materi matematika kuliah 4-5

7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5

http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 1/196

FUNGSI dan RELASI

10/13/15 1AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA



FungsiSuatu relasi dari A ke Byang memasangkan

setiap anggota A ketepat satu anggota B

disebut fungsi atau pemetaan

dari A ke B




Notasi FungsiSuatu fungsi atau pemetaan

umumnya dinotasikan dengan

huruf kecil.Misal, f adalah fungsi dari A ke B

ditulis f: A → B

A disebut domainB disebut kodomain




RELASI

Diketahui A={ Ayu, Bayu,Cindy, Doni } dan B = { Bukutulis, Pensil, Penggaris} .

Jika himpunan A ke himpunanB dinyatakan relasi “ membeli“ , maka lebih elasnya dapat

ditunukkan pada gambar diba!ah "

10/13/15 4



10/13/15 5

Diagram disampingdinamakan diagrampanah . Arah relasi

ditunjukkan dengan anakpanah dan namarelasinya adalah

“ membeli“

A .

B .C .

D .

.#

.$ .%

B A

membeli



Pengertian Relasi: Relasi ( huungan ! "ari

hi#$unan A %e & a"alah$e#asangan angg'taangg'taA "engan angg'taangg'ta &)

Relasi "ala# #ate#ati%a#isaln*a : leih "ari + %urang

"ari + setengah "ari + ,a%t'r "ari+ "an seagain*a )

10/13/15 -



10/13/15 .

Menyatakan Relasi

Relasi antara dua himpunandapat dinyatakan dengan 3cara , yaitu : iagram !anah

, iagram "artesius , dan#impunan pasangan

berurutan .



10/13/15

Contoh :

Jika Anto suka sepakbola , Andi suka volidan bulutangkis serta Budi dan Badri sukabasket dan sepakbola . Buatlah Diagram

Panah keadaan tersebut apabila A adalahhimpunan anak dan B adalah himpunan

olahraga .



10/13/15

B A

. $oli

. Basket

.Bulutangkis

. Sepakbola

Anto .

Andi .

Budi .

Badri .

&uka akan



2) i%etahui P 1+ 2+ 3+ 4 "an 2+ 4+ -+ ) Ga#arlah "iagra#

$anah *ang #en*ata%an relasi "ari P"an "engan huungan :a) Setengah "ari

) 6a%t'r "ari

7a8a : a)

10/13/15 10

%

. &

. '

. (

. )

% .

& .

3 .

' .

*!Setengah dari



)

10/13/15 11

. $

. '

. (

. )

# .

$ .

% .

' .

*! +aktor dari



) iagra# 9artesius

9'nt'h :

i%etahui A 1+ 2+ 3+ 4+ 5 "an

& 1+ 2+ 3+ + 10 )

Ga#arlah "iagra# ;artesius *ang#en*ata%an relasi A %e & "engan

huungan :

a) Satu leihn*a "ari ) A%ar %ua"rat "ari

10/13/15 12



7a8a : a ) Satu leihn*a "ari

10/13/15 13

%

% & 3 ' ( - ) %//

&

3

'

(

-

)

%/

# i m p u n a n B

#impunan A



7a8a : ) A%ar %ua"rat "ari

10/13/15 14

%

% & 3 ' ( - ) %//

&

3

'

(-

)

%/

# i m p u n a n

B

#impunan A



9) <i#$unan $asangan erurutan

15

"ontoh :

#impunan A 0 1 %, &, 3, 2 , & dan

B 0 1 %, &, 3, 2 , %/ .

4entukan himpunan pasangan berurutan yangmenyatakan relasi A ke B dengan hubungan :

a. kuadrat dari

b. dua kali dari c. Satu kurangnya dari



7a8a :

10/13/15

a. 1 5%,%6, 5',&6, 5,36,5%(,'6, 5&,6

b. 1 5&,%6, 5',&6, 5(,36, 5),'6, 5%/,6, 5%&,(6,

5%',-6,5%(,)6, 5%),6,5&/,%/6

c. 1 5%,&6 , 5&,36, 53,'6, 5',6, 5,(6, 5(,-6,5-,)6, 5),6, 5,%/6



&) 6UNGSI

10/13/15 1.

!engertian +ungsi

Sebuah fungsi f : 7 y adalah suatu aturanyang memasangkan tiap anggota 7 pada suatuhimpunan 5daerah asal 8 domain6, dengan

tepat sebuah nilai y dari himpunan kedua5daerah ka9an 8 kodomain6. #impunan nilaiyang diperoleh disebut daerah hasil 8 rangefungsi tersebut .

ntuk lebih memahami pengertian diatasperhatikan contoh berikut :



9'nt'h :

Perhati%an "iagra# $anah "ia8ah

ini :

10/13/15 1

. #

. $

. %

. '

. *

+ .

$ .

' .

( .

B A

aerah ka9an8kodomain

aerah asal8omain

aerah hasil8Range



ari "iagra# $anah "iatas "a$at "ilihat ah8a :

1) 6ungsi A %e & a"alah relasi %husus *ang

#e#asang%an setia$ angg'ta A "engante$at satu angg'ta &)

2) <i#$unan A 0+ 2+ 4+ - "iseut "aerah

asal ( '#ain !+ <i#$unan & 1+ 2+ 3+ 4+ 5 "iseut "aerah %a8an ( ='"'#ain !+ "an

1+ 2+ 5 "iseut "aerah hasil ( Range !)

10/13/15 1



10/13/15 20

;otasi +ungsi

+ungsi8 pemetaan dapat dinotasikandengan huruf kecil f , g , h , dan

sebagainya.

Misal : f : 7 y dibaca f memetakkan 7 ke y , maka :

y 0 f576 dibaca sama dengan f dari 7digunakan untuk menun<ukkan bah9a yadalah fungsi dari 7 .



Suatu ,ungsi >uga "a$at "in*ata%an"engan tiga ;ara *aitu "engan "iagra#

$anah + "iagra# ;artesius + "anhi#$unan $asangan erurutan )

10/13/15 21

"ontoh :

iketahui A 0 1 a, i, u, e, o dan B 0 1 %, &, 3, ' a. Buatlah diagram panah yang menun<ukkan

pemetaan f yang ditentukan oleh : a % ,i & , u % , e ' , o & .

b. ;yatakan pula dengan diagram cartesius c . ;yatakan pula f sebagai himpunan

pasangan berurutan .



10/13/15 22

=a9ab :

a . iagram panah

. %

. &

. 3

. '

a .

i .

u .

e .

o .

B A



) iagra# ;artesius

10/13/15 23

%

a i u e o/

&

3

'

(-

)

%/



(a + 1! + (i + 2! + (u + 1! + (e + 4! +

(' + 2!

10/13/15 24

c. #impunan pasangan berurutan



7i%a n(A! a + "an n(&! + #a%aan*a% $e#etaan *ang #ung%inter>a"i "ari

hi#$unan A %e & a"alah a "an

hi#$unan & %e A a"alah a

10/13/15 25

Banyaknya pemetaan dari dua himpunan

"ontoh :

Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin ter<adiuntuk pemetaan berikut : a. ari himpunan A 0 1a dan B 0 1% b. ari himpunan " 0 1% dan 0 1 a , b

Banyaknya pemetaan dari dua himpunan



;) ari hi#$unan E a+ "an 6 1

") ari hi#$unan G 1 "an <

a++; e) ari hi#$unan I 1+2 "an 7 a+

,) ari hi#$unan = a+i+u+e+' "an ? 1+2+3g) ari hi#$unan @ a++;+" "an N

1+2+3+4+5

10/13/15 2-

=a9ab :a. n5A6 0 % , n5B6 0 %

Banyak pemetaan %% 0 %

b. n5"6 0 % , n56 0 & Banyak pemetaan &% 0 &



10/13/15 2.

c. n5>6 0 & , n5+6 0 %Banyak pemetaan %& 0 %

d. n5?6 0 % , n5#6 0 3 Banyak pemetaan 3% 0 3 e. n5@6 0 & , n5=6 0 &

Banyak pemetaan && 0 'f. n56 0 , n56 0 3

Banyak pemetaan 3

0 &'3 g. n5M6 0 ' , n5;6 0 Banyak pemetaan ' 0 (&



, : * "ia;a , #e#eta%%an %e * "an

"a$at "in*ata%an "engan ,(! ) @a%a ru#us ,ungsi "a$at "itulis ,(! * ) 9'nt'h : i%etahui suatu ,ungsi , : B 2 "engan"aerah asal ,ungsi / 1 C C -+ ∈ A

a) Tentu%an ru#us ,ungsi D ) Tentu%an "aerah asal ,ungsi D

; ) Tentu%an "aerah hasil ,ungsi D ") 7i%a ,(! 15 + #a%a tentu%an nilai D

10/13/15 2

Merumuskan suatu fungsi



a) Ru#us ,ungsi ,(! B2 ) aerah asal 2+ 3+ 4+ 5 ;) aerah hasil : ,(! B 2 untu% 2 ,(! 2 B 2 4

3 ,(! 3 B 2 5 4 ,(! 4 B 2 - 5 ,(! 5 B 2 .

