1. DIMENSI TIGA MATEMATIKA WAJIB DiwantiAulia Hasanah Suci Kurniati Taqiyyuddin Hammam Afiify 2. DIMENSI TIGA MATEMATIKA WAJIB | 1 A. TITIK, GARIS, DAN BIDANG 1. Titik Dalam dunia menulis titik merupakan tanda yang digunakan untuk mengakhiri sebuah kalimat, sedangkan dalam dunia matematika titik merupakan sesuatu yang punya kedudukan, tetapi titik tidak punya ukuran. Sama seperti dalam dunia menulis, dalam dunia matematika titik direpresentasikan dengan sebuah noktah .. Hanya saja dalam dunia matematika titik diber nama dengan menggunakan huruf kapital seperti A, B, atau C, dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah titik, yaitu titik B dan titik Q. 2. Garis Garis adalah himpunan titik-titik yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah titik. Titik-titik tersebut berderet ke kedua arah yang berlawanan sampai jauh tak terhingga. Model atau representasi suatu garis misalnya seperti seutas benang atau tali lurus yang dapat diperpanjang kedua arah yang berlawanan sampai jauh tak terhingga. Garis hanya mempunyai ukuran panjang. Berbeda dengan titik yang diberi nama menggunakan satu buah huruf kapital, sedangkan garis diberi nama dengan menggunakan huruf kecil seperti g, h, k, dan seterusnya, atau dua buah huruf kapital seperti AB, AC, BC, dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah garis, yaitu garis h dan garis AC. 3. Bidang Bidang adalah himpunan garis-garis yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah garis. Jadi, pada sebuah bidang, terdiri dari banyak sekali garis. Model sebuah bidang adalah permukaan sebuah kertas yang dapat diperlebar ke semua arah. Bidang mempunyai ukuran panjang dan lebar serta diberi nama dengan menyebutkan titik-titik sudut dari bidang tersebut atau memakai huruf , , , dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah bidang, yaitu bidang dan bidang ABCD. 3. DIMENSI TIGA MATEMATIKA WAJIB | 2 B. Jarak 1) Garis Tegak Lurus Bidang Sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang jika garis itu tegak lurus pada setiap garis di bidang itu. 2) Jarak Titik dan Garis Jarak titik A dan garis g adalah panjang ruas garis AA, dengan titik A merupakan proyeksi A pada g. 3) Jarak titik dan bidang Jarak antara titik A dan bidang adalah panjang ruas garis AA dengan titik A merupakan proyeksi titik A pada bidang. 4) Jarak Antara Dua Garis Sejajar Menentukan jarak dua garis sejajar adalah dengan membuat garis yang tegak lurus dengankeduanya.Jarak kedua titik potong merupakan jarak kedua garis tersebut. 5) Jarak Garis dan Bidang yang Sejajar Menentukanjarak garis dan bidang adalah dengan memproyeksikan garis pada bidang. Jarak antara garis dan bayangannya merupakan jarak garis terhadap bidang. 4. DIMENSI TIGA MATEMATIKA WAJIB | 3 6) Jarak Antar titik sudut pada kubus Contoh 1: CATATAN PENTING Pada saat menentukan jarak, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat garis garis bantu sehingga terbentuk sebuah segitiga sehingga jarak yang ditanyakan akan dapat dengan mudah dicari. 1. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi 12 cm. Titik P adalah perpotongan diagonal bidang ABCD. Tentukan jarak titik P ke titik G! 2. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, jarak titik B ke diagonal ruang AG adalah... Penyelesaian: 1. AC panjangnya 122, sementara PC adalah setengah dari AC. Sehingga PC = 62 cm. CG = 12 cm. 5. DIMENSI TIGA MATEMATIKA WAJIB | 4 C. PROYEKSI DAN SUDUT 1. Sudut Antara Garis dan Bidang Sudut antara garis dan bidang merupakan sudut antara garis dan bayangannya bila garis tersebut diproyeksikan pada bidang. 2. Sudut Antara Dua Bidang Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang tegak lurus garis potong pada bidang dan 2. Misalkan jaraknya adalah BP, dimana BP dengan AG harus tegak lurus. Ambil segitiga ABG sebagai acuan perhitungan. Jika AB dijadikan alas segitiga, maka BG menjadi tingginya. Jika AG yang dijadikan alas, maka tinggi segitiganya adalah BP, dimana BP itulah yang hendak dicari. alas1 x tinggi1 = alas2 x tinggi2 6. DIMENSI TIGA MATEMATIKA WAJIB | 5 Contoh 2: CATATAN PENTING Pada saat menentukansudut,hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan titik potong antara dua obyek yang akan dicari sudutnya, kemudian buat garis-garis bantu sehingga terbentuk sebuah segitiga. 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah... 2. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang AB = 4 cm dan TA = 6 cm. Jarak titik C ke garis AT =... Penyelesaian: 1. Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah DD': DH = 8 DH = FH = . 8 = 4 2. T CA 6 6 4 O 7. DIMENSI TIGA MATEMATIKA WAJIB | 6 D. Volume dan Luas Permukaan Benda-Benda Ruang 1. Kubus Misalkan sisi kubus = a Volume kubus = 3 dan Luas permukaan kubus = 62 2. Balok Misalkan panjang balok = , Lebar balok = , dan Tinggi balok = , maka Volume balok = , dan Luas permukaan balok = 2( + + ) 3. Prisma Tegak Pada prisma tegak berlaku, Volume prisma tegak = luas bidang alas panjang sisi tegak (tinggi) prisma atau Luas permukaan prisma tegak = 2 luas bidang alas (atau luas bidang atas) luas selubung. Pada prisma tegak, luas bidang atas = luas bidang alas 4. Limas Pada limas segi-n beraturan berlaku, Volume limas = 1 3 Luas permukaan limas = + 5. Silinder (tabung) Pada silinder berlaku, Volume tabung = 2 dan Luas permukaan tabung = ( + ) 6. Kerucut Pada kerucut berlaku, Volume kerucut = 1 3 2 dan Luas permukaan kerucut = ( + ) 7. Bola Pada bola berlaku, Volume bola = 4 3 3 dan Luas permukaan bola = 42 AC = 4 cos = (4 ) 2 (62 62) .6.6 = 40 7 = 56 sin 56 = 6 sin 90 = 56.6 = 4,9 8. DIMENSI TIGA MATEMATIKA WAJIB | 7 Contoh 3: E. Menggambar Bangun Ruang Pengertian dasar dalam menggambar bangun ruang 1. Bidang gambar, yaitu bidang datar tempat kita akan menggambar. Misalkan kertas, papan tulis, dan sebagainya. 2. Bidang frontal, yaitu bidang pada gambar yang akan digambar sejajar dengan bidang gambar. Pada gambar (i) bidang frontalnya ABFE. 3. Bidang ortogonal, adalah bidang yang tegak lurus bidang frontal. Pada gambar disamping, bidang ortogonalnya adalah ADHE, BCGF, ABCD, AFGH. 4. Garis frontal, yaitu garis-garis yang membentuk bidang frontal. Garis frontal terdiri atas garis frontal vertikal, contohnya BF, atau AE pada gambar disamping, dan gairs horizontal, contohnya AB atau EF pada gambar disamping. 5. Garis ortogonal, yaitu garis-garis yang tegak lurus pada bidang frontal. Pada gambar disamping, gairs ortogonalnya adalah EH, FG, AD, dan BC. 6. Sudut surut atau sudut menyisi, yaitu sudut yang dibentuk antara garis frontal horizotal ke kanan dengan garis ortogonal ke belakang. Sudut surut menggambarkan seberapa jauh kemiringan garis ortogonal terhadap garis frontal horizontal. Pada gambar diatas, sudut surutnya . 