Minggu I : Senin, 17 September 2012Topic : Vektor (Aljabar Vektor)Sub Topic : Definisi dan jenis-jenis Vektor, Penjumlahan dan pengurangan

Vektor, Perkalian Vektor dengan scalar, Vektor posisi dari suatu titik, Komponen sebuah Vektor, Ruang Vektor.

Referensi : 1. Matematika Untuk Teknik – K A Stroud, 1987 (Bab 6) 2. Engineering Mathematics – Dass, 2002 (Bab 20) 3. Vektor Analysis – Schaum Outline Series

VEKTORPengertian Vektor

Vektor adalah suatu kuantitas yang ditentukan panjang (ukuran besarnya) dan

arahnya. Besaran Vektor dapat disajikan dengan menggunakan suatu bilangan real,

kemudian diikuti dengan sistem suatu yang sesuai. Secara geometri, besaran vektor

dapat disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis menyatakan panjang

atau besar vaktor, sedangkan arah anak panah menunjukan arah vaktor.

Titik asal garis terarah disebut titik awal Vektor, sedangkan titik ujung garis disebut

titik ujung Vektor tersebut.

Kesamaan Vektor

Dua vektor a⃗ dan b⃗ dikatakan sama (ekuivalent), jika dan hanya jika kedua vektor itu

mempunyai panjang dan arah yang sama. Dua vektor yang sama, ditulis a⃗ = b⃗

(perhatikan gambar a). Sebagai contoh, perhatikan kubus ABCD.EFGH pada gambar

b. Misalnya wakil dari vektor a⃗ dan wakil dari vektor b⃗, maka a⃗ = b⃗ (a⃗

sama dengan atau ekivalen b⃗) sebab dan mempunyai arah dan panjang

yang sama. Sedangkan untuk dua vector yang panjangnya sama tetapi arahnya

berbeda dapat dilihat pada gambar (c), dua vector yang arahnya sama tetapi

panjangnya berbeda dapat dilihat pada gambar (d), dan dua vector yang panjang dan

arahnya berbeda dapat dilihat pada gambar (e).

Panjang Garis = Panjang Vektor ( |a⃗|)Arahnya = Arah vektor

Vektor dilambangkan dengan huruf yang diberi tanda panah

diatasnya ( a⃗ , b⃗ , v⃗ dst ¿

=

=

A

E

D

F

GH

C

B(a) (b)

= =

(c)

=

=

(d)

= =

(e)

Jenis-jenis Vektor Vektor Satuan : Vektor yang panjangnya satu |a⃗|=1, |a⃗| disebut vektor satuan Vektor Batas (bound vector) : Vektor yang mempunyai titik awa tertentu

yang tetap Vektor Garis : Vektor yang dapat digeser sepanjang gris kerjanya Vektor Geser : Vektor yang titik awalnya dapat terletak dimana saja pada sebuah

garis lurus yang sejajar dengan vector tersebut. Vektor Posisi : A⃗B terjadi jika titik A tetap …………….. …………….

Komponen Sebuah Vektor

Perhatikan titik dengan koordinat P(x, y, z) dan Q(x2, y2, z2) dalam koordinat kartesius. Titik awal dalam koordinat kartesius adalah (0, 0, 0)

Komponen vector a⃗ adalah a1, a2, a3 relatif terhadap system koordinat tersebut dan vector a⃗ ditulis :

a⃗=¿ a1, a2, a3 ]

Dimana : a1= x2 – x1 ; a2= y2 – y1 ; a3= z2 – z1

Penjumlahan VektorMisalkan jumlah dari vektor u dengan v adalah w, maka penjumlahan vektor u dengan vektor v itu dituliskan sebagai w = u + v. Vektor w disebut vektor resultan dari vektor u dengan vektor v. Secara geometri, vektor w = u + v dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu aturan segitiga dan aturan jajargenjang.