7a"i "aerah hasil ,ungsi : 4+ 5+ -+. ") ,(! 15 B 2 15 15 2

13 7a"i10/13/15 2

=a9ab :



10/13/15 30

<i ompetensi '

%. iketahui A 0 1 &, 3, ', dan B 0 1 /, %, &,3,

Relasi A ke B adalah C dua lebihnya dari C ,

maka : a. #impunan pasangan berurutan : 1 5 &,/6, 53,26, 52,&6, 52,26

b. iagram !anah



Pe#ahasan

10/13/15 31

%. iketahui A 0 1 &, 3, ', dan B 0 1 /, %, &, 3, Relasi A ke B adalah C dua lebihnya dari C ,

maka : a. #impunan pasangan berurutan :

1 5 &,/6, 53,%6, 5',&6, 5,36 b. iagram !anah

B A.+

. #

. $

. %

$ .

% .

' .

* .

Dua lebihnya dari



10/13/15 32

&. ?ambarlah relasiDrelasi berikut dengandiagram panah. emudian tentukan termasuk fungsi atau bukan fungsi E a. 1 5%,&6, 5%,36, 5&,'6, 53,6

b. 1 5%,%6, 5&,&6, 53,36 c. 1 53,'6, 5,(6, 5-,)6 d. 1 5&,36, 53,'6, 5',6



Pe#ahasan

10/13/15 33

a. 1 5%,&6, 5%,36, 5&,'6, 53,6 bukan fungsi karena ada anggota 7

yang berpasangan lebih dari satudengan anggota y .

. &

. 3

. '.

% .& .

3 .

Bukan fungsi

y7



10/13/15 34

b. 1 5%,%6, 5&,&6, 53,36

% .

& .

3 .

. %

. &

. 3

+ungsi

B A



10/13/15 35

c. 1 53,'6, 5,(6, 5-,)6

. '

. (

. )

3 .

.

- .

+ungsi

! *



10/13/15 3-

d. 1 5&,36, 53,'6, 5',6

. 3

. '

.

& .

3 .

' .

+ungsi



10/13/15 3.

3 . +ungsi f : 7 7 F 3 mempunyai

domain 1 D&, D%, /, %, & .a. 4un<ukkan fungsi f dalam diagram

panah .b. ;yatakan dalam himpunan

pasangan berurutan .c. 4ulis range dari f .



Pe#ahasan

10/13/15 3

a. +ungsi f : 7 7 F 3 , <adi f576 0 7 F 3 ntuk 7 0 D& maka f5D&6 0 D& F 3 0 % 7 0 D% maka f5D%6 0 D% F 3 0 & 7 0 / maka f5/6 0 / F 3 0 3

7 0 % maka f5%6 0 % F 3 0 ' 7 0 & maka f5&6 0 & F 3 0

. % . & . 3 . ' .

D& .D% . / . % . & .

7F37



10/13/15 3

b. #impunan pasangan berurutan1 5D&,%6, 5D%,&6, 5/,36, 5%,'6, 5&,6

c. Range 5daerah hasil 6 0 5 %, &, 3, ', 6

'. Suatu persamaan fungsi f576 0 G 7 F %dengan

daerah asal 1 &, ', (, ), %/ . 4entukan : a. aerah hasil 8 bayangan . b. #impunan pasangan berurutan .

! b h



10/13/15 40

!embahasan :

a. f576 0 G 7 F % f5&6 0 G . & F % 0 % F % 0 & f5'6 0 G . ' F % 0 & F % 0 3 f5(6 0 G . ( F % 0 3 F % 0 ' f5)6 0 G . ) F % 0 ' F % 0 f5%/6 0 G . %/ F % 0 F % 0 ( =adi Range 8 daerah hasil 8 daerah

bayangan 0 1 &, 3, ', , ( b. #impunan pasangan berurutan 1 5&,&6, 5',36, 5(,'6, 5),6, 5%/,(6



Range atau Daerah Hasil=ika f memetakan7 ∈ A ke y ∈ B

dikatakan y adalah peta dari 7ditulis f: 7 → y atau y 0 f576.#impunan y ∈ B

yang merupakan peta dari 7 ∈ Adisebut range atau daerah hasil


PERSOALAN !N"SI



PERSOALAN !N"SI

#$#$


PERSOALAN !N"SI



#%#%

Contoh 1Diketahui :

1. { (-1,2), (-4,51), (1,2), (8,-51) }2. { (13,14), (13,5) , (16,7), (18,13) }3. { (3,90), (4,54), (6,71), (8,90) }4. { (3,4), (4,5), (6,7), (8,9) }

5. { (3,4), (4,5), (6,7), (3,9) }6. { (-3,4), (4,-5), (0,0), (8,9) }7. { (8, 11), (34,5), (6,17), (8,19) }

Ditanya :Carilah yang merupakan fungsi

Jawab :1, 3, 4,6


DO&AIN (ODO&AIN DAN RAN"E



DO&AIN'(ODO&AIN DAN RAN"E

####

Domain fungsi dinyatakan dengan notasi DfKodomain fungsi dinyatakan dengan notasi Kf

Range dinyatakan dengan Rf

Contoh 2:

A = {1, 2, 3, 4}B = {5, 7, 9, 10, 11, 12}f: A→ B dimana f(x) = 2x +3

Domainnya adalah A = {1, 2, 3, 4}.Kodomainnya adalah B = {5, 7, 9, 10, 11, 12}Rangenya adalah C = {5, 7, 9, 11}


DO&AIN (ODO&AIN RAN"E



DO&AIN'(ODO&AIN'RAN"E

#)#)

Contoh 3

Diketahui :1.{ (-1,2), (2, 51), (1, 3), (8, 22), (9, 51) }2.{ (-5,6), (21, -51), (11, 93), (81, 202), (19,51)}

Ditanya :Carilah Domain dan Range Jawab :1.Domain: -1, 2, 1, 8, 9Range: 2, 51, 3, 22, 51

2.Domain: -5, 21, 11, 81, 19Range: 6, -51, 93, 202, 51




DO&AIN'(ODO&AIN'RAN"E

#*#*

Contoh 4

Diketahui :fungsi f(x) = 2x-4

Hitunglah :

f(1)f(-1)

Jawab :

f(1) = 2(1)-4 = -2f(-1) = 2(-1)-4 = -6

10/13/15 4-AGUSTINI TRIPENA



contoh 5

!erhatikan gambar pemetaan f : A → Ba

bc

d

%

&3

'

f

AB

domain adalah

A 0 1a, b, c, dkodomain adalah

B 0 1%, &, 3, ',

10/13/15 4.AGUSTINI TRIPENA



!erhatikan gambar pemetaan f : A → B

a

bc

d

%

&3

'

f

AB

f5a6 0 %, f5b6 0 &

f5c6 0 3, f5d6 0 '

range adalah

R 0 1%, &, 3, '




contoh 6

Misal f: R → R

dengan f576 0 H% D 7&

4entukan domain dari fungsi f.




JawabSupaya f: R→R dengan f5760H%D7&

maka haruslah % I 7& J /.

