DEFINISI RUANG TOPOLOGI

RUANG TOPOLOGI

Misal X suatu set tidak kosong. Suatu kelas τ yang anggotanya subset-subset

dari X disebut topologi pada X, bila dan hanya bila τmemenuhi ketiga aksioma

berikut:

[O1 ] X dan ∅ termasuk dalam τ

[O2 ] Gabngan dari set-set anggota dari τ adalah anggota τ

[O3 ] Irisan dari dua set anggota τ adalah anggota τ

Anggota-anggota dari τ disebut set-set buka dari τ , dan X bersama τ , yaitu (X,τ )

disebut ruang topologi.

Contoh 1.

Misal U adalah kelas semua set buka bilangan real. Maka U adalah topologi pada

R; dan disebut topologi biasa (usual topology) pada R. demikian juga kelas U

yang terdiri dari set-set buka pada R2 adalah topologi pada R2

Contoh 2.

Misalakan X={a , b , c , d }. τ1 , τ2 , dan τ3 masing masing subset dari 2x. Manakah

yang merupakan topologi pada X, bila :

τ1={X ,∅ , {a }, {c , d }, {a ,c ,d } , {b , c , d , e }}

τ 2={X ,∅ , {a }, {c , d } , {a ,c ,d } , {b , c , d }}

τ3={X ,∅ , {a }, {c , d } , {a , c ,d } , {a ,b , d , e }} Jawab :

τ1 adalah topologi pada X, karena memenuhi ketiga sifat (aksioma) di atas, yaitu:

[O1 ] X ,∅ ∈ τ

[O2 ]∀ Ai∈ τ i ,¿ i A i∈ τ i

[O3 ]∀ A i∈ τ i ,¿ i A i∈ τ i

τ 2 bukan topologi pada X, karena {a }∪ {b ,c , d }= {a ,b , c , d }∉ τ2

τ3 bukan topologi pada X, karena {a , c , d }∩ {a , b , d , e }= {a ,d }∉ τ3

Contoh 3.

Misal D adalah kelas dari semua subset dari X, atau D = 2x. Maka D adalah

topologi pada X, karena memenuhi [i], [ii], [iii]. D disebut topologi diskrit, dan

(D,X) disebut ruang topologi diskrit, atau secara singkat disebut ruang diskrit.

Contoh 4.

Dari aksioma [i], suatu topologipada X memuat set X dan ∅ . Kelas Y={X ,∅ }

yang hanya memuat X dan ∅ adalah topologi pada X. Y={X ,∅ } disebut topologi

indiskrit , dan (X,Y) disebut ruang topologi indskrit atau ruang indiskrit.

Contoh 5.

Misal ( X , τ ) ruang topologi. τ ' adalah kelas yang anggotanya semua komplemen

dari set buka dari τ . Maka τ ' adalah topologi pada X, dan disebut topologi kofinit

atau topologi T 1 pada X.

Contoh 6.

Irisan τ1 ∩τ 2 dari topologi-topologi τ1 dan τ 2 pada X juga merupakan topologi

pada X.

[O1 ] X ,∅∈ τ1 ∩τ2, karena X ,∅∈ τ1 dan X ,∅∈ τ2

[O2 ] Bila G , H ∈ τ1∩ τ2 , maka G , H ∈ τ1 dan G , H ∈ τ2 . Karena τ1 dan τ2 topologi

pada X , G ∩ H∈ τ1 dan G ∩ H∈ τ2, jadi G ∩ H∈ τ1 ∩τ2.

[O3 ] Bila G , H ∈ τ1∩ τ2 , maka G , H ∈ τ1 dan G , H ∈ τ2 . Karena τ1 dan τ2 topologi

pada X, maka G∪H∈ τ1 dan G∪H∈ τ2, jadi G∪H∈ τ1 ∩τ2.

Pernyataan dalam contoh di atas, dapat digeneralisasi untuk koleksi topologi-

topologi, seperti dinyatakan pada teorema berikut:

TEOREMA 1. Bila {τ i : i∈ I }koleksi topologi pada set X, maka irisan ¿ i τ i adalah

topologi pada X.

Dari contoh 7 berikut ditunjukkan bahwa gabungan dari topologi-topologi tak

perlu topologi:

Contoh 7.

