TUGAS KELOMPOK STRUKTUR DATA

(Yuniasyah)

“ GRAPH ”

Disusun oleh :Agung Juliansyah (1031123)

Akbar Aswad (1031089)Nafisatul Hasanah (1031085)

Indra Putra (1031095)Nurhadi Jumain Fantri (1031099)

UNIVERSITAS INTERNASIONAL BATAM2010

KATA PENGANTAR

Puji Syukur khadirat Allah Yang Maha Kuasa karena atas Rahmat dan

Hidayah-Nyalah kami dapat menyelesaikan Tugas Tengah Semester ini.

Makalah ini merupkan salah satu bagian dalam Tugas kami yang berjudul

“GRAPH”. Terima kasih juga kepada Bapak Yuniasyah selaku dosen

Pembimbing Mata Kulias Struktur Data di kelas kami 1SIMC.

Makalah ini berisi tentang Pembelajaran mengenai “GRAPH” di dalam

Struktur Data. Tentunya kami sangat berharap Makalah ini dapat berguna bagi

siapapun yang membacanya.

Masih banyak kekurangan dalam makalah ini . Selain itu dalam

penyusunan tugas atau materi ini, tidak sedikit hambatan yang penulis hadapi.

Namun penulis menyadari bahwa kelancaran dalam penyusunan materi ini tidak

lain berkat bantuan, dorongan dan bimbingan orang tua, sehingga kendala-

kendala yang penulis hadapi teratasi

Batam, 9 November 2010

Tim Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ...........................................................................................2

DAFTAR ISI.........................................................................................................3

I. PENDAHULUAN..............................................................................................4

II. TEORI GRAPH................................................................................................6

A. Definisi Graph...........................................................................................6

B. Istilah dalam Graph...................................................................................9

C. Jenis – jenis Graph...................................................................................11

D. Konektivitas Tiap Jenis Graph..................................................................12

E. Metode Pencarian Vertex.........................................................................14

a. Depth First Search (DFS).....................................................................14

b. Breadth First Search (BFS)...................................................................15

F. Shortest Path............................................................................................17

a. Graph Berbobot (Weighted Graph).......................................................18

b. Algoritma Dijkstra’s...............................................................................19

c. Dinamic Programming..........................................................................19

G. Minimum Spanning Tree...........................................................................21

H. Algoritma Menentukan Minimum Spanning Tree (MST)...........................22

III. GRAPH PADA JAVA......................................................................................25

IV. KESIMPULAN................................................................................................27

DAFTAR PUSTAKA............................................................................................28

I. PENDAHULUAN

Dalam istilah ilmu komputer, sebuah struktur data adalah cara

penyimpanan, pengorganisasian dan pengaturan data di dalam media

penyimpanan komputer sehingga data tersebut dapat digunakan secara efisien.

Dalam tehnik pemrograman, struktur data berarti tata letak data yang berisi

kolom-kolom data, baik itu kolom yang tampak oleh pengguna (user) ataupun

kolom yang hanya digunakan untuk keperluan pemrograman yang tiadak tampak

oleh pengguna.

Graph merupakan struktur data yang paling umum. Jika struktur linear

memungkinkan pendefinisian keterhubungan sikuensial antara entitas data,

struktur data tree memungkinkan pendefinisian keterhubungan hirarkis, maka

struktur graph memungkinkan pendefinisian keterhubungan tak terbatas antara

entitas data.

Banyak entitas-entitas data dalam masalah-masalah nyata secara

alamiah memiliki keterhubungan langsung (adjacency) secara tak terbatas

demikian. Contoh: informasi topologi dan jarak antar kota-kota di pulau Jawa.

Dalam masalah ini kota x bisa berhubungan langsung dengan hanya satu atau

lima kota lainnya. Untuk memeriksa keterhubungan dan jarak tidak langsung

antara dua kota dapat diperoleh berdasarkan data keterhubungan-

keterhubungan langsung dari kota-kota lainnya yang memperantarainya.

Representasi data dengan struktur data linear ataupun hirarkis pada

masalah ini masih bisa digunakan namun akan membutuhkan pencarian-

pencarian yang kurang efisien. Struktur data graph secara eksplisit menyatakan

keterhubungan ini sehingga pencariannya langsung (straightforward) dilakukan

pada strukturnya sendiri.