% I 7& J / → 7& I % K / atau57 D %657 F %6 K / atau D% K 7 K %.

=adi, domain fungsi tersebut

adalah D% K 7 K %.




contoh 7

Misal f: R → R

dengan f57 I %6 0 7& F 7

4entukan : a. f576

b. f5D36




Jawaba.Misal y 0 7 I % maka 7 0 y F %

karena f57 I %6 0 7& F 7 maka f5y6 0 5y F %6& F 5y F %6 f5y6 0 y& F &y F % F y F

f5y6 0 y& F -y F (




f5y6 0 y& F -y F ( a. f576 0 7& F -7 F (

b. f5D36 0 5D36& F -5D36 F ( 0 I &% F (

0 D(


RELASI DAN !N"SI



RELASI DAN !N"SI

2•

4•

6•

• %

• &• 38•

• %

• &• 3• '

A B!erhatikananak

panahnya

relasinya adalah “dua kali dari”




rumus pemetaannya f(x) = X

2

1

f(x) × 221

× 421

×621

×821

x

f(x)

4

2

6

3

8

4

2

1




Ada % +ara dalam menyatakan suaturelasi ,-.Diagram panah$.impunan pasangan berurutan%.Diagram /artesius

/0nt0h,Diketahui himpunan A 1 2-'$'%'#')3 danhimpunan4 1 2be+ak' m0bil' sepeda' m0t0r'bem03.Relasi yang menghubungkan himpunan A

ke himpunan 4 adalah “banyak r0da dari5.6unjukkan relasi tersebut dengan,a.Diagram panahb.impunan pasangan berurutan

+.Diagram /artesius10/13/15 5-AGUSTINI TRIPENA

Jawab:

+. Diagram /artesius



Jawab:

a. Diagram panaFan*a% r'"a"ari

a. Diagram pana

-.

$.

%)

#.

).

) be+ak

)m0bil

)sepeda

)m0t0r

)bem0

A 4

g

b. impunan pasangan berurutan 1 27$' sepeda8' 7$' m0t0r8'7%' be+ak8

7%' bem08' 7#' m0bil 83


X! 1 2 3

e#'

#'t'rse$e"a

#'il

e;a%

4

HH

HH

H

"

SISTI@ =RINAT 9ARTESIUS



SISTI@ =RINAT 9ARTESIUS

X = absis / koordinat x Y = ordinat / koordinat y

Titik P koordinat catesius (x,y)




Bf A

Contoh Soal :

Gambarlah titik A (4,3) B (-3,2) C (4,0)

A (4,3)

B (-3,2)

C (4,0)




Beberapa cara penyajian fungsi :

L Dengan diagram panah

L " D → -. ambang ungsi tidak harus ./isalnya,

un = n$ 0 $n atau u1n2 = n$ 0 $n

L Dengan diagram -artesius

L 3impunan pasangan berurutan

L Dalam bentuk tabel

10/13/15 -0AGUSTINI TRIPENA

Contoh " graik ungsi



Contoh " graik ungsi

?ambarlah grafik sebuah fungsi : f: 7 → f576 0 7&

dengan f 0 1I&, I%, /, %, &, R

f 0 1/, %, '.

(2,4)(–2,4)

!

(1,1)(–1,1)

(0,0)

" L ' disebut bayangan 1peta2 dari $dan uga dari 4$.

L 4 $ dan $ disebut prapeta dari ',dan dilambangkan 4#1'2 = $ atau 4 $.

L 5raik -artesius merupakangraik ungsi y=162 hanyaapabila setiap garis seaar

sumbu7 8 yang memotong graikhanya memotong di tepat satutitik saa.


FUNGSI KOMPOSISIS



FUNGSI KOMPOSISIS


eJnisi(arena 9ungsi adalah relasi yang

khusus' maka kita bisa menyatakan9ungsi sebagai k0mp0sisi dari dua

9ungsi.&isalnya g adalah 9ungsi dari : ke ;dan 9 adalah 9ungsi dari ; ke <.

(ita bisa menyatakan terdapat 9ungsi

dari : ke <. 9ungsi : ke < tersebutdisebut dengan (0mp0sisi dari 9

dengan g yang din0tasikan dengan 9 0g.



@isal%an

L g (1+a!+ (2+a!+ (3+;!

A"alah ,ungsi "ari K 1+2+3 %e L a++; "an+

L , (a+*!+ (+!+ (;+M!

A"alah ,ungsi "ari L %e +*+M

L , ' g (1+*!+ (2+*!+ (3+M!




Oisualisasi

%&

3

ab

cg

N

7y

Of

P

%&3

7yO

N P

f o g




Komposisi FungsiPenggabungan operasi dua ungsi

se9ara berurutan akan

menghasilkan sebuah ungsi baru.Penggabungan tersebut disebut

komposisi fungsi dan hasilnya

disebut ungsi komposisi.




A

7

"

O

B

yf g

7 ∈ A dipetakan oleh f ke y ∈ Bditulis f : 7 → y atau y 0 f576

y ∈ B dipetakan oleh g ke O ∈ "

ditulis g : y → O atau O 0 g5y6atau O 0 g5f5766

10/13/15 --AGUSTINI TRIPENA



A B "

7 Oyf g

g o f maka fungsi yang memetakan

7 ∈ A ke O ∈ "

adalah komposisi fungsi f dan gditulis 5g o f6576 0 g5f5766

10/13/15 -.AGUSTINI TRIPENA



contoh

" A : B dan g" B : Cdideinisikan seperti pada gambar

;entukan 1g o 21a2 dan 1g o 21b2

A B "a

b

p

Q

%&

3

f g

10/13/15 -AGUSTINI TRIPENA

J b



Jawab:5g o f65a6 0

A B "

ab

pQ

%&3

f g

f5a6 0 % dan g5%6 0 Q=adi 5g o f65a6 0 g5f5a66 0 g5%6 Q




A B "a

b

p

Q

%

&3

f g

f5b6 0 3 dan g536 0 p

=adi 5g o f6 0 g5f5b66 0 g536 0 p

5g o f65b6 0

10/13/15 .0AGUSTINI TRIPENA



contoh 2

itentukan g5f5766 0 f5g5766.=ika f576 0 &7 F p dan

g576 0 37 F %&/

maka nilai p 0 2 .




Jawab:f576 0 &7 F p dan g576 0 37 F %&/

g5f5766 0 f5g5766

g5&7F p6 0 f537 F %&/635&7 F p6 F %&/ 0 &537 F %&/6 F p

(7 F 3p F %&/ 0 (7 F &'/ F p

3p I p 0 &'/ I %&/&p 0 %&/ → p 0 (/




-3

!i"at Komposisi Fungsi#.;idak komutati"

o g < g o

$. Bersiat assosiati"

o 1g o h2 = 1 o g2 o h = o g o h

%. /emiliki ungsi identitas"

162 = 6

o = o =




contoh 1f : R → R dan g : R → R

f576 0 37 I % dan g576 0 &7& F 4entukan: a. 5g o f6576

b. 5f o g6576




Jawab:f576 0 37 I % dan g576 0 &7& F a. 5g o f6576 0 gf576T 0 g537 I %6

0 &537 I %6& F 0 &57& I (7 F %6 F 0 %)7& I %&7 F & F

0 %)7& I %&7 F -




f576 0 37 I % dan g576 0 &7&

F b. 5f o g6576 0 fg576T 0 f5&7& F 6 0 35&7& F 6 I %

0 (7& F % I %5f o g6576 0 (7& F %'

