makalah kimia kuantum kelompok 4

8/20/2019 Makalah Kimia Kuantum Kelompok 4

1/21

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang.

Suatu operator adalah sebuah aturan perubahan suatu fungsi menjadifungsiyang lain. Contoh operator antara lain: d=dx, 5_, dll. Operator dalam kimiakuantum harus bersifat linier. isalkan operator tersebut adalah !", maka syaratsifat operator linier adalah !" #f#x$ % g#x$$ = !"f#x$ % !"g#x$, dan !"#af#x$$ = a#!" f#x$$.&ita de_nisikan jumlah dan selisih dua operator, yaitu: # ! ' % !($f#x$ =! 'f#x$ % !( f#x$. Sedangkan perkalian operator dide_nisikan sebagai berikut:# ! '!($f#x$ = ! '#!(f#x$$. )ada umumnya, operator tidak bersifat komutatif terhadap perkalian, artinya ! '!( *= !('!. +ntuk sifat ini, dide_nisikanoperatorkomutator, yaitu h

! ' !(i= ! '!( !( '! #-.$

/ika komutator bernilai nol, maka ! ' dan !( dikatakan 0komut0 #1ommute$.Suatu operator adalah sebuah aturan perubahan suatu fungsi menjadi fungsiyang lain. Contoh operator antara lain: d=dx, 5_, dll. Operator dalam kimiakuantum harus bersifat linier. isalkan operator tersebut adalah !", makasyarat sifat operator linier adalah !" #f#x$ % g#x$$ = !"f#x$ % !"g#x$, dan!"#af#x$$ = a#!" f#x$$.&ita de_nisikan jumlah dan selisih dua operator, yaitu: # ! ' % !($f#x$ =

! 'f#x$ % !( f#x$. Sedangkan perkalian operator dide_nisikan sebagai berikut:# ! '!($f#x$ = ! '#!(f#x$$. )ada umumnya, operator tidak bersifat komutatif terhadap perkalian, artinya ! '!( *= !('!. +ntuk sifat ini, dide_nisikanoperatorkomutator, yaitu h! ' !(i= ! '!( !( '! #-.$

/ika komutator bernilai nol, maka ! ' dan !( dikatakan 0komut0

#1ommute$.Persamaan Schrődinger untuk atom yang hanya mempunyai satu elektron dapat

kita selesaikan secara pasti, tetapi tidak demikian halnya untuk atom yang berelektron banyak

dan juga molekul, karena dalam kedua sistem yang terakhir terjadi repulsi antara satu elektron

dengan elektron lain. Untuk itu, kita butuh metode lain untuk menyelesaikan persamaan

Schrodinger untuk atom berelektron banyak dan molekul. Ada dua metode yang akan kita

bicarakan, yaitu metode variasi dan teori perturbasi. Untuk dapat memahami kedua metode

tersebut kita harus mengembangkan lebih lanjut pemahaman kita terhadap mekanika kuantum,

yang secara garis besar telah kita pelajari. Jadi target bab ini adalah membahas secara lebih

mendalam mengenai teorema mekanika kuantum.

1


2/21

Sebelum mulai, marilah kita mengenal beberapa notasi integral yang akan

dipergunakan. e!init integral seluruh ruang atas operator sembarang yang terletak di antara

dua buah !ungsi yaitu f m dan f n biasanya ditulis"

∫ n

#

A f f m dτ $nA f f

m $ ( )nA f f m $nm A

%1&1' (otasi %1&1' di atas diperkenalkan oleh irac, dan disebut notasi kurung . )entuk integral di

atas juga sering ditulis"

∫ n#

A f f m dτ $ Am n %1&*'

(otasi untuk integral seluruh ruang atas dua buah !ungsi fm dan fn ditulis"

∫ nm f f # dτ $ nm f f $ ( )nm f f $ m n %1&+'

arena [ ]##

∫ f f nm $ ∫ nm f f #

dτ, maka"m n # $ m n %1&-'

dan dalam kasus khusus yaitu fm $ fn maka %1&-' dapat ditulis " m m # $ m m .

al&hal lain yang perlu diingat adalah"

1' ∫ nm f f # dτ $ 1 jika fm $ fn dan !ungsinya disebut ternormalisasi. %1&/'

∫ nm f f # dτ $ 0 jika fm ≠ fn dan !ungsinya disebut ortogonal %1&'

2atatan"∫ nm f f # dτ juga boleh ditulis δm n %ronikle elta' yang harganya $ 0 jika fm ≠ fn dan

berharga 1 jika fm $ f n

*' Jika " A Ψ $ a Ψ dengan a bilangan konstan, maka Ψ disebut !ungsi eigen sedang a

disebut nilai eigen atau" jika Ψ adalah !ungsi eigen terhadap operator A , maka berlaku

hubungan" A Ψ $ a Ψ dengan a adalah nilai eigen. %1&3'

1.*. 4ujuan "

• Untuk memahami apa itu operator serta macam&macam nya dan persamaan nya.

