matematika sma kelas 1 - x

Literatur Media SuksesJl. Madrasah No. 38, Pekayon

Pasar Rebo, Jakarta Timur

Jilid 1

untuk

SMA Kelas X

MaMaMaMaMatematematematematematikatikatikatikatika AAAAAplikasiplikasiplikasiplikasiplikasi

Matematika Aplikasi

Jilid 1

Untuk SMA Kelas X

Kurikulum 2004 Standar KompetensiHak cipta 2005 pada Penulis

Hak penerbitan pada Penerbit Literatur Media Sukses

Perpustakaan Nasional: Katalog Dalam Terbitan (KDT)Matematika Aplikasi, disusun oleh Pesta E. S., Alfarabi, Editor, Christiani S.Napitupulu, -- Jakarta: Literatur Media Sukses

Hak cipta dilindungi oleh undang-undang. Tidak diperkenankan memperbanyakisi buku ini dalam bentuk apapun tanpa izin tertulis dari Penerbit LiteraturMedia Sukses.

PenulisPesta E. S.Alfarabi

EditorChristiani S. Napitupulu, S.Si

Desain SampulTim Literatur Media Sukses

Setting/Tata LetakTim Literatur Media Sukses

IlustratorAndie Anakota

Cetakan Pertama, 2005

Kebijakan pemerintah dengan memberlakukan Kurikulum 2004 yang berbasiskompetensi merupakan upaya menyeluruh untuk meningkatkan mutu pendidikan. Upayaini meliputi aspek-aspek pengetahuan, ketrampilan, sikap, dan nilai-nilai. Pengembanganaspek-aspek tersebut dilakukan untuk meningkatkan dan mengembangkan kecakapanhidup (life-skills) melalui seperangkat kempetensi agar siswa dapat bertahan hidup,menyesuaikan diri, dan berhasil di masa datang.

Kebijakan pemerintah ini telah menyulut pemikiran penulis untuk ikut meningkatkanmutu pendidikan. Upaya yang penulis lakukan adalah dengan menyusun perangkatbuku pelajaran Matematika Aplikasi untuk siswa SMA. Buku ini berbalur ungkapansantun dengan bahasa yang komunikatif sehingga mudah dipahami oleh siswa. Selainitu, buku ini juga didukung dengan tampilan tata letak yang baik, disain dan ilustrasiyang menarik dengan memperhatikan tingkat pemahaman siswa.

Dengan mengusung pendekatan induktif-dedukatif konstruktif, konsep dalam bukuini mengakar ke dalam pemikiran siswa karena pengenalan konsep-konsep ini disajikandengan memberikan masalah yang memiliki makna dalam kehidupan sehari-hari.Kebermaknaan ini dapat dirasakan dari awal mempelajari setiap pelajaran dalam bukuini.

Sebagai buku siswa, buku ini dilengkapi dengan bagian pelatihan yang terdiri atasdua kelompok soal. Masing-masing diberi nama Asah Kompetensi dan Alfarabi Mengujimu.Bagian pelatihan ini dimaksudkan untuk mengukur penguasaan siswa terhadap konsepyang diberikan. Melalui pelatihan ini, diharapkan siswa mampu mencapai kompetensibelajar yang diinginkan dalam Kurikulum 2004.

Dalam buku ini, siswa juga dapat menemukan bagian pengayaan seperti Aktivitas diKelas yang berisi kegiatan untuk dilakukan oleh siswa, Sahabat Alfarabi yang berisiinformasi tentang tokoh matematika, GameMath yang berisi pemainan matematika, danSiapa Berani yang berisi soal-soal menantang khusus diberikan bagi siswa penggemarmatematika.

Terbitnya buku ini diharapkan seperti matahari yang mampu menjadi energi danpenerang dalam pendidikan bangsa kita.

Buku ini masih jauh dari sempurna, kritik dan saran yang ada hubungannya denganpenyempurnaan buku ini sangat penulis harapkan untuk perbaikan pada edisi berikutnya.

Jakarta, April 2005

Penulis

KATA Pengantar

70Matematika Aplikasi SMA Kelas X

Suatu pertidaksamaan linear dapat kamu selesaikan dengan membentukpertidaksamaan lain yang ekuivalen dengan pertidaksamaan tersebut.

Untuk membentuk pertidaksamaan yang ekuivalen, kamumembutuhkan sifat-sifat berikut:

1. Sifat penjumlahan dan penguranganJika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangidengan bilangan yang sama maka tanda ketidaksamaan tetap.

x < y x z < y z x < y x z < y z

2. Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan positifJika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi denganbilangan positif yang sama maka tanda ketidaksamaan tetap.

x < y dan z > 0 xz < yz dan x

z <

y

z

x < y dan z > 0 xz < yz dan x

z <

y

z

3. Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan negatifJika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi denganbilangan negatif yang sama maka tanda ketidaksamaan berubah.

x < y dan z < 0 xz < yz dan x

z <

y

z

x < y dan z < 0 xz < yz dan x

z <

y

z

Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut dimana x adalah bilangan real!

1. 3x + 4 < x + 8 2. 1 23 42 3

x x ++ 3. x 5 < 2x 3 < x + 4

Jawab:

1. 3x + 4 < x + 8Kedua ruas dikurang 4, tanda ketidaksamaan tetap.3x + 4 4 < x + 8 4

3x < x + 4

A. Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear adalah suatu persamaan di mana ruas kiri danruas kanan dihubungakn oleh salah satu dari tanda ketidaksamaan, atau

DEFINISI

Catatan

Notasi pada pertidak-samaan:

< : kurang dari : kurang dari atau

sama dengan(tidak kurang dari)

> : lebih dari : lebih dari atau

sama dengan (tidaklebih dari)

CONTOH


A. Sistem Persamaan Linear

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Di kelas VIII SMP telah dipelajari persamaan-persamaan linear sepertiberikut:a. x y = 1b. x + y = 3

Jika kedua persamaan tersebut digabung maka akan terbentuk sebuahsistem persamaan, yaitu sistem persamaan linear. Perhatikan sistempersamaan tersebut.

Sistem persamaan tersebut melibatkan dua variabel, yaitu x dan y,sehingga dikatakan sebagai sistem persamaan linear dua variabel. Bentukumum sistem persamaan linear dua variabel:

a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2

di mana a1, b1, c1, a2, b2 dan c2 bilangan real.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ini, dapat digunakanempat cara, yaitu:

a. Metode Grafikb. Metode Substitusic. Metode Eliminasid. Gabungan Metode Eliminasi dan Substitusi

a. Metode Grafik

Di kelas VIII SMP telah dipelajari cara menggambar grafik persamaanlinear. Sekarang, lakukanlah aktivitas berikut dengan menggunakankemahiran yang telah kamu miliki tersebut.

1. Gambarlah garis x 3y = 3 dan x + y = 1 pada satu sistem koordinat!

2. Apakah kedua garis tersebut berpotongan? sejajar? atau berimpit? Jika berpotongan, tentukanlahtitik potongnya!

3. Gambarkan pula garis x + y = 1 dan x + y = 3 pada satu sistem koordinat yang lain.


5. Sekarang, gambarlah garis x y = 1 dan 3x 3y = 3 pada satu sistem koordinat yang lain!


ktivitas di elasA K


Identitas trigonometri untuk setiap sudut adalah sebagai berikut.

sin2 + cos2 = 1

tan = sin

cos

1. Tentukanlah nilai dari sin2 25 + sin2 65!

Jawab:

sin2 25 + sin2 65 = sin2 25 + sin2 (90 25)

= sin2 25 + cos2 25

= 1

2. Buktikan bahwa 3 cos4 + 6 sin2 = 3 + 3 sin4 !Jawab:

3 cos4 + 6 sin2 = 3 (cos2)2 + 6 sin2= 3 (1 sin2)2 + 6 sin2= 3 (1 2 sin2 + sin4) + 6 sin2= 3 6 sin2 + 3 sin4 + 6 sin2= 3 + 3 sin4

Asah Kompetensi 41. Jika di kuadran IV dan sin = 1

3 , tentukanlah nilai cos dan tan !

2. Jika p q = cos A dan = 2pq sin A, tentukanlah p2 + q2!

3. Jika tan B = 3

7, tentukan

14 sin 3 cos

7 sin 5 cos

B B

B B

!

4. Buktikan bahwa 2 2

4

2

tan sintan

1 sin

=

!

5. Buktikan bahwa tan 1 sin cos

tan 1 sin cos

+

+ = 1!

CONTOH

Trigonometri pertama sekali diperkenalkan oleh bangsaYunani Kuno. Tetapi bukti sejarah menunjukkan bahwakebudayaan Mesir Kuno telah menggunakan trigonometridalam membangun piramida.

Info sains

Bab 1 Bentuk Pangkat Akar dan Logaritma1

TUJUANPEMBELAJARAN

BAB

Berapakah berat bumi kita ini? Berat bumi kita adalah 6 1021 ton.Bentuk penulisan dengan menggunakan bilangan berpangkat inisangat membantu kamu dalam ketelitian melakukan perhitungan.Bayangkan, jika bilangan tersebut ditulis dalam bentuk panjang.Jangankan melakukan perhitungan, menuliskannya saja sulit.

Bentuk Pangkat, Akar,dan LogaritmaBentuk Pangkat, Akar,dan Logaritma

Kamu dapat mengubah bentuk pangkatnegatif ke pangkat positif dan sebaliknya.

Kamu dapat mengubah bentuk akar kebentuk pangkat dan sebaliknya.

Kamu dapat mengubah bentuk pangkatke bentuk logaritma dan sebaliknya.

Kamu dapat melakukan operasi aljabarpada bentuk pangkat, akar, danlogaritma.

Kamu dapat menyederhanakan bentukaljabar yang memuat pangkat.

Kamu dapat merasionalkan bentukpangkat.

Kamu dapat membuktikan sifat-sifatyang sederhana tentang bentukpangkat, akar, dan logaritma.

11

Pada setiap awal bab terdapat tujuan pembelajaranuntuk mengetahui isi dan manfaat setelah mempelajaribab tersebut dan diberikan juga pengantar bab berupauraian singkat dan gambar yang berhubungan dengankehidupan sehari-hari.

Ada Aktivitas di Kelas yang merupakan kegiatan dimana kamu dapat mengembangkan ketrampilan dalammerencanakan melaksanakan dan menyimpulkanaktivitas.

Catatan disajikan berupa informasi yang bergunauntuk memperjelas konsep Matematika.

Info sains disisipkan sebagai informasi untukmembuka wawasan sehingga tidak buta terhadapinformasi Matematika dan perkembangan teknologi.

Bab 6 Trigonometri131

Jawab:

Dari gambar berikut dapat diketahui besar dua sudut dan panjang sisiyang diapitnya.

CAB = 40 dan ABC = 180 60 = 120Jadi, ACB = 180 40 120 = 20.Panjang sisi AB = 100 m.Dengan menggunakan aturan sinus diperoleh

Sin

BC

A = Sin

AB

C

Sin

BC

A = 100

Sin 20

BC = 100 Sin 40

Sin 20

D

D " Persamaan 1

Tinggi bangunan, yaitu CD dapat dihitungmenggunakan perbandingan trigonometri.

Sin 60 = CD

BC

CD = BC Sin 60 " Persamaan 2

Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2

CD = 100 Sin 40

Sin 20

D

D Sin 60

= 100 Sin 40

Sin 20

D

D 1

32

= 162,76 m

Jadi, tinggi bangunan adalah 162,76 m

400 600

A D

C

B100

600

B D

C

400 1200

200

A

C

B100

Salah satu ujung dari batang sepanjang 8 kaki dihubungkan kepiston yang bergerak naik dan turun. Ujung lainnya dihubungkanke roda dengan cara lengan horizontalnya disesuaikan dengan

pegas P. Dimulai pada posisi awal 4

= , roda dengan jari-jari 2

kaki berputar 3 radian per detik. Temukan rumus untuk d, jarakvertikal dari piston ke roda, setelah t detik.

d = y + 8 p(x,y)8

Y x

Bab 5 Logika Matematika105

Siapakah orang yang pertama kali memperkenalkan penggunaan simbol-simbol aljabar dalam penarikan sebuah kesimpulan?Dia adalah George Boole, Matematikawan Inggris yang lahir pada tahun 1815.Dalam teorinya, Boole menyatakan bahwa premis-premis dan kesimpulandalam sebuah argumen dapat diwakili oleh simbol-simbol aljabar dandihubungkan oleh simbol-simbol lain untuk membentuk sebuah argumenlogis. Teori Boole ini sering digunakan para ahli untuk memecahkan sebuahteka-teki sains. Boole meninggal tahun 1864.

Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia

Buktikan bahwa jika p > 0, p 1, a,b > 0 berlaku plog (ab) = plog a + plog b!

Jawab:Misalkan, x = plog a maka a = px

y = plog b maka b = pyplog (ab) = plog px. py

= plog px + y

Dengan menggunakan definisi logaritma, kamu akan memperolehplog (ab) = x + y = plog a + plog bJadi, plog (ab) = plog a + plog b

1. Bukti Langsung

Bukti langsung dilakukan dengan memperlihatkan suatu kebenaransebagai akibat pernyataan lain yang telah diterima sebagai hal yang benar,seperti definisi, aksioma, dan dalil-dalil yang telah dibuktikan.

CONTOH

2. Bukti Tak Langsung

a. Bukti Tak Langsung dengan Kontrapositif

Misalkan, harus dibuktikan p q benar. Andaikanlah q benar, kemudiandengan langkah logis turunkanlah supaya p benar sehingga q p benar.Oleh karena p q q p dan q p benar maka p q benar.

Untuk setiap n bilangan bulat, buktikanlah bahwa jika n2 bilangan ganjilmaka n + 1 bilangan genap!

Bukti:Misalkan, n + 1 bilangan ganjil. Ini mengakibatkan n bilangan genapsehingga n dapat ditulis sebagai n = 2a.Akibatnya, n2 = (2a)2 = 4a2 = 2.(2 a2)Ini berarti, n2 bilangan genap.Jadi, jika n + 1 bilangan ganjil maka n2 bilangan genap. Pernyataan iniekuivalen dengan pernyataan,jika n2 bilangan ganjil maka n + 1 bilangangenap.

)Gunakan sifat perkalian bilangan berpangkat

Sahabat Alfarabi

CONTOH

K. Bukti dalam Matematika

Sahabat Alfarabi merupakan informasi latar belakangmatematikawan yang telah berjasa dengan menemukanberbagai macam teori yang sekarang ini digunakandan dirasakan manfaatnya.

Siapa Berani merupakan soal-soal yang menantang.Soal-soal ini khusus diberikan buat kamu yang gemarMatematika dan telah memahami materi.

Asah Kompetensi digunakan untuk mengukurkemampuan dalam menguasai materi yang telahdibahas.

Alfarabi Mengujimu digunakan untuk menguji kamudalam menyelesaikan soal-soal relatif lebih sulit yangberkaitan dengan materi yang telah dibahas.


Asah Kompetensi 31. Tentukanlah konjungsi dari pernyataan-pernyataan tunggal berikut. Kemudian, tentukan

nilai kebenarannya!

a. p : Roda mobil berbentuk persegi

q : Petak-petak pada papan catur berbentuk lingkaran

b. r : a0 = 1 untuk a bilangan real

s : 1n = 1 untuk n bilangan real

c. t : 6

9merupakan bentuk lain dari

2

3

u : 2

3merupakan bentuk sederhana dari

6

9

d. v : Jakarta ibu kota Amerikaw : Jakarta terletak di pulau Jawa

2. Tentukanlah disjungsi dari pernyataan tunggal-pernyataan tunggal berikut. Kemudian,tentukan nilai kebenarannya!

a. p : Bandara Soekarno-Hatta ada di Banten

q : Bandara Adi Sucipto ada di Semarang

b. r : Faktor dari suatu bilangan asli lebih besar daripada kelipatannya

s : Faktor dari suatu bilangan asli adalah bilangan yang dapat membagi habis bilangan itu

c. t : 11 merupakan faktor dari 6.161.617

u : 11 merupakan bilangan komposit

d. v : Imelda Fransisca adalah Miss Indonesia tahun 2005

w : Michael Jackson adalah seorang penyanyi

3. Tentukanlah nilai x bilangan real sehingga konjungsi atau disjungsi berikut benar!

a. 269 dan x2 + x + 17 merupakan bilangan prima

b. 0 habis dibagi 2 atau x2 2 = 2x + 17

c. Soeharto adalah presiden Indonesia terlama atau x2 1< 3d. 930 cm + 7 dm = 10 m dan 3x 1 < 2x + 6e. Surabaya dijuluki kota buaya atau x = 0

Bab 5 Logika Matematika107

Waktu: 60 menit

1. Dengan bukti langsung, buktikan bahwa akar-akar persamaankuadrat

ax2 + bx + c = 0 adalah 2

1

4

2

b b acx

a

+ = atau

2

2

4

2

b b acx

a

=

2. Dengan bukti tak langsung, buktikan bahwa 1

0 tidak terdefinisi!

3. Buktikanlah bahwa:

a. 1 + 21 + 22 + . . . + 2n 1 = 2n 1

b. 1 + 3 + 5 + . . . + (2n 1) = n2

c. 12 + 22 + . . . + n2 = 1

6n(n + 1)(2n + 1)

d. 2 + 4 + 6 + . . . + 2n = n(n + 1)

ASAH KEMAMPUAN5

Bobot soal: 40

Bobot soal: 30

Bobot soal: 30

= 1

4(k + 1)2(k + 2)2

= 2

1( 1)( 2)

2k k

+ + Pada ruas kanan persamaan, didapat ( 12 (k + 1) (k + 2))

2.

Untuk n = k + 1, ruas kiri dan ruas kanan menghasilkan bilangan yangsama.

Jadi, 13 + 23 + 33 + + n3 = ( 12 n (n + 1))2 berlaku untuk n = k dan untuk

n = k + 1 atau untuk semua n bilangan asli.

Buktikan bahwa 12001 + 2 2001 + 3 2001 + . . . + 20012001 adalah kelipatan 13!

Sumber: Olimpiade Matematika SMU

Apakah Keunggulan Buku ini??v

vivi

Matematika Aplikasi SMA Kelas X


1. Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dan variabelnya satu.

2. Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidaksamaan:a. Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidaksamaan adalah

x y x z y z< <

x y x z y z> > b. Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan positif:

dan 0 dan yx

x y z xz yzz z

< > < > > >

3. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat

2 20 atau 0ax bx c ax bx c+ + < + + >

2 20 atau 0ax bx c ax bx c+ + + +

4. Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan yang memuat variabel padapenyebutnya.

5. Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar

f g

RangkumanRangkuman


GaMeMathUtut tersesat di sebuah hutan.Di tengah hutan tersebut, ia menemukan pohon-pohon yangbertuliskan perbandingan trigonometri. Ia bingung. Namunkemudian, ia menemukan batu yang bertuliskan petunjukuntuk keluar dari hutan itu, yaitu harus melewati pohon-pohon yang nilai perbandingan trigonometrinya 1. BantulahUtut menemukan jalan pulang tersebut!Pohon-pohon tersebut bertuliskan seperti pohon berikut ini.pohon mana sajakah yang sama dengan 1?

Perhatikan Gambar 6.7!

Telah diketahui bahwa sin = y

rdan cos =

x

r .

Dari sin = y

r y = r sin .

Dari cos = x

r x = r cos .

Pada segitiga sikusiku, berlaku teorema Pythagoras, yaitu:x2 + y2 = r2

(r cos )2 + (r sin )2 = r2

r2 cos2 + r2 sin2 = r2

r2 (cos2 + sin2 ) = r2

cos2 + sin2 = 1 atau sin2 + cos2 = 1Perhatikan kembali segitiga di atas!

Dari segitiga di atas diperoleh tan = y

x.

Bagilah pembilang dan penyebut dengan r.

tan =

y

rx

r

= sin

cos

Jadi, tan = sin

cos

.

y

x

r

E. Identitas Trigonometri

Gambar 6.7 Segitiga siku-siku.

1,

sin 30D sin 901

,sin 0D tan 45

1

cos0Dsin 60

1

tan 45D cos 90 tan 90 cos 0

Sumber: New Syllabus Mathematics 3

GameMath berisi soal berupa permainan matematika.Jawabannya dapat dicari dengan menggunakan logikasehingga dapat mengasah logika dan cara berpikirkritis.

Rangkuman disajikan di akhir materi bab supaya kamudapat dengan cepat mengingat kembali materi-materiyang telah dipelajari pada bab tersebut.

Ulangan Bab disajikan untuk mengukurkemampuan kamu dalam menguasai semua materiyang telah dibahas dalam bab tersebut.

Tugas Akhir digunakan untuk mengukur kemampuankamu mengingat dan menguasai semua materi yangtelah dipelajari selama dua semester.


I. Pilihlah jawaban yang paling tepat!

1. Jika sin = 45 dan 0 < < 90, maka nilai

tan adalah . . . .

a.4

5d.

3

4

b.4

3e.

3

5

c.5

4

2.cos

sin cos

sama dengan . . . .

a.1

sind. cosec2

b. cos2 e. cos

c. sec2

3. Segitiga ABC siku-siku di A. Jika BC = p,

AD tegak lurus BC, DE tegak lurus AC, dan

sudut B = x, maka panjang DE = . . . .

a. p sin cos2 b. p sin2 cos c. p sin2 cos d. p sin tan e. p sin cos

4. Jika x + y = 270 maka . . . .

a. cos x + sin y = 0

b. cos x sin y = 0

c. cos x + cos y = 0

d. sin x sin y = 0

e. sin x + sin y = 0

5. Nilai dari 22 tan

1 tan

q

q+ = . . . .

a. 2 sin q cos q d. 1 2 sin qb. sin q cos q e. 2 sin q

c. 2 sin q 1

6. Jika tan x = a, maka sin 2x sama

dengan . . . .

a. 22

1

a

a+ d.

2

2

1

1

a

a

+

b.2

2

1

2

a

a

+e.

2

2

1

1

a

a

+

c.2

2

1

2

a

a

7. Jika x + y =

4 , maka tan x adalah . . . .

a.2 tan

1 tan

y

y+ d.1 tan

1 tan

y

y

+

b.1 tan

1 tan

y

y

+

e.2 tan

1 tan

y

y

c.1 2 tan

1 tan

y

y

+

+

8. Pada suatu segitiga siku-siku ABC berlaku

cos A cos B = 12 maka cos (A B) sama

dengan . . . .

a. 1 d.1

2

b.1

2 e. 1

c. 2

9. Bila x memenuhi persamaan

2(sin x)2 + 3 sin x 2 = 0

dan 2

< x <

2

, maka cos x adalah . . . .

a.1

2c.

13

2

b.1

2 d.

13

2

c.1

22

Ulangan Bab 6Ulangan Bab 6

Tugas Akhir159

1. Nilai dari (0,04)0,05 + (0,25)0,5 adalah . . . .

a. 0,5 d. 4,5

b. 0,7 e. 5,5

c. 2,5

2. Bentuk (p1 + q1)1 identik dengan . . .

a. p + q d.p q

pq

+

b. p e.1

pq

c.+

pq

p q

3. Jika a = 25 dan b = 81, dan c = 8 maka nilai21 1

32 4, ,a b c adalah . . . .

a. 3 d. 40

b. 5 e. 60

c. 20

4. Nilai dari 48 45

7 2 10

+

+ adalah . . .

a. 3 d. 2 3b. 6 e. 2 6c. 3 2

5. Nilai dari 32 90

7 2 10

+

+ adalah . . . .

a. 1 d. 4

b. 2 e. 16

c. 3

6. Bentuk sederhana dari 10 2 21+ ada-

lah . . . .

a. 7 3+ d. 3 7b. 7 3 e. 7 3+c. 5 3

7. Diketahui log 2 = p dan log 3 = q nilai3 2log 15 sama dengan . . . .

a.( )2

3

p q+d.

