1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pelabelan graf dalam teori graf adalah pemberian nilai pada titi k, sisi atau titi k

dan sisi. Pelabelan graf sudah banyak dikaji mulai tahun 60-an. Seperti valuasi-

β yang diperkenalkan oleh Rosa pada tahun 1967 [5]. Sejak saat itu, sekitar 250

tulisan mengenai pelabelan banyak bermunculan.

Misal G graf dengan himpunan titi k V(G) dan himpunan sisi E(G). Pelabelan

graceful pada graf G merupakan pemberian nilai pada titi k-titi knya dengan bilangan

bulat positi f {0, 1, 2, 3,..., )(GE } sedemikian hingga sisinya mendapat label harga

mutlak dari selisih pelabelan kedua titi k yang menempel pada sisi tersebut. Sebuah

graf G disebut graf graceful ji ka setiap titi k dan sisi pada graf G dapat diberi label

menurut aturan pelabelan graceful. Dalam hal ini, beberapa pelabelan graceful untuk

kelas-kelas graf tertentu telah ditunjukkan seperti pada graf lintasan Pn, graf pohon Tn

dengan n≤ 16 dan graf sikel Cn dengan 4) (mod3atau0 n ≡ [4]. Karena itu

penulis tertarik untuk menginvestigasi pelabelan graceful pada kelas-kelas graf yang

lain, yaitu:

1. Graf hasil kali kartesius dari G1 dan G2 yaitu graf G = G1 x G2.

2. Graf tangga Ln, yaitu graf yang dibangun dari hasil kali kartesius graf

lintasan Pn dan lintasan P2.

3. Gabungan m buah graf tangga mLn, yaitu graf tak terhubung yang terdiri

dari m komponen dimana setiap komponennya adalah graf tangga Ln.

2

1.2 Perumusan Masalah

Permasalahan yang akan diajukan dalam penulisan skripsi adalah menyelidiki

apakah sebuah graf sederhana dan hingga terutama kelas graf tangga (ladder), graf

gabungan m buah graf tangga dan graf hasil kali kartesius G1 x G2 khususnya jika

G1=Pm dan G2=Pn adalah graf graceful.

1.3 Tujuan

Mendapatkan perumusan pelabelan graceful dari graf tangga (ladder), graf

gabungan m buah graf tangga dan graf hasil kali kartesius Pm x Pn.

1.4 Manfaat

Manfaat dari pelabelan graceful diantaranya yang berkenaan dengan masalah

pengkodean, misalnya pembacaan kode sinar-X, sistem alamat pada jaringan

komunikasi dan pendesainan sirkuit [5].

3

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pengertian Graf

Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V(G), E(G)) dimana

V(G) adalah himpunan tak kosong dari unsur-unsur yang disebut titi k (vertex ) dan

E(G) adalah himpunan dari pasangan tak terurut (u,v) dari titi k-titi k u,v di V (G)

yang disebut sisi (edge). Selanjutnya sisi e = (u,v) pada graf G ditulis e = uv.

Sebagai contoh, Gambar 2.1 adalah graf tak berarah.

v1 v4 e4 v5

G:

e1 e3

v2 e2 v3

Gambar 2.1 Graf G dengan 5 Titik dan 4 Sisi

2.2 Konsep Dasar

Banyaknya titi k di graf G disebut order n dari graf G yaitu Vn = . Graf

dengan order hingga dinamakan graf hingga. Sebagai contoh, Gambar 2.1 adalah

graf berorder 5.

Loop dalam suatu graf terjadi apabila suatu titi k v dihubungkan dengan

dirinya sendiri atau e = vv. Jika terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan

dua titi k, maka sisi tersebut dinamakan sisi rangkap (multiple edges). Gambar 2.2

menunjukkan e5 adalah loop dan e3, e4 adalah sisi rangkap. Graf G dikatakan graf

sederhana apabila tidak memuat loop dan sisi rangkap.

v1 v4 e5

e1 e4 e3

v2 e2 v3

Gambar 2.2 Graf dengan Loop dan Sisi Rangkap

4

Dua titi k u dan v di graf G dikatakan tetangga (adjacent) apabila ada sisi e

yang menghubungkan titi k u dan v. Sisi e pada graf G dikatakan menempel

(incident) dengan kedua titi k yang dihubungkan.

Derajat (degree) suatu titi k v di graf G adalah banyaknya sisi yang

menempel dengan titi k v, yang dinotasikan dengan deg (v). Jika dalam graf G

setiap titi knya mempunyai derajat yang sama, maka graf G disebut graf reguler.