Kelas-kelas τ1={X ,∅ , {a }} danτ 2={X ,∅ , {b }} adalah topologi pada X={a ,b ,c }.

Tetapi τ1∪τ2={X ,∅ , {a }, {b }} bukan topologi pada X, karena {a }, {b }∈ τ1∪ τ2,

maka {a }∪ {b }={a ,b }∉ τ1∪ τ2.

Bila G adalah set buka yang memuat titik p∈X , maka G disebut lingkungan

terbuka dari p, dan G tanpa p yaitu G−{ p }, disebut lingkungan terbuka terhapuskan

dari p.

Catatan:

Aksioma –aksioma [O1 ] , [O2 ] dan [O3 ] adalah equivalen dengan dua aksioma

berikut:

[O1¿ ] Gabungan dari set-set dalam τ termasuk dalam τ

[O2¿ ] Irisan terhingga dari set-set dalam τ termasuk dalam τ

Untuk [O1¿ ] menyimpulkan bawa ∅ termasuk dalam τ karena

∪ {G∈ τ :G∈∅ }=∅

Yaitu gabungan dari set-set kosong adalah set kosong.

Untuk [O2¿ ] menyimpulkan bahwa X termasuk ke dalam τ karena

∩ {G∈ τ :G∈∅ }=X

Yaitu irisan dari subset-subset dari X adalah X sendiri.

TITIK KUMPUL

Misal X adalah ruang topologi. Suaitu titik p∈X adalah titik kumpul dari

A⊂X bila dan hanya bila setiap set buka G yang memuat p, memuat suatu titik yang

berbeda dengan p, atau

“bila G buka, p∈G, maka (G−{p }∩ A ≠∅ )”

Set dari titik-titik kumpul dari A ditulis A ’ dan disebut set derive dari A.

Contoh 1.

τ={X ,∅ , {a } . {c ,d } , {a , c , d } , {b , c , d , e } adalah topologi pada X={a ,b ,c , d , e },

dan A={a , b , c }⊂X .

Perhatikan bahwa b∈ X adalah titik kumpul dari A, karena set-set buka yang

memuat b yaitu X dan {b , c ,de } masing-masing memuat titik dari A yang

berbeda dai b yaitu c. tetapi titik a∈ X , buakan titik kumpul dari A, karena set

buka {a }, tidak memuat titik dari A yang berbeda dengan a. Dengan cara yang

sama d dan e adalah titik kumpuldari a sedangkan c bukan titik kumpul dari A.

jadi A'={b ,d , e } yang disebut set derive dari A.

Contoh 2.

Misal X ruang topologi indiskrit yaitu ⟨ X ,Y ⟩ dengan Y={X ,∅ }. Maka X adalah

set buka yang memuat sebarang p∈X . Jadi p adalah titik kumpul dari setiap

subset dari X, kecuali set kosong ∅ dan set {p }. Jadi, set dari titik-titik kumpul

dari A⊂X yaitu A ' adalah

A'={ ∅ , bila A=∅{p }C=X− { p }, bila A={p }

X , bila A memuat dua titik atau lebih

Perhatikan bahwa, untuk topologi biasa pada garis R dan bidang R2, titik kumpul

didefinisikan sama seperti pada bab 4.

SET TERTUTUP

Misal X adalah ruang topologi. Subset A dari X disebut set tertutup bila dan

hanya bila komplemen AC adalah set buka.

Contoh 1.

Kelas τ={X ,∅ , {a } , {c ,d } , {a , c , d } , {b , c ,d , e }} didefinisikan pada

X={a ,b ,c , d , e }. Subset-subset tutup dari X adalah

∅ , X , {b ,c ,d , e } , {a ,b , e }, {b ,e } , {a } ,

Adalah komplemen-komplemen dari subset-subset buka dari X. Perhatikan bahwa

{b,c,d,e} adalah subset buka dan tutup dari X, sedangkan {a,b} bukan subset buka

dan bukan subset tutup dari X.

Contoh 2.

Misal X adalah ruang diskrit yaitu setiap subset dari X adalah buka. Maka setiap

subset dari X adalah juga tutup, karena komplemennya selalu buka. Dengan kata

laon, setiap subset dari X adalah buka dan tutup.

Ingat bahwa ACC=A, untuk setiap subset A dari X, maka diperoleh proposisi sebagai

berikut:

Proposisi 2.