1. Aturan SegitigaDefinisi:Jumlah vektor u dengan vektor v atau w = u + v dapat ditentukan dengan cara memindahkan vektor v (tanpa mengubah besar dan arahnya), sehingga titik pangkal vektor v berimpit dengan titik ujung dari vektor u. Vektor w = u + v yang dimaksud diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor u dengan titik ujung atau titik terminal vektor v yang telah dipindahkan tadi. (lihat gambar di bawah ini). Menjumlahkan vektor dengan cara seperti ini dikenal sebagai aturan segitiga. 2. Aturan Jajargenjang

Xx

y r

R(x,y)

Cara lain untuk menentukan jumlah vektor u dan vektor v adalah dengan memindahkan vektor v (tanpa mengubah besar dan arahnya), sehingga titik pangkal vektor v berimpit dengan titk pangkal vektor u. Vektor w = u + v yang dimaksud adalah vektor yang titik pangkalnya di titik pangkal persekutuan vektor u dan v serta vektor itu berimpit dengan diagonal jajargenjang yang dibentuk oleh vektor u dan vektor v tadi. Menjumlahkan vektor dengan cara seperti ini dikenal sebagai aturan jajargenjang (paralelogram).

Sifat-Sifat Penjumlahan Vektora. Komutatif : u + v = v + ub. Asosiatif : (u + v) + w = u + (v + w)c. Terdapat unsur identitas atau unsur satuan (yaitu vektor 0) sehingga berlaku

hubungan : 0 + v = v + 0 = vd. Setiap vektor mempunyai sebuah unsur invers tambah. Jika vektor -v merupakan

invers tambah dari vektor v, maka berlaku hubungan v + (-v) = 0.

Pengurangan VektorDefinisi:Jika u dan v sebarang dua vektor, pengurangan v dari u didefinisikan olehu - v = u + (-v)

Perkalian Vektor dengan SkalarDefinisi:Jika v adalah vektor tak nol dan k bilangan real taknol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang v dan arahnya sama seperti arah v jika k > 0. dan berlawanan arah v jika k < 0.Kita definisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0.

Sifat-Sifat Perkalian Vektor dengan Skalara. ||m v|| = |m| ||v||b. m (-v) = -m vc. m v = v md. (m +n) v = m v + n ve. m(u + v) = m u + m v

Panjang VektorMisalkan R adalah sebuah titik pada bidang dengan koordinat (x, y) dan r, maka r

dapat disajikan dalam bentuk vektor kolom sebagai r = . Panjang atau besar dari

ruas garis berarah dilambangkan denganDari gambar di samping, didapat hubungan:

OR2 = OA2 + OB2

B

A

C

R

O

XD

Y

r

Z

OR2 = x2 + y2

OR =

Dengan demikian, panjang adalah:

||OR|| =

Jadi, besar atau panjang vektor r = dapat ditentukan dengan rumus:

||r|| =

Misalkan titik R mempunyai koordinat (x, y, z) dan mewakili vektor r, maka

vektor r dapat dinyatakan dalam bentuk vektor kolom sebagai r = .

Panjang atau besar ruas garis berarah ditulis sebagai || || atau OR.Berdasarkan gambar di samping diperoleh hubungan:OR2 = OD2 + DR2 ...................... (1)Sedangkan OD2 = OA2 + OB2

OD2 = x2 + y2

dan DR2 = z2

Substitusi OD2 dan DR2 ke persamaan (1) diperoleh

OR2 = x2 + y2 + z2

Dengan demikian

|| || = OR =

Jadi, besar atau panjang vektor r = dapat ditentukan dengan rumus

||r|| =

Contoh:

Diketahui vektor-vektor a = , b = dan c = . Hitunglah||2a - b + c||Jawab:

2a – b + c = 2 - + = ||2a - b + c|| = =

. Jadi, panjang vektor a + b + c adalah ||2a - b + c|| = satuan panjang

Rumus JarakMisalkan dua titik di R-3, yaitu titik P dengan koordinat (x1,y1,z1) dan titik Q dengan

koordinat (x2,y2,z2). Ruas garis berarah mewakili suatu vektor dengan komponen-komponen (x2 – x1), (y2 – y1), dan (z2 – z1). Oleh karena itu, panjang ruas garis berarah

dapat ditentukan dengan rumus berikut.

|| || =

Vektor SatuanDalam bentuk vektor kolom, vektor-vektor satuan di R-2 dapat dinyatakan sebagai berikut.