Contoh pada Gambar 2.3 menunjukkan graf reguler.

v1

e1 e3

v2 e2 v3

Gambar 2.3 Graf Reguler

Jalan (walk) pada graf G dinotasikan W (G) adalah barisan hingga yang

diawali dan diakhiri dengan titi k dimana unsur-unsurnya saling bergantian antara

titi k dan sisi, sedemikian hingga vivi+1 adalah sisi di G untuk setiap i = 0, 1,

2,…,n-1, yaitu : W (G) = v0, e1, v1, e2, v2, e3,…, vn-1, en, vn dengan 0≥n

Jika dijalan W (G) berlaku v0 = vn maka W (G) disebut jalan tertutup dan

dikatakan jalan terbuka ji ka nvv ≠0 .

v1 e5 v4 e6 v5

e1 e4 e3

v2 e2 v3

Gambar 2.4 Gambar untuk Mengilustrasikan Jalan (walk)

Sebuah jalan dikatakan lintasan (path) ji ka semua titi knya berbeda sedangkan jika

setiap sisinya yang berbeda maka jalan tersebut dinamakan jejak (trail ). Sikel

(cycle) didefinisikan sebagai suatu lintasan yang tertutup.

2.3 Graf Terhubung (Connected Graph)

Graf G dikatakan terhubung (connected) ji ka setiap dua titi k u,v di G,

terdapat lintasan yang menghubungkan kedua titi k tersebut. Graf G dikatakan graf

5

tak terhubung (disconnected) ji ka ada dua titi k di G yang tidak mempunyai

lintasan.

u1 v1 v2

u2 u3 v3 v4

(a) (b)

Gambar 2.5(a) Graf Terhubung dan 2.5(b) Graf Tak Terhubung

Gambar 2.5(a) adalah graf terhubung dan Gambar 2.5(b) adalah graf tak

terhubung.

Graf K dikatakan subgraf dari graf G ji ka semua titi k di K dan semua sisi

di K adalah titi k dan sisi di G. Sebagai contoh pada Gambar 2.6, K1 adalah subgraf

dari G tetapi K2 bukan subgraf G karena ada sisi ac di E(K2) yang bukan sisi di

E(G).

a b a a b

G : K1 : K2 :

c d c d c d

Gambar 2.6 Graf dan Subgrafnya

Kompenen dari graf G adalah subgraf terhubung maksimum dari G. Jadi

graf terhubung mempunyai paling banyak satu komponen sedangkan graf tak

terhubung paling sedikit mempunyai dua komponen. Contoh, pada Gambar 2.5(a)

menunjukkan graf terhubung dan Gambar 2.5(b) menunjukkan graf tak terhubung

dengan dua komponen.

2.4 Operasi pada Graf

Operasi dalam teori graf yang diperlukan dalam penulisan skripsi ini,

diantaranya gabungan graf dan hasil kali kartesius dua graf. Misal G1 dan G2

adalah graf saling asing yang artinya V(G1) ∩ V(G2) = φ dan E(G1) ∩ E(G2) = φ.

6

2.4.1 Gabungan Graf

Gabungan dua graf G1 dan G2 yang dinotasikan G = G1�

G2 mempunyai

himpunan titi k : � )( )() ( 21 GVGVGV = dan himpunan sisi

: � )( )()( 21 GEGEGE = .

Untuk gabungan m buah graf terhubung dinotasikan sebagai graf � m

iiG

1=

.

Jika pada gabungan m buah graf memenuhi kondisi G1=G2=G3=...=Gm=G maka

graf � m

iiG

1=

akan dinotasikan dengan mG, yaitu graf tak terhubung dengan m

komponen. Contoh gabungan dua graf ditunjukkan pada Gambar 2.7.

v1 v2 u1 u2 v1 v2 u1 u2

G1: G1: G1�

G2:

v3 v4 u3 u4 v3 v4 u3 u4

Gambar 2.7 Gabungan Dua Graf

2.4.2 Hasil Kali Kar tesius Dua Graf

Hasil kali kartesius dari graf G1 dan G2 adalah graf yang dinotasikan

G1xG2 dan mempunyai himpunan titi k V={ (v1, v2) v1∈V(G1), v2∈V(G2)}

dimana titi k (u1, u2) dan (v1, v2) bertetangga di G1 x G2 jika:

[ u1 = v1 dan u2 tetangga v2 ] atau [ u2 = v2 dan u1 tetangga v1 ].

Untuk memberikan gambaran tentang hasil kali kartesius dari dua graf lintasan

G1 dan G2, yaitu G1 x G2 ditunjukkan oleh Gambar 2.8.

(u1,u2) (u1,v2)

G1: u1 v1 G1 x G2 :

G2: u2 v2

(v1,u2) ( v1,v2)

Gambar 2.8. Graf Hasil Kali Kartesius G1 x G2

7

2.5 Kelas-Kelas Graf

Kelas-kelas graf yang diperlukan dalam penulisan skripsi ini, diantaranya

adalah graf lintasan (path), graf sikel (cycel), graf tangga (ladder), graf

gabungan m buah graf tangga mLn dan graf hasil kali kartesius Pm x Pn .

2.5.1 Graf L intasan (Path)

Graf lintasan adalah graf yang terdiri dari satu lintasan. Graf lintasan yang

terdiri dari n titi k dinotasikan sebagai Pn. Contoh graf lintasan P3 dan P4 diberikan

pada Gambar 2.9.