Dalam ruang topologi X, subset A dari X adalah buka bila dan hanya bila

komplemennya tutup.

Aksioma [O1 ] , [O2 ] dan [O3 ] dari ruang topologi dan hukum de Morgan

memberikan teorema berikut:

TEOREMA 3. Bila X ruang topologi , maka kelas dari subset-subset tutup dari X

memiliki sifat –sifat sebagai berikut:

(i) X dan∅ adalah set-set tutup

(ii) Irisan dari set-set tutup adalah tutup

(iii) Gabungan dari dua set tutup adalah tutup

Set –set tutup dapat pula dinyatakan dengan menggunakan pengertian titik-titik

kumpul seperti berikut:

TEOREMA 4. Subset A dari ruang topologi X adalah tutup bila dan hanya bila A

memuat semua titik kumpul dari A.

Dengan kata-kata lain set A adalah tutup bila dan hanya bila derive A ' dari A

adalah subset dari A, yaitu A '⊂ A.

PENUTUP DARI SET

Misal A subset dari ruang topologi X. Penutup dari A, ditulis A atau A❑ adalah

irisan dari semua subset tutup dari X yang memuat A.

Dengan kata –kata lain, bila {F i : i∈ I } adalah kelas dari semua subset tutup dari X

yang memuat A, maka

A=¿ i F i

Perhatikan bahwa A adalah tutu, kartena A adalah irisan dari set-set tutup.

Selanjutnya juga, A adalah superset tutup terkecil dari A, dengan demikian, bila F

adalah set tutup yang memuat A, maka

A⊂ A⊂F

Berdasarkan hal tersebut, set A adalah tutup bila dan hanya bila ¿ A , dan diperoleh

pernyataan berikut:

Proposisi 5.

Bila A penutup dari set A, maka

(i) A adalah tutup

(ii) Bila F superset tutup dari A, maka A⊂ A ⊂ F; dan (iii) A adalah tutup bila dan hanya bila A=A

Contoh 1.

Perhatikan topologi τ pada X={a ,b ,c , d , e }, seperti contoh 1. Bagian 5.3 di mana

subset-subset tutup dari X adalah

∅ , X , {b ,c ,d , e } , {a , b , e }, {b , e } , {a }

Berdasarkan hal itu,

{b }={b . e } , {a ,c }=X , {b ,d }={b , c ,d , e }

Contoh 2.

Misal X adalah ruang topologi kofinit, yaitu komplemen dari set-set terhingga dan

∅ adalah set-set buka. Maka setiap set-set tutup dari topologi tersebut adalah

subset-subset terhingga dari X dengan X. Jadi bila A⊂X terhingga, penutup A

adalah A sendiri, karena A tutup. Sebalinknya, bila A⊂X tak hingga, maka X

adalah superset tutup dari A; jadi A adalah X. Selanjutnya, untuk suatu A subset

dari ruang kofinit, maka

A={ A bila A terhinggaX bila A tak hingga

Penutup suayu set dapat dinyatakan dengan pengertian dari titik-titik kumpul dari set

tersebut sebagai berikut:

TEOREMA 6. Bila A subset dari ruang topologi X, maka penutup dari A adalah

gabungan dari A dengan A ', yaitu

A=A∪A '

Suatu titik p∈X disebut titik penutup dari A⊂X bila dan hanya bila p ternuat

dalam penutup A, yaitu p∈ A. Dari teorema 6 diperoleh bahwa , p∈X adalah titik

penutup dari A⊂X bila ganya bila p∈ A atau titik kumpul dari A.

Contoh 3.

Perhatikan semua set bilangan rasional Q. Di dalam topologi biasa untuk R, setiap

bilangan real a∈R adalah titik kumpul dari Q, Jadi penutup dari Q adalah set

semua bilangan real R, yaitu Q=R.

Subset dari suatu topologi X disebut padat (dense) dalam B⊂ X , bila B ternasuk

dalam penutup A, yaitu B⊂ A . Khususnya, A adalah padat pada X atau subset

dari X bila dan hanya bila A=X

Contoh 4.

Perhatikan contoh 1 pasal 5.3, diketahui bahwa

{a , c }=X , {b ,d }={b , c , d , e },

Dengan X={a ,b ,c , d , e }. Jadi set {a,c} adalah subset padat dari X, tetapi set

{b,d} bukan subset padat dari X.