Graf adalah salah satu jenis struktur data yang terdiri dari titik (vertex) dan

garis (edge), dimana dalam graf tersebut, vertex - vertex yang ada

dihubungkan oleh edge, hingga menjadi suatu kesatuan yang disebut

graf. Sebagai contoh dari pemodelan graf adalah peta kota kota, dimana kota

disini sebagai vertex dan jalur yang menghubungkannya berlaku sebagai edge.

Agar lebih jelas perhatikan gambar dibawah ini :

Dalam gambar tersebut, terdapat beberapa kota yang berada dipulau

jawa dimana kota - kota tersebut dihubungkan oleh beberapa jalur jalur yang

ada. Untuk contoh diatas kita bisa menganggap bawah kota-kota yang ada

merupakan vertex, dan jalur-jalur yang menghubungkan kota-kota tersebut

sebagai edge. Sehingga secara keseluruhan peta diatas dapat dibuat

pemodelannya sebagai sebuah graf.

Ada terdapat beberapa jenis graf yang bisa kita gunakan, yaitu beberapa

diantaranya adalah sebagai berikut :

• Graf Berarah : adalah graf yang edge-nya memiliki arah, sebagai contoh edge

AB menghubungkan vertex A ke B, dimana hubungan vertex B ke A, harus

diperoleh dari edge lain, yaitu edge BA, dan jika edge BA tidak ada, maka vertex

B ke A tidak memiliki hubungan, meski vertex A ke B memiliki hubungan

• Graf Tak Berarah : adalah graf yang edge-nya tidak memiliki arah, sehingga

jika edge AB menghubungkan vertex A ke B, maka secara otomatis juga

menghubungkan vertex B ke A.

• Graf Berbobot : adalah suatu graf dimana edge dari graf tersebut memiliki

bobot atau nilai tertentu.

• Graf Tidak Berbobot : adalah suatu graf dimana edge dari graf tersebut tidak

memiliki bobot atau nilai. Untuk merepresentasikannya dalam pemrograman

komputer, graf dapat disusun dari LinkedList yang berada dalam LinkedList.

II. TEORI GRAPH

A. Definisi Graph

Suatu graph didefinisikan oleh himpunan verteks dan himpunan sisi

(edge). Verteks menyatakan entitas-entitas data dan sisi menyatakan

keterhubungan antara verteks. Biasanya untuk suatu graph G digunakan notasi

matematis.

G = (V, E)

Dimana : G = Graph

V = Simpul atau Vertex, atau Node, atau Titik

E = Busur atau Edge, atau arc

V adalah himpunan verteks dan E himpunan sisi yang terdefinisi antara

pasangan-pasangan verteks. Sebuah sisi antara verteks x dan y ditulis {x, y}.

Suatu graph H = (V1, E1) disebut subgraph dari graph G jika V1 adalah

himpunan bagian dari V dan E1 himpunan bagian dari E.

Cara pendefinisian lain untuk graph adalah dengan menggunakan

himpunan keterhubungan langsung Vx. Pada setiap verteks x terdefinisi Vx

sebagai himpunan dari verteks-verteks yang adjacent dari x. Secara formal:

Vx = {y | (x,y) -> E}

Dalam digraph didefinisikan juga terminologi-terminologi berikut ini.

Predesesor dari suatu verteks x (ditulis Pred(x)) adalah himpunan semua verteks

yang adjacent ke x. Suksesor dari verteks x (ditulis Succ(x)) adalah himpunan

semua verteks yang adjacent dari x, yaitu adjacenct set di atas.

Struktur data yang berbentuk network/jaringan, hubungan antar elemen

adalah many-to-many. Contoh dari graph adalah informasi topologi jaringan dan

keterhubungan antar kota-kota. Keterhubungan dan jarak tidak langsung antara

dua kota sama dengan data keterhubungan langsung dari kota-kota lainnya yang

memperantarainya. Penerapan struktur data linear atau hirarkis pada masalah

graph dapat dilakukan tetapi kurang efisien. Struktur data graph secara eksplisit

menyatakan keterhubungan ini sehingga pencariannya langsung (straight

forward) dilakukan pada strukturnya sendiri.

