INTEGRAL RIEMANN

Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata

Kuliah Analisis Real

Disusun Oleh:

SOPWATILLAH

3136149169

PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA

2014

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam Matematika banyak sekali dikenal cabang ilmu. Salah satu

cabangnya adalah Analisis Real. Analisis sendiri merupakan proses mengurai

sesuatu hal menjadi berbagai unsur yang terpisah untuk memahami sifat, hu-

bungan, dan peranan masing-masing unsur. Analisis secara umum sering juga

disebut dengan pembagian. Dalam logika, analisis atau pembagian berarti

pemecah-belahan atau penguraian secara jelas berbeda ke bagian-bagian dari

suatu keseluruhan.

Selain Analisis dalam Matematika kita juga mengenal ilmu Kalkulus

yang merupakan ilmu dasar Matematika. Kalkulus (dari Bahasa Latin calcu-

lus yang artinya ”batu kecil”) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup

limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus mempunyai aplika-

si yang luas dalam bidang sains dan teknik. Kalkulus memiliki dua cabang

utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan me-

lalui teorema dasar kalkulus. Pada periode zaman kuno beberapa pemikiran

tentang integral kalkulus telah muncul, namun tidak dikembangkan dengan

baik dan sistematis(Cennapedia;2000:1). Perhitungan volume dan luas yang

merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada

Papirus Moskow Mesir (1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume

dari frustrum piramid.

1

Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptak-

an heuristik yang enyerupai kalkulus integral. Sekitar tahun 1000, matemati-

kawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunk-

an rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan

induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan

rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap per-

kembangan kalkulus integral.

Teorema fundamental kalkulus menyatakan bahwa turunan dan in-

tegral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema

ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena

lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada mengaplikasikan defi-

nisi dari integral, teorema fundamental kalkulus memberikan cara yang praktis

dalam menghitung integral tertentu. Teorema fundamental kalkulus menya-

takan: Jika sebuah fungsi f adalah kontiniu pada interval [a, b] dan jika F

adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a, b), maka∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a)

Dalam perkembangannya Kalkulus mengalami perkembangan yang

sangat pesat. Demikian juga dengan Integral mengalami perkembangan yang

cukup signifikan dengan sumbangan pemikiran dari tokoh-tokoh matemati-

ka. Sir Isac Newton adalah orang yang mempunyai kontribusi besar dalam

Kalkulus. Begitu juga Leibniz. Hanya saja Newton memulai dari Turunan

sedangkan Leibniz sebaliknya. Ia lah yang pertama kali mencetuskan notasi

Integral yang dipakai hingga sekarang.

Kalkulus dikembangkan lebih lanjut oleh Jacob dan Johann Bernoulli

disusul oleh LHopital sehingga makin lengkap. Suatu definisi integral mate-

matika juga diberikan oleh Bernhard Riemann. Yang didasarkan pada suatu

2

prosedur pembatasan yang mendekati area suatu daerah kurva linier dengan

patahan daerah ke dalam papan-papan vertikal.

Integral Riemann merupakan salah satu materi dalam mata kuliah

Analisis Real. Pada buku Introduction to Real Analysis (Bartle dan Sherbert,

Third Edition) materi Integral Riemann diuraikan pada Bab 7 yang terbagi

dalam 4 bagian pembahasan. Pada bagian 7.1, pembahasan Integral Riemann

mengenai pendefinisian fungsi pada satu interval tutup di R menggunakan

jumlah Riemann. Bagian 7.2, dibahas mengenai pengintegralan Riemann dari

beberapa pengklasifikasian penting dari fungsi: fungsi tangga, fungsi kontinu

dan fungsi monoton, meskipun ditemukan terdapat fungsi yang tidak dapat

diselesaikan dengan Integral Riemann. Kemudian pada bagian 7.3 dibahas

mengenai teorema fundamental Kalkulus. Dalam penggunaan integral Rie-

mann, teorema fundamental ini menghasilkan metode efektif dari perhitungan

integral∫ baf yang diberikan, sehingga diperoleh suatu antiderivative F sede-

mikian sehingga F ′(x) = f(x) untuk semua x ∈ [a, b]. Ketika kita tidak dapat

menemukan antiderivative-nya maka kita tidak mungkin dapat menggunakan

teorema fundamental. Meskipun demikian ketika f kontinu, terdapat bebe-

rapa teknik pendekatan Integral Riemann∫ baf dengan menggunakan jumlah

yang serupa dengan jumlah Riemann.Pada makalah ini, secara khusus dibahas

mengenai Jumlah Riemann atas dan jumlah Riemann bawah.