P3 : P4 :

Gambar 2.9 Graf Lintasan P3 dan P4

2.5.2 Graf Sikel (Cycle)

Graf yang terdiri dari satu sikel disebut graf sikel, dinotasikan Cn yang

berarti graf sikel dengan n titi k. Gambar 2.10 menunjukkan graf sikel C5 dan C6.

C5 : C6 :

Gambar. 2.10 Graf Sikel C5 dan C6

2.5.3 Graf Tangga (Ladder)

Graf tangga (ladder) adalah graf yang dibangun dari hasil kali kartesius

graf lintasan P2 dan Pn, yaitu P2 x Pn. Untuk pembahasan selanjutnya graf tangga

P2 x Pn akan dinotasikan dengan Ln. Sebagai contoh, Gambar 2.11 adalah graf

tangga L4 = P2 x P4.

b d

P2 : 1 2 P4 :

a c

8

P2 x P4 : (a,1) (b,1) (c,1) (d,1)

(a,2) (b,2) (c,2) (d,2)

Gambar 2.11 Graf Tangga L4

2.5.4 Graf Gabungan m Buah Graf Tangga

Graf gabungan m buah graf tangga Ln dinotasikan mLn adalah graf tak

terhubung yang terdiri dari m buah komponen, dimana setiap komponennya

adalah graf tangga Ln. Sebagai contoh, gabungan tiga buah graf tangga L3, yaitu

3L3 ditunjukkan pada Gambar 2.12.

Gambar 2.12 Gabungan Tiga Buah Graf Tangga L3

2.5.5 Graf Hasil Kali Kar tesius Pm x Pn

Graf hasil kali kartesius Pm x Pn adalah graf yang mempunyai mn titi k , yang

terdiri dari m baris titi k. Contoh graf hasil kali kartesius P3 x P4 ditunjukkan

pada Gambar 2.13.

Gambar 2.13 Graf Hasil Kali Kartesius P3 x P4

2.6 Pemetaan

Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara

atau aturan yang memasangkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat satu

elemen di himpunan B disebut pemetaan dari himpunan A ke himpunan B.

Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B diberi notasi f , yaitu: BAf →:

9

Selanjutnya himpunan A kita sebut sebagai daerah asal (domain) dari f dan

himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) dari f.

Fungsi satu-satu adalah pemetaan dimana setiap elemen di daerah hasil

mempunyai prapeta tepat satu di daerah asal, dapat dituliskan secara matematika

berikut : Pemetaan .)()(,,injektif,: yxyfxfAyxBAf =⇒=∈∀⇔→

2.7 Pelabelan Graf

Pelabelan pada graf G adalah pemberian nilai pada titi k atau sisi di G.

Pada tahun 1967 Rosa menyebutkan λ adalah valuasi- β pada graf G ji ka λ

fungsi satu-satu dari himpunan titi k di G ke himpunan { 0, 1, 2,…,

)(GE } sedemikian hingga, setiap sisi uv di G mendapat label )()( vu λ−λ yang

berbeda semua. Selanjutnya tahun 1972 Golomb menamakannya pelabelan

graceful [5].

2.8 Pelabelan Graceful

Misal G graf dengan himpunan titi k V(G) dan himpunan sisi E(G).

Pelabelan Graceful adalah fungsi satu-satu : { } 3210 E(G),...,,,,� � � � � � →

sedemikian hingga ( ) � �� �uv

� � � �−=λ= berbeda semua setiap u, v )(GV∈ .

Sebuah graf G disebut graf graceful ji ka setiap titi k dan sisi di graf G

dapat diberi label menurut aturan pelabelan graceful. Pelabelan graceful untuk

graf sikel diberikan oleh Rosa. Rosa membuktikan bahwa untuk graf sikel Cn

adalah graceful ji ka dan hanya jika 4) (mod3atau0 n ≡ [5].

Golomb [1] menyebutkan bahwa graf komplit Kn adalah graceful untuk

n=2, 3 ,4 seperti yang diberikan pada Gambar 2.14.

0 0 0 6 6

1 1 3 4 1 2 5

1 1 2 3 4 3 1

Gambar 2.14 Pelabelan Graceful pada Graf K2, K3 dan K4

10

Sedangkan untuk graf komplit Kn dengan n≥ 5 tidak graceful, seperti yang

ditunjukkan pada sifat 2.3.

Sifat 2.3 Graf Komplit Kn adalah tidak graceful untuk n≥ 5 [5].

Bukti : Misal graf komplit Kn mempunyai n titi k dan q sisi

Titik-titi k dari graf Kn diberi label {0, 1, 2, 3,..., q}. Label 0 dan q dibutuhkan

untuk memberi label titi k-titi knya sehingga didapat sisi yang mendapat label q.