1. Struktur Data Linear = keterhubungan sekuensial antara entitas data

2. Struktur Data Tree = keterhubungan hirarkis

3. Struktur Data Graph = keterhubungan tak terbatas antara entitas data.

Representasi Graph dalam Bentuk Matrik

a. Graph Tak Berarah

Graf tersebut dapat direpresentasikan dalam sebuah matrik 5x5 , dimana

baris dan kolom di matriks tersebut menunjukan vertex yang ada.

b. Graph Berarah

Dalam matrik diatas dapat kita lihat bahwa kotak yang berisi angka satu

menunjukan bahwa dalam dua vertex tersebut terdapat edge yang

menghubungkannya. Dan jika dalam kotak terdapat angka nol, maka hal tersebut

menandakan tidak ada edge yang mengubungkan secara langsung dua vertex

tersebut.

Untuk representasi dalam pemorgraman komputer, graf tersebut dapat

digambarkan seperti dibawah ini :

B. Istilah Dalam Graph

1. Incident

Jika e merupakan busur dengan simpul-simpulnya adalah v dan w

yang ditulis e=(v,w), maka v dan w disebut “terletak” pada e, dan e disebut

incident dengan v dan w.

2. Degree

Didalam Graph ada yang disebut dengan Degree, Degree

mempuyai 3 jenis antara lain :

Degree dari suatu verteks x dalam undigraph adalah jumlah busur

yang incident dengan simpul tersebut.

Indegree dari suatu verteks x dalam digraph adalah jumlah busur

yang kepalanya incident dengan simpul tersebut, atau jumlah busur

yang “masuk” atau menuju simpul tersebut..

Outdegree dari suatu verteks x dalam digraph adalah jumlah busur

yang ekornya incident dengan simpul tersebut, atau jumlah busur

yang “keluar” atau berasal dari simpul tersebut.

3. Adjacent

Pada graph tidah berarah, 2 buah simpul disebut adjacent bila ada

busur yang menghubungkan kedua simpul tersebut. Simpul v dan w

disebut adjacent.

Pada graph berarah, simpul v disebut adjacent dengan simpul w bila

ada busur dari w ke v.

4. Successor dan Predecessor

Pada graph berarah, bila simpul v adjacent dengan simpul w, maka

simpul v adalah successor simpul w, dan simpul w adalah predecessor

dari simpul v.

5. Path

Sebuah path adalah serangkaian simpul-simpul berbeda yang

adjacent secara berturut-turut dari simpul satu ke simpul berikutnya.

C. Jenis - Jenis Graph

1. Directed Graph (Digraph)

Jika sisi-sisi graph hanya berlaku satu arah. Misalnya : {x,y} yaitu arah x

ke y, bukan dari y ke x, x disebut origin dan y disebut terminus. Secara notasi sisi

digraph ditulis sebagai vektor (x, y).

Contoh Digraph G = {V, E} :

V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I,J, K, L, M}

E = {(A,B), (A,C), (A,D), (A,F), (B,C), (B,H), (C,E), (C,G), (C,H), (C,I), (D,E),

(D,F), (D,G), (D,K), (D,L), (E,F), (G,I), (G,K), (H,I), (I,J), (I,M), (J,K), (J,M), (L,K),

(L,M)}.

2. Graph Tak Berarah (Undirected Graph atau Undigraph)

Setiap sisi {x, y} berlaku pada kedua arah: baik x ke y maupun y ke x.

Secara grafis sisi pada undigraph tidak memiliki mata panah dan secara

notasional menggunakan kurung kurawal.

Contoh Undigraph G = {V, E}

V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I,J, K, L, M}

E = { {A,B},{A,C}, {A,D}, {A,F}, {B,C}, {B,H}, {C,E}, {C,G}, {C,H}, {C,I}, {D,E},

{D,F}, {D,G}, {D,K}, {D,L}, {E,F}, {G,I}, {G,K}, {H,I}, {I,J}, {I,M}, {J,K}, {J,M}, {L,K},

{L,M}}.