1.2 Tujuan Penulisan

Berdasarkan uraian pada latar belakang di atas, makalah ini disusun

dengan tujuan umum untuk memenuhi tugas mata kuliah Analisis Real Pro-

gram Pascasarjana Pendidikan Matematika Universitas Negeri Jakarta dengan

menyajikan pembahasan Integral Riemann yaitu mengenai Jumlah Riemann

3

atas dan Jumlah Riemann bawah.

Selain itu, tujuan khusus dalam penyusunan makalah ini antara lain:

1. Memahami konsep dalam pengintegalan.

2. Memahami mengenai jumlah Riemann atas dan jumlah Riemann bawah.

4

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Jumlah Riemann Atas dan Jumlah Rie-

mann Bawah

Jika kita mengasumsikan bahwa f kontinu pada [a, b] dan mendefini-

sikan Integral∫ baf(x)dx sebagai supremum dari himpunan semua jumlah luas

daerah persegi-panjang kecil di bawah kurva y = f(x). Sesungguhnya, kita

dapat pula mendefinisikan integral∫ baf(x)dx sebagai infimum dari himpunan

semua jumlah luas daerah persegi-panjang kecil di atas kurva y = f(x). Dalam

hal f kontinu pada [a, b], kedua definisi tersebut akan menghasilkan nilai yang

sama. Pada bahasan ini, kita akan memperluas definisi integral untuk fung-

si f : [a, b] → R yang terbatas, sebagaimana yang dilakukan oleh Bernhard

Riemann pada 1850-an. Pada materi integral Riemann,diberikan sembarang

partisi P := {x0, x1, ..., xn−1, xn} dari [a, b], kita dapat mendefinisikan

L(P, f) :=n∑k=1

mk(xk−1, xk)

dengan mk := inff(x), k = 1, 2, ..., n. Pada saat yang sama, kita juga dapat

mendefinisikan

U(P, f) :=n∑k=1

Mk(xk−1, xk)

dengan Mk := supf(x), k = 1, 2, ..., n.

L(P, f) dan U(P, f) disebut sebagai jumlah Riemann bawah dan jumlah Rie-

5

mann atas dari f yang berkaitan dengan partisi P . Perhatikan bahwa

L(P, f) ≤ U(P, f)

untuk sembarang partisi P .

Selanjutnya, Jika P := {x0, x1, ..., xn−1, xn} danQ := {y0, y1, ..., yn−1, yn}

adalah partisi dari [a, b], maka Q disebut sebagai suatu perhalusan dari P apa-

bila setiap titik partisi xk ∈ P merupakan titik partisi di Q, yakni P ⊆ Q.

Dalam hal ini, setiap sub-interval yang terkait dengan partisi P dapat dinya-

takan sebagai gabungan dari beberapa subinterval yang terkait dengan partisi

Q, yakni

[xk−1, xk] = [yi−1, yi] ∪ [yi, yi+1] ∪ ... ∪ [yj−1, yj]

Catat bahwa kita dapat memperoleh suatu perhalusan dari sembarang partisi

P dengan menambahkan sejumlah titik ke P .

Proposisi 2.1.1. Jika Q merupakan perhalusan dari P , maka L(P, f) ≤

L(Q, f) dan U(Q, f) ≤ U(P, f)

Akibat 2. Jika P1 dan P2 adalah dua partisi sembarang dari [a, b], maka

L(P1, f) ≤ U(P2, f).