= dan = Untuk satuan vektor a yang bukan vektor nol, kita dapat menentukan vektor satuan

dari vektor a. Vektor satuan dari a (dilambangkan dengan , dibaca: e topi) searah dengan vektor a dan panjangnya sama dengan satu satuan.

Jika, vektor a = , maka vektor satuan dari a ditentukan dengan rumus:

= =

Dengan sifat yang sama untuk vektor-vektor di R-3, vektor satuan dari vektor a(x,y,z) ditentukan dengan rumus:

= =

•••A BC nm

Rumus Pembagian Ruang Garis di R-3 (Bentuk Vektor dan Bentuk Koordinat)Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan Bagian

Misalkan titik C terletak pada ruas garis AB, sehingga titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n, maka AC : CB = m : n atau AC : AB = m : (m + n) (lihat gambar di bawah ini)

Tanda-tanda (positif atau negatifnya) m dan n ditentukan dengan kesepakatan sebagai berikut.

(1) Jika C terletak di dalam ruas garis AB sehingga searah, maka, m dan n bertanda sama (m dan n keduanya positif atau keduanya negatif).

(2) Jika C terletak di luar ruas garis AB tetapi pada perpanjangan ruas garis AB, maka

berlawanan arah. Dalam hal demikian, m dan n berlawanan tanda (m positif dan n negatif atau m negatif dan n positif).

Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Vektor Vektor posisi titik A dan B berturut-turut adalah a dan b. Titik C pada ruas garis AB dengan perbandingan m : n atau AC : CB = m : n. Jika vektor posisi titik C adalah c, maka vektor c ditentukan dengan rumus

c = Rumus ini juga berlaku untuk titik C yang terletak pada perpanjangan garis AB.

Contoh:Vektor posisi titik A dan titik B berturut-turut adalah a dan b. Pada ruas garis AB, tandailah titik C sehingga AC : CB = 1 : 3, tentukan vektor posisi titik C,Jawab :

Misalkan vektor posisi titik C adalah c, maka c =

Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Koordinat.

Diketahui koordinat titik A( ), B( ), dan C(x,y,z), Jika titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n atau AC : CB = m : n, maka vektor posisi titik C dapat ditentukan dengan rumus

pembagian ruas garis di R-3 dalam bentuk vektor sebagai

c =

C(x,y,z)m

B(x2,y2,z2)

c

bn

A(x1,y1,z1)Oa

Berdasarkan kesamaan vektor yang terakhir ini diperoleh hubungan berikut.

Persamaan di atas adalah rumus pembagian ruas garis di R-3 yang dinyatakan dalam bentuk koordinat.

Perkalian Skalar Dua VektorPerkalian skalar antara vektor a dan vektor b dilambangkan dengan dan didefinisikan:||ab|| = ||a|| ||b|| cos , dengan ||a|| dan ||b|| masing-masing menyatakan panjang vektor a dan b, sedangkan menyatakan sudut lancip yang dibentuk oleh vektor a dan b

Perkalian Skalar Dua Vektor dalam Bentuk Kolom

Misalkan a = dan b = merupakan vektor-vektor di R-2 yang di nyatakan daalam bentuk vektor kolom. Perkalian skalar antara vektor a dan b ditentukan

a b = = x1x2 + y1y2

perhatikan bahwa nilai atau hasil perkalian skalar vektor a dan b adalah jumlah perkalian komponen yang seletak pada vektor a dan b.