Khusus graph, undigraph bisa sebagai digraph (panah di kedua ujung

edge berlawanan) Struktur data linear maupun hirarkis adalah juga graph. Node-

node pada struktur linear ataupun hirarkis adalah verteks-verteks dalam

pengertian graph dengan sisi-sisinya menyusun node-node tersebut secara

linear atau hirarkis.

Struktur data linear adalah juga tree dengan pencabangan pada setiap

node hanya satu atau tidak ada. Linear 1-way linked list (digraph), linear 2- way

linked list (undigraph).

D. Konektivitas Tiap Jenis Graph

a. Konektivitas pada Undigraph

Adjacency: Dua verteks x dan y yang berlainan disebut berhubungan langsung

(adjacent) jika terdapat sisi {x, y} dalam E.

Path: Sederetan verteks yang mana setiap verteks adjacent dengan verteks

yang tepat berada disebelahnya.

Panjang dari path: jumlah sisi yang dilalui path.

Siklus: suatu path dengan panjang lebih dari satu yang dimulai dan berakhir

pada suatu verteks yang sama.

Siklus sederhana: dalan undigraph, siklus yang terbentuk pada tiga atau lebih

verteks-verteks yang berlainan yang mana tidak ada verteks yang dikunjungi

lebih dari satu kali kecuali verteks awal/akhir.

Dua verteks x dan y yang berbeda dalam suatu undigraph disebut berkoneksi

(connected) apabila jika terdapat path yang menghubungkannya.

Himpunan bagian verteks S disebut terkoneksi (connected) apabila dari setiap

verteks x dalam S terdapat path ke setiap verteks y (y bukan x) dalam S.

Suatu komponen terkoneksi (connected components) adalah subgraph

(bagian dari graph) yang berisikan satu himpunan bagian verteks yang

berkoneksi.

Suatu undigraph dapat terbagi atas beberapa komponen yang terkoneksi; jika

terdapat lebih dari satu komponen terkoneksi maka tidak terdapat path dari

suatu verteks dalam satu komponen verteks di komponen lainnya.

Pohon bebas (free tree): suatu undigraph yang hanya terdapat satu komponen

terkoneksi serta tidak memiliki siklus sederhana.

b. Konektivitas pada Digraph

Terminologi di atas berlaku juga pada Digraph kecuali dalam digraph

harus dikaitkan dengan arah tertentu karena pada arah yang sebaliknya belum

tentu terdefinisi.

Adjacency ke / dari: Jika terdapat sisi (x,y) maka dalam digraph dikatakan

bahwa x "adjacent ke" y atau y "adjacent dari" x. Demikian pula jika terdapat

path dari x ke y maka belum tentu ada path dari y ke x Jadi dalam digraph

keterkoneksian didefinisikan lebih lanjut lagi sebagai berikut.

Terkoneksi dengan kuat: Himpunan bagian verteks S dikatakan terkoneksi

dengan kuat (strongly connected) bila setiap pasangan verteks berbeda x dan

y dalam S, x berkoneksi dengan y dan y berkoneksi dengan x (dpl., ada path

dari x ke y dan sebaliknya dari y ke x).

Terkoneksi dengan Lemah: Himpunan bagian verteks S dikatakan terkoneksi

dengan lemah (weakly connected) bila setiap pasangan verteks berbeda x dan

y dalam S, salah satu: x berkoneksi dengan y (atau y berkoneksi dengan x)

dan tidak kebalikan arahnya (dpl., hanya terdefinisi satu path: dari x ke y atau

sebaliknya dari y ke x).

E. Metode Pencarian Vertex

Pencarian vertex adalah proses umum dalam graph. Terdapat 2 metoda

pencarian, yakni Depth First Search (DFS) dan Breadth First Search (BFS).

a. Depth First Search (DFS)

Pencarian dengan metode ini dilakukan dari node awal secara mendalam

hingga yang paling akhir (dead-end) atau sampai ditemukan. Dengan kata lain,

simpul cabang atau anak yang terlebih dahulu dikunjungi.

Proses pencarian dilakukan dengan mengunjungi cabang terlebih dahulu

hingga tiba di simpul terakhir. Jika tujuan yang diinginkan belum tercapai maka

pencarian dilanjutkan ke cabang sebelumnya, turun ke bawah jika memang

masih ada cabangnya. Begitu seterusnya hingga diperoleh tujuan akhir (goal).

