BAB I PENDAHULUAN1.1 Latar Belakang

Di dalam berbagai permasalahan fisika, matematika memegang peranan yang sangat penting. Banyak permasalahan fisika yang harus diselesaikan dengan menggunakan model matematika. Salah satu model matematika yang cukup penting adalah persamaan differensial. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa) fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial seringkali muncul dalam permasalahan fisika yang mencoba menggambarkan keadaan kehidupan nyata. Banyak hukum-hukum alam dan hipotesa-hipotesa yang dapat diterjemahkan ke dalam persamaan yang mengandung persamaan diferensial. Sebagai contoh, turunan-turunan dalam fisika muncul sebagai kecepatan dan percepatan, dalam geometri sebagai kemiringan. Keadaan inilah yang merupakan persoalan pada banyak kasus fisika, sehingga untuk memperoleh suatu persamaan diferensial yang melukiskan suatu persoalan dalam kehidupan nyata, biasanya diambil permisalan bahwa keadaan sebenarnya diatur oleh hukum-hukum yang sangat sederhana yang biasanya sering dibuat permisalan yang ideal. Oleh karena itu,dalam menyelesaikan persamaan yaitu dengan mengetahui materi tentang persamaaan diferensial dan mengetahui contoh aplikasinya. 1.2 Rumusan MasalahBerdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam penulisan makalah ini adalah :1. Apa pengertian Persamaan Diferensial?2. Bagaiman contoh studi kasus dari Persamaan diferensial?3. Bagaiman aplikasi dari Persamaan diferensial?1.2 TujuanBerdasarkan rumusan masalah diatas, maka tujuan penulisan adalah :1. Untuk mengetahui pengertia persamaan diferensial2. Untuk mengetahui cara penghitungan dengan studi kasus persamaan diferensial3. Untuk mengetahui aplikasi dari persamaan diferensial1.3 ManfaatManfaat dari penulisanmakalah ini adalah pembaca dapat mengetahui tentang persamaan diferensial , studi kasus dan aplikasinya serta memahami cara menentukan persamaan diferensial.

BAB IIPEMBAHASAN

2.1 Pengertian Persamaan Diferensial Biasa Orde DuaPersamaan Diferensial Biasa Orde Dua dalam bab ini akan di tinjau PDM orde dua dengan koefisian konstan. PDB orde dua dengan koefisien konstan adalah persamaan diferensial yang memepunyai turunan (biasa) kedua sebagai turunan tertingginya dan koefisien konstan untuk fungdi yang terlibat dan juga turunanaya atau bentuk umumnya adalah

dimana a, b, dan c adalah konstanta-konstanta, dengan a 0 dan f(x) adalah suatu fungsi dari x yang diketahui.Berkaitan dengan fungsi f(x) yang berbeda pada ruas kanan persamaan diferensial di atas, PDB orde dua dapat dibedakan menjadi dua yaitu, PD homogeny orde dua (dalam hal f(x) = 0) dan PD tak homogeny orde dua (dalam hal f(x) 0). Pada bagian ini akan ditinjau persamaan diferensial biasa orde dua beserta penyelesaiaannya.2.2 Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua HomogenPandang kembali bentuk umum PDB orde dua , jika f(x) = 0, maka Pd diatas menjadi , yang dinamakan PD homogeny orde dua. Penyelesaian PD homogeny ini berbentuk , dengan A dan B adalah konstanta sembarang, sedangkan dan adalah akar-akar persamaan karakteristik , yang diperoleh dai PD homogeny yang bersangkutan dengan menuliskan untuk , m untuk dan 1 untuk y.Perhatikan bahwa bentuk penyelesaian persamaan diferensial homogeny orde dua bergantung pada jenis-jenis akar persamaan karakteristik am2 + bm + c = 0 yaitu1. Jika akar-akarnya berupa akar real berlainan, misalkan m = m1 dan m = m2, maka penyelesian umum PD homogeny ini adalah 2. Jika akar-akarnya berupa akar real yang sama, misalkan m = m1 dan m = m1, maka penyelesian umum PD homogeny ini adalah 3. Jika akar-akarnya berupa akar-akar kompleks, misalkan m = i, maka penyelesian umum PD homogeny ini adalah , dengan A dan B kontanta-konstanta sembarang.Studi kasus persamaan diferensial biasa orde dua homogeny dan Pembahasan1. Kasus 1 (Dua akar yg sama) : Diberikan PD orde dua , maka persamaan karakteristik dnegan PD ini adalah m2 6m 9 = 0(m 3) (m 3) = 0m = 3 & m = 3yaitu diperoleh akar-akar real yang sama. Penyelesaian : y = Ae3x + Be3xSehingga penyelesaian umumnya menjadi y = e3x (A + BX), dengan A dan b konstanta-konstanta sembarang.2. Kasus II ( Dua akar yang berbeda)Diberikan PD orde dua , maka persamaan karakteristik dnegan PD ini adalah m2 3m 10 = 0(m 2) (m + 5) = 0m 2 = 0 atau m + 5 = 0m = 2 atau m = -5 yaitu diperoleh akar-akar real yang berbeda. Dengan demikian akar-akar persamaan karakteristik ini adalah m1 = 2 dan m2 = - 5. Akibatnya penyelesaian umum dari PD adalah , dengan A dan B kontanta-konstanta sembarang.

3. Kasus III ( Dua Akar kompleks)Diberikan PD , maka persamaan karakteristik yang berpadanan dengan Pd ini adalah m2 2m + 2 = 0. Perhataikan bahwa diskriminan persamaan ini adalah D = B2 4ac = (-2)2 4.1.2 = 4 8 = - 4 < 0, bernilai negative. Sehingga akar-akar persaman ini merupakan akar-akar kompleks yaitu :

Dengan demikian penyelesaian umum dari persamaan diferensial homogeny orde dua ini adalah y = ex ( A cos x + B sin x), dengan A dan B kontanta-konstanta sembarang.

2.3Aplikasi Penggunaan Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

Tinjau rangkaian listrik pada gambar di bawah ini dengan sebuah resistor, induktor dan capasitor.

Hukum kirchhoff dalam muatan Q (Coulomb)

..(1)

Arus diukur dalam Amper , dan per(1) di

Deferensialkan terhadap t yaitu:

Contoh :Tentukan muatan Q dan arus I sebagai fungsi-fungsi dari waktu t di dalam sebuah rangkaian RLC jika R=16 , L = 0,02 H, C = 2 x 10-4 F dan E = 12 V. Asumsikan Q =0 dan I = 0 di t=0 (ketika saklar tertutup)Peny:Berdasarkan hukum kirchhoff dalam rumus (1)2pers pelengkap

maka:

solusi khusus dari persamaan tak homogen

maka :

Solusi umumnya :

Syarat awal Q=0 dan I=0 pada saat t=0 maka : C1= -2,4x10-3 I = dQ/dt C2= -3,2x10-3 maka:

I=dQ/dt maka :

BAB IIIKESIMPULAN3.1 Kesimpulan3.1 Bentuk umum PDB homogeny orde dua , dengan f(x) = 0.3.2 Jika akar-akarnya berupa akar real berlainan, misalkan m = m1 dan m = m2, maka penyelesian umum PD homogeny ini adalah 3.3Jika akar-akarnya berupa akar real yang sama, misalkan m = m1 dan m = m1, maka penyelesian umum PD homogeny ini adalah 3.4 Jika akar-akarnya berupa akar-akar kompleks, misalkan m = i, maka penyelesian umum PD homogeny ini adalah , dengan A dan B kontanta-konstanta sembarang.

6