Misalkan a = dan b = adalah vektor-vektor di R-3 yang dinyatakan dalam bentuk vektor kolom. Perkalian skalar antara vektor a dan vektor b ditentukan oleh rumus:

a•b =

Teorema Ortogonalitas

Dua vektor yang tidak nol dikatakan saling tegak lurus (ortogonal) jika dan hanya jika perkalian skalar kedua vektor itu sama dengan nol.

Jadi, vektor a dan b (||a|| 0 dan ||b|| 0) dikatakan saling tegak lurus (ortogonal) jika dan hanya jika a b = 0

Sifat-Sifat Perkalian Skalar Dua Vektor1. Sifat Komulatif a • b dan b • a2. Sifat Distributif a•(b + c) = a•b + a•c

Sudut Antara Dua Vektor

Misalkan a = dan b = adalah vektor-vektor di R-3 yang dinyatakan dalam bentuk vektor kolom. Jika sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b adalah , maka besarnya cos dapat ditentukan dengan rumus berikut

Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor Pada Vektor LainDalam geometri bidang, kita telah mempelajari pengertian proyeksi ortogonal dari suatu ruas garis pada ruas garis yang lain. Proyeksi ortogonal dari ruas garis OA pada ruas garis OE adalah ruas garis OC, dengan panjang OC ditentukan oleh OC = OA cos . Pegertian proyeksi ortogonal pada geometri bidang ini dapat dipakai sebagai landasan untuk memahami pengertian proyeksi orrtogonal suatu vektor lain. Pada

Gambar 1-19b, ruas-ruas garis berarah dan mewakili vektor-vektor a dan b, sedangkan menyatakan sudut antara vektor a dan vektor b. Proyeksi dari titik A

pada ruas garis berarah adalah titik C, sehingga

Besaran OC = ||a|| cos dinamakan proyeksi skalar ortogonal (biasanya disingkat proyeksi skalar saja) vektor a pada arah b.Nilai proyeksi skalar ortogonal OC = ||a|| cos bisa positif, nol, atau negatif,

tergantung dari besar sudut .(1) Untuk 00 < 900, OC bernilai (2) positif (3) Untuk = 900, OC bernilai nol (4) Untuk 900 < 1800, OC bernilai

negatif

Perhatikan bahwa ruas garis berarah mewakili vektor c, sehingga vektor c merupakan proyeksi vektor a pada arah vektor b. Vektor c ini dinamakan proyeksi vektor ortogonal (biasanya disingkat dengan proyeksi vektor saja). Dengan menggunakan definisi perkalian skalar, selanjutnya dapat ditentukan bahwa : (1) Proyeksi skalar orrtogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah l c l, dengan ||c||

dirumuskan oleh : (2) Proyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah c dirumuskan

oleh : Proyeksi vektor b pada arah vektor a dapat ditentukan dengan menggunakan analisis yang sama. Misalkan proyeksi vektor b pada arah vektor a adalah vektor d (perhatikan Gambar), maka dapat disimpulkan bahwa(1) Proyeksi skalar ortogonal vektor b

pada arah vektor a adalah

||d|| =

(2) Proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor a adalah

TUGAS I (17 September 2012) – dikumpul Senin, 24 sept 2012 (sbelum masuk)

1. Diketahui titk A(2,1,3), B(-3,2, 5) dan C(4,-1,2). Ruas garis berarah mewakili vektor u

dan ruas garis berarah mewakili vektor v. Hitunglah perkalian skalar antara vektor u dan vektor v.

2. Misalkan koordinat titik P(2,3,-1) dan Q(7,-2,9). Titik R membagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1 : 4. Carilah koordinat titik R.

4. Misalkan vektor a dan b membentuk sudut 600. Jika ||a|| = 4 dan ||b|| = 5, hitunglah b•(a + b)

5. Diketahui vektor-vektor a = , b = , dan c = Hitunglah nilai p, jika a•(b - c) = a•a dan tentukan besar sudut antara vektor a dan b

6. Diketahui titik-titik K (3,3,3), L(1,2,-1), M(4,1,1), dan N(6,2,5). Tunjukkan bahwa bangun KLMN berbentuk jajargenjang