5g o f6576 0 %)7&

I %&7 F - 5g o f6576 U 5f o g 6576 tidak bersifat komutatif

10/13/15 .-AGUSTINI TRIPENA



contoh 2f576 0 7 I %, g576 0 7& I % dan

h576 0 %874entukan: a. 5f o g6 o h

b. f o 5g o h6

10/13/15 ..AGUSTINI TRIPENA



Jawab:f576 0 7 I %, g576 0 7& I %dan h576 0 %87

55f o g6 o h6576 0 5f o g65h57665f o g6576 0 57& I %6 I %0 7& I &

5f o g5h57666 0 5f o g65%8760 5%876& I &

10/13/15 .AGUSTINI TRIPENA



f576 0 7 I %, g576 0 7& I %

dan h576 0 %875f o 5g o h66576 0 5f5g oh65766

5g o h65760 g5%876

0 5%876& I % 0 %87& D %

f5g o h65760 f5%87& I %6 0 5%87& I %6 I %

05%876& I &




contoh 3@576 0 7, f576 0 7& dan g576 0 7 F %

4entukan:a.5f o @6576 dan 5g o @6

b.5@ o f6 dan 5@ o g6




Jawab:@576 0 7, f576 0 7& dan g576 0 7 F %

5f o @6576 0 7&

5g o @6576 0 7 F %5@ o f6576 0 7&

5@ o g6576 0 7 F %5@ o f6576 0 5f o @6 0 f




Menentukanuatu Fungsi

Jika Fungsi !o"#osisi$anFungsi %ang &ain Diketahui


#ontoh



#ontoh Diketahui 162 = %6 4 #

dan 1 o g2162 = 6$ 0 *

;entukan g162.$a%ab

162 = %6 4 #dan 1 o g2162 = 6$

0 * g162> = 6$ 0 *

%.g162 4 # = 6$ 0 *

%.g162 = 6$

0 * 0 # = 6$

0 ( Jadi g162 = ?16$ 0 (2


contoh 2



contoh 2

iketahui g576 0 7 F dan 5f o g6576 0 V7& I (

maka f576 0 2 .

Jawab:

g576 0 7 F 5f o g6576 0 f5g5766 0 V7& I (

f57 F 6 0 V7& I (

Misal: 7 F 0 y → 7 0 y I f5y6 0 V5y I 6& I (




f5y6 0 V5y I 6& I ( 0 V5y& I %)y F )%6 I (

0 Vy& I (y F &- I ( =adi f576 0 V7& I (7 F &%


contoh 3



contoh 3

iketahui f576 0 7 I 3 dan5g of6576 0 7& F (7 F

maka g57 I %6 0 2 .




Jawab:f576 0 7 I 3W5g o f6576 0 g 5f5766 0 7& F (7 F

g57 I 36 0 7& F (7 F

Misal: 7 I 3 0 y → 7 0 y F 3

g5y6 0 5y F 36& F (5y F 36 F

0 y& F (y F F (y F %) F 10/13/15 .AGUSTINI TRIPENA



g5y6 0 y& F (y F F (y F %) F

0 y& F %&y F 3(

g57 I %6 0 57 I %6& F %&57 I %6 F 3(

0 7& I &7 F % F %&7 I %& F 3(

0 7& F %/7 F &

=adi g57 I %6 0 7& F %/7 F &

10/13/15 AGUSTINI TRIPENA



'ontoh (

iketahui f576 0 &7 F %

dan 5f o g657 F %60 D&7& I '7 F %

;ilai g5D&6 02.




Jawaban:f5g57 F %660 D&7& I '7 F %

f576 0 &7 F % → f5g57660 &g576 F %

f5g57 F %66 0 &g 57 F %6 F %&g57 F %6 F % 0 D&7& I '7 I %

&g57 F %6 0 D&7& I '7 I &g57 F %6 0 D7& I &7 I %




g57 F %6 0 D7&

I &7 I % g576 0 D57 I %6& I &57 I %6 I %

g5&6 0 D5& I %6& I &5& I %6 I %

0 D% I & I % 0 D'

=adi g5&6 0 D '




(O&POSISI !N"SI

Ada 3 himpunan yaitu, A = {2, 3, 4, 5}, B = {5, 7, 9, 11}dan C = {27, 51, 66, 83}.

f : A→B ditentukan oleh rumus f(x) = 2x+1g: B→C ditentukan oleh rumus g(x) = x²+2.Ditunjukkan oleh diagram panah sbb:




(O&POSISI !N"SI

Jika h merupakan fungsi dari A ke C sehingga :2 273 514 66583




(O&POSISI !N"SI

Fungsi h dari A ke C disebut fungsi komposisi danditulis atau f g h = ).)(()( x f g xh =


(O&POSISI !N"SI



Contoh :Diketahui : f(x) = x² + 1 dan g(x) = 2x – 3.

Ditanya :1. (f ◦ g)(x)2. (g ◦ f)(x)

Jawab:a. (f o g)(x)= f (g(x)) = f(2x – 3) = (2x – 3)² + 1= 4x² – 12x + 9 + 1

= 4x² – 12x + 10 b. (g o f)(x) = g (f(x))

= g(x² + 1)= 2(x² + 1) – 3= 2x² - 1

Jadi pada komposisi fungsi tidak berlaku sifat komutatif.


LA6IAN SOAL -



LA6IAN SOAL -1. Diketahui : f(x) = x² - 4 dan g(x) = - 4x + 1.Ditanya :a. (f ◦ g)(x) b. (g ◦ f)(x)c. (f ◦ f)(x)

d. (g ◦ g)(x)

2.Diketahui dan ditentukan olehf(x) = x + 3 dan (f o g)(x) = x² + 6x + 7, makatentukan g(x) !

R R f →: R R g →:


S "S



IN=ERS !N"SI

Diberikan fungsi . Kebalikan (invers) fungsi fadalah relasi g dari Y ke X.

Pada umumnya hasil invers suatu fungsi belumtentu merupakan fungsi

Apabila f : X→Y merupakan korespondensi 1-1maka invers fungsi f juga merupakan fungsi

Notasi invers fungsi adalah f̄¹

Y X f →:


IN=ERS !N"SI



IN=ERS !N"SI

(1) (2) (3)

Terlihat bahwa fungsi yang hasil inversnya juga berupa fungsi hanya pada gambar 3.


/ON6O



/ON6O

Tentukan rumus fungsi invers dari fungsif(x) = 2x + 6

Jawab :y = f(x) = 2x+6

y = 2x+62x = y-6x = ½(y-6)

Jadi : f̄¹ (y)= ½(y-6) atau f̄¹ (x)= ½(x-6)


LA6IAN SOAL $



LA6IAN SOAL $

->>->>

Tentukan rumus fungsi invers darifungsi1. f(x) = -3x + 6

2. f(x) = 4x + 83. f(x) = 8x - 2


IN=ERS !N"SI



IN=ERS !N"SI

))(()()( 111 x g f x f g −−− =

))(()()(

111

x f g x g f

−−−

=


/ON6O SOAL



Diketahui :f(x) = x+3

g(x) = 5x – 2Hitunglah (f◦g)̄ ¹(x)

Cara 1

(f◦g)(x) = f(g(x))= g(x) +3= 5x-2+3= 5x+1

(f◦g)̄¹(x)= y = 5x+1

5x= y-1x = (y-1)/5

(f◦g)̄¹(x)= x -⅕ ⅕

Cara 2 :


LA6IAN SOAL %



LA6IAN SOAL %

Diketahui :f(x) = x - 2g(x) = – 2x + 1

Hitunglah1. (f◦g)̄ ¹(x)2. (g◦f)̄¹ (x)


OPERASI !N"SI



OPERASI !N"SI

Diberikan skalar real a dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahan f + g , selisih f - g , hasil kali skalar a. f ,hasil kali f .g , dan hasil bagi f /g masing-masingdidefinisikan sebagai berikut:(f+g)(x)= f(x) + g(x)(f-g)(x)=f(x) - g(x)(af)(x) = a f(x)(f.g)(x)= f(x)g(x)(f/g)(x)= f(x)/g(x), g(x)≠0


/ON6O SOAL



/ON6O SOAL

Diketahui :f(x) = 2x-4g(x) = -3x+2

Ditanya :1.f+g = 2x-4-3x+2 = -x-22.f–g = 2x -4 –(-3x+2) = 5x - 6

3.f · g = (2x – 4)(-3x+2) = -6x² + 16x – 84. f/g = (2x-4)/(-3x+2) = (-6x²+8x+8)/(9x²-4)


LA6IAN SOAL #



LA6IAN SOAL #

Diketahui :f(x) = 3x+2g(x) = 4-5x

Ditanya :1.f+g2.f–g 3.f · g4. f/g


LA6IAN SOAL )



10/13/15 AGUSTINI TRIPENA 10.