( )2 13

p q+

b.( )2

3

p qe.

( )3 13

p q +

c.( )2 1

3

p q +

8. Nilai dari 16 48

1 130

log 10 log 10+ adalah

. . . .

a. 0 d. log 60

b. 1 e. 10

c. log 18

9. Jika 3log 3 dan log 3a ay x= = nilai x

y sama

dengan . . . . .

a. 1 d. 27

b. 3 e. 81

c. 9

10. Persamaan (p 1)x2 4px + 4p + 7 = 0

mempunyai akar-akar positif. Akar-akar

positif itu adalah . . . .

a. 3 dan 5 d.7 7

dan 3 2

b.7

3 dan2

e.7

dan 32

c.7

dan 52

11. Selisih akar-akar persamaan kuadrat 2x2 +

px + 16 = 0 adalah 4. Nilai p yang positif

adalah . . . .

a. 2 3 d. 8 3b. 3 3 e. 12 3c. 6 3

12. Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 5x + a = 0

adalah 2 2 5 + = dan . Jika 2 2 5 + =maka nilai a sama dengan . . . .

a.2

63

d.1

33

b.2

33

e.2

63

c.1

33

13. Himpunan penyelesaian dari 2 1

4 5 23

x y

x y

=+ =adalah . . . .

a. {2,3} d. {4,2}

b. {3,2} e. {3,4}

c. {2,4}

14. Himpinan penyelesaian dari

1 28

2 11

a b

a b

= + =adalah . . . .

Tugas Akhir

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ................................................................................................................... iiiApakah Keunggulan Buku Ini?? .............................................................................................. iv

BAB 1 BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA ............................ 1A. Bentuk Pangkat .......................................................................................... 2B. Bentuk Akar ............................................................................................... 10C. Logaritma ................................................................................................... 16D. Aplikasi Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma ........................................... 19Rangkuman ........................................................................................................ 21Ulangan Bab 1 ................................................................................................... 22

BAB 2 PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT................................ 25A. Persamaan Kuadrat .................................................................................. 26B. Fungsi Kuadrat .......................................................................................... 38Rangkuman ........................................................................................................ 44Ulangan Bab 2 ................................................................................................... 45

BAB 3 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT .................................... 47A. Sistem Persamaan Linear ......................................................................... 48B. Sistem Persamaan Non - Linear ............................................................... 62Rangkuman ........................................................................................................ 65Ulangan Bab 3 ................................................................................................... 67

BAB 4 PERTIDAKSAMAAN ................................................................................. 69A. Pertidaksamaan Linear .............................................................................. 70B. Pertidaksamaan Kuadrat ........................................................................... 73C. Pertidaksamaan Pecahan ......................................................................... 75D. Pertidaksamaan Bentuk Akar .................................................................... 78E. Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak .......................................................... 79F. Aplikasi Pertidaksamaan............................................................................ 81Rangkuman ........................................................................................................ 80Ulangan Bab 4 ................................................................................................... 82

viiiviii

Matematika Aplikasi SMA Kelas X

BAB 5 LOGIKA MATEMATIKA ............................................................................ 85A. Pernyataan dan Kalimat Terbuka ............................................................... 86B. Ingkaran (Negasi) ....................................................................................... 88C. Pernyataan Majemuk ................................................................................. 89D. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen ........................................................ 97E. Ingkaran dari Pernyataan Majemuk ............................................................ 97F. Ingkaran Pernyataan Berkuantor ............................................................... 100G. Penarikan Kesimpulan ............................................................................... 101H. Bukti dalam Matematika ............................................................................. 104Rangkuman ........................................................................................................ 108Ulangan Bab 5 ................................................................................................... 109

BAB 6 TRIGONOMETRI .................................................................................... 111A. Ukuran Sudut dalam Radian ...................................................................... 112B. Perbandingan Trigonometri Sudut Segitiga Siku-Siku................................ 113C. Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Istmewa (00,300,450,600,900) ..... 116D. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi ............................................... 118E. Identitas Trigonometri ................................................................................ 120F. Grafik Fungsi Trigonometri ......................................................................... 124G. Persamaan Trigonometri ........................................................................... 126H. Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Luas Segitiga ..................................... 127I. Aplikasi Trigonometri .................................................................................. 130Rangkuman ........................................................................................................ 133Ulangan Bab 1 ................................................................................................... 135

BAB 7 DIMENSI TIGA.......................................................................................... 137A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang. .................................... 138B. Menggambarkan Bangun Ruang ............................................................... 141C. Volume Bangun Ruang .............................................................................. 142D. Irisan Bangun Ruang ................................................................................ 151E. Jarak dan Sudut ......................................................................................... 152Rangkuman ........................................................................................................ 156Ulangan Bab 7 ................................................................................................... 157Tugas Akhir ........................................................................................................ 159Pustaka Acuan ................................................................................................... 162


TUJUANPEMBELAJARAN

BAB

Berapakah berat bumi kita ini? Berat bumi kita adalah 6 1021 ton.Bentuk penulisan dengan menggunakan bilangan berpangkat inisangat membantu kamu dalam ketelitian melakukan perhitungan.Bayangkan, jika bilangan tersebut ditulis dalam bentuk panjang.Jangankan melakukan perhitungan, menuliskannya saja sulit.

Bentuk Pangkat, Akar,dan LogaritmaBentuk Pangkat, Akar,dan Logaritma

Kamu dapat mengubah bentuk pangkatnegatif ke pangkat positif dan sebaliknya.

Kamu dapat mengubah bentuk akar kebentuk pangkat dan sebaliknya.

Kamu dapat mengubah bentuk pangkatke bentuk logaritma dan sebaliknya.

Kamu dapat melakukan operasi aljabarpada bentuk pangkat, akar, danlogaritma.

Kamu dapat menyederhanakan bentukaljabar yang memuat pangkat.

Kamu dapat merasionalkan bentukpangkat.

Kamu dapat membuktikan sifat-sifatyang sederhana tentang bentukpangkat, akar, dan logaritma.

11

Matematika Aplikasi SMA Kelas X2

1. Pangkat Bulat Positif, Negatif dan Nol

Di kelas VII SMP, telah dijelaskan bahwa 3n = 3 3 3.

Bilangan 3 disebut bilangan pokok, sedangkan n disebut pangkat.n faktor

A. Bentuk Pangkat

Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real maka an didefinisikansebagai perkalian n faktor bilangan a.

an = a a a

n faktor

Jika a 0, a bilangan real dan n bilangan bulat negatif makaan didefinisikan sebagai berikut :

faktor

0

1

1 1 1 1. . .

dan

1

nn

n

aa

a a a a

a

=

=

=

1. Tuliskan dalam bentuk perkalian berulang!

a. 25 = . . . . c.31

5 = . . . . e. n9 = . . . .

b. (5)5 = . . . . d.31

5

= . . . . f. (r)7 = . . . .Jawab:

a. 25 = 2 2 2 2 2 = 32b. (5)5 = (5) (5) (5) (5) (5) = 3.125

c.31 1 1 1 1

5 5 5 5 125

= =

d.31 1 1 1 1

5 5 5 5 125

= = e. n9 = n n n n n n n n nf. (r)7 = (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r)

CONTOH


2. Tuliskan dalam bentuk pangkat!a. 5 5 z z z = . . . .b. (1) (1) (1) (1) = . . . .

c.1 1 1 14 4 4 4

= . . . .

Jawab:

a. 5 5 z z z = 52 z3

b. (1) (1) (1) (1) = (1)4 = 1

c.41 1 1 1 1 1

4 4 4 4 4 256

= = 3. Tuliskan dalam bentuk perkalian berulang!

a. 43 = . . . . c. 140 = . . . .

b.21

7

= . . . . d. 31

2 = . . . .

Jawab:

a. 4-3 ===== 314 =====

14

14

14 =====

164

b.21

7

= 2117

=

117

117

=11

49

= 49

c. 140 = 1

d. 31

2 =3

112

= 23 = 2 2 2 = 8

1. Nyatakan ke dalam bentuk perkalian berulang!a. 36 = . . . . c. (7 + 3)7 = . . . . e. 3y3 = . . . .b. (3)6 = . . . . d. 77 + 37 = . . . . f. (x y)2 = . . . .

2. Tuliskan dalam bentuk pangkat!a. 11 11 11 11 11 = . . . .b. 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 = . . . .c. t t t t t t = . . . .

Asah Kompetensi 1


Pada 1940, sebuah komputer dapat mengerjakan sekitar100 operasi per detik. Sejak itu, kecepatan komputer telahberlipat ganda 10 kali setiap 5 tahun. Sekitar berapaoperasi per detikkah yang dapat dikerjakan komputerpada tahun 2005?

Sumber: Teaching Mathematics

1. Buatlah pola bilangan 7t dari t = 1!

2. Tentukan angka satuan 7t untuk setiap nilai t! Amati pola yang terbentuk!

3. Tentukan angka puluhan 7t untuk setiap nilai t! Amati pola yang terbentuk!

4. Berdasarkan pola yang kamu buat, tentukan angka satuan dan angka puluhan dari 71999!

2. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat

a. Sifat Perkalian Bilangan BerpangkatAmbil a 5 sebarang bilangan real , kemudian hitung a3 a4 =

a3 a4 = (a a a) (a a a a)

3 faktor 4 faktor= a a a a a a a = a7

7 faktor

Jadi, a3 a4 = a7.

CatatanMenentukan pangkat daribilangan bulat adalahdengan menggunakanpohon faktor.Contoh:

452 = 2 2 113= 22 113226

1132

2

452

3. Hitunglah!a. 108 = . . . . c. 03 = . . . .

b. 21

15

= . . . . d. ( )5 0 = . . . .

4. Nyatakan ke dalam bentuk pangkat!a. 800 = . . . . c. 200 = . . . .b. 64 = . . . . d. 450 = . . . .

ktivitas di elasA K


Hitunglah nilai pangkat berikut:

a. 53 54 b. 8n7 n3 c.31 1 1

3 3 3

Jawab:a. 53 54 = 53 + 4 = 57 = 78.125b. 8n7 n3 = 8n7 + 3 = 8n10

c.13

13

313

=

1 1 313

+ + =

513

=

1243

Untuk setiap a bilangan real tak nol, m dan n bilangan bulat, berlakum

naa

= am n

Dengan mengambil bilangan bulat m = n, buktikan bahwa a0 = 1! Hasildari pembuktian akan menghasilkan sifat berikut ini.

Untuk setiap a bilangan real tak nol, berlaku a0 = 1

Pangkat dari hasil perkalian merupakan penjumlahan pangkat keduabilangan, yaitu 7 = 3 + 4.

Untuk setiap a bilangan real, m dan n bilangan bulat, berlaku

am an = am +n

b. Sifat Pembagian dan Pangkat Nol Bilangan BerpangkatAmbil a sebarang bilangan real, a 0 m dan n bilangan bulat positif

sebarang, kemudian hitunglah5

3

aa !

5

3

aa =

5 faktor

2

2 faktor3 faktor

a a a a a a a aa a a

= =

Jadi,5

3aa

= a2.

Pangkat dari hasil pembagian merupakan pengurangan pangkatpembilang oleh penyebut kedua bilangan, yaitu 2 = 5 3.

CONTOH


Hitunglah nilai dari:

a.3

2

( 3)( 3)

b.6

2

yy c. (123)

0

Jawab:

a.3

2

( 3)( 3)

= (3)3 2 = (3)1 = 3

b.6

2

yy = y

6 2= y 4

c. (123)0 = 1

CONTOH

c. Sifat Pemangkatan Bilangan Berpangkat

Ambil a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif. Kemudian hitunglah(am)n!

(am)n = (am) (am) . . . (am)

n faktor= (a a a) (a a a) (a a a)

m faktor m faktor m faktor

n faktor

= a a a a a a a a a

m n faktor = amn

Jadi, (am)n = amn.

