 cm dan massanya 80 kg. Jika silinder itu berputar pada sumbunya, berapa momen inersianya? 4. Seorang pekerja yang tingginya 160 cm memikul dua beban yang masing-masing beratnya 200 N dan 600 N dengan menggunakan sebuah batang homogen yang panjangnya 1,8 m. Supaya kedudukan kedua beban dapat setimbang, tentukan jarak masingmasing beban dengan pundak pekerja! 5. Tentukan momentum sudut bumi di sekitar sumbu rotasi pada orbitnya mengelilingi matahari (anggap bumi sebagai bola pejal) jika massa bumi = 6 x 1024 kg, jari-jari = 6,4 x 106 m dan jarak dari bumi ke matahari = 1,5 x 108 m.

MATERI AJAR FISIKA

16

MATERI AJAR FISIKA

17