Contoh 5.

Dari contoh 3 di atas, Q=R. Dengan kata lain, dalam topologi biasa, set semua

bilangan rasional Q padat dalam R.

Operator “penutup”, yang menghubungkan tiap-tiap subset A dari X adalah

penutup A⊂X memenuhi 4 sifat seperti ditunjukkan pada proposisi berikut, yang

disebut “Aksioma Penutup Kuratowski”.

Proposisi 7.

(i) ∅=∅

(ii) A⊂ A

(iii) A∪B=A∪B

(iv) ( A❑)❑=A

INTERIOR, EKSTERIOR, BATAS

Misal A subset dari ruang topologi X. Titik p∈X disebut titik interior dari A,

bila p termasuk set buka G subset dari A, yaitu p∈G⊂A , G set buka.

Set titik-titik interior dari A , ditulis

int (A), Å , atau Ao

Disebut interior dari A.

Interior dari A dapat dinyatakan sebagai berikut:

Proposisi 8.

Interior dari A adalah gabungan dari semua subset dari A. Selanjutnya juga bahwa

(i) Ao adalah buka

(ii) Ao subset terbesar dari A;

yaitu bila G subset dari A maka G⊂Ao⊂A ; dan

(iii) A adalah buka bila hanya bila A=Ao

Eksterior dari Aditulis ekst(A), adalah interior dari komplemen A, yaitu int( AC ¿.

Batas dari A, ditulis b(A), adalah set dari titik-titik yang tidak termasuk interior dan

tidak termasuk eksterior dari A.

Berikut ini hubungan interior, eksterior dan penutup:

TEOREMA 9. Misal A subset dari ruang topologi X. Maka penutup dari A adalah

gabungan dari interior dan batas dari A, yaitu A=Ao∪b( A).

Contoh 1.

Diketahui empat interval [ a , b ] , (a , b ) , (a , b ] , dan ¿ di mana a dan b adalah titik-

titik akhir. Interior dari ke-4 interval tersebut adalah (a,b) dan batasnya adalah

titik-titik akhir a dan b yaitu {a,b}.

Contoh 2.

τ={X ,∅ , {a } , {c ,d } , {a , c , d } , {b , c ,d , e }} topologi pada X={a ,b ,c , d , e } dan

A={b , c ,d }⊂X .

c dan d titik-titik interior dari A, karena c ,d∈ {c ,d }⊂A . Dan {c,d} set buka.

Titik b∈ A bukan titik interior dari A, dan int(A)={c,d}.

Titik a∈ X adalah eksterior dari A, yaitu interior dari komplemen AC={a , e } jadi

int(Ac ¿={a }

Batas dari A memuat titik-titik b dan e yaitu b(A)={b,e}.

Contoh 3.

Q adalah set semua bilangan rasional.

Karena setiap subset buka dari R memuat bilangan rasional dan irasional, titik-

titik itu bukan interior atau eksterior dari Q, juga ∫ (Q )=∅ dan int(Qc ¿=∅ .

Jadi batas dari Q adalah bilangan realyaitu b(Q)=R.

Suatu subset A dari ruang topologi X disebut padat tidak dimana-mana (nowhere

dense) di dalam X jika interior dari penutup A adalah kosong, yaitu int( A ¿=∅ .

Contoh 4.

Misal A={1 ,12

,13

,14

, …} subset dari R, maka A mempunyai tepat satu titik

kumpul yaitu 0.

Jadi A={0,1,12

,13

,14

, …} dan A tidak mempunyai titik interior atau int( A ¿=∅ ,

jadi A padat tidak dimana-mana dalam R.

Contoh 5.

Misal A memuat semua bilangan rasional antara 0 dan 1, yaitu

A={ x : x∈Q ,0<x<1 }. Jelas bahwa int(A)=∅ . Tetapi A tidak padat dimana-mana

dalam R : karena penutup A adalah [0,1], dan

∫ ( A )=∫ ( [ 0,1 ] )= (0,1 )≠∅

LINGKUNGAN DAN SISTEM LINGKUNGAN

Misal p adalah titik dalam ruang topologi X. Suatu subset N dari X disebut

lingkungan dari p jika dan hanya jika N adalah suatu superset dari set buka G yang

memuat p yaitu:

p∈G⊂N dengan G set buka.