• Untuk mengetahui penggunaan operator.

1.+. 5an!aat "

• 5ampu memahami apa itu operator serta macam&macam nya dan persamaan nya.

• 5ampu mengetahui penggunaan operator.

*

dτ


3/21

1.-. 6umusan 5asalah "

• Apa itu operator7

• )agaimana penggunaan persamaan operator7

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. Operator Hermit

Untuk memahami operator ini, kita harus mengingat kembali pengertian operator linear

dan pengertian nilai rata&rata. 8perator linear adalah operator yang me9akili besaran !isik,

misal operator energi, operator energi kinetik, operator momentum angular dan lain&lain.

Selanjutnya telah kita ketahui pula bah9a jika A adalah operator linear yang me9akili besaran !isik A, maka nilai rata&rata A dinyatakan dengan"

A $ ∫ ΨΨ # A dτ

dengan Ψ adalah !ungsi keadaan sistem. arena nilai rata&rata selalu merupakan bilangan real,

maka" A $ A #

atau" ∫ ΨΨ # A dτ $ ( )∫ ΨΨ # A

dτ

Persamaan %1&:' harus berlaku bagi setiap !ungsi Ψ yang me9akili keadaan tertentu suatusistem atau persamaan %1&:' harus berlaku bagi setiap !ungsi berkelakuan baik (well behaved

+


4/21

function). 8perator linear yang memenuhi persamaan %1&:' itulah yang disebut operator

ermit.

)eberapa buku teks menulis operator ermit sebagai operator yang mengikuti persamaan"

∫ g A f #

dτ $ ∫ #

'A% f g dτuntuk !ungsi f dan g yang berkelakuan baik. Perlu dicatat secara khusus bah9a pada ruas kiri

persamaan %1&10', operator A bekerja pada !ungsi g sedang di ruas kanan, operator bekerja

pada !ungsi f . alam kasus khusus yaitu jika f $ g maka bentuk %1&10' akan tereduksi menjadi

bentuk %1&:'.

-


5/21

eorema !ang ber"ubungan #engan Operator Hermit

Ada beberapa teorema penting sehubungan dengan operator ermit, yaitu"

eorema 1$ (ilai eigen untuk operator ermit pasti merupakan bilangan real.

eorema 2$ ua buah !ungsi Ψ1 dan Ψ* berhubungan dengan operator ermit A dan baik Ψ1

maupun Ψ* adalah !ungsi eigen terhadap operator A dengan nilai eigen yang

berbeda, maka Ψ1 dan Ψ* adalah ortogonal. Jika kedua !ungsi tersebut mempunyai

nilai eigen yang sama atau degenerate %jadi tidak ortogonal', maka selalu ada cara

agar dijadikan ortogonal.

• Apaka" Degenerate itu %4elah disinggung di atas bah9a jika dua atau lebih !ungsi eigen yang independen

mempunyai nilai eigen sama, maka kasus seperti itu disebut degenerate. Untuk lebih

memahami masalah degenerate ini, marilah kita ingat kembali !ungsi gelombang partikel dalam

kotak yang telah kita pelajari. ;ungsi gelombang partikel dalam kotak + dimensi dinyatakan

sebagai"

Ψ $ Ψ< >y >=

n

><

<

. .sin

?