Untuk setiap a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif, berlaku(am)n = amn

1. (r3)2 = r3 2 = r6

2. (x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y)CONTOH

d. Sifat Pemangkatan Bentuk dengan Beberapa FaktorMisalkan a dan b bilangan real sebarang. Kemudian hitunglah (a b)3!

(a b)3 = (a b) (a b) (a b)

3 faktor

= a b a b a b= a a a b b b

3 faktor 3 faktor

= a3 b3

Jadi, (a b)3 = a3 b3.

" Ayo, gunakan sifat asosiatifperkalian, yaitu a b = b a


Untuk setiap a dan b bilangan real, n bilangan bulat positif, berlaku(a b)n = an bn

1. Hitunglah nilai (2a2)4!

Jawab:

(2a2)4 = 24 (a2)4 = 16a8

2. Jikaxy

= 1, x dan y bilangan real tak nol, hitunglah 3

34yx !

Jawab:

Oleh karenaxy = 1, maka

yx = 1

3

34yx =

14

3yx

=14

13 = 14

1 =14

Dari sifat tersebut, coba buktikan bahwa na

b =

n

n

ab , b 0!

Untuk setiap a dan b bilangan real, n bilangan bulat positif, berlaku:na

b =

n

n

ab , b 0

CONTOH

1. Sederhanakanlah setiap perkalian berikut ini!

a.34

34

34 = . . . . c. 4x

7y7 4xy 10 yx3 = . . . .

b. 2 32 5 32 22 52 = . . . . d. a3 3a2b 3ab2 b3 = . . . .

2. Sederhanakanlah setiap pembagian berikut ini!

a.8

4

981 = . . . . c.

4

4

42( )

xyxy = . . . .

b.( )5

4

1( 1)

= . . . . d.8 3 4

2 2

r s tr s t = . . . .

3. Tunjukkan bahwa untuk setiap a bilangan real tak nol dan n bilangan bulat positif, berlaku

an =1na !

Asah Kompetensi 2


4. Mari sederhanakan!a. 20050 = . . . . c. (1)7 = . . . .

b.3

115

= . . . . d.

( )54

1( 1)

= . . . .

5. Mari sederhanakan!a. (65)3 = . . . . c. (72)1 = . . . .

b.323

5

= . . . . d. (y3)1

3

1

1y

= . . . .6. Mari sederhanakan!

a. (3a 3b)5 = . . . . c.22 3

3 4a b = . . . .

b. (x3 y2)4 = . . . . d.22

21 22

= . . . .7. Buktikan bahwa untuk setiap a bilangan real, m dan n bilangan bulat, berlaku am an = am +n!

Coba pikirkan berapa banyak angka pada hasil perkalian 21999 52000!

Sumber: Olimpiade Matematika tingkat Kota/ Kabupaten, 2002

Bobot soal: 6

1 ASAH KEMAMPUANWaktu: 60 menit

1. Tuliskanlah dalam perkalian berulang!a. (3a)5 = . . . . c. (35)4 = . . . . e. (1)12 = . . . .

b. 3a6 = . . . . d. (a2)7 =. . . . f.2

316

= . . . .

2. Tuliskan dalam bentuk pangkat!a. 4r 3r 2r r = . . . .b. 9a 6ab 3abc = . . . .

c.1 1 1 1 12 4 8 16 32

= . . . .

Bobot soal: 6


Bobot soal: 12

Bobot soal: 16

3. Tentukanlah nilai a, b dan c dari bentuk berikut ini!

a. 13.475 = 5a 7b 11c c. 75.625 = 5a 7b 11c

b. 15.125 = 5a 7b 11c d. 41.503 = 5a 7b 11c

Kemudian, tentukan pula FPB dan KPK dari bilangan-bilangantersebut!

4. Sederhanakanlah!

a. 9x2y-3 y4x-1 = . . . . c. 5 3125

a b (5a5b3) = . . . .

b. 2y-2 (2xy1)2 = . . . . d. 2 21 1( 3 ) ( 3 )3 3

a a b ab = . . . .

5. Sederhanakanlah!

a.3 6 2

4

125 35

a a bab

= . . . . c.

2 3 4

4 3 2

927

x y zx y z

2 3 4

4 3 2

927

x y zx y z

= . . . .

b.2 6 4

4

168

a b abab

= . . . . d.

( ) 22 2 34 4

3:

x y xzz yz

= . . . .

6. Untuk x dan y bilangan real tak nol, tentukanlah:

a.02 6 4

4

16 88

x y xyxy

+ = . . . . b.4 0 0 2

3 2

27 92

x y x yx y

+= . . . .

7. Mari sederhanakan!

a.323

4

c.

112 2

6

832 nm n

m

b. p ( ) 33p p = . . . . d.44 2

6 3( )a b cab c

= . . . .

8. Jika k = 3, l = 13 , dan m = 5, tentukanlah nilai dari:

a.( )( )

32 2 4

21 2 3

3

2

k l m

k l m

b.23 3 5

1 2 3

2 3 ( )k l l mk l m

+ 9. Sebuah kubus memiliki panjang rusuk (4r + 3)3.

a. Tentukanlah volume kubus tersebut!b. Jika kubus tersebut dapat memuat 6 buah limas beraturan yang

masing-masing kongruen, tentukanlah volume limas!

10. Hambatan total R dari sebuah rangkaian seri-paralel diberikan olehpersamaan

R =1

41 2 3

1 1 1 RR R R

+ + +

Hitung nilai hambatan tersebut jika R1 = 5 , R2 = 6,5 , R3 = 5,5 ,dan R4 = 6!

Bobot soal: 10

Bobot soal: 6

Bobot soal: 12

Bobot soal: 6

Bobot soal: 10

Bobot soal: 16


Gambar suasana pabrik

Untuk memahami bentuk akar, lakukanlah aktivitas berikut ini.

Produksi semen tiga segitiga memenuhi persamaanh = 5 24 t2 106 di mana h dalam ton dan t bilanganbulat yang menyatakan waktu. Jika keuntunganperusahaan dinyatakan oleh u (dalam rupiah) daripersamaan

uh = 2

5 105

Berapakah keuntungan perusahaan tersebut selama5 tahun?

B. Bentuk Akar

1. Gambarlah segitiga siku-siku samakaki dengan panjang sisi siku-sikunya 1 cm!

2. Ukurlah panjang sisi miringnya dengan menggunakan penggaris sentimeter. Berapasentimeterkah panjangnya? Catatlah hasil pengukuranmu!

3. Sekarang, hitunglah panjang sisi miring tersebut dengan menggunakan teorema Pythagoras.Berapa sentimeterkah panjangnya?

ktivitas di elasA K

Pada langkah ke-2 aktivitas tersebut, kamu akan mendapatkan panjangsisi miring segitiga siku-siku samakaki 1,4 cm lebih. Dengan tingkatketelitian berapapun, kamu tidak akan dapat mengukur dengan tepatpanjang sisi miring ini.

Pada langkah ke-3, dengan menggunakan teorema Pythagoras yangtelah dipelajari di SMP kelas VII, kamu akan mendapatkan panjang sisimiring tersebut 2 cm.

1 cm

1 cm

hCara memperolehnya:h2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2

h = 2 cm

Dengan menggunakan kalkulator, diperoleh 2 = 1,414213562, suatu

bentuk desimal yang tidak berulang dan tanpa akhir. Bentuk seperti 2ini disebut bilangan irasional dalam bentuk akar, karena tidak dapat


Bentuk akar adalah akar pangkat m dari suatu bilangan yang bukanpangkat m sempurna.

dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat ab , b 0. Bilangan

lain yang merupakan bilangan irasional bentuk akar, di antaranya3 547 , 16 , 9 , dan 30 , sedangkan bilangan-bilangan seperti 9 , 36 ,

3 64 dan 5 32 bukan bentuk akar karena:

9 3= merupakan akar pangkat dua dari bilangan pangkat duasempurna, yaitu 9 = 32

36 6= merupakan akar pangkat dua dari bilangan pangkat duasempurna, yaitu 36 = 62

3 64 merupakan akar pangkat tiga dari bilangan pangkat tigasempurna, yaitu -64 = (-4)3

5 32 2= merupakan akar pangkat lima dari bilangan pangkat limasempurna, yaitu 32 = 25

1. 15 adalah bentuk akar karena 15 bukan pangkat dua sempurna.

2. 3 27 bukan bentuk akar karena 27 merupakan pangkat tigasempurna.

3. 10 adalah bentuk akar karena 10 bukan pangkat lima sempurna.

CONTOH

Buktikan bahwa 3 merupakan bilangan irasional!

1. Sifat-Sifat Bentuk AkarUntuk setiap a, b, p, q bilangan real, m dan n bilangan asli, berlaku:

1. mn m na a= 4. .n n nab a b=

2. n np a q a+ = ( )np q a+ 5.n

nn

a ab b

= , b 0

3. n np a q a = ( )np q a 6. m n mna a=

Dari sifat 1 diperolehm

n m na a=

CatatanMenyederhanakan akardari bilangan bulatdiselesaikan dengancara memfaktorkanbilangan tersebut.Contoh:

1800

900

450

225

45

9

3 3

2

5

5

2

2

=

=

=

=

=

3 2 2

3 2 2

1800 2 5 3

2 2 5 32 2 5 32 5 3 230 2


Jika m = n, maka nn n na a= = a.Nilai a ini lebih dari atau sama dengan nol untuk n bilangan genap dan semuabilangan real untuk n bilangan ganjil.

1. = = 33 3381 27 3 3 3 = 3 3 3

2. a b a a b a b a ab a = = = 5 7 5 5 5 2 5 5 5 5 5 5 5 2 5 255160 ( 2) 5 ( 2) 5 2 5

3. ( ) ( ) ( ) = = = = 22 3 15 2 3 5 3 2 3 5 2 3 5 6 54. = =

15 15 533

5.x y x y

x x x x xx yx y

= = = =

5 53 2

22

25 255 5 5

6. 3 3.2 6x x x= =

CONTOH

1. Manakah yang merupakan bentuk akar?a. 45 e. 3 300 h. 15 1b. 3 8 f. 5 16.807 i. 1,21

c. 3 0,27 g. 0,81 j. 2.025

d. 2,25

2. Kerjakan operasi hitung berikut ini!a. 3 340 6 5+ f. 3 27 81 +b. 4 12 9 27+ g. 375 192 648+

c. 4 7 3 7 2 7x x x+ + h. ( ) ( )1 3 2 4 50 243+ +d. 4 49 48 18 32 i. 2 2 49 5 12x y xy x y x+

e. 29 7 10 63 j.3 5

6 2 3 23 33 127 2

x yx y x y+

3. Sederhanakanlah!

a. 72 e. 5 25.000 h. 3 354x y

b. 250 f. 9 2x y i. 6 53 1.458x y

c. 3 1.512 g.16 128

18

x y j. 20 1005 243x y

d. 3 80

Asah Kompetensi 3


4. Sederhanakanlah!

a.1282 f.

55 12850

xx

b.6

6

1281.458 g.

310 138 27xy

x y

+

c.6

2 3 h.( )2 23

5 3

x y x y

x y

d.196169 i. ( )( )3 2 23 33 3

x y

x y x xy y

+ +

e. 4 0,0625 j.( )( )x y y x

x y

+

Sederhanakan bentuk akar berikut ini!

1. 2 2 2 ...+ + + 3 20 20 20 ...+ + +

2. 6 6 6 ...+ + + 6 6 6 ...+ + + 4. 42 42 42 ...+ + +

2. Merasionalkan Penyebut PecahanMerasionalkan penyebut pecahan artinya mengubah bentuk akar pada

penyebut pecahan menjadi bilangan rasional. Dapat dilakukan dengan caramengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan akar sekawan daripenyebutnya. Bentuk-bentuk akar sekawan tersebut adalah sebagai berikut: a sekawan dengan a ( )a b+ sekawan dengan ( )a b ( )a b+ sekawan dengan ( )a b

Dalam buku ini hanya akan dibuktikan bahwa ( )a b+ sekawan dengan( )a b . Untuk membuktikan pernyataan tersebut, kamu harus menunjukkanbahwa hasil kali ( )a b+ dengan ( )a b merupakan bilangan rasional.Bukti:

( )a b+ ( )a b = a2 a ( )2b a b b+ = a2 ba2 b merupakan bilangan rasional sehingga ( )a b+ sekawan dengan( )a b .