Sekarang kita mempunyai titi k yang mendapat label 0 dan q. Selanjutnya kita

menginginkan sisi yang terlabeli q -1. Untuk itu satu titi k dari graf Kn harus diberi

label 1 atau q-1 misal kita pili h 1 untuk melabeli titi k tersebut, sehingga diperoleh

sisi-sisi yang mendapat label q, q-1 dan 1.

Sekarang kita mempunyai titi k-titi k yang terlabeli 0, 1 dan q.

Untuk mendapatkan sisi yang terlabeli q-2, harus mempunyai titi k-titi k yang

terlabeli 0, q-2, atau 1, q-1 atau 2, q. Jika kita pili h nilai q-1 atau 2 maka akan ada

dua sisi yang mendapat label sama, sehingga kita pili h nilai q-2 dan diperoleh sisi-

sisi yang mendapat label q, q-1, q-2, q-3, 2 dan 1.

Sekarang kita mempunyai titi k-titi k yang mendapat label 0, 1, q-2 dan q.

Untuk mendapatkan sisi yang terlabeli q-4 kita harus mempunyai titi k-titi k dengan

label 0, q-4 atau 2, q-2 atau 3, q-1 atau 4, q. Setiap kita memilih pasangan label

titi k ini, kita akan selalu mendapatkan minimal dua sisi dengan label sama.

Sehingga graf Kn dengan n = 5 tidak graceful.

Hal ini membuktikan bahwa graf Kn dengan n≥ 5 tidak graceful sebab dengan

bertambahnya satu titi k maka akan ada penambahan beberapa sisi dengan label

yang sama.

Sebagai contoh, Gambar 2.15 menunjukkan graf K5 yang tidak bisa diberi label

menurut aturan pelabelan graceful karena ada beberapa sisi yang mendapat label

sama, yaitu tiga sisi mendapat label 1, dua sisi mendapat label 2, dua sisi

mendapat label 3 dan dua sisi mendapat label 4.

11

0

4 3 1 5

4 1 5

1 2 3 4

3 2 1

Gambar 2.16 Graf K5 yang Tidak Bisa Dilabeli Menurut Aturan Pelabelan Graceful

Tanpa menunjukkan hasil pelabelannya Erdos [5] menyebutkan beberapa

graf tidak graceful. Dilain pihak Rosa [5] menyebutkan tiga alasan mengapa

sebuah graf G tidak bisa dilabeli menurut aturan pelabelan graceful, yaitu:

1. G mempunyai ‘banyak titi k dan tidak cukup sisi’

5 2

6 4 3

0 1

Gambar 2.16 Graf yang Mempunyai Banyak Titi k dan Tidak Cukup Sisi

2. G mempunyai ‘ terlalu banyak sisi’ Contoh pada graf komplit K5 yang

ditunjukkan pada Gambar 2.15.

3. G mempunyai ‘keseimbangan yang salah’ . Contoh ditunjukkan oleh

Ganbar 2.17. Dimana ada dua sisi yang mempunyai label 2.

12

0

2 5

2 5

2 4

4 3 1

Gambar 2.17 Graf Sikel C5 yang Mempunyai Keseimbangan Salah

2.9 Pelabelan Komplemen

Misal graf G adalah graf graceful dengan pelabelan λ . Misal titi k-

titi knya dilabeli kembali menurut aturan )(GE –λ (v) untuk setiap titi k v di G.

Pemberian label kembali dengan aturan )(GE –λ (v) ini kita beri nama pelabelan

λ ' untuk setiap titi k di G akan berbeda dengan pelabelan λ dan

0≤ λ '(v) ≤ )(GE . Karena pelabelan λ merupakan fungsi satu-satu dari himpunan

titik di G ke {0, 1, 2,..., )(GE } maka pelabelan λ ' juga merupakan fungsi satu-

satu dari himpunan titi k di G ke {0, 1, 2,..., )(GE }.

Pelabelanλ ' untuk sisi-sisi di graf G dijelaskan sebagai berikut:

λ '(e) = λ '(uv) = )(')(' vu λ−λ = ( ) ( ))()()()( vGEuGE λλ −−−

= )()( vu λ−λ = λ (uv) = λ (e).

Jadi pelabelan λ ’ untuk setiap sisi di G sama dengan pelabelan λ . Sehingga

dapat disimpulkan bahwa pelabelan λ ’ adalah pelabelan graceful. Pelabelan λ '

ini disebut pelabelan komplemen dari pelabelan graceful .

Contoh pelabelan komplemen dari graf L3 ditunjukkan pada Gambar 2.19.