Dengan kata lain, relasi “N adalah lingkungan dari p” adalah invers dari “p adalah

titik interior dari N”.

Kelas dari suatu lingkungan dari p∈X , ditulis N p, disebut sistem lingkungan dari p”

Contoh 1.

Misal a∈R. Maka tiap-tiap interval tutup [a−δ , a+δ ] dengan pusat a adalah

lingkungan dari a, karena interval-interval tersebut memuat interval buka

(a−δ , a+δ) yang memuat a. Demikian pula, bila p∈R2, maka setiap daerah

tutup {q∈R2 :d ( p ,q)<δ ≠ 0 } dengan pusat p, adalah lingkungan dari p, karena

daerah tutup tersebut memuat daerah buka dengan pusat p.

Untuk sistem lingkungan N p dari suatu titik p∈X ada 4 sifat yang dinyatakan

dalam proposisi berikut, yang disebut aksioma lingkungan, seperti berikut:

Proposisi 10.

(i) N p ≠∅ dan p termasuk ke dalam tiap anggota N p

(ii) Irisan dari dua N p termasuk N p

(iii) Setiap super set dari anggota N p termasuk N p

(iv) Tiap anngota N∈N p adalah superset dari anggota G∈N p dengan G

adalah lingkungan dari tiap-tiap titik dari G yaitu G∈N g untuk setiap

g∈G.

BARISAN KONVERGEN

Barisan ⟨ a1 , a2 , …⟩ dari titik-titik dalam ruang topologi X konvergen ke titik

b∈ X atau b adalah limit dari barisan (an) di tulis

limn → ∞

an=b , lim an=b , atauan→ b

Bila hanya bila untuk setiap set buka G yang memuat b ada bilangan bulat positif

n0∈N sedemikian hingga

Bila n>n0 ,maka an∈G

Contoh 1.

Misal ⟨ a1 , a2 , …⟩ adalah barisan dari titik-titik dalam ruang topologi indiskrit

(X,Y). Kita ketahui bahwa:

(i) X adalah set buka yang memuat b∈ X ; dan

(ii) X memuat setiap suku dari barisan (an).

Berdasarkan hal tersebut, barisan ⟨ a1 , a2 , …⟩ konvergen ke setiap titik b∈ X

Contoh 2.

Misal ⟨ a1 , a2 , …⟩ adalah barisan titik-titik dalam ruang topologi diskrit (X<D).

Untuk setiap titik b∈ X , set singleton {b} adalah set buka yang memuat b. bila

an→ b, maka set {b} haruslah termuat ke dalam semua suku (unsur) dari barisan

tersebut. Dengan kata lain, barisan (an) konvergen ke titik b∈ X bila dan hanya

bila barisan tersebut berbentuk ⟨a1 , a2 , …, an0, b , b ,b , …⟩.

Contoh 3.

Misal τ adalah topologi pada set tak hingga X yang terdiri dari set kosong ∅ , dan

komplemen dari set-set kontabel. Kita menganggap bahwa barisan tersebut

berbentuk

⟨a1 , a2 , …, an0, b , b ,b , …⟩ yaitu set A yang memuat suku (an) yang berbeda dari b,

adalah terhingga. Sedangkan A adalah set kontabel dari AC adalah set buka yang

memuat b. Jadi, bila an→ b maka AC memuat terhingga banyaknya suku-suku

dari barisan tersebut, dan A adalah terhingga.

TOPOLOGI KOSER DAN TOPOLOGI FAINER

Misal τ1 dan τ 2 adalah topologi pada set tidak kosong X, dan tiap-tiap set buka

anggota τ1 subset dari X adalah anggota τ 2 subset X. Dengan demikian , bahwa τ1

adalah kelas bagian dari τ 2 yaitu τ1⊂τ2. Maka kita katakana bahwa τ1 adalah koser

(Coarser, terkecil) terhadap τ1 atau τ 2 adalah fainer (finer, terbesar) terhadap τ1.

Perhatikan bahwa T={τ1} koleksi topologi-topologi adalah terurut parsial, dan dapt

ditulis

τ1 ≤ τ2 untuk τ1⊂τ2

Dan kita katakana bahwa kedua topologi pada X tidak dapat dibandingkan bila

topologi yang satu buikan koser terhadap yang lainnya.