Diketahui :

f(x) = x² -1Hitung :a.f(1)

b.f(0) c.f(-6)d. f(-2)

LA6IAN SOAL *



10/13/15 AGUSTINI TRIPENA 10

Diketahui :

F(x) = 3x3 + xHitung :a.F(-6)

b.F(3,2) c.F(1/2)d. F(X)

e. F(1/x)

Jenis)*enis +ungsi



* g@ungsi

@.Pangkat@. Polinom@. inier

@. -uadrat@. -ubik@. Bikuadrat

@ungsi rasional@ungsiirrasional

@ungsi non7alabar

1transenden2

@ungsi alabar

@. ksponensial@. ogaritmik

@. ;rigonometrik@. 3iperbolik


B b F i Kh

RELASI DAN !N"SI




Beberapa Fungsi Khusus

L -8. ungsi (0nstanL $8. ungsi Identitas

L %8. ungsi &0dulus

L #8. ungsi "enap dan ungsi "anjil

ungsi genap jika 97 ?8 1 97?8' dan ungsi ganjil jika 97 ?8 1 97?8

L )8. ungsi 6angga dan ungsi Nilai 4ulat

6erbesar @@ ? 1 2b B b ≤ ? C b -' b bilangan bulat'?∈R3

&isal' jika $ ≤ ? C - maka @@? 1 $

L *8. ungsi Linear

#. @5& -&;A



Notasinya : f(x) = cApabila terdapat fungsi f : A→B, Fungsi f disebutfungsi konstan jika setiap anggota A dipetakan kesatu anggota B yang sama

Misalkan : f(x) = 2 dan x bil real

Grafik fungsi ini berupa garis lurus sejajar sumbu x


#. @5& -&;A

lanjutan !N"SI (ONS6AN



lanjutan !N"SI (ONS6AN

L Suatu ,ungsi , "ari A %e "ala# & "iseut ,ungsi%'nstan >i%a ele#en

∈ & *ang sa#a

"iteta$%an untu% setia$ ele#en "ala# A)engan %ata lain+ , : a → & a"alah suatu ,ungsi%'nstan >i%a "aerah nilai "ari ,ungsi , han*ater"iri "ari satu ele#en)

9'nt'h 1: @isal%an ,ungsi , "i"eJnisi%an 'leh"iagra#:

Maka f bukan fungsi konstan karena <angkau dari f11210/13/15 AGUSTINI TRIPENA



9'nt'h 2:

L @isal%an ,ungsi , "i"eJnisi%an 'leh"iagra#:

L Maka f adalah fungsi konstan karena 3ditetapkan untuk setiap elemen A


$. ungsi Identitas,(!




,(!

;'nt'h : ,(1! 1

%. ungsi &0dulus 7mutlak8

,(! >i%a Q 0

,(! >i%a C 0

;'nt'h :

,(!

S'al



S'al

L &uat graJ% "ari ,ungsi : I ,(! 2

I ,(! 2

I ,(! 2

#. ungsi "enap danjil



"anjilL

6ungsi+ * ,(! "i%ata%an: I Gena$+ >i%a ,(!,(!

I Gan>il+ >i%a ,(! ,(!

L 9'nt'h:

I 6ungsi Gena$

L GraJ% ,ungsi gena$ * ,(! si#etristerha"a$ su#u *

6ungsi Gan>il



I6ungsi Gan>il

L GraJ% ,ungsi gan>il * ,(!si#etris terha"a$ titi% asal)

S'al



L Seli"i%ilah a$a%ah

6ungsi gena$+ gan>il atau u%an%e"uan*a

L 6(! B + 6ungsi gena$+ gan>il

atau u%an %e"uan*a

. @ungsi linear



%%

Bentuk umum: y 0 f 5 x 6 0 ax F b, a dan b

konstanta a 0 kemiringan garis b 0 perpotongan garis dengan sumbuDy

aerah asal dan daerah hasil: Df 0

,W f 0

?rafik: y

x

b y = ax + b

6 # %i i %




6. #$%in$mia%

Benuk u!u!:

y = P ( x) = an xn + an-1 x

n-1 " # " a2 x2 " a1 x " a0

di!ana: an, an-1, …, a1, a0 = k$nsana,

n = dera%a &$lin$! ( an 0)

'aerah asal: D f =

i li 9 i



ungsi p0lin0m , 9ungsi yangmengandung banyak suku7p0lin0m8 dalam Gariabel

bebasnya.

y = a0 + a1 x + a2 x 2 +…...+

an x n

ungsi Linear , 9ungsi p0lin0m

khusus yang pangkat tertinggidari Gariabelnya adalah

pangkat satu 79ungsiberderajat satu8.


ungsi (uadrat , 9ungsi p0lin0m



ungsi (uadrat , 9ungsi p0lin0myang pangkat tertinggi dari

Gariabelnya adalah pangkat dua'sering juga disebut 9ungsi

berderajat dua.

y = a0

+ a1

x + a2

x 2 a2

H 0

ungsi berderajat n , 9ungsiyang pangkat tertinggi dari

Gariabelnya adalah pangkat n 7n1 bilangan nyata8.

y = a0 + a1 x + a2 x 2 + …+ an-1 x n-

1 + a xn10/13/15 122AGUSTINI TRIPENA

ungsi Pangkat , 9ungsi yang



ungsi Pangkat , 9ungsi yangGeriabel bebasnya berpangkatsebuah bilangan nyata bukan

n0l.

y = x n n = bilangan nyata

bukan nol.

ungsi eksp0nensial , 9ungsiyang Gariabel bebasnya

merupakan pangkat dari suatuk0nstanta bukan n0l.

= x10/13/15 123AGUSTINI TRIPENA

ENISJENIS !N"SI



-. ONE ONE KIN6O 7INE(6I8

L 6ungsi , "i%ata%an satuJkeJsatu ('net''ne! atau in>e;ti, >i%a ti"a% a"a "uaele#en hi#$unan A *ang #e#ili%i

a*angan sa#a)L engan %ata lain+ >i%a a "an a"alahangg'ta hi#$unan A+ #a%a ,(a! ,(!ila#ana a )

L 7i%a ,(a! ,(! #a%a i#$li%asin*a a"alaha )

@isaln*a 6ungsi ,(! 2 a"alah ,ungsi124

ENIS INE(6I




Apabila setiap anggota himpunan B

mempunyai yang kawan di A, kawannyatunggal, maka f disebut fungsi injektif ataufungsi 1-1 (into function).

"ontoh%:



10/13/15 AGUSTINI TRIPENA 12-

Relasi f 0 1 5%, 96, 5&, u6, 53, Y6

dari A 0 1%, &, 3 ke B 0 1u, Y, 9, 7 adalah ungsi satu7ke7satu.

"ontoh&:Relasi f 0 1 5%, u6, 5&, u6, 53, Y6dari A 0 1%, &, 3 ke B 0 1u, Y, 9

adalah bukan ungsi satu7ke satu karena f5%6 0 f5&6 0 u.

$. !N"SI ON6O KPADA7S j kti98



7Surjekti98

L 6ungsi , "i%ata%an "i$eta%an pada (NT! atau sur>e%ti, >i%a setia$ele#en & #eru$a%an a*angan sari

satu atau leih hi#$unan A)L engan %ata lain+ seluruh ele#en &#eru$a%an >ela>ah "ari ,) 6ungsi ,"iseut ,ungsi $a"a hi#$unan &)

L Se#ua ele#en "i & #eru$a%an $eta"ari ele#enele#en A (Range A &atau ,(A! &!) #a%a , a"alah suatu

6ungsi 12.

9'nt'h1



9'nt'h1:

Relasi , (1+ u!+ (2+ u!+ (3+ O!"ari A 1+ 2+ 3 %e & u+ O+ 8u%an ,ungsi $a"a %arena 8 ti"a%

ter#asu% >ela>ah "ari ,)9'nt'h2:

Relasi , (1+ 8!+ (2+ u!+ (3+ O!