7. Perbandingan proyeksi (perbandingan ortogonal), yaitu perbandingan antara panjang garis ortagonal dalam gambar dengan panjang garis ortogonal sebenarnya. Kecuali dinyatakan dengan perbandingan tertentu, perbandingan ortogonal adalah sin = 1. 1. Tentukan volume sebuah bola berjari-jari 4 cm! 2. Sebuah kerucut mempunyai jari-jari bidang alasnya 8 cm dan tingginya 15 cm. Hitunglah volume kerucut tersebut ( = 3,14)! Penyelesaian: 1. = 4 3 3 = 4 3 43 = 56 3 Jadi, volume bola tersebut adalah 256 3 3 2. Volume kerucut = 1 3 2 = 1 3 (3,14).82 . 15 = 1 3 (3014,4) = 1004,8 Jadi, volume bola tersebut adalah 1004,8 3 9. DIMENSI TIGA MATEMATIKA WAJIB | 8 Contoh 4: 1. Gambarkan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, bidang frontal ABFE, garis frontal horizontal ABC, susut surut 60, dan perbandingan orthogonal 1:2. 2. Gambarkan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 20 cm, skala 1 : 5, bidang frontal ACGE, garis frontal horizontal AC, sudut surut 120, dan perbandingan proyeksi 3 4 . Penyelesaian: 1. AE = 4 cm AD = 4 cm Karena AD merupakan garis orthogonal dengan perbandingan orthogonal 1:2, maka panjang AD pada gambar = 1 2 4 = . Sudut surut, BAD = 60. 2. Panjang rusuk = 1 5 0 = 4 . Panjang AC = 4 cm. Titik p terletak di tengah AC sehingga panjang PB = PD = Panjang PD dan PB pada gambar: = 3 4 = 3 2 cm Sudut surut, CPD = 120. A B C D 60 60E H G F A B C D E H G F 120 P 10. DIMENSI TIGA MATEMATIKA WAJIB | 9 Latihan soal 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dan panjang rusuk-rusuknya a cm, pernyataan berikut benar, kecuali... (A) Bidang bidang diagonalnya kongruen (B) Jumlah bidang sisi dan bidang diagonal 12 buah (C) Sudut antara garis AE dan bidang alas 45 (D) Panjang diagonal sisi cm (E) Panjang garis diagonal ruang 3 2. Panjang diagonal ruang suatu kubus adalah 48 cm, maka panjang rusuk tersebut adalah... cm (A) 16 (B) 9 (C) 8 (D) 7 (E) 4 3. Pada kubus ABCD.EFGH, diketahui panjang rusuk 10 cm. Luas segitiga ACH adalah...cm2 (A) 25 (B) 25 (C) 25 3 (D) 50 (E) 50 3 4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan AB = 6 cm. Volume limas C.AHF adalah... (A) 144 cm3 (B) 72 cm3 (C) 36 cm3 (D) 32 cm3 (E) 26 cm3 5. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah a. Jarak A ke diagonal HB adalah... (A) 2 6 (B) 3 6 (C) 4 6 (D) 5 6 (E) 6 6 6. Kubus ABCD.EFGH dengan rusuknya a cm, jarak antara F ke bidang ABG adalah... (A) a 11. DIMENSI TIGA MATEMATIKA WAJIB | 10 (B) 1 2 (C) 1 3 (D) 1 2 (E) tidak ada yang benar 7. Pernyataan yang salah tentang kedudukan garis dengan bidang adalah... (A) Garis memotong bidang (B) Garis terletak pada bidang (C) Garis sejajar bidang (D) Garis bersilang dengan bidang (E) Garis menembus bidang 8. Diketahui kubus ABCD.EFGH. besar sudut ABG adalah... (A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 75 (E) 90 9. Pada kubus ABCD.EFGH. dengan M dan N merupakan titik-titik perpotongan antara diagonal-diagonal sisi alas dan atas, maka garis yang sejajar dengan MH adalah... (A) BN (B) AB (C) BF (D) AE (E) CG 10. Pada kubus ABCD.EFGH, bidang ACH membagi kubus atas dua bagian dengan perbandingan volume... (A) 1 : 2 (B) 3 : 1 (C) 1 : 6 (D) 1 : 5 (E) 1 : 4