Depth First Search, memiliki kelebihan diantaranya adalah cepat mencapai

kedalaman ruang pencarian. Jika diketahui bahwa lintasan solusi permasalahan

akan panjang maka Depth First Search tidak akan memboroskan waktu

untuk melakukan sejumlah besar keadaan dangkal dalam permasalahan

graf. Depth First Search jauh lebih efisien untuk ruang pencarian dengan

banyak cabang karena tidak perlu mengeksekusi semua simpul pada suatu

level tertentu pada daftar open. Selain itu, Depth First Search memerlukan

memori yang relatif kecil karena banyak node pada lintasan yang aktif saja

yang Selain kelebihan, Depth First Search juga memiliki kelemahan di antaranya

adalah memungkinkan tidak ditemukannya tujuan yang diharapkan dan hanya

akan mendapatkan satu solusi pada setiap pencarian.

b. Breadth First Search (BFS)

Prosedur Breadth First Search (BFS) merupakan pencarian yang

dilakukan dengan mengunjungi tiap-tiap node secara sistematis pada setiap

level hingga keadaan tujuan (goal state) ditemukan. Atau dengan kata lain,

penulusuran yang dilakukan adalah dengan mengunjungi tiap-tiap node

pada level yang sama hingga ditemukan goal state-nya.

Implementasi algoritma BFS :

Pengimplementasian BFS dapat ditelusuri dengan menggunakan daftar (list),

open, dan closed, untuk menelusuri gerakan pencarian di dalam ruang

keadaan. Prosedur untuk Breadth First Search dapat dituliskan sebagai berikut:

Pada diatas, state 21 merupakan tujuannya (goal) sehingga bila ditelusuri

menggunakan prosedur Breadth First Search, diperoleh:

1) Open = [1]; closed = [ ].

2) Open = [2, 3, 4]; closed = [1].

3) Open = [3, 4, 5, 6]; closd = [2, 1].

4) Open = [4, 5, 6, 7, 8]; closed = [3, 2, 1].

5) Open = [5, 6, 7, 8, 9, 10]; closed = [4, 3, 2, 1].

6) Open = [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]; closed = [5, 4, 3, 2, 1].

7) Open = [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13] (karena 12 telah di-open);

closed = [6, 5, 4, 3, 2, 1].

8) Open = [8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]; closed = [7, 6, 5, 4, 3, 2, 1].

9) Dan seterusnya sampai state 21 diperoleh atau open = [ ].

Ada beberapa keuntungan menggunakan algoritma Breadth First

Search ini, diantaranya adalah tidak akan menemui jalan buntu dan jika ada

satu solusi maka Breadth First Search akan menemukannya, dan jika ada lebih

dari satu solusi maka solusi minimum akan ditemukan.

Namun ada tiga persoalan utama berkenaan dengan Breadth First

Search ini yaitu :

1) Membutuhkan memori yang lebih besar, karena menyimpan semua node

dalam satu pohon.

2) Membutuhkan sejumlah besar pekerjaan, khususnya jika lintasan solusi

terpendek cukup panjang, karena jumlah node yang perlu diperiksa

bertambah secara eksponensial terhadap panjang lintasan.

3) Tidak relevannya operator akan menambah jumlah node yang harus

diperiksa.

Oleh karena proses Breadth First Search mengamati node di setiap

level graf sebelum bergerak menuju ruang yang lebih dalam maka mula-

mula semua keadaan akan dicapai lewat lintasan yang terpendek dari

keadaan awal. Oleh sebab itu, proses ini menjamin ditemukannya lintasan

terpendek dari keadaan awal ke keadaan tujuan (akhir). Lebih jauh

karena mula-mula semua keadaan ditemukan melalui lintasan terpendek

sehingga setiap keadaan yang ditemui pada kali kedua didapati pada

sepanjang sebuah lintasan yang sama atau lebih panjang. Kemudian, jika tidak

ada kesempatan ditemukannya keadaan yang identik pada sepanjang

lintasan yang lebih baik maka algoritma akan menghapusnya

F. Shortest Path

Pencarian shortest path (lintasan terpendek) adalah masalah umum

dalam suatu weighted, connected graph. Misal : Pencarian jaringan jalan raya

yang menghubungkan kota-kota disuatu wilayah.