π < sin

*n

>y

yπ y sin

*n

>y

yπ y

Jika operator ermit, misal operator amilton dikenakan pada !ungsi gelombang tersebut

maka nilai eigennya adalah energi yang besarnya"

B $ B

n

>

n

>

<

<

y

y

=

=

* *

*

*

*

*

*A C C

Jika kotaknya kubus dengan rusuk >"

/


6/21

B $h

m

n

>

< y =* * * *

*

C n C n

Jika kotaknya berbentuk kubus, maka menurut %1&1:' harga nilai eigen B1&1&* $ B1&*&1 $ B*&1&1 $

h

m >

*

*

meskipun eigen f unction&nya Ψ1&1&* ≠ Ψ1&*&1 ≠ Ψ*&1&1

• &onto"" Jika !ungsi φ adalah kombinasi linear dari Ψ1&1&*, Ψ1&*&1 dan Ψ*&1&1 yang

dinyatakan dalam bentuk" φ $ c1 Ψ1&1&* C c* Ψ1&*&1 C Ψ*&1&1

arena Ψ1&1&*, Ψ1&*&1 dan Ψ*&1&1 adalah degenerate, maka φ pasti merupakan !ungsi eigen yang

nilai eigennya sama dengan nilai eigen !ungsi&!ungsi penyusunnya.

Dang harus diingat adalah bah9a jika φ adalah kombinasi linear dari Ψ1&1&* dan Ψ1&+&1

sehingga dapat ditulis" φ $ c1 Ψ1&1&* C c* Ψ1&+&1

maka φ bukan !ungsi eigen karena nilai eigen Ψ1&1&* dan c* Ψ1&+&1 pasti tidak sama.

6elasi %1&*0' disebut degenerasi karena !ungsi eigen penyusunnya degenerate sedang bukan

degenerasi. Jika kepada kita ditanyakan berapa energi φ pada %1&*0' maka ja9abnya adalah B $

h

m >

*

*

.

• Ortogonali'a'i

5isal kita mempunyai dua buah !ungsi eigen yang degenerate, jadi nilai eigennya sama

maka menurut teorema * kedua !ungsi tersebut tidak ortogonal. Pertanyaannya adalah

dapatkah kita membuatnya menjadi ortogonal7 Ja9abnya adalah, dapat.

Sekarang kita akan menunjukkan bah9a dalam kasus degenerasi %yang !ungsi&!ungsinya

tidak ortogonal', dapat kita buat menjadi ortogonal. ita misalkan kita mempunyai operator

ermit A dan dua buah !ungsi eigen independen yaitu !ungsi f dan !ungsi E yang mempunyai

nilai eigen yang sama yaitu s, maka berarti"

A f $ s f @ A E $ s E

arena nilai eigen keduanya sama, maka f dan E pasti tidak ortogonal. Agar diperoleh dua

!ungsi baru yang ortogonal, ditempuh langkah sebagai berikut"

ita buat !ungsi eigen baru yaitu g1 dan g* yang merupakan kombinasi linear f dan E

sehingga membentuk misalnya"


7/21

g1 $ f dan g* $ E C c f dengan c adalah konstanta.

ita harus menentukan harga c tertentu agar g1 dan g* ortogonal. Agar ortogonal harus

dipenuhi syarat"

∫ *

#

1 g g dτ $ 0 atau"

∫ 'cC%# fG f dτ$ 0 atau "

∫ G f # dτ C ∫ f f * c dτ $ 0 atau "

∫ G f # dτ C c ∫ f f * dτ $ 0

Jadi agar g1 dan g* ortogonal, maka harga c harus"

c $ −

∫

∫

#

#

f f

G f

Sekarang kita telah mempunyai dua !ungsi ortogonal yaitu g1 dan g* yaitu"

g1 $ f dan g* $ E C c f dengan c $ − ∫ ∫

#

#

f f

G f

Prosedur yang telah kita tempuh ini disebut Ortogonalisasi Schmidt.

2.2 Ek'pan'i Sembarang (ung'i Men)a#i *ombina'i Linear (ung'i Eigen

Jika kombinasi linear !ungsi eigen itu adalah a1Ψ1 C a*Ψ* C a+Ψ+..... C anΨn, atau agar

lebih singkat kita tulis saja dengan bentuk an nΨ1

F

∑ , maka ekspansi !ungsi yang dimaksud

adalah"

;%


8/21

;ungsi gelombang partikel dalam kotak satu dimensi dengan panjang kotak $ a adalah"

Ψn $*

1 *

a

n

a

?

sin π

<

Jadi bentuk ekspansinya menurut "

;%


9/21

himpunan lengkap saja yang dapat digunakan untuk mengekspansi !ungsi ;. Selanjutnya

mengenai himpunan lengkap, dibuat de!inisi sebagai berikut"

impunan !ungsi Ψ dapat disebut sebagai impunan !engkap jikahimpunan !ungsi tersebut dapat digunakan untuk mengekspansi sembarang