Contoh 1.

Perhatikan topologi diskrit D, topologi indiskrit Y, dan suatui topologi τ pada set

X. maka τ adalah koser terhadap D, dan τ adalah fainer terhadap Y.

Jadi Y ≤ τ ≤ D.

Contoh 2.

Perhatika topologi kofinit τ dan topologi biasa U pada bidang R2. Ingat bahwa

setiap subset dari R2 adalah set tutup U: Jadi komplemen dari subset terhingga

dari R2 , yaitu anggota τ adalah set buka U. Dengan kata lain, τ koser terhadap U,

yaitu τ ≤ U .

RUANG BAGIAN, TOPOLOGI RELATIF

Misal A adalah subset tidak kosong dari ruang topologi (X , τ ). Kelas τ A yaitu

kelas dari semua irisan dari A dengan subset-subset buka τ dari X adalah topologi

pada A; dan topologi tersebut disebut topologi relative pada A, atau relatifisasi τ

terhadap A; dan ruang topologi ( A , τ A) disebut ruang bagian dari (X , τ ).

Dengan kata-kata lain, subset dari A adalah set buka dari τ A, yaitu rel;atif buka ke

A, bila dan hanya bila ada subset buka G dari X dan G∈ τ sedemikian hingga

H=G ∩ A

Contoh1.

Perhatikan topologi τ={X ,∅ , {a } , {c ,d } , {a , c , d } , {b , c ,d , e }} topologi pada

X={a ,b ,c , d , e } dan A={a , d , e }⊂X .

Perhatian bahwa

X ∩ A=A , {a } ∩ A= {a } . {a , c , d } ∩ A= {a , d } ,∅ ∩ A=∅ , {c ,d }∩ A={d } ,

{b , c ,d , e }∩ A={d ,e }.

Jadi relatifisasi τ terhadap A adalah

τ A={A ,∅ , {a } , {d } , {a , d }, {d , e }}

Contoh 2.

Perhatikan topologi biasa U pada R dan topologi relative τ A pada interval tutup

[3,8]. Interval tutup buka [3,5) adalah buka di dalam topologi relative pada A,

yaitu set buka dari τ A, karena

[ 3,5 )=(2,5)∩ A

Dengan (2,5) adalah subset buka τ pada R. jadi dapat kita lihat bahwa suatu set,

mungkin, relative buka terhadap suatu ruang bagian tetapiu set tersebut tidak buka

dan tidak tutup dalam ruang tersebut.

EKUIVALENSI DARI DEFINISI TOPOLOGI

Definisi dari ruang topologi memberikan aksioma untuk setiap set buka dalam

ruang topologi, dan kita gunakan set buka sebagai pengertian (ide) sederhana untuk

topologi. Teorema berikut menunjukkan alternative lain untuk definisi topologi pada

suatu set, dengan menggunakan pengertian sederhana dari “lingkungan dari suatu

titik” dan penutup suatu set”.

TEOREMA 11. Bila X adalah set tidak kosong dan untuk tiap p∈X , ѱ p kelas dari

subset-subset dari X memenuhi aksioma berikut:

[A1]. ѱ p tidak kosong dan p termasuk ke dalam anggota ѱ p.

[A2]. Irisan dari dua anggota ѱ p ternasuk dalam ѱ p.

[A3]. Setiap superset dari anggota ѱ p termasuk ѱ p.

[A4]. Setiap anggota N∈ѱ p adalah superset daria anggota G∈ Ap sedemikian hingga

G∈ѱ p untuk setiap g∈G .

Maka ada satu dan hanya ada satu topologi τ pada X sedemikian sehingga ѱ p

adalah sisitem lingkunmgan τ dari titik p∈X .

TEOREMA 12. Bila X adalah set tidak kosong, dan k adalah operasi yang

menghubungkan tiap subset A dari X dengan Ak dari X, yang memenuhi Aksioma

penutup Kuratowski berikut:

[k1]. ∅ k=∅

[k2] A⊂ Ak

[k3] ( A∪B )k=Ak∪Bk

[k4( A k )k=A k

Maka satu dan hanya satu topologi τ pada X sedemikian hingga Ak adalah penutup

subset A dari X.