0 5 5 3 2 7 5 2 3 5

7 4 1 Pelabelan 7 4 1

Komplemen

7 6 1 2 3 0 6 6 2 4

Gambar 2.19 Pelabelan Graceful dari Graf L3 dan Pelabelan Komplemennya

13

BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan diberikan pembuktian pelabelan graceful cara 1 dan

cara 2 pada setiap kelas yang dikaji dan pelabelan komplemen dari setiap sifat

yang ada, yang disajikan dalam bentuk gambar. Dua cara pembuktian pelabelan

graceful diberikan untuk menunjukkan ketidaktunggalan dari pelabelan graceful,

ketidaktunggalan ini dikarenakan pelabelan titi k-titi knya yang bersifat satu-satu

mempunyai beberapa kemungkinan dalam menentukan pelabelannya. Dalam

pembuktian setiap sifat akan diperlukan suatu notasi yang didefinisikan sebagai

berikut: notasi yang mempunyai arti bilangan pembulatan keatas, dan notasi

yang mempunyai arti bilangan pembulatan kebawah. Contoh

2

3=2

sedangkan

2

3=1.

3.1 Pelabelan Graceful pada Graf Tangga

Graf tangga Ln adalah graf hasil kali kartesius P2 x Pn. Misal graf tangga

Ln mempunyai himpunan titi k { }''' ,...,,,,...,,)( nnn vvvvvvLV 2121= dan himpunan sisi

{ }***''' ,...,,,,...,,,,...,, nnnn eeeeeeeee)E(L 21121121 −−= dimana

sisi ei = vivi+1 untuk i = 1, 2, 3,…, n-1,

sisi e’ i = v’ iv’ i+1 untuk i = 1, 2, 3,…, n-1 dan

sisi e* i = viv’ i untuk i = 1, 2, 3,…, n.

Sebagai il ustrasi penotasian titi k dan sisi dari graf tangga Ln, dapat kita lihat pada

Gambar 3.1.

v1 e1 v2 e2 …. e(n– 1) vn

e*1 e*2 …. e*n

v’1 e’1 v’2 e’2 …. e’ (n – 1) v’n

Gambar 3.1 Penotasian Graf Tangga Ln

14

Sifat 3.1: Graf tangga Ln adalah graf graceful untuk setiap n.

Bukti dari sifat 3.1 diberikan oleh pelabelan cara 1 dan cara 2 berikut ini.

Pelabelan Cara 1 : Beri label untuk titi k-titi k dari graf Ln sehingga memenuhi

aturan dari fungsi satu-satu sebagai berikut :

i – 1 untuk i = 1, 3, 5,…, 2

2

n-1,

λ (vi) =

3n – 2i untuk i = 2, 4, 6,…, 2

2

n,

dan

3n – 2i untuk i = 1, 3, 5,…, 2

2

n-1,

λ (v’ i) =

i – 1 untuk i = 2, 4, 6,…, 2

2

n.

Dari pelabelan titi k-titi knya akan diperoleh pelabelan sisi-sisinya yang berbeda

semua untuk setiap e∈E(Ln) sebagai berikut:

3(n – i) –1 untuk i = 1, 3, 5,…, 2

2

n–1,

λ (ei) = λ (vivi+1) =

3(n – i) untuk i = 2, 4, 6,…, 2

2

n–2,

3(n – i) untuk i = 1, 3, 5,…, 2

2

n–1,

λ (e’ i) = λ (v’ iv’ i+1) =

3(n – i) –1 untuk i = 2, 4, 6,…, 2

2

n–2,

dan

λ (e* i) =λ (viv’ i) = 3(n – i) + 1 untuk i = 1, 2, 3,..., n.

Sebagai il ustrasi, Gambar 3.2 menunjukkan pelabelan graceful graf L4

dengan menggunakan sifat 3.1 pelabelan cara 1.

15

0 8 8 6 2 2 4

10 7 4 1

10 9 1 5 6 3 3

Gambar 3.2 Pelabelan Graceful pada Graf L4

Menggunakan Sifat 3.1 Pelabelan Cara 1

Pelabelan Cara 2 : Beri label untuk titi k-titi k dari graf Ln sehingga memenuhi

aturan fungsi satu-satu sebagai berikut :

21−i

untuk i =1, 3, 5,…,2

2

n-1,

λ (vi) =

3n –1 –2i

untuk i = 2, 4, 6,…,2

2

n,

dan

2n –

+

2

1iuntuk i =1, 3, 5,…,2

2

n-1,

λ (v’ i) =

n + 2

i - 1 untuk i = 2, 4, 6,…,2

2

n.

Setelah pelabelan titi k-titi knya diperoleh maka sisi-sisinya diberi label yang

berbeda semua untuk setiap e∈E(Ln) menurut aturan sebagai berikut :

λ (ei) = λ (vivi+1) = 3n – 1– i untuk i = 1, 2, 3,..., n – 1 ,

λ (e’ i) = λ (v’ iv’ i+1) = n – i untuk i = 1, 2, 3,..., n – 1

dan

λ (e* i) = λ (viv’ i ) = 2n – i untuk i = 1, 2, 3,..., n .

Karena dari pelabelan cara 1 dan cara 2 diperoleh bahwa pelabelan titi k-

titi knya memenuhi fungsi satu-satu dan pelabelan sisi-sisinya berbeda semua

untuk setiap e∈E(Ln) maka pelabelan λ diatas adalah pelabelan graceful.