!ungsi ; menjadi kombinasi linear dengan mengikuti persamaan ;%


10/21

Jika !ungsi Ψ secara simultan adalah !ungsi eigen dari dua buah operator A dan "

dengan nilai eigen a j dan b j, maka pengukuran properti A menghasilkan a j dan pengukuran )

menghasilkan b j. Jadi kedua properti A dan ) mempunyai nilai de!init jika ψ merupakan !ungsi

eigen baik terhadap A maupun " .Pada bab I sub bab /.1 kita telah menyatakan bah9a suatu !ungsi adalah eigen

terhadap A dan " jika kedua operator tersebut commute atau"

A ψ ι $ ai ψ ι dan " ψ ι $ bi ψ ι Jika "

A , " K $ 0

Sekarang pernyataan pada bab I tersebut akan kita buktikan. Dang harus kita buktikan adalah"

A , " K $ 0

ita tahu" A , " K $ A " − " A

Jika dioperasikan pada ψ i "

A , " Kψ i $ A " ψ i − " A ψ i

$ A % " ψ i ' − " % A ψ i '

$ A bi ψ ι − " ai ψ i

$ bi A ψ ι − ai " ψ i

$ bi ai ψ ι − ai bi ψ i

A , " K $ bi ai − ai bi $ 0 %terbukti'

Pembuktian di atas adalah pembuktian untuk teorema - yang bunyinya"

eorema 0$ Jika 8perator linear A dan " mempunyai himpunan !ungsi eigen yang sama

maka A dan " adalah commute.

Perlu diingat A dan " yang dimaksud oleh teorema - hanya A dan " yang

masing&masing merupakan operator linear. Jika A dan " bukan operator linear makakeduanya bisa tidak commute meskipun seandainya keduanya mempunyai !ungsi eigen yang

sama. Sebagai contoh ψ %θ,φ' yang kita bahas di bab I, adalah !ungsi eigen dari operator # !

dan operator $ ! tetapi kedua operator tersebut non commute.

eorema $ Jika operator ermite A dan " adalah commute, maka kita dapat memilih

himpunan lengkap !ungsi eigen untuk kedua operator itu.

Pembuktiannya adalah sebagai berikut"

10


11/21

Anggap saja !ungsi g i adalah !ungsi eigen dari operator A dengan nilai eigen a i maka

kita dapat menulis"

A gi $ ai gi

Jika operator " dioperasikan pada kedua ruas %1&+' di atas, maka" " % A gi ' $ " %ai gi '

arena A dan " commute dan karena " linear maka"

A % " g i' $ ai % " g i'

Persamaan %1&+' di atas menyatakan bah9a !ungsi " g i adalah !ungsi eigen terhadap

operator A dengan nilai eigen a i , persis sama dengan !ungsi g i yang juga !ungsi eigen

terhadap operator A dengan nilai eigen a i . 5arilah kita untuk sementara menganggap bah9a

nilai eigen dari operator A tersebut non degenerate, hingga untuk sembarang harga nilai eigena i yang diberikan berasal dari satu dan hanya satu !ungsi eigen yang linearly independent. Jika

ini benar, maka kedua !ungsi eigen g i dan " g i yang mempunyai nilai eigen sama yaitu a i

harus linearly dependent, yaitu, !ungsi yang satu harus merupakan kelipatan sederhana dari

yang lain,

" g i $ k i g i

dengan k i adalah konstan. Persamaan %1&+:' itu menyatakan bah9a !ungsi g i merupakan

!ungsi eigen dari operator " sebagaimana yang hendak kita buktikan.Jadi, jika A dan " commute dan !ungsi g i adalah !ungsi eigen terhadap A maka g i

juga merupakan !ungsi eigen dari " %Jadi 4eorema / adalah kebalikan dari 4eorema -'

eorema $ Jika g i dan g j adalah !ungsi eigen dari operator ermite A dengan nilai eigen

berbeda %misal A g i $ a i g i dan A g j $ a jg j dengan a i ≠ a j', dan jika " adalahoperator linear yang commute terhadap A , maka"

G g j " g i L $ 0 atau ∫ −r s

% " g ig dτ $ 0

dengan s&r adalah seluruh ruang. Pembuktiannya adalah sebagai berikut"

arena A dan " commute, maka !ungsi eigen terhadap A adalah juga !ungsi eigen

terhadap " , meski dengan nilai eigen berbeda. Jadi gi juga !ungsi eigen terhadap " , yang jika

nilai eigennya dimisalkan k i maka"

" gi $ k i gi

dengan demikian %1&-0' boleh ditulis"

∫ − r s ii j gk g dτ $ ∫ −r s i ji g gk $ ik . 0 $ 0 %terbukti'

11


12/21

2.. Parita'

Ada operator mekanika kuantum yang tidak dikenal dalam mekanika klasik, contohnyaadalah operator paritas. 5arilah kita ingat kembali bah9a dalam osilator harmonis, kita

mengenal adanya !ungsi genap dan ganjil. Akan kita lihat bagaimana si!at ini dikaitkan dengan

operator paritas.