2.2 Integral Riemann

Jika diasumsikan bahwa f : [a, b]→ R terbatas. Menurut Akibat 2,

himpunan {L(P, f) : P partisi dari [a, b]} terbatas di atas (oleh suatu jumlah

Riemann atas), sementara himpunan {U(P, f) : P partisi dari [a, b]} terbatas

di bawah (oleh suatu jumlah Riemann bawah). Karena itu kita dapat mende-

finisikan

L(f) := sup{L(P, f) : P partisi dari [a, b]}

6

dan

U(f) := inf{U(P, f) : P partisi dari [a, b]}.

L(f) disebut sebagai integral Riemann atas dari f , sementara U(f) disebut

sebagai integral Riemann bawah dari f .

Proposisi 2.2.1. L(f)leqU(f).

Bukti. Untuk setiap partisi P0 dari [a, b], U(P0, f) merupakan batas

atas dari {L(P, f) : P partisi dari [a, b]}, sehingga

L(f) = sup{L(P, f) : P partisi dari [a, b]} ≤ U(P0, f).

Karena ini berlaku untuk sembarang partisi P0, maka L(f) merupakan batas

bawah dari {U(P0, f) : P0 partisi dari [a, b]}. Akibatnya

L(f) ≤ inf{U(P0, f) : P0 partisi dari [a, b]} = U(f)

sebagaimana yang diharapkan.

Secara umum, L(f) 6= U(f). Sebagai contoh, jika f : [0, 1] → R didefinisikan

sebagai

f(x) =

0, x rasional

1, x rasional

maka L(f) = 0 sementara U(f) = 1.

Jika L(f) = U(f), maka f dikatakan terintegralkan Riemann dan nilai yang

sama tersebut didefinisikan sebagai integral Riemann dari f pada [a, b], yang

dilambangkan Dengan∫ baf(x)dx.

Sebagai contoh, jika f bernilai konstan pada [a, b], katakan f(x) = c

untuk setiap x ∈ [a, b], maka L(f) = U(f) = c(ba) dan karenanya f terinte-

gralkann Riemann pada [a, b] dengan∫ b

a

f(x)dx = c(b− a)dx

7

Teorema berikut memberikan suatu kriteria untuk keterintegralan f pada [a,

b]. (Untuk selanjutnya, terintegralkan berarti terintegralkan Riemann dan

integral berarti integral Riemann.)

Teorema 2.2.2. f terintegralkan pada [a, b] jika dan hanya jika untuk setiap

ε > 0 terdapat suatu partisi P ∈ dari [a, b] sedemikian sehingga

U(Pε, f)− L(Pε, f) < ε

Bukti . Misalkan f terintegralkan pada [a, b]. Ambil ε > 0 sembarang. Dari

definisi supremum, terdapat suatu partisi P1 dari [a, b] sehingga

L(f)− ε

2< L(P1, f).

Dari definisi infimum, terdapat pula suatu partisi P2 dari [a, b] sehingga

U(P2, f) < U(f)− ε

2.

Sekarang misalkan Pε = P1 ∪ P2. Maka Pε merupakan perhalusan dari P1 dan

P2. Akibatnya,

L(f)− ε

2< L(P1, f) ≤ L(Pε, f) ≤ U(Pε, f) ≤ U(P2, f) < U∀(f) +

ε

2

Namun L(f) = U(f), sehingga kita peroleh

U(Pε, f)− L(Pε, f) < ε

Sebaliknya misalkan untuk setiap ε > 0 terdapat suatu partisi Pε dari

[a, b] sedemikian sehingga

U(Pε, f)− L(Pε, f) < ε

Maka, untuk setiap ε > 0, berlaku

0 ≤ U(f)− L(f) ≤ U(Pε, f)− L(Pε, f) < ε.

8

Dari sini kita simpulkan bahwa U(f) = L(f) atau f terintegralkan pada [a, b]

Akibat 7. Misalkan terdapat barisan partisi < Pn > dari [a, b] sedemikian

sehingga

limn→∞

[U(Pn, f)− L(Pn, f)] = 0

Maka f terintegralkan pada [a, b] dan

limn→∞

L(Pn, f) =

∫ b

a

f(x)dx = limn→∞

U(Pn, f)

dan karenanya f terintegralkan pada [a, b].