1. Lintasan terpendek yag menghubungkan antara dua kota berlainan

tertentu (Single-source Single-destination Shortest Path Problems)

2. Semua lintasan terpendek masing-masing dari suatu kota ke setiap kota

lainnya (Single-source Shortest Path problems)

3. Semua lintasan terpendek masing-masing antara tiap kemungkinan

pasang kota yang berbeda (All-pairs Shortest Path Problems)

Untuk memecahkan masing-masing dari masalah-masalah tersebut terdapat

sejumlah solusi.

Dalam beberapa masalah graph lain, suatu graph dapat memiliki bobot

negatif dan kasus ini dipecahkan oleh algoritma Bellman-Ford. Yang akan

dibahas di sini adalah algoritma Dijkstra yaitu mencari lintasan terpendek dari

suatu verteks asal tertentu vs ke setiap verteks lainnya.

a. Graph berbobot (weighted graph)

Apabila sisi-sisi pada graph disertai juga dengan suatu (atau beberapa)

harga yang menyatakan secara unik kondisi keterhubungan tersebut maka graph

tersebut disebut graph berbobot. Biasanya dalam masalah-masalah graph bobot

tersebut merupakan "harga" dari keterhubungan antar vertex. Pengertian "harga"

ini menggeneralisasikan banyak aspek, biaya ekonomis dari proses/aktifitas,

jarak geografis/tempuh, waktu tempuh, tingkat kesulitan, dan lain sebagainya.

Dalam beberapa masalah lain bisa juga bobot tersebut memiliki

pengertian "laba" yang berarti kebalikan dari "biaya" di atas. Dalam pembahasan

algoritma-algoritma graph nanti pengertian bobot akan menggunakan pengertian

biaya sehingga apabila diaplikasikan pada masalah yang berpengertian laba

maka kuantitas-kuantitas terkait adalah kebalikannnya. Misalnya mencari jarak

tempuh minimum digantikan dengan mencari laba maksimum.

b. Algoritma Dijkstra’s

Algoritma Dijkstra's :

1. Menyelesaikan problem single-source shortest-path ketika semua edge

memiliki bobot tidak negatif.

2. Algoritma greedy mirip ke algoritma Prim's.

3. Algoritma di awali pada vertex sumber s, kemudian berkembang

membentuk sebuah tree T, pada akhirnya periode semua vertex dijangkau

dari S. Vertex di tambah ke T sesuai urutan

Misalnya :

Pertama S, kemudian vertex yang tepat ke S, kemudian yang tepat berikutnya

dan seterusnya.

c. Dynamic Programming

Terdiri dari sederetan tahapan keputusan. Pada setiap tahapan berlaku

prinsip optimality (apapun keadaan awal dan keputusan yang diambil, keputusan

berikutnya harus memberikan hasil yang optimal dengan melihat hasil keputusan

sebelumnya.

Misalnya : Multistage Graph

Dimana : Cost (i,j) = Min(C(j,l) + Cost(i+1,l)}

Dengan : C(j,l) = Bobot edge j dan l

l = Elemen Vi+1 Dan <j,l> eemen E

i=stage ke-I dan j = node dalam V

Proses dimulai dari k-2, dimana k adalah banyak stage.

Perhatikan contoh untuk menentukan biaya termurah dari 1 hingga 12.

Diketahui graph dengan stage sebagai berikut :

Maka langkah-langkah yang dilakukan adalah :