8perator paritas, ∏ dapat dilihat dari e!eknya apabila ia bekerja pada sembarang

!ungsi. 8perator ini akan mengubah tanda semua koordinat 2artessius, sehingga kita boleh

mende!inisikan" ∏ f %


13/21

Jika energi level degenerate, berarti tidak cuma satu !ungsi gelombang independen yang

memiliki nilai eigen tersebut. engan demikian kita memiliki banyak sekali pilihan !ungsi

gelombang sebagai akibat dari kombinasi linear dari !ungsi&!ungsi degenerasi itu.

eorema 4$ Jika a i adalah nilai eigen non degenerate dari operator dan g i adalah !ungsieigen ternormalisasi % g i $ a i g i' maka, manakala besaran A diukur dalam

sistem mekanika kuantum yang !ungsi statenya pada 9aktu diadakan pengukuran

adalah Ψ, probabilitas mendapatkan hasil a i adalah c i*, dengan ci adalah

koe!isien g i pada ekspansi Ψ $ Σi c i g i . Jika nilai eigen a i degenerate,

probabilitas mendapatkan a i pada saat A diukur adalah jumlah dari c i* !ungsi&

!ungsi eigen yang nilai eigennya a i .

eorema 5$ Jika besaran ) diukur dalam sistem mekanika kuantum yang !ungsi statenya pada

saat pengukuran adalah Ψ, maka probabilitas dari pengamatan nilai eigen a j dari

operator adalah Gg jΨ >2, dengan g j adalah !ungsi eigen ternormalisasi yang

mempunyai nilai eigen a j.

Qntegral Gg jΨ > = 2g# jΨdτ akan mempunyai nilai absolut substansial jika !ungsi

ternormalisasi g j dan ψ berada pada daerah yang saling berdekatan dan dengan demikian

harganya di daerah tertentu dalam ruangan hampir sama. Jika tidak demikian maka bisa terjadi

g j terlalu besar sedang Ψ terlalu kecil %atau sebaliknya' sehingga hasil kali g j .Ψ selalu terlalu

kecil. Akibatnya absolut kuadratnya juga terlalu kecil sehingga probabilitas untuk mendapatkan

nilai eigen a i juga sangat kecil.

&onto"$ ilakukan pengukuran terhadap >= elektron atom hidrogen yang !ungsinya pada saat

diadakan pengukuran adalah !ungsi *p


14/21

Persamaan diatas adalah bentuk ekspansi Ψ*p


15/21

Po'tulat I8. Jika adalah operator ermite linear yang me9akili besaran f isik teramati

tertentu, maka !ungsi g i dari operator membentuk himpunan lengkap.

&atatan$

Postulat QI di atas lebih bersi!at sebagai postulat matematik artinya kurang bersi!at

postulat f isik, karena tidak ada pembuktian matematik sama sekali terhadap postulat ini.

arena tidak ada pembuktian matematik terhadap kelengkapan himpunan, maka kita harus

berasumsi terhadap kelengkapannya. Postulat QI mengijinkan kita untuk mengekspansi !ungsi

gelombang untuk sembarang keadaan sebagai superposisi dari !ungsi&!ungsi eigen ortonormal

dari sembarang operator mekanika kuantum. Bkspansinya adalah dalam bentuk"

Ψ $ Σi c i g i %1&30'

Po'tulat 8. Jika Ψ%R,t' adalah !ungsi ternormalisasi yang me9akili suatu sistem pada saat

t, maka nilai rata&rata besaran f isik A pada saat t, adalah"

G A L $ 2Ψ# Ψ dτ %1&31'

Po'tulat 8I. eadaan bergantung 9aktu dalam sistem mekanika kuantum dinyatakan

dengan menggunakan persamaan Schrodinger bergantung 9aktu"

ti ∂Ψ∂

−

$ HΨ %1&3*'

dengan H adalah operator amilton %Bnergi' sistem itu

2.3. Pengukuran #an Interpreta'i Mekanika *uantum

alam mekanika kuantum perubahan suatu sistem terjadi melalui dua macam cara.