Sebagai il ustrasi, Gambar 3.3 menunjukkan pelabelan graceful graf L4

menurut sifat 3.1 pelabelan cara 2.

16

0 10 10 9 1 8 9

7 6 5 4

7 3 4 2 6 1 5

Gambar 3.3 Pelabelan Graceful pada Graf L4

Menggunakan Sifat 3.1 Pelabelan Cara 2.Menurut definisi pelabelan komplemen pada 2.9 maka pelabelan

komplemen untuk pelabelan graceful graf tangga L4 pada Gambar 3.3 dapat

dili hat pada Gambar 3.4.

10 10 0 9 9 8 1

7 6 5 4

3 3 6 2 4 1 5

Gambar 3.4 Pelabelan Komplemen dari Sifat 3.1 Pelabelan Cara 1 pada Graf L4

3.2 Pelabelan Graceful pada Graf Gabungan m Buah Graf Tangga

Graf gabungan m buah graf tangga Ln dinotasikan mLn adalah graf tak

terhubung yang terdiri dari m komponen dimana setiap komponennya adalah graf

tangga Ln. Misal graf mLn mempunyai himpunan titi k:

{ }'nj

'j

'jnjjjjmn v,...,v,v,v,...,v,vVV...VVmLV 212121 == � � � dimana )(

dan himpunan sisi : � � � ...)( ` mn EEEmLE 21= dimana

( ) ( ){ }*nj

*j

'j

'jn

'j

'jjnjjj e,...,e,e,e,...,e,e,e,...,e,eE 21121121 −−= dengan

eij = vijv(i+1)j untuk i = 1, 2, 3,…, n-1, j = 1, 2, 3,…, m,

')1(

''jiijij vve += untuk i = 1, 2, 3,…, n-1 , j = 1, 2, 3,…, m dan

'*ijijij vve = untuk i = 1, 2, 3,…, n , j = 1, 2, 3,…, m

dimana Vj dan Ej berturut-turut menyatakan himpunan titi k dan sisi dari

komponen ke-j dari graf mLn untuk setiap j = 1, 2, 3,..., m.

17

Sebagai il ustrasi penotasian titi k dan sisi dari graf gabungan m buah graf

tangga dapat kita lihat pada Gambar 3.5.

v11 e11 v21 e21 …. e(n – 1)1 vn1

e*11 e*21 …. e*n1

v’11 e'11 v’21 e'21 …. e'(n – 1)1 v’n1

v12 e12 v22 e22 …. e(n– 1)2 vn2

e*12 e*22 …. e*n2

v’12 e'12 v’22 e'22 …. e'(n – 1)2 v’n2

v1m e1m v2m e2m …. e(n– 1)m vnm

e*1m e*2m …. e*nm

v’1m e'1m v’2m e'2m …. e'(n– 1)m v’nm

Gambar 3.5 Penotasian Graf Gabungan m Buah Graf Tangga mLn

Sifat 3.2 Graf gabungan m buah graf tangga mLn adalah graf graceful untuk

setiap m dan n.

Untuk pembuktian sifat 3.2 diberikan oleh pelabelan cara 1 dan cara 2 berikut ini.

Pelabelan Cara 1 : Beri label untuk titi k-titi k dari graf gabungan m buah graf

tangga sehingga memenuhi fungsi satu-satu sebagai

berikut :

Untuk j = 1, 2, 3,..., m

18

n( j–1) + (i+ j –2) untuk i =1, 3, 5,…, 2

2

n – 1,

λ (vij) =

m(3n – 2) – 2n( j –1) –(2i –3j+1) untuk i = 2, 4, 6,…, 2

2

n,

dan

m(3n – 2) –2n( j –1) – (2i –3j+1) untuk i =1, 3, 5,…, 2

2

n – 1,

λ (v’ ij) =

n( j–1) + (i + j – 2 ) untuk i = 2, 4, 6,…, 2

2

n.

Pelabelan untuk sisi-sisinya yang berbeda semua untuk setiap e∈E(mLn) dapat

ditentukan sebagai berikut :

3n( m– j+1)–2m– (3i – 2j+1) untuk i=1, 3, 5,…,2

2

n– 1,

λ (eij)=λ (vijv(i+1)j)=

3n( m– j+1)–2m– (3i – 2j) untuk i= 2, 4, 6,…,2

2

n– 2,

3n(m– j+1)–2m– (3i– 2j) untuk i=1, 3, 5,…, 2

2

n– 1,

λ (e’ ij) =λ (v’ ijv’ (i+1)j) =

3n(m– j+1)–2m– (3i– 2j+1) untuk i= 2, 4, 6,…, 2

2

n– 2,

dan

λ (e* ij) = λ (vijv’ ij ) = 3n( m– j+1) – 2m – (3i – 2j – 1) untuk i = 1, 2, 3,..., n.