K=5, sehingga dimulai dari S3

Cost(3,6) = Min{6+Cost(4,9); 5+Cost(4,10)} = Min{6+4;5+2} = 7

Cost(3,7) = Min{4+Cost(4,9); 3+Cost(4,10)} = Min{4+4;3+2} = 5

Cost(3,8) = Min{5+Cost(4,10); 6+Cost(4,11)} = Min(5+2;6+5} = 7

Cost(2,2) = Min{4+Cost(3,6);2+Cost(3,7);1+Cost(3,8)}

= Min{4+7;2+5;1+7} = 7

Cost(2,3) = Min{2+Cost(3,6); 7+Cost(3,7)} = Min(2+7; 7+5) = 9

Cost(2,4) = Min{11+Cost(3,8)} = 18

Cost(2,5) = Min{11+Cost(3,7); 8+Cost(3,8)} = Min(11+5;8+7} = 15

Cost(1,1) = Min{9+Cost(2,2);7+Cost(2,3);3+Cost(2,4),2+Cost(2,5)}

= Min{9+7;7+9;3+18;2+15} = 16

Shorthest Path menjadi :

1 -> 3 -> 6 -> 10 -> 12 Atau 1 -> 2 -> 7 -> 10-> 12

Jika ada dua atau lebih shorthest path maka total biaya harus sama.

Shortest Path Pertama adalah :

Shortest Path Kedua adalah :

G. Minimum Spanning Tree

Definisi Pohon rentangan atau spanning tree dari suatu connected graph

didefinisikan sebagai free-tree yang terbentuk dari subset sisi-sisi serta

menghubungkan setiap verteks dalam graph tersebut. Minimum Spanning Tree

(MST) adalah pohon rentangan dengan total bobot dari sisi-sisinya adalah

minimal. Dalam penelusuran vertex tidak diperkenankan terbentuk siklus (cycle).

Diketahui sebuah graph tak berarah dan tak berbobot sebagai berikut :

Kemungkinan Spanning Tree :

Bila jalur (edge) mempunyai biaya (cost) maka yang dicari adalah minimum

cost spanning tree.

H. Algoritma Menentukan Minimum Spanning Tree (MST)

Dua algoritma populer untuk menentukan minimum spanning tree (MST)

adalah Kruskal Algorithm dan Prim’s Algorithm.

1. Algoritma Kruskal

Algoritma ini lebih sederhana jika dilihat dari konsepnya namun lebih sulit

dalam implementasinya. Idenya adalah mendapatkan satu demi satu sisi mulai

dari yang berbobot terkecil untuk membentuk tree, suatu sisi walaupun berbobot

kecil tidak akan diambil jika membentuk siklik dengan sisi yang sudah termasuk

dalam tree. Yang menjadi masalah dalam implementasinya adalah keperluan

adanya pemeriksaan kondisi siklik tersebut.Salah satu pemecahaannya adalah

dengan subsetting yaitu pembentukan subset-subset yang disjoint dan secara

bertahap dilakukan penggabungan atas tiap dua subset yang berhubungan

dengan suatu sisi dengan bobot terpendek. Algoritma lengkapnya:

Tahap pertama, jika dalam V terdapat n verteks maka diinisialisasi n buah

subset yang disjoint, masing-masing berisi satu verteks, sebagai subset-

subset awal.

Tahap berikutnya, urutkan sisi-sisi dengan bobot yang terkecil hingga

terbesar.

Mulai dari sisi dengan bobot terkecil hingga terbesar lakukan dalam

iterasi: jika sisi tsb. menghubungkan dua vertex dalam satu subset

(berarti membentuk siklik) maka skip sisi tersebut dan periksa sisi

berikutnya jika tidak (berarti membentuk siklik) maka kedua subset dari

verteks-verteks yang bersangkutan digabungkan menjadi satu subset

yang lebih besar. Iterasi akan berlangsung hingga semua sisi terproses.

MST_KRUSKAL (G)

{ For setiap vertex v dalam V[G] Do

{ set S(v) ← {v} }

Inisialisasi priority queue Q yang berisi semua edge dari G,

gunakan bobot sebagai keys.

A ← { } // A berisi edge dari MST

While A lebih kecil dari pada n-1 edge Do

{ set S(v) berisi v dan S(u) berisi u }

IF S(v) != S(u) Then

{ Tambahkan edge (u, v) ke A

Merge S(v) dan S(u) menjadi satu set

}

Return A

}

2. Algoritma Prim

Algoritma dimulai dari suatu verteks awal tertentu dan bisa ditentukan oleh

pemanggil atau dipilih sembarang oleh algoritma. Misalnya verteks awal tersebut

adalah v. Pada setiap iterasi terdapat kondisi di mana himpunan vertex V terbagi

dalam dua:

W yaitu himpunan verteks yang sudah dievaluasi sebagai node di dalam

pohon, serta (V-W) yaitu himpunan verteks yang belum dievaluasi.