Dang pertama perubahan yang terjadi secara berangsur&angsur dari 9aktu ke 9aktu

%reversibel'. Perubahan jenis ini ditunjukkan oleh persamaan Schrodinger bergantung 9aktu %1&

3*'. 2ara kedua adalah perubahan yang terjadi secara spontan %irreversibel', diskontinyu %tidak

terus menerus' dan probabilitas kejadiannya sangat !luktuati! dan ditentukan oleh sistem itu

sendiri. Jenis perubahan spontan ini tidak dapat diprediksi secara pasti karena hasil pengukurannya juga tidak dapat diprediksi secara pasti@ hanya probabilitas kejadiannya saja

1/


16/21

yang dapat diprediksi. Perubahan spontan dalam Ψ disebabkan oleh pengukuran yang disebut

re#uk'i ung'i gelombang.

)agi sebagian besar f isika9an, problema untuk mendapatkan teori mekanika kuantum

yang berhubungan dengan pengukuran masih merupakan suatu persoalan yang belum ada penyelesaiannya. Adanya perbedaan pendapat.... ketidakpastian dalam pengukuran kuantum...

dan lain&lain.... semua itu mere!leksikan adanya ketaksepahaman dalam menginterpretasi

mekanika kuantum secara global %5. Jammer, ''

Si!at probabilistik dalam mekanika kuantum telah membuat para f isika9an bingung,

termasuk di antaranya Binstein, de )roglie dan Schrodinger. Sampai&sampai mereka

menyatakan bah9a mekanika kuantum belum memberikan deskripsi $ang memuaskan bagi

realitas f isik. Selanjutnya, hukum probabilistik mekanika kuantum, secara sederhana dapatdipandang sebagai re!leksi dari hukum deterministik yang beroperasi pada level sub mekanika

kuantum dan yang melibatkan variabel tersembunyi %hidden variables). Sebuah analogi bagi

kasus ini diberikan oleh f isika9an )ohm, yaitu kasus gerak )ro9n partikel debu di udara.

Partikel&partikel bergerak di ba9ah kondisi !luktuasi random, sehingga posisi dan geraknya

tidak dapat ditentukan secara pasti oleh posisi dan kecepatannya. Secara analogis pula, gerak

elektron dapat ditentukan oleh variabel tersembunyi yang ada dalam level sub mekanika

kuantum. Qnterpretasi ortodok %sering disebut interpretasi 2openhagen' yang dikembangkanoleh eissenberg dan )ohr, mena!ikan adanya variabel tersembunyi dan menyatakan bah9a

hukum mekanika kuantum memberikan deskripsi lengkap bagi realitas f isik.

Pada tahun 1:- J.S. )ell membuktikan bah9a dalam eksperimen tertentu yang

melibatkan dua partikel yang terpisah jauh, yang pada a9alnya berada pada daerah yang sama

dalam ruangan, orang harus membuat beberapa kemungkinan teori variabel tersembunyi untuk

memprediksi adanya perbedaan dengan yang dilakukan oleh mekanika kuantum. alam teori

lokal, dua partikel yang sangat berjauhan akan saling independen. asil beberapa eksperimen

sesuai dengan prediksi mekanika kuantum, dan hal ini memperkuat keyakinan mekanika

kuantum untuk mela9an teori variabel tersembunyi lokal.

2.4. Matrik #an Mekanika *uantum

Aljabar 5atrik merupakan peralatan yang sangat penting dalam kalkulasi mekanika

kuantum modern. 5atrik juga menjadi salah satu cara dalam mem!ormulasikan beberapa teori

1


17/21

mekanika kuantum. Sub bab ini akan merevie9 ingatan kita tentang matrik dan hubungannya

dengan mekanika kuantum.

5atrik adalah penataan bilangan&bilangan dalam baris dan kolom. )ilangan&bilangan

yang menyusun matrik disebut elemen matrik. Seandainya matrik A terdiri atas m baris dan nkolom, dan seandainya aij % i $ 1, *, +,...... m sedang j $ 1, *, +,.....n' adalah pernyataan untuk

elemen baris i kolom j, maka"

A $

mv

n*

n1

*m

**

1*

1m

*1

11

a

.....

a

a

.....