Sebagai il ustrasi, Gambar 3.6 menunjukkan pelabelan graceful pada graf

2L4 dengan menggunakan sifat 3.2 pelabelan cara 1.

0 18 18 16 2 12 14 5 8 13 6 7 2 9

20 17 14 11 10 7 4

1

20 19 1 15 16 13 3 15 9 6 5 11 3 8

Gambar 3.6 Pelabelan Graceful pada Graf 2L4

19

Menggunakan Sifat 3.2 Pelabelan Cara 1.

Pelabelan Cara 2 : Definisikan label untuk titi k-titi k dari graf mLn sehingga

memenuhi fungsi satu-satu sebagai berikut :

Untuk j = 1, 2, 3,..., m

m (3n – 2) –2n ( j –1) – (2i –3j+1) untuk i =1, 3, 5,…, 2

2

n – 1,

λ (vij) =

n ( j–1) + (i + j – 2 ) untuk i = 2, 4, 6,…, 2

2

n,

dan

n ( j–1) + (i + j –2) untuk i =1, 3, 5,…, 2

2

n – 1,

λ (v’ ij) =

m (3n – 2)– 2n( j –1) – (2i –3j+1) untuk i = 2, 4, 6,…, 2

2

n.

Aturan pelabelan untuk sisi-sisinya yang berbeda semua untuk setiap e∈E(mLn)

adalah sebagai berikut :

3n(m– j+1) –2m – (3i– 2j) untuk i=1, 3, 5,…, 2

2

n– 1,

λ (eij) =λ (vijv( i+1)j)=

3n(m– j+1)–2m– (3i– 2j+1) untuk i= 2, 4, 6,…, 2

2

n– 2,

3n(m– j+1)–2m– (3i– 2j+1) untuk i=1, 3, 5,…,2

2

n–1,

λ (e’ ij)=λ (v’ ijv’ (i+1)j)=

3n(m– j+1 –2m –(3i– 2j) untuk i= 2, 4, 6,…, 2

2

n– 2,

dan

λ (e* ij) = λ (vijv’ ij ) = 3n( m– j+1) – 2m – (3i – 2j – 1) untuk i = 1, 2, 3,..., n.

Karena dari pelabelan cara 1 dan cara 2 diperoleh bahwa pelabelan titi k-

titi knya memenuhi fungsi satu-satu dan pelabelan sisi-sisinya berbeda semua

untuk setiap e∈E(mLn) maka pelabelan λ diatas adalah pelabelan graceful.

20

Sebagai il ustrasi, Gambar 3.7menunjukkan pelabelan graceful untuk graf

2L3 menggunakan sifat 3.2 pelabelan cara 2.

14 13 1 9 10 11 6 5 2 7

14 11 8 7 4

1

0 12 12 10 2 4 5 9 3 6

Gambar 3.7 Pelabelan Graceful pada Graf 2L3

Menggunakan Sifat 3.2 Pelabelan 2.

Menurut definisi pelabelan komplemen pada 2.9 maka pelabelan

komplemen untuk pelabelan graceful graf 2L4 pada Gambar 3.6 ditunjukkan oleh

Gambar 3.8.

20 18 2 16 18 12 6 15 8 7 6 13 2 11

20 17 14 11 10 7 4

1

0 19 19 15 4 13 7 5 9 14 5 9 3 12

Gambar 3.16 Pelabelan Komplemen dari Sifat 3.2

Pelabelan Cara 1 pada Graf 2L4

21

3.3 Pelabelan Graceful pada Graf Pm x Pn

Graf hasil kali kartesius Pm x Pn mempunyai mn titi k , yang terdiri dari m

baris titi k. Himpunan titi k dari graf Pm x Pn adalah :

V ( Pm x Pn ) = { vi1, vi2, vi3,...,vim } dimana vij adalah titi k ke-i dari baris

ke-j untuk i = 1, 2, 3,…, n dan j = 1, 2, 3,…, m,

dan himpunan sisi dari graf Pm x Pn adalah :

E ( Pm x Pn ) = { ei1, ei2, ei3,..., eim, e’ i1, e’ i2, e’ i3,..., e’ i(m-1) } dengan

eij = vijv(i+1)j untuk i = 1, 2, 3,..., n–1, j = 1, 2, 3,…, m

e’ ij = vijvi(j+1) untuk i = 1, 2, 3,..., n , j = 1, 2, 3,…, m–1.

Gambar 3.17 mengilustrasikan penotasian titi k dan sisi dari graf hasil kali

kartesius Pm x Pn.

v11 e11 v21 e21 v31 ........ e(n-1)1 vn1

e’11 e’21 ...... e’n1

v12 e12 e22 ........ e(n-1)2 vn2

e’1(m-1) e’2(m-1) ...... e’n(m-1)

v1m e1m v2m ........ e(n-1)m vnm

Gambar 3.17 Penotasian Graf Hasil Kali Kartesius Pm x Pn

Sifat 3.3 Graf hasil kali kartesius Pm x Pn adalah graf graceful untuk setiap m

dan n.