"ari A 1+ 2+ 3 %e & u+ O+ 8#eru$a%an ,ungsi $a"a %arenase#ua angg'ta & #eru$a%an

>ela>ah "ari ,1210/13/15 AGUSTINI TRIPENA

%. 4IE(SI 7(0resp0densi satuke satu8



ke satu8

L 6ungsi , "i%ata%an berk0resp0densatuJkeJsatu atau i>e%si >i%a ia,ungsi satu%esatu "an >uga ,ungsi$a"a)atau

L &i>e%ti, (='res$'n"ensi Satusatu!A$aila ,: A→ & #eru$a%an ,ungsiin>e%ti, "an sur>e%ti, #a%a “9 adalah

9ungsi yang bijekti95

9'nt'h:

Relasi , (1+ u!+ (2+ 8!+ (3+ O!1210/13/15 AGUSTINI TRIPENA

Jika setiap anggota himpunan B mempunyaitepatsatukawandiAmakafdisebutfungsi



tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1. Mudahdipahami bahwa korespondensi 1-1 adalahfungsi surjektif sekaligus injektif.


?ATI<AN



6ungsi 131



6ungsi 132

!N"SI LINIERN'tasin*a ,(! #Bn



N'tasin*a : ,(! #BnGraJ% ,ungsi ini eru$a garis lurus

"engan gra"ien # "an #elalui titi% (0+n!


!N"SI LINEAR- 4entuk !mum ungsi Linear



-.4entuk !mum ungsi Linear

ungsi ini memetakan setiap ? ∈ R kesuatu

bentuk a? b dengan a H >' a dan bk0nstanta.

"raknya berbentuk garis lurus yangdisebut grak 9ungsi linear denganPersamaan y 1 m? +' m disebut gradiendan + k0nstanta

$. "rak ungsi Linear

/ara menggambar grak 9ungsi linear ada $ ,

-. Dengan tabel

$. Dengan menentukan titikJ titik p0t0ngdengan

sumbu ? dan sumbu y10/13/15 134AGUSTINI TRIPENA

"RAI( !N"SI

i%etahui :



,(! B1 "i#ana "'#ain "an %'"'#ain eru$a

il riil@enulis%an ,ungsi "ala# tael

Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius


"RAI( !N"SIDiketahui :f(x)=2xdimanadomaindankodomainberupabilriil



f(x) = 2x dimana domain dan kodomain berupa bil riilMenuliskan fungsi dalam tabel

Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius


/0nt0h ,Suatu 9ungsi linear ditentukan 0leh y 1 #? M $

d d h



dengan daerahAsal 2:J- : $' : ∈ R3a. 4uat tabel titikJtitik yangmemenuhi persamaan

diatas .b. "ambarlah titikJtitik tersebut dalam diagram

/artesius.+. 6entukan titik p0t0ng grak dengan sumbu :

dan sumbu ;.

aab

a. Ambil sembarang titik pada domain

1 0 1 2K

2- 2 L 42 -

adi' grak 9ungsi melalui titikJtitik 7J-'J*8' 7>'J$8' 7-'$8' 7$'*8




b.

" +. 6itik p0t0ng dengan sumbu ? 7 y1 > 8

y 1 #? M $ ⇔ > 1 #? J $

⇔ $ 1 #?

⇔

? 1

adi titik p0t0ng dengan sumbu :adalah7 Q'>8 6itik p0t0ng dengan sumbu ; 7 ? 1 > 8

y 1 #? M $

⇔ y 1 #7>8 M $ ⇔

y 1 J$

adi titik p0t0ng dengan sumbu ; adalah7>'J$8

2 !1

-

2

1 21

X

2

1

-

2

H

H

H

H


%. "radien Persamaan "aris Lurus /ara menentukan gradien ,



7i8. Persamaan bentuk y 1 m?+' gradiennya

adalah m.7ii8. Persamaan bentuk a?by+1> atau

a?by1J+ adalah

7iii8. Persamaan garis lurus melalui dua titik

7?-'y-8 dan 7?$'y$8' gradiennya adalahContoh "

#. ;entukan gradien persamaan garis berikut

a. y = %6 4 '

b. $6 4 *y = E$. ;entukan gradien garis yang melalui pasangan

titik 17$,%2 dan 1#,(2


aab ,

-a. ; 1 %? M #



gradien 1 m 1 %

b. $? J )y 1 ' a 1 $ dan b 1 J )

m 1 1 Jb

a−

2

−

12

12

x x

y y

−−=

)2(1

6

−−−

=

216

+

−=


2) #

1

#. &enentukan Persamaan "aris Lurus

L Persamaan garis melalui sebuah titik



g7?-'y-8 dan gradien m adalah y M y- 1 m

7 ? M ?- 8L Persamaan garis melalui dua titik

7?-'y-8 dan 7?$'y$8 adalah

/0nt0h - ,6entukan persamaan garis yang melaluititik 7 J$' - 8 dan gradien J$

aab , y M y- 1 m 7 ? M ?- 8

y M - 1 J$ 7 ? M 7J$88 y J - 1 J$? M #

y 1 J$? J %

12

1

12

1

x x

x x

y y

y y

−−

=−−


/0nt0h 2 :

6entukan persamaan garis yang



melalui titik P7J$' %8 dan 7-'#8

12

1

12

1

x x

x x

y y

y y

−

−=

−

−

21

2

4

++

=−− x y

2

1 +=

− x y

%1y 4 %2 = #16 0 $2

%y 4 F = 6 0 $

%y 7 6 4 ## = +


⇔

⇔

⇔

⇔

⇔

). (edudukan dua garis lurus

L Dua garis saling berp0t0ngan jika



g g p g jm- H m$

L Dua garis saling sejajar jika m- 1

m$

L Dua garis saling tegak lurus jika

m-. m$ 1 J- atau m- 1 J -Km$

/0nt0h ,

-.6entukan persamaan garis lurusyang melalui titik 7$'J%8 dan sejajardengan garis ? M $y % 1 >

$.6entukan persamaan garis lurusyang melalui titik 7J%')8 dan tegaklurus pada *? M %y M -> 1 >


aab ,-. Diketahui persamaan garis ? M $y % 1 >

11



maka

Persamaan garis melalui titik 7$'J%8 dangradien adalah y M y- 1 m 7 ? M ?-8

y % 1 Q 7 ? M $ 8 y % 1 Q ? M - $y * 1 ? M $

? M $y M F 1 > adi persamaan garis lurus yang sejajar dengangaris ? M $y % 1 > dan melalui titik 7$'J%8adalah ? M $y M F 1 >

2

1

2

11 =

−

−=−=⇒

b

am

21 mm =⇒2

11 =m


$. Diketahui persamaan garis *? M %y M -> 1 >.

2

61 =−=−=⇒

b

am



Persamaan garis lurus yang di+ari melaluititik 7J%')8 dan bergradien JQ' maka

persamaannya adalah ⇔ y M y- 1 m7? M ?-8

⇔ y M ) 1 JQ 7? %8

⇔ y M ) 1 JQ? J

⇔ $y M -> 1 J? M %⇔ ? $y M -> % 1 >

? $y M 1 >

adi' persamaan garis lurus yang melalui titik

J M M

1

−b

2

1

2

11

1 1221 −=

−=

−=⇒−=⋅

mmmm


LA6IAN SOAL *



-#*-#*

Diketahui :1. f(x) = 2x-12. f(x) = -2x - 2dimana domain { x | -3 ≤ x ≤ 3, x R }

Ditanya :

1.Tuliskan fungsi dalam bentuk tabel2.Tuliskan fungsi dalam grafik kartesius


# Bentuk umum ungsi kuadrat

!N"SI (!ADRA6



#.Bentuk umum ungsi kuadrat

y = 162 →a6$0b609 dengan a,b, 9 ∈ G dan a ≠ +

5raik ungsi kuadrat berbentuk parabola simetris

$. &iat7siat 5raik @ungsi -uadrat

Berdasarkan nilai a

1i2 Jika a H + 1positi2, maka graik terbuka ke atas. @ungsi

kuadrat memiliki nilai ekstrim minimum, dinotasikan

ymin atau titik balik minimum.