.....

.....

.....

a

.....

a

a

a

.....

a

a

A disebut matrik m < n. Jangan bingung antara matrik dengan determinan, 5atrik tidak harus

bujur sangkar dan tidak sama dengan sebuah bilangan tunggal. Jika sebuah matrik hanya terdiri

atas sebuah baris saja, maka matrik itu disebut matrik baris atau matrik vektor. Sedang jika

sebuah matrik hanya terdiri atas sebuah kolom saja, maka matrik itu disebut matrik kolom.

ua buah matrik A dan B adalah sama jika jumlah baris dan kolomnya sama serta

elemen&elemen yang seletak nilainya sama.

ua buah matrik dapat dijumlahkan jika kedua matrik itu berdimensi sama.

Penjumlahan dilakukan dengan menggabungkan elemen yang seletak. Jika matrik & $ A C B

maka elemen cij $ aijCbij dengan i $ 1, *, +.... m dan j $ 1, *, +,.... n atau"

Jika & $ A C B maka cij $ aij C bij %1&3+'

Jika sebuah matrik dikalikan dengan sebuah bilangan k yang konstan maka dihasilkan matrik

baru yang elemen&elemen adalah k kali elemen matrik semula, jadi"

& $ k A maka cij $ kaij

Jika Am 9 n sedang Bn 9 p/ maka perkalian matrik & : A 9 B adalah matrik berdimensi m <

p

Sebagai contoh"

A :

−

1*?1

-+

0 1

B $

−

−− 10 *

+/ 0

A* 1

Jika & $ A < ), maka dimensi matrik 2 adalah * < +, yaitu"

& $

+-

*/

*+

*

11

0

1

13


18/21

Perkalian antar matrik bersi!at non commutati!, artinya AB dan BA tidak harus sama. bahkan

untuk contoh kita di atas BA tak terde!inisi.

5atrik yang jumlah baris dan kolomnya sama disebut matrik sRuare atau matrik bujur

sangkar. 5atrik bujur sangkar disebut matrik diagonal jika selain elemen diagonal utama, nilaielemen lain adalah nol. an matrik diagonal yang elemen diagonal utamanya 1, disebut matrik

satuan. 2ontoh matrik satuan orde +"

100

010

001

Hubungan matrik #engan Mekanika kuantum

Pada sub bab 1.1, kita telah menjumpai bentuk 2 f i# f j dτ yang juga boleh ditulis G

f i# f jL. )entuk integral tersebut dalam bahasa matrik adalah elemen ij dari matrik A, oleh

karena itu ia juga boleh ditulis Aij. Jadi jika kita mempunyai matrik A berikut"

A $

.....

.....

.....

.....

.....

.....

A

A

.....

.....

A

A

**

1*

*1

11

maka elemen&elemen"

A11 $ G f 1# f 1L @ A1* $ G f 1# f *L

A*1 $ G f *# f 1L @ A** $ G f *# f *L dan seterusnya

5atrik tersebut di atas disebut matrik representati! dari operator linear dengan basis M f iN.

arena pada umumnya M f i N terdiri atas !ungsi&!ungsi yang banyaknya tak terhingga maka

matrik order A adalah tak terhingga.

Satu hal yang sangat mendasar dari hubungan antara matrik dengan operator mekanika

kuantum adalah jika kita memahami matrik representati! A berarti kita juga mengenal

operator

2.5. (ung'i Eigen Untuk Operator Po'i'i

ita telah menurunkan !ungsi eigen untuk operator momentum linear dan momentum

angular. Pertanyaan kita sekarang adalah, bagaimana !ungsi eigen untuk operator posisi 7

8perator posisi ditulis # yang operasinya adalah < kali atau # $


19/21

Jika !ungsi eigen posisi kita misalkan g% c' G Ψ+1 1 C Ψ3 1 −1 >

adalah operator >=, G adalah operator momentum angular >* dan C adalah operator

amilton.

3. Jika ;%


20/21

c' probabilitas mendapatkan B1, B* dan B+

. Jika ∏ adalah operator paritas, tentukan * ∏ jika n bilangan ganjil positi! 7

)agaimana pula jika n genap positi! 7 %(ote" 4erapkan ∏ pada sembarang f %


21/21

4entukan"

a' AB b' BA c' A C B d' +A e' A C -B

$$$000$$$

makalah kimia kuantum kelompok 4

Documents