Di awal algoritma W diinisialisasi berisi verteks awal v. Selanjutnya, di dalam

iterasinya:

Pada setiap adjacency dari tiap verteks dalam W dengan verteks dalam

(V-W) dicari sisi dengan panjang minimal. setelah diperoleh, sisi tersebut

ditandai sebagai sisi yang membentuk tree dan verteks adjacent sisi

tersebut dalam (VW) dipindahkan ke W (menjadi anggota W).

Jika sisi tersebut tidak ada maka proses selesai.

Dari contoh di atas misalnya dilakukan pencarian mulai dari verteks A

Maka algoritma ini menghasilkan tahapan-tahapan iterasi pencarian sbb.:

MST_PRIM (G, w, v)

{ Q ← V[G]

for setiap u dalam Q do key [u] ← ∞

key [r] ← 0

π[r] ← NIl

while queue tidak kosong do

{ u ← EXTRACT_MIN (Q)

for setiap vertex v dalam Adj[u] do

{ if v ada dalam Q dan w(u, v) < key [v] then

{ π[v] ← w(u, v)

key [v] ← w(u, v)

}

}

}

III. GRAPH PADA JAVA

Pada Project ini, kita lakukan pengaplikasian dari teori Graph pada

program Java. Software yang kita gunakan adalah Eclipse.

Didalam Project ini terdapat 5 package Java. Dan yang akan kita bahas

disini adalah Package GRAPH_BASIC. Package GRAPH_BASIC, berisi 5 file

berextensi .java yang saling berhubungan satu sama lain. Untuk detail File bisa

di lihat di gambar di bawah ini.

Untuk melakukan Logika Aplikasi Graph terdapat pada File Main.java

Tampilan Scriptnya seperti gambar di bawah ini.

Dapat Kita lihat dari gambar diatas, logika Graph di mulai dari penambahan Vertex/Node, dengan memanggil fungsi “AddVertex” pada file Graph.java. Setelah vertex tercipta, dilakukan penambahan Edge/Busur dan terakhir memanggil fungsi untuk menghasilkan output.

Untuk Output yang di hasilkan bisa di lihat gambar di bawah ini.

IV. KESIMPULAN

Mengenal Graph :

Terdiri dari node dan terdiri dari link (busur)

Node disebut vertex dan Link disebut edge

Informasi penting dalam graph adalah koneksi antar vertex

Pada undirected graph, tidak terdapat directions (arah), Edge dari v0 ke

v1 adalah sama dengan edge dari v1 ke v0

Jika sebuah masalah dapat direpresentasikan ke dalam bentuk kgraph

maka solusi dari masalah tersebut bisa dicari dengan bantuan graph

Setiap vertex mewakili sebuah kondisi (state) dan edge mewakili transisi

antar state

Analogi Graph dalam Kehidupan Sehari-Hari

Graph dalam kehidupan sehari-hari dapat dianalogikan sebagai suatu

jaringan satu dengan jaringan lainnya yang saling terhubung. Misal seperti

negara Indonesia yang memiliki banyak kota seperti: Jakarta, Bandung,

Surabaya, Yogyakarta. Kota-kota itulah yang tergabung dalam negara

Indonesia dan kota-kota itulah yang saling berhubungan.

DAFTAR PUSTAKA

Undip, BFS dan DFS,http://eprints.undip.ac.id/5202/2/BAB_I_dan_II.pdf,Tanggal Akses : 10 November 2010

Rachmat Antonius, Struktur Datahttp://lecturer.ukdw.ac.id/anton/download/ TIstrukdat11 . ppt Tanggal Akses : 10 November 2010

AlpenYap, Struktur Data Hirarkishttp://alpz.files.wordpress.com/2007/12/tree-btree-graph.pdfTanggal Akses : 2 November 2010

Ciptarjo Imam, Pengantar Graphhttp://134738.yolasite.com/resources/17782333-Struktur-Data-Graph-wwwaloneareacom.pdfTanggal Akses : 2 November 2010