Asah Kompetensi 4

1.23 =

2 33 3

"Perkalian dua bentuk akar sekawan

=

2 33

2.3

4 7

=

3 4 74 7 4 7

+

+"Perkalian dua bentuk akar sekawan

=

3(4 7 )16 7

+

=

12 3 7 4 1 79 3 3

=

3.23

xx

+

=

2 33 3

x xx x

+ +

+"Perkalian dua bentuk akar sekawan

=

( )( )( )( )

2 3

3 3

x x

x x

+ +

+

=

( )3 2 63

x x

x

+ + +

Dengan cara yang sama, coba kamu buktikan bahwa a sekawan dengan

a dan ( )a b+ sekawan dengan ( )a b .

CONTOH

Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. Kemudian, nyatakan dalam bentuk sederhana!

1.810 3.

5 4811

5.32x 7.

7 27 2

9.x yx y

+

2.7 515

4.2

2x

x 6.3

4 5 8.24 2162 6 9

10. 2 21

x x y

Tunjukkan bahwa jika x =5 15 1

+

maka (x2 + 21 )x merupakan bilangan irasional!


Waktu: 60 menit

1. Gambarlah garis yang panjangnya 7 cm, 17 cm, dan 2 6 cm!

2. Kerjakan operasi hitung berikut ini!a. 2 3 192+ f. 3 12 27 48x x x x+ + +

b. 567 11 7 g. 3 39x +

3 18x

c. 125 50 175+ h. 3 4 4 3 63 324 3 81x x y xy+

d. 6 54 404 + + i. 23 3 32 128 16x x x +e. 27 2 162 j. 25 2 126 19 336

3. Kerjakanlah operasi hitung berikut ini!

a. 6 18 f.

14152435

b. 2 ( )3 3 3 6+ g.42355615

c. ( )32 3+ h. 3 22xx

d. ( )3 32 4 3 2 16+ i. 3 22 3x xx x

e. 3 52 2 2x x x j.

xy

xy

4. Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini. Kemudian, nyatakanlahke dalam bentuk yang lebih sederhana!

a.3020 c.

110 4

b.92 d.

33 2 2

2Bobot soal: 18

Bobot soal: 20

Bobot soal: 20

Bobot soal: 25


ktivitas di elasA K

e.1 1

3 5 80 h.

2 22 2 3 +

f.21 5

2 2 2

i.

2 33 3 2 2 3

+ +

g. 5 41x j.

4 5 27 7 2 3 7

+ + +

5. Aplikasi Geometri

A

D E

CB

2

3

Bobot soal: 17

Pada langkah ke2 aktivitas di atas, dengan mencoba-coba mensubstitusinilai x, didapatkan nilai x sebagai berikut:

Pada persamaan y = 3x tersebut, kamu dapat mencoba-coba men-substitusi nilai x untuk memperoleh nilai y tertentu. Namun, tidak demikianpada langkah ke3.

C. Logaritma

1. Tuliskan persamaan y = 3x pada bukumu!

2. Substitusilah nilai y = 1, y = 3, y = 27, dan y =13 sehingga kamu mendapatkan nilai x!

3. Sekarang, substitusilah nilai y = 4 dan y = 10. Dapatkah kamu menentukan nilai x?

y = 1

y = 3

y = 27

y =

x = 0

x = 1

x = 3

x = 1

y = 3x

Pada gambar segitiga ABC di samping, panjangAE : EC = 2 : 3 . Jika DE sejajar dengan BC danluas segitiga ABC 400 cm2, hitunglah:a. Perbandingan luas segitiga ADE dengan luas

segitiga ABC.b. Luas segitiga ADE.


Pada langkah ke3, kamu akan kesulitan jika harus mencoba-cobamensubstitusi nilai x yang memenuhi y = 3x. Untuk menyelesaikan masalahtersebut, seorang Matematikawan asal Skotlandia, John Napier telahmenemukan suatu cara yang tepat, yaitu dengan logaritma. Logaritmaditemukannya pada tahun 1614.

Untuk p > 0 dan p 1, berlaku plog a = n jika dan hanya jika pn = a,dengan p adalah bilangan pokok.a adalah numerus, yaitu bilangan yang akan dicari logaritmanya.(a > 0)n adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p

Definisi ini sangat berguna untuk menentukan nilai x yang memenuhiy = 3x, khususnya seperti permasalahan pada langkah ke-3 aktivitas 3.Untuk y = 4, didapat 3x = 4. Akibatnya, x = 3log 4.Untuk y = 10, didapat 3x = 10. Akibatnya, x= 3log 10.

1. log 100 = 2 karena 100 = 102

2. 2log 16 = 4 karena 16 = 24

3. 3log =

karena =

4. 36 = 4 karena 36 = ( )Pada contoh tersebut, kamu mudah menentukan logaritmanya karena

bilangan yang kamu hadapi tergolong istimewa. Bagaimana menentukan6log 50, 9log 2, atau 27 log 11?

Untuk memudahkanmu dalam menentukan logaritma seperti itu, kamuharus mempelajari sifat-sifat berikut.

Untuk bilangan pokok positif, tidak sama dengan satu, dan numeruspositif, berlaku

1. plog (ab) = plog a + plog b

2. plogab

= plog a plog b3. plog an = n ploga

4. a. plog a =

c. alog a = 1 e. plog 1 = 0

b. plog a =1

loga p d.alogan = n

5. plog a alog q = plog q

6. a.

= b. plog a =

7. a. = b. ( )

=


Pembuktian dalam buku ini hanya akan dijelaskan untuk sifat 1, 3, dan 6a.

plog (ab) ===== plog a + plog bMisalkan x = plog a maka a = px

y = plog b maka b = pyplog (ab) = plog px. py

=plog px + y

Dengan menggunakan definisi logaritma akan diperolehplog (ab) = x + y = plog a + plog b

Jadi, plog (ab) = plog a + plog b.

plog an ===== n plog a

Misalkan x = plog a maka a = px.Jika kedua ruas persamaan dipangkatkan n maka

an = pxnplog an = xn

= n plog aJadi, plog an = n ploga.

p log a ===== loglog

q

q

ap

Misalkan plog a = x maka a = pxLogaritma dari kedua ruas dengan bilangan pokok q adalah

qlog a = qlog px

= x qlog p

Didapat, x =

.

Oleh karena x = plog a, maka plog a =

.

=

np pm ma an

log log

Dengan menggunakan sifat 4a dan 3, didapatkan

= =

=

Jadi,

= .

Untuk sifat lainnya, coba kamu buktikan sendiri.

" Gunakan sifat perkalian bilanganberpangkat

"Ayo, gunakan sifat 3

CONTOH

Pembuktian sifat 4a

Pembuktian sifat 3

1. Tulislah 7log 45 sebagai penjumlahan beberapa bentuk logaritma!

2. Tulislah 3log 12 sebagai selisih dua bentuk logaritma!3. Tulislah 9log 32 sebagai perkalian bilangan cacah dengan bentuk

logaritma!

4. Jika log 2 = a dan log 3 = b, nyatakan 27log 8 dalam a dan b!

5. 2log 3 3log 4 4log 5 = .

Pembuktian sifat 1

Pembuktian sifat 6a


Asah Kompetensi 5

CONTOH

Jawab:

1. Soal ini termasuk soal terbuka (open ended question). Salah satujawabannya adalah 7log 45 = 7log 9 + 7log 5.(Jika jenis soalnya seperti ini, mungkin jawabanmu dengan jawaban temanberbeda tetapi kedua jawaban tersebut benar.)

2. Soal ini juga termasuk soal terbuka (open ended question). Salah satujawabannya adalah 3log 12 = 3log 24 3log 2.

3. Oleh karena 32 = 25, maka kamu dapat menyatakan9log 32 = 9log 25 = 59log 2.

4. 27log 8 = =

=

= "Ayo, gunakan sifat 6a dan 4a

5. 2log 3 3log 4 4log 5 = 2log 5 "Ayo, gunakan sifat 5

1. Tuliskan dalam bentuk perkalian berulang!a. 9log 64 = . . . . c. 6log 126 = . . . .b. 3log 125 = . . . . d. 5log81 = . . . .

2. Sederhanakanlah!a. 2log 6 6log 8 8log 9 = . . . . c. 5log 7 7log 8 8log 10 = . . . .b. 2log 4 4log 3 3log 5 = . . . . d. 6log 2 2log 3 3log 6 = . . . .

D. Aplikasi Bentuk Pangkat, Akar, dan LogaritmaKonsep-konsep bentuk pangkat, akar, dan logaritma sering digunakan

dalam kehidupan sehari-hari. Bilangan berpangkat digunakan untukmenuliskan bilangan yang sangat kecil sampai pada bilangan yang sangatbesar.

Bentuk akar dikembangkan sampai merasionalkan penyebut pecahanberbentuk akar. Sedangkan logaritma dapat digunakan untuk menentukanbesarnya gempa bumi. Lebih jelasnya, pelajari contoh berikut ini.

Dari seismograf diketahui suatu gempa menghasilkan 0,1 milimeter padajarak 100 km dari pusat gempa. Tentukan besarnya gempa tersebut!

Jawab:

M (x) = M (0,1)

= log 0

xx

= log 0,1

0,001

= log 1

3

1010

= log 102 = 2Jadi, besarnya gempa bumi tersebut adalah 2 Skala Richter.


Waktu : 60 menit

1. Tentukanlah nilai logaritma berikut. Kemudian, berikan alasannya!

a.

= , karena . . . . d.

= , karena . . . .

b. 5log 0,0016 = , karena . . . . e. xlog x = , karena . . . .c. log = , karena . . . . f. = , karena . . . .

2. Tulislah dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan beberapabentuk logaritma!a. log 57 d. 5log 36b. 9log 5 e. 2log (x3 + x2y)

c. 12log 6 f. log

3. x1 dan x2 memenuhi persamaan

(log (x 1) log(x + 1))

= log 10

Tentukanlah x1 x2!

4. x1 dan x2 memenuhi persamaan

loglog

log log

x

xx x

=

Tentukanlah !

5. Jika x dan y memenuhi persamaanxlog xy ylog xy + xlog(x y) ylog(x y) = 0 dan x > y > 0

tentukanlah x + y!

1. Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan 100xlog 0,1 =

xlog 100, tentukanlah nilai

2. Jika y1 dan y2 memenuhi persamaan y + 3log 8 = log

+ , tentukanlah nilai dari (y1 + 3)(y2 + 3)!

3 ASAH KEMAMPUAN

Bobot soal: 8

Bobot soal: 13

Bobot soal: 12

Bobot soal: 18

Bobot soal: 14


6. Jika 5log 3 = a dan 3log 4 = b, nyatakanlah 12log 75 dalam a dan b!

7. Jika 2log 3 = p dan 2log 5 = q, nyatakanlah 6log 50 dalam p dan q!

8. Sederhanakanlah!

a. 2log 27 5log 64 3log

b. +c. 4log 12 + 2 4log 3 3 4log 6

9. Jika a = br, b = cs dan c = at, tentukan nilai 2r + st!

10. Jika log ab + log

ba = log (a + b) maka a

2 + b2 = . . . .

1. Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real maka:

faktor

n

n

a a a a= "

2. Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat dan nol.a. m nm na a a + =

b. , 0m

m nn

a a aa

=

c. 0 1, 0a a=

3. Sifat pemangkatan bilangan berpangkat

a. ( )m n mna a= c.n n

na ab b

=

b. ( )n n na b a b = d.1mma a

=

4. Sifat-sifat bentuk akar

a.m

mn na a= d. n n nab a b=

b. ( )n n np a q a p q a+ = + e. , 0n

nn

a a bb b

=

c. ( )n n np a q a p q a = f. m n mna a=

Bobot soal: 5

Bobot soal: 5

Bobot soal: 8

Bobot soal: 8

Bobot soal: 9

RangkumanRangkuman


5. Bentuk-bentuk akar sekawan a sekawan dengan a

( )a b+ sekawan dengan ( )a b ( )a b+ sekawan dengan ( )a b

6. Jika n adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p, maka berlaku:log ; 0, 0 dan 1p na n p a a p p= = > >

7. Sifat-sifat logaritma

a. log ( ) log logp p pab a b= +

b. log log logp p pa a b

b

= c. log logp pna n a=

d. log log loglog

qp pn

q

aa n a np

= =

logp ap a=

log 1a a =

loga na n=

log 1 0p =

e. log log logp paa q q =

f. log lognp pm ma a

n=

log lognp p na a=


Ulangan Bab 1Ulangan Bab 1I. Pilihlah jawaban yang paling tepat!

1. Jika 25.125 = 3x 5y . 67z, maka nilai x, y, danz adalah . . . .a. x = 3, y = 1, z = 1b. x = 2, y = 3, z = 1c. x = 3, y = 2, z = 1d. x = 1, y = 3, z = 1e. x = 2, y = 1, z = 1

2. Jika x > 0, maka21 1 1 1

2 2 2 2x x x x

+ = . . . .

a. ( )2221 1xx d. ( )4 221 1x xx

+

b. ( )421 1xx e. ( )421 1xx

c. ( )321 1xx 3. Jika n adalah bilangan cacah dan

32 512n n+ = , maka n adalah . . . .

a. 1 dan 9 d. 1b. 9 e. 1 dan 9c. 9

4. Nilai x yang memenuhi 2 10 2x x+ + > adalah . . . .a. x > 1 d. x < 1b. x > 2 e. 1 < x < 1c. x < 2

5. 4 2 23( log ) log 04

x x = , maka x = . . . .

a. 8 atau 12 d.

12 atau 16

b. 16 atau 4 e. 8 atau 4c. 2 atau 4

6.10 log 62

21000

1000

xx

x

= , maka x = . . . .

a. 100 d. 103b. 101 e. 104c. 102

7. Jika ( )24 42 log 6 log 1 02xx + = maka

x1 + x2 = . . . .a. 20 d. 16b. 4 e. 12c. 8

8. Nilai x yang memenuhi 8x + 1 = 24x1adalah . . . .a. 1 + 6 2log 3 d. 1 + 4 2log 3b. 1 6 3log 2 e. 1 + 6 3log 2c. 1 + 4 3log 2

9. Jika 1 < a < b dan 4a2 + b2 = 12ab, maka( )( )

2

22

log-2

a by b

+

+ = . . . .

a. log 4 d. log 2b. 4 e. 2c. 2log 2

10. Nilai dari

( )( )2 3 2 5 2 3 2 5 + + + + +adalah . . . .a. 2 3 10 d. 4 3 2 10

b. 4 10 e. 10 2 3+

c. 2 3

II. Jawablah pertanyaan berikut dengan jelasdan tepat!

1. Tentukanlah massa jenis rata-rata bumi jikamassa bumi 5,98 1024 kg dan volum1,08 1021 m3!

2. Hambatan total R dari sebuah rangkaian seri-paralel diberikan oleh persamaan

R = (1

1R + 2

1R )

1 + R3

Jika R1 = 7,5 , R2 = 5 dan R3 = 6,5 ,maka R = . . .

3. Hitunglah nilai dari 35 31 1289343 512+ + !

4. Jika {alog (6x 5)}(3log a) =20, tentukanlahnilai x!

5. Energi diam E sebuah proton dengan massadiam m dihubungkan oleh persamaanEinstein E = mc2, di mana c = kecepatancahaya. Jika m = 1,7 1027 kg danc = 3 108 m/s, tentukanlah energi diamproton tersebut!

Bab 2 Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat25

TUJUANPEMBELAJARAN

BAB

Gambar orang melempar batu ke atas

Sebuah batu yang dilempar vertikal ke atas memilikiketinggian h meter di atas tanah setelah t detik, dinyatakandengan persamaan h = 30t 5t 2. Kapankah batu ituberada pada ketinggian 40 m di atas tanah?Untuk menjawabnya, kamu harus mempelajari sebuahfungsi yang dikenal dengan nama fungsi kuadrat. Sebelummempelajari fungsi tersebut, kamu juga harus mempelajaripersamaan kuadrat.

PersamaanKuadrat danFungsi Kuadrat

PersamaanKuadrat danFungsi Kuadrat

Kamu dapat menentukan akar-akarpersamaan kuadrat.

Kamu dapat menentukan jumlah danhasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Kamu dapat menyusun persamaankuadrat yang akar-akarnya memenuhikondisi tertentu.

Kamu dapat menggambarkan grafikfungsi kuadrat.

Kamu dapat menentukan syarat fungsikuadrat definit positif dan negatif.

Kamu dapat menentukan akar-akarpersamaan kuadrat denganmelengkapkan bentuk kuadrat.

Kamu dapat menentukan sumbusimetri, titik puncak, sifat definit positifatau negatif fungsi kuadrat.

Kamu dapat menentukan fungsikuadrat yang melalui tiga titik yangtidak segaris.

Kamu dapat menjelaskan karakteristikmasalah yang mempunyai modelmatematika persamaan atau fungsikuadrat.

Kamu dapat menentukan besaranmasalah yang dirancang sebagaivariabel persamaan atau fungsikuadrat.

Kamu dapat merumuskan persamaanatau fungsi kuadrat yang merupakanmodel matematika dari masalah.

Kamu dapat menentukan penyelesaiandari model matematika.

Kamu dapat memberikan tafsiranterhadap solusi dari masalah.

22


Panjang suatu kandang yang berbentuk persegi panjang adalah 3 m lebihpanjang daripada lebarnya. Jika luas kandang tersebut 40 m2, berapakahukurannya?

Untuk menyelesaikan masalah ini, kamu harus menggunakan rumusluas persegi panjang, yaitu L = pl. Misalkan, lebarnya x maka panjangnya x+ 3, sehingga diperoleh persamaan berikut.

(x + 3)x = 40x2 + 3x 40 = 0

Pangkat terbesar variabel x pada persamaan tersebut adalah 2 danpangkat terkecilnya 0. Persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat.Persamaan kuadrat x2 + 3x 40 = 0 telah ditulis dalam bentuk umum.

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0; a, b, c R dana 0, dengan :

x adalah variabel a adalah koefisien dari x2

b adalah koefisien dari x c adalah konstanta

Jika kamu menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut, berarti kamumencari nilai variabel x yang memenuhi persamaan kuadrat. Nilai variabelx ini disebut akar persamaan kuadrat.

1. Menentukan Akar-Akar Persamaan KuadratAda tiga cara untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu

dengan memfaktorkan, melengkapkan kuadrat, dan rumus.

a. Memfaktorkan

Jika persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat difaktorkan maka kamudapat menuliskannya sebagai berikut.

ax2 + bx + c =1a (ax + p)(ax + q)

ax2 + bx + c = (x +pa )(ax + q)

ax2 + bx + c = ax2 + (p + q)x +pqa

Jadi, p + q = b dan pq = ac.

Dengan demikian, untuk menentukan akar-akar persamaan kuadratax2 + bx + c = 0, kamu harus mencari dua bilangan yang jika dijumlahkanhasilnya b dan jika dikalikan hasilnya ac.

A. Persamaan Kuadrat

Catatan6x2x 15 = (2x + 3) (3x 5)Bentuk umum:ax2 + bx+ c = (mx+ p) (nx+q)maka: m n = a

mq + np = bp q = c

Sebaliknya,

m p n q

(2x + 3) (3x 5)

= (2x)(3x) + (2x)(5) + 3(3x)+ 3(5)

= 6x2 10x + 9x 15 = 6x2 x 15

12

43

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat berikut!

1. x2 + 3x = 22. 2x2 5x 12 = 0

CONTOH


Jawab:

1. Ubah persamaan x2 + 3x = 2 ke dalam bentuk umum, yaitu x2 + 3x + 2 = 0

(x + )(x + ) = 0

(x + 1)(x + 2) = 0

x + 1 = 0 atau x + 2 = 0

x = 1 x = 2Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan x2 + 3x = 2 adalah x = 1atau x = 2.

2. Faktorkan 2x2 5x 12 = 0 (x + )(2x + ) = 0

(x 4 )(2x + 3) = 0

x 4 = 0 atau 2x + 3 = 0

x = 4 atau x =32

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan adalah x = 4 atau x =32

.

b. Melengkapkan KuadratMelengkapkan bentuk kuadrat persamaan ax2 + bx + c = 0 dilakukan

dengan mengubah persamaan tersebut menjadi bentuk (x + h)2 = k, k 0.Untuk jelasnya, pelajari contoh berikut ini.

Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat berikut!

1. x(x + 2) = 1952. 2x2 11x + 15 = 0

Jawab:

1. x(x + 2) = 195 Gunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

x2 + 2x = 195 Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien x, yaitu

21 . 22

pada kedua ruas persamaan.

x2 + 2x +21 . 2

2 = 195 +

21 . 22

x2 + 2x + 1 = 195 + 1x2 + 2x + 1 = 196

(x + 1)2 = 196 x + 1 = 196

= 14 x = 1 + 14 atau x = 1 14

= 13 = 15

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 13 atau 15.

CONTOH


2. 2x2 11x + 15 = 0 Tentukan persamaan kuadrat yang ekuivalen dengan

2x2 11x + 15 = 0 dan koefisien x2 adalah 1.Untuk itu, bagi 2x2 11x + 15 = 0 dengan 2, didapat

x2 112 x +

152 = 0

Tambahkan 152


x2 112 x +

152 +

152

= 0 +

152

x2 112 x =

152

Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien x, yaitu21 11.

2 2


x2 112 x +

21 11.2 2

=

152

+

21 11.2 2

x2 112 x +

21 11.2 2

=

152

+12116

2114

x = 12016 +

12116

2114

x =1

16

x 114 =

116

x 114 =

14

x =114 +

14 =

12 34

=

atau x =114

14 =

10 124 2

=

Dengan demikian, nilai x yang memenuhi persamaan adalah x = 12 2atau 3.

c. RumusRumus untuk menentukan akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0

diperoleh melalui langkah-langkah yang sama seperti menentukan akarpersamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat. Langkah-langkahtersebut adalah sebagai berikut: Bagi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan a, didapat x2 +

ba x +

ca = 0.

Tambahkan kedua ruas dengan ca .


Didapat, x2 +ba x +

ca +

ca

= 0 +

ca

x2 +ba x =

ca

Tambahkan kedua ruas dengan kuadrat dari setengah koefisien x, yaitu21

2ba

.

x2 +ba x +

212

ba

=

ca +

212

ba

212

bxa

+ =21

2ba

ca

212

bxa

+ =2

24ba

ca

212

bxa

+ =2

24ba

244

aca

Tentukan akar kuadrat dari kedua ruas sehingga diperoleh nilai x.

12

bxa

+ =2

2

44

b aca

x = 2ba

12a

2 4b ac

x =2 4

2b b ac

a

Dari rumus akar persamaan kuadrat tersebut, tentukanlah rumus untukx1+x2 dan x1x2.

x1 + x2 =2 4

2b b ac

a +

+2 4

2b b ac

a

= 2b b

a

= 22ba

=ba

Jadi, x1 + x2 =ba

.

Rumus umum menentukan akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0;

a, b, c R dan a 0 adalah 2

14

2b b acx

a +

= atau 2

24

2b b acx

a

=


x1x2 =2 4

2b b ac

a +

2 4

2b b ac

a

=

( ) ( )( )

22 2

2

4

2

b b ac

a

=

( )2 22

44

b b aca

= 244

aca

=ca

Jadi, x1 x2 =ca .