1ii2 Jika a I + 1negati2, maka graik terbuka ke ba!ah.

@ungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim maksimum,

dinotasikan ymaks atau titik balik maksimum.10/13/15 14.AGUSTINI TRIPENA

Berdasarkan Nilai Diskriminan (D)

ilai diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah



ilai diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah

D = b2 – 4ac

3ubungan antara D dengan titik potong graik dengansumbu

1i2 Jika D H + maka graik memotong sumbu di duatitik yang berbeda.

1ii2 Jika D = + maka graik menyinggung sumbu di

sebuah titik.

1iii2 Jika D I + maka graik tidak memotong dan tidak

menyinggung sumbu .10/13/15 14AGUSTINI TRIPENA

-edudukan 5raik @ungsi -uadrat;erhadap &umbu



*(i)

a + 0

' + 0

(ii)

a + 0

' = 0

*(iii)

a + 0

' 0

*

(i-)

a 0

' + 0

*

(-)

a 0

' = 0

*

(-)

a 0

' = 0

*

(-i)a 0

' 0


%. /enggambar 5raik @ungsi -uadrat

angkah langkah menggambar graik ungsi kuadrat "



angkah7langkah menggambar graik ungsi kuadrat "

1i2 /enentukan titik potong dengan sumbu 1y = +21ii2 /enentukan titik potong dengan sumbu 8 16 = +2

1iii2 /enentukan sumbu simentri dan koordinat titik balik

• Persamaan sumbu simetri adalah

• -oordinat titik pun9ak K titik balik adalah

1iL2 /enentukan beberapa titik bantu lainnya 1ika di perlukan2

a

b x

2−=

−−

a

D

a

b

4,

2


."rak 9ungsi kuadrat berupa parab0la

"rak 9ungsi kuadrat



g p p./ekung ke atas untuk a >

./ekung ke baah untuk a C >.Sumbu simetri x = -b2a.6itik pun+ak !-b2a" #!-b2a$$.#!-b2a$ minimum untuk a C >#!-b2a$ .#!-b2a$ maksimum untuk a >.&em0t0ng sumbuJy di titik 7>' # 7>88.ika D 1 b2 - %a& >' maka grak mem0t0ngsumbuJ? di dua titik 7?- dan ?$8

.ika D 1 b2 - %a& 1>' maka grak mem0t0ngsumbuJ? di satu titik 7?- 1 ?$8.ika D 1 b2 - %a& C >' maka grak tidakmem0t0ng sumbuJ?10/13/15 151AGUSTINI TRIPENA

5ambarlah graik ungsi kuadrat y = 6$ 4 '6 4 *.



1i2 ;itik potong dengan sumbu 1y = +2

6$ 4 '6 4 * = +

16 0 #216 4 *2 = +

6 = 7# atau 6 = *

Jadi, titik potong graik dengan sumbu adalah titik 17#, +2 dan 1*, +2.

⇔

⇔

7ii8 ;itik potong dengan sumbu 8 16 = +2

y = +$ 4 '1+2 4 *

⇔ y = 7*

Jadi titik potong dengan sumbu 8 adalah titik 1 +, 7* 2


22

4

)1(2

)4(

4==

−−=

−=

a

b x



)1(4

)))(1(4)4((

4

2

−=−−−−

=−

=

a

D

y

Jadi, sumbu simetrinya 6 = $ dan koordinat titik

baliknya 1$, 7F2.

1iL2 /enentukan beberapa titik bantu. /isal untuk 6 = #,

maka y = 7).

Jadi, titik bantunya 1#, 7)2.


6UNGSI =UARAT



6UNGSI =UARAT?rafiknya :

N

D% / % & 3 '

D%

D&

D3

D'

D

D(

D-

D)

D

M

MM

M

M

M

M

/ t h

'ersa(aan #ungsi kua)rat #!x$ =ax 2 + bx + &apabila )iketahui gra*k #ungsi (elalui tiga titik



/0nt0h,

6entukan 9ungsi kuadrat yang melalui titik 7-'J#8' 7>'J%8dan 7#')8 aab,

97?8 1 a?$ b? +

97-8 1 a7-8$

b7-8 + 1 J# ⇔ a b + 1 J# . . . -8

97>8 1 a7>8$ b7>8 + 1 J%

⇔ > > + 1 J%

⇔ + 1 J% . . . $8

97#8 1 a7#8$ b7#8 + 1 )

⇔ -*a #b + 1 1) . . . %8


&ubstitusi $2 ke #2

a 0 b 4 % = 7'

a 0 b = # '2



⇔ a 0 b = 7# . . . '2

&ubstitusi $2 ke %2 #(a 0 'b 4 % = *

⇔ #(a 0 'b = ) . . . *2

Dari #8 dan )8 diper0leh ,

a b 1 J- ? # #a #b 1 J# -*a #b 1 F ? - -*a #b 1 F T J-$a 1 J-$ a 1 -Substitusi a 1 - ke #8

- b 1 J- b 1 J$ adi' 9ungsi kuadratnya adalah 97?8 1 ?$ J$? J%


Persa#aan ,ungsi %ua"rat ,(! a2 B B ; a$aila "i%etahui "ua titi% $'t'ng



$ $ gterha"a$ su#u K "an satu titi% lainn*a

"a$at "itentu%an "engan ru#us eri%ut ))

2)(

1()( x x x xa x f −−=

/0nt0h ,

6entukan persamaan 9ungsi kuadrat yangmem0t0ng sumbu : di titik A 7-'>8' 47J%'>8' dan mem0t0ng sumbu ; di titik 7>'%8


Jawab :))(()( 21 x x x xa x f −−=



&iti' (1) *an (+3) *isubstitusi'an 'e f(x) men,a*i :

f(x) = a(x - 1)(x 3) . . . 1)/emu*ian subsitusi'an (3) 'e persamaan 1) men,a*i :

3 = a( + 1)(x 3)

3 = +3a

a = +1#ersamaan fungsi 'ua*ratnya men,a*i :

Ja*i fungsi 'ua*ratnya a*a%a

))(1(1)( +−−= x x x f

)2(1 2

−+−= x x

2)( 2 +−−= x x x f

2)( 2+−−= x x x f


Persamaan 9ungsi kuadrat 97?8 1 a?$ b? + apabila diketahui titik pun+ak grak



+ apabila diketahui titik pun+ak grak

7?pU yp8 dan satu titik lainnya dapatditentukan dengan rumus berikut.

p p y y xa x f +−= 2

)()(


6entukan persamaan 9ungsi kuadrat yang titik

/0nt0h ,



p g y gpun+aknya 7J-' V8 dan melalui 7%' J8

aab ,

f(x) = a(x - xp)2 yp (xp yp) = (+1 0)

f(x) = a(x 1 )2 0 . . . 1)

ubsitusi'an titi' (3+) 'e persamaan 1) men,a*i :

⇔ + = a(3 1)2 0

⇔ +16 = 16 a

a = 1

10/13/15 1-0AGUSTINI TRIPENA

arak !"a #itik $i Bi$a%&



arak $"a titik P(', ) $a% * ('2,2)

( ) ( )1212

22

y y x x PQ −− +=

( ) ( )2121

22

y y x x PQ −− +=

P (+,)

* (+2,2)

P (+,)

* (+2,2)


2/ !iktah"i titik M (.,-) $a% N (2,-4)/

1it"%&lah arak MN



M (+,) (.,-)

P%laia% 5

N (+2,2) (2,-4)

( ) ( )( ) ( ) 24

2121

2222

22

)4(126 ==+=+=

+=

−−−−

−−

MN

MN y y x x

a$i arak MN 6


!N"SI (!4I(

F ikbik



-*%-*%

Fungsi kubik: .