Bukti dari sifat 3.3 diberikan oleh pelabelan cara 1 dan cara 2 berikut ini.

Pelabelan Cara 1 : Beri label untuk titi k-titi k dari graf Pm x Pn sehingga

memenuhi fungsi satu-satu sebagai berikut :

22

n ( j – 1) +

−

2

ji untuk i = 1, 3, 5,...,2

2

n – 1

j = 1, 3, 5,..., 2

2

m – 1,

m (2n – 1)–nj –

−−

2

1ji untuk i = 1, 3, 5,..., 2

2

n – 1

j = 2, 4, 6,..., 2

2

m,

λ (vij) =

m (2n – 1) –nj –

−−

2

1ji untuk i = 2, 4, 6,...,2

2

n

j = 1, 3, 5,..., 2

2

m – 1,

n( j – 1) +

−

2

ji untuk i = 2, 4, 6,..., 2

2

n

j = 2, 4, 6,..., 2

2

m.

Setelah pelabelan titi k-titi knya diperoleh, selanjutnya pelabelan untuk sisi-

sisinya yang berbeda semua untuk setiap e∈E(Pm x Pn) diberikan sebagai berikut

:

λ (eij ) =λ (vijv(i+1)j) = m(2n–1)–n(2j–1)–(i– j) untuk i = 1, 2, 3,..., n–1,

j = 1, 2, 3,..., m

dan

λ (e’ ij ) =λ (vijvi(j+1) = m(2n–1)–2nj–(i– j –1) untuk i = 1, 2, 3,..., n,

j = 1, 2, 3,..., m–1.

Sebagai contoh, Gambar 3.20 menunjukkan beberapa pelabelan graceful

untuk graf hasil kali P4xP4 dengan menggunakan sifat 3.3.

23

0 24 24 23 1 22 23

21 20 19 18

21 17 4 16 20 15 5

14 13 12 11

7 10 17 9 8 8 16

7 6 5 4

14 3 11 2 13 1 12

Gambar 3.20 Pelabelan Graceful pada Graf P4 xP4

Menggunakan Sifat 3.3 Pelabelan Cara 1.

Pelabelan Cara 2 : Titik-titi knya diberi label sehingga memenuhi sifat satu-satu

sebagai berikut:

m( i – 1) +

−

2

ij untuk i = 1, 3, 5,...,2

2

n – 1

j = 1, 3, 5,..., 2

2

m – 1,

n(2m – 1) –im –

−−

2

1ij untuk i = 1, 3, 5,..., 2

2

n – 1

j = 2, 4, 6,..., 2

2

m,

λ (vij) =

n(2m – 1) –im –

−−

2

1ij untuk i = 2, 4, 6,..., 2

2

n

j = 1, 3, 5,..., 2

2

m – 1,

m( i – 1) +

−

2

ij untuk i = 2, 4, 6,..., 2

2

n

j = 2, 4, 6,..., 2

2

m.

24

Pelabelan sisinya diberi label berbeda semua untuk setiap e ∈E(Pm x Pn) menurut

aturan sebagai berikut:

λ (eij ) =λ (vijv(i+1)j) = n(2m–1)–2im–( j – i –1) untuk i = 1, 2, 3,..., n–1,

j = 1, 2, 3,..., m

dan

λ (e’ ij ) =λ (vijv(i+1)j) = n(2m–1)–m(2i–1)–( j– i ) untuk i = 1, 2, 3,..., n,

j = 1, 2, 3,..., m–1.

Karena dari pelabelan cara 1 dan cara 2 diperoleh bahwa pelabelan titi k-

titi knya memenuhi fungsi satu-satu dan pelabelan sisi-sisinya berbeda semua

untuk setiap e∈E(Pm x Pn) maka pelabelan λ diatas adalah pelabelan graceful.

Sebagai contoh, Gambar 3.22 menunjukkan beberapa pelabelan graceful

untuk graf hasil kali kartesius P4xP4 menggunakan sifat 3.3 pelabelan 2.

0 21 21 14 7 7 14

24 17 10 3

24 20 4 13 17 6 11

23 16 9 2

1 19 20 12 8 5 13

22 15 8 1

23 18 5 11 16 4 12

Gambar 3.24 Pelabelan Graceful pada Graf P4 xP4

Mengunakan Sifat 3.3 Pelabelan Cara 2.

25

Menurut definisi pelabelan komplemen pada 2.9 maka pelabelan

komplemen untuk pelabelan graceful graf P4xP4 pada Gambar 3.20 ditunjukkan

oleh Gambar 3.26.

24 24 0 23 23 22 1

21 20 19 18

3 17 20 16 4 15 19

14 13 12 11

17 10 7 9 16 8 8

7 6 5 4

10 3 13 2 11 1 12

Gambar 3.26 Pelabelan Komplemen dari Sifat 3.3

Pelabelan Cara 1 pada Graf P4 xP4