Perhatikan kembali rumus akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, yaitu2

14

2b b acx

a +

= atau2

24

2b b acx

a

=

Jenis kedua akar tersebut bergantung dari nilai b2 4ac yang ada di bawahtanda akar. Nilai b2 4ac disebut diskriminan, dilambangkan dengan D.Diskriminan berarti membedakan jenis akar.

Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0; a, b, c R

dan a 0 maka jumlah akar-akar tersebut adalah x1+ x2 = ba

dan hasil

kalinya adalah x1 x2 =ca .

CONTOH Dari persamaan kuadrat 3x2 5x + 2 = 0 tentukanlah:a. jenis akarnyab. akar-akar tersebutc. x1 + x2, x1x2, x1

2+ x22,

1 2

1 1x x

+ dan x1 x2

D kuadrat sempurna

D bukan kuadrat sempurna

mempunyai dua akar yang sama

Dua akar bilangan real dan rasional

Dua akar bilangan real dan irasional

Tidak mempunyai akar bilangan real

D = 0

D > 0

D < 0


Jawab:a. Diskriminan persamaan kuadrat 3x2 5x + 2 = 0 adalah

D = (5)2 4 3 2

= 25 24

= 1Berarti D > 0 maka merupakan kuadrat sempurna.Sehingga persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akarbilangan real dan rasional yang berbeda.

b. Pada persamaan kuadrat 3x2 5x + 2 = 0, diketahui a = 3, b = 5,dan c = 2. Dengan menggunakan rumus akar persamaan kuadrat,maka akan diperoleh nilai x1 dan x2 sebagai berikut.

1,2( 5) 1 5 1

2 2 3 6b D

xa

= = =

Jadi, nilai x1 = 1 dan x2 =4 26 3

= .

c. Dengan menggunakan rumus.

x1 + x2 =ba

=

( 5) 53 3

=

x1 x2 =ca =

23

(x1 + x2)2

= x12 + 2x1x2+ x2

2

x12 + x2

2= (x1 + x2)

2 - 2x1x2

=

25 223 3

=

259

43

=

259

129

=

139

1 2

1 1x x

+=

2 1 1 2

1 2 1 2

x x x xx x x x

+ +=

55 33

2 3 23

52

=

=

(x1 x2)2

= x12

2x1x2 + x22

= x12 + x2

2 2x1x2

=

139 2

23

=

1 3 1 29 9

= 19

x1 x2 = 19

x1 - x2 =13

Jadi, x1 x2 = 13 atau x1 - x2 =

13

" Gunakan sifat komutatifpenjumlahan, yaitu x2 + x1 = x1 + x2

"Gunakan sifat komutatifpenjumlahan, yaitu- 2x1x2 + x22 = x22 - 2x1x2


Asah Kompetensi 11. Dengan menggunakan diskriminan, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut.

Kemudian, tentukan akar-akar tersebut dengan cara memfaktorkan!

a. x2 7x 30 = 0 e. 3x2 = 7 4xb. y2 6y 16 = 0 f. 2y2 ( y ) = 0c. z2 12z + 36 = 0 g. 8z 30 + 5z2 = 0d. p2 + 7 = 4p h. (2p + 1)(5p 4) (3p 2)2 = 0

2. Dengan menggunakan diskriminan, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut.Kemudian, tentukanlah akar-akar tersebut dengan cara melengkapkan kuadrat!

a. 2x2 2x 1 = 0 e. 3x2 4 = (x + 1)2

b. 3y2 6y + 1 = 0 f.13 (y 1) = y

2

c. 5p2 5p + 2 = 0 g. (p + 1)(2p 1) = y + 2

d. h + 4 = 0 h.21 2

4 6y y +

=

3. Dengan menggunakan diskriminan, tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut.Kemudian, tentukan akar-akar tersebut dengan menggunakan rumus!a. 5x2 16x + 2 = 0 c. (x 1)(x + 1) = 20

b. y2 + 5y 24 = 0 d.4 4 104 4 3

y yy y

+ + =

+

e. (z 1)(z 1) = 12 g. 2 + 27 4z z

=

f. (p 1)2 2p = 0 h.1 1 1 0

1 2 3x x x+ + =

4. Akar-akar persamaan kuadrat ax2 3ax + 5(a 3) = 0 adalah x1 dan x2.Jika x1

3 + x2

3= 117, tentukanlah nilai a2 + a!

5. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dan 1 +

1 2

1 1x x

+= 0, buktikan

bahwa b = c!

6. Akar-akar persamaan kuadrat x2 2x + m = 0 adalah x1 dan x2.

Jika1 22 2

2 1

119

x xx x

+ = , tentukanlah nilai m!

7. Selisih akar-akar persamaan x2 nx + 24 = 0 adalah 5. Tentukanlah jumlah akar-akarpersamaan tersebut! UMPTN 1994*

8. Tentukanlah nilai ab jika a dan b merupakan akar-akar real persamaan

x2 + x = 22

1x x+ + ! Olimpiade Matematika SMU*


Nini Sentera dan Cendikia mencoba mencari akar-akarpersamaan kuadrat. Saat mengerjakannya, Cendikiamelakukan kesalahan ketika menyalin konstanta persamaankuadrat itu. Ia pun mendapatkan akar persamaan kuadrat 2dan 8. Sedangkan Nini Sentera melakukan kesalahan ketikamenyalin koefisien x sehingga mendapatkan akar 9 dan 1.Coba cari akar persamaan kuadrat yang benar. Tentukan pulapersamaan kuadratnya!

Persaman kuadrat(2x + 3)(3x 5) dapatdibentuk denganmen-galikan (2x + 3)dan (3x 5)

2x + 33x 5--

10x 15 6x2 + 9x---- 6x2 x 15

2. Membentuk Persamaan Kuadrat

Suatu persamaan kuadrat dapat dibentuk apabila diketahui nilai akar-akarnya atau nilai akar-akar persamaan kuadratnya berelasi dengan akar-akar persamaan kuadrat lain.

Pada bagian sebelumnya, kamu telah mengetahui jika akar-akarpersamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2 maka kamu dapatmenyatakan persamaan kuadrat itu sebagai a(x x1)(x x2) = 0.

Sekarang, pernyataan tersebut dibalik, jika kamu mengetahui akar-akarpersamaan kuadrat maka kamu dapat menyusun persamaan kuadrattersebut melalui persamaan berikut.

a(x x1)(x x2) = 0 a(x2

(x1 + x2)x + x1x2) = 0

CONTOH1. Bentuklah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5!

2. Bentuklah persamaan kuadrat yang jumlah akar-akarnya 16 dan hasilkali akarnya 63!

3. x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + 6x 1 = 0. Bentuklah

persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 + x2 dan x12 + x2

2!

Jawab:

1. Akar-akar persamaan kuadrat tersebut x1 = 2 dan x2 = 5.a(x 2)(x 5) = 0a(x2 7x + 10) = 0Pilih a = 1 sehingga didapat persamaan kuadrat x2 7x + 10 = 0.

2. x1 + x2 = 16 dan x1x2 = 63.a(x2 (16)x + 63) = 0a(x2 + 16x + 63) = 0Pilih a = 1 sehingga didapat persamaan kuadrat x2 + 16x + 63 = 0.


3. x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + 6x 1 = 0,

berarti x1 + x2 =6 32

= dan x1 x2 =12

.

x12 + x2

2 diperoleh dengan cara berikut:(x1 + x2)

2= x1

2 + 2x1x2 + x22

x12 + x2

2= (x1 + x2)

2 2x1x2

= (3)2 2.12

= 9 + 1= 10

Persamaan kuadrat yang akan dibentuk memiliki akar-akarx1 + x2 = 3 dan x1

2 + x22

= 10, adalah:a(x (x1 + x2 ))(x (x1

2 + x22 )) = 0

a(x (3))(x 10) = 0a(x2 7x 30) = 0

Pilih a = 1 sehingga didapat persamaan kuadrat x2 7x 30 = 0.

Asah Kompetensi 21. Bentuklah persamaan kuadrat dengan ketentuan sebagai berikut.

a. Akar-akarnya adalah 122 dan

112

.

b. Akar-akarnya adalah 3 152

+ dan 3 152

c. Jumlah dan hasil kali akar-akarnya berturut-turut 213 dan

13 .

d. Hasil kali dan jumlah kuadrat akar-akarnya berturut-turut74

dan252 .

e. Kebalikan akar-akarnya adalah 3 1 72 2

dan 3 1 72 2

+

2. Bentuklah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan kuadratx2 + 8x + 10 = 0! (UMPTN1996)*

3. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + ax + 1 = 0 adalah m dan n. Bentuklah persamaan kuadrat

yang akar-akarnya 3 3m n

+ dan m3 + n3! (UMPTN 1998)*

4. Akar-akar persamaan kuadrat x2 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2. Bentuklah persamaan kuadrat

yang akar-akarnya 2 21 2

1 1x x

+ dan 1 2

2 1

x xx x

+ !

5. Persamaan kuadrat 3x2 (a 1)x 1 = 0 mempunyai akar-akar m dan n, sedangkan persamaan

kuadrat yang akar-akarnya1m dan

1n adalah x

2 (2b + 1)x + b = 0. Tentukanlah 2a + b!

(UMPTN 2001)*


3. Aplikasi Persamaan Kuadrat

Bu Cindy akan membuat taman seluas 36 m2 di halaman rumahnya. Disekeliling taman itu, ia ingin membuat jalan yang lebarnya sama. Jika tanahdi halaman rumahnya itu berukuran 10 m 5 m, berapakah lebar jalan yangakan dibuatnya?

Misalkan lebar jalan tersebut x, maka persoalan ini dapat digambarkanseperti berikut.Perhatikan sketsa taman di atas!

10 2x

5 2xTaman

x x

xx

x x

xx

" Gunakan cara memfaktorkan

Panjang taman (10 2x) m dan lebarnya (5 2x) m.Luas taman adalah (10 2x)(5 2x) m2.Karena luas taman 36 m2, maka akan diperoleh persamaan berikut.(10 2x)(5 2x) = 3650 30x + 4x2 = 364x2 30x + 14 = 02x2 15x + 7 = 0(2x 1)(x 7) = 0

x =12 atau x = 7

Jika x = 7 maka panjang taman adalah 10 2 7 = 4 < 0.Berarti, x = 7 bukan penyelesaian.

Jika x =12 maka panjang taman adalah 10 2

12 = 9 > 0 dan lebar taman

adalah 5 212 = 4 > 0.

Berarti, x =12 merupakan penyelesaian.

Jadi, lebar jalan di sekeliling taman yang akan dibuat Bu Cindy adalah 12 m.


Mari kerjakan soal-soal cerita berikut!

1. Di halaman sebuah gedung yang berukuran 80 m 60 makan dibuat taman yang luasnya seperenam kali luashalaman gedung. Di sekeliling taman tersebut harusdisediakan tempat parkir yang lebarnya sama.Tentukanlah lebar tempat parkir tersebut!

2. Nicky Sentera dan Claudia membutuhkan waktu 4 jamuntuk mengetik sebuah naskah cerpen bersama-sama. JikaNicky Sentera dan Claudia mengetik sendiri-sendirinaskah tersebut maka Claudia akan lebih lama 6 jamdibandingkan Nicky Sentera. Berapa lamakah waktu yangdibutuhkan Claudia jika ia mengetik sendiri naskah cerpentersebut?

3. Sekelompok siswa sepakat untuk membeli satu unitkomputer seharga Rp6.120.000,00 dengan carapatungan(membagi rata pembayaran). Setelah masing-masing membayar, mereka baru menyadari ada tigatemannya yang harusnya ikut bergabung. Jika ketigateman tersebut ikut maka masing-masing akan membayarRp340.000,00 kurang dari yang telah mereka bayar.Tentukanlah banyak siswa yang berencana membelikomputer tersebut!

4. Niko Sentera membengkokkan sepotong kawat yangpanjangnya 56 cm untuk membuat sebuah persegi panjangyang luasnya 171 cm2. Tentukanlah ukuran persegipanjang yang dibuat Niko Sentera tersebut!