0,)( 0122 ≠+++= aa xa xa xa x f


!N"SI PE/A



-*#-*#10/13/15 1-4AGUSTINI TRIPENA

!N"SI IRASIONAL



-*)-*)10/13/15 1-5AGUSTINI TRIPENA

!N"SI E(SPONENf(x) =2X

X



10/13/15 1--AGUSTINI TRIPENA

D = *$main

- 3 •

-2 •

- 1

•

•

1 •

2 •3 •

...

n •

/ = '$*$main

- 3 •

-2 •

- 1

•

•

1 •

2 •3 •

...

n •

•2 - 3

•2 -2

•2 - 1

•2

•21

•22

•23

•2n

fi' f f( ) 2x

"



10/13/15 1-.AGUSTINI TRIPENA

rafi' f: x → f(x) = 2x

untu' x bu%at *a%am 5

a*a%a:

X

!•(1)

•(12)

•(24)

•(38)

•(416)

•(532)

•(12)

•(24)

•(38)

•(416)

•(532)

0 1 2 3 4 5

6(!2 1-1 2 4 32

/e*ua grafi' me%a%ui titi' ( 1)&iat




X

"

! 1 2 3 -3 -2 -1

1

2

3

4

5

6

g(x) =/

2

1÷÷

) =

f(x)= 2

/e*ua grafi' me%a%ui titi' ( 1)

edua rafik si!eris erhada& su!u 3

rafi' f: x → 2x merupa'an grafi'

nai'7men*a'i *an grafi' g: x →

merupa'an grafi' yang menurun *an

'e*uanya bera*a *i atas sumbu X 1nilai ungsi senantiasa positi2

Dari 'ura tersebut *apat *i9ari berbagai

ni%ai 2x *an ni%ai

eba%i'nya *apat *i9ari pang'at *ari 2 ,i'a asi% perpang'atannya *i'etaui.

tau: menentu'an ni%ai %$garitma suatu bi%angan *engan p$'$' %$garitma 2.

untu' berbagai ni%ai x rea%

&iat

ungsi e'sp$nen *engan

bi%angan *asar a >a'a5raik

@5& -&P&A //




X

"

! 1 2 3 -3 -2 -1

1

2

3

4

5

6

;a;1 ÷÷

a< 1

bi%angan *asar a . >a'a

f(x) = ax a < a U %

aaan: f(/) = 2x

f(x) = 2+x =

rafi' simetri t* s "

5raik

1. 5$del eru!uhan denan 7aku

p as ungsEksp0nensial



10/13/15 1.0AGUSTINI TRIPENA

&enandaan (d$ulin i!e)

() = &$&. d saa $ = &$& a7al

h = 7aku &enandaan

2. 9aku &aruh

kt ht No Not N 2.2.)( : ==

2. 9aku aruh pt :1




A() = &$&. &d saa

A$ = &$& a7al & = 7aku &aruh

Aot A 2

1

.)(

=

. Buna 5a%e!uk




A() = &$&. &d saa

A$ = &$& a7al = 7aku

r = una !a%e!uk

= ahun

nt

nr Aot A )1.()( +=

;<>? @>@>?A A>?

;unsi eks&$nensial asli adalah fs eks& denan




il dasar e yan diulis y = f(/) = e/

* il real dan e = 2,C18281824

'f = D , Dane = (0, Z6

A?A>? @>@>?A A>?

1. 5$del eru!uhan 5alhus




5$del eru!uhan 5alhus diseu %ua !$del &eru!uhan e$!erik denan &ersa!aan

() = &$&. &d saa

r = la%u &eru!uhan &erka&ia %ika r + 0

= la%u &eru!uhan &erka&ia %ika r 0 $ = &$&.a7al = &$& &ada saa = 0

rt

o e N t N .)( =

2. Buna !a%e!uk sina!unnt

r




Eika uan (!$dal) seesar A$ diin-esasikan

una !a%e!uk sina!un 100 r(rF), !aka anyaknya uan &ada akhir ahun ke adalah

t r

n en

r

1li! =

+∞→

t r

o e At A

.)( =

L $ari!a !eru&akan kealikan dari

k

!N"SI LO"ARI6&A



10/13/15 1.-AGUSTINI TRIPENA

eks&$nen.

;unsi l$ari!a %ua !eru&akan kealikan

dari funsi eks&$nen.

x x f a l$)( = Untu% a V 1+ a R∈

6ungsi l'garit#a "i"eJnisi%an"engan $ersa#aan :



10/13/15 1..AGUSTINI TRIPENA

"engan $ersa#aan :

* ,(! l'ga + a V 0 + a 1

6ungsi ini ter"eJnis%an untu% V 0+"an #eru$a%an inOers "ari ,ungsie%s$'nen)

e9ara isua% grafi' fungsi e'sp$nen *an




xa y =

o

Y

X

x y a l$=

e9a a sua g a u gs e sp$ e *a

fungsi %$garitma a*a%a sebagai beri'ut :

$n$h 1 :

a) 23




7a8a :a) 23 ⇒ 2 l'g 3) W 22 ⇒ 2 l'g W 2

9'nt'h 2 :N*ata%an $ersa#aan eri%ut %e "ala# entu%

$er$ang%atan *ang e%uiOalena) 4 2 l'g 1-

) - 2

l'g 7a8a :a) 4 2l'g 1- ⇒ 24 1-) - 2l'g ⇒ 2-

) W 22

64

1

64

1

64

1

$n$h :

7a8a :

Ga#ar%an graJ% ,ungsi ,(! 2 l'gB2




7a8a :

Seelu# #engga#ar graJ% %ita "a$at #engguna%anantuan tael eri%ut)

W

X

1

24

,(! 2 l'g B2

0

1

2

3

4

5




rafiknya

X O

2l$)( 2+= x x f

1 2 3 4 5 - . 101 2

1

2

3

4

5

-

&ambar'ah gar"ik "ungsi 'ogaritma y ="( ) '




y = "(x) = 'og x

'og x

2

1

1 0

2 1

4 2

3

GraJ%n*a 2log , ) 2 2




5

4

3

2

1

0

1

Sumbu ?

Sumbu y

?GARIT@A1- blog 1 . /

2 blog b . 1




2- log b . 1

3- bb log, . ,(- blog "n . blog " 0 blog n

5- blog "n . blog " ) blog n

6- blog b, . ,

7- blog "# . blog "

- blog " . blog n ⇔ # n

$e+ lain untuk b,

b, . e, ln b




b e

#a bila 4b . blog , "aka , . b 4

ln , . 4 ln b

% . ln , . , . e 4

% . ln , ln bblog , . ln , ln b

'ontoh:

'arilah , 4ang "e"enuhi




'arilah , 4ang "e"enuhiblog ( ) blog 0 blog 2 . blog ,

blog (32 ) blog 23 0 blog 2 . blog ,blog (123) blog 1320 blog 2 . blog ,blog ) blog ( 0 blog 2 . blog ,blog (-2 . blog ,blog ( . blog ,

( . ,

6ungsi Trig'n'#etri




9'nt'h




Penye'esaianK 0 30 45 -0 0 120 135 150 10

Sin 0 1 0

K 210 225 240 2.0 300 315 330 3-0

Sin 1 0

GraJ% sinus1)5




1)5

1

0)5

0

0)5

1

Sumbu ?

Sumbu y

!N"SI 6RI"ONO&E6RI

8ra+ik 4 . sin ,




/

1

)1

// 27// 36//

a"#litu$o

1 #erio$e

8ra+ik 4 . sin ,

8ra+ik 4 . 2 sin ,9erio$e 36//




/

1

)1

4

2

)2

"l#itu$o 2

%.sin ,

// 1// 27// 36//

$

8ra+ik 4 . sin 2,




/

1

)1

// 1// 27// 36//

%.sin ,

(5/ 135/ 225/ 315/

#ereo$e

a"#litu$o

4

9'nt'h




Penye'esaianK 0 30 45 -0 0 120 135 150 10

;'s

K 210 225 240 2.0 300 315 330 3-0

;'s

GraJ% 9'sinus1)5




1)5

1

0)5

0

0)5

1

Sumbu ?

Sumbu y

8ra+ik 4 . cos ,




)//

1

)1

// // 1// 27//

4

a"#litu$o

1 #erio$e

)//π

bersambung

materi matematika kuliah 4-5

Documents