Selain fungsi kontinu, teorema berikut menyatakan bahwa fungsi mo-

noton juga terintegralkan.

Teorema 2.2.3. Jika f monoton pada [a, b], maka f terintegralkan pada [a, b].

Bukti . Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan f naik pada [a, b]. Untuk

tiap n ∈ N ditinjau partisi

2.3 Keterintegralan Fungsi Kontinu dan Fung-

si Monoton

Telah dibahas sebelumnya bahwa fungsi yang kontinu pasti terintegralkan.

Teorema 2.3.1. Jika f kontinu pada [a, b], maka f terintegralkan pada [a, b].

Bukti. Fungsi yang kontinu pada [a, b] mestilah kontinu seragam

pada [a,b]. Karena itu, diberikan ε > 0 sebarang, terdapat δ > 0 sedemikian

sehingga untuk x, y ∈ [a, b] dengan |x− y| < δ berlaku

|f(x)− f(y)| < ε

b− a

Selanjutnya, untuk tiap n ∈ N dengan n > b−aδ

, ditinjau partisi Pn :=

{x0, x1, ..., xn} dengan xk = a + k. b−1n, k = 0, 1, 2, ..., n. (Di sini, interval

9

[a, b] terbagi menjadi n sub-interval sama panjang.) Pada setiap sub-interval

[xk−1, xk], f mencapai nilai maksimum Mk dan minimum mk katakanlah

f(uk) = Mk dan f(vk) = mk.

Dalam hal ini kita peroleh

Mk −mk = f(uk)f(vk) <ε

b− a

dan akibatnya

0 ≤ U(Pn, f)− L(Pn, f =n∑k=1

(Mk −mk)(xk−1, xk) ≤n∑k=1

ε

b− a.b− aδ

= ε

Dari sini kita simpulkan bahwa limn→∞

[U(Pn, f)− L(Pn, f)] = 0 dan karenanya

f terintegralkan pada [a, b].

Selain fungsi kontinu, teorema berikut menyatakan bahwa fungsi mo-

noton juga terintegralkan.

Teorema 2.3.2. Jika f monoton pada [a, b], maka f terintegralkan pada [a, b].

Bukti . Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan f naik pada [a, b]. Untuk

tiap n =∈ N ditinjau partisi Pn := {x0, x1, ..., xn} dengan xk = a+ k. b−1n, k =

0, 1, 2, ..., n. Karena f naik pada [xk−1, xk] maka maka mk = f(xk−1) dan

Mk = f(xk). Dalam hal ini kita peroleh suatu deret teleskopis

n∑k=1

(Mk −mk)(xk−1, xk) =b− an

n∑k=1

[f(xk)− f(xk−1)] =b− an

[f(b)− f(a)]

Sekarang, jika ε > 0 diberikan, maka untuk tiap n ∈ N dengan n > b−aε

[f(b)−

f(a)] berlaku

0 ≤ U(Pn, f)− L(Pn, f) =n∑k=1

(Mk −mk)(xk−1, xk) < ε

Dengan demikian f mestilah terintegralkan pada [a, b].

10

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Berdasarkan uraian pada Bab II, maka dapat disimpulkan bahwa:

jika P := {x0, x1, ..., xn−1, xn} dan Q := {y0, y1, ..., yn−1, yn} adalah partisi

dari [a, b], maka Q disebut sebagai suatu perhalusan dari P apabila setiap

titik partisi xk ∈ P merupakan titik partisi di Q, yakni P ⊆ Q. Dalam hal

ini, setiap sub-interval yang terkait dengan partisi P dapat dinyatakan sebagai

gabungan dari beberapa subinterval yang terkait dengan partisi Q

3.2 Saran

Berdasarkan simpulan di atas, maka penulis menyarankankan agar

kita memperluas definisi integral untuk fungsi f : [a, b] → R yang terbatas,

sebagaimana yang dilakukan oleh Bernhard Riemann pada 1850-an.

11

DAFTAR PUSTAKA

Bartle, Robert G. dan Shebert, Donald R. 1999. Introduction To Real Analysis

(Third Edition). USA: John Wiley & Sons, Inc.

http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2008/08/fr-bab-13-

riemann.pdf

12