Asah Kompetensi 3


Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 301. Dengan menggunakan diskriminan, tentukanlah jenis akar-akarpersamaan kuadrat berikut. Kemudian, tentukan pula akar-akar itudengan cara yang menurutmu paling mudah!

a. 5x2 + 15x + 1 = 0 f. 5x(x + 1) = 2b. 2a2 + 3a 2 = 0 g. (3t + 2)(4t 3) 10t(t + 1) = 0c. t2 7t + 15 = 0 h. (2k 3)(3k + 1) 2k2 + 22k = 0

d. 3m2 2m 4 = 0 i. 22 45 0

3 3 4( 9)x x

x x x+ =

+

e. 176 3y 35y2 = 0 j.( ) ( )2 23 11 2 60

365 7

x x =

2. m dan n akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + ax + b = 0. Jika m2 + 21

n = 7,

tentukanlah nilai a dan b!

3. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat x2 + px + q = 0, tentukanlah

2

1 2

1 1x x

!

4. x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat x2 + (p 1)x (4 5p) = 0,

x R. tentukanlah x1100 + x2

100!

5. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat x2

3x + 1 = 0, tentukanlah

persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2

1 2

1 1x x

dan 2

11x + !

6. Diketahui a = 2,545454 dan b = 0,636363. Tentukanlah persamaan

kuadrat yang akar-akarnyaab dan

ba !

7. p dan q akar-akar persamaan kuadrat 2x2 6x + c = 0. Jika p2 q2 = 15,tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya (p + q) dan(p q)!

8. Sebuah segitiga memiliki luas 40 cm2. Jika alasnya 2 cm lebih panjangdaripada tingginya, berapakah ukuran segitiga tersebut?

ASAH KEMAMPUAN1


1. Menggambar Grafik Fungsi KuadratSebuah peluru ditembakkan ke atas sehingga ke- tinggiannya setelah x

detik dinyatakan dengan fungsi h(x) = 50x 5x2. Bagaimanakah bentuklintasan gerak peluru tersebut? Ceritakan pula tentang gerak peluru itu?Untuk itu, kamu harus menggambar grafik fungsi h(x) = 50x 5x2.

Sebelum kamu menggambarnya, pelajari dulu langkah-langkah untukmenggambar grafik fungsi kuadrat secara umum, yaitu grafik fungsif(x) = ax2 + bx + c.

a. Tentukan titik potong grafik terhadap sumbu y.Syaratnya, x = 0 sehingga f(0) = a 02 + b 0 + c

= cJadi, titik potong terhadap sumbu y adalah (0,c).

b. Tentukan titik potong grafik terhadap sumbu x.Syaratnya, f(x) = 0 sehingga ax2 + bx + c = 0.Nilai x yang memenuhi merupakan akar-akar persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0. Kamu akan memperoleh nilai x dengan menggunakan caramemfaktorkan, cara melengkapkan kuadrat, ataupun dengan rumusyang telah kamu pelajari pada subbab A. Misalkan, nilai x yang diperolehadalah x1 dan x2, maka titik potong terhadap sumbu x adalah (x1, 0)dan (x2, 0).

c. Perhatikan koefisien x2, yaitu a.Jika a > 0 maka grafik fungsi terbuka ke atas.Jika a < 0 maka grafik fungsi terbuka ke bawah.

d. Tentukan nilai diskriminannya (D).Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu x.Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu x pada dua titik.Jika D < 0 maka grafik tidak memiliki titik potong dengan sumbu x.Koefisien x2 dan diskriminan ini menentukan posisi grafik fungsif(x) = ax2 + bx + c pada bidang koordinat.

a > 0 dan D = 0 a < 0 dan D = 0

a > 0 dan D > 0 a < 0 dan D > 0

a > 0 dan D < 0 a < 0 dan D < 0

B. Fungsi Kuadrat

xx1 = x2

xx1 = x2

xx1 x2

x1 x2 x

x

x


11111 Untuk a > 0 dan D < 0, grafik seluruhnya berada di atas sumbu -x.Dikatakan, fungsi f(x) definit positif. Artinya, selalu bernilai positif.

11111 Untuk a < 0 dan D < 0, grafik seluruhnya berada di bawah sumbu-x.Dikatakan, fungsi f(x) definit negatif. Artinya, selalu bernilai negatif.

e. Tentukan koordinat titik balik, yaitu menentukan titik maksimum atauminimum fungsi. Caranya sebagai berikut.Dengan melengkapkan kuadrat, kamu dapat menyatakan fungsif(x) = ax2 + bx + c dalam bentuk lain, yaitu:

ax2 + bx + c = a(x2 +ba x) + c

= a2 2

22 4b bxa a

+ + c

= a2

2bxa

+ 2

4b

a + c

= a2

2bxa

+ +2 4

4b ac

a

= a2

2bxa

+ 4

Da

x = 2ba

merupakan persamaan sumbu simetri dari grafik fungsi f(x),

sedangkan 4D

a merupakan nilai maksimum atau minimum dari fungsi

f(x).

Jadi, koordinat titik balik fungsi f(x) adalah ,2 4b Da a

.

Sekarang, kamu akan menggambar grafik fungsi h(x) = 50x 5x2. Titik potong dengan sumbu-h, syaratnya x = 0 sehingga h(0) = 0.

Jadi, titik potong dengan sumbu-h adalah (0,0) Titik potong dengan sumbu-x, syaratnya h(x) = 0

Gunakan cara memfaktorkan:50x 5x2 = 0

5x(10 x) = 05x = 0 atau 10 x = 0x1 = 0 atau x2 = 10

Jadi, titik potong dengan sumbu-x adalah (0, 0) dan (10, 0). Koefisien x2 pada fungsi h(x) adalah a = 5

Karena a < 0 maka grafik terbuka ke bawah. Akibatnya, titik balik fungsimerupakan titik balik maksimum.

Persamaan sumbu simetri fungsi h(x) adalah

x =50 50 5

2.( 5) 10 = =

Jadi, sumbu simetri fungsi h(x) adalah garis x = 5.Nilai maksimum fungsi adalah

hmaksimum =250 4 ( 5) 0 2500 125

4 ( 5) 20

= =

IngatD = b2 4ac

Titik balikmaksimum

Sumbusimetri x = 5

h(5,125)

125

0 5 10 x


CONTOH

Asah Kompetensi 4

Dengan demikian, titik balik maksimum fungsi h(x) adalah (5,125).

Dari grafik tersebut, kamu dapat mengetahui hal-hal berikut. Grafik berbentuk parabola sehingga lintasan gerak peluru berbentuk

parabola. Titik puncak grafik (5,125). Berarti, peluru mencapai ketinggian

maksimum 125 m pada saat 5 detik setelah ditembakan. Titik potong terhadap sumbu-x adalah (0,0) dan (10,0). Berarti, peluru

mencapai tanah 10 detik setelah ditembakkan.

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut!

a. f(x) = x2 5x + 6 k. f(z) = 12

z (z 3)

b. f(x) = x2 + 6x 5 l. f(m) = 2m2 8m + 1c. g(x) = 3x + x2 + 10 m. g(n) = 1 12n + 3n2

d. f(y) = 2y2 + y 10 n. h(x) = 2x2 6x + 4

e. h(t) = (3 + 2t)(2t + 1) o. f(x) = 2 2 x2+ 2 x 2

f. f(t) = t 4 + 3t2 p. g(n) = 2 n2 + 3g. f(z) = 4z2 7z 2 q. h(t) = 2t2 8t + 18h. h(x) = (x 2)2 + (x 2) + 2 r. f(y) = 18 3y y2

i. g(t) = 1 + 5t + 4t2 s. h(n) = n2 + 2n + 8

2. Berikan contoh fungsi kuadrat yang definit positif dan definit negatif. Kemudian gambarkangrafiknya!

2. Menentukan Fungsi KuadratUntuk menentukan suatu fungsi kuadrat, kamu harus memperhatikan

hal-hal berikut.a. Jika diketahui titik potong terhadap sumbux, misalnya (x1,0) dan (x2,0),

maka fungsi kuadratnya adalah f(x) = a(x x1)(x x2).b. Jika diketahui titik balik fungsi, misalnya (h,k), maka fungsi kuadratnya

adalah f(x) = a(x h)2 + k.c. Jika diketahui tiga titik yang dilalui grafik, maka fungsi kuadratnya

adalah f(x) = ax2 + bx + c.

1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbux padatitik (0,0) dan (4,0) serta melalui titik (1,3)!

Jawab:

Misalkan, fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbux padatitik (0,0) dan (4,0) itu adalah f(x) = ax(x 4).Karena grafik f(x) melalui titik (1, 3) maka

3 = a 1 (1 4)

Diperoleh a = 33

= 1


Dengan mensubstitusi nilai a ke fungsi f(x), akan diperolehf(x) = x(x 4)

Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah f(x) = x(x 4).

2. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (0,35) danmempunyai titik balik (4,3)!

Jawab:

Misalkan, fungsi kuadrat tersebut f(x) = a(x h)2 + k dengan koordinattitik balik (h,k) = (4, 3).Fungsi itu adalah f(x) = a(x 4)2 3.Grafik fungsi f(x) melalui titik (0, 35), sehingga diperoleh nilai a.a(0 4)2 3 = 35

(4)2a 3 = 3516a = 32

a = 2Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah f(x) = 2(x 4)2 3.

3. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (0,6), (2,13), dan(1,2)!

Jawab:

Misalkan, fungsi kuadrat tersebut f(x) = ax2 + bx + c.Grafik melalui titik (0,6), didapat c = 6 (a)Grafik melalui titik (2,13), didapat 4a + 2b + c = 13 (b)Grafik melalui titik (1,2), didapat a b + c = 2 (c)

Substitusi persamaan (a) ke persamaan (b), didapat4a + 2b + 6 = 13

4a + 2b = 7 (d)Substitusi persamaan (a) ke persamaan (c), didapata b + 6 = 2

a b = 8 a = b 8 (e)

Substitusi persamaan (e) ke persamaan (d), didapat4(b 8) + 2b = 74b 32 + 2b = 7

6b = 39

b =39 136 2

= (f)

Substitusi persamaan (f) ke persamaan (e), didapat

a =132 8

=

132

162

=

32

Sekarang, substitusilah nilai a, b, dan c yang telah didapat pada fungsif(x) = ax2 + bx + c


Asah Kompetensi 5

Sehingga kamu memperoleh fungsi kuadrat:

f(x) =32

x232

x + 6

1. Titik balik grafik fungsi kuadrat f(x) adalah (3,19). Jika fungsi f(x) dinyatakan sebagaif(x) = x2 + px + q, tentukanlah fungsi f(x) tersebut!

2. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbux pada titik (1,0) dan mempunyaititik balik (1,4)!

3. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbux pada titik (1,0) dan (5,0) sertamempunyai nilai minimum 4!

4. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbux pada titik (12 ,0) dan (1,0) serta

melalui titik ( 45 ,2)!

5. Tentukanlah fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik-titik berikut!a. (3,6), (1,6), dan (1,4)b. (2,9), (1,4), dan (5,16)c. (4,24), (1,6), dan (4,16)d. (0,15), (4,33), dan (1,15)e. (4,3), (0,5), dan (4,13)

3. Aplikasi Fungsi Kuadrat

Pada bagian ini akan dibahas tentang beberapa masalah aplikasi yangdapat diubah menjadi model matematika dengan persamaan kuadrat.Untuk lebih jelas, pelajarilah contoh berikut.

CONTOH Tentukanlah hasil kali maksimum dari dua bilangan yang jumlahnya 50!Jawab:

Misalkan dua bilangan tersebut adalah x dan y, maka x + y = 50.Sehingga diperoleh y = 50 x.Misalkan pula, hasil kali kedua bilangan tersebut dinyatakan denganfungsi f(x), maka f(x) = xy

= x(50 x)= 50x x2

Supaya diperol

matematika sma kelas 1 - x

Documents